LEÇONS

SUR LES

INVARIANTS INTÉGRAUX

iri^

E^-^'CARTAN

Professeur a. la Faculté des Sciences de Paris

LEÇONS

SUR LES

INVARIANTS INTÉGRAUX

Cours professé à la Faculté des Sciences;|[de Paris

PARIS

LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN & FILS
J. HERMAxNN, Successeur

6, ROE DB LA SORBONNB, 6

192a

Cil

INTRODUCTION.

Cet ouvrage est la reproduction d'un cours professé pendant le
semestre d'été 1 920-1 921 à la Faculté des Sciences de Paris.

La théorie des Invariants intégraux a été fondée par H. Poincaré et
exposée par lui dans le tome III de ses « Méthodes nouvelles de la Méca-
nique céleste » .

Dans deux notes aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences
(16 et 3o juin 1902), l'auteur avait été conduit, dans l'étude des
équations différentielles admettant des transformations données, à
considérer certaines formes différentielles qu'il appelait Jormes inté-
grales : elles étaient caractérisées par la propriété de pouvoir s'ex-.
primer au moyen des seules intégrales premières des équations diffé-
rentielles données et de leurs différentielles. C'est en approfondissant
ses recherches dans le même ordre d'idées que l'auteur était arrivé,
d'une part à fonder sa méthode d'intégration des systèmes d'équations
aux dérivées partielles qui admettent des caractéristiques ne dépendant
que de constantes arbitraires (caractéristiques de Cauchy), d'autre part à
fonder sa théorie de la structure des groupes continus, finis et infinis, de
transformations.

Or il se trouve que la notion de forme intégrale ne diffère pas essen-
tiellement de celle d'invariant intégral. C'est la confrontation de ces deux
notions qui est à la base du présent ouvrage.

Considérons par exemple un système de trois équations différentielles
du premier ordre à trois fonctions inconnues x, y, z, delà variable indépen-
dante t ; on peut les regarder comme définissant une infinité de trajec-
toires d'un point mobile. Une forme différentielle, telle que Vdx H-
Qdy -+- Kdz -+- Udl par exemple, peut être envisagée comme une quan-
tité attachée à un état (x, y, z, t) du mobile et à un état infiniment voisin
{x -h dx, y -h dy, z ■+■ dz, t -\- dt). Dire que cette forme est intégrale
{wi invariante, suivant la dénomination qui sera adoptée dans ces Leçons),
«ignifie évidemment que cette quantité ne dépend que delà trajectoire qui

INTRODUCTION

contient le premier état et de la trajectoire infiniment voisine qui contient
le second état. Autrement dit, une forme invariante ne change pas de
valeur si on déplace d'une manière quelconque les deux états [x, y, z, t),
(x -h dx, y -h dy, z -h dz, t -^ dt) sur leurs trajectoires. Si l'on consi-
dère alors une suite continue linéaire de trajectoires et si on étend l'inté-
grale / Vdx -h QJy -f- Rc/z à l'arc de courbe lieu des positions prises
par le mobile sur ces trajectoires à un même instant t, cette intégrale est
indépendante de t : c'est un invariant intégral au sens de H. Poincaré.
Inversement il existe un moyen très simple de remonter d'un inva-
riant intégral / Pc/cc -+■ Qdy -+- Rc/z de H. Poincaré à la forme invariante
correspondante Vdx -h Qdy -+- Kdz -+- lîdt.

Ces considérations ne sont pas limitées aux formes différentielles liné-
aires. Toute forme différentielle invariante susceptible d'être placée sous
un signe d'intégration, simple ou multiple, donne naissance à un inva-
riant intégral au sens de H. Poincaré, si l'on y supprime les termes qui
contiennent la ou les différentielles de la variable indépendante (').

En définitive la quantité sous le signe d'intégration dans un invariant
intégral de H. Poincaré n'est autre chose qu^une Jorme différentielle in-
variante tronquée. Le caractère invariant de l'intégrale complétée est
conservé si elle est étendue à un ensemble quelconque d'états, simul'
tanés ou non.

Les conséquences de ce rapprochement entre les deux notions d'inva-
riant intégral et de forme différentielle invariante sont nombreuses. En
premier lieu toutes les propriétés relatives à la formation des invariants
intégraux, à leur dérivation les uns des autres, deviennent évidentes par
elles-mêmes. Il en est de même des applications à l'intégration des équa-
tions différentielles.

Une autre conséquence, relative aux principes de la Mécanique, doit
être signalée. H. Poincaré a démontré que les équations générales de la
Dynamique possèdent la propriété d'admettre un invariant intégral
(relatif) linéaire, à savoir

(0 ( Pi^qi -hp2^q-2 + ... -hp,f^qn,

où les ç, et les/),, désignent les variables canoniques d'Hamilton. Si l'on

(^) M. R. Hargreaves, dans un mémoire des Transactions ofthe Cambridge Philoso-
phical Society (t. XXI, 1912), avait déjà considéré des intégrales contenant la différen-
tielle de la variable indépendante ; mais son point de vue est tout différent de celui du
texte, et il fait toujours jouer un rôle à part à la vatiable indépendante.

[NTRODUGTION

complète la forme différentielle sous le signe / , l'invariant intégral prend
la forme

j Pi^<1i

(2) I pioqi + ... + p„^n — HS/,

où H désigne la fonction d'Hamilton. On voit ainsi apparaître, à côté
des quantités de mouvement (pi, ..., p„) du système matériel considéré,

son énergie H. La forme sous le signe / acquiert ainsi une signification

mécanique extrêmement importante ; on peut lui donner le nom de ten-
seur n quantité de mouvement-énergie »(*). L'ac^ton élémentaire d'Hamilton
n'est autre que ce tenseur considéré le long d'une trajectoire : la
notion d'action est ainsi reliée à celles de quantité de mouvement et
d'énergie.

11 y a plus. Non seulement les équations différentielles du mouvement
admettent l'invariant intégral (2), mais encore ce sont les seules équa-
tions dilTérentielles qui jouissent de cette propriété. On peut alors placer
à la base de la Mécanique le principe suivant, auquel on pourrait donner
le nom de « principe de la conservation de la quantité de mouvement et
de l'énergie » :

Les mouvements d'un systcnie matériel {à liaisons holonomes parjaites,
soumis à des forces dérivant d' une fonction des forces) sont régis par des
équations différentielles du premier ordre entre le temps, les paramètres
de position et les paramètres de vitesses, et ces équations différentielles
sont caractérisées par la propriété que l'intégrale du tenseur « quantité de
mouvement-énergie », étendue à une suite continue linéaire Jermée quel-
conque d'étals du système, ne change pas de valeur quand on déplace
d'une manière quelconque ces états le long de leurs trajectoires respectives.

Dans cet énoncé l'expression état désigne l'ensemble des quantités qui
définissent la position du système dans l'espace, l'instant où il est consi-
déré et les vitesses à cet instant.

L'énoncé précédent est plus abstrait et moins intuitif que celui de la
moindre action d'Hamilton par exemple. H a néanmoins sur lui un avan-
tage qu'il importe de signaler. Les équations de Lagrange permettent
de donner aux lois de la Mécanique une forme indépendante du repérage
adopté pour l'espace, et c'est ce qui fait leur importance. Mais le temps

(*) La forme indiquée se présente tout naturelicmeut quand on calcule la variation
de l'intégrale d'action d'Hamilton ; elle a déjà été signalée à ce point de vue. C'est du
reste ainsi qu'elle est introduite dans ces Leçons.

VIII IT^TRODUCTION

y garde encore une situation privilégiée. Au contraire le principe de la
conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie donne aux
lois de la Mécanique une forme indépendante du repérage adopté pour
l'Univers (espace temps) : si l'on effectue un changement de variables
portant à la fois sur les paramètres de position du système et sur le
temps, il suffit de connaître la forme prise par le tenseur « quantité de
mouvement-énergie » dans le nouveau système de coordonnées pour
pouvoir en déduire les équations du mouvement. On obtient ainsi un
schéma auquel doivent se subordonner toutes les théories mécaniques, et
auquel en effet se subordonne la Mécanique relativiste elle-même.

Il est important de faire remarquer que ce schéma ne s'applique qu'aux
systèmes matériels dépendant d'un nombre fini de paramètres.

Le présent ouvrage laisse de côté un grand nombre d'applications de
la théorie des Invariants intégraux ; en particulier celles, extrêmement
importantes en Mécanique céleste, qui se rattachent à la théorie des solu-
tions périodiques du problème des trois corps, à la théorie de la stabilité
à la Poisson, sont systématiquement laissées de côté. On s'est limité prin-
cipalement aux applications relatives à l'intégration des équations diffé-
rentielles ; mais, même dans cet ordre d'idées, le problème n'est
qu'amorcé.

On s'est cependant efforcé de montrer que ce problème ne peut pas
être considéré isolément ; on ne fait que l'étriquer si on ne le regarde pas
comme un aspect particulier d'un problème plus général dans lequel doit
entrer la considération non seulement des invariants intégraux, mais
encore des équations de Pfaff invariantes pour les équations différentielles
données, et aussi des transformations infinitésimales qui conservent ces
équations difiérenlielles. Un exposé complet du problème aurait dépassé
de beaucoup le cadre de ces Leçons et aurait au surplus exigé quelque
connaissance de la théorie des groupes continus. On s'est borné à montrer
en quelques occasions le rôle fondamental joué en dernière analyse par
le groupe G des transformations qui, appliquées aux intégrales des équa-
tions différentielles données, laissentinvariants tous les renseignements con-
nus a priori sur ces intégrales ('). Tout système d'équations différentielles
se ramème à des systèmes types, dont chacun correspond à un groupe G
simple. Si ce groupe simple estjini, on obtient des systèmes d'équations

(') Cf. E. Gartam. — Les soas-groupes des groupes continus de transformations ;
Ann. Ec. Norm. (3), t. XXV (1908), p. 57-194 (Ghap. I*').

INTRODUCTION It

différentielles qui ont été étudiés spécialement par S. Lieet M. E.Vessiot, qui
leur a donné le nom de sytbmes de Lie. Ils se rattachent à la théorie des
invariants intégraux en ce sens que, au besoin par l'adjonction de fonc-
tions inconnues auxiliaires, ils admettent autant d'invariants intégraux
linéaires qu'il y a de fonctions inconnues. On trouvera, en les envisageant
de ce dernier point de vue, quelques indications générales dans le cha-
pitre XV de ces Leçons.

Si le groupe G simple est infini, et si l'on fait abstraction du cas où
c'est le groupe le plus général à n variables, auquel cas on ne sait rien sur
le système d'équations différentielles correspondant, il admet soit un in-
variant intégral du degré maximum (théorie du multiplicateur de Jacobi),
soit un invariant intégral relatif linéaire (théorie des équations réduc-
tibles à la forme canonique), soit une équation de Pfaff invariante (équa-
tions se ramenant à une équation aux dérivées partielles du premier
ordre). Les chapitres XI-XI V sont consacrés à ces théories classiques.

La notion d'invariant intégral peut être envisagée d'un point de vue
un peu différent du point de vue habituel, qui est celui de H. Poincaré, et
qui est en somme celui où on s'est placé dans ces Leçons. Au lieu de con-
sidérer une intégrale multiple attachée à un système d'équations différen-
tielles vis-à-vis duquel elle jouit d'une propriété d'invariance, on peut la
considérer comme attachée à un groupe de transformations par rapport
auquel elle est invariante. Les deux points de vue sont du reste connexes.
Le dernier est celui auquel s'est placé S. Lie et qui lui a paru pendant
quelque temps le seul vrai. Là encore la notion d'invariant intégral joue
un rôle important puisque, comme l'auteur l'a montré (*), tout groupe de
transformations peut, au besoin par l'adjonction de variables auxiliaires,
être défini comme l'ensemble des transformations qui admettent un
certain nombre d'invariants intégraux linéaires. Cet aspect de la notion
d'invariant intégral est complètement laissé de côté dans ces Leçons.

Plusieurs chapitres sont consacrés aux règles de calcul des formes
différentielles qui se présentent sous les signes d'intégration multiple.
M. Goursat donne à ces formes le nom d'expressions symboliques ; je
propose de les appeler formes différentielles à multiplication extérieure,
ou, plus brièvement, formes différentielles extérieures, parce qu'elles

(*) E. Cahtàn. — Sur la struclure des groupes infinis de transformations] Ann.
Ec. Norm. (3), t. XXI (190/1), p. i53-ao6; t. XXII (igoS). p. aig-SoS.

X INTROBUCTIO?»

obéissent aux règles de la multiplication extérieure de H. Grassmann. De
même je propose d'appeler dérivation extérieure l'opération qui permet
de passer d'une intégrale multiple de degré p — i étendue à une variété
fermée à p — i dimensions à l'intégrale multiple égale de degré p
étendue à la variété à p dimensions limitée par la première (*). Cette opé-
ration, qui se ramène aux opérations classiques de dérivation lorsque les

coelTicients de la forme différentielle sous le signe y admettent des déri-
vées partielles du premier ordre, peut conserver un sens lorsqu'il n'en
est plus ainsi. Il se pose à cet égard des problèmes intéressants qui n'ont
pas été systématiquement étudiés et qui mériteraient de l'être.

L'ouvrage se termine par deux chapitres, très sommaires du reste, sur
les relations de la théorie des Invariants intégraux avec le Calcul des
variations et avec les, principes de l'Optique.

On trouvera à la fin du volume une liste, qui n'a pas la prétention
d'être complète, des principaux travaux relatifs à la théorie des Invariants
jntégraux. Les mémoires relatifs aux théories classiques du multipli-
cateur de Jacobi, des équations canoniques et des équations aux dérivées
partielles du premier ordre ne sont cités que lorsqu'ils se rattachent direc-
tement à la théorie des Invariants intégraux.

Le Chesnay, 34 novembre 1921.

(') C'est r« opération D » de M. Goursat.

LEÇONS

SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

CHAPITRE PREMIER.

LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D'HAMILTON
ET LE TENSEUR t QUANTITÉ DE MOUVEMENT-ÉNERGIE

I. — Cas du point matériel libre.

1. On peut fonder toute la Mécanique analytique sur un principe qui
ramène la détermination du mouvement d'un système matériel à la résolu-
lion d'un problème du Calcul des variations : c'est le principe d* la moindre
action d'Hamilton. Nous allons d'abord l'exposer dans le cas d'un point ma-
tériel libre soumis à une force dérivant d'une fonction des forces U, fonction
donnée des coordonnées rectangulaires x, y, z du point et du temps t.
Dans ce cas simple le principe d'Hamilton s'énonce ainsi :
Parmi tous les mouvements possibles qui font passer le point matériel d'une
position donnée [xq, y^, z^) à rinslani t^ à une autre position donnée {xi, j,, Zj)
à Vinslant t^, le mouvement réel est celui qui rend minima l'intégrale définie

W = p ["i m(x'* -f- y'^ -^ z'^) -t- Ulrf/.

Dans cette expression m désigne la masse du point; x' , y', z' les composantes
de sa vitesse; la quantité sous le signe somme s'appelle l'action élémentaire,
et l'intégrale W est V action dans l'inlervalle de temps {t^, /,).

Pour démontrer ce principe, regardons x, r, z comme des fonctions de t
et d'un paramètre arbitraire a et calculons la variation de W quand on donne
à a un accroissement Sa, en supposant que x, y,
pour l ^=.to et a Xi, Vj z^ pour t = ti, et cela quel que soit a. On a

= I m(x ex H- y ôv -h zoz) -+- — dx -^ ôy H Bz Idl :

J, L ^ -^ " ' ax ùY -^ ôc J

''0

E. Cautas. — LeçoDs sur les Invariants intégraux.

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

da\bt J dt\doi j dt '

une intégration par parties donne alors, en remarquant que ôx, oy,
s'annulent aux limites,

sw =

rte^

d'x\. /ôU

-'"S?h

-{f-

-'»'•

Sil

'on veut que SW soit nul pour a =

: O quelles >

que soient

les fonctions

Bx, Sj,

, 52 de f nulles

aux limites, il faut

et il suffit

, en appliquant un rai-

sonnement classique,

que l'on ait, pour a

= o,

/ d'x

(0

/ dh

dz '

11 résulte de là que les mouvements que prend le point matériel sous Vaclion
de la force donnée réalisent l'extremum de Vintégrale W par rapport à tous les
mouvements possibles infiniment voisins correspondant aux mêmes positions initiale
et finale du point, et de plus que ces mouvements sont les seuls qui jouissent de
cette propriété.

En toute rigueur on ne peut parler que de l'extremum de l'action et non
du minimum, car la condition que la variation première SW s'annule est une
condition nécessaire et non suffisante pour le minimum,

2. L'action élémentaire

Fi m{x'^ -+■ /« -+- z'^) + Ulcif

semble introduite ici par un pur artifice de calcul afin de pouvoir énoncer
sous une forme condensée les lois du mouvement. Nous allons voir qu'on
peut substituer au principe d'Hamilton un autre principe équivalent qui
fait aussi apparaître une expression linéaire en dx, dy, dz, dt, mais dont tous
les coefficients ont une signification mécanique simple.

Revenons en effet à l'action W, mais en supposant maintenant que f^ et t^
sont eux-mêmes des fonctions du paramètre a, les valeurs correspondantes
Xq, Jq, Zq, Xi, yi, zi étant' aussi des fonctions de a. Le calcul de oW donne,
en appliquant les procédés de dérivation d'une intégrale définie,

m = \-m{x"' + y'^-hz'^)-i-\]] 3i,_ri,„(a;'»4-/2+c'^) + Ul ot,

-+- [mx'8x -+- my'8y -j- mz'Bz]^_^ — [mx'ox -f- my'oy -+- mz'Sz]j_j

_^ P' r/ôU d'x\^ /ôU dh\. /dU dh\ . 1 ,.

LE PROGIPE DE LA MOINDRE ACTION d'iIAMILTON y

Remarquons maintenant que l'on a

et par suite

[^^]t=t = ^^1 — a^i'S^i.

La formule qui donne 8W est donc

6W = mxi'(Sx, — Xi'àti) -h myi'(8yi — j/Sf,) -+■ mzi'{hi — 2/8^1)

(2) ^ V •

Posons

/ (Dg z= mx'(Sx — a;'&t) + my\^y — y'ot) -+- mz\8z — z'^i)

(3) ) H-[im(x'^+/» + z'^) + u]8i

r = mx'àx -+- my'èy + mz'oz — - m(x'^ + j'^ 4- 2'*) — U Si.

L'expression différentielle qui s'introduit ainsi a pour coefficients, d'abord
mx', my\ mz',
c'est-à-dire les composantes de la quantité de mouvement du mobile, ensuite

- m(x'* + j^ + z'^) — U.

c'est-à-dire \ énergie E.

Grâce à cette notation on peut écrire

•vw r 11 f'^ r/ôU d^xX, /ôU dV\. , /ôU d«2\ j -1 ,,
oW=M:+ j^^ |_(__m^).x+^--m^?jo:,+ (^__m^j 8zJdL

Supposons maintenant qu'on considère une suite de trajectoires réelles dé-
pendant d'un paramètre a et qu'on limite chaque trajectoire dans un inter-
valle de temps (/q, 't) variable avec a. La formule qui donne la variation de
l'action le long de ces trajectoires variables se réduit à

8W = (0)5)1 — (a)g)o.
Supposons enfin que nous considérions un tixhe de trajectoires, c'est-à-dire
une suite continue linéaire fermée de trajectoires dont chacune est limitée
à un intervalle de temps (<o, '1) ; la variation totale de l'action quand on est

?i LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

revenu à la trajectoire initiale est évidemment nulle, de sorte que, en inté-
grant par rapport à a, on a

/k).=/

3- Pour interpréter le résultat qui vient d'être obtenu, convenons d'appeler
état du point matériel l'ensemble de sept quantités

X, y, z, x\ /, z', t

définissant, les trois premières la position du point, les trois suivantes sa vitesse
et la dernière l'instant où le point est considéré. On peut regarder un état
comme un point d'un espace à sept dimensions, l'espace des étals. Une tra-
jectoire peut être définie comme la suite des états qui correspondent à un
môme mouvement réel du point, c'est-à-dire en somme comme une solution
du système d'équations différentielles

(4)

dx' ôU

"'-dJ=^'

{dT = y'

dy' ôU

m -5- = — '
dt dy

U=^'

dz' i)U
""-dt^-^'

►'après cela l'intégrale curviligne

1 aig = 1 mx'ôx -+-

iT^y'^y -+- riiz'oz —

■ E5i

étendue à une courbe fermée quelconque de Vespace des élods ne varie pas si l'on
déplace d'une manière quelconque chacun des états qui la composent le long de la
trajectoire correspondant à cet état.

On peut encore dire qu'étant donné an tube quelconque de trajectoires, l'inté-
grale I 10^, étendue à une courbe fermée qui fait le tour de ce tube, est indépen-
dante de cette courbe et ne dépend que du tube.

On peut remarquer que l'expression w^ peut être regardée comme le tra-
vail élémentaire d'un vecteur de l'univers à quatre dimensions (x, y, z, t) ;
ce vecteur aurait pour composantes spatiales les trois composantes ordinaires
de la quantité de mouvement et pour composante suivant le temps l'énergie.
On peut l'appeler le « tenseur quantité de mouvement- énergie » ; chacune
de ses composantes a ainsi une signification mécanique simple. *

4. Si on considère une suite d'états simultanés, c'est-à-dire si on suppose

it = 0, l'intégrale 1 tog se réduit à

/

m{x'5x -+- y'oy -h z'àz)

LE PRINCIPE DE LA MOI>!DRE ACTION D HAMILTOX i)

en nous plaçant à ce dernier point de vue, nous obtenons le théorème sui-
vant :

Si on considère une suite fermée de trajectoires et si on prend sur ces trajec-
toires l'état correspondant à un même instant donné t quelconque, Vintégrale

f

i{x'r,x -h y'Zy + z'oz) étendue à la suite fermée d'états ainsi obtenue est

indépendante de t.

Ce théorème est dû à H. Poincaré qui caractérise la propriété ainsi obtenue
en donnant le nom d'invariant intégral à l'intégrale

/

m{x'5x -+- y'oy + z'oz)

^OUS

étendue à un contour fermé.

Dans cette conception de Poincaré, la notion d'énergie n'intervient pas ;
elle apparaît nécessairement si, au lieu de considérer une suite fermée d'états
simultanés, on considère une suite fermée d'états quelconques,

dirons que l'intégrale I wg du tenseur « quantité, de mouvement-
énergie » est un invariant intégral complet, — ou plus simplement invariant
intégral, quand aucune confusion ne sera à craindre — pour les équations
dilïérentielles du mouvement. L'invariant intégral de Poincaré est donc
l'invariant intégral complet du tenseur « quantité de mouvement-énergie »
envisagé sous un aspect particulier.

Il est remarquable que si, au lieu de considérer une suite d'états simultanés,
on considère une suite d'états satisfaisant aux relations

ûx = x'ot, èy = y'8t, ùz = z'ot,
le tenseur ws se réduit à l'action élémentaire d'Hamilton

fi ,n{x'^ -h /2 -+- 2'2) 4- Uls/.

Par suite l'invariant intégral de H. Poincaré et l'action d'Hamilton sont deux
aspects différents de l'intégrale de la « quantité de mouvement-énergie », bien
qu'à première vue il n'y ait aucun rapport entre ces deux notions.

5. Dans ce qui précède nous avons simplement déduit du principe
d'Hamilton une propriété du tenseur « quantité de mouvement-énergie »,
à savoir que l'intégrale de ce tenseur le long d'une ligne fermée d'états ne
change pas quand on déforme celte ligne fermée sans changer les trajectoires
sur lesquelles elle s'appuie. Nous allons démontrer maintenant que celte pro-
priété peut remplacer le principe d'Hamilton, c'est-à-dire que les équations
différentielles du mouvement sont les seules qui admettent comme invariant inté-
gral l'intégrale I wg étendue à un contour fermé quelconque.

6

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Soit en effet

(5)

dx dy dz dx' dy' dz' dt

tour

où les dénominateurs sont des fonctions déterminées des sept variables
X, y, z, x' y y\ z', t, un système quelconque d'équations différentielles. Ima-
ginons un tube de courbes intégrales de ce système dépendant d'un para-
mètre a ; ce paramètre variera par exemple de o à /, la courbe intégrale cor-
respondant à a = Z coïncidant avec celle qui correspond à a ^ o. Pour

exprimer que l'intégrale I wg étendue à une courbe fermée faisant le

de ce tube ne dépend pas de la courbe fermée choisie, nous imaginerons que
les coordonnées a;, j, z, x', y', z', i d'un état quelconque du tube sont des
fonctions du paramètre a et d'un autre paramètre «. En donnant à u une
valeur fixe on aura une courbe fermée faisant le tour du tube. En se déplaçant
le long d'une courbe intégrale du tube on aura

, dx dy dt

p désignant un facteur arbitraire qu'on pourra toujours choisir de manière
à obtenir pour u = C' une succession quelconque donnée à Vavance de contours
fermés faisant le tour du tube.

Cela posé l'intégrale 1=1 ws, dans laquelle on donne à a une valeur dé-

terminée, est une fonction de a, et, si on réserve le signe d à un déplacement
qui ne fait varier que «, on a

dl = i mdx'^x -+• mdy'Sv -f- mdz'oz — dEBt -f- mx'd{5x) -\- my'd{ty)

-f- mz'd{8z) — Ed{U),
ou, en échangeant l'ordre des différentiations d et 8 et intégrant par parties,
dl = [nîx'dx -f- my'dy -+- mz'dz — EdfJQ

H- I {mdx'f>x -f- mdy'^y -h mdz'oz — dEô/
JG

— mdxhx' — mdyhy' — mdz^z' -+- dtàE).

La partie toute intégrée est manifestement nulle puisque le contour d'intégration
est fermé. Quant à l'intégrale qui reste dans le second membre, il faut et il

suffit, pour que | wg soit un invariant intégral pour le système différentiel

considéré, que cette intégrale s'annule lorsqu'on y remplace respectivement

dx, dy, dz, dx', dy', dz', dt
par

pX. pY, pZ, pX'. pY', pZ', pT,

LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D HAMILTON 7

et cela quel que soit le contour fermé (G) et quelle que soit Injonction p. On en
déduit facilement que les coefficients de

dx, dy, dz, dx\ dy', dz', di

doivent être identiquement nuls. Par suite pour qu'un système d'équations

différentielles admette V invariant intégral I 105, il faut et il suffit que les équa-
tions

mdx'-] dt = o, mdx' dt=o,

dx I dx

j ' , ^E ,, I , , ôU ,,

may -\ af = o, 1 mdy at=o,

mdz' -[ dt:=o, I mdz' — ^ dt=o,

àz ] ôz '

(6)^ — mdx~i -,dt=:0, ou "^ — mdx -+-ma;'d^=ro,

ôE

— mdy-\ ,dt = o, j — mdy ~i-my'dt=o,

ôE

ÔE , I , ,, , ,, , ,J,v JTT ôU

mdz-\-~r-,di = 0, f — mdz -it-mz'dt=o,

dz '

— dE H — jdt — o, —m{x'dx'-hy'dy'-\-z'dz')-{-d\J — — dt=o

soient des conséquences des équations différentielles du système.

Les six premières dé ces équations ne sont autres que les équations diffé-
rentielles classiques du mouvement; quand à la septième, elle donne le
théorème des forces vives, qui en est une conséquence.

6. On voit d'après ce qui précède le rôle fondamental joué par le tenseur
« quantité de mouvement-énergie ». Si Von admet qu'une trajectoire est définie
comme une succession d'états constituant une solution d^un système d'équations
différentielles ordinaires, ce système est, parmi tous les systèmes imaginables
d'équations différentielles, caractérisé par la propriété d'admettre comme invariant
intégral l'intégrale curviligne, étendue à un contour fermé quelconque d^états, du
tenseur « quantité de mouvement-énergie ».

On obtient ainsi un principe nouveau qui pourrait être appelé principe de
la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie. Comme on l'a vu
au numéro précédent, le théorème des forces vives est une conséquence parti-
culière de ce principe.

II. — Cas général.

7. Tout ce qui précède peut s'étendre aux systèmes matériels, tels qu'on
les considère d'habitude en Mécanique analytique. Nous supposerons que ces
systèmes satisfont à trois conditions.

8 LEÇONS SUR LES INVARIAîCTS INTÉGRAUX

1" Les liaisons auxquelles ils sont soumis sont parfaites, c'est-à-dire qu'à
chaque instant t la somme des travaux élémentaires des forces de liaison est
nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons telles qu'elles
existent à cet instant t. Dans ces conditions le principe de d'Alembert est va-
lable et s'énonce ainsi :

Principe de d'Alembert. — Si on considère le mouvement, sous l'action de
forces données, d'un système matériel soumis à des liaisons parfaites, à chaque
instant la somme des travaux élémentaires des forces données et des forces
d'inertie est nulle pour tout déplacement virtuel du système compatible avec les
liaisons, telles qu elles existent à cet instant t.

Le principe de d'Alembert se traduit par la formule

(') l[{^ - '" tf)'^ + (ï - ". |f)^ + (^ - ". 10 H = °'

où X, Y, Z désignent les composantes de la force donnée appliquée au point
[x, y, z) de masse m et où 8ic, Sj, 8z désignent les composantes du déplace-
ment élémentaire le plus général compatible avec les liaisons.

Nous ne considérerons maintenant, parmi tous les sysièmes à liaisons par-
faites, que ceux dont les liaisons sont holonomes, c'est-à-dire :

2° l\ous supposerons que les liaisons peuvent se traduire par des équations finies
entre les coordonnées des points du système et le temps t. Cela revient encore
à dire qu'il est possible d'exprimer les coordonnées des différents points du
système par des formules telles que

^i = fi{qi, '-'^qn, t).

yi = 9i[qi, -, qn, t), (i== i, a, ...)

^i = Hqi, ■■', qn> 0>

avec n paramètres arbitraires q. A chaque système de valeurs des g et de i
correspond une position et une seule du système compatible avec les liaisons
qui existent à l'instant t. Tout déplacement virtuel compatible avec les
liaisons qui existent à l'instant t s'obtient en donnant à 7,, .... ^^ des accrois-
sements arbitraires Bq^, ..., oq^.

Nous ferons enfin une dernière hypothèse :

3° La somme des travaux élémentaires des forces données, pour un déplacement
virtuel quelconque compatible avec les liaisons qui existent à V instant t, est la diffé-
rentielle totale d'une certaine fonction U des q et de t, c'est-à-dire

V(xsx + ys^ + Zêz) = 5l^6„ + ...4-?îie,.,:

on n'a pas fait figurer dans le second membre le terme -~- ot parce que les

déplacements virtuels dont il est question dans le principe de d'Alembert
supposent que t reste constant.

LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D IIAMILTON Q

8. Le principe de la moindre action d'Iïamilton s'étend sans dinicullé aux
systèmes précédents. Posons

W

= I [i ^m(x'^ -+- Y^ + 2'*) + Uld/.

Regardons les paramètres </i, ..., ^„ comme des fonctions de t et d'un para-
mètre a, les limites inférieure et supérieure de l'intégrale pouvant dépendre
de a. Un calcul identique à celui qui a été fait plus haut (n° 2) nous donne
la variation oW de Vaciion, quand on donne à ot une vai-iation ôx. On
obtient

(8) ôw = r^^i. _ r.^i, + j^'' [su - yj^p^^^%'-y-^%^')y^

en posant

Cela posé, le principe de d'Alembert montre immédiatement que, étant
donné un mouvement réel du système, si l'on considère ce mouvement dans
un intervalle de temps quelconque (ig, <i), il réalise par rapport à tous les
mouvements imaginables infiniment voisins qui correspondent à la même \iO-
sition initiale et à la même position finale du système, un extremiim de
l'action W. Réciproquement les seuls mouvements qui jouissent de cette pro-
priété sont les mouvements réels du système : c'est le principe de la moindre
action d'Hamilton.

La formule (8) montre de plus que l'intégrale

!■

fermé d'états du système (compatibles avec les liaisons) ne change pas si on
déforme ce contour fermé en déplaçant d'une manière quelconque chacun
des états qui le constituent le long de la trajectoire correspondante du sys-
tème. Autrement dit l'intégrale i wg est un invariant intégral pour les équa-

lians différentielles du mouvement,

La forme différentielle a)>, où l'on suppose que l'on ne considère que des
*^tats du système compatibles avec les liaisons, peut encore être appelée ten-
seur « quantité de mouvement-énergie » du système.

9. Les différentielles 5x, oy, Sz, 8l qui entrent dans l'expression wg ne sont
pas en général arbitraires, car elles doivent vérifier les équations obtenues en

lO LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

diflerentiant totalement les équations de liaison du système. On peut aussi
les exprimer au moyen de

si l'on a introduit les n paramètres de position du système. Nous allons nous
placer à ce point de vue et déterminer d'une part les équations différentielles
du mouvement, d'autre part le tenseur a quantité de mouvement-énergie ».
Il nous suffira pour cela de calculer 8W, en supposant l'action élémentaire
exprimée au moyen des paramètres q et du temps /. Posons

T, l'énergie cinétique, est une fonction du second degré par rapport aux dé-
rivées -^, que nous écrirons q/ et que nous regarderons comme des argu-
ments indépendants des g, et de t. Posons provisoirement

F = T -h U, W .^ 1 ' Fdt.
Un calcul simple donne

or

Bqi'dt=±c;^dt=^~^{oqi)dt = d{Bqi);

on a donc, en intégrant par parties,

Remarquons enfm qu'on a

d'où

[^qiU, = ^^(qi')-qr^t, et [o>L^=5(g,('))-7/WS<..

On a donc finalement

■ôF\ ., ,.., /^ , ôF

*.^=2;(|).w-&.'|-^)/''

(.0) i -[2{f)/w-(2<|-''l««]

-r2[i-i(i)>-

LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D HAMILTOM I I

Le principe d'Hamilton nous conduit alors aux équations suivantes du
mouvement, qui ne sont autres que les équations de Lagrange,

, . d /ôT\ ôT ôU ,. .

fil) -n — ,) -=o (i == 1, 2, .,., n).

La comparaison des deux valeurs (8) et (lo) trouvées pour SW conduit
ensuite à l'expression suivante du tenseur w^

en posant

(i3) H = yfl/-^-I,_T — U.

ôT
Les quantités —, sont les quantités de mouvement généralisées (rapportées

au système de coordonnées choisi) ; la quantité H est l'énergie généralisée.

10. Une remarque simple permet dans la pratique de simplifier le calcul
de l'énergie généralisée H. L'énergie cinétique T pourra contenir en générai
des termes du second degré, des termes du premier degré et des termes de
degré zéro en q/, q^', ..., 7/, soit

T = T, 4- Ti -f- To ;

l'application de la formule d'Euler relative aux fonctions homogènes donne
alors immédiatement

II = T, - To — U ;

dans l'énergie généralisée, le terme Tj peut être regardé comme d'origine
cinétique, le terme — Tg — U étant d'origine dynamique.

Prenons par exemple le cas d'un point malériel libre rapporté à des axes
tournant autour de 0^ avec la vitesse angulaire r. On a

2T = m[{x' — ryY + [y' 4- rxf + z'^]

et par suite l'énergie, rappariée au système de référence choisi, est

H =r i m{x'^ 4- j'2 -+. 2'2) — 1 mr\x^ + jS^ _ U ;

la partie d'origine dynamique de l'énergie se décompose en deux termes dont
l'un provient des forces données et l'autre des forces centrifuges. Quant aux
composantes de la quantité de mouvement, elles sont

m(x' — ry), m(y' -\- rx), mz',

c'est-à-dire les projections sur les axes de coordonnées choisis de la quan-
tité de mouvement absolue.

11. Variables canoniques d'Hamilton. — Les équations du mouve-
ment, considérées comme des équations différentielles du premier ordre en

12 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

7i. qî, t, prennent une forme extrêmement simple si l'on introduit Icjs
variables

(i4) p. = ^;

les nouvelles variables, qu'on substitue aux q/, sont tout simplement le»
composantes de la quantité de mouvement du système. Le tenseur 105 prend
alors la forme simple

(i5) o)3=Vpiô,^,. — HS^ .

où H doit être regardée comme une fonction des qi, des pi et de t.

Nous allons chercher directement les équations du mouvement en expri-
mant qu'elles admelleni comme invariant intégral Vintégrale I 103 étendue à une

courbe fermée quelconque d'états du système.
Soit

[10) Qy- Q, Pn~T

un système quelconque d'équations différentielles. Pour exprimer qu'il admet
l'invariant intégral / wg, nous n'avons qu'à répéter mot pour mot le raisonne-
ment du n° 5. Nous considérons "un tube de courbes intégrales du système (16) ;
nous exprimons les 2n H- i coordonnées pi, g,, t d'un état du tube en fonc-
tion de deux paramètres a et u, le premier restant constant sur une courbe
intégrale et variant dans un intervalle (o-l) de manière que la courbe inté-
grale relative à or = / co'incide avec la courbe intégrale relative à a = o. En
désignant par d un symbole de différentiation se rapporlant à la variable u et
posant

1 = r -0.

on a, par une intégration par parties immédiate,

dl= f y (d/Y^îi - dqfipi) - dE^t H- dtm.

Pour que le système (16) admette l'invariant intégral / 103, il faut et il
suffit que les coefficients de

dans la quantité sous le signe / s'annulent tous en tenant compte des équa-
tions du système. Or en annulant ces coefficients on obtient les an -h 1
équations

(17)

dp,

-i-

'- 0,

-dq,
— dll

i>Pi
0/

: 0,
0.

LE PRINCIPE DE L.\ JOINDRE ACTION d'hAMILTOX i5

Cela montre qn'il y a un seul système d'équalions différentielles admettant
n
r invariant inléyral | wg, et cela nous donne en mémo temps les équalions du

mouvement sous la forme canonique d'Hamilton :

(i8i

La dernière équation

[ diji dll

\ dl ~ dpi'
) dpi ^ _ ôH
{ dt ôg."

dll-'^dt^o
dt

est la traduction analytique du théorème des forces vives : elle est une consé-
quence des 2/1 premières équations.

12. Nous arrivons donc, dans le cas général des systèmes matériels de la
Mécanique analytique, au principe généralisé de la conservation de la quantité de
mouvement et de l'énergie :

Si l'on admet que tout mouvement d'un système soumis à des forces données est
une succession continue d'états satisfaisant à un système d'équations différen-
tielles du premier ordre, ces équations différentielles sont caractérisées par la
propriété d'admettre, comme invariant intégral, l'intégrale du tenseur « quantité
de mouvement-énergie » étendue à un contour fermé quelconque d' étals,

Lejtenseur « quantité de mouvement-énergie » se met sous l'une quelconque
des formes

'"i = 2î]'"'>'^^^ + y'^y + ^''^') — [2" "*(^" -+- /' -+- ~") - ^l'^'-

(.. = y ^, 07, - mt (H = Vr,/ ^, _ T - U),

Si l'on se déplace dans l'espace des états de manière à satisfaire aux rela-
tions

ôry, = q(Zl,

loxpression to^ se réduit à l'action élémentaire d'Hamilton (ï h- U)o/; si au
contraire on ne considère qu'une suite d'états simultanés (oi = o), on
oljlienl l'expression

qui coîislltue l'élément sous le signe I dans Tinvarianl intégral proprement
(lit de II. Poincaré.

ï 4 LEÇONS SUR LES 1>'VARIANTS INTÉGRAUX

13. Le principe de la conservation de la quantité de mouvement et de
l'énergie permet de former les équations du mouvement, quelle que soit la
manière dont on a choisi les paramètres Çi, ..., q„, t servant à localiser le sys-
tème dans l'espace et dans le temps. Autrement dit il donne aux lois de la
Mécanique, comme le fait du reste implicitement le principe d'Hamilton, une
forme indépendante de tout mode particulier de repérage de V espace-temps. Celte
propriété devient analytiquement évidente si, au lieu d'introduire les dérivées
qx, .,., qn des paramètres spatiaux par rapport au paramètre temporel, on
introduit n -+- i quantités

'^, qi qn, t

dont les rapports mutuels sont définis par les égalités

q\' qî '" q'n i

En posant

F = t(T -4- U),
où le second membre, homogène et du premier degré en qi, ..., qn> '«est
exprimé au moyen des g,, t, (ji, t, le tenseur « quantité de mouvement-
énergie » prend la forme

ôF ^ ôF . , ôF ,^

-6=g-S7i + ... + ^/9n + J^-0^.

Le mouvement d'un point soumis aux forces de gravitation obéit, dans la
théorie de la relativité généralisée, au principe précédent : la fonction F est
alors de la forme

-^2

aumic

avec quatre variables q^ servant à localiser le point dans l'espace et dans le
temps.

III. — Transformation des équations canoniques.
Théorème de Jacobi.

14. Une application importante des considérations précédentes est relative
à la transformation des équations canoniques et à la méthode d'intégration
des équations de la Dynamique due à Jacobi,

L'intégrale i wg étendue à un contour fermé ne change évidemment pas si
on ajoute à wg une différentielle exacte ; réciproquement si une autre forme
différentielle linéaire rng jouit de la propriété de donner la même intégrale
que wg quand on l'étend à un contour ferme quelconque, wg ne diflère de o>>
que paï une différentielle exacte.

LE PRINCIPE DE LA. MOINDRE ACTION D HAMILTOÎf 1 0

Supposons alors qu'on puisse trouver an variables nouvelles n, S; et une
fonction K telles que les deux expressions

TiTg = 7 r,Ss,- — Ko/,

ne diffèrent que par une différentielle exacte. Les équations différentielles du
mouvement pourront être caractérisées par la propriété d'admettre l'invariant

intégral / wg et par suite elles s'écriront

dsi ôK dij dK.

dt ôr^ ' dt ôSj '

la forme canonique des équations sera conservée.
L'hypothèse faite se traduit par une identité de la forme

(19) y,pMi -^n^si - (Il - K)fi< = ôV.

Et il est facile de réaliser une telle identité. Partons en effet d'une fonction
arbitraire V des an -{- i arguments q^ s,, t et posons

(20) pi= — , ri = , K = — --+-H;

^ -^ '^ dqt ôs, dt

si ces équations définissent un changement de variables, c'est-à-dire si les n pre-
mières sont résolubles par rapport à Sj, «2. •••> *«> Ï6s n suivantes donneront
Tj , . . . , r„ ; la dernière donnera la fonction R et les nouvelles variables obtenues
conserveront la forme canonique des équations de la Dynamique. Il importe
de remarquer que si les équations (20) sont résolubles par rapport aux r, et
aux Si, elles sont inversement résolubles par rapport aux pi et aux qt ; dans
les deux cas en effet la condition de possibilité est que le déterminant

I a'V

1 àq.dSj
ne soit pas identiquement nul.

La solution obtenue ainsi de l'identité (19) n'est pas la solution la plus
générale ; elle laisse échapper en effet les cas où les an -h i quantités </,, Si, t
seraient liées par une ou plusieurs relations ; ces cas singuliers sont du reste
faciles à traiter directement en se donnant a priori les relations qui existent
entre (/,, St, et t.

15. La théorie générale précédente devient particulièrement intéressante
pour les applications dans deux cas.

Le premier est celui où la fonction K est identiquement nulle ; les équations
canoniques deviennent

ds; dr;

-dt=''^ dr = °'

les équations des trajectoires se réduisent à

Si = a:, ri = 6.,

l6 LEÇONS SUR LES LN VARIANTS INTÉGRAUX

OÙ fli et bi sont an constantes arbitraires. Pour qu'il en soit ainsi il suffit de
trouver, d'après les équations (20), une fonction \(t; q^, ,.,, g„ ; Oj, ..., a^)
satisfaisant à l'cqualion aux dérivées partielles

(=.) - + H(,,„.-)=o;

si celte fonction V, où entrent n constantes arbitraires a^, ...,a„, est telle que
le déterminant

07,

da

ne soit pas identiquement nul, les équations du mouvement sont

c'est le théorème de Jacobi. La condition relative au déterminant revient à dire
que la fonction V est une intégrale complète de l'équation aux dérivées par-
tielles du premier ordre (21) de Jacobi.

La seconde application à signaler se rapporte à la théorie des perturbations.
Supposons que la fonction H soit la somme de deux termes Hi et H^ dont le
second soit très petit par rapport au premier : cela revient à partager les forces
données en deux groupes dont l'un, très peu important par rapport à l'autre,
sera formé de ce qu'on appelle les forces perturbatrices. La méthode employée
en Mécanique céleste dans ce cas consiste à chercher une intégrale complète V
de l'équation de Jacobi

^ + H.=o,

où on ne fait intervenir que le terme principal de la fonction H. Les an nou-
velles variables r„ Si qui s'introduisent ainsi seraient constantes si les forces
perturbatrices n existaient pas ; ce sont donc les paramèli'es des trajectoires non
troublées. L'introduction de ces nouvelles variables conserve la j orme canonique
des équations avec la nouvelle fonction K = H2, c est-à-dire la partie de H rela-
tive aux seules forces perturbatrices.

Nous n'insisterons pas davantage, au moins pour le moment, sur la
théorie des équations canoniques et les théorèmes de Jacobi. En particulier
la relation qui existe entre l'intégration des équations de la Dynamique et
l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ne con-
tenant pas explicitement la fonction inconnue s'éclairera d'un jour nouveau quand
nous aurons montré qu'à toute équation aux dérivées partielles de celte
espèce — ou plus généralement à toute équation aux dérivées partielles du
premier ordre admettant une transformation infinitésimale connue — on peut
associer un invariant intégral linéaire.

CHAPITRE II.

L'INVARIANT INTÉGRAL A DEUX DIMENSIONS
DE LA DYNAMIQUE.

I. — Formation de l'invariant intégral à deux dimensions
de la Dynamique.

16- Nous avons vu que l'action élémentaire d'Hamilton pouvait s'obtenir
en supposant que dans l'expression

= ^Pi^i — Hs<,

ocii = q^'ot.

Il est remarquable que les trajectoires (Tan système matériel réalisent encore
l'extremum de l'intégrale

w = I y.pdqi - ndt.

-Xs-*

en supposant simplement que les q, et les q' sont des fonctions quelconques de t
assujetties aux seules conditions que les qi prennent des valeurs données à l'avance
aux limites. On ne suppose donc plus, comme dans le principe d'Hamilton,
que les g/ soient les dérivées des qi par rapport au temps. On peut même
plus généralement supposer que les qi, g,' et t sont des fonctions d'un même
paramètre a variant de o à i, les quantités Çj et t prenant aux limites des va-
leurs données.

Un calcul facile, donne

ew = [Spioqi — HSi] "^' + r~' (y{Bp4qi — oqidpi) — mdt + S<t/H) .

La partie tout intégrée est nulle par hypothèse; les équations des extrémales

E. CAaTA!*. — Leçons sur les Icvariaots intégraux. a

I8 LEÇONS SLR LES INVARIANTS INTEGRAUX

s'obtiendront en annulant, dans la quantité sous le signe somme, les coeffi-
cients de

CQi, 872. ..., 5/)„, ol;

or ce calcul a été fait au n° 11 et nous a donné justement les_ équations du
mouvement sous leur forme canonique.

17. L'expression

^{dpioqi — dqiSpi) — dRot -h di8H,

que nous avons rencontrée deux fois, est linéaire par rapport à deux séries
de différentielles ; on peut l'écrire sous la forme plus simple

en admettant que les deux symboles de différentiation soient échangeables entre
eux. Cette expression, que nous désignerons par a)'(d, S), jouit de la propriété
qu'elle est nulle toutes les fois que le symbole d définit dans l'espace des
états un déplacement élémentaire dans la direction d'une trajectoire, le sym-
bole ô définissant un déplacement élémentaire arbitraire. C'est du reste en
exprimant cette propriété que nous avons obtenu les relations entre
dqi, dq2, ..., <//)„, dt qui définissent les équations différentielles des trajec-
toires ou, à un autre point de vue, les équations différentielles qui admettent

l'invariant intégral 1 tog.

Considérons maintenant, plus généralement, deux déplacements élémen-
taires quelconques définis par deux symboles de différentiation 0 et S' et
proposons-nous de chercher la signification de la forme bilinéaire u)'(8, 0').
Imaginons pour cela un ensemble continu à deux dimensions d'états; on
réalisera un tel ensemble en prenant pour les qi, pi et t des fonctions de deux
paramètres a et ^ ; chaque état de l'ensemble pourra être représenté dans un
plan par le point de coordonnées (a, 13) et l'ensemble sera représenté par une
aire du plan. Les symboles 0 et o' se rapporteront respectivement à des
accroissements de a seul et de ^ seul. Considérons alors, dans l'espace des
états, quatre états A, B, C, D correspondant respectivement aux valeurs

or -J- oa,

S H- a'p-,

des paramètres, et formons l'intégrale 1 w étendue au contour fermé ABDC.
On a manifestement

I = wj, i = tojf, I =0)5 + 3'u)j, I =0)3* + 8u)3«

c/^B JjlC JvD JbD

L INVARIANT INTEGRAL A DEUX DIMKNSIOIfS DE LA DYNAMIQUE ' I9

et par suite

J— Sojj/ — ô'wg = a)'(o, 3').
ABDC

18. La forme bilinéaire w'(o, 0'), qui intéresse en somme un état arbitraire
et deux états infiniment voisins, représentant, d'après ce qui précède, la va-
leur de l'intégrale I w étendue à un contour fermé, est invariante pour le

système d'équations différentielles des trajectoires, en ce sens qu'elle ne
change pas de valeur si on déplace chacun des états le long de la trajectoire
correspondante. Cette forme est aussi un élément d'intégrale double : du
reste si l'on regarde par exemple pi et q^ comme les coordonnées (dépendant
de deux paramètres a et P) d'un point d'un plan, l'expression ^pio'qi — Sg,S'pi
est l'élément d'aire de ce plan rapporté aux coordonnées curvilignes a et ^ ;
c'est ce que l'on écrit d'habitude

dpidqi ou opioqi.

Cela nous conduit à la notion d'un nouvel invariant intégral

(0

j j "^'=11 2^^'°^' ~ ^^°' •

cette intégrale double, étendue à une aire à deux dimensions dans l'espace des
états, se reproduit si on déplace chacun des états de cette aire le long de la
trajectoire correspondante. Cette intégrale double s'obtiendrait d'ailleurs, par
la formule de Stokes généralisée, comme expression de l'intégrale curviligne

J^=J[^p,5q,-mt)

étendue au contour fermé qui limite l'aire.

Dans la conception de H. Poincaré, on ne considère que des aires formées
d'états simultanés. On peut alors énoncer le résultat obtenu sous la forme
suivante :

Etant donné un ensemble à deux dimensions de trajectoires, si l'on prend sur
chaque trajectoire de l'ensemble l'état correspondant à un instant donné t, l'inté-
grale double

ff

étendue à ces états est indépendante de t.

Comme on le voit, ce théorème n'exprime qu'un aspect particulier de la
propriété démontrée plus haut.

19

L'invariant intégral à deux dimensions j / «>' est dit par H. Poincaré

20 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

absolu, par opposition à l'invariant | ta, qui est dit relatif; cela signifie que
l'intégrale double I 1 to' possède un caractère invariant quel que soit le do-
maine d'intégration, ouvert ou fermé, tandis que l'intégrale | a> ne possède
un caractère invariant que si elle est étendue à un contour /crmé.

L'intégrale i I to' n'étant pas autre chose que l'intégrale I lo étendue à
un contour fermé, on peut affirmer que les équations différentielles du mouve-
vement sont les seules qui admettent l'invariant intégral I I lo'. L'invariance de

l'intégrale 1 I w' n'est donc qu'une traduction analytique nouvelle du prin-
cipe généralisé de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie.

n. — Applications à la théorie des tourbillons.

20- Nous avons jusqu'à présent considéré des ensembles de trajectoires,
mais ces ensembles n'étaient réalisés que dans notre imagination. Il y a un
cas où de tels ensembles ont une existence concrète. C'est celui d'un fluide
parfait soumis à des forces dérivant d'une fonction des forces U. On démontre
en effet en Hydrodynamique les équations suivantes

_^ ôU 1^ ôp

^''^' dX p dx'

. , , ôU I dp

ôU I dp

^' dz p dz'

dans lesquelles Yi, Yy, Yz désignent les composantes de l'accélération de la
molécule qui occupe à l'instant t la position (x, y, z), p et p désignant res-
pectivement la pression et la densité eh ce point.

Ajoutons l'hypothèse qu'il y a entre p et p une relation donnée à l'avance,
ce qui arrive sûrement si le mouvement est isotherme.

Si nous portons notre attention sur un mouvement déterminé du fluide,
nous pouvons regarder p comme une fonction déterminée de x, y, z, t, et en
posant

nous voyons que chaque molécule se comporte comme un point matériel de

L INVARIANT INTEGRAL A DEUX DIMENSIONS DE LA DYNAMIQUE 2 1

masse i qui serait placé dans un champ de forces dérivant de la fonction des
forces U — q.

Nous avons donc ainsi une réalisation concrète d'une infinité de trajectoires
d'un point mobile soumis à des forces données. Remarquons que la partie
— 9 de la fonction des forces représente l'action exercée par les molécules en-
vironnantes sur la molécule considérée.

