«HAjjwHi yiiSeejsa^a-.v rsr-:

• J ' •> A /* ^ /5 -• Ct*d*V* *••

^ tWiicwyj apv? . . C

, VI TELLIONIS

MATHEMATICI DOCTISSIMI

FEPI’ OHIKMZ, ID EST, DE NATVRA, RATIOc

ne , & praiedione radiorum uifiis ,-Iuminumj colorum atcp formarum.» quam uulgo Perfpediuam uocant,

1 1 {t R I X«

Habes in hoc opere , Candide Lector , quum magnum numerum Geometricorum elementorum, qua; in Euclide nufquam extant.tum uero de proiedione , infradione &i refradione radior umuiiiis3luminum5colorum,& formarum , in corporibus tranfpareti busatqj (peculis,pTanis,fphaericis,coliimnaribus, pyramidalibus , concauis 8i connexis , fcilicet cur quasdam imagines rerum uifarum aequales, quaedam maiores , quaedam mi* nores, quaedam redas , quadam inuerfas,qiicedam intra, quadam uero extra fe in aere magno miraculo pendentes : quaedam motum rei uerum , quaedam eundem in contra* tium oftendanttquaedam Soli oppofita,uehementifsimeadurant,ignem'<^admota ma* teria excitent:de'qj umbris, ac uarijs circa uifurn deceptionibus, 3 quibus magna pars Magi* naturalis dependet, Omnia ab hoc Autore(qui eruditorum omnium confenfu, primas in hoc feripti genere tenet ) diligentifsime tradita, ad folidam abftrufarum reru cognitionem,non minus utilia quim iucunda. Nunc primum opera MachematicoriS preftantifs, dd, Georgij Tanfteter & Petri Apiani in lucem aedita.

A Tx O T \ 7"Q Quintus, diuina faucnte clemetia Romanorum VJ /A IV V ) l.i v Imperator,femper Auguftus, ac Germaniae, Hi*

fpaniara.utriufcp Sic/Ite.HierufalemjHungarfejDalmaciaijCroatne.&c.Rex.Archi* dux Auftria:, dux Burgudia:, Brabatt£e,&c. Comes Habipurg/,FladriVryroIis,&c,Vni uerfts di fingulis notuelleuolumus.Quu nofter & Impertj Sacri fidelis.diledus Petru* Apianus Mathematica: rei in primis peritus, nobis humilime fupplicauerit,q> Epheme* rides quaida,uni cu alrjs infra comemoratis opufculis,maximo fuo fumptu,pari'q* tG in tietionis.tit ardi cionis labore, in c5mune bonoru ftudioforumtp omniu ufum candide dC Immaniter a:derc fecu coftituerit.Vereaturfcp iam ne eade ab altjs quoc^q ex alterius in comodo fu u aucupari contendut commodu,qui'c5 alieno labore bene parta, in fuu ipfo* rum male conuertut ufum, imprimeretur, id qd in (uum haud uulgare detrimentu redii» daret,quatenus Priuilegn noftri prpogatiua ad certu annoru numero, in quo nemo pia. ntr illud tentare auderet, ft adiuua re dignaremur. Quumcp nos eoru,qui tu opera dilige ti ac fedula.tu uigilantia fua no mediocri,quam & prouehendis bonis artibusgnaiiiter impendut.&inuulgandis utilibus libris nulli nec fumptui parcentcs.nec labori, liberali# ter mfumut,Reipiib.infigniter,pdeflefoIet,emoIumetu promouere,cotra difpediu amo Uere,,p germano di innato nobis ad eximia honeftifsimafcgingenuaru artiu ftudia fauo re ftudcamusjfit ut facilius Apiano c|f$ pdido, precibus eiufde di fupplici petttioi conde# fccndetesjGratia noftra hac in re impertiamus fingulare. Omnibus itacj} di fingulis chal cographis,B(bIiopolis,8(;qbufuis alijs tenore prarientiu diftride inhibemus, ne uidclicet infrafer/ptos Iibros,cjs pnominarus Apianus uel ia arduioi deftinauit,uel arditurus,erudi tis omnibus in publicu comunicaturus eft uncjbputa Ephemerides ab anno falutisnoftrg Millefimoquingetcfirno tricefimoquarto ad feptuagefimu fupra Millefimu di quingeti telimu duraturas, ptanerea libros de Vmbris,Cetiloquiu Anthmetices:&aliu adhuc de Arithmetica libellu.cu Regulis Coflte demoftratistDe mcfurationeuaforu cu artificia. Ii parris uacute muetione; Schedulas dfarias fiue Almanach cu iudictjs annalibus,(eu(ut uulgus Ioqtur)Pradicis,qbus aeris mutatioes,dierum<£ elediones fingulx cotinemurt Libros ite de coiuncfcionibustPtokmteu cx nouifsitna illa Vuilibaldi Pyrckamert tranf Iatioe,ante hac ntincp xditu,cu Tabulis corredifsimis58f inquadragulare figura, cuiuf* modi ha denus cxcufarno (unt,coformatis:Ptolema:i etia librosgrtere, eruditos eos fa* ne,8d(qd tSto autliore digniisimu eratlelcgantesjnatiuamcp illa fuam gratia in propria lingua retinetes;Ltbra dc EclipfibusjLibru Azophi aftrologi uetuftiisimilLibros Ge* hri: vitelli o N i s c^qt authoris antigfsimi fimul ac dodifsimi Perfpediua,opus 8i in

fens di ipfa materia: iucuditate laudatiifimu: Aftronomicu Imperatoriu:Librum de die us Creticis; Libros de Iridc;Tabulas refolutas ia p eunde reces fupputatasiRadtuno* uum Aftronomicu, finiulcj} Si Geo metrico, und cu uario Sinuu di Chordaru ufu ; LibriJ de Speculo ad pulcherrimas dimefiones apteaccomodato t Introdudione Cofmogra* phica cuomnis generis obicruatioibus itide pfinus di chordas.adiudo inlug Metcoro* fcopio duplici,plano &I(^d inaudicueritpIerifcg)nurneroru,AftroIabium<mmjmerorimi uniuerfale,ut reces ita uti lifsimutT abulas fcu Mappas.ut uocant, uniuerli terraru orbis generales, aut etia quaruda Recionu feuProuinciaru particulares:&! qcquid in Mathc* matids rebus didus Apianus fub titulo Qi nomine fuo.aut fiqua aliena reru Mathema ticarG monumeta prius neuticp excufa,fua uero ia induftria recognita & reftaurata, uel etiam figuris tantu illuftrata, p quofeut^ uolet Impreflbrcs,in luce abdiderit, intra fpaciu triginta annoru, abipfo jditiois die coputando,pter fuam ipflus uoluntate, excudant feti excudere faciant.neqt fic excufosuenu cxponant.feu uendant,fub pcena dcce Marchaijt Auri puri,^) una Camerte noftra: Imperiali.alterauero medietate dido Apiano irremif fibiliter exerluendaru.tu amilsionis Iibrorufic ad a:mulatione excuforo, ^s ubicuq? loco# ru nadus fuerit per fe.fiuc fuos,aut adiumeto Magiftratus eius loci.fibi uendicare,&! in poteftatem (uam redigere poterit .Harum teftimonio litcrarum Sigilli noftri appenfio* ne munitarum. Datum in Ciuitate noftra Imperiali Ratifpona,die tertia Menfis Iu* lij, Anno Domini Millefimo Qitingentefimo Tricefimofecundo,Imperijnoftd Duodcf cimo,fi>C aliorum Regnorum noftrorum Decimofeptimoe

ILLV STRISSIMO PRIN

CIPI AC DOMINO, DOMINO PHILIPPO CO,

MITI PALATINO RHENI, ET VTRIVSQVE B AVARIAE DVCI,

8Cc, Dornmo fuo gratiofifsimo,Georgius T anfteter Collimiti us Regius Phy ficus & Mathematicus S, D»

■V 3VI iatn inde antiquitus moris fuerit , qui ad hancnoftram ufcp aetatem defluxit, ut literatiuiri quoties uelfuas ipforum lucubrationes uel aliena fcripta afe e tenebris eruta, ac luci &C -quafi uitg reftituta jin publicu emittere deftinarunt,delegerint

jcxomni multitudine uirum alique lingularem, uel bene de fe

meritum uel uirtute praeditum, uel ipfum eruditum ac liceris probe tindu, ac eius artis qua: in libro eo tradatur ftudiofum.cuius nomini dedicati fiue propnj fiue alicnilabores aufpicatq prodirent. Quorum ego in praefentiaru infticutum in primis decens accp honeftumrite temulatus Illuftrilsime Prin* ceps,tuae CelGtudini alienum,fed praclaru tamen & perutilem laborem mea opera primum, ac deinde tuapotifsimuin ab interitu uindicatum , ac iam pri* mum in lucem exeuntem inforibere dedicare conftitui.Cum praefertim caufe propter quas fingulasalrj libros fuos mfcripferunt, in te omnes -congruant Primum enim,id quidem mereri Celfimdinem tuam, atep his longe maiora, neceflePabco confiteri.Quandoquidem ciim antea ex Petro Apiano proba ta fide homine ac Mathematices eximie perito cognoueram Celfitudinem tu am,&huiufmodi ftudqs maiorem in modum deledari , & cis operam inter* dum dare folcre.Tum anno fuperiore,cum hic inditus ac potentifsirrius Rex Ferdinandusperhyemen ageret,cuius tu in Aulico famulitio Princeps prin* cipem obtines locum,aliquoties ftudio Mathematico illedus me domi mea: inuifere non es grauatus,acnonfolum prima illa rudimenta eius artis fcien* ‘termecum exprompfifh',fed etiam de illis, qua: & fiudium accuratius & iudici um requirunt recondita magis & abftrufa eleganter difleruifti ♦ Deinde tot funt uirtutes tua: ac tata: quibus infigniter enicelcir,ut'fi pro fingulis libri fint tibi dedicandi, nulla unquam quamuis copiofa&d affluenter inftruda Biblio* theca fit fatis futura,quas"fi figillatim nomin areueli mtoo dum profedo Epi* ftola: egrederer. V nam hanc e lingularem ac notabilem comemorabo , quod anno ab hinc quarto , cum grauifsima & periculofa obfidione Vienna Au* ftrize cingeretur , circumfufo longe late Turearum exercitu prope infinito, tu fama exitus modo aduentus hoftium & formidulofie imprefsionisfponte tua quod uirium de repetite contrahere poteras,tecum Viennam raptim ad* duxifti,antequa teterrimi hoftesurbem omni exparte circumueniflent. Qua quidem in urbe toto illo obfidionis tempore omnia propugnationis munia fic obqfti,ut nodes diescp ad figna nihillaboris ac diferiminis refugiens pri* -misfettiper immixtus 8c ipfe primus confiitcris,alioscp defenlanda ad moenia fubinde luculenta Sc mafcula oratione fueris exhortatus, fic ut fortiter dicere,

fortius

fortius agere/orrifsimt: pugnare,promptils habeare 8c expeditus,nihil flrm nuifsimo conceflurus. Ac cum tua uirtute urbs illa ciuesfp praecipue defenli conferuacic^ fuerintjlluftrifsime Princeps author hic, quem tua: Cellitudini dedico, haud minus quam quiuis duis urbis illius tibi debere uidetur,Siqui=* dem iam ingruentein Auftri am hoftium exercitu inter reliquam librariamfu pclledlilem relid:us,niii perte,haud fecus ac duis alter quifquam defenfus fu iiiet,capta urbe ac direpta,& uere extrema paflus interfjHet . Itacppro duica corona,quamauthor mecum una tibi debet i te conferuatus, uindicatus^ab exitio ,& mea nunc opera in publicum emiflus tibi dedicationis munere gra* ta mentis confefsionem ultro mecum exponit, Authori porrd nomen eft gen tile Vitellio, qui ex T uringis Polonus annis ut conrjcio ab hinc plus, minus Dc.uixit Et abfolutum hoc opus Tn^o-nfim fummo iudicio paricp diligentia confcripfit,exado% ordine omnia tra&auit adeo,ut quod ad praeclarifsimse huius artis appreheniionem confummatam^ fcientiam attinet,nihil in eo de fiderari pofsit,eum Cellitudini tua: iam primum in lucem exeuntem nuncupa tim dedico,limult[$ obnixe rogo, animum dantis, &affe&um potius quam ipfum oblatum munus intuearis,&:Tanftetterum,quem hadlenus fouifti,pa ri benignitate porrd etiam profequi ne dedigneris.Foelidter uale Illuftrifsi* mc Princeps,

AD ILLVSTRISSIMVM PRINCIPEM

ac Dominum,D.Philippum Comitem Palatinum Rheni, & utriufcp Bauaria: Ducem &c, V rfinus V elius,

lampridem magnis animi ipedlate periclis Prima Palatinae fama Philippe domus;

Maxima feruata: fueras qui cauiia Vienna:,

Hoftibus innumeris urbs ubi dncfla fu iit.

Hic quoq» tum obieflits ie nunc tibi dedicat author.

Haec tibi feruati prtemia ciuis habe, Quodnonhoftfli fuerit deperditus igni.

Perpetuo did geftit,&eile tuus.

Huic tibi confimilem debere fatetur honorem Tanftetter,cuius prodithic aufpicijs.

Prodit,&in toto nunc orbe Vitellio nomen,

Diuulgat populi do&aper ora tuum*

1LLV STRISSIMO VERE

'dVE MAGNANIMO PRINCIPI AC DOMI

N O D. PHILIPPO • C OMJTt PALATINO RHENI, tT ittriufcp Bolanae duci &c. Domino & Meccena ti fuo clementiisimo 'Petrus ApianpS Mathematica: ordinarius in gymnafio Ingob ftadienfipfofeflbrjalutcmptecatur ^incolumitate ;

Vbinde mecum ipfe admirari foleo,Princeps Illuftrilsime,homi num quorundam inhumanum adeo ingeriium,atcp ab omni hu* manitate alienum ut optimas 8Cnobililsirnas quafcp artes conui cijs impetere rton dubitent , illashp miferis prolcindere modis, non fine maximo contemptu, digtii prbfefto ipii , qui ex hominum numero rei]ciantur. Necp multo diuerfum fcft & eorum inftitutum , qui nori quidem lemel omnes coUtemnuntliteras,led exealucrolaifta8c illiberaliter qtiarftuo la utilitate tantum metiuntur , ita ut in liberalium artium numero uix ali* quam relinquant, quai non fit,ut ipfi loquuntur,depane lucrando. Hinc fieri uidemus , ut fere pereathocnoftro leculo alioqui in bonarum artium profer <fhi foelicifsimo luus artibus honos,hinc uidemus uniuerfam iam philolophi atn dangueftere,&eas quidem illius partes magis , qua: minus pani Icruiunt lucrando. Solariautem in hac re uicilsim nos debet,quod omnibus retro fe* culis fuerunt Zoili &cMomi,qui quacUisteprehendere maluerint quam pb^ tucrint ipiit^ti,ne:c^ in uulgo tahtmii hominum reperti funt olores huiulinb* di,maxiltiiquocpuin urdp &deo 1 gfniiino uera: humanitatis ingenio defcce* runtjUtdolendumfit V alentinianum Imperatorem Gratiani filium immeii lo liter arum odio conflagralle , ac deinde Licinium quoqj Imperatorem tam infeftum fuille literis , ut uirus ac pedem publicam easappellarit , fcd qtiur oblecro nonddifiet ;, quorum ipfe adeo expers fuerit, ut ne decretis quidem fublcriberc pollet C Rectius ferilerunt pia riqj omnes iietcrum Rho* manorum, quorumquilqj habitus cfl; prarftantior , quo Fuit in lolidis arti* bus, maxime uero philofophia: 8C eloquentia: dudijs uerfatior. Superflu* um fuerit hiC Fabios , Scipioncs,L3clios,Ciceroncs,Catones,8c reliquos ui* ros lapientia: ftudrjs clarilsimos commemorare.Quisnon eximium Augudi admiretur ftudiumCEx Gfaccis uero quitis tioq merito Alexatidri Magni uerC regium,& ab optimo praeceptore non male inftitutum commendat ingeni* umcGerte,utex noftratibus unicum quoqj adiungam exemplum , Sigifmur» dus Imperator non iple tantum bonarum literarilm ftuclia fouit, do&isq* '& literatis omnibus .egregie fatiit * (ed reliquos etiam Germania: Principes pia: rumqj accufauit , quilatinas odiflcnt literas . Infuper etiam a quibuldam rc* prehenfus , quod Uiros humiles Sc eruditos foueret. Ego , inquit,eos amo, quos uirtutibus 8C doedrina, ex quibus nobilitatem metior , ca:tcris uideo antecellere. Prxclarum ille quidem & Imperatore dignum dedit Princi* pibus omnibus exemplar 3,'quod imitentur* Frutira autem haec ego omnia

Gelli

Celfftud ini tugccomemoro, cui tantus efl: in literas & litcratos omnes fauor, tantuscp ftudi) etiam Mathematici amor, &noinfoeliciter reipondens amo^ ri profectus, ut minus iam mirum mihi fiat,quur non ignobilem hunc de Per fpediua authorem illuftrifsimse tuse Celfitudini dedicare inftituerit,uir clarif fimus D.Georgius Tanftetter Collimitius Regius Phy heus & IVIatheniati* cus,quiauthoris huius exemplar mihi ed faciliusex fele&ifsinjis fuse biblio* thecae libris communicauit,utoptimus hieferiptor ad lucem aliquando pro* greflus in manus uenirec quam plurimorum,huius autem dedicationis officia um mihi tanquam ueteri amico demandarit.Nec potui minifterium illud o £* ferendi authorem hinc Celfitudini tuas optimse de me femper meritae negare, necpuiro illi mihi multis modis deuimftifsimo , maxime quum authoripfe nunc ueluti recens natus atqj inluce acditus,tam praedare de Perlpetfiiua icri* p ferit, ut uniis merito omnibus qui de hac re fcripferuntfit anteferendus. No male quidem fcripfitfuper hac materia Pomponius Gauricus,fed pauciori* bus quam utfufcepto refpondcat argumento,ex ueteribus fuper fimt monu* inenta,Alhacen,Bachonis,Rogerq,Balneoli,Ioannis Pilani Anglici , fratris Theodorici ordinis Praedicatorum,&forte aliorum quae aliquando aeden * tur. Quanto plus laudis emeruit hienofier Vitellio,in quo sedendo nihil fa= ne negle&iun eft,quod aduniuerfi huius ftudq faciat profecftum , nos quoqj pro candore noftro,& in omnes ftudiofos beneuolentia authorem hunc fi* guris,& omnibus ad hanc rem neceflari]s ita illuftrauimus, ut nc ftudiofi has» beant quod in nobis defiderent. Hic etiam aliud declarare non uolui, nifi ut optimo uiro D.Georgio Tanftetter fatis uideorfecifle,& opus hoc illuftrifsi mae Celfitudinituse cum paratifsimisobfequrjsobtulifle.Beneualeat nunc no bis omnibus T.C. illuftrifsime Princeps,& bonarum artium profeiftum fe* dulo adiuuet. Datum die quinto Februari), quo die non longe ante meridie cmlupiter blando & amico afpetftu Venerem fibi 'ueterem di cognitam adiunxitcomitem,quam hoc modo multis etiam ultra annum integrum die* busnonafpexerat* Anno M* D* XXXV*

VERITATIS AMATO'

RI FRATRI GVILHERMO DE MoRBEKA, VlTEs Io filius Thuringorum 5i Polonorum, aeternae lucis irrefrado mentis radio fodicem intuitumA intelledu perfpicuum fubfcriptorum.

niversalivm entium ftudtofus amor te u indu m detinens, me ti* bi ut idem appetentem,(?cconiunxit,ut uoluntas tua mihi fit imperium» me quoqj arceat ab effedibus tibidifplicentium paflionum. Quia ergo tibi, ut totius entis fedulo fcrutatori.du ens intelligibile £ primis fuis pro*» i£MSii!S5§!' diens principijs.entibus indtuiduis fenflbilibus per modum caufte, adu mentis coniungeres, 8i fingulop- caufas lingulas indagares,occurrit diuinarum uirtu* tum influentia inferioribus rebus corporalibus per uirtutes corporales iuperiores mo do mirabili fieri .Nec enim res corporeae inferiores in ordine partiu uniuerfi, diuina: uir tutis incorporaliter funt participes, fed per fuperiora fui ordinis contrada uirtute par ticipat ut poflTint,(icut & in alio fubftantiap- intellediuarum ordine inferiores fubftan* tias per fuperiop* fui ordinis illuftrationem i fonte diuinaebonitatis deriuatam, prout uniufcuiufc£naturafert,permodumintelligibiIiuminfluentiaRi fieri mentis acumine perfpexifti:Sic ut omnis remm entitas i diurna profluat entitate, & omnis intelligibili tas ab intelligentia diuina,omniscg uitalitas i diuina uita.quarum influentiarum diui nu lumen per modii intelligibile eft principium ,medium di finis; ut i quo,&; per quod, di ad quod omnia difponunt. Corporaliuuero in fluentiam lume fenfibile,eftmediu fuperioribus corporibus perpetuis fecundu fubftantia iolii in potentia ad ubi exiften tibus infima corpora, quae lecundu formas di ubi uariantur mirifice illuminans di con* nedens. Eft enim lumen fupremarum formarum corporalium diffufio per naturam corporalis forma: materes inferio^ corpore fe applicans, & fecum delatas formas diui* norum Si indiuidualiu artificum per modudiuifibilem caducis corporibus imprimes, fuicg cu illis incorporatione nouas femper formas fpeciffcas aut indiuiduas produces, in quibus refultat per adum luminis diuinft artificium tam motort orbium cjj monenti um uirtutum. Quia itacp lumen corporalis forma adum habet,corporalibus dimen fionibus corpop-, quibus influit,fe coaquat,8t! extenfione capacium corporum fe exten dit;attamen quia fonte, i quo profluit.habet femper fecundu fuxufr tutis exordiu,pro* fpicere dimenfionem diftantia.qua eft linea reda, per accidens aflumit,ficfcg fibi nome radrj coaptat.Et quoniam linea reda naturalis femper eft in aliqua fuperficie naturali* Superficierum ueropaflio,quae per terminantes lineas eis accidit eft angulus; ideo ra* dio luminofo confideratio adiacet angularis ,di redis angulis radiojt perpendicularitas eftcaufa.Obliquatio uero irradiantis corporis fuper irradiatum corpus,, acutos can* fat angulos di obtufbs,& fecundu huiufmodi luminariu influentiam uariantur. Cum itacp tua folertis diligentia ingentj fecundu hxc cozleftiu influentiap; diurnam uirtutem refpedu rerum capacium imitari profpiceret, & non folum fecundu uirtutes agentes, fed fecundum diuerfitate modi adionis,res adas diuerfari uideret , placuit tibi in illius rei occulta indagine uerfari.eiuscg diligenti inquifitioni ftudiofam anima applicare.

Libros itaq* ueteru tibi firper hoc negocio perquirenti,occurrit taedium uerbofi tatis Arabicacjimplicatioms Grarca, paucitas quocp exarationis Latinar,pnefertim quia tis> bi comiflum officium pcenitentfaria: Romana: ecclefix,cuius cura: parte geris, credens plus intelledu pradico cjj fpeculatiuo,pcenitentibus fuccurrere,te cohibuit i multi tudi ne uidendo£>;maIuifti enim languentium animati- diuino antidoto languoribus fuccur rere,cp ipfo^ hominum ignorantias re!euare;Me'q$ putans uacareocio,fub amoris ne* xu,quo tibi coniungor,uoluifti conftringcre,ut hoc laboris tibi placiti onusfubirem, hiscg materijs mihi nondu cognitis,animum applicarem. Atego,qui eundis iuflio* nibus tuis obtemperare defidero,uelle tuum fufeipiens pro mandato, maioris negocrf, quod de ordine entium olim confcribendumfiifceperam capitulum,intempus femoui, pvxfcntisqj operis difpendiumpro mex poffibilitatis uiribus,quibus hic impar fateor.

a. adq

adij confcribendum. Attendens quoqj.quia eadem uis forma: immittitur in coriarium & in fenfum48d q> lumen fit primum omniu formarum ienfibilium, quodfcg rerum fenfi bilium omniu cauias efficientes intendamus perquirere, quojt: plurimas differentias uis fus nobis oftcndit.Pramiffbrum per modii entium uifibilium perferutatio placui't,ficut di eadem uiri,qui an te nos plurimi tradauerunt huius fcientia ncgocium, P E RS pe- cti v o RV M nomine nuncupantes, quo» di ego nominatione ut placita approbo: licet plus ad naturalium forma^ adionis modum occultiflimum per tradandu,ut opus prafens tuis affectibus refpondeat.fcribentis intentio fe declinet. Quod enim in fenfii uffiis plus perceptibiliter agitur,hoc in ipfius fenfus abfentia in rebus naturalibus nulla tenus euitatur.Senfus enim pran entia nihil addit adionibus naturaliu formain. Om nem itacp modum uifionis Mathematica uel naturali demonftratione tranfeurrendo, ea quae de naturalibus formarum adionibus per modum paffionum uifibilium iuxta triplicem uidendi modum pro mea: poffibilitatis modulo tradabo. In omnibus em illis uidendi modis,forma: naturales ad uifum fe diffundunt, radrjtjj uifiualcs non exeunt ad capefcendas formas rerum.Vnde fi prafentia formap’ diffufarum per corpora naturae lia ipfarum fufceptibilia,uifus non affuerignon propter hoc naturalis adio no erit, fed forma: in fubieda corpora fibi difl7milia,impriment quantum poflunt. T u ltaq; uir defideriorum omnis fcientialis boni , fufe/pe quod fieri mandafti,_in quo fi quid incultu *nueneris,perfpicaciori ingenio modereris.

TOTIVS OPERIS IN DECEM LU

bros diuifio, di quid in lingulis tradetur.

R AES ENS itac# negociu decem libris partialibus duximus diflinguen* Ipel pM )|2\ dum. V olentes eih omne ens uifibile,ut fua uifibilitati pallio accidit,Ma* thematica demonftratione cocludere, 8i hac uia eatenus ut nobis eft pofli l|iq bile,cer tius ambulare,librum hunc per fe ftantem effecimus, exceptis his

l^^^^^^lquse ex Elementis Euclidis, & paucis quae ex Conicis elementis Pergari Appollonij dependenr,qua funt lolum duo, quibus in hac fcientia fumus ufi,ut in pro* ceffu poftmodum patebit. In primo itacp huius fcientia: libro axiomata pramit

timus ,qua prater elementa Euclidis huic fcientia funt neceflarfa. Et in hoc ea duo.qua: demonftrata funt ab Appollonio,dccIaranuis, Plurima & hoja.qua in hoc libro pra* mitrimus.continentur in eo libro.qucm de dementatis conclufionibus nominamus.in quo uniuerfaliteromnia confcripfimus,quanobisuifa lunt,& qua ad nos peruencrut d uiris pofterioribus Euclide, pro particularium ncccflitare Icientiarum uniuerfaliter conclufa. In fecundo quoqj hoc noftro libro,de modo proiedionis radioft per

medium unius diaphani,uel plurium,fuper figuras corpo^ diuerfas:Necnon de proic* dio ne umbrarum 8i figuratione lucis cadentis per feneftras tradauimus,utdehis quae praambula flint adioni fenfibili formarum naturalium,&: qua fiunt non exiftente fens di. In tertio uero libro de organo uifus,de'cp effentiali modo uidendi fiio modo tra

dauimus ,ut patitur fcientia Opticorc. In quarto quocp libro percurrimus decepti

ones.qua accidunt uifin iecundu diredum modu uidendi per unum mcdiu,f?ue fint paG fiones Mathematica.fiueerianaturales. In quinto aute libro nos ad alium modu uidendi,qui fitper reflediones d politis corporibus,qua fpccula dicimus, transferentes tradauimusde paffionibus communibus omni fpeculo, fiue fit planum, fiue fpharicix, columnare fiue pyramidale,concauum uel conuexum.Hac enim funt omnia fpecula, & quibus regularis poteft fieri refkdio,ut nos declarabimus fuo loco: nec tamen intelli gimuspcrhacfpcculafolucorpora polita artificio,fed potius per naturam. Quia di! demonftrarionem his fpeculis applicamus.naturalia corpora eiufdem figura intelligi mus. Quod em in artificialibus corporibus irregulariter accidit,in corporibus natura Sibus certius accidere necefle cft. Et durnfic per figuras fpcculo# difcurrimus,cceleftes

Si om

& omnes naturales influentias i Cubieclis corporibus fub quodam refledionis modo ad aha corpora declaramus. In his enim diuerfitatibus latens eft natui1» operatio, 8C ab eifdem agentibus fecundum huius diuerficatis modum fit diuerfitas formarum ,8i ac cidit uifibus.fi ad locum refledionis deueniant,ut adipfos fiat refledio rquonia uifibus ut quodam pofteriori formis naturalibus & corporibus exiftentibus ipforum prafen* tia rebus naturalibus nihil addit.Horum itaqj fpeculorum comunes pafliones,&: om- nes proprietates fpeculorum planorum in quinto libro propoluimus. In fexto ue- ro libro demonftramus pafliones,qu» accidunt uifibus di rebus ex refledione fada I Ipeculis fpharicis conuexis, In leptimo uero poluimus pafliones accidentur d (pe- culis columnaribus uel pyramidalibus couexis,&: hsc duo Ipecula fimul coniunximus propter conformitatem plurium pafltonum. In odauo.de refledionibus qua; fi- unt d fpeculis ipluericis concauis prolixius tradauimus. In nono quocp de his,quai fiunt a Ipeculis columnaribus uel pyramidalibus concauis.Et in eodem de fpeculis qui bufdam irregularibus,:! quorum totali fuperficie fit refledio lucis dC uirtutis ad pundu unum, qua: ipecula comburentia dicimus,adiunximus tradatum. In decimo uero libro huius feienti»,agimus de tertio modo uidendi, qui eft per medium alterius dias phani,ut cu per aerem fit uifio fub aqua uel fub uitro. Et de deceptionibus.qu» ex hoc accidunt uifui:nam di fi uifus non fuerit.etedcm pafliones uirtuti accidunt agenti , Et in hoc quocg decimo tradatu adiecimus paflionem foli uifui accidente ex diuerfita te mea diorum.uteft impreflio arcus dsmonis,qui dicitur irisjquoniam di illius generatio ex hac prxfenti fcientia ortum habet.Siccg quali omnium uifibilium generabilibus pallio nibus percundatis,operi finem damus. Patet itacp ex pr*miiiis,quod triplex eft modus uidendi.Quidam per unum medium tantum, qui eft uifio direda, Quidam ue- ro per refledionem formarum uifibilium i corporibus p olitis. Q uidanmerp per refra- dionem formarum uifibilium propter diuerfitatem medionmuHi quocp tres modi ui- dendi lignum liint triplicis adionis formarum di omnium uir tutum cceleftium £>£ natu ralium.Qua*dam enim agunt direde in obiedum fufceptibile.Qt: haec adfo eft fortior, quoniam eft direde intenta per naturam, & fit fecundum lineas redas. Accidit auterr» illi uirtuti,quando eft corporalis debilitas.propter remotionem maiorem agentis ab ip Io adu.Sol em no adeo calefacit remotiora ficut propinquiora calefadibilia qu» funt eiufdem difpofitionis.Aliauero naturalis adio fit per refledionem i corporibus alijs» utradtj Solis i corpore Luna: refleduntur:cfjuis enim propter raritatem Lunaris cor- poris quiddam Solaris tranfeat uirtutis. Plurimi tamen radiorum refleduntur inferi- us,ut d fpeculo fphaerico conuexo.Eft ergo illi adioni conueniens omne quod diximus in paflionibus fpeculo^ aflimilante fe figura corporis i quo fit refledio figura: lpecula ri.Tcrtia uero maneries naturalium adionum,eft per plura media diuerforu diaphono rum.qua: fimiliter in lup modo agendi diuerfitatem accipit.quam ui/ibusaccidete dice mus.In his itaqj naturalibus adionibus uifeis lignum eft,non caula, nlfi forte deceptio fit per fe proueniens In uifiuquoniam non exiftente perceptione uifiua,idem modi lunt omnium naturalium adionum. His itaqj pr.-emiflis, aggrediamur intentum. Hoc tamen legentem latere nolumus,quia dum cx libro Elementorum Euclidis arguimus, fola nominatione numeri libri di theorematis contenti fumus. Du uero aliquid ex hoc noftro libro adducimus, & numeru di theorema huius libri nominamus.

