«HAjjwHi yiiSeejsa^a-.v rsr-:

• J ' •> A /* ^ /5 -• Ct*d*V* *••

^ tWiicwyj apv? . . C

, VI TELLIONIS

MATHEMATICI DOCTISSIMI

FEPI’ OHIKMZ, ID EST, DE NATVRA, RATIOc

ne , & praiedione radiorum uifiis ,-Iuminumj colorum atcp
formarum.» quam uulgo Perfpediuam uocant,

1 1 {t R I X«

Habes in hoc opere , Candide Lector , quum magnum numerum Geometricorum
elementorum, qua; in Euclide nufquam extant.tum uero de proiedione , infradione &i
refradione radior umuiiiis3luminum5colorum,& formarum , in corporibus tranfpareti
busatqj (peculis,pTanis,fphaericis,coliimnaribus, pyramidalibus , concauis 8i connexis ,
fcilicet cur quasdam imagines rerum uifarum aequales, quaedam maiores , quaedam mi*
nores, quaedam redas , quadam inuerfas,qiicedam intra, quadam uero extra fe in aere
magno miraculo pendentes : quaedam motum rei uerum , quaedam eundem in contra*
tium oftendanttquaedam Soli oppofita,uehementifsimeadurant,ignem'<^admota ma*
teria excitent:de'qj umbris, ac uarijs circa uifurn deceptionibus, 3 quibus magna pars
Magi* naturalis dependet, Omnia ab hoc Autore(qui eruditorum omnium confenfu,
primas in hoc feripti genere tenet ) diligentifsime tradita, ad folidam abftrufarum reru
cognitionem,non minus utilia quim iucunda. Nunc primum opera MachematicoriS
preftantifs, dd, Georgij Tanfteter & Petri Apiani in lucem aedita.

A Tx O T \ 7"Q Quintus, diuina faucnte clemetia Romanorum
VJ /A IV V ) l.i v Imperator,femper Auguftus, ac Germaniae, Hi*

fpaniara.utriufcp Sic/Ite.HierufalemjHungarfejDalmaciaijCroatne.&c.Rex.Archi*
dux Auftria:, dux Burgudia:, Brabatt£e,&c. Comes Habipurg/,FladriVryroIis,&c,Vni
uerfts di fingulis notuelleuolumus.Quu nofter & Impertj Sacri fidelis.diledus Petru*
Apianus Mathematica: rei in primis peritus, nobis humilime fupplicauerit,q> Epheme*
rides quaida,uni cu alrjs infra comemoratis opufculis,maximo fuo fumptu,pari'q* tG in
tietionis.tit ardi cionis labore, in c5mune bonoru ftudioforumtp omniu ufum candide dC
Immaniter a:derc fecu coftituerit.Vereaturfcp iam ne eade ab altjs quoc^q ex alterius in
comodo fu u aucupari contendut commodu,qui'c5 alieno labore bene parta, in fuu ipfo*
rum male conuertut ufum, imprimeretur, id qd in (uum haud uulgare detrimentu redii»
daret,quatenus Priuilegn noftri prpogatiua ad certu annoru numero, in quo nemo pia.
ntr illud tentare auderet, ft adiuua re dignaremur. Quumcp nos eoru,qui tu opera dilige
ti ac fedula.tu uigilantia fua no mediocri,quam & prouehendis bonis artibusgnaiiiter
impendut.&inuulgandis utilibus libris nulli nec fumptui parcentcs.nec labori, liberali#
ter mfumut,Reipiib.infigniter,pdeflefoIet,emoIumetu promouere,cotra difpediu amo
Uere,,p germano di innato nobis ad eximia honeftifsimafcgingenuaru artiu ftudia fauo
re ftudcamusjfit ut facilius Apiano c|f$ pdido, precibus eiufde di fupplici petttioi conde#
fccndetesjGratia noftra hac in re impertiamus fingulare. Omnibus itacj} di fingulis chal
cographis,B(bIiopolis,8(;qbufuis alijs tenore prarientiu diftride inhibemus, ne uidclicet
infrafer/ptos Iibros,cjs pnominarus Apianus uel ia arduioi deftinauit,uel arditurus,erudi
tis omnibus in publicu comunicaturus eft uncjbputa Ephemerides ab anno falutisnoftrg
Millefimoquingetcfirno tricefimoquarto ad feptuagefimu fupra Millefimu di quingeti
telimu duraturas, ptanerea libros de Vmbris,Cetiloquiu Anthmetices:&aliu adhuc de
Arithmetica libellu.cu Regulis Coflte demoftratistDe mcfurationeuaforu cu artificia.
Ii parris uacute muetione; Schedulas dfarias fiue Almanach cu iudictjs annalibus,(eu(ut
uulgus Ioqtur)Pradicis,qbus aeris mutatioes,dierum<£ elediones fingulx cotinemurt
Libros ite de coiuncfcionibustPtokmteu cx nouifsitna illa Vuilibaldi Pyrckamert tranf
Iatioe,ante hac ntincp xditu,cu Tabulis corredifsimis58f inquadragulare figura, cuiuf*
modi ha denus cxcufarno (unt,coformatis:Ptolema:i etia librosgrtere, eruditos eos fa*
ne,8d(qd tSto autliore digniisimu eratlelcgantesjnatiuamcp illa fuam gratia in propria
lingua retinetes;Ltbra dc EclipfibusjLibru Azophi aftrologi uetuftiisimilLibros Ge*
hri: vitelli o N i s c^qt authoris antigfsimi fimul ac dodifsimi Perfpediua,opus 8i in

fens di ipfa materia: iucuditate laudatiifimu: Aftronomicu Imperatoriu:Librum de die
us Creticis; Libros de Iridc;Tabulas refolutas ia p eunde reces fupputatasiRadtuno*
uum Aftronomicu, finiulcj} Si Geo metrico, und cu uario Sinuu di Chordaru ufu ; LibriJ
de Speculo ad pulcherrimas dimefiones apteaccomodato t Introdudione Cofmogra*
phica cuomnis generis obicruatioibus itide pfinus di chordas.adiudo inlug Metcoro*
fcopio duplici,plano &I(^d inaudicueritpIerifcg)nurneroru,AftroIabium<mmjmerorimi
uniuerfale,ut reces ita uti lifsimutT abulas fcu Mappas.ut uocant, uniuerli terraru orbis
generales, aut etia quaruda Recionu feuProuinciaru particulares:&! qcquid in Mathc*
matids rebus didus Apianus fub titulo Qi nomine fuo.aut fiqua aliena reru Mathema
ticarG monumeta prius neuticp excufa,fua uero ia induftria recognita & reftaurata, uel
etiam figuris tantu illuftrata, p quofeut^ uolet Impreflbrcs,in luce abdiderit, intra fpaciu
triginta annoru, abipfo jditiois die coputando,pter fuam ipflus uoluntate, excudant feti
excudere faciant.neqt fic excufosuenu cxponant.feu uendant,fub pcena dcce Marchaijt
Auri puri,^) una Camerte noftra: Imperiali.alterauero medietate dido Apiano irremif
fibiliter exerluendaru.tu amilsionis Iibrorufic ad a:mulatione excuforo, ^s ubicuq? loco#
ru nadus fuerit per fe.fiuc fuos,aut adiumeto Magiftratus eius loci.fibi uendicare,&! in
poteftatem (uam redigere poterit .Harum teftimonio litcrarum Sigilli noftri appenfio*
ne munitarum. Datum in Ciuitate noftra Imperiali Ratifpona,die tertia Menfis Iu*
lij, Anno Domini Millefimo Qitingentefimo Tricefimofecundo,Imperijnoftd Duodcf
cimo,fi>C aliorum Regnorum noftrorum Decimofeptimoe

ILLV STRISSIMO PRIN

CIPI AC DOMINO, DOMINO PHILIPPO CO,

MITI PALATINO RHENI, ET VTRIVSQVE B AVARIAE DVCI,

8Cc, Dornmo fuo gratiofifsimo,Georgius T anfteter Collimiti
us Regius Phy ficus & Mathematicus S, D»

■V 3VI iatn inde antiquitus moris fuerit , qui ad hancnoftram
ufcp aetatem defluxit, ut literatiuiri quoties uelfuas ipforum
lucubrationes uel aliena fcripta afe e tenebris eruta, ac luci &C
-quafi uitg reftituta jin publicu emittere deftinarunt,delegerint

jcxomni multitudine uirum alique lingularem, uel bene de fe

meritum uel uirtute praeditum, uel ipfum eruditum ac liceris probe tindu,
ac eius artis qua: in libro eo tradatur ftudiofum.cuius nomini dedicati fiue
propnj fiue alicnilabores aufpicatq prodirent. Quorum ego in praefentiaru
infticutum in primis decens accp honeftumrite temulatus Illuftrilsime Prin*
ceps,tuae CelGtudini alienum,fed praclaru tamen & perutilem laborem mea
opera primum, ac deinde tuapotifsimuin ab interitu uindicatum , ac iam pri*
mum in lucem exeuntem inforibere dedicare conftitui.Cum praefertim caufe
propter quas fingulasalrj libros fuos mfcripferunt, in te omnes -congruant
Primum enim,id quidem mereri Celfimdinem tuam, atep his longe maiora,
neceflePabco confiteri.Quandoquidem ciim antea ex Petro Apiano proba
ta fide homine ac Mathematices eximie perito cognoueram Celfitudinem tu
am,&huiufmodi ftudqs maiorem in modum deledari , & cis operam inter*
dum dare folcre.Tum anno fuperiore,cum hic inditus ac potentifsirrius Rex
Ferdinandusperhyemen ageret,cuius tu in Aulico famulitio Princeps prin*
cipem obtines locum,aliquoties ftudio Mathematico illedus me domi mea:
inuifere non es grauatus,acnonfolum prima illa rudimenta eius artis fcien*
‘termecum exprompfifh',fed etiam de illis, qua: & fiudium accuratius & iudici
um requirunt recondita magis & abftrufa eleganter difleruifti ♦ Deinde tot
funt uirtutes tua: ac tata: quibus infigniter enicelcir,ut'fi pro fingulis libri fint
tibi dedicandi, nulla unquam quamuis copiofa&d affluenter inftruda Biblio*
theca fit fatis futura,quas"fi figillatim nomin areueli mtoo dum profedo Epi*
ftola: egrederer. V nam hanc e lingularem ac notabilem comemorabo , quod
anno ab hinc quarto , cum grauifsima & periculofa obfidione Vienna Au*
ftrize cingeretur , circumfufo longe late Turearum exercitu prope infinito,
tu fama exitus modo aduentus hoftium & formidulofie imprefsionisfponte
tua quod uirium de repetite contrahere poteras,tecum Viennam raptim ad*
duxifti,antequa teterrimi hoftesurbem omni exparte circumueniflent. Qua
quidem in urbe toto illo obfidionis tempore omnia propugnationis munia
fic obqfti,ut nodes diescp ad figna nihillaboris ac diferiminis refugiens pri*
-misfettiper immixtus 8c ipfe primus confiitcris,alioscp defenlanda ad moenia
fubinde luculenta Sc mafcula oratione fueris exhortatus, fic ut fortiter dicere,

fortius

fortius agere/orrifsimt: pugnare,promptils habeare 8c expeditus,nihil flrm
nuifsimo conceflurus. Ac cum tua uirtute urbs illa ciuesfp praecipue defenli
conferuacic^ fuerintjlluftrifsime Princeps author hic, quem tua: Cellitudini
dedico, haud minus quam quiuis duis urbis illius tibi debere uidetur,Siqui=*
dem iam ingruentein Auftri am hoftium exercitu inter reliquam librariamfu
pclledlilem relid:us,niii perte,haud fecus ac duis alter quifquam defenfus fu
iiiet,capta urbe ac direpta,& uere extrema paflus interfjHet . Itacppro duica
corona,quamauthor mecum una tibi debet i te conferuatus, uindicatus^ab
exitio ,& mea nunc opera in publicum emiflus tibi dedicationis munere gra*
ta mentis confefsionem ultro mecum exponit, Authori porrd nomen eft gen
tile Vitellio, qui ex T uringis Polonus annis ut conrjcio ab hinc plus, minus
Dc.uixit Et abfolutum hoc opus Tn^o-nfim fummo iudicio paricp diligentia
confcripfit,exado% ordine omnia tra&auit adeo,ut quod ad praeclarifsimse
huius artis appreheniionem confummatam^ fcientiam attinet,nihil in eo de
fiderari pofsit,eum Cellitudini tua: iam primum in lucem exeuntem nuncupa
tim dedico,limult[$ obnixe rogo, animum dantis, &affe&um potius quam
ipfum oblatum munus intuearis,&:Tanftetterum,quem hadlenus fouifti,pa
ri benignitate porrd etiam profequi ne dedigneris.Foelidter uale Illuftrifsi*
mc Princeps,

AD ILLVSTRISSIMVM PRINCIPEM

ac Dominum,D.Philippum Comitem Palatinum Rheni,
& utriufcp Bauaria: Ducem &c, V rfinus V elius,

lampridem magnis animi ipedlate periclis
Prima Palatinae fama Philippe domus;

Maxima feruata: fueras qui cauiia Vienna:,

Hoftibus innumeris urbs ubi dncfla fu iit.

Hic quoq» tum obieflits ie nunc tibi dedicat author.

Haec tibi feruati prtemia ciuis habe,
Quodnonhoftfli fuerit deperditus igni.

Perpetuo did geftit,&eile tuus.

Huic tibi confimilem debere fatetur honorem
Tanftetter,cuius prodithic aufpicijs.

Prodit,&in toto nunc orbe Vitellio nomen,

Diuulgat populi do&aper ora tuum*

1LLV STRISSIMO VERE

'dVE MAGNANIMO PRINCIPI AC DOMI

N O D. PHILIPPO • C OMJTt PALATINO RHENI, tT
ittriufcp Bolanae duci &c. Domino & Meccena ti fuo clementiisimo
'Petrus ApianpS Mathematica: ordinarius in gymnafio Ingob
ftadienfipfofeflbrjalutcmptecatur ^incolumitate ;

Vbinde mecum ipfe admirari foleo,Princeps Illuftrilsime,homi
num quorundam inhumanum adeo ingeriium,atcp ab omni hu*
manitate alienum ut optimas 8Cnobililsirnas quafcp artes conui
cijs impetere rton dubitent , illashp miferis prolcindere modis,
non fine maximo contemptu, digtii prbfefto ipii , qui ex hominum numero
rei]ciantur. Necp multo diuerfum fcft & eorum inftitutum , qui nori quidem
lemel omnes coUtemnuntliteras,led exealucrolaifta8c illiberaliter qtiarftuo
la utilitate tantum metiuntur , ita ut in liberalium artium numero uix ali*
quam relinquant, quai non fit,ut ipfi loquuntur,depane lucrando. Hinc fieri
uidemus , ut fere pereathocnoftro leculo alioqui in bonarum artium profer
<fhi foelicifsimo luus artibus honos,hinc uidemus uniuerfam iam philolophi
atn dangueftere,&eas quidem illius partes magis , qua: minus pani Icruiunt
lucrando. Solariautem in hac re uicilsim nos debet,quod omnibus retro fe*
culis fuerunt Zoili &cMomi,qui quacUisteprehendere maluerint quam pb^
tucrint ipiit^ti,ne:c^ in uulgo tahtmii hominum reperti funt olores huiulinb*
di,maxiltiiquocpuin urdp &deo 1 gfniiino uera: humanitatis ingenio defcce*
runtjUtdolendumfit V alentinianum Imperatorem Gratiani filium immeii
lo liter arum odio conflagralle , ac deinde Licinium quoqj Imperatorem
tam infeftum fuille literis , ut uirus ac pedem publicam easappellarit , fcd
qtiur oblecro nonddifiet ;, quorum ipfe adeo expers fuerit, ut ne decretis
quidem fublcriberc pollet C Rectius ferilerunt pia riqj omnes iietcrum Rho*
manorum, quorumquilqj habitus cfl; prarftantior , quo Fuit in lolidis arti*
bus, maxime uero philofophia: 8C eloquentia: dudijs uerfatior. Superflu*
um fuerit hiC Fabios , Scipioncs,L3clios,Ciceroncs,Catones,8c reliquos ui*
ros lapientia: ftudrjs clarilsimos commemorare.Quisnon eximium Augudi
admiretur ftudiumCEx Gfaccis uero quitis tioq merito Alexatidri Magni uerC
regium,& ab optimo praeceptore non male inftitutum commendat ingeni*
umcGerte,utex noftratibus unicum quoqj adiungam exemplum , Sigifmur»
dus Imperator non iple tantum bonarum literarilm ftuclia fouit, do&isq* '&
literatis omnibus .egregie fatiit * (ed reliquos etiam Germania: Principes pia:
rumqj accufauit , quilatinas odiflcnt literas . Infuper etiam a quibuldam rc*
prehenfus , quod Uiros humiles Sc eruditos foueret. Ego , inquit,eos amo,
quos uirtutibus 8C doedrina, ex quibus nobilitatem metior , ca:tcris uideo
antecellere. Prxclarum ille quidem & Imperatore dignum dedit Princi*
pibus omnibus exemplar 3,'quod imitentur* Frutira autem haec ego omnia

Gelli

Celfftud ini tugccomemoro, cui tantus efl: in literas & litcratos omnes fauor,
tantuscp ftudi) etiam Mathematici amor, &noinfoeliciter reipondens amo^
ri profectus, ut minus iam mirum mihi fiat,quur non ignobilem hunc de Per
fpediua authorem illuftrifsimse tuse Celfitudini dedicare inftituerit,uir clarif
fimus D.Georgius Tanftetter Collimitius Regius Phy heus & IVIatheniati*
cus,quiauthoris huius exemplar mihi ed faciliusex fele&ifsinjis fuse biblio*
thecae libris communicauit,utoptimus hieferiptor ad lucem aliquando pro*
greflus in manus uenirec quam plurimorum,huius autem dedicationis officia
um mihi tanquam ueteri amico demandarit.Nec potui minifterium illud o £*
ferendi authorem hinc Celfitudini tuas optimse de me femper meritae negare,
necpuiro illi mihi multis modis deuimftifsimo , maxime quum authoripfe
nunc ueluti recens natus atqj inluce acditus,tam praedare de Perlpetfiiua icri*
p ferit, ut uniis merito omnibus qui de hac re fcripferuntfit anteferendus. No
male quidem fcripfitfuper hac materia Pomponius Gauricus,fed pauciori*
bus quam utfufcepto refpondcat argumento,ex ueteribus fuper fimt monu*
inenta,Alhacen,Bachonis,Rogerq,Balneoli,Ioannis Pilani Anglici , fratris
Theodorici ordinis Praedicatorum,&forte aliorum quae aliquando aeden *
tur. Quanto plus laudis emeruit hienofier Vitellio,in quo sedendo nihil fa=
ne negle&iun eft,quod aduniuerfi huius ftudq faciat profecftum , nos quoqj
pro candore noftro,& in omnes ftudiofos beneuolentia authorem hunc fi*
guris,& omnibus ad hanc rem neceflari]s ita illuftrauimus, ut nc ftudiofi has»
beant quod in nobis defiderent. Hic etiam aliud declarare non uolui, nifi ut
optimo uiro D.Georgio Tanftetter fatis uideorfecifle,& opus hoc illuftrifsi
mae Celfitudinituse cum paratifsimisobfequrjsobtulifle.Beneualeat nunc no
bis omnibus T.C. illuftrifsime Princeps,& bonarum artium profeiftum fe*
dulo adiuuet. Datum die quinto Februari), quo die non longe ante meridie
cmlupiter blando & amico afpetftu Venerem fibi 'ueterem di cognitam
adiunxitcomitem,quam hoc modo multis etiam ultra annum integrum die*
busnonafpexerat* Anno M* D* XXXV*

VERITATIS AMATO'

RI FRATRI GVILHERMO DE MoRBEKA, VlTEs
Io filius Thuringorum 5i Polonorum, aeternae lucis irrefrado mentis
radio fodicem intuitumA intelledu perfpicuum fubfcriptorum.

niversalivm entium ftudtofus amor te u indu m detinens, me ti*
bi ut idem appetentem,(?cconiunxit,ut uoluntas tua mihi fit imperium»
me quoqj arceat ab effedibus tibidifplicentium paflionum. Quia ergo
tibi, ut totius entis fedulo fcrutatori.du ens intelligibile £ primis fuis pro*»
i£MSii!S5§!' diens principijs.entibus indtuiduis fenflbilibus per modum caufte, adu
mentis coniungeres, 8i fingulop- caufas lingulas indagares,occurrit diuinarum uirtu*
tum influentia inferioribus rebus corporalibus per uirtutes corporales iuperiores mo
do mirabili fieri .Nec enim res corporeae inferiores in ordine partiu uniuerfi, diuina: uir
tutis incorporaliter funt participes, fed per fuperiora fui ordinis contrada uirtute par
ticipat ut poflTint,(icut & in alio fubftantiap- intellediuarum ordine inferiores fubftan*
tias per fuperiop* fui ordinis illuftrationem i fonte diuinaebonitatis deriuatam, prout
uniufcuiufc£naturafert,permodumintelligibiIiuminfluentiaRi fieri mentis acumine
perfpexifti:Sic ut omnis remm entitas i diurna profluat entitate, & omnis intelligibili
tas ab intelligentia diuina,omniscg uitalitas i diuina uita.quarum influentiarum diui
nu lumen per modii intelligibile eft principium ,medium di finis; ut i quo,&; per quod,
di ad quod omnia difponunt. Corporaliuuero in fluentiam lume fenfibile,eftmediu
fuperioribus corporibus perpetuis fecundu fubftantia iolii in potentia ad ubi exiften
tibus infima corpora, quae lecundu formas di ubi uariantur mirifice illuminans di con*
nedens. Eft enim lumen fupremarum formarum corporalium diffufio per naturam
corporalis forma: materes inferio^ corpore fe applicans, & fecum delatas formas diui*
norum Si indiuidualiu artificum per modudiuifibilem caducis corporibus imprimes,
fuicg cu illis incorporatione nouas femper formas fpeciffcas aut indiuiduas produces,
in quibus refultat per adum luminis diuinft artificium tam motort orbium cjj monenti
um uirtutum. Quia itacp lumen corporalis forma adum habet,corporalibus dimen
fionibus corpop-, quibus influit,fe coaquat,8t! extenfione capacium corporum fe exten
dit;attamen quia fonte, i quo profluit.habet femper fecundu fuxufr tutis exordiu,pro*
fpicere dimenfionem diftantia.qua eft linea reda, per accidens aflumit,ficfcg fibi nome
radrj coaptat.Et quoniam linea reda naturalis femper eft in aliqua fuperficie naturali*
Superficierum ueropaflio,quae per terminantes lineas eis accidit eft angulus; ideo ra*
dio luminofo confideratio adiacet angularis ,di redis angulis radiojt perpendicularitas
eftcaufa.Obliquatio uero irradiantis corporis fuper irradiatum corpus,, acutos can*
fat angulos di obtufbs,& fecundu huiufmodi luminariu influentiam uariantur. Cum
itacp tua folertis diligentia ingentj fecundu hxc cozleftiu influentiap; diurnam uirtutem
refpedu rerum capacium imitari profpiceret, & non folum fecundu uirtutes agentes,
fed fecundum diuerfitate modi adionis,res adas diuerfari uideret , placuit tibi in illius
rei occulta indagine uerfari.eiuscg diligenti inquifitioni ftudiofam anima applicare.

Libros itaq* ueteru tibi firper hoc negocio perquirenti,occurrit taedium uerbofi tatis
Arabicacjimplicatioms Grarca, paucitas quocp exarationis Latinar,pnefertim quia tis>
bi comiflum officium pcenitentfaria: Romana: ecclefix,cuius cura: parte geris, credens
plus intelledu pradico cjj fpeculatiuo,pcenitentibus fuccurrere,te cohibuit i multi tudi
ne uidendo£>;maIuifti enim languentium animati- diuino antidoto languoribus fuccur
rere,cp ipfo^ hominum ignorantias re!euare;Me'q$ putans uacareocio,fub amoris ne*
xu,quo tibi coniungor,uoluifti conftringcre,ut hoc laboris tibi placiti onusfubirem,
hiscg materijs mihi nondu cognitis,animum applicarem. Atego,qui eundis iuflio*
nibus tuis obtemperare defidero,uelle tuum fufeipiens pro mandato, maioris negocrf,
quod de ordine entium olim confcribendumfiifceperam capitulum,intempus femoui,
pvxfcntisqj operis difpendiumpro mex poffibilitatis uiribus,quibus hic impar fateor.

a. adq

adij confcribendum. Attendens quoqj.quia eadem uis forma: immittitur in coriarium
& in fenfum48d q> lumen fit primum omniu formarum ienfibilium, quodfcg rerum fenfi
bilium omniu cauias efficientes intendamus perquirere, quojt: plurimas differentias uis
fus nobis oftcndit.Pramiffbrum per modii entium uifibilium perferutatio placui't,ficut
di eadem uiri,qui an te nos plurimi tradauerunt huius fcientia ncgocium, P E RS pe-
cti v o RV M nomine nuncupantes, quo» di ego nominatione ut placita approbo:
licet plus ad naturalium forma^ adionis modum occultiflimum per tradandu,ut opus
prafens tuis affectibus refpondeat.fcribentis intentio fe declinet. Quod enim in fenfii
uffiis plus perceptibiliter agitur,hoc in ipfius fenfus abfentia in rebus naturalibus nulla
tenus euitatur.Senfus enim pran entia nihil addit adionibus naturaliu formain. Om
nem itacp modum uifionis Mathematica uel naturali demonftratione tranfeurrendo,
ea quae de naturalibus formarum adionibus per modum paffionum uifibilium iuxta
triplicem uidendi modum pro mea: poffibilitatis modulo tradabo. In omnibus em illis
uidendi modis,forma: naturales ad uifum fe diffundunt, radrjtjj uifiualcs non exeunt ad
capefcendas formas rerum.Vnde fi prafentia formap’ diffufarum per corpora naturae
lia ipfarum fufceptibilia,uifus non affuerignon propter hoc naturalis adio no erit, fed
forma: in fubieda corpora fibi difl7milia,impriment quantum poflunt. T u ltaq; uir
defideriorum omnis fcientialis boni , fufe/pe quod fieri mandafti,_in quo fi quid incultu
*nueneris,perfpicaciori ingenio modereris.

TOTIVS OPERIS IN DECEM LU

bros diuifio, di quid in lingulis tradetur.

R AES ENS itac# negociu decem libris partialibus duximus diflinguen*
Ipel pM )|2\ dum. V olentes eih omne ens uifibile,ut fua uifibilitati pallio accidit,Ma*
thematica demonftratione cocludere, 8i hac uia eatenus ut nobis eft pofli
l|iq bile,cer tius ambulare,librum hunc per fe ftantem effecimus, exceptis his

l^^^^^^lquse ex Elementis Euclidis, & paucis quae ex Conicis elementis Pergari
Appollonij dependenr,qua funt lolum duo, quibus in hac fcientia fumus ufi,ut in pro*
ceffu poftmodum patebit. In primo itacp huius fcientia: libro axiomata pramit

timus ,qua prater elementa Euclidis huic fcientia funt neceflarfa. Et in hoc ea duo.qua:
demonftrata funt ab Appollonio,dccIaranuis, Plurima & hoja.qua in hoc libro pra*
mitrimus.continentur in eo libro.qucm de dementatis conclufionibus nominamus.in
quo uniuerfaliteromnia confcripfimus,quanobisuifa lunt,& qua ad nos peruencrut
d uiris pofterioribus Euclide, pro particularium ncccflitare Icientiarum uniuerfaliter
conclufa. In fecundo quoqj hoc noftro libro,de modo proiedionis radioft per

medium unius diaphani,uel plurium,fuper figuras corpo^ diuerfas:Necnon de proic*
dio ne umbrarum 8i figuratione lucis cadentis per feneftras tradauimus,utdehis quae
praambula flint adioni fenfibili formarum naturalium,&: qua fiunt non exiftente fens
di. In tertio uero libro de organo uifus,de'cp effentiali modo uidendi fiio modo tra

dauimus ,ut patitur fcientia Opticorc. In quarto quocp libro percurrimus decepti

ones.qua accidunt uifin iecundu diredum modu uidendi per unum mcdiu,f?ue fint paG
fiones Mathematica.fiueerianaturales. In quinto aute libro nos ad alium modu
uidendi,qui fitper reflediones d politis corporibus,qua fpccula dicimus, transferentes
tradauimusde paffionibus communibus omni fpeculo, fiue fit planum, fiue fpharicix,
columnare fiue pyramidale,concauum uel conuexum.Hac enim funt omnia fpecula,
& quibus regularis poteft fieri refkdio,ut nos declarabimus fuo loco: nec tamen intelli
gimuspcrhacfpcculafolucorpora polita artificio,fed potius per naturam. Quia di!
demonftrarionem his fpeculis applicamus.naturalia corpora eiufdem figura intelligi
mus. Quod em in artificialibus corporibus irregulariter accidit,in corporibus natura
Sibus certius accidere necefle cft. Et durnfic per figuras fpcculo# difcurrimus,cceleftes

Si om

& omnes naturales influentias i Cubieclis corporibus fub quodam refledionis modo
ad aha corpora declaramus. In his enim diuerfitatibus latens eft natui1» operatio, 8C
ab eifdem agentibus fecundum huius diuerficatis modum fit diuerfitas formarum ,8i ac
cidit uifibus.fi ad locum refledionis deueniant,ut adipfos fiat refledio rquonia uifibus
ut quodam pofteriori formis naturalibus & corporibus exiftentibus ipforum prafen*
tia rebus naturalibus nihil addit.Horum itaqj fpeculorum comunes pafliones,&: om-
nes proprietates fpeculorum planorum in quinto libro propoluimus. In fexto ue-
ro libro demonftramus pafliones,qu» accidunt uifibus di rebus ex refledione fada I
Ipeculis fpharicis conuexis, In leptimo uero poluimus pafliones accidentur d (pe-
culis columnaribus uel pyramidalibus couexis,&: hsc duo Ipecula fimul coniunximus
propter conformitatem plurium pafltonum. In odauo.de refledionibus qua; fi-
unt d fpeculis ipluericis concauis prolixius tradauimus. In nono quocp de his,quai
fiunt a Ipeculis columnaribus uel pyramidalibus concauis.Et in eodem de fpeculis qui
bufdam irregularibus,:! quorum totali fuperficie fit refledio lucis dC uirtutis ad pundu
unum, qua: ipecula comburentia dicimus,adiunximus tradatum. In decimo uero
libro huius feienti»,agimus de tertio modo uidendi, qui eft per medium alterius dias
phani,ut cu per aerem fit uifio fub aqua uel fub uitro. Et de deceptionibus.qu» ex hoc
accidunt uifui:nam di fi uifus non fuerit.etedcm pafliones uirtuti accidunt agenti , Et in
hoc quocg decimo tradatu adiecimus paflionem foli uifui accidente ex diuerfita te mea
diorum.uteft impreflio arcus dsmonis,qui dicitur irisjquoniam di illius generatio ex
hac prxfenti fcientia ortum habet.Siccg quali omnium uifibilium generabilibus pallio
nibus percundatis,operi finem damus. Patet itacp ex pr*miiiis,quod triplex eft
modus uidendi.Quidam per unum medium tantum, qui eft uifio direda, Quidam ue-
ro per refledionem formarum uifibilium i corporibus p olitis. Q uidanmerp per refra-
dionem formarum uifibilium propter diuerfitatem medionmuHi quocp tres modi ui-
dendi lignum liint triplicis adionis formarum di omnium uir tutum cceleftium £>£ natu
ralium.Qua*dam enim agunt direde in obiedum fufceptibile.Qt: haec adfo eft fortior,
quoniam eft direde intenta per naturam, & fit fecundum lineas redas. Accidit auterr»
illi uirtuti,quando eft corporalis debilitas.propter remotionem maiorem agentis ab ip
Io adu.Sol em no adeo calefacit remotiora ficut propinquiora calefadibilia qu» funt
eiufdem difpofitionis.Aliauero naturalis adio fit per refledionem i corporibus alijs»
utradtj Solis i corpore Luna: refleduntur:cfjuis enim propter raritatem Lunaris cor-
poris quiddam Solaris tranfeat uirtutis. Plurimi tamen radiorum refleduntur inferi-
us,ut d fpeculo fphaerico conuexo.Eft ergo illi adioni conueniens omne quod diximus
in paflionibus fpeculo^ aflimilante fe figura corporis i quo fit refledio figura: lpecula
ri.Tcrtia uero maneries naturalium adionum,eft per plura media diuerforu diaphono
rum.qua: fimiliter in lup modo agendi diuerfitatem accipit.quam ui/ibusaccidete dice
mus.In his itaqj naturalibus adionibus uifeis lignum eft,non caula, nlfi forte deceptio
fit per fe proueniens In uifiuquoniam non exiftente perceptione uifiua,idem modi lunt
omnium naturalium adionum. His itaqj pr.-emiflis, aggrediamur intentum. Hoc
tamen legentem latere nolumus,quia dum cx libro Elementorum Euclidis arguimus,
fola nominatione numeri libri di theorematis contenti fumus. Du uero aliquid ex hoc
noftro libro adducimus, & numeru di theorema huius libri nominamus.

LIBER PRIMVS

PERSPECTIVAE VITELLI ONIS.

DIFFINITIONES.

| Va uero per modu principio^ huic primo libro pramittimiis, iiint ifta»
t Kathetum dicimus linea perpendicularem fuper fuperficiem aliquam ere
| cflam. Polum dicimus omnem pundu linea: iuperiuperficiem circuli i
i centro orthogonaliter ereda, Conuexam lineam uel iuperficicm dici-
5J mus, quae extrinfecus aliquam regularem curuitatem habet. Lineam
concauam uel fiiperficiem dicimus , quae intriniecus aliquam regularem curuitatem
habet. Lineam fuperfuperficiem conuexam uel concauam perpendicularem dici-
mus,quafuperpIanaiiiperficfeinpundofuaincidentia iuperficie conuexa uelconca
ua cotingente eft ereda. Circuli feinuicefecantes dicunv.quop: diametris eft aliqua
linea comunis uno reliquum non continente. Circulus magnus iphara dicitur, qui
tranffens centrum iphsra, diuidit ipiam in duo aqualia. Minor uero circulus fpha:*
ra:dicitur,qui necp tranfit centrum fphara.necp diuidit ipiam in duo Ecqualia. Spha
xas jequalcs dicimus,quarum diametri funt aquales. Sphtcras uel circulos feinuicem
continentes aquedtftan tes dicimus,inter quas & centro maioris duda linea: i conucxo
minoris ad concauu maioris iimt aquales. Sphtcras feinuicem c5tingcntes dicimus,
qua: ie tangentes extriniecus uel intriniecus non iecant. Sphaeras feinuicem interfea
cantes dicimus, cu ipharis ie no cotincntibus diameter unius per altera refecat. Spha:
ras intriniecus ie in terleca n tes .dicimus quorc maior pars unius in altera cotinct. Su
periiciem planam (phaera contingerediciffliJs,qua cCS iphaeram tangat, ad oem parte
educfla non iccat. Denominatio ^portionis primi ad fecundu,dicitur quantitas qua:
duda in minore producit maiore,uel qute maiorem diuidit fecundu minorem. Pios
portio dicitur coponi ex duabus proportionibus.quando denominatio illius proporti
onis p roducitur ex dudu denominationu illap- proportionum unius in alteram,

PETITIONES.

.J Petimus autem hrcc. Aequales angulos fiiper idem pundum conft/tutos,
/ aqualem continere diftantiam aqualium linearum, ut fi anguli a b c, & cbd,
/ fint aquales, & linea a b & b d funt aquales', tantum diftabit linea a ba linea

/ b c ,quantum linea b d diftat ab eadem linea b c. Item inter qualibet duo puti

/ da lineam, 8d inter qua slibet duas lineas fuperficiem pofle extendi. Item cum

/ dua plana iixperficies ie cotxngunt ,una ex eis fieri fuperficiem. Item duas pla-

/ nas fuperficies corpus non includere. Item omnes eafdem proportiones ex fic
k milibus proportionibus componi, in fimxles proportiones diuidi,&f eaidem ha

bere demonftrationes.

c THEOREMA I.

Omnes linea: xquediftantes in eadem fuperficie plana ne
cellario confiftunt.

Sint dua linea aquediftantes,qua a b & c d utcuncp diipo(Tta,dico
quod ipfa funt in eadem fuperficie plana, copulentur enim per lineam
b d.quoniam ergo linea a b & b d angulariter coniungfitur ,palam quo
niam ipia funt in eadem fuperficie,per z.undecimi. Similiter quia dua:
linea ad&bd angulariter coiunguntur,erut ipia in eadem fuperficie.
Si linea b d eft in una tantum fuperficie plana, quoniam xpfius partem
e fle in fiiblimi,partcm in plano eft impoffibile per prima undecimi.Pa
° 1 am ergo,quoma lines a b & c d neceflario confiftunt in eade pia na fit

pcrS

-LIBER 9K1SL1S2 i

perfide contenta inter eas & inter lineas extremitates 'illarum linearum copulantes,
quod eft propoli tum.

II*

Lineam a pun&o unius linearum tequediftantiumin eadem fuperficie
pertradam , cum altera indefinita; quantitatis concurrere eft neceffe.

Sintdualincxseouediftatesqu^ab&cd.quapiima ftilictttabfecet 1 ic
nea b a in purtifto b.Dico q> linea be iecabit etiam lineam c d,quia enim li
nea c d indefinitae quantitatis efle fupponitur,plotrahatur ueriiis ipiam lis
neam b e,qu* fi concurrit cum c d,habetur propofitu.Si hon concurrat pa
lam per diffinitionem squediftantiu linearum, quoniam linea b e eft aeque*
diftans 1/ne* cd,& quia line* ab&be amb* funt *quediftantesl/ne* c a,
erit per 3 o .primi linea e b *quediftas line* a b,ied palim ex hypotefi,quos
niam concurmmt,ut in punefto b,non ergo *quediftat linea b e line* c d, 1
ergo neceflario concurrit linea b e cum linea c d,quod eft propofitum.

in.

Datis tribus lineis cuilibet tertia fecundum proportionem ali
arum duarum proportionabilem in u en ire.

Sint dat* tres line* qu*fiint ab, cd, ef, quarum uni ut ab fecundum
proportione aliarum duarum qu* funt c d & e fiquarta proportionalis debe
at inueuiri.Du* i taq? line* *quales duabus lineis qu* funt cddief,ab una
linea continua abfeindatur qu* fit a e f per 3 .primi,& illi line* a e f angula
riter tertia data icilicet ab, coniungatur in- punefto a ,& £ punefto. comuni
diffinguente duas lineas rcicclas,qcr fit punctu c.Ducatur linea e b ad ext re
inita tem terti* datarum qu* eft a b,£v! i punefto 6 ducatur linea *qucdiftans
line* eb per 3 1 ,primr,qu* fit f g.Deindc ,p trahat linea a b in cotinuu & di
mftum.quoufcp Cecet lineam f g, iecabit autem per pr*miflam,fit itag? puns
<ftus concurfus g.Dico,q> per fecunda 6, eadem eft proportio line* a b ad Iis
neam d g,qu* eft line* e a dat* ad lineam e f datam, Similiter quoqj de quo
libet aliarum relpedu reliquarum duarum dcmoftrari poteft,patct ergo pro*
politum. 11 1 1.

Cum duabus lineis inaequalibus notas proportionis a?qualiulinearum
faefla fuerit additio maioris ad minorem minuiturproportio.

Sint du* line* a b & c d inaequales not* proportioriis,fit'cp linea a b maior c$ linea
c d, addatur quocg linea b e ipfi a b,& linea d f ipfi c d,fint'cg line* b e di d f *quales.Di
co,q> minor eft proportio line* a e ad lineam cf qp line* ab ad linea c d,

quonia enim dat* funt tres line* qu* iunt a b & c d & b e3inuenitur per -

pr*cedentcm linea proportionalis line* b e fecundum proportione lis

nearum a b di c d qu* fit d g,quia ergo linea a b eft maior cfj linea c d,pas 5 5

tet.quia lmea b e eft maior $ linea d g, ergo di linea df eft maior cj? linea
d g, abfeindatur ergo per 3 .primi line* d f *qualis ipfi d g,quia ergo eft proportio lis
ne* a b ad lineam c d ficut line* b e ad lineam d g,erit per 1 3 .quinti proportio totius li-
ne* a e ad totalem lineam c g ficut line* a bad lineam cdjcd per 8. quinti minor eft,p
portioline* a e ad lineam c. f maiorem, cjj ad lineam c g mmorcm.eft ergo maior pro-
portio line* a b ad lineam c d q? line* a c ad lineam c f hoc eft propoutum»

Cum fuerit proportio primi ad fecundum tanq? tertrj ad quartum , erit
«contrario proportio fexti ad primum ficut quarti ad tertium»

Sit enim a primum,& b fecundum, & c tcrtium,&' d

quartum,& fit proportio a ad b ficut c ad d.Dico,q> erit -1 c

econtrario proportio b ad a ficut d ad c, quoniam enim

«ft proportio a ad b ficut c ad d, erit per 16 . quinti b jo~

a iij perimi

1*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
permutaturi proportio b ad a ficut d ad e , fecundi uidelicet ad primum ficut quarti' a 4
tcrtiuitijquod eft propofitum .

VI.

Cum fuerit quatuor quantitatum proportio, prima; ad fecundam ma*
ior cp. tertia; ad quartam, erit econtrario minor proportio fecunda; ad pri*
mam cp quartae ad tertiam .

