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TRAITÉ

D ANALYSE

8548 P.VRl:?. — IMPRIMERIE DE GVLTHIER-VILL VR? ,

Quai des Augustins, 55.

TRAITÉ

D'ANALYSE

H. LAURENT,

EX.VMINATEIR d'aDMISSION A l'kCOLE POLYTF.CIINIOI'E.

Le calcul ilo Leibniz, la mené dans des païs jasqu ici incunnus; et il y a fait des découTertes qui font I étonnement des pins habiles uiathcmaticiens de I Europe.

De l'Hospital, Calcul des infiniment petits.

TOME I.

CALCUL DIFFÉRENTIEL,

APPLIC.VTIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES.

DEPARTMENT OF MATIICMATICS UNIVERSITY OF TORONTO

PARIS,

GAUTHIER- VILLARS, LMPRLMEUR-LIBRAFRE

DL BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. Quai des .\ii[;ustins, 55.

1885

(Tous droits réserrés.)

300

t.l

A M. MOUTARD,

MON BEVU-l'ÈUE.

Hommage de reconnaissance et d'affection, n. Laurent.

PRÉFACE.

Le Traité d'Analyse que je publie aujourdhui est destiné aux personnes qui, n'ayant pas le moyen de consulter un grand nombre d'Ouvrages, ont le désir d'acquérir des con- naissances étendues en Mathématiques. Il contient, outre le développement des matières exigées des candidats à la licence, le résumé des principaux résultats acquis à la Science.

Je n'ai pas la prétention dé croire que la lecture d'un ou- vrage unique puisse remplacer l'étude laborieuse des Mé- moires des grands maîtres de la Science; mais enfin il est souvent difficile de se procurer ces Mémoires, et je pense que l'on ne m'en voudra pas, si j'ai essayé de faire connaître une partie des trésors qu'ils renferment.

LeP' Volume contient une théorie élémentaire des séries, le Calcul diflerentiel et ses applications analytiques.

Les principes de ce calcul y sont exposés, je crois, avec toute la rigueur qu'on est en droit d'exiger. Je suis parvenu à ce résultat en prenant pour Ijasc du Calcul différentiel le fameux théorème de RoUe, tel qu'il a été énoncé par M. O. Bonnet et la formule de Taylor qui en découle immédiate- ment.

Les applications sont relatives à la théorie des formes, à l'élimination et à la recherche des maxima. Bien que la théorie des formes ne soit pas exigée des candidats à la ii-

VIII PUÉFACE.

ccnco, elle pourra être lue avec lïuil par eux et èlrc considé- rée comme un bon exercice sur le chan<i;enicnUlc variables, .l'ai donné sur l'éliminalion des développements qui Irou- veronl leur application plus tard, et je me suis permis d'ex- poser mes propres rechercbes sur ce sujet, parce quelles i(>llenl, je crois, un jour nouveau sur celle théorie restée un peu obscure jusqu'ici, et qu'elles ont d'ailleurs été entreprises précisément en vue de cet Ouvrage.

Le IP Volume contiendra des applications géométriques des théories exposées dans le premier, à savoir la théorie des tangentes et des plans tangents, des enveloppes, de la cour- bure, et du contact en général. La théorie des lignes tracées sur les surfaces est renvoyée au Calcul intégral, où elle sera traitée plus à fond que dans la plupart des autres Traités d'Analyse. Les derniers Chapitres de ce A ohime sont consa- crés à une théorie sommaire des points- singuliers et des asymptotes; l'étude plus approfondie de cette question sera faite après les théories de Cauchy sur les fonctions des va- riables imaginaires, en prenant pour guide les travaux récents de MM. Halphen, Nother, etc.

Le IIl" Volume traite du calcul des intégrales indéfi- nies et définies, des intégrales des différentielles à plusieurs variables cl des intégrales multiples.

On voudra bien remarquer conibien je me suis efforcé d'être rigoureux dans cette partie du Calcul intégral, avec quelle cir- conspection j'ai fait usage' des règles de la différentiation sous le signe f et des lois de la continuité.

Les applications analytiques sont relatives à la théorie gé- nérale des l'onctions et de leurs développements en séries; elles résument une des plus belles parties de l'œuvre de Cau- chy et de ses disciples. J'ai essayé de restituer à cet illustre géomètre une part que l'on a essayé de lui ravir dans ces derniers temps. En particulier, j'ai exposé une méthode qui

I' HÉ FACE. IX

lui est due pour le développenienl des fonctions en séries Irigonométriques, fondée sur le calcul des résidus, qui est tout aussi rigoureuse que celle de iJirielilet et (jui entre hicn plus profondément au cœur de la question.

Un Chapitre est consacré à l'interpolation des fonctions nu- mériques; on V trouve une théorie très développée des fonc- tions eulériennes, le calcul des dérivées à indices quelconques et les éléments du calcul inverse des intégrales définies, le développement en fractions continues et la théorie des fonc- tions de Legendre, qui sera d'ailleurs reprise à un autre point de vue dans le ^ olume suivant.

Le Volume se termine par l'étude des fonctions algébriques ou, si l'on veut, des courbes algébriques; on y trouvera la théorie des points singuliers, dont j'ai parlé plus haut, et celle de la transformation des courbes planes.

Le IV*' Volume est consacré aux équations diflercntielles ordinaires, il contient deux démonstrations rigoureuses de ce principe : que tout système d'équations différentielles ordi- naires admet une intégrale. La discussion approfondie de ces démonstrations conduit, d'après Cauchy, à une théorie com- plète des solutions singulières. Avant de parler des méthodes connues d'intégration, j'ai pensé qu'il serait bon d'exposer la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes, qui inter- viennent de plus en plus dans la théorie des équations diffé- rentielles. La théorie des fonctions elliptiques est exposée d'après les méthodes de Cauchv, celle des fonctions abéliennes en suivant de très près le fameux Mémoire de Ricmann et en faisant usage de son plan multiple, sans toutefois faire inter- venir le principe de Dirichlet. Parmi les applications de la théorie des fonctions elliptiques, on voudra bien remarquer une exposition assez simple des propriétés des cubiques planes et des biquadratiques gauches; enfin une belle démonstration du théorème de Poncelet sur les polygones inscrits et circon-

X PRÉFACE.

scrlls aux coniques due à M. Ilermile. Le Volume se termine par la recherche des maxima des intégrales simples.

Le \ "^ Volume renferme la théorie des équations aux déri- vées partielles, la théorie des lignes tracées sur les surfaces et des coordonnées curvilignes, la théorie des complexes, enfin quelques mots sur la variation des intégrales multiples. La théorie des équations du premier ordre et des équations aux différentielles totales y est exposée en détail et avec rigueur; mais la théorie des équations à plusieurs inconnues et des ordres supérieurs, sur laquelle on ne connaît que fort peu de chose, laisse à désirer sous ce point de vue; ainsi j'ai sou- vent différentié, sous le signe /, des expressions qu'il n'était pas permis de traiter de cette façon; j'ai aussi admis, comme un poslulatum, le principe de Dirichlet. Il m'a semblé que les démonstrations que l'on a essayé de donner de ce principe étaient trop compliquées et pas tout à fart rigoureuses. Les applications géométriques roulent sur la théorie des lignes de courbure, des lignes asymplotiques, des lignes géodésiques et, en général, des lignes que l'on peut tracer sur une surface. La théorie des coordonnées curvilignes et des surfaces ortho- gonales y est exposée avec détail ainsi que la théorie des complexes.

Le VP et dernier Volume "contient quelques théories détachées qui trouveraient difficilement leur place dans le corps même de l'Ouvrage et dont il serait trop long de faire l'énumération.

A la fin de presque tous les Chapitres, j'ai eu soin de pla- cer des exercices ou des notes, pour la plupart du temps ex- traites des œuvres des maîtres de la Science et destinés à éclairer ou à compléter les matières exposées dans le texte.

Dans cet Ouvrage, on trouvera peu de figures, peu de dé- veloppements relatifs à la Géométrie pure ; c'est avant tout un Traité d'Analvse et, si Ion v rencontre de la Géométrie, c'est

PRÉFACE. XI

([u'ellr vient compléter et éliicidtT I Anaivse. D'ailleurs la Géométrie a des méthodes qui lui sont propres, et elle doit être étudiée dans des Traités spéciaux. On comprendra donc pourquoi je me suis si peu étendu sur Thomograpliie et sur les autres méthodes de transformation des figures; le dévelop- pement de ces belles théories doit surtout faire loLjet des Traités de Géométrie pure.

Enfin, pour faire com[)rendre dans quel esprit est écrit ce Traité d'Analyse, qu'il suffise de dire que l'auteur est un ardent disciple de Cauch_y, de ce géomètre incomparable dont Abel disait qu'il avait puisé toutes ses connaissances dans ses écrits. « Un tel aveu, dit O. Terquem, est le meilleur des panégyriques. »

Je dois remercier, en terminant, mon excellent ami M. E. Lucas, professeur de Mathématiques spéciales au lycée Saint- Louis, qui a bien voulu me prêter son précieux et bienveil- lant concours pour la correction des épreuves.

TRAITÉ

D'ANALYSE

CALCUL DIFFERENTIEL.

APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTllIQUES,

CHAPITRE I.

LNTHODUCTION.

^ I. — Des fonctions.

Autrefois on appeWil fonc l io/is d' une quantiLc les diverses puissances de celle quantité, puis on a étendu le mot de fonction à toutes les expressions analytiques que l'on peut former avec cette quantité; voici la définition plus précise qui semble adoptée aujourd'hui et que nous adopterons dans ce qui va suivre :

Deux quantités sont fonctions l'une de l autre quand, l'une d'elles restant constante, l'autre reste constante aussi.

Celle définition comprend celle de la constante : c'est l.i un inconvénient de peu d'importance, car il sera toujours facile L. — Traite d'Analyse, I. i

) CIIAIMTUK 1.

(le prcciscr ilaiis cliafjiio cas parlictiller; il est, (.railloiirs, lo liliis souvent utile de considérer le cas où la ("onction devient une constante.

l ne (juaiitité / sera dite fonction de plusieurs autres ./•, ), r-. ... quand, celles-ci l'estant constantes, restcracon- slantc aussi; on voit donc que, si/est fonction dc.r, ),:;, ..., elle sera lonclion de chacune de ces variables en particulier, prise isoK'nient, les autres restant constantes.

De là résulte que notre définition du mot fonction coni- prond celle des fonctions a/i((l\tiquc.s (jue l'on considérait autrefois et celle de toutes les autres fonctions, telles ([ueles fonctions empiriques dont la forme n'est donnée que par des phénomènes naturels.

J' II. — Continuité des fonctions.

Nous dirons qu'une foncliony( j:') est continue pour.r = « quand, étant donnée une quantité positive quelconque s, aussi petite que l'on voudra du reste, il existera une quantité posi- tive H telle que, h étant moindre en valeur absolue que II, fi^a^rh) ait une valeur unique et bien déterminée, et que Ton ait

val. abs. [y\<i Ai j\a)\ :'^i,

quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée à h.

Une fonction, sjx par exemple, peut avoir pour chaque valeur de x plusieurs valeurs et cependant être continue, s'il est possible de séparer ces valeurs de telle sorte ([ue Taccrois- sement h donné à x entraîne toujours sans andjiyuïté un accroissement, et un seul, bien déterminé pour la fonction.

Théorème I. —Si une fonction f{x) est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, si de plus f{a) etf(b) sont de signes contraires, il existera une valeur a de X, comprise entre a et 6, telle que Con ait f(%) =. o.

Pour le démontrer, désignons par/2 un nombre entier quel-

l.NT KO DICTION. 6

1 I ^ — '^'^ r r I

coïKjiic |)lus i;r.iml <[iio r, posons = /i et njrinons la

suite

/i a ). fi a /i 1, /( a -xli ^ /(« - ii - i h). J'iO).

Si 1 un (Jl's lorincs de celle suile élait nul, le llu'orènic serait dcmonlré; si aucun d'eux n'est nul, il en existera deux conséculifs au moins ([ui seront de signes contraires, puis(}uc le premier et le dernier sont de signes contraires; appelons

ces termes /(</, ) et/(^,), posons — ^ =^h\ et considé- rons la nouvelle suile

/(«,), J\ai -hi), .... /{ai — n— i/ii}, fibi);

si aucun des ternn-s de cette suite n'est nul, auquel cas le lliéorème seraitdéinontré, il existera deux tenues conséculifs

/{ii>) clfihj) de signes contraires; posant-^ — = Ao,on

considérera la no u\ elle suite

/{a.,}, 7( «/-//,! /{a2-~/^~i/i2), J\b.)

En conlinuanl ainsi, on formera deux séries de nombres a^ cit , 0-2, ... 1 ffm- ... vlO, Oi, 0-2, .... 0,n, • • • . Ics premiers croissants, les seconds décroissants, ou plutôt tels que

a «1 «2 .•■• b}_: bi> b-2 ■ ■ ■■

En général, J\ciin) et/( •'>'/«) sont de signes contraires et

h-n Ki) b„i — a,n^- „„, ;

or les nombres a,u vont en croissant sans dépasser b : ils ont donc une limite a. Les nombres b,n ont de même une limite ,3 ; or, en vertu de (i), b,n — ci,a tend vers zéro quand m aug- mente indéfiniment : donc

V\mb,n — liina,„ = o ou a - - 'i.

Ceci posé, considéi'ons/(a); «,„ et b,n dilTérant de y. d'aussi peu que l'on veut, on pourra prendre en valeur absolue

f( X ,) —J\a„i ) < --, /( ^) — A b,n ) <■=■:

4 CIIAIMIUK I.

or, zéro clanl compris vn[vc J\a„,) cl/(^,„), on aura alors, cf

fortiori,

/(^) — o<t ou /(a)<s.

Mais une ([uanlilr fixe /(a) (jni poiil rlrcM'ciidiu' iiu)iiulie (|ii(' £, quelque pelil qu'il soit, esl nulle : ilonc, elc. c. q. y. r>. On conclut de là ccL autre ihéorènu^ :

Tui':oui:ME II. — Une fonction J {x) continue entre les limites a et b ne peut passer de la valeur /(a) à la valeur J\h) sans passer par toutes les valeurs i/ttermédiaires.

Supposons en c^cl /(a) << [J<-<C/(^)! si Ton considère la roncliony'(x) — [ji., celle fonclion sera évldemmenl conlinue pour loutes les valeurs de .r comprises enlre a et b. Donc, /(a) — [X étant négatif, f{b) — [jl positif, /(x) — [j. passera par zéro pour une valeur de x coni|)rise enlre a et />, ouf(^x) deviendra égal à u. c. q. f. n,

La réciproque de ce théorcnie n'est pas vraie ; une fonc- tion qui ne saurait passer de la valeur y(«) à la valeury(6) sans passer par loules les valeurs Intermédiaires n'est j)as pour

cela conlinue rsin-? par exemple, ne peut passer de — i à

+ I sans passer par loutes les valeurs inlermédiaii'cs, et ce- pendant c(,'lle fonclion est discontinue pour ^' = o ; et non pas parce (|u'elle est indéterminée j)our x = o, car, comme elle n'est pas définie pour cette valeur de x, on peut lui assigner pour :r = o la valeur zéro, et considérer une fonction y"(j?)

égale à sin - > excepté pour x = o, et égale à zéro pour :r =^ o.

Une pareille foncliony'(.r) n'est pas continue, parce que/(A), queUpic petit que soit A, ne peut pas rester moindre qu'une (pianlilé arbitraire s. TouUîfois on pciil dire que :

TnÉonliME III. — Si une fonction /(x) croissante (ou décroissante) quand x varie de a à b ne peut pas passer de f{a) à f(b) sans passer par toutes les valeurs intermé- diaires, elle est continue dans cet intervalle, pourvu qu'elle ait une valeur déterminée pour chaque valeur de x.

INT HO DICTION. 5

En circt, soit a<^c<^b\ je dis <jiic l'on peut choisir II assez petit pour que, h étant moindre en valeur absolue que II, ou ait en valeur absolue

(.) J\c- h)-f{c)<t,

t étant une rpiantilé donnée quelconcpic. En effet, si l'on ne pouvait pas satisfaire à cette inégalité [)Our une certaine valeur donnée de s, c'est que /(.?") ne pourrait pas passer par les valeurs comprises entre y (c) ety"(c)-|-£, car f{jc), étant croissant avec x^ ne pourrait pas passer par ces valeurs pour x<^c\\'\ pour x'^c; puisque, /(c -|- h) étant plus grand que f{c) -r- t ou égal à /{c) -j- £, pour des valeurs de x plus grandes que c -^ h , J\x) sera encore plus grand : donc on devra pouvoir satisfaire à (i) ety"(x)sera continu.

Ainsi, par exemple, si a^o, ^ variant de o à co , x' croît, et, comme on peut toujours prendre x"^ = |j., u étant positif, on peut en conclure que j;"est continu pour les valeurs posi- tives de X, car x" a d'ailleurs une valeur déterminée pour chaque valeur de x.

Remarque. — Si f{x) est conliini pour toutes les valeurs de X voisines de c, la limite de j\c -f- h) quand h tendra vers zéro, ou de f{x) quand x tendra vers c, seraf{c). En effet, /(:r) étant continu pour j: = r, /(c+ A) — /(c) peut être rendu moindre que s; donc-

lim[/(c-A)-/(c)] = o ou liin/(c-i-/0=/(c).

Ceci permet de démontrer très simplement que la somme ou le produit de plusieurs fonctions continues est continu, que le quotient ou la différence de deux fonctions continues est continu, que si f{u, v) est fonction continue de a et de v^ u et v étant fonctions continues de x,f est aussi fonction con- tinue de X.

Démontrons seulement cette dernière proposition, qui ré- sume les autres :

Changeons x cnx -H A, a deviendra u 4- y- «'t ^' deviendra

G ciiArnm: i.

,. _|_[i; a cl i^ loiulionl \crs y.rvo, d'a\)VÎ-s noire iriiiar(HU". pour // = o; mais, / élanl conliini par raj)i)orl à // li r, /•^,/ _)_ 3-, (H- 1^) tlifi'i'rcra 1res pou (\r /{(/, r H- P), lequel dll- lèro aussi 1res peu clc/(f/, r) : donc f{i/ -I- a, r + [3) a pour liniile f{it,v) quand a et ^i tendent vers zéro, c'est-à-dire quand A tend vers zéro. Cela revicnl à dire (pic /(//,») esl continu par rapport à ,r.

J'ai développé ces démonsUalions dans mon Tnuli' <V y\l- îièbre, mais je crois devoir les reproduire dans celle liilrodne- lion, (jui est faite pour combler les lacunes qui existenl i;ént'ralemenl dans les Traités d'Algèbre, rédigés conformé- ment aux programmes officiels.

yi III. — Continuité des fonctions imaginaires (').

Nous appellerons, avec Caucliv, fonction (F une variable imaginaire X ^y\l — ^ loule expression di' la forme

Xm-Yv/ —

où X et Y sont fonctions de .r et r. Plus lard nous restrein- drons la généralilé de celte définition : nous dirons que la fonction X H-^v/ — i est continue si X cl \ sont des fonc- lions continues de x et de r^ 11 en résulte que, si /(xH-ry' — \) est fonclion continue de x -\- r si — i, on devra pouvoir prendre H et R assez pelils pour que, h et /. étant moindres en valeur absolue que 11 cl K, on ait

inn.l 1 /■( ./•-. A- 7H A f-~^) -/(^•--..-'V~^)]< ^>

(') Je préviens le lecteur que, pour moi, \ —i n'est pas une quantité qui élevée au carré donne — i, el je ne conviens pas de faire usage de ce signe \r^i en vertu de lu généralité de r.4/^'r^/e. Plusieurs théories ^/'cs rigou- reuses des imaginaires ont élé données par Caucliy. On peut, par exemple, considérer les égalités entre imaginaires comme des congruences relatives au module i- H- i. (Voir mon Algèbre.)

IN rUODICTION. 7

ciir celle inégnlilr re\ iciil à

ino(l[\{./' //. .r-HÂ-) ~\(T,y)

or, X cl ^ élanl coiiliiuies, les (lifTcrcnccs qui soiil enlic

les croclicls peuvcnl èlre rendues moindres que - : donc le

modulodc leur somme sera moindre que s. La réciproque est évidente, car le module d'une imaginaire ne peut être très petit que si chacune de ses parties est très petite.

11 est clair aussi que, si une fonction est continue^ son ai gument et son module sont continus, et vice versa.

J IV. - Sur la représentation géométrique des imaginaires.

Une imaginaire .r+j>'\ — i ou x-\-}-i peut être repré- sentée par le point qui, par lapport à deux axes rectangulaires, fixes, a pour coordonnées x clj-; clvice versa, tout point de coordonnées x,y peut servir à représenter géomélriquemenl, riniaginaire :r +j)'\ — i. Caucliy appelle l'imaginaire

Vafjixe du point (x, y).

Quand nous dirons que le point .2" +j' y — i décrit une courbe C, il faudra entendre par là que le point (.z',j') qui a pour affixe rimaginaire x -\-y \j — i décrit celte courbe.

Posons

X'-yJ — 1 -: /• (cosO - y' isinO)

ou bien, ce qui rexicntau même,

a7:-;/'CosO, y -- r •s\\\^\ .

r et 0 seront le module et l'ai'gument <\^x -\- y y/ — i ; ce seront aussi les coordonnées polaires du point (x, ^)'); /'et 6 pour- rontcommexetr servir à représenter riniaginairejc-|- j'y/ — i . Ainsi une imaginaire pourra être représentée par une droite

s CIlAl'ITUE I.

("gale à son niodulo, faisant avec un axe fixe un angle égal à son argument. Lavanlage de ce mode de représentation résulte du théorème suivant:

La sonunr de plusieurs imai^iiiaires est représentée par la résultante (les droites qui représentent ces imaginaires.

En effet, soient

•^-^J\/— '' ar'-i-jV— i> x" -.- y" \/ — \ , ... des imaginaires;

{x-^x'-^ x"-^...')-^{y-\-y-\-y"~ ...)v/^

leur somme; x^y sont les projections sur les axes de coor- données de la droite /• qui représente x-\-y\/ — i, ...; donc X -^ x' -^ x' -^ . . . est la somme des projections des droites qui représentent les imaginaires en question sur Taxe des X : c'est la projection de leur résultante sur cet axe; y +y' -\-y' -\-. . . serait la projection de la même résultante sur l'axe des 7', ce qui démontre le théorème.

Corollaire. — Le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties.

j y. — Notions sur les infiniment petits. — Nouvelle définition

de la continuité.

Nous appellerons (^wd^nùlé in finiment petite on inji/ii/nent petit toute quantité variable a^^ant pour limite zéro.

Nous appellerons quantité infinie toute quantité variable que l'on pourra prendre plus grande que toute quantité donnée.

Nous avons souligné à dessein le mot variable. Il n'y a pas de quantité fixe infinie ou infiniment petite; zéro n'est pas infiniment petit, parce que zéro est fixe.

On Tait usage des mots que nous venons de définir pour

INTUODLCTION. 9

abréger le langage et pour siin[)lirier eerlaines lociilions. Par exemple :

l" On (lil que - est iiilini puur j: = o ou cpiand .r Icml

vers zéro : c'est une manière abrégée d'énoncer ce lait, f[ue - croît au delà de toute limite et peut être pris plus grand fpi'une quanlilé»donnée(]uelconf|ue quand .r s'approche de zéro sulfi-

samment. On dit aussi que - est infiniment grand quand x est infiniment petit.

2" On ilira que .f-, .r''. . . . sont infiniment petits en même temps ([ue .r, au lieu de dire que x-, x', . . . ont pour limile zéro quand x a lui-même pour limite zéro.

3' Il est absurde de dire que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini : deux droites parallèles ne se rencon- trent pas du tout. De pareilles locutions échappent parfois, je dirai même sont employées assez volontiers pour abréger le langage; nous les emploierons le plus tard possible et seule- ment quand le lecteur sera ("aniiliarisé avec la notion infini- tésimale. Voici maintenant à quel propos on peut dire que deux parallèles se rencontrent à linfini.

Je suppose que D soit une droite fixe; si autour d'un point A pris en dehors de D on fait tourner une droite D' de manière à lui faire faire avec D un angle a de plus en plus petit, le point d'intersection de D et D' s'éloignera indéfini- ment du point A; sa distance au point A est donc infime quand Van^ile a est infiniment petit.

On dit alors que les deux droites devenues parallèles se rencontrent à Vinfini.

En acceptant les définitions que nous venons de d(jnner, on peut dire qu'une fonction continue est une lonctioii qui prend toujours un accroissement infiniment petit quand on donne à sa variable un accroissement infiniment petit quel- conque.

Cette nouvelle définition a seulement sur celle que nous avons donnée plus haut l'avantage de la concision; mais d ne (aut pas oublier, pour l'exactitude, de dire que l'accroisse-

I() CM API THE I. — IMKOmrriON.

mcnl (le la variable csL un iiiliniincnl pclil (|iielc»)nquc : ce (iiii vont dire que raccroisscment de la lonetion tend vers zéro, de rjurhjnr nuinièrc que Ton lasse tendre vers zéro raccroissemenl correspondanl de la ^ariable.

Ces définilions conviennent aux quantités imai;inaires eoniine aux quanlilés réelles; disons seulement qu'nne (juan- lilé imaj;inaire est inlinie quand son module est infini et (iirelle esi infiniment pelile quand son module est infiniment |ielil.

Rappelons, en terminant celle Introduction, un principe sur lequel nous avons fn'quemmenl l'occasion de nous appuver.

Lorscjirane rj un utile eafiablc croît, sans dépasser une tjuantité fixe, elle a une limite égale ou inférieure à celte quantité yixe.

Quand une quantité vari(/ble décroît, sans de^'cnir infé- rieure à une quantité fixe, elle a une. limite égale ou supérieure et cette quctntité fixe.

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES.

CHAPITRE 11.

TIIÉORII^ Or'XKRALE DES SÉRIES.

J 1. — Définitions.

On appelle série une siiilo illimilé*^ fie termes qui se (or- menl cl se suivent daprès une loi (l('termin''e. ()ii appelle encore les séries suites infinies.

Une série est convergente quand l,i soinnic de ses // pre- jniers ternies tend vers une limite déterminée, lorsque n augmente indéfiniment, en suivant du reste une loi quel- conque; cette limite est ce que Ton appelle la valeui- de l;i série ou la somme de ses termes.