21. La trajectoire de chaque molécule peut être regardée comme une so-
lution particulière du système d'équations différentielles

du ^ a(U — g);
dt dx

dw d(U — q) .

Tt ~ àz '

si donc on considère dans le fluide une suite fermée de molécules (prises chacune
à un instant quelconque), l'intégrale

dx

dt ~

u,

dr_
Tt —

V,

dz

dt —

w,

J„ê.

voy

— Eût

étendue à cette suite fermée ne change pas de valeur si Von déplace chaque mo-
lécule le long de sa trajectoire. Dans cette expression on a posé

(5) E = ^ (u2 -hv^-h w') — U -t- g ;

E est l'énergie (par unité de masse) du fluide ; cette énergie est la somme de

l'énergie cinétique- (u* -f- u^ + w'^), de l'énergie potentielle — U et de

l'énergie hydrodynamique interne q.

Si en particulier on considère une suite fermée de molécules, considérées
toutes au même instant t, c'est-à-dire une ligne fluide fermée, l'intégrale

/■

v5y -+- luoz conserve la même valeur si on prend la même ligne fluide

[c'est-à-dire la ligne fluide formée des mêmes molécules) à des instants différents
du mouvement. C'est le théorème classique de la conservation de la circulation ;

on donne en effet le nom de circulation à l'intégrale | u3x + v8y + wBz.

22. Plaçons-nous maintenant à un point de vue un peu différent. Con-
sidérons toujours un mouvement particulier de la masse fluide ; dans ce
mouvement les composantes u, v, w de la vitesse sont des fonctions déterminées

22 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

de X, y, z, t et les trajectoires des différente» molécules peuvent être regardées
comme des solutions du système d'équations différentielles

(6)

dans les seconds membres desquelles u, v, tv sont supposés remplacés par
leurs valeurs en fonction de x, y, z, t. L'intégrale

dx

-dt =

u.

di-

V,

dz

cTt —

w,

f

uScc H- vày 4- w8z — ESij

est évidemment encore un invariant intégral relatif pour ces nouvelles équa-
tions différentielles. En la transformant en une intégrale double, nous obtien-
drons un invariant intégral absolu pour le système (6).
En formant l'expression ocog, — ô'wg, nous obtenons

w'(o, o') = SuS'cc — Saîo'u -\- ôuS'y — 8jS'u -+- Swô'z — hB'w — ôES'f + S^ô'E.
Le second membre est linéaire par rapport aux 6 combinaisons

ojS'r — SzS'j,

èz^'x — Bxè'z,

SrcS'j — oyo'x

tx^'t — tt5'x.

SjS'f — S/Ô'j,

Sz8'< — fî/6'z.

Un calcul simple, qui n'est autre que l'application de la formule de Stokes,
donne, pour les coefficients des trois premiers termes,

V bW

ÔU

ÔU

dW

^ ÔU ÔU

^=ii

^^

ôz'

dx '

^~ dx dy

ce sont les composantes du vecteur tourbillon. Pour calculer les trois autres
coefficients, nous pouvons utiliser la remarque que, l'expression w' étant in-
variante pour les équations (6), les équations obtenues en annulant les
coefficients de Sx, ôj, 8z, ot dans o)(d, S) doivent être des conséquences des-
équations (6). Posons donc

a)'(d, 8) = i{dyBz — dzcy) -+■ r,{dz^x — dx8z) + ^(rfxSj — dy^x)
-+- P{dxot — dtBx) -h Q{dyol — dtly) + R(dzof — dlàz).

Les équations considérées sont

iridz^^dy —Vdt = o,
Idx — ^dz —Qdtz=o,
^dy —ridx — Rdt=o,
P.dxH-Qdv-4-Rd2=o.

l'invariant intégral a deux dimensions de la dynamique 23

En exprimant qu'elles sont une conséquence des équations (6), nous
obtenons

P z=: r^w — Çv,
Q = Cu — ^w,
R = iv — T,u.

Par suite l'invariant intégral double cherché est

I I $8jGZ + T,C

?>H

OU

bu

?IU

f>l]

+

u —

■+■

V —

-+- w

dt

dX

àj

dz

àX

(8) I I ^ylz + T^ilx-\-t,lx^y-\-{r^xv — tvfixli-^i^xx — \v))hyU-\-{^\) — tju)S20<,

Etendue à une aire formée de molécules prises toutes au même instant f,
cette intégrale est \q jinx de tourbillon à travers cette aire : nous retrouvons le
théorème de la conservation du flux de tourbillon à travers une surface fluide.

23. Nous aurions pu faire le calcul direct de l'expression w'(c/, 8). En
particulier le coefficient P de dxU est manifestement

r, du dE du du dV dW ôU I dP .

V = = — a V w — -\ *->

dt àX dt dX dX dX dX p dX

en écrivant qu'il est égal à la valeur trouvée précédemment

TA r /du dW\ (dV dU\

\dz dx ) \dx dyj

on obtient l'équation

i^dp
p ôx'

<im n'est pas autre chose que la première équation de l'Hydrodynamique ; le pre-
mier membre est en effet l'expression développée de Yx-

Ce résultat nous rappelle que l'intégrale / «Sa; -+- v5y + wSz — E5t n'est

invariante pour les équations différentielles (6) que si u, v, w sont les compo-
santes de la vitesse d'une molécule d'un fluide parfait soumis à une force déri-
vant d'une fonction des forces, ou encore s'il y a un potentiel des accélé-
rations.

24. Les équations (7), qui peuvent encore s'écrire

ÏT^(dz __ wdt) — !:(dy — vdt) — o,
l^idx — udt) — \{dz — wdt) — o,
^(rfj — vdi) — r^idx — udt) = O,

sont une conséquence des équations différentielles (6), mais elles ne sont pas
équivalentes a ces équations différentielles ; autrement dit les équations (6) des

trajectoires ne sont pas les seules à admettre l'invariant intégral j co. Il en est de

même en particulier des équations

, . dx dv dz dt

(9) T = f = T = ô

dont les équations (7) sont manifestement une conséquence. Les solutions de

24 LEÇONS SUR LES INVARIAÎSTS INTÉGRAUX

ces équations sont ce qu'on appelle les lignes de toarbillon. La propriété des
équations dijjérentielles des trajectoires et des équations différentielles des lignes
de tourbillon d'admettre le même invariant intégral va nous conduire aux théorèmes
Jondamentaux de la théorie des tourbillons.

On peut en effet caractériser un déplacement élémentaire {dx, dy, dz, o)
(dans r Univers à quatre dimensions x, y, z, t) dans la direction d'une ligne
de tourbillon par la propriété que la forme bilinéaire w'((i, 6) est nulle, quel
que soit le déplacement 8 : cela résulte immédiatement des équations (7). Cela
posé, considérons à un instant donné t une ligne de tourbillon (r) ; les molé-
cules qui la composent forment à un autre mslant t' une ligne (r') : nous
allons montrer que (r') est une ligne de tourbillon pour Vinstant t'. En effet soit
{dx', dy', dz', 0) un déplacement élémentaire le long de (r') et associons-lui
un déplacement arbitraire {8x', 8y', 02', ot'). Déplaçons les trois états

(x',y',z',t'), {x'-\-dx',y'~hdy',z'-j-dz', t'), {x'-hox',y'-{-oy',z'-\-oz',t'-\-^t')

le long de leurs trajectoires respectives, les deux premiers jusqu'à l'instant /,
le dernier jusqu'à l'instant t -{- 8t; nous obtenons un élément à deux di-
mensions pour lequel (dx, dy, dz, 0) représente un déplacement le long de la
ligne de tourbillon (r) ; la forme w'((i, 8) a donc une valeur nulle ; donc elle
est nulle aussi pour l'élément primitif et par suite (I ') est une ligne de tour-
billon : c'est le théorème célèbre de Helmholtz.

25. Considérons un tube de tourbillon à l'instant t et deux courbes fer-
mées (C) et (Cj) faisant le tour du tube ; la circulation le long de ces deux

courbes fermées est la même, puisque 1 w est un invariant intégral pour les

équations différentielles (9) des ligues de tourbillon. A un autre instant f,
le tube de tourbillon aura pris une autre position dans l'espace, mais la circu-
lation le long de toute ligne fermée faisant le tour du nouveau tube n'aura

pas changé non plus, puisque I œ est un invariant intégral pour les équations
différentielles des trajectoires. Nous retrouvons la notion de ce qu'on appelle
en Hydrodynamique le moment ou ïintensité d'un tube de tourbillon, quan-
tité qui se conserve pendant toute la durée du mouvement. Cette propriété
n'est qu'un aspect particulier de l'invariance de l'intégrale

/

«Sa; -h v8y -+- rvoz — Eot

pour les équations différentielles des trajectoires et pour celles des lignes de
tourbillon.

Nous retrouverons du reste tous ces résultats comme cas particulier d'un
théorème général sur les formes différentielles invariantes simultanément
pour plusieurs systèmes d'équations différentielles.

Il est inutile de faire remarquer que tout ce qui précède suppose essentiel-
lement que ?, 71, Ç ne sont pas nuls tous les trois, c'est-à-dire que le mouve-
ment du fluide est rotationnel.

CHAPITRE III.

LES INVARIANTS INTÉGRAUX
ET LES FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES.

I. — Notion générale d'invariant intégral.

26. Les Chapitres précédents nous ont montré l'importance pour la Méca-
nique de la notion d'invariant intégral. Nous allons maintenant aborder
celte notion dans toute sa généralité.

Considérons un système quelconque d'équations différentielles ordinaires
du premier ordre (on sait qu'on peut toujours se ramener à ce cas) que nous
écrirons

[ dxn Y

l 'dl ~ ' "•

Nous avons distingué la variable indépendante t et les variables dépen-
dantes Xi, Xi, ..., x„, mais, comme nous le verrons, cette distinction n'a rien
d'essentiel. Nous continuerons à dire que t représente le temps ; l'ensemble
des valeurs de Xj, .... x„, t qui correspond à une solution sera dit constituer
une trajectoire, que nous pourrons regarder comme une courbe dans l'espace
à n -H 1 dimensions (xi, .... Xn, t).

Cela posé, H. Poincaré donne le nom d'invariant intégral à une intégrale
(simple ou multiple) qui, étendue à un ensemble quelconque de points simul-
tanés (c'est-à-dire correspondant tous à la même valeur de t), ne change pas
de valeur lorsqu'on déplace les points de cet ensemble le long des trajectoires
correspondantes jusqu'à un autre instant quelconque t'. L'invariant intégral
est dit absolu si sa propriété d'invariance a lieu quel que soit le domaine d'inté-

26 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

gralion ; il est dit relatif si la propriété d'invariance n'a lieu que pour un
domaine d'intégration fermé. L'invariant intégral linéaire

/2>.

de la Mécanique est relatif ; l'invariant intégral double

If^'^'^'

de la Mécanique est absolu.

Les formes les plus «impies d'invariant intégral sont

-+- ai^X2 + . . . -h a„^Xn

^t -h Oi/^A -+-■••-+- 2aii^Xi5Xi -+-

00:28X3

27. La quantité sous le signe somme dans un invariant intégral est une
forme différentielle dans laquelle entrent les variables, dépendantes et indé-
pendante, et leurs différentielles (ou môme plusieurs séries de différentielles).
Celte forme F peut être considérée en elle-même et elle jouit de la propriété
que, calculée pour un point quelconque et un ou plusieurs points infiniment
voisins, mais simultanés, elle ne change pas de valeur si on déplace ces points
le long de leurs trajectoires respectives, mais en les laissant toujours simultanés.
Il est bien clair qu'à ce point de vue, on pourrait considérer des formes F plus
générales que celles qui sont susceptibles d'entrer sous un signe d'intégration,
par exemple une fonction rationnelle quelconque (homogène) de èxi, .... Sx„.

Gomme nous l'ont montré les exemples traités dans les deux premiers
Chapitres, il y a intérêt à ne pas se restreindre à la considération de points simul-
tanés. Nous allons voir que tout invariant intégral élémentaire au sens de
H. Poincaré peut être regardé comme résultant de la suppression, dans un
invariant intégral élémentaire plus complet, de tous les termes qui contiennent
la différentielle ou les différentielles de la variable indépendante t.

Mais, pour arriver à ce résultat essentiel et qui nous donnera la clef de
presque toutes les propriétés des invariants intégraux, il est nécessaire de
rappeler rapidement les propriétés classiques des intégrales premières d'un
système d'équations différentielles.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFERENTIELLES INVARIANTES 27

II. — Intégrales premières.

28. On appelle, comme on sait, intégrale première du système (i) une fonc-
tion u(xi, .,., Xn, i) jouissant de la propriété que si l'on y remplace a;i, ...,x„
par leurs valeurs en fonction de t correspondant à une trajectoire quelconque^
la fonction u de t ainsi obtenue se réduit à une constante. Ces intégrales pre-
mières sont les solutions de Téqualion aux dérivées partielles linéaire du
premier ordre

(2) — 4- Al h X2 h ... -+- X„ — = o.

Imaginons qu'on ait intégré les équations (i) et qu'on ait exprimé les
variables dépendantes cci, .... cc„ en fonction du temps t et de leurs valeurs
initiales x\^ xl, ..., xl pour / = o, soit

I =fi(t; x% ..., xl),
.=/„(/; xî...., a.»);

ces équations, résolues par rapport à xi, ...,xl, donnent pour ces n quantités
des fonctions de ari, ..., a:„, t qui sont évidemment des intégrales premières;
on obtient ainsi un système de n intégrales premières, évidemment m(ié/)eAi-
t/anies. c'est-à-dire qui ne sont liées par aucune relation identique en a;,,,.., cCn,^.

Il est clair que toute fonction des intégrales premières xl, .... xl est une
intégrale première et réciproquement; car si u est une intégrale première quel-
conque, sa valeur numérique pour une trajectoire quelconque est, d'après sa
propriété même, égale à u(x", ..., xl, o).

La différentielle totale de toute fonction ude Xi, x-i ..., x„, t peut mani-
festement se mettre sous la forme

du = Xi{dxi — XjC^O + l2(dx,^ — Xzdt) H- ... + K{d^7, — X„(ii) H- Idt ;

la condition nécessaire et suffisante pour que ce soit une intégrale première
est que le coefficient À soit identiquement nul ; on peut s'en rendre compte
facilement par un raisonnement direct ; on peut aussi le vérifier en remar-
quant que X n'est autre que le premier membre de l'équation {2). Donc la
différentielle de toute intégrale première est une combinaison linéaire des n formes
différentielles linéaires

dxi — Xidt, dxi — Xzdt, .... (ix„ — Xndt,

et réciproquement chacune de ces formes est une combinaison linéaire des diffé-
rentielles de n intégrales premières indépendantes données.

^8 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

III. — Invariants intégraux absolus et formes
différentielles invariantes.

29. Cela pose nous allons d'abord nous occuper des invariants intégraux
absolus. L'élément de tout invariant intégral absolu est une forme différen-
tielle F(a;i, .,., x„,f ; Sa;,, ..., 8a:„) qui ne change pas de valeur sil'on déplace
le point (x, , . . . , x„, t) et le point infiniment voisin (arj H- Sa*! , . . , , x„ -h Sa;», /)
sur leurs trajectoires respectives, mais en les considérant toujours au même
instant. En particulier considérons-les à l'instant t = o. Nous aurons

F{x^, ..., x„, t; Sx,, .... 8a;„) = F(xl. ..., x", o; ôx^, ..,, ox^).

Regardons maintenant dans le second membre les x° comme des intégrales
premières du système (i) et remplaçons-les par leurs valeurs en fonction de
X,, ..., X,, t ; nous obtiendrons une nouvelle identité

F{x% ..., xl, o; SxJ, ..., 8x^) = ^(x,. .... x„ t; Sx,, ..., ôa;„, 8/).

Le second membre de cette identité est manifestement une quantité dont
la valeur numérique n'intéresse que la trajectoire définie par les valeurs
initiales xj,..., xl et la trajectoire infiniment voisine. Sa valeur est donc
indépendante du point particulier (x,, ..., x„, /) pris sur la première trajec-
toire et du point particulier (x, -+- 8x,, ..., x„ H- Sx„, t ■+- 8t) pris sur la
trajectoire infiniment voisine ; c'est donc aussi un élément d'invariant inté-
gral, mais d'un invariant intégral plus complet que celui qui nous a servi de
point de départ, puisque maintenant nous ne sommes plus obligés de nous
restreindre à la considération de points simultanés.

Remarquons maintenant qu'il est très facile de passer de la forme initiale F
à la forme finale *. En effet si, dans le calcul de xj, ..., x*. SxJ, ..., 3x°, on
regardait t comme une constante, on retomberait évidemment sur la forme F ;
on a donc

*(xi, ..,, x„, t; oxi, ..., Sx„, o) = F(cci x,„ l ; ôxi, ..., ox„).

Or 5/ n'intervient que par l'intermédiaire de ox", .... Sx", et ces n différen-
tielles sont des combinaisons linéaires de

Sxj — XiSi, 5x2 — X2S/, ..., ox„ — X„o/ ;

par suite * ne dépend que de ces n combinaisons linéaires et quand on a son
expression pour 0/ = 0, on a immédiatement son expression pour ot quel-
conque en remplaçant oxi par Sxj — XiSf, etc..
Finalement on a

(3) *(x,,...,x„, <;Sxi,...,Sx„,SZ) = F(xi,...,x,„f;3xi— X,r:i,...,Ôx,.— X„ô<).

30- Résumons les résultats qui viennent d'être obtenus. Ils sont au nombre
de deux.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES 2(y

1° La forme F, qui constitue Vêlement d'un invariant intégral absolu au
sens de H. Poincaré, et dans laquelle n'entrent que les différentielles des
variables dépendantes, est associée à une forme plus complète * dans laquelle
intervient en même temps la différentielle (ou les différentielles) de la variable
indépendante t. On passe de la forme * à la forme F en supprimant les termes
qui contiennent ot, et on passe inversement de la forme F à la forme * ea
remplaçant respectivement

ÔXi, 8X2, ..., SXrt

par

5xi — Xiol, S.r2 — X^oi, ..., àx„ — X„of.

u" La forme 4» peut s'exprimer au moyen des intégrales premières du
système (1) et de leurs différentielles.

Cette dernière propriété met en évidence le caractère invariant de la forme <ï».

Un exemple simple fera bien comprendre la relation entre les deux
formes F et *. Si l'on part d'une intégrale quelconque 11, la différentielle to-
tale o« est manifestement une forme * ; la forme F correspondante est

et l'on a bien

V àu ^ du - ôu .

dXi àXi bx„

* zzzz ou = ^ (ex, — XjSO -h ~ (ÔX2 — XM + ... 4- — (<^Xn — X^ot}.

31. Nous conviendrons de dire qu'une forme différentielle qui peut
s'exprimer au moyen des intégrales premières du système (1) et de leurs
différentielles est une forme invariante pour le système (i), La quantité sous
le signe d'intégration dans un invariant intégral absolu s'obtient en annu-
lant 8z dans une forme invariante. C'est ainsi que l'invariant intégral double
de la Dynamique correspond à la forme invariante

ou, si l'on préfère, en introduisant deux séries de différentielles,

* = ^(^Pio'qi — ^iCi'pi) — BU^'t -h Siô'H .
Son expression au moyen des intégrales premières p", ql est manifestement

* = ^{^P'^'q"' — SgîS'/)?).

IV. — Invariants intégraux relatifs. La fonction d'Hamilton^

32. Une partie des résultats précédents s'étend à la théorie des invariants
intégraux relatifs. C'est ainsi que l'invariant intégral linéaire de la Dynamique,
tel qu'il est considéré par H. Poincaré,

f^'

8g,

3o LEÇONS SUR LES O VARIANTS INTÉGRAUX

ne changeant pas de valeur quand on déplace chaque état sur sa trajectoire
de l'instant t jusqu'à un autre instant quelconque t\ est égal à l'intégrale

J^

ypi

p)ùq^

Tout invariant intégral relatif peut donc prendre une expression où n interviennent
que les intégrales premières et leurs différentielles et, sous cette forme, il peut
être étendu, sans perdre son caractère d'invariance, à tout domaine fermé formé
d'états simultanés ou non simultanés.

Mais si dans l'expression nouvelle on remplace les intégrales premières par
leurs expressions en fonction des variables dépendantes et indépendante, on
obtient sous le signe somme une forme * qui ne se déduit plus de la forme ini-
tiale F par le même procédé que dans le cas des invariants absolus. L'égalité

I F(xi, ...,x„, t; oxi,.. ., oxn) = I

*(a;i, ..., Xn t; 8x1, ..., Sa-„, 0)

a bien lieu en effet pour tout domaine d'intégration fermé formé de points
simultanés, mais il n'en résultepas l'égalité terme à terme des deux sommes et
l'on n'a plus nécessairement l'identité

F{xx, .... Xn, t; 8x1, ..., 5x,j) = *(a;i, ..., x„, t; occi, ..., 8ar„, o)

qui serait nécessaire pour qu'on pût en déduire, conformément à la for-
mule (3),

^(xi,,..,Xn, t ; oxi,...,5x„,ot) = ¥(^Xi,...,x„, t; 0x1 — Xio/,...,Sa;„ — X„oi).
C'est ainsi que dans le cas simple d'un point matériel libre, l'élément
F = m{x'5x -h y'^y -+- 2'oz),
qui entre sous le signe somme dans l'expression de l'invariant intégral li-
néaire de H. Poincaré, conduirait à la forme

m(x'8x ■+- y'oy -+- z'oz) — m(x'^ -h y'^ H- z'^)ot

qui n'est pas du tout un élément d'invariant intégral complet et qui ne
diffère pas par une simple différentielle exacte, comme cela serait nécessaire,
de la forme

tog = m{x'ox -+- y'oy + z'Sz) — - m[x'^ -\- y'* H- z'^) — U 8f.

11 est à remarquer que la difficulté qui se présente ici dans le passage d'un
invariant intégral relatif au sens de H. Poincaré à l'invariant intégral com-
plet n'a pas grande importance pratique, car tout invariant intégral relatif
se ramène à un invariant intégral absolu. On sait en effet qu'une intégrale
étendue à un contour fermé, à une surface fermée, etc., se ramène à une
intégrale étendue à une aire limitée par le contour fermé, à un volume
limité par la surface fermée, etc.

33. Il ne sera pas inutile d'illustrer par quelques exemples les considéra-
tions précédentes.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES 3l

Reprenons l'invariant intégral linéaire (complet) de la Dynamique, c'est-
à-dire le tenseur « quantité de mouvement-énergie n

WS = ^pfiqi — llol.
On a l'égalité

fypr^q<-not= f VpîoY,

où on suppose que le contour fermé (Cg) est formé des états qui constituent (C),
mais déplacés sur leurs trajectoires jusqu'à l'instant t=o.On peut encore
considérer l'intégrale du second membre comme étendue au même contour (G)
que l'intégrale du premier membre, à condition d'y regarder les pi et les q*
comme des fonctions des p ;, des q . et de /. De ce point de vue les deux expres-
sions

Vp.S^;— Hôi et ^ploql,

donnant la même intégrale le long d'un contour fermé quelconque, ne
différent que par une différentielle exacte, et l'on a

(4) "Vp«5<7.- — Ilot = oS -h ^p°o<j?.

La fonction S est ce qu'on appelle la fonction d'IIamilton, et elle a une
interprétation concrète simple. Si nous nous reportons en effet à la for-
mule (lo) du chapitre I" qui donne la variation de l'action le long d'une tra-
jectoire variable, nous voyons que S peut être interprétée comme représentant
Vàction entre Vinstant o et Vinstant t le long de la trajectoire qui aboutit à
Vélat {p,q.t).

Cette fonction S a été considérée par Ilamilton et elle a, au point de vue
historique, une certaine importance, car ce sont les remarques d'IIamilton à
son sujet qui ont mis Jacobi sur la voie de ses découvertes relatives à l'inté-
gration des équations de la Dynamique. Ilamilton remarque en effet que si
on savait exprimer la fonction S, non pas en fonction des p., q; et t, mais en
fonction des f/., q1 et t, on aurait par cela même intégré les équations du
mouvement. L'identité (4), mise sous la forme

oS = Vp.5^; — H5^ — 'VpîSg*,
donnerait en effet

Les deuxièmes équations donneraient les p . en fonction de t et des an valeurs
initiales, les premières donneraient les quantités de mouvementp.. La dernière
enfin montre que la fonction S est solution de l'équation aux dérivées par-
tielles

32

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

La difficulté, dans celte conception, était non pas tant d'intégrer cette équa-
tion aux dérivées partielles, que d'en trouver une solution pour laquelle les
constantes arbitraires q1 fussent précisément les valeurs initiales des q,. Jacobi
résolut la difficulté en montrant que cette condition était tout à fait inutile
pour faire servir l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (6) à l'in-
tégration des équations du mouvement : c'est ce que nous avons déjà exposé
brièvement au n" 14-

34. Il est assez instructif d'effectuer le calcul effectif de la fonction
d'Hamilton S dans un cas simple, par exemple celui d'un point libre de
masse i qui n'est soumis à aucune force. Ici les équations du mouvement
sont

X = Xq l -\- Xq, X = Xq ,

y = joi + jo. y = jo'.

Z = Zo'l -+- Zq, z' = Zq'.

La différence

5S=u)S— (w5)o=a;'ôir-f-j'3j'+2'S2— l(a;'2H-y'î-|-2'2)Si— (xo'Sxo-Hjo'Syo+z/Sz^)

est égale à

{S=a;'Sx+/5y+z'oz— -(a;'2+/2_|_2'2^g/_a;'5(a;_to')— 7'S(j— //)— z'ô(z— <z')

=-(a;'^-l-j'2H-z'2)Si4-<(x'8a;'-|-v'Sj'-h2'ûz'),
d'où, en tenant compte de ce que S doit s'annuler avec /,
S = i (a;'2 + y'* -f- z'2)<.

En exprimant S au moyen de a:, )', z, a:^, j^, z^, /, on obtient

S = i (^ - Xq)^ + (y - jo)'' -+- (z - z,Y
1 t

De cette fonction les formules d'Hamilton (5) permettent de déduire le»
équations du mouvement

, ôS a; — Xn , ôS X — a;„

bx

i

'

— Xo

dx,

— ~

t

y'

ôS_

J-

~1

Jl

— Yo'

= -

-L

t

ôS

z ■

h

ôS

z ■

— h

— z/

ÔZ

t

'

ÔZo

t

V. — Exemples. La forme « élément de matière ».

35. Après la parenthèse précédente, revenons aux invariants intégraux

fnhsolus.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFÉREHTIELLES INVARIANTES 33

Il est bon, dans les cas les plus simples, de se rendre compte direclemen
du caractère d'invariance des formes différentielles * qui sexléduisent, comme
il a été dit plus haut, des formes F en y remplaçant les ôx, par 5xi — X^5^

Prenons pour simpliGer un système de deux équations différentielles à deux
fonctions inconnues

dx „

dt

Y.

ît partons d'un invariant intégral linéaire absolu

I = I a(x, y, t)ox -h b{x, y, t)oy ;
l'invariant intégral complet qui lui est associé est

J = I a{x, y, t) (Sa; — Xot) -+- b{x, y, t) (ôj — Yô<).

Partons dans le plan des xy d'un arc de courbe A^Bp et menons par les
différents points de cet arc de courbe les trajectoires correspondantes ; on
obtient ainsi une espèce de surface cylindrique dont les génératrices (non
rectilignes) seraient les trajectoires. Traçons sur cette surface deux arcs de
courbe MN et M'N' reliant la trajectoire issue de A^ à la trajectoire issue
de Bj. Nous voulons démontrer que l'on a

•^MN =^ ''m's'-

Les deux arcs de courbe MN et M'N' limitent, avec les arcs de trajectoire
MM' et NN', une aire fermée sur la surface; d'autre part Tintégrale J, étendue

à chacun de ces deux derniers arcs, est évidemment nulle, puisqu'on se dé-
plaçant sur l'un de ces arcs, on a constamment

ox = Xô/, Sj = Yô/.

Par suite l'intégrale J étendue au contour fermé MNN'M' est

Jifiin'u' = Jmn — Jm'»',

et tout revient à démontrer par suite que cette intégrale est nulle. Or d'après

la formule de Stokes cette intégrale se ramène à une intégrale de surface

E. Cartan. — Leçons sur les Invariants intégraui. 3

34 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

étendue à l'aii-e MNN'M'. Nous allons montrer que celle intégrale de surface a
son élément nul. En eflet pour cela décomposons la surface en éléments de sur-
face par de petits parallélogrammes formés, d'une part d'arcs de trajectoire,
d'autre part de sections par des plans t = const. Soit PQQ'P' un de ces élé-
ments de surface. L'élément d'intégrale de surface correspondant est égal à

JpQ Jp'q'»

mais, comme les points de PQ sont simultanés, ainsi que ceux de P'Q', Jpq se
réduit à IpQ et Jp'q' à Ip'q'. Or ces deux Intégrales Ipq et IpV sont égales, d'après
la propriété admise pour I d'être un invariant intégral.

Donc l'élément d'intégrale de surface est bien nul et le théorème est
démontré.

36. Un raisonnement analogue se ferait dans le cas d'un invariant intégral
double

I / a(x, y, t)^xBy.

Ici le passage de la forme F à la forme * est un peu plus difficile que dans
le cas précédent. On y arrive en assimilant l'élément de surface ùx8y à une
force bilinéaire ôajS'j — SjS'cc ; il suffît pour cela d'imaginer un système in-
déterminé de coordonnées curvilignes (a, p) et de regarder ox, ôj comme le
déplacement élémentaire relatif à un accroissement Sa de la première cooi'-
donnée a, et ô'cc, c'y comme le déplacement élémentaire relatif à un accrois-
sement S'ô de la seconde j3. On a alors

F = a
on en déduit

ox oy
ô'x o'y

Sa; —X8t oy — Y8i I Sx oy 1 , 1 Sy ot \ ,. S< Sa;

I S'a; — XS'i S'j— Yô'/ j [o'x oy\ h J ^ M \o t 6 x\

ou, en revenant aux notations en usage dans la théorie des intégrales de
surface,

* = a8a;Sj + aXSjSf -h aYSiSa;.

Considérons donc l'intégrale de surface

■If-'

xBy 4- aXojôf + oYUox

et cherchons à nous rendre compte directement de son caractère invariant.
Imaginons pour cela dans le plan des xy une aire quelconque S^ et cons-
truisons les trajectoires issues des différents points de cette aire. Nous obte-
nons ainsi un volume indéfini limité par une espèce de surface latérale
cylindrique engendrée par les trajectoires qui partent du contour de S^.

INVARIANTS 1>TEGRAUX ET FORMES DIFFERENTIELLES INVARIANTES

35

Coupons ce volume par deux surfaces quelconques : nous obtenons ainsi à
l'intérieur du volume, mais «'étendant jusqu'à la surface latérale, deux aires
(planes ou courbes) S et S'. Nous voulons démontrer que l'on a

Js = Js'. ,

Les aires S et S' délimitent, avec une portion de la surface latérale du cy-
lindre, un volume V ; d'autre part l'intégrale J étendue à l'aire latérale qui
limite ce volume est évidemment nulle, puisque, en appelant da l'élément
d'aire, a, 0, y les cosinus directeurs de la normale, on a

=//

a(y -+- Xa + Y(3)(fcr

et que la direction (X, Y, i), étant celle des tangentes aux trajectoires qui
engendrent la surface latérale considérée, est normale à la direction (a, p, y).
Il résulte de là que la diflerence Js' — ,]» peut être regardée comme l'intégrale
de surface J étendue à l'aire fermée qui limite le volume V. Tout revient à
montrer que l'intégrale de volume équivalente est identiquement nulle. Or
l'élément de cette intégrale de volume est évidemment nul : il suffit pour s'en
rendre compte de prendre pour volume élémentaire le volume limité latéra-
lement par de petits arcs de trajectoire et aux extrémités par deux aires planes
parallèles au plan des xy, car alors l'intégrale de surface J étendue à chacune
des bases se réduit à l'intégrale I et la valeur de l'intégrale I est, par hypo-
thèse, la même pour les deux bases.

37. La Cinématique des milieux continus va nous fournir une illustration
concrète des considérations développées dans ce Chapitre.

Dans un milieu continu en mouvement, la trajectoire de chaque molécule
peut être regardée comme une solution du système d'équations différentielles

dx

-rr = U,

dt = '^

^7 = "*.

36

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

OÙ u, V, IV, les composanles de la vitesse, sont supposées exprimées en fonction
de X, y, z, t. Soit d'autre part p(x, y, z, t) la densité à l'instant i au point
(x, y, z). La masse qui remplit à l'instant i un volume quelconque V est
donnée par l'intégrale triple

///■

coyrjz ;

cette intégrale constitue évidemment un invariant intégral absolu au sens de
H. Poincaré : c'est même le premier exemple d'invariant intégral donné par
H. Poincaré. Si les molécules qui remplissent le volume V à l'instant i rem
plissent le volume V à un autre instant t\ on a évidemment

M

p(x, y, z, t'jlxùy^z-

■ffi:

p(x', y', z', i'Yjx'ly'Zz'

La forme * associée à la forme F = pôa^SjSz va être calculée, comme dans
l'exemple précédent, en écrivant F sous la forme

on en déduit

5x

Sj

F = P

l'x

o'y

c>"x

?J'y

6a; — mA oy

— vit

o'x — uo't l'y

— vl't

l"x — m"

ô"j

— vo"i

d'où, par un calcul facile,

<ï> z=. ^(oxlyoz — voylizlt — vozoxoL

02 — luol
o'z — xoo't
o"z — wè"t

wlxlyot).

Cette forme * représente Vêlement de maiicre envisagé sous son aspect ciné-
matique complet. Si l'on considère un ensemble quelconque à trois dimen-
sions de molécules, et si l'on prend chaque molécule de l'ensemble à un
instant quelconque t de son mouvement, on obtient dans l'univers à quatre
dimensions (a;, y, z, t) un domaine à trois dimensions ; l'intégrale triple de *
étendue à ce domaine sera égale à la masse totale de l'ensemble des molé-
cules considérées. Si les molécules sont prises toutes au même instant t, elles
remplissent à cet instant un certain volume V et l'intégrale de 4> se réduit à

l'intégrale

poxlycz. Mais c'est là un cas tout à fait particulier.

Considérons par exemple, pour fixer les idées, une aire S dans l'espace et
l'ensemble de toutes les molécules qui travei'sent cette aire S entre un instant
/q et un instant <i. Prenons chacune de ces molécules au moment où elle tra-
verse luire S. Nous avons ici un domaine à trois dimensions de l'univers
(x, y, z, t). Les états de ce domaine s'expriment facilement au moyen de trois
paramètres <», P, y : il suffit pour cela d'exprimer les coordonnées d'un point

INVARIANTS INTEGRAUX ET FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES 87

de S en fonction de deux paramètres a, 3 et de prendre t = y- On aura alors
des formules telles que

y = o>, P).

. = h{a, P),

les paramètres a et 3 prenant toutes les valeurs qui coiTCspondent aux diffé-
rents points de l'aire S et le paramètre y prenant toutes les valeurs possibles
de l'intervalle [t^, t^). L'intégrale de * étendue à ce domaine sera évidem-
ment, en ne tenant pas compte du signe,

Jto ' L-'^w'^"'"^'"

:vozox -+- pwoxoy

L'intégrale de surface entre crochets représente leflax de matière à l'instant
l à travers la surface S ; multipliée par «5/, elle représente la quantité de ma-
tière qui traverse la surface S dans l'intervalle {t, t -+- ol). L'intégrale totale
représente donc, comme nous devions nous y attendre, la masse totale qui
traverse S dans l'intervalle {Iq, ti).

38- Des remarques analogues s'appliqueraient à l'invariant intégral double
que nous avons rencontré en Hydrodynamique (Chap. Il, formule (8))

J = I I $ôjoz-i-T,o2ox4-s'5a:&jH-(T,u' — ^i;)8a:ôf-i-(Cu— ;îi>)'5j'5i+(^y — Tju)ozô^

Nous avons vu (n° 25) que cette intt^grale, étendue à un ensemble à deux
dimensions de molécules prises à un même instant t, représentait le moment
ou l'intensité du tube de tourbillon formé des lignes de tourbillon qui partent
de ces molécules. Considérons alors l'ensemble des molécules qui traversent
un arc de courbe G dans un intervalle de temps (Iq, /,). Au lieu de prendre
ces molécules à un môme instant t, prenons chacune d'elles à l'instant où elle
traverse l'arc de courbe C. Le moment du tube de tourbillon dont elles font
partie à un instant quelconque l sera égal à l'intégrale

fa, f

ùX

CHAPITRE IV.

LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE D'UNE FORME
DIFFÉRENTIELLE.

La classe d'une forme différentielle.

39. Dans tout ce Chapitre nous considérerons des systèmes d'équations
différentielles à n variables Xi, x^, ..., Xn, sans distinguer la variable indé-
pendante par une notation spéciale : ce sera l'une quelconque des variables
Xi, ..., x„. Autrement dit nous considérerons des systèmes d'équations diffé-
rentielles de la forme

, . dx, dx-i dx,i

(" x = %=■ = %:■

Un des premiers problèmes qui se posent dans la théorie des invariants
intégraux est le suivant : Reconnaître si une forme différentielle donnée est
invariante pour un système d'équations différentielles données, et, plus générale-
ment, déterminer tous les systèmes d'équations différentielles qui admettent une
forme différentielle donnée comme forme invariante.

Avant d'aborder la résolution de ce problème pour les formes différentielles
qui se présentent le plus habituellement dans les applications, nous pouvons
faire quelques remarques générales qui nous conduiront à un théorème
extrêmement important.

Pour qu'une forme * puisse être invariante pour le système (i), il faut et
il suffit qu'elle puisse s'exprimer au moyen des intégrales premières de (i)
et de leurs différentielles. Donc une condition nécessaire pour qu'une forme
donnée * puisse être forme invariante pour un système d'équations diffé-
rentielles convenablement choisi est que celte forme puisse s'exprimer au
moyen de m — i quantités au plus et de leurs différentielles.

40- Supposons alors que la forme donnée * puisse s'exprimer au moyen
de r < n quantités ji, ..., jr (fonctions des Xi) et de leurs différentielles ;

LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE d'uNE FORME DIFFÉRENTIELLE Sq

supposons en outre qu'e//e ne puisse pas s'exprimer d'une manière analogue
au moyen de moins de r quantités. Dans ces conditions nous allons démontrer
le théorème suivant :

Pour quan système d'équations différentielles admette <ï> comme forme inva-
riante, il jaut et il suffit que ji, ..., Jr soient intégrales premières de ce système.

La condition est évidemment suffisante. Pour démontrer qu'elle est néces-
saire, considérons un système d'équations différentielles admettant <î> comme
forme invariante, et écrivons les équations de ce système en prenant comme
nouvelles variables ji, .... jr et n — r autres quantités indépendantes
yr+i, ..., ja. Soit

t^] dy^ _ ^j^ _ _ ^y^ — <>'— — _ fe
^'^ t: - T7 T7 - 'YZ7 t:

les équations de ce système. Si j,, ..., y, n'étaient pas toutes des intégrales
premières, les r premiers dénominateurs Yi, ..., Y, ne seraient pas tous
nuls ; supposons par exemple Y, ;zf o. On pourrait alors prendre y^ comme
variable indépendante et la forme * ne changerait pas de valeur si on y rem-
plaçait partout j, et ôj^ par o, puis

Ji» .... Jr-M J. + i, -Vrn

par leur valeurs initiales

yU .••, jLo jLi, "'>yl

regardées comme des intégrales premières du système (a), enfin les diffé-
rentielles

par

Sjî, .... sj!.

Mais alors, comme 4> ne contient ni j,^,, ..., j„, ni leurs différentielles,
la nouvelle forme obtenue ^ ne dépendrait que de jj, ..., j"_i et de leurs
différentielles ; autrement dit on pourrait trouver r — i fonctions z^, ...,Zr-i
des Xi, telles que * puisse s'exprimer au moyen de ces r — i fonctions et de
leurs différentielles. Ce résultat est contraire à l'hypothèse. Le nombre r sera
appelé la classe de la forme *.

II. — Le système caractéristique d'une forme différentielle.

41. Ce théorème extrêmement général comporte des conséquences impor-
tantes qui en feront mieux comprendre la portée.

Le système d'équations différentielles le plus général admettant la forme 4
comme forme invariante, écrit avec les variables y,, ..,, j„, est, d'après ce
qui précède,

^•^^ T" - T "^ - Y, . . Yn '

/|0 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

OÙ Y,..i 1, ..., Y„ sont des fonctions arbitraires. Nous en déduisons immédia-
tement que toute intégrale première commune à ces systèmes est une fonction
de Ji, ..., y,- Si par suite la forme * peut s'exprimer d'une seconde manière au
moyen de r quantités z^, ..., z,. et de leurs différentielles, les Zi seront des fonc-
tions des yi et réciproquement, puisque les r, sont des intégrales premières
communes à tous les systèmes différentiels qui admettent «f comme forme
invariante. Cela revient à dire qu'(7 n'y a essentiellement qu'une manière
d'exprimer la forme * au moyen du nombre minimum de variables et de leurs
différentielles, en ce sens que lorsqu'on a une expression faisant intervenir le
nombre minimum r de quantités j,, .... j^, toutes les autres s'obtiennent en
effectuant sur les y un changement de variables arbitraire. — Cette conclu-
sion serait manifestement en défaut si r n'était pas le nombre minimum de
variables.

42. Une autre conséquence est la suivante. Convenons de dire qu'un cer-
tain nombre, trois par exemple, de systèmes d'équations différentielles à n
variables,

dx\ dxî

X7 - x7"" •

dx^

'•~X7'

dx\ dxi

X7=r7 = -

dx„

' ~ x',r'

dx, dx,

x; — x; ~ "

dx^

— x; '

sont linéairement indépendants s'il est impossible de trouver trois coefficients.
X, X'j X" non tous nuls tels qu'on ait

XX,

H-

X'X.

H-

X"X,

= o>

ÀXî

-H

X'X,

-+-

)."X,

= o,

XX„-t-X'X„-hX"X„=o.

Nous dirons dans le cas contraire qu'ils sont linéairement dépendants.

La propriété de plusieurs systèmes d'être ou non linéairement indépendants
subsiste évidemment par un changement quelconque de variables.

Parmi les systèmes (3) qui admettent * comme forme invariante, on peut
manifestemeut trouver n — r systèmes linéairement indépendants, à savoir
ceux qu'on obtient en faisant tous les dénominateurs ¥,..)_,, .... Y„ nuls sauf
un. De plus tous les systèmes (3) dépendent linéairement de ces n — r
systèmes particuliers.

Nous voyons donc que si une forme * est invariante pour n — r systèmes
d'équations différentielles linéairement indépendants et n — r seulement, elle est
invariante pour tout système qui en dépend linéairement, et de plus tous ces
systèmes ont en commun r intégrales premières indépendantes.

LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE d'u>E FORME DIFFERENTIELLE 4 1

43. Supposons par exemple n — r = 2. Il existe deux systèmes d'équa-
tions différentielles, soit

dx,

X, ~ "

dx...

• - x:

dx^

X7-"

dx,.

••— x;

admettant «!> comme forme invariante et tout autre système qui jouit de cette
propriété dépend linéairement de ces deux-là. Appelons (C) les trajectoires
du premier système, (r) celles du second. Menons par un point quelconque
M de l'espace à n dimensions la trajectoire (G) et la trajectoire (r) qui passent
par ce point ; prenons sur (G) un point quelconque P, et sur (F) un point
quelconque Q ; enfin construisons la trajectoire (F') qui passe par P et la tra-
jectoire (C) qui passe par Q. Ces deux nouvelles Irajecloires se coupent. Si en
effet y,, ,.., j„_2 sont les intégrales premières communes aux deux systèmes
considérés, et si Oi, ..., a„_2 sont les valeurs numériques de ces intégrales au
point M, leurs valeurs numériques au point P et au point Q sont encore les
mêmes, par suite, les courbes (C), (F), (F'), (G') sont toutes situées sur la
même variété à deux dimensions

Jl = <^if y-i = «2. .-.. Jn_2 = «n-s'

donc enfin les deux dernières se coupent.

44. Le cas précédent se présente précisément pour l'invariant intégral
double de la théorie des tourbillons, qui correspond à la forme dilïérentielle

(4) <ï> = ^ojoz-i-r,ozôxH-^oa:ôy-t-(T,?t' — ^v)oxot + [i^u — ^iv)ày5t-\-(^v — t^u)oz81.

Nous avons vu (n" 24) que les systèmes d'équations différentielles qui
admettent •!> comme forme invariante sont ceux qui entraînent comme
conséquence les trois équations

( r,{dz — ludt) — Z{dy — vdt) = o,

(5) ] Zydx — udt) — '';{dz — wdt) = o,
l i[dy — vdl) — r^{dx — udt) = o.

Le plus général de ces systèmes peut s'écrire

dx dy dz dt

Xu -\- ti.^ Xy -f- fjir, \w -\- [JiC X

et il se déduit linéairement des deux svslèmes

dx dy dz dt

u V IV 1

dx dy dz dt

T ~ "tT ~ T ~ o '

qui définissent les trajectoires des molécules du fluide et les lignes de tour-
billon. Les premières sont les courbes (G), les secondes les courbes (F) de tout
à l'heure et les propriétés obtenues dans le cas général peuvent s'exprimer ici

a 2 LEÇONS SUB LES INVARIANTS INTEGRAUX

en disant que les molécules qui forment une ligne de tourbillon (T) à V instant t
forment encore une ligne de tourbillon {T') à linstant t'. Le théorème de
Helmholtz est ainsi une conséquence très parliculicre du théorème général
démontré au début de ce Chapitre.

45. Nous avons supposé dans les deux numéros précédents n — r = 2.
Des considérations géométriques analogues pourraient être développées quelles
que soient les valeurs de n et de r ; elles reposeraient sur l'existence de va-
riétés définies par r équations de la forme

Ji = ai, 72 = 02, ...,yr = ar

et telles que toute trajectoire d'un système différentiel (3) qui y a un de ses
points y est contenue tout entière. Chacune de ces variétés, qui est à n — r
dimensions, pourrait être obtenue en partant d'un point quelconque M, en
menant par ce point une trajectoire d'un quelconque des systèmes qui
admettent «i» comme forme invariante, en menant par un point quelconque P
de cette trajectoire la trajectoire d'un autre quelconque de ces systèmes et
ainsi de suite ; par ces opérations on pourrait engendrer toute la variété
an — r dimensions et on n'en sortirait jamais.

Nous donnerons à ces variétés le nom de variétés caractéristiques de la
forme *.

Les variétés caractéristiques peuvent être regardées comme résultant de
l'intégration des équations

dyi = o, dji = 0, ..., dy,. = 0 ;

or ces équations, si on revient aux variables primitives Xi, ..., x„, sont consti-
tuées par l'ensemble des relations linéaires en dxi, ..., dx^ qui sont des consé-
quences des équations d'un quelconque des systèmes différentiels admettant <t>
comme forme invariante.

On peut encore dire plus simplement : La condition nécessaire et suffisante
pour que le déplacement élémentaire (dxi, ..., dx„) s'effectue dans la direction
d'une trajectoire d^un système différentiel admettant * comme forme invariante se
traduit analytiquemenl par un certain nombre d'équations linéaires en dx^^, ..., dxn-
Ces équations, supposées au nombre de r indépendantes, définissent des variétés
an — r dimensions dépendant de r constantes arbitraires telles quil en passe une
et une seule par tout point de Vespace : ce sont les variétés caractéristiques. Le
système d'équations aux différentielles totales linéaires lai-même est appelé le
système caractéristique de la forme *.

46. Appelons pour abréger équation de Pfaff une équation linéaire en
dxi, ..., dxn, et système de Pfaff un système d'équations de Pfaff. Un système
de r équations de Pfaff à n variables peut toujours être regardé comme dé-
finissant r des variables, considérées comme variables dépendantes, en fonc-
tion des m — r autres considérées comme variables indépendantes. En gêné-

LE SÎSTÉME CARACTÉRISTIQUE d'u:NE FORME DIFFERENTIELLE 43

rai un tel système est impossible. Un résultat classique est,"par exemple, qu'une
équation de PfafT à trois variables

Vdx + Qdy -h R(/z = o,

où l'on regarde z comme une fonction inconnue de a: et de j, n'admet de
solution correspondant à des valeurs initiales arbitrairement données que si
une certaine condition d'intégrabilité, à savoir

P /?R _ ^) + Q f^-E _ È?W R /5« _ ?E)= „

\dy dz J ^ \dz dx J \àx byj

est remplie : dans ce cas on dit qu'elle est complètement inlégrable.

On dit de même qu'un système de PfafT de r équations à r fonctions in-
connues de n — r variables est complètement intégrable s'il admet toujours
une solution correspondant à des valeurs initiales arbitrairement données des
variables. C'est ce qui se passe pour le système de PJaff caractéristique d'une
forme *.

Le théorème fondamental de ce Chapitre peut donc s'énoncer comme il
suit :

Le système de PJaff caractéristique d'une forme différentielle quelconque * est
toujours complètement intégrable.

47. Revenons une dernière fois à la forme «I» de la théorie des tourbillons.
Le système de Pfalî caractéristique de cette forme est défini par les équa-
tions (5) ou, ce qui revient au même,

dx — udt dy — vdt dz — wdt ,

si nous savions exprimer qu'un tel système est complètement intégrable,
nous arriverions nécessairement à la traduction analytique du théorème de
Helmholtz. Quant aux; variétés caractéristiques, elles sont formées par
l'ensemble de tous les états des molécules qui constituent une même ligne de
tourbillon.

Pour l'invariant intégral double de la Dynamique, le système de Pfaff
caractéristique se réduit aux équations du mouvement et les variétés caracté-
ristiques aux trajectoires.

Il pourrait en être autrement si, comme nous l'avons fait dans la théorie
des tourbillons, on ne considérait qu'une partie des trajectoires, par exemple
toutes celles qui satisfont à un même système de relations entre les variables.

CHAPITRE V.

LES SYSTEMES DE PFAPF INVARIANTS
ET LEURS SYSTÈMES CARACTÉRISTIQUES.

I. — La notion de système de Pfaff invariant.

48. Au lieu de /ormes invariantes pour un système d'équations différen-
tielles, on peut considérer des équalionn invariantes. II. Poincaré a utilisé en
particulier des systèmes d'équations invariantes finies : ils jouissent de la
propriété que si un point satisfait à un tel système, tous les points qui s'en
déduisent par déplacement le long de la trajectoire correspondante satisfont
encore à ce système. Pour employer un langage géométrique, la variété re-
présentée par un système d'équations invariantes est engendrée par des trajec-
toires.

On peut aussi considérer des équations différentielles invariantes. Plaçons-
nous d'abord, au point de vue restreint, dans le cas simple de deux équations
différentielles _

^'\ dt-^' rt-^-

L'équation

(2) ôj — m{x, y, t)ox = o

sera dite invariante au sens de H. Poincaré si, étant donnés deux points simul-
tanés infiniment voisins quelconques {x, y, t), [x ■+- ^x, y -\- oy, t) satisfai-
sant à la relation (2), les points (x', y', t') et (x' H- ôx', y' -h oy', /') obtenus
en les déplaçant le long de leurs trajectoires respectives jusqu'à un autre ins-
tant quelconque /' satisfont encore à la relation (2), c'est à-dire si l'on a
encore

Sj' — m(x', y', t')ox' = o.

Si l'équation (3) est invariante dans le sens qui vient d'être précisé, elle
sera équivalente à l'équation

(3) ôjo — m(a-o, jû. o)5X(, = o,

LES SYSTÈMES DE PFAFF INVARIANTS /|5

OÙ l'on désigne par x^, y^ les valeurs initiales de x, y dans la Irajccloire
qui passe par le point (x, y, t). Si maintenant, dans cette équation (3), on
regarde x^, y^ comme des fonctions de {x, y, t) et si on y remplace x^, y^ par
leurs valeurs, cette équation prend évidemment la forme

(4) Sj — Yàt — m{Bx — X80 = o.

La nouvelle équation (4), d'après son origine même, aune signification
invariante au sens complet de ce terme, car elle exprime une propriété intrin-
sèque des deux trajectoires con-espondant aux points (x, y, t) et {x ■+- ox,
y -\- 8y.t-h8t).

Géométriquement l'équation (4) fait correspondre à tout point M {x, y, t)
de l'espace un plan (P) passant par ce point, La propriété d'invariance signifie
que la droite MMj qui joint un point M à un point infiniment voisin Mi est
située dans le plan (P) correspondant au point M, et si l'on déplace M et Mi
le long de leurs trajectoires respectives (en les laissant toujours infiniment
voisins l'un de l'autre) jusqu'en M' et Mi', la droite M'M/ est située dans le
plan (P') correspondant au point M'. Il est à remarquer que le plan (P) est
tangent à la trajectoire qui passe par le point M.

D'après ce qui précède il est évident que si une courbe (C) satisfait en
chacun de ses points à l'équation (4), c'est-à-dire en est une courbe intégrale,
la surface engendrée par les trajectoires qui passent par les différents points
de (C) est aussi une surface intégrale de l'équation (4). Cela ressort aussi
analytiquement de la forme (3) de l'équation (4).