Efto proportio linea: a ad lineam b maior qj line* c ad lineam d.Dico,q? erit econ*
trariominor proportio linea: b ad lineam a c| linea; d

— c — j ad lineam c.Sic enim per tertiam huius ut qua: eft pro-

portio linea: c ad lineam d,eadem fit lineae e ad lineam

a B b,quia ergo maior eft proportio linea; a ad lineam b cjj$

jj linea: c ad linea d,ex hy pothefi patet ,q> minor eft pros

. portio lineae e ad lineam b c{j lineae a ad lineam b , ergo
per io .quinti linea a eft maior qj linea e,& quia eft proportio lineae e ad lineam b ficut
lineae c ad lineani d,erit per preemiflam cade proportio linea b ad lineam e,qua linea d
ad lineam c.Eft autem per 8. quinti minor proportio linea b ad lineam a qj ad lineam
e,cft ergo minor proportio linea b ad lineam a cjfj linea d ad lineam c,qd* eft propolim,
vn.

Si quatuor quantitatum proportionabiliu prima fuerit maior cp fecun*
da ,& tertia maior cp quarta,erit euerfim eade proportio primae ad augmen
tum fui fuper fecundam,quae tertia: ad augmentum fui fuper quartam.

Sint quatuor linea .pportionalcs a c prima,b c fecunda,d f tertia, & e f quarta. Sft£p
linea a b maior cfj linea b c,& linea d f maior cp linea e f

. excedat quoqj linea a c lineam b c in linea a b,& linea b

B c f lineam e f in linea d e,Dico,q> eadem erit proportio li

neaacadlineamab,qualineadf ad lineam dc,quoni

* — e y am enim eft proportio linea; a c ad linea b c ficut linea;

d f ad lineam e f ,eft ergoper 1 6,quinti permutatim pro
porrio linea: a c ad lineam d f ficu t linea: bc ad lineam er, ergo per 19. quinti erit pro-
portio linea; a b ad lineam d c ficut linea; a c ad lineam d f,ergo per 4,huius erit propor
rio linea: a c ad lineam a b ficut linea: d f ad lineam d e,quod eft propofitum.

VIII.

Si quatuor qua titatum prima fuerit mafor fecunda, & tertia maior quar j
ta, erit maior proportio prima; ad quartam qj fecunda; ad tertiam.

Sint quatuor linea: a b c d,& fit a prima maior b fecunda,& fit c tertia maior cjj d
quarta. Dico,q? maior eft proportio linea; a ad lineam d cfj li*

nca: b ad linea c,quia enl linea c eft maior qj linea d, ex hypotheli

A c patet per 8 ,quinti,quoniam maior eft proportio linea; a ad line.1

g — 3 dqjad lineam c, minor ucro eft proportio linea: b ad lineam c cjj

linea: a ad lineam c per eandem 8 .quinti,quoniam ut prxmifluna
eft, linea a eft maior qj linea b,& quonia quicquid eft maius maiore eft maius minore,
patet , q> maior eft proportio linea; a ad lineam d qj linea: b ad lineam c,patet ergo pro
pofitum. . IX.

Cum quatuor quantitatum prima fuerit maior cp tertia , & fecunda mi*
nor qj quarta,maior erit proportio prima; ad fecunda cp tertia; ad quarta.

Sint quatuor linea; a prima, b fecunda, c tertia, d

•— - c quarta , ficfcp a maior c p c ,& fit b minor cfy d. Dico , q»

maior eft proportio a ad b qj c ad d, quonia enim linea

— - — . . aeftmaior c{j linea c,patet per 8. quinti, quonia maior

0 eft proportio linea* a ad lineam b linea: c ad linea b,

fed quia

LIBER PRIJWVS, 4,

Sed quia ex hypo thcfi linea b e fi minor cp 1/nea d, patet per eande 8 .huius quinti, quon*
am maior e fi. proportio linea: c ad lineam bcpad lineam d,eft ergo maior proportio lis
nere a prima: ad lineam b fecundam cfj linea: c tertia: ad lineam d quarta,& hoc eft proa»
politum. x.

Si quatuor quantitatum fuerit maior proportio primas ad fecundam cp
tertiae ad quartam,eritpermutatim maior proportio primas ad tertiam cp
fecundas ad quartani .

Sint quatuor linea: a b c cl,{it($ proportio a ad b maior cp c ad d.

Dtco,q> erit permutarim maior proportio linea: a ad lineam c cp lia»

ne* b ad lineam d.Sit enim per 3 .huius proportio line* e ad lineam B

b ficut line* c ad linea d,erit ergo ex hypotheli & ex 1 o, quiri linea E

e minor cp linea a,ergo per 8. quinti maior eft proportio line* aad lineam e cp line* e
ad lineam c.Eft autem ex prarmilfis 8i per 1 «S.quinti ,pportio line* e ad lineam c ficut
line* b ad lineam cfpalam ergo,quoniam maior eft proportio line* a ad lineam ccp li-
ne* b ad lineam d,quod eft propofitum.

XI.

Cum quatuor quantitatum maior fuerit proportio primas ad fecundam
cp tertias ad quartam, erit coniuncftim maior proportio primas & fecunda:
ad fecundam cp tertias# quartas ad quartam.

Efto 4,lineap* a b c d maior ^portio a adbcpcad d.Dico, q> totius line* a b ad \i*
nea b maior erit .pportio cp totius line* c d ad linea d.

Sitem p 3. huius $ portio line*eadlinea b, q linexc ^ —

ad linea d,eft ergo ex hypotheli maior ^portio line* a

ad linea bcp line* e ad linea b,ergo g 1 o. quinti linea a E 5

eft maior cp linea e.T ota ergo linea a b eft maior cp to __

ta linea c b .ergo g 8 .quinti ntaior eft ,ppor tio totius 1< £

ne* a b ad linea b cp totius line* e b ad linea b,g 1 8 .uero qulti eft .pportio line* eb ad li
nea b,q line* cd ad lineam d,eft eni ex pmiftis pportio line* e 'ad linea b ficut line* c ad
linea d. Eft ergo maior pportio line* a b ad linea b cp line* c d ad linea d,qd eft ppofi*
tum . XII

Si quatuor quantitatum proportio primas & fecundas ad fecunda fit ma*
iorcp tertias & quartas ad quartam, erit difiuneftim maior proportio prima:
ad fecundam cp tertias ad quartam*

Sit proportio totius line* a b ad eius partem linea b maior cp totius line* c d ad eius
partem d.Dico, q» erit diliuncfhm proportio line* a ad lineam b maior cp line* c ad lis
neam d.Sit enim per 3 .huius proportio line* e b ad lineam b ficut line* c d ad linea d,
erit ergo cx hypotheli maior p portio line* ab ad lineam b cp line* e b ad eandem line
am b,ergo per 1 o .quinti erit linea a b maior cp linea e b,abla

ta ergo utrobiqj linea b comuni, relinquit linea a maior <p \ie -

nea e, eft ergo per 8. quinti maior pportio line* a ad lineam

b cp line* e ad eandem linea b.Scd per pr*mifta eft propora» ^ :

tio line* e b ad lineam b ficut line* c d ad lineam d,crgo per

1 7. quinti eft proportio line* e ad lineam b ficut line* c ad lineam d,erit etgo maior p
portio line* a ad lineam b quam line* c ad linea d,# hoc eft propofitum .

xm,

‘ Quarumlibet trium quantitatum quocp ordine dilpofitarum ,quar ume
di* ad utramcp extremarum aliqua fitproportio,erit proportioprimasad
tertiam compofita ex proportioe prima: ad fecundam #fecund*ad tertia,
ex quo patet quod proportio extremorum ad inuicem componitur femper

ex pro-

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
ex proportione mediorum ad inuicem 8t ad ipfa extrema.

Sint extra gradus tres lines quas a b g,quaram prima quae cft a fit maior cj media
quae eft b,8i b fit maior cjj tertia quae eft g,fit'cg ipfius b ad ambas extremas .pportio no
ta.Dico,q> proportio lines a ad lineam g tertia componitur ex proportione linea: a ad
lineam b,8d ex ^portione lines b ad lineam g,quonia enim proportio lines a ad linea
b eft nota,fit quantitas d denominatio illius ,pportionis,8<: fimiliter quia proportio li-
nes b ad lineam g eft nota ,fit denominatio illius .ppoitioms quantitas e ,dt fit quanti -
tas z denominatio proportionis lines a ad linea g.Dico,q> ex ducftu e in d fit z , quonia
enim per diffinitionem ex duduz denominationis ^portionislinesaadlineam g in
ipfam lineam g minorem cfj fit a fit linea a, fimiliter &

ex ducftu d ad lineam b fit linea a. Proponitur itaejj z

& Q primum &dfecundCE linea b tertium & linea gquartu,

5 e ' qui a itaqj illud quod fit ex ducftu primi in quartum eft

^ squale ei quod fit ex ducftu fecundi in tertium, patet g

i j-.fexti, quonia eft proportio primi ad fecundum ficut
terti} ad quartu,eftergo ^portio z ad d, ficut lines b ad lineam g,crgo denominatio ps
portioniszaddexfuppofitioeefteademcu dcnolatione^portioislines badlinea g,
led denominatio ,pportiois lines b ad linea g eft quatitas e. ergo denoiatio ^portionis
z ad d eft idem e, ergo ex ducftu e in d fit z ,quia ergo denominatio ^pportiois lines a ad
linea g quae eft z producit ex ducftu denominationis ,pporti6is lines a ad linea b in de*
nominatione ^portionis lines b ad linea g, patet per diffinitione, quoniam ,p portio li
nes a prims ad lineag tertia coponit cx^pportioe lines a prims ad linea b fccunda,8£
ex ^portione lines bfccunds ad linea g tertia c]d eft propofit3 primum. Eodem quo
q$ modo poteft faciliter demoftrari de quocuqj medijs inter quslibet duo extrema collo
catis,femper enim .pportio extremorum ad inuicem componit ex omnibus ,p portioni
busmedioru ad inuicem.Et ipfa extrema fimiliter demonftrandi uiadiuifionis,fi me*
diam contingat efle maiorem qualibet extremarum, patet ergo propofitum.

XI III,

Si linea recfta fiiper duas recftas ceciderit,feceritfp angulos coalternos in*
2cquales,autduos intrinfecos minores duobus recftis,uel extrinfecum in*
aequalem intrinfeco,illas lineas ad minorum angulorum partem concur*
rere eft necefte, ad aliam uero partem impoffibile,5dfi lineae concurrunt ,ne
cefle eft dieftos angulos aliquo propofitcirum modoru fe habere.

Sint dus lines a b c d,quas fccct linea e f fccundu quod ,pponitur.Dico , quonia
lines abSdcd concurrent, fi enim non concurrant, patet q» fiint squcdiftatcs , ergo per
29. primi fequitur contrariu hypothe,q> eft inconueniens,con
currunt ergo,ad partem uero minorum angulo^ cocurrerceft
\ neceflarium, quonia fi ad partem maiorum angulorum cocur-

Ny ^ rant,fequeretur angulu extrinfecum trigoni tanti fieri minore

\ angulo intrinfeco,&eft contra j 6.Qi 3 2.primi,& quia per prs

mmaspropofitionesadpartesminorum angulo^ concurrat,
fi ex conceflo ad partes maiorum angulo^ concurreret, fcque*
retur recftas lineas fuperficiem includere, cp cft impofilbilc. Eft
ergo impoflibi!e,ut ad partes maiorum anguloit concurrant,
quod cft propofitum primum. Sed & fi detur q> ilis lines con-

bereper 3 2.primi,patetergo totum

currant, necefie eft angulos aliquo propofttojj' modorum fe ha
quod proponitur,feruata femper fiypothefi.

Cum lin eis fe in ter duas lineas aeq uedi ftantes,a quaru m terminis produ
cuntur,fecantibus ex utracp parte fecftionis, partes eiufdem lines inter fe fue
rmtsequaks,nccefTe c ft lineas,inter quas ftt fecftio3a:quaks effe.

Verbi

LIBER PRIMVS,

Verbi gratia :Sint Ut duae linea: a b & c d inter duas lineas squc* ^
di flantes, a quaru m terminis producuntur, qua: fiint ad&cb, fecent
ie in pundo e,it a,q> linea a e fit «qualis lines e b,& linea c e fit «qua*

Iis ipfi c d.Dico,q> linea a d eft squal is linea: e b, qn enim per i j-.prf*
mi angulus a e d eft «qualis angulo c e b, erit ex hypothefi &per ^.pri
mi linea a d «qualis Iine« c b.quod eft propofitum ,

xvi. ,

Si per terminos duarum linearum axjuediftantium 5C in
squaliu reda: producant,illas ad parte minoris linea: cocurrere eft necefte*

Sint du«line« a b & c d «quediftantes di insquales, fitfcg linea c d minor c£ linea
ab,producanturfc|3 per terminos ipfarum line« a c c —

& bd.Dico,q> ilis fines a c&bd concurret ultra - — ---

lineam c d, producatur enim linea c d ultra pundu
d ad pundu c,fiatcg per tertiam primi linea c e «-
qualis lines a b,& ducatur linea b e.Hic itacg linea
b e per 3 3 .primi eft squediftans lines a c,ergo per
2. huius cum linea b d concurrat culinea b e in pun
do b.Patet,q> ipfa concurrit cum linea a c,qus s *
quediftat lines b e,fed di ad partem lines c d, qus
eft minor cp linea a b concurrere eft necefle per 1 4.huius,uel per 2,fexti,patet ergo pro
pofitum,pundus enim concurfus plus qui eft f,erit ultra lineam c d.

XVII.

Linea: reda: continentes angulos aquales cum line a reda ,cui ad unum
pundum incidunt,(imuliunda:,{unt breuiores omnibus lineisab eildem
terminisfupereandemlineamad unum pundum alium produdis , conti=
nentibus cum eadem linea angulos ina:quales fimul iundis.

Sic linea reda qus a b c f ,& fint duo punda d di g,a quibus dus line* g b &d b ,p-
duds iilper lineam a b c f, contineant angulos
squales, ita.ut angulus a b g (it squalis angu*

Iocbd.Dico,q>fii pitndis d&g ad aliquod
aliud pundum lines a b c f ,q> fit c, fines duds
contineant insquales angulos, ita, ut angulus
g e a fit minor angulo f c d,q> lines gb ab d fi
muliundsfupermmoresduaslineasgc di d
c fimul iundis.Ducat enim £ pundo g fuper
lineam a f perpendicularis per 1 2.primi , qus
fit gh,& producatur linea gh ultra pundu h,

& producatur d b donec concurrat cum linea g
h produda,concurrent autem per 1 4. huius, fit
ergo pundus concurfus k,8d coniungatur linea k c,8<! quonia angulus d b c eft squalis
angulo g b h,ex hypothefi & angulo n b k,ex 1 5-, primi paUm,q> angulus h b k eft «qua
lisg bh,(cd anguli ghb&khbfunt «quales, quiaredi,crgo per 3 2.primi trigoni gh
b & k h b etiam sque squi anguli, ergo per 4.fexti,cu linea h b fi t comunxs di squalis fi-
bijpfi,erit linea g b squalis lines k b,&! linea g h squalis lines h k.Et eadem rattoe per
4.primt erit linea g c squalis lines k c,quia uero per 20 .primi linea k d tn trigono k d c
minor eft ambabus lineis d c & k c fimul iundis,& linea g b squalis eft lines b k, & Ii*
neagcsquahs eft fines kc,pabm,quiaanibs lines gb&db fimul iunds, minores
funt ambabus lineis d c & g c fimul iimdis,fimifiter quoq? de quibufcuncK lineis i pun-
dis g&dad lineam a f produdis eft demonftrandu , patet ergo propofitum.

XVIII.

Linea: reda: continentes angulos aequales cum linea conuexa,cui ad unui

b pundum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

putidum incidunt fimul iundae,funt breuiores omnibus lineis ab eifdern
terminis fuper eandem lineam ad unum pundum alium produdis , conti*
nentibus cum eadem linea angulos inaequales ffmul iundis.

Sit linea curua a b c, fuper cuius conuexum a pundis g&d incidantline* d a & g a
continentes angulos *quales,ita,ut angulus c a g fit aequalis angulo b a d. Dico, q> fi du
cantur ali* line* i pundis g di d fuper lineam ab c,ut g b & d b,cotinentes angulos in-
arquales cum linea a b c,q> ambae line* g a 8i d a fimul iund*, erunt breuiores duabus li
neisgb Si db fimul iundis.Ducacur enim linea ef, contine
gens arcum a bempundo a per- 1 6. tertrj, anguli ergo cotin-
genti* qui funt e a c & f abfunt*qualespcr ly.tcrtq.fed an-
guli gac&dab funt *quales cx hypothe (ferunt ergo angu
Iigac&d af *quales,& ad pundu ubi linea g b (ecat lineam
e f,q> fit Zjducatur linea d z ,ergo per pr*cedentem amb* lia
ne* g a & da funt breuiores ambabus lineis gz&dz,cum
angulus g z a fit minor angulo g a e,& angulus d z f fit ma
ior angulo d a f per 1 6. primi. Sed linea g b eft maior cf; linea
gz,quiatotu parte & linea db eft maior cp linea dz per 19,
primi,quonia angulus d z b eft maior angulo fiti trigoni, pas
tet ergo ^pofitum in arcu circuli conuexo,& eode modo de*
monftrandum in quacunq? alia columnali uel pyramidali fe
dione fecundum ipfius conuexum, patet ergo propoli tum.

xix.

Vna linea redam duabus fuperficiebus planis exiftente,necelTe eftutil
lac dux fuperficies fecundum illam lineam fe fecent ,

Sint du* fuperficies plan* abcd&cde f,in quaru utraq? fit linea c d.Dico,cjj fil*
du* fuperficies fecant (c fiiper linea c d.Si enim ill* du* fuperficies aci linea

c d ut ad comunem terminu per modum unius fuperficici contingenti* co

pellerentur, tunc patet quod ipfxfunt partes unius fuperficiei , di non du*
iiiperficies,quod eft centra hypothefim , quod fi ipf* tupcvficies datam li-
neam c d pertranfcanqnec ad ipfam.ut ad communem terminu coputen-

D tur, palam per 3 .nifi cum ipf* ad inuicem fe fcccnt, cp ipfis aliqua linea eft

comunis.aut ergo fccant fe fuper linea c d,& habetur pr opofitir, aut iiiper
aliam qua continet datam, di tuc cu illa fit ambabus ,ppofi tis fuperficiebus
comunis per pr*nominata tertia, nifi di eildcm fit linea cd comunis cx hy

i pothcfi, (equitur ,ut du* plan* iupcrficies illas duas lineas internectes cor

pus includant, qcfeft ipoflibile di cotra fuppoliti'one,patet ergo^ppofrtu.

XX.

Ab uno pundo in aere dato/uper unamquacp fubftrudam planam uel
p couexafuperficieguna tantu gpendicularis duci poteft.

Sit data iiiperfictes plana a b c d,&! datus in aere pundus e.
Dico,q> 3 pundo e ad fubftruda fiiperficiem unam tantum per-
pendicularem duci eft poffibile,fi enim impolfibile fir,uc fuperfi
dem plana datam qu* a b c d, ducantur i pundo e du* perpetis»
dtculares,qu* (iint effice g,quia itaqg line* e f & c g angularia
ter coniunguntur in pundo e, patet per a.undccimi, quoniam
ill* du* line* iunt in eadem fupcrficie,& qtionia line* ill* funt
perpendiculares fuper fiiperficiem a b c d.erit fupcrficics,m qua
iiint line* ill*,c reda iiiper fiiperficiem a b c d. Huius itaqj (iipfl
cici di fuperficiei a b c d comunis fcdio eft linea f g per pr*mi&'
iam,in trigono ita cp e f giimtduo anguli redi, fcilicetcfg di e
g f per diffinitionem line* credas fuper fuperficiei», hoc autem

eft im-

LIBER PRIHVS, 6

eft /mpofllbile Si contra 3 i.prim/,q> hoc ctia patet in fiipei ffc/ebos conuexis,quia enim
ut per diffinitionem omnis linea perpendicularis fit qua cotinet fuperficie conuexa, eft
perpendicularis fu per plana iiiperflcie ipfam conuexa , fuperficiem in puncto inciden-
tia: linea: illius contingente,patet,quia in omni fuperficie conuexa idem accidit impbf
fibile.Si enim fit fuperficies fphairica conuexa, in qua fit arcus f g,fit ut ipfam contin-
gat in pundo ffuperficics plana.in qua ducatur linea h f k,& in pudo gfuperficies pia
na, in qua fit linea 1 g m, palam ergo ex prxmiffis.quia anguli ef k&egf funt redi„p*
duda queee^ corda f g,pahm,quia anguli e f g & e g f funt maiores redis quod eft im-
poffibile.non eft ergo poflibile abuno pundo dato plus una perpendiculari duci ad fu
perficicm plana uel conuexam,patet ergo ,ppoficum,quonia in quibufcuncp alijs conue
xisfuperficiebus eft eodem modo demonftrandum.

XXI.

Omnium lineam ab eodem pundo ad eandem fuperfidem planam uel
conuexam produ<ftarum,minima eft perpendicularis.

Efto fuperficies plana b cd,& pundumextra fignatum a,a quo ducantur plurima:
linea: ad fuperficie data, ut contingit,fciIicet ae,a f,a g ,a h,fola tamen a e fit perpendi
cularis.Dico,q> linea a ceft omnium aliarum
breuiflima , ducantur a linea ef ,eg,eh,8d
componansur trigona orthogonia , palam
itaq? cum per 3 z. primi angulus redus fit ma
ior in quolibet trigono orthogonio , quonia
linea aeper 19. primi breuior eft qualibet li-
nearum a f,a g,a h,& ctia aliarum quarumcu
cp fic produdarum.patct ergo propofitu in
planis,fed Si in conuexis patet idem, quonia
fi perpendicularis fuper conuexa Iuperficiem
fitaCj&fitbcdi fuperficies plana continges
fuperfidem conuexa fecundum pundum e,
ducanturip lineae af,a g,a h fiipcr fuperficie
planam, erunt illa: omnes maiores perpendicularcs,fed exdem
ciem conuexam funt maiores,patet ergo propofitum.

XXII.

Duda: i fupremo termino linese fuper fuperfidem ereda: ad lineam per
pendicularem,cuicuncglinea: a pundo incidentia: linea: reda: in fubieda
fupficie ^trada^necefie eft correda linea fuperiacentc perpcdiculare efTe.

Sit pundum in aere datum quod fit a, i quo ad fuperfidem planam fubiedam qua:
fit bed, erigatur linea per 1 z .undecimi qua: fit a b .incides data* fuperficiei in pundo b.
Si in fuperficie b c d ducatur linea d c ut placuerit^ i pundo b ducatur perpendicula-
ris fuper linea d c,qua: fit b d,& copulctuv,linea a d eft perpendis
cularis iiiper lineam d c.Sumatur enim in linea d c quodeuq; pun
dum ut c,8i ducatur linea a c,b c,quia itacp linea a b eft ereda fu
per fiiperficiem b c d, patet per diffinitione lineae ereda: , quonia
angulus a b c eft rcdus,ergo per penultima primi quadratu lineae
a c eft acqual e duobus quadratis linearum a b & b c,fed 8i quadrae
tum linea: b c eft arquale duobus quadratis c d Si b d per cande pe
nultimam 10. q> linea b deft perpendicularis fuper lineam cd ex
hypothefi,quadra tum itaqj linea: a ceft aequale tribus quadratis
trium linearum qua funt a b & b d & c d,fed quadratum linea: a d
eft aquale duobus quadratis duarum linea je ab&bd, quadratu
ergo linea: a c eft aequale duobus quadratis duarum lineale ad Si dc.ergo per ultimam
primi angulus a d c eft redus, patet ergo,q> linea a d eft gpcndicularis fiip linea d c,quod
eft ,ppofitum. b ij Duabus

PERSPBCTIVAE VITELLIONlS

XX III.

Duabus planis fuperficiebus aquedi flatibus, una linea retfla incidente,
qutc ad altera earu erit perpedicularis,erit quoq? ad reliqua ppendicularis.

Sit ut duabus fuperficiebus planis & aequediftantibus incidat una linea quae a b uni
^ c ipiarum in pundlo a ,& reliqua in pundlo b.Dico,q> fi linea a b fuerit

ppendicularis fuper ana ifiart fiiperficiejs*, q> erit ppendicularis & fu
per reliqua, & a pundlo a ducatur in altera fuperficieru illa jk linea re
dia qua: a c>& in reliqua a pundlo b ducatur linea bd, palam itaq?,
niam line* a c Si b d a:quediftant,m infinitum enim .ptradla: no con
current, quia Si iiiperficies in quibus iimt,non concurrunt.Si itaq? al
ter angulo;^, qui b a c uel a b d fuerit redlus,palam (emper per zp.pris
mi.quonia Si reliquus ipiorum erit redlus,& quonia eodem modo po

^ refliioc declarari de omnibus lineis in fuperneiebus hinc inde diidlis

i pundlis a Si b,patct,q> linea a b cum fingulis fibi con termina tibiis
tincis in utra q? fuper ficierc illarum produdlis angulos redlos facit. Si efl ergo linea a b
ppendicularis fuper altera fupcrficicru,palam,quia eft perpendicularis fuper reliquam
ipfarum,8i hoc cft propofitum.

Si dua; fuperficies uni fupcrficiei xquedi flantes fuerint, eaedem inter fe
erunt aequediflantes,fuperficies quocp concurrens cum una aequcdiftantiu
fiiperficierum 8C cum reliqua concurret .

Sine dux fuperficies abcSighk aequcdiftantes uni iuperficici qu* d c f .Dico, qi it*
C ix dua: iiipcrficies a bcSig h k neceflario adinuicem aqucdiftabunt, edu-
catur enim i pundlo 1 fuperficici a b C linea ppendicularis iiiper illafuperfls
ciem per i z. undecimi, qua: fit 1 m,palim itaq? per prxmiflam, quonia illi
E linea 1 m ultra alterutrum iliorum terminoprerit /pfa per eandem pra-mifis
fam ppendicularis fuperficiem g h k,a'qucdiftanrem fuperficici a b c, quia
itacp una linea 1 m fuper duas fuperficies a b c & g h k orthogona liter infis
-jt, ilit, patet per 14. undecimi, q? illa: dua: fuperficies,ctiam fi in infinitum
trahantur 5nunqj concurrcnt/unt ergo xqucd iftan tes, pa tet propofitu prl
per hoc di per z .huius patet etia fecundum jppofitum ,

XXV.

Omnes I/nea?ppendiculares inter lineas uel fuperficies seque
cfiflantes dudlx, funt xqued itantes dtxquales.dC fi lineae reda: lineis uel fu
perficiebus xquedi flantibus ad angulos aequales incidant, funt ecquales.
Sint dua: line* abfidcd arqucdifta ntes, inter quas duca ntur linea: perpendiculares
quceefSfgh.Dico, qdinesr ef Sdgh funt tequedi-
ftantes &a:quales,q> enim iimttcqucdifta tes, hoc pa
tet per z8.primi,q>ctia funt ecquales pacet per 34.
prfmi,&: eodem modo dcmonftrandu eft, fi linea: a b
& c d funt in fuperficiebus a:qucdiftantibus fignata*,
qcl fi line* e f & g h non per pendiculariter,(ed ad an
gulos aquales incidant.dudlislineis uel iiipcriicic-
bus,ita,utangulusgh cfita:qnalis angulo e fd,cn?t
ctiain line* g h dic 1 *quales, concurrent enim per
1 4. huius, fic ergo punctusconcurfus k,quia iraqj an
gulus k f h eft aqualis angulo k h f,cx hypotheu erit
per 6. primi trigoni k f h latus k f arqualc lateri kh.
Sed p zp,& per 1^. primi erittrigoni keg la tuskc
sequale lateri k g, relinquitur ergo linea c f arqualis linea: g h, quod cft propofitum , in
fuperficiebus quoqj a:quediftantibu$ lignatis lineis a b & c d eadem eft demoftratio,pa
tet ergo illud quod £ ponebatur. Cui-

LIBER PRIMVS,

XXVI*

Cuilibet angulo dato bafem ecqualem data: linea? fub tendere»

Eft angulus datus a b c.8i linea da ta d e,feparetur itaqj a linea b c,2*f ex parte
cfli b linea b f,non maior medietate line* d e per 3 .primi, in pu
(flo f polito pede circini immobili,defcribatur circulus fecundum
quantitate femidiametri, de hoc itacp fecabit neceflario latus b c
per zo.primij&f cum latus bf non fit maius medietate line* de.

Sit ergo iit fecet ipfam in puncflo g,8<f ducatur linea g f, hic itacp
neceflario erit *qualfs line* d c per circuli diffinitione, patet ergo
propofitu.Poteft&f idem aliter demonftrari,a puncflo enim b du-
catur linea b h angulariter,ut contingit fiiper linea a b,qu* per 3 .
primi fiet aequalis dat* line* de,&d puncflo h ducatilr *quedi-
llans line* a b per 3 1 .primi,qu* per fecundu huius neceflario co
curret cum linea b c.Sit pundlus concurfus k.&f i puntflo k duca*
tur linea *quediftans line*b k,qu* fitk I, eri tquocp fiipcrffcics
b h k *quediftantiu laterum,ergo per 3 4.primi linea 1 k eflsqua*
lis line* 1 h >ergo & line* dat* qu* eft d e,pa tet ergo propofitum.

xxvir.

Datis duobus angulis intequalibus, ex maiore ipfbrum a:*
quum minori refecare.

Sint duo anguli dati a b c,d e f,fi t a b c maior &dcf minor, propo-
fitum eft,ut ex angulo a b c refecetur angulus «qualis angulo d e f, hoc
ante fiet per 1 3. primqfi fuper b terminum line* ab intra angulum ab
c fiat angulus *qualis angulo def, qui fit a bg>&: hoc eft ,ppofitum,

XXVIII*

Datumangulum reefiumin tres partes ecquales dfutdere.

Non indiguimus quo ad pr*fcns propofitu diuifione aliorum angu
Ion; in partes tres*quales,(edfblurecflo, 8cfob hoc no proponimushic
nifi de recflo in uniucrfaliori fcientia,ut in ea qu* de elementaits coclu- “
fione unfuerfalfore digna ,ppofitu exiftimantes . Sit itacp an
gulus recflus a b c,que in partes tres a’quales uolumusdiurde
re,afliimatur ergo linea qu*cunqj & fit b c,ftiper qua conilis
tuatur trigonum *quilaterum per prima primi, q> lTtdf c,ai
ius angulus d f e diuida tur per *qualta per 51. primi, ducfla li-
nea f g, erit ergo angulus dfg tertia pars unius recfli ,cum
ipfc (1 1 g pars duorum recflorum per 3 3 .primi, ergo per pro-
cedentem angulo recflo a b e rcfecetur angulus a b h aqualis
angulo d f g ,& diuidatur angulus h b c per aqualia per p.prl
mi, patet ergo pro politum. ■

XXIX. /A

Linea diuidens angulum alicuius trigoni pro*
ducfla , bafem fubtenfam illi angulo neceflario feca-G
bit.Sd fi linea fecans bafem ad pun<flum,concurfus Ia=
tcrum trigoni producatur, illa angulum bafi oppofis
tum fecabit*

Sit ut linea d b fecet angulum a b c trigoni a b c. Dico,q>
eadem linea b d producfla, neceflario fecabit bafem a c fili an*
gulo fubtenfam.Si enim non fecabit bafem a c, concurret tas
inen cum producfla ac per i4.huius,ideoquiaanguli bacSf
a b f fune minores duobus recflis ex hypothefi & per )z.pti*

b iij m/, (it

PERSPECTIVAE V I TB4 L I O N I S'

ergo concurflis in puncfto f ultra puncftum c,eftergo trigono
a bc&abf angulus bac c5munis,&angulusbca maior angulo bf
c per i <S.primi,erit ergo per 3 z.primi angulus a b f maior angulo a b
c,non.ergo fecat linea b d f angulum ab c,cadet itaq; neceflario inter
puncfla a 6< c ,& ita fecabit bafem a c,quia fi etiam caderet in pundhun
a,uel in pun&um c,non adhuc diuideret angulum a b c,patet ergo £*
pofitum prfmu, patet etia&reliquu ,ppofitory,quonia fi linea b d fecet
bafem trigoni a b c,& applicetur pundo b,qcf eft p uncius concurliis
; laterum a b & c b, patet q? linea b d fecabit angulum a b c.Sit enim per
1 6. primi angulus a d b maior angulo a c b,fed angulus b a c eft cornu
nis ambobus trigonis a b c 8i a b d,ergo per 3 z.primi angulus a b d eft minor angulo a
b c, eft ergo reledus angulus a b c per lineam b d,qcP eft fecundum propofitorum.
xxx.

Ab angulo dati trigoni linea perpendiculariter ad bafem producfta, li re
dium angulum fub partibus bafis contentum,maius fuerit quadrato perpen
dicularis,necefle eft angulum a quo fitdu&ioobcufum efle, fi minus acu*
tum, fi arquale redlum .

Sit datus trigonus a b c,£ cuius angulo b a c ducatur linea ppendicularis ftiper ba-
lem b c,iecet'cj3 ipfam in pucfto d,& fit a d,fit'cp illud qcP fi tex du <fhi b d in d cmaius qua*
* drato linece a d,Dico,quia angulus b a c eft obruitis, patet enim per

1 6.iexti,quia non eft ,pportio lineor b d ad linea a d,qure linece a d ad
linea d c.Sit ergo per 1 o , (bcti.ut quce eft ,gportio linece bdad lineam
a d.eadcm fit linece a d ad linea g e,erit ergo illud qd* fi t ex dutftu Uncx
b d ad lineag e cequale qUadrato linea a d per i6.fexti, & quia illud
qd* fit ex du&u lineat bd inlinead c,eft maius quadrato linece a d,pa-
tet cp liriea g e eft minor cp linea d c per prima fexti, abfeindatur ergo
& linea d c ecqualis linea? g e per 3 .primi,&! fic d f,ducatur'q3 linea a f,
\c qniaitaqj illud quod fit ex dudu linece b d inlinea d f ,cft cequale qua-
n F drato linece a d, patet per 1 <5.fexti,quoni5 eft .pportio linece b d ad li*

neam a d,ficut linece a d ad linea d f, erit ergo per conuerfam 8. fexti angulus baf re-
cftus,ergo angulusb a c eft maior rcdo.Similiterq^ dcmonftrandum,q> fi illudqcP fitex
dudu b d in dc fit minus quadrato ad.quonia angulus b a c eft acutus, nam per eande
dcmonftratione pa tet etiam per eandem conuerfam 8.fexti,quonia fi illud qcr fit ex du~
du line* b d in linea d c,fit squale quadrato linece a d,quonia angulus bac eft redus,
patet ergo propofitum.

xxxr.

Ab angulo yfoclieles dutfta perpendicularis fuper bafem 111 duas parti*
ales fimiles trigonos d’iuidit yfochelem,ex quo patet, q> linea perpendicula*
ris ad medium puntftum bafis neceflario pertingit.

Sityibchcles a b c,cuius latera a b & a cfint cequalia,& ab angulo bac ducatur fir*
per bafem b e ppendicularis a d:Dico,q> ,p poli tus yfochelcs diuifus
eft in duos trigonos partiales fimiles,quoniaenim per y. primi an*
gulus a b d eft aqualis angulo a c d,ied & per diffinitionem ppendicu
laris anguli a d b &a d c funt a:quales,quia redfpatet per 3 z . primi,
quia anguli b a d & c a d limt atquales,ergo trigona a b d & a c d funt
atquiangulf,ergo per 4. fexti latera illorum trigono^ atquos angulos
rcfpfcicntia funt,pporrionalia,{unt ergo illa trigona parcialia,quce a
b d & a c d fimilia per diffinitionem fimilium trigonoiv, patet ergo ,p
pofitum primum.&quoniailla trigona a bd &a cd funt fimilia,&
c eorum latera a b& a cfiint ecqualia, &Iatus a debmune, patet, quia
etialatera c d di b d funt ecqualia, linea ergo perpendicularis quce a d, neceflario pertin=

git

LIBER. PRIJKV.S* 9

Sit ad medium pundum line* b c, quod eft propoli tum fecundum.

XXXII,

Linea duda a quocunqj pundo unius lateris trigoni prodii dii, ultra tria
gonu fecas latus ab illo pudo remotius &C ,ppinqui us illi nece dario fecabit.

Sit trigonum a b c, cuius latus a b producatur ultra pundum b ad pundum d, & i
pundo d ducatur linea d e fecans latus trigoni acin pundo e,

Dico,q> d c nece dario fecabit latus b c .Si non fecabit latus b c,
fed lolum latus a c,ducatur linea d c, & producatur incontinuCi
& diredum, fecabit ltacp lincad c in aliquo pundo linea d e, quo
niam cum linea d cexeat i pundo d,a quo exit etiam linea d e,8C
terminetur ad pundum c interiacens pundum c, neceflario illa
fecabit, lit pundus fed/onis f, palam itaqj,quonia du« reda: I i*
ncse qua funt df Sddef includunt fuperficiem,qd' eft impoffibi
le. Idem quocp accidit, fi line de ducatur extra lineam bc ultra
pundum a, quod eftpropofitum.

XXXiir,

Si apundis terminalibus unius lateris triaguli dux
reda: exeuntes, intra trigonum ad pundu unum conue
niant, erit angulus inferior azqualis fuperiori , 6C duo*
bus angulisinterlineas dudas,ad alia duo latera trigoni contentis.

Sit trigonum a b aiius unius lateru a bpundis terminalibus quae
fiint a & b ducantur lineae taliter, ut intra trigonum a b c concurrat in pun
do d.Dico,qj angulus a d b eft «qualis angulo a cb,& infiiper duobus an
gulis cadfiCcdb.q» enim angulus a d b fit maior angulo a c b,hoc patet ji
z i .primi.Producatur itaqj linea d c ultra pundum d irfcp ad pundum c,
eft itaqj per 3 z. primi angulus e d a «qualis duobus angulis dca8Cdac,SC
fimiliter angulus e d b «qualis eft duobus angulis d b c & d c b, totus ergo
angulus a d b «qualis eft angulo a c b,& angulus d a c dC d c b,qaod eft p-
pofitum. x x x 1 1 1 1. ■

Lineaajqualis&sequediftans bafi' alicuius trigoni uicinior ^
angulo fupremo, maiori angulo neceflario iubtenditur ♦

Efto trigonum a bc, cuius bafi a c,uicinior a b c , ducat
linea «qualis & «quediftans qu« fit d e.Dico,q> fi i pundo
b ducantur line« b d & b e, quia angulus d b e eft maior an*
gulo a b c.quia enim linea d e eft «qualis line« a c , palim,
quia ipla fit produdafecat lineas a b&bc argumento ly.
huius, q> etia patet ex altjs.Omnfe linea cadens intra trigo*
num fecans latera eius & «quediftans b a c, eft maior bafe
per zj). primi 8C 4,fexti.Sccet ergo linea d e latas b a in pus D
do f,6Cla tus bc in pundo g, quia itaqj per 1 <5. primi angu
lusbgf eft maior angulo b e g,eric per z? . primi angulus
b c a’maior angulo b e d,& eadem ratione angulus b a c eft
Imior angulo b d e, neceflario ergo per 3 z. primi erit angu*
lusbde cum angulis minoribus ualens duos redos ma ior angulo a b c,ualentc cu duo*
bus angulis maioribusduosredos,patetergo propofitum,

XXXV,

Tn trigono orthogonio ab uno reliquorum angulorum produda linea
ad bafem,erit remotioris anguli ad propinquiorem redo minor ,pporrio,
tp partis balis remotioris ad propinqniorem.

Sit trigonum orthogonium a b c, cuius angulus b a c fit redus,& i pundo b ducas

tur ad

PERSPECTIVAE VITELL10NIS
tur ad latus a c,qcF cft bafis anguli a b c.linea reda quae fi r bd.Dico,qj minor cft .ppor*
tio anguli c b d remotioris ab angulo redo ad angulum d b a propinquiore ipfi ledo.cjj
partis bafis remotioris ab angulo redo qui eft c d ad latus d a propinquius ipfi angulo
redo,quon/a enim angulus b a c eft redus,patet,quia angulus b
d a eft acutus per jz.primgcrgo patet per z 3 .primi,angulus b d
ceftobtulus,ergo per i^-primilatusb deftmaius latere ab>&!
minus latere b c,S centro itacj; b fecundum quatitatem iemidia-
metri b d defcribatur arcus circuli fecans linea b c in pundo e3di
ad ipium producatur linea b a in pundum f,fa dfcg erunt duce fe
diones b d e minor trigono b d c,di b d f maior trigono b d a , &
quonia eft pportioledionis ad iedorem ficut arcusf d ad arcu
d e,ut patet per modum demonftrationis primce Texti , quoniam
omnes iedores eiuldem circulilimt eiilidcm altitudinis, di ceque
multiplicia arcuum faciuntarquemultmlicia ipiojgy fcdorum , fi
portio uero arcus d f ad arcum d e eft ficut anguli d b f ad angu
Ium d b e per ultima fexti.Cum itac$ trigonum c d b fit maius cf?
(edored b,&; icdor f d b fit maior trigono a d b,er it p er 9. huius
trigoni c b d primi ad trigonum d b a fecundum maior .pportio cjj iedoris e b d rcrtn ad
ledoremdbf quartu.Eft autem per prima iexti trigoni ebdad trigonum db a, ficut
bafis c d ad baiem d a,fedoris uero e d f ad fedorem d b f,ut patet ex praemiftis,cft proa
portio ficut anguli c b d ad angulum a b f,patct ergo,q> maior cft proportio lincx c d
ad linea d a,cfi anguli c b d ad angulum d b a,crgo minor cft ^portio anguli ebdad an *
gulum d b a,q? lateris c d ad latus d a, quod cft propofitum,

XXXVI.

Cuiuslibet trigoni duo latera producfta, aliud trigo*
num priori fimile principiant lateribus politione 81 litu
tranfmutatis.

Sit trigonum ab c,au'uslatus ab fit dextrum, & latusbc fis
niftrumquae producantur ultra pundum b,di proportionaliter
prioribuslateribusabfcindanturper 1 1 .fexti,linea fcilicct ab in
pundo d,& linea c b in pundo e,& conumgat linea d e,erit itacp
trigonum d b e fimile trigono a b c,fed di latus d b fit finiftrum,
Qi latus c b dextrum .Sunt itaqj latera iftorum trigonorum poli*
t Xjdi litu tranftnutata.quod cft ^politum primum.