Une série qui n'est pas convergente est appelée di\ergenle . La série

( ao — 2] ) -- ( Xj — ao ) — ( 22 — 2j j - - ( 'J-i — '^; ; — ...--( a..,_i — a,., ) —

dans laquelle a„ désigtie un nombre qui a pour limite zéro, lorsque n augmente indéfiniment, est convergente, car la somme de ses n premiers termes est 7-0 — a„. et cette quan- tité a pour limite a,, pour u z= zc . Au contraire, la série

-^ I — I - I — 1 - - I — ... 1 - I - ...

est divergente, car la somme de ses n premiers termes est alternativement zéro et i ; elle ne tend par conséquent pas vers une limite déterminée lorsque n croît d'une manière quelconque.

On comprend difficilement comment dillustres analvsles ont pu écrire des formules telles que

(A; ^1 _,_:_,_,__... = 1

\?. en API TUE II.

(Leibmtz, Lettre à Christian Wolff. — Euler, liistitu- tiones Calculi diffcrentialis et integralis, Pars poslerior, Cap. I, etc.).

Une srric divergente ne saurait représenter -• En efTet,

(pielle idée peut-on se faire d'une somme composée d'un nond)re illimité de parties? En toute rigueur, on n'a pas même le droit < lé e rire

(i) ao = (ao — a,)~(ai — ao)^- . .. H-(a„ — a„+,)— . . .

lorsque a„ tend vers zéro, c'est-à-dire lorsque la série est convergente. On le fait cependant, mais seulement en vertu d'une convention qui consiste à séparer une série conver- gente de la limite vers laquelle tend la somme de ses termes par le signe =. Ainsi la formule ( i ) est une manière abrégée d'écrire

ai, = lim[(ao— aj)-^- . . . — (a„ — 'Xn^i 'J P'-'ur /i = x .

La formule (A) est donc absurde, puisque la limite de la somme de ses n premiers termes n'existe pas : cette limite

n'est donc pas égale à -•

i II. — Théorèmes sur la convergence.

TnÉoniiME I. — Pour qu'une sé)-ie soit convergente, it faut que ses termes diminuent indéfiniment jusqu'à zéro.

En effet, soit la série

»o — "i — l'i ~- «3 — • . • -^ «« -

Soit, en général, s,i la somme des /* premiers termes; on a

( I ) 5„-ui — S,i = Un.

Si l'on suppose la série proposée convergente et si l'on désigne sa valeur {)ar 5, on aura

lim.ç,,^, = -s I i m Su = s ;

TIlfiORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. l3

donc

liin5„H_, — liiii5„ — \'\m{s,i^\ — *«) = o.

Donc, en vcrlii de ( i ),

iiin u,, ^= o.

Remarque 1. — La dénionslralion que nous venons d'cm- plover, comme du reste toules celles que nous emploierons dans lexposilion de ces principes, est basée sur le calcul des limites; elle précise le sens que nous devons attribuera la locution diminuer indéfiniment. Quand nous disons que Un doit diminuer indéfiniment, nous devons entendre par là que cette quantité, réelle ou imaginaire;, doit avoir zéro pour limite, rien de plus : ainsi u,i peut tendre comme on veut vers zéro ; il n'est nullement nécessaire, par exemple, que l'on ait

Un ^ • "rt-i-l 1 Uii^i 1-- ....

Remarque II. — ■ On aurait également pu écrire les équa- tions suivantes :

liiii5„^y, :^ s.

liiiis,,, = s; d'où, retranchant la deuxième de la première,

liai Un - ■ Un^l — «rt-H2 - • • . — Un^p-i = O .

ce qui conduit à ce résultat :

Puur qii une série soil convergente, il faut que lu somme des p termes qui suivent le n'^"^" ait pour limite zéro quand n augmente indéfiniment, quel que soit du reste p.

Remarque III. — Il existe des séries dans lesquelles u„ peut tendre vers zéro sans que la série à laquelle appartient ce terme soit convergente; l)ar exemple, considérons la série suivante, appelée série harmonique :

' ' ' ' ' ^ _

I 1 CII.V IMTUi: II.

II est lacilo do s'assiiror (|uo celle série est divcrj^ente, car, si Ton prciul // Icrincs opiès le //"""", la somme

esl plus grande «luo — répelé // lois, c'esl-à-dire (iiie-- Si tlonc t)ii ;;roii[)e les lennes de la série liariii()iii(|iie ainsi (jii il suit :

i. a ,1

I I

Il - I II - \>.

on voit (|iie la somme de ses in premiers lermes est plus i;rande (pie - répélé autant de lois que Ton \ eul. En prenant n sulïisanunent i;rand, la somme de ces m premiers lermes croît donc au delà de toute limite; donc la série est diver- gente, c. Q. F. D.

Il arrive souvent que l'on rend une série convergente par un simj)le changement des signes de quelques-uns de ses lermes. Ainsi la série

III I I ,

wi 3 î II "' Il -,- i

est convergenle. En général :

Théoiièaie n. — Si dans une série les termes sont, à par- tir (le l'un d'eux, indéjiniinent décroissants jiistju' à zéro et alternativement positifs et négatifs, cette série est con- vergente.

En efTet, considérons la série

Ml -r- «2 ■ • • • Il II ''« + 1 - - ll/t-h-l ... : - 11,1^/,.— Un+p+i m . . . ,

dans laquelle les termes sont indéfiniment décroissants et altcrnalivement positifs et négatifs à partir de u,i.

Appelons, en général, S„i la somme des /n premiers termes de la série. Si nous remarquons que les lermes \ont con- stamment en diminuanl, les (jiianlilés

"'/ ''/J+l) U,iJ--2 «,iH_3, • • -, Uii-hiii — l-l'n<r1i> + \

TIIÉORIK (if;.Nf- KAI.K DES SÉIUES. |5

seront loulcs posili\cs, cl, par ci)ii>L'([uent,

( I ) ^ii-^l -'^ «3/1-1-3 ■ - ^/l-f-5 ■ ^ • • • - ^«-t-2/>t-l • • • ^

les quantités — ««+i -r //«+-, .-.. — t',i+2p \-"„-i.jp-, ••• seront toutes né<jati\es, et, par suite,

( "i) ^n-i-î ^ S/j-i-i ^ S/j+G ]> . . . ^ ^H+2i> , • ■ • •

Or

Uonc S«^2/> est plus grand que S/,^_oy,_,, et, à cause de la suite d'inégalités (i), plus grand que S„^|. Ainsi donc une somme quelconque comprise dans la suite S„^2, S,/+^, 5«+(j est plus grande que S«^, ; il en résulte (|ue ces sommes, allant constamment en décroissant et restant supérieures à S„^i, (|ui est (i\e, ont une limite S. Or on a

Faisons croître /y intléiinuncnl ; le premier jiicuiLre de cette égalité a pour limite S, car au^-2p+\ ^ pour limite zéro; donc S„^2p+\ a pour limite S également; donc, de quelque manière que croisse l'entier w^, S„i a une limite, ce qui revient à dire ([ue la série proposée est convergente.

CoioLlaire. — On \oit que, la valeur de la série étant comprise entre S,, et S„^i, l'erreur commise en prenant S pour \aleur de la série est moindre en \aleiir absolue qu<;

1 nÉOKÈME IIJ. — Quand une série à termes positifs <i ses termes respeetivemeiit plus petits que ceux cV une autre série également à termes positifs, et de plus convergente, la première série est aussi convergente.

Soient, en eflet,

( I ) s =^ Uq — Ui — U-2 -^ . ■ . -T- u,i-- . . .

la série convergente donnée (on représente ordinairement une série convergente en séparant la somme d'un certain

l(') CIIAIMTRK II.

nt)inl)re do termes ilc su valeur par le siyne := el en snppri- inanl le mot Uni) et

( ■>. ) i'o -~ ï'i -(- (S -+-••• -^- t'/j -t- •• •

Taiilie sérii^ Soient s„ la somme des n premiers termes de la série (i), /« la somme des ii j)remiers de la série (2); comme l'o < ''0? ^'i < '/i <'// < ifin on a évidemmenl

'il -^ ^n »

donc, a fortiori,

ta < S.

Or, n croissant, tn croît, mais t,i reste constamment inférieur à .v; donc, en vertu d'un principe énoncé page 10, t,, a une limite; donc la série (2) est convergente. c. q. f. d.

Tutouii.ME 1\ . — Une série à ternies positifs et négatifs est convergente lorsque la série des valeurs absolues de ses termes est convergente.

Eu efTel, considérons à part les séries des termes positifs et des termes négatifs pris dans l'ordre dans lequel ils se succèdent dans la série proposée.

Soient ( I ) a^ -~ a^ — a-i ~r . . . -^ ai ~- . . .

la série des termes positifs et

(2) h^ — hy-~ ... ~hu-\- ■ ■■

celle des termes négatifs pris chacun en valeur absolue.

Soient Xi la somme des- i premiers termes de la série (i), Jk^^ somme des /.- premiers termes de la série (2), et s,i la somme des n premiers termes de la série proposée. Nous pouvons toujours supposer que «o, a^, . . . .^cii soient les termes positifs de s,i, et 60, bi, . . . , b^ les termes négatifs; alors on a, en appelant s\^ la somme des n premiers termes de la série proposée rendus positif»,

(3) s„=Xi—y,.,

( 4 ) Sn= Xi —yi, .

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. Ij

L'éfjualion (3) mon Ire que a'^^ est plus yraiid que X/ct quc^'^. ilonc, (f fortiori, la liiiille de s\^, qui par livpolliùse existe, est supérieure à Xi el à vj^. Or Xi etjA- sont des nombres crois- sant avec / et Â", mais constamment inférieurs à la limite de Sn\ donc ils ont une limite chacun, donc les séries (i) et (2) sont convergentes. L'équation (4) montre que s,i a une limite égale à la dili'érence des limites de .r, et j';;-, c'est-à-dire que la série proposée est con\ergente et a une valeur égale à la dillcrence des Naleurs des séries de ses termes posilils et de ses termes négatifs.

TnÉoui^ME \ . — Quand une série ne perd pas sa. conver- gence lorsque l'on rend tous ses ternies positifs, on peut, sans altérer sa valeur, intei^'ertir l'ordre de ses ternies.

En elTet, considérons d'abord une série convergente à termes positifs :

(1) s = Uq— Ul-^ U-x-v- . . . -r- U„l-T- . . . .

Intervertissons 1 ordre de ses termes, et soit

(a) fo-r- t^i— . . . ~ t'«

la nouvelle série obtenue après ce changement. Soient s\^ la somme des n premiers termes de la série (2), Sm la somme des ni premiers termes de la série proposée; on pourra tou- jours choisir ni de telle sorte que tous les termes de s'^ soient contenus dans les m [)remiers termes de la série ( i ). On aura

alors

s'u'Lsm et s'n<^\\ms„i ou < *.

Nous voyons par là :

i" Que la série (2) est convergente, puisque i-)^ ci^oît avec n sans dépasser s;

2° Que la valeur 5'= limi'^^ de la série (2) ne saurait sur- passer s. Or on démontrerait de la même manière que la valeurs de la série (i) ne saurait surpasser i'; donc on doit avoir-

s = s' ,

donc la série (1) n*a pas changé de valeur. c. q. f. d.

L. — Traité d'Analyse, I. ^

i8 ciivi'iTin: II.

Supposons aclucllcmcnl la série

(l) s = Uo-r- Ui-- Uî^ . .. -^ II.:— ..

à termes quelconques. Soient

(3) ao -+-«1 -f- a2 -f- . .. -!-a,--T- . . .

la série de ses termes positifs jnis dans le même ordre que dans la série ( i ),

(4) bo — bi-\-...-^b/,-}-...

la série de ses termes négatifs égalejnenl pris dans Tordre où ils se trouvent dans l'équation ( i ). Supjiosons que la série (i) conserve sa convergence quand on rend ses termes positifs. Les séries (3) et (4) sont convergentes, cl, si jc elr désignent les valeurs respectives de ces séries, on a

(5) s = .r — v.

Cela pose, changeons Tordre des termes de la sjrie (i); la série de ses termes positifs sera encore la série (3), à Tordre des termes près. Or cette série est à termes positifs; donc elle conserve sa valeur. Même observation pour la série des termes négatifs et pour la série des valeurs absolues des termes de la série (i V 11 en résulte, d'après le théorème I\ , que la valeur de la série ( i ) transformée est encore x — j' ; donc la série (i) ne change pas de valeur quand oij change Tordre de ses termes. c. q. r. u.

Remarque. — Toute cette démonstration repose sur Téga- lité (5); donc, lorsque x ou )• n'existeront pas, c'est-à-dire quand, dans la série proposée, les termes positifs et négatifs ne formeront pas des séries convergentes, la démonstration précédente tombera en défaut. 11 est facile, du reste, de donner un exemple dans lequel on voit une série changer de valeur (juand on change Tordre de ses termes.

Considérons, par exemple, la série convergente

.L _ 1 _ .' _ ^ -i- i 4- ^1 — _L_dr.... ' ' ^ 1 VI 0 4 ' 5 * ■ ' /t "^ « -H 1

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES.

'9

Remarquons que la série des valeurs absolues de ses lerines esl identi(|ue avec la série liarnionif[ue qui est diveriicntc.

En changeant sinipleuient Tordre des lerines, on a la nouvelle série

, . _ 1 _ 1 _ 1 _ ' _ ' ^ l f L

2 4-^ tî 8'"'2n — I 4 « — 2 :\n~ '"'

Je dis que la valeur de cette série esl la moitié de la valeur de la série (i). En efTet, soit

., . I I I I I I I I

■i. 4 3 G 8 ' '2/1 — I 4 '< — 2 4/1

La valeur de la nouvelle série est la limite dc/(/i) pour /? := x ; or on peut écrire

/<«)=■-■

ou encore

/(") = ;(

I I	I I
"" 6 ~ 8 ^	4 'i "~ 2 4 "
I I	' \
2 3	2 /< — I '2 /l /

Pour /7 = ce , la quantité entre crochets tend vers la valeur de la série ( i) : ainsi la limite de/(/i) ou la valeur de la série (2) est la moitié de la valeur de la série (i); il est donc bien prouvé que l'on n'a pas toujours le droit de changer l'ordre des termes d'une série.

Jusqu'ici nous n'avons guère parlé que de séries à termes réels; mais on l'ait un fréquent usage en Analyse de séries à termes imaginaires.

Une série à termes imaginaires peut se mettre sous la forme

, i ( f^, — f 0 V^ — I ) — ( «1 -i- 1^1 \/ — 1 )

Celle série sera convergente si les deux séries (2) Uti -r- Ui -{- U2 -i- ■ ■ . — u„ -;-...,

(3 ) Vo— Vl -■- Vi -7- . . . — Va — . . . ,

formées des parties réelles et des coefficients de ^ — i dans tous ses termes, sont toutes deux convergentes.

20 t: n V r n II E 1 1 .

En cfTet, soient 5„ la somnu^ des n premiers termes de la série ( i ), a-/, elT,, les sommes des n premiers termes des séries (a) et (3); on a

Sa = <^n -^'n /— ^•

En j-iassanl aux limites et en désignant par 7 et t les valeurs des séries (2) et (4), on voit (]ue

1 i m s,-, ^ 7 — T v^ — 1 ;

donc la série (i) est convergente. c. q. r. n.

Rf.marque. — Il est clair que, si l'une des séries (2) ou (3) eût été divergente, la série ( i ) l'eût été pareillement.

ThéokLmeM. — Dans une série à termes imaginaires, si la série des modules des différents termes est com'er- i^ente, cette série est elle-même convergente et l'on peut, .'■.ans altérer sa convergence, intervertir V ordre des termes.

En effet, considérons la série (i). Les séries de ses termes réels et des coefficients de \ — 1 sont convergentes indépen- damment des signes de leurs termes, car ceux-ci sont i-espec- livcment plus petits que ceux de la série des modules qui est à termes positifs. On peut donc changer l'ordre des termes (le ces séries sans en altérer la valeur, ce qui revient à dire (jue Ion peut changer l'ordre des termes de la série proposée elle-même. c. q. f. d.

Une série qui ne perd pas sa convergence quand on réduit -es termes à leurs modules, et dont on peut altérer l'ordre lies termes sans changer sa valeur, est dite absolument con- vergente.

J III. — Régies de convergence.

On connaît un grand nombre de règles permettant de leconnaître si une série donnée est convergente ; mais un petit nombre de caractères suffisent dans la [ilupart des cas, et nous allons les faire connaître.

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 9.1

Théorème I. — Toute progression géométrique diMiL lu raison est un nombre réelou imaginaire de module moindre que I est une série convergente.

En cfTcl, une telle progression peut se mettre sous la forme

( I ) a - a.r — ax- — ... - - a j"" ....

Or, cpiel que soit x^ la somme des n — i premiers termes est

égale à

Si le module de x est moindre que i, j:""*"' tend vers zéro, et la somme des n premiers termes tend vers la limite finie

pour/? = GO . La série (i) est donc convergente, ce qu'il

fallait démontrer, et l'on a

^= a -r- ax — ax- -;-... -f- ax" --

Si Ton remplace x par ^ en supposant mod - <^ i , on a

^= a — a

a — z

et, en faisant a = -■>

I ;: z- a a- a*

cette formule, qui nous sera utile plus tard, a lieu pour toutes les valeurs de z et de a, telles que rtiodc <r mod a.

TuÉontME II. — Si, dans une série à termes positifs ( I ) uy~ u-i-'. . . — U;, -i- u„+^ ---...,

le rapport -^^ d^ un terme au précédent tend vers une

limite inférieure à l'unité ou reste constamment inférieur à un nombre 'xflxe moindre que i, cette série est com'er- gente.

Observons tout d'abord que, la limite de -^ étantmoindrc

22 CHAPITRE II.

(|iie ruiilli', -— Iniiin. |)()ur dos valeurs sulfisanimciil j;ranc]es de II, par dillérerde sa liniile de moins que celle liniile ne difTère de limité et, par siiile, ""^' finira par rcsler moindre

lin

qu'un nombre a fixe, moindre lui-même que l'unité; ainsi nous n'avons besoin de démontrer le lliéorcme (pic pour le cas où Ton a, pour ti suffisamment j^rand,

Un

de là on lire

lln+\ < 2e<„, et de même

lln+1' ^ ïW/i+1, lln+3 , ^"«+2; • ■ • •

On lire de ces formules

La série considérée a donc ses termes respeclivemcnl moindres que les termes de la progression géomélrique

a Un -f- ^2 Un -f- a' Un --...,

dont la raison a est moindre que i et qui, par suite, est con- vergente; la série proposée elle-même est donc convergente.

Corollaire. — Si dans une série à termes quelconques la limite du rapport d'un terme au précédent a un module moindre que V unité, ou si le rapport d'un terme au pré- cédent conserve un module moindre quun nomO/e y.Jixe moindre que i , cette série est convergente.

Car la série ("orméc des modules de ses termes est conver- gente, en vertu du théorème précédent (p. 21).

Remarqi e I. — Si le rapport — ^^ tendait ve/s une limite

Un

supérieure à l'unité ou restait, à partir d'un certain terme, supérieur à l'unité, la série serait divergente , car les /.ermes iraient en augmentant.

T il 1 1) u 1 1: (i f- N i; it \ 1. 1: u !•: s s k u 1 1; s . 23

UrMARQur, II. — Si la liniilc —^^' rlail l'iiiiilt;, —^^' n'étant

pas constamment snprriciir à i, on ne pourrait [)liis rien affir- mor relativemcnlàla convergence de la série, et ilfaiidrait avoir recours à d'autres caractères pour dt'cider si la série proposée est convergente ou divergente.

Remarque III. — Il est facile d'évaluer une limite de l'erreur commise quand, pour calculer la valeur de la série (i), on se hornc à faire la somme des /^ premiers termes, I^ effet, cette erreur est

or i/,i+\ <C "•'■ff/i, f'ii-2<C '^■' ff/i d'après ce que l'on a vu :

donc l'erreur est moindre que la valeur de la progression

a u,i -- a2 11,1 -^ 2^ Un -- . . • OU que

Théorème III. — Si Von a deux séries à termes positifs, l'une convergente

(i) s = cio -^ ai -^ a.2 -^ . . . - a„ -r- a„+i -^ . . .

et l'autre

(■>.) fjt)~ bi — . . . -.-b,t — b„^i -•-

telle que le rapport cV un terme précédent -j^ soit con- stamment inférieur au rapport correspondant — ^^ dans la première, cette dernière est convergente.

En effet, la série (i) étant convergente, la suivante le sera

aussi ( ' ) :

, bo bo b(, ^0

^0 "i «1-1 a^--- . . . a,i ". (iii-\-i -;-....

«J «il «0 «0

(') Si l'on (•[)rouvait quelques doutes à cet éganl, ils seraient levés par le théorème II du paragraidic suivant, llicorème (jui pourrait trouver sa place ici.

24 CIIAPITUK IT.

Celle série peul s't'crire ainsi :

Ci\ h b — -^ b — — • -^b ^" ""~^ ... — •

"~^ '^ c^^, ' "«1^0 ••• ' "«„_, a„_2 «2

Mais la série (2) peut se mettre sous la l'orme

bi . bi bi b„ b„^j bx , bo-^Oo-j bo-, -. ... - - b„ - ... — -!

or celle série a, en vertu de notre hypothèse, ses termes res- pectivement moindres que ceux de la série (3), qui est con- vergente; donc la série (2) est elle-même convergente.

c. Q. F. n. Il est facile de déduire de là le théorème précédenl.

Ïhéouème IV. — La série

^^' i/' ' i'^ ' V^ n'^ "^ (n-f- i/^- ■ ■■■

est convergente ou divergente selon que kest plus grand ou plus petit que i .

En effet, supposons d'abord A' plus grand que i ; la série précédente peut s'écrire, en groupant les termes (ce qui n'altère pas la convergence ou la divergence de la série, puis- qu'elle a ses termes positifs), de la manière suivante :

\ i'' 2/' ' V3^ 4^7 ' ■•*

Si l'on suppose /<\> i, le terme général de la nouvelle série est moindre que -^.répété 1" fois, c'est-à-dire moindre que — -, — -: les termes de cette série sont donc moindres que ceux de la progression géométrique décroissante

■4-

elle est par conséquent convergente.

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 2.j

Si au contraire /«• << i, alors la série (2) a ses Icrines plus grands respectivement que ceux de la série harmonique; elle est donc divergente dans ce cas.

Dans la série (i), le rapport d'un terme au précédent est de la forme

I I

{n -T- !/•• * /;''•■ ( I

/i

si A" est plus grand ([ue i, cette quantité est évidemment

moindre que y On peut donc énoncer le théorème sui-

I H — n

vaut (') :

THKORÈME^ . — Si dans une série le rapport d'un terme au précédent, ayant pour limite V unité, peut se mettre

sous la forme — —^i et si ny. tend vers une limite k plus

grande que i, cette série sera convergente.

Les règles de convergence que nous venons de donner suf- fîsentdanslaplupartdescas ; nous donnerons dans les exercices quelques règles nouvelles, en laissant au lecteur le soin de les démontrer.

Applications. — 1° Cherchons si la série

3 5 „ «- ^ I

i-T- -X X- -^ .. .- j:"-' -•-...

3 10 «--i-i

est convergente. On a ici, pour l'expression du rapport d'un terme au précédent,

(n -4-1)^ — 1 n"- -" I ( yi -+- I )2 -^ I n- — I

pour /i = ce , la limite de cette expression est x. Donc la série est convergente si mod^c << i , divergente si modj? > i ; enfin, si modj: = i, elle est encore divergente, parce que les

(') Raabe et Duhamel l'ont trouve à peu près en même temps.

9.G cir.vpiTiu: ii.

modules dos termes oui pour liuiiic i et par suilc ne tendent

|>as vers /.éro.

2" Cherchons si h\ sérl/'

II I

3> ' 6 Il- Il

est convergente. Le rapport d'un terme au prreédenl a pour

expression générale

Cette expression peut s'écrire

expression générale > dont la limite est i

^ ^ (/i-r- 1;- (^/i-4- 1;

. " — '^ /

V.n multipliant—-^ par /?, on obtient une quantité dont la

^ II- —- Il '^ '

limite, pour n ^^ go , est 2. Donc la série est convergente.

IV. — Des calculs que l'on peut effectuer sur les séries.

ThûgrIcme I. — Si Von considère les séries conver- ge nt es

A : - «0 -i- «1 -^ • • • -+- «// "••■■,

C — c -•- Cl -i- ... -h r„ -!-... ,

la série cirant pour ternie général

Un T= a.,1 ZJZ 0,1 ZzZ C,i 7 7...

est convergente et a pour' valeur A Hz B ±: C d= Ku elTet. on a

V",,,. v"„.^y",,^y

■^"■ll ^^,\ ^^n •«»■

Si Ton suppose que n augmente indéfiniment, on voit que y u di une limite ('gale à ± A rh B dr C ± . . . , ce qui démontre le tln'orème énoncé.

Tllf:ORIE GÉNl'UALE DES SftniES. O.-

Théorème II. — Si la série

s r- U^ -1- », .- . . . ^ »„ _. . .

est com'ergente et a pour valeur s,

a «0 -'-- (^ "i -i- • • . '-a u,i -^ . . . sera, convergente et aura pour valeur as. En cfTcl,

Donc, si n augmente indéfiniment, 2_, {mi) a une limite égale il a lim 7 u ou à as. c. o. f. d.

Théorî:me III. — Si la série

s — «0 -'■- "1 -'- u-z ~.- . . . -h Un -T- . .

est convergente et a tous ses ternies positifs, si de plus ao, fl,, .. . , a,i, . . . sont des nombres positifs qui ne crois- sent pas au delà de toute limite,

a(, Ko -.- «1 Ui -i- «2 "2 -: • • • «sr,, Un — ...

sera convergente.

En cfTel, en désignant par A un nombre plus grand que <7|, «2, . . . , ci,i, . . . , cette série a ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente

A 5 = A «0 -^ A «1 ~ . . . -r- A K/i -i- . . . ,

qui est aussi à termes positiis.

Abel a démontré que le théorème précédent était encore vrai pour une série convergente quelconque si les nombres a^^, <7,, ...,«2» ••• allaient constamment en décroissant; en elTet, dans cette hypothèse, en posant

( I ) «0 -^ «1 -^ • • . — «« = s,„

(2) ao"o -^ «1 Mi -Î-. . .-- «««,j = t,t,

on a les relations suivantes :

U<i = «oj ''l = •Si — ^o, • • • , Un ^= Sn — S/t- j , . . . ,

28 CM AI' nui; ii.

cl par const'qiiont. on poitiinl ces valeurs dans l\'(|nalion (;>),

tn = OoSt) -r- cil (Sj ^o ^ •-...-!- tt,, {s,,-- S„-i),

ce que l'on peut écrire ainsi :

(3) /,, =(«0 — «l)5o '(Ol — «2)5l -^... f-rt,,s,.,.