LIBER PRIMVS

PERSPECTIVAE VITELLI ONIS.

DIFFINITIONES.

| Va uero per modu principio^ huic primo libro pramittimiis, iiint ifta» t Kathetum dicimus linea perpendicularem fuper fuperficiem aliquam ere | cflam. Polum dicimus omnem pundu linea: iuperiuperficiem circuli i i centro orthogonaliter ereda, Conuexam lineam uel iuperficicm dici- 5J mus, quae extrinfecus aliquam regularem curuitatem habet. Lineam concauam uel fiiperficiem dicimus , quae intriniecus aliquam regularem curuitatem habet. Lineam fuperfuperficiem conuexam uel concauam perpendicularem dici- mus,quafuperpIanaiiiperficfeinpundofuaincidentia iuperficie conuexa uelconca ua cotingente eft ereda. Circuli feinuicefecantes dicunv.quop: diametris eft aliqua linea comunis uno reliquum non continente. Circulus magnus iphara dicitur, qui tranffens centrum iphsra, diuidit ipiam in duo aqualia. Minor uero circulus fpha:* ra:dicitur,qui necp tranfit centrum fphara.necp diuidit ipiam in duo Ecqualia. Spha xas jequalcs dicimus,quarum diametri funt aquales. Sphtcras uel circulos feinuicem continentes aquedtftan tes dicimus,inter quas & centro maioris duda linea: i conucxo minoris ad concauu maioris iimt aquales. Sphtcras feinuicem c5tingcntes dicimus, qua: ie tangentes extriniecus uel intriniecus non iecant. Sphaeras feinuicem interfea cantes dicimus, cu ipharis ie no cotincntibus diameter unius per altera refecat. Spha: ras intriniecus ie in terleca n tes .dicimus quorc maior pars unius in altera cotinct. Su periiciem planam (phaera contingerediciffliJs,qua cCS iphaeram tangat, ad oem parte educfla non iccat. Denominatio ^portionis primi ad fecundu,dicitur quantitas qua: duda in minore producit maiore,uel qute maiorem diuidit fecundu minorem. Pios portio dicitur coponi ex duabus proportionibus.quando denominatio illius proporti onis p roducitur ex dudu denominationu illap- proportionum unius in alteram,

PETITIONES.

.J Petimus autem hrcc. Aequales angulos fiiper idem pundum conft/tutos, / aqualem continere diftantiam aqualium linearum, ut fi anguli a b c, & cbd, / fint aquales, & linea a b & b d funt aquales', tantum diftabit linea a ba linea

/ b c ,quantum linea b d diftat ab eadem linea b c. Item inter qualibet duo puti

/ da lineam, 8d inter qua slibet duas lineas fuperficiem pofle extendi. Item cum

/ dua plana iixperficies ie cotxngunt ,una ex eis fieri fuperficiem. Item duas pla-

/ nas fuperficies corpus non includere. Item omnes eafdem proportiones ex fic k milibus proportionibus componi, in fimxles proportiones diuidi,&f eaidem ha

bere demonftrationes.

c THEOREMA I.

Omnes linea: xquediftantes in eadem fuperficie plana ne cellario confiftunt.

Sint dua linea aquediftantes,qua a b & c d utcuncp diipo(Tta,dico quod ipfa funt in eadem fuperficie plana, copulentur enim per lineam b d.quoniam ergo linea a b & b d angulariter coniungfitur ,palam quo niam ipia funt in eadem fuperficie,per z.undecimi. Similiter quia dua: linea ad&bd angulariter coiunguntur,erut ipia in eadem fuperficie. Si linea b d eft in una tantum fuperficie plana, quoniam xpfius partem e fle in fiiblimi,partcm in plano eft impoffibile per prima undecimi.Pa ° 1 am ergo,quoma lines a b & c d neceflario confiftunt in eade pia na fit

pcrS

-LIBER 9K1SL1S2 i

perfide contenta inter eas & inter lineas extremitates 'illarum linearum copulantes, quod eft propoli tum.

II*

Lineam a pun&o unius linearum tequediftantiumin eadem fuperficie pertradam , cum altera indefinita; quantitatis concurrere eft neceffe.

Sintdualincxseouediftatesqu^ab&cd.quapiima ftilictttabfecet 1 ic nea b a in purtifto b.Dico q> linea be iecabit etiam lineam c d,quia enim li nea c d indefinitae quantitatis efle fupponitur,plotrahatur ueriiis ipiam lis neam b e,qu* fi concurrit cum c d,habetur propofitu.Si hon concurrat pa lam per diffinitionem squediftantiu linearum, quoniam linea b e eft aeque* diftans 1/ne* cd,& quia line* ab&be amb* funt *quediftantesl/ne* c a, erit per 3 o .primi linea e b *quediftas line* a b,ied palim ex hypotefi,quos niam concurmmt,ut in punefto b,non ergo *quediftat linea b e line* c d, 1 ergo neceflario concurrit linea b e cum linea c d,quod eft propofitum.

in.

Datis tribus lineis cuilibet tertia fecundum proportionem ali arum duarum proportionabilem in u en ire.

Sint dat* tres line* qu*fiint ab, cd, ef, quarum uni ut ab fecundum proportione aliarum duarum qu* funt c d & e fiquarta proportionalis debe at inueuiri.Du* i taq? line* *quales duabus lineis qu* funt cddief,ab una linea continua abfeindatur qu* fit a e f per 3 .primi,& illi line* a e f angula riter tertia data icilicet ab, coniungatur in- punefto a ,& £ punefto. comuni diffinguente duas lineas rcicclas,qcr fit punctu c.Ducatur linea e b ad ext re inita tem terti* datarum qu* eft a b,£v! i punefto 6 ducatur linea *qucdiftans line* eb per 3 1 ,primr,qu* fit f g.Deindc ,p trahat linea a b in cotinuu & di mftum.quoufcp Cecet lineam f g, iecabit autem per pr*miflam,fit itag? puns <ftus concurfus g.Dico,q> per fecunda 6, eadem eft proportio line* a b ad Iis neam d g,qu* eft line* e a dat* ad lineam e f datam, Similiter quoqj de quo libet aliarum relpedu reliquarum duarum dcmoftrari poteft,patct ergo pro* politum. 11 1 1.

Cum duabus lineis inaequalibus notas proportionis a?qualiulinearum faefla fuerit additio maioris ad minorem minuiturproportio.

Sint du* line* a b & c d inaequales not* proportioriis,fit'cp linea a b maior c$ linea c d, addatur quocg linea b e ipfi a b,& linea d f ipfi c d,fint'cg line* b e di d f *quales.Di co,q> minor eft proportio line* a e ad lineam cf qp line* ab ad linea c d,

quonia enim dat* funt tres line* qu* iunt a b & c d & b e3inuenitur per -

pr*cedentcm linea proportionalis line* b e fecundum proportione lis

nearum a b di c d qu* fit d g,quia ergo linea a b eft maior cfj linea c d,pas 5 5

tet.quia lmea b e eft maior $ linea d g, ergo di linea df eft maior cj? linea d g, abfeindatur ergo per 3 .primi line* d f *qualis ipfi d g,quia ergo eft proportio lis ne* a b ad lineam c d ficut line* b e ad lineam d g,erit per 1 3 .quinti proportio totius li- ne* a e ad totalem lineam c g ficut line* a bad lineam cdjcd per 8. quinti minor eft,p portioline* a e ad lineam c. f maiorem, cjj ad lineam c g mmorcm.eft ergo maior pro- portio line* a b ad lineam c d q? line* a c ad lineam c f hoc eft propoutum»

Cum fuerit proportio primi ad fecundum tanq? tertrj ad quartum , erit «contrario proportio fexti ad primum ficut quarti ad tertium»

Sit enim a primum,& b fecundum, & c tcrtium,&' d

quartum,& fit proportio a ad b ficut c ad d.Dico,q> erit -1 c

econtrario proportio b ad a ficut d ad c, quoniam enim

«ft proportio a ad b ficut c ad d, erit per 16 . quinti b jo~

a iij perimi

1*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS permutaturi proportio b ad a ficut d ad e , fecundi uidelicet ad primum ficut quarti' a 4 tcrtiuitijquod eft propofitum .

VI.

Cum fuerit quatuor quantitatum proportio, prima; ad fecundam ma* ior cp. tertia; ad quartam, erit econtrario minor proportio fecunda; ad pri* mam cp quartae ad tertiam .

Efto proportio linea: a ad lineam b maior qj line* c ad lineam d.Dico,q? erit econ* trariominor proportio linea: b ad lineam a c| linea; d

— c — j ad lineam c.Sic enim per tertiam huius ut qua: eft pro-

portio linea: c ad lineam d,eadem fit lineae e ad lineam

a B b,quia ergo maior eft proportio linea; a ad lineam b cjj$

jj linea: c ad linea d,ex hy pothefi patet ,q> minor eft pros

. portio lineae e ad lineam b c{j lineae a ad lineam b , ergo per io .quinti linea a eft maior qj linea e,& quia eft proportio lineae e ad lineam b ficut lineae c ad lineani d,erit per preemiflam cade proportio linea b ad lineam e,qua linea d ad lineam c.Eft autem per 8. quinti minor proportio linea b ad lineam a qj ad lineam e,cft ergo minor proportio linea b ad lineam a cjfj linea d ad lineam c,qd* eft propolim, vn.

Si quatuor quantitatum proportionabiliu prima fuerit maior cp fecun* da ,& tertia maior cp quarta,erit euerfim eade proportio primae ad augmen tum fui fuper fecundam,quae tertia: ad augmentum fui fuper quartam.

Sint quatuor linea .pportionalcs a c prima,b c fecunda,d f tertia, & e f quarta. Sft£p linea a b maior cfj linea b c,& linea d f maior cp linea e f

. excedat quoqj linea a c lineam b c in linea a b,& linea b

B c f lineam e f in linea d e,Dico,q> eadem erit proportio li

neaacadlineamab,qualineadf ad lineam dc,quoni

* — e y am enim eft proportio linea; a c ad linea b c ficut linea;

d f ad lineam e f ,eft ergoper 1 6,quinti permutatim pro porrio linea: a c ad lineam d f ficu t linea: bc ad lineam er, ergo per 19. quinti erit pro- portio linea; a b ad lineam d c ficut linea; a c ad lineam d f,ergo per 4,huius erit propor rio linea: a c ad lineam a b ficut linea: d f ad lineam d e,quod eft propofitum.

VIII.

Si quatuor qua titatum prima fuerit mafor fecunda, & tertia maior quar j ta, erit maior proportio prima; ad quartam qj fecunda; ad tertiam.

Sint quatuor linea: a b c d,& fit a prima maior b fecunda,& fit c tertia maior cjj d quarta. Dico,q? maior eft proportio linea; a ad lineam d cfj li*

nca: b ad linea c,quia enl linea c eft maior qj linea d, ex hypotheli

A c patet per 8 ,quinti,quoniam maior eft proportio linea; a ad line.1

g — 3 dqjad lineam c, minor ucro eft proportio linea: b ad lineam c cjj

linea: a ad lineam c per eandem 8 .quinti,quoniam ut prxmifluna eft, linea a eft maior qj linea b,& quonia quicquid eft maius maiore eft maius minore, patet , q> maior eft proportio linea; a ad lineam d qj linea: b ad lineam c,patet ergo pro pofitum. . IX.

Cum quatuor quantitatum prima fuerit maior cp tertia , & fecunda mi* nor qj quarta,maior erit proportio prima; ad fecunda cp tertia; ad quarta.

Sint quatuor linea; a prima, b fecunda, c tertia, d

•— - c quarta , ficfcp a maior c p c ,& fit b minor cfy d. Dico , q»

maior eft proportio a ad b qj c ad d, quonia enim linea

— - — . . aeftmaior c{j linea c,patet per 8. quinti, quonia maior

0 eft proportio linea* a ad lineam b linea: c ad linea b,

fed quia

LIBER PRIJWVS, 4,

Sed quia ex hypo thcfi linea b e fi minor cp 1/nea d, patet per eande 8 .huius quinti, quon* am maior e fi. proportio linea: c ad lineam bcpad lineam d,eft ergo maior proportio lis nere a prima: ad lineam b fecundam cfj linea: c tertia: ad lineam d quarta,& hoc eft proa» politum. x.

Si quatuor quantitatum fuerit maior proportio primas ad fecundam cp tertiae ad quartam,eritpermutatim maior proportio primas ad tertiam cp fecundas ad quartani .

Sint quatuor linea: a b c cl,{it($ proportio a ad b maior cp c ad d.

Dtco,q> erit permutarim maior proportio linea: a ad lineam c cp lia»

ne* b ad lineam d.Sit enim per 3 .huius proportio line* e ad lineam B

b ficut line* c ad linea d,erit ergo ex hypotheli & ex 1 o, quiri linea E

e minor cp linea a,ergo per 8. quinti maior eft proportio line* aad lineam e cp line* e ad lineam c.Eft autem ex prarmilfis 8i per 1 «S.quinti ,pportio line* e ad lineam c ficut line* b ad lineam cfpalam ergo,quoniam maior eft proportio line* a ad lineam ccp li- ne* b ad lineam d,quod eft propofitum.

XI.

Cum quatuor quantitatum maior fuerit proportio primas ad fecundam cp tertias ad quartam, erit coniuncftim maior proportio primas & fecunda: ad fecundam cp tertias# quartas ad quartam.

Efto 4,lineap* a b c d maior ^portio a adbcpcad d.Dico, q> totius line* a b ad \i* nea b maior erit .pportio cp totius line* c d ad linea d.

Sitem p 3. huius $ portio line*eadlinea b, q linexc ^ —

ad linea d,eft ergo ex hypotheli maior ^portio line* a

ad linea bcp line* e ad linea b,ergo g 1 o. quinti linea a E 5

eft maior cp linea e.T ota ergo linea a b eft maior cp to __

ta linea c b .ergo g 8 .quinti ntaior eft ,ppor tio totius 1< £

ne* a b ad linea b cp totius line* e b ad linea b,g 1 8 .uero qulti eft .pportio line* eb ad li nea b,q line* cd ad lineam d,eft eni ex pmiftis pportio line* e 'ad linea b ficut line* c ad linea d. Eft ergo maior pportio line* a b ad linea b cp line* c d ad linea d,qd eft ppofi* tum . XII

Si quatuor quantitatum proportio primas & fecundas ad fecunda fit ma* iorcp tertias & quartas ad quartam, erit difiuneftim maior proportio prima: ad fecundam cp tertias ad quartam*

Sit proportio totius line* a b ad eius partem linea b maior cp totius line* c d ad eius partem d.Dico, q» erit diliuncfhm proportio line* a ad lineam b maior cp line* c ad lis neam d.Sit enim per 3 .huius proportio line* e b ad lineam b ficut line* c d ad linea d, erit ergo cx hypotheli maior p portio line* ab ad lineam b cp line* e b ad eandem line am b,ergo per 1 o .quinti erit linea a b maior cp linea e b,abla

ta ergo utrobiqj linea b comuni, relinquit linea a maior <p \ie -

nea e, eft ergo per 8. quinti maior pportio line* a ad lineam

b cp line* e ad eandem linea b.Scd per pr*mifta eft propora» ^ :

tio line* e b ad lineam b ficut line* c d ad lineam d,crgo per

1 7. quinti eft proportio line* e ad lineam b ficut line* c ad lineam d,erit etgo maior p portio line* a ad lineam b quam line* c ad linea d,# hoc eft propofitum .

xm,

‘ Quarumlibet trium quantitatum quocp ordine dilpofitarum ,quar ume di* ad utramcp extremarum aliqua fitproportio,erit proportioprimasad tertiam compofita ex proportioe prima: ad fecundam #fecund*ad tertia, ex quo patet quod proportio extremorum ad inuicem componitur femper

ex pro-

PERSPECTIVAE VITELLIONIS ex proportione mediorum ad inuicem 8t ad ipfa extrema.

Sint extra gradus tres lines quas a b g,quaram prima quae cft a fit maior cj media quae eft b,8i b fit maior cjj tertia quae eft g,fit'cg ipfius b ad ambas extremas .pportio no ta.Dico,q> proportio lines a ad lineam g tertia componitur ex proportione linea: a ad lineam b,8d ex ^portione lines b ad lineam g,quonia enim proportio lines a ad linea b eft nota,fit quantitas d denominatio illius ,pportionis,8<: fimiliter quia proportio li- nes b ad lineam g eft nota ,fit denominatio illius .ppoitioms quantitas e ,dt fit quanti - tas z denominatio proportionis lines a ad linea g.Dico,q> ex ducftu e in d fit z , quonia enim per diffinitionem ex duduz denominationis ^portionislinesaadlineam g in ipfam lineam g minorem cfj fit a fit linea a, fimiliter &

ex ducftu d ad lineam b fit linea a. Proponitur itaejj z

& Q primum &dfecundCE linea b tertium & linea gquartu,

5 e ' qui a itaqj illud quod fit ex ducftu primi in quartum eft

^ squale ei quod fit ex ducftu fecundi in tertium, patet g

i j-.fexti, quonia eft proportio primi ad fecundum ficut terti} ad quartu,eftergo ^portio z ad d, ficut lines b ad lineam g,crgo denominatio ps portioniszaddexfuppofitioeefteademcu dcnolatione^portioislines badlinea g, led denominatio ,pportiois lines b ad linea g eft quatitas e. ergo denoiatio ^portionis z ad d eft idem e, ergo ex ducftu e in d fit z ,quia ergo denominatio ^pportiois lines a ad linea g quae eft z producit ex ducftu denominationis ,pporti6is lines a ad linea b in de* nominatione ^portionis lines b ad linea g, patet per diffinitione, quoniam ,p portio li nes a prims ad lineag tertia coponit cx^pportioe lines a prims ad linea b fccunda,8£ ex ^portione lines bfccunds ad linea g tertia c]d eft propofit3 primum. Eodem quo q$ modo poteft faciliter demoftrari de quocuqj medijs inter quslibet duo extrema collo catis,femper enim .pportio extremorum ad inuicem componit ex omnibus ,p portioni busmedioru ad inuicem.Et ipfa extrema fimiliter demonftrandi uiadiuifionis,fi me* diam contingat efle maiorem qualibet extremarum, patet ergo propofitum.

XI III,

Si linea recfta fiiper duas recftas ceciderit,feceritfp angulos coalternos in* 2cquales,autduos intrinfecos minores duobus recftis,uel extrinfecum in* aequalem intrinfeco,illas lineas ad minorum angulorum partem concur* rere eft necefte, ad aliam uero partem impoffibile,5dfi lineae concurrunt ,ne cefle eft dieftos angulos aliquo propofitcirum modoru fe habere.

Sint dus lines a b c d,quas fccct linea e f fccundu quod ,pponitur.Dico , quonia lines abSdcd concurrent, fi enim non concurrant, patet q» fiint squcdiftatcs , ergo per 29. primi fequitur contrariu hypothe,q> eft inconueniens,con currunt ergo,ad partem uero minorum angulo^ cocurrerceft \ neceflarium, quonia fi ad partem maiorum angulorum cocur-

Ny ^ rant,fequeretur angulu extrinfecum trigoni tanti fieri minore

\ angulo intrinfeco,&eft contra j 6.Qi 3 2.primi,& quia per prs

mmaspropofitionesadpartesminorum angulo^ concurrat, fi ex conceflo ad partes maiorum angulo^ concurreret, fcque* retur recftas lineas fuperficiem includere, cp cft impofilbilc. Eft ergo impoflibi!e,ut ad partes maiorum anguloit concurrant, quod cft propofitum primum. Sed & fi detur q> ilis lines con-

bereper 3 2.primi,patetergo totum

currant, necefie eft angulos aliquo propofttojj' modorum fe ha quod proponitur,feruata femper fiypothefi.

Cum lin eis fe in ter duas lineas aeq uedi ftantes,a quaru m terminis produ cuntur,fecantibus ex utracp parte fecftionis, partes eiufdem lines inter fe fue rmtsequaks,nccefTe c ft lineas,inter quas ftt fecftio3a:quaks effe.

Verbi

LIBER PRIMVS,

Verbi gratia :Sint Ut duae linea: a b & c d inter duas lineas squc* ^ di flantes, a quaru m terminis producuntur, qua: fiint ad&cb, fecent ie in pundo e,it a,q> linea a e fit «qualis lines e b,& linea c e fit «qua*

Iis ipfi c d.Dico,q> linea a d eft squal is linea: e b, qn enim per i j-.prf* mi angulus a e d eft «qualis angulo c e b, erit ex hypothefi &per ^.pri mi linea a d «qualis Iine« c b.quod eft propofitum ,

xvi. ,

Si per terminos duarum linearum axjuediftantium 5C in squaliu reda: producant,illas ad parte minoris linea: cocurrere eft necefte*

Sint du«line« a b & c d «quediftantes di insquales, fitfcg linea c d minor c£ linea ab,producanturfc|3 per terminos ipfarum line« a c c —

& bd.Dico,q> ilis fines a c&bd concurret ultra - — ---

lineam c d, producatur enim linea c d ultra pundu d ad pundu c,fiatcg per tertiam primi linea c e «- qualis lines a b,& ducatur linea b e.Hic itacg linea b e per 3 3 .primi eft squediftans lines a c,ergo per 2. huius cum linea b d concurrat culinea b e in pun do b.Patet,q> ipfa concurrit cum linea a c,qus s * quediftat lines b e,fed di ad partem lines c d, qus eft minor cp linea a b concurrere eft necefle per 1 4.huius,uel per 2,fexti,patet ergo pro pofitum,pundus enim concurfus plus qui eft f,erit ultra lineam c d.

XVII.

Linea: reda: continentes angulos aquales cum line a reda ,cui ad unum pundum incidunt,(imuliunda:,{unt breuiores omnibus lineisab eildem terminisfupereandemlineamad unum pundum alium produdis , conti= nentibus cum eadem linea angulos ina:quales fimul iundis.

Sic linea reda qus a b c f ,& fint duo punda d di g,a quibus dus line* g b &d b ,p- duds iilper lineam a b c f, contineant angulos squales, ita.ut angulus a b g (it squalis angu*

Iocbd.Dico,q>fii pitndis d&g ad aliquod aliud pundum lines a b c f ,q> fit c, fines duds contineant insquales angulos, ita, ut angulus g e a fit minor angulo f c d,q> lines gb ab d fi muliundsfupermmoresduaslineasgc di d c fimul iundis.Ducat enim £ pundo g fuper lineam a f perpendicularis per 1 2.primi , qus fit gh,& producatur linea gh ultra pundu h,

& producatur d b donec concurrat cum linea g h produda,concurrent autem per 1 4. huius, fit ergo pundus concurfus k,8d coniungatur linea k c,8<! quonia angulus d b c eft squalis angulo g b h,ex hypothefi & angulo n b k,ex 1 5-, primi paUm,q> angulus h b k eft «qua lisg bh,(cd anguli ghb&khbfunt «quales, quiaredi,crgo per 3 2.primi trigoni gh b & k h b etiam sque squi anguli, ergo per 4.fexti,cu linea h b fi t comunxs di squalis fi- bijpfi,erit linea g b squalis lines k b,&! linea g h squalis lines h k.Et eadem rattoe per 4.primt erit linea g c squalis lines k c,quia uero per 20 .primi linea k d tn trigono k d c minor eft ambabus lineis d c & k c fimul iundis,& linea g b squalis eft lines b k, & Ii* neagcsquahs eft fines kc,pabm,quiaanibs lines gb&db fimul iunds, minores funt ambabus lineis d c & g c fimul iimdis,fimifiter quoq? de quibufcuncK lineis i pun- dis g&dad lineam a f produdis eft demonftrandu , patet ergo propofitum.

XVIII.

Linea: reda: continentes angulos aequales cum linea conuexa,cui ad unui

b pundum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

putidum incidunt fimul iundae,funt breuiores omnibus lineis ab eifdern terminis fuper eandem lineam ad unum pundum alium produdis , conti* nentibus cum eadem linea angulos inaequales ffmul iundis.

Sit linea curua a b c, fuper cuius conuexum a pundis g&d incidantline* d a & g a continentes angulos *quales,ita,ut angulus c a g fit aequalis angulo b a d. Dico, q> fi du cantur ali* line* i pundis g di d fuper lineam ab c,ut g b & d b,cotinentes angulos in- arquales cum linea a b c,q> ambae line* g a 8i d a fimul iund*, erunt breuiores duabus li neisgb Si db fimul iundis.Ducacur enim linea ef, contine gens arcum a bempundo a per- 1 6. tertrj, anguli ergo cotin- genti* qui funt e a c & f abfunt*qualespcr ly.tcrtq.fed an- guli gac&dab funt *quales cx hypothe (ferunt ergo angu Iigac&d af *quales,& ad pundu ubi linea g b (ecat lineam e f,q> fit Zjducatur linea d z ,ergo per pr*cedentem amb* lia ne* g a & da funt breuiores ambabus lineis gz&dz,cum angulus g z a fit minor angulo g a e,& angulus d z f fit ma ior angulo d a f per 1 6. primi. Sed linea g b eft maior cf; linea gz,quiatotu parte & linea db eft maior cp linea dz per 19, primi,quonia angulus d z b eft maior angulo fiti trigoni, pas tet ergo ^pofitum in arcu circuli conuexo,& eode modo de* monftrandum in quacunq? alia columnali uel pyramidali fe dione fecundum ipfius conuexum, patet ergo propoli tum.

xix.

Vna linea redam duabus fuperficiebus planis exiftente,necelTe eftutil lac dux fuperficies fecundum illam lineam fe fecent ,

Sint du* fuperficies plan* abcd&cde f,in quaru utraq? fit linea c d.Dico,cjj fil* du* fuperficies fecant (c fiiper linea c d.Si enim ill* du* fuperficies aci linea

c d ut ad comunem terminu per modum unius fuperficici contingenti* co

pellerentur, tunc patet quod ipfxfunt partes unius fuperficiei , di non du* iiiperficies,quod eft centra hypothefim , quod fi ipf* tupcvficies datam li- neam c d pertranfcanqnec ad ipfam.ut ad communem terminu coputen-

D tur, palam per 3 .nifi cum ipf* ad inuicem fe fcccnt, cp ipfis aliqua linea eft

comunis.aut ergo fccant fe fuper linea c d,& habetur pr opofitir, aut iiiper aliam qua continet datam, di tuc cu illa fit ambabus ,ppofi tis fuperficiebus comunis per pr*nominata tertia, nifi di eildcm fit linea cd comunis cx hy

i pothcfi, (equitur ,ut du* plan* iupcrficies illas duas lineas internectes cor

pus includant, qcfeft ipoflibile di cotra fuppoliti'one,patet ergo^ppofrtu.

XX.

Ab uno pundo in aere dato/uper unamquacp fubftrudam planam uel p couexafuperficieguna tantu gpendicularis duci poteft.