49. Les considérations précédentes se généralisent facilement. Etant donné
un système d'équations différentielles

(5) ^dt=^^ {i=i,2,...,n),
un système d'équations de Pfaff

a, ,ôa:, + ... -h a,,/^x„ •+ a,o< = o,

(C) \

a^i^Xi H- ... -h a,.^oa*„ -+- a,fil = o

sera dit invariant pour le système (5) si les équations (6) peuvent s'exprimer
uniquement au moyen des intégrales premières de (5) et de leurs différen-
tielles, par exemple sous la forme

' alioxl 4-
(7)

„ôx! = o.

Cela exige d'abord que les équations (6) soient identiquement vérifiées
quand on y remplace Sa-j par 'Xfit ; mais cette condition n'est évidemment pas
suffisante. Quoi qu'il en soit, si le système de Pfaff (6) est invariant, il jouit
d'une propriété géométrique importante, c'est que étant donnée une variété

46 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

inlégrale quelconque du système (6), la variété obtenue en menant par chaque
point de la variété donnée la trajectoire correspondante des équations (5) est en-
core inlégrale ; cela résulte en effet de ce que si l'on se déplace sur cette nou-
velle variété, en un point quelconque, les équations (7) ne (cessent pas d'être
vérifiées.

(Il est entendu qu'on appelle variété intégrale une variété telle que si l'on
se déplace sur cette variété dans une direction quelconque {oxi, ..., Bt) les
équations (6) sont vérifiées).

De là résulte que toute variété intégrale du système de PJaJf invariant (6)
jouit de la propriété, ou bien d'être engendrée par des trajectoires des équations
données (5), ou bien de faire partie d'une variété intégrale à un plus grand nombre
de dimensions engendrée elle-même par des trajectoires.

II. — Le système caractéristique d'un système de Pfaff.

50. Etant donné un système de Pfaff quelconque à n variables (x^ rr„)

( ùiiOXi -h ... -H ai„5a;„ = o,
(8)

( «Aïoa;! + ... + aun^Xn = o,

on peut se proposer de déterminer tous les systèmes d'équations différentielles
, ^ cfa"j __ dx^ dx„

^9^ "x7-"x^ x;:

pour lesquels le système (8) est invariant. C'est un problème que nous ré-
soudrons plus loin, mais sans le résoudre on peut démontrer à l'égard de
tous ces systèmes un théorème important, identique du reste à celui qui a été
démontré dans le Chapitre précédent à propos d'une forme différentielle
donnée.

Supposons que les équations données (8) puissent s'écrire au moyen de r
quantités Vi, ..., j,., fonctions des x et de leurs différentielles, sous la forme

( ^nCjyôji 4- ... + 6j,.(j)oj,, = o.
('O)

A hiiyy^yi + ... + hr{y)oyr = o,
et supposons de plus qu'elles ne puissent pas s'écrire au moyen de moins de r
quantités et de leurs différentielles. Le nombre r s'appellera la classe du
système. La condition nécessaire et suffisante pour que l& système de Pfaff (8)
soit invariant pour les équations (9) est que ces équations (9) admettent
Ji» J2, ••-, yr comme intégrales premières.

La démonstration est exactement la même que dans le Chapitre précédent
et les conséquences qu'on en tire sont aussi les mêmes. En particulier les
équations qui expriment que le système de Pfaff donné (8) est invariant pour
le système d'équations différentielles (9) se réduisent à r équations linéaires

LES SYSTÈMES DE PFAFF INVARIANTS [\J

en Xi, ..., X„, ou, ce qui revient au même, à r équations linéaires en
dx^, ..., dxn, et ces r équations forment un système de Pfafl" équivalent à

dyi = 0, .... dyr=- o,

c'est-à-dire complètement inlégrable. Ce système de Pfaff s'appelle le système
caractéristique du système de Pfaff donné (8) ; les équations du système carac-
téristique peuvent du reste s'obtenir en ajoutant aux h équations (8) du
système donné r — h autres équations.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système de Pfaff (8) soit com-
plètement inlégrable est évidemment qu'il coïncide avec son système caractéris-
tique, de sorte que si on sait former le système caractéristique d'un système
de Pfaff quelconque, on saura par cela même exprimer qu'il est complètement

51. II est évident qu'un système de Pfaff (8) peut être regardé comme in-
variant pour son système caractéristique ; toute variété intégrale du système (8)
ou bien est engendrée par des variétés caractéristiques, ou bien fait partie d^une
variété intégrale à un plus grand nombre de dimensions engendrée elle-même par
des variétés caractéristiques.

Si l'on considère une forme différentielle quelconque, et si cette forme est
invariante pour un certain système d'équations différentielles, le système de
Pfaff caractéristique de la forme est invariant pour ce même système d'équa-
tion^différen tielles .

C'est ainsi qu'en Hydrodynamique le système de Pfaff

ox — uot oy — v5t oz — ivot

est invariant pour les équations différentielles des trajectoires des molécules
fluides (comme aussi pour les équations différentielles des lignes de tour-
billon).

Tous ces théorèmes;, et d'autres qu'on pourrait facilement imaginer, sont
des conséquences immédiates de la propriété caractéristique d'un système in-
variant de ne faire intervenir que les intégrales premières des équations diffé-
rentielles pour lesquelles il est invariant.

52. Considérons, soit une forme différentielle, soit un système de Pfaff,
soit même l'ensemble de plusieurs formes diflérentielles et d'un système de
Pfaff, et désignons par j,, ...,yr les intégrales premières du système de Pfaff
caractéristique, soit de la forme différentielle donnée, soit du système de
Pfaff donné, etc. Il est évident que si Von porte son attention uniquement sur la
manière dont figurent les différentielles oXi, ..., Sx„ dans la forme différentielle,
ou dans le système de Pfaff -etc., sans se préoccuper des coefficients, ces diffé-
rentielles entrent dans les seules combinaisons Sji, ..., oy,.. Mais il se peut aussi
qu'elles n'entrent que par des combinaisons linéaires en nombre inférieur à r.
En tous les cas si l'on connaît les combinaisons linéaires en nombre minimum

l[8 LEÇONS SUR LES I1SVARIA>TS I>'TÉGUAUX

des cxj au moyen desquelles peut s'exprimer la forme (ou le système dePfalT,
etc.) les équations obtenues en annulant ces combinaisons linéaires font partie du
système caractéristique.

m. — Le rang d'une forme algébrique et son système associé.

53. Les considérations qui précèdent gagneront en netteté si nous démon-
trons, à l'égard des formes algébriques, un théorème analogue à celui qui nous
a conduits à la notion de système caractéristique :

Si une forme algébrique à n variables «i, .... u^peut s'exprimer au moyen de
r combinaisons linéaires indépendantes Vi, ..., v,. des variables sans pouvoir
s'exprimer au moyen d'un moindre nombre, si de plus on a trouvé une autre
expression de la forme au moyen de r autres combinaisons linéaires w^, ,.., Wr
des variables, les iVi sont des combinaisons linéaires indépendantes des Uj.

En effet considérons les 2r formes linéaires

Vi, ..., V,.; ivi, ..., lu,.,

des variables données. Supposons que parmi ces formes il y en ait ar — p
indépendantes (o <^ p <^ r) ; cela revient à dire qu'il existe p combinaisons
linéaires indépendantes des v qui sont en même temps combinaisons linéaires
des w ; appelons les <j, ..., tp. Supposons encore, ce qui est permis, que
ti, ..., tp sont des combinaisons linéaires indépendantes à la fois de Vi, .,»,Vp et
dewi, ..., wp. On a alors une double égalité delà forme

F(a;i, ..., ar„) = <ï>(ii, ..., tp; up+i, .... v,) = W(li, ..., tp ; iup4_i, ..., w,.).

Les quantités <j, ..., tp, vp+i, ..., v,., î^p+i, ..., iVr étant indépendantes,
cela n'est possible que si <J> par exemple ne dépend pas de Vp+i, .... Vr. Cela
n'est compatible avec l'hypothèse que si p = r, et alors le théorème est dé-
montré.

Le système d'équations linéaires

sera appalé le système associé de la forme donnée. La notion de système
associé s'étend évidemment à un ensemble de formes, ou encore à un système
d'équations algébriques. Nous dirons que l'entier r est le rang de la forme.

D'après cela le système caractéristique d'une forme différentielle contient
toujours le système associé de cette forme, considérée comme forme algébrique
en oxi, ..., 8a"„. Mais il peut contenir d'autres équations que celles du système
associé.

CHAPITRE VI.

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTÉRIEURE.

I. — Le système associé d'une forme quadratique.

54. Nous n'avons qu'un mot à dire des formes algébriques ordinaires,
formes quadratiques, cubiques, etc.
Une forme quadratique

(i) F(x) = 2 aijiiiUj = anu'i + 022?/.] + ... + aOiaUiUo + •••

' <}

est, comme on sait, réductible à une somme de carrés ; ces carrés sont au
uombi-e de n indépendants si le discriminant de la forme est différent de zéro.
Nous nous proposons de déterminer le nombre minimum de variables au
moyen desquelles (par une substitution linéaire convenable) peut s'exprimer
la forme. Il suffit, pour obtenir ces variables, de considérer le système d'équa-
tions linéaires

, , ôF ôF ôF

(2) — = o, — = 0 — =^ o.

^ ^ ô«l ô«2 àUn

Il est d'abord évident que ce système est indépendant du choix des va-
riables. Supposons qu'il se réduise à r équations indépendantes, qu'on peut
toujours supposer être

a?! = o. Xi = o, ..., Xr= o.

Cela posé la forme F peut s^ exprimer au moyen des r variables Xi, ..., Xr et ne
peut pas s'exprimer au moyen de moins de r variables.

Exprimons en effet F au moyen de aîi, ..., x,. et de n — r autres formes
indépendantes Xr-^-i, ..., Xn : la variable x^^i par exemple n'entrera pas
dans F, car, si elle y entrait par un terme tel que kx^+i x^, l'équation

ôF ^

ÔXot

contiendrait x^^i, ce qui est contraire à l'hypothèse.

E. Cahtar. = Leçons sur les Invariants intégraux. 4

50 LEÇONS SUR LES HNYARIANTS INTEGRAUX

Réciproquement supposons que la forme F puisse s'exprimer au moyen de
p <^ r variables jj, y2, ..., yp ; le système (2) formé en partant de variables

ji, >,., yp, ■■■, ynt ne contiendrait manifestement que les variables y 1 jp;

il faut donc p = r et le système (2) se réduirait alors à

les ji, ...,yr sont donc des combinaisons linéaires indépendantes de arj, ...,Xr.

La dernière partie de la démonstration montre, ce que nous savions déjà,
que l'expression de F au moyen du nombre minimum de variables n'est
essentiellement possible que d'une manière^ à une substitution linéaire près
sur ces variables en nombre minimum.

Le système (2) est le système associé de la forme F.

Ce qui précède s'étend à une forme entière et homogène de degré quel-
conque. Si par exemple F est une forme cubique, le système d'équations
linéaires associé sera obtenu en annulant toutes les dérivées secondes de F

-^ = 0-

dllidUj

ce système donne les variables en nombre minimum au moyen desquelles
peut s'exprimer F.

II. — Les formes bilinéaires alternées et les formes
quadratiques extérieures.

55. Les formes dont nous allons maintenant nous occuper sont celles qui
interviennent sous un signe d'intégrale multiple quand on y considère les
différentielles comme des variables. Ce sont des formes qui ont des règles de
calcul spéciales sur lesquelles il n'est pas inutile d'insister.

Partons d'une forme bilinéaire

à deux séries de variables

«1, '", «n; Vi, ..., u„.

Une telle forme est dite symétrique si elle se conserve quand on échange
les deux séries de variables :

f{v,u)=f{u,v),

et alternée si elle se conserve avec changement de signe dans les mêmes condi-
tions :

J{v, u) = — f{u, v).

Les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients pour que la
forme soit symétrique sont

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTERIEURE 5l

es conditions pour qu'elle soit alternée sont

«t; + aji = o, an =z o.
Si on soumet les deux séries de variables Uj et u, à nne'même substitution
linéaire, la forme J{u, v) se change dans une nouvelle forme biiinéaire
F(U, V) des nouvelles variables U;, V^, et il est évident que la forme F(U, V)
est encore symétrique si J l'était, alternée si /l'était : cela tient à ce que
l'échange des deux séries de variables nouvelles U et V revient à l'échange
des deux séries de variables primitives u et v.

A toute fonction biiinéaire symétrique /(«, v) on peut faire correspondre
ne forme quadratique, à savoir /{«, u), et la correspondance est réciproque.
Si l'on pose

/(u, «) = F(u).
on a

,, , 1/ ôF ôF ôF\

Une correspondance analogue ne peut plus s'établir pour les formes alter-
nées, car J{u, u) dans ce cas devient identiquement nulle. C'est à cet incon-
vénient qu'on peut obvier de la manière suivante.

56. Remarquons d'abord que, dans une forme biiinéaire alternée, les'coeffi-
cients des termes uiVi sont tous nuls et que les coefficients des termes u^Uy et
<,Uj sont opposés. On peut alors écrire

/(«, u) = 2 ('iÂ'^iVj — «y^i).

la somme du second membre étant étendue à toutes les comfcmawon* des m in-
dices deux à deux, de sorte qu'il y a ^ ^ termes dans ce second membre.
L'expression UiVj — UjVi n'étant autre que le déterminant

on peut, par une convention d'écritare, la désigner par la notation

UiVj UjVi = [Ui Uj],

en écrivant l'un à la suite de l'autre les deux éléments de la première ligne
et en la mettant entre crochets. Avec cette notation, on a

Convenons de même de désigner par la notation [J{à)J'(u)] la forme bi-
iinéaire alternée définie par le déterminant ,

52 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

OÙ f eif désignent deux formes linéaires quelconques
f(a) = a, H, -t- a^u^ -h ... -i- a^u,^,
f'{u) = a',a, + d„iii H- ... + «'„«„•

Si on développe le déterminant précédent, on trouve immédiatement

/w/'(")U vya,a,|°'"'i=yy,

[/(«)/'(«)] =iy(„;>y)

À^Âu

La comparaison du premier et du dernier membre montre que le développe-
ment de [/(«)/'(«)] P^f^t s'obtenir en regardant cette expression comme un pro-
duit, en développant ce produit suivant les règles ordinaires de l'algèbre, mais en
ayant soin de ne pas changer l'ordre des facteurs dans les produits partiels et de
convenir que tout produit partiel qui contient deux variables identiques est nul et
que tout produit partiel de deux variables différentes change de signe quand an
change l'ordre des facteurs.

La multiplication dont les règles viennent d'être énoncées est due à
H. Grassmann qui lui a donné le nom de multiplication extérieure.

En utilisant cette opération, on voit qu'on peut faire correspondre à toute
forme bilinéaire alternée une forme du second degré à une seule série de variables,
mais à multiplication extérieure, et réciproquement à toute forme quadratique à
multiplication extérieure correspond une forme bilinéaire alternée.

Nous dirons pour abréger « forme extérieure » au lieu de « forme à
multiplication extérieure ».

57. Si dans une forme extérieure F(u) on effectue sur les variables une
substitution linéaire, la nouvelle forme s'obtient simplement en développant
chaque produit partiel [mj Uj] en fonction des nouvelles variables.

La dérivée partielle — d'une forme quadratique extérieure se définira

simplement comme la somme des dérivées partielles de ses termes ; un terme
qui ne contient pas «t aura naturellement une dérivée nulle ; quant à un
terme qui contient «1, on pourra toujours supposer «1 amené à la première
place dans le'^produit partiel ; la dérivée de A[mi «,] sera alors Au,. On a par
exemple

àui ' ôa2 *' 0U3 » •••> j^y^^

Avec ces conventions on a

où les produits partiels du second membre sont des produits extérieurs.
Si F(u) correspond à la forme alternée /(u, y), on a manifestement

f, s / ôF ôF ôF

\ oUi 0U2 du„

I

LES FORMES A MÛLTIPLICATIOλ EXTÉRIEURE 53

OÙ les produits partiels se font suivant les règles de la multiplication ordi-
naire.

Remarquons enfin que si l'on effectue sur les U; une (substitution linéaire

«■• = haUi -H ... + hinVn (i = 1, .-., n)

et si F(u) devient par cette substitution *(U), on a

ô* , ôF . , ôF , . . ôF

_^ = h,, -_ + ;,^. _ + ... + /.„, - .

comme si F était une forme algébrique ordinaire.

58. Le système d'équations linéaires

.o, ôF ôF ôF

(o) — = o, — = o, ..., = 0,

où F est une forme quadratique extérieure donnée, est évidemment indé-
pendant du choix des variables. On peut donc supposer qu'il se réduise aux
équations

«1=0, «2=0 «r = o {f < n).

S'il en est ainsi la forme F ne dépend pas de u^^i, ..., «„; si en effet elle
contenait un terme tel que A[Ur+i«a], l'équation

— =0

ô««

ne serait pas une conséquence des équations (3). La forme F peut donc

s'exprimer uniquement au moyen des premiers membres des équations (3).

Réciproquement supposons que la forme F puisse s'exprimer au moyen de

p-^r variables Vj, Vo, ..., Vp. Les premiers'membres des équations du système

ôF ôF

— = 0, .... — = o

du, ' dVn

ne dépendraient que de Vi, ..., Vp] ce système contiendrait donc p équations
indépendantes au plus. Par suite on a p = r et les u, sont des combinaisons
linéaires des Uj.

Le système associé d'une forme quadratique extérieure s^obtient donc en annu-
lant toutes ses dérivées partielles du premier ordre.

59. Ce résultat peut ôtre précisé ; nous allons montrer que le rang r est né-
cessairement pair, et trouver en même temps pour les formes quadratiques
extérieures une forme réduite jouant le même rôle que les sommes de carrés
pour les formes quadratiques ordinaires.

Supposons pour fixer les idées que le coefficient Ui^ de F(m) ne soit pas nul,
et considérons la forme

I FôF ôF") I ,, ,, ,,

r" k;r ^ = /T (ai2«2 + ai3«3H- ... -t-am»») (a2i«i -ha^^Us-h... + a2„a„) ;

3)2 L"*»l OU2 J «12

54 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

cette forme a les mêmes coefficients que F pour les termes eu

[UlWa], Ϋ1«3J [«l"ni. [«2«î], ..., LU2«n],

c'est-à-dire pour les termes qui contiennent l'une au moins des variables Uj
et Ui. Par suite la forme

ôF ôF

^, . I TôF ôF 1 ^,, .

ne contient plus que les variables u^, u,,, ..., u„. Supposons alors que le
coefficient a» de cette forme ne soit pas nul ; on verra de même que la
forme

F'(„)--Lr»i:?E:]=F'(u)

ne contient plus que les variables «3, «,;, ..., «„. On peut continuer ainsi de
proche en proche jusqu'à ce qu'on arrive à une forme identiquement nulle.
Supposons par exemple qu'on ait

F(„) = i [îF î^]+ j, r?F' èF'i ^ 4. pz ?!•].

^ ^ OisLôUi ÔU2J OatlôUg ôUiJ OseLôUs ô«6j

Les six formes linéaires

ôF^ ôF,

ôF,

ëE.', ëI!, ^'

ÔUi* ÔU2'

d«3

ô«4 ô«5 ÔUe'

sont manifestement indépendantes. En

i posant

ôUi

ôF ,.

0U2

^==^^'

ôF" „ ,,

la forme F se réduit à la forme canonique cherchée

F(U) = [U,U,] + [U3U4] + [U5U6].
Le raisonnement est évidemment général et conduit à la forme canonique

F(U) = [U1U2] + ... + [U2._iU2,] (2S < n).

Le système associé est évidemment

Ui = U2 = ... = U2, = o.
Ce résultat aura plus loin une très grande importance.

60. La réduction d'une forme quadratique extérieure à sa forme canonique
est évidemment possible d'une infinité de manières ; l'ensemble des substitu-
tions linéaires qui font passer d'une forme canonique à une autre constitue
un groupe important qui dépend de s(2s + i) paramètres arbitraires. Si
s = I ces substitutions à deux variables sont caractérisées par la condition
d'avoir leur déterminant égal à l'unité.

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTÉRIEURE 55

m. — Les formes extérieures de degré supérieur à deux.

61, On peut imaginer des formes extérieures d'un degré quelconque. On
y arrive le plus naturellement en partant d'une forme linéaire à p séries de

variables u,, Vi, ..., iVi

/(u, V, .... w)

satisfaisant à la condition que l'échange de deux séries de variables entre
elles reproduise la forme, mais changée de signe. Dans le cas p = 3 par
exemple cette hypothèse entraîne comme conséquence que tout terme où le
même indice entre deux fois a son coefficient nul et que l'ensemble des
termes où entrent trois indices distincts, par exemple i, 2, 3, est de la
forme

IUi «a «3
Vi u« 1^3 .
Wi W2 W3

La même convention d'écriture que ci-dessus conduit à une loi de multi-
plication distributive, mais non commutative, chaque produit partiel chan-
geant de signe si on échange entre elles deux des variables qui y entrent. On
aura par conséquent

On pourra d'après cela définir un produit extérieur tel que

[F*W],

où F, *, 1' sont des formes extérieures de degrés quelconques ; le degré du
produit est la somme des degrés des facteurs. Le produit est nécessairement
nul si la somme des degrés dépasse n. On constate facilement que si l'on
échange entre eux deux facteurs du produit, le produit ne change pas si l'un
au moins de ces facteurs est de degré pair, et il se reproduit changé de signe
s'ils sont tous deux de degré impair. On définira de même une somme de
produits de cette nature.

En particulier le produit d'une forme par elle même est nul si cette forme
est de degré impair, mais il n'est pas nécessairement nul si elle de degré pair.
Prenons par exemple une forme quadratique F réduite à sa forme canonique

F = [«,«2] ■+- ["3"t] + ... + [«!.s-l«2,] ;

on a

- j F^] = [UlU2U.^U^] -h [U,U2«B«6] + 'v- H-Î[M2*-3«2*-2W2»-1«2*J,
g-j[F3] = [UiUiU.U^U.U,] -4- ...,

-r [F'] = [uiUaUjU^ ... «2.-i«2*j,

(s -M)!

56 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Le rang as d'une forme quadratique F est donc le double du plus grand
exposant de la puissance à laquelle on peut élever F sans qu'elle s'annule.

Une application simple à la théorie des déterminants est la suivante. Soit

F = ai2[«iaj] + a,3[«iW3] + an[alU^] 4- a^siuiU^] -h «^^[«iUj + a^ilJi.ii^]
une forme à quatre variables ; on a

l [F2] = (0,203^ — a^,a,, -+- ai^a,,)[a,u,u,u^] ;

d'autre part le système associé de F est

ai2W2 -+- ai3«3

H- OuU^

0,

«21"!

H- 023173 + an«4

=

0,

asiUj

+ a32U2 +

-f- a34«4

0,

«ilUl

4- «««2 4- a43«3

0.

= 0.

La condition pour que la forme puisse s'exprimer au moyen de moins
de quatre variables est d'une part qu'on ait [F*] = o, c'est-à-dire

012034 O13O24 ■+- «14023 = 0>

d'autre part que le déterminant du système associé soit nul, c'est-h-dire

o 012 Oi3 Oii

O21 O O23 Oot

031 O32 o 034

O4I 042 O43 O

Ces deux équations sont équivalentes, malgré les apparences ; on démontre
en effet que le déterminant, qui est symétrique gauche de degré pair, est le
carré de l'expression

O12O34 O13OJ4 -H 014023-

62. Toute forme extérieure de degré n (égal au nombre des variables)
est de la forme

A[oi«2 ... ««].

On peut obtenir des formes canoniques lorsque le degré est n — i ou
n — 2. On y arrive facilement par la notion déforme adjointe d'une forme
donnée.

Considérons une forme F de degré/) et désignons par $, $',..., Ç("~^~i) des
formes linéaires à coefficients indéterminés

$==t,a, + ... -+. ^„«„,

Le produit extérieur [FW ... $("~p~^'] est de degré n et par suite de la
forme

*[uiH2 ... «„];

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTERIEURE 07

le coefQcient 4» est linéaire par rapport à chaque série de coefficients i, de plus
il est alterné ; il lui correspond donc une forme extérieure de degré n — p aux
variables ^i, ..., ?„ : c'est par définition la forme adjointe de F.

Si l'on effectue une substitution linéaire sur les u et si l'on effectue en même
temps sur les ^ une substitution linéaire qui conserve l'expression
^i«i H- ... 4- ?„u„, l'expression *[»! ... m„] se conserve évidemment;
autrement dit la forme adjointe se reproduit multipliée par le déterminant de la
substitution effectuée sur les variables u.

La forme adjointe d'une forme F = Fi H- F2 est évidemment la somme
des formes adjointes *, et ^2- De même la forme adjointe de aF, où a est
un coefficient numérique, est a*. D'après cela il suffit, pour calculer la forme
adjointe d'une forme quelconque, de savoir calculer la forme adjointe d'une
forme monôme telle que

F = [UaiMa^ ... «aj.

En appliquant la définition donnée, on trouve

* = :?«,,,...$«„],

les indices ap_^i, ..., a„ étant ceux des indices i, 2, ..., n qui ne figurent pas

dans la suite «i, «j, ..., a^; ces indices sont supposés rangés dans un ordre

tel que la suite totale

«1, ..., dp, CCp+i, ..., «n

soit paire.

63. Supposons d'après cela que F soit une forme de degré n — 1 ; la
forme adjointe sera du premier degré ; on pourra donc la supposer réduite
à |„ par exemple, de sorte que F peut toujours se ramener à avoir l'expression

F = [ui«2 ... Hm-i]-
Supposons maintenant F de degré n — 2 ; la forme * sera du second degré;
on pourra donc toujours la supposer donnée par la formule

* = i?i$2] + •.. + [^2.-1^2,] ;

par suite on aura

F = [asUiUs ... Un] -h [«iU^U5«6 ... Un] -+- ... H- [UiUi ... U2<(-2W2»+1 ••• ««]•

Si 5 = 1, F se réduit à une forme monôme.

Par exemple si n = b, toute forme F de degré 5 — 2 = 3 est réductible à
l'une des formes canoniques

F = [«sUtUs],
F = [uiUjUg] + [U3«4«5] ;
si n = 6 toute forme F de degré 4 est réductible à l'une des formes
F = [usUiU^u^],

F = [U3H4«o«6] ■+- [UiUiU^a^] = [([u^u,] H- [a,«t])«5«6],

F = [usu^u-^u^] -h [uiu^ugae] -f- [«lajMsMt] =^ [[«1W2I -+- («s»;] + [«ii^ellS

58 LEÇOSS SUR LES liWARIAMS INTÉGRAUX

La notion de forme adjointe permettrait de déûnir le produit de deux
formes dont la somme des degrés dépasse n : c'est l'opération appelée par
II. Grassmann mulliplication extérieure régressive, mais nous ne l'utiliserons
pas.

64. Signalons encore quelques applications de la multiplication extérieure.
Supposons que/1,/2, ...yfh soient h formes linéaires iWépenc/anies.
L'équation

où F est une forme extérieure quelconque, donne la condition nécessaire et suffi-
sante pour que F s'annule lorsqu'on établit entre les variables les relations

fi = o, /2=o, ..., Jk = 0.

En effet on peut d'abord se ramener au cas où l'on aji = «;. Si alors tout
terme de F contient l'une au moins des variables u^, ..., Uh, il est évident
que le produit [Fui ... u/,] est nul. Réciproquement si ce produit est nul,
un terme quelconque de F contient en facteur l'une au moins des variables
Ui, .... «ft, sinon en effet la multiplication de ce terme par [uj ... u^] donne-
rait un produit non nul, qui ne pourrait se réduire avec aucun autre.

IV. — Le système associé d'une forme extérieure.

65. La détermination du système associé se fait aussi facilement pour une
forme extérieure de degré quelconque que pour une forme quadratique. Si
la forme est de degré p, le système associé s'obtient en effet en annulant
toutes les dérivées partielles de F d'ordre p — i . On [définira une dérivée

du premier ordre telle que -- comme le coefficient de «i dans l'ensemble des

termes de F qui contiennent cette variable, en prenant préalablement la pré-
caution de faire passer Uj au premier rang dans chacun de ces termes. 11 est

à remarquer que cette dérivée — ne dépend plus de «i . La dérivée

sera par définition la dérivée par rapport à «2 de — : on l'obtient par suite

en prenant l'ensemble des termes de F qui contiennent à la fois les deux va-
riables «1 et a^, en faisant passer dans chacun de ces termes la variable «1 au
premier rang et la variable «2 au deuxième, et en supprimant enfin dans
tous ces termes les deux variables «1 et U2. On a d'après cela

Les dérivées partielles d'ordre supérieur se définissent de la même manière :
elles sont nécessairement prises par rapport à des variables toutes différentes.

Le rang d'une forme non identiquement nulle de degré n est évidemment
égal à n. Le rang d'une forme de degré n — 1 est égal h. n — i . Le rang d'une

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTEUIEURE 09

forme de degré n — 2 est égal à n — 2, si elle est réductible à une forme
monôme, à n dans tous les autres cas. Si le degré est inférieur an — 3, on
ne peut rien dire a priori sur le rang.

V.— Formules relatives aux formes quadratiques extérieures.

66. Revenons au cas d'une forme quadratique extérieure F à n variables
Uj, u-2, ..., «n- Il peut arriver qu'on suppose les variables liées par une relation
linéaire

/^ «lUi -+- aiU-i -h ... -f- OnUn = 0.

La forme F, où on supposerait par exemple »„ exprimée en fonction de
«1, ..., u„_, au moyen de la relation donnée, aurait un certain rang, corres-
pondant au nombre d'équations linéairement indépendantes de son système
associé. Ce dernier a évidemment pour équations

ôF _ oj^ ôF _ aF _ a„_i aF

= o, j = o,

ôF

ôF

DU,
«1

ÔU2

ôF

f=0.

Plus généralement on pourrait supposer les variables liées par un nombre
quelconque de relations

f^QiUi -f- aoUo -f- ... 4- a„«,i = G,
g ^ b^U^ -f- 62«2 H- ... + K"n = O,

h ^ /jUt H- /5«2 H- ... + 'n"n = O.

Le système associé de F serait alors défini par les formules
ôF ôF ôF

dUi

Ô«î

ô«n

ûl

«2 .

.. On

bi

62 .

.. 6„

/l

1=0,

.... /i = 0

égaler à zéro la matrice qui vient d'être écrite signifie annuler tous les déter-
minants formés avec les lignes de cette matrice et le même nombre de
colonnes.

On peut remarquer que le rang 2s' de la Jorme F, quand on suppose les va-
riables liées par les relations données, est le double du plus grand exposant tel que
la forme

. [fg..,hF"].

ne soit pas nulle.

60 LEÇO?fS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

67. Supposons en particulier que n = as et que la forme F soit de rang n.
Si on lie les variables par une seule relation, il est évident que le [rang de
la forme ne peut pas dépasser n — i = as — i et, comme ce rang est pair, il
est au plus égal à as — a. Il est du reste facile de voir qu'il ne peut pas
descendre au-dessous de cette limite.

Il résulte de là que si on lie les variables par p relations linéaires indépen-
dantes, le rang de F diminuera au plus de ap unités. Cherchons dans quel
cas la diminution maiima sera atteinte. Si les relations sont

/i = o,/s. = o, ...,/, = 0.

il faudra et il suffira qu'on ait

Cette condition peut être remplacée par d'autres conditions plus simples.
Remarquons en effet que si l'on prend deux quelconques des p relations
données, ces deux relations diminuent nécessairement le rang de F de A uni-
tés ; on a donc

(5) [fifj^'-']=o {i,j=i,2,...,p).

Nous allons démontrer que ces "^" — l équations nécessaires sont aussi suffi-
santes.

Supposons en effet ces conditions remplies et faisons un changement de
variables de manière à ramener /j à «j. On aura donc

ce qui montre que, dans la forme *(^) adjointe de F*""*(u), il n'y a pas de terme
en [ii^j]- Or la forme adjointe de F*~3 est *î : cela se reconnaît facilement en
supposant F réduite à sa forme canonique. Par suite chaque terme de la
forme adjointe de F*'~''+', qui est ^J'~^, contient au moins p — i des variables
^p+i, ..., ?n, puisque chaque terme de * contient au moins l'une de ces va-
riables. Chacun des termes de *p~* contient donc au plus p — i des variables
?i, ..., ?p. Par suite la forme adjointe de «ï»^"* contient au moins l'une des va-
riables Hj, ..,, Up. Cela revient à dire qu'on a

[u^u,... apF'~'>+^]=o C.Q.F.D.

L'intérêt du théorème précédent est facile à mettre en évidence. Les
formes [/,/y F*~ *] étant de degré n, les équations à écrire sont au nombre

jeKp— 0. tandis que la forme [/j/a .../^ F'-^+*] étant de degré n— p-ha,

le nombre des équations qui expriment qu'elle est nulle est C^"^, et de plus
chacune d'elles contient les coefficients de toutes les relations données.
Si par exemple on a

F = [uiUi] -+- [M3U4] + [ugUe],
Ji = UiUi -+- ... + OeUe,
/2 = biUi + ... -h fec«6l
fa = Ci«j + ... 4- CgUo,

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTERIEURE

6l

la condition que F soit de rang 6 — 6 = o en tenant compte des trois rela-
tions/j = fz=f^=.o est, par le premier procédé,

ce qui donne

a, 03 04

6i 63 64

Cl C3 C4

Oi

«3

«s

61

K

h

= 0,

Cl

C--

Cfi

03

«3

«6

bi

^5

^6

+

C3

C5

Cti

«5

ûl

02

h

&1

62

-+-

Cg

Cl

C2

= Oj

CI2 O3 04

&2 ^3 ^4

C2 C3 C4

Ot 03 Og

h b, h.

02 Cj Ofi
&2 ^5 ^G
C2 C5 Cg

= o,

«0

Oi

Oj

«c

«3

«4

^6

6,

62

+

b.

63

64

Ce

Cl

C2

Ce

C3

C4

04 Oi O2 1

6; 61 62 = 0.

C; C, Ci I

I

«B ^3 «4

65 63 64 ^ ^

C5 C3 c i

Au contraire le théorème ci-dessus met les conditions demandées sous la
forme beaucoup plus simple

6,C2 — C162 H- 63C4 — C364 H- 63C6 — C566 = o,

CjOj

0162

OiCj H- c^a,, — 03^^
èjOo 4- 0364 — 6304

CsOfi

OsCe
b,a.

68. On peut indiquer un théorème encore plus précis que le précédent et
permettant de la manière la plus simple de trouver le rang de la forme à la-
quelle se réduit F quand on y suppose les variables liées par p relations
données. Définissons pour cela la forme bilinéaire alternée

cl>(^, r^z^^^o-^.-^'.-
par l'égalité

5[F— ($:«.+ ... + ?,«„) (r,«v H- ... H- $>„)] = *(î, ^ ) [F'] ;

la forme quadratique extérieure

p.-i

est (à un facteur près) la forme adjointe de , — r-j ; elle est covariante abso-
lue de F en ce sens que si on efTectue sur les variables a,, .... a„ une substi-
tution linéaire quelconque et sur les variables ?,, ..., $„ la substitution
linéaire qui conserve ?,u, -h ... H- ?^u,, si enfin par ces deux substitutions
les deux formes F(u) et *(?) deviennent respectivement F(u) et *(S), on a
encore

s[p-\?,û. -F ... -f- U.) (r.«i + ... -hX^a.)] = mX ) [F'].
Si en particulier F a été réduite à sa forme canonique

F = [U^U,] -+- ... + [U,._^ U,,],

*("'(^,^',...,^<"'"'*)rF"|

62 LEÇO-NS SUR LES INVAUIAMS INTEGRAUX

on trouve immédiatement pour * la forme canonique

De là résulte facilement Tidentité générale
(6) )^^ ^^ -^

où la forme extérieure de degré p correspondant à la forme multilinéaire
alternée *('') est égale à ['ï'''(^)] : cette identité est évidente quand F a été ré-
duite à sa forme canonique et est donc vraie dans le cas général. Cela revient
au fond à la propriété, invoquée dans le numéro précédent, que la forme
adjointe de [F'-''] est, à un facteur scalaire près, égale à [*''].

En faisant en particulier/) = 2, et prenant dans l'identité (6) les termes
en [^.^'^^irj'], on obtient

où les coefficients a,_, sont définis par

On peut en déduire enfin une autre identité qui nous sera utile plus loin.
Considérons la forme

elle est de degré as — 1 ; si on la multiplie extérieurement par une quel-
conque des variables «1, .... U2». soit M/, on constate immédiatement d'après (7)
que le produit est nul. Par suite la forme est elle-même identiquement
nulle. Comme ui, uj, U/^ peuvent être remplacées par trois formes linéaires
quelconques des variables, nous arrivons au théorème suivant :

Si Von considère des formes linéaires en nombre quelconque fi, J^, ...,fp et si
l'on poie

on a les identités

69. Venons maintenant au problème énoncé plus haut, consistant à trou-
ver le rang de la forme à laquelle se réduit F quand on y suppose les va-
riables liées par p relations linéaires indépendantes

Ji = oJ, = o, ...,fp=o.

LES FORMES A MULTIPUCATION EXTÉRIEURE 63

Nous pouvons supposer que ces relations sont

Uj == o, U2 = o, ..., Hp = o;

il nous sera permis d'effectuer sur les u une substitution linéaire quelconque,
sous la seule condition que les p premières variables «i, ..., Up soient échan-
gées entre elles. Il en résulte que nous pourrons effectuer sur les variables ^
une substitution linéaire quelconque, sous la seule condition que les 2S — p
dernières variables ^p+[, ..-, Us soient échangées entre elles. Posons alors

[(—riyi "^";] = «0 [f^] (i, / = ^ 2, .... p).

Si dans * on supprime les termes en ^p+t, .,.. Us, on obtient évidemment

i,...,P

(y)
Soit aq le rang de la forme * ; on pourra, par une substitution linéaire
convenable effectuée sur U, •••, -p, réduire * à

^=[UU]-i-...-^[U,-^U,];

par suite on pourra réduire *, en retranchant au besoin de ?i, .... ?p des
combinaisons linéaires de ^p+i, ..-, Us, ce qui est permis, à

* = [UU] -f- ... 4- [Ug-iUg] -+- [U,+ i^p+i] -+-■■• + [^pUp-2g]
H- [Up-2q+iUp-iq+i] + ••• -+- [Us—i^is]-

Mais alors la forme F sera ramenée à

F= [«1U2I +...+ [Ugç- lUsç] -+- [«2g+l«p+l] +...+ î«p«2p-2g] + ...-+" ["2«-l«î»]-

On voit que, si Ton tient compte maintenant des relations

u^ = o, U2 = O Up ■= O,

le rang de F est réduit de ip — iq unités.

Nous arrivons donc au théorème suivant :

Considérons les formes linéaires indépendantes /i, Ji, -"^jp^ ^gs

[uantités aij définies par les égalités

et la forme quadratique extérieure à p variables ?i, ..., ^p,

I, ...,p

(y)
Si cette forme est de rang 2q, le rang de la forme F se réduit de 2p — 2q
unités quand on suppose les variables liées par les p relations
/, = 0, f, = o. ...,fp = 0.

64 LIÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

De plus si on effectue sur les p formes linéaires données une substitution linéaire
telle que 4> se réduise à sa forme canonique

* = [^1^2] + ... H- [?2,_1?2,].

la forme F se réduit à la forme canonique

F=[/iyî]-f--..-f-L/2,-i/2,i-F[/2,+,yp+i]+...+[A/2p_2,]-h...+[/2.-iy2,].

en désignant par f^^^, ..., J^^ de nouvelles formes linéaires convenablement
choisies indépendantes entre elles et indépendantes des formes données.

En particulier si g= o. on retrouve le théorème précédemment énoncé et
démontré (n° 67).

CHAPITRE VIL

LES FORMES DIFFERENTIELLES EXTÉRIEURES
ET LEURS FORMES DÉRIVÉES.

1. — Le covariant bilinéaire d'une forme de Pfaff.

70. Considérons maintenant une forme différentielle linéaire (forme de
Pfaff)

On peut dériver de cette forme une forme bilinéaire alternée à deux séries
de différentielles, à savoir

0(0^' — ô'wg r= y^ai[oo'xi — 'î'ôxi) -+- / (âojô'a:,- — 8xj6'a;).

Supposons que les deux symboles de différentiation soient échangeables
entre eux, c'est-à-dire que l'on ait

ôô'xj = o'oxi ;

au second membre, qu'on appelle le covariant bilinéaire de la forme lo, on
peut faire correspondre une forme différentielle quadratique extérieure que
nous écrirons, d'après les conventions faites plus haut,

cette forme sera dite la dérivée extérieure de la forme w.

Ce procédé de dérivation a une signification indépendante du choix des va-
riables ; de plus c'est celui qui fait passer d'une intégrale curviligne étendue
à un contour fermé à l'intégrale double étendue à une surface limitée par le
contour.

Si par exemple on a trois variables a;, y, z et si on pose

wg = Pôx H- Q^j -{- Ror,
E, Cartai». — Leçons sur les Invariants intégraux. 5

et la formule de Stokes s'écrit

66 LEÇOîîS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

on a

co; = [ôPSrr] + [ôQSj] + [ôHôz] = g [ôxôx] + ^ [ByBx] + g [SzSx]
-+. ^ [8a:8j] + ^ [8jSj] + ^ [âz6jj

s désignant une surface limitée par le contour C.

La condition nécessaire et suffisante pour que a>' s'annule est que la forme u)
soit une différentielle exacte.

Remarque. — La permutabilité des' deux symboles de différentiation
û et S' doit avoir lieu quand les différentiations s'appliquent à une fonction
arbitraire y des variables indépendantes, sans quoi l'opération qui vient d'être
définie n'aurait pas un caractère covariant. Or c'est ce qu'il est facile de vérifier ;
si on pose

"3 = 2^ = ^;^^^

(ogest

une

différentielle exacte et on a

8a)g, — S'

c'est-à

-dire

SÔ'J-

S'âj.

II. — La dérivation extérieure.

71. Le môme procédé de dérivation s'applique à une forme différentielle
extérieure de degré quelconque. Soit par exemple une forme quadratique

û =^a,j[8xi^Xj] ;

considérons la forme bilinéaire alternée

a(S'^') =^aij(BxiB'xj — èxjo'xi)

qui lui correspond, et induisons trois symboles de différentiation échangeables
entre eux o, S', S". Considérons enfin l'expression

82(6', 8") — 8'Û(8, 6") ■+- o"Q(8, S'),

LES FORMES DIFFÉRENTIELLES EXTÉRIEURES ET LEURS FORMES DÉRIVÉES 67

qui a évidemment une signification intrinsèque indépendante du choix des
variables. On constate facilement, en faisant le calcul, qu''elle se réduit à une
expression trilinéaire alternée

Q'(5, S', S*) =^[8aij{8'xi^"xj — è'x/j"Xi) — o'aij{oXi^"xj — èxjo"xi)

-+- o"aii(5xio'xj — 5xpx'i)],

A celte forme trilinéaire correspond maintenant une forme différentielle
cubique extérieure

que nous appellerons la forme dérivée de Q.

72. Il est important, dans le cas examiné, de se rendre compte de la rela-
tion qu'il y a entre l'opération de dérivation d'une forme quadratique exté-
rieure et l'opération qui consiste à passer d'une intégrale double étendue à
une surface fermée à l'intégrale triple étendue au volume limité par la sur-
face.

Imaginons pour cela que Xi, ..., a;„ soient des fonctions de trois para-
mètres a, [î, Y et considérons dans l'espace à n dimensions un parallélépipède
élémentaire dont les arêtes sont des portions de lignes de coordonnées, les
sommets A, B, C, D, E, F, G, H de ce parallélépipède correspondant res-
pectivement aux coordonnées curvilignes

(a, ^, y). (a-f-8a, P,y). (='• P + ^'P, T)> (^. ^ Y ^- 2'y),
(x-HÔ3:,^-|-o'P,y), (a+oo£,p,Y-i-ô"Y), (û;,S-|-Ô'P,y4-Ô''y). (« +ô 2,^-1-0' (3, y+S'y)-
Comme on le voit, les symboles S, S', ô" se rapportent ^respectivement à
des différentiations par rapport aux trois paramètres a, p, y-

Considérons maintenant l'intégrale curviligne / / Û étendue à la surface

qui limite ce parallélépipède.

Les intégrales étendues aux trois faces qui partent de A sont, au signe
près,

Û(8', 0"), 0(5", S), D(o, û'),

et, pour que ces intégrales soient étendues toutes sur la face interne ou
toutes sur la face externe, il faut les prendre égales aux trois expressions
précédentes, ou égales et opposées. Si nous les prenons égales et opposées, la
somme des intégrales étendues aux six faces sera

— Q(S', S") — Û(S", 0) — £2(0, 5') 4- [Q{o\ ô") + Sû(g', 0")]
-h [0(5", 0) + S'Û(5", 5)] + [Û(8, 6') -f- o"û(ô, S')]
= oÛ(o', S") -f- o'û(û", S) -+- S"Û(8, 0') = Û'(5, S', ù').

L'intégrale de surface i I O est donc bien transformée en intégrale de

volume I I I û'.

68 LEÇONS SUR LES INVAKIAMS INTÉGRAUX

Dans le cas simple de trois variables, si on pose

Q = P[Sjôz] 4- Q[;^zr:x] + B[Sa;ôj],
on a

Q' = [ôPSjôz] 4- [ôQSzêx] 4- [ôRôarSj] = ^^ + ?Q _^ ^^ [Sxôjôz],

73. Ces considérations s'étendraient à des formes extérieures de degré
quelconque. Toute forme extérieure admet une forme dérivée dont le degré
est supérieur d'une unité et dont le calcul est extrêmement facile, puisque
chaque terme de la forme

A[oxfiXj ... ÔX/]

donne naissance au terme dérivé

[^A^oXiOXj ... oxi].

Notons quelques formules utiles et faciles à démontrer. Si m est un coeffi-
cient, fonction finie des variables, et Q une forme extérieure quelconque, on a

(mû)' = [dmQ] H- mû'.

Si Q et U sont deux formes différentielles extérieures quelconques, on a

[ûii]' = [û'nj ± [ûir],

le signe -+- se rapportant au cas où Q est de degré pair et le signe — au cas
où Q est de degré impair. En particulier si Û est de degré pair, la forme^dérivée
de [û^] est donnée par la formule ordinaire

[QP]' z= p[Qi>-*Q'].

74. Nous avons supposé dans ce qui précède que les coefficients des formes
considérées étaient des fonctions continues admettant des dérivées partielles
du premier ordre. // est cependant des cas où les coefficients d'une forme Q
n'admettant pas de dérivées, on peut cependant définir une forme dérivée exté-
rieure û'. Un exemple classique est fourni par la théorie du potentiel.

Considérons un volume matériel Y limité par une surface S ; soit p la den-
sité en un point de V ; nous supposons la fonction p continue. Le potentiel U
de cette masse est une fonction continue dans tout l'espace, admettant par-
tout des dérivées du premier ordre continues. 11 existe à l'égard de celle
fonction un théorème (théorème de Gauss) traduit par la formule

I I — dydz H dzdx T^ dxdy = l j j — li-odxdydz,

l'intégrale du premier membre étant étendue à une surface fermée quelconque
et celle du second membre au volume limité par cette surface. Il résulte de
là qu'en posant

û = ~ [dydz] + ^ [dzdx] 4- ^ [dxdy],

LES FORMES DIFFÉRENTIELLES EXTÉRIEURES ET LEURS FORMES DÉRIVÉES 69

on peut définir la dérivée extérieure Q' de Q par

û' = — i-p[dxdydz] .

Si la fonction U adinel des dérivées partielles du second ordre, cela revient à
la formule classique de Poisson, car le procédé de dérivation défini ci-dessus
donne immédiatement

,.^.vu

~ï) [dxdydz];

mais si la fonction U n'admet pas de dérivées partielles du second ordre,
ce qui est le cas général lorsqu'on ne fait pas d'hypothèse supplémentaire sur la
fonction p, on peut encore définir la dérivée û'.

On conçoit donc la possibilité de définir la dérivation extérieure comme
une opération autonome, indépendante de la dérivation classique. U y
aurait lieu alors de démontrer directement la formule du n" précédent

(,) [QUY = [Q'U]±:[QU'],

où on suppose simplement sur û et fl qu'elles sont dérivables extérieurement.

75. Prenons le cas le plus simple d'une forme linéaire à deux variables
ù) = Po.T H- Q5j
admettant une dérivée extérieure

Supposons les fonctions P et Q continues et considérons enfin une fonction
m admettant des dérivées partielles du premier ordre continues. La formule

(mw)' = mw' ■+- [ômw]
revient ici à

fmiP5x + QS^) = jJ(mR + Q '~ - ? ~)ô.:ôj.

La démonstration de celte formule peut se faire assez simplement. Soit A
l'aire d'intégration, G le contour qui la limite. Partageons l'aire A en un
grand nombre d'aires partielles, par exemple par des parallèles aux axes.
Prenons dans chacune des aires partielles un point (cc^, y^) et appelons

'"••'■.• '^- (SI ca

les valeurs des fonctions m, P, Q, — , — en ce point. On pourra poser, à
l'intérieur ou sur le contour de cette aire,

"■="v-(.-^.)[C^.)„-.]-(r-r.)[(^;).-4

70 LEÇOMS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

l'intégrale / m(P8x 4- Qoy) étendue au contour de cette aire partielle sera
égale à

Jm,{P8x + QSj) +J[(a: - x,)[^)^-^ {y - Jo)(^) j(PoS^ + Qo^j)

plus une quantité inférieure à eMA/, en désignant par s une limite supérieure
de £i, £2; £3, £4. par M un nombre fixe, par A le diamètre de l'aire et Ha lon-
gueur de son contour. La somme de toute? ces quantités supplémentaires
peut évidemment être rendue aussi petite qu'on veut, car SA/ est de l'ordre
de l'aire totale A. Quant à la somme des deux intégrales écrites plus haut,
elle est égale à

On en déduit facilement la démonstration de la formule en question.

Cette démonstration s'étendrait avec des hypothèses analogues au cas d'une
forme quadratique

Q = P[8jSz] -h Q[8z8x] -h R[Sxôj] ;

l'existence de l'égalité

1 I PôjSz + QBzBx -+■ Rôa;Sj = | 1 | l{8xoyc,z
entraîne

jCm{P8yBz-hQ5z^x-i-R5xBy)= CÇj /mHH-P^+Q^+R^)Sx8j8z.

La démonstration semble plus difficile dans le cas de deux formes linéaires
à trois variables

w = ASx -+- BBy H- Côz,
Wi = A'ôœ H- B'oj -+- G'oz.

Supposons que ces deux formes soient dérivables et qu'on ait par exemple

I kox -+- B8j H- G5z = I I PojSz -h Qozox -j- Roxoy,

I k'8x -h B'ôj -f- G'Sz = I i P'ôjoz H- Q'ozox -f- Woxoy ;
la formule (i) deviendrait ici

(BC — CB')SjSz H- (GA' — kC')oz5x -1- (AB' — Bkyxoy

= /TApA' + QB' + RG' — P'A — Q'B — R'G)Sa:8jôz.
Elle ne semble pas pouvoir se démontrer par le même procédé que dans

//<

LES FORMES DIFFÉRE?iTIELLES ELTERIEURES ET LEURS FORMES DÉRÏVKES 7I

les cas précédents, à moins d'ajouter des hypothèses supplémentaires, par
exemple que les fonctions A, B, C, A', B', C satisfont à une condition ana-
logue à celle de Lipschilz. Il y aurait intérêt à étudier cette question et à
voir si réellement la dérivabililé d'un produit extérieur résulte toujours de la
dérivabiliié de ses facteurs.

Quant à la question de savoir à quelles conditions une forme différentielle
extérieure est dérivable,'elle se lie, du moins pour les formes de degré n — i
à n variables, à la théorie des fonctions additives d'ensemble de M. G. de la
Vallée-Poussin (*). La forme Q = P[ôjSz] ■+■ Q[ôzSx] H- R[ôa;oj] par exemple

est dérivable si la somme des intégrales 1 j Q étendues aux surfaces qui

limitent un nombre fini de cubes formés de plans parallèles aux plans de
coordonnées tend vers] zéro quand la somme des volumes de ces cubes tend
vers zéro ; la fonction H qui entre dans l'expression de la dérivée

û' :::= H[5a;ôj'ôz]

n'est naturellement pas continue en général.

Dans ce qui suit, nous admettrons toujours la légitimité des opérations
effectuées.

III. — Les formes extérieures différentielles exactes.

76. Voici maintenant un théorème important :

La dérivée de la dérivée Q' d'une forme différentielle extérieure quelconque Û
€st identiquement nulle.

Prenons en effet dans Q un terme quelconque, soit

a[àxiOXi ... ciXp] ;

le terme correspondant de Q' est

[àaoxioxi ... àxp].