XXXVII,

Omnium duorum trigonorum redangulorum , quorum unius unum
laterum redos angulos continentium fuerit maius altero alterius , reliqui*
uero minus reliquo,erit angulus acutus unius maius latus rcfpiciens maior
angulo alterius luum relatiuum latus refpidente.

Verbi gratiajSint duo trianguli rcdanguli a b c & a c d,fint'qs anguli a b c & a d c re*
(fli,8i fit latus b c trianguli a b c maius latere c d trianguli a c d>& reliquu latera redos an
gulos continentiu ab unius fit minus reliquo latere alterius,qcf eft a d,ut patet in fipo*
lita figuratione,!! linea a b intelligatur ereda liipcr linea b cfuperficicm eius,8i linea b
d intelligatur ppendicularis iiipcr linea d c in eadem fuperficie iacentem,tunc enim erit
linea a d ppendicularis fuper linea d c per z z.huius,q> etiam patet, fi in fuperfide iacen*
te ducatur linea b e aequediftantcr linecc d c per 3 f, primi, & quonin linea a b cftppcndi-
cularis liipcr (uperfidem iacentem,in qua funt lineae b d,d c,b c, palam per diffinitione
lineae crcdce,quonia angulus a b e eft rcdus,fed di angulus c b d eft redus per zp, primi,
cum anglus b d c fit redus per z z.hulus^di lineae b e di d c aequcdiftent.crgo per 4. unde
cimi linea b c cft ereda fuper iiipcrfic/em trigoni a b d,crgo per 8 .undecimi linea d c eft
ppendicularis fuper eandem f iipcrficicm trigoni a b d, angulus ergo a d c cft redus, fed

& latus

LIBER PRIJiyS, 9

Si latus a d maius eft: latere a b per is>.primi,quonia angulus abdeft rcftus.Dico ergo
q angulus a cd eft maior angulo a cb,quonia enim latus
a d eft maius latere b a per 19. primi, cum angulusabd fit
redlus,patet,q> p radens figuratio eft: conformis hypothes
fi,refocetur ergo per 3 .primi i latere d a aequale lateri b a,
qfitlineadfj&quialineadceftminorlatere beper 1 ?,
primi,quonia angulus b d ceft recftus.Protrahatur linea d
c,8i refocetur in punefto g taliter,ut fit linea d g aequalis li-
neae bc, quia ergo trigoni fdg duo latera f d&dg funt
aqualia duobus lateribus a b & b c trigoni a b c,& angus
Ius f d g aqualis eft angulo a b c,quia utcrcp retftus ,erit jj
4.primi balis f g aequalis bafi a c,8i reliqui anguli reliquis
angulis,angulus ergof gd aqualis erit angulo a cb ,quia
uero pun&a a 2>i fiunt in linea a d,& punda c &ig llint in
linea d g,palim,quia linea: a c & f g funt in una fuperficie
qua a d g per 2,undecimi,ergo interfocant fe lineae gf di
c a,fit earum interfodio in pundo h,quia uero in trigono c h g latus g c protrahitur.pa
lim ex 1 <S.primi,quonia angulus h c d maior eft angulo h g c,ergo di eius aequali Icili*
cet angulo a c b,angulus ergo a c d maior eft angulo a c b,quo eft ,ppofitum,fimiliter'cg
demonftrandum in alijs, fi enim trigona propofita fuerint infdiuerfis locis conditu*
ta,pala,quia in ipfis aqualia 8i aequiangula trigona fic poflunt ordinari ',ut in figura di
fponuntur,& demonftratio fada de rjsfe extendit ad ah'a,patetergo,cp uniuerialiter £
politum, & ex hoc patet, q> angulus b a c eft maior angulo d a c,per 3 z.primi,
XXXVIII.

Oim duoru trfgonoru redanguloru,quoru latus fubtefum redo angu
lo unius ad minus latus eiufdem proportionem habuerit maiorem , quam
latus fiibtenfum redo angulo alterius ad minus latus eiufdem, erit angulus
linearum maioris proportionis maior angulo linearum minoris propor-
tionis,# econuerfo ,

Sint duo trigona redangula a b c & d e f,quojt anguli a b c & d e f fint redi, fitep la*
tus b c minus latere a b,# latus e f minus latere d e,fit'cg maior ^portio linea a c ad linea
am c b,cg linea d f ad linea f e.Dico,q> angulus a c b maior eft angulo d f e , quia enim
maior eft proportio linea a c ad linea c b,cg linea d f ad linea f c.Sed per 46.primi qua*
dratn linea a c ualet quadratu duaru lineae a b di
c b,& quadratu linea d f ualet quadrata duajt Ii
nearuquafirntde&f e,& cjaper i8.fexti,ppor
tio quadratora eft .pportio duplicata lateru ,pa-
tct,qj maior eft ,pporrio qdrati a c ad qdratu c b,
cp qdrati d f ad quadratu f e, eft ergo per 1 1 . hu-
ius maior proportio amborum quadratoru linea
rum a b Si b c ad quadratu b c,c{? ambop- quadra*
torum linearu de&f cad quadratum f e,ergo g
1 z.huius maior eft ^portio quadrati a bad qua-
dratum b c,cjj quadrati d e ad quadratum e f , eft
ergo per Z4,fexti maior proportio linea a b ad linea b c,^ linea d e ad linea e f . Efto, ut
qua eft proportio linea d e ad linea e f, eadem fit arcus linea ut g h ad linea c b per 3 , hu
ius,erit ergo linea g h minor cfj linea a b per 1 0. quinti. Refocetur ergo per 3 .primi ex lis
nea a b aqualis lineagh&fttb k,& cotinetur linea c k,erunt ergo per 6. fexti trigona
d c f di k b c aquHgula, angulus itacp b c k eft aqualis angulo e f d, fod angulus b c a eft
maior angulo b c k per 24. huius .angulus itacp a c b maior eft angulo d f e,& hoc eft ,p*
pofiuim,ex quo etiam patet,q> eius couerfa eft uera,quonia in talibus trigonis linea (na

■ c fores

PERSPECTIVAE VYTELLIONIS
jferes angulos coftt/ncntessmaforem habent ad feinuicenr proportionem,
‘XXXIX.

A pundo in aere dato ad fubftratam planam luperficiem una linea per*
pendiailanter5aliaoblique incidente, & linea reda inter punda incidentia:
inipia fuperficie protrada,eritangulusinon perpendiculari cym iacenteli
nea contentus, 'tniniinus Omnium anguloru fub illa obliqua &C quacuncp Ii*
n eain fub ftraca fuperficie protrada contentorum^ omnis angulus illi pro
pinquior ,-efl: minor remotiore, 5C duo ex utraq? parte tequaliter approxima
tes,funt aequales ►

Sit pondus in aere datus a, cui c (ubftrata fitperficies plana qua: b c d, fuper qua ab iU
lo pundo ducatur oblique linea a b,ducacur'q; ppendicularitcr linea a c,Sd copuletur li-
nea b c,Dico,q> angulus a b c eft minim us omnium anguloru conlentop: fub linea obii
qua a b,& fub unaquacp linearum a pundo b dudaru in fuperficie b c
d,& q> iemper propinquior eft ipfi minor cjj remocfor,&! q> duo anguli
sequales folum ex utracp parteipfius confiitunt. Ducatur enim in data
plana fiiperffcic,utcunqj cotingat linea b d,& a pundo c ducatur /nca*
dcmfiiperficiclinca ppciidicularitsiuperlineabdpcr i j. primi, &copu
letur i pundo a linea a d,cft itaqj per 2 2, huius linea a d perpendicula-
risfuper linea b d ,& quoniam angulus a c d eft redus , palam per 19.
primi.quonia obliqua linea a d maior eft katheto. Ac linea itaqj b a ad
linea a c maiorem habet ^portionem cjj ad linea a d per 8. quinti, & an
guhbca&bdaiuntrcdi.&erititacpperpKecedente proxima angu-
jp Ius b a c maior angulo b a d,erit ergoper 3 2. primi angulus ab eminor
angulo a b d. Similitcrfcg pa tet,quonia angulus a b c minimus eft omni
um anguloru contcntOR-fiiblinea obliqua incidente a pundo a linece
b c,& lub ipfa linea b c„ppinquior qtioqj illi eft minor remociore,ducac
enim i pundo b in fubltrata fuperficie linea,ut contingiqqua: fit be,2C
& pundocducatur in eadem fuperficiclinea perpendicularisfupcr line
am b e,qu* fit linea ce,& producatur linea a e, qua: per 2 2, huius erit £
pendicuiar is fiiper linea b e,& quonia angulus b d c eft redus, & angi*
lusce brcdus,& angulus bed maior eft angulo bcc per conuerfam
przmiflx, quonia linea: e c ad linea b c maiorem habet ,pportione cjj li-
nea d c ad linea cb,linca itaqj e c eft multo maior cjj linea c d,fed cathe*
. _ tus a c ppendicularitcr incidit lineis cc&cd per diffinitione lines ere*
da*, maior eft ergo linea a e qj linea a d per 4<S.primi,linca c e eft maior
cjj linea c d.Linea itaqj b a ad linea a d ma io rem habet pportionem cjj ad linea c a per 8.
quinti, & anguli a d b finit redi,angu!us itaqj b a d eft maisr angulo b a e,per prceccdcn
temergo per 3 2. primi angulus a b d minor eft angulo a b e. Similiter quoqj dcmonftra
dum, q> femper angulus ,ppinquior minor eft remoriore, folii ucroduoex utraq; parte
axjualcsconfiftunt.fuper pundum enim b terminu linea: cb in fubicda fuperficie con-
friantur angulus aequalis angulo d b c per 23 .primi,qui fite b f ,& i pundo educatur li-
nea c f ppendicularitcr fiiper linea b f per 1 2 . prim i,8i duca rur I inca a f,quia iraepa/jgu
Jus c b d eft tequalis angulo c b f ex hy po thefi,& angulus c d b eft redus arqualis angulo
c f b redo,&! linea c b eft comunis ambobus trigonis bcd&bc f,pala'm y er 2 6. primi,
quonia latus b d eft a*quale lateri b f.Sda tus d cxquale lateri c f,fed linea a ceft cathe-
tus fiiper fiiperficiem b c d,eft ppendicularis fuper ambas d c 8i f c.Eft itaq; linea a d u’-
qualis linea: a f, quonia itaqj aequalis linea d b lineae b f,& linea b a eft comunis ambo-
bus trigonis d b a 6i b a f,3i linea d a arqualis lineae d f ,erit angulus a h d arqualis an. j
lodbf per 8.primi,fimiliter quoq? dcmonftrandigquonia angulus a b d , non erit a it-
quis alius aequalis, dl ergo angulus a b c minimus ctc.ut^pponif, patet itacp intentum «

Omniiun

LIBER PRIMVS*

x

/

x

\

Omnium fupcrficierum xquediftantium laterum diagoni per scqualia
fefecant,exquopatet,cppunduminterfe<ftionis diagonorum eft medium
pundum eiufdemfuperficiei.

Sit fuperficies «quediftantiu laterum, fine fit quadrata fiue altera parte longior,

3u« a b c d,in qua ducantur diagoni qui fint a c & b d,lecantes le in puncto e. Dico , q>
tagoni iecantur le adinuicem per «qualia, 8i q> pundu e eft me
dium pundu (uperficiei a b c d,palam enim.quia trigona b e c &
aedpcr if.&per i p. primi iiintaquiangula, Sierit angulus eb
c «qualis angulo e d a,quia (unt coalterni.Similiter quoqj angu
lus, a ceb,eft«qualisangulo,ead,ergoper4.1exti erit propor*
tio lineae b e,ad lineam e d,ficut linea c e, ad lineam ea ,8i ficut
b c ad lineam a d ,(ed linea b c eft aequalis line« a d per 34 . pris
mi .linea ergo b c eft «qualis linea: e d ,& linea e c «qualis
linea: e a . Illi ergo diagoni diuidunt ie adinuicem per «qua-
li» , di per hoc manifeftum eft correlarium , pundum enim e
«qualiter diftat ab omnibus extremis,in quo tn fi aliquod dubifi **

faerit,ducantur i pundo e linea «quediftantes lateribus iuperff ciei propofita, per 3 r .
primi, qua fint f g 6i h k, fequeturqj propter «qualitatem partiu ipibjt- diagono^ moa
do pradido argumentando,Iineam f e «quale fieri linea e g,8i hexq uale e k. pa tet ita
qjqfn in omni modo pundu e «qualiter diftat i pundis extremarum linearum direde,
igitur oppofitus eft, ergo medium inter illas, quod eft propofitum.

XII.

Data fuperficiei aequedi ftantium laterum fimilem fuperficiem, cuius la*
teraacqucdiftent,datx fuperficiei lateribus inferibere-.

Data fuperficies «quediftantiu Iacerum,cui altera inicri-
bi modo pradido debeat, fic a b c d, in qua ducantur diagoni
a c & b d,fecantes fe in pundo e, palam'q$ per proxima pra
cedentem, qih illi diagoni per «qualia (e ftcantfn pundo e,
fed di ipfi adinuice iiint «quales.& fi quidem da ta fuper fides
fuerit redangula,tunc patet per 34.8^ per 1 tf.primi, qin ipio
tum diagoni funt «quales, & ipforum medietates «quales, i

pudo itaqj e, i medietatibus diagonoit partes «quales abfein

dantur,per 3. primi, & fi data fuperficies no fuerit redangula a.
tunc diagoni forfitan in«quales,ab illis ergo partes propor*-
tionabiles re(ecentur,fecundu 3 .huius, utcuncp aute hoc con-
tingat, abfeindantur ill« partes ex parte pundi e,qu« fint e I

e m,c n,c p,8i ducantur lineae 1 m,l n , n p, m p,dico itaqj q> liiperffcies I m, p n,eft datae
fuperficiei fimilis,&! q> latera ipfiiis «quediftant la ter ibus dat« fuperficiei, qm enim in
trigono b c c rcleda iunt latera b e di c e in pundis 1 di m ,& eft proportio b 1 ad I e, ficut
cm ad m c.patet ergo per z.fexti.qm linea 1 m «quediftat line« b c, fimiliter quocg li-
nea 1 n «quediftat lateri a b,& linea n b lateri a d>& linea p m late
ii c d. ergo per 15». primi anguli fuperficiei 1 m , p n funt «quales
angulisdat* fuperficiei ab c d,&! latera eor5 funt proportionabi
lia per 4.fe»ti. patet ergo,q>ilI« fuperficies (untfimiles,& hoc
proponitur faciendum. patet ergo propofitum.

X L 1 1.

Omnis angulus a diametro 8£ quacunqj linea fuper
circumferentia circuli contentus neceffario eft acutus.

Sit circulusab c, cuius diameter a b,& ducatur linea a c, utqj
contingic.Dico q> angulus b a c neceflario eft acutus. Producas
c a tur

PERSPECTIVAE V I T E-L L 1 0-N I S
tur enim linea bjc ad peripheriam in pimdum e. & qm angulus a c b eft rccftus per 3 o
tfertr^patct pct j i,primi,quia angulus ba c cft acutus, fidimtiiter angulus- a patet
Jtarp propufttum,&: dc hoc theoremate no finimus intentum, ied brcuitati ftuduimus,
quia iianc demon Hiationem totiens ut occurrit repetere ttedtum fuit,

x l n 1. ;

Omnes angulos aequalium ucl fimiliu portionu eiufde circuli fab arcu &
rccla contentos xqualcs, angulos uero cuiufcuncp minoris porfionis minq‘
res, & maioris maiores cflenecellecit.Ex quo patet oes angulos femicircu-
loru aequales efle, Sit drculus,cuiuscehttum a,8cdiameiref g-f,&iheoligncti'
tur arcus aequ»lcs,quifiiitb' c &dc,prddudis’eordis bc&de
dico q> angtilig b c,& f d e,fub arcubus Si cordis cotenti fimt a:-
qualeSjducanturentm aptinifiob linea cotihgens circulu, per n?
terttj,qtKe fit b d58i a pumftodlififca d m, 6C producatur 5 centro-
linea’ a b,a d,a c,a e,erufcg per y.primi angulra b'C & a cb aequa
les,& anguli a d c Si a e d aequales;fcd trigona ab c & a d e fimr
aequiaiigida per 4. primi, angulus enim b a c eft aqualis angulo-
d a e, p dccimafexta tertii, angulus ^q? a bl eft aequalis angulo
a d a,qiri uterqj eofe eft reclus per 17.tertq.fed angulus conttW
g entia: I b g,eft aequalis angulo Contingentia: m d f. qm urerqj ip
foje eft m imis acuroje per 1 r.tcrtif.relinquttur ergo angulus g b
c ab arcu gb.&rctftabc contentus aqualis arcui f dc ab arcu f
d,& reda d c contento, fcd angulus g c b eft ecqualis angulo g b
c eadem rattone,fimilfter.quocp angulus f e d eft aequalis angue
iofd eTOmnesita<^hi,‘aHgalifuntieqtiaies. fit quoqj angulus
rairtof at cob c,qai refecdur afe arcu b c.quifit arcus no. Si du*
cantur lineae a n,‘a obducatur quocp corda n o, Si ducantur cotin
gentes noSCon.quiaitacp trigoni ano anguli ad bafem funt
a:quales,8i angulus o a fi mtnor eft angulo e a b.per a 6. terti}, e-
runt per 3 z;primi quilibet angulorum a n o St a o n maior quoli
bet angulory a b c & a c b,fit itaq; angulus o n a maior angulo c
b a,(ed angulus contingentia: q n g eft aequalis angulo continge
tia: 1 b g.rclinquicur ergo angulus g n 0 minor angulo g b c,cutn
anguli 1 b a fit! q n a fime arquaies, quia urcrq; recftus,per 1 7.tertij, fit enim arcus maior ar
cubc,qua’ fit sc,fiC ducatur corda f c,8<! quia a nguluscaseft maior a ngulocab g 16.
tcrtif.patet tunc, q? angulus a s ccft minor angulo a b c,8<! ita concludatur ut prius, qm
angulus g s c co tentus arcu g s,6C corda s c cft maior angulo g b c,ergo Si angulo g n o.
patet Si hoc idem de fi milibus arcubus, quibufcuncp eorunde circuIojir,qni per diffinitu
Oftem firniliu arcuu ipfi angulos fufeipiunt aequales.Ex quo patet correlariu per pcnult.
qm Oes anguli fcmicirculo^ funt aquales, oes enim femicirculi funt fimiles, Si eiufdcm
Circuli ftmiles Si aquales, hoc itacp proponebatur,

XLIIII.

Si idem angulus fuper centrum unius aequalium circulorum, fuper pe-
ripheriam alterius confiftat,arcus relpondens angulo fuper peripheria con
jftituto,reIiquo arcui duplus erit. In circulis uero inaequalibus illoru arcuu
proportioadfuas totales periferias duplicatur.

Sin t duo circuli aquales3unus a b c d, cuius centrum g3di alius e f g ,ai ius centrir b,
pimcftu perifevix circuli a b c d,Sc! producantur linea a b &!c b,(ccantcs circulu c g f in
pumfti.se Si f, palam itaqj.qni angulus a b c erit fuper peri fer ia circuli a b c fiv! fuper cen *
trum circuli cg Iqdico q> arcus a a c, capiens a ngulu a b c fuper cirefiferentia fui circuli
cft duplus a reui e g f capienti eundem angulum fuper eius centru b. fit enim ut linea b a
fccet circulu e g f in punito e, fit! linea b c in punito f, duca tur quoqj linea c f. Si dutfta li

ne a

1 1

LIBER.' PMMVf..

nca g h fiiper centrum g,fiat per 1 3 .primj angulus aqua-
lis angulo a b equi fit h g 1, dudtys lineis g;h di g 1 ad circu
Ii circumferentiam a b 0 d?£< ducantur linea b h,b l,h l, pas
lam itaejj per 19 .tcftrj,qudnia angulus h g 1 eft duplus ain-
gulo h b l.crgo etia Angulus a b e eft 'duplus eidem, ergo g
ulttmaTexti arcus -ad c- eft duplusarcui fid l,fed arcus hd:
l eft3equalisarcutegfper ij-..terti>veyt.,ei;goarcus a d c.
duplus arcui c g fi quod eft propoli tu pririjum. Quod fi cir
Cifius a b ?d fit minor circulo e gf, di angulus mgnflt «-
qualis angulo a g c, fadlo angulo p b q fuper ccntru b , per
s 3 iprimi aquali a.ngulo ag c ,di dudis lineis g p 8fg q;b p
& bq> erit angulus pbq duplus angulo p g q, per i?;ter
tt^ergo .angulus a g c eft duplus angulo p g q.^pqrfiqita
q; arcus m f n ad fui tota circuferentia diipjicatur refpecftu
arcus a c ad, tota fu» penfeha?qm enim angiilus 'm g ir, eft
duplus angulo p g q, eiit per ultimam ftxti arcus, m f n du
pliiS arcui p;fq,fed arcus p f p eiufcicm eft proportiofx ad
lui periferia, cuius eft arcus a d cad ftjam, arcus enim.a d c
fi fuerit quinqj partiu r?lpe(ftu luae dVcuferetiae, erit arcus
m f n decem partiurelpecfiu fui periferi*, di hoc eft ,ppo
fitiim,, ' - ' Xlv.' ':v : ;

A terminis linejeintra circulu collocatsc potibus sequalibus refecfhs, Si
i puncftf s fecftionu perpendi cularibus fuper iftjf linea ad circum fer en tiS p rQ
duftis,nece{fe eft duiftas perpendiculares sc quales efte. Et fi duda: perpedi
culares funt aequales, neceffarium eft a terminis illius linecc partes refedas
aequales efte.

Sit circulus a k d,cuius centrum r,in quo circulo collocata fit 5

linea a d,S cuius terminis a &drefecenturline« a b&dg «qua l\ /|\

les,6d a prcedidis b & g erigantur du* linea: perpendiculares fu- v>f- L / 1“

per lineam d a,qu* produda ad circuferentia fint g k &b c, dico / | \ \f I

qj linea g k eft «qualis linea: b c, ducatur enim i cetro r linea «=» ^

quediftans a d per 3 1. primi, qu*fitlm diameter, &diuidat line \ ' *

am d a in duo «qualia in pundo c per 1 o. primi, di i punefto e, \

ducatur perpendicularis fuper lm per 1 z. p r imi, hsc ergo g pri- \ ✓

mam terti) tranfibit centru circuli quod eft pundfr r.eutcp linea x\

e r, educatur autem linea kgultrapundug ad diametro 1 m in
pundir n,di linea c b in pundu f ,& copulet line« k r & c r.qtifa ita 9 linea d c eft «qua-
lis 1 ine« a e per tertiam tertij,et line« d g et b a ex hy pothefi funt «quales, remanet cr*
go linea g c «qualis Iine« c b.fcd per 34.primi,lfnea g c eft «qualis lineae n r,et 1 inca c b
«qualisline«cf.funtcrgoline*nretrr «quales.fed per 46.primi, quadratu linc« r
k ualet duo quadrata lineait k n et r n.quia ex pr«miflis a ngulus k n r eft redus,et fimi
liter quadratu line« c r ualet duo quadrata lineap: i f et r fieft aute quadratum lineae k r
«quale quadrato line* c r,quonialinea p r eft«qualis line* c r per diffini donem circu
li, et quadratu line«nr eft «quale quadrato linc«fr. relinquitur ergo quadratu line*
k n *quale quadrato line* c fieft ergo linea k 1 «qualis line* c f . fcd per zy .huius linea
g n eft *qualis b firelinquitur ergo linea k g *qualis line* c b, quod eft primu propofi
tu.Conuerfa etia patet .manente totali difpofitione ut prius.quia enim g n eft «qualis
line* bf, per 344primi,8C linea k g «qualis line* e b ,cx hypothefi erit tota linea kn
«qualis toti line* c f .ergo per 4<S,primi,erit linea n r «qualis line* r ftergo di linea ip
fi line* c b «qualis erit, di linea d g ipfi line*b a, quod eft pvofitum fecundum . patec
ergo quod proponebatur,

c 3 Indu

PERSPECTIVAE VlTELLIONlS

XLVI.

In duobus circulis inaequalibus duobus fimilibus arcubus fumptis, pro*
dudiisfo praeter illos ad arcus alios fimiles femidiametris , fi i pundis extra
circulos proportionaliter femidiametrijs /dift^ntibus ,ab utrifcp extremita
tibus amboru arcuum per terminos fimiliu arcuum lineae ad diarnetr(ps du*.
cantur, pars diametri interiacens lineas,arcu$ circuli maioris cft maior par
te interiacente lineas arcus circuli mirioris»

Sint duo circuli in*equales,qu9riim maior fitk b e,A eius ceiitrum d,& femidianie
ter d a niinpxdero fite f g, eu/us cen trimi h, & fcmidi-
ameter h e .fignmtufcp ift ipfiis arctis fifiiiles in maior/
circulo arcus b c„&in minori arciis f* g,ficfc£ arcus a b
finiilis arcufe f 5fitq? puniftum k extra circuli! maiore,
& pundium lextra circulu minorem taliter da ta ,ut il*
lapuncfta fecundum proportionem femidiametri d 2
ad (emidiametrum h e.diitenfab utrifufeg terminis di-'
tftorum arcuum, erit ergo proportio linea; k b ad linea
1 f,& lineae k c ad lineam 1 g, ficut iemidiametroR- a d
ad b e, & producantur linea ad femidiametros kb in
puneftum m A' k c in puncflu n. Similiter quocp prodiit
catur linea 1 f in pundlu o A 1 g in pundum p.Dico,q>‘
linea mn pars femidiametri a d,efl maior e^ linea ap
pars femidiametri c h .Ducantur enim corda bc&f g,& copulentur i.eeqtris linea d
b,d c,h f ,h g,palam'q; propter a:qualitate circulo^.quonia linea db eft maior, cp linea .h
f ,fed qppter fimiUtudine arcuum angulus b dceft aequalis angulo f h g, ergo per r.pri*
mitrigonabcd&f gh propter aequiangnla,ergo per 4.
fexti latera funt ^)portionabilia,e(t ergo ^portio lineae
* b c ad lineam f g.licut linea: b d ad liricain i h, ergo ex hy
pothefi per 1 1 ,quinti,ficutb k ad 1 f ,& ficut b c ad 1 g, er-
go per 5- .fexti angulus b k c cft ecqualis angulo flgAan
gulus k b c cequalis angulo 1 f g,fed ex p rami illis anguli
d b c & h f g funt arquales ,cft ergo angulus d b k arqualis
angulo h f fducantur ergo linea' d k A h I , quia itaq* in
trigonisdbkfiC fhl anguli aquales , qui dbk& hfl
funt lateribus .pportionabilibus contenti, patet per 6fc
xti,quonia illa trigona funt arquiangula,crgo angulus b
k d cft arqualis angulo f o h,& angulus b d k arqualis an*
gulo f h l,fcd angulus a d b eft arqualis angulo e h fex hy
pothefi propter umilitudine arcuum a bfxd f, totus cr*
go angulus m d k eft aequalis toti angulo o h fergo per 3 1 . primi trigona d k m 8t o h 1
funt arquiangula,&: angulus k tn d cft aequalis toti angulo I o h,ergo per 4.fcxti crif,p*
portio linea: m k ad lineam ol, ficut linearkd ad linea 1 h, ergo per 1 1 .quinti ficut linea:
a d ad lineam c h,quia itara ex prarmifiis angulus m k n cft arqualis angulo o 1 p A an*
gulus k m n arqualis angulo 1 o p,patct per 3 x. primi, quonia trigona kgn&lo p fune
arquiangula.ergo per ^ .fexti cft proportio linea: m n ad lineam o p, ficut lineae m k ad H
nca rn o 1. ergo ficut Jincar ad ad lineam ch, quia itacj? ad femidiametermaior cft fcmi-
diametro e h , erit linea m n maior c(j linea 0 p, patet ergo propofiium.

XLVII.

A quocunq? pundlo diameter circuli produdla linea ad pcriferiam,fima
iorcp illa fuerit, una pars diametri erit pars illa maior reliqua fui parte, SC
fi minor, minor.

Efto

LIBER PRIMVS.

Efto circulus a b c, cuius diameter a b ,in qua firmam ptittcftum d»atdjc^ contingit*
& ducatur linea dcadcircumferentia,itaqjpars diametri qua:eftad fit maior cp linea
d c.Dico,q> linea a d eft maior cp linea d b,quar eft reliqua pars ip
(ius diametri’, qcF patet,fi copulentur linea: a c 8i b c,quia itaqj Ii*
nea a d maior eft cp linea d b ex hypothefi,crgo per 1 8 .primi angu
Ius a c d maior eft angulo c a d,a angulus a c b eft redlus per 30,
tertij, palam ergo per 3 z .primi,quonia angulus c b d maior eft an
gulo d c b,quia enim angulus c b d cum angulo c a b ualet recftu, .

& angulus deb cum angulo a cd,qui eft maior angulo cad ua«
let recftum, patet, q> angulus c b d eft maior angulo d c b,ergo per
19. primi eritlatus d c maius latere d b,lcd latus a d eft maius late
re d c,crgo multo maius erit latus ad cp latus d b. Si hoc eft unum
propofitum. Eodem quocp modo demonftrandu,fi pars diametri
qua- eft a d,fit minor £p lirtea d c,quonia eritlinea a d minor cp li*
nca d b,& hoc proponetur,

XLVIII.

Si a quocunqj punefto diametri circuli duce linere, quarum femper una fit
maior reliqua,ad circuli periferiam ducantur,erit pars diametri , cui maior
linea propinquior ducjtur,maiorreliqua fui parte.

Sic circulus a b d e, cuius diameter fit a b,in qua (uniatur pundhis d, ut libuerit , du-
cantur'^ i pundfo d lines d c maior di d e minor,fit autem c iit
perior uerfusa&:e,infcriorucriusb.Dico,q> pars diametri q
eft a d,maior eft cp d b,ducatur enim linea c e,8 i fuper linea c e
ducatur a puncto d per 1 z. primi linea gpendicularis qua: fit d
i , quia itacp quadratu linea: d c per pcnultima primi ualet am=*
bo quadrata Iinearii d f Sd f c.Quadratum ucro linea: d c maius
eft quadrato linea d e, ideo, quia linea d ccft maior cp linea d e,
ablato itaqj quadrato linea: d f,relmquitur quadratu linea: e f ,
maius quadrato linea: f c.Diuidatur itacjj linea c e in partes ec-
quales in punefto g per 1 o. primi, & ab illo punefto g ducatur li*
nea g h ad diametru aquediftanter linere d f per 3 1 .primi , erit
itaqj per 19. primi linea h g perpendicularis fuper lineam c c,le
cat autem h g ipfam c e in duo aequalia.tranfit ergo linea h gper centrum circuli ‘per’ i*
terdj.di quonia pundhim h cadit in diametrtim a b,palam,quia /pnim puncftu h eft cen-
trum circuli, eft ergo linea a d pars diametri a b maior cp linea d b,6i hoceft jppofirum.

XLIX.

Si ab angulis duorum trigonoru ad medietates fuarum bafium arqualiu:
una pcrpendiculariter,alia oblique rrquales linea: ducantur, fit£p qua?!ibet
durarum maior medietate fure bafis,eritangulus trigoni, d quo ducit per^
pendicularis,Tnaior angulo alterius trigoni a quo
linea ducitur obliqua.

Sint duo trigona abc&de f, quorum bales b f , bc,&
e f, fint a:quales,qua: fiecent per io.primi,inpartes a*qua
les b c in pumftogj&ef in pundoh, Si ducantur ab angu-
lis ad bales linere ag&dh qua:. fint aquales. Sitfcg linea a g
perpendicularis iuper lineam b c,linea uero d h non fit per«s
pendicularislliperlineamef . Sit'qj linea perpendicularis
a g maior linea b g parte bafis . Dico , q> angulus b a c! eft
maior angulo e dT ,circumlcribatur enim trigono a b c cir
culus per y.quarti.&producaturlineaagad circumferet^
tiam in pundiun k, hoc autem poflibile, quonia ucro fuppofitum eft lineam d g efle ma

iorem

fit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

forem linea gb, erit per 47 .huius linea a g maior c£ linea g'k,ergo per prima terti) cen*
trum circuli in linea a g inter punda a di g,di ait a k diameter, & per 7 . terti) linea g a
eft longiffima omnium linearcf i pundo g ad circumferentia ,pdudarum,& linea g k e*
rit omnium lineae minima,& quslibet ^ppinquior linea: g a eft maior rerfiotiore . Fiat
itaq? per 2 3 .primi liiper pundu g termini lines c g angulus squalis angulo f h d mi-
nori angulo d h e ,qus fitlgc, produda linea 1 g u(q? ad periferia circuli,palam ita® ex
figura terttj,qm linea g a f 1 eft maior c£ lineag l,ergo di linea d h,qus ex hypotheu eft
squalis lines a g,cft maior cp linea g l.Producatur itacg linea g 1 quoulcp ftt squalis lia
nes d h per 3.pr imi,&! ftt linea g m squalis lines d h,Sd ducantur lines mb& m c,angu
lus itacg b m c eft squalis angulo e d f ,exhypothefi pcr4.& per 1 3 , primi , fed angulus
b a c eft maior angulo b m CvProducantur enim lines b 1 & c l,palam, quia angulus b 1
c eft maior angulo b m c per x 1 .primi ,(ed angulus b a c eft squalis angulo b 1 c per 26.
tcrttj,erit ergo angulus b a c maior angulo b m c,ergo di angulus e d f ,di hoc propone
ba tur,& hoc eft propoli tum ,

L*

Si ab angulis duorum trigonoru ad medietates fuarum bafium sequali 5
una perpendiculariter,alia oblique azquales linea: ducantur ,fic q? quariibet
ductarum minor medietatebafis fua^erit angulus trigoni,a quo ducitur g*
pendicularis,minor angulo alterius trigoni a quo linea ducitur obliqua.

Remanet diipofttio prscedentis,nift qdP perpedicularis a g ftt minor medietate ba
fis bg.Dico,q> angulus b a c eft minor angulo e d f , Site -
nim ut prius angulus c g 1 squalis angulo d h f ,& quonia
linea a g eft minor cp linea b g ,di linea a k eft diameter , pa
lam per 47.huius,qaonia centrum circuli eft inter punda
g di k,ergo per 7.tertq linea g a eft minima omniu lineag
a pundo g ad periferia circuli produdaru,eft ergo linea g
1 minor cp linea g a, ergo di maior cp linea d h.Fiat itaqj per
3 .primi linea g n squalis lines d h,& copulentur lines b
n&c n;er it itacp ut in prsmiflis angulus e d f squalis an
gulo b n c,(ed angulus b n c maior eft angulo b 1 c per 2 1 ,
primi, & angulus b 1 c squalis angulo b a c per 2 6 .tertij, e*
K rit ergo angulus b a c minor angulo b n c, ergo di cius s-

quali angulo e df,8<! hoc eft propolitum.

LI,

Si' ab angulis duorum trigonorum ad medietates fuaru bafium ccqualiu
duae linea: aequales oblique incidant ad angulos inaequales, & li quaelibet li
n earum incidentium maior fuerit medieiate fuacbafis,erit angulus fuperior
illius trigoni, cuius incidens linea maiorem angulum cum bafe continet ma
ior angulo fuperiori alterius,8£ fi minor , minor ♦

Sint inter duo trianguli a b c di d e f, habentes bales b c
N dief squales , diuidaturicg bafis b c per squalia in pun*
do g,8 i bafis e f in pundo h,8d ducatur lines a g,d h qus
'fint squales, & utracjj iplarum incidat oblique ilis bafi.fit
autem angulus age maior angulo d h f .Dico, q> fi maior
fit a gcp linea gc, erit angulus bac maior angulo cdf.
Et 11 linea a g fit minor cp linea g c,crit angulus bac mi*
nor angulo e d f sircumfcribatur enim per y .quarti trigo
no a bc circulus, &! ducatur i pundo g perpendicularis
liiper lineam b c per 1 i,primi,qus produda ad circumfe
rentiam,fitg kper prima tertij pars diametri circuli pro*

LIBER PRIHVf. IJ

pofltf qtrop completa fit k l,fit itacp prius linea a g maior cjj linea g 1 per 48 .huius. In li nea
ergo gk eft centra c/rcuIi,eftcrgo linea kg maior cp linea agpcr 7. tertij, ergo & maior
cp linea d h,qu« eft aqualis ipfi a g ex hypothcfi.Fia t ltaqp per 2 3 , prim i fuper pumftu g
termini linea c g,angulus aqualis angulo d h f qui fit m g c,cadet'cg pundium m in peri
feriam circali,eft itaq? per y .tercrj linea a g maior cp linea m g,ergo & linea d h eft ma-
ior £p linea m g, producatur ltacg, doilec linea g m fit «qual is linea; d h,& ducantur li-
ne» n c & n b ,crit itacp angulus b n c «qualis angulo e d f,fed a ngulus bmc eft maior
angulo b n c.eft angulus ergo b a c maior angulo e d f per modu pneo ft e nfam, f [m il 1 ter
Sq? demonftrandu ,fi linea a g fit minor cp linea g c,quia minor angulus b a c angulo e
d f,quod proponebatur demonftrandum .

li r.

Si duas lineas recftas fecates circulu aequales arcus mteriacear,illae necefTa
rio funt «cquedi ftatesjidefg accidit,fi una earu fuerit fecans 5C alia cotinges»
Sit circulus a b c, cuius centrum fit puneftum o, fecentfcg du» linea: ac&dcillu cir*
culum taliter,ut arcus d a fit aequalis arcui e c.Dico,q> linea a c & d e funt «quedifta tes,
aut itacp o centru circuli eft in altera illaru linearu , aut in neutra,&! tuc uel inter utrafqj,
uel extra utrafcp,fi fit in altera ipfa^,efto q> fit i linea a c,

centro o ducatur linea gpedicularis fiiper a cp 1 1 .
primi,& producatur ad circumferentia , fitep 0 b fecans
lineam d e in pundo f ,& ducantur line» od&oe, qua:
cum fint aequales, erut per j-.primi anguli o d f dC o e f
«quales, fcd angulus f o a eft «qualis angulof os, quia
(une redi. angulus uero d o a aequalis eft angulo e o c per
26. tertij .cui ex hypothefi arcus d a fit «qlis arcui e c,erit
angulusdo f «qualis anguloeo f,crgo p 3 z.primi erit
angulus d o f aequalis angulo e f o.eft ergo linea o f pers
pendicularis fuper lineam d e, erunt ergo per zs.primi d
e&acaequediftantes.Si uero centruofuerit inter ipfas
lineas a c & d e,dudis lineis i centro ad terminos linearu
a c & d c,qu» fint o a,o c,o d,o e,& diametro h k,flent ex utracp parte centri qua tuor an
guli «quales duobus redis,ideo,quia anguli circa centrum tialent quacuor redos,quos
ex «quo diuiditquarlibet diameter jfed angulus oe ceft «qualis angulo d o a perz-5. ter
tij, remanet ergo angulus d o c «qualis angulo a o c,per diffinitione ergo circuli 8t- per
6.fexti trianguli doe&aoc funt inuicem *quianguli,ergo per j-.primi erit angulus g
co «qualis angulo o d f,fed anguluso g c eft «qualis angulo o f d,qltia utercpretftus.ex
prxmiffis ergo per 3 z.primitrigonagoc,doF funt *quiangula,ergo per 14. primi li*
ne» d o & o c coniund» iimt linea una, quia anguli coh&doh ex pf»miflls funt «qua
Ies duobus redis,ergo per 27.primi patet propofitum, Quod fi centrum o fuerit ex
tra utrafcft, ducatur perpendicularis a centro o fuper ipfaru alterum ,8i fit linea d g ppen
dicularis fiip linea a c,qu« dfuidet ipfam a c in duo «qualia per 2 3 .tertij , .pducaturqj I i
nea o g,ut fecet lineam d e in punefto f ,& dueftis lineis o a,o c,o d,o e, palam i taqj per 4.
jprimi,cum in trigonis a g o & g e o duo latera a g Qi g c fint »qualia,& la tus g o conium
pe,q» angulus a o g eft «qualis angulo c o g,fed a o d «qualis eft angulo c o c per x<5. ter-
trj.relinquitur ergo angulus d o f «qualis angulo f o e,fedlatus d o «quale lateri eo , &
latus of comime,erit ergo g 4. primi angulus o f d «qualis angulo of e,uterq) ergo eft
redlus.Eftergo angulus ofd«qualis angulo oga,ergo per 28 . primi line» de & ac
funt »quediftantes,qd’ eft .ppofitu prima. Qcr u una illap- duarii linearum fccetcira
culum alia ipfum contingat, fi fecans tranfit centrum, Si fit diameter qu« h k,St linea

1 m contingat in punefto n,fit'cg arcus n h «qualis arcui n k,palam ,q> illorum arcuuqu»
libet eft 4.circuli,ducaturtg linea n o,ergo per 27, tertij angulus 1 n o eft rcdhis, icd an-
gulus n o h eft redus,ergo per 28 .primi line» 1 m Si h k «quediftant.qcP eftfcam ,p po-
litu . Qd* fi linea 1 m circulfi contingente in punefto n,lmead e iecet circulum , inferi-

d bacur

PERSPECTIVAE VITEL1T0NIS

fr a ttir eidem femicirculo linea aqualis linea: d e di aquedifta ns,fit ducantur lineae o di St
o e m,St a centro o ad pundum contadus qd' eft n, ducatur linea o n fecans lineam d e
in pudo f,quia itaq; arcus n d eft aqual is arcui n c.erit per x6. terti) angulus 1 o n aqua
lis angulo m o n,fcd per 1 7 .terti) angulus o n 1 eft aqualis angulo o n m,quia ambo funt
redi.Itcm per 4. primi angulus o f deft aqualis angulo o f e, funt ergo redi , ergo per
a 8, primi patet pro politum.

LUI.

Lineas xquediftaccstrans circuli fu perfici? produ<fhs,fiue ambae fecent,
fiueambx contingat, fiue una fecet 8£ alia cot/ngat,!arcus interiacet aequales.