Dans cette égalité, les coefficients de .s,,, .f,, ... sont tous positifs, car a^, rt,, .. . vont en décroissant; mais, si 0 désigne une moyenne entre les quantités 5o, s^, . . . , s,i, on aura

^, — 0[(r7o - «i) — («1 — «2)--. .. -H-a/»] = «oO.

Or, 71 augmentant indéfiniment, H conserve une valeur finie; donc //^ conserve une valeur finie. Supposons alors .Çq, s'i, • • • , Sn, • • • positifs (s'il n'en était pas ainsi, on augmenterait convenablement u^)', t„ croît, en vertu de l'équation (3), avec /?, sans devenir infini : il a donc une limite; par suite, la sériera) est convergente. c. q. f. n.

TnÉ0Tii:Mr- IV. — Si les séries

( I ) s — Uo - - «i -- «2 - ... — u,t

(2) t = Vo—Vi — v-x-^- . . . -v,i-~...

sont absolument com-er^^entes, c'est-à-dire si la série des modules de leurs termes est rDnverfiente (p. 20), la série dont le terme général est

est convergente et a pour valeur st.

1" Supposons d'abord les séries ( i ) et (2) à termes posi- tifs; nous aurons

(3) j —^0 ^-^. ^^0

( 1- K„(t'i -î- Vi -!-... -t- Vn)-

Considérons maintenant le produit V // > v. Le terme de ce produit dans lequel la somme des indices est la plus

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 29

i;raiulc csl 1 m . Si donc im csl moindre que n ~{- i , ou si m esl le plus j^iand entier contenu dans — — , tous les termes

de > « > e se trouvent compris dans > iv. On a donc

2" ^ v'" v'"

Or, en vertu de régalitc (3),

> w <i ^ « > V.

Mais, si Ton suppose (pie ni et n augmentent indéfinimenl, 7 « > e et > U7 e tendront tous deux, vers st. Alors

^ 4\', (pu reste compris constamment entre ces deux pro-

duits, tendra aussi vers la limite st. Le tli(}or(jme qui nous occupe est donc démontré pour le cas où les séries (i) et (2) sont à termes positifs.

2° Supposons que les séries ( i ),(2) à termes réels ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes positifs. Considérons d'abord les termes des séries ( i) el (2) en valeur

absolue. Tout ce qui dans l'égalité (3) suit 7 (v a pour li-

mite ZL-ro, car >//><' et ^ w ont même limite, d ajîres

ce (jue nous venons de voir tout à l'heure. Il en sera encore de même «yb/'^/ori quand on aura rendu aux termes des séries ( I ) et (2) leurs signes respectifs. Par conséquent, si dans l'égalité (3) nous supposons que n augmente indéfiniment, il vient, en passant aux limites,

>• v"

st = Jim > ir,

ce qui démontre que le théorème est encore applicable dans le cas où les séries ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes positils.

3o cn.vrnitE ii.

3° Considérons enfin le cas où les séries (i) et (2) seraient à termes imaginaires. Nous supposerons les séries des modules de leurs termes convergentes, et nous poserons en général

u„ = p,i (cos T-n -i- \/— I sin a„), Vn = qn (<^os;3„ -f- V -- i sin^,,')-

Alors, en vertu de ce que nous avons démontré dans le pre- mier cas, la différence

> ^, X q—^ pq =^piqn —Pl{qn-i — qn)—-- ■

-+-/>« {qi~-qi — --- -^ qn)

aura pour limite z '-ro ; il en sera de même a forliori de la quantité

/),(cosai ~ v'— I sin a,)^„(cos a,j -i- </— 1 sina„)

— (/-ocos a2-^ V''— I sin a,) [^„_, (cos a„_i -r- /— i sina„_i)

~ q,i(cosx,t -f- /— I sina„)]

qui n'est autre chose que ^^i r- i- //^ (t^/,_, + T//) -f- — L'é- galité (3), en passant aux limites, lournira donc encore

st=y tv, et le théorème est encore ^ rai dans ce dernier

cas.

V. -- Sur un théorème de Cauchy.

Presque tous les théorèiiies que nous avons établis direc- tement sur les séries sont la conséquence immédiate du théorème suivant de Cauchv :

Pour qiï une série soit cornez-ge/itc, il faut et il suffit que la somme des p termes qui suivent le n'^'"^ tende vers zéro quand n et p augmentent indéfiniment, quelle que soit la manière dont on fait croître ces deux nombres.

Toute la démonstration que nous allons faire repose sur le

THÉORIE GÉNÉRA LE DES SÉRIES. 3l

sens que l'on alliibue àccs mois « quelle (juc soil la manière dont on fait eroîlre n et /> » ; nous allons l'expliquer. Soil

une série; nous a\oiis déjà prouvé que, si l'on appelle s,i la somme des n premiers lermes, s„j^p — ■ s,i lend vers zéro, quel que soil/>, quand n augmenle indéfiniment si la série est convergente; ce qu'il faut prouver, c'est que :

S'il est possible de trouver des nombres n et /> tels que, v étant su[)érieur ou égal à /^ — supérieur ou égal à /y, on ail. quels que soient d'ailleurs v cl —,

£ étant une quantité donnée fixe, aussi pelile que l'on voudra, la série est convergente.

La formule (i) revient à celle-ci

S.,+r.--S.^=r Os,

(•désignant une quantité de module moindre que i. Sup- posons £<^i;7:peut être pris assez gi-and pour que, quel que soil -', on ail de même

0' désignant une quantité de module moindre que i , t:'' pcul èlre pris assez grand pour que

et ainsi de suite. Ajoutons ces formules, nous aurons

La différence entre iv et la somme 5,^_^.__^ . d un nombre consécutif de termes de la série aussi grand que Ton veut es! donc représentée |)ar une série convergente 0; -4- ^)' t- -r- . . . , puiscpie les modules de ses lermes sont moindres que les lermes de la progression £ -4- s- 4- • . • , qni est convergente. Cela revient à dire que, en faisant croître l'indice n d'une certaine façon, la somme s,t lend vers une limite fixe s. Je

0 2 CHAPITRE II.

(lis que, de quelque manière (juc croisse cet indice, la limite sera toujours la même. En eflct, supposons n et n' assez grands; mod(5„- — 5„), par hypothèse, peut être rendu moindre (|uc £; en d'autres termes, on peut poser

or s,t a une limite s cl Ton peut j)0ser en même temps

Sn— s -^Wt, 0' ayant un module moindre que i ; donc

s,i' diffère donc de s d'aussi près que Ton veut : donc enfin la série proposée est convergente.

VI. — Séries uniformément convergentes. Une série

dont les difféx'ents termes sont fonctions de x., )', z, . . . est dite uniformément convergente entre des limites données de ces variables, s'il est possible de prendre n assez grand, mais fixe, de telle sorte que, quelles que soient les valeurs données à JC , y ^ z-, . . . entre les limites en question^ on ait toujours, quel que soit /),

i = .N

mod / Ui < £,

i—'S+p

z étant une quantité fixe quelconque et N désignant une quantité égale ou supérieure à n. La série

est unilormémcnt convergente pour les valeurs de x dont le /nodule est inférieur à a<^i ; car, pour rendre

THÉO un: génékali: ues séiuks. 33

il sulfil de prendre

mod

I — X

On salisfail à celle foriutde en prenant

a«-t-' Io';(t — aï)

<; î ou n ~ \ < i »

I — a \u'^%

ee qui délcrinine pour n une valeur indépendante de x. Au contraire, la série

x{e-^— 2e---^)-f- x{ïe--^ — le-"^-^ ) -t- . . .

^ xi^nc "-^ — /t-f-ie"'-^"-^)-- . ..

est convergente quel que soit x, puisque la somme de ses ii premiers termes est j:e~-^ — (/i + i)j:e~'"+'^-^,(|ui,pour/i = x, a pour limite xe~^ \ mais elle n'est pas uniformément conver- gente pour les valeurs de x voisines de zéro, puisque, pour satisfaire à la formule

xe-' — in-^x )jre-«-+-')-^< -, il iaudiait prendre

X

et (jue les valeurs de n susceptibles de satisfaire à cette inégalité dépendent de x et croissent quand x tend vers zéro.

VII. — Théorème d'Abel.

Théorème I. — Soient '.p,(x), 'jj.^ix), . . ., q„{x), . . . des Jonctions continues de x, pour toutes les valeu/s de celte variable contenues dans une aire A. Supposons fjue, pjour ces valeurs de x, la série

(\) F<>j= 'fii'j')— 'f2C^)" ... — o„Cx)— . ..

soit uniformément con<^ergente ; la valeur\\x)de la série sera continue pour toutes les valeurs de x en questio/i.

En effet, posons

Çi(-r) -^ '^,{x) -i- . . . -i- 'f„_i(jr) = •i(x), z,„(x)~ 'i„+i(^) — . .. = R(x); L. — Traite d'Anatjse, l. 3

o-i cil Al' nui: II.

on aura

et, en donnant à a* un accroissement//, tel que le poliil .r -f // soit, coniiiic .r. à rinli'ricur do l'aire d(> A,

I\.r -i- /i)= 'l^.r -i- /i )-.- l\{.r -~- h).

De ces formules, on lire

V{x-h /i) — V{t) = 'l{^x-^ /i) — 'l(x)-h R{T-^ h) — R{x):

or, la série (i) étant uniforinément convergente, on peut, (juel que soit :r, satisfaire à la formule

niod U(.r)< z

au moven d'une même valeur de n ; on aura donc aussi pour

cette valeur

modK(.r-i-/i)<£ et, par suite,

(2) mod[R(^^-/0 — R(J")]<2^-

n avant été ainsi choisi, on pourra, puisque 'y , , '^o, .... 'i„_, sont des fonctions continues en nombre limité et que, par suite, leur somme '}(-ï^) est continue, satisfaire à la Ibrmule

(3) mod['l{x-^h) — 'l(x)]<i,

pour toutes les valeurs de h dont le module sera inférieur à une quantité II. En observant que le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties et en ajoutant (2) et (3), on voit que l'on aura, pour toutes les valeurs de h suffisamment voisines de zéro,

mod[4'(a:-h h) — •\>{x)-\- R{x -~ h) — R{x)]<.'it ou

mod[F(3r-4-A) — F(^)]<3£;

or 3c est, comme t, une quantité aussi ])etite que l'on veut; donc la valeur F(x) de la série (i) est continue.

THÉor.i;ME II. — Toute série ordonnée suivant les puis- sances croissantes de x, telle rjue

(1) a^-r aix -\- aiX--\r- ...-{- anOc"-k- ... ^

TIlfiOHIE (Jfi.Nfill ALK 1) K S SlïlUKS. 35

d(ins laquelle </„, </(, a-^, . . . su/tt indépendanls de x^ est uniformément eonvevgente pour tous les points inté- rieurs à un e.erele déerit de l'origine comme centre ; elle est di\'ergente pour t<jus les j>oiiits extérieurs.

Ce cercle, donl le ravon j)eut èlre nul ou infini, a été appelé par Cauch}' le cercle de com'ergence de la série; son rayon est le rayon de convergence.

Pour démontrer ce théorème, désignons par po, pi, c^, ..., p,,, ... les modules de «o? «^i > (^i-, • • • ? f^m • ■ • etparrle module de x; supposons que, le module de x ayant une valeur 11, la série (i) soit convergente : je dis qu'elle sera encore conver- gente pour tout module r de x, tel que /'^K.

En elFet, la série

r r- /•«

' ~ ÏÏ ~ 1(2 ■ ■ ■ ' R^ ^ ■ • • '

progression géométrique dont la raison -r- est moindre que i,

est une série convergente, qui ne perd pas sa convergence quand on multiplie ses termes par po, pi R, poR-, . . ., nombres qui ne croissent pas indéfiniment, puisque ces quantités sont les modules des termes de la série (i), convergente par hy- pothèse pour une certaine valeur de /•, dont le module est R. La série

(2) Po -h pi /• -I- p2 ^- -f- . • • -+- Pn r" — . . .

est donc convergente; or c'est la série des modules des termes de (i) pour /-^R; cette série (i) est donc elle-même convergente j)our /"^R.

On démontrerait de même que, si la série (i) était diver- gente pour une valeur R du module /■ de x, elle serait encore divergente pour r^R. Si donc on donne à x des modules croissants, il arrivera un moment où la série cessera d'être convergente; tous les points intérieurs au cercle du ravon R décrit de l'origine comme centre rendront la série convergf.'utc ; tous les points extérieurs la rendront diver- gente, c. Q. F. D.

3(3 miviMTin: u.

Je dis mainlenant que la série est uniformément conver- <;cnte à rinléricur du cercle de convergence ou, plus cxacte- uicnl, à rinléricur d'un cercle de rayon R moindre que le raxon de convergence d'une (juanlilé fixe )., aussi pcllle que l'on voudra du reste.

En effet, on a

•fi +- 1 M

K" U''+^'

M désignant la plus grande des quantités p„R", p,/+i 11"+' , . . . , qui est finie d'après ce que nous avons déjà observé. Cette lormule donne successivement

-!'■

^^'.V^ r
'-ÏÏ
-m(^-'- \"	1
^'\ K )	/'"-'■

-H

On aura donc si l'on prend

La valeur de n que Ion déduit de là est indépendante de x; donc la série est bien uniformément convergente.

C. Q. F. D.

Théouème d'Abel. — Toute série ordonnée sin\-((nl les puissances croissantes de x représente une fonction con- tinue de X à V intérieur de son cercle de con^'crgence.

Une pareille série est, en effet, uniformément convergente à l'intérieur de son cercle de convergence.

Exemples. — i" La série

l -r- X -r- X- :- . . . - x" . . .

a pour ravon de convergence i ; elle représente une fonction

Tiii:(»uii: (if; NÉ II Al. F i)i:s sf;uiES. 87

conlimic niiand mo(J^'<^ 1, cl en cdoL elle csl éiralo à

a" La série

I

i.A.i.

(| ne non s ('•[Il (lierons plus loin, est converj^enle quel rjnc soil r,

car le rapport du in -— i)'""' terme an précédciil esl-> ipii

lend vers /.('ro fpiiind /? croît indérminient; le ravon de eonvei- l^encc est iiilini cl la fonction représentée par la série csl toujours continue. 3 ' La série

I -— ^ - I . '2 .r- - ... { .1.'}. . . n T" ....

toujours diveri;enie, excepté pour .r = o, a un rayon de con- vergence nul; elle ne représente rien.

VIII. — Théorème général sur les séries.

On sait que deux polynômes entiers en x, égaux quel que soit X, ont leurs coelTicients égaux; on peut généraliser ce théorème comme il suit :

Théorème. — Si Von o pour toutes les valeurs de x dont le module est moindre quhine quantité finie, ou même seu- lement pour les valeurs réelles de x moindres quune quantité finie,

(\) tto-^ UiT -^ a^T- -^ ... —a,iT" -^ ... = bo-\- biT -^ ...-^ b„T"-^...,

«0? f^i» • • • • ^U5 ^^1- • • • désignant des quantités indépen- dantes de X, on aura

ao=b^, «, = 6,, .... a„ = b„

En effet, si l'on fait x = o dans la formule (i), on trouve Go = ^0 j supprimant de part et d'autre «0 et 60, qui sont égaux, et divisant par x, on a

Oi -:- a^x -^ ajT--^ . . . = b, — b,T -^ bsX--- ....

38 CIIAIMIKE II.

Celle forniule a lieu pour les mêmes valeurs de x que (i), excepté peul-èlre pour x = o; mais, en verlu du ihéorème d'Abel, les deux membres sont roncli'ons continues de x; pour .r = o, elles convergent vers les limites a, et &,. Donc, comme ces deux membres restent toujours égaux, leurs iimiles r/, et />i sont égales. Suppriuiaut ^/, et bi de part et d'autre et divisant par .r, on a

d'où l'on conclura encore r/j = Z>o, et ainsi de suite.

IX. — Développement d'une fonction rationnelle en série.

Commençons par cherclier le développement d'une expres- sion de la forme ? m désiijnant un entier positif et a

et .c des quantités quelconques. Si le module de x est plus grand que celui de a, on a

T _ I a «- a

X — a X X- x^ ' '

n-i-l

En effet, le second membre de cette formule est une pro- gression géométrique décroissante dont le premier tenue

est - et la raison -; la limite de la somme de ses termes est

bien

ou

I

X

Cela posé, je dis que l'on a

(x — a)-'" = ! H — -+-

(x — a)

m(m -^ i). . .(m — n — i ) a"

I . 2 . 3 . . . /i

en d'autres termes, la formule du binôme s'applique encore au cas où l'exposant est négatif, pourvu que le module de a soit moindre que celui de x. l^^ur démontrer cette for-

Tiif;()Rii: (■fiNftUAi.i: des série?. 89

mule (a), nous allous M^-rificr que, si elle a lieu pour une valeur de m, elle aura encore lieu pour la valeur supérieure d'une unité, et, comme elle a lieu pour ni := i , elle sera géné- rale.

D'abord, je dis que le dernier membre de la formule (2) est une série convergente. En effet, l'expression du rapport diiii terme au précédent est

I a

X

(^-;:

]intir n = y- . cette ouantité tend vers - • Si donc mod - << i

11 X X

ou si mod a < modx, la série sera convergente. Nous suppo- serons donc mod<'/<<'iiodx;en multipliant le dernier membre de la formule (2) par x — a, il devient

x"i- i

/m \ a \m(ni — i) ml a-

Vm(m--\) . . .( m -^ n — il m( m-\-i). . .( m -^ n — 2)]

' L 1 . 2 . 3 . . . rt 1 . 2 ... /i — I J

ou

I m — in ( m — i ) ni a-

x"'-i I X'"-- l.i.

{m — \)ni . . .{ni-^ n — 2 )

I . 2 . 3 . . . /i J7'« «-i

(^ette quantité, par livpollièse, est é"ale à ——•, la

1 ' i .1 ' o { X ^ a j'"-'

formule (2) est donc démonti'ée.

La formule du binôme a donc encore lieu pour les valeurs entières et négatives de l'exposant.

Cela posé, considérons une fonction rationnelle de x\ on pourra la décomposi r en un polynôme entier E(j;) et en une

suite de fractions simples de la forme '- Si donc modj;

i (^x — «/"

est supérieur à chacune des quantités mod a, les fractions

A

; se développeront en série suivant les puissances

{x — a)'" ^ * ^

de - et la ionction rationnelle se développera elle-même de

4o ClI.Vl'ITli i: M.

celle façon, mais le développcmenL conlicnrJra des Icrmcs enlicrs en .r si le polynôme E(j") n'est pas nul.

Si le module de x n'est pas supérieur au module de toutes les quantités r/. on observera cpie, si mod ,r << modr/. on aura

1 _ ( — i)"' (X — <7/" ~( a — x)'>

/ i »? T ni (/;?-!) .r- \

\a"' 1 a'"-' 77Ûl rt'-'-^- •••y

et alors le développement de la fonction rationnelle aura lieu en une double série ordonnée suivant les puissances de x et de -•

X

Enfin, si le module de x est moindre que celui de toutes les quantités a, il est clair que la fonction rationnelle sera développable suivant les puissances croissantes de x seule- ment.

X. — Séries récurrentes.

On appelle séries réca/re/if es des séries ordonnées suivant les puissances d'une même variable et telles qu'il existe, à partir d'un certain moment, une même relation linéaire enlre les coefficients des divers termes consécutifs de la série; cette relation, ou plutôt les coefficients de cette relation, forment ce que l'on appelle Yéchelle de relation de la série.

Théorème. — Le développement cV une fraction ration- nelle est récurrent.

En effet, supposons le développement effectué suivant les puissances croissantes de la variable; le théorème, s'il est vrai dans ce cas, le sera encore dans le cas où le développe- ment aurait lieu suivant les puissances décroissantes, cai" un développement qui a lieu suivant les puissances décroissantes de la variable x peut être censé avoir lieu suivant les puis- sances croissantes de la variable -•

X

Considérons la fraction rationnelle "t^^ — > dans laquelle

TiitoRii: G(^:Nf;u Ai.K df.s sf-Kii:s. 4'

f(x) olF(x) désignonl des polvnùmcs ciilicrs en x; suppo- sons que y{-x) n'ait pas de racines nulles : cela ne nuit en rien

à la îrénéralilé, car '^-^ peul se mettre sous la forme suivante :

E{x) désignant un polvnùinc entier, si F(^) contient .r en liicleur; alors 'f(j") est de degré supérieur à/, (j") et ne con- tiendra plus jr en lacleur. Soient donc

/(t) — p^ -^piT - . . .^-p^^i.r'.>-\

et

V{x) les/>, les q et les a désignant des constantes. Si x est assez petit, la série (i), d'après ce que l'on a vu. sera convergente et l'un pourra obtenir r/o, ''/) ■ • • • soit par la nu' lliode des cocl- (icients indéterminés, soit par la division, dont les règles ont été précisément établies par la méthode des coefllcienls indé- terminés.

Nous emploierons la méthode des coefficients indéterminés et, chassant le dénominateur dans (i), puis remplaçant F(x) clf(x) par leurs expressions, nous aurons

Effectuons le produit indiqué et égalons de part et d'autre les coefficients de x", x, .r-, :c% .... nous aurons

p» = qo(ti)

P\ = q^ax — 7i«o.

Pt =q(>o.i — qitti-- q^a^.

4-2 riiAiMTiti: II.

Ces formules délermiiicnl successivemciil r/(,, a, , c/j, . . . ; la formule (3) est IV'clicUo de rclalion. On voit cjuc, si /^ > |J. — i , cette formule est une rclalion linéaire et hoinogcnc entre les coefficients de ji. + i termes consccntifs de la série.

Réciproquement, si la rclalion (3) a lien entre les termes

de la série

a t) - o i X -{- . . . -^ a„ X" — . . . .

supposée convergente, celle-ci est le dé\eloppemcnl d'une fonction rationnelle. En effet, l'équation (3) peut s'écrire

on a de même

a» .c"-i X"— l'-

Eu ajoutant toutes ces formules, on a

a„ X" = o

n — 1 «- U.

ou

V/« x"-^ x"-^J ^ ^«-'

-J^(a„j;«-i-rt„ i.r«-

on en conclut

P et Q désignant deux fonctions rationnelles de x. Donc :

Théorème II. — Toute série réciirrenle est le développe- ment d'une fonction rationnelle de x.

TllfORlK r, È M- Il A L K DES SflRIKS. .'|3

XI. — Théorème d'Eisenstein.

Soient ciij des entiers; posons

Xo = «00 -^ «01-^ -i- «02-^" --• • --^ oq<^^^,

et supposons que Tinconnue )■ de réqualion

( I) y" \,n -- j'«-' X,„_, -^. . .--jX, _ X, =. o

soit développable en série de la forme

il) 1- = 6io— 6iix— ^12^- — . . .-f- bu-r' — . . . ;

on aura

; y- = 620— biix — 622-r- -^. . . — biiXi-^. . ., <2) - j^ = 630 — 631-^-^ 632-z'-— ■••-^63,J",-4-...,

d'ailleurs

62/ = ^10^1/ - ^11 61/-1 — . ..— bi,bi„,

\ bu = 61062, — 6,1 62/-, — . . .— 6|, 620, (3)

/ bji= b^^bj^u ... -6j/6y_io,

Les valeurs (2) de^,jK". • • • étant portées dans l'équation (i), celle-ei doit être satisfaite identiquement. Ainsi, quel que soit .r,

(«/«o-^^/Hi-^ — • • • •( l>„,o^ b„iiX -^. . . )

-^ (cim-iO-^ <^m~ll^-^ ■ ■ ■ l(^'«-10-^ b„,-iiX-^ . ..)-;-.,,

-^ «00-1- aoix-^. . .= o; on doit donc avoir

(«/;io 6„îj-^ «//j-1 b„iQ)^^. . . - «m = o,

(4)

(5)

(Cl ml) b,n'^-^ . . . -f- Ct„ii^b,n(i ) -t- . . . -i- «o|J. = f'- ( («wo6m[l-vl — . . .-T-a,„[i6„,i ) - . . .-^ o = o,

/l'i CIlAlMTIli: II.

Fjivciiii (l(^S('f|nntions (3\ A^,serii ronclion de />,«, />,,, ... A,/ cl no conlicndra pas A, -^.i, ^i /^.i, . . . : donc ^a/scra fonc- tion des iiicnics quanlilcs el ne contiendra pas non plus Ai,/4-i ,

/'i,'+2

Les ;jL équations ('i) pourront donc servir à calculer

/>w f>\-2 />i[j.. Je suppose que ces nombres soient ration- nels, ainsi (pu; A,o, que Ton peut calculer directement : c'est la valeur de j' pour x = o.

La première équation (5) fournira ^iii+i 5 le coefficient de celle quantité ne pourra provenir que des termes

(6) f />iO'^ III. [J.>1 ~ - flin-\0^'iii \.\l.+ \ -^ • • • -- ^^lO^I.IJ. * !•

Oi\ en n'écrivant dans Ai,u.+ i' ^^j7u.+ m • • • T"C les termes con- tenant /j,^,j_^f, on a, en vertu de (3),

En poil.int CCS valeurs dans (6), on voit que celte expres- sion sera de la forme

1' désignant un polvnome entier en Z>io ù coefficients entiers et indépendant du nomljre >x. II résulte delà que b^,^l^^ sera de la forme

'-'i.;j.-i-i " .-; !

on aura de même

'>l.;A^-3=■ : p

/désignant une l'onction entière à coefficients entiers. Les seuls facteurs premios qui pourront entrer en dénominateur dans bw où /i\>'J., sont faciles à déterminer. P est un poly- nôme en A,o du degré m; en multipliant donc par la puis- sance m"™" du dénominateur de ^,0; on pourra mettre Ai,u.+ j sous la forme

T(bn, />,o, . . ., ^iij. I

^i,a+i = r.

TMÈOUIi: (JfiNÉRAI.E UES SÉHIKS. '|5

Il (Jcsigiianl un enlier et F une lonclion eiillère à cocffieienls entiers, ^j ,,,^2 sera de la forme

Ot

Supposons ^,0, 6(3, . . . réduits à leur plus simple expres- sion; les seuls facteurs premiers qui entrent dans le déno- minateur de 6|,[A-|-i seront ceux qui entrent dans les dénomi- nateurs de 6|o, 6|:i. . . . (que nous supposerons réduits à leur plus sim{)le expression) et dans R, il en sera de même de b^ 04.0, ^i,a-f-3- On a donc le théorème suivant :

Si Von considère une série

by^-^ hyX -~- b-iT- -^ . . .-T- bnX" -^ . . . .

dans laquelle b^J>^,h„, ... sont des fractions réduites à leur /dus simple expression, elle ne pourra pas être le dévelop- pement d'une raciney d'une équation algébrique en x et y à coefficients entiers si les dénominateurs de 60, 61, 6„, ... ne contiennent pas un nombre limité de facteurs premiers.