Si a ne dépend que de Xi, ..., Xp, ce dernier terme est nul, et sa dérivée
aussi ; si au contraire a est indépendant de x^, ..., Xp, on peut faire un chan-
gement de variables tel que a devienne égal à x^^ i ; la dérivée du terme

[ôXp^.iôXi6x2 ... SXp]

est alors nulle, puisque le coefficient de ce terme étant l'unité, sa dérivation
ne donnera rien dans la formation de la dérivée extérieure.

Ce théorèrhe admet une réciproque, à savoir :

Si la dérivée d'une forme différentielle Q est nulle, la forme Q peut être regar-
dée comme la dérivée d'une forme II dont le degré est inférieur d'une unité à celui
deQ.

(♦) Voir l'ouvrage intitulé : Intégrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de
Bairi; Parii, Gauthier- Villars, 191 6.

72 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Nous nous appuierons, pour démontrer ce théorème, sur le lemme suivant,
qui nous sera du reste utile plus loin :

Si la dérivée d'une forme Q est nulle et si celte forme ne contient pas la diffé-
rentielle 8j:„, ses coefficients sont tous indépendants de x„.

Prenons en effet dans Q un terme tel que

Aiôxifia-2 ... 8xp\
il fournira dans la dérivation le terme

[ôASxjoa^j .. oXy]
d'où, en développant, plusieurs termes dont l'un sera

ôA , , , ^

dXn '■»»'' P. '

ce dernier terme ne peut manifestement se réduire'Javec aucun autre, puis-
qu'aucun terme de Q ne contient ox^. Comme û' = o, on a nécessairement

ôA _

<)X„

Le lemme étant ainsi démontré, revenons à notre théorème. Appelons Q,
ce que devient û quand on y fait a;„ = x" et 0x^ = 0. La dérivée de Qq est
manifestement nulle si celle de Q l'est. Supposons alors le théorème démon-
tré pour n — 1 variables : il sera possible de trouver une forme 11^ cons-
truite avec les variables Xi, ..., x„_i et dont Oq soit la dérivée :

11/ = Qo.
Cela étant, mettons à part dans la forme donnée Q et dans la forme incon-
nue n les termes qui ne contiennent pas ox^ et ceux qui le contiennent ; on
pourra écrire

Û = Cl 4- [àx,Sii], n = ni H- [ôar^Dal ;

si nous calculons dans n' les termes qui contiennent Ôa;„, nous trouvons

Choisissons la forme lia arbitrairement et déterminons n, par les conditions
i'' que pour x„ = x', III se réduise à n^ ;
2° que l'on ait

on obtient ainsi 111 par des quadratures.

La forme n étant choisie comme il vient d'être dit, elle jouit des propriétés
suivantes ; /

1° la différence n' — Q, quand on a réduit les termes semblables, ne con-
tient plus oxn ;

2° elle se réduit à zéro quand on fait dans ses coefficients Xn = x^i.

Remarquons maintenant que la dérivée de cette forme est nulle et que par

LES FORMES DIFFÉRENTIELLES EXTKRIEURES ET LEURS FORMES DÉRIVÉES 78

suite, d'après le lemme. tous ses coefficients ont une valeur indépendante
de x„; elle est donc identiquement nulle et le théorème est démontré.

La démonstration même montre que dans la forme II on peut choisir arbi-
trairement les termes qui contiennent ox„, choisir arbitrairement les valeurs
pour x,i = a-" des termes qui ne contiennent pas ox„, mais contiennent Ôa:„_, î
choisir arbitrairement les valeurs pour x„ = x^, x„_i = a;,1_i, des termes qui
ne contiennent ni ox„ ni ox„_,, mais contiennent ôx„_2, et ainsi de suite.

11 est bien clair du reste que si l'on a une solution du problème, toutes les
autres s'en déduiront en ajoutant à II la dérivée d'une forme arbitraire (de
degré inférieur de deux unités à celui de û).

77. Si 12 est une forme linéaire, l'hypothèse que sa dérivée extérieure est
nulle conduit donc, d'après le théorème précédent, à la conclusion déjà si-
gnalée que Q est une différentielle exacte. Si Q est une forme quadratique à
trois variables

Q = P^ojoi ' ■+- Q[ozox] -+- Rïoxoy'}.
la condition.

dP ôQ ôR

— . -H — H = 0

dxi dy dz

est nécessaire et suffisante pour que Q puisse être regardée comme la dérivée
d'une forme linéaire, c'est-à-dire pour qu'on puisse trouver trois fonctions
A, B, G satisfaisant à

flC _ ôB ^ p

ày dz

ôA _ôC_Q

dz dx

ôB ôA D

dx by

Remarque. — Si les coefficients de la forme Q sont uniformes dans un cer-
tain domaine, la condition Q' =r o n'est pas toujours suffisante pour assurer
l'existence d'une forme II uniforme dans ce domaine et dont Q soit la dérivée
extérieure. Considérons par exemple le domaine (fermé et sans frontières) à
deux dimensions formé par les points d'une sphère S, et soit Q une forme de
degré 2 uniforme dans ce domaine (et à coefficients admettant des dérivées
partielles du premier ordre continues). La dérivée Q' est manifestement
nulle. Néanmoins s'il existait une forme w linéaire dont la dérivée lo' fût

égale à Q, on aurait, en intégrant deux fois / co le long d'un même grand

cercle de la sphère dans deux sens différents,

f£'

l'intégrale étant étendue à toute la surface de la sphère. L'équation précédente
donne une condition supplémentaire pour que Q puisse être regardée comme dé-
rivée exacte d'une forme w uniforme sur toute la sphère.

CHAPITRE VIII.

LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE

D'UNE FORME DIFFÉRENTIELLE EXTÉRIEURE.

FORMATION DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

I. — Le système caractéristique
d'une forme différentielle extérieure.

78. Les résultats du Chapitre précédent nous permettent de former facile-
ment le système de Pfaff caractéristique d'une forme différentielle extérieure
donnée û.

Remarquons pour cela que si Q est invariante pour le système d'équations
différentielles
, , ■ d^i _ dxz __ _ dxn

^'^ X1-X2 x„'

O pourra s'exprimer au moyen de n — i intégrales premières indépendantes
y il •••) J«-i 6t <i6 leurs différentielles; ii7 en sera par suite de même de
sa dérivée Q\ Par conséquent le système d'équations (aux différentielles to-
tales) linéaires associé aux deux formes extérieures Q et Q' sera une consé-
quence des équations

(2) dy^~o, ..., dyr^i =0.

et par suite des équations (i).

Autrement dit, pour que le système (1) admette û(8) comme forme invariante,
il faut que le système associé de Q et de Q' soit vérifié quand on y remplace les
variables ^Xi, .,., ox„ par X], .,., Xn.

Réciproquement supposons cette condition réalisée. Le système associé
de Q(d) étant vérifié en tenant compte des équations (1) le sera en tenant
compte des équations équivalentes (2) ; donc û(d), considérée comme forme
extérieure des quantités dxi, pourra s'exprimer uniquement au moyen de
dyi, .... dyn-i, les coefficients étant des fonctions des a", qu'on pourra toujours

FORMATION DES INVAR1\KTS INTÉGRAUX 7 5

supposer exprimées au moyen de j,, .... j„_, et x„ (si X„ ^if o). On aura
donc

En formant Q', on trouve que le seul terme en [dx^ dy- dy^ ] a pour
coemcient — ^^^^ ; or par hypothèse 0' doit aussi pouvoir s'exprimer au
moyen des seules quantités dj; ; on a donc

par suite û s'exprime au moyen des intégrales premières du système donné
et de leurs différentielles : c'est donc une forme invariante.

Il résulte immédiatement de là que les équations du système caractéristique
de Q se réduisent aux équations du système associé de Q jointes aux équations du
système associé de û'.

70- Examinons quelques cas particuliers importants.

Supposons que Q soit une dérivée exacte, c'est-à-dire û' = o. Dans ce cas
le système caractéristique de la forme différentielle Q se confond avec le système
associé de la forme Q.

Cherchons comme application le système caractéristique d'un invariant

intégral (complet) relatij 1 Q. Cet invariant relatif se ramène à l'invariant

absolu / û'; or Q' est une dérivée exacte. Donc le système caractéristique d'un

invariant intégral relatif j Q se confond avec le système associé de la forme dé-
rivée Q'.

C'est ce qui se passe pour l'invariant intégral linéaire de là Dynamique

/ los = 1 ^Pioqt — Ilot.
On a ici

Le système associé de la forme w' est

d(o' dw' ôw'

c'est-à-dire, en prenant le symbole d au lieu de o,
— dpi dl = o,

'Mi

doi dl == o,

^ àpi

dn-^dt=--o:
dt

c''esl le calcul même que nous avons fait dans le Chapitre I (n° 11).

•j6 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Ici la forme dlfférenlielle w' est quadratique ; nous savons par suite
d'avance que le nombre des équations indépendantes du système associé est
pair : c'est ce qui explique que les 2n. ■+■ i équations du système caractéris-
tique se réduisent à 2/1. Nous avons de même l'explication de ce qui se passe
en Hydrodynamique à propos de la forme invariante

?"5j'Sz]+T([32Ôa;]-l-Çioa;ôjj4-(ifiiy— Çi;)[oa;S<] + (Çu — ^w)[8yot]-h (^v — t,«)[Ô2Ô<1.

Ici n r= 4 ; le système caractéristique contient donc 4 ou 2 ou o équations
indépendantes : or ce ne peut pas être 4 puisque la forme est invariante pour
les équations différentielles des trajectoires des molécules : donc c'est 2 ou o.
C'est o si ^ = Tj = Ç = o, c'est-à-dire si le mouvement est irrolationnel. Dans
le cas contraire on pouvait prévoir a priori que les trajectoires ne seraient pas
les seules courbes caractéristiques de la forme, j

80. Un dernier cas important est celui où la forme Q est de degré n — i.
Si elle est invariante pour un système d'équations différentielles, ce système
est nécessairement unique, car le système de Pfaff associé de Q est formé de
n — I équations indépendantes. Pour que le système associé de Q' ne con-
tienne pas plus de n — i équations indépendantes, il faut évidemment que
Q' soit nul. Par suite pour quane forme Q de degré n — i paisse être inva-
riante pour un système d'équations différentielles, il faut et il suffit que sa dérivée
soit identiquement nulle.

Un exemple simple est fourni par l'invariant intégral de la Cinématique
des milieux continus

///■

p{5x — ur:t){oy — vot){5z — W^A).

La forme Q est ici

Q = p[Bx8yoz] — pu[Sjôz5i] — pu[S2oa;ô<] — pw[ox8yot].

La condition Q' =: o donne

rôp à(pu) d(pv) à(pw)'].^,^ - ^ T

Idt <)x dy 02 JL - -■ '

c'est la condition de continuité, ou la loi de conservation de la matière

ôp d(pu) ô(pu) a(puO ^ ^
dt dx dy dz

On voit que cette loi de conservation de la matière se traduit par la condition
simple que la dérivée Q' de la forme qui définit la quantité de matière élémentaire
soit nulle.

SI. Les lois de conservation en Physique se traduisent souvent par des
conditions analogues. La loi de conservation du flux de force pour un champ
de forces X, Y, Z se traduit par la condition que la divergence de ce champ
de force soit nulle, c'est-à-dire

ôX ôY ôZ

1 1 = 0;

i)x dy dz

FORMATION DES INVARIANTS INTEGRAUX nn

or ceci exprime simplement que la dérivée du flux de force élémentaire

Q == X[ô/02l -\- Y[û2oj;] -f- 7u{rlxoy]
est nulle.

Tout champ magnétique (statique) satisfait à celte condition. Le champ
électromagnétique, défini au moyen de la forme extérieure

satisfait aussi à la condition que û' est nul. On a

ôH, dH„ ôH,\ , , /ôH^. 0E3 ôE,A,, , , ,

^ /dHy , ôE^ ôEA,. . , , , /ôHï ôE,, ôE,\-, . .,,
\Zit Ô2 ôx-y^ ^ \ ôi àx dy J^ ' -■

En annulant les quatre coefficients de il' on obtient les quatre équations
classiques, qu'on peut écrire, en notations vectorielles,

div II = o,
^ H- curl E = o.

La forme de l'Hydrodynamique déjà si souvent considérée

û==$[ojoz]4-7j[Ô2Ôx]+C[5xoj]+(r,iy— Cu)[Sxo/;+(Cu— ^$w)[ûj5<]h-(£u— T,u)[ôzc/j

ayant aussi sa dérivée nulle, puisque Q est la dérivée de la forme linéaire
« quantité de mouvement-énergie », les vecteurs (^, r^, Ç) et {r^w — Çu, Cm — iv,
iv — Tju) satisfont aux mêmes relations que le champ magnétique et le champ
électrique ; ces deux vecteurs sont l'un le tourbillon, qui joue le rôle de la
force magnétique, l'autre le produit vectoriel du tourbillon et de la vitesse
qui joue le rôle de la force électrique.

Il est à remarquer que le champ électromagnétique (ou plutôt la forme Û
qui le représente) ne peut être invariant pour aucun système déquations
diflerentielles, puisque [û^] n'est pas nul en général. Il n'y aurait d'exception
que si le champ magnétique était perpendiculaire au champ électrique ; le
système caractéristique serait alors défini par les équations

UJy — liydz -h E^dt = o,

ï{,dz — ILdx -+• Eydl = o,

Uydx — RJy 4- E,dt = o.

— Exdx — Eydy — E-dz = o,

qui se réduisent à trois. L'un des systèmes d'équations différentielles qui
admettent Q comme forme invariante serait alors

dx dy dz dt .

îC""h; — ir: — ô'

il définit à chaque instant les lignes de force du champ magnétique ; un autre

est

dx dy dz dt

E,IL. — E.H, ~ ËTTL — E.in ~ EJl, — E,1L "■ lll -+- HJ -h Hl*

78 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Si le champ magnétique était nul, les variétés caractéristiques seraient
définies par les équations

dt=zo, EJx -+- Eydy -h E,dz — o ;

ce seraient les surfaces équipotenliclles considérées à chaque instant t.

II. — Formation des invariants intégraux.

82. 11 est évident que le produit extérieur de deux formes extérieures in-
variantes est aussi une forme invariante.

D'après cela la connaissance d'une forme extérieure invariante Q entraîne
la connaissance de toute une série d'autres formes invariantes, à savoir Q' et
toutes les formes déduites par multiplication extérieure de Q et de û'.

Supposons d'abord que 0 soit une forme invariante absolue de degré pair :
on a alors les deux séries de formes invariantes absolues

[QP], [QV-^Q'] (p=i,2,...);

la dérivée d'une forme de la première série est une forme de la seconde série,
la dérivée d'une forme de la seconde série est nulle.

Supposons en second lieu 0 forme invariante absolue de degré impair : on
a les deux séries

[û'i'j, [QQ'P-^], (p=: 1,2, ...);

la dérivée d'une forme de la première série est nulle ; la dérivée d'une forme
de la seconde série est égale à une forme de la première s'rie.

Supposons maintenant qu'on ait un invariant intégral relatif l Q et suppo-
sons d'abord Q de degré pair ; on ne peut en déduire qu'un invariant nou-
veau, l'invariant absolu 1 £2',

Si au contraire Q est de degré impair, on a une série d'invariants intégraux
relatifs | QQ'p-'^ et une série d'invariants intégraux absolus / Q'p. Du reste l'in-
variant relatif / £}û'''~i se ramène par dérivation à l'invariant absolu / Q'''.

11 en est ainsi par exemple de l'invariant relatif de la Dynamique

les invariants intégraux relatifs qu'on en déduit sont
I 0)0) '^~' Çp = i, .,., n) ;
les invariants intégraux absolus sont

w'p (0 = 1, ..., n).

/■

FORMATION DES INVARIANTS INTÉGRAUX 79

II existe donc un invariant (relatif ou absolu) d'un degré donné quelconque
inférieur ou égal à 2«.

83. Il ne faudrait pas croire que les invariants nouveaux dont nous venons
de signaler Texislence soient toujours les seuls qui puissent se déduire (sans
intégration) d'un invariant donné. Supposons par exemple qu'on connaisse
une forme invariante Q réductible à la forme

Q = [tOitojU)3j 4- [w^WsWe],

où w,,œ^, ..., wg sont six formes linéaires (de Pfaff) indépendantes. Intro-
duisons six indéterminées ^i, ..., $u et considérons la forme quadratique
auxiliaire

n = ?i h $s — H- ... + ?6 — - •

00)^ 00)2 ÔWg

Il est évident que si on regarde les $ comme des quantités covariantes aux
w, la forme II est covariante de Q. Exprimons que cette forme est de rang 2;
nous obtenons les conditions

UoL = 0, (i = 1, 2, 3 ; a = 4, 5, 6) ;

il y a deux solutions possibles fournies, soit par

?i = ^2 = ^3 = o,
soit par

Il résulte de là l'existence de deux systèmes de trois équations de Pfaff
covariantes, à savoir

101 = 102 = ^3== O,
0)4 = 0):; = COg =: O,

Par suite encore la forme [wjWaWjl et la forme [wito^w^] sont elles aussi co-
variantes : la première s'obtient en tenant compte dans û des équations du
second système covariant ; la deuxième en tenant compte des équations du
premier système covariant.

Or supposons Q exprimée au moyen des intégrales première du système
d'équations dont Q est forme invariante ainsi que de leurs différentielles. La
formation des deux systèmes de Pfaff covariants se fera aussi bien que pour
la forme réduite et chacun d'eux ne contiendra que les intégrales premières
et leurs différentielles : il en sera de même des deux formes [wjWaWg] et
[^>i^^Jù^ui^], qui sont par suite des formes invariantes.

L'existence de Vinvariant intégral j û entraîne donc Vexislence de chacun des

invariants intégraux i wiWjWa, j lo^w^wg.

On verrait par un raisonnement analogue que l'existence d'une forme inva-
riante de degré p > 2 réductible à une somme de h termes monômes tels que les

8o LEÇONS SIR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

hp fadeurs qui entrent dans ces termes soient linéairement indépendants entraîne
la propriété de chacun des termes monômes d'être une forme invariante.
Le ihcorème n'est pas vrai si /) = 2.

84. Dans certains cas l'existence d'une forme invariante entraine l'exislence
d'une équation invariante. Considérons par exemple la forme

où wj, ..,, W5 désignent cinq formes de Pfaff indépendantes. La seule relation
linéaire entre ces formes qui annule Q est évidemment

0), = o ;

cette dernière équation est donc invariante : elle peut s'exprimer au moyen
des intégrales premières des équations différentielles pour lesquelles Q est une
forme invariante.

D'une manière générale si Q est une forme invariante et si le système
associé de û ne se confond pas avec son système caractéristique, ce système
associé est un système de Pfaff invariant.

On pourrait varier ces considérations de bien des manières.

85. Prenons encore le cas de deux formes invariantes quadratiques Qi et
^2 ayant le même système associé ; soit as leur rang commnn. L'équation de
degré s en X

[(û, _ iQ,y] = o,

qui exprime que le rang de la forme ûj — iQ^ est inférieur à 2s, a évidemment
une signification invariante. Les racines de l'équation en X sont donc des inté-
grales premières des équations difjférentielles qui admettent Qi et Q^ comme inté-
grales premières. On peut démontrer que, dans le cas général, ûj et 2» sont
réductibles aux formes

Ûi = Xi[a)iC02] + X,[w3W.i] H- ... 4- X,[a)2s-iW2j,
Qz = [W1CO2] 4- [W3W4] H- ... H- [was-iWo*].
Chacune des formes monômes [wiWa], [^3104], ..., [a)2,_iO)2,] est invariante.

CHAPITRE IX.

LES SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS
QUI ADMETTENT UNE TRANSFORMATION INFINITÉSIMALE.

I. — La notion de transformation infinitésimale.

85. Uhe transformation à n variables est définie par un système d'équations

(i) Xi' =fi{Xi, ...,x„) {i=i,...,n)

résolubles par rapport à a-j, ..., ic„. Géométriquement, si dans l'espace à n
dimensions on regarde Xj, ..., aî„ comme les coordonnées d'un point M, la
transformation (i) fait passer, suivant une loi déterminée, d'un point quel-
conque M de l'espace à un autre point M'. Les transformations sont d'un
usage courant en Géométrie (homotliétie, similitude, inversion, ou, plus sim-
plement encore, rotation, translation, etc.).

La transformation (i) est dite identique lorsque les seconds membres se
réduisent respectivement à x^ x„; tout point est alors transformé en lui-
même.

Etant donné un système d'équations différentielles

-. , dxi dX'y dxn

(") x7=x7 = -= x;'

ce système est dit admettre la transformation (i) lorsque cette transformation,
appliquée aux différents points d'une courbe intégrale quelconque de (2),
donne des points appartenant tous à une même nouvelle courbe intégrale.

Considérons une transformation dépendant d'un paramètre a et se rédui-
sant, pour une certaine valeur numérique Oq de ce paramètre, à la transfor-
mation identique. Posons a — a^ = e et supposons que les seconds membres
soient développables suivant les puissances de £

Xi' = Xi-^ B^Xi, ..., Xn) -h ...
On aura ce qu'on appelle une transformation infinitésimale en ne portant
E. Carta», — Leçons sur les Invariants intégraux. 6

8 5 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

son attention que sur les termes du premier ordre en e. Une transformation
infinitésimale est donc complètement définie par n fonctions ^j de aci, .... ar„ ;
on obtient la même transformation infinitésimale en multipliant toutes ces
fonctions par un même facteur constant. Nous dirons que la fonction ^, repré-
sente l'accroissement de la variable Xi par la transformation infinitésimale
(en réalité l'accroissement est e^i, mais le coefficient e ne joue qu'un rôle
accessoire).

Etant donnée une fonction /(a: i, .... x^), l'accroissement que la transfor-
mation infinitésimale fait subir à cette fonction est, au facteur e près, le
premier terme du développement de

f{xi'....yXn')—f{xi x„)=:/(xi+e$i, . ., œ„ + £i„) — /(x, x„);

c'est donc

I- àf f df > àf

? _i_ _|_ t _^_ 4_ .,. 4_ t -J-;

* dXi '^ ÔCCa dXn

nous désignerons cette expression par le symbole A/ :

(^) V=S.,^ + «4 + ... + 5..|(^ ■

nous conviendrons de dire que kf est le symbole de la transformation infinité-
simale considérée.

86. La formule (3) est analogue à celle qui donne la différentielle totale
d'une fonction/ :

./. . »;' , d/ , , - ^/

3/ = ox, — + oa?j -^^ H- . . . -h oa;„ -^ •

•' ' ÔX, dXj ÔX„

La seule différence est que S est le symbole d'une opération indéterminée,
tandis que A est le symbole d'une opération déterminée. Le symbole de la
dilTérentiation devient le symbole d'une transformation infinitésimale dès
qu'on donne à cxi, .. , ôx„ des valeurs déterminées (fondions données des
variables).

L'opération symbolisée par A est susceptible de s'appliquer non seulement
aux fonctions finies, mais encore aux formes différentielles. Nous entendrons
par exemple par A(dxi) la partie principale (divisée par e) de l'accroissement
de dxi. Or Ton a

dxi' — dXi =r gd^i -h ... ;

on est donc conduit à poser

k{dXi) = d^i = d(kXi).

On voit par là que ["opération A doit être considérée comme échangeable avec
r opération de différentiation (indéterminée).

87. Revenons au système d'équations différentielles (2). Ce système sera
dit admettre la transformation infinitésimale (3) si cette transformation,
appliquée aux différents points d'une courbe intégrale quelconque, donne des

SYSTÈMES DIFFÉUENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES 83

points tous situés, aux infininiment petits près du second ordre, sur une même
nouvelle courbe intégrale.

Il est bien évident que si les équations (2) admettent une transformation
dépendant d'un paramètre a, et cela quelle que soit la valeur numérique de
ce paramètre, elles admettront la transformation inQnitésimale qui correspond
à des valeurs de a infiniment voisines de la valeur a^ (si elle existe) qui
fournit la transformation identique.

Si y est une intégrale première des équations (2) et si ce» équations (2)
admettent la transformation infinitésimale A./, il est clair que A(j) sera
encore une intégrale première. En effet en tout point M d'une courbe inté-
grale quelconque (G), y garde une même valeur numérique c ; au point M'
transformé de M, la fonction y augmente de £A(j) : cette augmentation doit
être la même, quel que soit le point M de (G) ; il faut donc que A(j) ait la
même valeur numérique en tous les points de (C) ; autrement dit A(j) est
une intégrale première.

Réciproquement si l'opération A, appliquée à une intégrale première quel-
conque, donne encore une intégrale première, le système (2) admet la trans-
formation infinitésimale A/. Si en effet

Ct> Cï, •••« Cn-l

sont les valeurs numériques constante» que prennent n — i intégrales pre-
mières indépendantes

aux différents points M d'une courbe intégrale (C), les valeurs que prennent
ces intégrales aux points transformés M' sont celles que prennent aux points
M eux-mêmes les fonctions

7, + £A(yO, Ji. 4- eA(j2), ..., ;y„-i H- eAfj^,);

ce sont donc des constantes. Par suite les points M' engendrent bien une
courbe intégrale.

II. — Formation d'invariants intégraux
en partant de transformations infinitésimales.

88. La propriété précédente nous montre que la connaissance d'une trans-
formation infinitésimale Af admise par les équations différentielles (2) permet de
déduire de toute forme différentielle invariante û une autre forme invariante, à
savoir A(û). Si la forme Q est extérieure, il en est de même de la forme
A(û), et la nouvelle forme a le même degré que l'ancienne.

Il existe une seconde opération permettant de déduire de la forme exté-
rieure invariante O une autre forme invariante. Supposons, pour fixer les
idées, û du troisième degré et considérons la forme différentielle trilinéaire
correspondante û(ô, 5', ô"). Remplaçons dans cette forme le symbole de

84 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

différentiation indéterminée ô par le symbole de la transformation infinitési-
male ; nous obtenons une forme linéaire alternée f2(A., ô', o") à deux séries
de différentielles S', S", à laquelle correspond enfin une forme quadratique
extérieure, que nous désignerons par Û(A, ô). Cette nouvelle forme se déduit
de la première par une opération qui a un sens indépendant du choix des
variables. Si Q est exprimée au moyen des intégra'es premières jj des équa-
tions (3) et de leurs différentielles, l'expression Q(A, 8) s'exprime aussi au
moyen des jj et des Sjj. Par conséquent Vopération qui vient d'être définie
permet de déduire de toute forme invariante une autre forme invariante dont le
degré est diminué d'une unité.
On a du reste

(4) 2(A, 0) = i, ^-p^j + ?, ^^^ + ... + {„ ^^y

89. Les deux nouvelles opérations qui viennent d'ôlre définies ne sont pas
indépendantes entre elles. Supposons, pour fixer les idées, que Q soit du se-
cond degré et reprenons la formule de définition de la dérivée extérieure 0'.
On a (n" 71)

Q'(p, â', 8") = SQ(S', S") — S'Q(S, 8") H- 6"0(o, a'),

à la seule condition que les trois symboles 8, 8', 0" soient échangeables entre
eux. Remplaçons le symbole 0 par celui de la transformalion infinitési-
male A/. Nous aurons

£2'(A, S'. 6") = A(û(S', 8")) — S'û(A, 8") h- e"û(A, 8'),

c'est-à-dire, en repassant aux formes extérieures,

ti'(A, 6) = A(Q(S)) — [û(A, 8)]',
ou enfin

(5) A(Q(S)) = û'(A, 8) + [û(Â, 8)]'.

Celle formule fondamentale contient au premier membre le résultat de la
première opération effectuée sur Q. Quant aux deux termes du second
membre, le premier s'obtient en appliquant à Q, d'aboi'd l'opération de la
dérivation extérieure, ensuite la seconde opération associée à A/; quant au
second terme il se déduit de Q par les mêmes opérations, mais effectuées dans
l'ordre inverse.

En définitive la connaissance d'une transformation infinitésimale A/
qu'admettent les équations (2) nous met en possession d'une opération essentielle-
ment nouvelle, définie par la formule (4), permettant de déduire d'une forme
invariante Q{o) une nouvelle forme invariante û(A, 0).

Nous pouvons remarquer en particulier que si j est une intégrale premièi-e,
l'intégrale première A(j) peut être obtenue, d'abord par dilFérentialion, ce
qui donne 10(8) = 8y, puis par application de l'opération (^), ce qui donne

co(A) = A(j).

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITESIMALES 85

III. — Exemples.

90. Considérons un milieu matériel continu en mouvement, la densité
étant p et les composantes de la vitesse u, v, w. Les équations diflérentielle»
du mouvement d'une molécule

dx dy dz

admettent, comme nous l'avons vu (n" 37), l'invariant intégral

p(8a;8jSz — u8j8z8« — v8zBxBt — wSx8y8t)

fff'

qui correspond à la forme invariante

Q = p[8xiy^z] — pu[8j8z8f] — pu[8z8a;8<] — piy[8aî8j8<].

Supposons le mouvement permanent, c'est-à-dire p, u, v, w indépendants
de t. Les équations (6) ne contenant pas le temps explicitement, c'est-à-dire
ne changeant pas quand on change f en < + e, admettent la transformation
infinitésimale

Par suite elles admettent la forme invariante

Q(A, 8) == -^ = — pu[Sj8z] — pv[8zBx] — pw[8x8y].

La propriété de cette forme d'être invariante est évidente physiquement.
Considérons en effet un tube de trajectoires et coupons ce tube par deux sur-
faces quelconques, qui déterminent à l'intérieur du tube deux aires S et S'.
La quantité de matière qui remplit le volume situé entre la surface latérale
du tube et les deux surfaces S et S' est toujours la même, par suite le flux
algébrique de matière à travers la surface qui limite ce volume est nul. Or le
flux à travers la surface latérale est nul. On a donc

I I p("Sy8z + v^zlx H- wox8y) = | | p(u8j8z -f- u828a; -h w8xhy).

Remarquons que la forme invariante û(A, 6) est une dérivée exacte ; sa dé-
rivée en effet, si elle n'était pas nulle, ne pourrait différer de û que par un
facteur fini ; or cette dérivée ne contient pas ot ; on a donc

[û(A. 8)]' = 0.

Le système caractéristique de û(A, 8) se réduit par suite à son système
associé ; il est donné par les équations

dx dy dz.

86 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

il définît les trajectoires des molécules, mais indépendamment de la manière
dont ces trajectoires sont parcourues avec le temps.

La formule (5) montre aussi la propriété de la forme û(A, ô) d'avoir sa dé-
rivée nulle ; en effet ici la forme Û' est identiquement nulle. D'autre part,
Û, ne contenant pas t explicitement, ne change pas quant on change / en
t -+- e, par suite A(û) est nulle. Cette remarque s'appliquera aux exemples
suivants.

91. Considérons maintenant un fluide parfait en mouvement sous l'action
de forces dérivant d'un potentiel. Nous avons vu (n» 22) l'existence d'une forme
invariante absolue

u)' = k[^yBz] -+- ■»i[SzSa:] ■+■ Z[8x8y] -+■ (riiv — Çu) [oxSfl

H- (Ça — ^w) [Ôj8«] -h {iv — rju) [Bz8t];
elle provenait de la dérivation extérieure d'une forme linéaire

u) = uBx -h uSj -+• iu5z — Eôf,
où le coefficient E, énergie par unité de masse, avait pour expression

a ^

"'-"-)>

Supposons le mouvement permanent, c'est-à'dire u, v, w, p, p indépendants
de t. On aura, là encore, une nouvelle forme invariante

a)'(A, 8) = -^ = (uÇ — wii)^x -h (u;ç — uÇ)8j + (aifj — v^)Sz

Sx 8y 8z
u V w

$ -n ç
En partant de l'expression

0)' = [S«8a:] -4- [8vBy] -+■ [SwSz] •— [8Eo<],
on trouve d'autre part

co'(A. S) = SE.

Par suite E est une intégrale première des équations du mouvement : nous
retrouvons le théorème de Bernoulli d'après lequel, dans un fluide parfait en
mouvement permanent, la quantité

1 (U> _|- u2 .a_ u;2) _ U -h r^

reste constante le long de chaque filet fluide.

Mais la forme 8E n'est pas seulement invariante pour les équations diffé-
rentielles du mouvement des molécules fluides : elle l'est aussi pour les
équations différentielles des lignes de tourbillon qui admettent aussi la forme
invariante w' ; par suite la quantité E reste constante non seulement le long de
chaque Jîlet fluide, mais aussi le long de chaque ligne de tourbillon.

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES 87

Si le mouvement est irrotationnel, la forme w'(A, 8), telle qu'elle a d'abord
été écrite, est évidemment identiquement nulle : dans ce cas l'énergie est
constante dans toute la masse fluide et à tout instant.

L'égalité

Sx Sj 82
SE == u V w

permet de représenter en chaque point M la variation (spatiale) d'énergie au
moyen d'un vecteur MH ayant pour origine ce point et qui serait le produit
vectoriel du vecteur vitesse (u, v, w) et du vecteur tourbillon ($, t), Ç) ; la dé-
rivée de l'énergie suivant une direction donnée serait égale à la projection du
vecteur MH sur cette direction.

92. Une autre application très générale est relative au problème de la
Dynamique, lorsque les liaisons et les forces données sont indépendantes du

temps. La transformation infinitésimale kj= ^ qu'admettent les équations

du mouvement permet de déduire de l'invariant intégral fondamental de la
Dynamique

/Ta>'= /r^^iSg^ — 6H8<
le nouvel invariant intégral

^SH

/<

obtenu par dérivation partielle par rapport à U, On obtient ainsi Vintégrale
de l'énergie généralisée

E=h,

tous la seule condition que la fonction H soit indépendante du temps.

Plus généralement supposons que la fonction H ne contienne pas une des
variables pi et qi, soit par exemple q„. Les équations du mouvement

admettent alors la transformation infinitésimale — , d'où on déduit la forme

linéaire invariante

donc si la fonction H ne contient pas une des variables canoniques, la variable
conjuguée est une intégrale première des équations du mouvement.

88 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

IV. — Applications au problème des n corps.

93. Considérons n points matériels s'attirant mutuellement suivant des
forces proportionnelles à leurs masses et inversement proportionnelles à une
puissance donnée de leur distance. Il existe une fonction des forces

u=/2

m -m

j

l'exposant p étant donné (égal à i dans le cas de la Mécanique céleste), la
quantité r,^ désignant la distance des deux points M; et M^ de masses m, et rtij.
Les équations du mouvement du système admettent un certain nombre de
transformations infinitésimales évidentes. D'abord le temps n'entre pas expli-
citement dans ces équations. En outre, de toute solution du problème on en
déduit une autre par un déplacement d'ensemble dans l'espace, et aussi en
communiquant à chacun des n points un mouvement rectiligne et uniforme
supplémentaire (le même pour tous les points). On déduit immédiatement de
là l'existence des transformations infinitésimales

^j=iâ' ''f=i& ^«^=2^^

A./=2:

j,,^_,,^+y, _?/._,■, 4, A./=.... A./,

A^/=i:(é-'.^)' ''f=M^'B ''f-m-'^,

La transformation Ai/ correspond à une translation parallèle à Ox, la
transformation A^f à une rotation autour de Ox, la transformation A,/ à un
mouvement supplémentaire de vitesse constante e parallèle à Ox.

On peut enfin indiquer une dernière transformation infinitésimale fondée
sur des considérations d'homogénéité. Les équations

d'x^ ôU d'y^ ôU d'zc dU

df ôx.' dt ôj. dt i>Zi

restent en effet inaltérées si on multiplie toutes les coordonnées x., j., z. par

un même facteur constant X, à condition de multiplier t par X ; les compo-

santés x'i,y'i,Zi des vitesses sont alors multipliées par X \ En prenant
X = 1 + e, on arrive à la nouvelle transformation infinitésimale

'"•^ ..^ dXi '' ÔJi dZ. 2\ ÔX, '' ÔJi bZil \ 2J dt

Remarquons que, d'après la définition même de U, on a

AoU = AiU = ... = A,U = o, A,oU = — pU.

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES 89

94. Rappelons l'invariant intégral fondamental du second degré

M ==y^m i [8x-: 8x i]+m ,■ [oj,- oyi]+mi [Bz'i oz .• ]— I ^"i •• (^'•- 5-x'.- +y'i 8/.- +z'i 8z',)SM

Désignons par w, la forme linéaire w'(A;, o). Il existe onze formes linéaires
invariantes Wq, wj, ..., wjq. Il est facile de voir a /)riori, d'après la formule (5),
que les dix premières sont des difiFérentielles exactes, car a>' ne change pas par
l'une quelconque des dix premières transformations infinitésimales. Quant à
cojo, la formule (5) donne

(10,0)' =r A,o(w') ; ,

or w' a un degré d'homogénéité (au sens défini plus haut) égal à i ; on

a donc

P

Ko)' = i^I — 2

et wjo ne sera une différentielle exacte que si p = 2, c'est-à-dire si l'attraction
se fait proportionnellement aa cube de la dislance.

Le calcul des onze formes w, n'offre aucune difficulté et donne

ioq = ^,m,(g;'..5x'.--t- /iûj'.-f- z'.ôz',.) — SU = 8H,
a)i = — ^m,-8aî'i3=SHi,
W2 = — ^.f^ i ^y'i = 8H2,

<«>, = ^J^i^Zf = ÔII3,

to^=^m,(ZiOy, — j.8z',-hj'.-8z,— 2',8j..) = 8H^,
a)g = ^m,(a:,-6z',- — z,-8x',-|- z'.-Sx,- — x\8zi) = àï{^,

^6 =2"' •■ ^^ ' ^^'' ~^ • ^^'" "^^'' ^J i — /• ^^ • ) = ^Hg ,
a)^=:^m.(Sa:.- — <8a;'.- — a:',- 8/) = 8H.,

o>j=r^m,.(oz. — /6z'.. — z\ot) z=8Hg,
u),o=: — ^^m.(a;..8a;^H-y.8y;-Kz.6z'.-h-a;l;8a;;-h-j^'..Sy;+^z'<8z;)

4-(i+^\r«H-4-pH8f;

go LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

on a posé

H. = _Vm,z'..,

H4 = - ^m , (y ,2', — z ,y, ),

Hjj = ~^m .. (z , x\ —x.z'i),

H, = — 2"» .• (^ .y.- — r •• a;'i ) .
H7 =^ mi{Xi — tx'i),

On vérifie facilement que le covariant bilinéaire de tojo est égal à ( i — - jw'.
Si p = 2, on a la nouvelle intégrale première

^m,(x,a;',+ J.j'.H- îiz'i) — aHi = G,
qui donne, en intégrant,

^m,{x)-hy]-hz*,) = 2Ïie-h3Ct-hC':

c'est l'intégrale de Jacobi.

Les intégrales premières Hj, H2, H3, H,, H,, Hg sont celles que fournit le
théorème du centre de gravité; les intégrales premières H4, H5,H5 sont celles
que fournit la loi des aires.

95. Nous n'avons obtenu directement, dans le numéro précédent, que les
différentielles des intégrales premières H^ et non ces intégrales elles-mêmes.
Elles vont nous être données elles-mêmes en appliquant à chacune des formes
invariantes w , l'opération correspondant à la transformation infinitésimale
Ay/. Nous obtiendrons ainsi des fonctions invariantes, c'est-à-dire des inté-
grales premières

qij = C0j(A;) = w'(Ai, Aj) = — aji

que nous allons écrire suivant un tableau à double entrée qui sera manifes-
tement symétrique gauche. Les calculs n'offrent aucune difficulté : la quan-
tité ajj se trouve à l'intersection de la ligne i et de la colonne /. La lettre M
désigne la somme des masses des n corps.

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS ET TRAN9F0RMA.TI0NS IMFINITÉSIMALES

0

0

o

1

0

8

o

3

4

5

6

7

-8

9

0

10

0

0

0

0

0

°

-PH

1

o

o

°

^^

0

H

-H2

—M

0

0

-IH.

2

o

o

o

0

-H3

0

H,

0

-M

0

-?H,

3

o

o

0

0

Ha

— Hi

0

0

0

-M

-fH,

4

o

o

H3

-H,

0

H«

-H5

0

H,

-Hg

(-?)H,

5

o

-H,

0

H,

-He

0

H*

-H9

0

H,

(-f)Hs

6

o

H,

-H,

0

Hfi

-H,

0

Hb

-H,

0

(-i)Ha

7

o

M

0

0

0

H»

— H,

0

0

0

H7

8

o

o

M

0

-H,

0

H7

0

0

0

H,

9

o

o

0

M

H,

-Ht

0

0

0.

0

H9

10

pH

4 Ht

fH,

iH3

(?-0h,

ii-OHfi

(l-OHe

-H,

-Hg

-H,

0

Il est à remarquer que le déterminant des éléments du tableau précédent
est nul, puisque c'est un déterminant symétrique gauche de degré impair. Il

existe donc onze coefficients X^ non tous nuls tels que l'eipression^Xj^i de-
vienne nulle quand on lui applique l'opération relative à l'une quelconque
des transformations Aj/. On voit facilement que Xj^ est nul. Le calcul donne
pour l'expression ^ ,X,«)f , qui n'est définie qu'à un facteur près,

8K
X

pm

en posant

K= (MH4-+-H2H,-HsH,)«+(MH,-f H3H,-H,H,)24-(MH,+H,H -HjH,)».

Dans le cas de la Mécanique céleste, p =z i ; l'expression -^ 4- -jj- est la

différentielle logarithmique de HK. Cette quantité HR est donc invariante
par toutes les transformations A^/. Il est dès lors facile d'avoir son interpré-
tation en choisissant convenablement les axes de coordonnées. En prenant
pour origine le centre de gravité, ce qui est permis puisqu'il est animé d'un
mouvement rectiligne et uniforme, on voit que Hi, H2, H3, H^, Hg, Hg
s'annulent. La quantité invariante est alors, à un facteur constant près,
I1(HÎ H- HJ 4- H^), c'est-à-dire le produit du carré du moment cinétique du
système dans son mouvement autour du centre de gravité par Vénergie totale du
système dans ce même mouvement. Cette quantité est visiblement en effet indé-
pendante du choix des axes et du choix des unités.

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

V, — Application à la Cinématique du corps solide.

96. Considérons le mouvement d'un corps solide rapporté à trois axes rec-
tangulaires fixes. On sait qu'à chaque instant il est défini par un système de
vecteurs de résultante générale (p, q, r) et de moment par rapport à l'origine
(^, -ï], Ç). Supposons que ces six quantités soient des fonctions données du
temps. Les équations différentielles du mouvement d'un point du corps solide
sont

dx . ^ V

— = ^-]-qz — ry=:X,

Tt^'^ -f-rx — p0 = Y,

j^=K-hpy — qx=Z.

Ces équations admettent un invariant intégral évident. Si en effet on con-
sidère à l'instant t deux points infiniment voisins

[x, y, z), {x -h 8rr, j H- Sy, z + 8z)

du corps solide, la distance de ces deux points ne varie pas avec le temps. On
a donc une forme différentielle

qui est invariante si on ne considère que des points au même instant, et qui
devient invariante d'une manière absolue si on la complète en remplaçant
respectivement

OX, ÔJ, oz

par

Sa; — XS<, 8y — Y5t, 8z — Zot.
Soit

F = (Sx — XS<)2 -f- (Sj — YSi)2 -I- {8z — ZUf

cette forme invariante, à laquelle correspond la forme bilinéaire invariante

F(S,S')=(5x— XS/)(S'cc— XS'f)+.(Sj— YSi)(8'j— Y8'<)-H(8z— ZSO(S'z — ZS'f).

Cette forme bilinéaire n'est pas alternée, mais symétrique ; néanmoins les
raisonnements faits au n" 88 restent valables.

Supposons ^, 75, Ç, p, q, r constants; les équations différentielles du mou-
vement admettent alors la transformation infinitésimale

par suite de la forme F on peut déduire une autre forme invariante

i g^ -= _ X(8x — X8t) — Y(Sj — Y8t) — Z{8z — Z8t).

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES gS

Le même procédé peut être ici répété et donne cette fois une intégrale première
-- -^'^ — X- -h Y- -4- Z^.

2 d{8t)^ A -^- 1 ^ A .

Celle intégrale première est évidente géométriquement. Le mouvement du
corps solide est hélicoïdal, et l'intégrale précédente est égale au carré de la
vitesse du point considéré, vitesse qui reste bien égale à elle-même pendant
, toute la durée du mouvement.

VI. — Equations différentielles admettant une transformation
infinitésimale.

97. Dans les exemples précédents nous supposions connu un invariant
intégral. Supposons maintenant qu'on connaisse seulement une équation
(variante, par exemple l'équation

a)(ô) ^ Cl 8x1 H- a2Sa;2 H- ... -h «n^x^ = o.

Dire que celle équation est invariante, c'est dire qu'elle peut s'écrire de
manière à ne contenir que les intégrales premières jj, ..., j„_i des équations
diflerenlielles données et leurs différentielles ; autrement dit on a

w(8) = p[6i(y)Sj, -h 62(7)572 4- ... -h 6„_i(r)5j„_,],

les 6; ne dépendant que de jj, ..., jn-i et p étant une fonction quelconque,
llcniplaçcns le symbole de différentiation indéterminée S par le symbole de
la transformation infinitésimale A/. On a immmédiatement

^{^) _ f>i{y)àyi -+- 62(7)572 H- ... H- 6,.-i(j)5j„_i
o)(A) 6i(7)A7i + 6,(7)A72 -f- ... h- 6„_i(j)A7„_i'

et le second membre est manifestement une forme linéaire invariante.

La connaissance d'une transformation infinitésimale Af qu^admet un système
^équations différentielles données et la connaissance d^une équation de Pfaff
j(8) = o invariante pour ce système entraîne la connaissance d'un invariant

.(A)*

itégral linéaire I -yp

Supposons par exemple qu'on ait affaire à une équation différentielle
ordinaire

dx dy

X "" Y'

elle est invariante pour elle-même; par suite si elle admet une transforma-
lion infinitésimale

•^ ôx ' 07

94 LEÇONS SUR LES ITCVAHIAl^TS INTEGRAUX

elle admet par cela même la forme linéaire invariante

comme ici il y a une seule intégrale première, celle forme est nécessairement
une différentielle exacte. Autrement dit on connaît un facteur intégrant de
l'équation. C'est un résultat classique,

La plupart des équations diffcrenlielles qu'on sait intégrer peuvent se
rattacher à la remarque précédente. Il en est ainsi des équations

f^=/M. ^=/W. ?M^:

la dernière de ces équations, par exemple, ne change pas si on multiplie x
et y par un même facteur constant i -t- s ; elle admet donc la transformation
infinitésimale

par suite l'expression

A/ = œ -^ -h y — ;
•^ àx -' dy

dy-fi^

dx

y-

est une différentielle exacte. Cette propriété devient évidente si on pose

y — ax,
car alors l'expression devient

du dx

u—f{a)'^lc'

L'intégration de cette différentielle exacte conduit aux mêmes calculs que
la méthode classique.

98- Enfin, même si on ne sait rien a priori sur un système d'équations
différentielles données, la connaissance d'une transformation infinitésimale
qu'admet ce système permet d'obtenir un système de Pfaff invariant. Cher-
chons en effet toutes les équations de Pfaff w = o qui sont des conséquences
des équations différentielles données et telles que io(A) soit nul. Si on pose

w(S) = li8xi H- XjSxj H- ... -+- X„Sa:„,

les coefficients X, sont donnés par les deux conditions

X,Xi -+-X,X. 4-...+X„X„ = o,

^1^1 + '^A + ••• + K^n = O.

L'ensemble des équations cherchées forme donc un système de Pfaff obtenu
en annulant tous les déterminants à trois lignes el trois colonnes du tableau

Bxi 8x2 ... 8x„

Xi Xj ... x„

^l ^2 ... $„

STSTÈMIS DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES qB

Ce système a une signification indépendante du choix des variables. Or si
on prenait pour variables n— i intégrales premières y^, ...,y„_i et une
nièmo variable, Xn par exemple, les équations se réduiraient à

&=& = ...=|tl (,,= Aj,).

Le système de Pfaff considéré est donc invariant, et manifestement il est
complètement intégrable, puisqu'il se réduit à un système d'équalions diffé-
rentielles ordinaires en y,, .... j„_i-

Par exemple si les équations

^J

dx dy di
X ^ Y - Z

admettent la transformation infinitésimale

^f-4.^4-

l'équation aux différentielles totales

dx dy dz \

X Y Z

? T) Ç

est complètement intégrable. En l'intégrant, on obtiendrait une intégrale
première des équations données. En égalant enfin cette intégrale première à
une constante, on serait ramené à une équation différentielle ordinaire
admettant une transformation infinitésimale connue, qui s'intégrerait par
une quadrature.

VIII. — Exprimer qu'un système d'équations

différentielles données admet une transformation

infinitésimale donnée.

99. Nous n'avons pas encore indiqué les conditions analytiques expri-
mant qu'un système d'équations différentielles données

(=>)

dxi

X7

dx2

X.

dx^

X„

admet une transformation infinitésimale donnée

(3)

Posor

(5)

A/

X/=:X

dXi

dX2

" dXi

^f

96 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

II s'agit au fond d'exprimer que si /est une intégrale première, c'est-à-
dire satisfait à l'équation

X/=o,

A/ est aussi une intégrale première; autrement dit, il s'agit d'exprimer que
l'équation

X(A/) = o

est une conséquence de l'équation

X/ =^ o.

Nous pouvons substituer à la première équation, qui contient les dérivées
partielles du second ordre def, l'équation

X(A/)-A(X/) = o

qui, comme un calcul facile le montre, est linéaire et homogène par rapport

à -^, ..., -^. La condition cherchée est donc tout simplement V existence

d'une identité de la forme

(7) X(A/)-A(X/) = pX/,

p désignant un coefficient convenablement choisi.

Cette condition est visiblement vérifiée si l'on prend la transformation infi-
nitésimale dont le symbole est X/ ; cette transformation déplace chaque
point M de l'espace sur la courbe intégrale passant par ce point ; elle laisse
donc invariante chaque courbe intégrale. Si on porte son attention sur l'efTet
produit sur les courbes intégrales, considérées comme des êtres indivisibles,
cette Irans formation infinitésimale particulière joue le même rôle que la
transformation identique. On vérifiera facilement que les applications des
transformations infinitésimales faites dans ce Chapitre s'évanouissent dans ce
cas particulier. La même remarque s'appliquerait à la transformation infini-
tésimale )^X/, où X est un facteur arbitrairement donné.

VIII. — Equations aux variations.

100- La notion d'équation aux variations est due à H. Poincaré; on peut
la relier à la notion de transformation infinitésimale.

Considérons un système d'équations différentielles que nous écrirons

(«) -l' = x ^"^x.,

les seconds membres étant des fonctions données de o^i, ..., x„, t. Soit

(9) ^i =/l(0, .^2 =/.(0. -, ^n =fn{t)

1

SYSTEMES DIFFERENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITESIMALES 97

une solution particulière de ce système. Prenons une solution infiniment
voisine

^i==fi{t)-\-^U, X,=f,{t)-i-e':i,, ...,x„=f„{t)-\- s:-„,

OÙ £ est une constante infiniment petite et les ^ dès fonctions inconnues de t.
En négligeant les inûniment petits du second ordre, nous obtenons, pour
définir ces fonctions inconnues, les équations

, V d^Zi dXi , dXi ^ dXi . ,.

(^°) d/^ô^7'^^^^^+- + .^^" (.= .,., ...,n);

ce sont les équations aux variations relatives à la solution particulière considérée.
Il peut se faire qu'on connaisse une solution particulière des équations aux
variations, indépendamment de la solution particulière des équations données qui
a servi à former ces équations aux variations. Les quantités ^j, ..., È,i sont alors
en réalité des fonctions déterminées de Xi, ,.., /, satisfaisant aux équations
aux dérivées partielles

Dans ce cas les équations données admettent manifestement la transformation
infinitésimale

•^ ' ^x^ ÔX2 " dx„

cette transformation a en effet pour équations

x[ == îc, -f- e^i ,

^n = ^n + £»n.

t' = t:

la courbe transformée de la courbe intégrale (9) a pour équations

Xi -i- di = fi{t)
ou

c'est encore une courbe intégrale puisque ( — ^j, ..., — ^„) constituent une
solution des équations aux variations.

Plus généralement à toute solution (^,) des équations (11) correspondent une
infinité de transformations infinitésimales laissant le système donne (8) invariant,
à savoir les transformations

(I.) Bf= $, -^ + ... + ^, -^ 4- X (5( + X, ^ + ... -I- X„ ^

avec une fonction arbitraire X.

Réciproquement supposons qu'on connaisse une transformation infinitési-
male laissant le système donné invariant : elle peut toujours se mettre sous

E. Cartan. — Leçons sur les Invariants intégraux, 7

98 LEÇONS SUR LES OVARIA^JTS INTÉGRAUX

la forme (13). La courbe intégrale (9) est changée par celte transformation
dans la courbe

Xi -+- t^i -+- eXXi =fi{t -f- eX)
OU

Xi =Jit) - s?, H- eX[//(0 - X,] =Ji[t) - e?,;
par conséquent les équations aux variations (11) admettent la solution

(?.. .... y.

Toutes ces propriétés résultent du reste de ce que les équations (i i) ne
font que traduire analytiquement la relation (7) lorsque, dans A/, le coeffi-
cient de -4 est nul.