Sit data iiiperfictes plana a b c d,&! datus in aere pundus e. Dico,q> 3 pundo e ad fubftruda fiiperficiem unam tantum per- pendicularem duci eft poffibile,fi enim impolfibile fir,uc fuperfi dem plana datam qu* a b c d, ducantur i pundo e du* perpetis» dtculares,qu* (iint effice g,quia itaqg line* e f & c g angularia ter coniunguntur in pundo e, patet per a.undccimi, quoniam ill* du* line* iunt in eadem fupcrficie,& qtionia line* ill* funt perpendiculares fuper fiiperficiem a b c d.erit fupcrficics,m qua iiint line* ill*,c reda iiiper fiiperficiem a b c d. Huius itaqj (iipfl cici di fuperficiei a b c d comunis fcdio eft linea f g per pr*mi&' iam,in trigono ita cp e f giimtduo anguli redi, fcilicetcfg di e g f per diffinitionem line* credas fuper fuperficiei», hoc autem

eft im-

LIBER PRIHVS, 6

eft /mpofllbile Si contra 3 i.prim/,q> hoc ctia patet in fiipei ffc/ebos conuexis,quia enim ut per diffinitionem omnis linea perpendicularis fit qua cotinet fuperficie conuexa, eft perpendicularis fu per plana iiiperflcie ipfam conuexa , fuperficiem in puncto inciden- tia: linea: illius contingente,patet,quia in omni fuperficie conuexa idem accidit impbf fibile.Si enim fit fuperficies fphairica conuexa, in qua fit arcus f g,fit ut ipfam contin- gat in pundo ffuperficics plana.in qua ducatur linea h f k,& in pudo gfuperficies pia na, in qua fit linea 1 g m, palam ergo ex prxmiffis.quia anguli ef k&egf funt redi„p* duda queee^ corda f g,pahm,quia anguli e f g & e g f funt maiores redis quod eft im- poffibile.non eft ergo poflibile abuno pundo dato plus una perpendiculari duci ad fu perficicm plana uel conuexam,patet ergo ,ppoficum,quonia in quibufcuncp alijs conue xisfuperficiebus eft eodem modo demonftrandum.

XXI.

Omnium lineam ab eodem pundo ad eandem fuperfidem planam uel conuexam produ<ftarum,minima eft perpendicularis.

Efto fuperficies plana b cd,& pundumextra fignatum a,a quo ducantur plurima: linea: ad fuperficie data, ut contingit,fciIicet ae,a f,a g ,a h,fola tamen a e fit perpendi cularis.Dico,q> linea a ceft omnium aliarum breuiflima , ducantur a linea ef ,eg,eh,8d componansur trigona orthogonia , palam itaq? cum per 3 z. primi angulus redus fit ma ior in quolibet trigono orthogonio , quonia linea aeper 19. primi breuior eft qualibet li- nearum a f,a g,a h,& ctia aliarum quarumcu cp fic produdarum.patct ergo propofitu in planis,fed Si in conuexis patet idem, quonia fi perpendicularis fuper conuexa Iuperficiem fitaCj&fitbcdi fuperficies plana continges fuperfidem conuexa fecundum pundum e, ducanturip lineae af,a g,a h fiipcr fuperficie planam, erunt illa: omnes maiores perpendicularcs,fed exdem ciem conuexam funt maiores,patet ergo propofitum.

XXII.

Duda: i fupremo termino linese fuper fuperfidem ereda: ad lineam per pendicularem,cuicuncglinea: a pundo incidentia: linea: reda: in fubieda fupficie ^trada^necefie eft correda linea fuperiacentc perpcdiculare efTe.

Sit pundum in aere datum quod fit a, i quo ad fuperfidem planam fubiedam qua: fit bed, erigatur linea per 1 z .undecimi qua: fit a b .incides data* fuperficiei in pundo b. Si in fuperficie b c d ducatur linea d c ut placuerit^ i pundo b ducatur perpendicula- ris fuper linea d c,qua: fit b d,& copulctuv,linea a d eft perpendis cularis iiiper lineam d c.Sumatur enim in linea d c quodeuq; pun dum ut c,8i ducatur linea a c,b c,quia itacp linea a b eft ereda fu per fiiperficiem b c d, patet per diffinitione lineae ereda: , quonia angulus a b c eft rcdus,ergo per penultima primi quadratu lineae a c eft acqual e duobus quadratis linearum a b & b c,fed 8i quadrae tum linea: b c eft arquale duobus quadratis c d Si b d per cande pe nultimam 10. q> linea b deft perpendicularis fuper lineam cd ex hypothefi,quadra tum itaqj linea: a ceft aequale tribus quadratis trium linearum qua funt a b & b d & c d,fed quadratum linea: a d eft aquale duobus quadratis duarum linea je ab&bd, quadratu ergo linea: a c eft aequale duobus quadratis duarum lineale ad Si dc.ergo per ultimam primi angulus a d c eft redus, patet ergo,q> linea a d eft gpcndicularis fiip linea d c,quod eft ,ppofitum. b ij Duabus

PERSPBCTIVAE VITELLIONlS

XX III.

Duabus planis fuperficiebus aquedi flatibus, una linea retfla incidente, qutc ad altera earu erit perpedicularis,erit quoq? ad reliqua ppendicularis.

Sit ut duabus fuperficiebus planis & aequediftantibus incidat una linea quae a b uni ^ c ipiarum in pundlo a ,& reliqua in pundlo b.Dico,q> fi linea a b fuerit

ppendicularis fuper ana ifiart fiiperficiejs*, q> erit ppendicularis & fu per reliqua, & a pundlo a ducatur in altera fuperficieru illa jk linea re dia qua: a c>& in reliqua a pundlo b ducatur linea bd, palam itaq?, niam line* a c Si b d a:quediftant,m infinitum enim .ptradla: no con current, quia Si iiiperficies in quibus iimt,non concurrunt.Si itaq? al ter angulo;^, qui b a c uel a b d fuerit redlus,palam (emper per zp.pris mi.quonia Si reliquus ipiorum erit redlus,& quonia eodem modo po

^ refliioc declarari de omnibus lineis in fuperneiebus hinc inde diidlis

i pundlis a Si b,patct,q> linea a b cum fingulis fibi con termina tibiis tincis in utra q? fuper ficierc illarum produdlis angulos redlos facit. Si efl ergo linea a b ppendicularis fuper altera fupcrficicru,palam,quia eft perpendicularis fuper reliquam ipfarum,8i hoc cft propofitum.

Si dua; fuperficies uni fupcrficiei xquedi flantes fuerint, eaedem inter fe erunt aequediflantes,fuperficies quocp concurrens cum una aequcdiftantiu fiiperficierum 8C cum reliqua concurret .

Sine dux fuperficies abcSighk aequcdiftantes uni iuperficici qu* d c f .Dico, qi it* C ix dua: iiipcrficies a bcSig h k neceflario adinuicem aqucdiftabunt, edu- catur enim i pundlo 1 fuperficici a b C linea ppendicularis iiiper illafuperfls ciem per i z. undecimi, qua: fit 1 m,palim itaq? per prxmiflam, quonia illi E linea 1 m ultra alterutrum iliorum terminoprerit /pfa per eandem pra-mifis fam ppendicularis fuperficiem g h k,a'qucdiftanrem fuperficici a b c, quia itacp una linea 1 m fuper duas fuperficies a b c & g h k orthogona liter infis -jt, ilit, patet per 14. undecimi, q? illa: dua: fuperficies,ctiam fi in infinitum trahantur 5nunqj concurrcnt/unt ergo xqucd iftan tes, pa tet propofitu prl per hoc di per z .huius patet etia fecundum jppofitum ,

XXV.

Omnes I/nea?ppendiculares inter lineas uel fuperficies seque cfiflantes dudlx, funt xqued itantes dtxquales.dC fi lineae reda: lineis uel fu perficiebus xquedi flantibus ad angulos aequales incidant, funt ecquales. Sint dua: line* abfidcd arqucdifta ntes, inter quas duca ntur linea: perpendiculares quceefSfgh.Dico, qdinesr ef Sdgh funt tequedi- ftantes &a:quales,q> enim iimttcqucdifta tes, hoc pa tet per z8.primi,q>ctia funt ecquales pacet per 34. prfmi,&: eodem modo dcmonftrandu eft, fi linea: a b & c d funt in fuperficiebus a:qucdiftantibus fignata*, qcl fi line* e f & g h non per pendiculariter,(ed ad an gulos aquales incidant.dudlislineis uel iiipcriicic- bus,ita,utangulusgh cfita:qnalis angulo e fd,cn?t ctiain line* g h dic 1 *quales, concurrent enim per 1 4. huius, fic ergo punctusconcurfus k,quia iraqj an gulus k f h eft aqualis angulo k h f,cx hypotheu erit per 6. primi trigoni k f h latus k f arqualc lateri kh. Sed p zp,& per 1^. primi erittrigoni keg la tuskc sequale lateri k g, relinquitur ergo linea c f arqualis linea: g h, quod cft propofitum , in fuperficiebus quoqj a:quediftantibu$ lignatis lineis a b & c d eadem eft demoftratio,pa tet ergo illud quod £ ponebatur. Cui-

LIBER PRIMVS,

XXVI*

Cuilibet angulo dato bafem ecqualem data: linea? fub tendere»

Eft angulus datus a b c.8i linea da ta d e,feparetur itaqj a linea b c,2*f ex parte cfli b linea b f,non maior medietate line* d e per 3 .primi, in pu (flo f polito pede circini immobili,defcribatur circulus fecundum quantitate femidiametri, de hoc itacp fecabit neceflario latus b c per zo.primij&f cum latus bf non fit maius medietate line* de.

Sit ergo iit fecet ipfam in puncflo g,8<f ducatur linea g f, hic itacp neceflario erit *qualfs line* d c per circuli diffinitione, patet ergo propofitu.Poteft&f idem aliter demonftrari,a puncflo enim b du- catur linea b h angulariter,ut contingit fiiper linea a b,qu* per 3 . primi fiet aequalis dat* line* de,&d puncflo h ducatilr *quedi- llans line* a b per 3 1 .primi,qu* per fecundu huius neceflario co curret cum linea b c.Sit pundlus concurfus k.&f i puntflo k duca* tur linea *quediftans line*b k,qu* fitk I, eri tquocp fiipcrffcics b h k *quediftantiu laterum,ergo per 3 4.primi linea 1 k eflsqua* lis line* 1 h >ergo & line* dat* qu* eft d e,pa tet ergo propofitum.

xxvir.

Datis duobus angulis intequalibus, ex maiore ipfbrum a:* quum minori refecare.

Sint duo anguli dati a b c,d e f,fi t a b c maior &dcf minor, propo- fitum eft,ut ex angulo a b c refecetur angulus «qualis angulo d e f, hoc ante fiet per 1 3. primqfi fuper b terminum line* ab intra angulum ab c fiat angulus *qualis angulo def, qui fit a bg>&: hoc eft ,ppofitum,

XXVIII*

Datumangulum reefiumin tres partes ecquales dfutdere.

Non indiguimus quo ad pr*fcns propofitu diuifione aliorum angu Ion; in partes tres*quales,(edfblurecflo, 8cfob hoc no proponimushic nifi de recflo in uniucrfaliori fcientia,ut in ea qu* de elementaits coclu- “ fione unfuerfalfore digna ,ppofitu exiftimantes . Sit itacp an gulus recflus a b c,que in partes tres a’quales uolumusdiurde re,afliimatur ergo linea qu*cunqj & fit b c,ftiper qua conilis tuatur trigonum *quilaterum per prima primi, q> lTtdf c,ai ius angulus d f e diuida tur per *qualta per 51. primi, ducfla li- nea f g, erit ergo angulus dfg tertia pars unius recfli ,cum ipfc (1 1 g pars duorum recflorum per 3 3 .primi, ergo per pro- cedentem angulo recflo a b e rcfecetur angulus a b h aqualis angulo d f g ,& diuidatur angulus h b c per aqualia per p.prl mi, patet ergo pro politum. ■

XXIX. /A

Linea diuidens angulum alicuius trigoni pro* ducfla , bafem fubtenfam illi angulo neceflario feca-G bit.Sd fi linea fecans bafem ad pun<flum,concurfus Ia= tcrum trigoni producatur, illa angulum bafi oppofis tum fecabit*

Sit ut linea d b fecet angulum a b c trigoni a b c. Dico,q> eadem linea b d producfla, neceflario fecabit bafem a c fili an* gulo fubtenfam.Si enim non fecabit bafem a c, concurret tas inen cum producfla ac per i4.huius,ideoquiaanguli bacSf a b f fune minores duobus recflis ex hypothefi & per )z.pti*

b iij m/, (it

PERSPECTIVAE V I TB4 L I O N I S'

ergo concurflis in puncfto f ultra puncftum c,eftergo trigono a bc&abf angulus bac c5munis,&angulusbca maior angulo bf c per i <S.primi,erit ergo per 3 z.primi angulus a b f maior angulo a b c,non.ergo fecat linea b d f angulum ab c,cadet itaq; neceflario inter puncfla a 6< c ,& ita fecabit bafem a c,quia fi etiam caderet in pundhun a,uel in pun&um c,non adhuc diuideret angulum a b c,patet ergo £* pofitum prfmu, patet etia&reliquu ,ppofitory,quonia fi linea b d fecet bafem trigoni a b c,& applicetur pundo b,qcf eft p uncius concurliis ; laterum a b & c b, patet q? linea b d fecabit angulum a b c.Sit enim per 1 6. primi angulus a d b maior angulo a c b,fed angulus b a c eft cornu nis ambobus trigonis a b c 8i a b d,ergo per 3 z.primi angulus a b d eft minor angulo a b c, eft ergo reledus angulus a b c per lineam b d,qcP eft fecundum propofitorum. xxx.

Ab angulo dati trigoni linea perpendiculariter ad bafem producfta, li re dium angulum fub partibus bafis contentum,maius fuerit quadrato perpen dicularis,necefle eft angulum a quo fitdu&ioobcufum efle, fi minus acu* tum, fi arquale redlum .

Sit datus trigonus a b c,£ cuius angulo b a c ducatur linea ppendicularis ftiper ba- lem b c,iecet'cj3 ipfam in pucfto d,& fit a d,fit'cp illud qcP fi tex du <fhi b d in d cmaius qua* * drato linece a d,Dico,quia angulus b a c eft obruitis, patet enim per

1 6.iexti,quia non eft ,pportio lineor b d ad linea a d,qure linece a d ad linea d c.Sit ergo per 1 o , (bcti.ut quce eft ,gportio linece bdad lineam a d.eadcm fit linece a d ad linea g e,erit ergo illud qd* fi t ex dutftu Uncx b d ad lineag e cequale qUadrato linea a d per i6.fexti, & quia illud qd* fit ex du&u lineat bd inlinead c,eft maius quadrato linece a d,pa- tet cp liriea g e eft minor cp linea d c per prima fexti, abfeindatur ergo & linea d c ecqualis linea? g e per 3 .primi,&! fic d f,ducatur'q3 linea a f, \c qniaitaqj illud quod fit ex dudu linece b d inlinea d f ,cft cequale qua- n F drato linece a d, patet per 1 <5.fexti,quoni5 eft .pportio linece b d ad li*

neam a d,ficut linece a d ad linea d f, erit ergo per conuerfam 8. fexti angulus baf re- cftus,ergo angulusb a c eft maior rcdo.Similiterq^ dcmonftrandum,q> fi illudqcP fitex dudu b d in dc fit minus quadrato ad.quonia angulus b a c eft acutus, nam per eande dcmonftratione pa tet etiam per eandem conuerfam 8.fexti,quonia fi illud qcr fit ex du~ du line* b d in linea d c,fit squale quadrato linece a d,quonia angulus bac eft redus, patet ergo propofitum.

xxxr.

Ab angulo yfoclieles dutfta perpendicularis fuper bafem 111 duas parti* ales fimiles trigonos d’iuidit yfochelem,ex quo patet, q> linea perpendicula* ris ad medium puntftum bafis neceflario pertingit.

Sityibchcles a b c,cuius latera a b & a cfint cequalia,& ab angulo bac ducatur fir* per bafem b e ppendicularis a d:Dico,q> ,p poli tus yfochelcs diuifus eft in duos trigonos partiales fimiles,quoniaenim per y. primi an* gulus a b d eft aqualis angulo a c d,ied & per diffinitionem ppendicu laris anguli a d b &a d c funt a:quales,quia redfpatet per 3 z . primi, quia anguli b a d & c a d limt atquales,ergo trigona a b d & a c d funt atquiangulf,ergo per 4. fexti latera illorum trigono^ atquos angulos rcfpfcicntia funt,pporrionalia,{unt ergo illa trigona parcialia,quce a b d & a c d fimilia per diffinitionem fimilium trigonoiv, patet ergo ,p pofitum primum.&quoniailla trigona a bd &a cd funt fimilia,& c eorum latera a b& a cfiint ecqualia, &Iatus a debmune, patet, quia etialatera c d di b d funt ecqualia, linea ergo perpendicularis quce a d, neceflario pertin=

git

LIBER. PRIJKV.S* 9

Sit ad medium pundum line* b c, quod eft propoli tum fecundum.

XXXII,

Linea duda a quocunqj pundo unius lateris trigoni prodii dii, ultra tria gonu fecas latus ab illo pudo remotius &C ,ppinqui us illi nece dario fecabit.

Sit trigonum a b c, cuius latus a b producatur ultra pundum b ad pundum d, & i pundo d ducatur linea d e fecans latus trigoni acin pundo e,

Dico,q> d c nece dario fecabit latus b c .Si non fecabit latus b c, fed lolum latus a c,ducatur linea d c, & producatur incontinuCi & diredum, fecabit ltacp lincad c in aliquo pundo linea d e, quo niam cum linea d cexeat i pundo d,a quo exit etiam linea d e,8C terminetur ad pundum c interiacens pundum c, neceflario illa fecabit, lit pundus fed/onis f, palam itaqj,quonia du« reda: I i* ncse qua funt df Sddef includunt fuperficiem,qd' eft impoffibi le. Idem quocp accidit, fi line de ducatur extra lineam bc ultra pundum a, quod eftpropofitum.

XXXiir,

Si apundis terminalibus unius lateris triaguli dux reda: exeuntes, intra trigonum ad pundu unum conue niant, erit angulus inferior azqualis fuperiori , 6C duo* bus angulisinterlineas dudas,ad alia duo latera trigoni contentis.

Sit trigonum a b aiius unius lateru a bpundis terminalibus quae fiint a & b ducantur lineae taliter, ut intra trigonum a b c concurrat in pun do d.Dico,qj angulus a d b eft «qualis angulo a cb,& infiiper duobus an gulis cadfiCcdb.q» enim angulus a d b fit maior angulo a c b,hoc patet ji z i .primi.Producatur itaqj linea d c ultra pundum d irfcp ad pundum c, eft itaqj per 3 z. primi angulus e d a «qualis duobus angulis dca8Cdac,SC fimiliter angulus e d b «qualis eft duobus angulis d b c & d c b, totus ergo angulus a d b «qualis eft angulo a c b,& angulus d a c dC d c b,qaod eft p- pofitum. x x x 1 1 1 1. ■

Lineaajqualis&sequediftans bafi' alicuius trigoni uicinior ^ angulo fupremo, maiori angulo neceflario iubtenditur ♦

Efto trigonum a bc, cuius bafi a c,uicinior a b c , ducat linea «qualis & «quediftans qu« fit d e.Dico,q> fi i pundo b ducantur line« b d & b e, quia angulus d b e eft maior an* gulo a b c.quia enim linea d e eft «qualis line« a c , palim, quia ipla fit produdafecat lineas a b&bc argumento ly. huius, q> etia patet ex altjs.Omnfe linea cadens intra trigo* num fecans latera eius & «quediftans b a c, eft maior bafe per zj). primi 8C 4,fexti.Sccet ergo linea d e latas b a in pus D do f,6Cla tus bc in pundo g, quia itaqj per 1 <5. primi angu lusbgf eft maior angulo b e g,eric per z? . primi angulus b c a’maior angulo b e d,& eadem ratione angulus b a c eft Imior angulo b d e, neceflario ergo per 3 z. primi erit angu* lusbde cum angulis minoribus ualens duos redos ma ior angulo a b c,ualentc cu duo* bus angulis maioribusduosredos,patetergo propofitum,

XXXV,

Tn trigono orthogonio ab uno reliquorum angulorum produda linea ad bafem,erit remotioris anguli ad propinquiorem redo minor ,pporrio, tp partis balis remotioris ad propinqniorem.

Sit trigonum orthogonium a b c, cuius angulus b a c fit redus,& i pundo b ducas

tur ad

PERSPECTIVAE VITELL10NIS tur ad latus a c,qcF cft bafis anguli a b c.linea reda quae fi r bd.Dico,qj minor cft .ppor* tio anguli c b d remotioris ab angulo redo ad angulum d b a propinquiore ipfi ledo.cjj partis bafis remotioris ab angulo redo qui eft c d ad latus d a propinquius ipfi angulo redo,quon/a enim angulus b a c eft redus,patet,quia angulus b d a eft acutus per jz.primgcrgo patet per z 3 .primi,angulus b d ceftobtulus,ergo per i^-primilatusb deftmaius latere ab>&! minus latere b c,S centro itacj; b fecundum quatitatem iemidia- metri b d defcribatur arcus circuli fecans linea b c in pundo e3di ad ipium producatur linea b a in pundum f,fa dfcg erunt duce fe diones b d e minor trigono b d c,di b d f maior trigono b d a , & quonia eft pportioledionis ad iedorem ficut arcusf d ad arcu d e,ut patet per modum demonftrationis primce Texti , quoniam omnes iedores eiuldem circulilimt eiilidcm altitudinis, di ceque multiplicia arcuum faciuntarquemultmlicia ipiojgy fcdorum , fi portio uero arcus d f ad arcum d e eft ficut anguli d b f ad angu Ium d b e per ultima fexti.Cum itac$ trigonum c d b fit maius cf? (edored b,&; icdor f d b fit maior trigono a d b,er it p er 9. huius trigoni c b d primi ad trigonum d b a fecundum maior .pportio cjj iedoris e b d rcrtn ad ledoremdbf quartu.Eft autem per prima iexti trigoni ebdad trigonum db a, ficut bafis c d ad baiem d a,fedoris uero e d f ad fedorem d b f,ut patet ex praemiftis,cft proa portio ficut anguli c b d ad angulum a b f,patct ergo,q> maior cft proportio lincx c d ad linea d a,cfi anguli c b d ad angulum d b a,crgo minor cft ^portio anguli ebdad an * gulum d b a,q? lateris c d ad latus d a, quod cft propofitum,

XXXVI.

Cuiuslibet trigoni duo latera producfta, aliud trigo* num priori fimile principiant lateribus politione 81 litu tranfmutatis.

Sit trigonum ab c,au'uslatus ab fit dextrum, & latusbc fis niftrumquae producantur ultra pundum b,di proportionaliter prioribuslateribusabfcindanturper 1 1 .fexti,linea fcilicct ab in pundo d,& linea c b in pundo e,& conumgat linea d e,erit itacp trigonum d b e fimile trigono a b c,fed di latus d b fit finiftrum, Qi latus c b dextrum .Sunt itaqj latera iftorum trigonorum poli* t Xjdi litu tranftnutata.quod cft ^politum primum.

XXXVII,

Omnium duorum trigonorum redangulorum , quorum unius unum laterum redos angulos continentium fuerit maius altero alterius , reliqui* uero minus reliquo,erit angulus acutus unius maius latus rcfpiciens maior angulo alterius luum relatiuum latus refpidente.

Verbi gratiajSint duo trianguli rcdanguli a b c & a c d,fint'qs anguli a b c & a d c re* (fli,8i fit latus b c trianguli a b c maius latere c d trianguli a c d>& reliquu latera redos an gulos continentiu ab unius fit minus reliquo latere alterius,qcf eft a d,ut patet in fipo* lita figuratione,!! linea a b intelligatur ereda liipcr linea b cfuperficicm eius,8i linea b d intelligatur ppendicularis iiipcr linea d c in eadem fuperficie iacentem,tunc enim erit linea a d ppendicularis fuper linea d c per z z.huius,q> etiam patet, fi in fuperfide iacen* te ducatur linea b e aequediftantcr linecc d c per 3 f, primi, & quonin linea a b cftppcndi- cularis liipcr (uperfidem iacentem,in qua funt lineae b d,d c,b c, palam per diffinitione lineae crcdce,quonia angulus a b e eft rcdus,fed di angulus c b d eft redus per zp, primi, cum anglus b d c fit redus per z z.hulus^di lineae b e di d c aequcdiftent.crgo per 4. unde cimi linea b c cft ereda fuper iiipcrfic/em trigoni a b d,crgo per 8 .undecimi linea d c eft ppendicularis fuper eandem f iipcrficicm trigoni a b d, angulus ergo a d c cft redus, fed

& latus

LIBER PRIJiyS, 9

Si latus a d maius eft: latere a b per is>.primi,quonia angulus abdeft rcftus.Dico ergo q angulus a cd eft maior angulo a cb,quonia enim latus a d eft maius latere b a per 19. primi, cum angulusabd fit redlus,patet,q> p radens figuratio eft: conformis hypothes fi,refocetur ergo per 3 .primi i latere d a aequale lateri b a, qfitlineadfj&quialineadceftminorlatere beper 1 ?, primi,quonia angulus b d ceft recftus.Protrahatur linea d c,8i refocetur in punefto g taliter,ut fit linea d g aequalis li- neae bc, quia ergo trigoni fdg duo latera f d&dg funt aqualia duobus lateribus a b & b c trigoni a b c,& angus Ius f d g aqualis eft angulo a b c,quia utcrcp retftus ,erit jj 4.primi balis f g aequalis bafi a c,8i reliqui anguli reliquis angulis,angulus ergof gd aqualis erit angulo a cb ,quia uero pun&a a 2>i fiunt in linea a d,& punda c &ig llint in linea d g,palim,quia linea: a c & f g funt in una fuperficie qua a d g per 2,undecimi,ergo interfocant fe lineae gf di c a,fit earum interfodio in pundo h,quia uero in trigono c h g latus g c protrahitur.pa lim ex 1 <S.primi,quonia angulus h c d maior eft angulo h g c,ergo di eius aequali Icili* cet angulo a c b,angulus ergo a c d maior eft angulo a c b,quo eft ,ppofitum,fimiliter'cg demonftrandum in alijs, fi enim trigona propofita fuerint infdiuerfis locis conditu* ta,pala,quia in ipfis aqualia 8i aequiangula trigona fic poflunt ordinari ',ut in figura di fponuntur,& demonftratio fada de rjsfe extendit ad ah'a,patetergo,cp uniuerialiter £ politum, & ex hoc patet, q> angulus b a c eft maior angulo d a c,per 3 z.primi, XXXVIII.

Oim duoru trfgonoru redanguloru,quoru latus fubtefum redo angu lo unius ad minus latus eiufdem proportionem habuerit maiorem , quam latus fiibtenfum redo angulo alterius ad minus latus eiufdem, erit angulus linearum maioris proportionis maior angulo linearum minoris propor- tionis,# econuerfo ,

Sint duo trigona redangula a b c & d e f,quojt anguli a b c & d e f fint redi, fitep la* tus b c minus latere a b,# latus e f minus latere d e,fit'cg maior ^portio linea a c ad linea am c b,cg linea d f ad linea f e.Dico,q> angulus a c b maior eft angulo d f e , quia enim maior eft proportio linea a c ad linea c b,cg linea d f ad linea f c.Sed per 46.primi qua* dratn linea a c ualet quadratu duaru lineae a b di c b,& quadratu linea d f ualet quadrata duajt Ii nearuquafirntde&f e,& cjaper i8.fexti,ppor tio quadratora eft .pportio duplicata lateru ,pa- tct,qj maior eft ,pporrio qdrati a c ad qdratu c b, cp qdrati d f ad quadratu f e, eft ergo per 1 1 . hu- ius maior proportio amborum quadratoru linea rum a b Si b c ad quadratu b c,c{? ambop- quadra* torum linearu de&f cad quadratum f e,ergo g 1 z.huius maior eft ^portio quadrati a bad qua- dratum b c,cjj quadrati d e ad quadratum e f , eft ergo per Z4,fexti maior proportio linea a b ad linea b c,^ linea d e ad linea e f . Efto, ut qua eft proportio linea d e ad linea e f, eadem fit arcus linea ut g h ad linea c b per 3 , hu ius,erit ergo linea g h minor cfj linea a b per 1 0. quinti. Refocetur ergo per 3 .primi ex lis nea a b aqualis lineagh&fttb k,& cotinetur linea c k,erunt ergo per 6. fexti trigona d c f di k b c aquHgula, angulus itacp b c k eft aqualis angulo e f d, fod angulus b c a eft maior angulo b c k per 24. huius .angulus itacp a c b maior eft angulo d f e,& hoc eft ,p* pofiuim,ex quo etiam patet,q> eius couerfa eft uera,quonia in talibus trigonis linea (na

■ c fores

PERSPECTIVAE VYTELLIONIS jferes angulos coftt/ncntessmaforem habent ad feinuicenr proportionem, ‘XXXIX.