Ce beau théorème mettra en évidence le caractère trans- cendant d une foule de (unclions.

XII. — Développements en série de c", sin^- et cos/-.

Cherchons la limite de ( 1 -1- — j ([uand m croît indélîni-

nient en passant par des valeurs entières; la connaissance de celte limite nous sera utile dans un très grand nombre de cir- constances. On a

T ni (m — j ) T- ni 1 . 2 ni-

m( m — I ) ... I tn — /i -!- r ) x" i.i..'i. . .n m'

OU

/ / ^ V" — ■ ^ ( I \ ■■^-

, , ) V ^ '^i/ "'"^i^V m] i.x'^'"

\ V '"■ J \ "'/ \ '" J \.i..i...n

4G CM AI' nui: n.

or on sait que, a, ^i, y, . . . étant positifs, et tels que

a + [i + Y + . . . < I , on a

(i_a)(i — p)(i-Y) ... < i-(a+[3 + Y + ...); on peut donc écrire

(I — a)(i — P)... = i— G(a-l-p-4-...),

8 désignant un nombre compris entre o et i . Prenons a = — ? ° ^ //(

rj "i. 3

j z= — , V ^ — , , . . . nous aurons ' m ' //i

0,,_, étant un nombre compris entre o et i ; la lormulc (i) s'écrira alors

m I I 1 . 2 " I . '2 . 3 . . . /??

-I I + - OoH-.-.H ^ 0„_i-i-...H .

■2 «i L ' 1 . 2 . 3 . . . /i I . -jt . . . /n — 2 J

La suite écrite sur la première ligne tend vers la valeur de la série convergente

X- I 1,2

^ ' ' ■ '^ I . 2 . 3 . . . /i

quand m augmente indéfiniment. La suite écrite entre crochets il un module inférieur à la valeur de la série convergente

/• ;•-

I H h ■

1 1.2

où /■ est le module de x\ d'ailleurs -^ — tend vers zéro. On a

2 m

donc

en particulier.

liiu I H = e,

m.

Tiif:()Rii: (;f: NÉ 11 ALI' i)i;s stiiiKs. en appelant c la \aleiir de la série coiivcrycnlc

47

\ .i.Z. . . Il ' ■ ■ • '

t|iic l'on Irouxc éf;alc' à 2, 7 1 S28 1 8284 K)o4j. . • .

Je dis que ( i -• \ a eneore pour limite e quand m croîl

en passant par des valeurs quelconques. En effet, soient it (i n + I deux entiers comprenant m supposé positif ; on a

/ i\''+'^ / I

I 4-- :;■ I-. —

On peut écrire celte lormulc ainsi

,7:^/

les membres extrêmes ont pour limite e (piand ni = ce • donc

I 1 H 1 a aussi pom- liniilc e.

Enfin, en appelant /n un nombre négatif, il est facile de

vou-quela limite de ( i -1 1 est encore e quand m croîl

indéfiniment. En effet, posons m = — n, nous aurons

lim

li,u(.-i- ^.li.n -^)

lim ( 1 -) ) = lim ( 1

On a, en supposant x réel,

or rien n'empêche de poser '— = -; a croîtra indéfinimenl a\ec m cl l'on aura

= ,i,„[(,^i/]'=...

/|8 CIIAPirilK M.

Ainsi on a, cm vcrtude (2),

(3)

e^ = \-, i

I \. .1

1 . V. . i . . . /i

Supposons niainlenant x imaginaire cl reniplarons-lc par X H-J'v — ' ' ^" aura, en vertu de (2),

V~^

• \J — r \x -^y \/ — I )"

(4)lim( I

Calculons le premier membre; chereiionsdabord son module

liiii iiioil I -\ I = mil

= liiii ( I

itnx M- j- -4- y-

ni / in-

> /«.r+ ' '+J'-

■ini.r -^ .r- -!- y- , .«i.

, , . >./nx~>r- J--;- l'- on, en desiiinanL -. = — par a,

2"; ' + -I' +.1 ■

Cherchons maintenant son ari^ument; l'argument de

.r - y sj— 1

est compris entre son sinus et sa tangente, c'est-à-dire entre

m

y

\ \ mj m-

et

l'argument de \ \ compris entre

■jv/-

1 i m l'ois plus grand, sera

v/^.'-^^j'-^"^

et

TIIÉOUIK (JÉ.NÈRAI.E D K S SÉIUKS. 4q

qui lenclcnl Ions deux vers r pour m := oo . On a doiu; liiii(i-T- — — ) = e-^(co.S7-+-y/— I sinj),

c'est-à-diro. eu verlu de (/\),

-ri I • \ x — y<J—\ {-r—ys/ — i)'

•^ -^ "^ I 1.2

en jDartlculicr, si Ton prend x = o,

I . r\' — I T- r^J — I

cosj -^ \J — I sinj' = I -^•- ^— ■ • ■

I 1.2 1.2.3 ' '

et, en égalant les parties réelles et les coefficients de \l — i,

y- r'* •)'"'

\..). 1 .2.3. î 1.2.3.4.6.5

y >

I 1.2.3 1.2.0.1.3

Ces formules, toujours convergentes, donnent les développe- ments de cos K et sinj' en série.

XIII. — Généralisation de la fonction exponentielle et des fonctions circulaires.

La fonction définie par la série toujours convergente X T^ .r"

(I)

1 . 2 . 3 . . . y<

est égale à e-^ quand x est réel; il est tout naturel de la représenter par le symbole e^ quand x est imaginaire : c'est ce que nous ferons; nous aurons alors, en changeant x

en X +J\/— I ,

I 1.2

L. — Traite d'Analyse, I. 4

5o cn.vi'iTiti: ii.

si l'on compare colle formule avec la formule (3) du para- graphe précédent, on \oiL (jue

(2) e^-^y^-^ = e^{cosy -i- \/ — isinj);

de celle formule on peut déduire loutes les propriétés des exponentielles : ainsi, par exemple, on a

(>x+Y\-i ex'-t-y'^'-i = e-^(cosjK -^ /— 1 sinj')e-*^'(cos_7''-!- / — i sin_y') _ e-^-^^' cos{y -i-/' -4- / — I sinjK -i-J>''),

c'est-à-dire, quels que soient z et :;', On aurait de même

e~ ', e~ = <?-^- , ( e')

m — pinz

Les ibrmules démontrées au paragraphe précédent, pour le cas où X est réel,

(2) cos:r = i ■-. —-——...,

^ ' 1.2 I . 2 . i . 4

(3) i\nx = X

1.2.3 1.2.3.4.5 ' ' ' '

et qui sont toujours convergentes, peuvent également servir à définir cos.r et sinjc quand x est imaginaire. Multi- plions (3) par^/ — I et ajoutons avec (2) : nous aurons

/ . jrj — f ./■"- .r^\^ — r

co%x -\-^-r^ \ sxnx = 1-. h. . . ,

1 1.2 1.2.3

c'est-à-dire, en vertu de ( i ),

co«:r-t-y/ — i sin J- = e-^*-'.

En changeant x en — a:, on a

cosa: — y/ — I sina: = e~^'-^\ d où l'on lire

cos:ï' = , sinx = ^ •

TiiKnini: <;^;.\(^;it Ai.K des séries. 5i

fornuiles in)porlanles et (|ii*il laut iclenir. Ces rormulcs pourraient servir de cléfinilioii aux. fonctions cos.r et sinj7, «|uel que soit x; il est lacile d'en déduire la Ibrmule d'addition des arcs : ainsi

f> ./■-t->U— I g-'.r4->)v-i

cos(x -i- y }= '■

g—x\—l ^y\—l g— jv— 1

■2\/ I •>./ — I

= co«u: cosj' — siii u- ^Iny.

On démontrerait de même les lormules

sin(^ -^y) = sin j; cos^ -i- sin^j' cos.r, sin-j" -- cos-^ = I,

<jui se trou\ent établies même pour les valeurs imaginaires de X et >-.

La fonction a-^', peu usitée, se définira par le iiiONcn de léquation

La fonction tangx se définira par cette autre formule

sin.r tanir^ = ;

cota:, cosécj? se définiront au moyen des relations I ,1,1

COtX = ) COSCC J7 = —. ) SCCX = •

tans-^ sinx cos^

XIV. — Origine purement analytique des sinus et des cosinus.

Comme plus haut, prenons pour définition de la (onc- tion e-^ la formule suivante, vraie pour les valeurs réelles de x,

52		c	11 A r I ï u i;	1.
alors on auri	i
	c>	I	1 .1	, r"

on en dédiiirail par mulliplicalion

T -^ y [ r" .r"-' T

1 L« 1 ( « — I )! I .

e

ou

J''

(_ « — -2 ): •>. .

c-r ey = I -f-

T -^ y

I r " ,

X" x"-^ y

/i\l I -^

;>('/? — \)

■h-

OU

.r-i-j)-

Cr-^ Y)"

OU enfin

Zrt fonction c^, définie comme on vient de lé dire, i° e.sY continue en vertu du théorème d'Abel; i" elle jouit de ht jivopriété

( \) e"^ ey = e-'^^y ,

et en général de toutes les propriétés de la fonction expo- nentielle réelle que Von peut en déduire.

Avec la fonction e-^' on peut former les fonctions composées

e^H- e-

2

(>.r\\

Nous connaissons les deux dernières; si elles nous étaient inconnues, on pourrait les appeler sinx et cosx; sinx et cos.r sont ainsi définis d'une façon purement analytique : les deux premières fonctions sont ce que l'on appelle le cosinus cl le sinus lirperbolirjues de x. Nous poserons donc

(3> cosx =

e^ -r- e-'

siiiliJ"= y

■i.

> ûnx = ; —

TIlf;OUIE t; EN É RALE DES SÉRIES. 53

on en déduit iniinédiatement

' • ,/-

cos lu- = cos j:-/ — I, sin 11 J^ = -— = sin.ry' — i,

cos h j' -f- ?in h J" = e-*", COSJ7 -r-\ — I sinjc = e-*'^"', •^' . ^'*

cos h vC = I -: ; r^ — 7 - • • • ,

■X \ .i.i. \

sin ha~ = j'-:-— 7--^7-^..., 3 1 j I

X- x*

■2 ! ', !

x^ .r*

smx = j- — — — — —

3 1 3 I

Des fornuilcs (3) on tire, comme on l'a déjà vu.

cos-o^ -T- sin^j; = i, cos(j? -i-j') = cosj:^ cosy — sin j; sinj', sin(x -4-j)' ) = sin j" cosj' -f- sin^ cosx.

Des formules (2) on déduirait de même

cos-h jr* — sin-h^ := i, cosh(jr -^y) = cosh^- cosh^ h- sinh:r sinli j»', sinh(j- -i-j) = sinh j" cosli jj- — sinh>' cosh j",

et ces nouvelles fonctions sont continues par rapport à x.

sinj;" sinlij" , i- • ^ 1 1

et i — sont les tanircnles ordinaires et Inperho-

cos^ coshj" °

liques de x; les inverses du sinus, du cosinus, de la tangente

sont ce que l'on appelle la coséca/ite, la sécante et la cotan-

gente.

La formule

.7-- X*

COS a- = 1 T7 — • • • !

i . 2 4 1

lorsque x est réel, peut se mettre sous la forme

x^- Q-r-

(i) COSJ: = I : 7r~-y

l.J. ï.l.i.l

;)4 ciiAiMTiir. 11.

0 désignant un nombre iiilV-iiciii- à i puisque, en posanL

COSJ^ = 1 ;

0.

l'erreur est moiiidro crue — " ., • mais eela suppose les termes ' 1 . "2 . j . î ^ *

de la série décroissants à partir de — '- — ^ — ; il suffit pourrcm-

' I . '2 . j . I ^

])lir celte condition que .r soit inférieur ou égal à 2; or, pour X = 2, la formule (4) donne

co? .r = I — a -- 0 — »

•A

QO%x est donc négatif pour a? = 2 ; pour x = o, il est positif : donc, entre o et 2, l'équation cosa:'^o a une racine au moins. Soit - la plus petite racine positive de cos.r = 0; on aura

cos- = cos — — = o.

2 2

On a ensuite, en vertu de la relation cos-^ + sin-^r = i,

sin — ==ni, sin( i^i^zi:

jnais, de ;r = o à .2: = -7 cosj7 reste positif; sin^, d'abord positif, ne saurait passer par zéro, puisque sin-.r + cos-.r = i , et par suite ne saurait changer de signe : donc

sin — 2

Il est facile de prouver que sin^ et cos.r ont pour pé- riode :^7:, c'est-à-dire que

cos(2- -i- .r) = cos.r, sin(27: -1- a") = sinr. On a en effet

Q.o%{x -î-j)') = ç.o%x cosjj' — sinr sin/;

donc, faisant r =- )

(---.)

— sin:r ;

Tllf:OUIi: CfiNfMlALE DES SÉUIES.

on aurait d'iiiK* fac^on analogue

sin I 3" -i

donc, en changeant x en x

cos(a?-i- -) = — sin ( a- H 1 = — cos.r,

«in(a- H- t:) = — sin.r ; cliangcanL x en x 4- -, on a

COS(a- -{- 2 7T) = cosa7, sin(a"-t- 27:) = sina".

Le nombre ti reste à calculer; on verra plus loin comment on peut le développer en série.

Nous retrouvons ainsi toute la Trigonométrie, en la généra- lisant, et nous voyons, ce qui est important, que les fonctions circulaires ont une origine purement analytique qui rend leur théorie indépendante du postulatum d'Euclide et des aitlres posta ferler de la Géométrie.

XV. — Des logarithmes en général.

Toute imaginaire peut être mise sous la forme

/•(cosO -\-\^^ — I sinOj,

;• désignant le module et () l'argument; maiscosO -h \' — i sinf| est égal à e'^^~^ : donc toute imaginaire peut se mettre aussi sous la forme

et même sous la forme

e'"'' e ou e

On voit donc qu'il existe un nombre ii = log/' -h H y— i tel que e" soit un nombre donné, /-(cosO+y — isinOj: ce

.56 ciiAi'iruE II.

nombre it est ce que nous appellerons le logarithme de

/-(cosO -i-/ — I sinO).

Ainsi le logarithme d'une imagiiudre est l'imaginaire (jii' il faut prendre pour exposant de e pour reproduire l im a g in a i/ e do n n ée .

Le logarithme de l'imayinaire ;"(cos0 4-\ — isinO) étant iog/' -h 0 y/ — I , on peut dire que :

Le logarithme d'une imaginaire est égal au loga- rithme de son module, augmenté de son argument mul- lijdié par ^/ — i .

Ce logarithme a donc une infinité de valeurs, puisque Targument est lui-même susceptible d'une infinité de valeurs.

Par exemple, le logarithme de la quantité réelle et positive /•, dont l'argument est 2 A-, sera

log/--f- 2 A-/ — », logr désignant le logarithme ordinaire de r.

log I = ik-\/ — I, log — 1 =(-i/i .4- i)-/ — 1 , I o-i/ZT"— 4/^—1 _ ^^3—

Quel que soit «, on définit a^ par l'équation

il est clair alors que l'on a a^ : ay = a^-y,

On n'a pas éprouvé jusqu'ici le besoin de définir les loga- rithmes imaginaires dans une autre base que e.

Il va sans dire que Ton a, comme dans le cas où x et >' sont

réels, M.%f

logj- -;- log)- = ^(^?.( ']^-^y),

X

\i)''x — \o''y = log-,

y

("cs forimilrs dt-coulanl de

e^ ey = e-^+r.

-»7

XVI. — Fonctions circulaires et hyperboliques inverses.

Les fondions inverses de sinx, sinli.r, cos^, coshj:*, ...

sontdésignéespararcsin j", arcsinh j", arc cosjc, arccosliT,

Ces fonctions inverses peuvent toutes s'exprimer au nioven des logarithmes; par exemple, si Ton fait

arc sin.r = ii.

on en lire

ou

♦■t, par suite,

X = sin u

f>n \ -1 g—" * — 1

2 (

lu (/-l ., pU V — 1

ue"*-' X

I — I = o, e"* -' = jr v^ ^— I zr \J \ — x-

= , log (j- / — I — / « — •''•-) )

/ — I

ce qui peut encore s écrire

f

log (j"=v/:ï-2— i) -^ -

A-f-i

On trouve ainsi les formules suivantes :

4A--I-I

arc sin.r =

v/-'

\o<i{x~s/x^ — x)-

= -7=log(j-=i= v/j:2— l),

arc tans; x =

2V — i I — J'y^i 2v^ — 1 arc sin h j- = log {x ±^ ] -i-x-),

arc cos hx = log ( x r± / -^^ — 0>

i 1 — - X

arc tan" Il X = - Ioît •

■X i — X

lO;

I — IX y/

c il A I' I r u r. II.

XVII. — Digression sur la nature des exponentielles.

Le ihéorcmed'Eisenslein, démontré page 43, montre que e^, sin.r, cosj:'ne peuvent être racines d'une équation algébrique de la forme f{x,y) = o,f désignant un polynôme à coefli- cients entiers : ce sont donc bien des fonctions transcendantes et il en esl alors de même des fonctions tangx, arcsina", sinlij", ..., car les fondions e-^', sin.r, cos.r, développées suivant les puissances de a:, se composent de termes dont les coefficients sont des fractions irréductibles qui contien- nent en dénominateur une infinité de nombres premiers.

Une faudrait pas conclure de là que e^ ne peut pas être un nombre rationnel pour des valeurs j^articulièi-es de x. Nous verrons plus tard que e^, quand x est entier, et que t, t.- ne sauraient être conimensurables ; pour le moment, bornons- nous à démontrer l'incommensurabilité de e. Ou a

I 1

e =1 —

1 1 . •). . 3 . . . //(

si e était commensurable, on pourrait le supposer égal à une

P entre eux; on en conclurait

fraction - ayant ses deux termes p, q entiers et premiers

^=1-1-1-.

q I " ' 1 .2.3 ... <7

et, en multipliant par 1.2...^,

I.2.3(ff— I )/?=!. 2.3... g-i ...-4-H i- , r -r- . . . ,

ce qui peut s'écrire

<7-M • {q-r-\){^q^'X)

E désignant un entier; or je vais prouver que le second membre de cette formule est moindre (juo i. Cette formule

r 1 1 1: OUI i; c, i: n (■. ii a i. i; d i; s s f: u 1 1: s . 69

sera donc absurde el e ne poiiii'a pas aUcclci" la forme - : il sera donc ineoinniensinaljlc. On a en ellii

-4- . . . <

7-M (r/~-l)(q--%) '" "(7-^1) (7—1)- (7--1)'

OU

I

< -. C.Q. F. n.

On prouve d'une façon analogue que e ne peut elrc racine d'une équation du second degré à coefficienls entiers.

XVIII. Quelques théorèmes concernant les séries doubles.

On appelle sc/'ies doubles une suite iudé(inie de ternies que l'on peut supj^oser rangés de la façon suivante.

A chacune de ces quantités attribuons deux indices, en sorte que l'une quelconque d'entre elles puisse être repré- sentée par Uij : on pourra alors regarder i et y comme deux coordonnées et l'on supposera la quantité Uij écrite sur le point du plan a\anf ]iour coordonnées les nombres entiers i et y.

Une série douille

"00 "+" "01 ~^ "02 -f- . ■ • -!- Uon -+--.. -f- î/io-" "II — "12 — ... — "i„— •■ .

(O

est dite convergente lorsque, avant décrit un contour quel- conque coupant l'axe des ir et l'axe des y, la somme des termes de la série contenue à l'intérieur de ce contour tend vers une limite déterminée toujours la même, quelle que soit la manière dont le contour se déforme, lorsque ce con- tour s'éloigne indéfiniment de l'origine. Cette limite est la valeur de la si'rie.

Go ciiAi'iTiii: II.

Théorkme I. — Pou/- (juc 1(1 srfie (i) soi/ com'crgontr^ il faut que u,j tende vers zéro quand i et j croissent indé- finiment.

Thûouème II. — Si une série double à ternies positifs est convergente, toute série à termes égaux ou plus petits respectivement et positif s est comergente aussi.

Ïhéouème III. — Si a/j désigne le module de Uij et si la série dont le terme général est aij est convergente, celle dont le terme général est u/j est convergente aussi.

Théorème W . — L ne série double à termes positifs ne change pas de valeur quand on intervertit V ordre de ses termes.

Théouème y. — // en est de même pour une série quel- conque, lorsque la série des modules de ses te/mes est con- vergente.

Théokème VI. — La série double dont le terme général est x'^y", X et y désignant des nombres moindres que i, ou dont le module est moindre que i, est convergente.

En effel, si Ton fait la somme des termes contenus dans un rectangle contenant m termes dans une rangée horizontale et ji termes dans une rangée verticale, on trouve

I y yn—l j^ni yx'" yn — \x"^

I — X 1 — X ' ' ' ' l — X I — X I — X ' ' I — X

OU

[ r« a"« yi>x"'

(t — x){i—y) ^i—x)(^i — y)~^i — x)(^i — y)~^{^i—y){i—xf

quand mai n croissent indéfiniment, cette somme se réduit à

Si X et y sont positifs, la somme en question a

\ — X i — y ^ 1 ' T

toujours même limite, quel que soit le contour dans lequel

THÉORIE G É.NÉHALK DES SÉRIES. 6l

on emprisonne les tenues de la série; donc la liniiic osi l.i iiièinc quand x et )' sont imaginaires.

TiiÉoiit.MK A II. — Si la somme des termes d'une série double tend vers une limite déterminée, les termes pris dans la somme étant contenus dans un contour c qui uraiidit indéjiniment en tout sens, en sui^-ant une lot déterminée^ la série sera con^'ergente pourvu qu'elle soi/ à termes positifs.

En cllet, la somme des termes contenus dans un contour r' diflérent de c peut toujours être supposéiî contenue dans un contour c suffisamment grand. Soient 5 la somme des termes relatifs au contour c, s' la somme des termes relatifs au con- tour c' : on aura s' <^ s; or 5, par hypothèse, a une limite S : donc s' <^S ; donc s' croissant avec c' a une limite S' ^ S ; on verrait de même que S ^S'; donc S = S'. c. q. v. n.

Il résulte des théories précédentes que, pour évaluer la valeur d'une série double telle que (i), on peut la consi- dérer comme la limite de la somme des termes contenus dans un rectangle dont la hauteur serait infinie et dont la base irait en croissant indéfiniment, ou dont la base serait d'abord infinie et dont la hauteur irait en croissant indéfini- ment (en appelant base la dimension horizontale et hau- teur la dimension ^erticale). Ainsi la valeur de la série (i) supposée convergente peut s'écrire à volonté

« ^ 0 /i = 0 II — a

Il — X III = x m = rt

2ii ""'0 -^ ^ "'"I '-' 2u "'"-

02 CIIAIMlllK II.

XIX. — Application destinée à faire comprendre l'utilité de la théorie des séries doubles.

En évaluant la srrie double converi;ente

I .'2 1.2.3 ' * Al!

(0

'■--- Y\

<

fini a'""

"v" " "^ "Trr

<le deux, manières, on trouve l'identité

/ (e'^' — I ) H- le'^' — I j -+-... -h ie^" — i ) --. . ' (a) 1 a r a^ i a"

f = 1 r-1-...H H

^ . 1 — a I . -2 I — a- I . -2 ... /t I — a"

Pourquoi la série (i) esl-elle convergente? Poia(|uoi la formule (2) a-t-elle lieu? Son premier membre est-il conver- gent? Voici la réponse à ces questions :

i" Le second membre de (2) est convergent, parce que le rapport d'un terme au précédent a pour limite zéro; 2" la série double (2) est convergente, parce que la série formée par les modules de ses termes est convergente; et, en effet, les termes réduits à leurs modules forment une série conver- gente, puisqu'on peut trouver une limite à la somme des termes compris dans des contours rectangulaires; 3" la série (1) étant convergente, on peut la sommer en prenant les termes compris dans des rectangles de bases infinies, ce qui fournit le premier membre de (2).

iiifiduii; (;f:.M- itALi: i)i:s séuiks. (jo

EXERCICES ET NOTES.

1. La série «/o -H »i -+-... -i- «/j-f- .. . est convergente lorsque lu

limite de (modK")" est moindre que i quand « croît indéfiniment, ou quand cette quantité reste constamment moindre qu'une quantité finie moindre que i. (Voir une démonstration de ce théorème <;ii. XIII, § V.)

:2. Supposons que, dans la série «o-f- i<i ^-. . .-r- «<«, on ait 11,,^, n' ~ A «'-1 -f- B /j'-s-i- . . .

ti/i II'- -T- an'-^-\- bn'—--\-. . .

^i la première des quantités A — a, \> — b, ... qui ne s annule pas est positive, la série est divergente; la série est convergente ou diver- gente suivant que A — a -\- \ est négatif ou positif. (G.\tSS.)

3. La série u^, -f- i<i -h ...—«<«—.. . est convergente ou divcrgenle suivant que l'on a

loc —

uni -j > ou

lojr/t

i. La série

•j» log'2 3 logj ' nlogft

est divergente.

a. Si /\:, /•], r.i, . . . sont des nombres indéfiniment décroissants et 0 un arc qui ne soit pas multiple de t, les séries

'"o -'- 'i LOS 0 -H r-i cos 26 — ... -- /■„ cos /i 0 -^ . . . , ri sinO ~ r-y sin-^O --...-)- /•„ sinn6 — . . .

sont convergentes. ( Bjorling.)

0. a, b, c, . . . désignant les nombres premiers impairs, on a

1 — X ^ I — j"t "^ j^ 1 — x"'' ^ I — x"^'-'

^x-^ x-^ -î- x'' -^ o-'S - - ( Catalan. )

7. Si m est entier et positif, on a

rni> mi'imi' -1) in/'{i/ii' — m /ni' — •>.) _

* 17" "^ i/'i/' ~~ II'. Il', il' -r- . . . —

64 CHAPITIIK II.

Quand m n'est pas entier, le premier membre est une série dont on demande les conditions de convergence.

8. Etudier les conditions de convergence de la série

m /m ni -i ) , /)t{ni — i)(/n — ■!} ,

i -, x — — jc- -. ~- .r-* -h . . . .

1 I . -2 \ .i. i

9. Calculer à près la valeur de la série

lO' '

III I ,

10. On a III I _

I 1 .1 I I	I 2.3	I ■î-4 I
1.2.3 2.3.		3.4.5
Généraliser.
10. La série I		I

/l ( /i -f- I )

\/i.2 v/'a.S \/n f^ii-T- I )

est-elle convergente?

11. La séiie double

III 2- 2.3 ' '2.4

III 3.2 3- 3.4

III 4T^, "" 4^ "^ 4^

n( n -7- i ){ii -T--1} 4

dont le terme "éiiéral est > est diverîrente.