CHAPITRE X.

LES SYSTÈMES DE PFÂFF COMPLÈTEMENT INTÉGRABLES.

I. — Le théorème de Frobenius.

101. Un système de /i équations de Pfaff

f coj ^ Qiidxi + ttiidx^ H- ... + Omdxn = O,

(0

' co,, = a,^,dxi -+- Oh^dxz + ... + a^ndxn = o
est complètement intégrable lorsqu'il peut se mettre sous la forme
(a) dyi =-- rfj2 = ... = dy,, = o.

S'il en est ainsi chacune des formes w, est linéaire en dy^, ..., dyi,r^i par.
suite sa dérivée w/ s'annule en tenant compte de (2), c'est-à-dire de (ï;.

Pour qu'un système de Pfaff soit complètement intégrable il faut que les déri-
vées de ses premiers membres s'annulent toutes en tenant compte des équations du
système.

Pour démontrer la réciproque, remarquons d'abord que la propriété que
nous venons d'énoncer ne dépend pas du choix des variables et ne dépend
pas non plus du choix des r premiers membres : autrement dit, si l'on écrit
les équations du système sous la forme

Toi ^ «11^1 -+- û!i2t02 -+- ... -h oiih^h = o,

les dérivées bj/, vsz', ..-, nr/, s'annulent aussi en tenant compte des équations
du système : on a en effet

tu/ = a^i^i' H- ajjWa' H- ... -f- ai/^W/,' -+- [da.iW,] -H [rfa.aWj] -+- ... -f- [da^htà/^]

et chacun des termes du second membre s'annule par hypothèse dans les
conditions indiquées.

100 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

Cela posé, supposons que la réciproque soit démontrée jusqu'à n — i va-
riables, et démontrons-la pour n variables. Les w/ s'annulant en tenant
compte des équations (i), s'annuleront à plus forte raison si on fait en outre
dxn = o ; par suite, si on regarde x„ comme un paramètre fixe, le système (i)
est réductible à la forme

dji = o,

àjh = o,

où Ti, ..., j/i sont h fonctions indépendantes de Xi, .... t„_i, mais peuvent
contenir aussi le paramètre a:,i. Si maintenant on ne l'egarde plus a;„ comme
constant, le système est évidemment réductible à la forme

[ wi ^ dyi -+- b^dxn = o,
(3)

( TOft = dy,, -+- b^dxn = o,

où bi, ..., b/i sont des fonctions de ji, ..., j/^et, par exemple, de x^^i, ...^Xn.
On a, de plus,

ht/ = [db^dx„], .... ht/ == [dbiidxj,] ;

en tenant compte des équations (3), ces formules se réduisent à

"'•' = ^, ^^^^.4 l^^n] + - + ^ [dXn-^dx„].

L'hypothèse entraîne donc comme conséquence que les coefficients 6, ne
dépendent que de ji, ..., j/„ x„. Mais alors les équations (3) constituent un
système d'équations différentielles ordinaires, qui par suite peuvent se réduire
à la forme

dzi = o, .... dzfi =z o,

les lettres Zj, ..., z/, désignant h intégrales premières indépendantes.

102. Le théorème précédent, dû à Frobenius, permet {n° 64) d'exprimer
par les relations

[wj ... tO/iCOi'l = o, ..., [wi ... tO/jW//] = o

les conditions nécessaires et suffisantes d'intégrabilité complète du système
donné.

Prenons l'exemple d'une équation de Pfaff à trois variables

co ^ Pdx -h Qdy + ^dz = o ;

la condition d'intégrabilité complète est

(...'l^[(P,;..Q.,+Ra.)(|-^rf,.. + ?£_g,.,.^g_|,.d,)]

= P

L/<>R 8Q

rv5?

^^{^~Ê)-^^{§-§p^'>y^^^=''

LES SYSTEMES DE PFAFF COVIPLETEMENT INTEGRABLES

II. — Formation du système caractéristique
d'un système de Pfatf.

103. On peut donner au raisonnement fait plus haut une autre forme en
cherchant d'une manière générale le système de Pfaff caractéristique d'un
système donné quelconque (i).

Pour que le système (i) soit invariant pour les équations différentielles

dxi dx,i

^^) ^ x; = - = x;'

il faut et il suffît que les équations de (i) puissent s'exprimer au moyen des
intégrales premières de (4) et de leurs différentielles ; donc il faut d'abord
que wj, ..., 0)/, s'annulent en tenant compte de (4) et il faut ensuite que les
formes

puissent s'exprimer au moyen des différentielles des intégrales premières
de (4) ; autrement dit il faut que le système associé des formes

U)i, Wj, ..., (Oft. [Wi ... WftW/], ..., [tOi ...,tO;,a);i']

soit une conséquence des équations (4).

Réciproquement si cette condition est réalisée et si jj, ..., j„_i sont des in-
tégrales premières de (4), on pourra ramener les équations à la forme

T!j, = dyt 4- 6i,ft+iC?jA+i -4- ... + èim-i^Xn-i = o»

toa = dy,, H- h,h+idyh+i + ... -h h,n-idyn-i =o;

la forme [wi ... nr/jxnj'] ne devant pas faire intervenir dx^, les dérivées

^ "^+', ..., - ''"-' sont toutes nulles; par suite les équations (i) peuvent

s'écrire de manière à ne faire intervenir que les intégrales premières du sys-
tème (4) et leurs différentielles. Donc le système (i) est bien invariant pour
les équations (4).

Il résulte de là que le système caractéristique de (i) rtcst autre que le système
associé des formes

0)1, ..., w/,; [u)i ... a)/,u)i'], ..., [toi ... 10^10^'].

En particulier pour que le système soit complètement intégrable il faut et
il suffit que ce système soit identique à (1), c'est-à-dire que les formes

soient identiquement nulles.

I02 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

104. On peut encore obtenîr les équations du système caractéristique de (i)
sous la forme

a>i = O, ^2 = O, ..., Wft =r o,

d{dxi} d{dxi) '" d{dx„)

Ofii aui ... a^n

En particulier le système caractéristique d'une équation de Pfaff

w ^ Oidxi -\- Ozdx^ 4- ... H- a„dxn = o

est donné par les équations

Gidxi 4- a^dxi + ...-[- a„£?a;„ = o,
a^àxi -h audxj -+•...-{- amdxr, aaicfrri -4- a^sdxs -h ... -f- a2„d.r„

_ OnWa;, + ... + an,n-ldXn-i

en posant

dXi

Nous reviendrons plus loin sur ce système (Chapitre XIV).

ni. — L'intégration d'un système de Pfaff
complètement intégrable.

108. Revenons à un système de Pfaff complètement intégrable que nou»
écrirons

dzi = aiidxi

ai„dx„.

(5)

dzh = a^idxi -4- ... 4- a^^dx^

U intégration de ce système revient à celle d'un système d'équations différen-
tielles ordinaires à h fonctions inconnues Zi, ..,, z/, d'une seule variable indépen-
dante Xi.

Nous savons en effet que le système admet une solution et une seule
correspondant à des valeurs initiales données (xj, z"). Pour avoir les valeurs
des fonctions inconnues z,, .... z^ corrrespondant à un système de valeurs
numériques données x\, ..., x* des variables indépendantes, déplaçons-nous
sur la variété intégrale depuis le point [x]) jusqu'au point {x\) et suivons la
variation des Zj ; quelle que soit la succession des valeurs intermédiaires des

LES SYSTÈMES DE PFAFF COMPLÈTEMENT INTÉGRABLES Io3

variables indépendantes, le résultat sera toujours le même. Posons par
exemple

x^ —x\ = m, (a-, — xi) x^ — xl = m^{x^ — xj),

en désignant par m^, ..., m, les q — i quantités

x^ x"

""•• ^ x\ — x\ ^'""^ '?)•

Nous aurons

dzt = {a^^ -+- a.jmj -f- ... -h a,^m^)dx,
(6)

dz^ = {a^^ 4- a,,.im^ -h ... -H a,,mj(iaî,.

Il nous suffira d'intégrer ce système d'équations différentielles ordinaires
et de déterminer la solution qui, pour ar, = rrj, correspond aux valeurs
zj, ..., zl des fonctions inconnues. Une fois cette solution déterminée, on
aura z\, ..., zl en remplaçant les quantités paramétriques nij, ...,m, par
leurs valeurs indiquées plus haut.

En fait on supprimera les indices supérieurs i : on se contentera de rem-

placer, dans la solution obtenue, m. par — i et on aura ainsi les expres-
sions des fonctions inconnues z^, ..., z,. .

Il est à remarquer que la connaissance d'une intégrale première du système
d'équations différentielles ordinaires (6) aux q — i paramètres m. n'entraîne
pas forcément la connaissance d'une intégrale première du système de PJaff (5).

;IV. — Les systèmes complets.

:^ 106. Revenons au système complètement intégrable (i) dont nous dési-
gnerons par y y, ..., y/, un système de h intégrales premières indépendantes.
Choisissons arbitrairement n — h formes différentielles linéaires

indépendantes entre elles et indépendantes des formes wj, ..., o)/,. Toute
forme linéaire en dxi, ..,, dxn pourra s'exprimer, d'une manière et d'une

seule, en fonction linéaire de wj w„. Prenons alors une fonction / inc/é-

tèrminée et considérons sa différentielle totale

df=^dx,-^-^dx, + ...-^^dx„;

on pourra l'exprimer linéairement au moyen de wj, ..., u)„, les coefficients
étant manifestement linéaires et homogènes en -^, ••-. — . Soit

° ÔX, '■^' bXn

(7) df^ XJ . co. + Xî/ . a,, + ... -4- X„/. 0,,. ,

lO/i LtÇONS SLR LES INVARIA>'TS INTÉGRAL X

Les n expressions X,/sont linéairement indépendantes en -^. •••, -^•

Cela posé, toute intégrale première du système complètement intégrable (i)
est caractérisée par la propriété que sa différentielle, considérée comme
forme linéaire en dxi, ..., dx^, s'annule sous la seule condition que les eq^ia-
tions (i) soient vérifiées ; autrement dit par la propriété d'annuler

X.+i/. .... x„/.

Le système de n — h équations aux dérivées partielles linéaires indépen-
dantes

(8) X,+J=o, ...,x„y = o

admet donc h solutions indépendantes jj, ..., yu-

Réciproquement supposons que le système (8) admette h solutions indé-
pendantes (il ne peut manifestement pas en admettre davantage)

ji yh-

L'identité (7) nous donne

(9) <fji = Xiji . wj H-Xjjf . 0)2-1- ... -V X/,;yi . coft (i= 1,2, ..., /i).

Comme les jj sont des fonctions indépendantes, les seconds membres des
équations (g) sont des combinaisons linéairement indépendantes de wi ,0)2 , , . .,10^.
Par suite le système (i) est équivalent à (2), donc complète menl intégrable.

Convenons de dire que les équations (8) forment un système complet si elles
admettent le nombre maximum h de solutions indépendantes. Nous voyons
qu'à tout système de Pfoff complètement intégrable correspond un système com-
plet et réciproquement. La correspondance est telle que si les équations du
système de Pfaff sont

tOj = 0)2 = ... = Wa = O,

celles du système complet sont

Xa+i/= Xa+2/= ... = X„/= o.

107. Il est facile de trouver les conditions pour qu'un système donné
d'équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre soit complet.

Partons de l'identité (7) et dérivons-la extérieurement. Nous aurons facile-
ment

(9) f^xj. u>; +2S^'(V) [-.-.] = 0-

*=i .=1 j=i

Les n covariants to'^ peuvent s'exprimer comme formes quadratiques exté-
rieures de o), a)„; soit

(10) W, = 2 Cijk[^i<^j]'

En égalant à zéro, dans l'identité (9), l'ensemble des termes en [w^w^], on
trouve

(n) X..(X,/) _ X,(X,/) +%,-,.XJ= o.

LES SYSTÈMES DE PFAFF COMPLÈTEMENT IXTEGRABLES 105

On remarquera la dualité des formules (lo) et (i i).

Supposons alors le système (i) complètement intégrable. Cela signiQe,

d'après le théorème de Frobenius, que w',, ...,a)',. s'annulent avec w, W;, ;

autrement dit qu'on a

<^h + i,h+j,k = o {i'j = 1' '•> ^ — h; k = 1, ..., h).
Par suite, d'après (i i), les combinaisons

x..,(x..,/)-x,.,(x...y)

ne dépendent linéairement que de X,,+,y, ..., X„/. La réciproque est évidente.
Convenons de désigner par (XY) la combinaison X(Y/) — Y(Xy'). On voit
que la condition nécessaire et suffisante pour qu^un système soit complet est que
.«s parenthèses de tous las premiers membres pris deux à deux soient des combi-
naisons linéaires de ces premiers membres.

CHAPITRE XI.

LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLIGATEUR.

I. — Définition et propriétés.

108. Considérons un système d'équations différentielles

u; -5^ — Al, -^_ A2, ..., -^_A„

admettant un invariant intégral de degré maximum n

Q = M[{8x, — Xi8<) (ôxj — Xîôi) ... (Sa-„ — X„S/)].

Comme nous l'avons vu (n° 80), la condition pour qu'il en soit ainsi est que
la dérivée extérieure û' soit nulle, ce qui donne par un calcul facile

aM ^ a(MXO ô(MX,) a(MXn)^^

Le coefficient M est connu sous le nom de multiplicateur de Jacobi.
La condition (2) exprime, comme nous savons, que la forme ii peut
s'exprimer au moyen de n intégrales premières indépendantes

[^1,72, ..., Jn

du système (i) et de leurs diflérentielles ; autrement dit qu'on a une identité

(») M[(Sxi - XioO ... (8a.„ _ X,M)] = U(yu ..-, Jn) [Sj.Sj^ ... Sjn].

Il nous est maintenant possible de retrouver les théorèmes classiques rela-
tifs au multiplicateur de Jacobi.

• Théorème I. — Le quotient de deux multiplicateurs M et M' est une intégrale
première. En effet les deux identités (3) relatives aux deux multiplicateurs M
et M' donnent

M _H(j,. ..., y„)

M'-H'(y„ ...,y„)'

Théorème II. — Si l'on connaît p intégrales premières indépendantes des

LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR IO7

équations (i), on peut déterminer un multiplicateur du système de n — p équations
dijjérentielles auquel se ramène Vinlégration du système donnée

Supposons qu'on connaisse les p intégrales première» indépendantes

y,, jo Ypj et supposons, ce qui est toujours permis, que ce soient de»

fonctions indépendantes des p variables Xi, ..., Xp, c'est-à dire

Les équations (i) peuvent alors s'écrire

W t=o 'if = o.

(5) %^ = X,,. :|! = X,..

et, en égalant j,, ..., ypa des constantes arbitraires Ci, .... Cp, l'intégration
du système (i) se ramène à celle du système (5), dans les seconds membres
duquel on a supposé remplacé Xi, ..., Xp par leurs valeurs en fonction de
Xp^i, ..., x„, t, Cl, ..., Cp.

Cela posé la forme Q, qui est invariante pour les équations (4) et {5), peut
évidemment s'écrire

Q = N[57, ... 8Yp (Sxp+i — Xp+,so ••• (s^n - ^V^O];

pour avoir la valeur du coefficient N, il suffit d'identifier cette expression
avec l'expression primitive; en égalant par exemple les termes en

[Sxiôxa ... Sx„],

on obtient

D(x,, ..., Xp)

La quantité N étant ainsi déterminée, on a l'identité

N[«ri ... 8yp (3xp+i - X,+i8f) ... (8x„ - X„Sf)] = H [By, ... ô/,8jp+i ... 5j„],
c'est-à-dire

[«7,o>5 ... dyp }N(aa-p+i - Xp+.ot) ... (Sr„ - X^ot) — HSjp+i •.• ^ïnl] = o.
Cette identité exprime (n° 64) que, si on tient compte des relations linéaires

Sji=o, ôjj = o, ..., 8jp = o,
on a
(6) N[(Sxp^., — Xp+,lt) ... (8x„ — X„ô<)] = H(j,, ..., j„) [Sjp+, ... a/n].

Le premier membre de cette égalité est donc une forme invariante pour le sys"
tème d'équations différentielles (5) : autrement dit le système (5) admet le mul-
tiplicateur

N ^

D(xi,...,xp)

ToÈOHÈME III. — Si l'on connaît n — i intégrales premières indépendantes des
érjaalions (i), Vintégralion des équations s'achève par une quadrature.

I08 LEÇONS SUR LES I1NVAKL\MS INT'-iGRAUX

Il suffit d'appliquer le théorème II au cas /) = n — i : on voit alors que
la forme différentielle linéaire

(8Xn — X„r:i)

D[x^, ...,a-„_i)

est une différentielle exacte, quand on y suppose les variables liées par les
relations

Jl = Ci, J2=C2. ..., J„_l = C«_,.

La solution générale des équations (i) s'obtient donc en égalant à une
constante C„ l'intégrale de différentielle totale

/

D(7..".;r-)^''"'""^"'"'-

II. — Généralisations.

109. Le théorème du dernier multiplicateur peut être généralisé au cas,
beaucoup plus général, où l'on connaît une forme invariante Q de degré quel-
conque r <Ci n. Supposons qu'on connaisse n — i intégrales premières indé-
pendantes ji, ..., j„_i. Choisissons de toutes les manières possibles n — r de
ces intégrales

Jct^^' ytx.^* ••■' y^n—r

et considérons les formes, évidemment invariantes,

toutes ces formes sont de degré n. Si elles ne sont pas toutes nulles, on est ra-
mené au cas précédemment étudié ; on d un multiplicateur, on peut même en
avoir plusieurs, et dans certains cas le théorème I peut donner, par division
de deux de ces multiplicateurs, la dernière intégrale première.

Le cas d'exception est celui où toutes les formes précédemment écrites se-
raient nulles. Or imaginons û exprimé au moyen de ôji, ..., 'îj„_i et de la
différentielle d'une n'^^^e intégrale première (inconnue) ôj„. L'hypothèse faite
revient à dire que Q ne contient pas oj„, car si Q contenait par exemple un
terme non nul tel que

A[ôji ... ôj^_iSj„],

le produit extérieur de Q par Sj^^,Sjr_,_2 ••• Sy„_, ne serait pas nul.

Gela étant Q serait donc une forme extérieure en 8ji ôj„_i, forme

extérieure dont on pourrait calculer les coefficients. Chacun de ces coefficients
serait une intégrale première. Si l'un au moins de ces coefficients est indé-
pendant de ji, ..., yn-i, on achève l'intégration en l'égalant à une constante
arbitraire. Le seul cas douteux est celui où tous les coefficients seraient des

LA. THEORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR IO9

fonctions de ji j„_i ; or îl est clair que dans ce cas la connaissance de

la forme invariante Q ne peut être d'aucun secours pour achever l'intégra-
tion. Remarquons simplement que dans ce cas les équations données ne cons-
tituent pas le système caractéristique de Q.

Nous pouvons donc énoncer le théorème général suivant :
La connaissance d'une forme différentielle invariante Q admettant pour système
caractéristique le système d'équations différentielles données (i) permet, dans le
cas le plus défavorable, d'achever par une quadrature l'intégration de ce système
lorsqu'on en connaît déjà n — i intégrales premières indépendantes.

110. Une autre généralisation de la théorie du dernier multiplicateur de
Jacobi est relative aux systèmes de PfalT complètement intégrables. Soit

un système complètement intégrable dont on connaît une forme invariante

Q — M[a)iW2 ... w,.].

La connaissance de r — i intégrales premières j,, ..., jr_i du système
permet d'achever l'intégration par une quadrature. En effet en égalant
ji, .... yr-i à des constantes arbitraires, le système donné se ramène à une
seule équation, w^ = o par exemple, et on a une formule telle que

Û = N[oji ... ôj,,_ito,],

où le coefficient N se déduit de M par une identification facile. Il en résulte
que iNo),, est une forme invariante pour l'équation unique 0^ = 0 qui reste à
intégrer, autrement dit que No)^ est une différentielle exacte. L'intégration
s'achève donc par une quadrature.

Enfin le théorème tout à fait général qui résume tous les cas envisagés est
le suivant :

La connaissance d'une forme différentielle Q permet, dans le cas le plus défavo-
rable, d'achever par une quadrature l'intégration du système caractéristique de
cette forme lorsqu'on en connaît déjà r — i intégrales premières indépendantes,
en désignant par r la classe de la forme.

III. — Cas où la variable indépendante
n'est pas particularisée.

111. Si le système d'équations différentielles donné est mis sous la forme
dxi dxi dx„

x7-x; x'

tout invariant intégral de degré n — i est de la forme

Q = MK^[dxidx3 ... dxn] — MX.[dxidx, ... dx„] + ...
— (— i)"MX„[c/a:-i(/arj ...dx^S],

IlO LEÇONS SUR LES I>VARIA>TS OTEGRALX

el la condition Î2' := o devient

aÇMXQ ^ ô(MX,) ^ ^^^ ^ &(MX„) _ ^^

A part cette différence d'écriture, la théorie est identique à celle qui a été
faite plus haut.

IV. — Cas où les équations données
admettent une transformation infinitésimale.

112. Prenons le cas général d'un système complètement intégrable

(7) Wi = O, U)2 = o, ,.., co^ = o

admettant une forme invariante de degré r, qu'on peut toujours supposer
ramenée à la forme

Q =r [(JÛ1W2 ... ^r\.

Supposons que ce système admette une transformation infinitésimale
connue A/, et formons les quantités

COi(A), CO,(A), ...,0>,(A),

que nous supposerons non toutes nulles. On peut toujours supposer les équa-
tions du système écrites de manière à avoir

(8) cOi(A)=i, W2(A) = C03(A) = ... =a),(A) = 0,

û conservant la même forme.

Comme on l'a vu plus haut (n° 88), la connaissance de la transformation
infinitésimale hj permet de déduire de la forme Q(o) une autre forme inva-
riante 2(A, S), qui, avec les hypothèses faites ici, se réduit à

û(A, ô) = [0)2 ... w,.].

Nous désignerons par la lettre n cette nouvelle forme invariante. Nous
avons

a = [coin].{

Le système associé (et non caractéristique) de H est

(9) 0)2 = 0, W3 r=: o, .... tO^ = o ;'

il est complètement intégrable. Cela résulte d'un théorème antérieur (n° 98),
mais cela résulte aussi de ce que 0 étant exprimable au moyen de r intégrales
premières ji. .... j^ du système donné et de leurs différentielles, le système
associé de Q{^., S) ne contiendra, lui aussi, que yi, ..., yr et leurs différen-
tielles ; ce sera par suite un système d'équations différentielles ordinaires, donc
complètement intégrable.

LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR III

Formons maintenant la dérivée extérieure H' de la forme n ; c'est une
louvelle forme invariante de degré r, on a donc

n' = mû = w[a>in].

Le coefficient m est une intégrale première. Mais il y a une discussion à faire.

I* m = o. — n' est nul, et le système (9) associé de n est son système
caractéristique. On connaît donc un multiplicateur du système (9) ; par suite
quand on connaîtra r — 2 intégrales premières indépendantes de ce système,
l'intégration s'achèvera par une quadrature. Une deuxième quadrature
achèvera alors l'intégration du système donné (7) ; cette quadrature est mani-
festement / Wj.

Il est évident qu'ici n et Û sont réductibles à

n = [Hy/.y, . . . gj,] , e = [ôy.Syj . . . 5y,] ;

la transformation A/, appliquée aux intégrales premières du système donné,
se réduit à

Il y a une infinité de manières de choisir les intégrales premières de
manière que les données restent les mêmes, c'est-à-dire de manière que Û
et A/ ne changent pas ; on peut effectuer sur y^, y^, ...,yr une transformation
arbitraire de déterminant fonctionnel i, et ajouter à yi une fonction arbi-
traire de J2, ..., y^. Cela explique la nature des simplifications qui se pré-
sentent dans l'intégration.

2" m est une constante non nulle. — Dans ce cas supposons qu'on ait intégré
le système (9) et soit ja, Js, •••. Jr un [système de r ^ 1 intégrales indé-
pendantes. On aura

le coefficient H étant indépendant de jj, ..., jr> sans quoi n' serait nul, mais
étant une intégrale première du système donné. On a donc une r'è™" intégrale
du système donné par de simples différenliations.
En écrivant jj à la place de H, nous avons

Û = ^[5jiSj2... Sj,]. n = y,[oy,...8y,], kf=my,~j~'

La transformation la plus générale en jj, ..., j^ qui conserve les données
s'obtient en effectuant sur ja, ..., y^ une transformation arbitraire et posant

D(y2,

Cela explique pourquoi l'intégration du système (9) ne peut pas être sim-
plifiée et aussi pourquoi, cette intégration étant effectuée, celle du système
donné (7) s'en déduit.

112 LEÇONS SUR LES INVARFANTS INTEGRAUX

3° Le coefficient m n'est pas constant, mais k{m) est nul. — La fonction m
est une intégrale première du système (9). L'intégration de ce système revient
à celle d'un système d'équations différentielles à r — 2 fonctions inconnues;
l'intégration du système donné s'en déduit comme dans le cas précédent.

La forme n est réductible à

II=j,[ôm5y3...Sj,]
et on a

^ = ~, [Sji ôw3j3 . . . Sj,] , A/ = mji ^ .
Les transformations qui conservent les données sont

im=m, j3 =fs{m, y„ ..., j,), .... jT =f,[m, y„ ..., 7,),

^' D(/3 /.)

D(73, ...,J.)
Elles expliquent les simplifications que présente l'intégration.

4° Le coefficient m n'est pas constant, et Am = mi ■^zf o. — Prenons tout de
suite le cas général

Am = mi, Awi = mi, .... Ami_i = m^,

en supposant que m, mj, ..., m,_i sont i intégrales premières indépendantes
du système donné, et que mi est une fonction de m, ..., m,_i.

Le système donné admet alors i intégrales premières indépendantes connues
et son intégration revient à celle d'un système (f équations différentielles à r — i
fonctions inconnues dont on connaît un multiplicateur.'

Cherchons les formes réduites de Q et A/. On peut toujours poser
Q = H[ômômi ... Smj_iôji^j ... ôj^],

où 7,4.1, ..., yr sont r — i intégrales premières du système (9) et H une
fonction de m, ..., mi_i, jf+i, ..., jr- On a évidemment

A/= mi -^ + ma --^ + ... + mi — f— •
-' dm ômj ôm,_i

Exprimons que la dérivée extérieure de n = û(A, ô) est égale à mQ, ou,'
ce qui revient au même,

A(Q) = mû.
On a

A(û) = (A(H) + g^ H) [5mBmt ... Smi_iôy.+, ... By,];

on doit donc avoir

A(H) -+- ^^ H = mil.

Soit h{m, m^, .... mi_i) une solution particulière de celte équation aux
dérivées partielles ; cette dernière peut s'écrire

i^)-

LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR Il3

autrement dit -j- est une intégrale des équations (9). On peut alors choisir
7,4.1, ..., yr de manière à réduire cette fonction à l'unité. On aura donc
Q = h(m, ..., m,_.i) [SmSmi ... ôm,_i8j.xi ... 5j,,],

•^ dm bmi àmi_i

Les transformations qui conservent les données sont évidemment
m = m, m, = mj, ..., m,_i = mi_i,

avec

D&.+i yr)_,

(On a désigné par f^i, ..., fx,_i i — i fonctions indépendantes de m, mj, ...
m,_i satisfaisant à A|jl = o).

La nature des transformations précédentes explique les simplifications pré-
sentées par l'intégration.

11 peut du reste se faire que i = r; dans ce cas aucune intégration n'est à
effectuer, puisqu'on a par différentiation r intégrales premières indépendantes.

V. — Applications.

113- La théorie du dernier multiplicateur s'applique à tous les exemples
précédemment indiqués où intervenait une forme invariante de degré égal
au nombre des fonctions inconnues. Rappelons ces exemples :

1° Les équations qui donnent le mouvement des molécules d'un milieu
continu quand on connaît la densité p et les composantes a, v, w de la vitesse
en fonction de x, y, z, t :

dx dv dz

dt=''' dt=''' dt = ''-

L'invariant intégral étant

Û = pKBx — uôf) (ôj — v^t) {Bz — wBt)],

le multiplicateur est p. Si donc on connaît deux intégrales premières indé-
pendantes, l'intégration s'achève par une quadrature.
Si le mouvement est permanent, la forme invariante

n = û(A, S) = — pa[8j8z] — pu[8zSa;] — pw[8a;8;)']

a sa dérivée nulle. Les équations

dx dy dz ^

U V 10 '

E. G*BTA!ii — Leçoas sur lei Invariants intégraux. 8

Il4 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

qui donnent les trajectoires géométriques, admettent un multiplicateur p ;
par suite si on connaît une intégrale première, la détermination des trajec-
toires n'exige qu'une quadrature, et une dernière quadrature donne /.

2° Les équations qui donnent les lignes de tourbillon d'un champ de vec-
teurs donné (X, Y, Z) sont les équations caractéristiques de la forme

[8X8:.] + [8YSy] + [SZS.] = (|- _ Ç^) [8;y8z] + (^ - |) [Szêx]

ces équations

dx dy dz

ôZ _ dY — ô^^ôZ — ôY _ ôX
ày dz dz dx dx dy

admettent donc un multiplicateur connu, qui est l'unité.

3° Les équations de la Dynamique, sous leur forme canonique

dqi ôH dpi ôH

dt bpi dt dqi '

admettent le multiplicateur i : cela résulte d'un calcul direct ; cela résulte
aussi de ce que l'existence de la forme invariante

entraîne celle de la forme invariante Q" :

114. Mais la théorie du dernier multiplicateur ne s'applique pas seule-
ment aux systèmes matériels pour lesquels sont valables les équations cano-
niques d'Hamilton, mais à tout système à liaisons parfaites, holonomes, avec
forces données ne dépendant que de la position du système.

Pour un tel système on a les équations de Lagrange

Si les Qi étaient nuis, l'introduction des variables canoniques d'Hamilton
conduirait aux équations

dqi ôH dpi dE

dt dpi dt dqi '

Il en résulte que les équations complètes du mouvement sont susceptibles
d'être mises sous la forme

dqi ôH dpi ôH

dt ôp, ' dl ~~ dqi

Qi.

LA THÉORIE DU DERMER MULTIPLICATEUR II 5

Elles admettent le multiplicateur i , autrement dit la forme invariante

qui, avec les variables de Lagrange, s'écrit

Si les liaisons sont indépendantes du temps^ ainsi que les forces données,
les équations du mouvement admettent la transformation infinitésimale

et, par suite, la forme invariante II = û(A, 8), dont la dérivée est nulle.
D'après la théorie générale, l'intégration des équations du mouvement est ra-
menée à celle des équations des trajectoires (géométriques)

(io, dq/ doi dpi

-i' = -n, — 21 — ou -n = ^ .

auxquelles s'applique la théorie du dernier multiplicateur, et à une quadra-
ture donnant le temps : on a en effet manifestement, par exemple,

puisque û(A, 6) est égal an.

115. Comme exemple de forces dépendant du temps, mais avec une trans-
formation infinitésimale connue, considérons le cas simple d'un point mobile
sur une droite fixe et attiré par un point fixe de la droite suivant une force
proportionnelle à la distance, le facteur de proportionnalité étant une fonc-
tion connue du temps. Le mouvement est donné par l'équation différentielle
du second ordre

d^T

ou par 1

e système

(10)

dt=''^

dx'

k{l)x = o.

L'équation du second ordre ne change pas si on change x en Xrr, X étant on
facteur constant arbitraire ; par suite le système qui lui est équivalent admet
la transformation infinitésimale dont l'effet est de changer respectivement

(i -h £)x, (i + e)x', t;

Il6 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

le symbole de celte transformation est

Af= X ^ -h X -^.

*' àX dX

Le système (lo) admet la forme invariante

Q = [(Sa; — x'8t) (Sx' + kx8t)]
correspondant au multiplicateur i. Ici la forme dérivée û(A, 8) est

Ts = x{Bx' -+- kxBt) — x'[8x — x'^t) = x8x' — x'8x -+- (x'^ 4- kx^)U :
c'est une forme invariante. Sa dérivée extérieure est

m' = 2[ôxôa;'] -h 2x'[àx'ùi] -4- 2kx[cixU] = 2Û.

Le coefficient de Q dans le second membre étant constant, nous savons (n" 1 12)
qu'il suffit d'intégrer l'équation complètement intégrable m = o pour en déduire
par des différentiations la solution générale du système donné : la forme w
est en effet réductible à jiS)'2- Cette forme cj s'écrit, en changeant 6 en d.

On est donc conduit, en posant

x'

X '

à intégrer l'équation de Riccati

Supposons intégrée cette équation ; on a une intégrale première sous la forme

_ a{t)u + ^(0 ^ a{t)x' H- P(1)X
.^2 Y(f)u + Ô(^/) '^{t)x'-h8(t)x'

En identifiant ro à yidyz, on trouve, en prenant par exemple les termes
en dx',

d'où

a8 — Bv

X = YiX -, — -, ÇJ-i 1

•^ {-^x' H- hxf

Si on suppose, ce qui est toujours permis, que le déterminant ao — j^y est
égal à I (ou même simplement constant), la solution générale du système
est fournie par les équations

ax' H- pa: = Cl ,

Yx' + Sx = Cî,
et l'on a

X = Q,a{t) — C,y(0.
Autrement dit les coefficients a(<) et y(0 <î^i se présentent dans l'intégrale

LA THEORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR II 7

générale de l'équation de Riccati constituent un système de solutions fonda-
mentales de l'équation du second ordre donnée.

On peut encore présenter les choses autrement. Supposons qu'on connaisse
la solution générale u de l'équation de Riccati exprimée au moyen de t et de
la constante d'intégration y^. L'identité

y,dy, = x%du -h («2 ^_ k)dt]
donne

Ji

, = X^ }

ày2

d'où l'on tire

X en

fonction de ji,

j2 et t. Gomme on a

« =

— ï/2 H- ^.'

on obtient

x^ =

^Jl(« — Ï/O*'

d'où

X =

= Cia -h C,Y.

116. Remarque. — La théorie du dernier multiplicateur de Jacobi
s'applique à d'autres problèmes de Mécanique que ceux qui ont été indiqués
plus haut. Prenons par exemple le mouvement d'un point matériel soumis
à une force fonction de sa seule position dans l'espace, mais le système de
référence étant entraîné par un mouvement de rotation uniforme autour
de oz. Les équations du mouvement sont de la forme

d^x , dy ^ ^
d^y dx V

dï^ - Z = o,

X, Y, Z étant des fonctions données de x, y, z, t. En les écrivant

dx , dx' , V

^ = X, ^ = _2ay+X,

^ = y\ %= ^^x' + x,

dz , dz' „

di — ^' Tt— '^•

on obtient un système qui admet manifestement le multiplicateur i .

117. La dernière application que nous envisagerons nous sera fournie par
l'invariant intégral de l'Hydrodynamique

û = \[hy^ + ,i[8z8x] -f- C[8x67] -^ (rju; — Çv) [Sx8/] + (Çu — \w) \^yU]

H- (5v — TTiu) {mt\.

Il8 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Le système caractéristi(jue de cet invariant est formé des deux équations de
PfafT

dx — udt dy — vdt dz — wdt

1 - ~~^ r

Les variétés intégrales sont, dans l'univers {x, y, z, t), les variétés à deux
dimensions engendrées par exemple par une ligne de tourbillon dans ses
différentes positions successives.

L'intégration de ce système revient à celle d'un système de deux équations
différentielles à deux fonctions inconnues dont on connaît un multiplicateur.
La recherche des trajectoires des molécules (lignes fluides) exige en outre
l'intégration d'une équation différentielle ordinaire qui peut être quelconque.

Si le mouvement est permanent, les variétés caractéristiques sont données
par deux quadratures, à savoir

/

dx dy dz

U V 10

5 ^ ç

= c.

puis, en tenant compte de l'équation précédente, supposée résolue par
rapport à z,

" 'i<^a; — jdy __ „,

-j

' ' ■ iv

CHAPITRE XII.

I.ES ÉQUATIONS QUI ADMETTENT UN INVARIANT
INTÉGRAL LINÉAIRE RELATIF.

I. — Méthode générale d'intégration.

118. Considérons une forme de Pfaffw et le système caractéristique de

l'invariant intégral relatif 1 w. C'est le système associé de la forme w'.

Supposons d'abord w à an + i variables ; la forme w' étant de rang pair (n" 59).
son système caractéristique sera formé en général de an équations. Par suite
il existe en général un système d'équations différentielles et un seul admettant un

invariant intégral relatif / w, lo étant une forme de Pfaff arbitraire à 2n H- i

variables. C'est le cas de l'invariant intégral de la Dynamique.

Soit d'une manière générale an le rang (ou la classe) de la forme w'. Il est
facile d'indiquer une méthode d'intégration des équations caractéristiques
de o)'.

Soit en effet ji une intégrale première de ces équations (elle est obtenue
par une opération d'ordre an). SLon lie les variables par la relation jj = Cj,
c'est-à-dire les différentielles par la relation dji = o, le rang de w' diminue,
et comme il reste toujours pair, il se réduit à an — a. Soit y^ une intégrale
première du nouveau système caractéristique ; en supposant

Ji = Cl, jj = Cî,

le rang de w' se réduit à an — 4. et ainsi de suite. On pourra donc, par des
opérations successives d'ordres

an, an — a, ..., 4» 3,

trouver n intégrales premières

Jl. J2. ..., Jn

telles que, si on suppose les variables liées par les relations
Ji = G,, yj = G2, ..., Jn = C„,

120 LEÇONS SUR LES IIN VARIANTS LMEGRAUI

le rang de w' devienne nul. A ce moment, to' étant identiquement nulle, la
forme w est une différentielle exacte ; une quadrature la met donc sous la
forme

0) = c/S.

La fonction S dépend des n constantes Cj, ..., C„. Si on ne suppose plus
les variables liées par les n relations indiquées, on a évidemment

tû = dS -h Zidyi -+- zzdyz + ... -h Zndy^
et par suite

w' = [dzidyx] -\- [dz^dy^] -+-... + [dzjyn].

Comme w' est de rang an, les an différentielles dyi et dzi sont linéairement
indépendantes; donc les 2n fonctions yi et Zi constituent un système d'intégrales
premières indépendantes des équations données dont l'intégration est ainsi
achevée.

En définitive l'intégration a exigé n -+- i opérations d'ordres

2n, an — a, ..., 4. 2, o

suivies de différentiations.

Remarque I. — La quantité S ne sert ici que d'intermédiaire ; ce n'est
pas en général une intégrale première des équations caractéristiques de

l'invariant / w.

Remarque 11. — On voit d'après le résultat obtenu que toute forme qua-
dratique extérieure de dérivée extérieure nulle peut se mettre sous la forme

[dzidyi] -h [dz^dyi] + ... -h [dz„dj„].

119. Il importe de se rendre compte de l'indétermination du choix de»
fonctions yi et Zi qui entrent dans la forme canonique. L'égalité

[dzi'dy,'] + [dzz'dy^'] + ... + [dz^'dyn'] = [dz^dy^] -h ... -h [dzjy,,]

entraîne la propriété de la différence

^i'dyi' + Zi'dyi' H- ... --h Zn'dy„' — (zidyi 4- z^dyz + ... -f- zjy„)

d'être une différentielle exacte dV. Supposons, ce qui est le cas général, que
Ji'j •••» Jn' soient des fonctions indépendantes de zi, ..., z„; alors il n'y a
aucune relation entre les yi et les y/. En .exprimant V en fonction des j; et
des jt', on en déduit

'' àyr '' àyi'

Ces équations, où intervient une fonction arbitraire de an arguments,
permettent d'exprimer les y' et les z' en fonction des y et des z ; les n der-
nières donnent en effet j/, ..., j„' et les n premières donnent ensuite
Zi', ..., z„'. Cela suppose que l'on n'a pas

Uji' ôj2 àyj ^^

^{yi\y2, ...,yn)

ÉQUATIONS A UN i:iVARIA!fT INTÉGRAL LINEAIRE RELATIF 121

Sous la même condition on peut tirer les y en fonction des y' et des z' au
moyen des n premières équations et obtenir ensuite les z au moyen des
n dernières équations.

On traiterait de même le cas où entre les y et les y' il existe une ou plu-
sieurs relations.

L'ensemble des transformations ainsi définies sur les variables y et z, c'est-
à-dire sur les courbes intégrales des équations données, définit un groupe infini
qui joue dans cette théorie le même rôle que le groupe des transformations
de déterminant fonctionnel égal à i dans la théorie du multiplicateur de
Jacobi.

120 Revenons à l'intégration des équations caractéristiques de w'. Suppo-
sons que, par un procédé quelconque, nous soyons arrivés à connaître N>>n
intégrales premières indépendantes yi,y2, •... Jn telles qu'en les égalant à
des constantes arbitraires, le rang de w' devienne nul, c'est-à-dire w devienne
une différentielle exacte. Une quadrature suivie de différentiations nous donne
alors

o) = rfS H- Zidyi -+■ îjdja -+-...-!- Zndy^,

Il est facile de voir que z^, Zj, .... z» sont des intégrales premières.

Supposons en effet que parmi les fonctions j, et Zj il y en ait N + r indé-
pendantes ; on peut alors exprimer les fonctions Zj en fonction des jj et de r
d'entre elles, que nous appellerons ti, t^, ..., <,. Cela posé on a

lo' XΠ[dzjdji] -f- [dzzdy2] -[-... + [dz^dyv].

Le système caractéristique de lo' comprend par hypothèse les équations

dyi = o, dy2 = o, ..., dyt, = O.

Il comprend aussi l'équation

ôw' , ÔZi j ÔZj I , ôZn j

-rT-ï -^ — dzi H dyi -\ rfvs -+- ... H dyt, = o,

d[dyi] dyt -^'^ dyi '^^ ôj,- •'"

donc l'équation

dzi = o.

On voit par là que les z, sont des intégrales premières, et d'autre part N 4-r
doit être égal à an.

Finalement la connaissance de N intégrales premières rendant w différentielle
exacte quand on les égale à des constantes arbitraires, permet d'achever l'intégra-
tion par une quadrature et des différentiations.

121. Dans la pratique il peut arriver qu'on cherche non pas toutes les
solutions des équations différentielles données, mais seulement celles pour
lesquelles les N intégrales premières yi, ..., j» ^ont des valeurs numériques
données. On peut alors procéder de la manière suivante. La forme w', étant
nulle quand on annule dyi, .... dys, peut, d'une infinité de manières, être
mise sous la forme

122 LEÇONS SUR LES OVAWANTS INTEGRAUX

les Wi étant des formes linéaires convenablement choisies. Parmi ces N formes
ra, il y en a an — N indépendantes entre elles et indépendantes des dj, ;
supposons qu'il en soit ainsi de tui, ..., tt^jk^n. Le système caraclcristique de
u>' est manifestement formé des équations

dji = dy^ = ... = dyu = o,
TH, = Wj = ... = ro2„_N = o.
Exprimons que la dérivée extérieure de w' est nulle : nous obtenons
[rfjiro/] -I- [djaV] -+-... + [(^Jn^t/] = O,
d'où en particulier, en multipliant exiérieurement par [dj 2(^73 ••• dyt,],
[dyidy^ ... dy^wi'] = 0.

La forme thi (et aussi les formes ^2, ..., ^jn-s) sont donc des différentielles
exactes quand on donne aux yi des valeurs numériques fixes. Par suite les
solutions cherchées s ohliewienl par an — N quadratures indépendantes

I ^1 =yi, ••., I ra2n-N = T-in-N.

11 n'y a pas lieu de s'étonner de rencontrer ici 2/1 — N quadratures alors
que la recherche de la solution générale n'exigeait qu'une quadrature. En
effet, effectuer les a/i — N quadratures indiquées ci-dessus, c'est effectuer la
quadrature unique

!•

^i^2 H- ... -h X2„_arjT2n— N = C^'

avec 2« — N paramètres arbitraires Xi, ..., Xj,j_ii.

Le procédé d'intégration précédent n'utilise que la forme invariante w' et
ne fait pas intervenir la forme w. Ce qui joue un rôle essentiel, c'est doncla

connaissance de l'invariant intégral absolu du second degré j w', et la propriété
de la forme w' d'être une dérivée exacte. La forme co (ou les formes w) dont m'
est la dérivée ne joue qu'un rôle accessoire.

n. — Les parenthèses de Poisson et l'identité de Jacobi.

122. Soit 2/1 le rang de la dérivée extérieure w', et soient/ et g deux inté-
grales premières de son système caractéristique. Les deux formes différen-
tielles

[où'"-'dfdg] et [co'"]

«ont invariantes de degré maximum 2n ; elles ne diffèrent donc que par un
facteur, et ce facteur est une intégrale première. Nous poserons

ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE RELATIF 123

OU

La quantité (fg) ainsi définie porte le nom de parenthèse de Poisson : c'est
une forme bilinéaire alternée des dérivées partielles de /et g.

La parenthèse de deux intégrales premières est encore une intégrale première.

Ce théorème, dû à Poisson dans le cas particulier des équations canoniques,
a eu son importance mise en évidence par Jacobi.

Avant de passer aux applications de ce théorème, nous pourrons faire
quelques remarques.

La condition (fg) =: o exprime que le rang de w' est égal à an — 4 • o^i
dit dans ce cas que les intégrales/ et g sont en involution.

Si cette condition n'est pas remplie, la formule de définition de (fg)
exprime que la forme

' TM

est de rang 2n — 2 ; la puissance «''''"« de cette forme est en effet

Remarquons encore que si on a réduit w' à sa forme normale

co' = [wicoo] +■ [loawj -f- .:. H- [coj„_iW2„],
et si on pose

(^f = fi^l +/2W2 + ... H-/!nW2„,

^9 = gi^l H- 9i^î + ... -t- ^2uW2<M

on a

if 9) =fi92 ~f-9i ^1^9'* — /t5'3 + ••• +fln-i9in —fln9in-i'

Remarquons enfin, d'après ce qui a été vu plus haut (n° 118), qu'on peut
toujours supposer les Wi des différentielles exactes. Un calcul facile donne
alors l'identité suivante, due à Jacobi,

{{m) + {{9h)J) + m)g) = o.

qui s'applique à trois intégrales premières quelconques/, g, h.

Mais la vérification peut se faire aussi sans rien supposer sur les formes
linéaires wi, w,, ..., wo,,. Elle repose sur l'identité

(0 ^^~^ [-"'-\if9)dh + (gh)df + (hf)dg)] = ^^^^ [^'n-HJdgdh]

qui n'est autre que l'identité (8) démontrée au n*» 68. En la dérivant exté-
rieurement et remarquant que la dérivée extérieure du second membre est
nulle, on obtient

[u>'»-'d(/^)dA] + [^'-^d{9h)dj] + [u>'--^d{hj)dg] = o,

qui n'est autre que l'identité de Jacobi.

134 LEÇONS SUR LES 1NVARIA.NTS INTÉGRAUX

123. La méthode d'intégration indiquée au début du Chapitre peut être
énoncée en utilisant les parenthèses de Poisson. Soit

X/=o

l'équation qui exprime que /est une intégrale première. On cherche d'abord
une solution particulière ji de cette équation ; on cherche ensuite une solu-
tion particulière jj du système

y = o, (ji/) = o,

puis une solution particulière jj du système

X/ = o, (ji/) = o, (yij ) = o

et ainsi de suite jusqu'à une solution particulière j„ du système

X/- o. iyj) = o. (j,/) = o, ..., (j„_ J) = o.

Dans le cas des équations canoniques de la Dynamique

dqi ôH^ dpi ôH

dt dpi dt ô^î '

correspondant à la forme invariante

l'équation aux dérivées partielles des intégrales premières des équations
données est

àt jiLà\dqi dp- ^Pi àqij

Quant à la parenthèse de Poisson (fg) de deux intégrales premières, elle est
déGnie par l'égalité

n[i^'--^8f5g] = {fg) [o)'»] ;

égalons dans les deux membres les termes en

[SpiSçjS/Ja ... Sp„8ç„] ;
nous obtenons

L'équation aux dérivées partielles des intégrales premières peut alors
s'écrire, en étendant la définition de la parenthèse (fg) à deux fonctions
quelconques des g,, pi et t,

■ s(-(H/) = o.

ni. — utilisation d'intégrales, premières connues.

124. Nous allons maintenant reprendre le problème de l'intégration des
équations caractéristiques de la forme diJDTérentielle w' en supposant connues

ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE RELATIF 125

un certain nombre (quelconque) d'intégrales premières Ji, ^2, ..-, J;*- En
égalant ces inlégrîiles à des constantes arbitraires Cj, C2, ..., Cp, la forme w'
a son rang réduit d'un certain nombre pair 2p' < 2p d'unités. Il suffit alors
d'intégrer les équations caractéristiques de cette nouvelle forme, ou plutôt
d'en chercher n — p' intégrales premières en involution-: on est alors ramené
au problème du n" 120-

La méthode précédente ne tire pas en général tout le parti possible des
intégrales connues. En effet, d'après le théorème dePoisson-Jacobi, les paren-
thèses des p intégrales données prises deux à deux sont elles mêmes des
intégrales premières des équations à intégrer. On formera donc les paren-
thèses (j'ij/i, puis, si elles fournissent des intégrales nouvelles, les parenthèses
de ces intégrales entre elles et avec les intégrales données, et ainsi de suite
jusqu'à ce que l'opération ne donne rien de nouveau. Cela revient à dire
qu'on peut toujours, par des différeniialions préalables, supposer que les paren-
thèses (yyj;) sont des fonctions des intégrales premières Ji, 72, •••, Jp-

Pour savoir maintenant de combien d'unités se réduit le rang de w' quand
on suppose les variables liées par les relations

71 = Cl, J2 = C2, .... Jp = Cp,

il suffit d'appliquer le théorème du n° 69 à la forme quadratique extérieure w*
construite avec les variables 8xi, ..., Srr2n+i liées par les relations

ôji = o, Sj2 = o, ..., ôjp = o.

Les coefficients a^ du n" 69 sont ici les parenthèses (jiyj) et la forme quadra-
tique * est ici

le nombre d'anités dont se réduit le rang de to' est égal au nombre maximum ap
diminué du rang de la forme «ï».

125. On peut se rendre compte de la manière suivante du fait que tout le
parti possible a bien été tiré des intégrales premières données.

Effectuons sur les p variables $1, ..., ?p une substitution linéaire (à coeffi-
cients fonctions de ji, ..., jp) de manière à ramener <i> à sa forme normale

Cela revient à remplacer les formes linéaires Sji, ..., Byp par de nouvelles
formes différentielles

linéaires en ôjj, .... 5jp avec des coefficients fonctions de ji, ..., ypQt telles
que l'on ait identiquement

?l5ji -+- ?2Sj2 -+- ... + ipOyp = f^TOj -+- ^TO2 H- ... H- Tp^p.

120 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

La forme quadratique extérieure to' prendra alors la forme

W' = [toi^ï] 4- ... + [^iq-.i^2q] "+- [^ag + jW,] + ... -h [vJp(àp_^] ■

■+- [W;i-2g + lWp_2ç+2] -f- ...-+- [(àin-p-\<»in-p]*

en introduisant an — p formes linéaires nouvelles wj, ..., W2„_,,.
Désignons par n la forme

n = [rniTOa] 4- ... H- [nJ2,-i^2,]
et exprimons que la dérivée extérieure de w' est nulle. Si nous négligeons
tous les termes qui contiennent l'une des formes linéaires

nous obtenons

(2) n' -H [Kj^iun] + ... H- [nî;,a)p_2j =^ o.

Comme la forme n est construite avec les seules fonctions jj et leurs diffé-
rentielles, il en est de même de II' ; par suite aucune réduction de termes
semblables ne peut se faire entre les différentes parties du premier membre
de (2). 11 en résulte en particulier que chacune des formes

^2^4-1 > ...» ^p

est nulle (en supposant nulles les formes Trj.,,4,1, ..., th^) ; par suite le système
dePfaff

^2g+l

O

est complèlemenl intégrable. Nous désignerons par

un système d'intégrales premières de ces équations. On a de plus

n'=.o,
toujours en regardant les formes ^2,4.1, ..., Wp comme nulles; autrement
dit, si on suppose y^q+i) --m Jp constantes, la forme n est dérivée exacte, et
par suite (n» 118) réductible à

II = [dy, djj] + ... 4- [dy,,_, dy,,].
Finalement on voit facilement qu'on peut mettre w' sous la forme

(3) 10' = [dy^ djj -h ... 4- [dj2î-i dy.,] 4- [dy^q+i ^1] 4- ...

4- [dypWp-Zq] 4- [Wp_2,4-lWp_25 + 2] 4- ...

Cela revient au fond au théorème suivant :
On peut trouver p fonctions

Jl, J2, •••, Jp

des p intégrales premières données satisfaisant aux conditions.

6'lj2)=... = (729-lj2,) = I,

toutes les autres parenthèses ij^j) étant nulles.

ÊQUATIO:VS A UN INVARIANT INTÉGRAL I^ÏNÉAIRE RELATIF lîj

126. Outre l'intérêt intrinsèque que présente ce théorème, sa forme met
en évidence le fait énoncé ci-dessus que la méthode d'intégration indiquée a
tiré tout le parti possible des intégrales données. La forme (3) trouvée pour w'
permet en effet d'écrire

M — dS H- jjrfjj -t- •.. -1- yiq-idyi^-hWidy2q+i -H ...