A pundo in aere dato ad fubftratam planam luperficiem una linea per* pendiailanter5aliaoblique incidente, & linea reda inter punda incidentia: inipia fuperficie protrada,eritangulusinon perpendiculari cym iacenteli nea contentus, 'tniniinus Omnium anguloru fub illa obliqua &C quacuncp Ii* n eain fub ftraca fuperficie protrada contentorum^ omnis angulus illi pro pinquior ,-efl: minor remotiore, 5C duo ex utraq? parte tequaliter approxima tes,funt aequales ►

Sit pondus in aere datus a, cui c (ubftrata fitperficies plana qua: b c d, fuper qua ab iU lo pundo ducatur oblique linea a b,ducacur'q; ppendicularitcr linea a c,Sd copuletur li- nea b c,Dico,q> angulus a b c eft minim us omnium anguloru conlentop: fub linea obii qua a b,& fub unaquacp linearum a pundo b dudaru in fuperficie b c d,& q> iemper propinquior eft ipfi minor cjj remocfor,&! q> duo anguli sequales folum ex utracp parteipfius confiitunt. Ducatur enim in data plana fiiperffcic,utcunqj cotingat linea b d,& a pundo c ducatur /nca* dcmfiiperficiclinca ppciidicularitsiuperlineabdpcr i j. primi, &copu letur i pundo a linea a d,cft itaqj per 2 2, huius linea a d perpendicula- risfuper linea b d ,& quoniam angulus a c d eft redus , palam per 19. primi.quonia obliqua linea a d maior eft katheto. Ac linea itaqj b a ad linea a c maiorem habet ^portionem cjj ad linea a d per 8. quinti, & an guhbca&bdaiuntrcdi.&erititacpperpKecedente proxima angu- jp Ius b a c maior angulo b a d,erit ergoper 3 2. primi angulus ab eminor angulo a b d. Similitcrfcg pa tet,quonia angulus a b c minimus eft omni um anguloru contcntOR-fiiblinea obliqua incidente a pundo a linece b c,& lub ipfa linea b c„ppinquior qtioqj illi eft minor remociore,ducac enim i pundo b in fubltrata fuperficie linea,ut contingiqqua: fit be,2C & pundocducatur in eadem fuperficiclinea perpendicularisfupcr line am b e,qu* fit linea ce,& producatur linea a e, qua: per 2 2, huius erit £ pendicuiar is fiiper linea b e,& quonia angulus b d c eft redus, & angi* lusce brcdus,& angulus bed maior eft angulo bcc per conuerfam przmiflx, quonia linea: e c ad linea b c maiorem habet ,pportione cjj li- nea d c ad linea cb,linca itaqj e c eft multo maior cjj linea c d,fed cathe* . _ tus a c ppendicularitcr incidit lineis cc&cd per diffinitione lines ere* da*, maior eft ergo linea a e qj linea a d per 4<S.primi,linca c e eft maior cjj linea c d.Linea itaqj b a ad linea a d ma io rem habet pportionem cjj ad linea c a per 8. quinti, & anguli a d b finit redi,angu!us itaqj b a d eft maisr angulo b a e,per prceccdcn temergo per 3 2. primi angulus a b d minor eft angulo a b e. Similiter quoqj dcmonftra dum, q> femper angulus ,ppinquior minor eft remoriore, folii ucroduoex utraq; parte axjualcsconfiftunt.fuper pundum enim b terminu linea: cb in fubicda fuperficie con- friantur angulus aequalis angulo d b c per 23 .primi,qui fite b f ,& i pundo educatur li- nea c f ppendicularitcr fiiper linea b f per 1 2 . prim i,8i duca rur I inca a f,quia iraepa/jgu Jus c b d eft tequalis angulo c b f ex hy po thefi,& angulus c d b eft redus arqualis angulo c f b redo,&! linea c b eft comunis ambobus trigonis bcd&bc f,pala'm y er 2 6. primi, quonia latus b d eft a*quale lateri b f.Sda tus d cxquale lateri c f,fed linea a ceft cathe- tus fiiper fiiperficiem b c d,eft ppendicularis fuper ambas d c 8i f c.Eft itaq; linea a d u’- qualis linea: a f, quonia itaqj aequalis linea d b lineae b f,& linea b a eft comunis ambo- bus trigonis d b a 6i b a f,3i linea d a arqualis lineae d f ,erit angulus a h d arqualis an. j lodbf per 8.primi,fimiliter quoq? dcmonftrandigquonia angulus a b d , non erit a it- quis alius aequalis, dl ergo angulus a b c minimus ctc.ut^pponif, patet itacp intentum «

Omniiun

LIBER PRIMVS*

x	/
x	\

Omnium fupcrficierum xquediftantium laterum diagoni per scqualia fefecant,exquopatet,cppunduminterfe<ftionis diagonorum eft medium pundum eiufdemfuperficiei.

Sit fuperficies «quediftantiu laterum, fine fit quadrata fiue altera parte longior,

3u« a b c d,in qua ducantur diagoni qui fint a c & b d,lecantes le in puncto e. Dico , q> tagoni iecantur le adinuicem per «qualia, 8i q> pundu e eft me dium pundu (uperficiei a b c d,palam enim.quia trigona b e c & aedpcr if.&per i p. primi iiintaquiangula, Sierit angulus eb c «qualis angulo e d a,quia (unt coalterni.Similiter quoqj angu lus, a ceb,eft«qualisangulo,ead,ergoper4.1exti erit propor* tio lineae b e,ad lineam e d,ficut linea c e, ad lineam ea ,8i ficut b c ad lineam a d ,(ed linea b c eft aequalis line« a d per 34 . pris mi .linea ergo b c eft «qualis linea: e d ,& linea e c «qualis linea: e a . Illi ergo diagoni diuidunt ie adinuicem per «qua- li» , di per hoc manifeftum eft correlarium , pundum enim e «qualiter diftat ab omnibus extremis,in quo tn fi aliquod dubifi **

faerit,ducantur i pundo e linea «quediftantes lateribus iuperff ciei propofita, per 3 r . primi, qua fint f g 6i h k, fequeturqj propter «qualitatem partiu ipibjt- diagono^ moa do pradido argumentando,Iineam f e «quale fieri linea e g,8i hexq uale e k. pa tet ita qjqfn in omni modo pundu e «qualiter diftat i pundis extremarum linearum direde, igitur oppofitus eft, ergo medium inter illas, quod eft propofitum.

XII.

Data fuperficiei aequedi ftantium laterum fimilem fuperficiem, cuius la* teraacqucdiftent,datx fuperficiei lateribus inferibere-.

Data fuperficies «quediftantiu Iacerum,cui altera inicri- bi modo pradido debeat, fic a b c d, in qua ducantur diagoni a c & b d,fecantes fe in pundo e, palam'q$ per proxima pra cedentem, qih illi diagoni per «qualia (e ftcantfn pundo e, fed di ipfi adinuice iiint «quales.& fi quidem da ta fuper fides fuerit redangula,tunc patet per 34.8^ per 1 tf.primi, qin ipio tum diagoni funt «quales, & ipforum medietates «quales, i

pudo itaqj e, i medietatibus diagonoit partes «quales abfein

dantur,per 3. primi, & fi data fuperficies no fuerit redangula a. tunc diagoni forfitan in«quales,ab illis ergo partes propor*- tionabiles re(ecentur,fecundu 3 .huius, utcuncp aute hoc con- tingat, abfeindantur ill« partes ex parte pundi e,qu« fint e I

e m,c n,c p,8i ducantur lineae 1 m,l n , n p, m p,dico itaqj q> liiperffcies I m, p n,eft datae fuperficiei fimilis,&! q> latera ipfiiis «quediftant la ter ibus dat« fuperficiei, qm enim in trigono b c c rcleda iunt latera b e di c e in pundis 1 di m ,& eft proportio b 1 ad I e, ficut cm ad m c.patet ergo per z.fexti.qm linea 1 m «quediftat line« b c, fimiliter quocg li- nea 1 n «quediftat lateri a b,& linea n b lateri a d>& linea p m late ii c d. ergo per 15». primi anguli fuperficiei 1 m , p n funt «quales angulisdat* fuperficiei ab c d,&! latera eor5 funt proportionabi lia per 4.fe»ti. patet ergo,q>ilI« fuperficies (untfimiles,& hoc proponitur faciendum. patet ergo propofitum.

X L 1 1.

Omnis angulus a diametro 8£ quacunqj linea fuper circumferentia circuli contentus neceffario eft acutus.

Sit circulusab c, cuius diameter a b,& ducatur linea a c, utqj contingic.Dico q> angulus b a c neceflario eft acutus. Producas c a tur

PERSPECTIVAE V I T E-L L 1 0-N I S tur enim linea bjc ad peripheriam in pimdum e. & qm angulus a c b eft rccftus per 3 o tfertr^patct pct j i,primi,quia angulus ba c cft acutus, fidimtiiter angulus- a patet Jtarp propufttum,&: dc hoc theoremate no finimus intentum, ied brcuitati ftuduimus, quia iianc demon Hiationem totiens ut occurrit repetere ttedtum fuit,

x l n 1. ;

Omnes angulos aequalium ucl fimiliu portionu eiufde circuli fab arcu & rccla contentos xqualcs, angulos uero cuiufcuncp minoris porfionis minq‘ res, & maioris maiores cflenecellecit.Ex quo patet oes angulos femicircu- loru aequales efle, Sit drculus,cuiuscehttum a,8cdiameiref g-f,&iheoligncti' tur arcus aequ»lcs,quifiiitb' c &dc,prddudis’eordis bc&de dico q> angtilig b c,& f d e,fub arcubus Si cordis cotenti fimt a:- qualeSjducanturentm aptinifiob linea cotihgens circulu, per n? terttj,qtKe fit b d58i a pumftodlififca d m, 6C producatur 5 centro- linea’ a b,a d,a c,a e,erufcg per y.primi angulra b'C & a cb aequa les,& anguli a d c Si a e d aequales;fcd trigona ab c & a d e fimr aequiaiigida per 4. primi, angulus enim b a c eft aqualis angulo- d a e, p dccimafexta tertii, angulus ^q? a bl eft aequalis angulo a d a,qiri uterqj eofe eft reclus per 17.tertq.fed angulus conttW g entia: I b g,eft aequalis angulo Contingentia: m d f. qm urerqj ip foje eft m imis acuroje per 1 r.tcrtif.relinquttur ergo angulus g b c ab arcu gb.&rctftabc contentus aqualis arcui f dc ab arcu f d,& reda d c contento, fcd angulus g c b eft ecqualis angulo g b c eadem rattone,fimilfter.quocp angulus f e d eft aequalis angue iofd eTOmnesita<^hi,‘aHgalifuntieqtiaies. fit quoqj angulus rairtof at cob c,qai refecdur afe arcu b c.quifit arcus no. Si du* cantur lineae a n,‘a obducatur quocp corda n o, Si ducantur cotin gentes noSCon.quiaitacp trigoni ano anguli ad bafem funt a:quales,8i angulus o a fi mtnor eft angulo e a b.per a 6. terti}, e- runt per 3 z;primi quilibet angulorum a n o St a o n maior quoli bet angulory a b c & a c b,fit itaq; angulus o n a maior angulo c b a,(ed angulus contingentia: q n g eft aequalis angulo continge tia: 1 b g.rclinquicur ergo angulus g n 0 minor angulo g b c,cutn anguli 1 b a fit! q n a fime arquaies, quia urcrq; recftus,per 1 7.tertij, fit enim arcus maior ar cubc,qua’ fit sc,fiC ducatur corda f c,8<! quia a nguluscaseft maior a ngulocab g 16. tcrtif.patet tunc, q? angulus a s ccft minor angulo a b c,8<! ita concludatur ut prius, qm angulus g s c co tentus arcu g s,6C corda s c cft maior angulo g b c,ergo Si angulo g n o. patet Si hoc idem de fi milibus arcubus, quibufcuncp eorunde circuIojir,qni per diffinitu Oftem firniliu arcuu ipfi angulos fufeipiunt aequales.Ex quo patet correlariu per pcnult. qm Oes anguli fcmicirculo^ funt aquales, oes enim femicirculi funt fimiles, Si eiufdcm Circuli ftmiles Si aquales, hoc itacp proponebatur,

XLIIII.

Si idem angulus fuper centrum unius aequalium circulorum, fuper pe- ripheriam alterius confiftat,arcus relpondens angulo fuper peripheria con jftituto,reIiquo arcui duplus erit. In circulis uero inaequalibus illoru arcuu proportioadfuas totales periferias duplicatur.

Sin t duo circuli aquales3unus a b c d, cuius centrum g3di alius e f g ,ai ius centrir b, pimcftu perifevix circuli a b c d,Sc! producantur linea a b &!c b,(ccantcs circulu c g f in pumfti.se Si f, palam itaqj.qni angulus a b c erit fuper peri fer ia circuli a b c fiv! fuper cen * trum circuli cg Iqdico q> arcus a a c, capiens a ngulu a b c fuper cirefiferentia fui circuli cft duplus a reui e g f capienti eundem angulum fuper eius centru b. fit enim ut linea b a fccet circulu e g f in punito e, fit! linea b c in punito f, duca tur quoqj linea c f. Si dutfta li

ne a

1 1

LIBER.' PMMVf..

nca g h fiiper centrum g,fiat per 1 3 .primj angulus aqua- lis angulo a b equi fit h g 1, dudtys lineis g;h di g 1 ad circu Ii circumferentiam a b 0 d?£< ducantur linea b h,b l,h l, pas lam itaejj per 19 .tcftrj,qudnia angulus h g 1 eft duplus ain- gulo h b l.crgo etia Angulus a b e eft 'duplus eidem, ergo g ulttmaTexti arcus -ad c- eft duplusarcui fid l,fed arcus hd: l eft3equalisarcutegfper ij-..terti>veyt.,ei;goarcus a d c. duplus arcui c g fi quod eft propoli tu pririjum. Quod fi cir Cifius a b ?d fit minor circulo e gf, di angulus mgnflt «- qualis angulo a g c, fadlo angulo p b q fuper ccntru b , per s 3 iprimi aquali a.ngulo ag c ,di dudis lineis g p 8fg q;b p & bq> erit angulus pbq duplus angulo p g q, per i?;ter tt^ergo .angulus a g c eft duplus angulo p g q.^pqrfiqita q; arcus m f n ad fui tota circuferentia diipjicatur refpecftu arcus a c ad, tota fu» penfeha?qm enim angiilus 'm g ir, eft duplus angulo p g q, eiit per ultimam ftxti arcus, m f n du pliiS arcui p;fq,fed arcus p f p eiufcicm eft proportiofx ad lui periferia, cuius eft arcus a d cad ftjam, arcus enim.a d c fi fuerit quinqj partiu r?lpe(ftu luae dVcuferetiae, erit arcus m f n decem partiurelpecfiu fui periferi*, di hoc eft ,ppo fitiim,, ' - ' Xlv.' ':v : ;

A terminis linejeintra circulu collocatsc potibus sequalibus refecfhs, Si i puncftf s fecftionu perpendi cularibus fuper iftjf linea ad circum fer en tiS p rQ duftis,nece{fe eft duiftas perpendiculares sc quales efte. Et fi duda: perpedi culares funt aequales, neceffarium eft a terminis illius linecc partes refedas aequales efte.

Sit circulus a k d,cuius centrum r,in quo circulo collocata fit 5

linea a d,S cuius terminis a &drefecenturline« a b&dg «qua l\ /|\

les,6d a prcedidis b & g erigantur du* linea: perpendiculares fu- v>f- L / 1“

per lineam d a,qu* produda ad circuferentia fint g k &b c, dico / | \ \f I

qj linea g k eft «qualis linea: b c, ducatur enim i cetro r linea «=» ^

quediftans a d per 3 1. primi, qu*fitlm diameter, &diuidat line \ ' *

am d a in duo «qualia in pundo c per 1 o. primi, di i punefto e, \

ducatur perpendicularis fuper lm per 1 z. p r imi, hsc ergo g pri- \ ✓

mam terti) tranfibit centru circuli quod eft pundfr r.eutcp linea x\

e r, educatur autem linea kgultrapundug ad diametro 1 m in pundir n,di linea c b in pundu f ,& copulet line« k r & c r.qtifa ita 9 linea d c eft «qua- lis 1 ine« a e per tertiam tertij,et line« d g et b a ex hy pothefi funt «quales, remanet cr* go linea g c «qualis Iine« c b.fcd per 34.primi,lfnea g c eft «qualis lineae n r,et 1 inca c b «qualisline«cf.funtcrgoline*nretrr «quales.fed per 46.primi, quadratu linc« r k ualet duo quadrata lineait k n et r n.quia ex pr«miflis a ngulus k n r eft redus,et fimi liter quadratu line« c r ualet duo quadrata lineap: i f et r fieft aute quadratum lineae k r «quale quadrato line* c r,quonialinea p r eft«qualis line* c r per diffini donem circu li, et quadratu line«nr eft «quale quadrato linc«fr. relinquitur ergo quadratu line* k n *quale quadrato line* c fieft ergo linea k 1 «qualis line* c f . fcd per zy .huius linea g n eft *qualis b firelinquitur ergo linea k g *qualis line* c b, quod eft primu propofi tu.Conuerfa etia patet .manente totali difpofitione ut prius.quia enim g n eft «qualis line* bf, per 344primi,8C linea k g «qualis line* e b ,cx hypothefi erit tota linea kn «qualis toti line* c f .ergo per 4<S,primi,erit linea n r «qualis line* r ftergo di linea ip fi line* c b «qualis erit, di linea d g ipfi line*b a, quod eft pvofitum fecundum . patec ergo quod proponebatur,

c 3 Indu

PERSPECTIVAE VlTELLIONlS

XLVI.

In duobus circulis inaequalibus duobus fimilibus arcubus fumptis, pro* dudiisfo praeter illos ad arcus alios fimiles femidiametris , fi i pundis extra circulos proportionaliter femidiametrijs /dift^ntibus ,ab utrifcp extremita tibus amboru arcuum per terminos fimiliu arcuum lineae ad diarnetr(ps du*. cantur, pars diametri interiacens lineas,arcu$ circuli maioris cft maior par te interiacente lineas arcus circuli mirioris»

Sint duo circuli in*equales,qu9riim maior fitk b e,A eius ceiitrum d,& femidianie ter d a niinpxdero fite f g, eu/us cen trimi h, & fcmidi- ameter h e .fignmtufcp ift ipfiis arctis fifiiiles in maior/ circulo arcus b c„&in minori arciis f* g,ficfc£ arcus a b finiilis arcufe f 5fitq? puniftum k extra circuli! maiore, & pundium lextra circulu minorem taliter da ta ,ut il* lapuncfta fecundum proportionem femidiametri d 2 ad (emidiametrum h e.diitenfab utrifufeg terminis di-' tftorum arcuum, erit ergo proportio linea; k b ad linea 1 f,& lineae k c ad lineam 1 g, ficut iemidiametroR- a d ad b e, & producantur linea ad femidiametros kb in puneftum m A' k c in puncflu n. Similiter quocp prodiit catur linea 1 f in pundlu o A 1 g in pundum p.Dico,q>‘ linea mn pars femidiametri a d,efl maior e^ linea ap pars femidiametri c h .Ducantur enim corda bc&f g,& copulentur i.eeqtris linea d b,d c,h f ,h g,palam'q; propter a:qualitate circulo^.quonia linea db eft maior, cp linea .h f ,fed qppter fimiUtudine arcuum angulus b dceft aequalis angulo f h g, ergo per r.pri* mitrigonabcd&f gh propter aequiangnla,ergo per 4. fexti latera funt ^)portionabilia,e(t ergo ^portio lineae * b c ad lineam f g.licut linea: b d ad liricain i h, ergo ex hy pothefi per 1 1 ,quinti,ficutb k ad 1 f ,& ficut b c ad 1 g, er- go per 5- .fexti angulus b k c cft ecqualis angulo flgAan gulus k b c cequalis angulo 1 f g,fed ex p rami illis anguli d b c & h f g funt arquales ,cft ergo angulus d b k arqualis angulo h f fducantur ergo linea' d k A h I , quia itaq* in trigonisdbkfiC fhl anguli aquales , qui dbk& hfl funt lateribus .pportionabilibus contenti, patet per 6fc xti,quonia illa trigona funt arquiangula,crgo angulus b k d cft arqualis angulo f o h,& angulus b d k arqualis an* gulo f h l,fcd angulus a d b eft arqualis angulo e h fex hy pothefi propter umilitudine arcuum a bfxd f, totus cr* go angulus m d k eft aequalis toti angulo o h fergo per 3 1 . primi trigona d k m 8t o h 1 funt arquiangula,&: angulus k tn d cft aequalis toti angulo I o h,ergo per 4.fcxti crif,p* portio linea: m k ad lineam ol, ficut linearkd ad linea 1 h, ergo per 1 1 .quinti ficut linea: a d ad lineam c h,quia itara ex prarmifiis angulus m k n cft arqualis angulo o 1 p A an* gulus k m n arqualis angulo 1 o p,patct per 3 x. primi, quonia trigona kgn&lo p fune arquiangula.ergo per ^ .fexti cft proportio linea: m n ad lineam o p, ficut lineae m k ad H nca rn o 1. ergo ficut Jincar ad ad lineam ch, quia itacj? ad femidiametermaior cft fcmi- diametro e h , erit linea m n maior c(j linea 0 p, patet ergo propofiium.

XLVII.

A quocunq? pundlo diameter circuli produdla linea ad pcriferiam,fima iorcp illa fuerit, una pars diametri erit pars illa maior reliqua fui parte, SC fi minor, minor.

Efto

LIBER PRIMVS.

Efto circulus a b c, cuius diameter a b ,in qua firmam ptittcftum d»atdjc^ contingit* & ducatur linea dcadcircumferentia,itaqjpars diametri qua:eftad fit maior cp linea d c.Dico,q> linea a d eft maior cp linea d b,quar eft reliqua pars ip (ius diametri’, qcF patet,fi copulentur linea: a c 8i b c,quia itaqj Ii* nea a d maior eft cp linea d b ex hypothefi,crgo per 1 8 .primi angu Ius a c d maior eft angulo c a d,a angulus a c b eft redlus per 30, tertij, palam ergo per 3 z .primi,quonia angulus c b d maior eft an gulo d c b,quia enim angulus c b d cum angulo c a b ualet recftu, .

& angulus deb cum angulo a cd,qui eft maior angulo cad ua« let recftum, patet, q> angulus c b d eft maior angulo d c b,ergo per 19. primi eritlatus d c maius latere d b,lcd latus a d eft maius late re d c,crgo multo maius erit latus ad cp latus d b. Si hoc eft unum propofitum. Eodem quocp modo demonftrandu,fi pars diametri qua- eft a d,fit minor £p lirtea d c,quonia eritlinea a d minor cp li* nca d b,& hoc proponetur,

XLVIII.

Si a quocunqj punefto diametri circuli duce linere, quarum femper una fit maior reliqua,ad circuli periferiam ducantur,erit pars diametri , cui maior linea propinquior ducjtur,maiorreliqua fui parte.

Sic circulus a b d e, cuius diameter fit a b,in qua (uniatur pundhis d, ut libuerit , du- cantur'^ i pundfo d lines d c maior di d e minor,fit autem c iit perior uerfusa&:e,infcriorucriusb.Dico,q> pars diametri q eft a d,maior eft cp d b,ducatur enim linea c e,8 i fuper linea c e ducatur a puncto d per 1 z. primi linea gpendicularis qua: fit d i , quia itacp quadratu linea: d c per pcnultima primi ualet am=* bo quadrata Iinearii d f Sd f c.Quadratum ucro linea: d c maius eft quadrato linea d e, ideo, quia linea d ccft maior cp linea d e, ablato itaqj quadrato linea: d f,relmquitur quadratu linea: e f , maius quadrato linea: f c.Diuidatur itacjj linea c e in partes ec- quales in punefto g per 1 o. primi, & ab illo punefto g ducatur li* nea g h ad diametru aquediftanter linere d f per 3 1 .primi , erit itaqj per 19. primi linea h g perpendicularis fuper lineam c c,le cat autem h g ipfam c e in duo aequalia.tranfit ergo linea h gper centrum circuli ‘per’ i* terdj.di quonia pundhim h cadit in diametrtim a b,palam,quia /pnim puncftu h eft cen- trum circuli, eft ergo linea a d pars diametri a b maior cp linea d b,6i hoceft jppofirum.

XLIX.

Si ab angulis duorum trigonoru ad medietates fuarum bafium arqualiu: una pcrpendiculariter,alia oblique rrquales linea: ducantur, fit£p qua?!ibet durarum maior medietate fure bafis,eritangulus trigoni, d quo ducit per^ pendicularis,Tnaior angulo alterius trigoni a quo linea ducitur obliqua.

Sint duo trigona abc&de f, quorum bales b f , bc,& e f, fint a:quales,qua: fiecent per io.primi,inpartes a*qua les b c in pumftogj&ef in pundoh, Si ducantur ab angu- lis ad bales linere ag&dh qua:. fint aquales. Sitfcg linea a g perpendicularis iuper lineam b c,linea uero d h non fit per«s pendicularislliperlineamef . Sit'qj linea perpendicularis a g maior linea b g parte bafis . Dico , q> angulus b a c! eft maior angulo e dT ,circumlcribatur enim trigono a b c cir culus per y.quarti.&producaturlineaagad circumferet^ tiam in pundiun k, hoc autem poflibile, quonia ucro fuppofitum eft lineam d g efle ma

iorem

fit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

forem linea gb, erit per 47 .huius linea a g maior c£ linea g'k,ergo per prima terti) cen* trum circuli in linea a g inter punda a di g,di ait a k diameter, & per 7 . terti) linea g a eft longiffima omnium linearcf i pundo g ad circumferentia ,pdudarum,& linea g k e* rit omnium lineae minima,& quslibet ^ppinquior linea: g a eft maior rerfiotiore . Fiat itaq? per 2 3 .primi liiper pundu g termini lines c g angulus squalis angulo f h d mi- nori angulo d h e ,qus fitlgc, produda linea 1 g u(q? ad periferia circuli,palam ita® ex figura terttj,qm linea g a f 1 eft maior c£ lineag l,ergo di linea d h,qus ex hypotheu eft squalis lines a g,cft maior cp linea g l.Producatur itacg linea g 1 quoulcp ftt squalis lia nes d h per 3.pr imi,&! ftt linea g m squalis lines d h,Sd ducantur lines mb& m c,angu lus itacg b m c eft squalis angulo e d f ,exhypothefi pcr4.& per 1 3 , primi , fed angulus b a c eft maior angulo b m CvProducantur enim lines b 1 & c l,palam, quia angulus b 1 c eft maior angulo b m c per x 1 .primi ,(ed angulus b a c eft squalis angulo b 1 c per 26. tcrttj,erit ergo angulus b a c maior angulo b m c,ergo di angulus e d f ,di hoc propone ba tur,& hoc eft propoli tum ,

L*

Si ab angulis duorum trigonoru ad medietates fuarum bafium sequali 5 una perpendiculariter,alia oblique azquales linea: ducantur ,fic q? quariibet ductarum minor medietatebafis fua^erit angulus trigoni,a quo ducitur g* pendicularis,minor angulo alterius trigoni a quo linea ducitur obliqua.

Remanet diipofttio prscedentis,nift qdP perpedicularis a g ftt minor medietate ba fis bg.Dico,q> angulus b a c eft minor angulo e d f , Site - nim ut prius angulus c g 1 squalis angulo d h f ,& quonia linea a g eft minor cp linea b g ,di linea a k eft diameter , pa lam per 47.huius,qaonia centrum circuli eft inter punda g di k,ergo per 7.tertq linea g a eft minima omniu lineag a pundo g ad periferia circuli produdaru,eft ergo linea g 1 minor cp linea g a, ergo di maior cp linea d h.Fiat itaqj per 3 .primi linea g n squalis lines d h,& copulentur lines b n&c n;er it itacp ut in prsmiflis angulus e d f squalis an gulo b n c,(ed angulus b n c maior eft angulo b 1 c per 2 1 , primi, & angulus b 1 c squalis angulo b a c per 2 6 .tertij, e* K rit ergo angulus b a c minor angulo b n c, ergo di cius s-

quali angulo e df,8<! hoc eft propolitum.

LI,

Si' ab angulis duorum trigonorum ad medietates fuaru bafium ccqualiu duae linea: aequales oblique incidant ad angulos inaequales, & li quaelibet li n earum incidentium maior fuerit medieiate fuacbafis,erit angulus fuperior illius trigoni, cuius incidens linea maiorem angulum cum bafe continet ma ior angulo fuperiori alterius,8£ fi minor , minor ♦

Sint inter duo trianguli a b c di d e f, habentes bales b c N dief squales , diuidaturicg bafis b c per squalia in pun* do g,8 i bafis e f in pundo h,8d ducatur lines a g,d h qus 'fint squales, & utracjj iplarum incidat oblique ilis bafi.fit autem angulus age maior angulo d h f .Dico, q> fi maior fit a gcp linea gc, erit angulus bac maior angulo cdf. Et 11 linea a g fit minor cp linea g c,crit angulus bac mi* nor angulo e d f sircumfcribatur enim per y .quarti trigo no a bc circulus, &! ducatur i pundo g perpendicularis liiper lineam b c per 1 i,primi,qus produda ad circumfe rentiam,fitg kper prima tertij pars diametri circuli pro*

LIBER PRIHVf. IJ

pofltf qtrop completa fit k l,fit itacp prius linea a g maior cjj linea g 1 per 48 .huius. In li nea ergo gk eft centra c/rcuIi,eftcrgo linea kg maior cp linea agpcr 7. tertij, ergo & maior cp linea d h,qu« eft aqualis ipfi a g ex hypothcfi.Fia t ltaqp per 2 3 , prim i fuper pumftu g termini linea c g,angulus aqualis angulo d h f qui fit m g c,cadet'cg pundium m in peri feriam circali,eft itaq? per y .tercrj linea a g maior cp linea m g,ergo & linea d h eft ma- ior £p linea m g, producatur ltacg, doilec linea g m fit «qual is linea; d h,& ducantur li- ne» n c & n b ,crit itacp angulus b n c «qualis angulo e d f,fed a ngulus bmc eft maior angulo b n c.eft angulus ergo b a c maior angulo e d f per modu pneo ft e nfam, f [m il 1 ter Sq? demonftrandu ,fi linea a g fit minor cp linea g c,quia minor angulus b a c angulo e d f,quod proponebatur demonftrandum .

li r.