Sit circulus a b c d, cuius centrum e,contingat'cg fpfum diiaf linea acquediftantes f
g in pundo dsSC h q in pundo c,St £ pundo contingens:
tia qcf eft d ducatur linea d e ad centrum c. eft ergo per
1 7. tertij linea d e perpendicularis fuper Iineain illo pun
do contingente quae f g,ducatur.quocp linea c e i pun*
do contingentia: ad centrum e, erit ergo linea c e ppen-
dicularis fuper linea h k contingente in pundo c, ducar
tur quocp a centro e linea aquediftanslinea f g per 3 »•;
primi, qua fit n m,!ioc etiam quoqj arquediftabit linea:
h q per 3 o.primi,crgo per zp.cutKicm angulus m ed eft
aqualis angulo m e c,ergo per 14. primi linea* dc St cC
coniundafuntlinca una, eft ergo linea dediameter cir
culi cum tranfeat per centrum e,arcus itaejj d a ceft (emi
circulus aqualis femicirculo d b c/ed fit fi linea a b fecet
circulum aquediftans lineali q contingenti in pundo e, erit iterum arcus a c aequalis
arcui c b.quia enim femidiameter c c lecat lineam contingente quae h q,palam per. i.hii
ius,quonia fecabit fit eius aquediftante qua eft linea eb.ut nt fecet ipfam in pudo o. fit
quiaangulushceper 17 terti), pala p 29. primi, quoniaangulusboecftrcdus, ergo jj
3 .tertij linea a b diuiditur per aqualia in pundo o.ducantur itacp linea a cfitcb, palacg
per 4.primi,quonia illa erunt aquales, ergo per 17. tertij arcus a c eft aqualis arcui b c,
q> fi linea aquediftans linea b c fecet circulum qui fit k I,paIam,quonia femidiameter e
c^pduda fecabit linea kl per aqualia per 29, primi& per 3. tcrrij.fecet ergo ipfam per
aqualia orthogonalitcr in pundo p,& ducantur linea pa,p b,k a,l b,crit ergo in trigo
nis p a c,p b c per pramifia,fit per 4.primi latus p a aquale lateri p b , eft angulus p b C
aqualis angulo a p c, relinquitur ergoangulus k p a aqualis angulo b p 1, fed linea kp
eft aqualis linea p b,crit ergo per 4. primi linea k a aqualis linea 1 b,ergo per 27 , tertij
erit arcus k a aqualisarcui 1 b,quod eft propoli tum.

Lilii,

Duabus cordis in aliquo circulo fe fecantibus,erit quilibet angulus fedfe
onis xqualis angulo apud circumferentiam cadenti in arcum aqualem, du-
obus arcubus eidem angulo St fuo contrapofito fubtenfis.

Sit circulus a bc d,in quo fecent fe dua corda a c St c b, fit fit fedionis e.Dico,q> an-
gulus a e b eft aqualis angulo qui eft in circumferentia qua fubtendunt duo arcus a b St
c d,St q> angulus b e c eft aquatis angulo in circumferentia qu5 fubtendunt duo a reus d
gaStbzc,ducaturenim pundo b linea bzaqucdiftantcr linea a eper 3 1. primi. Si er
go linea b z feca t circulu, palam, quia arcus c z eft aqualis arcui a b per pi acedentc,ar*
cus’ itaqj z d aqualis eft ambobus arcubus a b fit d c,qm arcus d c ubiqj eft comunis, fcd
arcus d z refpicit angulu d b z,qui eft aqualis angulo a e b per 25». primi .angulus itaqj
a c b eft aqualis angulo in circumferentia cadenti in arcum aqualem duobus arcubus
b a 3i c d. 1 tem duc atur linea d z,8i .pducatui linea z b extra circulu in punduin h , erit
ergo angulus h b d extrinlecus aqualis duobus angulis inti infecis b d z,b z d p 3 2. pri-
mi,fcd duo anguli b z d St b d z rcfpicumtur i duobus arcubus b f z fit b g d,angulus er

goh

LIBER. PRIMVJ. »4

gohbd eft *qualis angulo quem rdpiriunt duo arcus bgd &bf z,hoc autem eft ar-
cus d a,(ed arcus a d eft aqualis arcui z c,ar.:us itaq; d a z eft aqualis duobus arcubus d
ga&bz c.Cum itacp per zp .primi angulus h b e fit aqualis an- jjA \h

gulo b e c.pacct.quia angulus b e c eft aqualis angulo que in cir* V \

cuinfcrentia rcfpiciunt duo arcus d g a 6i b z c, quonia fi linea h — V —

b z continet ciiculu& non fecat, tunc patet per 3 i.tertrj, quia an
gulus e bz eft aqualis angulo cadenti in portionem circuli qua / \ \

eft b a d,& angulus e bli eft aqualis angulo cadenti in portione / \ \

circulibcd.fedangulusebzeftaqualisangulobeaper 2g.p1/ / \ \ / \\

mi, angulus itaq? b e a eft aqualis angulo qui apud circumferen- ^ E \ A ,

tism cadit in arcum bcd,(cd arcus bc eft aqualis arcui b a per $> \ \ /\ /f

ximam prxcedente.arcus ergo bcd eft aqualis duobus arcubus \ V V/

b a & c d, angulus itaqj b e a eft aqual is angulo qui apud circum* \. /\^yzi

ferentiam reipicic duo arcus a b & c d, quonia angulus cadens in
arcurnbcdeftconfiftensinportionecirculiquicftbgd, fimili* x»

ter §9 poteft declarari, qp angulus b e ceft aqualis angulo apud
ciraimferentiaquemrefpiciuntduo arcus bc&ad,quonia angulus bec eft: aqualis
angulo h b d,cuius aqua litas per 3 1 .tertij cadit in portione circuli bcd, qcf eft: in arcu
fc> a d.eft autem ex pramiflis arcus a b aqualis arcui b c, patet itacg propofi tum .

Angulus a duabus lineis ab uno pundo extra circulum dato circulum fc*
cantibus contentus aequalis eft angulo fuper circumferentia cadenti in arcu,
quo maior arcuum inter illas duas lineas comprarhenfus excedit minorem»

Efto circulus a b c d, extra quem fit datum pundum e,8d ducantur i pundo e duae li
nex fecantes circulum quae fint a cdfideb c.Dico itaqj, qp angu-
lus d e c eft aqualis angulo qui eft apud circuferentia circuli , que
refpicit arcus, in quo.ai cus d c excedit arcum ab,a pundo enim
a ducatur per circulum linea a f xquediftans linea b c per 3 1 . pri
mi, erit ergoper y 3 .huius arcus e 1 aqualis arcui a b.eft itacp ar*
cus d f excelnis arcus d c iiipcr araim a b,ied artgulus d a f apud
eircumfere ntia exiftens cadit in arcu d f,& angulus daf eft a-
qualis angulo dec per 29.primi,ergo angulus dec eft aqualis
angulo cadenti fuper circumferentiam in arcum df,quod eft
propofitum.

LV I.

Indatofemidrculoadunum pundum circumferen*
tix duabus lineis, una a termino diametri,# alia i cen
tro du dis ab eifdem pundis ad aliud pudum quodcun
cp femicirculi dati lineas duas prioribus duabus ,pportionales duci eft im*
poffib ile.In diuerfis uero femicirculis hoc eft pofTibile.

Efto datus femicirculus a d b, cuius diameter a b.centrum uero c ,dt fit a d pundum
circumferenti* d,& ducatur i pundo a tertio dia*
metri ad pundum d linea a d,& i centro c linea c
d.Dico,cpfia pundis a 8dcduxlinex ad aliud pun
dum (emicirculi ducantur, qp illae du* dud* line*
duabus lineis a d di c d ,proportionabiIes non erut,
fit enim ,fi poflibile eft, ut 5 pundis a & c ducantur
ad pundum g dux line* ag&eg.&quxeft pro*
portio line* a d ad lineam c d, eadem fit line* a g
ad lineam c g,erit permutatim per 1 6,quinti,ppor
Cio line* a d ad lineam a g^icut line* c d ad lineam c g,fed linea c d eft *qualis line* c g

d z quonia

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
quofiiam ambx funt ex centro femicirculi,ergo linea a d squalis erit lines a'g, hdcaii*
tem eft impoffrbileex 7.tertij Si 1 8.piimi,maiori enim angulo iubtenditur lineaad cp
linea a g,&!cft uicinior diamctrbpatet ergo propofitu primum .quia i quocunq; pun*
dio alio dato idem accidit impoflibiIe,& eodem modo dcduccndu ,in diucrfis uero feml
circulishoceftpoffibile.Sienitnfemicirculixquales fuerunt, tunc ex centro alterius fe<
micirculi iiiper diametr u conftituto squali angulo a c d,per 13 .primi compleatur ,ppo
fitum,ex 4.primi Si per 4.fexti,q> fi alter iemicirculus minor fuerit dato femicirculo, in*
feribatur squalis illi femicirculo ad idem centrum, erit q> squediftans primo Si in pun
dium ubi linea c d ipfum fecabit.qd* fit f, ducat linea a termino fui femidiametri cj fit cii
Si patet propofitum per diffinitionecirculi Si zp. primi, & per 4-fexti.& fi dato fem/cir-
culo alter fuerit maior,circumfcribatur squediftanter eidem, & produda linea d centro
primi femicirculi ad datum pundu d quoufqj tangat periferia alterius (emicirculi,& co
fungatur d pundo contadus alia linea ad terminum diametri^! deinde compleatur ut
prius dcmonftrato. Si. patet propofitum.

L V TI«

A pundo uno ad datu femicirculu unam tantu linea contingente poiTibi
le cii d lici, ex quo patet, cp omnis linea ab eode pundo fub contingente du*
dia lecat femicirculu in uno pudo fup pundu cotingetix,8i in alio fub ipfo*
Edo da tus iemicirculus a b c, cuius ccntru e. Si fi t extra datus
pundus d,i quo a,d femicirculu ducatur linea contingens, qus fit
d b.Dico q> a pundo d ad femicirculu a b c, alia contingente cp li-
nea db duci cltimpollibilc, fi enim hoc fit poffibile, ducatur, hoc
ergo co tingens aut cadet ultra pundu d,aut citra,fit primo utca*
dat ultra pundu b uerfus c in pundu f,& fit d f > ducantur i centro
itaqj e ad punda contingentis lines e f,c b.fiqpducatur diameter
cea,fedadpundud,palaergoper i7.tcrtq,qrh angulus e bd, eft
reduSjfinitltter angulus e f d eft redus.Sut ltaqj squales Si cadut
in trigono c f d,quod eft contra z 1 .primi.Idem quoq* accidit im<*
poftibiIe.fi linea contingens duda a pundo d ad iemicircul u d b c
cadat inter punda b Si a, fit linea dg,palam ergo corollariu, quo-
nia enim linea d g non contingit fcmicirculum, tangit autem, ew
go ipfa produda fecat ipiiim , Si hoc eft propofitum ,

LVIII.

Qirxlibet dux lineae ab uno pundo produdxcirculucotingentes finit
xqua les,8i arcus interiacens pundla cotingentix eft minor femidrcuIo,Lf*
nea quoqj diuidens angulu illarumper xqualia,& arcu interiacente diuidit
per xqualia, 8C linea per xqualia diuidens arcu, hxc produda per xqualia
diuidit 8t angulum i lineis contingentibus contentum,

. Sit circulus ab c, cuius centrum f ,& fit ut i pundoc ducantur dus lines cfrculu co-
tingentes p 1 6,ter tq,q fint e a Si c c,dico q> funt squales, & q> arcus a b c in tcriaces pun
da contingentis eft minor femicirculo.&fi producatur,:! pundo e linea e b,diufdes an-
guluac c per xqualia, dico q> linea eb in pudo bdiuidet arcu a c per squalis, &'fi linea
d c diuidet arcu a c per sqiialia,etiadiuidet angulua c c per xqualia, Ducatur enim pri*
ino linea d e fidiuides a e c, qus produda iecabit circulu,{ecet ergo ipfum in pundis b
Si d.palaitaqj per 3 y.teitrj.qm illud quod fit cx dudu lines d e in linea c b , squalis eft
quadrato lines a c,&! eadem ratione quadrato lines c c. ergo quadratu linea- ac eft x*
quale quadrato lines c c,crgo Si linea a e eft squalis lines c e,& hoc eft pr/mu propoli
tojt-Scd quia dudis lineis l a&f c,eruntanguli f ccSi f a credi, per i7.tcrti;,iunt er*
goxquales.ergo per 4.primi linea f c diuidet a ngulu a c c per xqualia ,8i quia lines c e
Si a e concurrunt in pundo c.pala per 3 z. primi, qui anguli c f edicta funt minores te
dis, arcus ergo a b c eft minor femicirculo per ultima fexti, quod eft fccundu, Ducatui;

quoqj

• LIBER 'BRIHVJf

tqubqj linea a c fecans Iinca-c din pundo g,8i ducantur a b &ac,
quia ergo linea e g fccat angulu a e c per ecqualia, pa te t per quar
ta prfmijCu linea a c fit ecqualis linere e cs8i latus e g fit coe, quoi*
nia linea a g eft aqualis linea c g,&,angulus e g a eft aqualis an-
gulo c g c.Sed & trigonis a b g & c b g 1 a tus b g eft comune,ergo
per 4.primi erit linea a b ecqualis linea b c,crgo per z7.teiti], ar-
cus ab eft aqualis arcui b c,code quocp modo patct3q> fi linea g e
iecat arcu a c per aqualia in pundo b,quod ipfa etia diuidet per
aqualia angulu a e c, quia em trigona a e b Si c c b ftrnt squilate
ra,ut patet, palam ergo per 8 .primi,qfh angulus a e b eft aquas
Iis angulo c e b,8C hoc eft totu quod proponebatur*

LIX.

Arcubus ecqualibus minoribus quolibet quarta cir*
culi ex utracp parte diametri circuli refedis a terminis i\*
lorum arcuu dudas contingentes in uno pundo eduda:
diametri concurrere eft necefte, & ab uno pundo diame
tri dudas contingentes in terminis scqualiu arcuu cotin
gere eft neceffe.Ex quo patec,qm oem angulu 8C arcum a
lineis contingentibus contentu diuidit diameter eduda
per ecqualia. . '

Efto circulus a b c, cuius centri? fit d,8c! eius diameter e e, qua: ,p
ducam indefinite ad pundu f,& ab unaquacp parte pundi c fint a
c Si b e arcus squales,& a pundis a & b ducantur lines circulu con
tingentesper i «S.tertij.Dico q> ilice dus lincte concurret in uno pun
do eduds diametri e f.q> fi dicat ipfas no concurrere in pundo u*
no diametri concurrent th ambs contingentes cu dia metro d f pro
dudis lineis d a,d b, erunt angtili in pundo a &b redi,ied anguli e
d a &edbfunt acuti per ultima festi. arcus enim a e,b e funt minos
res qualibet quarta circnli,ergo per i^diuius, lineajy cotingentium
utraq? cocurrct cu linea d f, fi itacpno fiat, hoc in eodem pundo fit,
ut linea contingens duda 5 pundo a cScurratcu linea df in puns
do g, di contingens duda in pundo b cocurrat cu d f in pundo h,
&! fit utraq?pundumg,& ducatur linea a h.er/tig per i<£, terti], Si
ex hy pothcfi angulus h d a squalis angulo h d b, ergo per 4.primi
erit angulushadsqualisangulohba.ergo per <7. terti] utcrq? ips
(or! eft redus.quia itacp angulus d a g eft redus per eandem 17. ter-
ti], patet q> ipie eft squalis angulo d a h redo,& angulus a d geftco
munis.critergo per 3 z. primi, angulus agd squalis angulo a h di
extrinfccus (cilicet intrinfeco a h g,quod eft contra 1 6.pi imiA ima
poffibilc.patetergo primum. Sed &fi a pundo diametri I» ducant
dus lines circulu cotingentes in pundis a &b,erut arcusa edi b o
squales ,trigona enim a h d & h b d ftint squilatera per prscedens
tcm,ergo funt squiangula per 8 .primi,eft ergo angulus a h d squa
lis angulo b d h,ergo per zy. terti]. arcus a e eft squalis arcui b e,qd*
eft propofinim,8<: patet corollarium,

LX.

Si intra duas lineas circulu cotingentes ab uno pundo
eludas alias dua: linea: eundem circulu cotingentes ducan
tur, cadent punda contingentia: interioruintra punda co
tingentia: extrerioru,8£ fi arcus hinc inde interiacetes pun

d $ da

PERSPECTIVAS VITEL.LIONIS

<fta cotingentiazfuerintacquales, erit utraruq? concurfus femper in eadem
diametro circuli eduda, interiores quoqj ad utramq* partem producftas cu
exterioribus neceflario concurrent.

Efto circulus ab cde>cuiuscentruk,&! eius diameter e h cdu
eatur,& fic ut ab aliquo pundo fuo.quod fit f, lineae f a&fdco
tingentes circulu ducantur,& inter lineas f a&fd ducantur ab
aliquo pundo fiiperficici a f d,quod fit gdinear g b & gc circuIS
contingentes in pundis b &i c,cadent punda a 8i d. fi enim non
cadunt inter punda a & d, aut cadunt in illis pundis aut extra, fi
in illis.ducantur linea ka&kdi centro k ad punda contingen
tiar a&d.erit itacp per 1 7, tertij angulus k a f redus, & fimilit an
gulus k a’g redus,^ fic redus maior redo.Item inter continge-
te f a St! circulu alia linea capit.ut g a.hoc aut eft cotra i j-. tertij,
pala ergo.qm impofllbile.Si uero detur, q> punda b&c cadat ex
tra punda a 8i d,fic pundu b ultra a pundu,(ecabit'q? linea g b
produda linea f a,per i4.huius. Et qincft contingens folum in
pundo b,eritpundusfedionis extra circulu, fit ille pundus m.
Pala itacp,qfn linea m a 6! m b ab uno pnndo m produdae Cernit
circulu co tingunt, quod eft cotra 5-7.huius.non ergo cadit punr
dum b ultra pundu a,fe d intra.Similiterfcg demoftrabitur,quia
pundu c cadit intra pundu d.cadun t ergo punda conti ngentiac
intcriojtintra punda co tingendae exterioi^. Sed ©C arcubus ab
&!cdexiftentibusaequalibus,piindu g neceflario cadit in dia-
metro e hfifi enim extra illa ducat linea k g fecans circuferentiS
in pundo f ,quia ergo arcus b f eft a-qualis arcui p cperprarce-
dente, arcus quoq? a b eft aequalis arcui c d, ex hypothcfi, rana*
net ergo arcus c h aqualis arcui h b,fed arais h b eft maior arcui p b,ergo arcus c h eft
maior arcu c p.pars uii toto, quod eft impofllbile.No ergo cadit pundu g extra diame
trum ehf,palam eft per i4.huins,quonia linea g b produda ultra pundu b, neceflario
concurret cu linea f a,8c! linea c g produda ultra pundu c concurret neceflario cu linea
f d.linea ein k c redu angulu cotinens cu linea a g, continet acu tu cu linea f d. patet er-
go propofitum. l x 1 .

Si ad mediu pundu arcus interiacentis punda cotini
genciarduarulinearuabuno pundo ad circulum produ
darum linea' contingens circulu ad alias cotingentes ,p
ducantur, ilia in pundo fuo cotingentiae per aequalia di*
uiditur,fl£ ab alijs lineis contingentibus partes abfeindit
aequales .

Sit circulus a b c,que cotingunt duae lineae da&!dc,a pundo d
produdar,producat ergo diameter g b d,# palam per j9.hun.1s, cj|
nia ipfa diuidit angulu a d c,&! arcu a c per aequalia in pundo b.
d pundo itacp b producatur linea contingens circulu per 1 6. tertij
hocitaq?,qmeftorthogonalisiuperdianietrugb, ut patet per 17.
tertij,palam per i4.huius,quia ipfa produda fecabitlineas da #
d c,fic ergo ut fecet lineam d a in pundo e.& linea d c in pundo fi,
quia itacgedb&f d b anguli ftint arq uales per j^.huius,# angu*
lidbe&dbf iuntredi,pala,quia trigona e b d f d b funt aequi
angulaper 3 2. primi, ergo per 4. fexti, latera funt proportionali/*
lia,fed latus d b eft aequale fibi.erit ergo linea e b arqualis linea- b i\8c linea d e aequalis li
neat df, quod «Cia fic patere poteft,quia enim i pundo e ducuntur dux lineae coringcn

tes cir

tes eirculu.f.e a & e b.patet per j-8 .huius, quod fpfe (unt xquales.oes ergo lineae a e,eb,
b f,f e, funt a’quales,ergo lineae c d & f d funt xquales.patet ergo propofitum.

Lxn.

Duobus pundis aequaliter di dantibus ab uno termino edurae diatne*
tri SI i linea circulu in termino propiore diametri contingente duabus lines
is ad aliuterminu diametri produdis arcus interiacentes illaru Jinearu alte
ram & diametru funt acquales,illis uero ad alium pundu circuferentiae pro
dudis , arcus i nteriacen t inaequales»

Sit circulus a b c d , cuius centru e ,diameter'c$ eius d b,
educat ad pundu f,(int'cg duo punda g&h xqualiter dia
flantia i pundo f edudx diametri, ducanturq? dux linea
gd&h d,ad alium terminfr diametri fecantes circulu linea
g d in pundo a,& linea h d in pundo c, & i pundo h duca
tur linea contingens circulu quas (it k b 1, i qua asqualiter
didet punda g oi h.Dico q> arcus a b & b c (unt xquales.
ducatur enim linea g f h,erit ergo ex hypothefi linea g f
asqualis lineas h f,ideo quia pundag & h xqualiter didat
5 pundo f.di ducantur linex h 1 & g k perpediculariter fu
per linea k b 1 contingente per i z.pnini, erunt ergo ex hy-
potheli & illae aquales, ergo per 3 3 .primi,lmea g h asque-
diftat linex k I. ergo per 1 7,tertij,8<! per 29. primi, anguli d
h f & d f g fune redi.ergo per 4.primi,anguli g d f & h d f

funtxquales,ergo per 13. tertii, arcus ab ed asqualis arcui b c. patet quo cp manfRfte q»
fi i pimdis h di g lineae ad aliud pundu circufcrcntix ad pundu d producantur, ut ac)
pundu m ucl n,q> illx linex arcus refccabunt inxquale s .qualibet enim iUaru qux fecat
diametrum, abfeindit minore arcu,& alia maior c,Qi hoc cft quod proponebatur.
lxui.

Diameter circuli diuidens exagonu,eidem circulo infcriptu,ab oppofi*
tis angulis per aequalia duobus lateribus medias exagoni erit aequedi ftans.

Sit circulus.cuius centru (it pundu a,infcriptus exagonus qui b c,
de,f g,8i ab oppofitis angulis iiliusexagoniducaturdiamcterbae,di
cocp illa diameter xcjucdidat duabus medijs lateribus exagoni, qux
funt c d & g f .ducant enim linex a c & a d,quia itacp linex b c & c d, q
funt latera exagoni funt inter (e xqualia,& utruncg ipfop: ed xquale fe
midiametro circuli, per ly.quarti, patet ergo q> trigona a b c 8C a cd
funt xquilatcra.ergo per S.primi,ip(a funt xquiangula.eritcrgo angu
lus c a b xqualis angulo a c d,ergo per i7.primi linex ab Sic dxquedi
dant.Similiter quocp poted demondrari de lineis a b & f e.patct ergo
qmdiameterbcxquediftat medqs lateribus exagoni, £|delt ,ppofitu,

Lxmi,

Duobfls circulis inaequalibus fe fecantibus ita, ut minor pertranfeat cen*
trum maioris, arcum minoris interiacentem periferia maio*

^is in centro maioris per aequalia diuidi eft necefle.

Sint duo circuli c f d maior.Si centrum (it a,& c g d minor,cu(us j

centrum (i b,(ecent'cg hi circuli m pundis c di d.tranieatcg minor qui / \

c gd per centrum maioris qd* eftxeritcg arcus ca d minoris circuli I
contentus intra periferia maioris.Dico.cp arcus c a d diuiditur per x* I
qualia in pundo a .dulcatur enim linea copulans centra qux (it a b , di V
hxc produda compleat diametru minoris circuli qux (itabg,& ad .
pundafcdionumcSidjducanturlinexadjaCjbd.be^uia itacj in

PERSPECTIVAE VITELLIONlS
trigonis a b‘c a b d,duo la tera a b di b c unius funt aqualia duobus lateribus a b 8i b
d al teritis, quonia omnes funt ex pundo b centro circuli minoris dudja ad periferia , &
balis a c eft bafi aequalis a d, quonia funt ex centro circuli maioris,ergo per 8 .primi an*
guli aequis lateribus contenti funt aequales, angiilus ergo c a b eft squalis angulo d a b,
ergo per ij-- terti) arcus c g eft aqualis arcui d g,reliqui ergo arcus (emicirculorum,qui
funt ac&ad, funt aquales, arcus ergo c a ddiuidit g aqlia in pudo a,qcF eft^ppolitQ.

LXV.

Omnes linea: recft sed udas a polo ad periferiam fui circuli funt aequales,
Efto circulus a bc, cuius centrum d,&! erigatur perpediculariter fiipra circula i cen-
tro linea d e, ita, ut p diffinitione polus circuli fuper pundu e,& ducane
i , tur lineae e a, e b, e c.Dico,q> ipia omnes fiint aquales,ducantur enim Ii

f \ nex a d,b c,c d,quia icaq? quadratu linea: a e eft aquale quadrato linea e

/ \ d & lineae da .quadratu quocp linea b e aquale eft quadrato lineae e d&

// \ linea d b , g penultima primi.quadratu uero linea e d'eft aquale fibijpii

I \ 8i quadratuiti linea d a aquale quadrato linea d b per circuli diffinitio*

I \ nem,palam,quia quadratum linea a e eft aquale quadrato linea b e , &C

f / \ fimiliter quadrato linea c c, palam ergoaquonia linea a e,b e,c cjk qua-

I \ cunqj fimiliter dudafunt,£<: hoc eft propofitum.

/ \ / LXVI.

/ \ Omnis linea centrum fpharr» cum centro circuli non ma<

g>ni illius fphxrx continuans eft perpendicularis fuper fuper»
\\B ticiem illius circuli,

'"'"M Sit centrum fphara pundum z.fitfcj; pundum e centrum ciraili non

V'' ° I magni illius fphara.qui fit ab g d,& ducatur linea z a,zb,z d & z g,om
^ J nes «nint aquales per diffinitionem fphara , ied & linea e a, e b,e d,e g

y fant aquales per diffinitionem circuli,lmea itacp z e exiftente communi
'v- — ^ patet q> trigona z a e,z b e,z d e,z g e, omnia funt aquilatera, ergo per

8 .primi ipforum anguli aqualibus lateribus content/,iimt aquales, oes
ergo anguli z e a,z e g,z e b,z e d funt aqules,iiint ergo redi , eo*
A deiricg modo poteft demonftrari dc omnibus angulis cotentis iub

linea z e,8C cum femidiametro circuli a b g d,linea ergo z c eft per*
\\ / 1 pendicularis fuper iiiperficiem circuli a b g d,& hoc eft ^poiitum,

\\/ \ LXV1I.

\ )\ J \ A centro fphara dudam perpendicularem fuper iii*

Z/\//\ j perliciem circuli non magni ipfius fphara eiufdemcircu
/a J li centro incidere eft necelTe.

/ J Sit ut in praniiifa ccntmm fphara pundum z,fit'q! pundume

^J/ 'n/ centmm circuli no magni illius fphara , qua fit a b g d,& ducatur

“ ■~'‘s i pundo z centro fphara linea perpendiculariter fuper iuperficie

circuli ab g qua fit z.Dico,q> pundu e eft centrum circuli abg.
ducantur eriim linea z a,z b,z g,qua erunt aquales per diffinitione fphara, quoniam
ergo anguli aez,bez,dez,g e z funt redi, patet per 4<S.primi,quonia quadratu linea
z a ualet quadrata linearu a e 5i z e ,& quadratu linea z d ualet ambo quadrata linearu
b e & z c,A fimiliter quadratu linea z g , ualet ambo quadrata lineait geSCzc, linea
uero za,zb,zg funt aquales,& quadrata ipfaru aqualia, ablato itacp quadrato linea
z e c5muni,rclinqui tur ut quadrata linearu a c,b c,g e funt aqualia, ergo & ipia linea a
e,b c,g e fun t aquales,ergo per?, terti) pundu e eft centra circuli a b g, qcf eft ^pofitu.

LXV III.

A equediftantium in fphara circulorum centra in eadem diametro fphse
rx cofi ftere cftnecefle,ex quo patet, cp omnes circuli in fphxra a:quediftan
tc&eofdem habent polos, 8C li eofdem habent polos, funt ccqucdiftantes.

Sit

LIBER. PRIMVS, 17

Sit Iphsra, cuius centrum fit pundum a ,& in ipfa fint duo circuli squcdiftantcs b
e, cuius centrum fit f,& d e.cuius centru g ,& ducatur linea a f , qua:
prodtida eric diameter fphsr* aim ipfa. trafeat centrum fphsr* d
e, ergo per 66. huius a f eft ereda fiiper fuperficiem circuli b c, ergo
per 23 huius erit eadem diameter ereda fuper fuperficie circuli de,
ergo per prsmiflam ipfa tranfitper centru circuli d e.fiint ergo cena
tra illoru circulojfc in eodem diametro fphsr* > qd* efl propofitum,

& ex hoc patet, q> illi circuli eofdem habent polos per diffinitionem
poli.SC fi aliqui circuli eofdem habent polos, patet per i4.undecimi,
ipfifiint squediftantes,& hoc proponitur, q> fi etiam reliquus cir
culorum squediftantiu efiet circulus magnus, eadem eliet demon*
ftratio.duo uero circuli magni ciufdem fphsr* fibi inuicem squedi
ftare non poflunt,quonia amborum eft idem centrum, quod efl cen-
tmm fphsr*.

LXIX,

Si plana fuperfictesfecetfph*ram,communis fedlio erit circulus, ex quo
patet,quonia & quolibet pundlo in diametro uelfupficie fpchama dato efl:
poffibile totali fuperficiei fphaerica; circulum circumduci,alij etiam circulo
illius tcquediftantem,

Sitfphsra.cinWcentnim adeceturcg per planam fiiperftcie.Dico , q> communis fe
dio fuperficiei fphaerica & plana: eft circuIus.Si.enim Hat fedio
per centru a, tunc pater, q> omnes lineae duds i centro a ad fphs
rs fuperficie, qus fiintin illa plana fuperficie fecante,& te^mina
tur ad comune terminu illo&fimt squales per diffinitione circa
!i,illa comunis fedio eft circulus. Si autem fuperffcies plana ie-
cet fphsram non per centru a,ducatur per 1 1 . undecimi i cen=

*ro a perpendicularis fuper fuperficie fecantem,qu* fit a b,8C co
tinentur line* a c,a d,a e, a f , di q> quis uolueri t ad aliam fedio*
nem comunem i centro ipfius fphsr* .ducatur quocp line* c b,
d b,eb,f b,in ipfa fuperficie fecante ad punda quibus incidunt li
neat de centro fphsr* duds.palam ergo per penultima primi,
quonia quadratu lineae a c eft aequale duobus quadratis linea ru a
bfiCdb/ed quadratu a c eft squale quadrato line* a d , qm linea
a c eft aqualis lineae a d per diffinitione fphsr*, & quadratum li
ne* a b eft *quale fibrjpfi .relinquitur ergo quadratu line* c b squale quadrato line* d
b,eft ergo linea c b squalis line* d b,& fimili ter erit 1 inead b squalis lineis e b di f b.g
eande demonftratione quotcucp alrjs lineis i centro fphsr* a adaliam communem fe*
dionem produdis .omnes itac^ line* a pundo b ad illam comunem fediionem duds,
funt *quales,ergo per 1 9.terttj,& per diffinitione circuli ut prius pundu b eft centru cir
culi. Comunis ergo fedio iftapi fuperfleieru eft circulus,&hoceft propofitu,patet etiam
ex hoc correlariu,qm d pundo dato per rz. primi .pduda perpendiculari fiiper diame-
trum fph*r*,imaginet fuperficics plana fecans fphsra fecundu illam ppendiculare , &C
patet propofitu per pr*mifla,q> fi alicui circulo in fphsra fignato squediftans duci de-,
beat.i dato pundo ducatur perpendicularis fuper fphsr* diametr u tranfeunte circuli
centru ,cui *quediftans debet duci circulus,&: pducat in continuu ufqj ad aliam fphs-
r* fuperficie, 8d ducatur alia linea i pundo diametri utcunqj fuper ,pduda 8C orthogo*
naliter fiiper diametru fph*r*,imaginetur'cp fuperficics plana tranfiens terminos lita*
rum lineare in ipfa fuperficie fphsr*, faciens fedione,qu*per prsmifia neceflar/o erit
circulus,quia per 4.undecimi diameter fphsr* fuper qua ducitur linea i pundo dato,,
erit perpendicularis fuper fuperficie in pundis illis,ut prsmittitur fphsra fecante, un-
de d centro fphsr* dudis lineis ut prius,patet quod proponebatqr,

A dato

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

A dato pundo ad datam fpha^ram linea contingente ducere»

-7- . Sit enim datum pundu a >& centra da
•4 to fphara: fit b,& ducatur linea abi cen
tro fphante qd eft b.ducat linea b c,ut co*
tingit,^ copuletur linea a c , palamfcw j>
z.undecimi,quonia trigonum a b ccft in
una iupcrficie plana,hoc itaejs per proce-
dentem iecabit iphaeram iecundu circulS
cui per 1 6,terrij A pundo a ducatur cons
tingens in pundo d,qua fit a d , & patec
propofitum.

LXXI.

Omnis fuperficies plana contitt
gens iphaeram, fecundum unicum

pun&um eft contingens.

Ducatur in plana fuperficfe contingente iphaeram linea reda trans locum conra*
dus,& in fiipernctc (phaerar circulus magnus.li ergo iupcrfic/csplana contingit iplioss
iam fecundu al/ud cj| iecundu pundum,8c linea reda continget circulfl iecundu idem,
noncrgO iecundu pundum continget linea reda circulum, qtf eft contra i j-.tcrtij, paa
Iam ergo propofitum.

LXXII,

A dato pundo iliperfic/ei fphxricx fuperficie planam contingentem clu
ccre,cx quo patet,cp omnis linea centrum fp htcra: tranfiens,eft perpendicti
laris fuper eius fuperficiem,8i fi eft perpendicularis fuper fphaericatn fuper*
fidem,neceflTariotranfit centrum fphacrar,

Efto fphora ,cuius centru fit a,& circulus cius magnus b d c, ducatur'q^ linea a bd ce
tro ad circumferentia ,8C d pund:o b ducatur linea contingens circulum , q fi t f b e per
i d, ter ttj.erunt ergo anguli a b c & a b f redi.imaginatis quoq* per 69 .huius circulis qt.

cunqj in fuperficie fphoro iecantibus fc in pundo b,& dudis li*-:
neis contingentibus illos circulos in pundo b, palam per i7.ter«
ttj,quonia linea b a cum ornibus /Ilis lineis continet 9. angulos rea
dos, ergo omnes illa: linea* funt in una fuperficie plana per z.un-
decimijilla itaq? fuperficies contingit iphaeram per diffinitione
fuperficiei plana* iphaera contingentis.ex hoc itaejj patet, qni cu
omnis linea a centro fphana: duda,fir creda fuper planam fiipcr
ficicm,(pha:ra ipfiun in pundo fua* incidentia: contingentem, Qi
anguli incidentia* funt aquaks.quonia ipfa eft gpcndiciilaris iii-
per fpharae iliperficie,pcr diffinitionem perpendicularis, anguli
enim femicirculo^ omnes funt aquales per 43 .huius, quoniam 1*
nca a bproduda ad pundu g eft adhuc ereda fuper iliperficicm
planam,fpha:ram contingente in pundo b.palam.quia linea g
b.&qiKcamqjalia gpcndicularis erigi poteft fuper fuperficie pia
nam in pundo b, contingente fphanam tranfitcentrufpha*ra*a,quia fi d pundo b pof«
fit alia linea erigi fuper fuperficie contingente, non tranfiens centrum fpha*ra* a.fit illa h
b d,& fit angulus h b c redus.Scd angulus g b c eft redus per 1 3 .primi, cum angulus a
b c fit redus cx hypothefi,crit itacp redus maior rcdo,qcF eft impoflibiIe,patet ergo ,p-
pofitum. lxxi 11.

Omnium fphjcrarum, quarum conuexa* fuperficies a'qucdiftant,uel fc*
cundumfc totas fecontingunt,neccITario eft idem centrum.

Sitii

LIBER, PR.IMVS, »8

Sinfdux fphxra*,qua(«; couucxar fupficies xquediflet.feda? perxcjualia per unam
planam iupficie,c6is fcdio iuperficiepj illam fph^i kaifc Qi huius planxerunt circuli,fit-
'cy magnus circulus maioris fphaux a b,& centrum eiuse,mino
Tis uero ipluera; circulus magnus fitcd.Dico, cp idem pundu e
etiam erit centrum circuli c d .ducatur enim linea a e b taliter, ut
fi e non fit centru amborum circulojK, linea tamen aeb tranfe-
at per ambo centra.qd' potefl fieri continuatis centris per linea
redam, &,pduda illa ad periferia maioris fphxrx huius, itaqj
erit diameter circuli a b.quonia circuli a b & c d ilint in eadem iii
perfide. Sit ut diameter a b iecet periferia circuli c d in pundis c
& d,erit'cg reda c d diameter circuli c d,quia ergo .ppter tequidi-
ftantiacirculoH; linea a c dl aequalis lineae b d,Sdinea a e aequa*
lis linere e b. remanet linea c e te qualis linea: e d, & quia diamc=
ter cddtuiditur per aqualia in pundo e.patet,q> pundus e eft
centrum circuli c d ,fi enim non fit pundus e centru circuli c d,
fit centrum eius pundus h.eritfcg per diffinitione circuli linea h
d aequalis lineae a c, erit ergo linea h a aequalis lincte h b,ied I inea h a efl: maior ^ linea a
e, ergo h b efl: maior linea e b, pars ilio toto3qd* efl: impoflibiIe,eft ergo pudus e centru
circuli c d,& quia circulus c d efl magnus circulus Gjx fphaerat, patet, q> aequcdiftantium
fphaerajt- efl: idem centru m,qd* efl: propofitu primum. di eodem modo de fpha-ns (ecim
dum totas fuas fuperficies contingentibus efl: demonftrand u. lincte eduda: a centro ad
poncauu maioris di ad conuexu mmoris.funt aequales, patet ergo illud qd ^ponebatur,
LXXI III,

Si dux fphxrxxquedi flantes fuerint,uelfecundutotas fu-
perficies fe contingentes,quxcuncplinea fu per unius earum fu-
perficiem perpendicularis fuerit, fuper alterius quoq? fuperfici-
em perpendicularis erit»

Ifttid faciliter patct,quoniaenim ex praemifla tales fpharrse indcm ce
trum habere neceflario coprobantur,crgo per 7 z, huius, linea ppendicula
ris fuper alteram iftajt; fphaeraru centrum ipfius tranfit.ied centrum ipfius
efl: centrum alterius,ergo per eandem 71. huius iiiper alterius etiam iphae
tx fuperficiem alia linea perpendicularis erir,& hoc efl propofitum,

LXXV.

Si dux fphxrx centra diuerfa habuerint,impoffibile efl ut linear perpen
diculares fuper unius fuperficiem fint perpendiculares fuper alterius fuperfi
ciem,nifi una tantum qux tranfit centra ambarum»

Quocunqj modo fe habentibus adinuicem fphaeris,fiue extrinfeais fiue intrinfecus
fe concingentibus,ucl etiam fc non contingentibus, uel etiam ie adinuicem fecantibus
femper, patet ex 7 z.quonfa linea tranfienspercentraipfaru,eft perpendicularis fuper
fuperfirie utriufqj, aliam quoq? linea fuper utriulqj fuperficiem gpendicularc efle, efl im
poflibile.Si enim fit poffibile, ducatur aliqua alia perpendiculari ter fuper utriulqj fphae«
xx fuperficie,palam'qjeritex eadem 7 z.huius, ipiam per utriufqj centru tranfirc.qcPeft
oppofitum hypothefi, patet ergo,qm nullam aliam linea praeter cam , quae tranfit cena
tra ambajt gpendiculariter duci fuper utriufqj fphaerarum fuperficies eu impoflibile , di
hoc eft propofitum.

LXXvr.

Si fphxra fphxram intrinfecus aut extrinfecus contingat3in uno tantum
pundo contingere eft necefle .

Si enim fphserx contingentes leintrinfeciis>npn ir» pundo fe contingant , necefle
efl: circulos fuos maiores adinuicem applicato^non fe in pundo contingere , quod efl:

e z contra

PERSPECTIVAE VITELtIONIS
contra i z.terti).S(impoflibilc,q> fi fpharrseextrinfecus fe contingentes, noli fe contin-
gant in pundo,8£ hoc eft contra natura circulojt extrinfecus fe contingentiu,& contra
eandem i z.terrij.potcft& hoc aliter demonftrari.Sieniminterillas fpha;ras,qua:fecx««
trinfecus contingat, imaginata fuerit fuperficies plana, palam ex 7 1 .huius,quonia utra
cjj illarum fphaerajts illam fuperficie planam contingit in pundo ,ergo & ieinuicem in
pundo con tingant, ppinquior cft utriufqj fphaerajt- ipfaplana fuperficies interpofita cfc
reliqua fpha:rarum,&:hoceft propolium .

LXXVII.

Sphaerarum fe contingentium,centra diuerfa effe,eft neceffe.

Signentur enim in utralibet fphaeraru i pundo contadus duo dfrculi maiores , per
^7.huius,(ecantes eorum fuperficiebus planis fphteras per liia centra, & per ptinda con
€aduum,& quia centra horum circulojv funt centra fpharrajt fuarum per diffinitionem
circulora magnoju.hos aute circulos centra diuerfa habere, eft cqnclufio 6, terti) . patet
ergo ^politum. lxxviii.