H- iVp_2qdyp + Vidui + ... -h fN-p + qf^Wri-p+î' >
w' = [dyidy.;\ H- ... -f- [dy .q_i dy^^] -h [dwydy^^^.^] -f- ...

H- [dwp_^^dyp] + [dv^dui] + ... -h [£/u„_p4., du„_p+,].

Le groupe des transformations les plus générales sur les courbes intégrales
qui conservent les données, c'est-à-dire qui laissent invariantes w', yi, .... yp,
est défini par les équations suivantes, où les lettres accentuées indiquent
les variables transformées, et où V désigne une fonction arbitraire des argu-
ments n,-, «,', 72,^+1, .... jp :

y'i = ïi ii=i, 2, ...,p),

Vi =~-7, ...,Vn-,+q —

ÔU n-p+p

îôV ôV

^^1 = -— ,..., t.„_,+,

ivi wj -j- ^ , ..., IV p—Zq wp— 'Jg ^^ -

Tout procédé univoque qui, en partant de w' et de p intégrales premières
Ji yp, permettrait de déduire une autre intégrale première par des opé-
rations ayant une signification indépendante du choix des variables, conduirait
nécessairement à une intégrale première invariante par le groupe de trans-
formations le plus général conservant w', jj, ..., yp', or les seules fonctions
invariantes par ce groupe sont évidemment les fonctions arbitraires de

ji yp-

•IV. — Généralisation du théorème de Poisson-Jacobi.

127. Le théorème de Poisson-Jacobi se généralise immédiatement si, au
lieu de deux intégrales premières, on connaît deux formes linéaires invariantes
x^^ et TD2 : la quantité oc définie par l'égalité

(4) n[io'"~%iTïij] = a[[w'"]

est évidemment une intégrale première ; elle se réduit à (ji/s) si tdi et ct;
sont les différentielles de deux intégrales premières ji, y 2.

Appliquons cette remarque au cas où, les équations caractérisques de ta''
admettant deux transformations infinitésimales A,/ et Aj/, on aurait

Toi = w'(Ai, 0), Wi = a)'(A2, S).

128 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Pour calculer dans ce cas la quantité a, appliquons aux deux membres de
l'égalité (4) l'opération qui fait passer d'une forme invariante û(S) à la forme
C(Aj, 8). On obtient

n[n — l) \yi''^~^TTS{asiTSi^ — n[a)'"~'nTi]TiiJ2(Ai) = ncr[io''*~%i],

d'où, comme la forme [w'»-'©,] n'est certainement pas nulle,

a = — raj(Âi) = w'(Ai, Aj) = nJ,(Aj).

Le théorème généralisé de Poisson- Jacobi, appliqué aux deux formes invariantes
u)'(Ai, S) et co'(Aj, S), conduit donc à l'intégrale première io'(Ai, kz) fournie par
r application deux fois répétée à lo' de l'opération correspondant aux transforma-
tions infinitésimales k^f et Aj/.

CHAPITRE XIII.

LES ÉQUATIONS QUI ADMETTENT UN INVARIANT
INTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU.

I. — Méthode générale d'intégration.

128. Soit w une forme différentielle linéaire ; son covariant bilînéaire w'
est de rang pair, soit an. Deux cas peuvent se présenter, suivant que l'équa-
tion o) = o ne fait pas partie ou fait partie du système caractéristique de w'.
Nous allons d'abord nous occuper du premier cas.

I. On peut évidemment poser

ta' = [wjCOa] -h ... H- [(à2„-i^in]>

les 2n + I formes co, wi, ..., w^n étant indépendantes. Dans ce cas les équa-
tions caractéristiques de w sont (n° 78)

W = O), = 0)2 = ... = Wj,i = o.

On peut facilement indiquer une forme réduite pour lo. En effet des opé-
rations d'ordres

an, an — a, ..., a

font connaître successivement n intégrales premières

des équations caractéristiques de a>', réduisant son rang à zéro quand on les
égale à des constantes arbitraires. Une quadrature met alors lo sous la forme

iù = du-\- Zjdji H- Zidyi H- ... + z„dj„.

Telle est la forme réduite cherchée, qui s'obtient par des opérations d'ordres

an, an — a, .... a, o

et qui, une fois obtenue, donne la solution générale des équations caractéris-
tiques de w.

E. Cabtah, — Leçons sur les Invariauts intégraux. 9

l3o LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

On voit que dans ce cas l'intégration des équations caractéristiques de 0/
et celle des équations caractéristiques de w sont deux problèmes équivalents»

et le fait que / w est un invariant intégral absolu n'a pas plus d'importance
pour l'intégration que si 1 w était un invariant intégral relatif. Cela est vrai
du moins si l'on suit, pour l'intégration des équations caractéristiques de w',
la méthode indiquée au n* 118 ; il n'en serait plus de même si on appliquait
la méthode du n" 121.

II. Dans le second cas on peut poser

10' r= [wWi] + [0)30)3] -h ... -h [ohn-i^in-l]

avec an formes linéairement indépendantes co, wj, ..., <x>jn~i- Les équations-

O) = O, 0)2 = 0)3 = ... = 0)2„_i = O,

qui s'obtiennent en écrivant, en outre de l'équation lo = o, les équations du
système associé de la forme o)', où on suppose les différentielles liées par la
relation o) = o, ont une signification intrinsèque. C'est le système associé des
deux formes o) et [wo)'] et par suite (n" 103) c^esl le système caractéristique de
l'équation de Pfaff o) = o. Nous l'appellerons le système (S), en désignant
par (S) le sytème caractéristique de o), lequel contient en plus l'équation
0)1 = o.

On peut, par une opération d'ordre an — i, obtenir une intégrale première
ji du système (2). En l'égalant à une constante arbitraire, le système (S) de
la nouvelle forme w, c'est-à-dire le système caractéristique de la nouvelle
équation o) = o, a le nombre de ses équations réduit de deux unités ; on
pourra donc par des opérations d'ordres

trouver de nouvelles intégrales

J2, '•■,yn-l

telles qu'en les égalant à de nouvelles constantes arbitraires, le nouveau
système (S) correspondant à o) ne contienne plus qu'une équation, qui sera
évidemment o) = o. Cela veut dire que cette équation est complètement
intégrable et une nouvelle opération d'ordre i donne une nouvelle intégrale
y„ qui permet d'écrire

O) = Zidyi -h Zarfjj -i- ... + z„dj„.

On arrive ainsi à la forme réduite de o), qui fait effectivement intervenir le
nombre minimum 2n de variables, an étant le nombre des équations du
système (S) caractéristique de o), c'est-à-dire la classe de o).

On trouve sans difficulté la transformation la plus générale effectuée sur
les variables caractéristiques yi et z, qui conserve la forme u) ; l'égalité

zi'dy^' + ... + Zn'dy,,' = Zidyi -+-... 4- z„dj„

Z, Î2

■ÏÏY-W--

• - ôV - ôV

ôji' ôj,'

^yn ày,

^i-

^'t-

, dV„

.. -t- >^» — ^

.,v

ÉQUATIO:«S A UN INVARlAîST I:XTÉCRAL LINÉAIRE ABSOLU l3l

donne, en restant dans le cas le plus général,

Vfj/, ...,J'u'. Jl, •••, J«) = o, '

— ~ ^"
— _iL'

Ces formules montrent bien que les variables j,, ...jjn» —,..., —sont

Zi Zi

transformées entre elles ; ce sont les variables en nombre minimum au moyen
desquelles peut s'écrire l'équation w = o ; ce sont les intégrales premières du
système (S) caractéristique de celte équation.
S'il existait p relations indépendantes

Vi = o, ¥2 = 0, .... V, zr=0

entre les jj et les j/, les formules qui définissent la transformation seraient

avec p inconnues auxiliaires Xj,

129. On remarquera, au point de vue de l'intégration, la différence entre
les deux cas où le système caractéristique de co est impair (an -h 1) ou
pair (2n) : dans le premier cas l'intégration exige des opérations d'ordres

2n, in — 2, ..., 2, o ;

dans le second cas elle exige des opérations d'ordres

an — 1, an — 3, .... i.

On remarquera aussi que les deux cas se distinguent pratiquement l'un
de l'autre de la manière suivante. Soit an le rang de co', c'est-à-dire soit n le
plus grand exposant tel que la forme [w'"] ne soit pas nulle ; dans le premier
cas [wco'"] n'est pas nul ; dans le second cas [ww'"] est nul.

III. — Généralisation des formules de Poisson -Jacobi.

130. I. Supposons que la forme 10 soit du premier type. — Soit/ une inté-
grale première quelconque de son système caractéristique; la forme [w'^d/]
est invariante et d'ordre maximum an + 1. On peut donc poser

où l/l est une quantité finie linéaire par rapport aui dérivées partielles du
premier ordre de la fonction/. Cette quantité \f\ est, ou une constante, ou une
intégrale première des équations caractéristiques de w.

iSa LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Soient maintenant deux intégrales premières / et gf des équations caracté-
ristiques de co. On peut définir une quantité (fg) par la relation

n[toa)'"-'c(/a^] = (fg) [ww'»] ;

cette quantité {fg) est encore une constante ou une intégrale première.
Si la forme w a été réduite :

du-hzidyi + ... + z„dy„

\f\

îf.

d«

f àZ,- Vôji 'àuj àZi\dyi "■' OU

(/^)=2d u--^.

De là on peut déduire sans difficulté les identités importantes

(U9)i') + {(g/^V) + ((V)j) = (/s) ! A I + (s*) \fi -<-(¥) \9\-

131. Pour démontrer directement ces identités, remarquons que la forme
df — }/}w est une combinaison linéaire des 2n formes linéaires indépen-
dantes au moyen desquelles peut s'exprimer w', puisqu'on a

On en déduii immédiatement une identité de la forme

n[u,'-^(d/ -\f\^){dg-\g\ ,0)] = X[co'n]
et la multiplication extérieure par w donne X = (fg)- On a donc

(1) n[a,"-* dfdg] - n\f\ [coco'-'ds,] ^ n\g\ [cou,'-V/] = (fg) [(.'«].

L'identité (8) du n" 68, appliquée aux trois formes linéaires df — \f\ w,
dg — [ g \ oif dh — j /i { w, donne alors

\fg)[o."^-\dh-{ /i j a,)] + {gh) K«-«(rf/~ \f\ 0.)] +(V) [u>"^-^{dg-\ g \ co)]

= {n-i)[.>'n-.fdf-\f\^)(dg-\g\^){dh-\h\.^)],
d'où on déduit, par multiplication par w,

(2) [o.u>'-'-^{(fg)dh + {gh)df + (hf)dg)] = (n - i) [u^^'-'^dfdgdh].
Cela posé la dérivation extérieure de l'identité (i) donne

n[toco"-«d|/j dg] + n[o,o/--^dfd\g \]=[u>'nd{fg)],
c'est-à-dire la première identité à démontrer :

{U\9)-^U\9\) = \(M-
La dérivation extérieure de l'identité (2) donne ensuite

[o>'-{{fg)dh + {gh)df+ {hf)dg)] - [^i^'--'d(fg)dh] - [^uy'n-id{gh)df]
— [iOio'r'-id{hf)dg] = in—î) [i^'n-idfdg dh] ;

ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU l33

mais d'autre part la multiplication extérieure de (i) par dh donne
n[ia''^-'dfdgdh] — n \f\ [uio>'''-'dg dh] -hn\g\ [coto'" -'(//cf/ij = (fg) [i^'"dh] ;
on déduit de cette dernière formule

n\..'n-idfdgdh]=[\f\{gh) -^ \g\(hf) ^ \h\ {fg)] [coo)'»]
et de la précédente l'identité à démontrer

132- Supposons maintenant que la forme to soit du second type. — On défi-
nira de même, étant données deux intégrales premières / et gf des équations
caractéristiques de w, les quantités }/| et (fg) par les formules

n[a>co'"-'d/]=|/JK'].
n[u>"^-^dfdg]=(fg)[^'"].
Si w est la forme réduite

w = Zidyi -4- z^dyz + ... + zjyn,

on a

\f\ = -{-'é-<----^.

(A)=2(.t|,-|g>

On

vérifie alors sans difficulté les formules

(3)

S(/9)j=(/») + (l/S9) + (/|ji);

(A) {(f9)h)-^{(gh)f)+{{hf)g)=o,

dont la seconde n'est autre que l'identité de Jacobi, puisque/, g, h sont des
intégrales premières des équations caractéristiques de co'.

Pour démontrer directement la première identité appliquons l'identité (8)
du n° 68 aux trois formes linéaires w, df, dg ; les relations

n[o^'--^o>df] = \f\[u>'nl
n[u>'n-idfdg] ^ (/5)[a>'n].
n[o>'"-'dgoj]= — \g\[i^%
conduisent à l'identité

h'"~K \fU9 H- if9)^ -\9\df)] ={n- i)K«-W/rf3]
qui, dérivée extérieurement, donne

[^'"-'dlfldg] + [u.">-^dfd\9\ ] -h (^)K"] - H'n-id(/3)]

= (n-i)[o>'n~^dfdg];

en remplaçant chaque terme par sa valeur et simplifiant, on obtient l'identité
à démontrer.

l34 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

ni. — Utilisation d'intégrales premières connues.

133. Supposons que la forme w soil du premier type et que nous connaissions
p intégrales premières indépendantes j,, ..., jj, de ses équations caractéris-
tiques. Nous formerons les quantités | j, |, (jo'j) ; si elles introduisent des
intégrales nouvelles, nous les ajouterons à celles qui sont données et nous
recommencerons l'opération jusqu'à ce qu'elle ne donne plus aucune intégrale
nouvelle. Nous pouvons donc supposer ce premier résultat obtenu, c'est-à-
dire que les quantités | jj | = a,, [y-iji) = aij sont des fonctions de jj, ..., jp.

Si nous introduisons maintenant des variables auxiliaires $i, ..., Çp, nous
obtenons deux formes, l'une linéaire

l'autre quadratique extérieure

la première indique la valeur de la quantité | / j lorsque / est une fonction
arbitraire de ji, ..., jp admettant pour dérivées partielles ^j, .... Ç^ ; la se-
conde, ou plutôt la forme bilinéaire alternée qui lui correspond

indique la valeur de la parenthèse (fg).

Cela posé nous allons, par une substitution linéaire convenable sur les
variables ii, réduire les deux formes précédentes.

Trois cas sont possibles ; la forme * étant réduite à

on peut avoir

a) 9 = 0,

C) 9 = ^2,4,.

Une substitution linéaire à coefficients fonctions des j;, efiectuée sur les oj,,
donnera/) formes difTérenlielles nji, ..., Wp satisfaisant à l'identité

?i'^i -h ?2'cJî + ... -h ^p'cjp ==z ^jûji + ^gSj! -!-... + ^pOJ,-
Cela posé dans le cas a), toutes les formes

sont nulles, sauf

On en déduit facilement

<0' = [nSiXJSi] -h ... 4- [x!Siq_iWzq] -}- [1^23+1^1] "h • • •

-H Kwp_jj] 4- K-25+i wp-sç+î] -h ...

ÉQUATIO?<S A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU l35

En égalant les j; à des constantes arbitraires, la forme w reste du premier
type et le rang de w' est réduit de 2/) — aq unités. Le cas est identique à
celui qui a été étudié dans le Chapitre précédent, les intégrales premières
données étant des intégrales du système caractéristique de w'.

Dans le cas b), on a

[w'"(nTj — 10)] = [^'"inîj = ... = [w'"cjp] = 0,
et ta' est réductible à la forme
0/ = [(^1 — 01)^2] H- [CT3Î04] H- ... -h [tnsj-iTOîg]

-f- l^Zq+itùi] -{- ... + [cTpWp_ïg] + [oJp-25-l-l tOp_2,+î] H- ...

En égalant les j^ à des constantes arbitraires, la forme w reste encore du
premier type et le rang de w' est réduit de 2p — 29 unités.

Dans le cas c), on a

[u)'"Wi] = ... = [0)'"ra2,] =:= [w'»(r!Jjç4_i —Oi)] = ... = [w'"T5p] = O ;

la forme w' est réductible à

W' =: [cTjCJ,] -t- ... + [r^2q-l^iq] "+- [(^Sç+l ^)^l] + •••

-h [WpWp_jç] + [it>p_2q+l'^p-iq+i] + ...

En égalant les j, à des constantes arbitraires, la forme w devient du second
type, le rang de w' est réduit de ap — 2q — 2 unités; le système caractéris-
tique de la nouvelle équation w = o est formé de 2« — 2p -\- aq -h i équa-
tions. Dans ce cas l'intégration exige des opérations d'ordres

an — 2p + ag H- i, ..., 3, i,

tandis que, dans les cas a) et b), elle exige des opérations d'ordres

2/1 — 2p + 2q, ..., 2, o.

En résumé la forme w reste du premier type si le produit extérieur [<p*]
est nul, et devient du second type dans le cas contraire.

134. Supposons maintenant que la forme m soit du second type. — JNous
avons encore ici deux formes

«p = a,^i H- ... -ha/çp,

Les coefficients a,y étant donnés par les équations

n [w'"- ' dyidvj] = a.^fw'"] ,

le rang de w' est réduit de 2p — ag unités lorsqu'on égale les intégrales y, à
les constantes arbitraires, si 2q est le rang de la forme «ï>.
La forme * étant réduite à sa forme normale

* = [^iV] + ...H-[^Vi^'2î].

l36 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

on peut supposer qu'on a en même temps, pour 9, l'une des trois formes
suivantes :

a) 9 = 0,

b) <? = ^/,

C) 9 = ^'2,+!.

Le cas a), d'après l'identité (3), exige que toutes les parenthèses (j,j;)
soient nulles, c'est-à-dire que la forme * soit identiquement nulle. On a
donc g = o. Dans ce cas on a évidemment

w' = [wwi] -h [toiW;] + ... h- [TnpW,,^i] -f- [iàp-\.2 ^p+s] H- •••

La forme w reste du second type, le nombre n étant diminué de p unités.

Dans le cas b), on a

et w' est réductible à la forme

to' = [tîTiW,] -h ... + [^25-1 ^29] -+- [(w + ^2)^1]

4- [to2, + iWj] + ... + [T^pOyj,-tq+l] -4- [Wp_29-f S Wp_2, + 3] + ••.

En égalant les j^ à des constantes arbitraires, la forme i» reste du second
type, le rang de o^' étant diminué de 2/) — 2g unités.

Dans le cas c), w' est réductible à la forme

w' = [toiTOs] 4- ... -h [r^iq-iTjy^g] 4- [wtos^+i] + [^29+2^1] -+-...

En égalant les jj à des constantes arbitraires, la forme w devient du premier
type, le rang de co' étant diminué de 2p — 29 unités.

En résumé la forme w' reste du second type si le produit [9*] est nul, et
devient du premier type dans le cas contraire.

135. Nous avons en résumé obtenu quatre problèmes réduits essentielle-
ment distincts, en faisant abstraction des deux cas a) dont l'un a été traité
dans le Chapitre précédent et l'autre correspond à la connaissance de p inté-
grales premières en involution du système caractéristique de l'équation w = o.

On peut examiner d'un peu plus près les quatre problèmes réduits et se
demander si tout le parti possible a été tiré des intégrales premières connues.
La méthode pour répondre à cette question est la même que celle qui a été
employée dans le Chapitre précédent ; elle repose sur la réduction de w à une
forme canonique faisant intervenir p fonctions convenablement choisies de
Ji> •••' Jp 6t d'autres intégrales premières indépendantes. Cette forme cano-
nique étant obtenue, on en déduit les équations du plus grand groupe de
transformations qui, effectuées sur les courbes intégrales, conservent les
données.

Nous allons indiquer rapidement les formes canoniques de w et w' dans
chacun des quatre cas, les calculs pour y arriver se faisant de la même
manière qu'au Chapitre précédent (n° 125).

ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉéGRAL LINÉAIRE ABSOLU 10 J

1" La forme w est du premier type et les formes tp e/ 4» sont réductibles à

cp = $/, * = [;.v] + ... + [r,,-,Jv].

On a dans ce cas

lù' = [(ro, — to)TOj] -h [rD-iW.,] H- ... -4- [cTa,,-! t7t,J

En posant

n = [toiCTî] -+-...-+- [cÎ25_inTjg],

la dérivation extérieure de w' donne, si on néglige les termes en

l'identité

n' — [nra,] -}- [wras'] -4- [ro's,.,., Wi] + ... + [rap'wp_îj = O.
On peut alors poser

cj, = -i^-, CT, ^^1 = clj2,+i, ..., ^p = dy^ ;
la dérivée extérieure de la forme — II étant nulle, on peut ensuite poser

n =y^.i[dhdy^] + ••• + [d}2q-id},,]).

On a finalement

+ [dj2î+lWi] + ... + [dypi>ip-2q] 4- ...

Le résultat peut être mis sous une forme plus intuitive, en posant

a> = ^ W — Jld/2 — ... —yiq-ldyiq.

On obtient en effet

0>'=[(iy2î+lWi]-h...+[c?JpWp-29]-f-[Wp_27+lWp_2,+2]-t-..--|-[<»5n-p-lW2rt-p]-

Sous cette forme on voit avec évidence que tout le parti possible a été tiré
des intégrales connues.

On a en outre obtenu les relations canoniques

\yi\ = ^' iyi\ = o (i = 2, ...,p);

(J1J2) = (J3J4) = ... ={yiq-iy2q) = J2»

toutes les autres parenthèses étant nulles.

a° La forme w est du premier type et les formes ç c< * sont réductibles à

l38 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

On a dans ce cas

W' = [TO1TD2] -+-... + [cJ2g_,W2ç] -h [(nJ2ç+, — œ)cOi] 4- ...
-i- [T!IpU)y_2,] H- [Wp_294.l Wp_254.j] + . . .

La dérivation extérieure du second membre montre facilement qu'on peut
poser

^27+2 = dy^q+z, ..., TOp = dyp,

^iq + l= <^j2î+l + jWj2 + ••■ -hyiq-ldyzq,

U = [d},dy,] + [dy.dyf] + ...-+- [dj2,-iciyîj.
En posant

W = — W + dy^q^i H- Jirf/2 4- ••• + J2ç-Wj25,

on obtient

tO- = [wWiJ -h [cijag+îW,] + ... H- [djpWp_2,] -+- [wp_2,+ lWp_2ç+2]4-...,

formule mettant en évidence lé fait que tout le parti possible a été tiré des
intégrales données.

On a en outre obtenu les relations canoniques

S72,hJ = i.

(J1J2) = ... = (725-172,) = 1.

. (jl72î + l) = — Jl, iy-cj^q+i) = —y3, ..., {y%q-iytq+i) = —729-1'

toutes les autres quantités \yi\, (jijy) ét»nt nulles.

3* La forme co est du second type et les formes tp ei <ï> sont réductibles à

o = u', 'ï> = [^iV]-^... + [r2,-ir2,].

On a dans ce cas

Oj'=[nTiTO2] 4-. . .+[ra25_iroîç]H-[(cO-hnJ2)tOi]-f-[TOj5 + lC02] -h. . . -l-[TOpWp_2g+l]-h. . .

Posons encore

n = [nJiTOî] + ...-+- [^25-1^25]
et dérivons extérieurement co' en négligeant les termes en

tO -h TO2, ^2g+l> ■.., ^p) t«^;j-2î4-2. •■.

Nous obtenons

n' -h [nwj + [tos'wi] h- [^'25^10)2] -h ... -h [nTp'wp_2î-! 1] = o.
Cette identité permet de poser

^2ç+i = clj29+i, ..., ^p = c?jj,;

on voit ensuite qu'en regardant 72?+]» •••, 7p comme des constantes, tuj' est
égal à — n de rang 2ç, l'équation tuj = o faisant partie du système associé
de rsi'. On peut donc supposer

^2 = — (71^^72 + •••-+- 72?- W7 29)

ÉQUATIONS A UN INVARIANT IISTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU iSq

En posant enfin

10 = (0 4- ^2 = O) — jWjî — ... — Jiq-idjiq,

on obtient

w' = [tooii] + [dy ig+iOii] 4- ... ■+- ldypWp_ig^i'] + ...

On voit que tout le parti possible a été tiré des intégrales connues et on
arrive en outre aux relations canoniques

(W) = IjsjJ = ... = (j25-ljî,) = 1,

loutes les autres quantités |j, j, [yiyj ) étant nulles.
4° La forme to est da second type et les formes (f et <P sont réductibles à

Cp = $'25+1, * = [^,12'] + ... + [k'H-iViç]-

On a dans ce cas

to' = [t3inTj]+...-t-[nJïç_iTOîg]4-[cOTIT23-fl] + [w2g4.îWi]-i-...-i-[cTpU>p_î5_i]-f-...

En conservant la même signification que plus haut à la lettre n, on a, en
négligeant les termes en

l'identité

ir+ [ncjîç+i] — [wGj'2g+i]+[rn'îj+ja)i] + ... + [V^p-aî-O = °-
Les dérivées extérieures TO'2gfi,cj'j,^_j, ..., ra^' sont nulles avec nj2,-|_i, ...jTOj,;
on peut donc poser

^îg+l = -i-^3±} ^ cj2,+2 = cfj2î+2. •••, ^p = djf
J2,+ 1

La dérivée extérieure de la forme j2p+in est alors nulle quand on regarde
j2q+2, "-, yp comme des constantes. On peut donc poser

Jîs+iH = [dyidy.J -+-... -H [dy ig_idy ^q].
Finalement, en posant

W = J29 + 1W — Ji(^Jj _ ... _ J2ç_idjj5,

on obtient

W' =[t^/2g+2tOl] -h ... 4- [tij'pWp_2g_,] H- ...

On voit avec évidence que tout le parti possible a été tiré des intégrales
connues. On a en outre obtenu les relations canoniques

(ji/î) = (jsyi) = ••• = (j2,_lj2î) = Jj. + l,

toutes les autres quantités iyA, {y^yj) étant nulles.

CHAPITRE XIV.

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES QUI ADMETTENT
UNE ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE.

I. — Méthode générale d'intégration.

136. Nous avons déjà rencontré (n° 104) le système caractéristique d'une
iquation de Pfaff

(i) oj ^ Uidxi -+■ ùzdxi ■+-...-+- ardxr = o ;

il est formé par les équations

(^)

dco'

Oi

tti

ÔO)

<i{dXr)

ttr

dont les r — i dernières fournissent le système associé de la forme quadra-
tique extérieure w', quand on y suppose les variables liées par la relation ut = o.

Ce système caractéristique a également été rencontré au Chapitre précédent
(n" 128) à propos d'une expression de Pfaff w du second type.

Le nombre des équations indépendantes du système caractéristique (2) est
toujours impair ; on peut en effet, en tenant compte de la relation w = o,
mettre w' sous la forme

O)' = [crtiCûa] -f- ... + [w2n-i*^2n] (mod. w),

en désignant par wj, coj, ..., W2„ des formes différentielles linéaires indépen-
dantes entre elles et indépendantes de w. Le système caractéristique de
l'équation ( i ) est alors défini par les équations

w = tOj = toj == ... = a)j„ = O.

L'entier n est, comme on voit, le plus grand entier tel que la forme [wo/"] ne
soit pas nulle. La classe de l'équation ui = o est égale au degré de cette
forme.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE l/Jl

137. Il est facile de retrouver une forme canonique pour l'équation (i).
Soit en effet 71 une intégrale première quelconque du système caractéris-
tique (2) ; si l'on égale ji à une constante arbitraire Ci et dyi à zéro, le rang
du système caractéristique de la nouvelle équation (i) est réduit au moinS
d'une unité, et, comme ce rang est impair, il se réduit au moins de deux unités.
Soit y, une intégrale première du nouveau système caractéristique. En po-
sant

Ji = Cl, j2 — C2 ; dyi — o, dy2 = 0,

le rang du système caractéristique de l'équation donnée est réduit d'au moins
quatre unités et ainsi de suite. Finalement au bout de /i -4- i opérations au
plus, l'équation a) = o sera identiquement vérifiée ; autrement dit cette équa-
tion est de la forme

Zidyi H- z^dy^ 4- ... + Zqdy^ -+- dy^+i = 0 (q < n).

L'entier q est du reste égal à n, sinon l'équation (i) pourrait s'écrire au
moyen de moins de an + i variables.

Donc si le système caractéristique de Véqixalion (i) est de rang an -4- i, cette
équation est réductible à la forme

dyn+i -H zidyi H- Zidy^ +...-}- z^dy» = o,
et les quantités

Jl» •'•) Jn+t ', 2^1. ••., ^n

conslitaenl un système d'intégrales premières indépendantes des équations caracté-
ristiques.

On voit que par cette méthode la réduction de F équation (i) à sa forme cano-
nique, et par suite Vintégration de son système caractéristique, exigent n + .1
opérations successives d'ordres

an +1, an — i, ..., 3, 1,
et des différentiations.

138. On peut remarquer, comme au Chapitre XII (n° 120). que la connais-
sance de N >> n 4- i intégrales premières

telles que l'équation (1) soit identiquement vérifiée en égalant ces intégrales
à des constantes arbitraires, permet d'achever par des différentiations l'inté-
gration des équations caractéristiques. L'équation (i) peut en effet se mettre,
d'une manière et d'une seule, sous la forme

djN -h zidyi -+- z^dyi + ... -H z^-idy^-i = O,

et on démontre que les coefficients Zi, ..., zv-i sont encore des intégrales pre-
mières des équations caractéristiques.

i^'2 LEÇo:<s sua les invariants intégraux

Plus généralement on peut se proposer de voir à quoi se léduit l'intégra-
tion du système caractéristique quand on connaît un certain nombre r d'in-
tégrales premières indépendantes de ce système.

139- Intégrales premières en involuiion. — Nous dirons que deux intégrales
promières/et g du système caractéristique de l'équation (i) sont en involuiion
si l'on a

(3) [on)}'"'--^dfdg] =■ o ;

cette définition est évidemment indépendante du choix des variables et aussi
indépendante du facteur arbitraire par lequel on peut multiplier le premier
membre de l'équation (i).

La propriété de deux intégrales premières d'être en involuiion entraîne la
conséquence importante que le rang du système caractéristique se réduit de
quatre unités quand on suppose les variables liées par les deux relations

/=G, g = C',

où G et C sont deux constantes arbitraires. La condition (3) exprime en effet
que, si on suppose df = dg = o ainsi que w = o, le rang de o/ est inférieur
à an — 2 et par suite égal à an — ■ Zj.

II. — Utilisation d'intégrales connues.

140. Cas où on connaît p intégrales premières y i, ..., y p indépendantes en
involution deux à deux. — Dans ce cas il résulte des développements du
Chapitre VI (n" 67) que le rang de w', quand on y suppose les différentielles
liées par les relations

w = o, dyi ==o, ..., dyp =z o,

est réduit à an — ap. Le système caractéristique de l'équation (i), où on sup-
pose les variables liées par les relations

Ji=G,, j2=G„ ..., jp = Cp,

est donc de rang an — ap -i- i, et son intégration exige des opérations
d'ordres

an — ap -h i, an — ap — i, ..., 3, i

suivies de différentiations.

Le cas qui vient d'être examiné est celui où le rang du système caractéris-
tique est réduit d'emblée du nombre maximum ap d'unités.

141 . Cas où les intégrales premières données ne sont pas toutes en involution
deux à deux. — Ici la réduction du rang du système caractéristique, quand
on y égale les intégrales premières données à des constantes arbitraires,
n'atteint pas sa limite supérieure ap. En revanche on peut déterminer un m-

ÉQUATIONS Dlt'FÉHENTiELLES ET ÉQUATION DE Pl'AFF INVARIANTE l/j3

variant intégral absolu linéaire pour les équations caractéristiques, ce qui, dans
certains cas, peut produire une réduction du problème de l'intégration bien
plus grande que dans le premier cas, en apparence le plus- favorable.

Supposons en effet que ji et y^ soient deux intégrales premières non en
involution des équations caractéristiques; on aura

n[unû'"~'dyidy2] = A[a)a)'»],

le coefficient A n'étant pas nul. Il existe une infinité de fonctions (inconnues)
m telles que

TTJ = mco

soit une forme invariante, c'est-à-dire puisse s'exprimer au moyen des inté-
grales premières des équations caractéristiques et de leurs différentielles. On
a pour une telle forme

to' = moi' -h [dmco]
et par suite

[oîro'"-'ofj,f/j2] =■ m"[coto'"-'c//if/j'j}.
[rara'"] =m"+'[ww'»].

On a donc, par comparaison,

n[T^v,'"-'dy,dy,]^-[v,rn"*].

.A

Les deux formes entre crochets sont évidemment invariantes ; par suite —

'■ m

est une intégrale première ; donc

A A

m

est une forme invariante. C'est le résultat auquel nous voulions parvenir :

Si l'on connaît deux intégrales premières ji, jj telles que la fonction A définie
par l'égalité

n[txiui''*~^dyidyi] = A[wto'"]

ne soit pas nulle, la forme linéaire Aw est une J or me invariante absolue.

Remarquons en outre que les variables en nombre minimum au moyen
desquelles peut s'eïprimer la forme Aw sont évidemment les an -f- i inté-
grales premières des équations caractéristiques données ; le système caractéris-
tique de la forme Aw est donc confondu avec celui de l'équation (i) et par suite
de rang impair. La forme Aw est du premier type.

142. On peut rattacher le théorème précédent à une méthode d'intégration
susceptible d'une grande généralisation et consistant à intégrer les équations
caractéristiques de la forme uw, où u est une variable auxi/iaiVe. Il est évident
en effet qu'à toute solution de ces équations correspondra une solution des
équations caractéristiques de l'équation w = o, à savoir celle qu'on obtiendra
en éliminant la variable auxiliaire u entre les relations qui définissent la
solution.

l44 LEÇONS SUR LES IMVARIANTS INTÉGRAUX

La forme uw est évidemment du second type et la méthode générale d'in-
tégration de ses équations caractéristiques exposée au n* 128 est identique à
celle qui a été rappelée au n" 137 pour les équations caractéristiques de
l'équation w = o. Il n'y a donc, si l'on ne sait rien a priori sur les intégrales,
aucun avantage à substituer la considération de la forme um à celle de l'équa-
tion (0 = 0. Mais l'avantage devient évident si l'on connaît a priori des inté-
grales premières des équations caractéristiques, car on peut appliquer à
l'intégration des équations caractéristiques de la forme «w la méthode d'utili-
sation exposée au n" 134. En particulier, si l'on connaît deux intégrales
premières ji et y^ des équations caractéristiques de l'équation w = o, on a

[ ji S = o. \yi\ = o,

et le calcul de la parenthèse (jijs) définie (n° 132) par

(n + i)[(uw)'»djidjj] = (7,72)^"»+',
donne, en développant et égalant les termes qui contiennent du,

où A est la quantité définie au numéro précédent. On pourrait continuer

l'application de la méthode générale en conservant la variable auxiliaire u,

(A)
formant la quantité ) -( , les parenthèses de cette quantité avec ji et js, et ainsi

A

de suite. On peut aussi remarquer que - étant une intégrale première des

équations caractéristiques de la forme uw, la forme Aw est elle-même inva-
riante.

m. — Application aux équations aux dérivées partielles
du premier ordre.

143. Le problème de l'intégration des équations caractéristiques d'une
équation de Pfafï trouve une application immédiate dans la théorie des équa-
tions aux dérivées partielles du premier ordre. En effet intégrer une équation

■ni / dZ dZ dZ \

t (z, Xi, a?,, .... Xn-, — -, — . ...» — - ) =0
OU, en employant une notation classique,

(4) F(z, Xi, Xi, .... Xn-, Pi, P2, ..., Pn) — O,

c'est déterminer (n H- 1) fonctions z, pi, p^, .... p„ de Xi, x^, ..., Xn satisfai-
sant à l'équation (4) et à l'équation de Pfaff

(5) tù^dz — pidxi — pidx2 — ... — Pnd^n = o.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE 1^5

Or si l'on imagine que l'un des in -H i arguments z, x,-. jd,- a été tiré de
l'équation (4) en fonction des in autres, l'équation de Pfafî (5) ne contient
plus que 2n variables et son système caractéristique est' nécessairement de
rang impair an — i. Par suite, en tenant compte de l'équation (4). l'équa-
tion de Pfaff (5) est réductible à la forme canonique

(6) dz - i\d\, - :.. - p„..,c/x„_, = G,

oùZ, Xi, ..,,X„_t, Pj, ..., P„_i sont 2/1 — ! fonctions indépendantes : ce sont
les intégrales premières des équations caractéristiques de l'équation (5).

Cela posé supposons qu'on sache ramener l'équation (5) à la forme cano-
nique (6]. Comme l'intégration de l'équation (4) revient au fonda déterminer
entre z, x^, ..., x,j, /jj, .,., p„ un nombre de relations indépendantes égal à
n 4- i (dont la relation donnée (4)) telles que l'équation (5) en résulte, il
sulBra, pour arriver à ce résultat, d'établir entre Z, X,, ..., P„_i un nombre
de relations indépendantes égal à n et entraînant avec elles l'équation (6).
Or cela est possible d'une manière générale en prenant

Z=/(X„...,X„_,),

J désignant une fonction arbitraire de ses arguments. Plus généralement on
établira entre Z, Xj, ..., X„_i un nombre quelconque h <^ n à% relations
indépendantes

*i(Z, Xi X„_i) ^ G, *2 = 0, ..., */, = G, -

et on y joindra les relations obtenues en éliminant les paramètres homogènes
Aj, .... X/j entre les n — i équations

0,

144. Les équations

Xi = ai, ..., X„_i = «n-i»
Pi = 6„...,P„_. = 6„_i,
Z = c

définissent des multiplicités à une dimension, qui sont les multiplicités
caractéristiques de l'équation de Pfaff (5) (où l'on suppose les variables liées
par la relation (4)). C'est ce qu'on appelle les caractéristiques de Véqaalion aux
dérivées partielles (4). On voit immédiatement que toute surface intégrale est
engendrée par des caractéristiques.

E. Cartan. — Leçons sur les Invariants intégraux. «o

46

LEÇONS SUR LES INVABIANTS INTEGRAUX

Il est facile de former les équations différentielles des caractéristiques ; ce
sont en effet les équations du système associé de w', où l'on suppose les diffé-
rentielles des variables liées par la relation œ = o, et aussi par la relation
d¥ =-. o. On les obtient donc (n" 104) en adjoignant à l'équation (5) les
équations

à{dz)

^>{dx,)

ôw'

ôto'

ôw'

d{dx,)

• ô(rf/.„)

1

i

ôF

dz

-Pi

ôF

dXi

— Pt .
ôF

o

ôF

^Pi

0

ôF

qui peuvent s'écrire

(7) ^^=...=

dXn

- ôF -

àpn

-dp,

_

ôF

ÔZ

On retrouve les équations classiques

dpn

-àF'

IV. — La méthode de Cauchy.

145. La méthode qui vient d'être exposée revient au fond à l'intégration
des équations caractéristiques et à la réduction de l'équation (5) à sa forme
canonique (6), cette réduction résultant du reste de l'intégration, si celle-ci
est dirigée d'une manière convenable (n° 137). H est facile de voir que, quel
que soit le procédé employé pour intégrer les équations caractéristiques, la
réduction de l'équation (5) à sa forme normale est toujours possible, une
fois 1 intégration des équations caractéristiques effectuée. Il suffit en effet de
déterminer les intégrales premières qui, pour une valeur numérique donnée
a;° de a:„, se réduisent respectivement à

Z, Xi, .... Xn-i, Pi, ...,Pn'

Si on désigne par

Z, Al, ..., X„_i, Pi, ..., r,j

ces intégrales premières, nécessairement liées par la relation

F(Z, Xi. ...,X„_i,4;Pi, ..., P„):=o,

la relation (5), qui peut, comme on le sait, s'exprimer au moyen des inté-
grales premières, se réduira manifestement à

dZ — PidXi — ... — Pn_i dX„_i = O.

C'est là le principe de la méthode de Cauchy.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE 1^7

V. — La méthode de Lagrange. ,

146. La méthode de V intégrale complète de Lagrange se rattache facilement
aussi au point de vue précédent. L'équation

(8) V(z, xi, ..., x„; ai. ..., a„) = o

définit une intégrale complète si elle définit une fonction de z satisfaisant à
l'équation (4) quelles que soient les n constantes arhilTmTes ai, ..., a„. L'équa-
tion (4) est du reste la seule à laquelle satisfassent toutes les fonctions z
définies par (8); car l'élimination de ai, ..., a^ entre l'équation (8) elles
équations

ôV dV

(9)

-+- Pi — = o,

dXi ^ ÔZ

dV ôV

dXn ^ àZ

qui s'en déduisent ne conduit en général (et c'est ce que nous supposons)
qu'à une seule relation qui est naturellement l'équation (4).

L'équation (4) étant le résultat de l'élimination de aj, ..., cr„ entre les
(n -+- i) équations (8) et (9), intégrer l'équation (4) revient à satisfaire à
l'équation de P!atT (5), supposée à 3a + i variables z, Xj, pi, ai liées par les
(n -+- 1) relations (8) et (9). Or en tenant compte de ces relation», on a

ôV , ôV . dV ,
o = — az -\ dxi -h ... H doi -f- ...

02 àXi ôOi

ôV , , , j \ ?>V j ôV j

= -~ [dz — pidxi — ... —p„dxn) -h ^- rfoi -^- ... + r- ««n-

L'équation de Pfaff (5) est donc équivalente à l'équation

' — doi + ' — dai -h ... H- ' — da„ = G
dOi ôfls ôa„

mais cette dernière est réduite d'elle-même à »a forme normale en posant

Xi = a,, .... X„_i = a„_i. Z = a„,

p _ !^ p __ ^"n-i.
1-1 — ^, •••, fn-i — av

ôa„ dOrt

On voit que les caractéristiques sont définies par les équations
V = o,

h 0, — = 0, .... h o„_j — = 0;

c'est un résultat classique.

I^O LEÇONS SUR LES I>' VARIANTS INTEGRAUX

147. Appliquons le théorème du n" 141 au cas particulier d'une équation
à deux variables indépendantes

(lo) F{x,y, z,p, q} = o.

La connaissance de deux intégrales premières indépendantes u et u des
équations caractéristiques conduit, quand elles ne sont pas en involution, à
la détermination d'un invariant intégral linéaire pour les équations caracté-
ristiques. Cet invariant intégral est Aw, où A est défini par l'égalité

[(jôdudv] = A [coco'],

ou plutôt, comme on suppose ici les variables liées par la relation (lo),

[dFwdadv] = A[JFcoco'].

Prenons en particulier dans les deux membres les termes en [dxdzdpdq],
nous trouvons

bq

Si donc le déterminant du second membre nest pas nul, Vexpression
A(dz — pdx — qdy) est une forme invariante pour les équations des caractéris-
tiques. *

VI. — Equations aux dérivées partielles du premier ordre
admettant une transformation infinitésimale.

bF ôF

ôF
bp

ôF
bq

bU , ^ ÔU

bu

bu

h- p —

bx ^ bZ

bp

bq

bV bV

bv

bv

^-^P^z

^p

^

148. Si l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

(li) F{z,Xi,...,Xn,pi,...,Pn)=0

admet une transformation infinitésimale A/ portant sur les variables
z, Xi, ...^ Pn, cela signifie que tout système de n -h i relations entre ces
2n + i variables qui définit une multiplicité intégrale est changé par la
transformation en un autre système de n + i relations définissant encore une
multipHcité intégrale. Par suite, en tenant compte de l'équation (Zi), l'équa-
tion de Pfaff

(5) 0) ^ dz — pidxi — ... — p,idx„ = o

admet la transformation infinitésimale A/. Il en résulte immédiatement
(n° 97) que la forme linéaire

Co(o) 8z PlOXi

PîOg'2

Pn'-^Xn

co(A) A(z) — piA(a;i) — p2A(a;2) — ... — PnA(x„)
est invariante pour le système d'équations différentielles des caractéristiques.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE 1^9

La connaissance dune transforniaiion injlniiésiinale entraîne donc la connais-
sance dun invariant intégral linéaire pour les équations des caractéristiques et par
suite l'intégration de l'équation donnée, qui était un problème du second type
exigeant des opérations d'ordres

an -f- 1, an — i, ..., 3, i,

est ramenée à un problème du premier type exigeant des opérations d'ordres

an, an — a, .... a, o.

149. Un exemple classique est celui où Téquation donnée (i) ne dépend
pas explicitement de z : il est évident alors que de toute solution de l'équation
on en déduit une autre en ajoutant à z une constante arbitraire ; autrement
dit l'équation donnée admet la transformation infinitésimale

A/

L'invariant intégral absolu qu'admettent les équations des caractéristiques
est alors

f.,=f^^

Pl^Xi — ... — PnOX„

La méthode d'intégration des équations de cette nature résulte de la théorie
du Chapitre XII. Les équations caractéristiques de u>' sont ici

dxt dxn — dpi — dp„ .

dF '*' "" ôF dF_ ■" àF '

^p^ dpn àXi ôa"„

une fois déterminées n — i intégrales premières en involution deux à deux,
l'intégration des équations caractéristiques de w se ramène à une quadrature,
l'expression w devenant une différentielle exacte quand on égale les n — i
intégrales premières à des constantes arbitraires.

VII. — La première méthode de Jacobi.

150. La première méthode de Jacobi pour l'intégration des équations aux
dérivées partielles du premier ordre se rattache aux considérations précé-
dentes. Jacobi ramène l'e'quation (4), supposée quelconque, à une équation
où ne figure plus la fonction inconnue, à savoir

Xn,

dV

dXi

dV

dX„

dZ

dz

ôV

Z,Xi,...,Xn,— ^^ — ^ 1=0.

En posant pour abréger

l5o LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

les équations caractéristiques à intégrer sont celles de la forme invariante
absolue

SV — u{oz — piOXi — ... — p„0Xn),

dont les 2n + 3 variables sont liées par la relation (4) ; elles admettent l'in-
variant intégral relatif

(il) 1 «(SZ — PlOXi - ... — p„8Xn).

et ce sont d'abord les équations caractéristiques de cet invariant intégral
qu'on intègre d'après les méthodes du Chapitre XII.

La méthode de Jacobi est à rapprocher de celle qui a été indiquée au n" 142,
avec cette différence que cette dernière utilise l'intégrale (ii) comme inva-
riant intégral absolu, la méthode de Jacobi l'utilisant comme invariant inté-
gral relatif. Du reste la méthode de Jacobi conduit à des opérations d'ordre»

3Al -+- 2, 2fl, ..., 2, O,

au lieu de

2n -+- 1, 271 — I, ..., I.

Son avantage est qu'elle permet d'utiliser la connaissance d'intégrales pre-
mières données en appliquant le théorème de Poisson-Jacobi. Mais cet avan-
tage est conservé par la méthode du n" 142 qui tire tout le parti possible
d'intégrales premières données. ^

VIII. — Réduction de certaines équations différentielles
à une équation aux dérivées partielles du premier ordre,

151. On peut maintenant se placer à un point de vue inverse de celui des
numéros précédents.

Considérons d'abord une équation de Pfaff à un nombre pair 2S de va-
riables, mais supposons que s -+- i seulement des coefficients soient différents
de zéro :

o) ^ atdxi -+- a^dx^ H- ... -f agj^idx.^j^i = o.

Les équations caractéristiques de celte équation de Pfaff sont évidemment
les mêmes que celles de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre à
s variables indépendantes Xi, x^, ..., Xg obtenue en posant

Xsj^i ^^ z, a^ -h pia,_}_i = o, ..., a^ + pA+i = o,

et en éliminant a:,+i, x^+i, .... x^^ entre ces s H- i équations. Il faut sup-
poser bien entendu que l'élimination est possible et donne une seule relation.

152. Considérons en second lieu un système d'équations différentielles
admettant un invariant intégral linéaire relatif I œ, la forme w étant à as -H i

EQUATIOJ^S DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE IJI

"variables, et [w'«] étant différent de zéro. Les équations différentielles consi-
dérées sont les équations caractéristiques de to'. Leur intégration peut être
ramenée à celle d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ne
contenant pas explicitement la fonction inconnue si les coefficients de s des
différentielles sont nuls dans w :

u) ^ Oidxi -+- Qzdxi -4- ... H- a,+ic/x,_,.j.
Considérons en effet l'équation de Pfaff

d\ — u) ^ cIV — a^dxi — a^dx^ — ... — as-\-\dxt^i = o,
et posons

Pi = o.i< Ps = «2, ..., ps+i = «s+lî
l'élimination de x, + 2< •••, ^^s+i entre ces s -h i équations conduit à une
relation

(12) F{xt, ..., x,^i; Pu ,... ps+i) = 0,

qui n'est autre que l'équation aux dérivées partielles annoncée. Les équations
différentielles des caractéristiques de cette équation sont formées des équations
des caractéristiques de w', auxquelles on adjoint l'équation

dV — io = o.

On se rend compte facilement que la méthode d'intégration, indiquée au
Chapitre XII, des équations caractéristiques de to' conduit aux mêmes opéra-
tions que la recherche des caractéristiques de l'équation aux dérivées
partielles (i a).

Si l'invariant 1 w est celui des équations de la Dynamique :

l'équation (12) n'est autre que celle de Jacobi

dV „/, ôV à\\

153. La méthode de Jacobi pour l'intégration des équations de la Dyna-
mique repose donc au fond sur l'identité de deux problèmes d'intégration,

celui du système caractéristique d'un invariant intégral linéaire relatif / w,

et celui des équations caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles
du premier ordre admettant une transformation infinitésimale {par exemple
ne contenant pas explicitement la fonction inconnue). La nature du pro-
blème est déterminée dans les deux cas par l'existence d'un invariant inté-
gral J O).

Cette méthode de réduction à une équation aux dérivées partielles ne
réussit que si la forme w à as -h i variables admet s coefficients nuls, mais il
ne faudrait pas croire pour cela que, dans le cas où cette particularité ne se

102 LEÇONS SUR LES INVARIANTS LNTÉGRAUX

présente pas, l'intégration des équations caractéristiques de lo' soit un pro-
blème plus compliqué que la recherche des caractéristiques d'une équation
aux dérivées partielles du premier ordre ne contenant pas explicitement la
fonction inconnue, ou, ce qui revient au même, l'intégration d'un "système
d'équations différentielles canoniques. Au fond limporlance des équations cano-
niques tient uniquement à leur propriété d'admettre un invariant intégral 1 m et non

pas à leur forme simple : c'est l'existence de l'invariant intégral qui est la pro-
priété fondamentale d'où toutes les autres dérivent.

IX. — Remarques sur la nature des principales
applications pratiques de la méthode de Jacobi.

154. — En fait la plupart des applications fécondes qu'a eues en Dyna-
mique la méthode de Jacobi ont leur origine dans des simplifications que
présente la recherche d'une intégrale complète de l'équation aux dérivées
partielles de Jacobi, obtenue comme somme de fonctions dans chacune des-
quelles ne figure qu'une partie des variables Çj, ..., g„ autres que t. Mais ces
simplifications peuvent être mises en évidence indépendamment de tout
recours à la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre
et de l'intégrale complète.

Soit en effet u> une forme différentielle linéaire à 2s -4- i variables que nous
désignerons par

X^, ..., Xzs, l.

Supposons que w puisse se décomposer en une somme de p termes

O) = Wj + 0)2 + ... H- to^„

la forme co; étant construite avec un certain nombre 2/1, des variables x et la
variable t, de manière que les variables x qui entrent dans la formation de
deux quelconques des formes wi, ..., w^ soient différentes. On aura par suite

s = hi -h hz -{- ... -h hp.

Si l'on suppose la forme quadratique extérieure w' de rang 2s, il est né-
cessaire que les formes wi', 102', ..., Wp' soient respectivement de rang
a/ij, a/ij, ..., a/ip. La réduction de chacune de ces/j formes à sa forme cano-
nique entraîne alors la même réduction pour w'. Par suite l'intégration des
équations caractéristiques de to' revient aux intégrations des équations caractéris-
tiques de Cl)/, 0)2', ..,, Wp', et les p problèmes correspondants peuvent être
résolus indépendamment les uns des autres.

Une simplification encore plus grande se produit si les nombres ki des va-
riables x (différentes pour les différentes formes Wj) qui entrent en même
temps que t dans la constitution de ces formes, n'étaient pas tous pairs. Dans
ce cas-là, la variable t serait une intégrale première des équations caractéris-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE l53

tiques de co' : en donnant en etîetà t une valeur constante arbitraire, le rang
de la forme quadratique w/ serait réduit

pour ki pair à /c; au plus,
pour ki impair à A\ — i au plus ;

or 2s est égal à la somme de tous les ki ; le rang de w' serait donc, pour t
constant, inférieur à as, ce qu'il fallait démontrer. On voit de plus qu'il ne
peut y avoirquec/eua: des nombres /c, qui soient impairs et la réduction de w' à
sa forme normale, quand on y fait t constant, est fournie par les réductions
à leurs formes normales de w/, ..., w^', quand on y fait également t cons-
tant.

CHAPITRE XV.