Si duas lineas recftas fecates circulu aequales arcus mteriacear,illae necefTa rio funt «cquedi ftatesjidefg accidit,fi una earu fuerit fecans 5C alia cotinges» Sit circulus a b c, cuius centrum fit puneftum o, fecentfcg du» linea: ac&dcillu cir* culum taliter,ut arcus d a fit aequalis arcui e c.Dico,q> linea a c & d e funt «quedifta tes, aut itacp o centru circuli eft in altera illaru linearu , aut in neutra,&! tuc uel inter utrafqj, uel extra utrafcp,fi fit in altera ipfa^,efto q> fit i linea a c,

centro o ducatur linea gpedicularis fiiper a cp 1 1 . primi,& producatur ad circumferentia , fitep 0 b fecans lineam d e in pundo f ,& ducantur line» od&oe, qua: cum fint aequales, erut per j-.primi anguli o d f dC o e f «quales, fcd angulus f o a eft «qualis angulof os, quia (une redi. angulus uero d o a aequalis eft angulo e o c per 26. tertij .cui ex hypothefi arcus d a fit «qlis arcui e c,erit angulusdo f «qualis anguloeo f,crgo p 3 z.primi erit angulus d o f aequalis angulo e f o.eft ergo linea o f pers pendicularis fuper lineam d e, erunt ergo per zs.primi d e&acaequediftantes.Si uero centruofuerit inter ipfas lineas a c & d e,dudis lineis i centro ad terminos linearu a c & d c,qu» fint o a,o c,o d,o e,& diametro h k,flent ex utracp parte centri qua tuor an guli «quales duobus redis,ideo,quia anguli circa centrum tialent quacuor redos,quos ex «quo diuiditquarlibet diameter jfed angulus oe ceft «qualis angulo d o a perz-5. ter tij, remanet ergo angulus d o c «qualis angulo a o c,per diffinitione ergo circuli 8t- per 6.fexti trianguli doe&aoc funt inuicem *quianguli,ergo per j-.primi erit angulus g co «qualis angulo o d f,fed anguluso g c eft «qualis angulo o f d,qltia utercpretftus.ex prxmiffis ergo per 3 z.primitrigonagoc,doF funt *quiangula,ergo per 14. primi li* ne» d o & o c coniund» iimt linea una, quia anguli coh&doh ex pf»miflls funt «qua Ies duobus redis,ergo per 27.primi patet propofitum, Quod fi centrum o fuerit ex tra utrafcft, ducatur perpendicularis a centro o fuper ipfaru alterum ,8i fit linea d g ppen dicularis fiip linea a c,qu« dfuidet ipfam a c in duo «qualia per 2 3 .tertij , .pducaturqj I i nea o g,ut fecet lineam d e in punefto f ,& dueftis lineis o a,o c,o d,o e, palam i taqj per 4. jprimi,cum in trigonis a g o & g e o duo latera a g Qi g c fint »qualia,& la tus g o conium pe,q» angulus a o g eft «qualis angulo c o g,fed a o d «qualis eft angulo c o c per x<5. ter- trj.relinquitur ergo angulus d o f «qualis angulo f o e,fedlatus d o «quale lateri eo , & latus of comime,erit ergo g 4. primi angulus o f d «qualis angulo of e,uterq) ergo eft redlus.Eftergo angulus ofd«qualis angulo oga,ergo per 28 . primi line» de & ac funt »quediftantes,qd’ eft .ppofitu prima. Qcr u una illap- duarii linearum fccetcira culum alia ipfum contingat, fi fecans tranfit centrum, Si fit diameter qu« h k,St linea

1 m contingat in punefto n,fit'cg arcus n h «qualis arcui n k,palam ,q> illorum arcuuqu» libet eft 4.circuli,ducaturtg linea n o,ergo per 27, tertij angulus 1 n o eft rcdhis, icd an- gulus n o h eft redus,ergo per 28 .primi line» 1 m Si h k «quediftant.qcP eftfcam ,p po- litu . Qd* fi linea 1 m circulfi contingente in punefto n,lmead e iecet circulum , inferi-

d bacur

PERSPECTIVAE VITEL1T0NIS

fr a ttir eidem femicirculo linea aqualis linea: d e di aquedifta ns,fit ducantur lineae o di St o e m,St a centro o ad pundum contadus qd' eft n, ducatur linea o n fecans lineam d e in pudo f,quia itaq; arcus n d eft aqual is arcui n c.erit per x6. terti) angulus 1 o n aqua lis angulo m o n,fcd per 1 7 .terti) angulus o n 1 eft aqualis angulo o n m,quia ambo funt redi.Itcm per 4. primi angulus o f deft aqualis angulo o f e, funt ergo redi , ergo per a 8, primi patet pro politum.

LUI.

Lineas xquediftaccstrans circuli fu perfici? produ<fhs,fiue ambae fecent, fiueambx contingat, fiue una fecet 8£ alia cot/ngat,!arcus interiacet aequales.

Sit circulus a b c d, cuius centrum e,contingat'cg fpfum diiaf linea acquediftantes f g in pundo dsSC h q in pundo c,St £ pundo contingens: tia qcf eft d ducatur linea d e ad centrum c. eft ergo per 1 7. tertij linea d e perpendicularis fuper Iineain illo pun do contingente quae f g,ducatur.quocp linea c e i pun* do contingentia: ad centrum e, erit ergo linea c e ppen- dicularis fuper linea h k contingente in pundo c, ducar tur quocp a centro e linea aquediftanslinea f g per 3 »•; primi, qua fit n m,!ioc etiam quoqj arquediftabit linea: h q per 3 o.primi,crgo per zp.cutKicm angulus m ed eft aqualis angulo m e c,ergo per 14. primi linea* dc St cC coniundafuntlinca una, eft ergo linea dediameter cir culi cum tranfeat per centrum e,arcus itaejj d a ceft (emi circulus aqualis femicirculo d b c/ed fit fi linea a b fecet circulum aquediftans lineali q contingenti in pundo e, erit iterum arcus a c aequalis arcui c b.quia enim femidiameter c c lecat lineam contingente quae h q,palam per. i.hii ius,quonia fecabit fit eius aquediftante qua eft linea eb.ut nt fecet ipfam in pudo o. fit quiaangulushceper 17 terti), pala p 29. primi, quoniaangulusboecftrcdus, ergo jj 3 .tertij linea a b diuiditur per aqualia in pundo o.ducantur itacp linea a cfitcb, palacg per 4.primi,quonia illa erunt aquales, ergo per 17. tertij arcus a c eft aqualis arcui b c, q> fi linea aquediftans linea b c fecet circulum qui fit k I,paIam,quonia femidiameter e c^pduda fecabit linea kl per aqualia per 29, primi& per 3. tcrrij.fecet ergo ipfam per aqualia orthogonalitcr in pundo p,& ducantur linea pa,p b,k a,l b,crit ergo in trigo nis p a c,p b c per pramifia,fit per 4.primi latus p a aquale lateri p b , eft angulus p b C aqualis angulo a p c, relinquitur ergoangulus k p a aqualis angulo b p 1, fed linea kp eft aqualis linea p b,crit ergo per 4. primi linea k a aqualis linea 1 b,ergo per 27 , tertij erit arcus k a aqualisarcui 1 b,quod eft propoli tum.

Lilii,

Duabus cordis in aliquo circulo fe fecantibus,erit quilibet angulus fedfe onis xqualis angulo apud circumferentiam cadenti in arcum aqualem, du- obus arcubus eidem angulo St fuo contrapofito fubtenfis.

Sit circulus a bc d,in quo fecent fe dua corda a c St c b, fit fit fedionis e.Dico,q> an- gulus a e b eft aqualis angulo qui eft in circumferentia qua fubtendunt duo arcus a b St c d,St q> angulus b e c eft aquatis angulo in circumferentia qu5 fubtendunt duo a reus d gaStbzc,ducaturenim pundo b linea bzaqucdiftantcr linea a eper 3 1. primi. Si er go linea b z feca t circulu, palam, quia arcus c z eft aqualis arcui a b per pi acedentc,ar* cus’ itaqj z d aqualis eft ambobus arcubus a b fit d c,qm arcus d c ubiqj eft comunis, fcd arcus d z refpicit angulu d b z,qui eft aqualis angulo a e b per 25». primi .angulus itaqj a c b eft aqualis angulo in circumferentia cadenti in arcum aqualem duobus arcubus b a 3i c d. 1 tem duc atur linea d z,8i .pducatui linea z b extra circulu in punduin h , erit ergo angulus h b d extrinlecus aqualis duobus angulis inti infecis b d z,b z d p 3 2. pri- mi,fcd duo anguli b z d St b d z rcfpicumtur i duobus arcubus b f z fit b g d,angulus er

goh

LIBER. PRIMVJ. »4

gohbd eft *qualis angulo quem rdpiriunt duo arcus bgd &bf z,hoc autem eft ar- cus d a,(ed arcus a d eft aqualis arcui z c,ar.:us itaq; d a z eft aqualis duobus arcubus d ga&bz c.Cum itacp per zp .primi angulus h b e fit aqualis an- jjA \h

gulo b e c.pacct.quia angulus b e c eft aqualis angulo que in cir* V \

cuinfcrentia rcfpiciunt duo arcus d g a 6i b z c, quonia fi linea h — V —

b z continet ciiculu& non fecat, tunc patet per 3 i.tertrj, quia an gulus e bz eft aqualis angulo cadenti in portionem circuli qua / \ \

eft b a d,& angulus e bli eft aqualis angulo cadenti in portione / \ \

circulibcd.fedangulusebzeftaqualisangulobeaper 2g.p1/ / \ \ / \\

mi, angulus itaq? b e a eft aqualis angulo qui apud circumferen- ^ E \ A ,

tism cadit in arcum bcd,(cd arcus bc eft aqualis arcui b a per $> \ \ /\ /f

ximam prxcedente.arcus ergo bcd eft aqualis duobus arcubus \ V V/

b a & c d, angulus itaqj b e a eft aqual is angulo qui apud circum* \. /\^yzi

ferentiam reipicic duo arcus a b & c d, quonia angulus cadens in arcurnbcdeftconfiftensinportionecirculiquicftbgd, fimili* x»

ter §9 poteft declarari, qp angulus b e ceft aqualis angulo apud ciraimferentiaquemrefpiciuntduo arcus bc&ad,quonia angulus bec eft: aqualis angulo h b d,cuius aqua litas per 3 1 .tertij cadit in portione circuli bcd, qcf eft: in arcu fc> a d.eft autem ex pramiflis arcus a b aqualis arcui b c, patet itacg propofi tum .

Angulus a duabus lineis ab uno pundo extra circulum dato circulum fc* cantibus contentus aequalis eft angulo fuper circumferentia cadenti in arcu, quo maior arcuum inter illas duas lineas comprarhenfus excedit minorem»

Efto circulus a b c d, extra quem fit datum pundum e,8d ducantur i pundo e duae li nex fecantes circulum quae fint a cdfideb c.Dico itaqj, qp angu- lus d e c eft aqualis angulo qui eft apud circuferentia circuli , que refpicit arcus, in quo.ai cus d c excedit arcum ab,a pundo enim a ducatur per circulum linea a f xquediftans linea b c per 3 1 . pri mi, erit ergoper y 3 .huius arcus e 1 aqualis arcui a b.eft itacp ar* cus d f excelnis arcus d c iiipcr araim a b,ied artgulus d a f apud eircumfere ntia exiftens cadit in arcu d f,& angulus daf eft a- qualis angulo dec per 29.primi,ergo angulus dec eft aqualis angulo cadenti fuper circumferentiam in arcum df,quod eft propofitum.

LV I.

Indatofemidrculoadunum pundum circumferen* tix duabus lineis, una a termino diametri,# alia i cen tro du dis ab eifdem pundis ad aliud pudum quodcun cp femicirculi dati lineas duas prioribus duabus ,pportionales duci eft im* poffib ile.In diuerfis uero femicirculis hoc eft pofTibile.

Efto datus femicirculus a d b, cuius diameter a b.centrum uero c ,dt fit a d pundum circumferenti* d,& ducatur i pundo a tertio dia* metri ad pundum d linea a d,& i centro c linea c d.Dico,cpfia pundis a 8dcduxlinex ad aliud pun dum (emicirculi ducantur, qp illae du* dud* line* duabus lineis a d di c d ,proportionabiIes non erut, fit enim ,fi poflibile eft, ut 5 pundis a & c ducantur ad pundum g dux line* ag&eg.&quxeft pro* portio line* a d ad lineam c d, eadem fit line* a g ad lineam c g,erit permutatim per 1 6,quinti,ppor Cio line* a d ad lineam a g^icut line* c d ad lineam c g,fed linea c d eft *qualis line* c g

d z quonia

PERSPECTIVAE VITELLIONIS quofiiam ambx funt ex centro femicirculi,ergo linea a d squalis erit lines a'g, hdcaii* tem eft impoffrbileex 7.tertij Si 1 8.piimi,maiori enim angulo iubtenditur lineaad cp linea a g,&!cft uicinior diamctrbpatet ergo propofitu primum .quia i quocunq; pun* dio alio dato idem accidit impoflibiIe,& eodem modo dcduccndu ,in diucrfis uero feml circulishoceftpoffibile.Sienitnfemicirculixquales fuerunt, tunc ex centro alterius fe< micirculi iiiper diametr u conftituto squali angulo a c d,per 13 .primi compleatur ,ppo fitum,ex 4.primi Si per 4.fexti,q> fi alter iemicirculus minor fuerit dato femicirculo, in* feribatur squalis illi femicirculo ad idem centrum, erit q> squediftans primo Si in pun dium ubi linea c d ipfum fecabit.qd* fit f, ducat linea a termino fui femidiametri cj fit cii Si patet propofitum per diffinitionecirculi Si zp. primi, & per 4-fexti.& fi dato fem/cir- culo alter fuerit maior,circumfcribatur squediftanter eidem, & produda linea d centro primi femicirculi ad datum pundu d quoufqj tangat periferia alterius (emicirculi,& co fungatur d pundo contadus alia linea ad terminum diametri^! deinde compleatur ut prius dcmonftrato. Si. patet propofitum.

L V TI«

A pundo uno ad datu femicirculu unam tantu linea contingente poiTibi le cii d lici, ex quo patet, cp omnis linea ab eode pundo fub contingente du* dia lecat femicirculu in uno pudo fup pundu cotingetix,8i in alio fub ipfo* Edo da tus iemicirculus a b c, cuius ccntru e. Si fi t extra datus pundus d,i quo a,d femicirculu ducatur linea contingens, qus fit d b.Dico q> a pundo d ad femicirculu a b c, alia contingente cp li- nea db duci cltimpollibilc, fi enim hoc fit poffibile, ducatur, hoc ergo co tingens aut cadet ultra pundu d,aut citra,fit primo utca* dat ultra pundu b uerfus c in pundu f,& fit d f > ducantur i centro itaqj e ad punda contingentis lines e f,c b.fiqpducatur diameter cea,fedadpundud,palaergoper i7.tcrtq,qrh angulus e bd, eft reduSjfinitltter angulus e f d eft redus.Sut ltaqj squales Si cadut in trigono c f d,quod eft contra z 1 .primi.Idem quoq* accidit im<* poftibiIe.fi linea contingens duda a pundo d ad iemicircul u d b c cadat inter punda b Si a, fit linea dg,palam ergo corollariu, quo- nia enim linea d g non contingit fcmicirculum, tangit autem, ew go ipfa produda fecat ipiiim , Si hoc eft propofitum ,

LVIII.

Qirxlibet dux lineae ab uno pundo produdxcirculucotingentes finit xqua les,8i arcus interiacens pundla cotingentix eft minor femidrcuIo,Lf* nea quoqj diuidens angulu illarumper xqualia,& arcu interiacente diuidit per xqualia, 8C linea per xqualia diuidens arcu, hxc produda per xqualia diuidit 8t angulum i lineis contingentibus contentum,

. Sit circulus ab c, cuius centrum f ,& fit ut i pundoc ducantur dus lines cfrculu co- tingentes p 1 6,ter tq,q fint e a Si c c,dico q> funt squales, & q> arcus a b c in tcriaces pun da contingentis eft minor femicirculo.&fi producatur,:! pundo e linea e b,diufdes an- guluac c per xqualia, dico q> linea eb in pudo bdiuidet arcu a c per squalis, &'fi linea d c diuidet arcu a c per sqiialia,etiadiuidet angulua c c per xqualia, Ducatur enim pri* ino linea d e fidiuides a e c, qus produda iecabit circulu,{ecet ergo ipfum in pundis b Si d.palaitaqj per 3 y.teitrj.qm illud quod fit cx dudu lines d e in linea c b , squalis eft quadrato lines a c,&! eadem ratione quadrato lines c c. ergo quadratu linea- ac eft x* quale quadrato lines c c,crgo Si linea a e eft squalis lines c e,& hoc eft pr/mu propoli tojt-Scd quia dudis lineis l a&f c,eruntanguli f ccSi f a credi, per i7.tcrti;,iunt er* goxquales.ergo per 4.primi linea f c diuidet a ngulu a c c per xqualia ,8i quia lines c e Si a e concurrunt in pundo c.pala per 3 z. primi, qui anguli c f edicta funt minores te dis, arcus ergo a b c eft minor femicirculo per ultima fexti, quod eft fccundu, Ducatui;

quoqj

• LIBER 'BRIHVJf

tqubqj linea a c fecans Iinca-c din pundo g,8i ducantur a b &ac, quia ergo linea e g fccat angulu a e c per ecqualia, pa te t per quar ta prfmijCu linea a c fit ecqualis linere e cs8i latus e g fit coe, quoi* nia linea a g eft aqualis linea c g,&,angulus e g a eft aqualis an- gulo c g c.Sed & trigonis a b g & c b g 1 a tus b g eft comune,ergo per 4.primi erit linea a b ecqualis linea b c,crgo per z7.teiti], ar- cus ab eft aqualis arcui b c,code quocp modo patct3q> fi linea g e iecat arcu a c per aqualia in pundo b,quod ipfa etia diuidet per aqualia angulu a e c, quia em trigona a e b Si c c b ftrnt squilate ra,ut patet, palam ergo per 8 .primi,qfh angulus a e b eft aquas Iis angulo c e b,8C hoc eft totu quod proponebatur*

LIX.

Arcubus ecqualibus minoribus quolibet quarta cir* culi ex utracp parte diametri circuli refedis a terminis i\* lorum arcuu dudas contingentes in uno pundo eduda: diametri concurrere eft necefte, & ab uno pundo diame tri dudas contingentes in terminis scqualiu arcuu cotin gere eft neceffe.Ex quo patec,qm oem angulu 8C arcum a lineis contingentibus contentu diuidit diameter eduda per ecqualia. . '

Efto circulus a b c, cuius centri? fit d,8c! eius diameter e e, qua: ,p ducam indefinite ad pundu f,& ab unaquacp parte pundi c fint a c Si b e arcus squales,& a pundis a & b ducantur lines circulu con tingentesper i «S.tertij.Dico q> ilice dus lincte concurret in uno pun do eduds diametri e f.q> fi dicat ipfas no concurrere in pundo u* no diametri concurrent th ambs contingentes cu dia metro d f pro dudis lineis d a,d b, erunt angtili in pundo a &b redi,ied anguli e d a &edbfunt acuti per ultima festi. arcus enim a e,b e funt minos res qualibet quarta circnli,ergo per i^diuius, lineajy cotingentium utraq? cocurrct cu linea d f, fi itacpno fiat, hoc in eodem pundo fit, ut linea contingens duda 5 pundo a cScurratcu linea df in puns do g, di contingens duda in pundo b cocurrat cu d f in pundo h, &! fit utraq?pundumg,& ducatur linea a h.er/tig per i<£, terti], Si ex hy pothcfi angulus h d a squalis angulo h d b, ergo per 4.primi erit angulushadsqualisangulohba.ergo per <7. terti] utcrq? ips (or! eft redus.quia itacp angulus d a g eft redus per eandem 17. ter- ti], patet q> ipie eft squalis angulo d a h redo,& angulus a d geftco munis.critergo per 3 z. primi, angulus agd squalis angulo a h di extrinfccus (cilicet intrinfeco a h g,quod eft contra 1 6.pi imiA ima poffibilc.patetergo primum. Sed &fi a pundo diametri I» ducant dus lines circulu cotingentes in pundis a &b,erut arcusa edi b o squales ,trigona enim a h d & h b d ftint squilatera per prscedens tcm,ergo funt squiangula per 8 .primi,eft ergo angulus a h d squa lis angulo b d h,ergo per zy. terti]. arcus a e eft squalis arcui b e,qd* eft propofinim,8<: patet corollarium,

LX.

Si intra duas lineas circulu cotingentes ab uno pundo eludas alias dua: linea: eundem circulu cotingentes ducan tur, cadent punda contingentia: interioruintra punda co tingentia: extrerioru,8£ fi arcus hinc inde interiacetes pun

d $ da

PERSPECTIVAS VITEL.LIONIS

<fta cotingentiazfuerintacquales, erit utraruq? concurfus femper in eadem diametro circuli eduda, interiores quoqj ad utramq* partem producftas cu exterioribus neceflario concurrent.

Efto circulus ab cde>cuiuscentruk,&! eius diameter e h cdu eatur,& fic ut ab aliquo pundo fuo.quod fit f, lineae f a&fdco tingentes circulu ducantur,& inter lineas f a&fd ducantur ab aliquo pundo fiiperficici a f d,quod fit gdinear g b & gc circuIS contingentes in pundis b &i c,cadent punda a 8i d. fi enim non cadunt inter punda a & d, aut cadunt in illis pundis aut extra, fi in illis.ducantur linea ka&kdi centro k ad punda contingen tiar a&d.erit itacp per 1 7, tertij angulus k a f redus, & fimilit an gulus k a’g redus,^ fic redus maior redo.Item inter continge- te f a St! circulu alia linea capit.ut g a.hoc aut eft cotra i j-. tertij, pala ergo.qm impofllbile.Si uero detur, q> punda b&c cadat ex tra punda a 8i d,fic pundu b ultra a pundu,(ecabit'q? linea g b produda linea f a,per i4.huius. Et qincft contingens folum in pundo b,eritpundusfedionis extra circulu, fit ille pundus m. Pala itacp,qfn linea m a 6! m b ab uno pnndo m produdae Cernit circulu co tingunt, quod eft cotra 5-7.huius.non ergo cadit punr dum b ultra pundu a,fe d intra.Similiterfcg demoftrabitur,quia pundu c cadit intra pundu d.cadun t ergo punda conti ngentiac intcriojtintra punda co tingendae exterioi^. Sed ©C arcubus ab &!cdexiftentibusaequalibus,piindu g neceflario cadit in dia- metro e hfifi enim extra illa ducat linea k g fecans circuferentiS in pundo f ,quia ergo arcus b f eft a-qualis arcui p cperprarce- dente, arcus quoq? a b eft aequalis arcui c d, ex hypothcfi, rana* net ergo arcus c h aqualis arcui h b,fed arais h b eft maior arcui p b,ergo arcus c h eft maior arcu c p.pars uii toto, quod eft impofllbile.No ergo cadit pundu g extra diame trum ehf,palam eft per i4.huins,quonia linea g b produda ultra pundu b, neceflario concurret cu linea f a,8c! linea c g produda ultra pundu c concurret neceflario cu linea f d.linea ein k c redu angulu cotinens cu linea a g, continet acu tu cu linea f d. patet er- go propofitum. l x 1 .

Si ad mediu pundu arcus interiacentis punda cotini genciarduarulinearuabuno pundo ad circulum produ darum linea' contingens circulu ad alias cotingentes ,p ducantur, ilia in pundo fuo cotingentiae per aequalia di* uiditur,fl£ ab alijs lineis contingentibus partes abfeindit aequales .

Sit circulus a b c,que cotingunt duae lineae da&!dc,a pundo d produdar,producat ergo diameter g b d,# palam per j9.hun.1s, cj| nia ipfa diuidit angulu a d c,&! arcu a c per aequalia in pundo b. d pundo itacp b producatur linea contingens circulu per 1 6. tertij hocitaq?,qmeftorthogonalisiuperdianietrugb, ut patet per 17. tertij,palam per i4.huius,quia ipfa produda fecabitlineas da # d c,fic ergo ut fecet lineam d a in pundo e.& linea d c in pundo fi, quia itacgedb&f d b anguli ftint arq uales per j^.huius,# angu* lidbe&dbf iuntredi,pala,quia trigona e b d f d b funt aequi angulaper 3 2. primi, ergo per 4. fexti, latera funt proportionali/* lia,fed latus d b eft aequale fibi.erit ergo linea e b arqualis linea- b i\8c linea d e aequalis li neat df, quod «Cia fic patere poteft,quia enim i pundo e ducuntur dux lineae coringcn

tes cir

tes eirculu.f.e a & e b.patet per j-8 .huius, quod fpfe (unt xquales.oes ergo lineae a e,eb, b f,f e, funt a’quales,ergo lineae c d & f d funt xquales.patet ergo propofitum.

Lxn.

Duobus pundis aequaliter di dantibus ab uno termino edurae diatne* tri SI i linea circulu in termino propiore diametri contingente duabus lines is ad aliuterminu diametri produdis arcus interiacentes illaru Jinearu alte ram & diametru funt acquales,illis uero ad alium pundu circuferentiae pro dudis , arcus i nteriacen t inaequales»

Sit circulus a b c d , cuius centru e ,diameter'c$ eius d b, educat ad pundu f,(int'cg duo punda g&h xqualiter dia flantia i pundo f edudx diametri, ducanturq? dux linea gd&h d,ad alium terminfr diametri fecantes circulu linea g d in pundo a,& linea h d in pundo c, & i pundo h duca tur linea contingens circulu quas (it k b 1, i qua asqualiter didet punda g oi h.Dico q> arcus a b & b c (unt xquales. ducatur enim linea g f h,erit ergo ex hypothefi linea g f asqualis lineas h f,ideo quia pundag & h xqualiter didat 5 pundo f.di ducantur linex h 1 & g k perpediculariter fu per linea k b 1 contingente per i z.pnini, erunt ergo ex hy- potheli & illae aquales, ergo per 3 3 .primi,lmea g h asque- diftat linex k I. ergo per 1 7,tertij,8<! per 29. primi, anguli d h f & d f g fune redi.ergo per 4.primi,anguli g d f & h d f

funtxquales,ergo per 13. tertii, arcus ab ed asqualis arcui b c. patet quo cp manfRfte q» fi i pimdis h di g lineae ad aliud pundu circufcrcntix ad pundu d producantur, ut ac) pundu m ucl n,q> illx linex arcus refccabunt inxquale s .qualibet enim iUaru qux fecat diametrum, abfeindit minore arcu,& alia maior c,Qi hoc cft quod proponebatur. lxui.

Diameter circuli diuidens exagonu,eidem circulo infcriptu,ab oppofi* tis angulis per aequalia duobus lateribus medias exagoni erit aequedi ftans.

Sit circulus.cuius centru (it pundu a,infcriptus exagonus qui b c, de,f g,8i ab oppofitis angulis iiliusexagoniducaturdiamcterbae,di cocp illa diameter xcjucdidat duabus medijs lateribus exagoni, qux funt c d & g f .ducant enim linex a c & a d,quia itacp linex b c & c d, q funt latera exagoni funt inter (e xqualia,& utruncg ipfop: ed xquale fe midiametro circuli, per ly.quarti, patet ergo q> trigona a b c 8C a cd funt xquilatcra.ergo per S.primi,ip(a funt xquiangula.eritcrgo angu lus c a b xqualis angulo a c d,ergo per i7.primi linex ab Sic dxquedi dant.Similiter quocp poted demondrari de lineis a b & f e.patct ergo qmdiameterbcxquediftat medqs lateribus exagoni, £|delt ,ppofitu,

Lxmi,

Duobfls circulis inaequalibus fe fecantibus ita, ut minor pertranfeat cen* trum maioris, arcum minoris interiacentem periferia maio*

^is in centro maioris per aequalia diuidi eft necefle.

Sint duo circuli c f d maior.Si centrum (it a,& c g d minor,cu(us j

centrum (i b,(ecent'cg hi circuli m pundis c di d.tranieatcg minor qui / \

c gd per centrum maioris qd* eftxeritcg arcus ca d minoris circuli I contentus intra periferia maioris.Dico.cp arcus c a d diuiditur per x* I qualia in pundo a .dulcatur enim linea copulans centra qux (it a b , di V hxc produda compleat diametru minoris circuli qux (itabg,& ad . pundafcdionumcSidjducanturlinexadjaCjbd.be^uia itacj in

PERSPECTIVAE VITELLIONlS trigonis a b‘c a b d,duo la tera a b di b c unius funt aqualia duobus lateribus a b 8i b d al teritis, quonia omnes funt ex pundo b centro circuli minoris dudja ad periferia , & balis a c eft bafi aequalis a d, quonia funt ex centro circuli maioris,ergo per 8 .primi an* guli aequis lateribus contenti funt aequales, angiilus ergo c a b eft squalis angulo d a b, ergo per ij-- terti) arcus c g eft aqualis arcui d g,reliqui ergo arcus (emicirculorum,qui funt ac&ad, funt aquales, arcus ergo c a ddiuidit g aqlia in pudo a,qcF eft^ppolitQ.

LXV.

Omnes linea: recft sed udas a polo ad periferiam fui circuli funt aequales, Efto circulus a bc, cuius centrum d,&! erigatur perpediculariter fiipra circula i cen- tro linea d e, ita, ut p diffinitione polus circuli fuper pundu e,& ducane i , tur lineae e a, e b, e c.Dico,q> ipia omnes fiint aquales,ducantur enim Ii

f \ nex a d,b c,c d,quia icaq? quadratu linea: a e eft aquale quadrato linea e

/ \ d & lineae da .quadratu quocp linea b e aquale eft quadrato lineae e d&

// \ linea d b , g penultima primi.quadratu uero linea e d'eft aquale fibijpii

I \ 8i quadratuiti linea d a aquale quadrato linea d b per circuli diffinitio*

I \ nem,palam,quia quadratum linea a e eft aquale quadrato linea b e , &C

f / \ fimiliter quadrato linea c c, palam ergoaquonia linea a e,b e,c cjk qua-

I \ cunqj fimiliter dudafunt,£<: hoc eft propofitum.

/ \ / LXVI.