'^ m . n °

12. La série duiible dont le Irrnie i^iWiéral est — est convergente

m" ^

sa valeur est égale à -( son premier terme étant — | •

TllfiORIE DES DÉRIVÉES. 65

CHAPITRE m.

THEORIE DES DERIVEES.

I. — Définition de la dérivée.

Quand une ioncùon J\x) est conlinuc, raccioissemenl (jik; prend celle fonciion J'(^x-hh)^f(j') est infininienl petit avec raccroissement corresj)ondant h de sa variable, cl en général, comme nous le \errons, la limite du rapport de ces dcu\ accroissements infininienl petits est fini. On lui donne le nom de ch'rivée de la fonction f{x).

Ainsi la <r/e/-iVee d'une foncllony*(x) est la llniilc du rapport de l'accroissement (jue })rend la fonction à raccroissement correspondant de la variable quand ce dernier tend vers zéro.

La dérivée d'une lonction de x, fi-^)-, 6st en général une autre lonction de x, que l'on désigne pas f'{x). Quand une lonction de x est représentée par une seule lettre i', sa dé- rivée est représentée par j)'.

Il est difficile, peut-être impossible, de prou\er ([ue toute fonction continue admet une dérivée; quoi qu'il en soit, nous adme'. Irons dans ce qui va suivre que les fonctions sur lesquelles nous raisonnerons ont des dérivées. Nous prou- verons d'ailleurs, en montrant comment on peut les calculer, que la plupart des fonctions cjue Ton rencontre en Analvse ont des dérivées. En résumé, s1/"(j:) désigne une l'onction, /"'(x) sa dérivée, on a par définition

f {X) = lini ^ j^ ,

pour It = o.

[.. — Traité d'Analyse, I. 5

CG CM A ri r m: m.

De là oïl ilv'iliiil

z désignant une cjnanlitL' qui lencl \er.s zéro avec //, on (i) ./(-^"^ 11)' f(x) ^ Jif\x)— hi,

lorniule Iréqncninicnl eiii|)lo\éo.

S'il n'est pas prouvé que loiilc lontlion conliinie a une dérivée, il rsl bien clair, au contraire, que toute fonction (|ui admet nnc; dérivée finie est continue : c'est ce que montre la formule ( i) ; on voit en elFet que, si l'on v suppose A infi- niment petit, y(j:" -r //) — fi-^) est inliiiliiicnl petit. Ainsi, (piand une fonction a une dérivée finie, à un accroissement infiniment petit quelconque de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction, ce qui veut dire que cette fonction est continue.

Le mot dérivée et la notation que nous avons adojitée pour représenter la dérivée sont de Lagrange, mais, au fond, l'idée de dérivée remonte à Leibnllz et à Newton. Nous ferons bientôt connaître la notation de Leibnltz. La notation de Newton n'est [)lus emplovée aujourd Lui ; il représentait la dérivée de r re- lative à X par V- Caucliv a sou\ent emplo\é la notation Dj-J'.

II. — Dérivée d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient.

DÉUIVÉE n'tAE SOMME ALG LBIllQUE. — SoicHt 1/ . T, (V, . . .

f/es fonctions de x; a, b, c, . . . des consta/iles; si u' , i'', u', . , . tlésignenl les dérivées de a, r, tv, . . . , la dérivée de

y = au — Z>r -7- c^\• -r-. . .

sera

y = au' — b\'' -^ cw' — . . . .

En effet, appelons Ax (A désignant non plus une quantité,

Tllf:()RIE I)i;s IjfMlIVfiES. 67

mais bien les mois accroissrincnl de) un accroissement infi- nimenl petit donné à x^ et soient Aw, Ar, .... A)' les accroisse- ments que prennent alors «, c, <v. ...,)■; on aura, en chan- geant, clans régalilé V = au -i- ^c -i- civ, x en x -j- Ax,

j>- - - \y ;- a ( M - - Ah j -r- 6 ( i' - Al' ) - . . :

d'où. j)ar soustraction,

Aj' = or Af/ ^ Ar . . .

et

Av Ah , Al'

-1- = a :- b —

A.r A.7- A.r

or, pour Aj: = o, les limites de 7^ j - > • • • sontpar dclinition

les dérivées 1'', ii\ c' On a donc, en passant aux limites.

y ^ au' - - b\- CKv .... c. y. F. D.

Corollaire I. — La dérivée d'une somme u -r- c -r- iv -i- . . . est la somme u -r r'-t-(v' — . . . des dérivées de ses parties.

Corollaire //. L/( dérivée d'une différence u — i-

est la différence u' — v' des dérivées de ses termes.

Le raisonnement fait ])lus haut supposele nombre des ("oik--

lions u, V, iV. . . . limité, car on s'est appuxé sur ce que la

I •• 11 ^" / ^'' ,•,1,1

lunile de la somme a u ... était ej^ale a la somme

\j[- A./" ^

des limites de ses parties, ce qui n'est vrai que si le nombre

des parties est limité ; on a erra (pie :

La dérivée d' une série ne s'obtient pas toujours en prenant la dérivée fie chaque terme.

Déi'.ivék d'v^ puoDi it. — Con-)idt'rons un produit

y -^ artr. . .

de pUisieurs fonctions u, v, ... avantpour dérivées//', v' ., w' ,

Si l'on change j~ en x — Ax, //, v. .... y prendront des ac- croissements A//. Ar A) et se changeront en u-^^u,

(),_!_ ^ç et l'on aura

y \y {u \u){v Af). ...

A»	Ar	o
— viv .	. . - — uw ~ . .
Ijr	A.r	Ix

68 ciiAi'iiin: m.

et, par soustraction,

A^- = (u - A»)(r -;- At'}. . . — iniv. . . on. en dcveloppaiil,

A)- = Ai/ru- . . . Acf/c ... Ih

Q désignant des termes contenant au nionis deux des (acteurs A//. Al" On en tire

Ar

A// Ar . 1 • ■ . 1 I • • ' ' ' 1

or ^ — 7 — 5 • • • uni pour liniiles les ucn\ees (/ . i' dmic

A.r Aj^- '

— lenti vers zéro a\ec A.r et I on a. en passant au\ limites, A.r '

j' = li fit' - . . . l' f/ti' ... ....

En divisant par r = in'^v . . . , on a v' u' t-' tr'

)' Il V w

tbrmule plus facdc à retenir.

Ladi'mvedunproduilc^l, coimnc l'un r<ut, Id .soinnic des dérivées de chaque favleitr mu Ui plié pur le produiL des autres.

La démonstration suppose, bien entendu, les ("acteurs du produit en nonilire (ini.

Application. — La dérivée de «"', m désignant un entier,

seia la somme de m produits, tels que u'.u"'~^ ou niu' u"'~* .

La dérivée de x est i. car sa dérivée est, en appelant A un

accroissement doniK' à //. Iiiii j ou i : il en résulte <pie la

dérivée de x"' est mx"^~^ .

Ladérivée dune constanleestzéro, carl'accroissementd'une constante est nul; son accroissement divisé par A est encore nul. et la limite de ce quotient est, par suite, zéro; il résulte de là (pie. a désignant une constante et // une (onction, la

T II fin m K DES DÉ:! I \ f-F.S. 69

tlrrlvéc de au csl an\ ce qui s'accorde avec ce que l'im ;i vu jtliis liant.

Dnitivr.E i>'u>' oiOTiK.NT. — Soil ^ = - le riiiotif-nl de deti\ loiiclions //. e qui oui des dérivées //. e' ; soil A./- un aeerois- scnient donné à la variable x, et Af. A//, A\' les accroissc- iiiriil> eoi icspondaiils de )', //, e; on aura

Ar / u - - A// // \ (• lu - » Ar - — ^= 1 1 : A./' >

A.r \ r At- i- / A^ri v Ar )i'

r • . . I t ' A)' Am Av , , ,

en laisanl tendre A./- vers zéro, -^1 — > — lendeiil \ers f , u ,

\x Ix Aj"

e', et la formule précédente devient

eu' — «i''

ainsi -— - csl la dérivée de -

Application. - La dérivée de - est -? celle de —

est 2^^ = — mx '" ' ; donc : la dérivée de x'" pour m

entier et négatif est m x"' ' .

III. — Dérivée d'une fonction de fonction.

Si j' est fonction de u, que 11 soit fonction de r. ... cl que <v soit fonction de x, on dira que r est fonction de fonction de x.

Supposons que A)', A;/. Ar, . . . soient les accroissements que prennent r, a, r, . . . quand x croît de la quantité infini- ment petite Ar; on a

AjK _ A>' A M Ar \x ■ Ah Al' \x

Si Ton passe aux limites, -=- s ra la dérivée de j' prise par

' . , Ah ,

rapport a a, que nous représenterons par y^/, — sera la

70

cil .VI' nui: III.

dérivée ue // prise par ra|)pi»ii à \' : nous 1 appellerons ;/,, ;

enfin — sera e' . On a donc

lu; ■'■

Applications. — i" Soit )' :^ (.r- — i)-';_)'' sera le prodiiil dcj)45_, par la d('ri\ée de .r- — i ou 3(.r- — i )- xx. ■i" On a é\ ideininent r! ^^ i i or i'^. = j'p.rj. ; donc

7x -OTyi ou j.,. r- -- .

IV. — Dérivées de quelques fonctions simples.

Dérivée de log\r. — La dérivée de log.r est la limite vers laquelle tend, ponr/;= o,

\os^iX' h) — \o2,x I , / /' \ , / h\

hV'

h

lo-

;;j

A /'

r la limite de ( i - ) este : donc la dérivée cherchée est

-j este

log e' ou

Corollaire. — La dérivée de logw, u étant ("onction de .r, sera, d'après le théorème çles fonctions de fonctions démontré

au paragraphe précédent, — ; celte quantité s'appelle la déri-

vée logarithmique de u.

Dérivée de a-^. — Posons

nous aurons

""^ " log a

X a une dérivée par rapport à )'; en d'autres termes.

ly

TiifioniK DES ni^nivfins, yi

.1 une limilf : donc ^- a une liiniLc aussi et y a une Jciivcc.

Xf

En prenant alors les clérlv<'es des deux iiicuihres de Téqua- lion précédente, on a

I — , >

y in lia

y : )■ loi; a —- «■'■ Ing rt.

Corollaire. — En prenant a = e, on a y' =^ e^ : ainsi la dérivée de e-^ est e^, celle de a'^ est c"«'.

DéiiiNKE DR x'". — Su[)posons ./• positil" (./■'" n'aurait dail- Icui's aucun sens si m était imouiincnsurahle çX x négatif); on a

et, par suite, la déii\ée de x'" est celle de c'"-^''^-^' ou t^'" ''«"' — (ui /nx'" *, comme on la \u, dans le cas où /n est entier. Si X est négatif, on fera .r = — x' ] alors

X'" = ( — j.-')'«.

La dérivée de x"' est celle de (' — i )'" x'"' ou

(— i)'« /njr''"-' I -I) ou ni( — , y«-i j.-'/"-i ou mr"'-K

Corollaire. — La dérivée de //'" est /)///"'~*u\ celle de

'II— ' I —1 II I / — ! i , -- II'

v « :^= a'" est — a'" ? celle de v'u := ^/- est au - ou — ,-.

V. — Dérivées des fonctions circulaires.

Déruée de sinj:. — Lu d( ri\i'e de sin x est la limite, pour h = o, de

«■\n( jT -{- h ) — ëinx

ou de

	h	,
	1 • ^^ sin - ' 2	. h SOI —		h
h		h ""'<	'2

ciiAPiTin: III.

Le rapport d un sinus îi son arc, (iiiand cet arc - Icnd vers

zéro, a pour limite lunih'-; la lmiil<; de roxprcssioii j^n'-ci'- dentc est donc cos.r : ainsi la dcrivcc de sin.r est cosx.

Dérivée de cosx. — On a cosjr = sin f - — x ) et par suite, en vertu du théorème des fonctions de fonctions, la dérivée de cosx sera la dérivée de sin ( - ■ — .r ) prise par rapport à ^ — :r ou cos ( - — jt), multipliée parla dérivée de - — x ou — 1 ;la dérivée cliercliée est donc — cos ( - — .r ) ou — sin.f .

9.

r \ 01

On peut V arriver en chcrcliant la limite de

-r \ cos ( .r - - /i ) — co« .r 1 . h

Dérivée de tang\r. — C'est la dérivée du ([uotient

ou

cosa7cosa7 -{- sina^sin.r

ou

cos^a.- cos- a: Dérivée de sécj". — C'est celle de ou — ■: •

Dérivée de arcsin^. — Si l'on pose

y = arc sinj", on a

a; = sinj,

et, par suite, en prenant la dérivée des deux membres,

i = cos7./; donc

,1 r^ I rh r

y esl de même signe que cos)'; il n'y aura donc aucun doute sur le signe à adopter dans les différents cas.

Dérivée de arccoso:. — On a

arc COS a* -+- arcsnio: = - ;

Tii(^:oRii: OKS i)f:i<ivf:ES. 73

(Jonc

(k'-rivre arc cosjr ->- cU'rivéc arc sin j: — o.

I

La dérivée de aiccos.r est tloiK"

v' I — •' Df.uivéf. de arrlaii^/r. — Posons

y = arclaniTJ', fl'où .r — tangj>'; en prenant les d(''ri\ées des deux membres, on a y' . , I '

i = • ou V — cos-^' —

I - lang^j' I - .r-

Nous avons atlmis (|iir les (h'rivées de arcsin.r, arelanj^jr

existaient; on peut le prouver ainsi : en posant )'= arcsinj:,

1 ' ■ ' -^-^ r • . .

on a J" = sin )', el, sin r avani une tlenvee ? -— a une liniile .

donc -^ a une limite aussi, fiui est l'inverse de la première; A.r '

car à tout a(-eroissement de a: correspond un et un seul accroissement de )', et r/Vv reisd.

VI. — Théorème de Rolle T').

Lorsque la fonction J{-r) est finie et continue entre les limites ci et b de sa variable, et rju^elle a une cléri^'ée f\x) toujours uniciue et finie clans cet intervalle, cette dérivée passe par zéro pour une valeur c de x comprise entre a et b si l'on a J\o) = o, f{b) = o.

En ellet, la fonclion y(.r i s'annulanl pour .r = o, x = b, si nous supposons a <^ ^, nous pourrons l'aire trois hypo- thèses : 1" ou bien /{x) reste nul : alorsy'(j:") = o et le théorème est démontré; 2" ou bien /{x) cesse d'être nul quand .r croît à |)artir de a, et croît avec x; mais,y(x) deve- nant de nouveau nul [lour x = b, A laul quey'(j:) décroisse :

(' ) Ce ihéorènie a clc énonce poui" la première fois, sous celle forme pré- cise, pur M. (». Bonnet, mais on peut en faire remonter l'origine à l{olie.

74 CM Al' nui- III.

il passe (Iniic par un iiiaxiMiiim au nioius pour iiiu' \alcurc <.1c x\ 3" on l)iony(.r'), cessant de snnnuler pour des \aleiirs de .r supérieures à r/, décroît et dcvienL iK'gatir; mais, connue il doit San nu l(M' pour ./ />, \\ laul ipi \\ jiasse par un un ni muni au moins, pour une valeur de ,<• comprise enlie c/ cl h.

Ainsi /ï. A- 1 doit passer par un maximum ou par un minimum pour une valeur r de .r lellc cpie (t<'^(:<^b. Le caractère cc^nimun au maximum et au minimum csl (pic. pour // 1res

petit,

/'(; c - li) —J\ c ) et _/■( c — h) -J\ c )

soient de mêmes signes : ilonc

/■( c h)— /■( c ) /■( r — /n — /■( r )

ot ■

h —h

sont de sii;nes contraires ; or, ces deux expressions avant par liv|)Oliièse la même limite /'(r), (pii est uni([ue et finie, il huit (pie cette limite soil /rvo '. donc

/'( c ) = o. c. 0- I'. n-

Coroll((iir I. - - Si l'on a /{(() ^^ 0, f{b) = o, J\c) =■ o, a<C,b<^c, si la fonclitjii / et sa dérivée sont coiUinues quand x varie de a à c cl si J'"[.r) existe et est bien déter- miné dans cet i/i/r/^allc, on aura

J"Kd) -o,

d désignant un nombre co/zipris entre net c; de même, si L 'on aj\ a)=zo, /'( b)^=z o , /'( c ) = o , /( d) = o, a -</><< c -< d, si f{x), /'[■%■),/" (x) sont finis et continus entre les limites a et f/, on aura

e étant compris entre a et c\ cl ainsi de suite.

En ellet, supposonsy"(r/) = o,J'{b) = o, /"(c) '-^ o; en ap[)e- lant Cl et b' des quantités con\eiial)leineiit choisies entre a et b et entre b et c, on aura, par le théorème de Holle,

f(a') = o, f\b')-^o, <;t pur suite, encore, en vertu du théorème de Holle,

J\c) = o,

Tin-oiiii: ni: s nf-iu vfu:s. ->

<•' dcsignant iiii iiumlnc coiiiiJiis ciilrc r(' cl A on, ce f[iii est

la mèiiic chose, ciilic ff cl r, clc

c. o. K. n.

CoioUdirc II. Siipjxisons <iii<', /{j") rcslaiil cniilinii. (liiisi (juc SCS II /i/t'/nic/'cs dcrn'ccs, fjuaiid r imir entre ./"o et \, la [n -r i/ ""' dérivée existe et reste finie et bien déter- minée. Soient (ly, (i.>. ..., ((„^i, X des nondjies eoin/nis en tre ees limites, ; une moyenne entreees nonihres ; on ((uia , si J\x) s'iinnule pour x =-- <i\, (f-^ (f/i+t,

J{x) --={x — a,){x — ai)...(j---a,t^i) -^'.^ '^ _^ • Em cHet, posons ( I ) f(x) — {x~ai)...{x~ a,;+i ) 0 1 ./■ ) :

la l'onclion de c

J\z) — (z — ai)(z--a.,\...(z — «„+, ) e(.r )

s'annulera pour c =-- a^, a-, <'it-^\ et z^= x\ donc sa déri- vée {n -T i'""') s'annulera pour une valeur ç de ^ comprise entre la plus grande et la plus pclilc des ([uanlilés <7,, a.;,, ■ ■ ■ ■ <fn+\ ^t -^j 01" celle dérivée esL

y«+i( -) -- I .'A.3. . . ( « -^ I ) 0(x) On a donc

y/( M , î ) — I .■>. .5 . . . ( /< - 1 I H( ,r ) — o,

d'où

0(a:)

i .j. . ù . . . \ /t II

Porlant celle valeur de &(x) dans la l'ornuilc ( i ), on a préci- sément la formule qu'il fallait établir.

VII. — Formule de Taylor.

Nous allons mamlcnanl dahlir une lormide (piic>t,on peut le dire, la pierre londamenlale sur laquelle est édifié tout le Calcul difiérentiel et intégral 5 cette Ibrmule, qui porte le nom

-6 CIIAIMTUI: III.

de formule (le Tavlor, a élr rohjcl i\c travaux nonihroiix; elle a ('le succcssivcnienl porrocllonnc'C par dilluslros t;éo- mètres, tels que crAleiiil)erl, t^agrani;e. ('ancliv.

La déinonslralion que nous allons en donner csl duc en prineipe à M. Ilommersham-Cox ; elle a été simpliliée pai- M. Rouché, qui a combiné la dénionslralion de M. Hoin- inershani-Cox avec une dénionslralion antérieure de Gaucliv ; enfin le théorème de RoUe, tel que l'a exposé M. Ronnel, est venu apporter à la déinonslralion de M. Rouché une perfection telle (ju'il est peu prol)al)lo que Ton arrive à rien de plus net el de plus précis dans la su île.

Lorsque la lonclion /\.r) est entière el de degré n — i , on a

f^x h)=/{.r)-h/'{x)--^-/"{x)-^...

/"-' ( X I.

l .1. i . . . Ul \ )'

Il est naturel de poser, quand /'est quelconque,

/(.r — h) = f(x) ^hfix) -....-■ r^ ,f"-^{^ ) - 1^

el de chercher une expression simple de R qui salislasse à celte éf[ualion. R existe, car R n'est autre chose que

//"-i fix-^-k) -J\x) — hf\x) /" '(3-;;

il faut toutefois que, f\x), .... /" ' Kx) existent.

-Nous supposerons que, x variant de jc à J" -h A, la lonclion /(;) ait des dérivées /'(-)• •••• ./"(^'' "*^"^ supposerons seulement que f"{x) existe entre les limites eu question : alors /"-'(c), /"-(^), ...,/'{z-), /\z) seront continus. Posant, ce qui est permis, R = PA', i désignant un entier positif, nous aurons

(i)Ax-^h)-/{x)-h/\x)--...- ^_^['"~'^^_^^/-K-r)Vh'=^o.

Faisons alors

X -T- h — \, A = X — X,

THÉORIE DES DÉIIIVÉKS.

nous pourrons c-crirc, au lieu de ( i ),

\—.r

I ( \ .ri"-'

1.1 ... {n — I ) Maintenant considérons la fonction de c

\ — r

Jy\)—J(Z) -~/'iZ)

/«-' {T) — P ( X — j:)' — o.

I

(\ - z\" ' i .1 . . . { n — 1

/""i(^( — l'i \—zy,

dans la(|uelle P dcsif^ne toujours la l'onction de x et /t ou de w et X dt'linie par léqualion (2); cette l'onction de ; s'an- nule pour :; = X; é\ideninicnt elle s'annule aussi, en vertu de (2), pour:; ::^x. Comme elle a une dérivée, puisquey*" '(;) a une dérivée, par li\ pothèse, quand z varie de ^ à x -j- A 1= X, cette dérivée s'annulera pour une valeur de z comprise entre X cl x-rfi\ or cette dérivée est, comme il est facile de s'en assurer,

/"i z) — Pi(\ — z)'-K

1 . 2 . j . . . ( /<

En désignant par x-\-h/i, 0 étant compris entre o et 1 , la valeur de r pour laquelle celte dérivée s'annule, on aura

1 . 2 . 3 . . . ( « — i ) CM remarquant «jue \ ^= x -\- /i ; on tire de là (1-0 )"-'k"'f"(r -^ Oh )

P =

t. I .2.3. . . . ( /t I )

et, en [)ortant cette \aleur de P dans la lornnile (i ), on a finalement

- r, f'Ux-T-OU).

t . I . -2 . j . . . ( /i - I ; •' '

-s nnvpirnK m.

Celle formule a été (Irnumlrt'e pour la pi'cmière fois sous celle forme ])ar iNIM. SchliMuilcli el Roclie. Le dcruier lermc esl ce (lue l'on a|i|)cll(' le reste ; si 1 On lail i -^ i e! i -^ //.ou a les deux formules sul\aules, donl la première est due à Cauchv; la seconde, qui esl la plus ulile, esl duc à Lagrange :

(/C.r-f^)..:/(;r)-;-A/(.r) -:-■■■-■- , ,^ /^" „' , ,./^'-' (■^)

/'"(i— 0)"-i . ^,

' I ' \

(0

I . i ...(//- 1 ) ■

ft.r'-h) — f(.r)hf'{.r) ... /'"'(.r)

//"

1 . •>. . 3 . . . /i '

VIIî. Quelques théorèmes déduits de la formule de Taylor

La formule de Tavlor, comme nous le verrons, esl fonda- nienlale en Analyse; nous allons d'abord en déduire le lliéo- rème de Ilolle. Si l'on fait, dans celte formule,

fi-T-r-h) = f(.r) - fif'(.r)^:.- —f\.r)^- . . . '''- /"(./■--O/n.

•' / .' ^ . 1 .'^"^ i .'lS. . .ri-

Zt =z i ^ elle <l('\ icnl

( 1 ) /( .r -;- /O = /( -r ) -^- /i/\ r - - 0 A i .

Sous celle forme, elle esl frécpieminenl employée; elle iiioiilre bien cpic, si/(.r + A) el f(.-ï') sont nuls, /"'(x + OA) est nul; donc, quand une fonction s'annule pour deux yalcurs de sa variable, en restant continue dans rinlervalle compris, sa dérivée s'annule puin- la yaleia- intermédiaire x -+- OA.

Mais celle remarque ne constitue évidemment j)as une démonstration du lliéorème de Rolle ou plulolde M. (). Bon- net, sur lequel nous nous sommes appuvé pour établir le lliéorème de Taylor : elle a pour biil seulemenl de montrer CHIC la formule (i) est l'expression même, sous une lormc condensée, du théorème de M. O. Bonnet.

TU KO un: i)i;s i»f:iii vfiKS. -()

THKOiikMn. — Si une function couliiuic reste ennsldiile cuire les liiniles .r,, el X de sa varinhle. sa dérivée est mille ; réeiprixjuenieni , si lu <léri\'ée (ruiie loiielioii reste nulle cuire les li mites .i\^et \, eettefniietioii reste emista ii te da ns V intervalle en (jiieslion.

Si, cil cllcl, mic (oiiclion esl consliinlc, .sa (k'ii\('c, comiiie l'on sait, esl mille ; il rcslc à (Icmoiitrcr la rr(i|>r()(|ii('. Soifiil donc X cl ./• - Il lieux \aleiirs eompriscs enlic .r„ cl \; on

aura

J\ x - h) -^ -- /( ./• ) -^ - hf\ X- 0 h ') .

Or, /'{x) clanl mil ([iiaïul .r varie tic .r^ à X, /'(.?■ J- OA) sera nul, car a'-]~^h esl compris entre j: cl .?■ + A et, par sui-le, enlre ^o et X. On aura donc

f(x--~h)^-f(x). La lonmile Iroiiv/'e a\aiil lieu, (juels que soieni ./• el //, pourvu cpie x cl .r -t- // soicnl compris entre J'o et -\ , '' ';>>'' en conclure cpie /(.f-), dans cet intervalle, rcslc coiislanl.

c. Q. y. D.

On déduit de là cet autre lliéorcme, li'cs important :

Théoiîème. — Deux fo/iclio/is z>(.r), 'ii{x), ayant même dérivée et reslantconlinues, ne peiivenl{tant qu'elles resteni continues) dijférer V une de l'autre que par une constante.

En clTel, si 1 on a

^\x) 'y(jr)-. o,

la fonclion '■p(./") — '}('^0' 'J<"'f ''' dériNcc est '■^'(.r) - ^' [x) ou zéro, esl constanle : ainsi

^{_X ) — '^{■i') — COIlSt.

ou

ç(x) --^ <t'(-7") -^- COIlSt .,

cl il résulte de là que, si Ton connaît une solution '-i(.^) de l'équalion

y^v{x),

loulcs les autres seront de la forme

y = '^{-r } ; coii-l.

8o riiAiMTin: m.

TjiÉouivME. — L ne fonction est croissn/ile ou décrois- sitnte pour une valeur jr de sa variable, suivant que pour celte valeur sa dé/ii'ée est j/osi fisc ou né^iitise.