Centrorum Iphaerarum fe extrinfecus contingentium,diftantiamfecun*
dum lineam compofira ex ambaru fphaeraru {emidiametris,intrinfecus ue*
ro contingenti 5 fe fecundu exccffum fimidiametri maioris ad fe midiame*
trum minoris eile , palam eft .

Hoc patet ex 7<>,huiiis,qironia enim contadus ipharraru l?t fecundum unum tantU
pundum.pundus uero eft, cui pars non eft,ttmc euidens eft,q> pundus ille comunis in
utraq? interfedione nihil adimit de diametro^ quantitate,indiuifibile enim no fit pars
quanti, necaddit nec minuit aliquid de quanto, & fic patet propofitum.

LXXIX.

Si coucauum alicuius fphaerse fuperficie aliquam fecundu eam totam con
tingat,necefle cft fuperficie contadam partem fphterae minoris effe.

Sit ut aliqua fpharra fecunda dium concauum contingat aliquam fuperficie fecun*
dum omnes illius partes,ficutuas fphaericu (liperficiem aqua: contente.Dico, quierunt
eft quod ^ponitur .ducantur enim linea: plurima: i centro fpharra: ad locam contadus
(iii cum illa fuperficie ,& quia omnes lineae pducfhe ad concauu fpha:ra:,fiint aequales in
ter fe ex diffinitione fphsera%& fent aquales produdis lineis ad conuexu fiiperficici co*
tad*.pacetexdidadiffinitione,quoniailIafuperficieseftparsfplia:ra:)& qlibet intel-
leda extendi fecundum concauu ambientis fphara,fphxram minore complebit.eft er-
go pars minoris fphanar.Iineaquocj) in illa fuperficie fignata eft pars circuli ex 9. terti),
idem habens centru cum circulo cui applicatur ,& fic illa fuperficics eft pars minoris
fphaerae,quod eft propofitum .

iXXXX.

Si fpharra fpharram interfecet,communis fedio fuperficierum fphaerica*
rum feinter(ecanrium,erit periferia circuli ,

Qd hic proponi nir, patet, imaginetur enim fuperficies fecans ambas fphteras fecun
dum lineam comunem fedionis (phierapt qualifcuncp fuerit.harcergo fuperficies ,ppter
fimilitudine corporum fe intcrfecantiu plana erit, comunis ergo fedio illius fupcrncicl
8c utriufep fphsra«< erit circulus per ^.huius.palam ergo,q> comunis linea interfedio*
his fuperficie^ fphxraru illarum erit periferia circuli,in qua inclufa fuperffcies,erit arcu
lus comunis illi fedionhquonia aliis corpus quo utrarq* fpharra: comunicat,eft corpus
comune fpharraram in terfedioni,& eft corpus /rregulare,duabus feilicet fuperficiebus
(jphtericiscontennim,& diuerfis fecundum difpofirionem fe interfecantium fphaera*
tum.patet ergo propofitum.

LXXXI,

Sphceranim fe interfecantium maiores circulos Ieinuicem fecare, palam
cft,ex quo patet interfecantiu fe (ph «erarum centra diuerfa effe.

PrimiS

LIBER PRIHV5, I?

Primum patet ex diffmitionefpharum ie interiecantiu , quofiia ctifm inter iecanti*
bus fe.fpha:ris,diameter unius per alteram abicinditur,& niaioru drculort- diametri fua
rum fparaje.diuidunt enim circuli magni iuasipharas per aequalia, tunc patet, ap circu
lus unius fphara: & alterius fe interfecantium aliqua linea eft comunis.Cum ergo unus
circulus alium non contineat, quia nec una fphara aliam continet,palam(quia tales cir
culi fe inuiccm iecant ex diffinitione talium circuloR-.quia uero ex y.tertij circulore ie in
uicem iecantiu centra efle diuerla necefleeft,S<: idem eft centrum (phaerae qcP eft centru
circuli magni in illa fphxra. patet corollariu,fcilicet}quia interfecantium ie fpharartim
centra iunt diuerfa,8<: hoc proponebatur.

LXXXII.

Si fpharra iphzeram interfecet linea, quae ccntraillarum fphjerarum tran*
fi t, centrum circuli periferia? communis fecftionis tranfire,& fuper ipfltts fu*
perficiem perpendicularem eiTe,necefTe eft.

Circulus comunis iedionis fphseraru aut eft circulus maior alterius fpharraru fe in*
ter iecantiff,aut minor.fi maior, hoc erit iolu, cS maioir fphara minore interiecat.Si eni
arqles fpharra: iecffdu circulu maiore fe itcrfecaret,no eftet iphanar 5 interiedio.fed uni
us fpharae ex duobus hemifpharqs aequalibus copofitio , fi ergo circulus cois iedionis
fph xrajii (it circulus maior,non erit ille Circulus maior nifi in fpharrfs ii larqualibus fe in*
teriecantibus circulus iphaerae minoris,quonia ipfiim efle circulu maiorem Iphaerae ma-
ioris eft impoflTbilc,qm maior circulus iphara: maioris non poteft cadere in fupcrficie
iphxra minoris. Sit itacp circulus talis ab c,& fit centrum maioris iphaera: d , fphte*
ne ucro minoris e, erit quocp e centnim circuli abcek hypothefi.,
ducatur ergo linea d c,£C patebit ppofitum primu.Item ducantur
linea: d a,d b,d c,& linea a e,b e,c e,erunt'cg triangulo^ d a e &d b
e latera £equalia,ideo,quonia linea de latus eft comune,& latus d
a aequale eft lateri d b ex diffinitione fpharrar, latus quocg a e aequa
Ie eit lateri b e ex diffinitioe circuIi,ergo per 8 .primi anguli aequis
lateribus contenti.erunt aquales. angulus ergo d a b aequalis erit
angulo d e a,fimiliter aute angulus dee erit ecqualis angulo d eb,

& uniuerfaliter iquocuncp pundo circuli a b c ducahtUirlfheaea d
e, centrum fphaera: anguli fuper centrum e femper entrtt aequales,

& quia fuper eandem diametrSoppofitis pundis lignatis Itriea d
e aequales angulos conftituit, patet per diffinitione ^pendicularis,
qift ipfa linea d e fuper omnes diametros perpendicularis erit , er-
go per 4.undecimi linea de fuper fuperffciecirculiabceredaeft.fi^ fuper eam Jjpendi-
cidaris. Si nero circulus a b c non fit circulus maior aliCuius fphaeram ie interfecanti*
um,icd minor, in telligatur in ipfb jptrada diameter q fit 1 fper punda 1 f,6C utraqj fpha:
rarum imaginetur reda per fuperneie planam trans centrum, Si per punda f & I,quje
funt in iugneie utriufcg fphterae,erit ergo per primifla quilibet ftlorfi circulofc circulus
maior in utracp fphajrap: fe inter(ecantiu.iecabit'cg 'circulu a b c utercp illorum cir culo
maiorum per aequalia, qm arcus f 1 eft medietas circumferentia: circuli a b c, tranfeunt
ergo ambo illi circuli maiores per centru illius circufi ab c,q3 eft e.imaginent item duo
circuli altj maiores in eifdem fpharris,quoru quilibet fecet portione circuli maioris fua:
fpharrae credam fup circulu a b c per xqaulia,qcP fieri poterit ex Z9,tertq,diu/fb arcu f I
utriufcg circuli fphxrafi: ie interiecantiu per £equalia,& i pimdo iedionis utriufcfj circu
li imaginata fuperficie plana tranfeunte centrum fph&ra^utriufc^fiat itacj? iedio ar-
cus fphxra: maioris in pundo g,Si iedio arcus-fphcera: minoris in pundo b, & fimili-
ter hi circuli mafores cum illis circulis quos iecant angulos aquales fpharales, uel ina-
quales contineant patet,cum S. polo circuli a b c per cehtra fpharraru ambap- tranieant,
qiionia ambo fecabunc circulu a b c per aqualia, tratifibunt ergo per centrum ipfi q> eft
e linea ,ergo d g,q per diffinitione maiorum cftculo p;8£ pit 3 .undecimi eft comunis fe
dio duorum circuloru maiopj in fphsera maiori ie fecantium.tranielint per centrum e,

e 3 quoniam

PERSPECTIVAS jVITELLIONIS
quonfamcqm centrum e fit in fuperficie utrhifcpillaittxirculonSmeceflc eft,ut fit in lia
nea comuni utriutep. Similiter etiam linea e h,qua?eft comunis tectio circulorum maio*
nrni in iphara minorife intertecantiu.tranfit per centrum e/edquia Iineteeh,& lineae
d g per diffinitioue circulojfcfe tecatium eft aliqua linea reda comunis ut e g, erit illa g
primam / / .in eadem fuperficie eum illis, ergo erunt linea una.tota ergo linea d eg hcft
linea una tranfiens per ambo centra fphterarum te /ntertecantiuA per centrum circuli,
qui eft comunis fedio , cu centro in periferia comunis tedionis fuperficierum f phteri-
carum feinterfecantium, patet ergo ^ppofltum primu.Secundum uero patet ex pr annif
fis. Circuli enim maiores per arqualia diuidentes circula minorem orthogpnaliter eum
fecanr,& eorum comunis fedio,ut linea d h per /^.undecimi fuper eundem cirailu per
pendicularis erit,& hoc eft ^ppofita.pQteftA idem per 66 A 6 7. huius facilius demon*:
lirari diligentiam adbibenti,

'.LXXXIII,

Sffphsera fphteram interfecct , lineam tranfeiintem centrum circuli peri*
ferias communis fedrioms perpendicuf ariter fuper ipfius fuperficie lnfiften*
tem,ambarum fphxrarum centra tranfire necefte eft ,

Hcec eft conuerfa pra?cedentis,ncc oportet in /pilus demonftrat/one aliter immora
ri,fi enim fit pofflbile, ducatur linea per e centrum circuji comunis tediois fphterarum,
qui eft a b c,perpendiculariter fliper ipfius fuperficie ad. alium alique pundum , pra-ter
centrum amba^uel alterius fpharraru,& fit linea e kA ducatur idem per centra ambajie
fphteraru alia Iinea.qtKC fit d h.patet autem per procedente, quonia hic erit tranfiens g
centrum e A erit perpendicularis fnpcr fuperficie drcali a bc.ab eodem ergo pundo fii
perficiei circuli a b c utpote centro e duo exeunt gpendiculares fuper eandem circuli fti
pcrficiem a b c,quar funt e d 5<qkaqtf eft contra 13. undecimi A impoffibile;patet ergo
^pofitum. ..'WXX.im,-:

Si fphsera fphaeram intrinfecusinterfeCet,necefTe eft: centra fllaru fphccra
rum refpedu fitus fui corltatftus fecundum quantitate periferia? circuli , qui
eft communisf^dio ftlarum fuperfirieru plus cfiftare^cen*
tm^lphqsraj.cdntinriitis pius pvofundari,

Spharro dataeii^erfecare fe debentes, fi oquales fuerintA taliter
ad| inuicem qoHocen,tui,ut non fe interfecent, tunc ipfa# idem erit
centrumtfada qeTP;interfediqe ipfarum centra diuerfantur per 8,
huius A fccundu.^circuli p.eriteiia,quo eft comunis tedip jllaru fii
perficierum (ph^qc;^ fit maior ppl minor, tecundu hoc plus uel mi-
nus diftabunt cetitra,q? fi fphorte fuerint:inoquales,quarumuna al-
tera fntririfecus cotingere poterint,tuncin fitu fuo cotwgentix cen
trorurp fuQ^ d(ftaptia per 78 .huius eft exceflqs femidiametr/ fpht-e*»
rap maip.ris ad fein\4^metru minoris.Demus ergq,cj) centi amaio-r
*i$ fit a^ntrun1 minoris fi3puudus pontadus fit c,6i quia conta*
dus fit iuptin^p ppr 74thwus,interfedio uero fittecundu circulum
/per 8?i.huius.pala,qyi^ fada iuter.tedione fphorap-,abteindet fphai
ta a diametfWlb c pundo alio in terminofuo quieft pundus
c, fi tergo pundusin quq jipfiim a b fcinditpunclus e, ponat urcp ut
\ fiiieaf e fit *quajis diametro fph*rasb,quonia itacg linea a c excedit
lineaip b cinlinea q^.Iinea uero f e eft atqualis temidiametro b c,q*
I niam funt diametri eiufdpm fphaprte. linea ergo a c exceda t lineam
f e in.Iinea a b,fed linea f eeft maior <fj linea c c,ergo a c > in qua li*
nea a c excedit lineam e c,eft maipr c$ linea a b,pjus ergp diftat ca\
tr a fphterarum in incerfedionc in-fitu contadu A fecunda q>perf
feria circuli, qua? eft cpmunis 'ftQio fuarutn fifperficierii minoratur,
feojftdum hoc difiantia centn?^ jugetur A fecunda $i'Ua periteiia augetur , fecundum

hoc

LIBER PRIHVS, *o

hOcdiftantia centrorum minui tur,&*eipedti partis unit.rerfi ad qua fit interfectio plus
profundatur centrum iphxrar continentis refpedu contactus in tanto,quanto linea ae
htmaiorcfj linea a b,8dioceft quod proponebatur.

LXXXV »

Si diite iphaera» intra tertiam fecundu circulum aequalem circulo maiori
fphxra;, intra quam finnterfedio,femterfecent,utracp illarum fphserarum
(plueram, intra quam fit interfedio,interfecabit,8£ omnium illam fuperficie
rum fpharricarum comunis fedio erit periferia circuli unius»

Verbi gratia;Sit in fphatra, cuius centrum ainterfecetfplmam, cuius centrum fit
b intra fphteram, cuius centru li t e fecundu circulum tequale circulo maiori fphatra: c3di
co q> fphxra a di fphxra b interfecabunt fphxram c,& ortinium fupcrft ^

tierum iphxrica^ illarum fphxraru erit comunis fedio periferia circu -
li fecundu qcFfphxrapi a &b fiebat interfedio.htc eft cuiuicfam circuli [ /
magni fphxrae c,quonia enim circulus maior dtuidit fphatram p zequa- // B

lia,quia tranfit per centra eius ex diffinitione,tunc patet ,q> xqualis eide
uccimq? contingat eum ihfphana^duc/,diuidet eam per xqualia .&fic l/
interfecabitfecunduillumcirculuutracgfphxrarum.f a&b fphtera c. A.

Sphccra autem a interfecante fpharram b, communis fedio eft periferia /

. circuli per 7 9 .huius,diuidit aute ifte circulus fpharram c per xqualia, er l
gointerfecat.eft ergo ettfs periferia iri fuperficie c,fed& eadem perife* V
rfa eft in fiiperficiepus fphxrap: a & b.In omnium ergo fplireraru illam \,

trium fuperficiebus eft illa circuli perifcria,eft ergo tpfa comunis fedio ^

omnium iuperficierum didarum fpha:rarum,quod eft propofitum ,

LXXXV 1 .

Lineam 4 centro fphterm per centrum circuli fphxram fecantis orthogo
rialiter dudam, medio abfeifa? portioms,eft neceflarium applicari»

Sit fphccra cuius centru a, & Iit circulus b c d cuius centru fit e,abfcindcns portione
fphxrx,ducatur'cg linea a e,& ^ducatur ufep ad fuperficie fphaericam.cui incidat in pui
do f.Dico,q> lincaa e neceflario aRplicatur pundo,qui eft.medium ab*
fcifx portionis fphanx in conuexo uel concauo ipfius,& qj hoc eft pun-
dum f .ducantur enim lineae a b & a c,& copulent lineae e b,e c,e d,eruht Z' t

itacptrig6naaeb,aec,aedomniaieeundulatera xquales augolos re;- . /l

fpicientia,adinuicem J5portionabilia,qmillaiplb{fcIaterafunt,adintiicc [ •! JJ

xqualia,ut patet per fphxras8<: circuli diffinitionesA quia latpsae eft //*N

omnibus cSmune.anguli itacp b a e,c a e,d a e ornes funttequales per y. *T

fexti.ergo per zj-.tertij angulus bf,cf,d f fimt aquales, &quonia pro* 7 \^f

dudisquibuslibctlineisdcentroaadperiferiamcircnlibcdjtdem fem I \ //
pcraccidit.palam,quiapundusf eft in medio portionis abfdfie de fphte \ \/

Ya,& hoc proponebatur, \ _A

LXXXVir.

. Proportionem partis fuperficieifphaericse ad totalem fuperficiem fua;
Jjjhtcr£c,ficut anguli folid i inipfama centro fphsera: cadentis ad odo re*
dos (olidos necefle efteffe .

Verbi gratia. Sit a b c pars fupcrficiei fphter icar alicuius fphxne,cuuis fit d.& ducan
tur linea? a d,d b,d c,& in ipfa fuperficie ducantur li nex a b,b c,a c,fiet'cp pyraniis,cufus
ticrtex eft pundum d,& bafis a b c.palam quocp, quoniam angulus circa pundum d eft
fblidus,ti ibus angulis fugficialibus contentus.Dico,q> qux eft ,pportio illius anguli ad
S aedos angulos ,qui replent locum (olidum circa centrum d,eadem erit proportio fu*
perficiei fphxricx qux eft a b c, ad totam ipharricam fugficiem fux fphxrar . Imagi-
nentur enim plurimi drcuU magni, tranfcuntes per omnia punda illius iuperficiei,

non

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

aon fccantes Ce fuper illam, patet itacp,quoniam aliqui arcus illorum circulorum deter-
minantur per lineas terminales illius fuperftrfei.omnium autem illo
rum arcuum partialium ad totos iuos circulos eft portio, ficut an-
gulorum contentorufub linea £ centro d adipiorum terminos, pro-
dudis ad4.redosfpales per ultimam fexti, patet ergo propofitum.
bi etiam pot.cft patere ex hoc,quoniam ficut ille angulus correfpon-
det illi parti fuperficiri fphaericse,fic refiduum 8 . iolidorum anguloril
redora totali refiduo iuperficiei illius fphan% refpondet,ergo g 1 6 «
quinti.eritgmutatim anguli ad angulum,ficut iuperficiei ad fuperf*
ciem,& per r 8.quinti,& per ? .huius econtrario patet ,ppofitum.

L XXX VI II, .

Si inter duas quartas circulorum ecqualium in (phxrx fuperficie (e fe-
tantium,ad extremitatesarcuum arqualium linea; reda; ducantur,illa: erut
£cquediftantes.,&remotiorapundofedioniserit longior.

Sint arcus magnorum circulomm in fuperficie alicuius fefecantium,qui a b c & a d
e.fecantesfein pundoa,in quibus lignantur arcus arquales,ita,ut arcus ab fit aqualis
arcui a d,& arcus b c araii e d,& continen tur linea reaa.qua b d & c e.Dico,q> linea c
e bi b d iunt aquediitantesA’ q> linea cecft ma-
ior cfj linea d b,quia ltacp arcus a b eft aqualis ar-
cui a d.palam per z8,terttj & per 6f. huius, quoni
am pundus a & polus circuli tranfeuntis per pun
da d & b,ideo 9 reda linea qua ad & ab ninC
aqualesA fimiliter eft de circulo tranfeunte pun
da c8( e, circumducatur ergo iuperficiei ipharrae
per punda d b circulus eredas fuper diametrum
fphara g .huius,& fimiliter per punda e&c,

erunt ergo illi circuli aquediftantes per 1 ^unde-
cimi, erunt ergo linea cd& bd aquediftantes g'

» 6,undecimf,imaginata fuperficie plana in qua funt punda b c d e, circulos fecundum
illas lineas fecante.fed Alinea ce eft maior cp linea d b,fi enim fit aqualis aim fitaque-i
diftansjpalam.quia circuli abc&aed aquediftantes erunt, qcf eft contra hypothelim.

fupponunt enim Ce fecare in pundo a, aut fequatur circulum tranfeuntem per punda b
& d aqualem fieri circulo tranfeunti per punda edi d, quorum circulop* polus eft pun-
dum a, qd* iterum eft impoftihileA fi linea c e fit minor cp linea b d, concurrent circulf
a b c tk a d e ultra lineam c e potius cp ultra lineam b d,eft ergo linea b d remotior i pu»
do fedionis,quod eft^ppofitum hypothefis,ergo patet ^politum,

LXXX1X.

Omnes lineae longitudinis unius pyramidis rotunda;, funt tequales , St
cum femidiametris bafis aequales,fed acutos an-
gulos continent es, ex quo patet omnem pundu
uertids pyramidis eiTe polum circuli fiia; bafis,
omnemc^lineam longitudinis elTe in eadem fu-
perficie cum axe,ipfam quocp axem centrum cir-
culi bafis orthogonali ter attingere,

Qm enim per principia 1 1. Euclidis pyramis rotun-
da lit per tranfitum trianguli redangult, alterutroiuorS
laterum redum angulu conrinentiu fixo , donec ad loca
fuum unde incipit redeat, triangulo ipio c/rcumdudo,
qui triangulus,!! fue * ‘

i fuerit duorum latera ajqualium, fecun-
dum unum laterum acqualiuredum angulu continen-
tium

LIBER. FRUJYS* 11

ttgm fuerit fixu.caufabitpyramis redangida,ideo,c£angiilus duplicati,(iu trianguli ad,
uerticem pyramidis eftredus,per j-.& per 3 *.prirm.& 11 fixum latos, fuerit min.iis.Iatc-
re moto, erit pyramis ambigonia,qm per 19. primi angulus ad uerticem fit obtufus . Si
Ij latus fixum fuerit maius latere moto, erit pyramis oxigonia,quia per eandem i cj.pris
mi, angulus eius ad uerticem remanet acutus adiuuante femper 3 1. primi, fic ergo d ia
uerfantur forma: pyramidum fecundum diuerfitate ,pporciois lateris fixi ad alterum la
tus motum, redum angulu continens cum fixo,& quia latus fubtenfum angulo redo,
caufat omnes lineas longitudinis in qualibet pyramide.palam,q> omnes linea: longitu-
dinis totius rotundee pyramidis uni linea, fimt aequales ei, f, qua: in trigono redangulo
rcdo.ergo di omnes inter ie funt aequales. Si ergo trigonii orthogonia caufans pyrami
dem fit a b c?cuius angulus a b c fit redus,erit per 31. primi angulus a c b acutus , & eft
acb angulus cui omnes anguli contenti a lineis logitudinis Si femidiametris bafis funt
aquales, & hoc ,p ponitur, patet enim ex rjs,qm pundus uerticis pyramidis cuiuslibet,
efi; polus circuli (lia: bafis per 6 y.huius,8i quonia h'nea a ceft in eadem fupcrficie trigo*
na cum linea a b.patet, quonia omnes linea longitudinis funt ineade fupeficie cfi axe a
b,Si quonia linea b c motu fuodeferibit circulu bafis.patet q> axis a b centrum circuli ba
fis orthogonaliter attingit per 8. primfiquiacx circuli diffinitione Si prima parte axis
exiftente comuni,omnes anguli ad centrum b conftituti funt aquales, pate t ergo pro-=
pofitum. XC,

O mnis fuperficiei plana: fecantis pyramidem rotundam uel lateratam fe
eundum axis longitudine Si fuperficiei conicar, comunis fedio eft trigonii
duabus lineis Iongicudinispyramidis & diametro bafis contentum,ex guo
patet,quonia illa luperfides diuidit pyramidem per aequalia, & q> iuperncl
cs qua: pyramide fecundum lineam longitudinis per aequalia {ecuerit,fe*
eundum axem necefiario fecabit»

Efto pyramis rotunda ab c, cuius uertex a ,& diameter bafisb c. Si fit centrum ba*
fis d,8t palam per pramifTam,qm linea a d eft fixis illius
pyramidis.fuperficies itaq* plana fecans pyramide ro*
tundam, lecundu axis longitudine pertranfit punda.a
Si d,crit itaq? illa (Iiperfides plana orthpgpnaliter ere*
da fugbafem pyramidis per 1 8 .undecimi .comunis itu*
cp fedio bafis pyramidis & illius fuperficiei plana: eft li-
nea reda g 3 .undecimi, qcF eft diameter bafis, & fit hoc
b c. trigonii itacp a b c eft in fupcrficie fecante, fed Si id2
trigonum eft in fuperficie conica pyramidis , & quonia »
trigonum orthogoniub ad eft illud, ex cuius gtrapfitu
delcribitur pyramis a b c,& trigonQ a b c eft duplum illi
per 1 .fexti.patet illud q> primo .pponjturde pyramide
rotunda, patet etiam,q> illa fugjicies taliter pyramidem
fccans,diuidit ipfam per aqualia,qm tranfiens uerticem
Si conclufa diametro per aqualia diuidit & bafem,in latcrata pero pyramide,aut fufcfi
Ctes plana fecans tranfit latus aut angulum, erftfcp^dudis lineis ad terminu axis pyra-
midis,illa comunis fedio femper trigonis maior uel minor, patet ergo propofitum,quo
niam Si couerfa per fe,& ex pramiflts patet,

XCI.

Omnis pyramidis rotunda: uel lateratae linea: longitudinis fuper axem
in uertice tantu fe interfecant , produda: quocg aliam fimilem pyramidem
principiant,cuius linea: longitudinis fecundum, politione & ficum priori
pyramidi modo contrario fe habent.

Quoniam omnes lineas longitudinis pyramidis cuiufcun^^duda/e fuper axem

f inner#

A

perspectivae VitElLioniS
in uertice fecent,euidens eft, quoniam concurrimt omnes in illo piihdlo uerticis,& qtid
niam omnes funt xquales per 8 j> .huius. patet, quia circa uerticem nulla ipfarb aliam in*
terfecat,q> etia pducftae aliam pyramide priori fimile prirt
cipiant.patet, fecetehim fugffcies plana pyramide iecuna
dum axis longitudine,erit ergo g procedente comunis ft
dio iftius (ugneiei & fuperfidei conico pyramidis .trigo-
num aequum duplo trigoni redtanguli pyramide caufan-
tis,fed pala per 3 6, huius, 9 latera cuiuslibet trigoni ,pdu<
dia principiant aliu trigonii priori limile, cuius latera po*
fitionem Si litum priaris trigoni lateribus contraria ha-.
bent.& quonia tot pofiunt imaginare planae fugfici es tra$
axem pyramide fecantes.quot umt lineo longitudinis py
ramidalesimmediatsepyramidis.pater.quonia omnes li-
neae longitudinis produdfce, principiant aliam pyramide
priori fimilem , lineis longitudinis i dextra prioris pro*
deuncibus in finiftra pofterioris,& a finiftro prioris index
mim pofterioris,&: econuerfo. patet ergo ^pofitum .
XCII.

Omnes lmea: longitudinis unius columna: rotunda funt aquales, re*
&os angulos cum femidiametris fuarum bafium continentes,^ in eadem fu
perficiecumaxeexiftenteSjexquo patet, quonia axis cuiuslibet columnae
rotunda: centris fuarum bafium orthogonaliter infiftit.

Hoc non indiget demonftratioe alia nifi ftmili illi ,quo fit in Sp.huius.ficut enim tri
gonum ortlioggniS’ altero laterum re<ftum angulu cotinentiu fixo,g reuolutione iuam
caufat pyrarfiide rotundam, fic quadrilateiu redangulu quocj iuos* laterum fixo raa--
nente ,ali)s tribus quoufq* ad loeu fuumredeat.circuducftis caufat motufao figura co*
lumnarc rotundam,fiet ergo ptradio omniu eoriim quo pponuntur hic, ut in illa, quia
patet totum euidenter.

Omnis luperficiei plana: fecantis cojumna rotundam
fecundu axis longitudine & luperficiei columna:, cornu*
nisfedio eftrecftangulufub duabus lineis longitudinis
column<e,8£duabusdiamctrisbafium contentu, ex quo
patet, quonia illa fugficies per a:qualia diuidit f olumna^
Cola na rotunda fit .cuius axis e f,fecetcg iplam per c f fuperfi
cies plana, fitfcg comunis fedho fecundu punda abed, Dico, 9 fc
dtio a b c d eft quadrangula redangula fub lineis longitudinis ca
Iano,& duabus diametris bafiu cotenta.ducat eni linea ea in bale
coluno QC in (ugficie fecate,hoc eft ergo femidiameter circuli ba*
fis coluno.Copleat itacgegdiametjy bafis,cadet'cgin fugficie pia
na columna fecante.fi enilineaeg no eft duda in fuperficie pia*
na columna fecante, ducatur linea b e in illa fupfkic lecante.lincae
ergo b e & e a funt linea una,qrh funt in una fupficie ,pdudo am-
bo orthogonaliter fuper axem e f cotinue, fimilitercg linea e g co
plet diametrG a e, no in fupficie fecate.fcd alia , erit ergo linea a g
pars in plano, pars in fublimi,qd' eft contra 1 . undecimi . palam
itacp.quoniam linea a b eft diameter bafis,& 9 puncflusg cadit fii
per pundum b.Similitercg declarandum de linea c d , quonia eft
diameter alterius bafis,linex quocg a c & b c funt linea; longitudi-
nis columna:, qtf eft propofitum.ex hoc itacp patet, quoniam ann

LIBER. PRtMVS, ii

illa fedlio diuidat per aequalia bafes Columnae, qd1 etiam diuidit g aqualia columnam;

XCl III.

Sug fidei fecatis columna rotunda aquedi ftater fugficiei per axem fecan
ti,&fuperficiei columnaris comunfs fe<ftio,eft redangulu fub duabus lineis
logicudinis columna, SC duabus lineis minoribus diametris bafiu cotentu.

Sit, ut in pracedenti ,ppofiaone,columna ieda per plana fugficiem fccundu iecftio*
nem redangula ab cd,cuius axis fit e f,fit'qj nnne fupficies plana columna fecas , aque
diftans iuperficiei a b c d,cuius comunis ledio cum fuperficie columna fit h i, k Lducan?
turcp 5 pundis h& i linea: gpcndiculares fiiper diametru a b per 1 2.primi,qua(int h m,
in, erit itacg linea mn aqualis linea: hi, ut patet per jq.primidinea enim a b &! hi fune
Sequediftantes ex hypothefi,& linea h m & i n iiint ieqiiediftantes per z8 .primi, eft er-
gp linea h i minor diametro a b,fimiliter quocjj ik minor eft diametro c d,dudis ppen*
aicnlaribus lineis, qua 1 o & k p,fed linea h k & i 1 funt linea longitudinis columna, pas
tet ergo ,p polito. X c v.

Omnis fuperfides plana contingens pyramidem,uel columnam rorun*
dam,fecundum lineam longitudinis eft contingens.

Non enim fecunda pundQ cqptingit fupficies plana ,,ppofita corpora ficut fphara,
qin in ipfis eft longitudo, qua non eft in iphara.fed utcuqj contingitipfa (ecundutn fu
perfictcm,qm cum in quolibet lftoru corpojii funt infiniti circuli fuis bafibus aquediftan
tes & ipfie bafes,accideret illos iecundu lineas in fiiperficie plana contingcnte,dudas ad
ipioR: contadum,non contingi iecundu pundum^ed fecari,qcf eft contra ij-.tertij,8C
iiTipofiibilc.non ergo continget fugficies plana .ppofita corpora iecundu fupcrficiem,
relta t ergo,ut iecundu lineam contingat,8C quia co tingit in pyramide uerticc &C bafem
& in columna ambas bafes, patet, cp utrunq? illopd fecundum lineas iiiarum Iongitudi*
num eft contingens,patet ergo propofitum,
xevi*

Omnis linea perpendicularis fuper curuam fuperficiem pyramidis , uel
tolumnee rotunda,necefTario tranfit per ipfarum axem.

Pyramis rotunda uel columna (it,cuius linea longitudinis fit a b,& eius axis a g , &
fit linea d e gpendicularis fiiper curua illius fugfieiem.Dico,qj linea e d cranfit per axem
a g,ducatur enim (emidiameter bafis,qua fit,b g, quia ergo linea
e d eft ppendicul aris fiiper curuam fugficiem ^jpou tam, palam ^
diffi'nmone,qm linea e d eft gpendiculariter eredta fiiper fuperfi*
ciem contingente pyramidem fiiper aliqua lineam iua Iongitu-
dinis.fit hoc fiiper lineam a b,cadit ergo linea e d fuper lineam a
b.palam ergo per i .undecim i, qm linear d e& ab funt in eadem
fiiperficie, & quia linea d e eft ppendicularis fiiper curuam fiiperfl
ciem pyramidis. patet, q> illa fuperfides erit eredta fiiper fuperfi*
ciem conicam pyramidis,&! in ipfa eft linea a b.,pdu<fta ergo tras
pyramide, fecabit ipfam iecundu lineam longitudinis a b g aqua
liadiuides pyramide.fiC trafibitgaxemagper po.hui? .trigonu
a bg cum linea de eft in eadem fiiperficie,quia ergo linea ed cum
uno latere trigoni b a g,qd* eft a b, continet angulum re<ftum,qui
eft d e a, angulus uero e a g eft acutus,palam,quia linea d e cocur
rctciimlineaagper i4.huius,tranfitergoperaxem pyramidisuel columna rotunda,
qd1 eft .ppoficum.qm in columna rotunda eodem moao demonftrandu, in illis enim,
quia linea longitudinis a b aquediftat axi, fini linea deSdabSC axis funt in eadem fugfi*
Cie, patet per z huius,quia linea d c concurrens cum una linearum aquediftantium,idco
ium ab & cum axeneceflario concurret ,&hoc ^ponebatur.

xevii.

Omnis fuperfides plana fuperfidei contingenti, pyranifdfem uel colum*

f * nam

PERSPECTIVAE VITEELIONIS

nam in loco Contadus ofthogonalfter tnfiftens , neceffario fccat pyramide
uel columnam per ipfius axem .

Sit pyramis uel columna rotunda,quam contingat liiperficies plana, palam ergo
per 9J- .huius, qm continget illam fecundu lineam longitudinis.fuperficies itacp huic ici
perficiet' orthogonaliter in loco contadus infiftcns,eft perpendicularis fupcr fuperfide
curuam pyramidis uel columns,8d ipfb# comunis fedio eft linea longitudtnis,fug qua
infiiperficie ereda ducantur perpendtculares.es itacp lines per prsmiflam tranfibunt
axem py tamichs uel columnae rotundae, ergo di fuperficies illam axem tranflens , feca*
bit pyramidem uel columnam fecundum axem, & hoc ,pponitur.

xcviii. .

Omnis fuperficiei planae fecantfs pyramidem rotundam non per uerti*
cem,& fuperficiei conicae pyramidis, communem fedionem figuram trian-
gularem efie impoffi bile .

Efto pyramis, cuius nertex a, diameter bafis b c, centrum bafis d,& axis a d, qua fe#
eundum axis longitudine fecet fuperficies plana fecundu trigonum a b c per 90 . huius,
fecettg ipfam alia fuperficies ereda fitper trigonum a b c , no per
uertteem fecundu fedione,qus fite f g, cuius fupremus pundus
fit f,& fit linea e g squediftans alteri diametro bafis pyramidis,
cuius medius pundus fit h,& ducatur linea f Iri fiiprcmo pundo
fedionis ad medium fus bafis, & quia linea e g eft linea reda,qus
cfl: squediftans diametro bafis pyramidis,& pundu f fignatu eft
in fugficie conica infiipremo,fugficies e f g lecat conica fugflcie.
Si itaqj fedio e f gfittrigonu,f.redilineu,patet,qmdus lines 15
gitudinis pyramidis,qus funt e f di g f , concurrunt in pundo f
prster uerticem pyramidis,quod eft itnpoflibile di contra 9 1 Anu
ius.Trigonu quocg circulilineam fieri eftimpofTtbtle,quonia fug
c ficies fecas fitp ponit efle plana, di fuperficies illius trigoni eft cur-
ua,ut patet ex diffinitione, erit ergo linea ef g linea una.cum it aqj
illa fedio fij linea una,dicat fedio conica uel pyramidalis,fi itaqj
axis pyramidis q eft ad fit squalis femidiametro bafis, qus eft
b d. palam ,quia pyramis a b c eft orthogonia , q m a ngulus b a c
trigoni a b c eft redus.Si ergo linea f h,quseft comunis fedio fii
perficiet e f g,& trigoni a b c squedtftet lines a c , qus eft latus trigoni, & linea longi-
tudinis pyramtdts,pa1am per 2 9. primi, cum angulus b a c fit r edus, 8d etiam angulus b
f h erit redus,& fimiliter angulus h f a,tuncitaqj fedio e f g dicetur fedio redangula,
uel parabola, di eft illa, qua Arabes dicunt mukefi.Sf uero lines h f & a c non squedi*
flant, fed cocurrant,fi concurfus fiat ad partem pundi a,qus eft nertex pyramidis , tuc
patet per 1 4.huius,q> angulus h f a erit obtufus,8i tunc fedio e f g dicetur ampltgonia
uel hyperbole uel mukefi addita.Si uero lines d f & a c concurrant uerfus pundu c,qul
non eft uertex pyramidis,tunc per 1 4,huius,er it angulus hf a acutus, di tunc fedio e f
g dicetur oxigonia,uel elipfis uel mukefi dimihuta,& fecundum hunc modum ifts fc*
«diones di earum paffiones ampliffime uariantur.

XCIX.

Omnis fuperficiei plansefecantis pyramidem uel columnam lateratam
tras axem , cequediftanter bafi di fuperficiei pyramidalis uel columnaris co
munis fedio eft fimilis periferite bafis,& fi illa fedio periferite bafis eft fimi
Iis, fuperficies fecans a?quediftatbafi pyramidis uel columna:»

Si enim illa fedio bafis squediftat,omes trigoni laterales totius pyramidis 8^ par
tiales trigoni fiint squianguli per 2p,primi.patet ergo per 4«fexti,q> tota periferia Cei
dionts eft fimilis bafi pyramidis3qqqnta omnia latera trigono# totalium di partialium
: ••• erunt

L

LIBER PRrMVS» i)

'etut ,pportioftalia,& fi illa Cedito eft bafi fimilis,eft etia bafi sqcfiftas,qrh fi no eftsqdi-
ftas,crit alia fcdm lde pundu lecasperaxe,sqdiftas bafi' fimilis piferis bafis g prnifla,
(equit itacjj,ut una fimilis, alia quoq? non fimilis,iecundfl idem pundu fecen t axem py*
ramidis,alia uero squediftas bafi fieri poterit g 3 1 .primi, duda ab uno pundo prima
(edionis linea squediftante alicui lineare bafis pyratnid is,&! i ternis illius alijs lineis se*
quediftantibus reliquis lineis bafis ,pdudis,ex hoc autem accidit impofltbiIe,qm iequic
ex hypothefi angulum extrinfecupptcr trigono^ fimilitudine squalem fieri lntrinfe#
co,cum ab uno pundo exeant dure lines squales angulos cotinentes angulis illis , qui
fiunt per lineam periferis bafis ,patet ergo gpofitum in pyramidibus, & eodem modo
demonftrandu eft in columnis lateratis,& facilius ,ppter squalitate linea^ g 34, primi,
c.

Omnis fuperficiei plana: fecantis pyramidem uel columnam rotundam
tranfaxeni a:quediftanterbafi,&curua: fuperficiei pyramidisuel columna:
comunis fedio eft circulus,# fi illa fedio eft circulus fuperficies fccans eft
icquedi ftans bafi, ex quo patet,q? omnis plana fuperficies arquediftater ba*
fi fecans pyramide uel columna,nouam pyramide conftituit uel columna.

Sit pyramis rotuda a b c,cuius uertex a, diameter b c,& centru bafis d, fecetfcg ipfam
liiperffcies pia na squediftanter bafi,& fit comunis iedio fuperficiei illius 8£ fuperficiei
con ics pyramidis linea e f g.Dico,q> linea e f g eft periferia circuli, fecet enim alia fu#
peificiesplana pyramide peruerticem&: per axem,qus eft a d,comunis itaqj fuperficiei
& pyramidis fedio.eft trigonum,qcP fit a b c per 90. huius , fecetcg
fuperficies e f g axem a d in pundo h,# trigonum a b c fecet Caper
ficiemef ginlineaehf,eritergolineaeh squediftanslinesbd g
16. undecimi, eft ergo per 19. primi & per 4.(exti qrportio lines b a
ad ea,ficutlinesc a ad lineam e f, ergo per 7.hiu'us, erit euerfim,p#
portio lines b a ad lineam b e,ficut lines c a ad lineam e f , ergoper
» (S.quinti erit permutatim ,p portio lines b a ad lineam c a, ficut li-
nes b e ad lineam e f .Sed linea b a eft squalis ipfi c a per S^.huius,

& anguli quos continent lines logitudinis pyramidu cum femidia
metris bafium,fiint squales.palam per 4. primi, quia linea d e eft s#
qualislines d f ,# angulus e d b eft squalis angulo f d c, quia uero
angulus h d b squalis angulo h d c,qmambo lunt redi.& angulus
e d b squalis angulo f d c, remanet angulus e d h squalis angulo f
d h,quonia funt refidus partes redoru fuper angulos squales, pa-
lam ergo per 4.primi,qm linea e h eft squalis lines h f . Simili terfcg
dud/s lineis h g & d g,& completa ±>ut in prsmifiis figuratione dc
clarabitur, quonta linea f h eft squalis lines g h,flint enim trigona
squiangula,ut patet intendenti,ergo per i9,tertrj pundu h eft cen
trum circuli,eft ergo e fg linea circuferentia circuli, qcF eft ,ppofi-
tum.Et fi fedio e f geft arculus,palam,qm fuperficies plana fecun
dum illum circulu fecans pyramide,eft squediftans bafi, eri t enim
e a f pyramis,cuius axis a h,& centrum bafis h,erit itacp linea lon.# ■
gitudinis,quseftea,squalislinesf aper 89.huius. Sed linea ba
squalis eft ipfi c a, remanet ergo linea b e squalis ipfi e f ,erit quo-
q? linea e d squalis lines f d per 4. primi,# quia trigona e h d fh
dfuntsqualia inter (e latera habentia,ergo per 8. primi angulus e
h d eft squalis angulo f h d,ergo per diffinione lines fup er luperfi
ciem ereds patet, q> linea d h ereda eft fuper (uperficie ef g,led eadem linea h d eft ere
da fuper bafem pyramidis,cuiusdiametereftbc,ergoper i4.undecimi luperficies e f
g eft squediftans bafi dats pyramidis, quod eft ,ppofitum,qm (impliciter fecundu prs-
miflum in pyramidibus modu,ia columnistg rotundis poteft demdnftrari, & propter

* I aquedi*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
zequediftantia lineajc longitudinis columnae facilitas accedit demonftrationi . fiunt em
line» d f ,d g,deceqles,crgo di lina: h e,h g,h f 3erit'cg fedio e g f circulus per 9. terti] , 8i
conueria (impliciter ,patet per i4,undecimf ut prius,& hoc ^ponebatur. Per haec itaqj
patet manifefte,qm omnis plana luperficies fecans quamcuqj pyramide »quediftanter
fure bafi,nouam conftituit pyramide, cuius in pyramide rotunda bafis eft circulus, di in
lateraca pyramide, fuperficies fimilis bafi illius fed» pyramidis,ut patet per 99, huius,
femper tamen uertex illius pyramidis abfeifa:,eft idem cum uertice prioris, & axis ab*
lcifac,pars axis ipfius prioris.datx bafis quocp aequediftat bafi.Similiter quoq? fit in co*
lumnis rotundis uel lateratis,(uperficies enim xquediftanter bafibus fecans quamcucp
colum nam,nouam efficit columna rotundam uel laterata^imo duas.f.abfciiam & ipfam
refiduam,qd' non accidit in pyramidibus,patet ergo totum qd* ^ponebatur,
c 1.