/ \ Omnis linea centrum fpharr» cum centro circuli non ma<

g>ni illius fphxrx continuans eft perpendicularis fuper fuper» \\B ticiem illius circuli,

'"'"M Sit centrum fphara pundum z.fitfcj; pundum e centrum ciraili non

V'' ° I magni illius fphara.qui fit ab g d,& ducatur linea z a,zb,z d & z g,om ^ J nes «nint aquales per diffinitionem fphara , ied & linea e a, e b,e d,e g

y fant aquales per diffinitionem circuli,lmea itacp z e exiftente communi 'v- — ^ patet q> trigona z a e,z b e,z d e,z g e, omnia funt aquilatera, ergo per

8 .primi ipforum anguli aqualibus lateribus content/,iimt aquales, oes ergo anguli z e a,z e g,z e b,z e d funt aqules,iiint ergo redi , eo* A deiricg modo poteft demonftrari dc omnibus angulis cotentis iub

linea z e,8C cum femidiametro circuli a b g d,linea ergo z c eft per* \\ / 1 pendicularis fuper iiiperficiem circuli a b g d,& hoc eft ^poiitum,

\\/ \ LXV1I.

\ )\ J \ A centro fphara dudam perpendicularem fuper iii*

Z/\//\ j perliciem circuli non magni ipfius fphara eiufdemcircu /a J li centro incidere eft necelTe.

/ J Sit ut in praniiifa ccntmm fphara pundum z,fit'q! pundume

^J/ 'n/ centmm circuli no magni illius fphara , qua fit a b g d,& ducatur

“ ■~'‘s i pundo z centro fphara linea perpendiculariter fuper iuperficie

circuli ab g qua fit z.Dico,q> pundu e eft centrum circuli abg. ducantur eriim linea z a,z b,z g,qua erunt aquales per diffinitione fphara, quoniam ergo anguli aez,bez,dez,g e z funt redi, patet per 4<S.primi,quonia quadratu linea z a ualet quadrata linearu a e 5i z e ,& quadratu linea z d ualet ambo quadrata linearu b e & z c,A fimiliter quadratu linea z g , ualet ambo quadrata lineait geSCzc, linea uero za,zb,zg funt aquales,& quadrata ipfaru aqualia, ablato itacp quadrato linea z e c5muni,rclinqui tur ut quadrata linearu a c,b c,g e funt aqualia, ergo & ipia linea a e,b c,g e fun t aquales,ergo per?, terti) pundu e eft centra circuli a b g, qcf eft ^pofitu.

LXV III.

A equediftantium in fphara circulorum centra in eadem diametro fphse rx cofi ftere cftnecefle,ex quo patet, cp omnes circuli in fphxra a:quediftan tc&eofdem habent polos, 8C li eofdem habent polos, funt ccqucdiftantes.

Sit

LIBER. PRIMVS, 17

Sit Iphsra, cuius centrum fit pundum a ,& in ipfa fint duo circuli squcdiftantcs b e, cuius centrum fit f,& d e.cuius centru g ,& ducatur linea a f , qua: prodtida eric diameter fphsr* aim ipfa. trafeat centrum fphsr* d e, ergo per 66. huius a f eft ereda fiiper fuperficiem circuli b c, ergo per 23 huius erit eadem diameter ereda fuper fuperficie circuli de, ergo per prsmiflam ipfa tranfitper centru circuli d e.fiint ergo cena tra illoru circulojfc in eodem diametro fphsr* > qd* efl propofitum,

& ex hoc patet, q> illi circuli eofdem habent polos per diffinitionem poli.SC fi aliqui circuli eofdem habent polos, patet per i4.undecimi, ipfifiint squediftantes,& hoc proponitur, q> fi etiam reliquus cir culorum squediftantiu efiet circulus magnus, eadem eliet demon* ftratio.duo uero circuli magni ciufdem fphsr* fibi inuicem squedi ftare non poflunt,quonia amborum eft idem centrum, quod efl cen- tmm fphsr*.

LXIX,

Si plana fuperfictesfecetfph*ram,communis fedlio erit circulus, ex quo patet,quonia & quolibet pundlo in diametro uelfupficie fpchama dato efl: poffibile totali fuperficiei fphaerica; circulum circumduci,alij etiam circulo illius tcquediftantem,

Sitfphsra.cinWcentnim adeceturcg per planam fiiperftcie.Dico , q> communis fe dio fuperficiei fphaerica & plana: eft circuIus.Si.enim Hat fedio per centru a, tunc pater, q> omnes lineae duds i centro a ad fphs rs fuperficie, qus fiintin illa plana fuperficie fecante,& te^mina tur ad comune terminu illo&fimt squales per diffinitione circa !i,illa comunis fedio eft circulus. Si autem fuperffcies plana ie- cet fphsram non per centru a,ducatur per 1 1 . undecimi i cen=

*ro a perpendicularis fuper fuperficie fecantem,qu* fit a b,8C co tinentur line* a c,a d,a e, a f , di q> quis uolueri t ad aliam fedio* nem comunem i centro ipfius fphsr* .ducatur quocp line* c b, d b,eb,f b,in ipfa fuperficie fecante ad punda quibus incidunt li neat de centro fphsr* duds.palam ergo per penultima primi, quonia quadratu lineae a c eft aequale duobus quadratis linea ru a bfiCdb/ed quadratu a c eft squale quadrato line* a d , qm linea a c eft aqualis lineae a d per diffinitione fphsr*, & quadratum li ne* a b eft *quale fibrjpfi .relinquitur ergo quadratu line* c b squale quadrato line* d b,eft ergo linea c b squalis line* d b,& fimili ter erit 1 inead b squalis lineis e b di f b.g eande demonftratione quotcucp alrjs lineis i centro fphsr* a adaliam communem fe* dionem produdis .omnes itac^ line* a pundo b ad illam comunem fediionem duds, funt *quales,ergo per 1 9.terttj,& per diffinitione circuli ut prius pundu b eft centru cir culi. Comunis ergo fedio iftapi fuperfleieru eft circulus,&hoceft propofitu,patet etiam ex hoc correlariu,qm d pundo dato per rz. primi .pduda perpendiculari fiiper diame- trum fph*r*,imaginet fuperficics plana fecans fphsra fecundu illam ppendiculare , &C patet propofitu per pr*mifla,q> fi alicui circulo in fphsra fignato squediftans duci de-, beat.i dato pundo ducatur perpendicularis fuper fphsr* diametr u tranfeunte circuli centru ,cui *quediftans debet duci circulus,&: pducat in continuu ufqj ad aliam fphs- r* fuperficie, 8d ducatur alia linea i pundo diametri utcunqj fuper ,pduda 8C orthogo* naliter fiiper diametru fph*r*,imaginetur'cp fuperficics plana tranfiens terminos lita* rum lineare in ipfa fuperficie fphsr*, faciens fedione,qu*per prsmifia neceflar/o erit circulus,quia per 4.undecimi diameter fphsr* fuper qua ducitur linea i pundo dato,, erit perpendicularis fuper fuperficie in pundis illis,ut prsmittitur fphsra fecante, un- de d centro fphsr* dudis lineis ut prius,patet quod proponebatqr,

A dato

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

A dato pundo ad datam fpha^ram linea contingente ducere»

-7- . Sit enim datum pundu a >& centra da •4 to fphara: fit b,& ducatur linea abi cen tro fphante qd eft b.ducat linea b c,ut co* tingit,^ copuletur linea a c , palamfcw j> z.undecimi,quonia trigonum a b ccft in una iupcrficie plana,hoc itaejs per proce- dentem iecabit iphaeram iecundu circulS cui per 1 6,terrij A pundo a ducatur cons tingens in pundo d,qua fit a d , & patec propofitum.

LXXI.

Omnis fuperficies plana contitt gens iphaeram, fecundum unicum

pun&um eft contingens.

Ducatur in plana fuperficfe contingente iphaeram linea reda trans locum conra* dus,& in fiipernctc (phaerar circulus magnus.li ergo iupcrfic/csplana contingit iplioss iam fecundu al/ud cj| iecundu pundum,8c linea reda continget circulfl iecundu idem, noncrgO iecundu pundum continget linea reda circulum, qtf eft contra i j-.tcrtij, paa Iam ergo propofitum.

LXXII,

A dato pundo iliperfic/ei fphxricx fuperficie planam contingentem clu ccre,cx quo patet,cp omnis linea centrum fp htcra: tranfiens,eft perpendicti laris fuper eius fuperficiem,8i fi eft perpendicularis fuper fphaericatn fuper* fidem,neceflTariotranfit centrum fphacrar,

Efto fphora ,cuius centru fit a,& circulus cius magnus b d c, ducatur'q^ linea a bd ce tro ad circumferentia ,8C d pund:o b ducatur linea contingens circulum , q fi t f b e per i d, ter ttj.erunt ergo anguli a b c & a b f redi.imaginatis quoq* per 69 .huius circulis qt.

cunqj in fuperficie fphoro iecantibus fc in pundo b,& dudis li*-: neis contingentibus illos circulos in pundo b, palam per i7.ter« ttj,quonia linea b a cum ornibus /Ilis lineis continet 9. angulos rea dos, ergo omnes illa: linea* funt in una fuperficie plana per z.un- decimijilla itaq? fuperficies contingit iphaeram per diffinitione fuperficiei plana* iphaera contingentis.ex hoc itaejj patet, qni cu omnis linea a centro fphana: duda,fir creda fuper planam fiipcr ficicm,(pha:ra ipfiun in pundo fua* incidentia: contingentem, Qi anguli incidentia* funt aquaks.quonia ipfa eft gpcndiciilaris iii- per fpharae iliperficie,pcr diffinitionem perpendicularis, anguli enim femicirculo^ omnes funt aquales per 43 .huius, quoniam 1* nca a bproduda ad pundu g eft adhuc ereda fuper iliperficicm planam,fpha:ram contingente in pundo b.palam.quia linea g b.&qiKcamqjalia gpcndicularis erigi poteft fuper fuperficie pia nam in pundo b, contingente fphanam tranfitcentrufpha*ra*a,quia fi d pundo b pof« fit alia linea erigi fuper fuperficie contingente, non tranfiens centrum fpha*ra* a.fit illa h b d,& fit angulus h b c redus.Scd angulus g b c eft redus per 1 3 .primi, cum angulus a b c fit redus cx hypothefi,crit itacp redus maior rcdo,qcF eft impoflibiIe,patet ergo ,p- pofitum. lxxi 11.

Omnium fphjcrarum, quarum conuexa* fuperficies a'qucdiftant,uel fc* cundumfc totas fecontingunt,neccITario eft idem centrum.

Sitii

LIBER, PR.IMVS, »8

Sinfdux fphxra*,qua(«; couucxar fupficies xquediflet.feda? perxcjualia per unam planam iupficie,c6is fcdio iuperficiepj illam fph^i kaifc Qi huius planxerunt circuli,fit- 'cy magnus circulus maioris fphaux a b,& centrum eiuse,mino Tis uero ipluera; circulus magnus fitcd.Dico, cp idem pundu e etiam erit centrum circuli c d .ducatur enim linea a e b taliter, ut fi e non fit centru amborum circulojK, linea tamen aeb tranfe- at per ambo centra.qd' potefl fieri continuatis centris per linea redam, &,pduda illa ad periferia maioris fphxrx huius, itaqj erit diameter circuli a b.quonia circuli a b & c d ilint in eadem iii perfide. Sit ut diameter a b iecet periferia circuli c d in pundis c & d,erit'cg reda c d diameter circuli c d,quia ergo .ppter tequidi- ftantiacirculoH; linea a c dl aequalis lineae b d,Sdinea a e aequa* lis linere e b. remanet linea c e te qualis linea: e d, & quia diamc= ter cddtuiditur per aqualia in pundo e.patet,q> pundus e eft centrum circuli c d ,fi enim non fit pundus e centru circuli c d, fit centrum eius pundus h.eritfcg per diffinitione circuli linea h d aequalis lineae a c, erit ergo linea h a aequalis lincte h b,ied I inea h a efl: maior ^ linea a e, ergo h b efl: maior linea e b, pars ilio toto3qd* efl: impoflibiIe,eft ergo pudus e centru circuli c d,& quia circulus c d efl magnus circulus Gjx fphaerat, patet, q> aequcdiftantium fphaerajt- efl: idem centru m,qd* efl: propofitu primum. di eodem modo de fpha-ns (ecim dum totas fuas fuperficies contingentibus efl: demonftrand u. lincte eduda: a centro ad poncauu maioris di ad conuexu mmoris.funt aequales, patet ergo illud qd ^ponebatur, LXXI III,

Si dux fphxrxxquedi flantes fuerint,uelfecundutotas fu- perficies fe contingentes,quxcuncplinea fu per unius earum fu- perficiem perpendicularis fuerit, fuper alterius quoq? fuperfici- em perpendicularis erit»

Ifttid faciliter patct,quoniaenim ex praemifla tales fpharrse indcm ce trum habere neceflario coprobantur,crgo per 7 z, huius, linea ppendicula ris fuper alteram iftajt; fphaeraru centrum ipfius tranfit.ied centrum ipfius efl: centrum alterius,ergo per eandem 71. huius iiiper alterius etiam iphae tx fuperficiem alia linea perpendicularis erir,& hoc efl propofitum,

LXXV.

Si dux fphxrx centra diuerfa habuerint,impoffibile efl ut linear perpen diculares fuper unius fuperficiem fint perpendiculares fuper alterius fuperfi ciem,nifi una tantum qux tranfit centra ambarum»

Quocunqj modo fe habentibus adinuicem fphaeris,fiue extrinfeais fiue intrinfecus fe concingentibus,ucl etiam fc non contingentibus, uel etiam ie adinuicem fecantibus femper, patet ex 7 z.quonfa linea tranfienspercentraipfaru,eft perpendicularis fuper fuperfirie utriufqj, aliam quoq? linea fuper utriulqj fuperficiem gpendicularc efle, efl im poflibile.Si enim fit poffibile, ducatur aliqua alia perpendiculari ter fuper utriulqj fphae« xx fuperficie,palam'qjeritex eadem 7 z.huius, ipiam per utriufqj centru tranfirc.qcPeft oppofitum hypothefi, patet ergo,qm nullam aliam linea praeter cam , quae tranfit cena tra ambajt gpendiculariter duci fuper utriufqj fphaerarum fuperficies eu impoflibile , di hoc eft propofitum.

LXXvr.

Si fphxra fphxram intrinfecus aut extrinfecus contingat3in uno tantum pundo contingere eft necefle .

Si enim fphserx contingentes leintrinfeciis>npn ir» pundo fe contingant , necefle efl: circulos fuos maiores adinuicem applicato^non fe in pundo contingere , quod efl:

e z contra

PERSPECTIVAE VITELtIONIS contra i z.terti).S(impoflibilc,q> fi fpharrseextrinfecus fe contingentes, noli fe contin- gant in pundo,8£ hoc eft contra natura circulojt extrinfecus fe contingentiu,& contra eandem i z.terrij.potcft& hoc aliter demonftrari.Sieniminterillas fpha;ras,qua:fecx«« trinfecus contingat, imaginata fuerit fuperficies plana, palam ex 7 1 .huius,quonia utra cjj illarum fphaerajts illam fuperficie planam contingit in pundo ,ergo & ieinuicem in pundo con tingant, ppinquior cft utriufqj fphaerajt- ipfaplana fuperficies interpofita cfc reliqua fpha:rarum,&:hoceft propolium .

LXXVII.

Sphaerarum fe contingentium,centra diuerfa effe,eft neceffe.

Signentur enim in utralibet fphaeraru i pundo contadus duo dfrculi maiores , per ^7.huius,(ecantes eorum fuperficiebus planis fphteras per liia centra, & per ptinda con €aduum,& quia centra horum circulojv funt centra fpharrajt fuarum per diffinitionem circulora magnoju.hos aute circulos centra diuerfa habere, eft cqnclufio 6, terti) . patet ergo ^politum. lxxviii.

Centrorum Iphaerarum fe extrinfecus contingentium,diftantiamfecun* dum lineam compofira ex ambaru fphaeraru {emidiametris,intrinfecus ue* ro contingenti 5 fe fecundu exccffum fimidiametri maioris ad fe midiame* trum minoris eile , palam eft .

Hoc patet ex 7<>,huiiis,qironia enim contadus ipharraru l?t fecundum unum tantU pundum.pundus uero eft, cui pars non eft,ttmc euidens eft,q> pundus ille comunis in utraq? interfedione nihil adimit de diametro^ quantitate,indiuifibile enim no fit pars quanti, necaddit nec minuit aliquid de quanto, & fic patet propofitum.

LXXIX.

Si coucauum alicuius fphaerse fuperficie aliquam fecundu eam totam con tingat,necefle cft fuperficie contadam partem fphterae minoris effe.

Sit ut aliqua fpharra fecunda dium concauum contingat aliquam fuperficie fecun* dum omnes illius partes,ficutuas fphaericu (liperficiem aqua: contente.Dico, quierunt eft quod ^ponitur .ducantur enim linea: plurima: i centro fpharra: ad locam contadus (iii cum illa fuperficie ,& quia omnes lineae pducfhe ad concauu fpha:ra:,fiint aequales in ter fe ex diffinitione fphsera%& fent aquales produdis lineis ad conuexu fiiperficici co* tad*.pacetexdidadiffinitione,quoniailIafuperficieseftparsfplia:ra:)& qlibet intel- leda extendi fecundum concauu ambientis fphara,fphxram minore complebit.eft er- go pars minoris fphanar.Iineaquocj) in illa fuperficie fignata eft pars circuli ex 9. terti), idem habens centru cum circulo cui applicatur ,& fic illa fuperficics eft pars minoris fphaerae,quod eft propofitum .

iXXXX.

Si fpharra fpharram interfecet,communis fedio fuperficierum fphaerica* rum feinter(ecanrium,erit periferia circuli ,

Qd hic proponi nir, patet, imaginetur enim fuperficies fecans ambas fphteras fecun dum lineam comunem fedionis (phierapt qualifcuncp fuerit.harcergo fuperficies ,ppter fimilitudine corporum fe intcrfecantiu plana erit, comunis ergo fedio illius fupcrncicl 8c utriufep fphsra«< erit circulus per ^.huius.palam ergo,q> comunis linea interfedio* his fuperficie^ fphxraru illarum erit periferia circuli,in qua inclufa fuperffcies,erit arcu lus comunis illi fedionhquonia aliis corpus quo utrarq* fpharra: comunicat,eft corpus comune fpharraram in terfedioni,& eft corpus /rregulare,duabus feilicet fuperficiebus (jphtericiscontennim,& diuerfis fecundum difpofirionem fe interfecantium fphaera* tum.patet ergo propofitum.

LXXXI,

Sphceranim fe interfecantium maiores circulos Ieinuicem fecare, palam cft,ex quo patet interfecantiu fe (ph «erarum centra diuerfa effe.

PrimiS

LIBER PRIHV5, I?

Primum patet ex diffmitionefpharum ie interiecantiu , quofiia ctifm inter iecanti* bus fe.fpha:ris,diameter unius per alteram abicinditur,& niaioru drculort- diametri fua rum fparaje.diuidunt enim circuli magni iuasipharas per aequalia, tunc patet, ap circu lus unius fphara: & alterius fe interfecantium aliqua linea eft comunis.Cum ergo unus circulus alium non contineat, quia nec una fphara aliam continet,palam(quia tales cir culi fe inuiccm iecant ex diffinitione talium circuloR-.quia uero ex y.tertij circulore ie in uicem iecantiu centra efle diuerla necefleeft,S<: idem eft centrum (phaerae qcP eft centru circuli magni in illa fphxra. patet corollariu,fcilicet}quia interfecantium ie fpharartim centra iunt diuerfa,8<: hoc proponebatur.

LXXXII.

Si fpharra iphzeram interfecet linea, quae ccntraillarum fphjerarum tran* fi t, centrum circuli periferia? communis fecftionis tranfire,& fuper ipfltts fu* perficiem perpendicularem eiTe,necefTe eft.

Circulus comunis iedionis fphseraru aut eft circulus maior alterius fpharraru fe in* ter iecantiff,aut minor.fi maior, hoc erit iolu, cS maioir fphara minore interiecat.Si eni arqles fpharra: iecffdu circulu maiore fe itcrfecaret,no eftet iphanar 5 interiedio.fed uni us fpharae ex duobus hemifpharqs aequalibus copofitio , fi ergo circulus cois iedionis fph xrajii (it circulus maior,non erit ille Circulus maior nifi in fpharrfs ii larqualibus fe in* teriecantibus circulus iphaerae minoris,quonia ipfiim efle circulu maiorem Iphaerae ma- ioris eft impoflTbilc,qm maior circulus iphara: maioris non poteft cadere in fupcrficie iphxra minoris. Sit itacp circulus talis ab c,& fit centrum maioris iphaera: d , fphte* ne ucro minoris e, erit quocp e centnim circuli abcek hypothefi., ducatur ergo linea d c,£C patebit ppofitum primu.Item ducantur linea: d a,d b,d c,& linea a e,b e,c e,erunt'cg triangulo^ d a e &d b e latera £equalia,ideo,quonia linea de latus eft comune,& latus d a aequale eft lateri d b ex diffinitione fpharrar, latus quocg a e aequa Ie eit lateri b e ex diffinitioe circuIi,ergo per 8 .primi anguli aequis lateribus contenti.erunt aquales. angulus ergo d a b aequalis erit angulo d e a,fimiliter aute angulus dee erit ecqualis angulo d eb,

& uniuerfaliter iquocuncp pundo circuli a b c ducahtUirlfheaea d e, centrum fphaera: anguli fuper centrum e femper entrtt aequales,

& quia fuper eandem diametrSoppofitis pundis lignatis Itriea d e aequales angulos conftituit, patet per diffinitione ^pendicularis, qift ipfa linea d e fuper omnes diametros perpendicularis erit , er- go per 4.undecimi linea de fuper fuperffciecirculiabceredaeft.fi^ fuper eam Jjpendi- cidaris. Si nero circulus a b c non fit circulus maior aliCuius fphaeram ie interfecanti* um,icd minor, in telligatur in ipfb jptrada diameter q fit 1 fper punda 1 f,6C utraqj fpha: rarum imaginetur reda per fuperneie planam trans centrum, Si per punda f & I,quje funt in iugneie utriufcg fphterae,erit ergo per primifla quilibet ftlorfi circulofc circulus maior in utracp fphajrap: fe inter(ecantiu.iecabit'cg 'circulu a b c utercp illorum cir culo maiorum per aequalia, qm arcus f 1 eft medietas circumferentia: circuli a b c, tranfeunt ergo ambo illi circuli maiores per centru illius circufi ab c,q3 eft e.imaginent item duo circuli altj maiores in eifdem fpharris,quoru quilibet fecet portione circuli maioris fua: fpharrae credam fup circulu a b c per xqaulia,qcP fieri poterit ex Z9,tertq,diu/fb arcu f I utriufcg circuli fphxrafi: ie interiecantiu per £equalia,& i pimdo iedionis utriufcfj circu li imaginata fuperficie plana tranfeunte centrum fph&ra^utriufc^fiat itacj? iedio ar- cus fphxra: maioris in pundo g,Si iedio arcus-fphcera: minoris in pundo b, & fimili- ter hi circuli mafores cum illis circulis quos iecant angulos aquales fpharales, uel ina- quales contineant patet,cum S. polo circuli a b c per cehtra fpharraru ambap- tranieant, qiionia ambo fecabunc circulu a b c per aqualia, tratifibunt ergo per centrum ipfi q> eft e linea ,ergo d g,q per diffinitione maiorum cftculo p;8£ pit 3 .undecimi eft comunis fe dio duorum circuloru maiopj in fphsera maiori ie fecantium.tranielint per centrum e,

e 3 quoniam

PERSPECTIVAS jVITELLIONIS quonfamcqm centrum e fit in fuperficie utrhifcpillaittxirculonSmeceflc eft,ut fit in lia nea comuni utriutep. Similiter etiam linea e h,qua?eft comunis tectio circulorum maio* nrni in iphara minorife intertecantiu.tranfit per centrum e/edquia Iineteeh,& lineae d g per diffinitioue circulojfcfe tecatium eft aliqua linea reda comunis ut e g, erit illa g primam / / .in eadem fuperficie eum illis, ergo erunt linea una.tota ergo linea d eg hcft linea una tranfiens per ambo centra fphterarum te /ntertecantiuA per centrum circuli, qui eft comunis fedio , cu centro in periferia comunis tedionis fuperficierum f phteri- carum feinterfecantium, patet ergo ^ppofltum primu.Secundum uero patet ex pr annif fis. Circuli enim maiores per arqualia diuidentes circula minorem orthogpnaliter eum fecanr,& eorum comunis fedio,ut linea d h per /^.undecimi fuper eundem cirailu per pendicularis erit,& hoc eft ^ppofita.pQteftA idem per 66 A 6 7. huius facilius demon*: lirari diligentiam adbibenti,

'.LXXXIII,

Sffphsera fphteram interfecct , lineam tranfeiintem centrum circuli peri* ferias communis fedrioms perpendicuf ariter fuper ipfius fuperficie lnfiften* tem,ambarum fphxrarum centra tranfire necefte eft ,

Hcec eft conuerfa pra?cedentis,ncc oportet in /pilus demonftrat/one aliter immora ri,fi enim fit pofflbile, ducatur linea per e centrum circuji comunis tediois fphterarum, qui eft a b c,perpendiculariter fliper ipfius fuperficie ad. alium alique pundum , pra-ter centrum amba^uel alterius fpharraru,& fit linea e kA ducatur idem per centra ambajie fphteraru alia Iinea.qtKC fit d h.patet autem per procedente, quonia hic erit tranfiens g centrum e A erit perpendicularis fnpcr fuperficie drcali a bc.ab eodem ergo pundo fii perficiei circuli a b c utpote centro e duo exeunt gpendiculares fuper eandem circuli fti pcrficiem a b c,quar funt e d 5<qkaqtf eft contra 13. undecimi A impoffibile;patet ergo ^pofitum. ..'WXX.im,-:

Si fphsera fphaeram intrinfecusinterfeCet,necefTe eft: centra fllaru fphccra rum refpedu fitus fui corltatftus fecundum quantitate periferia? circuli , qui eft communisf^dio ftlarum fuperfirieru plus cfiftare^cen* tm^lphqsraj.cdntinriitis pius pvofundari,

Spharro dataeii^erfecare fe debentes, fi oquales fuerintA taliter ad| inuicem qoHocen,tui,ut non fe interfecent, tunc ipfa# idem erit centrumtfada qeTP;interfediqe ipfarum centra diuerfantur per 8, huius A fccundu.^circuli p.eriteiia,quo eft comunis tedip jllaru fii perficierum (ph^qc;^ fit maior ppl minor, tecundu hoc plus uel mi- nus diftabunt cetitra,q? fi fphorte fuerint:inoquales,quarumuna al- tera fntririfecus cotingere poterint,tuncin fitu fuo cotwgentix cen trorurp fuQ^ d(ftaptia per 78 .huius eft exceflqs femidiametr/ fpht-e*» rap maip.ris ad fein\4^metru minoris.Demus ergq,cj) centi amaio-r *i$ fit a^ntrun1 minoris fi3puudus pontadus fit c,6i quia conta* dus fit iuptin^p ppr 74thwus,interfedio uero fittecundu circulum /per 8?i.huius.pala,qyi^ fada iuter.tedione fphorap-,abteindet fphai ta a diametfWlb c pundo alio in terminofuo quieft pundus c, fi tergo pundusin quq jipfiim a b fcinditpunclus e, ponat urcp ut \ fiiieaf e fit *quajis diametro fph*rasb,quonia itacg linea a c excedit lineaip b cinlinea q^.Iinea uero f e eft atqualis temidiametro b c,q* I niam funt diametri eiufdpm fphaprte. linea ergo a c exceda t lineam f e in.Iinea a b,fed linea f eeft maior <fj linea c c,ergo a c > in qua li* nea a c excedit lineam e c,eft maipr c$ linea a b,pjus ergp diftat ca\ tr a fphterarum in incerfedionc in-fitu contadu A fecunda q>perf feria circuli, qua? eft cpmunis 'ftQio fuarutn fifperficierii minoratur, feojftdum hoc difiantia centn?^ jugetur A fecunda $i'Ua periteiia augetur , fecundum

hoc

LIBER PRIHVS, *o

hOcdiftantia centrorum minui tur,&*eipedti partis unit.rerfi ad qua fit interfectio plus profundatur centrum iphxrar continentis refpedu contactus in tanto,quanto linea ae htmaiorcfj linea a b,8dioceft quod proponebatur.

LXXXV »

Si diite iphaera» intra tertiam fecundu circulum aequalem circulo maiori fphxra;, intra quam finnterfedio,femterfecent,utracp illarum fphserarum (plueram, intra quam fit interfedio,interfecabit,8£ omnium illam fuperficie rum fpharricarum comunis fedio erit periferia circuli unius»

Verbi gratia;Sit in fphatra, cuius centrum ainterfecetfplmam, cuius centrum fit b intra fphteram, cuius centru li t e fecundu circulum tequale circulo maiori fphatra: c3di co q> fphxra a di fphxra b interfecabunt fphxram c,& ortinium fupcrft ^

tierum iphxrica^ illarum fphxraru erit comunis fedio periferia circu - li fecundu qcFfphxrapi a &b fiebat interfedio.htc eft cuiuicfam circuli [ / magni fphxrae c,quonia enim circulus maior dtuidit fphatram p zequa- // B

lia,quia tranfit per centra eius ex diffinitione,tunc patet ,q> xqualis eide uccimq? contingat eum ihfphana^duc/,diuidet eam per xqualia .&fic l/ interfecabitfecunduillumcirculuutracgfphxrarum.f a&b fphtera c. A.

Sphccra autem a interfecante fpharram b, communis fedio eft periferia /

. circuli per 7 9 .huius,diuidit aute ifte circulus fpharram c per xqualia, er l gointerfecat.eft ergo ettfs periferia iri fuperficie c,fed& eadem perife* V rfa eft in fiiperficiepus fphxrap: a & b.In omnium ergo fplireraru illam \,

trium fuperficiebus eft illa circuli perifcria,eft ergo tpfa comunis fedio ^

omnium iuperficierum didarum fpha:rarum,quod eft propofitum ,

LXXXV 1 .