En cirot, la fonmilc

m o 1 1 Irc c| Il e 1 c s i •; n c cl e /"(./• ~r It ) ~ ,/ ( .r ") e s l c c 1 u i cl c /"' Çr -^hli) quand A csl posilif"; si donc on ohscrve ([u'une ("onclion /"(a*) est croissanle cjtiand, pour des \aleurs de h snlfisammcnt pclilcs, on a

/{•^-ii)—A^)>o,

celle inéi;aliu' conlinuant à ètie salislalle pour des valeurs de /i moindres, on voit que/(x) sera croissant si /'{.r -+- OA) est j)osilif; mais /''{ .r + Hh) est peu différent de/'(x); donc, si/'(x) est positil", il en sera de nirrnc de /'(./• -h 0 A), et J\.r) sei'a croissant.

On verrait de même que f{x) est décroissant pour les valeurs de x qui rendent /'(.r) négatif.

La di'monslralion ])rrcédenlc suj)pose y''(.r) continu, mais elle démontre que, dans ce cas, si /'(j:') == o, la l'onction est croissante ou décroissante suivant quey'(c -\- x), t étant très petit (î= OA), est posiliCou négatil".

Le théorème précédent est encore vrai quand /'(.r) est dis- continu, mais on ne peut plus allirmer que, s\/'(x) = o, /(x) sera croissant ou décroissant suivant que/'(.r + s) sera positif ou négatif. A oici comment on peut élahlir le théorème C|uand /'(x) est discontinu : on.a

£ étant un infiniment petit; cela résulte de la définition même de la dérivée. Si/'(^) n'est pas nul, on peut prendre £ assez petit pour cpie y'(j) -t- î soit de même signe <jue A {•'^)i ^^ alors on voit que/(x + //) — y\j:-) a le signe de /'(j") pour des valeurs positives de h : ce qui démontre le théorème.

THÉORIE DES DÉIUVÉES. 8 1

IX. — Dérivée d'une fonction composée.

Si II, r, «', . . . sont des fonctions de x, toule fonction telle que f{u, i', «v, •. .) est dite une fonction composée de X. Clicrchons la dérivée d'une pareille fonction.

Donnons à x raccroissement Aj", supposons que ii, v, w aient des dérivées; ces fonctions prendront des accroisse- ments \u. Ar, A<T et la dérivée de /sera la limite de

A/ fin lu, (' -Ac, w -^ \w) — f{u,i\w)

Or on peut écrire celte formule

-^ = — [/( u — \it, V -\- Al', w -'- A(f ) — /( u, i> -1- Ar, ii' -4- A(P ) |

( I ) ■' — T— r A ", *' + At», (v -;- Alt' ) — /Y u, r, it^ -f- Aii' ) 1 A,/' • ■ ' '

Comme /(-ï^) désigne une fonction possédant une dérivée, on a (p. 78)

ou

Si l'on suppose h = A.r, on aura

f(x + Aj7) —/(a-) = Ajr/'(.r -^ OA,r\

0 désignant un nombre compris entre o et i. Remplaçons dans cette formule x par u el f(x) par /(u, r + Ar, (V'-f-A(v); nous aurons

f{u -f- \u, r -+- Ai>, IV — Air) — ./'(«/, i' -i- Al', w -1- Ait-) = lu/'u (« -i- f)A?/, v -+- Al', tt- -f- Amp'),

pourvu que, laissant t>el w constants, /( m, r, (v) ail une dé- rivée/'„ relative à u. On aurait de même, en appelant 8' et h" L. — Traité d'Analyse, I. 6

8.Î cil Al' 11 m: 111.

des nombres compris ciitre o et i,

/( u, V -r Al-. \v - Atv ) - - /( u. w (V - Atr ) A4-/;.( u, r O'Ai-, \v An), /(», r. U' Air ) — /■( u. r, i»' ) r: Ah'/[,,( u, r, iv 0"Aii'),

y^ et /'!,. désignant les (Jérivées de /'relatives à t' et iv ([iie l'on suppose exister. La lormnlc ( i) devient alois

-^ := — /■', (/<-() At/, i' -, Ar. Il' - Air i

— —/"'(M. p-T ')'Ar, 11- Aip) A,/- •' ' ^ ^

/ ,,,( U, i\ ir - 1) Ad' t.

Ax '

Si donc /'„,/[,, /"^ sont continus par rajjporl à u, c, tr, on aura, en laisant Ax = o,

A/" lim -^- ou dt'rivce do/— ^^'/",, («/, r, a-j- \>'f[,{ii, v, w)-- iw'/^^, (">''• "^)- Aar ■ '

(7est dans cette Ibrmule que consiste le théorème des l'onc- lions composées. On en conclut que la dérivée cV une Jonc- tion composée est égale à la somme des résultats obtenus en multipliant les dérivées de cette fonction, relatives à iliaque fonction composante, par la dérivée de cette fonction composante.

Application. — Clierchons la dérivée de //'', u et v dési- i^nant des ionctions de x. Cette fonction est composée de u et V : la dérivée relative à u est vu^~^, celle relative à v est u^logu; la dérivée cherchée est donc

rw''-' u' - n^ lop; uv'. En particulier, la dérivée de x^ est

j:j-^-^ -; x^ logx — x^'{ 1 - lugx ). La dérivée de x^-^'^ est

^xx^^'i-i - .v'-^> logarCi -,- loç^x)x-^. La dérivée de x^"^^ est

lo? j: ar'"S-r-' .; ,fJ^*x-i \(jcrx --- ua:'"S-^-' \o"x.

m KO II II- i)i:s Df: un fins. 83

X. - Sur quelques fonctions dont on peut calculer la dérivée d'ordre n en fonction du nombre n.

\a\ (lc'iiv('e/i''"'*'cle x^'cstm [m — i ) . . . (/// — n ~ i )x"^'", (flic lie n'' est a''{\o^a)", celle de c"-' est (i"c"'', celle de , ( r .■>.... /t — 1 ) , ,

'«'n-^' ^'^^ 7;^ (— ^)" •

La dérivée /<'""^def^-;- v — n'-r-...esl w'"^ + v'"'> — tv'"^ +

Voici mainleuaiit une l'oniiule due à Leibnilz cl qui permet

de lornitM- la dérivée /?"""^ d'un piuduil : >i l'un difréniilie

\-:=a\- plusieurs lois de suile, on trouve

y = UV — iu ,
y" = liv" — •i.u'v— u"v,
y'" — iiv'"-- 3 11^"-^- 3 «'V-	'- u"\\

ce ipii laiL soupromier la Ibrniule générale

{ I ^ y " — UV " -- C,', u V "-' - - C,; u"v'"-- -r . . .-- u'"> r,

C,',, C,-^, . . . désignant les nombres de combinaisons de // objets j)ris I à 1 , 2 à 2, . . . ; en sorte que l'on a, svndjoliquement,

j" = ( u- -Vf,

les exposants de u et r devant être cliangés en indices de déri- vations après le développement de (w -f- i^")" par la lormule du binùme. Pour démontrer cette lormule, il sulfit de prou- \cr que^ si elle a lieu pour la dérivée /i'""^, elle a encore lieu pour la dérivée (/i + j^i""e. (;ar elle est vraie pour les trois premières dérivées, comme on le vérifie directement.

Admettant la lormule (i), si nous prenons la dérivée des deux mendjres, nous trouvons

y.n^v. _ «t; rt-Hi) _ c,', u i"'' — C2 «" t"' " r

H- u p'"' -T- GA «" V "-" r- . . . ;

or, par la tliéorie des combinaisons, on a

TM -i_ I — ri r 1 -^ T' ! C-

84 ciiAriTRE m.

donc

ce qui démontre la formule de Leibnilz.

Ladérivée /?' ""^dc?/('<rest, svmboliquemcnl,(« + ^'^ wy"\ et celle formule se déduit de celle de Leihnitz comme le déve- loppement de (a-h b -{- c)" se déduit de (a -\- b)", ....

La dérivée /j' ""^ de - se calcule comme celle d'un produit // -. auand on sait trouver les dérivées de -, et nous vcr- rons tout à Tlieure comment on peut paribis trouver la dérivée n""^" de -.

X. — Dérivée /i"'""" d'une fonction de fonction.

Considérons une fonction de fonction ^ = es («) de j:, « dé- sij^nanl une fonction de x, et proposons-nous de calculer la dérivée /i''''"'^ de 'f ('0' ^"*^ nous appellerons z-"'K On a

Z' = Ci' {u)u,

Z" — o" ( J< ) k'- — Ci' ( î/ ) if",

z'" = 'J"{ Il ) «'3 -i- Ci" ( i< ) 3 if' i<" + Ci' (, i< ) »'",

et il est évident que l'on a

( I) ^'' = A;, ci'"(»)— A„_,ci«-'(; «/)--... — Aï '/(^O — -^ !?'(").

Al, A2, .... A,, désignant des quantités qui ne dépendent que de la fonction u et de ses dérivées. Pour déterminer ces coefGcienls, on peut supposer que l'on donne à la fonc- tion o des formes particulières; en faisant successivement '^(^f ) 1= M, ?/-, ?/% . . . , ?/«, on a

«"' =Ai,

(m!)(«) = A,2« -f-Ao.a.i.

(a3)<n) = A, 3 f<2 — A2.3.9. «-^ A33.2.1,

(a")<" = Ai««"-'-t- A2/l(/l — ljf<"-2-t- .. . -t- A„/l(/t — 1;.. .'2. I,

TIlÉOnii: DES DÉRIVl^ES.

SI l'on pose alors A, = ^' ■., on oblient

u'"' =B,,

(«î)'"' =2B,K -^ B,,

(«syn) =3B,f/î-i-3B2«^ Bj,

( M" 1 «' = - B. f/" -; B.. /<"-< - . . . — B„ .

Pour résoudre ces équations, écrivons-les ainsi

iu'"^= B,, («îy«)=B2— CîB,f/, («')'«' :^ B3 — Ci B, M — C,^ Bi «2.

(2)

( H')'"' = R/+ '^^'l^'-i « -^- • --^^^/"'Bi '<'-',

or nous avons

c;-c;c^-c^::^-...-c<c? = o,

G/ — G/ Gy+, -f- G/ "Gy+2 — • • '^^ G, G/ = o,

l^our le prouver, observons que lay"™* formule a pour premier

membre

i( i — \). . .( i — / - Il i(i — 1 1. . .a — / ) / — I

1 . 2 . i . . . y 1 . 2 . . . { y -T- 1 1 I

i( i — \). . .( i —/ — I ) ( / -f- 1 )(j — 2 ')

I . 2 . . . ( y -7- '2 j 1.2

ou bien

i( i — i)..ji — ./— I » r / — y (/ — /)(i — y — n T.

1 .2.3. . .y L I '"'^ J

la parlie entre crochets est (i — i/~-'; l'équation en question est donc bien vérifiée. Les formules (2), multipliées respec- tivement par C,', C^-, — C;', ..., et ajoutées, donnent

alors

-^ B, = ( «'• j "' — ^ - G/ ( «'■')'"' -4-. -^ c| ( u'-'-) ^ - • • . ;

80 cii A r I T n F 1 1 1 .

il rcslc à remplacer A/ par ' — . dans (i); mais on peiil

* ' 1 . V, ... ;

. . lî/

écrire —sous une antre lorme, savoir u'

le signe D'Jj'voulanl dire dérivée d'ordre n par rapport à //, et l'indice ?/ = a indiquant que l'on doit faire a r= // dans If résultat. On a donc

et, par suite,

I.2.r{...rt \a /a=„

, i'"-^r~'("^ p;-./" ^, Y'"' _.....

1 . V. . J . . . I /( I t " \ X / 1 = 1, ' ' '

Telle est la lormule qui donne la dérivée d'une lonclinn de fonction.

Si l'on fait, ])ar exemple, // = e-^, on a

o"( e^ ) .lu \" D«o(e^) = e"^ " '/ - D ( - - I --....

I .2.3. . .« \ ■X. /o. = ii

Or

et, si ?/ = e'",

rv / " '\ ' i' ■ , 1 •

Dm .1 = —e'-^—C) 1 1 — n'

\'x J a'

Pour a = //, on a sinqilcnient

D'Y - — I ) = i'— C;(/--i)'^ CHf — 2/ — ...: de sorte que

pnxf'ii ( px\ . „ ,

U''c5(e-r)= ^-i±^[«"-C, (n_i)"--C,^(n_2)" - ... |

I . 2 . 3 . . . /i

^ f ï L^[(„_,)''-' — C,',_,fn — 2)«-'^-...|

i . 2 . j . . . ( /i — 1 ;

Cette lormule est de lierschel.

i-l)x

THf;OUIK DES 1)1- RIVÉES. 87

XI. Dérivée //' d'une fonction rationnelle.

La déi'ivt'C //'""'■ iVuw polMiôine est la somme des dérivées ^iimes^ que l'oti Sait |)rendre, de chacun de ses termes. Pour prendre la dt-iisi'e n' '"'' d'une fraction rationnelle, on peut la

décomiiosor en (!lémenls simples, do la forme ou

' ' {a- — a)'"

A(j7 — «)"'", dont on connaît les dérivées /?"'"'''.

Mais on peut aussi procéder autrement. Soit une fraction

rationnelle r= -? dans laquelle ti et v désiirnenl des polv- nômes entiers en .r ; on aura

Si Ion prend /> fois de suite les dérivées des deux membres, au movcn de la formule de Leihnilz, on aura

si, dans cette lormule, on fait/? =:^ i . i,'i. ...,/), on obtiendia n équations du premier degré, à n inconnues )'',)'". . . .,^'". que l'on pourra résoudre et qui feront connaître r" sous forme d'un quotient de deux déterminants.

Un artifice analogue permet de calculer la dérivée n"'""^

d'une expression de la forme '>' = 4 -5 où t' désigne un polv-

nôme entier. En effet, on en tire

et, en différenliani ,

v'y- - '^yj' r — o ou

V')- -:- 2)''t' — O.

En différenliant n lois, par la formule de Leihnilz, puis en faisant n = 1, 2, ..../?, on a des équations du premier degré pour calculer ;', 1" r".

88 CHAPITRE m.

XII. — Formule de Maclaurin et ses applications. Si, dans la lornuilc de ra>lor,

ou

ou

ù l'on a

R = — ■ /"+' {X -■- 0 h)

		/j"-i
I .	1,	...(«-	-i)
(l	: —	-OV'/r	w + l

R = î /''+i(^- e/i),

\ .-i.i . . .11 •'

on remplace x par zéro et h par x, on obtient la formule dite de Maclaurin

f{x)=f{o)+xf\o)---...+ _-^^/«(o)-R,

R = =^ : /« + '( 0^-),

1.1.. An — \)^ - '^'

>-«+l/'l fi 'ira

R= :^^ y- ^-l^fn + U^x).

Cette formule peut .servir à développer quelques fonctions en série; mais, malheureusement, la discussion du reste, qu'il est nécessaire de laire, est très difficile, si ce n'est pour des fonctions très simples, dont le développement est toujours plus facile à obtenir par d'autres moyens qui ont l'avantaj^c de démontrer les résultats pour les valeurs imaginaii'es de la variable. Nous allons appliquer la formule de Maclaurin aux fonctions /(i + x), e-^, s\ï\x\ cos:r, (i + xY, mais il ne faudra voir dans nos résultats que des exercices, ou [)hitùt des véri- fications de la formule de Tavlor, et non de véritables dé- monstrations.

Déveloi'Pi ME>T DE c'', siu.r, cosx. — Si, dans la formule

/(.r)=/(o)^^^/'(o)-^...+ -j-^^^^/"(o)

(,/i-M)-

THÉORIE DES DÉ RI Vf: n?. 89

on remplace f{jc) succcssivt'inent piir ('', sin.r, cosa", on trouve

I

sina- =i X —

I \ .->. i .1.6. . . n I . -2 . 3 . . . ( « -f- 1 )

.r» , rosOx.x-"-*-'

cosa^ = I —

.2.3 1 . 2 . 3 . j . 5 ' 1 . 2 . 3 . . . ( 2 /n- I)

1.2 ' I . •! . 3 . 4 \ .-i.i. . .'in

Dans cliacuiie do ces formules, le dernier lernie ou, si Ton veut, le reste, tend vers zéro (juand /? eroit indéfiniment; j)Our /? ^ X , on a alors les séries

X X- X''

i - —

I I . Jt i .Ji..i. . . H

x'* , x-"

i .x 1.2.3.4 2 ^' ■

X'i . x"-"^^

sina: = x

I .'2.3 ' (^'2/t - 1 j! "'

Développemk-nt de (i-;-jr)'^. — Le développement de (i + JC^ est déjà plus dilFieile à obtenir. Si Ton l'ait

dans la iormule

/(^)=/(o)—-^/'<'o) --...- ^ /"(o)

77^ 1

1 . 2 . î . . . /t

comme on a

f[x)~{\-\- xy. ..f"{x) = {i — xy-"a{a — i). . .{a — n — i),

il en résulte

a a(a-'\) , a(a — i>...((7 — n — i)

(l-i- Xy = 1-. X X-—... -^: X"

I 1.2 I . -2 . 3 . . . /l

7.7J-(-I(-, 0 ,«

H ^ (I — 0 j" )«-"-• a( a — I). . .(a — n).

1 . 2 . 3 . . . /i

Nous allons prouver que, si x est compris entre — i et + i, le reste tend vers zéro, en sorte que, pour ces valeurs, on aura

a a(a — 1) ^ a(a — \)...(a — n-^i)

i i .u r.2.3.../i

90 c iiAiMTUi: ni.

Pour les anlros valeurs de .r, la série qui fornio le second membre esl divergente; il n'y a donc pas lieu de discuter pour ce cas la forme du reste. Ce reste peut s'écrire, au signe près,

«(.-.)(. -^j. ..(.-.;-)

.m -■-- Oj")" •( " -^ j

— 0. T.

Si l'on néglige le l'acItMii- Uni a.r(i -O.r)""', ]<• produit dr autres facteurs sera

Si X esl positif, chaque fadeur entre crochets finit par deve- nir nolahlenient tuoinchc (pie i ; si .r est négatif, il eu est de

même, car, en changea ni ./en — x' '- r-^ devient — ^ r—j^

quantité encore uolal)lement moindre que i. J^e reste tend donc bien vers zéro.

Df.veloppement de log(i -i-.r). — Si Ion suppose x com- pris entre — i et -^ i, on trouve, en appliquant la même for- mule que tout à riieure,

.-r- .T^ j"'< loîi:(i -^ a* ; = .r ; — : ^ ....

XIII. — Développement de arc tang.r.

IjCS applications que nous ferons de la loriuule de Taylor au développement en séries sarrèleront à la fonction arc tang.r. Les applications qui précèdent ont été faites pour nous conformer à un usage reçu; celle qui va suivre a pour but de faire connaître un artifice de calcul. Soit y = tangx.

On a

,,^ 1 ^ __^ / I '—-A-

l -r- X- 2 y/ I \X — V^ - 1 X -\- / — I /

si l'on différentie n ibis, on a

yln-^l) ._= ^ii^ 1.2.3. ..n\ ^ ~ : '-^

TUrniilK i)i;s DfilMVKKS. ()l

Posons

nous aurons ou

ou. par la formuic de Muivrc.

y n^\' — ( __ \yi ,1 \ •~\\\[ it 1 I-; siii''-> '^t

donc, pour .r — o, c; ittz -,

_)• = o, y'-^i. r" - o. y'"— — \.'>. i'"— o, y" ^ \ .i.'i.\, ...

et, par suilp, en appliquant la première forme de la formule de jMaclaurin, e! en appelant-!; un noml)rf' mninfire rpic i,

.T^ .7''-" ' '1/

air t;ini,'j' - x . . . ' .r-"' ' — •

3 'in '- \ -in i

Quand x est compris entre — -i et -ri. le reste tend manifestement \ers zéro; quand .r est plus grand que i en \alcur absolue, iln'va |)as lieu défaire une discussion, la série; (pii constitue le second membre étant divergente; on a donc, tant (pie .r reste compris entre — ■ i et -;- i,

arc la 11^.^- ;= :r —

XIV. — De la formule de Taylor considérée comme formule d'approximation.

La formule de Tavlor n"a jamais servi à découvrir un nou- veau développement en série; elle est impuissante à donner tous ceux qui sont déjà connus, mais elle a une grande

Ç)2 Cn.VPITRF m.

Iniporlance analytique, comme on le verra clans la suite; nous nous bornerons ici à montrer comment on peut l'utiliser dans les calculs d'approximation.

Supposons que Ton veuille résoudre l'équation

/(■r)=o.

et que l'on en connaisse une solution approchée a. En posant X ^= a -{- /i, on aura

/{a — h) = o ou bien

/ i a I - h/'{ a I /"{ a -î- 0 A j = o.

On déduit de là

- _ /(a) _ h /ïa-f-O/Q

Jin prenant h ^ — '—. — -■> 1 erreur commise est

h /"ia-^(ih) , i- /<«) '

on pourra l'évaluer en remplaçant h par une ^aleur supé- rieure à sa véritable valeur, valeur supérieure que l'on connaît en général, car on a le plus souvent deux \aleurs apj)rocliéès de jr, et ensuite en remplaçant /'(a + OA) par le maximum de /"(x) quand on fait varier x entre les deux valeurs de la racine, l'une par excès, l'autre par défaut.

Voici une autre application de la l'ormule de Tavlor. Je suppose que l'on ait construit une Table de la fonction /(x), une Table de logarithmes par exemple, donnant les valeurs

de/(i),/(2), ...,f[x),/(x-rri), Si, X étant entier, on veut

avoiry"(cr + h), h désignant un nombre inférieur à i , on pose

/(T~h)—f(x) _ h

et Ton en conclut

f^_a•-r-h) = J\J')-^h[/{x^l)-/(x)\

TH^-OUIK DES DÉRIVÉES. qS

OU, en appelant A la différence tabulaire,

on commet ainsi une erreur f|irjl est facile dévaluer. En elTet, on a exactement

fix -- h)— f{x)~ hf'ix -^ <)h), fix^ i)—/(x)= A = f(x-^O'),

0 cl 0' étant tous deux, conipris entre o et i. On a donc posé

fix — li)=f(x)- h\ =/ix)-^ hf\x -^ 0' j,

au lieu de

fyx^ h)= fi^x)-^ hfx- Oh);

par suite, l'erreur est

h[/'(x-,-lih)-fix-^fi')].

Application. — Supposons qu'il s'agisse d'une Table de logarithmes, l'erreur commise pour calculer \og[x -{- h), quand on se donne x, est

\o"eh ( r—, ^, ]

ou

h lojre ,„,

0' — hli est moindre que l'unité : donc l'erreur sera moindre

que

h\o"e \o"e

X- x^

Pour un nombre de cin(j chiffres, elle n'atteint pas le dixième.

Autre application. — S'il s'agit d'une Table de loga- rithmes-sinus, l'erreur commise dansle calculdelogsin (a: H- A), l'unité étant l'arc de lo secondes, sera

h loge[cot(j:-i- 8/*;— cot/i(x-i- 6'j]

<i I (Il M' I r it i: 1 1 1.

ou

// lo-.'sin(0' — 0/M

i;us(j; -r- OA)cos(a.' -i- 0'/

olle csl iiioiikIio (jue

lou e

(arc lo )-.

cos*(a.' - lo )

c'est-à-ilirc toul à lait iiéglij^cable pour des arcs iihuikIic- <|ue 88".

EXERCICES ET NOTES.

1. Le Icclcur peut prendre une ronclion aii,il\ l iijiii' an hasard et «M cliereher la dérivée. Pour contrôler le résultat, il ^ullii de donnei' a cette fonction une autre forme; en cherchant sa dérivée sous ^a nouvelle forme, on doit trouver des résultats identiiiues. Par exemple, <in a

->cos.f — /> * « — siii- r — —

I - - x- un U-}\1 -- ./•)

:2. Trouver la déi'ivée de logx, la dérivée secoiuh,' de logloi;./', la dérivée Iruisiénie de log loj; logu:, en général la dérivée /;"""' di- loj^ ,./■, en désignant lug log.r par logo j:, log logo-P par logs jt, ....

3. .Montrer ijue la dérivée de i-"{X) pour ./• //. ou F'('.r), est la

,. . , V(.r)—F(n)

liiiiilf de • pour .r — a.

x — « *

■i. Truu\erla /;"""" dt'riNée de arc sin .r. On observe que la première dérivée est

(i — X-) - ou (1 — ./•) -Il X) '-\

en appii(|uanl la régie de Leibnitz à ce produit . on ;i je i('Miltat cherche.

li. Trou\cr la /<"""=déri\éc de log(u; -i- y/i -x-).

(î. Trouver la /i'""^" rlérivée de en le niellant sous les deux

I — x'-

formes (i ~x)-^{\ -- ^rj-'et \ [(i — x)-^ -.- { i -t-./-;-' |; i<leiililier les

lieux résultats.

Tiif:()ini; i)i:s i)i:it i v/;es. (j.j

7. Driimiilror ([ut; l'i'iiualioii

' -- [-} •'• - — Tl. — J ■'- 77773 J ^-^ — • • -= ".

où m est entier, a inules ses racines réelles. S. Si, tians tin iiTlain intersallc un a

|i('Ul-(ill i|ll('li|lli'rni< fil coiicllll'f

J

y. Toutes les dérivées de e~jc* sunl nulles pour a:' = o; en conclure <|ue celle fonclioti ne peut pas être développée suivant les puissances iioissanles de x.

10. La fonction a:2(e-^ — e~-^ ) croil-elle ou décroil-elie quand j: crnii à partir de zéro?

11. Si ion diiléi (iil ic // lois (le suite par la ré^le de J.eiLnilz le« deux membres de l'idiMil il('' suivante a;'^-*-^ =^ x'^ x^ , on trouve la l'oi- iiiule suivante, dite hinôinc de Vaiiderinonde :

{a-\- h ){a- h — \). . .[a-b — ii — i) -.-.nia — I ) ... 1 a — n-i)

- Cla(a -- i). . .( a--n--j.)b

- C\a(a--i) . a — ii-T~3}bi/j — ii

<j'j désignant le iionihie des combinaisons de /n objets pris ij i. 1:2. On a idcntiqueiiicnt

j-ii + h-i-c . + ..-rl ::^ X^ X^ . . .-T'.

lui ilidérentiant ii fois de suite et en appliquant la règle de Leili- iiilz, on généralise la formule précédente de Vandermonde.

J3. Appliquer la formule de Maclaurin au développement de l'arc siiix, et dire entre quelles limites ce développement représentera la fonction arc sin j-.