In qualibet columna uel pyramide i dato in eius fuperficie punefto, line*
am longitudinis ducere.

Imaginetur enim fuperficies plana fecans pyramide uel columnam trans illius pun
dum di trans axem, q> fiet, fi i pundo dato ducatur linea reda fiiper axem, illa ergo 1 i*
nea di axis funt in una fuperficie per 2. undecim i, qu» fuperficies fecabit pyramidem fe-
cundum lineam longitudinis per illud pundu tranfeunte per 90, huius, columna quoqy
per 92,huius,patet ergo propofitum,

Cir.

A dato puncfto,fiue in axe,fiue 111 fuperficie curua data? pyramidis rotun
da: uel columna: circulum circumducere,

Efto pyram is, cuius uertex pudum a, axis uero a d,in quo fit datus pundus e, 4 quo
debemus circulu totali fiiperficiei conicas circuducere.Sit itacg,ut fuperficies plana fe
cet pyramidem fectmdu axem a d tranfpundum e,conuinis itaqj fedio illius fuperficiei
plana: di fuper ficiei conica:, erit trigonum per 90 ,huius,cuius bafis fit b c,qu» erit dia-
meter bafis py ramidis.In hac itacp fiiperficie per 1 1 .primi ducatur 4 pu-
do e linea perpendiculariter fuper axem a d,qux pduda ad conica fug*
ficiem fit e f .& item ab eodem pundo educatur linea perpendiculariter
fuper a d.cadatfcg pundum e in conica pyramidis fuperffcie,& fimiltter
ducatur linea e bgpendiculariterfiiper axem a d,cadat'qj pundus h in
conica fuperficie,quia ergolineaa e fiiper comuncm terminulineajtef,
e g,e h orthogonaliter infiftit,palam per 5-.undecimi.qn1 ili» linea: lunt
in una fiiperficie, eritqj per S .undecimi linea a e perpendiculariter ere*
da fuper illam fuperficie f g h ,& quonia linea a d ereda eft perpendicu
laritcr fuper bafem pryamidis per 89 ,huius,&: per diffinitione pyrami-
dis,patetper i4.undecimi,qm fiiperficiesf ghxquediftat bafi pyramt-
dis.eftergoper loo.huiusf ghcirculus,q>fipundusdatusfitin fiipcrft
cie conica,fit ille pundus f,& ducatur i pundo f gpendicularis fiiper
axem a d,qu» fit f e, per 1 2.primi.educantur'cg 4 pundo e lineareg&e
h perpendiculares fiiper axem a d,per 1 1 ,primi,& deinde, ut plus coplea
tur demonftratio, patet itaqj ^pofituir^quoniam fimpliciter eodem mo
do negociandum eft in columnis,

CIII,

Omnis fuperficiei fecantis pyramidem uel columnam rotunda trans a*
xem non seq uediftanter bafibus, ^fuperficiei curua:, comunem fedionem
circulum e fle eft impoffibile.

Sit pyramis,cuius uertex a,diameter bafis b c,6d centnim bafis d,& axis a d, fecetfcg
ipfam fiiper ffeies plana trans axem a d in pundo c non tequediftanter bafi,& fit cornu*
his fedio huius fiiperficiei plana: di fiiperficiei conica: f g,h k.Dico q> hac fedio no eft
poffifeilejUtfic circuIus.Efto enim,ut circa pundum e in pyramidis conica fiiperficie du

catur

tlftEft. J PRIMTS-.

Citat circulus per pramtfftam.liQc itaqj «quediftabit bafi per ioo,huius3 fitt# f gIm,2C
fignentur linea: logitudinis pyramidis a f,a g,al ,a m,

«a: rtacp oes ctut «quales g 8 51. huius, ideo, 9 fupficieS
«qirediftans bafi pyramidis.nouam pyramide abfein-
dir per ioo.huius,6<! quoniaiedio f g.hknon «quedl
ftat bafi pyramidis,patet,9 non «qualiter di ftat i uer
tice pyramidis,qu« eft pundum a, fit itacp pundus h
remotior 4 uertice a,& cadat in linea a 1 ,pduda,& pun
dus k fit .ppinquior uertice a,8<! cadat in linea a m.erit
itacglinea a h maior cjj linea a I , & linea a k minor eft
c$ linea am,& continuentur line« h e,k e,f e,g e, 6>C li*
rie« e!,em,&quonia angulus ale eft acutus per 89.
huius,erit angulus h 1 e obtufiis per 1 3 .primfergo per
19. primi latus h e trigonihel eft maius latereel ,led
latus e 1 eft «quale lateri e f per diffinitione circuli , li-
nea uero e F uenit 4 pundo axis ad pundum fcdionis,
quia eft comunis fedio circuli & fuperffciei obliqua:
pyramidem forantis, in«quales itacp Iinc« ab hoc pun
doe,pducuntur ad periferiam fedionis.non eft ergo
fedio illa circulus per circuli diffinitione.Dicemus er
go illafedione in pyramidibus pyramidale,&! in cojunis colunale , eft tn illa in 98, htt*
ius prius dida fedio oxigonia ilbl elipfis.&qm talis fedio eft figura: oblong« ,patet, q»
ipfa habet diametros plurimas omes inxquales ,& per illud pundu axis fodi corporis
trafeuntes ipfam quoq? fedione per «qualia diuidentes,quorum maxima eflr,qu« trarj
fit longitudinem fediois, minima uero eft,qu« pertranut latitudinem, eft fuper maxi
mam diametrum orthogonaliterereda,patet itacg propofitum,
c 1 1 1 1.

Omnium duarum planarufuperficierumfecantium pyramidem uel co*
lumna rotundam trans idem pundu axis, fi una aequediftanter bafi , 8C alia
non aequediftanter fecuerit,comunis fedio eftlinea reda tranfiens pyramis
dem uel columna orthogonalis fuper axem,ex quo patet, q? fiue circuli perf
feria,fiue fedio alia quarcunCp non in eadem fuperficie,quamcuncp fecueriC
jfcdionem,in duobus tantum pundis ipfam interfecabit.

Sit ut pyramis, cuius uertex a, a axis a d fecetur fontndu pundum axis e, a per du*
as planas fuperficies,quariim una foret «quedi ftanter baf? ut f g h,alia uero non «que*
4iftanterutf gkl,Dico,q> comunis fedio iftarum ftiperfi .

cierum eft linea tranfiens pyramidem orthogonalis uiper
axem.ut eft linea f eg,q> enim ill« iiiperftcies fe interiecer, / \

patet perhoc,q>aliqu«line« in ipfts ,pdud«,ad unum co* /\

munem terminucopulentur38dn illo feintcrfccant,ut in pii / \

dp e.Quod enim illarum fiiperficiera comunis fedio fit li- / \

nea reda, patet per 3.undecimi.q> aute illa linea, qu« eft il# /

larum lineapt comunis fodio, fit orthogonalis fuper axem c / i / \ <

pyramidis,qu«eftad,patet g 14. unde cimi, axis ad eft p* / ~7'\ \

peudicularisfuperbafempyramidis8<: fuper fupcrficiem f / '-h

g h ,qm ill« fuperficies funt ex hypothefi «quediftantes,er^ s/. . —

go per diffinitione line« fiiper fuperficiem ered«, omnis Ii

hea duda a pundo axis e in fuperficie f g h eft ppendicularis fuper axem a d.linea uero
qu« eft comunis fedio iftarum fuperficieru fecantiutn,neceflario in fiipcrficie cadit f g
h,alioquin non effet comunis fedio, palam ergo ,ppofirum primum.qrh comunis fedio
fuperficieru taliter, ut ^ponitur pyramide fecanuum,efi orthog onalisfuper axem py*

tamb

perspectivae vjtellionis
eodem pjpdo demonftrando , Idpip patet in columnisrotundis,ex quopsu
tet& corollarium .quoniam fi comapunis fe&io tajium fupcrficierum eft linea reda . In
duobus autem tantum pundis,quifunt termini illius lineae, fiet interfedio illarum fo=
dionum,cfjuis in pluribus punctis hoc fit fieri poffibile,cum fe interfocant in eadem pia
na fuperneie, patet ergo propofitum ,

• cv.

Ex aliquo punefto bafis periferiae columna: rotundx femicirculo in fuper
fi cie conuexa uel concaua columnari circumdudo, neceffe eft lineam Ternio
circulum illum per aequalia diuidentem adfuperficiem bafis
credam efte.

Sit ut ex aliquo pundq pprifma bafis columna: rotunda: q>fit»,
circumducatur femicirailus in fuperficic columna concaua uel conue-
Xa.qiue fitb c d,& eius centrum erit pundum a,fit'cg ita,ut linea a d di*
uidat illum femicirculum per a:qualia in pundo d-Dico q> linea a d eft
ereda fuper fupcrficiem bafis coiumnar,quoniamenim arcus bd eft se*
qualis arcui d c,patet,q> angulus d a b eft «equalis angulo d a c per z£»
tertij. eft iginir linea a d pars uniuslinearumlongitudinis columna:, eft
ergo ereda fuper bafom per 9 z .huius,patet ergo ,ppofitum.
cvi.

Data! pyramidi rotunda* pyramidem eiufdem uel diuerfa: altitudini?
inferibere, ex quo patet inferipta: angulum ad fcAfem, angulo circumfcriben
tis maiorem eflc:& fi inferipta pyramis ad aliam bafim priori bafi acquedf*
ftantern producatur, anguli produ&ae ad bafem , angulis data: pyramidis
maiores erunt, & qpaniUUicunc^ anguli ad bafem gugmentantur, tantum
anguli ad uerticem minuuntur»

Efto exempli gratia,ut pyramis,cui alia eiufdem altitudinis debet infcribi,fit ortho-
gonia >$£ fit a b,a c,a e, a f lineis luse longitudini? fignata,& axis eius fit a d , ablcipdatu*
itacp fomidiameter bafis qua: eft d c,ut libuerit, & fit ablcifa in pundo h, producatur itaqj
linea a h,& habetur triangulus a d h, cuius latera a h,d h latere a d fixo manente, reuolx»
liantur ad locum unde moueri inccperunt.proueniefcu pyramis a e h i k,cuius axis a d,
& fic poteft fieri inferiptio ad qdcunqj pundum linea: d c,& hoc eft qcP proponebatur
primum. Qd fi diuerfie altitudinis pyramidem ad balem commune inferibere placuerit
fimilcm priori data:,fignato pundo ubi uolucris in linea axis ad, uel extra , tum intra
corpus pyramidis , quod fitx,producatur linea: i pundo x ad totam periferiam, ut x h,
x c,x e,x f patet propofitum.Simtlitererit faciendum, fi quis inferibere noluerit pyra
midem ad bafem minorem bafe pyramidis data:. patet autem ex pnemiflts, cum omnes
anguli cuiufcucg pyramidis ad ba,fem,flnt ecquales per 8s>.huius,quonia ex motu f»ngi»
li unius trianguli.omnes illi anguli faufantur. palam ,q> quicquid in triangulo caufante
maiorem pyramidem refpcdu trianguli caufantis minorem pyram/dem proueniet,m
orbus fimilibus fiC a:qualibus triangulis maioris pyramidis ad fimiles triangulos maio-
ris prouenirenecefle eft. Cum ergo in^ triangulo. d h a angulus a h d fit per 1 6. primi ma*
ior angulo a c d, trianguli d c a, quoniam eft- extrinfecus.patet,a> omnes anguli pyrami
dis a g h i k ad bafem fiunt maiores oniibus angulis pyramidis a b c e f ad balem exiften
tibus,& eodem modo poteft demonftrari in pyramide inferipta pyramidi aghik,&
hoc eft fecundum propofitum. Qd fi linea longitudinis,quee eft a h, protrahatur ad pur»
dium m,& axis a d ad pundum n,fiat'q* angulqs a m n redus,&! fecundum eum com?
picatur pyramis a 1, m o p fuper axem a p, patet tertium propofituro,quoniam anguli g
dudla: pyramidis ,qui fiunt ad bafem, aunt maiores anguli? ad bafem prima: data py*
^amidis,quoniam ex z?. primi angulus n m a tequal is eftangulo d h ?,6< angulus cjha
eft angulo d c a„ergo. angulus n m a maior eft anguiq 4 c 3 , omnes ago ajngulf

ad

LIBER PRIMVS, 2 y

ad balem pyramidis a 1 m o p angulis ad bafem pyramidis a b c e f fllflt maiores 3 cjijflic
bec.fiiio correipondenti.Eodcm aute modo demoftrari poterit, 8i
fi pyramis inlcripta pyramidi a g h i Ic, producatur ad baiem didas
pyramidisprioribali asquediftantem,eft enim idem modus, patet-
'cg ex prxdidis ultimum .ppofltum.fiquia quantum anguli ad ba-
fem ampliantur,tantum aguli ad uerticem eiufdem pyramidis mi
nuuntur, quilibet enim anguli cuiuslibet triangulicum fint aequa*
les duobus redis per 3 z. primi, angulo ergo redo in omnibus peru
manente,reliquiduo ualent unum redum,cp ergo in uno illorum
addit,necefle eft ut in relicj minuatur,& hoc eft totu qcf ^ponebat,
cvn.

Si pyramis rotunda pyramidi rotundas infcribatur, iic
ut ambarum eadem bafi exiftente diucrfe fint axes , cen*
trumaxis,8iuerticesambarum pyramidum in eadem li*
nea confiftere eft necefle ,

Efto pyramis data,qax fit a b c e f, cuius bafis fit circulusb c e f '

8d eius centrum d9fit'cg axis pyrami
dis a d,& fit exempli gratia ortho*
gonia, infcribatur'^ ei per prxcede
tem ad eande bafem pyramis brcui
oris axis taliter, q> intra illam conti
neatur.Dieo q> centru circuli bafis
ambajfc pyramidS,qd* eft d >di uer-
tex data: pyramidis, q eft a , di uer^B
tex infcriptx pyramidisqui fit g,
omnes erunt in eadem linea ad,&
hoc quide patet de pundis a di d,q>
aute pundumg in eadem fit linea,

^batur.Si enim non eft in eadem,
ergo ad aliqua partem extra illam li
neam declinat,lit ergo nunc eius de-
clinatio ad partem aexterauerfus li
neam a c in fuperficie trianguli a d
c.producatur g d linea, quia itaqj g
8s>.huius,omnes line* longitudinis
eiufde pyramidis iunt xquales, pa.-
tet ,q> latera g b & g c funt xqualia,
fed & b d eft xqual is ipfi c d, 6«! axis
g d comunis,ergo per S. primi, an-
gulus g d c eft xqualis angulo g d b
uterqjergo eftredus. Sicut aute an
gulus a d c eft redus, fic & angulus
g d c erit redus, ergo redus eft pars
redi.hoc aute eft impofllbile. patet
ersOjCumubicuncp extra lineam a
d fignato pundo g,femper idem ac-
cidit impoflfbile.quonia pundus g
neceffario erit in linea a d,hoc eft ,ppofi tum.Qd fi i pundo g ad balem pyramidis pro-
dudus.axis dicatur non cadere in pundo d centrum circuli bafis,fequitur aliud impofii
bile contra hypothe(im.f.q> ad eandem bafim illa pyramis non fit inlcripfa,qcf' eft co n *
tra prxmifla,uel fequitur,q> line* dud* i centro ad circuferentianon fine xqual cs ,qd*

g totum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
totum eft impoflibile, patet ergo illud quod proponebatur.

c v 1 1 1 .

A Duarum pyramidum rotundarum uel laterataru jequali

um bafium & inaequalium altitudinu,uerticem aldoris,acu*
tioris anguli efle necefle eft.

Duarum pyramidu rotundam uel laterataru fit a b c altiOr,cuius a-
xis a d,& uertex a,8C p yramis e f g^cuius uertex f ,8C axis f h fit balfi-
ohfintfcg ipfarum bales b c & e g aequales ,& axis f h breuior axe a d.
Dico q> angulus b a c eft minor angulo e f g.Reiecet enim ab axe a d
aequalis axi f h, quae fit a k,& ducantur lineae b k & c k,erit ita q? pyra-
mis b c k aequalis e f g, fece t'cg fuperficies plana ambas pyramides a b
c&bk c,erunt'cg per 90, huius communes ipfarum fediories trigoni,
fit ergo ut fecetur pyramis a b c fecundum 'trigonum b a c,& pyramis
bkc iecundam trigonii bk c,eritergo angulus bkcmaior angulo b
a k,& per 3 3 ,huius,dudis alijs fuperfidebus {beantibus, erunt femper
trigona iftis tequalia dC aequiangula,pate tergo ^politum,

CIX,

Si a uerticibus duarum pyramidu rotundarum uel latera
taruina2qualiualtitudinu& aequaliubafiu,duae pyramides
sequalis inter fe altitudinis abfcindatur,necefle eft bafem py
ramidis abfciftc ab altiori bafe alterius abfeifar minore efle ,
Duarum pyramidu rotundam ambarum,uel laterataru ambarum
aequalium bafium fit altior a b c,cuius axis fit a d,8t uertex a , & baflior
pyramis fit e f g,cuius axis fit f h, & uertex f, abfridaturfcg ab axe a d 1 i
nea a k aequalis lineae f 1, ablcttae ab axe h f .fecetur itaq? pyramis altior
per fuperneie planam per axem^eritfcg per ?o.huius fedio comunis tri
gonus qui fit a b c,& fimiliter fecetur altera pyramis per axem, & fit fe-
dio trigonus e f g,8t i pundo k ducatur linea k m aequediftanter bafi
b d.& fimiliter i pundo 1 ducatur linea 1 o aequediftanter bafi e h g 3 »♦
primi, eritty per Z9,primi,& per 4, fexti ^portio linea: bd ad lineam k
m,ficut linea: d a ad lineam ak,8C ^pportio lineae e h ad lineamo 1 , ficut
lineae h f ad linea f l,eft autem linea a k aequalis lineae f 1,& linea dama
for cjj linea f h ex hypothefi.ergo per 4.quinti maior eft ^portio lineae
d a ad lineam a k,^ iit linea hf adlineam f I.eft ergo maior proportio
linea b d ad lineam m k ^ lines e h ad linea o l,fed linea b d eft aequalis
ipfi e h ex hypotefi,ergo per 1 0. quinti linea o 1 eft maior cp linea k m,8t
fimiliter produda k m ad latus trigoni a c,& linea o 1 ad latus trigonif
g, (equitur linea 1 p efle maiorem fit linea kn, 6C tota Ii*
nea o p erit maior cp linea m n ,circuducatur itacp per 102.
huius pyramidibus datis duo circuli,quojfc unius diameter
fit m n,& alteri? o p,erit'qj o p maior circulo m a,8t ga cir
culi illi aequediftat bafibus pyramidis,patet p 1 oo.huius,
qrh i uerticibus abfcindimt pyramides,quaruin axes funt
a k di f l,quae ex prtemiflis funt a:quales.Idemt# penitus ac
ciditinlateratis pyramidibus aflumptis trigonis, & dudis
lineis arquediftantibus bafibus trigoni,hoc eft lateribus
bafis datar pyramidis & lineis ad axes aequediftantibus,g-
bufdam lineis ,pdudis d trinis laterum bafium ipfarum py
ramidum ad pundum terminantem axem fiiper bafem, pa
tet ergo propofitum per??, huius.

LIBER. PRIMVS, *6

CX,

Si pyramis rotunda fphzeraminterfecet,nec eius conica fuperficies a fu=
perfide {phxrx interfecetur,comunis fedio fuperficierum iphxrx 81 pyra^
midis erit circumferenda circuli bafis pyramidis.

Quoniam enim per 69 .huius (iiperfiries plana fecundu circulum fecat fpha:ram}ba
fisfcg pyramidis fuperficies plana eft, quia circulus, palam, q> illa bafis iphsera fecundum
circulum interfecabit,interfecat aute pyramis fphxrac fuperficie iecundum totam luam
ba(em,quia fuperficies eius conuexa conica i iuperficie fphaera: non interfecatur,ut pa-
tet per hypothefim.patet itacg,q> comunis fecflio (iiperficieju didaru , erit circumferens
tia circuli bafis pyramidis,(uperficies'cg illa circumferentia contenta^quse eft circulus, q
eft bafis pyramidis.eritfuperficies comunis,& fi aliis corpnlcuIu,qd’ eft pars iphxr* re
(edum 1 fphaera per illam iuperficie , fit corpus utercg didor u corpoji; comune.
exi.

Si pyramis fphxram interfecet,fit ut circulus bafis pyramidis in fphxrse
Iuperficie circulo maiori fphaerxxquediftet, diametrum fphxrx fuper illuc
circulum maiorem eredam,centrum circuli bafis pyramidis orthogoiiali*
ter tranfireneceffeeft,ex quo manifeftum eft, diametrum fpheerx 8C axem
pyramidis coniundas eiTe lineam unam.

Quia enim per procedente circulus, qui eft bafis pyramidis,comunis eft Cphxrx, fi-
cut pyramidi, tunc per 68, huius patetppofitum,quia enim circulus,qui eft bafis pyras
midis,oquediftat circulo magno fphorar,& i) circulioquediftantes iunt ambo in iiiper
ficie (phorOjCrit diameter iphorae centru circuli bafis pyramidis orthogonaliter tranfb
ens,tranfit enim orthogonaliter centra ambop* illorum circuloru,8C qin 1 termino ali-
cuius lineo dudo a centro comius circuli ad circumferentia exeunt duo lineo orthogo
naliter fuper iplam infiftentes.f.axis pyramidis,ut patet per 8p.hiuus,& diameter iphae
ro,ut promilkim eft, patet ex i4.primi,qm illo duo lineo coniundo,funt linea una,dia
metrum ergo Iphoro & axem pyramidis coniundas elle lineam unam necefie eft , di
hoceftquoa proponebatur.

CXH.

Omnium linearum perpendiculariu fuper periferiam oxigonix fedioa
nis produdaru, trans eius fuperficiem unica eft,perpendicularis fuper fedi
corporis axem,& ipia eft minima diametrorum fedionis.

- Sicut enim patet per r o4.1iuius, comunis fedio (iigflciei ipfius (edionis oxigonix
& circuli fecundu idem pundutn axem fecantiu,eft linea orthogonalis iiiper axem fecfti
corporis, in alrjs autem omnibus pundis fedionis,perpendiculares iiiper fecftione ,pdu-
do, oblique incidunt axi,quonfa fi aliqua ipiap: ipfi axi gpendiculariter inciderit , tunc
per 4. undecimf,axis Iiiper iiiperflcie fedionis gpendicularis eritJqd’ eft contra natura
ledionis,patet ergo propofitum.

CXIII.

In fedione pyramidali tranfeunte pundum datum fuperficiei pyramis
dis rotundata pundo dato perpendiculare in Iuperficie fedionis , dudam
fuper fuperficie pyramidis cum perpendiculari duda a pundo eiufdem Ce*
dionis remotiore a uertice pyramidis fuper lineam in illo pundo fedione
contingentem fub axe pyramidis concurrere eft neceffe :Dum tamen linea
duda a pundo inferiori cum perpendiculari, duda i pundo fuperiori fu*
per axem pyramidis,angulum contineat acutum.

Efto pyramis, cuius uertexfitaj&eiusaxisfitackjfitfcp in iiiperflcie conica huius
pyramidis fignatus pundus e,que gtranfeat fedio pyramidalis qua: fltbf,ez,m qua

g * etiam

PERSPECTIVAE . V I.TE L L I O N I 9
«tiam fit pandus z>rcmotior i pundo a ucrtice pyramidis cfj fit putidus e, contineat'^
linea duda a pundo z ad axem cum perpendiculari duda d pimdoe angulum acutu.
Dico q> fi ducatur d pundo z linea ppendicularis fuper lineam in illo pundo z , ipfam
ifedionem oxigonia contingente, & alia perpendicula ris fuper fuperficie contingente
pyramidem in pundo ^ducatur i pundo e,q>illx dux perpendiculares Concurret fub
axe a cb.fit enim, ut mperheies plana fecet pyramidem fuper pundum z arquediftanter
bafi,& hoc quide per io6.htn'us,fecabit eam fecunder cfrcnlum,fit ille circulus g b r z,at
l'us centrum fit c,Comunisfc£ fedio huius circuli & fedionis oxigoilix fit diameter itt
eordacirculi,qeftgbrzper to4.huius,&ipundo uert/cis pyramidis per io i . hiiius,
ducantur per lignata in fuperficie pyramidis punda e & z linea: 15
A * gitudinis pyramidis quae fint line* az&a e,& pducattir liftea a e,

donec ipfa fit aequalis linea: a z. Veniet quide ad circu!um,eo q> eft
linea longitudinis,& quia pundus .ppinquior eft ucrtici pyramis
disc^ fit pundus z.cadat ergo linea a c produda in pundu circuli
o,& d pundo dato qui eft e,ducatur linea ppendicularis fuper iiipfi
ciem contingente pyramidem,hoc quide per 9 6. huius concurret
cum axe py ramidis qui eft a c k,concurrat ergo in pundo d, & fit it
la per pendicularis e d,copuIetur quocp linea z d, continens angulu
acutum cum gpendiculari ed,qui fit angulusTz d e, 5C qm linea d z
eft in fuperficie fedionis per 1 .undecim/, ficu 1 di punda d di z,tun c
d pundo o line* longitudinis a e o ducatur ppendicularis fuper li-
neam a d per / / .primi,£v' ducatur 5 centro circuli g b r z,qd’eft cfe
midiameter c o,quia ergo per 89 hiu'us,angulus c o a eft acutus, pa-
tet, q> perpendicularis fuper lineam a c duda i pundo o,cadet fub
centro circuli qcf eft c in aliud pundum axis.Sit ergo ut Concurrat
cum axe in pundo k,& fit o k xqucdiftans line* e d per 6.decimi,£C
ducatur linea kz,& ducatur linea contingensfedionein pundoz
quas fit c q,& ducatur alia contingens circulu b g z in pundo z per
i6,tertij,qu*fitzii,&! ducatur diameter circuli quae fit bcz ,& £
centro c ducatur femidiameter perpendicularis fuper diametrum*
b cz,quxfit cr,& quia axis a c k orthogonaliter erigitur fuper cen*
trUm circuli bgz per 89 .huius ,erit linea c r perpendicularis fuper
axem a c k,qiri eft femidiameter circuli,ergo per 4. undecimi linea
cr eft perpendicularis fuper fuperficie acz fecantem pyramidem
per axem. Sed 8i linea c r eft*quediftans line* contingenti circula
in pundo z, qui eft y z per z8.primi,ergo per 8 .undecimi linea z
y eft perpedicularis fuper fuperficie a c z,iinea ergo t q continges
ledionem oxigonia bf e z’in pundoz continet angulu acuturfi
cum linea y z,a! quia linea tq continetangulu acutum cu z y . pa=s
tet q>linea t q non eft ppendicularis fuper illam fuperficie a c z, uc*
rum,quia pundus k,qui eft pundus axis?ut patet per 8 9. huius, & per diffinitione poli
fadam,in principio eft polus ad circul u b r z,palam per 6 j-.huius,quia 1/ne* k o & k z
funt xquales,& axis a k c5munis,fed di linea a o eft xqualis line* a z per 89. lnnu^cum
fint line* 4.1ongitudinis,ut patet per prxmifla,crgo per 8 .primi trianguli a o k & a z k
(unt xquianguli,erit ergo angulus a o k xqualis a ngulo a z k,& qm angulus a o k eft re
dus,idco'q? linea o k duda eft perpendiculai iter fuper lineam a c,uc patet pcrprxmifia,
erit ergo etiam angulus a z k redus.Cum ergo linea k z fit perpendicularis fuper linea
az,qu* eft linea longitudinis pyramidis,palam,quial(neakzen't perpendicularis fiig'
fuperficiem contingentem pyramide fecundum lineam a z lineam longi tudinis-fcd \i*
nea t q eft in fuperficie illa. contingente,quia eft comunis fedio fuperficiei contingens
tis,8i fuperficiei fedionis bf ez, qmeft in fuperficie contingente pyramide duda .cori*
tingens fedionemseft igitur linea k z perpendicularis fuper lineam t q per diffinitione
- ,.'.i ... * lineae '

I

Iincaeiupef fiipcrficfem ereda*.ducatur qrtocp a pundo 2fn ipfa fuperffcfe fedton/spe*
1 1 ,primi,gpcndicularis fuper linea. t q,qua> utlinea z h.Cum itaqjlinea kz fit extra
feperficicm fedionis concurrens cum linea h z in pundo z, palam q> ipfa ffccabit linea
hz, nec erit una linea cum illa per » .undecimi. Sunt itaq? linea: kz&hzin una fu per fi*
cie per z.undecimfifuperff cies ergo k zh fecat fuperficiem fedionis fuper lihea eis am*
bobus commune,qu2e cft h z,& per i5>.huius,& lecat lineam t q in pundo z,8fitiperfij
cies h z k fecat fuperficiem d z h fuper lineam comunem ambobus illis fuperficicbus •, q
cft linea h z p. Verum linea d ze eft in fuperficie fedio nis, ut fupra patet,8C fecatur i li-
nea k e in pundo z,& pundus t cft fupra fuperficie k z h,& pundus q infra'illam ita
iuperficies k z h fecat fiiperficie d z q fuper lineam comune,qua: eft: ppendiculai is fuper
lineam t q,& eft linea z h,qufa linea illa eft in fiiperficie fi z k,& fiiper eam eft perpendi
cularis linea t q,ut patet ex przemifils,& qin fuperficies h z k fecatfiiperfide d z q. & de
clinatio fuperficiei h z k i fiiperficie fedionis.cuius pars eft fiiperficies d z q,fit ex parte
femidiametri z c,erit linea qua: eft comunis fedionis illarum fuperficiep; , fiCeft linea h
z p, cadens inter lineas q z& d z»Si ita linea z h.qua: eft i pundo z duda f perpendicula
liter fuper lineam fedioneoxigoniambf ez,in illo pundo contingente concurret ei
gpendiculari e d fiib axe a c b,qm perpendicularis e d fecat axem pyramidis,quae eft a c
k in. pundo d,q> autem concurrant, patet per i4,huius,producatur enim linea h z ultra
pundum z ultra fedionem in pundo p,quia ergo angulus z d e eft acutus,& angulus d
z p acutus, palam ,quoniam concurrent lineae z k & e a fiib pundo d,8C (it cocurujs pun
dum p, patet ergo propofitum. . fvnb-.'.'-: ^ .

cicini.

Ab altero duorum pundoru in fedfonfi Columnari fignatora duda per*
pendicularis fuper axem columnae in ipfa fuperficie fedionis , 8C a reliquo
punefto duda linea acutum angulu cum illa perpendiculari fuper axem co*
luinruc continencc,fi ab eodem pundo reliquo ducatur perpendicularis fu
per lpfam fecftioncm, hoc concurret cum priori perpendiculari fub axe,8C
fub pundo concurfus prioris linea: cum perpendiculari.

Sit fedio columnaris quae a e,b e, in qua fignata liint duo punda,quap fiint b & e,
fitfcg columnar,in cuius fiiperficie cadit illa fedio, axis linea h d k,& ab altero fignatoro
pundorum,ut i pundo b,ducatur in ipfa fiiperficie fedionis linea b d, perpendicularia
ter fuper axem incidens pundo d,& ducatur item in fuperficie fedionis i reliquo dato
rum pundoR: qcf eft e linea e d, acutum angulu continens cum perpendiculari db , qui
fit c d b,fit'q$ linea continges fedio
nem in pundo e, qua: fit exempli
caula linea 1 e q.Dico q> perpendis
ailaris i pudo e duda fuper linea
leq,concurreccum perpendicula*
ri b d feib axe b k,& fub pundo d,q
cft pundus concurflis linea: e d cu
perpendiculari b d. Fiat enim per
io2,huiiis fuper pudufediois qcf
eft b circulus aquediftans bafibus
columna:,quifitbco,cuius centru
fitd,&: ducatur a pundo e linea 15
gitudiniscolumnte per i o i. huius,
qua: fit e c,& a pundo d per i i.pri*
ini,ducatur linea d g perpendicula
iis fuper lineam b d in ipfa circuli fiiperfirie.palam ergo, q> fuperficies h dg cu g axem
tranfeat,qua: ereda eft liiper circuli fuperficiem, perpendicularis fuper eandem circuli
fuperficiem per i s .undecimi, Superficies uero contingens columnam in pundo b ; eri c
■••• g 3 sequedl

PERSPECTIVAE vitellionis
aquediftans ftiperficiei b d g,ideo enim, quia linea longitudinis columna: dudla d pun
dio b eftaquediftas axi h k per p z. huius, 28.primi.61! linea circulum beo continges
fuper pun dium b,eft aquediftans lineat g d per 28. primi, angulus enim g d b eft redlus
ex pramiflis,fid angulus contentus iub linea d b,& fob linea contingente in pundio b eft
redlus per i7.tertrj,ergo illafuperffcies aquediflant per 1 j-.undecimi.igitur iuperficies
in qua iiint linea 1 e di e c,ooneft aquediftans iuperficiei h d g per 24.huius,qm fuperfi*
cies contingens iediione oxigoniam in pundio b,non eft aquediftans iuperficiei contin
genti eandem Iediione in pondlo e,in quo funt linea 1 e q contingens fedlione, & linea
longitudinis qua eft e c, angulus enim e d beft acutus ex h ypothen. Superficies ergo h d
g non aquediftat fuperfi cici I e c,ergo concurret cum illa,concurrat ergo in linea 1 g g
3 , undecim i,fid ducaiur linea g c,qua neceflario erit contingens circulum b c o, cuius fa-
perficieSjin qua ipfa duciturcoIumna,fit contingens.dudiaautemlinea cd, erit angu-
gulus g o d redlus per ; 7,terttf,quonia linea c d eft iemidiameter circuli,& linea g t con
tingit circulum in pundio t.fiat quocg ut prius fuper e pundlu fediionis circulus aquedl
flans bafibus columnaqiri lite szp,& centra huius circuli fit pundlus axis qui k, di du
catur linea k e, & ducatur in linea d J,qua quide iecabit ftiperficie e s p,tecet ergo illam
in pundio f, quia itacg pundiu d eft in ftiperficie fedlionis,ut patet exipramiffis di exhy
pothefi,&pundlul,qa' eft pundlum linea contingentis iediione, eft in eadem fuperfi*
cie lediiois,ergo per / .undecimi tota linea d 1 eft in ftiperficie iedlionis, pundlum ergo f
eft in ftiperficie iediionisSd circuli e s z p.Sed fi d punctu e eft in ambabus fuperffciebus,
ergo per / .undecimi linea e f odudla erit in ambabus illis ftiperffciebus,ergo per 19.hu
ius fecundu lineam e f iecansfe fuperficies iedlionis di circuli e s z p.ducatur itaqj linea
k f,8i d pundio f ducatur linea gpcndicularis fuper ftiperficie circuli b c o per 1 1 . unde*
cimi, qua fit f m,cadet 'c% pundlus m in linea d g,ut patet ex pramiffis, di ducatur linea
t m.palam ergo,qm linea k d aqualis,&! aquediftans eft linea f m per 25- , huius . Sunt
enim linea kdfid f m amba ppendiculares fuper ftiperficiem circuli b c o & fuper fuper
ficiem circulie s z p, quoniam illi circuli aquediftant per 3 2 .huius, utracp enim ipfajt
aquediftatambabusbafibuscolumnaper 1 o o.huius.quiaitaqj linea f m eft aqualisfii
aquediftans linea d k.qua eft pars axis, ergo per 3 3 .primi linea k f aqualis Si aquedi*
flans eft linea d m,fidfimiliter erit linea f m aqualis & aquediftans linea longitudinis
qua: eft e t per 3 o .primi,quonia linea t e eft aqualis di aquediftans axi k d per 9 2,huius,
cum fit linea longitudinis,^ erit ut prius linea k d aqualis fi i aquediftans linea d t, & Ii
ncaef aqualisfidaquediftaslineatmpereande 33.primi. Verum etiam fuperfidesk
d 1 s,quia tranfit axem columna, di angulus g d b eft redlus di orthogonalis fuper fugfi
ciem fediionis oxigonia a e b c,per diffinitione Iuperficiei eredla fuper ftiperficiem, 6d
eadem fuperficies k d 1 eft orthogonalis fuper fuperficiem circuli e s p,qm enim illa fug*
ficies k d I tranfiens per axem per 1 8 ,undecimi,eredla eft fuper bates columna, ergo di
fuper ftiperficiem circuli e s p, aquediftans bafibus c a, eft eadem fuperficies k d f, quia
itaqj didla ftiper ficies k d 1 eft eredla fuper faperficie fediionis oxigonia di circuli e s p,
ergo per r o.undecimi eft ipft orthogonalis fuper lineam comunem didia fedliom Sd
circulo qua eft linea e f,quia linea eT eft eredla luper fuperficiem k d l,in qua dudla eft
linea k f, igitur per diffinitione linea fuper fugficiem eredla,angulus e f k eft redlus, er-
go angulus m d eft redlus per 1 0 ,undecimi,latera enim illos angulos continentia , necp
in aquedifiantibus circulo^ ftiperficiebus ,ptradia,aqualia funt&aquediftantia,ut pa
tet ex pramiflls.Cum ergo angulus d m t fit redlus ,di angulus g d c fit redlus per 1 7. ter
tij,in trigono aute orthogonio dtgdudiaeftab angulo adbafem ppendicularis qua t
m,ergo per 8 .di per 1 6. texti illud qd* fit ex dudiu linea d m in linea g m,eft aquale qua-
dra ta 1 inea m t,8d qfn linea g t contingit circulum b t o,cum fit in fuperficie contingen
te dudla ad pundlum contingentia qcr eft t , palam, quoniam linea 1 g eft aquediftans
axikd,qm enim fuperficies tecundti lineam longitudinis columna contingens,qua eft
1 e t g,fid ftiperficies tecans columna trans axem qua eft h d g 1 iiint eredla fuper bafiu ct>
lumna ftuperficics per 9 j,lmis,2d per 18, undecimi, ergo per /^undecimi earum coni

munis

L

LIBER. P R. I JM V $ ♦ 23

munis /edio,qus eft in .ppofi ta linea I g fuper eafdem fujjficics bafium, ^pendicularis
erit.squediftabit ergo axi h k per <S.undecimi,ergo. f squediftat linea: f m per 3 o . pris
mi, quia ergo in trigono Idglineaf m squediftat bafi I g, patet per zSextLcp linea f m
fccat illa latera ^portionabiliter , eft ergo proportio linea: d f ad lineam 1 1 ,ficut lines
d m ad lineam m g,ergo gmutatim per 1 ^.quinti erit pportio linea: d f ad lineam d m,
ficut lines fb ad lineam mg,(eddf maior eft c$ linea dm per 19. primi, qmin trigono
d m angulos f d m eft redus per 8 .undecimi,ergo 2C linea f I eft maior ffj linea m g , er*
go illud qd* fit ex dudu line* f d ad lineam f 1» maius eft illo qcPfitex dudu linea: d m
ad lineam m g.ergo quadratu linea t m eft squalis linea y f, ut patet ex prsmifiis,
ergo illud qd* fit ex dudu linea; d f ad lineam f 1 maius eft quadrato lineae e f,eft ergo tri
gono d e 1 angulus 1 e d maior redo per 3 o. huius, quia fi cftet redumim linea e f,fit per
pendicularis fuper lineam d l,eflet per 8 .& 1 6 Sexti illud qd* fit ex dudo lines d f in line-
am f 1 squale quadrato lines e f .reftat ergo ut linea fit perpendicularis fuper lineam c5
tingentem fedione a e b c,quseft q l,duda i pundo e,cadat firb linea e d, non perueni*
et in pundo d,fit ergo illa gpendicularis linea e quia angulus e d b eft acutus, & an*
gulus d eb eft acutus,qm angulus u e q eft redus.ergo per /4.hijius lines e u d b pro-
duds,concurrent in pundo aliquo fub axe h k,&iub concurfu lines e d eum linea b d,
qd* eft euidens,patet ergo .ppofitum.per pendicularis enim fuper lineam fedione con
tingentem,eft gpendicularis fuper ipfam fedionem columnarem per diffinitionem fa*
dam in principio huius libri ♦

cxv,

Omnis reda perpendicularis fuper oxigoniam fedionem prodmfla , ta*
literdiuxdetfe<ftionem,utm unaquacp illarum partium unicus tantum fit
pundus,a quo duda contingens squediftetipfi perpendiculari»

Efto oxigonia qus a b c d,qua gpendicularis c b d lecet in duas partes qus fint b c d
& b a d.Dico cp unaquscp illapa partium eft unicus tantum putidus , d quo duda con*
tingens squediftat gpendiculari e b d,quonia enim
gpendicularisebddiuidit fedione, diuidatur eius
parsbd, cadens intra fedione per squalia per io,
primi in pundo f,8i ab illo pundo f exigat per 1 1.
primijgpendicularis iiiper lineam b d , qus ,pduda
ad periferiam fedionis in pundu c fit f c, i pudo
c ducatur gpendicnlaris fuper lineam f c qus fit gc
h.eritq* linea g c h contingens fedione, quonia ad
utrancp partem pduda,non (ecabit illam . pala itaqj
qih linea g c h squediftat gpendiculari fuper ledio
nem qus efteb d per 28.primi. Qcf fi ab alio aliquo
pundo partis fedionis qus b c d,ut i pundo k pro
ducatur linea contingens iedione qus fit k b, patet,
quonia illa concurret cum linea gchper 14. huius,
quia duda linea reda cki pundo contadus c ad il
lud aliud pundu k, fient anguli c k 1 & k c g minores
duobus redis, ideo,q> angulus f cg eft redus, & li*
nea k 1 cum aliqua linea fecante lineam b d, continet
angulu redum,ut forte cum linea k m,quia itacp an-
guli ckl&kcgfant minores duobus redts,ergo g
2.huius illa linea contingens qus k 1 concurret cum
gpendiculari e b d.fimiliter quocg in parte fedionis
qus eft b a d fada dedndione,patet ,ppofi tum .