Lineam 4 centro fphterm per centrum circuli fphxram fecantis orthogo rialiter dudam, medio abfeifa? portioms,eft neceflarium applicari»

Sit fphccra cuius centru a, & Iit circulus b c d cuius centru fit e,abfcindcns portione fphxrx,ducatur'cg linea a e,& ^ducatur ufep ad fuperficie fphaericam.cui incidat in pui do f.Dico,q> lincaa e neceflario aRplicatur pundo,qui eft.medium ab* fcifx portionis fphanx in conuexo uel concauo ipfius,& qj hoc eft pun- dum f .ducantur enim lineae a b & a c,& copulent lineae e b,e c,e d,eruht Z' t

itacptrig6naaeb,aec,aedomniaieeundulatera xquales augolos re;- . /l

fpicientia,adinuicem J5portionabilia,qmillaiplb{fcIaterafunt,adintiicc [ •! JJ

xqualia,ut patet per fphxras8<: circuli diffinitionesA quia latpsae eft //*N

omnibus cSmune.anguli itacp b a e,c a e,d a e ornes funttequales per y. *T

fexti.ergo per zj-.tertij angulus bf,cf,d f fimt aquales, &quonia pro* 7 \^f

dudisquibuslibctlineisdcentroaadperiferiamcircnlibcdjtdem fem I \ // pcraccidit.palam,quiapundusf eft in medio portionis abfdfie de fphte \ \/

Ya,& hoc proponebatur, \ _A

LXXXVir.

. Proportionem partis fuperficieifphaericse ad totalem fuperficiem fua; Jjjhtcr£c,ficut anguli folid i inipfama centro fphsera: cadentis ad odo re* dos (olidos necefle efteffe .

Verbi gratia. Sit a b c pars fupcrficiei fphter icar alicuius fphxne,cuuis fit d.& ducan tur linea? a d,d b,d c,& in ipfa fuperficie ducantur li nex a b,b c,a c,fiet'cp pyraniis,cufus ticrtex eft pundum d,& bafis a b c.palam quocp, quoniam angulus circa pundum d eft fblidus,ti ibus angulis fugficialibus contentus.Dico,q> qux eft ,pportio illius anguli ad S aedos angulos ,qui replent locum (olidum circa centrum d,eadem erit proportio fu* perficiei fphxricx qux eft a b c, ad totam ipharricam fugficiem fux fphxrar . Imagi- nentur enim plurimi drcuU magni, tranfcuntes per omnia punda illius iuperficiei,

non

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

aon fccantes Ce fuper illam, patet itacp,quoniam aliqui arcus illorum circulorum deter- minantur per lineas terminales illius fuperftrfei.omnium autem illo rum arcuum partialium ad totos iuos circulos eft portio, ficut an- gulorum contentorufub linea £ centro d adipiorum terminos, pro- dudis ad4.redosfpales per ultimam fexti, patet ergo propofitum. bi etiam pot.cft patere ex hoc,quoniam ficut ille angulus correfpon- det illi parti fuperficiri fphaericse,fic refiduum 8 . iolidorum anguloril redora totali refiduo iuperficiei illius fphan% refpondet,ergo g 1 6 « quinti.eritgmutatim anguli ad angulum,ficut iuperficiei ad fuperf* ciem,& per r 8.quinti,& per ? .huius econtrario patet ,ppofitum.

L XXX VI II, .

Si inter duas quartas circulorum ecqualium in (phxrx fuperficie (e fe- tantium,ad extremitatesarcuum arqualium linea; reda; ducantur,illa: erut £cquediftantes.,&remotiorapundofedioniserit longior.

Sint arcus magnorum circulomm in fuperficie alicuius fefecantium,qui a b c & a d e.fecantesfein pundoa,in quibus lignantur arcus arquales,ita,ut arcus ab fit aqualis arcui a d,& arcus b c araii e d,& continen tur linea reaa.qua b d & c e.Dico,q> linea c e bi b d iunt aquediitantesA’ q> linea cecft ma- ior cfj linea d b,quia ltacp arcus a b eft aqualis ar- cui a d.palam per z8,terttj & per 6f. huius, quoni am pundus a & polus circuli tranfeuntis per pun da d & b,ideo 9 reda linea qua ad & ab ninC aqualesA fimiliter eft de circulo tranfeunte pun da c8( e, circumducatur ergo iuperficiei ipharrae per punda d b circulus eredas fuper diametrum fphara g .huius,& fimiliter per punda e&c,

erunt ergo illi circuli aquediftantes per 1 ^unde- cimi, erunt ergo linea cd& bd aquediftantes g'

» 6,undecimf,imaginata fuperficie plana in qua funt punda b c d e, circulos fecundum illas lineas fecante.fed Alinea ce eft maior cp linea d b,fi enim fit aqualis aim fitaque-i diftansjpalam.quia circuli abc&aed aquediftantes erunt, qcf eft contra hypothelim.

fupponunt enim Ce fecare in pundo a, aut fequatur circulum tranfeuntem per punda b & d aqualem fieri circulo tranfeunti per punda edi d, quorum circulop* polus eft pun- dum a, qd* iterum eft impoftihileA fi linea c e fit minor cp linea b d, concurrent circulf a b c tk a d e ultra lineam c e potius cp ultra lineam b d,eft ergo linea b d remotior i pu» do fedionis,quod eft^ppofitum hypothefis,ergo patet ^politum,

LXXX1X.

Omnes lineae longitudinis unius pyramidis rotunda;, funt tequales , St cum femidiametris bafis aequales,fed acutos an- gulos continent es, ex quo patet omnem pundu uertids pyramidis eiTe polum circuli fiia; bafis, omnemc^lineam longitudinis elTe in eadem fu- perficie cum axe,ipfam quocp axem centrum cir- culi bafis orthogonali ter attingere,

Qm enim per principia 1 1. Euclidis pyramis rotun- da lit per tranfitum trianguli redangult, alterutroiuorS laterum redum angulu conrinentiu fixo , donec ad loca fuum unde incipit redeat, triangulo ipio c/rcumdudo, qui triangulus,!! fue * ‘

i fuerit duorum latera ajqualium, fecun- dum unum laterum acqualiuredum angulu continen- tium

LIBER. FRUJYS* 11

ttgm fuerit fixu.caufabitpyramis redangida,ideo,c£angiilus duplicati,(iu trianguli ad, uerticem pyramidis eftredus,per j-.& per 3 *.prirm.& 11 fixum latos, fuerit min.iis.Iatc- re moto, erit pyramis ambigonia,qm per 19. primi angulus ad uerticem fit obtufus . Si Ij latus fixum fuerit maius latere moto, erit pyramis oxigonia,quia per eandem i cj.pris mi, angulus eius ad uerticem remanet acutus adiuuante femper 3 1. primi, fic ergo d ia uerfantur forma: pyramidum fecundum diuerfitate ,pporciois lateris fixi ad alterum la tus motum, redum angulu continens cum fixo,& quia latus fubtenfum angulo redo, caufat omnes lineas longitudinis in qualibet pyramide.palam,q> omnes linea: longitu- dinis totius rotundee pyramidis uni linea, fimt aequales ei, f, qua: in trigono redangulo rcdo.ergo di omnes inter ie funt aequales. Si ergo trigonii orthogonia caufans pyrami dem fit a b c?cuius angulus a b c fit redus,erit per 31. primi angulus a c b acutus , & eft acb angulus cui omnes anguli contenti a lineis logitudinis Si femidiametris bafis funt aquales, & hoc ,p ponitur, patet enim ex rjs,qm pundus uerticis pyramidis cuiuslibet, efi; polus circuli (lia: bafis per 6 y.huius,8i quonia h'nea a ceft in eadem fupcrficie trigo* na cum linea a b.patet, quonia omnes linea longitudinis funt ineade fupeficie cfi axe a b,Si quonia linea b c motu fuodeferibit circulu bafis.patet q> axis a b centrum circuli ba fis orthogonaliter attingit per 8. primfiquiacx circuli diffinitione Si prima parte axis exiftente comuni,omnes anguli ad centrum b conftituti funt aquales, pate t ergo pro-= pofitum. XC,

O mnis fuperficiei plana: fecantis pyramidem rotundam uel lateratam fe eundum axis longitudine Si fuperficiei conicar, comunis fedio eft trigonii duabus lineis Iongicudinispyramidis & diametro bafis contentum,ex guo patet,quonia illa luperfides diuidit pyramidem per aequalia, & q> iuperncl cs qua: pyramide fecundum lineam longitudinis per aequalia {ecuerit,fe* eundum axem necefiario fecabit»

Efto pyramis rotunda ab c, cuius uertex a ,& diameter bafisb c. Si fit centrum ba* fis d,8t palam per pramifTam,qm linea a d eft fixis illius pyramidis.fuperficies itaq* plana fecans pyramide ro* tundam, lecundu axis longitudine pertranfit punda.a Si d,crit itaq? illa (Iiperfides plana orthpgpnaliter ere* da fugbafem pyramidis per 1 8 .undecimi .comunis itu* cp fedio bafis pyramidis & illius fuperficiei plana: eft li- nea reda g 3 .undecimi, qcF eft diameter bafis, & fit hoc b c. trigonii itacp a b c eft in fupcrficie fecante, fed Si id2 trigonum eft in fuperficie conica pyramidis , & quonia » trigonum orthogoniub ad eft illud, ex cuius gtrapfitu delcribitur pyramis a b c,& trigonQ a b c eft duplum illi per 1 .fexti.patet illud q> primo .pponjturde pyramide rotunda, patet etiam,q> illa fugjicies taliter pyramidem fccans,diuidit ipfam per aqualia,qm tranfiens uerticem Si conclufa diametro per aqualia diuidit & bafem,in latcrata pero pyramide,aut fufcfi Ctes plana fecans tranfit latus aut angulum, erftfcp^dudis lineis ad terminu axis pyra- midis,illa comunis fedio femper trigonis maior uel minor, patet ergo propofitum,quo niam Si couerfa per fe,& ex pramiflts patet,

XCI.

Omnis pyramidis rotunda: uel lateratae linea: longitudinis fuper axem in uertice tantu fe interfecant , produda: quocg aliam fimilem pyramidem principiant,cuius linea: longitudinis fecundum, politione & ficum priori pyramidi modo contrario fe habent.

Quoniam omnes lineas longitudinis pyramidis cuiufcun^^duda/e fuper axem

f inner#

A

perspectivae VitElLioniS in uertice fecent,euidens eft, quoniam concurrimt omnes in illo piihdlo uerticis,& qtid niam omnes funt xquales per 8 j> .huius. patet, quia circa uerticem nulla ipfarb aliam in* terfecat,q> etia pducftae aliam pyramide priori fimile prirt cipiant.patet, fecetehim fugffcies plana pyramide iecuna dum axis longitudine,erit ergo g procedente comunis ft dio iftius (ugneiei & fuperfidei conico pyramidis .trigo- num aequum duplo trigoni redtanguli pyramide caufan- tis,fed pala per 3 6, huius, 9 latera cuiuslibet trigoni ,pdu< dia principiant aliu trigonii priori limile, cuius latera po* fitionem Si litum priaris trigoni lateribus contraria ha-. bent.& quonia tot pofiunt imaginare planae fugfici es tra$ axem pyramide fecantes.quot umt lineo longitudinis py ramidalesimmediatsepyramidis.pater.quonia omnes li- neae longitudinis produdfce, principiant aliam pyramide priori fimilem , lineis longitudinis i dextra prioris pro* deuncibus in finiftra pofterioris,& a finiftro prioris index mim pofterioris,&: econuerfo. patet ergo ^pofitum . XCII.

Omnes lmea: longitudinis unius columna: rotunda funt aquales, re* &os angulos cum femidiametris fuarum bafium continentes,^ in eadem fu perficiecumaxeexiftenteSjexquo patet, quonia axis cuiuslibet columnae rotunda: centris fuarum bafium orthogonaliter infiftit.

Hoc non indiget demonftratioe alia nifi ftmili illi ,quo fit in Sp.huius.ficut enim tri gonum ortlioggniS’ altero laterum re<ftum angulu cotinentiu fixo,g reuolutione iuam caufat pyrarfiide rotundam, fic quadrilateiu redangulu quocj iuos* laterum fixo raa-- nente ,ali)s tribus quoufq* ad loeu fuumredeat.circuducftis caufat motufao figura co* lumnarc rotundam,fiet ergo ptradio omniu eoriim quo pponuntur hic, ut in illa, quia patet totum euidenter.

Omnis luperficiei plana: fecantis cojumna rotundam fecundu axis longitudine & luperficiei columna:, cornu* nisfedio eftrecftangulufub duabus lineis longitudinis column<e,8£duabusdiamctrisbafium contentu, ex quo patet, quonia illa fugficies per a:qualia diuidit f olumna^ Cola na rotunda fit .cuius axis e f,fecetcg iplam per c f fuperfi cies plana, fitfcg comunis fedho fecundu punda abed, Dico, 9 fc dtio a b c d eft quadrangula redangula fub lineis longitudinis ca Iano,& duabus diametris bafiu cotenta.ducat eni linea ea in bale coluno QC in (ugficie fecate,hoc eft ergo femidiameter circuli ba* fis coluno.Copleat itacgegdiametjy bafis,cadet'cgin fugficie pia na columna fecante.fi enilineaeg no eft duda in fuperficie pia* na columna fecante, ducatur linea b e in illa fupfkic lecante.lincae ergo b e & e a funt linea una,qrh funt in una fupficie ,pdudo am- bo orthogonaliter fuper axem e f cotinue, fimilitercg linea e g co plet diametrG a e, no in fupficie fecate.fcd alia , erit ergo linea a g pars in plano, pars in fublimi,qd' eft contra 1 . undecimi . palam itacp.quoniam linea a b eft diameter bafis,& 9 puncflusg cadit fii per pundum b.Similitercg declarandum de linea c d , quonia eft diameter alterius bafis,linex quocg a c & b c funt linea; longitudi- nis columna:, qtf eft propofitum.ex hoc itacp patet, quoniam ann

LIBER. PRtMVS, ii

illa fedlio diuidat per aequalia bafes Columnae, qd1 etiam diuidit g aqualia columnam;

XCl III.

Sug fidei fecatis columna rotunda aquedi ftater fugficiei per axem fecan ti,&fuperficiei columnaris comunfs fe<ftio,eft redangulu fub duabus lineis logicudinis columna, SC duabus lineis minoribus diametris bafiu cotentu.

Sit, ut in pracedenti ,ppofiaone,columna ieda per plana fugficiem fccundu iecftio* nem redangula ab cd,cuius axis fit e f,fit'qj nnne fupficies plana columna fecas , aque diftans iuperficiei a b c d,cuius comunis ledio cum fuperficie columna fit h i, k Lducan? turcp 5 pundis h& i linea: gpcndiculares fiiper diametru a b per 1 2.primi,qua(int h m, in, erit itacg linea mn aqualis linea: hi, ut patet per jq.primidinea enim a b &! hi fune Sequediftantes ex hypothefi,& linea h m & i n iiint ieqiiediftantes per z8 .primi, eft er- gp linea h i minor diametro a b,fimiliter quocjj ik minor eft diametro c d,dudis ppen* aicnlaribus lineis, qua 1 o & k p,fed linea h k & i 1 funt linea longitudinis columna, pas tet ergo ,p polito. X c v.

Omnis fuperfides plana contingens pyramidem,uel columnam rorun* dam,fecundum lineam longitudinis eft contingens.

Non enim fecunda pundQ cqptingit fupficies plana ,,ppofita corpora ficut fphara, qin in ipfis eft longitudo, qua non eft in iphara.fed utcuqj contingitipfa (ecundutn fu perfictcm,qm cum in quolibet lftoru corpojii funt infiniti circuli fuis bafibus aquediftan tes & ipfie bafes,accideret illos iecundu lineas in fiiperficie plana contingcnte,dudas ad ipioR: contadum,non contingi iecundu pundum^ed fecari,qcf eft contra ij-.tertij,8C iiTipofiibilc.non ergo continget fugficies plana .ppofita corpora iecundu fupcrficiem, relta t ergo,ut iecundu lineam contingat,8C quia co tingit in pyramide uerticc &C bafem & in columna ambas bafes, patet, cp utrunq? illopd fecundum lineas iiiarum Iongitudi* num eft contingens,patet ergo propofitum, xevi*

Omnis linea perpendicularis fuper curuam fuperficiem pyramidis , uel tolumnee rotunda,necefTario tranfit per ipfarum axem.

Pyramis rotunda uel columna (it,cuius linea longitudinis fit a b,& eius axis a g , & fit linea d e gpendicularis fiiper curua illius fugfieiem.Dico,qj linea e d cranfit per axem a g,ducatur enim (emidiameter bafis,qua fit,b g, quia ergo linea e d eft ppendicul aris fiiper curuam fugficiem ^jpou tam, palam ^ diffi'nmone,qm linea e d eft gpendiculariter eredta fiiper fuperfi* ciem contingente pyramidem fiiper aliqua lineam iua Iongitu- dinis.fit hoc fiiper lineam a b,cadit ergo linea e d fuper lineam a b.palam ergo per i .undecim i, qm linear d e& ab funt in eadem fiiperficie, & quia linea d e eft ppendicularis fiiper curuam fiiperfl ciem pyramidis. patet, q> illa fuperfides erit eredta fiiper fuperfi* ciem conicam pyramidis,&! in ipfa eft linea a b.,pdu<fta ergo tras pyramide, fecabit ipfam iecundu lineam longitudinis a b g aqua liadiuides pyramide.fiC trafibitgaxemagper po.hui? .trigonu a bg cum linea de eft in eadem fiiperficie,quia ergo linea ed cum uno latere trigoni b a g,qd* eft a b, continet angulum re<ftum,qui eft d e a, angulus uero e a g eft acutus,palam,quia linea d e cocur rctciimlineaagper i4.huius,tranfitergoperaxem pyramidisuel columna rotunda, qd1 eft .ppoficum.qm in columna rotunda eodem moao demonftrandu, in illis enim, quia linea longitudinis a b aquediftat axi, fini linea deSdabSC axis funt in eadem fugfi* Cie, patet per z huius,quia linea d c concurrens cum una linearum aquediftantium,idco ium ab & cum axeneceflario concurret ,&hoc ^ponebatur.

xevii.

Omnis fuperfides plana fuperfidei contingenti, pyranifdfem uel colum*

f * nam

PERSPECTIVAE VITEELIONIS

nam in loco Contadus ofthogonalfter tnfiftens , neceffario fccat pyramide uel columnam per ipfius axem .

Sit pyramis uel columna rotunda,quam contingat liiperficies plana, palam ergo per 9J- .huius, qm continget illam fecundu lineam longitudinis.fuperficies itacp huic ici perficiet' orthogonaliter in loco contadus infiftcns,eft perpendicularis fupcr fuperfide curuam pyramidis uel columns,8d ipfb# comunis fedio eft linea longitudtnis,fug qua infiiperficie ereda ducantur perpendtculares.es itacp lines per prsmiflam tranfibunt axem py tamichs uel columnae rotundae, ergo di fuperficies illam axem tranflens , feca* bit pyramidem uel columnam fecundum axem, & hoc ,pponitur.

xcviii. .

Omnis fuperficiei planae fecantfs pyramidem rotundam non per uerti* cem,& fuperficiei conicae pyramidis, communem fedionem figuram trian- gularem efie impoffi bile .

Efto pyramis, cuius nertex a, diameter bafis b c, centrum bafis d,& axis a d, qua fe# eundum axis longitudine fecet fuperficies plana fecundu trigonum a b c per 90 . huius, fecettg ipfam alia fuperficies ereda fitper trigonum a b c , no per uertteem fecundu fedione,qus fite f g, cuius fupremus pundus fit f,& fit linea e g squediftans alteri diametro bafis pyramidis, cuius medius pundus fit h,& ducatur linea f Iri fiiprcmo pundo fedionis ad medium fus bafis, & quia linea e g eft linea reda,qus cfl: squediftans diametro bafis pyramidis,& pundu f fignatu eft in fugficie conica infiipremo,fugficies e f g lecat conica fugflcie. Si itaqj fedio e f gfittrigonu,f.redilineu,patet,qmdus lines 15 gitudinis pyramidis,qus funt e f di g f , concurrunt in pundo f prster uerticem pyramidis,quod eft itnpoflibile di contra 9 1 Anu ius.Trigonu quocg circulilineam fieri eftimpofTtbtle,quonia fug c ficies fecas fitp ponit efle plana, di fuperficies illius trigoni eft cur- ua,ut patet ex diffinitione, erit ergo linea ef g linea una.cum it aqj illa fedio fij linea una,dicat fedio conica uel pyramidalis,fi itaqj axis pyramidis q eft ad fit squalis femidiametro bafis, qus eft b d. palam ,quia pyramis a b c eft orthogonia , q m a ngulus b a c trigoni a b c eft redus.Si ergo linea f h,quseft comunis fedio fii perficiet e f g,& trigoni a b c squedtftet lines a c , qus eft latus trigoni, & linea longi- tudinis pyramtdts,pa1am per 2 9. primi, cum angulus b a c fit r edus, 8d etiam angulus b f h erit redus,& fimiliter angulus h f a,tuncitaqj fedio e f g dicetur fedio redangula, uel parabola, di eft illa, qua Arabes dicunt mukefi.Sf uero lines h f & a c non squedi* flant, fed cocurrant,fi concurfus fiat ad partem pundi a,qus eft nertex pyramidis , tuc patet per 1 4.huius,q> angulus h f a erit obtufus,8i tunc fedio e f g dicetur ampltgonia uel hyperbole uel mukefi addita.Si uero lines d f & a c concurrant uerfus pundu c,qul non eft uertex pyramidis,tunc per 1 4,huius,er it angulus hf a acutus, di tunc fedio e f g dicetur oxigonia,uel elipfis uel mukefi dimihuta,& fecundum hunc modum ifts fc* «diones di earum paffiones ampliffime uariantur.

XCIX.

Omnis fuperficiei plansefecantis pyramidem uel columnam lateratam tras axem , cequediftanter bafi di fuperficiei pyramidalis uel columnaris co munis fedio eft fimilis periferite bafis,& fi illa fedio periferite bafis eft fimi Iis, fuperficies fecans a?quediftatbafi pyramidis uel columna:»

Si enim illa fedio bafis squediftat,omes trigoni laterales totius pyramidis 8^ par tiales trigoni fiint squianguli per 2p,primi.patet ergo per 4«fexti,q> tota periferia Cei dionts eft fimilis bafi pyramidis3qqqnta omnia latera trigono# totalium di partialium : ••• erunt

L

LIBER PRrMVS» i)

'etut ,pportioftalia,& fi illa Cedito eft bafi fimilis,eft etia bafi sqcfiftas,qrh fi no eftsqdi- ftas,crit alia fcdm lde pundu lecasperaxe,sqdiftas bafi' fimilis piferis bafis g prnifla, (equit itacjj,ut una fimilis, alia quoq? non fimilis,iecundfl idem pundu fecen t axem py* ramidis,alia uero squediftas bafi fieri poterit g 3 1 .primi, duda ab uno pundo prima (edionis linea squediftante alicui lineare bafis pyratnid is,&! i ternis illius alijs lineis se* quediftantibus reliquis lineis bafis ,pdudis,ex hoc autem accidit impofltbiIe,qm iequic ex hypothefi angulum extrinfecupptcr trigono^ fimilitudine squalem fieri lntrinfe# co,cum ab uno pundo exeant dure lines squales angulos cotinentes angulis illis , qui fiunt per lineam periferis bafis ,patet ergo gpofitum in pyramidibus, & eodem modo demonftrandu eft in columnis lateratis,& facilius ,ppter squalitate linea^ g 34, primi, c.

Omnis fuperficiei plana: fecantis pyramidem uel columnam rotundam tranfaxeni a:quediftanterbafi,&curua: fuperficiei pyramidisuel columna: comunis fedio eft circulus,# fi illa fedio eft circulus fuperficies fccans eft icquedi ftans bafi, ex quo patet,q? omnis plana fuperficies arquediftater ba* fi fecans pyramide uel columna,nouam pyramide conftituit uel columna.

Sit pyramis rotuda a b c,cuius uertex a, diameter b c,& centru bafis d, fecetfcg ipfam liiperffcies pia na squediftanter bafi,& fit comunis iedio fuperficiei illius 8£ fuperficiei con ics pyramidis linea e f g.Dico,q> linea e f g eft periferia circuli, fecet enim alia fu# peificiesplana pyramide peruerticem&: per axem,qus eft a d,comunis itaqj fuperficiei & pyramidis fedio.eft trigonum,qcP fit a b c per 90. huius , fecetcg fuperficies e f g axem a d in pundo h,# trigonum a b c fecet Caper ficiemef ginlineaehf,eritergolineaeh squediftanslinesbd g 16. undecimi, eft ergo per 19. primi & per 4.(exti qrportio lines b a ad ea,ficutlinesc a ad lineam e f, ergo per 7.hiu'us, erit euerfim,p# portio lines b a ad lineam b e,ficut lines c a ad lineam e f , ergoper » (S.quinti erit permutatim ,p portio lines b a ad lineam c a, ficut li- nes b e ad lineam e f .Sed linea b a eft squalis ipfi c a per S^.huius,

& anguli quos continent lines logitudinis pyramidu cum femidia metris bafium,fiint squales.palam per 4. primi, quia linea d e eft s# qualislines d f ,# angulus e d b eft squalis angulo f d c, quia uero angulus h d b squalis angulo h d c,qmambo lunt redi.& angulus e d b squalis angulo f d c, remanet angulus e d h squalis angulo f d h,quonia funt refidus partes redoru fuper angulos squales, pa- lam ergo per 4.primi,qm linea e h eft squalis lines h f . Simili terfcg dud/s lineis h g & d g,& completa ±>ut in prsmifiis figuratione dc clarabitur, quonta linea f h eft squalis lines g h,flint enim trigona squiangula,ut patet intendenti,ergo per i9,tertrj pundu h eft cen trum circuli,eft ergo e fg linea circuferentia circuli, qcF eft ,ppofi- tum.Et fi fedio e f geft arculus,palam,qm fuperficies plana fecun dum illum circulu fecans pyramide,eft squediftans bafi, eri t enim e a f pyramis,cuius axis a h,& centrum bafis h,erit itacp linea lon.# ■ gitudinis,quseftea,squalislinesf aper 89.huius. Sed linea ba squalis eft ipfi c a, remanet ergo linea b e squalis ipfi e f ,erit quo- q? linea e d squalis lines f d per 4. primi,# quia trigona e h d fh dfuntsqualia inter (e latera habentia,ergo per 8. primi angulus e h d eft squalis angulo f h d,ergo per diffinione lines fup er luperfi ciem ereds patet, q> linea d h ereda eft fuper (uperficie ef g,led eadem linea h d eft ere da fuper bafem pyramidis,cuiusdiametereftbc,ergoper i4.undecimi luperficies e f g eft squediftans bafi dats pyramidis, quod eft ,ppofitum,qm (impliciter fecundu prs- miflum in pyramidibus modu,ia columnistg rotundis poteft demdnftrari, & propter

* I aquedi*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS zequediftantia lineajc longitudinis columnae facilitas accedit demonftrationi . fiunt em line» d f ,d g,deceqles,crgo di lina: h e,h g,h f 3erit'cg fedio e g f circulus per 9. terti] , 8i conueria (impliciter ,patet per i4,undecimf ut prius,& hoc ^ponebatur. Per haec itaqj patet manifefte,qm omnis plana luperficies fecans quamcuqj pyramide »quediftanter fure bafi,nouam conftituit pyramide, cuius in pyramide rotunda bafis eft circulus, di in lateraca pyramide, fuperficies fimilis bafi illius fed» pyramidis,ut patet per 99, huius, femper tamen uertex illius pyramidis abfeifa:,eft idem cum uertice prioris, & axis ab* lcifac,pars axis ipfius prioris.datx bafis quocp aequediftat bafi.Similiter quoq? fit in co* lumnis rotundis uel lateratis,(uperficies enim xquediftanter bafibus fecans quamcucp colum nam,nouam efficit columna rotundam uel laterata^imo duas.f.abfciiam & ipfam refiduam,qd' non accidit in pyramidibus,patet ergo totum qd* ^ponebatur, c 1.

In qualibet columna uel pyramide i dato in eius fuperficie punefto, line* am longitudinis ducere.

Imaginetur enim fuperficies plana fecans pyramide uel columnam trans illius pun dum di trans axem, q> fiet, fi i pundo dato ducatur linea reda fiiper axem, illa ergo 1 i* nea di axis funt in una fuperficie per 2. undecim i, qu» fuperficies fecabit pyramidem fe- cundum lineam longitudinis per illud pundu tranfeunte per 90, huius, columna quoqy per 92,huius,patet ergo propofitum,

Cir.

A dato puncfto,fiue in axe,fiue 111 fuperficie curua data? pyramidis rotun da: uel columna: circulum circumducere,

Efto pyram is, cuius uertex pudum a, axis uero a d,in quo fit datus pundus e, 4 quo debemus circulu totali fiiperficiei conicas circuducere.Sit itacg,ut fuperficies plana fe cet pyramidem fectmdu axem a d tranfpundum e,conuinis itaqj fedio illius fuperficiei plana: di fuper ficiei conica:, erit trigonum per 90 ,huius,cuius bafis fit b c,qu» erit dia- meter bafis py ramidis.In hac itacp fiiperficie per 1 1 .primi ducatur 4 pu- do e linea perpendiculariter fuper axem a d,qux pduda ad conica fug* ficiem fit e f .& item ab eodem pundo educatur linea perpendiculariter fuper a d.cadatfcg pundum e in conica pyramidis fuperffcie,& fimiltter ducatur linea e bgpendiculariterfiiper axem a d,cadat'qj pundus h in conica fuperficie,quia ergolineaa e fiiper comuncm terminulineajtef, e g,e h orthogonaliter infiftit,palam per 5-.undecimi.qn1 ili» linea: lunt in una fiiperficie, eritqj per S .undecimi linea a e perpendiculariter ere* da fuper illam fuperficie f g h ,& quonia linea a d ereda eft perpendicu laritcr fuper bafem pryamidis per 89 ,huius,&: per diffinitione pyrami- dis,patetper i4.undecimi,qm fiiperficiesf ghxquediftat bafi pyramt- dis.eftergoper loo.huiusf ghcirculus,q>fipundusdatusfitin fiipcrft cie conica,fit ille pundus f,& ducatur i pundo f gpendicularis fiiper axem a d,qu» fit f e, per 1 2.primi.educantur'cg 4 pundo e lineareg&e h perpendiculares fiiper axem a d,per 1 1 ,primi,& deinde, ut plus coplea tur demonftratio, patet itaqj ^pofituir^quoniam fimpliciter eodem mo do negociandum eft in columnis,

CIII,

Omnis fuperficiei fecantis pyramidem uel columnam rotunda trans a* xem non seq uediftanter bafibus, ^fuperficiei curua:, comunem fedionem circulum e fle eft impoffibile.