. , rx \- rr • ' • sin /?.r

14. Un démontre en 1 rigonometrie que cosnx, — -. sont des

sinj?

fonclio nsentières de cosj* quand le nombre n est entier; on propose

dappliquer la formule de .Maclaurin à la recherche des coefficients

de ces polynômes.

qG ciiaimtuk m.

15. Domonlior l;i fiuiniili^

r^ , , „ r,-\ , I .'^.'). . . C9./J I) .

D''-'(i — .r2) *=(—!)"-> biii ( narccosx).

/i

(J VCOBI.)

16. — ; ; D"(.r2— i) - = cos( /i arccosj-). (J.vcoBi.)

1 .3. . .{in - i)

17. Dans la formule de Taylur.

f{x-^h) = Ax)-~ hf{x)^- . . .^ __^l__/«(.r- O/O,

la quantité 0 est de la forme s, î désignant une quantiti' infi-

niment petite en même temps que/j; mais cela suppose l'existence de la (rt— i)"™« dérivée de f. En supposant l'existence des déri- vées suivantes de f. on propose de montrer que î est de la forme AA -- A^B _j_ _ ; \^ 3 _ sont des fonctions que l'on propose de calculer. (On ne demande que les valeurs des premières quantités et non leur expression générale.)

IS. On a

/,,r-/0 = /(.r)- /,/'(.r-- J),

aux teimes du troisième ordre prés par rapport à h.

UIFFÉUENCES DES FONCTIONS D ' L N E VAIIIABLE. 97

CHAPITRE IV.

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE.

I. — Différences des fonctions d'une seule variable.

Soit f{x) une fonction de x. Si nous donnons à x l'ac- croissement Ax, f{x) prendra l'accroissement Lf, égal à f(x-'rAx) — /{x), auquel on donne le nom de différence première de f{x). Cette différence première est une nouvelle fonction de x, et, si l'on y change x en x — Ax, elle subira un accroissement AA/(x), que Ton représente aussi par A-/(x), et que l'on appelle la différence seconde de/(x). La différence AA-/(x) de A-(.r) s'appelle la différence troi- sième de/(x) et se représente par A^y(x), et ainsi de suite.

Cherchons, par exemple, les différences successives de «-* ; en posant Ax = h, nous aurons

A2 a-r ^ ( (2x+/i _ a^jia'' — i ) — a^(a'' — i)^- et, en g«'néral,

Les différences successives des autres fonctions sont plus difii- ciles à former. Considérons cependant la fonction Ax'", où A est une constante; nous aurons

^\x"' — A [(x — h )'" ~ X"'];

la formule du binôme donnera le résultat, qui d'ailleurs n'a rien d'intéressant. Nous ne formerons donc pas l'expression générale de ^"Ax"', mais nous ferons une remarque impor- tante au sujet de cette expression cl, ])lus généralement, an L. — Traite d'Analyse, 1. 7

9^ ciiAnrnK iv.

sujet de A"F(.r), en dcsignanl par F(.r) un polynùme do degré ni en x. Posons

¥{x)— Ax"'-r B:r"'-> - . . .: nous aurons

AF(^)" k{x -- h)'" - \x'"'- \i{x- A)'"-' - B^'"-i -r-

Si l'on développe chaque parenthèse par la formule du binôme, il est clair que l'on trouve un polynôme de degré m — i et ([ue le ternie du degré le plus élevé dans ce polynôme est A/?i .r'"~' A; donc

\?{x)~-- Xmx'>i-^h-

SITon prend la dincrence de AF(.r), ou A-F(.r), le terme de degré le plus élevé dans le résultat s'obtiendra en multipliant le terme de degré le plus élevé dans AF(x") par m — i et A; on aura donc

^^F{x)^- Xm{/}i-i)x''i-^h^r-

AïF(^) —- \m{m — i){m — i)x'n-^ h^ -r

A'»F(^)^= Am( m - i)(m — 2). . .{m — n - ijj7'"-«/j«~ ...

et, en particulier, si n -- m,

A'"F(x)^ \r?i{m i). . . 3,2. i h"'.

Ainsi la différence /;i' ""' d'une fonction entière de degré m est égale à une constante, et, par suite, les différences d'un ordre plus élevé sont nulles.

Quoique les formules suivantes soient peu employées, nous les signalerons, parce qu'elles peuvent avoir quelque utilité,

\uv (« Aa)(i''- Ai^) — ui> = u\v -- i> \u lu \ç,

A(a ^v)=^\u : Iv,

u u- Ak U V \u — Il \v

on les retrouvera le plus souvent quand on en aura besoin, sans qu'il soit nécessaire de les retenir.

DIFFÉIIENCES I)ES FONCTIONS D'uNE YAUIAULE. 99

Parfois la variable x peut recevoir des accroissements //, A', A", . . . successifs inégaux. Pour ne citer qu'un exemple, considérons la l'onction a'"; nous aurons

Aa^ = a^^i^ — a^ = a^(a/' — i),

II. — Formules servant à calculer A"/ en fonction de f{x), J\x'T- h), f{x-' •j.h), .... et formules inverses.

Soit une fonction y(x) quelconque. Posons

[\) J\x)^-.f^, f(x—h)^-/i, f{x--ih)=/i, ..., /(x-^nh) = /n. Nous aurons

(2) \f,=f,-f„ A/,.^^/,-/„ A/,=/,-y;, ...;

nous obtiendrons ensuite

(3) AVo- Vi- Vu, ^'A = V2- Vb AV', - A/,-A/,, ...,

puis

(\) AVo - AV'i - AVo, ••;

si, dans Ç.\), on remplace A/, et A/o par leurs valeurs (2), on a

et, de mèmC;

AVi-/3-V. + /i.

La formule (4), à l'aide de celle-ci, devient

^Vo=/3-3/2^ 3/,-/„.

Si l'on examine attentivement les formules donnant A/^, A-/o, A'/o, on ne tardera pas à soupçonner la formule

( 5 ) A'Vo - f.n - C;„/,„_i -- G;„.A„^o - . . . r /o,

où G^",,, G;)^, . . . représentent les coefficients du développe-

iOO CH A ri TUE IV.

nieiU de (rt-h^)'". Aclmelloiib la l'ornuilc (5) pour toutes les \aleurs cnlières de m inléi-ieures à une certaine limite, et démontrons qu'elle subsiste en changeant m en m + i . Comme elle a lieu pour /;? = i , 2, 3, elle sera générale. La Ibrmule (5), appliquée à la fonction f^{x)=f{x -f- A), donne

et, en soustrayant (5) de cette nouvelle lormule, on a

A'«/i — ^"'fo =f'n+x -(CL -- !)/,„ ^(C;„ - C;„ )/,„_! - . . . =/o,

c'est-à-dire, en vertu des formules connues qui ont lieu entre les quantités C"^,

cette formule n'est autre que (5), où m a été changé cnm -\-\. La formule (5) est donc générale.

Corollaire. — Il est bon d'observer que la formule (5)» que Ion peut écrire symboliquement

•^'"/ = (/ — 0'".

en changeant les exposants de / en indices, aurait encore lieu si Ion avait

c'est-à-dire si les accroissements successifs A, li , h''. . . . donnés à x étaient inégaux.'

On peut obtenir une formule inverse; en eflct, on a, par les formules (2),

(6) /i-/u-Vo, /2=/,-A/,, ... et, par les formules (3),

(7) A/, :- A/, - A>/o, A/5==AA-:-Aî/.

Si, dans la seconde formule (6), on remplace/, et 1J\ par DEPARTMENT OF MA-ln./v\ATlCS

IINIVERSITY OF TORONTO

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS D'uNE VARIABLL. IOI

leurs valeurs, tirées de la première formule (6) et de la première formule (^), on a

/, =/o~2A/„-f-A2/o.

On vérifie sans peine que

/3 = /o - 3 A/o -+- 3 À Vo - A Vo,

et Ion est tenté de poser

fm = /o - C •, A/o - Cf„ A Vo - ... - A"'/»;

on vérifie cette formule comme la formule (,5), en observant que, si elle est vraie, on a encore

fm^x^A - c)„ A/, - cf„AVi-. . . -A'"/i;

d'où

J,n^, =/o-^ A/o -- C;, ( A/o - y-/o )-^Cl ( V-/o ~ A Vu ) - . . .

et, en vertu des propriétés du symbole Cj'^,

Jm-i-l ^/o -^ ^/ii + l A/o -r- C„, + j A-/|j-f-. . . .

On a donc, symboliquement,

pourvu que, après avoir développé (i + A)'" par la formule du binôme, on ne regarde plus A" comme une quantité, mais comme un symbole de difféi'entiation.

III. — Examen du cas où la différence de la variable tend vers zéro.

Considérons une fonction /(x), finie et continue, ainsi que ses n premières dérivées, quand sa variable reste com- prise entre x et a: ^ nh. Supposons en outre que sa (/i + i^'ine dérivée soit bien déterminée ou que sa /i'"'™^ dérivée soit continue. On aura, en posant A.r = h,

102 CHAPITRE IV.

Si l'on développe chaque terme par la formule de ïaylor, on a

\"fix)=i \f{x)-^n

-/'(:r) --...«"

h"

-4-C;,

-Ci(«-i)

-C'(n-i)" ;

-0,1(71 — 2)'' I

:/i«+'l{„.

Dans cette formule, Ro, R). ... sont de la forme /"+'(X) mullipHé par un facteur numérique; X est un nombre com- pris entre x ei x -{- nh. Par exemple, Rq est égal à

]i"+^f"^\x — ^nh).

1.2.3. . .(n-i-i) Cette formule s'écrit, en appelant R la somme Rq

AV(^) = (A''a70)o/(:r)-^(A"ar>)o-/'(r)

R,

— (A«a7")o -

h"

f"{x)r RA«+'.

Dans celte formule, (A'\r")o représente la différence /''''"'' de J7" quand on suppose j: = o et Ax = i, ainsi que cela résulte de la formule (5) du paragraphe précédent. (A'x")o seradonc nul, comme on l'a ^^l, pour i<. n, et égal à i .i.'5. . .n A r" pour i=n ou, comme A^ = i, à i .2 .3 .../?. La formule précé- dente devient alors

si l'on divise par A", on a

et. quand on fait tendre h vers zéro, on voit que, sif"+*{x) existe, ou si /"{x) est continu, la limite de ^^^ pour Aj? = o est f"{x).

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS d'lNE VAIlIAnLE. I o3

IV. — Formules d'interpolation de Newton et de Lagrange.

Interpoler, c'est trouver une fonction qui prenne des valeurs données pour des valeurs correspondantes données de sa va- riable. Le problème de l'inlcrpolalion est donc indéterminé. Lagrange s'est proposé de résoudre le problème de l'interpo- lation en assujellissant la fonction inlerpolatrice àètre entière et de degré inférieur d'une unité au nombre des couples de valeurs simultanées données de la fonction et de la variable. Sa formule, donnée dans les Eléments., est

(■) /(a:)=.'y iM /(^ .

^ X — Xi F'(^/j'

i- 1

Xq, Xi x„ sont les valeurs données de la variable, et

/(Xq), ..., f{Xn) les valeurs correspondantes données de f{x) ; et l'on a

F(X) — {X — X(i)(x — Xi) . . . {x — Xn)-

On peut vérifier la formule (i) en observant que : i" le second membre est bien de degré /?, F(:r) étant un polynôme de degré n -h i divisible par (a: — :r,); 2" si Ton fait x = Xr^, le second membre, qui peut s'écrire

'y (X—Xt,) . .. (x — Xi^i)( X — Xj-^i) .. .(x — x„) . .m^{Xi —X^) . . . {Xi — Xi-i){^i — Xi+i) ...{Xi—Xn)-^ ' '

devient précisément /{xx)', d'ailleurs la formule (i) peut

f(x) s'obtenir en décomposant ^ — - en fractions simples; el f(x)

r {x )

est déterminé en se donnant seulement J{xo), /(x,). . . .,

Il est facile de calculer l'erreur commise quand, à une fonction quelconque /(j:), on substitue l'expression

-•^ /(xj) F(x)

^à ¥'{Xi) X — Xi

tO-J CHAPITRE IV.

fournie par la formule de Lagrange, comme si elle claÏL cn- lière. En elTol, la quantité

J^ I ^}c\Xi) X — Ti '^ '

s'annule pour x =^ x^^ x^. . . . , .r„ ; elle est donc de la forme

{x~X^\x — Xy)...^X— Xn ) -j — -3 , _^ •

X désignant une movenne entre x^ x^., J^i, . . . , Xn- Or, '-2(^) étant la somme dc/(^') et d'une fonction entière de degré n, sa dérivée n -\- i' "*^ se réduira à/"+'(x) ; on aura donc (p. 'jj)

fixf) F(» ^, , /«^MX)

J^ ' ^dW(Xi)x— Xi ^■

¥\Xi) X — Xi I .'i-O. . . (/l -^ Ij

Avant Lagrange, Newton avait fait connaître une formule d'interpolation fondée sur la théorie des difFérençes, mais qui suppose essentiellement que les valeurs données de la variable soient en progression arithmétique.

Reprenons la formule démontrée au § II,

(I) /«-/0--A/0- — ^-^ A-/o^ ^--^ AVo-....

Si Ton y fait /i = o, i , 2, 3, .... on trouve

/o ^/o,

A = /o - A/o,

h = /o-r -i-^f^-- A2/o,

Donc le second membre de (1) se réduit de lui-même à /o> J\i ■■■•Jii pour /i = o, I, 2, ..., n, c'est-à-dire j)our les valeurs de la variable, x, x -.- h, x -r 2 h, . .., x -\- nh. Si donc on pose

X -:- nh = X, n = - — —

DIFFÉRE>CES DES FONCTIONS d'lNE VAUIADLE. I o5

la rormulc (i) deviendra

\ — TX—.r— h\ — -^ — 5- ^t . , y-/ X

-^ 1. ^ JÂ — ^V(-)--...

et le second membre de celle formule deviendra /{x) pour X = X, /{x — /i) pour \. = X -i- h, /(x-T-^h) pour X = J7 -t- 2/< , .... Ce second membre, limilé à n -- i pre- miers lermes, sera donc une lonclion entière de X,de degré n, se réduisant à des valeurs arbitraires /"o, /i, . . .,/« pour des valeurs de X en progression arilhmélique. Celle formule est celle de Newton. Nous allons nous y arrêter. Posons

.,,., ,, . \ -xlf(x) (X-x)(X-^x-h)\\f(cr)

iA\)-jix)-— ^ — ^-.

(■^)

f{z)-f{x)-

' _ (X— r) ...(X — -g — n — I A) A"/(.r)

1 1 . 2 . 3 ... « /i"

/ _ (\ — x^...(\—x—nh)P

' " 1.2.3.". .(«— i)A«-i '

et considérons la fonction de :;

z-xSf { z — xMz — T -~h\ . . A z — x~n—\ h) 1'^ f

I A ' " ' 1 . 2 . 3 . . . /i A"

(j — xMz — X -- h) . . . ( z~ r— n/i ) P 1 .2.3. . .1 « - i) A"-"*

Celle fonction s'annule pour ^ = X et pour ^ := x, x -f- /i, . . ., X -r nh\ sa. dérivée [n -r- i)"""' doit donc s'annuler pour une valeur movenne entre X, j:, x-j-h, . . . , x -r- nJi. Donc

I.2.3...('«— I) P

' ^ ' i.2.3...(/i— I) A«+i '

et, par suite,

P r= A«+i/«(5).

La formule (2) donne alors

^ ., , X — .rAA>) {\^.r^..A\ — x — n — \h)\'^f{x)

) — j{x) — -, -. . . ■■ — "t

/3 ; ' I \ I j /j 1.2.3. ..rt A'»

_ (X-^)...(X— r-/^A)

1.2.3... ^«-^ g -^ ^ ^'

I06 CHAl'lTKK IV.

z désignant une moyenne entre .T,x -\- /i X. Si, dans celle

formule ainsi complélée, on l'ail h =: o, en tenant compte de

la relation limy^ = /"(^j-)^ on retrouve (ce qui devail être) la

formule de tavlor

f{X)-/{x)= - - ^/(^)-4-...H- ^^"^ ""^ /"^'(-).

J"- ■' ^"^ ■' , ^\ ^ I .'2. . .(rtH- i;-' ^ •

Présenlée sous la forme (3), la formule de Nevvlon devient une idenlilé, et convient à toutes les fonctions continues ad- mettant n dérivées continues ou une (n -h i)*'"'* dérivée bien déterminée.

V. — Formule de Newton généralisée. Posons

ai — Uq

CI2 — Cil

puis

(3) /l^-Zii'-""» =/(„,. a„a,v

Uo — do

pin

/(cca, g,, ai)—f(a-2, a,, ap) . .

«3 - «0

Nous aurons évidemment

(4) /C«l)-^/(«o) -■-(«! —«0 )/(«!, «0).

(5) /(a2)=/(«i)— («2 — «l)/(«2, «l)-

Si l'on remplace /(rt|) par sa valeur (4) et /(V/o, «i) pai" sa valeur (2), on aura

/(«2)=/(«o)-^(ai -«o)/(«i,«o)

■^{a2—ai)[{ai — ao)/(a.,, «i, Oj)— /(«i, «0)].

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS d'uNE VARIAItLE 1 07

c'esl-à-diie

/(«2) ^/(«u) '- («2— ««)/(«!, «0)

-t- («2— «l)(«2 - «o)/(«2, «1, «(>)•

On est ainsi conduil à soupçonner la formule (6)

/(««) =/(«o) -- («« — «u)/(«l,«û)

-- (rt„ — rti)(rt„ — au)/(a2, a,, «o)

(jue Ton vérifie d'ailleurs sans peine. Posons

i /(^)=/(«j)---(^—«U )/(«!, «0)

) -4-(.r--aj)(j: — «,)/(«2,«i,«o)--- • .

— ï* (x — Uo). . .(x — a,i). La fonclion de :;

/(-) — /(«o) — (- -- rto)/(«i, «0) — . . .— P(- — «o)- • •(- — ««)

s'annulera : i" pour z = .r, en verUi de la formule (7); 2" pour;=:«o, <7,, ..., <7«_i, en vertu de la formule (6). Sa (/? -t- i)"^"'*^ dérivée sera donc nulle pour une valeur ç de ;, moyenne entre z-, a^,, «, Donc

y«+i(î)_P.,..^.3...(rt a- i) = o.

Tirant P de là pour le porter dans (7), on a

/(•2^)=/(«o) — (^ — «o )/(«!, aQ)~...

-^ {x — ao){x — ai) ... (x — a,i-i) /{an, ««-1, «0)

(x 'ao)(x -aj) . . . (x-~a,i)

,2.3 . . .{n-\- 1)

/«^•(;;

Celle formule d'interpolation est due à Ampère. A la forme près, du reste, elle ne diffère pas de la formule connue de La- grange.

VI. — Autres formules d'interpolation.

Soient y'o,/,, ...,/„ les valeurs de la fonction interpolatrice pour les valeurs correspondantes :Co>-^n •••, ^^ de la variable :r.

I08 CHAPITRE IV.

Brassinne [Journaldc Liouvillc, i"" série, l. II) a fait connaîlrc la rorniulc suivante :

A„/oF(x)(.r-.ro)-^--.\,/,F(.r)(:^-.r,)-«-^-...

/(^)

où F(^) désigne le produit (x — Xo) {x — Xf) . . . {x — x„), et où Ao, A,, A2,. . . désignent des quantités arbitraires. On peut l'écrire

_ Aq/o (.r — -rp)-' -+- Ai/i (a: — ar, )-' -4- ... •^*^^'~ Ao(^-.ro)-i-r- A, (.r-.ro )-'-!..".

Voici une formule trigonoiiiélrique :

_ - sin(.r — xi)sin(x ■ .To) . . . s\n(x — .r„)

-^ ^ '~''^ ** sin(.ro- .ri)sin(a-o — x^) . . . s\n{xo — x„) sin(.r — .ro)sin(a^ — .r?) . . . sin(a: — x„)

sin(a:'i — J"o)sin(j7i — ^"2) • • • sin(.ri — x,i)

On pourrait, par les méthodes suivies plus haut, trouver une limite de l'erreur commise en appliquant ces lormules.

Formule d'interpolation de Cauchy.

La formule d'interpolation de Cauchy a pour but de faire connaître une fraction rationnelle dont le numérateur soit de degré /?2 , le dénominateur de degré /î, et qui, pourm + /i-f- i valeurs données «o> «^'^u- • •? «/«+« de la variable .r, prenne m 4- /z + I valeurs données également.

Soity(j:)la fonction 'cherchée. Posons

(f(x)=(x — ao){x~ ai). . .{x — a„),

<\<{x)= {x — an+i){x — Clfi+.y) ■ ■ -{^ — am+n)-

La fonction

/(ao)/(ai) .. .f(a„) ,

'\'{ao)<\>{ai)... '\>{(i„)

(i) i = n

:>(^)

1

1=0

/(ao).../(a„) i>(a>) ^(x)

i^(ao) .. . •\'{a„) f{ai) (^ — a/)cp'(a,)

DIIKÉRENCES DKS FONCTIONS D ' l' N E VAniABLE. 1 09

s'aniiiilc jtour X = c(,i^i, a„j^-2, ..., ««+«*; de plus, son dénomi- naloiir, abslraclion laile du lacleui"-r-^ ^ '-rz r> cornmun

/ • ' ' 1 > 'l'(^) . 1 1

au iiuniLialeur, est précisément eiral a -^^ — (> en vertu de la

formule de Lagrange, pour j^ ■.= a^, cii, ..., «„; donc, enfin, cette expression (i) se réduit ix J\x) pour x = Oq, a^, ..., a„ et à zéro pour x ^= ««+1, ««-(-j, — f^f/i+m-

Soient N le numérateur, D le dénominateur de l'expres- sion (i); effectuons dans N et D toutes les permutations dont les indices o, i , 2, 3, ...,/?? -h « sont susceptibles ; soient N, , No, ..., N|x les diverses valeurs de N, et D,, Do, ..., Dy, celles de D; on aura

N, -:- N, --...-- N„

En effet, laisons, par exemple, x =^ a^ dans l'expression pré- cédente. Le numérateur se réduira au produit de /(ao) pai* une somme de termes de la forme

/(g,) .../(a,,) r_ _^.^ ^ ^ f( ai) . . ./( a,,) ^

<l{ai) ...'l{a„) 'l>{ao) ' ° <!^{ai) . . .<l{a„)'

quant au dénominateur, il se réduit, pour j" = rto,à une

somme de termes de la même forme, puisque l'expression jy

se réduit à /(«o) pour x = «o, si N/ ne se réduit pas à zéro.

VII. — Expression des dérivées en fonction des différences et vice versa.

Etant d )nné 'S les d'-rivées d'une fonction f{x)^ on peut calculer A"/ par la formule de Tavlor. Nous avons trouvé, en

chercliant la limite de — •

On peut écrire, dans cette formule, un nombre de termes

I lO CHAI'II UE lY.

aussi grand que l'on voudra, et le dernier sera d'une forme particulière à la(|uelle il est inutile de nous arrêter. Mais on peut se proposer la question inverse : connaissant

f{x), lj\x), AV(-r), ...,

calculer /''(.r),/"(.r), .... Voici comment Lagranf^e ariive au résultat par une induction très curieuse : posons la for- mule symbolique

d'où, supprimant /"comme s'il était un véritable facteur,

et, par des calculs tout aussi peu rigoureux,

A_i=e/'i>, AD = log(i-f- A).

Appliquant à log( i + A) la formule de Taylor, on a

A- A^ AD=^A- -^ - ...

2 3

et, multipliant par/,

/il)/ ou /ifU) -^ A/- \ AV- - è ^V~- ■■■■

(Quoique ces calculs soient tout à fait dépourvus de sens, le résultat est très voisin de l'exaclitude. Et, en eflc't, nous avons vu que l'on avait

X — .T X — .r \ — .T — /i

fa) -/(x) + .^- A/^. -,- — ^ A./- - . . ,

X — .r X — • .r — h X — .r — n h ^

I 2 " ' n-i- i -^ ■"

lirons de la Iv — tt- ' > nous aurons

X — X

l'aisant alors X = :r, il vient

(g hf'ix) :--: A/- i Ay-. . .± i A"/^. '^Z\ ^"'■'(^>'

DIFFÉIIENCES DES FONCTIONS D LNE V.VUIADLi:. III

^ désign;iiil un nombre compris entre :c et :c -r (/i — \)h. On aurait d'une façon analogue le développement de h-/"(x), mais il serait plus compliqué.

Quand on interpole, on peut faire usage de la formule (i) pour calculer la dérivée de la fonction interpolatrice; mais, comme/"''" '(;) est inconnu, il est difficile de faire usage du dernier terme; alors, le plus souvent, on calcule dans le second membre un nombre de termes assez grand pour cpic les suivants paraissent négligeables. Sans doute, ce procédé est inexact, mais, à délaut de connaissances précises sur la nature de la fonction empirique que l'on étudie, on choisit les hypo- thèses les plus plausibles, et il faut dire que la formule ( i ) fournit généralement des résultats pratiquement suffisants, si h est petit.

VIII. — Application du calcul des différences à la construction des Tables numériques.

Je suppose que l'on veuille dresser une table des diverses valeurs de la fonction x', pour des valeurs de x en progression arilhmi'tique dont la raison soit \x.

On peut éviter de longs calculs comme il suit : on observe (jue X' x' est constant, que les valeurs de ^^ x^ seront con- nues dès que l'on connaîtra l'une d'elles ; il suffira, en effet, d'y ajouter (ou d'en retrancher) successivement la différence constante A''.^:'. Ayant formé les valeurs de à^x'', il suffira, pour former celles de A- j;'', de connaître l'une d'elles. On aura

alors

A-(x-r- Aj-j' = A-j-' -T- A-'x''. ...;

ayant formé les valeurs de A-x*, il suffira d"a\oir une des valeurs de A^' pour posséder toutes les autres; enfin , pour avoir toutes les valeurs de x*, il suffira d'en posséder une seule. Vinsi, par de simples additions ou soustractions, on se pro- curera toutes les valeurs de x', connaissant une valeur de x et les valeurs de ses différences.