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES QUI ADMETTENT
PLUSIEURS INVARIANTS INTÉGRAUX LINÉAIRES.

I. — Cas où on connaît autant d'invariants intégraux
qu'il y a de fonctions inconnues.

155. Nous n'aborderons pas dans ces Leçons le problème général de l'inté-
gration d'équations différentielles admettant un nombre quelconque d'inva-
riants intégraux. Bornons-nous au cas particulièrement simple où un système
de n équations différentielles ordinaires du premier ordre à n fonctions in-
connues admet n formes linéaires invariantes (indépendantes)

Wi, «2, ..., W„,

c'est-à-dire n invariants intégraux absolus linéaires

I o),, 1 W2, ..., I a)„.

Dans ce cas particulier les équations différentielles données peuvent s'écrire

(1) lOj == Wj = ... =: (!)„ = O.

Les formes quadratiques extérieureswi',wj', ..., w/ étant invariantes, peuvent
s'exprimer au moyen de toi, ..., w^ par des formules telles que

(2) w/= 2^ Ci^,[iùiUi,,] (s = 1, 2, .... n).

Les coefficients c,vtj sont manifestement des intégrales premières des équations
différentielles données. Nous allons voir qu'on peut toujours se ramener au
cas où ce sont des constantes.

Supposons en effet que parmi les intégrales Ci^, il y en ait un certaia
nombre r indépendantes, que nous désignerons par

ÉQUATIONS A PLUSIEURS INVARI^ANTS INTÉGaAUX LINÉAIRES l55

les Cih, sont donc des lonctions déterminées de ces r intégrales. Chaque diflé-
renliellc dji est à son tour une l'orme invariante qui peut s'exprimer linéai-
rement au moyen de cuj, ..., w„ :

dyi= f>ii(Oi -+- fe.jw, -h ... -t- 6,„w„ {i= I. 2, .... r).

Les coefficients 6/^ sont à leur tour des intégrales premières; si parmi
celles-ci, il y en a r' indépendantes entre elles et indépendantes des ji, leurs
dilTérenlielles dyr^^, .... dy,.j^/ pourront aussi s'exprimer linéairement en
fonction des Wj et les coefficients pourront fournir de nouvelles intégrales
premières, et ainsi de suite. II arrivera un moment où ces opérations auront
une fin et on arrivera à un certain nombre ç> ^ n d'intégrales premières
ji, .... jp telles que les coefficients cu,, des formules (2) et les coefficients but
des formules
(3) dyi = 6,1 w, + ... -h 6,.„w„ (i — 1, 2, ..., p)

soient des fonctions déterminées de ji, j2 Jo-

Cela posé, supposons, pour fixer les idées, que le déterminant obtenu en
prenant les p premières colonnes du tableau des bu, ne soit pas nul. On pourra
alors substituer aux p formes invariantes wj, ,.., w les formes invariantes
rfji, ..., dy . Si on attribue aux jj, ..., y des valeurs constantes arbitraires,
le système d'équations à intégrer admettra n — p formes invariantes w-^,.. .,
w„ et on aura

p + i,...,n
10/ = ^ Ci4w.<0;i.] (s = p 4- 1, ..., n),

{ik)

les coefficients 0,7^, étant maintenant des constantes.

156. Prenons donc le cas où dans les formules (2) les coefficients Ciks sont
tous constants. Il est d'abord facile de voir que réciproquement l'existence
de relations telles que (2) entraîne comme conséquence la propriété de»
formes wj, ,..,to„ d'être invariantes vis-à-vis des équations différentielles (i) :
le système caractéristique de l'ensemble des formes coj, wj, ..., w„ s'obtient en
effet (n° 78) en ajoutant aux équations (1) les équations des systèmes associés
de o)/, wj', ..., o),/, équations qui sont toutes des conséquences des équa-
tions (i).

Si l'on substitue aux formes wi, ,.., w„ des combinaisons linéaires à coeffi-
cients constants

/ w, = «1,0^1 -H «ijO), -+- ... -h a,„a)„,

(4) y_

ces n nouvelles formes sont encore invariantes et on a encore des relations

'/= 2d ^'t'Lw,-WAj

l56 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

avec de nouvelles constantes Ci,,s • Nous dirons que le tableau des cn^, a la même
structure que le tableau des 0,7,5.

Il se peut qu'on puisse choisir les coefficients constants Oij de la substitu-
tion (A) de manière que dans l'expression des v <; n premières dérivées
w'i, ..., u)^ ne figurent que wj, .... w^, c'est-à-dire de manière que l'on ait

<^'.-\-i,k,s = <^k,^+i,s = '<^v+i,w+j,s=0 (/c,5=i,3,...,v; i,; = l,...,/i — v).

Dans ce cas les formes tjji, ..., rn^ sont invariantes pour le système complè-
tement intégrable d'équations de Pfaff

Si on sait intégrer ce système et si on égale à des constantes arbitraires ses
intégrales premières, le système donné se ramène à un système analogue au
premier, sauf que n est remplacé par n — v.

Nous dirons que le tableau des Cj^j est simple s'il est impossible de trouver
une substitution linéaire à coefficients constants (4) effectuant la réduction
précédente. Nous voyons alors que le système d'équations différentielles donné
peut se ramener à des systèmes successifs pour chacun desquels le tableau des Cnc,
est simple. A chaque tableau simple correspond un problème particulier
d'intégration.

157. — Laissant de côté pour le moment cette méthode de réduction,
imaginons un second système d'équations difi'érentielles

(1') Toi =T!J2 = ... =Tn„ = o

admettant les n formes invariantes wi avec les relations

<2') W = 2 '-•iA»[^i^A].

où les coefficients C;;^, ont les mêmes valeurs numériques que dans les for-
mules (2). Soient respectivement

Jl. J2 Jn,

Zj, Zj, ..., z„

deux systèmes d'intégrales premières indépendantes, le premier pour les
équations (1), le second pour les équations (1'). Alors wj, wj, .... w„ peuvent
«'exprimer au moyen des jj et de leurs différentielles, de même que thi, ..., tii„
peuvent s'exprimer au moyen des 2, et de leurs différentielles. // est possible
de choisir les intégrales premières 2, de façon que les ^i s'expriment au moyen
des Zi et des dzi de la même manière que les Wj- au moyen des yi et des dyi. Cela
revient à dire que si cette condition n'est pas réalisée, on peut du moins
trouver des fonctions

/i(yu -M Jm), •■•./n(ji, .--, v„)

telles qu'en posant

Zy =f(yu •.., yn) Zn =fn(jl> ••., Jn)

ÉQUATIONS A PLUSIEURS INVARIANTS INTEGRAUX LINÉAIRES iSy

les crr, deviennent respectivement égaux aux coj. Il suffît pour cela d'intégrer
les équations aux différentielles totales

(rsi — wi = O,

{Ô) \

\ nT,i — oi,i = O,

OÙ les Zi sont des fonctions inconnues des variables indépendantes j,. Ce sys-
tème de Pfaff (5) est complètement intégrable (n° 101), car, si l'on tient compte
des équations (5), les dérivées extérieures

h' =^Cik,[rrSimi,] — ZjCjksi'

de leurs premiers membres s'annulent toutes. Il est donc possible, et cela
d'une infinité de manières (dépendant de n constantes arbitraires), de satis-
faire aux conditions énoncées.

Cela prouve en particulier qu€ les intégrations des deux systèmes (i) et (i')
sont deux problèmes essentiellement de même nature, en ce sens que toute
métbode n'utilisant pour l'inlégration que les propriétés données de loi, ..., a),j
d^élre des Jormes invariantes, pourra être appliquée parallèllement aux sys-
tèmes (i) et (i'), tout progrès dans l'intégration de (i) ayant son équivalent
dans l'intégration de (i').

II. — Le groupe qui conserve les invariants donnés.

158. Revenons au système (i) et imaginons fait un choix de n intégrsles
premières indépendantes

Jl. J2, •... Jn-

Il est possible de trouver une infinité d'autres systèmes de n intégrales
premières

Ji. Yi, ■ -, Jn
telles que les formes ws s'expriment au moyen des j,- et de leurs différentielles
de la même manière qu'au moyen des jj et de leurs différentielles. Il suffit
pour cela d'intégrer le système de PfafT

ÎWj — coj = o,
.....
(0,1 — a)„ = O,
où to, désigne la même fonction des jj et ofjj que w^ Test des jj et d'y,. Dans ce
système de Pfafî regardons les arguments/,, ..., jn comme des fonctions
inconnues des variables indépendantes ji, ..., j„. Un tel système est com-
plètement intégrable pour la même raison qui a été indiquée relativement au
système (5). Il existe donc des fonctions

(7; 7. =/.(ji, ..., Jn; C,,.,.,C„) (s = i,..., n)

dépendant de n constantes arbitraires et satisfaisant aux conditions énoncées

plus haut.

108 LEÇO?fS SUR LES INVAHIANTS INTKRRAIJX

Les équations (7) définissent une infinité de transformations effectuées sur
les intégrales premières ji, .... j„ et conservant les données du problème, c'est-
à-dire laissant invariantes les formes wj, ..., w„. (]es transformations forment
un groupe G, car étant caractérisées par la propriété de conserver Wi, ..., «>„,
il est bien évident qu'en effectuant l'une à la suite de l'autre deux transfor-
mations de la forme (7), on obtient encore une transformation résultante de
la même forme. Ce groupe G est un groupe fini à n paramètres : c'est le plus
grand groupe qui, appliqué aux intégrales premières du système donné, conserve
les j ormes invariantes données. Comme on le conçoit facilement, le parti qu'on
peut tirer de la connaissance de ces n formes invariantes dépend de la nature
de ce groupe. C'est du reste là un fait général s'appliquant à tous les cas où
on connaît a priori des invariants intégraux, des systèmes d'équations inva-
riantes, des transformations infinitésimales, etc. La nature du plus grand
groupe de transformations qui, appliquées aux intégrales premières des équa-
tions différentielles données (ou, ce qui revient au même, à leurs courbes
intégrales regardées comme des êtres indivisibles), conserve les renseignements
connus, à une importance prépondérante dans l'intégration du système.

Dans le cas qui nous occupe, on voit en particulier qu'il est impossible, en
se basant uniquement sur le fait que oji, ..., w^ sont des formes invariantes,
d'obtenir aucune intégrale première sans intégration ' ; sinon en effet la pro-
priété des formes wi, .... w„ d'être invariantes permettrait par elle-même
d'individualiser une intégrale première, y^ par exemple, qui devrait par suite
être égale à l'une quelconque des intégrales yi définies par les formules (7) ;
or cela est manifestement impossible, car les équations (6) admettent tou-
jours une solution telle qu'à des valeurs numériques données de ji, ..., Jn.
correspondent des valeurs numériques arbitraires de ji , ..., y^.

159- Les constantes 0^^ jouent un rôle important relativement au groupe
G : ce sont ce que, dans la théorie des groupes, on appelle les constantes de
structure de ce groupe. La méthode de réduction indiquée plus haut (n° 156)
repose précisément sur la décomposition de G en une série normale de sous-
groupes. Le cas où le tableau des Cj^^est simple correspond aux groupes simples.

On sait que les constantes de structure d'un groupe ne sont pas arbitraires;
on peut le vérifier ici en exprimant que les dérivées extérieures deu)/, ..., to/
sont nulles. La dérivée extérieure de 10/, en utilisant les expressions (2) de
coi', ..., w/, est (n° 73)

V

Jimi

{ik)

[[wi'w^] — [Wjto/])

(apy) \i=.^ I

' Gela veut dire par une suite quelconque d'opérations univoqaes appliquées à
w,, ..., co„ et susceptibles d'être effectuées quelle que soit la nature des coefficients
de ces formes.

ÉQUATIONS A PLUSIEURS INVARIANTS INTÉGRAUX LINÉAIRES lÔQ

«On a donc les relations nécessaires

i=n

On démontre dans la théorie des groupes qu'elles sont suffisantes pour
qu'il existe un groupe admettant les C/^j pour constantes de structure.

III. — Exemples.

160. Supposons toutes les constantes c,,t, nulles. II est évident alors que
les formes w,, ..., w„ étant des différentielles exactes, l'intégration n'exige
que n quadratures indépendantes. Les formes wi, ..., co„ étant réductibles à

le groupe G a pour équations

j/=7. + C, (s = 1,2 n).

Le cas précédent se présente toujours si /t =: i .

Cherchons quels sont tous les cas possibles pour m = 2. En dehors du cas
qui vient d'être examiné, on pourrait avoir

Wj' = 6ra)ia)2],
les coefficients a et 6 n'étant pas nuls tous les deux. Supposons par exemple
6^0. En prenant awo — èioi comme nouvelle forme a>i, on voit immédia-
tement qu'on a

u)/ = O,

Une première quadrature donne

^^ = ifyi ;

en égalant ensuite ji à une constante arbitraire, wj devient une différentielle
exacte et une deuxième quadrature achève l'intégration. En changeant un
peu les notations, on peut supposer

dyi

^■^ = 77-

Le groupe G a pour équations

y,' = C,J, -+- G,.

l60 LEÇONS SIR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

161. Nous ne ferons pas la discussion générale pour n = 3. Signalons
seulement le cas le plus intéressant où l'on peut réduire les formules (2) à

102' = [WjtOg],

(03' = [W2W3].

Dans ce cas l'intégration des équations (i) revient à celle d' une équation de
Riccati.

Considérons en effet l'équation de PfafT

(8) o[f 4- coj -4- ^a>2 H /^Wg = o,

où t est regardée comme une fonction inconnue des variables, dépendantes et
indépendantes, qui figurent dans les équations différentielles données. Cette
équatiên est complètement intégrable : on vérifie en effet sans difficulté que la
dérivée extérieure de son premier membre est nulle si on tient compte de
l'équation elle-même (et si on utilise les expressions de coi', 102', Wj'). Par
suite, comme on sait, on peut ramener son intégration à celle d'une équation
différentielle ordinaire, qui est évidemment une équation de Riccati. Or si
l'on désigne par jj, J2. Js un système d'intégrales premières indépendantes
des équations données (i), les expressions Wj, im.,, Wg peuvent s'exprimer au
moyen des trois quantités jj, jj, jg et de leurs différentielles : la solution
générale t de l'équation (i) est donc une fonction de ji, J2, y 3 (et d'une
constante arbitraire C). Par suite si l'on a intégré l'équation de Riccati (8)
sous la forme' classique

es

es

les rapports mutuels des quatre fonctions a, p, y, 0 fournissent trois intégrales
premières des équations données, et on démontre facilement qu'elles sont
indépendantes.

V. — Généralisations.

162- Nous n'insisterons pas davantage sur cette théorie qui, pour être
développée convenablement, exigerait des connaissances assez étendues sur la
théorie des groupes. On voit comment cette dernière s'introduit nécessaire-
ment si on veut pousser jusqu'au bout les méthodes d'intégration d'équations
différentielles qui admettent des invariants intégraux donnés. Signalons
seulement que la méthode indiquée au n° 142 peut être généralisée à un
système quelconque d'équations différentielles admettant des formes inva-
riantes, des équations de Pfaff invariantes, etc. Elle consiste, par l' introduction
de variables auxiliaires, à former autant d'invariants intégraux linéaires que
le système d'équations données comporte d'intégrales premières indépendantes.
Un exemple suffira pour faire comprendre l'esprit de la méthode.

EQUATIONS A PLUSIEURS INVARIANTS INTÉGRAUX LINÉAIRES l6l

Supposons qu'on ait à intégrer un système d équations difTérentielles (S) à
4 variables

Wl = 0^2 = 11)3 = O,

et que chacune des équations wj = o, 102 =0, 0)3 = o soit invariante pour
le système donné. On introduira trois variables auxiliaires nouvelles «i, Uj,
«3 et on considérera les trois formes

coj = UiWi, coo = «ja)2, a>3 = U3W3.

L'intégration des équations caractéristiques (2) de ces trois formes entraî-
nera celle des équations différentielles données par l'élimination de u,, «2, u-i
entre les relations qui définissent une solution quelconque de (2), Formons
alors les dérivées extérieures w/, wj', 0)3' ; en supposant qu'on ait

Wj' ^ ai[a>20J3] (mod wj),
W2' ^ aj[a)3coj] (mod W2),
tog' ^ a3[wia)j] (mod 0)3),

avec des coefficients Oi, Qj, 03 fonctions des variables primitives, on aura

""^ - U2"3 ^""'""'^

(mod wj ),

- , QiUi r -1

(mod 102),

^'^ = a,ul l^"*"^^

(mod wg).

Les coefficients

U2M3 «3«1

^ U,«2

sont donc des intégrales premières du système (S) caractéristique des formes
u)i , (Oî , W3 . Par suite il en est de même de

Y a2"3 ^=

et la forme

est encore une forme invariante. Mais elle ne contient pas les variables auxi-
liaires «1, Uj, «3; c'est donc une forme invariante pour les équations données
(S), et il est de même de ^/a^ai wj, /«lOî tog. Par suite si aucun des coefficients
fli. Oi, 03 n'est nul, le système différentiel donné admet trois formes linéaires
invariantes et on est ramené au problème traité dans ce Chapitre.

Il n'en sera naturellement pas toujours ainsi, mais dans tous les cas on aura
le moyen de tirer tout le parti possible des renseignements connus sur les équations
données.

E. Cahian. — Leçons sur les Invariants inlégraux.

CHAPITRE XYl.

ÎLUS ÉQTJATIO'N'S DTFPÉ RE NTI ELUES

QUI ADMETTENT

DES TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES DONNÉES.

I. — Réduction du problème.

163. Nous avons déjà considéré des équations différentielles admettant
des transformations infinitésimales, mais ces équations étaient supposées
admettre un invariant intégral ou une équation de Pfaff invariante. Nous
allons maintenant nous placer à un point de vue un peu plus général, qui
nous fournira du reste une illustration des théories esquissées au Chapitre
précédent.

Considérons un système de n équations différentielles ordinaires (ou un
système complètement intégrable de n équations de Pfaff)

(l) loi = Wj = ... = (i)fi ■= o,

et supposons que ce système admette un certain nombre r <^ n de transfor-
mations infinitésimales

AJ, A,/. ..., A,./.

Cherchons quel parti on peut tirer pour l'intégration de la connaissance
de ces r transformations infinitésimales. C'est un problème qui a été résolu
par S. Lie. Nous nous bornerons aux généralités essentielles.

Considérons le tableau des quantités oii{\k) obtenues en remplaçant dans
la forme w^ le symbole de différentiation indéterminée par le symbole de la
transformation infinitésimale K^f. Supposons que dans ce tableau

(a)

■o>i(AO
co,(AO

.2(A,}

.(A.)

j„(Ai) w„(A2) ... w„(A,)

EQUATIONS DIFFEREMTIELLES ET TKAJ^SFORMATIOSS INFINITESIMALES

;63

I

o .

. o

o

I .

. o

o

o .

I

o

o .

. o

le déterminant formé des r premières lignes et des r colonnes ne soit pas
nul. On peut alors substituer aux premiers membres des équations (i) des
combinaisons linéaires de ces premiers membres de manière que le tableau
devienne

(3)

o o ... o

c'est-à-dire de manière que tous les Wj(A.;) soient nuls, saut

Wi(Ai) = W2(A2) = ... = w,,(A,.) = I.

Il est évident que si n est supérieur à r, les nouvelles formes w^, ..., w„ ne
sont pas parfaitement déterminées : on peut encore effectuer sur

une substitution linéaire quelconque et Ton peut ajouter à chacune des
formes «>,, ..., CD,, une combinaison linéaire quelconque de w^+i, ..., w„.
Si les équations (i) avaient été mises sous la forme

^J'i =dyi = ... = dy„ = o,

il est évident que, les quantités oji(Ây) =:A/ji) étant des intégrales premières,
les nouvelles formes fOj, ..., a)„ obtenues en réduisant le tableau des w,(A;) à
sa forme canonique pourraient toujours être supposées formées avec les yi et
leurs différentielles. Il résulte de cela et de ce qui a été dit plus haut les deux
conséquences suivantes :

1° J' ouïes les fois que le lableaa des a),(AA) est réduit à sa forme normale (3),
le système de Pfajf

(4)

Wr+l =

=: w,, = O

est un système invariant ;

2" Chacune des formes linéaires w,, ..., w,. est une forme invariante, à une
combinaison linéaire près des premiers membres du système de PJaff invariant
précédent.

164. Avant d'alier plus loin, remarquons que si le système (i) admet les
deux transformations infinitésimales A/ et B/, il admet la transformation
infinitésimale C/ dont le symbole est défini par

C/=A(B/)-B(A/).

Admettoas, ce qui ne restreint pas la généralité, que les symboles des
transformations infinitésimales qu'on peut déduire des r transformations

l6/i LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

données prises deux à deux soient des combinaisons linéaires de Ai/, ..., A,.y.
Autrement dit supposons qu'on a

(5) A,(Â,/) - A,(A,/) :=''^yi,sA,J {i, /c = I, 2, .... r).

.=1

Nous allons, dans cette hypothèse, démontrer que le système de Pfaff (4)
est complètement intégrable.

Pour faire cette démonstration il faut que nous revenions sur la définition
du covariant bilinéaire w'(i5, S') d'une forme linéaire w, dans le cas, que nous
n'avons pas encore envisagé jusqu'ici, où les deux symboles de différentiation
0, o' ne sont pas échangeables entre eux. Si l'on pose

io(8) = ai^Xi ■+- 0280:2 -+-... -H a/jx„,
on a

ojj(S') — 5'a)(o) = a^(oB'x^ — ô'SxJ + ... + a„(5o'a;„ — 8'oa-,i)
V^ /ôOi. baA .^ r,, !v -s/ \

-\- > • (oXiO Xk — OXi^O Xi),

OU encore, en convenant de poser

ô" = 80' — 8'S,

(6) om(o') — o'a)(ô) = K°") + <*^'(^' ^')-

Appliquons cette formule au cas où les symboles 8 et 6' sont remplacés par
les symboles Ai/ et A;^/ ; il conviendra alors de remplacer 8" par le symbole

A,(A,/) - A,(A,./) = '^TiksKf.

Enfin supposons qu'on prenne pour w Tune quelconque des formes
<.o^^_i, ..., w„, qu'on peut, comme nous l'avons vu, supposer exprimées au
moyen de ji, ..., j,j et leurs différentielles. On aura

.Or
donc on a la relation

Il résulte de là que les coefficients c^ j.,^ sont nuls dès que les indices
>v, (Ji sont tous les deux inférieurs ou égaux à r, puisque la relation précédente
se réduit manifestement alors à

■'i,k,r+

,4.a = o {i,k=i,2,...,r).

Par conséquent les dérivées extérieures «',,,_,, ..., m^' étant toutes nulles
quand on tient compte des équations (/j), le système (A) est bien complète-
ment intégrable (n' 101).

ÉQUATIONS DIFFÉHE>riELLES ET TR V.NSF0RMAÏIONS OFINITÉSIMALES l65

II. — Cas où il y a autant de transformations infinitésimales
que de fonctions inconnues.

165- Supposons maintenant intégré le système (4), qui est un système
de Pfaiï complètement intégrable absolument quelconque; supposons même
simplem.ent connue une solution de ce système (4) : à cette solution corres-
pondent dans le système donné une infinité de solutions obtenues en inté-
grant les équations

(7/ a>i = W2 = ...== 0)^ = O.

C'est un système dont on connaît r formes invariantes wj, ..., w^. On est ramené
au problème traité dans le Chapitre précédent.

Il est facile ici de déterminer a priori les coefficients 0,^ qui entrent dans
les expressions w/, ..., w/ :

.'=2

l •■ * 1

Appliquons en effet la formule (6), en y remplaçant le symbole ô par le
symbole A^, le symbole o' par le symbole A^-, et le symbole S" par

y^ Y3(3pAp. Comme tous les o/^A^) sont égaux à o ou à i, c'est-à-dire à des

0 = 1

constantes, la formule (6) se réduit à

o = Ta?. + ^z^s-
On a donc •

Ciki = — Y'ft»-

166. Bornons-nous maintenant au cas où les coefficients yots sont des cons-
tantes. On démontre que dans ce cas les transformations infinitésimales données
Aif, ..., Ar/ engendrent un groupe Ta r paramètres dont les coefficients de
structure sont les Yia*. On voit que le système (7) rentre dans la catégorie de ceux
qui ont été étudiés au Chapitre précédent (n» 156;, et le groupe G qui lui cor-
respond a la même structure que le groupe r qu'admet le système différentiel
donné (7). Ce groupe G est le pins grand groupe qui, appliqué aux intégrales
premières j,, ..., yr, conserve la loi suivant laquelle ces intégrales sont échangées
entre elles par les transformations infinitésimales données. Désignons en effet
par y une fonction arbitraire de j,, ..., j^'. il est évident qu'on peut détermi-
ner, d'une manière et d'une seule, r expressions de Pfaff tïti, .... to,. telles
qu'on ait identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les différentielles

dy^, ..., dvr, et aussi quels que soient les arguments -•' , ..., ~-y
df=^^ dy, + ... -f- ^ dyr = nr.A./ -h ... + ^.A./.

l66 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Si dans celle identité on remplace le symbole de différenliation indéterminée d
par le symbole A/,/, on aura

A,/=.n.(A,)A,/H- ... +T=T,,(A,)A,/;
par suite tous les raj(A;,) sont nuls sauf

TîTi(Ai) = 73J2(A2) :=...= ra,.(A,.) = 1 ;
par suite enfin les formes nr^ sont identiques aux formes o>,. Eflectuons alors sur
ji, ..., jr une transformation du groupe G, ces quantités devenant ji, ... Jr ;
la fonction / de ji, ..., j,. devient une fonction / de ji, ,.., jr", les symboles
A,/, ..,, A/ deviennent Âj/, ..., Â,/ et l'on a

df= wiA,/ 4- ... -h w,A,7;
mais les Wj étant formés avec les j, et leurs dilTcrentielles comme les w^

étaient formés avec les j,- et leurs difîérentielles, le coefficient de -i-

àyk

dans Ai] sera la même fonction de Vi, .... y. que le coefficient de -^ dans
A,/ était fonction de y^, ..., j^. Autrement dit les transformations infi-
nitésimales données transforment de la même manière les y, que les j,-.

On voit encore ici que le groupe G est le plus gi-and groupe de transforma-
tions qui, appliquées aux intégrales premières, conservent les renseignements
donnés. ,,

ni. — Application aux équations différentielles
du second ordre.

167. Nous avons déjà traité directement le cas n = r == i. Prenons
quelques autres exemples. Une équation différentielle du àecond ordre de la
forme

àx^ — ^ \dxl
est équivaiente au système

dy — ydx = o,

qui admet Tes deux transformations infinitésimales

Pour réduire le tableau des quantités w,(A;c) à sa forme nonaak, il faut
prendre

a>2 = dy — -^^^ .

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET TRANSFORMITIONS INFINITÉSIMALES 167

Ces deux formes invariantes sont des difTérenticUes exactes et on a la solution
générale cherchée par deux quadratures indépendantes

Prenons maintenant une équation différentielle du second ordre de la
forme

^dx' — ^ \dx/

elle admet une translation parallèle à l'axe des x et une homothétie de
centre 0, ce qui correspond aux deux transformations infinitésimales

Af=^l, Bf=x^ + y^I.
y dx -' ôx "^ dy

L'équation donnée est équivalente au système

dy — y'dx = o,
ydy' — Y{y')dx = o.

Pour rendre le tableau des w,(Â//) normal, il faut prendre

», = rfx _-,dj y^^.y

--'f-é/^'-

Comme on a ici

A(B/) - B(A/) = A/,
on aura, ce qu'il est faciife de vérifier,

Wy' = O.

Par suite l'intégration s'effectue par deux quadratures :

IV. — Généralisations. Exemples.

168. Il pourrait arriver, dans le cas d'un système (i) de n équations de
Pfaff admettant r transformations infinitésimales

Al/...., A,./,

l68 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

que le rang du tableau des Wi(A/t) fût inférieur à r (cela arrive sûrement
si r > n). Soit alors p le rang de ce tableau et supposons, ce qui est permis,
que le déterminant formé des p premières lignes et des p premières colonnes
ne soit pas nul. On aura alors, quel que soit l'indice s, r — p relations de la
forme

Wi(Ap-(-i) = X,iWs(Ai) + ... + Xipws(Ap),

Wi (Ar) = Xr— p, lOii(Ai) 4- ... 4- Xr— p,pWi(Ap).

Les coefficients X,y qui s'introduisent dans ces relations sont des intégrales pre-
mières; on aura en effet, pour toute combinaison linéaire w de wj, ..., co„, en
particulier pour les différentielles t/ji, ..., dj„de « intégrales premières indé-
pendantes, les mêmes relations

Ap+i(j.) = Xi,A,(j,) -h ... + >-<pAp(j*),

qui entraînent pour Xn, ..., Xip des valeurs ne dépendant que des Ai(yA),
c'est-à-dire de ji, ..., j„.

Nous ne poursuivrons pas davantage la théorie dans ce cas général ; elle
repose sur les mêmes principes que précédemment.

169. Exemple I. — Considérons l'équation différentielle

des courbes planes qui ont un rayon de courbure donné. Elle est équivalente
au système

Wi ^ dy — y'dx = o,

W2 ^ Rdj' — (i + y^) ^ dx = o.

Ce système admet les trois transformations infinitésimales correspondant à
une translation parallèle à Ox, à une translation parallèle à Oj et à une rota-
tion autour de 0. Ces transformations doivent être calculées, non seulement
en ce qui concerne leurs effets sur x et sur y, mais aussi sur y' . On trouve
sans difficulté

A/=5/,

-> dy

A3/= _ j ^ + rr ^ -+- (1+ /^) K-
•' '' (ix ^y ày

Le tableau des quantités Wi(Aa) est le suivant :

— y' 1 x+yy'

— (i+/2)^ o y(i -h/')^+R(i -h /

On a donc

) = — /'y -+- ,_

,(A3) = - ( j + :7^i=) -.(AO -^.[x- -^^=^ -.(A.)^

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET TRANSFOKMA.TIONS INFINITÉSIMALES 169

On obtient par suite par de simples difTérentiations deux intégrales pre-
mières du système donné et la solution générale est fournie par les formules

__J/

G,.

\ "^ V^i + /

C2,

{x - co"^ -1- (r - c,)^ = R^-

170. Exemple II. — Considérons l'équation difFérentielle du troisième
ordre

y — i-hj'2

qui définit les courbes planes de courbure constante. Elle est équivalente au
système

toi ^ dy — y'dx =. o,

wj = dy' — ydx =0,

a>3 = dy"

3jy

dy'

Ce système admet quatre transformations infinitésimales correspondant à
une translation parallèle à Ox, une translation parallèle à Oj, une rotation
autour de 0 et une homothétie de centre 0. Les symboles de ces transforma-
tions, considérées comme opérant sur x, y, y' et y", sont

A,/= 'i,
'' ^y

A4/=X

bx -^ ôj -^ dj"

Le tableau des quantités ojj(A;,) est ici

y I X -^yy

y" o I H- j'2 -f- yy"
O O o

y — xy

— xy"

-y"

Il est de rang 3 et, par exemple, le déterminant obtenu en prenant la i'"%
la 2* et la 4® colonne est différent de zéro. On en déduit les relations

^.(Aa)

y + -'--t/-')-..(Ao -^{x-f Ljt„/!),,(A,),

lyO LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAL X

qui conduisent à deux intégrales premières

_ _ / iJl^
" — «; y y, .

. I -4- r'^

Pour continuer l'intégration, choisissons des combinaisons linéaires toi,
wj, C03 telles que le déterminant principal du tableau des Wi(Ai) soit réduit

à sa forme normale. Il faut pour cela prend

re

1 ^xy' \ , ,. dy"

j = dcc — ( — , H -'2 ]dy I - "

\y I H- J V -^ J

On a d'autre part

C/U = tOj -f- «tOg,
C/V == COg -+- IIW3,

et

w,' = — [wiwj,
w/ r^ — [wstoa]'
CO3' = o.

Par suite wj est une différentielle exacte et on a par une cjaadrcUure l'inté-
grale première qui manque. La solution générale de l'équation donnée est
fournie par les formules

— yr— -C3,

\/i -hy'

a

On voit ici que le groupe G qui conserve les données est

C3

Cj = Cl, C2 = C2, C3 = aCs (car 0J3 ^= ^r- \

avec une constante arbitraire n ; c'est parce qu'il est à un seul paramètre que
l'intégration se ramène à une quadrature. Dans l'exercice précédent, le
groupe G se réduisait à la transformation identique et la solution était obtenue
sans intégration.

171. Remarque. — Dans tous les exemples où on arrive à n formes
linéaires invariantes, on a des invariants intégraux de tous les degrés en

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES I7I

-construisant avec Wj, ..., w„ une forme extérieure arbitraire à coeiïicients
constants. C'est ainsi que dans le dernier exercice on a l'invariant intégral

/ / / WjWiWj qui, si on se borne à des ensembles d'états correspondant à la

même valeur de x, se réduit à

///

dydy'dy"

-yr—

Par suite, si on considère une famille quelconque de circonférences dépen-
dant de trois paramètres et si on coupe les cercles de cette famille par une

parallèle quelconque à l'axe des j, l'intégrale 1 1 | n^ » étendue à la

famille considérée de' cercles, est indépendante de x. Elle est du reste égale

r rcdc fie fic

^ \ f j — ^-ir^ — ~ > en désignant parCj etC2les coordonnées du centre et G3
le rayon.

CHAPITRE XYII.

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES
AU PROBLÈME DES n CORPS.

I. — Réduction du nombre des degrés de liberté.

172- Nous avons déjà vu (n° 123) comment, pour les équations cano-
niques de la Dynamique

dqi ôH dpi ôH

dl dpi' dl bpi

se présente la méthode d'intégration exposée au Chapitre XII. Nous y suppo-
sions la fonction H quelconque. Si cette fonction est indépendante du temps,
la fonction H est une intégrale première (n" 92) et on est ramené à l'inté-
gration des équations

dqi _ — dpi

bpi dqi

dont les intégrales premières sont les solutions de l'équation

(H/) = o.
et à une quadrature.

173- Nous allons étudier d'un peu plus près la réduction qui se produit
dans l'intégration du problème des n corps, en tenant compte des transfor-
mations infinitésimales déjà déterminées (n° 93) qu'admettent les équations
du mouvement. Nous supposerons, ce qui est permis, le système des n corps
rapporté à son centre de gravité, c'est-à-dire les 3n coordonnées a;,-, jj, Zi et
les 3/1 composantes des vitesses x/, y/, z' liées par les relations

/ jm-iXi = o, ^n*iVi = o, 2P-i^i = o»

^niiXi' = o, ^m,7,' = o, ^niiZi' = o.

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DES tl CORPS l'j'S

Soit U la fonction des forces, supposée homogène et de degré — p par
rapport aux coordonnées. Les équations du mouvement admettent les cinq
transformations infinitésimales

A 3 / = y / X • ^ - y . ^ -+- X / ^ - y / -^, V

"j i "-» -^ — ' "./• -.<- . /

On a d'autre part

en posant

174. Les cinq formes linéaires invariantes

O),- = w'(Aj, ô)

sont

0), = SH.

0)1 = 8Hi,

0)2 = ÔH2,

(0

0)3 = ÔH3,

j 0)4 = — ymi(a'jSa;i

en posant

(2; ^ H2 = "^mlz'x; — x{zi),

H3 = ^mlxi'yi — yi'x).

On a enfin

k,(io')= ^i_^Vo.

■■1^

LEÇONS SUR LES INVAWAÎNTS INTEGRAUX

Le tableau des quantités O;^ = oj'(A,^ A.J) a déjà été dressé dans un cas un
peu plus général (n° 95). Nous le reproduisons ci-dessous.

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

-pH

1

o

o

H3

-H.

(i-l)H.,

2

o

-H3

0

H,

(i - 0H,

3

0-

H,

-H,

0

(i-f)H,

4

pH

(?-i)H,

(1 - i)H,

a-OHa

°

175- Nous connaissons maintenant cinq formes linéaires invariantes et le
tableau des coefficients a^ définis par l'opération de la parenthèse de Poisson
généralisée :

N[a)"'-'oji03y] =aij[io"'].

Appliquons la théorie du Chapitre XII (n° 125). Construisons la forme
auxiliaire

0,1,. ..,4

*(^)- 2 <^sàà^

{ij)
elle s'écrit

*(^)=pH[yj4-^[^,(H,^,+Hi,H-H3^3)]-f-H,[y3]+H4^3iiKH3[?,^4..

Elle est de rang 4 et sa réduction à sa forme normale

peut se faire en posant

OÙ les a; et <^i sont choisis, ce qui est toujours possible, de manière à avoir

APPLIC\1K)N DtS TUiîOiUES PIlÉCÉDEXlES AL' PROBLÈME DES II CORPS 176

on peut ajouter les conditions supplémentaires

a, Pi -h (X2P2 -+- «aPs = o, ,

a', -i-ai -ha; = pi -4- ,3: + P3' = vT3TqriTrrHi.

Or, endéGnissant cinq formes linéaires nio, rui, 75J.2, 75T3, rs^ par l'identité
on obtient sans difficulté

— ^ H, (/II, + H,</H., + U,dU,

"^o — p-s Hi"TTTrrH]

r. — WFl ^pH H , cHI , -4- Il ,olIl , + H 3^11
r., _ dll-—— jj^__jj^_^_^_

'^' /lï] .4- H; 4_ H|

La forme auxiliaire <!> ayant été réduite à [c;%'] -+- [çi'^2']) on a
co' = [nTiCTf,] + [r;T,ra.^] + [10^7713] + [cooto.] H- ...,
c'est-à-dire, en efîectuant les calculs,

/ /_ 2 r H, (/H, + Ii,(/H, + Hst/H,-!

^' ' ) E,[dB,dE, ] -ML [dH.dU , ] -+- Il 3 [dll , dll , ]

f + Hmïr+ Hi "+- ""'

en posant
(4) Q =

|_-<'^ii - ^, ii- + k- + ii- )J + K-.] + .-

176. Si l'on égale les quatre intégrales premières H, Hj, H2, H3 à des
constantes arbitraires, le rang de m' se réduit de six unités ; il est donc passé
de Gn — 6 h 6n— 12, correspondant par conséquent à un problème k 3n — 6
degrés de liberté (3 dans le cas du problème des trois corps). Mais le système
caractéristique correspondant contient des paramètres arbitraires.

Il y a un procédé (théorique) pour réduire le nombre des degrés de liberté
tout en évitant l'introduction de paramètres arbitraires. En annulant la
dérivée extérieure du second membre de l'équation (3) et tenant compte de
la relation

on obtient

_, _ rii.(/ii. +ii,rfn, + 1I3C/1I3 „i

7 6 LEÇONS SUR LRS INVARIANTS INTÉGRAUX

Celte relation exprime que la dérivée extérieure de la forme quadratique
I Q^___J ' ?_r.. H,dH,+H,dH,H-H3dH,-

- to' — - 1 0)4 — ! î— ^— -^ — ? I

v/H;TÎII+ÏÏ] , v/HTTH]THl r -L (Ii: -f- H,' + H^
H,[(iH,dH3] + Il,[rfH3(iH,] -4- H3[(iH,(/H,]

(1I;+H^+H0^

€st nulle. Cette propriété est du reste mise en évidence dans le dernier mem-
bre de l'égalité précédente dont le premier terme, étant une dérivée extérieure
exacte, a une dérivée extérieure nulle. Nous allons voir qu'il en est de même
du second terme.

Pour interpréter ce second terme, considérons le vecteur (OS) de lon-
gueur Y = /Hf + Hj + H^, qui représente le moment cinétique du système
par rapport à l'origine et qui a pour projections Ht, H^, H3. Si l'on imagine
un élément de surface tia décrit par le point S, et si l'on appelle «j, aj, aj les
cosinus directeurs de la normale à cet élément de surface, on a

idH,dH3

] = ûtidu,

[dHadH,] = a,d.,

[ciH,

,<iH,] :

= ajdd,

et

par

suite

H

,[dH

M.\ +

H,[dn3dH

,]4-H3[(iH,dn,|

(H?

H-H^H-

H^^

_ a,H, + ajlj +

a,II,

rfa =

cos ^ d<j

= du),

•\i représentant l'angle de OS avec la normale à l'élément, et dw l'angle solide
sous lequel on voit de l'origine cet élément de surface. En désignant par
0 et cp la colatitude (angle avec Oz) et la longitude (angle du plan 2OS avec le
plan xOz) du point S, on a d'autre part

dco = sin 6[d6d(p] ;

par suite la forme considérée peut être regardée comme la dérivée extérieure
de la forme linéaire — cos 6dcp.
Posons alors

(5) T0 = ^-^ î^' + cos edcp :

nous voyons que les équations caractéristiques de l'invariant intégral relatif
I m sont

(6) j p — 2 Y '

( 0)5 = O, Wg = O, U),= O, ...

APPLICATIU.N DES THEORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLEME DES /î CORPS I77

- Les équations du mouvement rapporté
à un système de référence mobile.

177. Il est facile d'interpréter ce système. Nous nous placerons, pour fixer
les idées, dans le cas du problème des trois corps de la Mécanique céleste
ip = 1). Calculons d'abord les quantités w-(Ai), cog(Aî), etc. Pour cela appli-
quons aux deux membres de la formule (3) l'opération correspondant à Aif,
mais en n'écrivant que les termes en dïi, lOg, w,, ..., wn. Nous aurons immé-
diatement

dll = W3(Âo)dH — w.(Ao)oJs -H W6(Ao)a), + ... -f- w,o(Ao)a),i,
G = iOr;(Ai)clH — a).(Ai)w6 -+- W6(Ai)w7 -+- ... -4- Wjo(Ai)a)^i,

G = OJ3(A4)JH W-(A4)a)6 + We(A4)w7 -+-... 4- Wio(A4)a)it.

Nous trouvons ainsi que, pour a ^ 5, tous les wa(Aj) sont nuls, sauf «^(Ao)
qui est égal à i.

A -Y

Remarquons d'autre part que les quantités A,H + aH --^ sont toutes

nulles, puisque la fonction K == Hy^ est invariante pour chacune des trans-
formations infinitésimales considérées. Nous voyons que le système (6) carac-
téristique de - Q peut être dèfiid comme j orme de: toutes les combinaisons linéaires

des équations du mouvement qui jouissent de la propriété d'être vérifiées identi-
quement quand on y remplace le symbole de différenliation indéterminée par le
symbole de l'une quelconque des transjormations infinitésimales Aj/, A2/,

A3/, A./.

178. C'est ce résultat qui va nous permettre d'interpréter géométrique-
ment le système (6).

Imaginons pour cela les ditïérenls systèmes de référence possibles, chaque
système de référence étant défini par trois axes de coordonnées rectangulaires,
une origine du temps et les unités de longueur, de temps et de masse. Nous
fixerons une fois pour toutes l'unité de masse et nous imposerons aux autres
unités la condition que la constante de l'attraction universelle ait une valeur
numérique fixe. L'unité de longueur est encore arbitraire. Enfin nous fixerons
l'origine des axes, qui sera le centre de gravité du système des trois corps,
ainsi que l'origine du temps.

Les sjstèmes de référence qui restent disponibles dépendent de quatre pa-
ramètres arbitraires; trois d'entre eux fixent l'orientation des axes et un qua-
trième fixe les unités.

A chaque état des trois corps (défini par leurs positions, leurs vitesses et le
temps, et dépendant de i3 yariables) on peut faire correspondre, suivant une

E. Cabtan. — Leçons sur les lovariaots intégraux. 13

178 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

loi déterminée à l'avance, un système de référence mobile de manière à ré-
duire de 4 unités le nombre des quantités qui fixent l'état des trois corps par
rapport à ce système de référence. On pourra par exemple choisir pour axe
des X la droite qui joint le centre de gravité 0 au corps Ai, pour plan de&xy
le plan des trois corps, et pour unité de longueur la distance OAi : Tétat des
trois corps est aloi's défini par les deux coordonnées de A2, les six projections
sur les trois axes des vitesses de Aj et de A2, et enfin le temps t. On pourrait
fixer par une autre loi le choix du système de référence mobile correspondant
à un état donné ; en prenant toujours Oz perpendiculaire au plan des trois
corps, on pourrait prendre Ox parallèle à AjA^ et prendre pour unité de
longueur le côté Ai As. On pourrait encore choisir les axes suivant l'une des
deux lois précédentes, mais choisir les unités de manière que le moment ciné-
tique OS soit mesuré par le nombre i . On pourrait encore prendre Oz per-
pendiculaire au plan des trois corps, prendre pour plan des xz le plan 2OS et
choisir les unités de manière à mesurer OS par le nombre 1. Dans cette
dernière hypothèse les neuf quantités qui détermineraient l'état des trois
corps par rapport au système de référence mobile seraient les deux coor-
données de Al, les deux coordonnées de A2, le temps, et enfin les six com-
posantes des vitesses de k^ et de A2, ce qui ferait 1 1 quantités, mais liées par
les deux relations -{ = i, (f = o.

Supposons maintenant que nous ayons fait choix d'une des lois précé-
dentes ou de toute autre loi imaginable pour faire correspondre à chaque état
des trois corps un système de référence mobile, et soient

9„92, ..,99

les neuf quantités qui déterminent l'état des trois corps par rapport au sys
tème de référence mobile correspondant. L'état des trois corps sera déterminé
par rapport à un système de référence fixe si on connaît, outre qi, ..., ç^, les
quatre paramètres Uj, «2, «a» "i <1"^ définissent la position du système de
référence mobila par rapport au système de référence fixe ; ces quatre para-
mètres seront par exemple les trois paramètres dont dépendent les neuf
cosinus directeurs et le rapport de l'unité de longueur mobile à l'unité de
longueur fixe. Finalement les quantités (au nombre de 19, mais se réduisant
à i3) :

oci, yu Zi, Xi' , y/ , Zi' , t,

qui fixent l'état des trois corps par rapport au système de référence fixe sont
des fonctions déterminées des i3 quantités

gi, q-2, .... 79' "i' «2' "3, «4.

Inversement ces dernières sont des fonctions déterminées des premières. Or
les 9 quantités q^, ..., 9a> considérées comme fonctions des Xi, yi, Zi, a;/, j/, 2/, t,
sont manifestement invariantes par chacune des transformations infinitésimales
Ai/, ..., A^y", car effectuer une de ces transformations revient à changer le
système de référence fixe, par suite altérer les quantités Uj, u^, «3, «t qui

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLEME DES W CORPS I79

définissent la relation entre le système de référence mobile et le système de
référence fixe, mais sans altérer les quantités qi qui définissent l'état des trois
corps par rapport au système do référence mobile.

On peut dire encore que si l'on cherche toutes les formes différentielles
linéaires en dxt, dji, ..., dz/, dl qui jouissent de la propriété de s'annuler
quand on y remplace le symbole d par l'un des symboles Aj/, ..., A4/, on
trouve toutes les combinaisons linéaires en dqi, .... dq^, et uniquement
celles-là.

En particulier les équations (6) du système caractéristique de Q ont leurs
premiers membres linéaires en J(/,, ,.., dq^. Comme elles sont au nombre
de 8, ces équations (6) peuvent se mettre sous la forme

dqi — Cidq^ — O (t= 1, 2, .... 8);

et, comme elles sont complètement intégrables, les G; ne dépendent que
des qi. Autrement dit le système (6) est un système d'équations différentielles
ordinaires en </,, ..., 79 : il définit donc le mouvement des trois corps par rapport
au système de référence mobile.

179. Il est maintenant facile de former effectivement les équations du
système (6). Partons pour cela de l'invariant intégral relatif / rn, où on a
posé

ra = - W4 + cos Od«,

ï

et imaginons que nous ayons exprimé toutes les quantités ce,, y^ ..., 2,', t au
moyen de ^i, ..., (/g, Uj, ..., 1/4. Nous savons d'abord que les différentielles
dui, du.2, (i«3, diii, ne doivent pas figurer dans l'expression définitive de vs' qui
doit être formé uniquement au moyen des formes linéaires dqi — Cidq^. Par
suite nous pouvons, pour calculer w', regarder «j, ..., «4 comme des para-
mètres fixes. De plus lea coefficients de la forme cj', exprimée au moyen de
dqi, ..., (/(/g, ne doivent pas contenir les variables Uj, ..., «4, sans cela la dé-
rivée extérieure de ra' ne serait pas nulle : on peut donc, pour faire le calcul,
non seulement regarder Uj, ..., U4 comme des paramètres fixes, mais on peut
encore leur donner des valeurs numériques arbitraires. On peut donc en particu-
lier leur donner les valeurs numériques qui correspondraient au cas où le
système de référence fixe se confondrait avec le système de référence mobile.
Autrement dit on peut, pour former ra', donner dans rn aux quantités X;, yi^...,z{,t
les valeurs X,, Y;, ..., Z/, T qui définissent l'état des trois corps par rapport au
système de référence mobile ; ces treize quantités Xj, ..., T se ramenant, comme
nous l'avons vu, à neuf.

180. Examinons en particulier le cas où l'unité de longueur mobile est
choisie de manière à réduire y à l'unité (l'unité de longueur mobile se trouve
alors fixe). On a dans ce cas

CT = 2W4 + CCS 6dcp ;

l8o LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

en ajoutant une diflérentielle exacte, on a, pour les équations diflérentielles
cherchées, l'invariant intégral relatif / o> + ces M'f.

L'axe des z étant supposé normal au plan des trois corps et l'axe des x par
exemple parallèle à AjAa, la position du triangle dépend de trois quantités
$,, $2, ?8. Or on a

w + cos erfcp ='V/ni(X/dXi + Yi'dYi) — HdT + ces erf-f

= ^iW^i H- riid^Z2 H- ^3<^?3 -H ftd^^i — Hdï,
en posant

k = ?, ^14 = ces 8.

Les équations du mouvement relatif cherché sont alors

d'ci ôH dr,i ôH

dt àr: dt àii

(t = 1, 2, 3, 4).

Elles sont canoniques et admettent l'intégrale première H = C".

On pourrait prendre par exemple pour ^i, ^2j ^3 '^s longueurs des trois côtés du
triangle AjAgAs,

Si l'on supposait le mouvement plan, 0 serait nul, et il n'y aurait plus que
six fonctions inconnues ^i, ^2, ^3, ""li. "'".s. ^is-

18^ . Une fois connu le mouvement des trois corps par rapport au système
de référence mobile, le mouvement absolu se déterminerait par une quadra-
ture. En effet d'abord, connaissant les projections sur les axes mobiles du
moment cinétique OS, on aurait le rapport des unités mobiles aux unités
fixes en se donnant le nombre constant G qui mesure OS par rapport au sys-
tème de référence fixe. On pourrait alors prendre OS comme axe des z fixe,
la position des axes fixes dépendant d'vin angle inconnu. Cet angle serait donné
par une quadrature : il suffit en effet de remarquer que la forme invariante W4
(exprimée au moyen des coordonnées yïxes) est une différentielle exacte quand
on tient compte des relations supposées obtenues qui définissent le mouve-
ment relatif : la formule

2104 = W = 2 — ^ 0)4

H,[(JHot/H3] + [EM,dïU] H- ll,[diiM,]

montre en effet que dans ces conditions W4' est nul (flj et i]2 étant nuls).
L'intégration est donc achevée au moyen de la formule

/"' =

On peut remarquer que ceite quadrature peut se faire lorsqu'on a déter-
miné le mouvement relatif au seul point de vue géométrique avant d'avoir
trouvé le temps (par une quadrature comme l'on sait). Autrement dit les
deux quadratures qui donnent le temps (dans le mouvement relatii) et

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DES n CORPS l8l

l'orientation définitive des axes fixes par rapport aux axes mobiles peuvent se
faire indépendamment l'une de tautre.

III. — Cas où les constantes des aires sont toutes nulles.

182- La théorie précédente suppose essentiellement Hj^ _|- H2* -h Hj^ ;zf o.
Etudions les mouvements pour lesquels les constantes des aii-es seraient
nulles toutes les trois. Dans ce cas il faut supposer les 1 8 quantités

^i, yu 2t, ^i, yî, 2/

non seulement liées par les relations

mais encore par les relations

^rni{y{zi — zly,) = o, ^mi{zi'Xi — x/z,) = o, ^mix^yi — j/rr.) = o .

Il est facile de voir que le plan du triangle des trois corps reste fixe, car
les composantes des trois vitesses qui sont normales à ce plan sont toutes
nulles, si du moins les trois corps ne sont pas en ligne droite,

Nous pouvons donc supposer les Zj et 2/ tous nuls, et il reste entre les
12 quantités Xi, j„ x/, y/ les cinq relations

^mi Xi = o, ^mi yi — o,

Il y a donc en tout sept variables dépendantes et une variable indépen-
dante (le temps). Or 0/, qui est de rang pair, ne peut pas être de rang égal
au nombre des équations difl'érentielles du mouvement ; le système caractéris-
tique de w' ne se confond pas avec celui des équations du mouvement.

Nous avons ici trois transformations infinitésimales A,,/, A3/, A4/ avec

to'(Ao, S) = 6H, w'(A3, S) = o, «'(Ai, S) = 0)^.