Sit pyramis,cuius uertex a,diameter bafis b c,6d centnim bafis d,& axis a d, fecetfcg ipfam fiiper ffeies plana trans axem a d in pundo c non tequediftanter bafi,& fit cornu* his fedio huius fiiperficiei plana: di fiiperficiei conica: f g,h k.Dico q> hac fedio no eft poffifeilejUtfic circuIus.Efto enim,ut circa pundum e in pyramidis conica fiiperficie du

catur

tlftEft. J PRIMTS-.

Citat circulus per pramtfftam.liQc itaqj «quediftabit bafi per ioo,huius3 fitt# f gIm,2C fignentur linea: logitudinis pyramidis a f,a g,al ,a m,

«a: rtacp oes ctut «quales g 8 51. huius, ideo, 9 fupficieS «qirediftans bafi pyramidis.nouam pyramide abfein- dir per ioo.huius,6<! quoniaiedio f g.hknon «quedl ftat bafi pyramidis,patet,9 non «qualiter di ftat i uer tice pyramidis,qu« eft pundum a, fit itacp pundus h remotior 4 uertice a,& cadat in linea a 1 ,pduda,& pun dus k fit .ppinquior uertice a,8<! cadat in linea a m.erit itacglinea a h maior cjj linea a I , & linea a k minor eft c$ linea am,& continuentur line« h e,k e,f e,g e, 6>C li* rie« e!,em,&quonia angulus ale eft acutus per 89. huius,erit angulus h 1 e obtufiis per 1 3 .primfergo per 19. primi latus h e trigonihel eft maius latereel ,led latus e 1 eft «quale lateri e f per diffinitione circuli , li- nea uero e F uenit 4 pundo axis ad pundum fcdionis, quia eft comunis fedio circuli & fuperffciei obliqua: pyramidem forantis, in«quales itacp Iinc« ab hoc pun doe,pducuntur ad periferiam fedionis.non eft ergo fedio illa circulus per circuli diffinitione.Dicemus er go illafedione in pyramidibus pyramidale,&! in cojunis colunale , eft tn illa in 98, htt* ius prius dida fedio oxigonia ilbl elipfis.&qm talis fedio eft figura: oblong« ,patet, q» ipfa habet diametros plurimas omes inxquales ,& per illud pundu axis fodi corporis trafeuntes ipfam quoq? fedione per «qualia diuidentes,quorum maxima eflr,qu« trarj fit longitudinem fediois, minima uero eft,qu« pertranut latitudinem, eft fuper maxi mam diametrum orthogonaliterereda,patet itacg propofitum, c 1 1 1 1.

Omnium duarum planarufuperficierumfecantium pyramidem uel co* lumna rotundam trans idem pundu axis, fi una aequediftanter bafi , 8C alia non aequediftanter fecuerit,comunis fedio eftlinea reda tranfiens pyramis dem uel columna orthogonalis fuper axem,ex quo patet, q? fiue circuli perf feria,fiue fedio alia quarcunCp non in eadem fuperficie,quamcuncp fecueriC jfcdionem,in duobus tantum pundis ipfam interfecabit.

Sit ut pyramis, cuius uertex a, a axis a d fecetur fontndu pundum axis e, a per du* as planas fuperficies,quariim una foret «quedi ftanter baf? ut f g h,alia uero non «que* 4iftanterutf gkl,Dico,q> comunis fedio iftarum ftiperfi .

cierum eft linea tranfiens pyramidem orthogonalis uiper axem.ut eft linea f eg,q> enim ill« iiiperftcies fe interiecer, / \

patet perhoc,q>aliqu«line« in ipfts ,pdud«,ad unum co* /\

munem terminucopulentur38dn illo feintcrfccant,ut in pii / \

dp e.Quod enim illarum fiiperficiera comunis fedio fit li- / \

nea reda, patet per 3.undecimi.q> aute illa linea, qu« eft il# /

larum lineapt comunis fodio, fit orthogonalis fuper axem c / i / \ <

pyramidis,qu«eftad,patet g 14. unde cimi, axis ad eft p* / ~7'\ \

peudicularisfuperbafempyramidis8<: fuper fupcrficiem f / '-h

g h ,qm ill« fuperficies funt ex hypothefi «quediftantes,er^ s/. . —

go per diffinitione line« fiiper fuperficiem ered«, omnis Ii

hea duda a pundo axis e in fuperficie f g h eft ppendicularis fuper axem a d.linea uero qu« eft comunis fedio iftarum fuperficieru fecantiutn,neceflario in fiipcrficie cadit f g h,alioquin non effet comunis fedio, palam ergo ,ppofirum primum.qrh comunis fedio fuperficieru taliter, ut ^ponitur pyramide fecanuum,efi orthog onalisfuper axem py*

tamb

perspectivae vjtellionis eodem pjpdo demonftrando , Idpip patet in columnisrotundis,ex quopsu tet& corollarium .quoniam fi comapunis fe&io tajium fupcrficierum eft linea reda . In duobus autem tantum pundis,quifunt termini illius lineae, fiet interfedio illarum fo= dionum,cfjuis in pluribus punctis hoc fit fieri poffibile,cum fe interfocant in eadem pia na fuperneie, patet ergo propofitum ,

• cv.

Ex aliquo punefto bafis periferiae columna: rotundx femicirculo in fuper fi cie conuexa uel concaua columnari circumdudo, neceffe eft lineam Ternio circulum illum per aequalia diuidentem adfuperficiem bafis credam efte.

Sit ut ex aliquo pundq pprifma bafis columna: rotunda: q>fit», circumducatur femicirailus in fuperficic columna concaua uel conue- Xa.qiue fitb c d,& eius centrum erit pundum a,fit'cg ita,ut linea a d di* uidat illum femicirculum per a:qualia in pundo d-Dico q> linea a d eft ereda fuper fupcrficiem bafis coiumnar,quoniamenim arcus bd eft se* qualis arcui d c,patet,q> angulus d a b eft «equalis angulo d a c per z£» tertij. eft iginir linea a d pars uniuslinearumlongitudinis columna:, eft ergo ereda fuper bafom per 9 z .huius,patet ergo ,ppofitum. cvi.

Data! pyramidi rotunda* pyramidem eiufdem uel diuerfa: altitudini? inferibere, ex quo patet inferipta: angulum ad fcAfem, angulo circumfcriben tis maiorem eflc:& fi inferipta pyramis ad aliam bafim priori bafi acquedf* ftantern producatur, anguli produ&ae ad bafem , angulis data: pyramidis maiores erunt, & qpaniUUicunc^ anguli ad bafem gugmentantur, tantum anguli ad uerticem minuuntur»

Efto exempli gratia,ut pyramis,cui alia eiufdem altitudinis debet infcribi,fit ortho- gonia >$£ fit a b,a c,a e, a f lineis luse longitudini? fignata,& axis eius fit a d , ablcipdatu* itacp fomidiameter bafis qua: eft d c,ut libuerit, & fit ablcifa in pundo h, producatur itaqj linea a h,& habetur triangulus a d h, cuius latera a h,d h latere a d fixo manente, reuolx» liantur ad locum unde moueri inccperunt.proueniefcu pyramis a e h i k,cuius axis a d, & fic poteft fieri inferiptio ad qdcunqj pundum linea: d c,& hoc eft qcP proponebatur primum. Qd fi diuerfie altitudinis pyramidem ad balem commune inferibere placuerit fimilcm priori data:,fignato pundo ubi uolucris in linea axis ad, uel extra , tum intra corpus pyramidis , quod fitx,producatur linea: i pundo x ad totam periferiam, ut x h, x c,x e,x f patet propofitum.Simtlitererit faciendum, fi quis inferibere noluerit pyra midem ad bafem minorem bafe pyramidis data:. patet autem ex pnemiflts, cum omnes anguli cuiufcucg pyramidis ad ba,fem,flnt ecquales per 8s>.huius,quonia ex motu f»ngi» li unius trianguli.omnes illi anguli faufantur. palam ,q> quicquid in triangulo caufante maiorem pyramidem refpcdu trianguli caufantis minorem pyram/dem proueniet,m orbus fimilibus fiC a:qualibus triangulis maioris pyramidis ad fimiles triangulos maio- ris prouenirenecefle eft. Cum ergo in^ triangulo. d h a angulus a h d fit per 1 6. primi ma* ior angulo a c d, trianguli d c a, quoniam eft- extrinfecus.patet,a> omnes anguli pyrami dis a g h i k ad bafem fiunt maiores oniibus angulis pyramidis a b c e f ad balem exiften tibus,& eodem modo poteft demonftrari in pyramide inferipta pyramidi aghik,& hoc eft fecundum propofitum. Qd fi linea longitudinis,quee eft a h, protrahatur ad pur» dium m,& axis a d ad pundum n,fiat'q* angulqs a m n redus,&! fecundum eum com? picatur pyramis a 1, m o p fuper axem a p, patet tertium propofituro,quoniam anguli g dudla: pyramidis ,qui fiunt ad bafem, aunt maiores anguli? ad bafem prima: data py* ^amidis,quoniam ex z?. primi angulus n m a tequal is eftangulo d h ?,6< angulus cjha eft angulo d c a„ergo. angulus n m a maior eft anguiq 4 c 3 , omnes ago ajngulf

ad

LIBER PRIMVS, 2 y

ad balem pyramidis a 1 m o p angulis ad bafem pyramidis a b c e f fllflt maiores 3 cjijflic bec.fiiio correipondenti.Eodcm aute modo demoftrari poterit, 8i fi pyramis inlcripta pyramidi a g h i Ic, producatur ad baiem didas pyramidisprioribali asquediftantem,eft enim idem modus, patet- 'cg ex prxdidis ultimum .ppofltum.fiquia quantum anguli ad ba- fem ampliantur,tantum aguli ad uerticem eiufdem pyramidis mi nuuntur, quilibet enim anguli cuiuslibet triangulicum fint aequa* les duobus redis per 3 z. primi, angulo ergo redo in omnibus peru manente,reliquiduo ualent unum redum,cp ergo in uno illorum addit,necefle eft ut in relicj minuatur,& hoc eft totu qcf ^ponebat, cvn.

Si pyramis rotunda pyramidi rotundas infcribatur, iic ut ambarum eadem bafi exiftente diucrfe fint axes , cen* trumaxis,8iuerticesambarum pyramidum in eadem li* nea confiftere eft necefle ,

Efto pyramis data,qax fit a b c e f, cuius bafis fit circulusb c e f '

8d eius centrum d9fit'cg axis pyrami dis a d,& fit exempli gratia ortho* gonia, infcribatur'^ ei per prxcede tem ad eande bafem pyramis brcui oris axis taliter, q> intra illam conti neatur.Dieo q> centru circuli bafis ambajfc pyramidS,qd* eft d >di uer- tex data: pyramidis, q eft a , di uer^B tex infcriptx pyramidisqui fit g, omnes erunt in eadem linea ad,& hoc quide patet de pundis a di d,q> aute pundumg in eadem fit linea,

^batur.Si enim non eft in eadem, ergo ad aliqua partem extra illam li neam declinat,lit ergo nunc eius de- clinatio ad partem aexterauerfus li neam a c in fuperficie trianguli a d c.producatur g d linea, quia itaqj g 8s>.huius,omnes line* longitudinis eiufde pyramidis iunt xquales, pa.- tet ,q> latera g b & g c funt xqualia, fed & b d eft xqual is ipfi c d, 6«! axis g d comunis,ergo per S. primi, an- gulus g d c eft xqualis angulo g d b uterqjergo eftredus. Sicut aute an gulus a d c eft redus, fic & angulus g d c erit redus, ergo redus eft pars redi.hoc aute eft impofllbile. patet ersOjCumubicuncp extra lineam a d fignato pundo g,femper idem ac- cidit impoflfbile.quonia pundus g neceffario erit in linea a d,hoc eft ,ppofi tum.Qd fi i pundo g ad balem pyramidis pro- dudus.axis dicatur non cadere in pundo d centrum circuli bafis,fequitur aliud impofii bile contra hypothe(im.f.q> ad eandem bafim illa pyramis non fit inlcripfa,qcf' eft co n * tra prxmifla,uel fequitur,q> line* dud* i centro ad circuferentianon fine xqual cs ,qd*

g totum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS totum eft impoflibile, patet ergo illud quod proponebatur.

c v 1 1 1 .

A Duarum pyramidum rotundarum uel laterataru jequali

um bafium & inaequalium altitudinu,uerticem aldoris,acu* tioris anguli efle necefle eft.

Duarum pyramidu rotundam uel laterataru fit a b c altiOr,cuius a- xis a d,& uertex a,8C p yramis e f g^cuius uertex f ,8C axis f h fit balfi- ohfintfcg ipfarum bales b c & e g aequales ,& axis f h breuior axe a d. Dico q> angulus b a c eft minor angulo e f g.Reiecet enim ab axe a d aequalis axi f h, quae fit a k,& ducantur lineae b k & c k,erit ita q? pyra- mis b c k aequalis e f g, fece t'cg fuperficies plana ambas pyramides a b c&bk c,erunt'cg per 90, huius communes ipfarum fediories trigoni, fit ergo ut fecetur pyramis a b c fecundum 'trigonum b a c,& pyramis bkc iecundam trigonii bk c,eritergo angulus bkcmaior angulo b a k,& per 3 3 ,huius,dudis alijs fuperfidebus {beantibus, erunt femper trigona iftis tequalia dC aequiangula,pate tergo ^politum,

CIX,

Si a uerticibus duarum pyramidu rotundarum uel latera taruina2qualiualtitudinu& aequaliubafiu,duae pyramides sequalis inter fe altitudinis abfcindatur,necefle eft bafem py ramidis abfciftc ab altiori bafe alterius abfeifar minore efle , Duarum pyramidu rotundam ambarum,uel laterataru ambarum aequalium bafium fit altior a b c,cuius axis fit a d,8t uertex a , & baflior pyramis fit e f g,cuius axis fit f h, & uertex f, abfridaturfcg ab axe a d 1 i nea a k aequalis lineae f 1, ablcttae ab axe h f .fecetur itaq? pyramis altior per fuperneie planam per axem^eritfcg per ?o.huius fedio comunis tri gonus qui fit a b c,& fimiliter fecetur altera pyramis per axem, & fit fe- dio trigonus e f g,8t i pundo k ducatur linea k m aequediftanter bafi b d.& fimiliter i pundo 1 ducatur linea 1 o aequediftanter bafi e h g 3 »♦ primi, eritty per Z9,primi,& per 4, fexti ^portio linea: bd ad lineam k m,ficut linea: d a ad lineam ak,8C ^pportio lineae e h ad lineamo 1 , ficut lineae h f ad linea f l,eft autem linea a k aequalis lineae f 1,& linea dama for cjj linea f h ex hypothefi.ergo per 4.quinti maior eft ^portio lineae d a ad lineam a k,^ iit linea hf adlineam f I.eft ergo maior proportio linea b d ad lineam m k ^ lines e h ad linea o l,fed linea b d eft aequalis ipfi e h ex hypotefi,ergo per 1 0. quinti linea o 1 eft maior cp linea k m,8t fimiliter produda k m ad latus trigoni a c,& linea o 1 ad latus trigonif g, (equitur linea 1 p efle maiorem fit linea kn, 6C tota Ii* nea o p erit maior cp linea m n ,circuducatur itacp per 102. huius pyramidibus datis duo circuli,quojfc unius diameter fit m n,& alteri? o p,erit'qj o p maior circulo m a,8t ga cir culi illi aequediftat bafibus pyramidis,patet p 1 oo.huius, qrh i uerticibus abfcindimt pyramides,quaruin axes funt a k di f l,quae ex prtemiflis funt a:quales.Idemt# penitus ac ciditinlateratis pyramidibus aflumptis trigonis, & dudis lineis arquediftantibus bafibus trigoni,hoc eft lateribus bafis datar pyramidis & lineis ad axes aequediftantibus,g- bufdam lineis ,pdudis d trinis laterum bafium ipfarum py ramidum ad pundum terminantem axem fiiper bafem, pa tet ergo propofitum per??, huius.

LIBER. PRIMVS, *6

CX,

Si pyramis rotunda fphzeraminterfecet,nec eius conica fuperficies a fu= perfide {phxrx interfecetur,comunis fedio fuperficierum iphxrx 81 pyra^ midis erit circumferenda circuli bafis pyramidis.

Quoniam enim per 69 .huius (iiperfiries plana fecundu circulum fecat fpha:ram}ba fisfcg pyramidis fuperficies plana eft, quia circulus, palam, q> illa bafis iphsera fecundum circulum interfecabit,interfecat aute pyramis fphxrac fuperficie iecundum totam luam ba(em,quia fuperficies eius conuexa conica i iuperficie fphaera: non interfecatur,ut pa- tet per hypothefim.patet itacg,q> comunis fecflio (iiperficieju didaru , erit circumferens tia circuli bafis pyramidis,(uperficies'cg illa circumferentia contenta^quse eft circulus, q eft bafis pyramidis.eritfuperficies comunis,& fi aliis corpnlcuIu,qd’ eft pars iphxr* re (edum 1 fphaera per illam iuperficie , fit corpus utercg didor u corpoji; comune. exi.

Si pyramis fphxram interfecet,fit ut circulus bafis pyramidis in fphxrse Iuperficie circulo maiori fphaerxxquediftet, diametrum fphxrx fuper illuc circulum maiorem eredam,centrum circuli bafis pyramidis orthogoiiali* ter tranfireneceffeeft,ex quo manifeftum eft, diametrum fpheerx 8C axem pyramidis coniundas eiTe lineam unam.

Quia enim per procedente circulus, qui eft bafis pyramidis,comunis eft Cphxrx, fi- cut pyramidi, tunc per 68, huius patetppofitum,quia enim circulus,qui eft bafis pyras midis,oquediftat circulo magno fphorar,& i) circulioquediftantes iunt ambo in iiiper ficie (phorOjCrit diameter iphorae centru circuli bafis pyramidis orthogonaliter tranfb ens,tranfit enim orthogonaliter centra ambop* illorum circuloru,8C qin 1 termino ali- cuius lineo dudo a centro comius circuli ad circumferentia exeunt duo lineo orthogo naliter fuper iplam infiftentes.f.axis pyramidis,ut patet per 8p.hiuus,& diameter iphae ro,ut promilkim eft, patet ex i4.primi,qm illo duo lineo coniundo,funt linea una,dia metrum ergo Iphoro & axem pyramidis coniundas elle lineam unam necefie eft , di hoceftquoa proponebatur.

CXH.

Omnium linearum perpendiculariu fuper periferiam oxigonix fedioa nis produdaru, trans eius fuperficiem unica eft,perpendicularis fuper fedi corporis axem,& ipia eft minima diametrorum fedionis.

- Sicut enim patet per r o4.1iuius, comunis fedio (iigflciei ipfius (edionis oxigonix & circuli fecundu idem pundutn axem fecantiu,eft linea orthogonalis iiiper axem fecfti corporis, in alrjs autem omnibus pundis fedionis,perpendiculares iiiper fecftione ,pdu- do, oblique incidunt axi,quonfa fi aliqua ipiap: ipfi axi gpendiculariter inciderit , tunc per 4. undecimf,axis Iiiper iiiperflcie fedionis gpendicularis eritJqd’ eft contra natura ledionis,patet ergo propofitum.

CXIII.

In fedione pyramidali tranfeunte pundum datum fuperficiei pyramis dis rotundata pundo dato perpendiculare in Iuperficie fedionis , dudam fuper fuperficie pyramidis cum perpendiculari duda a pundo eiufdem Ce* dionis remotiore a uertice pyramidis fuper lineam in illo pundo fedione contingentem fub axe pyramidis concurrere eft neceffe :Dum tamen linea duda a pundo inferiori cum perpendiculari, duda i pundo fuperiori fu* per axem pyramidis,angulum contineat acutum.

Efto pyramis, cuius uertexfitaj&eiusaxisfitackjfitfcp in iiiperflcie conica huius pyramidis fignatus pundus e,que gtranfeat fedio pyramidalis qua: fltbf,ez,m qua

g * etiam

PERSPECTIVAE . V I.TE L L I O N I 9 «tiam fit pandus z>rcmotior i pundo a ucrtice pyramidis cfj fit putidus e, contineat'^ linea duda a pundo z ad axem cum perpendiculari duda d pimdoe angulum acutu. Dico q> fi ducatur d pundo z linea ppendicularis fuper lineam in illo pundo z , ipfam ifedionem oxigonia contingente, & alia perpendicula ris fuper fuperficie contingente pyramidem in pundo ^ducatur i pundo e,q>illx dux perpendiculares Concurret fub axe a cb.fit enim, ut mperheies plana fecet pyramidem fuper pundum z arquediftanter bafi,& hoc quide per io6.htn'us,fecabit eam fecunder cfrcnlum,fit ille circulus g b r z,at l'us centrum fit c,Comunisfc£ fedio huius circuli & fedionis oxigoilix fit diameter itt eordacirculi,qeftgbrzper to4.huius,&ipundo uert/cis pyramidis per io i . hiiius, ducantur per lignata in fuperficie pyramidis punda e & z linea: 15 A * gitudinis pyramidis quae fint line* az&a e,& pducattir liftea a e,

donec ipfa fit aequalis linea: a z. Veniet quide ad circu!um,eo q> eft linea longitudinis,& quia pundus .ppinquior eft ucrtici pyramis disc^ fit pundus z.cadat ergo linea a c produda in pundu circuli o,& d pundo dato qui eft e,ducatur linea ppendicularis fuper iiipfi ciem contingente pyramidem,hoc quide per 9 6. huius concurret cum axe py ramidis qui eft a c k,concurrat ergo in pundo d, & fit it la per pendicularis e d,copuIetur quocp linea z d, continens angulu acutum cum gpendiculari ed,qui fit angulusTz d e, 5C qm linea d z eft in fuperficie fedionis per 1 .undecim/, ficu 1 di punda d di z,tun c d pundo o line* longitudinis a e o ducatur ppendicularis fuper li- neam a d per / / .primi,£v' ducatur 5 centro circuli g b r z,qd’eft cfe midiameter c o,quia ergo per 89 hiu'us,angulus c o a eft acutus, pa- tet, q> perpendicularis fuper lineam a c duda i pundo o,cadet fub centro circuli qcf eft c in aliud pundum axis.Sit ergo ut Concurrat cum axe in pundo k,& fit o k xqucdiftans line* e d per 6.decimi,£C ducatur linea kz,& ducatur linea contingensfedionein pundoz quas fit c q,& ducatur alia contingens circulu b g z in pundo z per i6,tertij,qu*fitzii,&! ducatur diameter circuli quae fit bcz ,& £ centro c ducatur femidiameter perpendicularis fuper diametrum* b cz,quxfit cr,& quia axis a c k orthogonaliter erigitur fuper cen* trUm circuli bgz per 89 .huius ,erit linea c r perpendicularis fuper axem a c k,qiri eft femidiameter circuli,ergo per 4. undecimi linea cr eft perpendicularis fuper fuperficie acz fecantem pyramidem per axem. Sed 8i linea c r eft*quediftans line* contingenti circula in pundo z, qui eft y z per z8.primi,ergo per 8 .undecimi linea z y eft perpedicularis fuper fuperficie a c z,iinea ergo t q continges ledionem oxigonia bf e z’in pundoz continet angulu acuturfi cum linea y z,a! quia linea tq continetangulu acutum cu z y . pa=s tet q>linea t q non eft ppendicularis fuper illam fuperficie a c z, uc* rum,quia pundus k,qui eft pundus axis?ut patet per 8 9. huius, & per diffinitione poli fadam,in principio eft polus ad circul u b r z,palam per 6 j-.huius,quia 1/ne* k o & k z funt xquales,& axis a k c5munis,fed di linea a o eft xqualis line* a z per 89. lnnu^cum fint line* 4.1ongitudinis,ut patet per prxmifla,crgo per 8 .primi trianguli a o k & a z k (unt xquianguli,erit ergo angulus a o k xqualis a ngulo a z k,& qm angulus a o k eft re dus,idco'q? linea o k duda eft perpendiculai iter fuper lineam a c,uc patet pcrprxmifia, erit ergo etiam angulus a z k redus.Cum ergo linea k z fit perpendicularis fuper linea az,qu* eft linea longitudinis pyramidis,palam,quial(neakzen't perpendicularis fiig' fuperficiem contingentem pyramide fecundum lineam a z lineam longi tudinis-fcd \i* nea t q eft in fuperficie illa. contingente,quia eft comunis fedio fuperficiei contingens tis,8i fuperficiei fedionis bf ez, qmeft in fuperficie contingente pyramide duda .cori* tingens fedionemseft igitur linea k z perpendicularis fuper lineam t q per diffinitione - ,.'.i ... * lineae '

I

Iincaeiupef fiipcrficfem ereda*.ducatur qrtocp a pundo 2fn ipfa fuperffcfe fedton/spe* 1 1 ,primi,gpcndicularis fuper linea. t q,qua> utlinea z h.Cum itaqjlinea kz fit extra feperficicm fedionis concurrens cum linea h z in pundo z, palam q> ipfa ffccabit linea hz, nec erit una linea cum illa per » .undecimi. Sunt itaq? linea: kz&hzin una fu per fi* cie per z.undecimfifuperff cies ergo k zh fecat fuperficiem fedionis fuper lihea eis am* bobus commune,qu2e cft h z,& per i5>.huius,& lecat lineam t q in pundo z,8fitiperfij cies h z k fecat fuperficiem d z h fuper lineam comunem ambobus illis fuperficicbus •, q cft linea h z p. Verum linea d ze eft in fuperficie fedio nis, ut fupra patet,8C fecatur i li- nea k e in pundo z,& pundus t cft fupra fuperficie k z h,& pundus q infra'illam ita iuperficies k z h fecat fiiperficie d z q fuper lineam comune,qua: eft: ppendiculai is fuper lineam t q,& eft linea z h,qufa linea illa eft in fiiperficie fi z k,& fiiper eam eft perpendi cularis linea t q,ut patet ex przemifils,& qin fuperficies h z k fecatfiiperfide d z q. & de clinatio fuperficiei h z k i fiiperficie fedionis.cuius pars eft fiiperficies d z q,fit ex parte femidiametri z c,erit linea qua: eft comunis fedionis illarum fuperficiep; , fiCeft linea h z p, cadens inter lineas q z& d z»Si ita linea z h.qua: eft i pundo z duda f perpendicula liter fuper lineam fedioneoxigoniambf ez,in illo pundo contingente concurret ei gpendiculari e d fiib axe a c b,qm perpendicularis e d fecat axem pyramidis,quae eft a c k in. pundo d,q> autem concurrant, patet per i4,huius,producatur enim linea h z ultra pundum z ultra fedionem in pundo p,quia ergo angulus z d e eft acutus,& angulus d z p acutus, palam ,quoniam concurrent lineae z k & e a fiib pundo d,8C (it cocurujs pun dum p, patet ergo propofitum. . fvnb-.'.'-: ^ .

cicini.

Ab altero duorum pundoru in fedfonfi Columnari fignatora duda per* pendicularis fuper axem columnae in ipfa fuperficie fedionis , 8C a reliquo punefto duda linea acutum angulu cum illa perpendiculari fuper axem co* luinruc continencc,fi ab eodem pundo reliquo ducatur perpendicularis fu per lpfam fecftioncm, hoc concurret cum priori perpendiculari fub axe,8C fub pundo concurfus prioris linea: cum perpendiculari.

Sit fedio columnaris quae a e,b e, in qua fignata liint duo punda,quap fiint b & e, fitfcg columnar,in cuius fiiperficie cadit illa fedio, axis linea h d k,& ab altero fignatoro pundorum,ut i pundo b,ducatur in ipfa fiiperficie fedionis linea b d, perpendicularia ter fuper axem incidens pundo d,& ducatur item in fuperficie fedionis i reliquo dato rum pundoR: qcf eft e linea e d, acutum angulu continens cum perpendiculari db , qui fit c d b,fit'q$ linea continges fedio nem in pundo e, qua: fit exempli caula linea 1 e q.Dico q> perpendis ailaris i pudo e duda fuper linea leq,concurreccum perpendicula* ri b d feib axe b k,& fub pundo d,q cft pundus concurflis linea: e d cu perpendiculari b d. Fiat enim per io2,huiiis fuper pudufediois qcf eft b circulus aquediftans bafibus columna:,quifitbco,cuius centru fitd,&: ducatur a pundo e linea 15 gitudiniscolumnte per i o i. huius, qua: fit e c,& a pundo d per i i.pri* ini,ducatur linea d g perpendicula iis fuper lineam b d in ipfa circuli fiiperfirie.palam ergo, q> fuperficies h dg cu g axem tranfeat,qua: ereda eft liiper circuli fuperficiem, perpendicularis fuper eandem circuli fuperficiem per i s .undecimi, Superficies uero contingens columnam in pundo b ; eri c ■••• g 3 sequedl

PERSPECTIVAE vitellionis aquediftans ftiperficiei b d g,ideo enim, quia linea longitudinis columna: dudla d pun dio b eftaquediftas axi h k per p z. huius, 28.primi.61! linea