CXVI.

Omnes oxigonia: pyramidales fediones ampliantur ex parte bafis pyra
midis3qcf/ non accidit in columnis. Hoc

PERSPECTIVAS VITSLLIDNIS
Hoc qcF,p ponitur accidit ,ppter corporis pyramidalis acuitatem,& propter colum
narum «qualitatem.fi enim fecundu pundum axis pyramidis, cui inci-
dit linea gpendicularis fuper fedionem pyramidale gpendiculariter per
1 1 3. huius,circumducatvir pyramidi circulus per 10 1 , huius, & imaginet
columna3cuhisbafis ficille circulus. patet q> inferior pars pyramidis exce
di t illam columnam columna excedit fuperiore partem pyramidis , di
fle inferior pars iedionir pyramidalis continebitinferiore partem iedio*-
nis columnaris,& fuperior pars fedionis columnaris continebit iiiperior?
fedionis partem pyramidalis.Partes autefediois columnaris funt «qua
les propter «qualitate corporis & angulorum fuper axem per 9 z , huius,
patet ergo propofitum,

CXVII,

Omnisfuperficiei plana: fuper axem fixum reuoluta:, donec

ad locum unde exiuitredeatjinea mota deferibit fuperfidem corporis fibi
fimile,cuius fuperficiei corporis Si fuperficiei plana: ipfum corpus per axem
fecantiSjComunis fedio eft linea fimilis motas linea^illa fuperficie caufanre»
QcP fiic pponitur, patet fatis euidenter in illis lineis redis motis,quceIibet enim illa
rum lineapr circa axem aliqua mota deicribit fuperficie, cuius omnes linecc itint fimiles
ipfi linea: mot*,caufante motu fiio illam fuperficie ,hoc enim patet in fuperficie redam
gula, quae uno latere fixo fuo Si alijs tribus motis
deicribitcolumnarotundam , cuius fuperficie
fuperficiei plantecolumna per axem fe cantis, co
munisfedio eft linea fimilis line* priori mota:,
~^di hocidem patet in triangulo moto, qui motu iii
orum duopi laterum fixo tertio efficit pyramide
rotundam ,ur patet p 90 .huius .omnis fuperficiei
planae iecantis ipfam pyramide per axem,&fug
ficiei conica: pyramidis,c5munisfedioeft trian
J p gulus contines lineas fimiles prioribus lineis mo
tis Si axi.hoc idem ctia in (cmicirculo motu, cu*
ius diametro fixa deferibit fphxra,& omnis fugficiei plan* fecantis fphxra per axem,
quae eft diameter fuperficiei iphaericar comunis fedio eft circulus.ut patet haec ornia

ex principijs lib, 1 1 .QcP fi linea mota circa axem fixum,quae fit f g,fuerit compofita ex
lineis redis,ut exab&bc&cd&d e, continentibus angulos a b c,b c d,c d e,ucl fi linea
mota fuerit compofita ex lineis redis Si curu is adu.ut fi a b Si c d fint redar, quarum me
dia b c utramqj redajs: illaru copulans fit curua.fiatfcp motus circa axem fixum qui c f,
fiet adhuc fiigficies corporis deicribi fimiles habens lineas ipfis lineis caufantibus illam
rotundam fugficie motu fuo.q> fi linea mota fiierit compofita eflentialiter ex natura Ii*
nearum redaje Si curuaru,ut funt multa: linea: quae fiunt per motum,ucrbi gratia , ali-
qua iedio conica.ut fi fedionis pabo*
lae medietas qua: mouetur fit a bg,cifc
ius axis ad,& fit linea g d ppcndicula
ris fuper ipiam axem a d, figurat# axis
a d,& reuoluat a b g, donec redeat ad
locum a quo exiuit, tunc fiet ex motu
illius linea: fuperffcies cocaua tiel con
uexa, cuius bafis erit circulus ^puenies
ex motu linea: redee qu*eftdg,fitfc#
ille circulus g e z,Si eius centra eft pun
dud,qm pundum g motu iiio illius
circuli pcriferia defaibit3eritc# uertex
illius

LIB.ER -PR.MIVS* 29

filius caufati corporis pundum a .egreditur quoqj ex axe illiUs corporis quae eft a d fu g
ficies plana, utcuncp illius fit pofiibfie accidere, & fecet illius corporis fiiperficiem, palam
itacp per 3, undecimi, q ni illius luperficiei&fuperfidei corporis comunis eft linea qua»
fit a h e. Dico q> linea a h e eft fedio gabola aqualis di fimilis fediox a b g,duca tur enim
linea dc,& imaginetur maueri fedio a bg circa axem a d.Cum ergo pundu g puenic
ad pundum e,cooperit tota Iuperficies ab g d totam linea a h e d,& fient fugficies una,
&quonia fedio abgd facit euentre fiiperficiem concauamuelconuexam,paIam, quo-
niam linea abgd femper ubicuncp reuoluatur fecftto >eft comumsdifferentia inter (iiper
ficiem fibi continuam di inter fuperfidem planam fecante. Cu itacp iupponit fedio a b
g d fedio i a b e d,erit comun is fedio inter fiiperficiem fecante di fuperficie corporis li-
nea abg d,fed di eadem comunis fedio eft linea a h e d.linea ergo a b g d & linea a h e d
Ghtadinuicem iliperpofine fiint linea una,linea ergo a h e eft periferia fedionis gabola:
aqualis Si fimilis linea; abg iuperficies ergo a h e d eft fedio gabola , Si idem pa tet in
omnibus lineisillius corporis.quxiunt comunes fed/ones fuperficiei planae fecantis
cotpusper axem ad,& omnis fuperficiei illius corports,paret ergo .ppoucum miliis fes
dronibas conicis quibufcuncjj.pacet etiam eodem modo ,ppofitum de quacuncp linea
regulari uel irregulari,& hoc eft propofitum principale.

GXVUI,

Omrits fuperficies conuexa uel concaua regularis,aut eft pars fuperficiei
ljphaera:,aut coIumna:,aut pyramidis rotunda;.

Omnis enim linea regularis qua; uniformis eft in qualibet fiii parte, aut eft circulus,
aut linea reda.Circulus uero motu fiio fecit fphan-am,quoni'3 fpheera eft tranfitus cir*
cumferentia; dfmidij circulfut patet ex principio undecimi. Linea uerore<fta una motit
luo no poteft caufare nifi pyramide,cum eftlatus trfgoni,uel columna, e weft.latus qqa
dranguli,qrn in omnibus altjs figuris motis uno latere remanente ffxo,eft angulus cau-
£ans diuerfitate forma: in fuperficie figura: ,pduda:,non ergo efficit connexam fuperfii
efem uel cancauamregulare,patetergo,q> omnis iuperficies conuexa uel concaua res

gular is eft cafis,ut proponitur. c .0

cxix., E F

Lineam datam fecundum quamlibet proportionem

duarum datarum diaidere.

Sit linea a b data,qua? debeat druidi fecundum pportfonem
dtiarumdataru Iineaiy c d Si e f ,dii pundoitacp a dat* lineae a b
ducatur linea indefinite angulariter coniunda eumlinea a b,& i
pundo a incipiendo abfeindauir xqual is lineare d per 3. primi,
qua: fit a g,di i pundo g incipiendo, abfeindattnr linea g b aequa*

Us lineate f ,di ducatur linea b h,& ipundo g ducat linea cequedi
ftanter linea: b h per 3 1 .primi , hac itacp pduda fecabit lineam
b per 2.huius.fecetergo in pundo k.lihea itacp ab indiuifa ,p
polita erit diuife fecund u modum diuifionis linea; a h diuifee,erit ^
enim per z.fexti .pportio linea; a k ad lineam k b,ficut lineae a g ad lineam g h,ergo ficut
lineae c d ad lineam e f per 7.quinti,& hoc eft propofitum .

, cxx.

Dudlaa pundo dato linea,ah'am lineam fecundu datam proportionem
partium illarum linearu fecante,ab eodem pundo inter ealdem redas, quae
prius diuifam ab eifdem terminis feruata denominatione proportionis, ie-
eundum eandem proportionem fecet aliam lineam duci, eft impoflibile.

Verbtgratia:Sicutlineaabdudaidatopimdoa,fecetItneamdem pundo c fe*
cundu aliqua data jjportione. Dico q» i pundo a non poteft duci alia linea ad lineam
d c,qua: ipfam fecetfecundum eande datam pportione,ita,ut denominato pportionis,
fer uetur ab eifdem terminis linea: d e.fi enim i pundo a lipeam aliam duci taliter fit pof

h fibile

PERSPECTI V ATT VI T E £ LI 0 N 1 ?

fibile,ffat fiipcr pundum d terminu linea e d per 2 3 .primi, angulus maior redo uerlual
pundum b terminu linea a b,& producatur linea d b,ffat'c$ angulus c d b obtufits,& p-
ducatur linea d b in continuu uerfus punefra a,& i pundo a ducat linea
gpendicularis fuper lineam d b qus a f,& ducatur linea a g iecans lineS
edin pundo h fecundu pportionem priusdatam , quae eft lines dc ad
lineam ce.& ducatur linea hi squediftans lines cbper 3 1 .primi, erit
itacj linea h i maior cfj linea h s per 18 .primi,angulus itaqj i g h eft ma*
iorredob f a per 16. primi, angulus aero bf a redus eft maior angulo
f baper 3 i. primi. Sed angulus gi h eftper 29. primi squalis angulo f
b a,angulus uero i g h eft maior angulo g i h,ergo per 1 9 .primi linea i h
eft maior cp linea h g.& ducatur d pundo h linea h k squediftans lineae
a b,erit ergo per 3 4.primi linea h k squalis lines i b,fcd linea b c eft ma
ior cjj linea k b,erg<a linea c b eft maior linea h i,ergo c b eft maior cp li
nea h g,fed & linea h e maior eft cjj linea c e,qih totum maius eft lua par-
te,erit ergo per 9. huius maior pportio b c ad lineam ce,cf? lines gh ad lineam h e, non
eft ergo eadem pportio qaeftcotrahypothefingautfequiturlineam ecefle maiorem
cfjfitlineaeh per i4.quinti,quia totueitimpoffibile,faciliteruero idem patet in linea
d e, cum linea d h fit minor cf? linea d c,S{ a e fit maior cjj c c ,per 9 .ergo huius concludat
ut prius, non eft ergo poHTbile i pundo a duci aliam lineam fceantem lineam de fecun
dum datam pportionem,quod eft propolitum,

C.XXI.

Lineam datam in duobus pundis taliter.fecare , ut fui totius proportio
ad unam fuarum extremaru partium fit fimilis proportfoi alterius extremas
partis ad eam parte qux utrafep interiacet fediones,

Efto data linea a b, qua fecundu moduppoRtum debemus diuidere,diuidatur itaqj
fecundum pportionem quamlibuertt per 1 1 9. huius, q; Rt diuifa in pundo c,& fit pars:

eius ac maior cp pars eius cb.quia itacpppofits finit'
nobis tres lines a b,a c,c b,diuidatur ergo per eande
"j5 c * 1 19.I1UIUS linea a c fecundu pportionem lines a b ad

lineam c bjia tfcp diuifio in pundo d,ita, ut fit propor
tio lines a d ad lineam d c,ficut lines totius a b ad li*
neam cb.palam ergo,q? linea a b eft modoppofito diutfa,eft enim pportio totius lines
a b ad unam extremajj; fiiaru partium qus eft c b,ficut reliqus iiiar par tis extrems qus
eft a d ad partem,qus utra% interiacet fediones qus eft d c, patet ergo fadu efle qd“ p
ponebatur. CXXII.

Diuifa linea reda tali ter, ut fui totius proportio ad unam fuarum extre-
marum partium fic fimilis portionipartisalterius extrems ad eam fui par-
tem, quee utrafep interiacet fediones, fi fuerint lineae dud«e ab uno termino
datae lineac,& a pundis fedionu aequediftantcs inter fe,a terminocp reliquo
datxlines producaturlineafecansillastresaequediftantes, eric linea pro-
duda fecundum eandem. proportionem diuifa .

Sit linea diuifa a b fnpundo g&d taliter, ut lines a b ad lineam d b fit pportio , fl-
em: lines a g ad lineam d g,& ab uno termino da-
ts lines qui eftb,& a pundis iedionu g&d per
^ 3 1 .primi,ducantur lines adinuicem xqucdiftan*

tes qus fintb c,d h,g z,& abaltero termino dats li
\ nes qus eft a,pducatur linea iecans illas squedi*

"v. ftantes in pundis z b c,qux fit a z h c , Dico q> h'*

nea a c fecundu hanc pportionem cum linea d h
fitsquediftanslinesgzexhypothefi,eritex z.fc

/i xti pportio lines a z ad lineam z b,ficut lines a g

adii-

L

LIBER. PRIMVf, 30

ad lineam dg,8C cum linea b e fit squediftans line* cl Ii,er/t per ea ndem 2 „ texti, & per
y.proportio line* ab ad lineam bd,ficut line* ac ad lineam ch.Sed cx liypothefi fiat
jpportio line* a b ad lineam b d,ficu t line* h g ad lineam d g,erit ergo per 1 / .quinti ,pt»
portio Iine*a c ad lineam c b,ficut line* a z ad lineam z h, linea ergo a c qu* producit
i pundo h termino line* dat*,(ecat dudas lineas *quedi flates b c,d h,g z,& fecatur p
illas fecundu (fportione partium diuifionis line* dat* a b,& hoc eft prop ofitum.

CXXII I*

Linea in duobus pundlis taliter diuifa,ut fui' totius proportio ad unam
fuarum extremam partium fimilisfit proportioni alterius extrema? partis
ad eam fui partem, qua? utrafep interiacet fetftiones.fi ab uno termino uniug
linea?,8£ i puncftisfetftionis ducantur tres linea? concurrentes in puntftum
unurn,8£abalio termino producatur linea iecans illas tres ducftas,eric linea
producfta fecundum praeditftum modum proportionabiiiterdiuila»

Edo linea ,p pofita a b taliter diuifa in pundis g & d, ut fit proportio totius line* a b
ad lineam b d,ucut line* a g ad lineam g d,& 5 pundo b,& i pundis fedionu g di d du-
cantur tres line* concurrentes in unum pundu e,qu* fintg e,d e,b i pundo a duca
tur linea qu* fit a c,iecans illas tres lineas.f.g e in pundo z, & d e in
pundo h,& b e in pundo c.Dico (perit proportio line* a c ad lineat
amchjficut line* a z ad lineam zh.ducatur enim d pundoh line*
aqucdiftans line* a b per 3 1 . primbqu* fir q h, palam ergo per 1 3 .
huius,qm proportio line* a b ad lineam b d,confta tex proportioni
bus line* a b ad lineam h q,& line* h q ad lineam b d . Sed qih linea
q hsqucdiftat Ime* a b.erit per z^. primi angulus c q h squalis ane
gulo c b a,(cd angulus c b a eft comnis ambobus trigonis a b c & q h
c,crgoper 3 2.primi illa trigona funtxquiangula,ergo per^.fexti 7
crit,pportiolinex a b ad l inea q h,fic«t lines a c ad linea c h.fimtlitcr

trigona q eh&be d funt fimilia.eft ergo .pportiQ line* q h ad lincab d,RcUt line* h
c ad linea e d. Proportio ergo line* a b ad linea bd per 1 3 .huius copotiif cx .pporti oe U*
nexa cadlineaeh,&linexheadlineaed„pdijcititaq.{indiredulinea qhad linea ge,
qua fecet in pudo m„pportio itacp line* a g ad linea g d p 13 .hufus,cofta i ex ,ppor tice
line*a g ad linea g d,& line* h m ad linea g d.Sed cif angulus em h fit squalis angulo 2
g dper zpt primi, erit per 13. primi g eandem 29, primi angulus h m z aqlis angulo 2:
a g,ergo per 15-.SC 3 2. primi triangulus a g z erit *quiangulus triangulo h z m , ergo p
4.fexti erit proportio line* az ad lineamh z,ficut line* a g ad lineam h m,fed triangi»
Ius h c m,ut lupra patet, fimilis eft triangulo g e d,erit ergo proportio line* h m ad line
am d g,ficitt line* h e ad lineamd e,ergo proportio line* a g ad lineam d g conftat cx ,p
portione a zad lineam z h,& line* h e ad linea e d.Sed ex hypothefi eadem eft propor*
tio lines a b ad lineam b d,qus line* a g ad Itneam d g,proportio line* a b ad lineam b
d conftat ex proportione line* a z ad lineam z h,8c line* h e gd lineam e d. confta t aut
cx proportione line* a c ad lineam c h,fiC line* h e ad lineam e d, ablata ergo utracp ,p=
portione line* h e ad lineam d e.Rcfta t,ut fi eadem proportio line* a c ad Itneam c h , q
line* a z ad lineam z h>6C hoc eft propofituin.Non tame oportet,q> line* ab SCa C lint
eiufdem fpeciei proportionis refpedu fuaR-partium,qni cum ex prsmiflis line* a b ad
lineam q hfit proportio qu* line* ac ad lineam ch,& linea qh fit maior cfj linea bd p
4,fext!, palam per 8. quinti. qm minor eft proportio line* a b ad lineam b dc^ fit linea a
c ad lineam ch.Sunt ergo propor donabiles fecundu generalem fimilitudine proportio
nis.Eadem quocg demonftratio eft,qu*cuncp line* ducantur i pundo a , iecantes illas
tres lineas i tribus pundis a d g ad quodeunep pundum produdas,ut fupra c,uel iub e,
uel etiam ad aliam partem line* ab,femper enim linea duda i pundo a , fecans il-
las tres lineas,fecabitur modo dido, patet ergo propofitum,

h » Duabus

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
CXX1III,

.Duabus lineis angulariter coiundis , diuifistg fic ambabus,ut cuiuslibet
ipfarum proportio ad unam fuarum extremam partium fit ficut alterius ex*
tremar partis ad illam fui partem,qua: utrafqj interjacet fediones,fi produ*
da bafi a pundis diuifionis unius ducantur lineae ad punda diuifionis alte»
rius,nona:quediftantes adinuicem,necp bafi, necefte eft produdas lineas
ambas cocurrere cum bafe, produda in pundo uno.

Sit data linea a b taliter,ut proponitur diuifa in pundis d & g.f.ut fif proportio to-
tios line» a b ad lineam b d,ficur lineae a g ad lineam g d,adiunda'cg fibi angulariter li-
nea a c,eodem modo diuifa in pundis hz, ita, ut fit ^por-
tio linea a e, ad a h, ficut linea a z,ad z h,fi producatur ba
fis b c,ut fiat triangulus b c a,8tfprotrahatur b c in diredu,
8C ducantur linea i pundis ledionu unius ad pundum (c*
dionis alterius,ut d h,g z,protrahantur'q$ omnes linea ilr-
la in continuu & diredum. Dico q> omnes concurrent in
pundo uno.Cum enim linea bc &dh non fant aquedis
ftantes,exhypothcfi patet, q> neceflario concurrent, cocur
rant ergo in pundo q3 fite,Iinea quocp g z neceflario con
curret cum illis, Cum nonaquediftet alicui illaru, aut ergo
ad idem pundu e,fic habemus propofitum.aut ad alig pun
dum cum aliqua illajy concurret, fit illud pund5n,in quo
concurrit cum linea d e, ducatur ita qj linea c g,iecabit ergo
linea e g lineam a c in alio pundo cjj iri pundo z , quonia
in pundo z iecat ipfam linea ng,fit illud pundum l,erit er
go per pramifla proportio linea a c ad lineam c h,ficat linea a 1 ad lineam 1 h. fuit aute
ex hypothefi proportio linea a c adiineam c h, ficut linea a z ad lineam h z,ergo g 1 1,
quinti erit proportio linea a 1 ad lineam 1 h, ficut linea a z ad linea z h,ergo per 1 8. quin
tierit proportio linea a h ad lineam h z, ficut linea a h ad linea h ferit ergo per ^.quinti
linea h z aqualis linea h 1 , maior minori, q3 eft impoflibile.Ide etiam patet per i z.ha-
ius,qm i pundo g produda ftint quatuor linea fecantes lineam a h, palam ergo, q> li-
nea g z concurret cum lineis b c,d h in alio pundo cp in pundo e,quod eft propofitum.
Similiter fi ponatur (p linea g z concurrat cum linea d h in pundo c,erit produdo mo*
do demon ftrandu,q? linea b c concurret cum ambabus illis in pundo e.di li linea b c Si
g z concurrant in pundo e, concurret linea d h cum eifdem in eodem pundo e, patet ef
go propofitum. cxxv.

Linea taliter diuifa, ut fui totius ad alteram fuarum extremaru partium
fit proportio,ficut alterius fua: partis extrema: ad eam fui parte, qua: utralcp
interiacet fediones,fi i pundo concurlus linearum d termino , 8C a duobus
pundis fedionis produdarumin pundo concurfus aquales angulos con*
linentium , linea ad alium eius terminu ducatur ,necelfe eft ipfam fuper me*
diam produdarum perpendicularem efle.'

Sit linea bk in pundis c&d taliter diuifa, ut proponitur, fitfcg proportio linea bk
ad lineam k d,ficut linea b c ad lineam c d,producatur'q? 5 pundis b c d linea no aque*
diftantes,qua per proximam concurrent in pundo uno, fit pundus concuritis z , di li-
nea produda fint b z ,c z,d z,fit'q$ angulus b z c aqualis angulo c z d;& ducatur linea
z k.Dico cp angulus c z k eft redus,i pundo enim c duca tur per 3 1 . primi linea aque*
diftans linea z k qua fit c h,qua produda fecabit linea z b per 2 ,huius,iecet ergo lpiam
in pundo g.& produca tur linea zd, donec concurrat cum linea g c h, concurret autem
per z.huius,& Iit concurfus pundus h,quia igitur ex hypothefi eft ^portio linea b k ad
lineam k d,ficut linea b c ad lineam c d,erit per 1 6 .quinti permutaum proportio linea

bk ad

l

LIBER. fR.1 MVS* 31

bkadlfneam b c, ficut linex kd ad lineam c d,Ced per 29 .primi trigona bzk & bgc
fant xquianguIa3ergo per 4.iexti eft proportio lineae b
k ad lineam bc3qux eft linex zk ad lineam gc.ergo 'jj z

1 1, quinti erit proportio lineae z b ad lineam g c, (lcntli*
nex k d ad lineam d e.Sed quae eft proportio line* k d
ad lineam d c, eadem eft linex k z ad lineam c h per i y.

& per ip.primi,^ per 4,lexti, quia trigona kdz Qi cd
h funt aequiangula.habet itac$ linea z k ad ambaslineas
g c & h c eandem proportionejergo per 9 . quinti linea
g c eft xqualis line* c h,led per 3 .fexri eft propor tio li- ^
ne* g c ad lineam ch, ficut line*g z ad lineam z h,cum
linea z e diuidat angulum g z h per *qualia. eft ergo Ii
nea gz xqualis line* z h3& quonia linea g c eft xqualis
linex ch.& linea gz xqualis linex zh3& latus cz eft
comune ambobus trigonisgzc&hz c, erit per S.pri
mi angulus z c h *qualis angulo z c g.utercft ergo ip forum eft redus,ergo per 29 .primi
kzccftredhis.Iinex zk&c k funt xquediftantes.patet ergo propolitum.

CXXVI.

Diuifa linea perinaequalia 3poffibile eft minori fu* parti linea adiungi,
ita3ut fi illud quodiit ex dudlu totius linece diuifa: cum adiecfta in ipfam ad=
ieiftam3a:quale fit quadrato eius 3 qua: conftat ex minore 8i adiecfta .

Sit data linea a b diuila per inxqualia in pundo c,fi t'cg linea a c maior cf? linea b c.
Dico 9 eft poffibile inuenire quandam lineam,qu* adieda ipli line* b c3id efficiat, ut
hoc qd* fit ex ducftu line* compolitx ex linea a b3& ex adiecfta in ipfam adfccfta fi t *qua
le quadrato linexqux conftat ex b eparte minorc,&! ex adieifta.aflumatur enim qux==
dam alia linea *qualis3uel minor linea ab,qu* fit de.fiC qu* eft proportio line* a c ad
lineam b c, eadem fit proportio line* d e ad quanda ali
am lineam per 3. buius3qu* fit e f ,aflumatur'cg linea d f
xqualis line* a b qin ex lineis d e3e f ,d f quxcuqj dux
fimul iuncftx maiores funt tertia ,ut patet ex prxmiffis.,
poffibile eft conftitui triangulu per 2y.primi3conftitu-
atur ergo & fit d e f.fuper terminu itaqj line* a b qu* eft
a,conftituatur angulus xqualis angulo e d f per 2 3 . pri
mi3qui fit g a b,& refecetur linea a g ad xqualitate line*
d e3& ducatur linea gb3ergo per 4. primi, cum linea df*
fit xqualis line* a b;& linea a g xqualis line* de,8i an*:
gulus g a b fit xqualis angulo e d f,erit linea g b xqualis
line* e f,& rei iqui anguli trigoni a g b xquales erunt re
liquis angulis trigoni d e f ,ducatur ita 9 linea gc.&qrh
proportio line* d e ad linea d f , ficut line* a c ad lineam
cb3erit proportio line* a g ad lineam g b, ficut line* a c
ad lineam cb per 7.quinti,ergo per 3 .fexti angulus a ;
b diuifus eft per xqualia :palam aute,qj angulus g c b eL
acutus, fi eni fit redus,tuc trianguli agc&gcb xqui* A

anguli per 3 2.primi,quonia ad pundlum g duoru ipfory <_ ,&

anguli funt *quaIes,ergo latera eojfe funt ^iportionabiliaper4.iexti, erit ergo propor*
tio lateris a c,ad c b ficut laterisg c ad feipfum:*qualis eft ergo linea a c linex c b, quod
eft contra hypothefim di impofnbile.Si uero angulus g c b detur efleobtufus maior an*
gulo geh, palam per 3 2,primi,qfh angulus g b c eft minor angulo g a c3crgo per i8.pri
mi in trigono a g b latus g b maius eft latere a g,& quia eft proportio linex 1 g ad linea g
a ficut line* b c ad linea c a,erit per, y .huius g pportione.f.econtrario latus b c maius qj
latus a c,qd* eft contra hypothefim.palam ergo?qm angulus g b c eft acutus. ducat itaq?

h 3 per

LIBER’ PR.IMVS* - • - : $x

pirndus datus in diraili circumferentia xqualiter diftans ab extremis terminis diame»
triqusfuntg&b.DicoqipofiTbileeftaba pundo periferix circuli duci- lineam uiqj
ad eduda diametru g b,qux fit squalis da tx lines q e.ducant quocp dux, lines a b & a
g,t'Ilxergoneceflario crut squales ex hypothcfi,qm pundus a xqualiter diftat i
terminis diametri g&b,& adiilngatur lines q e linea talis,ut illud qd* fit ex dudu
totius lines cum adiunda in adiunda squale fit quadrato lines a g per pisce» ^

dentem proximx,& fit adiunda e z.Cu ergo id qd fit ex dudu q z in e z fit aequa
le ei q effit ex dudu lines a g in feipfam,erit linea q z maior cfj linea a g, & linea e
z minor illa, fi enim linea e z fuerit maior, uel squalislines a g,tunc elt impoflibi
I e, ut id q3 fit ex dudu q z in lineam e z,(it squale quadrato lines a g,qm linea q
2 eft maior cp linea e z,ut totum parte. Si aute linea e z fit minor cp linea a g , pa» L

Ia,quonia linea q z eft maior cfj linea a g,(pducat ergo linea a g donec fiat squa-
lis lines c q per 1 .primi, & fit a ge,pofito ergo pede circini fiiper pundu a, fiat cir
culus (ecundu quantitate 1 ines a g c,qui circulus fecabit diametrum b g cduda,fe
cet ergo ipfam in pundo d,& ducatur linea a d,qus neceflario fecabit circulu, fi*
nia concurrit cum diametroifi enim non fecet circulu, contingens erit & squedi- 2

ftans diametro g b,nuncp concurrrens cum eadem, quia ex hypothefi lines a g 8i
abfiint squales, & pundum a squaliter diftat ab utrifep terminis diametri.f.b &
g,fecetergo d a circulum a g b in pundo h,& ducatur Iineag h , palam
ergo,q> cum fuperficies a b g h fit quadragulum fuper circulum deferi»
ptum.q» duo eius anguli oppofiti.f.a g b & g h a ualent duos redos per ?
i 1 . terti], fic a g b squalis eft a ngulo a b g per primi .anguis? ergo a g :
b cum angulo a g h ualct duos redos.Cum ita cp per 13. primi angulus :
g d a cum angulo a g b ualeat duos redos ,pala,quia angulus a h g erit ■
Kqualisangulodga.&angulusahgcomuniseft totali triangulo ad •
g partiali trigono, qui eft h a g,veitat ergo per 3 z. primi, ut angulus
h d g fit squalis angulo li g a,& totalis triangulus dga squiangulus .
triagulo gha^rgope^.fexti latera ipforum xquos angulos rcfpicie •
tia funt proportionalia,eft ergo jpportio lateris d a ad latus a g,ficut la
teris a g ad latus a h.Illad uero qcr fit ex dudu lines d a in lineam a h,
eft squale quadrato lines a g per 1 6.fexti, fed linea d a eft squalis li-
nes i c,pcr diffinitione circultxrgo linea d a eft squalis lines q k a^-
riiam linea c a ex prxmiflis eft squalis lines q z, quia uero illud qcP fit
ex dudu lines d a in linea h a eft squale quadrato lines a g,qd ex prxmiflis: eft squale
ei qd* fit ex dudu lines q z in linea e z,g illud patet,§d fit ex dudu lines a d ad linea h a,
eft sqlc ei fit ex dudu lines q z in linea e z,& linea d a eft squalis lines q z,reliqirit

ergo ut linea a h fit squalis lines e z,erit ergo linea d h squalis ipfi lines q e , q eft da ta
linea, eft aut i dato in piferia circuli pudo a ad cocurfum diametri b g fic ,pduda, pa tet
ergo ^politu. cxxix.

Inter duas redas angulariterconiun&as a dato pundo redam ducere,
cuius una partium interiacens unam confundarum ,S£ datum pundum fit
cuicunCjj data: lineae, &infiiper reliquas fuse parti datum pundum 6C altera
eoniundarum interiacenti aequalis ,

Exempli cau(a:Sit,ut dus lines redx in pundo itno angu __
lariter coniungantur,qus funtf r di c r concurretes in pundo c.
r, inter quas fit datus pundus m,& fit data linea, mc, proponit
riouus,ut i pundo m ducatur linea reda intra lineas c r & f r,fe
cans illas in pundo o uel 1, ita, ut eius pars quseft lm,fit squa»
lis dats lines a c,&: infuper reliqux fux parti qus eft m o . ad
hoc autem per lineas redas uel circulares demonftrandu, lon-
gus labor & mults diuerfitatis nobis incidit , & non fiiit nobis
hoc poffibile complere per huius lineas ab% motu&imagina

tfonerncechan?ca,ita,aimline* fr&cr dat* fint nobis indefinita; ,linea I o ffxaift pun
do m, imaginet mcechanicc §ufcp nobis accidat res qu*fita,hoc tn Appollonius Per-
gen.inlibroiyo de conicis elementis libro fecundo ,propofitione quarta,per deductio-
nem fedionis ampligoni* i dato pundo inter duas lineas aflumpto,nulla earum line
arumiecante demonftrauit , aiius nos demonftra tione.lit i multis.fui libri principijs
pra-ambulis dependente hic fupponimus, et ipfa utimur ficut demonftrata .

cxxx.

Sumpta circuli diametro, & fumpto in circumferentia pundo ina?quali-
terdiftante i termino diametri,poffibileeftaflumpto pundoad edudam
diametrum lineam ducere,quae uel cuius pars interiacens periferiam &dia-
metrum iit data* Iineze aequalis.

Difponantur omnia ut in i z8.huius.nifi pundus datus in circumferentia ciraili
qui fit a insequaliter diftat i terminis diametri qua: fint g & b,erunt'cg line* a b & a g in*
acqualeSjideo q> pundu a inaequaliter eft diftans i pundis g & b,protrahat ergo i pun-
do g linea aequediftans line* a b ex 3 » .primi,qu* fit g n,2C fumatur li-
nea qu*cunc£ utpote z c,& fiat fuper pundu eius z angulus *qualis an
gulo a g d per 13 .primi, qui fit angulus c z f duda linea z f, ,& ducatur
i pundo c linea *quediftans line* z f ut prius,qu* fit c m,6t ex angulo
c zf/ecetur angulus *qualis angulo a d g per 27. huius,qui fit c z m*
duda linea z m,qti* per z.huius neceflario concurret cum linea cm,cu
fit duda inter *qnediftantes,fic ergo pundu concurfus m,reftat ergo ut
angulus m z f fit arqualis angulo a g n . i pundo itacp c ducatur linea
*quediftans line* z m qu* ut e o.& quoq? neceflario concuirqat cum li
•iea f z per z. huius, fit ergo earum concurfus in pundo r , fumat quoq*
per 3 .huius lines», cuius proportio ad linea z c fit fieut diameter g b ad li-
neam q e linea datam, a h*e fit linea i, deinde i pundo m dato inter di|
as lineas r f dC r o ducatur a d per pr*miflam linea qu* fitlcm e, feca*
lincal r l'n putido 1,& linea r 0 in pundo o,ita,uteius pars em fic *qua
lis dat* line* i,& eius pars 1 e fit *qualis line* m o, & ipundo c ducat
linea c f *qued$ans line* 1 o per 3 1 .primi .hic quocR per zji. primi hu.
ius fecabitur a linea z m,fit ergo pundus fedionis y.fia t ergo fupra pun
duaterminuline*gapundus,qcP eft in circuferetia circuli,angulus
d a g *q Iis angulo z f c g linea a n d.pala aut.cp h*c linea cocurret cum,
^pduda diametro g d,cu en? angulus d a g fit *qualis angulo z f c,8d au
gulus a g n *qlis angulo f z m,& angulus n d g eft*qlis angulo czm,
to tusqj angulus a d g *qualis toti angulo f z c,& eu line* 1 c & z c co-
currat, ergo & line* a d & gd cocurtet,er*«
go linea a d cotinget circulu.autfeeabit ip
ium.Sit ergo linea a d primo cotinges cir*
culum in pundo a ,cu ergo angulus g a n
fit *qualis angulo z f c,& angulus g a n fit
aqualis angulo f zm.palam per 3z.primi

?uia angulus a n gerit *qualis angulo z y
,erit'cj? triangulus a g n aquiangulus tri-
angulo zf y, ergo per 4.iexti pioportioli
ne* an adlineam a g.ficut line* r y ad li-
neam f z.Similiter cum angulus a g d fit
aqualis angulo f z c, etiam angulns g a d *qualis angulo z f c.erit per eandem trian-
gulus agdfimilis triangulo f z c,ergo ut prius qu* eft proportio line*agad linea g
d, eadem cft line* f z adlineam z c.Si ergo qu* eft proportio line* a n ad lineam a g,
eadem eft line* f y ad lineam f z,8d qu* eft ^portio line* a g adlineam g d , eadem eft
line* f z ad lineam z c, em ergo per «quipropomonalicate per z z,quinti>ut qu* eft ,p

portio

. liber. PRIMVS* 33

portfo lineae a n ad lineam g d eadem fit linea; f z ad lineam z t,quia uero.linea t m eft
sequediftans linea: f 1,& linea f t arquediftans linea: 1 m,eri t fiiper netes 1 r c’m aquedifta
tibiis contenta lateribus. palam ergo per 34,primi,qm linea f t eft aequalis lineae 1 m,
quafi erit linea f t aqualis linea c d,quonia linea m o eft aequalis ipfi 1 c per pramiflam,
linea ergo c m addita utricj?, adhuc fiint xqua!es,eritq? 1 m aqualis linea c o,fed linea m
o eft aqualis linea y t per eandem 3 4.prim/,& linea y m eft aqualis linea t o, reftat er*
go,ut linea f y fit aqualis linea c m,ficut linea c m ex pramifliseft aqlis linea i ,'eft au*
tem ex pramiflis & per 5- .huius proportio linea i ad lineam z c,ficut diameter b g ad li
neam e q,erit ergo per 7.quinti proportio linea fy ad lineam t z.ftcut diameter b g adii
neam e q,quia uero eft proportio linea a n ad lineam g d, fient linea f y ad lineam zt,
ergo per aquiproportionalitate per zz.huiuserit proportio linea a n ad lineam gd,fi*
cut lineagb ad linea e q,uerum angulus g a n eft aqualis angulo gb a ex 3 1 . terti) , fed
angulus ng d eft aqualis angulo gb a per zj>, primi, quia linea n g aquediftat linea b a,
igitur angulus n g d aqualis eft angulo n a g,& angulus n g d eft comunt s ambobus tri
gonis n d g & a d g,crgo per 3 z.primi erit angulus d n g aqualis angulo d ga,ftmt ergo
didi trianguli aquianguli,eri t ergo per 4.fexti proportio linea a d ad g d,ficut linea g
d ad n d,ergo g (6. Cexti erit id qd* fit ex dudu linea a d in d n aquale quadrato g d . Sed
id q3 fftexdudu linea b d di g d, per 3 j-.tertij eft aquale quadrato d a, quadratu uero li-
nead a eft aquale ei q3 fit ex dudu linea ad in d na ad in aa per z.(ecundi,& idqcf’ fit
ex dudu linea b d in d g.eft aquale quadrato linea d g,8>C ei qd fit ex dudu bg in dg g
3 .fecundi. Ablatis ergo aqualibus hinc inde qua fiint quadrata g d & redangulu a d n,
reftat id q3 fit ex dudu linea a d in a n fit aquale ei q3 fit ex dudu linea b g i n dg, erit*
£5 per /y.fexti proportio linea an prima ad lineam gd fecunda, ficut linea bg tertia
ad lineam a d quarta. oftenfum eft autem fiipra,q> eft proportio linea an ad linea gd,
ficut linea bg ad lineam e q.erit ergo per 9. quinti linea e q aqualis li-
nea a d,qd* eft propofitum,qm ipfa linea a d eft data linea aqualis,in
teriacet aute periferia circuli & eduda diametrum,eo, q» eft continges
circulum. QcF fi linea a d non fit contingens,fed fecans circulum, aut
Igitur linea a g eft maior cp linea a b,aut econtrario.Sit autem nunc li-
nea a g maior qjj linea b a .palam, quia linea 5 pundo a ad diametru b g
extra circulum duda^fecabit circulu in arai a g , fit ergo ut fecet ipfiim
In pundo h,&: dudam linea h g,galam itacp,cum quadrangulu a b g h
fit inferiptum circulo.quia duo anguli a h g di. a b g per z f . terttf fiint
aquales duobus redis.ducatur quocp linea gnaquediftans linea b a,
eritergo per zp.primi angulus n g d aqualis angulo g b a.ergo angu-
lus n g d,& angulus a h g fiint aquales duobus redis, Sed per 1 3 . primi
angulus n h g cum angulo a h d ualet duos redos'ergoa g d eft aqualis
angulo n h g,angulus uero n g d eft comunis ambobus] trigonis g d n
& h g d.erit ergo tertius angulus qui eft d n g,aqualis tertio qui eft d g
h per 3 a. primi, ergo per 4,fexti latera aqtios angulos refpicientia fiint
proportionalia.eft igitur proportio linea h d ad lineam d g,ficut linea
d g ad linea d n,ergo g r «S.focti illud qd* fit ex dudu h d in d n eft aquale
quadrato g d,& illud qd1 fit ex dudu a d in d h eft aquale ei q3 fit ex du
dub d in d g per 3 j-.tertrj.Item illud q3 fitex dudu a d in d h eft aquae
k ei q3 fit ex dudu d h in d n,di d g in a n per 1 .fecundi. Illud uero quod
fit ex dudu b d in d g,eft aquale ei q3 fit ex dudu bgingd,& quadra*
to g d per 3 .fecundi. Ablatis igitur aqualibus ab utrifcp.f.quadrato a g ex una parte in
illoq3 fit ex dudu dh in dn,ex altera refla t,ut illud q3 fitexdudtidh in a n,fit aquale
ei q3 fit ex dudu b g in d g,erit ergo per 1 y.fexti proportio a n primi ad g d fecunda , fi*
cut b g tertij ad d h quartu.ied probatum eft in praecedentibus, q> proportio linea a n ad
lineam d g eft ficutdiameter b g ad lineam e q.igitur per 9,qirintl linea d h eft aqualis Ii
nea c q,qcr eft .ppofitum.Si uero linea a g a g fit minor tjj linea h a,fecabit linea d a cir*
culum in arcu a b,Sit ergo utfececipftun in pundo h,& ducatur linea ghin linea g e,

i «eque

PERSPECTIVAE 'VITEEEI ONIS
squediftans Itncacb a,palam ergo per imprimi, quoniam angulus n g d eft squalis an
gulo a b g,(cd angulus a b g eft aequalis angulo a h g per 2 6. tei trj,quoni
d am ambo cadunt in arcu g a, &iuntfup er circumferentia circuli, ergo

angulus n g d eft squalis angulo a b g,ied angulus a b g eft squalis an*
gulo a h g per 2<S.tercij,qm ambo cadunt in arcu ge,&! fiint fuper circu*
ferenfiam circuli,ergo angulus ng d eft squalis angulo a b g angu*
I us n d g comunis eft ambobus trigonis.ftn d g 8i d b g,eft ergo tertiUs
d ng squalis tcrtio.ftd h g per 3 2,primi,ergo per q.iexti erifproportio
lines h d ad lineam d g,ficut lineae d g ad linea d n,ergo per 1 6.iexti lllcP
quod fftexdudu h d in d n, eft squale quadrato lines gd. Sed illud qcf
n t ex dudu b d in d g per 3 5-.tertij,eft squale ei q> fit ex dudu h d in d a.
Illud autem qd fit ex dudu h d in d a, eft per 1 . fecundi squale ei qit fit
ex dudu lines h d in d n,& lines h d in n a.Illud uero qcf nt ex dudu lis
nes b d in d g per 3 .fecudi, ualct illud q3 fit ex dudu lines bg ingd dC
quadratug d. Ablatis ergo squalibus hinc inde, erit illud quod fit ex da
duhd innasqualeei,qafitexdudubgingd,eritergout prius pro-1-
portio lines a n ad lineam d g,ficut lines bgad linea h d. Sediam often
iiim eft fupra qd eft proportio lines a n ad li neam d g,ficut lines b g ad
lineam e q, igitur linea e q eft squalis lines h d per 9 .quinti,quod eft ,pe
pofttum.qm i pundo a dato,duda eft linea iecans circulum.cuius pars
d pundo fedionis ufep ad concurfum cum dia metro produda , squalis
’ eft dats lines, patet ergo quod proponebatur *
cxxxr.