112 Cil A PI THE IV.

Dans le Tableau ci-dessous, on a suppose \x = i, et Ton a formé, au moyen de la méthode exposée, les quatrièmes puis- sances de 4j 5, 6. On a calculé directement o*, i^, 2' et 3' que Ton a inscrits dans la colonne intitulée x'' ; dans la colonne intitulée A, on a inscrit Ao', A i '. A 9.* : dans la colonne A-, on a inscrit A'-o', A- 1 '' ; on a inscrit, dans la suivante, A''o'. Toutes ces différences ont été calculées au inoven des quatre premières valeurs o, i, 16, 81 de x''. Quant à A''o, on l'a calculé directement; il est éî^al à 1.2.3.4-

0	0	1	M	36	24
I	I	o	5o	60
2	16	65	1 10	«4	1
3	81	175	194	108 -	1
4	256	369	3o2
5	625	671
6	I2()6

La Table une fois préparée, on a procédé ainsi qu'il suit

En ajoutant A^o'* = 24 à A'o^ = 36, on a obtenu

En ajoutant ce nombre à 5o = A^ 1*, on a obtenu

En ajoutant ce nombre à 65 = A3*, on a obtenu

Enfin, en ajoutant ce nombre à 81 ^ 3'», on a obtenu.. En ajoutant 24 ^ Ao' — Ai' l 'à 60 ^ A^ i*, on a obtenu

Aîo'*=^ 60 \-i'*=^ 1 10 A 4*^175

Une marche analogue aurait permis de calculer ( -i)*, ( — 2)'' , . . . par de simples additions ou soustractions.

Cette méthode peut êtreétenducà des fonctions quelconques qui ne sont pas entières, quand les différences Ar ne sont pas très grandes : i" parce que l'expérience apprend que, le plus souvent, les différences premières, secondes,... vont en décroissant cl peuvent, au bout d'un certain temj)s, être

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS d'lNE VARIABLE. Il3

considérées comme nulles, au point de vue du calcul numé- rique; 2" ou bien parce que l'on a des procédés pour calculer directement les différences d'un certain ordre.

Dans les Tables de logarithmes, par exemple, les différences premières restent longtemps constantes; les différences se- condes sont donc, au point de vue numérique, nulles, c'est- à-dire négligeables.

IX. — Application à la construction des Tahles de logarithmes.

La formule de Taylor nous a permis de développer la fonc- tion log( I -- .c) en série ; on a trouvé (p. yo)

T- .r^ T*

Io-(i-:-x) = J7 r^ r — r - •••;

i. i 1\

en changeant x en — .c, on a

, , , T- x"^ T*

PV / 2 3 4

d'oïl, par soustraction,

' x'^ x'

log — = 2 a: — ■ . .

Si Ton remplace x par — , on trouve

, x— I loîï

[_■- -. ^' 1

Laa^-i- I 3{2x-i- I )' ' ' J

Cette formule suppose que Ton a affaire à des logarilhmes népériens; en posant alors

log vulge = M = .-^~- , ° ^ losio

on a

('

) log(^-^l)-Iog^^2iM -i—H-- 1 ^^...1,

\^ix-T-i 3(2jr-T- i )^ J

et, cette fois, les logarithmes sont pris dans la base lo. Celle L. — Traité d'Analyse. g

Il4 CIlAPITRi: IV.

formule donne donc les dinV'rences tabulaires au moyen d'une série d'aulant plus convergente que x est plus grand.

De la formule précédenle, on tire, en changeant j? en j; — i,

logar— log(.r — i) = aM ( — — -^ - -' -■-...),

et, par souslraclion,

log(x-M)-2log^-f-Iog(.r-i)^-4M r -'-—^-^-...j.

Cette formule fait connaître les difl'érences secondes : elle est encore bien plus convergente que la première. Nous montre- rons seulement l'usage que l'on peut faire de la formule (i). Il faut d'abord calculer le module. Supposant alors M = i , pour commencer, on a

(2) lognép(rH-i)-lognc'pr = 2^_^— '-^ -t-...)'

et, en faisant .r = i,

l0g«Cp2:^-2Q-3-L--^-J-+...).

Avant calculé lognépa au moyen de cette formule, on en déduira lognépS en triplant; en faisant .r = 8 dans la formule (2), on en déduira lognépg; puis, en faisant ^ = g, on aura lognépio et par suite -NI. Ce calcul une fois effectué, avec une exactitude suffisante, on fera successivement .r = 1000, X = looi , . . . dans la formule (i); des séries très convergentes fourniront alors les diflerenees tabulaires d'où l'on déduira les logarithmes des nombres, car on sait que logiooo = 3.

Comme on a calculé directement log2 et logp, on pourra en déduire log4,<^, 16, . . . , logS, 10, 20, . . - , log3,9, 27, . . . , log6, 12,. . ., ce qui ibiiriiira des vérifications de temps en temps.

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS D UNE VAIUAItLE.

X. — Construction des Tables de sinus.

On a proposé do calculci' directement les tables de loga- rithmes de sinus au moyen de certains développements en série dont il sera question plus loin. Mais nous pensons que l'emploi des méthodes plus élémentaires est au moins aussi rapide.

Pour construire une table de sinus et cosinus naturels, on fait usage des formules de Simpson, démontrées dans les élé- ments de Trigonométrie, etque nous transcrivons de nouveau :

[siii (m -^- I ) ^ sin jnh ] — [sin mh — sin (/« — i )li\ rz^ — xl,: sin mh,

k désignant la quantité très petite i — cos/i = asin"'^ ^ A. Cette formule, en y faisant/* = Ax, mJi =;r, peut s'écrire

A2 sin(ar — ù>.x)

ik s\a.x.

On a, de même,

A^ cos(a" — \x) = — Ttkcoix.

Les formules de Simpson font donc connaître, en définitive, les différences secondes des fonctions sin.r, cos.r.

Pour dresser une table de sinus, par exemple, on formera un tableau analogue à celui qui est figuré ci-dessous :

Arcs.	Sinus.	A.	A'.
o	0	A sino	— 2 Â: sin A
h	sin/i	A siii/i	— 2 A- sin 2 A
ih	sinaA	A si n 2 /i
3/i	sin 3 A

Dans la colonne intitulée Arcs, on inscrit les arcs o, h = A.r, o// := aAx, ... : dans la colonne intitulée Sinus, on inscrit o et sin A que l'on suppose connu ; dans la colonne

Il6 eu API TUE IV.

intilulée A, on inscrit Asiiio, ou, ce qui est la même chose, la valeur de sinh; dans la colonne intilulée A-, on inscrit il'abord — aAsinA = A- sino, que Ton peut calculer, puisque l'on connaît 2/." et sinA. Connaissant A sino et A- sin o, on a, par une simple addition algébrique ou par une soustraction arithmétique, A sin//, que Ton inscrit, puis sin 2//, que Ton obtient en ajoutant sinA avec Asin// que Ton vient de cal- culer; connaissant sin 2 A, on calcule

— ik sin 2 A - \- sin //,

et ainsi de suite.

11 reste à montrer comment on calcule sin //, /r, et comment <»n se ménage des vérifications : sin A se calcule au moyen de la série

A3

(i) sinhr./i ---...,

1.2.3

et A" = ( I — • cos h) au moyen de la suivante :

A2 /i*

cos h

1.2 1.2.3.4

/i'-		Al
1 .'2	I A3	.2.3.	4
h —				;•
	1 .2.	1 "^

ces séries ont été données page 49- O" pourra calculer quelques sinus, soit au moyen de la série (i), soit au moyen de la suivante :

sin (a — h) -- sin a i . . . 1

\ 1.-2 1.2.3.4 /

-T- cos a ( h quand on connaîtra sina et cosa.

II. — Application de la théorie des différences à la résolution des équations.

On peut faire usage du calcul des différences pour sub- stituer des nombres équidistants à la place de j: dans la fonc-

DIFFÉRI-NOES DES FONCTIONS D ' l' N E \AniAni.K. II7

lion /{'T')- Si la fonction f{x) est entière, les difTércnces (J'iin ordre égal au dcgri'- de f{x) seront constantes, ainsi que nous l'avons montré, et l'on peut en profiter pour calculer plus facilement /(jc),/(j' ^ h), f{x — 2//\ ... qu'en fai- sant un calcul direct. Nous avons observé que, si la quantité Il était petite, les différences d'un ordre plus ou moins élevé devenaient constantes, numériquement, même pour des fonctions transcendantes. Le calcul rapide des quantitésy(jr), f{x -- // V . . . , par la méthode des différences, peut alors ré- véler, dans un certain intervalle tel queyïj") el/(x-hfi) soient de signes contraires, la présence d'une racine de J{x) = o.

Il y a plus : en supposant /(x) elf(x -:- li) de signes con- traires, et en appelant ^ -^ s la valeur de la racine, de telle sorte que /[X -;- s) --' o, on aura à peu près

- _ _ h/(T) Cela résulte de la formule de JXewlon

quand on v fait /(x) = o, /o =/(\r), x — Xq ^ £, et que

l'on néglige les termes dépendant de A-, A^

Quand on a découvert un intervalle, /i = A.r, comprenant une racine de /{x) --= o, on peut diviser de nouveau cet inter- valle et calculer les valeurs de/(x),/{x— h'),f(x-^ 2//) ,

h' désignant une nouvelle différence de x moindre que /i. Posons

h ■-. Ax, Il = Zx,

fi^ar ~\x)- f{x) -. A/, fix - Zx) - fyx) = 0/,

l/{x - A^) - \/ix) = y-/, o/ix - 0^) - o/(x) = 52/,

Nous allons montrer comment on peut calculer of, o-f. . . en fonction de A/, A-/

I I 8 c n A P I T R K I V.

La formule (rinlorpolation de Newton donne

AV-f-

1 . 2 . i . ;x-* -^

Donc

Si A-^ I, ô^'/« = o; siA> 2, o^/î = o et o''n{n — |j.)== o, . . . Pour n = o, on tire de là

5/== -'^- -^^ (2n — -x-- I)--...,

*^ Il TOUS '

Voici des fornudes toutes calculées, pour le cas où tx ^ 10 :

0/= 0,1 A/— 0,045 A2/^ 0,0285 A^— 0,0206625 A*/^- • -, o-f= 0,01 A2/— 0,009 A^/-:- 0,0077-25 A^/— . . . , ' o^y = 0,001 A^/— o,ooi35 A'* «< -^. . ., 0^/= 0,0001 A*y — . . . .

Ces formules seront en général suffisantes pour tous les besoins de la pratique.

DIFFfiUEMIKLLKS DES FONCTIONS DUNE VARI.VHLE. II9

CHAPITRE V.

THÉORIE DES DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

I. — Sur les divers ordres d'infiniment petits.

Nous avons appelé iiifinimeul pelil toute quantité va- i-iable ayant pour limite zéro, et quantité infinie toute quantité variable susceptible de prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut.

Pour la commodité du langage, nous distinguerons plu- sieurs espèces d'infiniment petits. Une variable a ayant été jirise pour infiniment petit principal, nous appellerons in- finiment peut du premier ordre toute variable (S telle que

la limite de - soit finie et différente de zéro (luand a tend vers

zéro.

3 En général, si, a tendant vers zéro, la limite de — est finie

et différente de zéro, on dira que ^ est d'ordre n.

En appelant donc coune quantité finie et différente de zéro, et |j un infiaimcnt petit d'ordre /?, on aura

lim-!- = w

OU

a" £ désignant une quantité infiniment petite; il en résulte

a^î est un inlinnnent petit d ordre supérieur a /?, car —

120 CnAPITRK V.

lend vers zéro. Ainsi, la forme générale criin infiniment pclil d'ordre n est coa" -- un terme d'ordre supérieur à n.

(^uand on parle tlun inlininicnt petit d'ordre supérieur à n. on ne veut pas toujours dire que l'ordre de eel infiniment petit soit déterminé et puisse être évalué numériquement; on veut dire seulement que le quotient de cet infiniment petit par a" est nul à la limite. Cette remarque est importante, car il V a des infiniment petits auxquels on ne peut assigner aucun ordre, mais que Ion peut toutefois considérer comme étant d'un ordre supérieur à d'autres d'un ordre déterminé.

Prenons, par exemple, a pour infiniment petit du premier ordre; a (Ioga)~' ne sera d'aucun ordre : en effet, nous savons

(losa)-» , ... 11.

que* — '~ — ne tend vers aucune limite quand a tend vers zéro,

quelle que soit la valeur attribuée à a, et cependant a (loga)"' est d'ordre supérieur à l'unité.

La considération des divers ordres d'infiniment petits est extrêmement utile en Analyse; elle permet de simplifier des calculs qui seraient sans cela fort longs. Le principe sur lequel reposent ces simplifications peut s'énoncer comme il suit :

Lorsque Von cherche la limile du rapport de deux infi- niment petits, on peut, sans erreur dans le résultat, rem- placer ces infiniment petits par d^autrcs, pourvu que la limite du rapport de ceux que Von supprime à ceux qu'on leur substitue soit V unité.

En effet, supposons que lim— = i, lim ^, = i . Je disque

[\

En effet,

1^

lim- = lim 1 — — ■'^ ) = lim— lim -; lim 7-

hm^. C. Q. F. D.

Mais on peut énoncer le principe précédent sous une autre forme, souvent plus utile dans lesj applications. A cet effet, observons deux clioses :

DIFFÉRKNTIKLI.ES DES FONCTIONS D LNE VAniABLE. 121

I" Si 1(1 liniile du rapport -, est V unité, a différera de y.'

d'une quantité injininwnt petite d'ordre supérieur par rap- port à a et ,3.

En cfTet, la limite de - ('tant i, — difTère de i d'une quan- lilé Infinimenl petite 3, cl l'on a

a

-7 ~ '

d'où ion lire

La dillerencc entre a et a' est donc a's, quantité d'ordre supé- rieur à a ou a', puisque le rap|)ort de cette quantité à a' est î, qui, par hypothèse, tend vers zéro. c. q. f. d.

2" Si la différence entre deux infiniment petits a et a' est d'ordre supérieur par rapporta cliacun d'eux, la limite

du rapport -7 est i .

En effet, soit o> la différence entre a et a'; on aura

a — a' -^ w, d'où

a w

a' a

Or, 10 étant d'ordre supérieur à a', par définition Uni - =: o. L'équation précédente devient donc, en passant aux limites,

c. Q. F. D.

Du théorème démontré tout à l'heure et des deux remarques précédentes découle le principe suivant :

PniActPE FONDAMENTAL. — On n'altère pas la limite du rapport de deux infiniment petits, en négligeant dans l'ex- pression de chacun d'eux des infiniment petits d'ordre supérieur.

En effet, cela revient à remplacer les infiniment petits

122 en A PI TRI- V.

par d'autres dont la limile du rapport à ccu\-ei tend vers l'unité.

Afin de bien faire comprendre le sens et le mode d'applica- tion de ce théorème rondamentai, nous en ferons usage j)our trouver la limite du rapport

sina? X — x^

pour ^ = 0.

Nous remarquerons à cet elFet que, sin j:" dillérant de x

x"^ dune quantité moindre que -7-j c'est-à-dire du troisième ordre

par rapport àx, on peut remplacer sin x par x\ de même, au dénominateur, on peut négliger x-, qui est du second ordre

|)ar rapport à x\ la limite à trouver est alors celle de - ou 1 .

En général, si l'on veut trouver la limite du rapport de deux polynômes en x pour jc= o, il n'y aura besoin que de consi- dérer les termes des degrés les moins élevés, les autres ternies étant, par définition même, des termes d'ordre supérieur, et par suite négligeables.

Vi Analyse infinitésimale consiste dans l'application des principes que nous venons d'établir et surtout du principe fondamental que nous avons énoncé en dernier lieu.

II. — Définition des différentielles.

Soienty(x) une fonction de x possédant une dérivéey"'(:r), et \x un accroissement infini ment petit donné à sa variable. On a

l.m- -^f{x)

OU bien, en appelant £ une quantité infiniment petite avec \x,

DIFFÉRENTIEI-Li: s DES FONCTIONS D'lNE Y\niAnLP. 123

et, en chassant le dénoiiiiiialciir,

ou enfin

^f{x)=/\x)\x-.E,,

Eo désignant un Inliiiiinent petit d'ordre supérieur à Aj7,

puisque Eo = £ A.r, et que -^ = s a pour linille zéro par

hypothèse. En général, /'{./") est fini; donc f\x)^x et Ay(x) sont des infiniment petits du premier ordre qui ne difTcrent entre eux que par un Infiniment petit d'ordre supé- rieur Eo.

En \erlu de notre principe londamental, toutes les fols qu'il s'agira de trouver une limite de rapport dont l'un des termes sera A/(.r) ou/'(j') \x, on pourra substituer l'une de ces quantités à l'autre sans qu'il en résulte d'erreur dans le résultat final.

Ordinairement le calcul de f'{x) ^x est plus simple que celui de A/, en sorte qu'il est avantageux de le substituer à celui de A/. L'importance de celte substitution est telle, que l'on a éprouvé le besoin de donner un nom à cette quantité J'{x) A.r; on l'appelle la diJJ'érentielle de/iJ").

Ainsi, la différentielle d'une Ibnetion d'une variable est le produit de la dérivée de celte fonction par l'accroissement arbitraire de sa variable.

Cette définition de la différentielle ne suppose pas l'ac- croissement de la variable infiniment petit; ainsi la différen- tielle d'une fonction n'est pas nécessairement infiniment |)elile, bien qu'il y ait le plus souvent intérêt à la consi- dérer comme telle. On représente la différentielle de la fonc- tion y' [)ar (lf\ ainsi l'on a

df = f\x)^x.

On voit donc que la différentielle df diffère en général de l'accroissement A/, mais par une quantité du second ordre. Si, cep(ndanl, on avait /'(j:)=r \ ou /(jp) = j: -h c, la for-

124 CnAPITRr V.

mule prccrdcntc ilonnor;iil

df A.r : ^ A/.

En parliciilier, si l'on prend /(^) = ;r, et, par suite, f'{x)=^ I, la formule qui définit r//, à savoir «(/' = /'(./') Ajr, donnera

Ainsi, Vaccroissnmcnt ou la différence et la différen- tielle de la X'ariablc indépendante sont égaux.

La formule

df-flx,

qui sert de définition à la différentielle de/, pourra donc

s'écrire

df f'dx. d'où l'on tire

Ainsi, la dérivée d' une fonction est rigoureusement le quotient de la diff'érentielle de cette fonction par la diffé- rentielle de sa variable. Nous adopterons le plus souvent la notation -^ pour représenter la dérivée de /. On sentira

plus tard toute la supériorité de cette notation, due à Leib- nitz, sur celle de Lagrange, qui est celle que l'on emploie dans les éléments [voir, à cet égard, le paragraphe relatif au changement de variable).

La différentielle df esl une fonction de x; à ce titre, elle possédera elle-même une différentielle (si elle a une dérivée); cette différentielle, d.df, se représente par d-f. La difTéren- tielle de d-f se représente par <:/y, ... ; et df, d-f, t/'/, . . . sont d'ilesles différentielles première, seconde, troisième,. . . de/. Soit

df = f'dx;

pour avoir d.df ou d-f, il faudra prendre la dérivée de df ou de f'dx, et multiplier le résultat par dx. Or, dx,

DIIFÉUFNTIELLES DES FONCTIONS d'dNE VARIABLE. 125

accroissoinciil arbiliaire \.v de x, est indi'pendanl de .r ou, si l'on veut, esl coiislanl quand jc varie ; la dérivée de f'dx esl done /"(/^' el sa diirérenlielle /"<:/.r. dx ou /"t/j;-. Ainsi

Ci) d^-f=J"dxK

d'où l'on lire

dx^ '' '

ce qui nous autorise à adopter la notation -—^ pour repré- senter la dérivée seconde de/.

Pour avoir d.d-f ou la différentielle troisième d^f de J\ il faudra différentier /"t/^-, qui est égal à d-f; pour cela, on en prendra la dcr'i\vc, /'" dx-, et on la multipliera par dx,

ce qui donnera

d^f ==/'"( x)dxK

et ainsi de suite. En général, on aura

d"f^f'^\x)dx>^ ou ^'^-/""(•^).

ce qui nous autorisera dorénavant à employer la notation -T^ pour représenter la «"^^""' dérivée de /.

III. — Remarques au sujet de la formule de Taylor. Reprenons la formule de Taylor, et écrivons-la ainsi :

(,) f(^x~h)-f{x)=.hf\x) -^^^J\x)~-...^r-^^^J"{x^^h).

Elle ne suppose pas la dérivée /i''""^, f"{^)i continue dans l'intervalle qui sépare x àe x -r- h ; elle suppose simplement ([ue cette dérivée existe.

Supposons maintenant que /"(x) soit continu; alors on a

/«(.r :-OA)=/«(r)-£,

£ désignant une quantité infiniment petite avec li ou a for-

126 cil A IM THE V.

tiori a\cc 0/a; on pourra donc écrire la formule ( i ) ainsi :

E„, I dcsinnanl — — < c'csl-à-dirc une nnanLil('' d'ordre su- ■^ '- \ .? ..,n '

périeur à /? (juaiul on su[)pobe // inliiiinicnl pclil. I*^,,^.!, telle

est la forme que l'on peut donner au reste dans la formule de

ïaylor, quand la dernière dérivée employée est continue.

Maintenant, supposons h = A.r; nous aurons

/(.r--/0-/(x) = A/(r).

La formule (2) pourra alors s'écrire

i.a i,2.3...w

Or on a, par définition,

fXx) \x =/' (x) dx =df,

/"(x) \x'- =/" {x)dx^^ d%

f'^{x) \x'> =f'^{x) dx" = d"f. La formule précédente devient alors

(3) ^f=d/^ J_#/+ __i^rfy^..,^^-_L_<,y^E„„,

E„+i désignant un infiniment petit d'ordre supérieur à^/î, quand on suppose A^ = dx infiniment petit du premier ordre.

Cette formule suppose la continuité de /"{x) quandj la variable reste comprise entre x et x H- dx.

La formule de Taylor est souvent employée sous les formes (2) et (3).

IV. — Comparaison des différences et des différentielles. Nous avons vu que

lim — f"(^).

\x" ' ^ '

DIFFfiHKNTIF.I.LKS DES FONCTIONS d'uNE VAniAIU.E. 12-

Oii peul écrire celle formule ainsi :

e désignant une (juanlilé inlinimcnl petite avec Aj: = dx\

d"J dx"

d" f Remplaçons \x par dx el /" par son égal '^^ ; nous aurons

dx"^ ~ iLcn "

ou bien, en appelant E„+( l'infiniment petit d'ordre supé- rieur à n qui est le produit tdx"^

A"/ f/«/ E„^,.

Cette formule montre que la différence /l'ème d'une fonc- tion est égale à sa différentielle n'^''"^, à un inff.ninient petit près d'ordre supérieur au n'^^^. Les quantités d"f et A"/ sont d'ordre n\ elles pourront donc se substituer l'une à l'autre dans la recherche de lu limite d'un rapport. On a d'ailleurs

hm -■-. = I. d"J

V. ^ Remarques sur le Calcul différentiel. — Son avantage sur le calcul des dérivées.

La difTérentiellc d'une ibnction étant le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable, on aura

d.x'" ^ mx'"-^ dx,

dloi'x = - dx\o":e,

X °

de^ = e^ dx.

11 est bon de noter les formules

I d {u~v r- iv ) — du ~ dv — dw , , , ' d(iiviv)^=vwdii^uwdv-\-uvdw.

, u V dit — u dv

d- = r

120 C a A PITRE V.

Ces formules se démonlrenl en observant que, si Ton divise

par dx^ les quanlilés -t--> -t-> . . . représenlenl les dérivées

u, V, . . • , et qu'alors elles expriment les règles de la déri- vation des sommes, des produits, des quotients. Ainsi, par exemple, la formule

(lôrivôe de («ft'ir) -~ vwu' -r- invv' — uv^v' s'écrit, avec la notation différentielle iu^ T" ) '

diuviv] du dv div

— — = vw -j- - uw —, ; inf -f—j

dx dx dx dx

et, en chassant le dénominateur clx^ on a la deuxième formule. Notons encore, pour la discuter, la foi^mule

du du dv dw dx dv dw dx

qui est relative à la dérivation des fonctions de fonctions. Au fond, elle est une identité, mais on pourrait craindre

du . . ^ . I 1 . • . 1 • 1 / '

que -7- n exprimât point Ja dérivée de u considère comme

l'onction de p, parce que v n'est pas variable indépendante; mais, quel que soit le choix de la variable indépendante, il est facile de constater que les rapports des diverses différen- tielles ne sont pas altérés; en d'autres termes :

Théouème. — Quand on prend pour variable indépen- dante une fonction quelconque de V ancienne variable, les différentielles des fonctions cjuelconques de l'ancienne variable' ne changent pas de valeur si l'une quelconque d'entre elles conserve une valeur fixe.

En effet, appelons dyU, dyV les différentielles de u et v quand j^ = ^(•^) ^st pris pour variable indépendante, et dxU^ dxV les différentielles de u et v relatives à \x. On aura

dj:U = u'j. dx, dx V = i'u- dx. Donc

d,U u',. u\ v'r u'y _ u'y dyV _ dyU

d.cV ~ V_^~ Vy Y'x ~ Vy ~ Vy dy/ ^ dyV'

DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS d'l'NE VAniABLE. 129

et si dj-'f' = t^^r-i' = (^J^, on obtiendra, en particulier, en fai- sant V = ./•.

drii dyU , ,

— -, — = - ,— ou (l(U — ClyU.

dx ax

G. Q. F. D.

Ainsi, il n'v a pas à proprement parler de variable indé- pendante, el df se trouve être une quantité <|ui ne dépend pas du clioix de la variable indépendante, tandis que /' varie suivant que x ou y sont variables indépendantes; c'est là un des avantages de la notation difierentielle; il y en a beaucoup d'autres.

On peut d'ailleurs donner des difTérentielles une défini- tion tout à fait indépendante du choix de la variable, et dire que : quand des quantités u, v, (r, ..., x varient simultané- ment, leurs différentielles sont des quantités finies pro- portionnelles aux accroissements injiniment petits simul- tanés de ces quantités u, r, (v, —

On verra plus loin, au contraire, que le choix de la va- riable indépendante influe sur la valeur des différentielles d'ordre supérieur au premier.

A tout théorème sur les dérivées correspond un théorème sur les difTérentielles, provenant de ce que la dérivée et la différentielle sont égales à un facteur près, qui est l'accrois- sement arbitraire de la variable. Ainsi :

Lorsqu'une fonction est constante, sa différentielle est nulle. Lorsqu'une fonction a sa différentielle nulle et qu'elle est continue, elle est constante ; etc —

V. — Sur un mode de raisonnement employé dans l'Analyse infinitésimale.

Lorsque l'on cherche à établir une relation entre diverses

différentielles, on peut toujours négliger les infiniment petits

d'ordre supérieur (et, par suite, on aura toujours des équations

homogènes en considérant la lettre d comme une quantité

L. — Traité d'Analyse, I. 9

loO CHAIMinE V.

et d-, f/^, . . . comme ses puissances); le résullat final sera exact.

Une démonstration est nécessaire, non seulement pour- établir ce lait, mais encore pour bien en faire saisir le sens.

Je suppose qu'ayant cherché à établir une relation entre des ditrérentielles on soit parvenu au résultat suivant :

(i) A il\r -■- B dr'- ^,- C dz'^ = o,

où A, B, C désignent