Les sept équations différentielles du mouvement peuvent être mises sous
forme d'équations de Pfaff

CT, =: o, njj == o, ..., m^ = O,
et on peut supposer

«'((As) = ... = rog(A3) = O, TO7(A3) = 1.

iSa LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

La forme to", qui peut s'exprimer au moyen de TOj, ..., rrr,, ne contient sûre-
ment pas ni,, sinon la forme a)'(A3, 8) ne serait pas identiquement nulle. Par
suite le système caractéristique de w' est le système complètement intégrable

Wj^ = nT2 ^^^^ ••« ^^^^ ^6 "~~ O ',

il donne le mouvement des trois corps indépendamment de V orientation du
triangle des trois corps autour de leur centre de gravité. Ce système une fois
intégré, l'orientation est donnée par une quadrature. La relation m-j{S.i) = i
assure en effet à rs^ la propriété d'être une forme invariante pour l'équation
différentielle ra^ = o.

Revenons maintenant à la forme w' de rang 6. Son système caractéristique
admet les deux transformations infinitésimales A^/ et A4/ qui donnent nais-
sance à deux formes linéaires invariantes w^ = 6H que nous désignerons par
Wi, et (1)4 que nous désignerons par w^. Nous supposerons, ce qui est permis,
que pour chacune des formes ^3, ..., vs^, on a Tn(Ao) = ^(Ai) = o. Un calcul
analogue à celui qui a été fait dans le cas général donne

w' = — ^ [cTiTSj] -+- û = — ^ [ôHcJa] + Q,

Q étant de rang 4 et formé avec ©3, njj, ts^, ro^.

Comme on l'a vu plus haut, on a w' = ato/ = araj', par suite

Q = 2^2' + [^ THsl = ~ (v/H TU2)'.

La forme - V^H. Q est donc une dérivée exacte ; elle admet par suite pour
système caractéristique les équations

(7) ^3 = ^i = THg = TOg z= o.

Ce système peut être intégré par des équations d'ordres
4, 3, o.

En définitive les équations du mouvement seront données par des opéra-
tions d'ordres 4 et 2 suivies de deux quadratures.

Remarquons que la forme s/Rw^, qui joue le rôle d'invariant relatif pour
le système (7), est égale, d'après l'expression (i) de ui^ =r: cjg, à

V/Hr^a = - v/H ^mi(xM' + Ji^j/ + ^ cc/8xi + ^ j/8j0 + o(U't).

Le système (7) est facile à interpréter : il donne le mouvement des trois corps
par rapport à un système de référence mobile qu'on peut faire correspondre
suivant une loi déterminée à chaque état des trois corps, Vorigine du temps
n étant plus nécessairement fixe. On peut par exemple choisir pour origine mo-
bile du temps l'instant actuel, et fixer l'unité de longueur par la condition
que l'énergie H ait une valeur numérique fixe donnée. Les équations du sys-
tème s'obtiennent en partant de la forme v/Hroj, dans laquelle on fait inter-

APPLICATION DES THEORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLEME DES fl CORPS l83

venir les coordonnées mobiles : on peut évidemment, dans l'hypothèse
envisagée, lui substituer la forme

^mi{cCi'oxt -+- yi'oyi).

Ici les quantités de mouvement des trois corps forment un système de
vecteurs équivalent à zéro : on peut donc regarder la quantité de mouvement
du corps Ai comme la résultante de deux vecteurs Uj et u^ dirigés suivant les
côtés AjA/, et AjAj et comptés positivement dans les prolongements de A^Aj
et A;Ai. On a alors, en désignant par r,, rz, rs les trois côtés du triangle,

On a de plus

u 1/2, 2, ''2^-^-''3^ — '*i^\ , ^/m2"i3 , '«3m, mimsX,

am, \ ' r-iVi ) *' \ r, v^ r^ }

Les équations du mouvement relatif sont alors

r/r, rf/'a àr^ — ofui — àn^ — àu^

SH ~ âH ~ dH ~ "âH" ~ aH ~ dH •
ôu, 0U2 ô«3 ôri ôro ara

IV. — GsiS où la constante des forces vives est nulle.

183. La théorie précédente suppose implicitement que la constante des
forces vives n'est pas nulle. Si nous la supposons nulle, les variables sont
soumises à une nouvelle relation

^^^mi{x/^ + yP)-\] = o;

il n'y a plus que six variables dépendantes et une variable indépendante. La
forme invariante w'(A(,, ô) est ici identiquement nulle, de même que la forme

W'(A3, Sj.

Le système des équations du mouvement peut être mis sous la forme

CJl := CJ2 = ... ^=^ ^6 ^^^ 0>

et on peut supposer (n° 163)

T^l{A.i) = Tn^{A3)= ... — m^{^^) = 0, BÏ5(A8) = O, T!J6(A3)=1.

La forme to', exprimée au moyen des Tn^, ne contient évidemment ni nrg ni
rog. Supposons enfin

^2(^4) = nJ3(A4) = ra4(A4) = 0, Wi(A4) == 1,

l8/i LEÇONS SUB LES INVARIANTS INTÉGRAUX

et a)'(A;, S) == THj. On aura

o)' = iTS^ = [nTiTn2] H- [1513^4].

La forme vs^ est du second type et les équations

nig = 133 = Tu^ = o

forment un système complètement inlégrable, caractéristique de l'équation
TO.2 = o : c'est celui qui définit le mouvement des trois corps par rapport à
un système de référence mobile, l'origine du temps pouvant être variable.
On peut ici par exemple supposer choisi pour unité de longueur le côté r-^ du
triangle. Les équations à intégrer constituent alors le système caractéristique
de ïéqaalion de PfafT

ad(Htrt -h U2''2 ■+■ «3) — Uidri — u^dr^i = o,

les quantités Uj, U2, «3, Tj, r2 étant liées par la relation

-i- {u,^ + «3^ H- 2«2U3 cos AO + ... -/ ("^^ ^'nÉIh^- m,m,) = o.

En posant

r, = ce, Ta t= y, u,ri -h U2r2 + «3 = 2, u, = 2p, «2 = 29,

on est ramené à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles du premier
ordre

Cette équation étant intégrée, on a par des différentiations la solution gé-
nérale du système caractéristique de to', car m^ étant mise sous la forme
ZidYi ■+- ZjdYg, on en déduit par des différentiations les intégrales premières
Yj, Y2, Zi, Z2 de ce système.

Mais les équations du mouvement ne sont pas encore intégrées complète-
ment ; il faut encore intégrer les équations

TUg = TjTg = O.

Elles constituent un système d'équations différentielles admettant les deux
transformations infinitésimales A(,/, A3J, et le tableau

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DES Al CORPS l85

est précisément réduit à sa forme normale

I o

o 1 il

Gomme d'autre part les deux transformations A^/, A,/ sont échangeable»
entre elles, puisqu'on a

A,{X,J) - MKf) = o,
on a

TOs' = O.

TOg' = o.

Par suite l'intégration s'effectue au moyen de deux quadratures indépen-
dantes; l'une donne l'orientation du triangle A1A2A3, l'autre donne le temps.

CHAPITRE XVIII.

LES INVARIANTS INTÉGRAUX
ET LE CALCUL DES VARIATIONS.

I. — Les extrémales attachées à un invariant intégral relatif-

184. Nous avons déjà vu au Chapitre I" (n° 9) que les équations différen-
tielles des extrémales de l'intégrale

l=j F(?i. •••>g«;7i' qn;t)di

se confondent avec les équations caractéristiques de l'invariant intégral
relatif / w, en posant

• -ii«..-(|.'i-F>'.

et où l'on regarde qi, ..., g„, q/, ..., q„', t comme an + i variables indé-
pendantes.

Dans le Calcul des variations on regarde qi, ..., q„ comme des fonctions
arbitraires de t, et q/, ..., </„' comme leurs dérivées. Dans l'espace à n H- i
dimensions {qi, ..., (/„, t) toute extrémale jouit de la propriété que l'inté-
grale I, étendue à un arc déterminé de cette courbe, est stationnaire vis-à-vis
des arcs de courbe infiniment voisins admettant la même origine et la même
extrémité. Mais on peut aussi se placer dans un espace à an -h i dimensions
(71» •• » 7n, 7i'i ••.. ?ri') t) : une courbe extrémale jouit alors de la propriété
que l'intégrale I étendue à un arc déterminé de celte courbe est stationnaire
vis-à-vis des courbes infiniment voisines pour lesquelles les valeurs initiales
et les valeurs finales des seules coordonnées q^, ..., (/„, l, sont les mêmes que
pour l'extrémale donnée. Si l'on se place à ce second point de vue, qi,...,qn
sont des fonctions de t qui n'ont a priori aucun rapport avec les dérivées de
Çi, ..., qn par rapport à t.

LES INVARIANTS INTÉGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS 187

185. Plus généralement partons d'une forme différentielle linéaire w
à 2/1 -t- I variables ; supposons la forme w' de rang an et supposons enfm
que n des coefficients des différentielles dans w soient identiquement nuls.
Nous pourrons donc poser

to = ai8xt -f- ajSxs -h ... -f- a„ôx,j — 68/.

les quantités a,, ..., o„, 6 étant des fonctions de 211 -+- i variables indépen-
dantes a^i , . . . , a-,1, ji , . . . , j„, f .

Les caractéristiques de l'invariant intégral relatif w, ou, ce qui revient au
même, de la forme quadratique extérieure w', sont données par un système
d'équations différentielles ordinaires

\ ) di - ^'' dt - *"

en supposant, ce que nous ferons, que t n'est pas une intégrale première des
équations caractéristiques.

Cela posé considérons dans l'espace à an -h i dimensions un arc de courbe
allant du point Mo(a-j», yf», 1°) au point Mi{xi^, j,*, i') et l'intégrale

aidxi -h aidx2 -h ... — bdt.

Mo

Calculons la variation de cette intégrale quand on passe de l'arc de courbe
considéré à un arc de courbe infiniment voisin allant du point {Xi'^ -h ôxj",
J.° + Sji», /• -f- 8t°) au point {Xi^ + ScCiS jj* + Sj^*, t*- -+- ot^). Nous aurons

Si lious voulons que l'intégrale soit stationnaire vis-à-vis de tous les arcs
de courbe infiniment voisins de l'arc de courbe donné, il faut qu'on ait, en se
déplaçant sur l'arc de courbe donné,

o)'[d, ô) = o

quels que soient 8xi, 5j„ 81; autrement dit il faut que l'arc de courbe appar-
tienne à une caractéristique de la forme w'. La valeur de l'intégrale sera sta-
tionnaire pour tous les arcs de courbe infiniment voisins pour lesquels a)§ sera
nul à l'origine et à l'extrémité, c'est-à-dire pour lesquels Xi, ..., Xn, t auront
les mêmes valeurs initiales et les mêmes valeurs finales que pour l'arc de
courbe donné.

186. Supposons maintenant que nous restreignions le champ des courbes
infinimeni voisines de la courbe donnée aux courbes pour lesquelles les fonc-
tions Xi, j, de t satisfont aux n premières équations caractéristiques

Nous admettrons que les n fonctions Xi, ..., X„ sont indépendantes par rap-

l88 LEÇOISS SUR I,ES INVARIANTS INïÉGRAlJX

port à ji, ..., y„, ce qui permet de prendre pour les Xi des fonctions arbi-
traires de t. Nous supposerons enfin que les valeurs initiales et finales de
a;,, .... Xn, t sont les mêmes pour les courbes variées que pour la courbe
primitive. Dans ces conditions on a

SI

= - j<o'{d,

Il est facile de voir que dans w'(o, d) il n'y a aucun terme en Sy,, 5jj, ,.., 8j„.
En effet le coefficient de Sji serait

— i dxi H dx2 -f- ... + -— dx„ dt;

ce coefficient s'annule nécessairement en tenant compte des équations carac-
téristiques (i), par suite en tenant compte des équations (2) ; il est donc nul
quand on se déplace sur l'extrémale. Comme dans l'expression de 81, il

n'entre sous le signe / que Sa^i, ..., ox„, ot, les coefficients de 8x1, ..., àxn, 8t

doivent être nuls. Par suite les exlré maies sont données par les équations carac-
téristiques de w'.

II. — Le principe de la moindre action de Maupertuis.

187. Supposons que la fonction II d'Hamilton soit indépendante du
temps. Considérons l'ensemble des mouvements pour lesquels la fonction H
a une valeur constante donnée h. Les trajectoires correspondantes sont les

caractéristiques de l'invariant intégral linéaire / co, avec

o) = ^Pi^qi — hU,
ou, ce qui revient au même, de l'invariant intégral / ni, avec

la forme ro ne diffère en effet de w que par une différentielle exacte. Cette
forme m est construite avec an variables, liées par la relation

et n seulement des coefficients ne sont pas nuls. Les équations caractéristiques
sont

^ _ _ ^9n _ — dpi _ _ — dp„
dpi bpn àqi dq„

LES INVARIANTS INTEGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS 189

Pai* suite, dans l'espace à 2/i — i diinenslons (7,, p,), les trajectoires sont

j Pidqt

p.Aqn,

soit qu'on considère toutes les courbes pour lesquelles les valeurs initiales et
finales de g,, ..., q» sont données, soit qu'on considère seulement celles de
ces courbes qui satisfont aux équations

dqi _ _ dqn
m ^-fl

et, bien entendu, à la condition H =r:: li,

188. Plaçons-nous par exemple au second point de vue. Supposons que
les fji soient les paramètres de position du système, les p, étant les compo-
santes des quantités de mouvement. Si on désigne par 2T la force vive et
qu'on la décompose en ses termes du second degré, du premier degré et de
degré zéro en <//, ..., ([,' , on a

SuLstituons aux variables p, les variables q' . On a par bypothèse
T2(7') --- '1^0 + U ^- /<,

V/Tai^./) _ 'jT^idg)

CT =

Mi

Enfin

on

suppose qu'on a

A,,
9i

_ ^'72 _

q-2 '

= ... =

Clq,

qn

v/T,(r/') v/To -{- U -h /t
La quantité sous le signe / dans l'intégrale I est

Si donc on pose

2T = ^aijqi'q/ -+- 2 Vfc.^,' 4_ 2T0,

on arrive au théorème suivant, qui constitue le principe de la moindre action
au sens de Mauperluis :

Les trajectoires sont les exirémales de l'intégrale

ji;s/<l + U + h) . yaudqdqj-\- yiidq>j

igO LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

vis-à-vis de toutes les trajectoires infiniment voisines assujetties à correspondre à
la même position finale et à la même position finale du système et à satisfaire au
théorème des forces vives H = h, avec une constante des forces vives donnée.
On retrouve le principe sous sa forme classique lorsque ïj = Tq = o.

189- Exemple. — Dans le cas d'un point mobile libre rapporté à des axes
fixes, les trajectoires sont les extrémales de l'intégrale

l \/a{V -h h)ds.

Si le point est rapporté à des axes tournant autour de oz avec une vitesse
angulaire constante a, et si de plus le champ de forces, indépendant du temps,
est entraîné avec les axes, on a

?T = m[{x' H- ayY + (y' — aa;)^ -4- z'^]

= m{x'^ H- j'2 -f- z''^) — 2ma(xy' — yx') -f ma^x^ + y-).

Pour un point de masse i, les trajectoires sont les extrémales de l'intégrale

/

\/a^(x^ + j2) -f- aU -i- a/idfs — a[xdy — ydx).

III. — Généralisations.

190. Cequi vient d'être fait dans le cas où le temps n'entre pas explicitement
dans H peut être fait aussi dans le cas où II ne contient pas une des autres
variables ç, et p^. Prenons, pour fixer les idées, le cas d'un point matériel
libre de masse i soumis à une force centrale fonction de la distance. Considé-
rons tous les mouvements se faisant dans le plan donné, que nous prendrons
pour plan des xy, et obéissant à la loi des aires avec une constante donnée C.
Les mouvements réels sont donnés par un système d'équations différentielles
admettant l'invariant intégral relatif

/■=/!'

,2

qui se réduit évidemment ici

dr -h r^O'ôO — ( i r'^ -+- - r^O'^ — vXlot,

J. = Jk8,

2 ^ 2 r'

5:-uie<

La forme vu ne dépend plus que des variables r, r' et t, et l'une de ses équa-
tions caractéristiques est

dr
dt='-

Il en résulte que si l'on se donne, comme conditions initiales, les valeurs Tq

LES INVARIANTS INTÉGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS IQI

et /p, et comme conditions finales les valeurs Tj et /,, le mouvement réel qui
satisfait à ces conditions est celui qui rend stalionnaire l'intégrale

..£,.-..-(i..A^_„)..£||(-)'_--.]

dt

vis-à-vis de tous les mouvements infiniment voisins satisfaisant aux mômes
conditions aux limites et vérifiant la loi des aires avec la constante des
aires G.

IV. — Application à la propagation de la lumière
dans un milieu isotrope.

191. Considérons un milieu isotrope dont l'indice de réfraction n soit
connu en chaque point. Le principe de Fermât conduit à définir les ra)ons
lumineux comme les extrémales de l'intégrale

I nds= l n^dx^ H- dy' -\-dz^.

En introduisant une variable auxiliaire /, on est dans le cas d'une intégrale

I F(x, y, z ; x', y', z' ', t).

F = n s/x'-' -i- y"' -h z'K
L'invariant intégral linéaire relatif / w dont les rayons lumineux sont les

caractéristiques est déflni par la formule

U) = —

qui devient ici

ôF . ôF . ôF , . , dF , , ôF , , ôF „. .,

'" • — î ôy H ,lz — {x —, H- y —, + 2 — , — F)û;,

ÔJ •' Ô2 ^ bX ^ dj Ô2 '

"2 4/V2 _l_ v'2 _i_ ,'2 ''

\/a;'2_f_^'2_^2'2 /a,'2_j_^'2^2'2 /a;'2 _,_y 2 _j. ^/i

OU encore

10 = n(aox + pSy 4- yôz),

en désignant par 'x, [E, y ^gs cosinus directeurs d'une direction arbitraire. La
forme w dépend donc en réalité de 5 variables. Il serait facile de former ses
équations caractéristiques et de montrer qu'elles contiennent en particulier
les équations

dx dy dz

192 LEÇONS SUR LES INVARIAINTS INTÉGRAUX

La direction (a, p, y) n'est évidemment autre que celle de la tangente au
rayon lumineux considéré.

192. La propriété de / w d'être un invariant intégral relatif conduit à

cette propriété d'un pinceau de rayons lumineux que si l'on décrit une courbe

fermée (C) entourant le pinceau, l'intégrale / n cos 60s étendue à cette

courbe, où l'on a désigné par G l'angle de la tangente en un point M de (G)
avec la tangente au rayon lumineux passant par M, est indépendante de la
courbe (C) choisie. On peut démontrer facilement que la condition nécessaire
et suffisante pour que les rayons d'une congruence soient tous normaux à
une même surface est que cette intégrale soit nulle pour tout pinceau de
rayons pris dans la congruence. Cela correspond au théorème de Malus d'après
lequel les rayons d'une congruence normaux à une surface sont normaux
à une infinité de surfaces. La condition pour qu'il en soit ainsi est que la
forme quadratique extérieure 10' soit nulle, ou, d'une manière plus précise,
que la forme bilinéaire alternée co'(S, ô') soit nulle quand on y considère ô
comme le symbole de la différentiation par rapport à un des paramètres de
la congruence, et 8' comme le symbole de la dilTérentiation par rapport à
l'autre paramètre.

Les rayons lumineux qui se propagent dans le milieu considéré dépendent
de quatre paramètres u^, w,, «3, «4. On^. appelle transfonnadon de Malus une
transformation effectuée sur ces paramètres et changeant toute congruence
de rayons normaux à une surface en une autre congruence de rayons nor-
maux à une surface. La forme w' est, comme nous le savons, exprimable au
moyen des m; et de leurs différentielles, La transformation la plus générale de
Malus est manifestement définie par l'équation

w'(u', du') = W(u, du),

k étant une fonction inconnue. La dérivation extérieure des deux membres
donne immédiatement

[dkw'] = o;

comme w' est de rang 4. cela n'est possible que si dk = o, c'est-à-dire si k
est une consLanle. Par suite les transformations cherchées peuvent s'obtenir
en exprimant que la forme linéaire

w(«', du') — ko)(a, du)
est une différentielle exacte :

n{x\ y, z'){a'dx' -t- ^'dy' -+- -^'dz') = kn{x, y, z)(oidx -+- <^dy 4- ^dz) -f- dV.

Définissons par exemple un rayon lumineux par les coordonnées (a-o, jo)
du point où il rencontre le plan des xy et les cosinus directeurs a,,, %^ y^ de
sa tangente en ce point. On aura

n{Xo', Jo', o){a^'dxo' + .^o'^Jo') — ^""(^o- Jo' o){oi^dx, + %dyo) = d\.

LES INVARIANTS INTÉGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS IQS

i*"" Cas. — U n'y a aucune relation entre Xq\ Jq'» ^o^ Jo- Dans ce cas V est
une fonction déterminée de a-^, y^, x^', jo', et on a

— kn{x„ y„ oK = ^ • — H^^' Jo> o)?o = |r^ '

n(Xo', Jo', oK = r77, "(a^o . Jo > o).V = ^Z-/'

Les deux premières équations donnent x^ et j^' ; les deux dernières
donnent ensuite a^,' et p^.

2' Cas. — Il y a une relation et une seule entre x^, j,,, x^', y^'. Soit

F(^o' Jo ; ^0'' Jo') = o

cette relation. En désignant par V une fonction arbitraire de x^, Jo'^o'Jo'^t
introduisant un paramètre auxiliaire X, on a

— /^'H^o. Jo. oK = ^ + ^^ ^ • — ^"(^0, Jo. o)?o = ^ + ^' ^'
od.Q OJ.Q oy^ oy^

, , , . , ôY , ôF . / , ^o , ôV , ôF

«(^0 , Jo . 0)^0 = 7:r^ -<- ^> ^7^' "(^0 , Jo . o)Po = ï;^ -^ ^ ï;7-> •

Les deux premières de ces quatre équations, jointes à l'équation F = o,
donnent x^', j^' et X ; les deux dernières donnent ensuite a^' et p^'.

3'' Cas. — a-^' et j^' son< des fonctions déterminées de a-^, Jq :

^0' = /(^o ' Jo) . Jo' = sf(^o . Jo) ;

Y est alors une fonction de Xq, y^ et on a

ôx„

"«, Jo'' o)(V ^ -^" P»' ^) = ^■"(''o. Jo, 0)^0

"(^0'. Jo'. 0)(V ~f -^ .V ^) = ^"(^0, Jo, O)?o + ^.
équations qui déterminent a^' et ,S^'.

193. La forme w' est invariante et nous avons vu plus haut la propriété
caractéristique des congruences de rayons pour lesquelles cette forme est

identiquement nulle. La forme invariante - to'^ a des applications en

Optique ; son expression développée est

- w'2 = n[on[arjX -H f-ôj H- yS^XSaSa: •+ S^Sj -f ^-^^z)]

— «''([S^SyôjSz] H- [8Y8a6zSa;] 4- [SaS^SxSj]).

Prenons par exemple tous les rayons lumineux qui traversent un élément
de surface donné de et dont les tangentes, aux points de traversée, sont pa-
rallèles aux droites intérieures à un cône d'ouverture infiniment petite rfw.
Les rayons considérés dépendent de quatre paramètres «1, u^, U3, U4. dont les
deux premiers par exemple définissent la position du point de traversée de

E. CAaTAN. — Leçons sur les Invariants intégraux. i3

ig4 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

l'élément da et les deux derniers l'orientation de la tangente en ce point.
Prenons sur chaque rayon lumineux l'étal caractérisé par le point de traversée
(x. Y, z) correspondant et les cosinus directeurs (a, j3, y) de la tangente en ce
point. Les trois premières quantités x, j, z ne dépendant que de Ui et «2,
toute forme cubique extérieure en 8x, Sj, Sz est nulle ; par suite l'invariant

- 0)'=* se réduit, au signe près, à

i w'* = ^''([S^SyS/ôz] ■+■ [ÔYÔotôzôic] + [5oiBpBx8y]).

Or l'on a, en désignant par X, ^i, v les cosinus directeurs de la normale à
l'élément d'y,

[Sjôz] = ld<j, [oz8x] = iJ.d<j, [oxoy] = vda ;
[ô^Sy] = °''^^> [Syôji] = pdio, [âao,6] = Y^iw;
par suite

1 w'2 = n\la. + [ji^ + VY)dadw = n^ cos Odadw,

en désignant par 0 l'angle de la normale à la surface avec la direction
(moyenne) des rayons lumineux qui traversent la surface.

Cela posé, si l'on considère un ensemble quelconque de rayons lumineux
dépendant de quatre paramètres, on peut prendre sur chaque rayon le point
où ce rayon perce une surface donnée (S) ; tous les rayons passant par ce

même point forment un cône solide et l'invariant intégral I - to'* relatif à
l'ensemble donné peut être donné par la formule

l = j n^ cos Gdffdo),

da désignant l'élément de surface de S, di» l'ouverture d'un cône élémentaire
de rayons partant d'un même point de S et faisant l'angle 0 avec la normale
à S.

Prenons par exemple l'ensemble de tous les rayons lumineux qui traversent
un volume limité par une surface fermée (S) et prenons chaque rayon au
point où il sort du volume. On aura, pour cet ensemble,

I == / n^dG I cos edo).

Or l'intégrale / cos ôc?w, en prenant pour coordonnées la longitude 9 et la
colatitude 0 sur la sphère de rayon 1 , est égale à

sin 0 cos M^df
étendue à l'hémisphère o < 0 < - ; elle est donc égale à -. Par suite ou a

■-//■"•■

//•

LES INVARIANTS INTÉGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS IQS

Si le milieu est d'indice i , les rayons sont rectilignes et l'intégrale 1 est
égale au produit de l'aire de la surface par ir.

194. Comme application des méthodes d'intégration générales exposées
dans le Chapitre XVI, proposons-nous de déterminer la marche des rayons lu-
mineux, dans un milieu isotrope où l'indice de réfraction n ne dépend que
d'une des coordonnées rectangulaires z. Ici on connaît la forme invariante w',
ainsi que trois transformations infinitésimales correspondant à une trans-
lation parallèle à Ox, une translation parallèle à Oy et une rotation autour
de 0; :

•' ôx' --^ dy '"^ dj -^ àx ôj3 '^ ôa

Comme ces trois transformations laissent invariante la forme
w> = n(aox -+- l^oy + ySz),
les trois formes invariantes linéaires to'(o, Aj) se réduisent à
c;a)(Ai) = ô(na),
5a)(A2) = ^('l.S),
5io(A3) = ô[/i(pa; — ay)].
On a donc trois intégrales premières

na, n^, n{px — ay).
Posons

na = a, n^ = b, 6ai ^— ay = c ;

la dernière relation montre que tout rayon lumineux est dans un plan pa-
rallèle à Oz. On a ensuite

j = e/ax + 6j 4- I v^n^ — 0=" — b'^dz

Par suite on a, pour les trajectoires des rayons lumineux,
^=:a f ,__^L_ 4- a', y = b f , ^^ , -+- b'.

CHAPITRE XIX.

LE PRINCIPE DE FERMAT ET L'ÉQUATION DE PFAFF
INVARIANTE DE L'OPTIQUE.

I. — Le principe de Fermât.

195. Nous avons dans le Chapitre précédent considéré un invariant in-
tégral de l'Optique des milieux isotropes, en y supposant l'indice de réfraction
indépendant du temps.

Prenons maintenant un milieu quelconque dans lequel nous supposons la
propagation des ondes lumineuses définie par une équation de Monge

(i) F{x,y,z,t; dx, dy, dz, dt) = o

homogène en dx, dy, dz, dt. Cela signifie que l'onde émanée d'un signal
lumineux émis à l'instant t au point (x, y, z) a pour équation, à l'instant
i-^dl,

F{x, y,z,t: X — X, Y — j, Z — z, dt) = o.

La surface d'onde relative au point {x, y, z) et à l'instant t a, comme on
sait, pour équation

F(x,y,z,t; X — x, Y — y, Z — z, i) = o.

Dans un tel milieu un rayon lumineux est défini en prenant pour œ, y, z
trois fonctions de t satisfaisant à l'équation (i) et, de plus, à une condition
supplémentaire qui constitue ce qu'on appelle le principe de Fermât. Parmi
toutes les courbes satisfaisant à l'équation (i), ou, comme on dit, parmi
toutes les courbes intégrales de l'équation de Monge (i), le rayon lumineux
émané d'un point donné (a^g, Jo, z^) a. l'instant t^ et passant par le point donné
(xi, ji, zi) est celle de ces courbes qui rend minimum le temps <i — t^ né-
cessaire à la lumière pour aller du premier point au second. Autrement dit
les rayons lumineux sont les exlrémales du problème de Mayer défini par l'équa-
tion de Monge (i).

LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATION DE PFAFF DE L'OPTIQUE I97

196. Rappelons rapidement comment le principe de Fermât conduit à la
formation des équations différentielles qui définissent les rayons lumineux.
Imaginons un rayon lumineux partant du point (a-g, y^, z^) à l'instant /(, et
aboutissant au point (ce,, yi, Zj) à l'instant i,. Etant donnée une courbe inté-
grale quelconque de l'équation (i) infiniment voisine du rayon lumineux,
on peut supposer que x, y, z, t sont, tant pour le rayon lumineux que pour
la courbe intégrale, exprimés en fonction d'un paramètre u, les valeurs o et
I de ce paramètre correspondant, pour le rayon lumineux, à l'instant t^ et à
l'instant ti. Soient

X -+- 5x, y -\- 8y, z -+- 5z, t -f- 5f

les fonctions de u relatives à la courbe variée. Désignons par x', y\ 2', /', les

dérivées de x, y, z, t par rapport à u. On a, en écrivant l'équation (1) sous

la forme

(2) F{x, y,z, t; x', y\ z', l') = o

et en variant cette équation,

ôF. ôF. , ôF. ôlv, ôF . , ôF., ôF. , ôF.„

— ox-\ oyH 0Z-] — -ot H -,ox -] .ov -\ -.oz -\-—-,ot' = 0.

dx dy '' dz àt dx dy '' àz dl

Multiplions le premier membre de cette dernière équation par Xdu, X étant
une fonction indéterminée de «, et intégrons entre o et i ; nous aurons

ôF , dz , ôF , df

X — 5x4-X — ov-hX — oz + X— -Sf + X — >S-j — hX — , ^^ t-
dx ôj «^^ ô' 9^ "« 0/ au.

(3)

i'

. ôF ^dz .liY^dl^,
4-X— 70-Î — hX— 70j-du = o,
ôz' du. ^l' duj '

ou, en intégrant par parties,

Si la courbe intégrale voisine du rayon lumineux satisfait aux conditions
initiales et finales imposées, on aura

et par suite

On peut se donner arbitrairement les fonctions Sx, Sj, oz pourvu qu'elles
s'annulent aux limites de l'intervalle; déterminons alors la fonction X

ÔX

-^(^S) = °.

-âM)--

bz

-fM)--

-im-'>-

igS LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

par la condition que le coefficient de ot dans la cjuantité sous le signe I soit
nul. Pour que (6«)i soit nul quelle que soit la courbe intégrale variée, il faut
et il suffit que les coefficients de 8x, 8j, 5z dans la quantité sous le signe /

soient nuls aussi.

Autrement dit, en introduisant une quantité auxiliaire X, les rayons lumineux
sont donnés par l'équation (2) jointe aux équations

(4)

L'élimination de X donne du reste, à côté de l'équation (2), les trois
équations

.,,, ôa; du\dx') ôy du\ày') dz da\dz') dt lJu\dt'/
(^) w -" ^P = ôF ôF '

àx' ?>j' 02' M'

auxquelles il convient d'ajouter

• dx , dy , dz^ , di ,

du ' du' ^ ' du ' dû

On voit immédiatement que l'équation (2) dérivée par rapport à. u et les

équations {4') donnent -j- , -f- , --tj-t par quatre équations du premier

degré et les valeurs qu'on en déduirait ne dépendent pas deu. Le paramètre u
n'intervient donc qu'en apparence, comme il est naturel, dans les équations
finales, qui sont de la forme

dx dy dz dt dx' dy' dz' dl'

F — 7 ~ 7 — T' — X ~ Y ~ T ~ T '

où X, Y, Z, T sont^des fonctions déterminées de x, y, z, t, x', y', 2', t',
homogènes du second degré en x', y', z', t', et satisfaisant à

[dx '' dy dz dt bx by bz bt

En réalité les équations différentielles des rayons lumineux sont des équations
différentielles ordinaires du premier ordre en x, y, z, t,-p,y, j,, ces sept
quantités étant supposées liées par la relation (2).

LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATIOS DE PFAFF DE l'oPTIQUE I99

II. — L'équation de Ptaff invariante de l'Optique-

197. Considérons maintenant une famille de rayons lumineux dépendant
d'un paramètre a et prenons chacun de ces rayons lumineux dans un inter-
valle de temps (/q, ^i) dépendant de a et correspondant à un point de départ
(•^o> 7o' -0) 'vaiiatle avec a et à un point d'arrivée (x,, ji, ::,) également
variable avec Jt. Si l'on désigne pour chaque rayon lumineux par X la fonction
auxiliaire qui intervient dans les équations (4), et si l'on applique la formule
(3), on obtient

De là résulte que le système différentiel des rayons lumineux, considéré

comme un système d'équations différentielles du premier ordre en x, y, z, t,

x' y' z'

jT' jT-f 77, liées par (2), admet V équation de Pfaff invariante

ôF . ôF . ôF . ôF .,

* dx' dj -^ dz' dt'

Cette équation de Pfaff, qui ne dépend elle aussi que des rapporti mutuels

de x', y', 2', r, est au fond à six variables ; son système caractéristique est
un système d'équations différentielles ordinaires, qui par suite ne peut qu'être
identique aux éqiiations des rayons lumineux.

Nous arrivons donc à la conclusion que les rayons lumineux sont les caracté-
ristiques de V équation de Pfaff

/.x ôF , ôF . ôF . . ôF .,

(5; — , ex -\ 7 oy H -fOZ-J^ ~, et = O'.

c'est l'équation de Pfaff invariante de l'Optique.

198. Dans la pratique l'équation de Monge (i) s'écrit sous la forme
^/ . dx dy dz\ i^-, , dx dy dz .

En posant

dx . dv . dz ,

dt

= /.

il est facile de former l'équation de Pfaff invariante. On a en effet

, ôF , ôF , ôF ., ôF

X — ; -hy — >-Hz — ? + ' -j7 = o;
dx' -^ ày' dz dt' '

200 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAtX

par suite l'équation (5) peut s'écrire

., ôF . , ,, ôF . , „ ôF . / , ôF , ôF , ôF\.

t' —^ ox -\- t' — ; oy -H f — . 5:; — x' — ? 4- y — ; + 2' — r loi = o.
dx' ay -^ dz' \ dx' ^ -^ àf ^ dz'j

Le premier membre étant homogène en x' , y', z' , l' , on peut remplacer
respectivement ces arguments par k, j, z, 1 . On a donc, pour l'équation de
Pfaff invariante, la forme

Prenons par exemple un milieu dans lequel la surface des ondes est une

sphère, et soit - la vitesse de propagation de la lumière, c étant la vitesse

dans le vide et n l'indice de réfraction (fonction de x, y, z, /). L'équation de
Monge est ici

et l'équation de Pfaff invariante est

nr{x'îx -h yoy -\- z^z) — c'^U = O.

"^ a — "^ V — "^

En posant

elle devient

n{a^x 4- [35y + yôz) — co< = o ;

se, P, Y sont alors les cosinus directeurs de la tangente au rayon lumineux.
Si n ne dépend pas du temps, les lois de propagation de la lumière

admettent la transformation infinitésimale -^ et par suite les équations diffé-
rentielles qui donnent les rayons lumineux admettent Xa forme invariante

of (aôx + |38j 4- ySz).

Les équations différentielles qui donnent les courbes (géométriques) décrites
par les rayons lumineux admettent par suite l'invariant intégral relalij

J'

i(û!5a; -h ^oy -f- ySz) :
nous retrouvons le point de vue du Chapitre précédent (n" 191)-

199. Les équations caractéristiques de l'équation de Pfaff invariante de
l'Optique peuvent se ramener, comme on sait (n° 152), aux équations carac-
téristiques d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre (la réci-
proque est du reste vraie, mais nous ne nous y arrêterons pas).

Vexislence d'un invariant intégral sera assurée toutes les fois que la loi de
propagation de la lumière admettra une transformation infinitésimale ; dans tous

LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATION DE PFAFF DE l'opTIQUE 201

ces cas on pourra ramener la recherche des rayons lumineux à un problème
ordinaire de calcul des variations.

Prenons par exemple le cas où la loi de propagation de la lumière est
donnée par l'équation de Monge

n\dx^- -r dy'- + dz^) — c-dl^ = o,

l'indice de réfraction pouvant dépendre de x, y, t, mais ne dépendant pas de z.
On a alors la transformation infinitésimale

la forme

io(5) nicL^x -h S5y + vo:) — cof ^ a ^ 3 ^ c ,,

—V, == -^^ ^-^ ^—^ = oc 4- - Ix -f- - 0 y &f

w(A) /lY ï ï "ï

€st une forme invariante. Une fois connues les coordonnées ce et j en fonction
de i, on aura z par une quadrature. Quant aux équations différentielles qui
<lonnent x et y en fonction de l, elles admettent l'invariant intégral relatif

/

- ox -H '- oy

OU, ce qui revient au même, l'invariant intégral
•où Ç, ïi, Ç sont trois quantités liées par la relation

/^

Les équations des caractéristiques comprennent en particulier les équations

-. dl \/<^''-7Ad^'-^dy^')

dx dy

7'^ -0

Les rayons lumineux rendent donc stationnaire l'intégrale

r__ ijx — T,dy + yt = f\/^ '^'' — ^^' — "^y""'

m. — Le principe de Fermât indépendant du repérage
de ï espace-temps.

200. Il importe de remarquer que l'équation de Pfaff invariante de
l'Optique est liée à l'équation de Monge qui définit la loi de propagation de

202 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

la lumière d'une manière indépendante du repérage choisi pour Vespace et le
temps. Autrement dit l'équation

ôF . , ôF . ôF . ôF .,

àx' dy' -^02' dt'

est covariante de l'équation

F{x, y, z, t; x',y', z' , t') = o
vis-à-vis de tout changement de variables effectué sur x, y, z, t. Cela résulte au
fond du principe de Fermât lui-même ; mais on peut aussi retrouver cette
équation de la manière suivante, où rien ne diflférencie les unes des autres
les variables ce, y, z, t.

Considérons le système de Pfaff

f -. dx dy dz dt

(7) "F- 7 -7 — 7'

o\x X, y, z, t, -p-, ji , j, sont supposés liés par l'équation (2), et cherchons le

système dérivé de (7). On appelle ainsi le système formé des équations de
Pfaff qui sont des combinaisons linéaires des équations (7) et qui jouissent
de la propriété que la dérivée extérieure de leur premier membre est nulle
en tenant compte des équations (7). En posant, comme plus haut,

x~ y~ '^~ 1'

toute combinaison linéaire des équations (7) est de la forme

u{dx — xdt) + v{dy — ydt) -h w{dz — zdt) = o.

Si l'on tient compte des équations (7), la dérivée extérieure du premier
membre se réduit à

\dt(udx -h vdy ■+- wd'z)] ;

la condition pour qu'elle soit nulle en tenant compte des équations (7) et de
l'équation (2) différentiée est

[dl{udx -h vdy + wd'z) {dx — xdt) {dy — ydt) {dz — 'edt)dF] = o,

ou, en simplifiant,

dx dy dz dt{udx -+■ vdy -t- wdz) i—^dx-] dy -\ 7 dz\\= o.

I \oCC oV OZ j J

Cela donne

u

V

w

gF

dF

= ôF-

Vx

ày

92

Le système dérivé du système (7) est donc tout simplement l'équation de-
Pfaff

g {dx - xdt) + ~(dy- ydt) -f- l' (dz - zdt) = o,
dont les caractéristiques sont les rayons lumineux.

LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATION DE PFAFF DE l'oPTIQUE 2o3

Il résulte de là que, même en Optique, la coordonnée temps ne joue pas
un rôle essentiellement différent de celui joue par les coordonnées spatiales.
Les lois fondamentales de l'Optique ne sont pas liées nécessairement aux no-
tions classiques de l'espace et du temps et se transportent telles quelles dan»
la tlicorie de la relativité.

201. Par exemple, en choisissant un repérage convenable pour l'Univers
(espace-temps), les lois de propagation de la lumière dans le champ de gravi-
tation produit par une masse unique (réduite à tin point), sont fournies par
l'équation de Schwarzschild

^''' ■ r\dO^ + sin»6c/ç) — (i — ^)dt^ = o.

r

Ges lois admettent; la transformation infinitésimale J; les rayons lumineux,

considérés au seul point de vue de l'espace, sont donc définis comme réalisant
l'extremum de l'intégrale

/^

2m
r

/ 2m\2

La propagation se fait dans un plan passant par le centre d'attraction et,
si on suppose ce plan défini par ç = o, on a à réaliser l'extremum de l'inté-

M

dr^ r'dè^

I 2m y 2m

de la trani
gration n'offre aucune difficulté et donne

En se servant de l'existence de la transformation infinitésimale -4, l'inté-

dr

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE

II. PoiscARÉ, — Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. III, Paris, Gaulhier-

Villars, 1899.
P. Appell. — Traité de Mécanique rationnelle, t. II, chap. nv, Paris, Gauthier- Villars,
II, PoiMCARÉ. — Sur les résidas des intégrales doubles; Acta Mathem., t. IX, 1887,

p. 32i-38o.

— Analysis situs ; Journal Ec. Poljt., iSgB.

Tu. DE Do^•DKR. — Etude sur les invariants intégraux ; Rend. Cire. Mat. Palermo,
t. XV (1901), p. 66-i3i ; t. XVI (190a), p. 155-179.

— Sur les invariants intégraux ; Atti del IV" Gongresso internazionale dei Matematici,
t. II, Roma, 1909, p. U9-137.

— Sur le multiplicateur de Jacobi généralisé ; Bulletin de l'Acad. royale de Belgique .
(classe des sciences), 1908, p. 795-811.

— Sur les invariants intégraux relatifs; ibid., 1909, p. 66-83.

— Applications du multiplicateur généralisé ; ibid., 1909, p. Gio-ôai.

— Sur le multiplicateur généralisé ; ibid., p. 268-286.

— Sur les invariants intégraux relatifs et leurs applications à la Physique mathématique ;
ibid., 191 I, p. 60-70.

— Quelques remarques sur le multiplicateur de Jacobi et le multiplicateur généralisé';
ibid., 1911, p. 740-749.

— Introduction à la théorie des invariants intégraux; ibid., 1913, p. io43'-io73.

— Applications nouvelles des invariants intégraux ; Mémoires de l'Acad. royale de
Belgique (classe des sciences) (a), I, (1904).

— Sur les équations canoniques de Hamiltoh-Volterra ; ibid., (2), III.

G. KœsiGs. — Application des invariants intégraux à la rédaction au type canonique d'un
système quelconque d'équations différentielles ; G. R. Acad, des Se. Paris, t. CXXI,
(1895), p. 875-878.

— Sur les invariants intégraux ; ibid,, t. GXXII, (1896), p. 25-27.

S. Lie. — Ueber Integralinvarianlen und Differentialgleichangen ; Videnskabaselskabets

Skrifter, Christiania, 1902, n° i (73 p.).
K. Z0RAWSS.1. — Ueber gewisse Transformationseigenschaften der vielfaehen Intégrale ;

Bull. Acad. des sciences de Gracovie (se. math, et natur.), 1909, p. 483-542.
R. Hargreaves. — Integralforms and their connexion with physical équations ; Trans.

Cambridge Philosoph. Society ; t. XXI (1912), p. 107-122.
R. DosTOT. — Sur les invariants intégraux de la propagation par ondes; Bull. Soc.

Math, de France, t. XLII (1914), p. 53-91.
E. Vessiot. — Sur les invariants intégraux et quelques points d^optique géométrique ;

Bull. Soc. Math, de France, t. XLI[ (1914), p. 142-167.

206 I?iDEX BIBLIOGRAPHIQUE

— Sur an invariant intégral de l'Hydrodynamique et son application à la relativité ; G. R.
Acad. des Se. de Paris, 3o déc. 1918.

E. GouRSAT. — Sur les invariants intégraux ; Journal Math, pures et appliquées (5),
t. IV, (1908), p. 331-365.

— Sur quelques points de la théorie des invariants intégraux; ibid., (7), t. I, (igiS),
p. a/ji-aSp.

— Sur certains systèmes d'équations aux différentielles totales et sur une généralisation du
problème de Pfajf; Ann. Fac, Se. Toulouse, t. VU, (igiS).

E. Cartan, — Sur l'intégration des systèmes différentiels complètement intégrables ; G. R.

Acad. des Se. Paris, t. GXXXV, (igoa), p. i/ii5-i/li7 ; i564-i566.
T. Ghella. — Vanlaggiche si possono trarre da noti invarianli integrali e differemiali in

alcuni problemi d'integrazione ; Annali R. Scuola norm. sup. Pisa (se. fis.-mat.)»

t. XI, (1910), p. 1-137.

Sur le calcul dit symbolique applicable aux formes différentielles exté-
rieures et sur certains calculs symboliques connexes on pourra consulter,
outre les mémoires précédents :

E, Gartan. — Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff; Ann. Ec.

Norm., (3), t. XVI, (1899), p. 239-332.
A. BuHL. — Sur les transformations et extensions de la formule de Stokes ; Ann. Fac.

Se. Toulouse, t. IV, (1912); t. VI, (1914); t. VII, (igiS).

Enfin sur le sujet connexe des invariants intégraux des groupes continus
de transformations, où le point de vue est un peu différent de celui de
H. Poincaré, on pourra consulter :

S, Lie. — Die Théorie der Integralinvarianten ist ein Corollar der Théorie der Differen-

tialinvarianten \ Ber. Sachs. Gesellsch., Leipzig, 1897, p. 3^2-35'].
— Ueber die Integralinvarianten and ihre Verwerlang fiir die Théorie der Differential-

gleiohungen, ibid., 1897, p. 369-/110.
K. ZoRAWsKi. — Ueber Integralinvarianten der continuierlichen Transformationsgruppen;

Bull. Acad. Se. Cracovie (se. math, et nat.), iSgS, p. 127-180.
E. Gartan, — Le principe de dualité et certaines intégrales multiples de l'espace langen-

tiel et de l'espace réglé; Bull. Soc. Math. France, t. XXIV (1896), p. 140-177.
Th. de Donder. — .Sur un problème relatif aux invariants intégraux ; Bull. Acad. royale

de Belgique (classe des se), 1912, p. 583-590.
R. Deltheil. — Sur la théorie des probabilités géométriques; thèse ; Toulouse, Ed. Privât,

1920.

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE PREMIER.

Le principe de la moindre action d'Hamilton et le tenseur
« quantité de mouvement-énergie ».

Page»

1. — Cas du point matériel libre i

n. — Cas général . , 7

UI. — Transformation des équations canoniques. — Théorème de Jacobi . . i4

CHAPITRE II.
L'invariant intégral à deux dimensions de la Dynamique.

I. — Formation de l'invariant intégral à deux dimensions de la Dynamique . 1 7

II. — Applications à la théorie des tourbillons 20

CHAPITRE m.
Les invariants intégraux et les formes différentielles invariantes.

I. — Notion générale d'invariant intégral 25

II, — Intégrales premières , . . . . 37

!II. — Invariants intégraux absolus et formes différentielles invariantes ... a8

ÎV. — Invariants intégraux relatifs. — La fonction d'Hamilton 29

V. — Exemples. — La forme « élément de matière » 82

CHAPITRE IV.
Le système caractéristique d'une forme différentielle.

I. — La classe d'une forme différentielle 38

II. — Le système caractéristique d'une forme différentielle 89

CHAPITRE V.
Les systèmes de Pfaff invariants et leurs systèmes caractéristiques.

I. — La notion de système de Pfaff invariant 44

n. — Le système caractéristique d'un système de Pfaff 46

III. — Le rang d'une forme algébrique et son système associé 48

208 TABLE DES MATIÈRES

CHA.PITRE VI.
Les formes à multiplication extérieure.

Pages

1. — Le système associe d'une forme quadratique 49

II. — Les formes bilinéaires alternées et les formes quadratiques extérieures . 5o

III. — Les formes extérieures de degré supérieur à deux 55

IV. — Le système associé d'une forme extérieure , 58

V. ^- Formules relatives aux formes quadratiques extérieures 59

CHA.PITRE VII.
Les formes différentielles extérieures et leurs formes dérivées.

I. — Le covariant bilinéaire d'une forme de Pfaff 65

II. — La dérivation extérieure 66

III. — Les formes extérieures différentielles exactes 71

CHAPITRE VIII.

Le système caractéristique d'une forme différentielle extérieure.
Formation des invariants intégraux.

I. — Le système caractéristique d'une forme différentielle extérieure ... 74
II, — Formation des invariants intégraux 78

CHAPITRE IX.
Les systèmes différentiels qui admettent une transformation infinitésimale.

I. — La notion de transformation infinitésimale 81

II. — Formation d'invariants intégra ix en partant de transformations infi-
nitésimales . 83

III. — Exemples 85

lY. — Applications au problème des n corps 88

V. — Application à la cinématique du corps solide 93

VI. — Equations différentielles admettant une transformation infinitésimale. gS
VII. — Exprimer qu'un système d'équations différentielles données admet une

transformation infinitésimale donnée gS

VIII. — Equations aux variations. 96

CHAPITRE X.
Les systèmes de Pfaff complètement intégrables.

I. — Le théorème de Frobenius 99

H. — Formation du système caractéristique d'un système de Pfaff . . . . ici

III. — L'intégration d'un système de Pfaff complètement intégrable . . . . 102

IV. — Les systèmes complets loS

CHAPITRE XI.
La théorie du dernier multiplicateur.
I. — Définition et propriétés 106

TABLE DES MATIERES 209

II. — Généralisations , 108

III. — Cas où la variable indépendante n'est pas particularisée 109

IV. — Cas où les équations données admettent une transformation infinitési-

male 110

V. — . Applications ii3

CHAPITRE XII.
Les équations qui admettent un invariant intégral linéaire relatif.

I. — Méthode générale d'intégration in)

II. — Les parenthèses de Poisson et l'identité de Jacobi 122

III. — Utilisation d'Intégrales premières connues 12^

rV. — Généralisation du théorème de Poisson-Jaccbi 127

CHAPITRE XIII.
Les équations qui admettent an invariant intégral linéaire absolu.

I. — Méthode générale d'intégration 129

II. — Généralisation des parenthèses de Poisson- Jacobi i3i

III. — Utilisation d'intégrales premières connues i34

CHAPITRE XIV.
Les équations différentielles qui admettent une équation de Pfaff invariante.

ï. — Méthode générale d'intégration i/iO

II. -!— Utilisation d'intégrales connues 1^2

m. — Application aux équations aux dérivées partielles du premier ordre . i4'i

IV. — La méthode de Cauchy 1^6

V, — La méthode de Lagrange i'i7

VI. — Equations aux dérivées partielles du premier ordre admettant une

transformation infinitésimale i48

VIL — La première méthode de Jacobi 1^9

VIII. — Réduction de certaines équations dififérentielles à une équation aux

dérivées partielles du premier ordre i5o

IX. — Remarques sur la rature des principales applications de la méthode do

Jacobi i5>

CHAPITRE XV.

Les équations différentielles qui admettent
plusieurs invariants intégraux linéaires.

I. — Cas où on connaît autant d'invariants intégraux qu'il y a de fonctions

inconnues i54

II. — Le groupe qui conserve les invariants donnés 167

III. — Exemples i5q

IV. — Généralisations 160

E. Cartan. — Leçons sur les Invariants intégraux. i4

210 TABLE DES MATIERES

CHAPITRE XVI.

Le3 équations différentielles qui admettent des transformations
infinitésimales données.

Pagus

I. — Réduction du problème 162

H. — Cas où il y a autant de transformations infinitésimales que de fonctions

inconnues i65

III. — Application aux équations différentielles du second ordre 166

IV. — Généralisations. — Exemples , . . . . 167

CHAPITRE XVII.
^Application des théories précédentes au problème des n corps.

I. — Réduction du nombre des degrés de liberté 172

H. — Les équations du mouvement rapporté à un système de référence

mobile , 177

III. — Cas où les constantes des aires sont toutes nulles 181

IV. — Cas où la constante des forces vives est nulle i83

CHAPITRE XVIII.
Les invariants intégraux et le Calcul des variations.

I. — Les extrémales attachées à un invariant intégral linéaire 186

II. — Le principe de la moindre action de Maupertuis 188

III. — Généralisations . . . , 190

IV. — Application k la propagation de la lumière dans un milieu isotrope . . i()i

CHAPITRE XIX.
Le principe de Fermât et l'équation de Pfaff invariante de l'Optique.

I. — Le principe de Fermât 196

II. — L'équation de Pfaff invariante de l'Optique 199

III. — Le principe de Fermât indépendant du repérage de l'espace-temps . . 201

Saint-Amand (Cher). — Imprimerie Bussière.

177

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