Inter duas redas fefecantes ex una parte a pundo dato
hyperbolem,illas lineas no contingentem ducere ex alia
parte,comiinis pundi illarum lineahim hyperbolem prio
ri oppofitam defignare,ex quo patet, q> cum fuerint duje
fediones oppoficas inter duas lineas, & producatur linea
, minima ab una fedione ad aliam,eritparsillius lineae in=
teriacens unamfedion um,8C reliqua lineam arqualis fuat
parti aliam fedionu,& reliqua lineam interiacentk

Quod hicproponitur,demoftra tum eft: ab Appollonio in librp
fuo de conicis element/s,ducuntur aute fediones ampligonis ftuq
hyperbols oppofits, quando gibbofitas unius iplaru fequit gibbo
fitatem alterius,ita,ut ilis gibbofttates ie refpiciant,& amba % dia/
metri fin t in una linea reda .Verbi gratia:Sit ut dus lines h ISiz n
fecet fcin pundo x,8i ex una parte ipiarum.f.iub angulo bx z,'uej
fub angulo h x n i dato pundo qui fit t,& ducaturiedio ampligos
nia qus ftt t p,& ex altera par se fub angulo n x l,tiel fub angulo z x
Inducatur fodio illi oppolita qus lite u,tta,q> diametri quarumlibet
oppofitara amba^: fedionum lllap- ftnt in una linea qus fit t c,iuer
: tice unius ad uertice al teritis produda , qus neceflario eft minima
omniu linearum inter illas duas fediones produda{t>,&: ex rjs decla
raui t Appollonius illud qd* correlatfue proponitur.f.q» fi linea t c le
cct lineam h 1 in pundo f,& lineam z n in pundo q,q> linea t q erit
squalis lines c f,3d fi linea t c pertranfeat pitndum x,erit linea t x
squalis lines x c,&nos utimur hoc illo, ut per Appolloniu demop
ftra to,& propter conformi tace portionis fodionum relpcdu line/
arumieinterlecantium,patecergo propofituin . ii

CXXXll, .

Xn uerticc alteriu.s conicarum fediotium polito pede ctr

cini

!, IB E ft , jr. . 34

tmiimmobiIi,fecuiic3uin quantitate, linea: bneuiftima: mterillasiecfliones
ducfhc,de{cripcus circulus fedione-m reliqua continget, fecundum uero ma
iorem,in duobus tantum puridis reliquam' fucabit. '

Quod hic proponitur,facile eft,& fbla indiget de.d^fa tioe: Sint enim ut in praicede
ti propofirionc dux iedioes conica: oppoilta: adinyjifemjquie (int t p Sd c u, inter quas
linea minima uertices.f.ambaru fcdtonumcontinuans,,fic-linea t c,lit 8C poli to in altes
xo pundort t uel c pede circini,utpote iq pundo t de^ribatur circulus fecundum quan
titatem diametri t c,hic ergo circulus,quia fedionem c u.non attingit nili in pundo c,
& omnes aji« linea: ducibiles inter ipfaslediones,fimt maiorescp line^ t c,‘funt ergo
maiores lemidiametro circuli,{ecabuhtur ergo omnes.pcr circulu, nec attinget circulus
alicubi (edihnpm nili in pudo c, patet. ergo piimu propouto{f,qj (i linea t g femidiame
tejr, circuli fit pvnor cjjlinearu minima,funt oppofitas fqdiones produdait ut eft t c, pa-
tet,qmilU;minimal/nea.inter(uperficielediqnis producetur ad periferia circuli, ut in
pundiim,pi»a}i.qua^er§,9 fiipdflcies cpnuinis erit circujp & f?dioni, circulus ergo 8i Ics
aiQlecaliintjlia:cija<^fedipnp,ei;itmfiinduq%s,tapt5pundisg &i k,qdPper modu
ro»ternj,coji|ii)irippj;e&^ ^ ’

c xkx 1 1 r..

A p.undo.dato inejrcuU circumferentia extra dj^metru,poffibile eft du*
eerejineamper diana€tf^,adc;kcuinfepent^,i^,wepars eius interiacens di

amecrum 85 reliquam partem circumferentias fitajquglis linea: data: eidem
circulo infcr/ptibili pramiflb m o d q , fecf liar um linearum tequalium ab eos
dem pundo dato in eodem circulo produci.bilfts, fuQt tantum dua:,
Eftocirculiis.a b.g,cuius diameter fit b g pudus dati»,
i fiii.circSferetia fit a,8<: fit h.z linea data minor diametro b
g,pmifip modo polfibileinfcribi circulo, Dico, q>. apundoa
poflihile efi:, ducere, lineaitrafeunte g diametru b g,cuig pars.
interiaces;diametp|bg8<.ci|:cfifetentiafita;qlis lineae- qat^
qh z,ducantem,in circulo fineae b, a& a g,8i iug pundub.
ne%da.t».h!z;fiati.angnli,is «qlis angulo a gb,q fit m h z,du
da. Uoea m-b^ue. ide.prtnc^hjatv angifitis «qualis . aiigulo,
ab g>qfitdhz>dudalintahl,8Capildq.z ducat linea «que:
diftas. liae«.h m q fit z n,q.g4|&cab(t linea h l.fit. ut fecet ip
fam in pndo x$. ^.p5d.o. n. ite^ducat alia Irnea aj.quediftas
Iine« hlqtiae fit z c/q.cansUneg;b m in pundo % (ecabjt:3.utcm per 4.huius,& i pundo

tducaturfediftcqmca.qtt3(6it^p,ficut,pr«imin!m,dUa j<3jVhu,lts,hacita^,feAl0 n5

c.Qntingitaliqualineaite9.n ^at alia conica,

ifti 'o.ppQfita , n

inter- eafdem li.
neas ex parte

alia qu« fit cu, / \ \

Stinter illas fe* v \ <,

diones didap- \ X

omniu linearu p / \ /

minima dqda . / \/

& pundo i ; ad IA " ' --

fedtoemcufic

linea t c.hsec ergo linea t cfi fuerit «qualis diametro circuli b g, circulus fadus fep irndS
lemidiametrumt e, polito pundo circuli in pundo t,palam,quia fedionem c u contin*
get.Si uero linea t c fuerit minor diametro p g,circidus fedus modo pra:dido iecundfi
q uantitate line« b g,fecabit fedionem cu in duobus ptm dis,ut patet per pramiiflam.
fit ergo nunc primu linea t c «qualis diametro b g,cum ergo linea t c ducatur ad iedio*

i 2- nemco

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

fictu data lineaad datam lineam ♦

Efto

LIBER PRIM VSt 3f

Efto a b g triangulus datus, cuiusangulus a b g fit redtis, & in fatere illius bg fit
pumilus datus qui fit d extra angulum aut intra,fint'cg datae line* duae e fi Cz, Dico q> i
pundo d poilibile eft ducere lineam fecante balem a g,8i concurren-
tem cum latere a b > ita, q» pars line* fccantis interiacens latus ab
& balem a g,fit eiufdem proportionis ad partem bafis a g,quseft ab
illa linea ufeg ad pundum g.cuius eft data lineae ad datam linea z.

Sit enim primo pudus d in ipfo trigono a b g,8C ducatur ab eo linea
arquediftans lineae a b per 3 1 .primi,qus fit d fiat circulus iliper

tria pumila g d m per y.quart^erxtcg linea g m diameter huius circit
li per 3 o.tertij/upertcnditur enim angulo redo per 29 .primi , ,ptra*
hatur line* a d,& quia per eandem 29. primi angulus g m d eftsqua
Jis angulo g a b,palam,quia angulus gmderit maior angulo gad,
cum angulus g a b fitmaior angnlo g a d,lecetur ergo ex angulo g a
d angulus aqualis angulo gadper 2.7 .huius.duda linea m n ad peri
feriam circuIi,fitcH angulus dmn,qus autem eft .pporrio line* e ad
lineam z.eadem fit per 3 .huius ,pportio line* a d ad linea b,& i pun-
do qui eu: pundus in periferia circuli, ducatur linea ad diametm g
m qu* fitnl,(ecans cirailum in pundo c,ita,u*eius pars interiacens
periferia circuli & diametmm qu* eft c 1, fit squalis line* dat* h per
rzB.uelpcr 1 3 o.huius.Si ducatur linea cg,&! i pundod ducatur li*
nea ad pundum c,quar cum cadat inter duas lineas squediftantes cj
lirnt d m & b a, tenens angulum acutum cum earum altera ut cum m
d,fi producatur necefiario conairretaimrehqua per z.huius,concurrat ergo inpundlo
q.quia itacp per z 6.terrq angulus g m d eft *qualis angulo gcd,5C angulus g m a eft s«
qualis angulo g a b per zp.primijpalam.q» angulus g c d eft squalis angulo g a b , ergo
per / 3 .primi erit angulus g c q squalis angulo b a l,per 1 j-.primi
eft squalis angulo g a q .angulus ergo g c q eft squalis angulo g
a q.Sit autem t pundus,in quo linea d q lecat linea a g , erit ergo
per 1 5-. primi angulus g t c squalis angulo g c q ,quia ergotrigo
norum a t q Si t c g duo anguli iunt squales,erit & triangulus ter
tio squalis trianguli, ergo atq&tc g iunt squianguli , ergo g
4.iexti erit proportio lines q t ad t g,Ticut lines a t ad t c, uerum
angulus n m d ex prsmiflts eft squalis angulo t a d,qm enim an
guli g m d t a b iunt squales , & anguli gmn&dag squa*

les, relinquitur n m dsqualis angulo t a d,Sed8<! angulus n cd ex
z6.tertij eft squalis angulo n m d,quia angulus n c d eft squalis
angulo t a d,ergo per 1 5-. primi angulus t c 1, qui eft contra polh*
tus angulo n c d,eft squalis angulo t a d,quia ergo angulus t cl
eft comunis duobus trigonis.f.trigono t cl 8i trigono t ad, quia
ergo angulus tcl&tad funt squales, erunt per 3 z. primi trigo*
natcb&tad squiangu!a,ergo per 4.fexti m proportio lines t
a ad lineam t c,ficut lines a d ad lineam 1 c.Fuit ante oftenilim iu
perius, q> eft proportio lines t q ad lineam t g,ficut line* a t ad Ii
neam tc.ergo per 1 1. quinti erit proportio lines ad adlc,ficut
lines q c ad tg,fed lineale eft squalis line* h, Si ,p portio line*
a d ad lineam h eft ficut proportio line* ead z,ergo per 7.&1 1.
quinti erit proportio line* q t ad linea t g, ficut lines e ad linea z,
quod eft propofitum. Si uero d pundus datus in latere trigon
ni q> eft b g extra triangula produdo,ducatur pritis £ pundo d li
nca squediftans lines a b,fiC fitdm.QC ducatur linea a g donec cocurrat cum linea d m
pundo m,6<! fiat ut prius circulus tranfiens per tria punda g d m ,erit ergo ut prius m g
diameter illius circuli, & ducatur linea a d.erit quida angulus gad maior angulo g m d
per 1 6, primi, fiat ergo ut prius fuper pundum m line* d m angulus squalis angulo g

1' 3 ad per

PERSPECTIVAE V l.TE £ LI O N I S

dpafUneammti qui fit angulus d m n,8rf d ofjrcuT/,

ducaturtit pr/iis per » zs .ud per U 3 o.huiusiinea ad adude diatnetrummg wconconens,-
cum fpla in pundo l,Qt{eekns pgriferia citmli in pmtfac Atiu>WliiM&Ql fit aequat'
Iis linea: h afiumpta» ut prius.f.ut per 3 .huiijsfit- proportio lineae a d ad ipfamh. ficut IU
nae dat» e ad 1 ineam da tam cz,& ducatur iinea d c feqans luieamagin pundo.t,&;lme.
am a b in pundo q.Cumergo angulus n md,& angulus n c d per z 1 .terti) funt xqualei
duobus redis, & ar^alus nnijidditaqualis angulo t a d ex pr»mifliis; palanvex t 3 . pr i-
mi,qmerit angulus tcl lequalis angillo t a d,emntergoduo trianguli tcl £< ca d p is*
& 3 2. primi »quianguli,erit ergo per 4.fex$fippor tio lineae d a a^lineg c fificut lineae t a
ad linea t c.cum autem per z6, terti) duo anguli g cd&gmd fint»quajes,qm cadut ini
eodem arcum qui eftd g,angulusuero taqpcrzp.primi eft»quqlis apgiilo g m d , erit:
angulus t a q arqualis angulo tc g,fed & anguli q. e a 86ge t iunt aequales per 1 y.primq
erunt ergo trigona g t c & t a q aequiangula per ‘3 z.prittij,erit ergo per 4 jfeftr propor*
do lineas a c ad linea cl,ficutline»qt ad linea tg,efterg9 per 1 liquintiprpportio lineaf
e ad z, ficut line» qtadlineamt g, quod eft proppfitunn

cxxxv.

Datis duobus pundisuno in circulo alio extra circulu,uel utrocp extra
circulum, pollibile elfinyemre pundum in circumferentia, dati circuli,ita,
ut angulum contentum^ lineis ^prtedidispnndis adpundum inuentum
dudis diuidat perxqmliajmea jn illo pundo circulum conting,e/i$t

Elio duo pund-a data qua; e& diquop-unum quifite primu fit, in circulo,^ refiqu0i

extra.illup),& fit da tus drculus,cuius centrum fit g.Dico qj poffibile eft i» «if -

culi g inuemre pundum,in quo.linea contingens.circulum duda,fecet an§i4n.con,tsgj*

catur linea dg, erit%
ex pr»miflis linea eg
minor cf? line-ad g , $£r
fumatyr quq^fin^m

*er diuidatur,ut<pppr-
itio line»; It ad lineam
cniifit ficut lineat d g
sdJineagcper 1 i9.hu
m , dinidatur*® linea
mlpcrequalia m pui»
do n 4 quo fuper Irnea
m 1 ducatur perpendis
cularisperi 1. pruni q
fitno>« iuper pundu
mper 23. primi flat an
gulus aqualis medietati anguli d gl dimiaper^^imipcr^quali^ducaturq? linea m
oipalam aute,q> angulusi mo eritminor redo^m angulUjS d gs eft minor duobus re*-
dis. Sed angulus o nm eft redus, igitur per »4*huius linea mo concurret cum linea n
o.fit autem pundu concurfus o ,5 pundo uero c ducatur linea ad triangulum n o qui fit
c k f, ita, ut proportio Hneidc f ad linea f m fit ficut proportio line» e g adi inca gs,qd*
fieri poteffc per pra-cedenteducatur quocp linea m k,& fuper pundu g terminu hne» e
g per 23 .primi fiat angulus aequalis angulo m f k„per linea ulcg ad circumferentiapra
d udam, qua: fit a g,&lit angulus a g e,& ducantur du» line» a g & a d.Dicoq? a eftq-
fitus pundusDduc5tur enim line» ea.Cum ergoexpnemiflis angulusmf kfit »quajw
angulo a g c& proportio Uncx fk adlineaf mseft ficut proportioline» e g ad lineam
gWgopsr erit proportioline» f Jc ad linea f ni,ficut line» e g ad lineam g a

«equa*

LIBER. PMMVf, 3 6

aqualem g s,qiua atnbae ex centro, erit triangulus a ge fimilis triagufe mfkper 6. lcxti
igitur angulus f m k eft aqualis angulo e a g >& angulus a e g aqualis angulo m k fygic
Jt pundo a ducatur linea tenens cum linea a e angulum aqualem angulo n m k,& fic li-
nea a z qua ncceflario concurrat cum linea e g,quonia eft proportio e g ad a g,licut k f
ftd f m, & angulus g a z aqualis eft angulo f mc,fuitenim prius angulus c g aqualis
angulo f m k, ficut ergo linea m o concurrit cum linea k f in pundo f,iic cocurret linea
8 z cum linea g e.Sit ergo concurius in pundo z,& p -
ducatur linea a z ufq; aa pundu q,donec linea a c ie ha
beat ad linea q ?,ficut finea m c ad c i per 3 . huius , erit
ergo proportio linea a z ad linea q z,ftcut linea d g ad
linea g e,Qi ducatur linea e q, deinde i pundo a ducatur
linea aquediftans linea e q.qua fit linea a c per 3 1 , pri
mi ,di erit angulus a q e aqualis angulo q a c per 29 .pri
mi, Si quonia duo anguli z e a & e a c funt minores duo
bus rcdis,idem per 29 .primi anguli qea&eac ualent
duos redos,concurret linea a c necefla^io cum linea e
z per 14.hutus.Sit ergo pundus concurius c.quia uero
angulus e a z eft aqualis angulo nmk.ut fupra patet,
duda a pundo e linea perpendiculari fiiper linea azg
4. primi qua fice I.emnt trigona aci &nmk aquian*
gula per 3 2.primi,erit ergo angulus a e 1 aqualis angu
lo m k !,& angulus a b caqualis angulo m n k,qa uter*
cp eft redus,fed etiam angulus a e g eft ex pramiflis aqualis angulo m k f, Reflat ergo,
per 1 3 .primijUt angulus I e z fit aqualis angulo n k c,5C angulus e 1 z redus eft aqualis ,
angulo k n c rcdo,erit ergo per 3 2. primi angulus e 1 z aqualis angulo k c n, igitur per
j 3 .primi erit angulus e z q aqualis angulo k c i: palam ergo ex pramiflls,q> angulus a
C g eft aquiangulus triangulo f m k,& triangulus e a 1 aquiangulus eft triangulo k z n,
& triangulus cl zaquiangulus triangulo k n c,& triangulus c a z aquiangulus trian*
gulo k m c,eft igitur per 4,fexti proportio a z ad e z,fiait m c ad c k,eft autem propor-
tio q z ad z a,ficut proportio i c ad c m,ut patet ex pramiftis,erit ergo per 2 2. quinti p*
portio q z ad ze,ficut icade k,eftergo triangulusqzeper 6,fexti aquiangulus trian-
gulo i c k.Cutn ergo triangulus e 1 z fit aquiangulus triangulo k n z,cn't totus triangu
lus ql e aquiangulus toti triangulo i k n,eft ergo per 4.iexti proportio e 1 ad 1 q, ficuf k
n ad n »'.& fimiliter eft proportio a b ad 1 e .ficut m n ad m k.erit ergo per 2 2. quinti pro
portio nm ad n i .ficu c a 1 ad 1 q.fed linea n m eft aqualis n i ex hypothefi, ergo linea a 2
eftaqualis 1 q , ergo p 4.primi linea e q erit aqualis e a, &angulus 1 q eaqlis angulo 1 a
c.Sed di angulus e q z p 29. primi eft aqualis angulo t a 1, angulus ergo e a 1 eft; aqualis,
t a f,quia angulus e q z eft aqualis angulo t a 1,& angulus e z q eft aqual is a z t per 1 5-*
rimqigit tertius tertio, critfcp triangulus zeq aquiangulus triagulo z a t , eft ergo b 4
xct proportio q z ad z a,ficut e z ad z c,& ficut e q ad a c,efr autem cx pram iiVs 1 inea
e qaqualis linea e a .ergo per 7. quinti eft proportio q z ad z a, ficut a e ad a t, ied q z ac!
z a eft ex pramiflts ficut cg ad gd, igitur per 1 1 .quinti eft proportio linea: a c ad a c ft*
cat e g,ad g d. Fiat autem (tiper pundu a angulus aqualis angulo g a e,qui fit u a g,p
duda linea a u,fi poflibile fucrit,u(qj ad linea g fipalam ergo cx pramiffis.qrr. angulus
g a 1 eft medietas anguli u a t, cum enim angulus e a q ex pramiflts &i per j-.primi, ideo*
qj!incaae&eqfuntaquales,anguluseq c,qui per 29. primi eft aqualis anguloq a t ;
patet q> angulus e a 1 eft aqualis angulo 1 a t,fed angulus g a ceft aqualis angulo u ag
eft ergo angulus g al medietas anguli u at, ied angulus g a j,cum fit ex pram iftis aqua
'lis angulo f m c,quicofticutus eft aqualis medietati anguli d g s, aqualis medietati an
gult d gn.angulus uero u a t eft aqualis angulo d g u ,ied anguli t a u & t u a ilin t mino-
resduobus redis arguendo 32. primi,cum linea a t&! u t concurrant in pundo t.quia
duo anguli t u a,d g b funt minores duobus redis .igitur linea a b concurret cum linea d
g per 14, huius. Dico autem, q> concurrent in pundo d,efficiet enim linea u a produda

ad li-

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
ad lineam g d cum lineis ug&g d, triangulum fimilem triangulo ab t,quoniam ifti tri
goni habent angulum a u g c6munem,& angulus taueft aequalis angulo d g ti, erit er-
go tertius tertio xqualis,ergo per 4. foeti eft proportio a u ad a c.ficut u g ad linea., qua
fecat a u ex g d,& proportio e a ad a u,eft ficu t e g ad g u per 3 .foeti, qui angulus u a g eft
aequalis angulo g a e.Cum ergo ex praemtffis eadem fit proportio ea ad a t, quae eg ad
g d,& proportio e a ad a t fit compofita ex proportione e a ad a b,& a u ad a t, qrh g 1 3 .
huius proportio extremon- componitur iemperex proportione cuiuicuncp medix ad
ambas extr emas,erit proportio e g ad g d compofita ex eifdem pr oportion ibu's,quia ea
tit compofita ex proportione e g ad g b,& g u ad linea qua fecat u a cx linea g d , ied eft
compofita ex proportionibus e g ad g u,& g u ad g d,igitur linea qua Iecat a b ex g d,
eft linea g d,ergo a b fecat gd in pundo b,producatur ergo per 1 tf.terttj d pundo a I ia
nea contingens circulu qux fit a h,erit ergo angulus g a h redus per 1 7.terti) . Sed an*
gulus g a 1 eft medietas anguli a g b,ut patet ex prxmiflis,igitur angulus 1 a h eft medi
ctas anguli d g c,ideo,quia anguli agu&dge ualent duos redos,per 1 j- . primi trianr
gulus g a h eft redus,fed cum angulus t a u fi t aqualis angulo d g u,erit angulus t ad ec-
qualis angulo d g e per eandem 1 3 ,primi,& angulus I a h eft medietas anguli t a d, & an
guluseal eft medietas anguli e a t, igitur angulus e f 1 hcft medietas anguli e a d , quia
patet, qj linea a h contingens circulu diuidit angulum e a d per aqualia ,quod eft propo-
fitum. Cum uero angulus u a gfuper pundum a terminu linea: g a fadus fit ecqualis
angulo g a e, tunc fi linea a u non cadit fuper linea e s extra circulum uel intra circulum;
palam, quia linea au eft arquediftans lincte e s,quia in infinita protrada cum illa non
concurrit,erit quocp per 29. primi angulus u a g aqualis angulo a g e, fed per pramifla
angulus g a e eft aqualis angulo u a g.ergo angulus g a e aqualis erit angulo a g e, ergo
per <5. primi in trigono a ge latus a e eft aquale lateri e g.fimiliter angulus t a d erit a*
qualis angulo a t g per 25», primi, funt enim coalterni lineajc aquediftantiu exhypothe-
fi.Sed iam oftenfum eft ,q> angulus t a d eft aqualis angulo d g t,fed angulus a t g eft a*
qualis angulo d g t.&i fimiliter duo anguli a d g & d g t funt aquales per 2 8. primi, ergo
duo anguli a d g & a t g funt aquales, fed & duo anguli t a d,a g t g 29. primi iunt aqua-
Ies,ergo per 3 2. primi trigona a d g di a t g funt'aquiangula,ergo per 4,fexti latera ipio
irum iunt proportionabilia,fed a g eft comune, aquale ubi)pfi,ergo latus a d eft aquale
lateri g t. Sequitur ergo cxqs,qj linea qua fecat a b cx linea gd fit aqualis linea a t,Q£
iam praoftcnfum eft,qj linea e g eft aqualis ipfi a e, eft ergo per 7. huius ^portio linea
c g ad linea quam iecat a b exdg,ficut a e ad a c.Etiam o lienium eft, q> a e ad a teft ficut
e g ad d g , igit linea qua Iecat a b exdgcftgd.fiC cum ex pramiflis angulus c a d fit as
qualis angulo d g t,erit angulus 1 a h medietas anguli t a d,ut fupra patuit,& angulus e
a 1 medietas anguli e a t,cr it ergoeahmedietas anguliead,quodcft propofitum .Eo-
demqj modo dcmonftrandum,fi ambo punda e& d data fintextra circulum, patet er-
go propofitum totum,

CXXXVI.'

Dato circulo &in eo diametro,pund:o^ extra circulum , pofTibile eft i
dato purufto ad diametrum ducere lineam fecantem circulum fic,q? parsdu
tfta: linere interiacens circumferentiam 8t diametrum5 fit requalis parti dia*
metri interiacentiipfam 8C centrum;

Efto datus circulus,cuius centrum fitg,& in eo data diameter fit x g b,fit quocp pfi
dtis e pundus extra circulum.Dico q> poffibile eft duci a pundo e ad diametru x g b I i*
neam fecantem circulu fecundum pradidu modum, ducatur enim i pundo e perpendi-
cularis fu per diametru x g b per r 2.primi,qua fit e c,& fit exempli caula ut cadat illa g-
pendicularis fuper lemidiametrub g,& ducatur linea e g,& aflumatur linea q t aequalis
linea e r,8C fTa t per 3 2 .tertij fuper linea q t portio circuli talis,ut quilihet angulus cades
in hanc portionem,fit aqualis angulo e g b ,& compleatur circuIus,£C i medio pundo q
t linexqcP fit ifuperipiamqt ducatur perpendicularis per 10.& 1 1. primi, & ducatur ex
utraqj parte ufep ad circumferentia circulijeric ergo duda perpendicularis diameter cir

LIBE». PRIMVtf. 37

culi <11 ius per i .tertij}8i i pundo q ducatur linea ad haftC diatnetru,{ecans ipfam in pun
do f producatur ufcp ad p pundu rircuferenti»,ita,at eius pars quxsp fit aequalis
medietati linex gb femidiametri dati circuli.q» fiet per 13 3. huius, & ducant line» p t
di t [,di ducatur i pundo p linea p b aequediftans diemetro
concurrens cum linea t f in pundo u, concurret autem per
2,huius,& a pundo u ducatur linea xquediftans line» q t, q
fit u o,fecans diametrum f I in pundo m A linea p q in pun
do oA i pundo t ducatur perpendicularis iiiper linea pq
per 1 2. primi, qu» fit t n,& i pundo t ducatur linea xquedi*
ftans line» p q per 3 / .primi qux fit t s,di i pundo ’u! ducat
perpendicularis iiiper lineam p q,qux fit u h,deinde ex angu
lo b g e lecetur angulus aequalis angulo q p u per 27. huius*
qui ut b g d,duda linea g d adpemeria circuli , di i pundo
e ducatur linea e d z.Dico q> linea d z eft xqualis parti dia-
metri quxeftzg,ficutproponitur,diicatur enim £ pundo
d perpendicularis iiiper lineam b g, quae fit m, di ducatur £
pundo d linea contingens circulum per /6.tertq,qu» fit d
k:palam itacp,cum ex pr»miflis diameter f 1 fit perpendicu
laris fuper lineam q t A luper eius xquediftantem o u per 29, primi, linea uero pufits*
quediftans illi diametro,q»angulusoup erit redus per eandem 29. primi, di cum lis
nea o u diuidatur per diametrum f 1 in partes xquales,& orthogonaliter per z.fexti, di
per 29*primi,eo q> linea q tfibi xquediftans fimiliter eft diuifia,
erunt per 4 A per 29.primitrianguliof m&ufm xquiangul/,
ergo per 4,iexti cum latus f m fit xquale fibqpfi, erit d m »quale
mu,& f o xqtialef u.Sed cum duo anguli p ou& opu ualeanc
unum redum per 3 2,primi,ideo q> angulus p u o eft redus, ut
patet ex pr»miflis&29.primi,erit angulus aqualis angulo f p
U, ideo, quia ut prxmiflum eft, angulus k o u xqualis eft angulo f
uo.Sed angulus f pucumangulof ounaletunum redum, ut
pr»oftenfum eft, & angulus f up cum angulo fuo ualet unum
redum.eft ergo angulus f u p »qualis angulo f p u,quia fi ab x*
qualibus squalia demas,qu» relinquuntur &:c.eft ergo per 6, pri
mi latus fp »quale erit lateri f u,erit ergo f p xquale ipfif o,fic
ergo erit linea p o xqualis iemidiametro g u,ergo di ipfi g d per
diffinitione circuli, a ita erit per y.quinti proportio line» e c,qu» eft xqualis Iinex q t
ad lineam g d,ficut linex q t ad p o xqualem g d.Sed cum angulus k dg fit redus p 1 7*
terttj , xqualis eft ipfi angulo redo g i d A angulus i g d eft comunis,erit ergo p 3 2,pri*
mi triangulus i g d xquiangulus triangulo k g d,erit ergo per 4,fexti proportio line» g
d ad d i,ucut line» g k ad k d,ied angulus k g d eft xqyalis angulo q p u,8<! angulus g d k
qui redus eft per i7,tertq,cft xqualis angulo redo oup,erit ergo per 3 2. primi tertius
tertio xqualisA triangulus k d gxquiangulus triangulo o up,eft ergo per 4. fexti pro
portio line» b g ad k d,ficut line» o p ad o u,& qm ex prxmilus eft proportio linex g d
ad d i, ficu t line» o p ad o u,& quonia ex prxmilus eft proportio linex g k ad k d,ficut li '
ne» g d ad d p,ergo per 1 1 .tertrj eft proportio line» gdaa d l,ficut line» o p ad o u.Ftu
»t autem ex prxmiflis propor tio line» e c ad g d,ficut linex t q ad p d,ergo per 2 2. quin-
ti erit proportio line» e c ad di, ficut linex q t ad o u,(ed proportio a t ad o u eft ficut t f
ad f u per 29, primi & per 4.fexti,cum triangulus t f q fit xquiangulus triangulo ofu,
uerum angulusuts eft: xqualis angulohf uper 29.primi,eftenimcoalternusilIi inter
lineas xqucdiftates,q (unt h q di f c.Sed & angulus u s t eft redus xqualis angulo f h u
redo A angulus f u h xqualis eft angulo s u t per 1 y .primi,erit ergo triangulus u s t Xe
quiangulus triangulo h u f ,ergo per ^.lexti erit proportio linex t u ad u f , ficut linex s
u ad uh, ergo per 1 8. quinti erit coniundim proportio linex tf ad f u , ficut s h ad hu,
fed linea t u xqualis eft linex s h per 3 4.primi,ergo per 7,quinti erit proportio linex^t n

perspectivae vi te ll ion is
ad lineam h ii, ficut linex e f ad f u.Scd ficut patuit ex prxtniflls, qua? eft proportio U*
nex c k ad f a, eadem eft linex q tad u e per 4. fex ti, ergo per 1 1 .quinti proportio lineae
qt ad u o eft ficut lineae c n ad h u,ergo proportio linex e c ad d i eft ficut li nex t u ad u h.
Sed cum angulus giufitredus,eft xqualis angulo plHtredo;,&: angulus igd xqualis
angulo h p u ex prxmiflis,erit ergo tertius tertio xqualis per 3 z.primgeft ergo triangu
lus i g d xquiangulus triangulo h p u , eft era
goper4.(exti,pportio linexid addg^ ficut
\ lineae h U ad u p;quare erit per z z. quinti pro

portio linex e c ad gd, ficut linex tu ad up*
“ ^ Sed cum angulus ege fit axjualis angulo ep

c ex hy p othe fi,& angulus g c e redus xqua-
' "z-^Jis angulo p u t,erit trigonoru upt& gcze

— angulusreliquusrefiquo xqualis, efgo per

y\\. 4,ftxti erit proportio linex e g ad e c,ficut lia

J nex p tad nt, eft igitur proportio linex g e

/ ad gd,ficut lineae p t ad u p pCr ix.quintijled

& angulus d g e Xqtlalis eft angulo u p c ex
hypothefi,quia enim angulus q z t eft xqua-
lis angulo b g e,& angulus q p u aequalis an*
gulo g d e, remanet angulus u p t xqualis an*
gulo d g e, igitur triangulus d g e eft xquiangulus triangulo u p t per fi.fexti, ergo angu
Ius g u x xqualis eft angulo p u t.Reftat ergo per 1 3 .primi,ut angulus g d z fit xqua lii
angulo f u p ,fed in trigonis g d z & p f u eft angulus d g z xqualis angulo u p f,quia ter
tias tertio per 3 z.primi, eft ergo ,pportio per 4. foeti linex d z ad z g, ficut linex uf ad
f p,fed linea u f eft xqualis ipii f p ,ex prxmiflis igitur linea d z xqualis eft ipfi z d , qd*
eft (Ppofitum. Eft autem uniuer falis hxc proportio fiue intra circttln ad aliqua partem
diametri fiatdudio,fiueadipfam periferi5 circuli,ita,ut linex dudx pars intra circula
fiat xqualis femidiametro,fiue fiat dudio ad alique pundum diametri extra circulum,
fit q> lineat pundo quo tangit circuli periferiam fit xqualis parti diametri qua abfein*
dit,patet ergo, quoniam hxc omnia eueniuntfecundum quantitatem angulo k g d,hoc
eftpropofitum.

■CXXXVIT, ’ ^

Dato trigono orthogonio, datofcp aliquo pundo in maiorefuorum late
jrum redum angulum continentium,poflibile eft a dato pundo ducere line
am ad balem ex alia fui parte cum reliquo latere concurrentem ,quae ie habe
at ad inferiorem partem abfdfam bafis , ficut linea data
ad lineam datam*

Sint datxdux lmex z minor & e maiori fit datum trigo-
num orthogoniu ab g.cuius a b g fit redus, contentus d lineis g
b 2cb a ,& dato exempli caufa in gb latere maiore illius trigoni
pundo d.Dico q> poflibile eft & pundo d ad balem g a ducere 1 i *
neam fecantembafem a g Cum pundo q,& ex alia fui parte ci!
linea a b concurrente in pundo c,fit ut ipfa totalis linea r q ha*
beat proportionem adlinea q g ,illam qua habet linea e ad linea
:z,ducatur enim i pundo d linea Xquediftans linex d a per 3 ii
primi,quxfit dn,& fiat circulas tranfiens per tria punda dm g
& per j- .quarti, & qrh angulus g d m eftredus per ztf.pTimgqm
angulusabg eft redus, erit linea mg diameter circuli per 3».
ter nj,& ducatur linea d a,fit quoq? h quxdam linea a d,ad quairi
fe habeat hnea d a ficut linea e ad z per tertiam huius,&! cum pet1
»9. primi angulus dmg fit xqualis angulo b a g ,fecctur ex an*
gulo d m g angulus xqualis angulo d a g per z7.huiu§j& fit an*

gulus

LIBER. SECVNDVS. 3S

gulas c m d,& ducatur m c donec (ecet circumferentia in pun do c,&' aptrndo c duca*
tur linea ad diametrum m g,& ufa? ad circumferentia qu* fit linea c n,lecans diametr u
m g in pundo 1 taliter, q> linea 1 n fit aequalis linea: h datae per 1 3 3 .huius , 8i ducatur li-
nea a g,& producatur dn linea concurrens cum linea a g in pundo q.Cum igitur angu
lus d ra c fit arqualis angulo d n c per z6.terttj,cadunt enim in eundem arcum qui eft d c:
palam, quia erit angulus q a I aequalis angulo d a q,& angulus a q I eft ecqualis angulo d
qaper ij\ primi, erit ergo per 3 z . primi angulus n q 1 arquiangulus triangulo dq
a, igitur per 4 .iexti erit proportio linea: a q ad q n,ficut line* a d ad a 1 . Sed cum angu*
ius dmglitsqualisangulodngper z6.terttj,qui cadunt in eundem arcum d g,eft aute
per z?, primi angulus d m g aqualis angulo b a g:patet,quia angulus q n g aqualis an-
gulo b a g.-Sit it acp t pundus.in quo linea d m cocurrit cuma b ,erit'cg per 1 j-. primi an*
gulus t q a aqualis angulo n qg,ergo per 3 z.primi erit triangulus t qa aquiangulus tri
angulo g q n,erit ergo per 4.fexti proportio linea a q ad lineam q n ficut linea t q ad li*
neam q g,eft igitur per 1 1 .quinti proportio linea t q ad lineam a g, ficut linea a d ad li*
neam n l,fed linea n 1 eft xqualisn aflumpta linea per 3 .huius,& pportio linea a d ad
lineam h.eft ficut linea e ad linea z.eft ergo proportio linea t q ad lineam g a,ficut linea
e ad lineam z,^d eft ppofitu.Et fi cotingat q> i pudo c polline duci dualinca fimiles li
nea c 1 n,erit poflibile i pudo d duci duas lineas fimiles linea t q,ita fimiliter,ut utriuf*
cp ad parte qua fecet ex bafe a g fit ^portio ficut linea e ad linea z,& erit cade demoftra
tio.Plures autjhuius lineas cfj duas no eft poflibile duci,ut patuit £133 .hui?, patet ergo
^pofitu,&: licet hoc qd*hic pponit.no uideat penitus uniuerfalequantu ad qualibet p3
aa data,&: quaslibet lineas datas, ad quajt pportione fieri debeat ipfius bafis pportio,
nos tn hoc ppofito theoremate nili modo couenienu 8£ poflibili in fequeribus utemtxr.

LIBER SECVNDVS

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Niuerfalibus huius (cientia axiomatibus mathematicis praemittis , in hoc
fecundo Iibro,utpr*mifimus,uniuerfaliadioni fenfibilium formaro qua
dam praambula naturalia pramittentes,de modo proiediois luminis per
mediam unius diaphoni,uel plurium fuper diuerfas figuras corporum ,
de proiedione umbrajt,a: de figuratione lucis cadentis per feneftras ag*
grediamur tradatum ,ut de ijs fine quibus fermonetn uifibilium formaje aggredi con-
ueniens non fuit, prout in proceflupoftmodupatebit,qua uero pramittimus,ut nota
(enfiiifuntifta.

Diffinitiones,

Corpus luminofum, dicitur omne corpus qcF eft fiii luminis diffufiuum. Corpus
diafonum didtur omne corpus per quod lumini patet tranfitus . Corpus umbro fum
dicitur corpus, per quod lumini non patet tranfitus. Lux prima dicitur illa qua effi*
cit fecunda,ficut lux intrans domum per feneftra,& illuminans domum refiduam in lo
co cui incidit-dicitur prima, in angulis uero domus dicitur lux fecunda. Lux minima
dicitur,qua fi diuidi intelligatur,non habebit amplius adum lucis. Radius dicitur li
nealuminofa. Linea radialis dicitur linea per quam fit diffufio formary. Linea refra
da dicitur linea, cuius partes angulum continent. Pyramis radialis ,dicitur pyramis
cuius bafis eft in fuperficie corporis fiiam forma difFundentis,&: uertex in pundis alteri
us corporis cuiufcuncp. Pyra mis illuminationis dicitur illa, cuius uertex eft in pundo
corporis luminofi,Si bafis in fuperficie rei illuminat*.

Petitiones,

Petimus autem hsec,ut per fe fenfui nota,lucem comprefliim fortiorem efle luce d.if*

k * gregata

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
gregata. Item luce fortiore uehementius illuminare, & longius fe diffundere . Item
in abfontu luminis umbram fieri. Item in allatione luminis umbram deficere. Ite
aliqua umbram in fui termino acui .&ad pundum terminari. Item lucem ad omne

politionis differentiam aequaliter diffundi. Item lucem res coloratas pertranfountem
illarum coloribus colorari, ut patet de luce tranfounte uitrias feneftras,qua illojtt ultro-
rum coloribus informantur,fecum formas illote colora fuper obieda corpora deferen*
do. Item q> natura ni hil fruftra agit.ficut riec deficit in neceffarrjs *

THEOREMA I.

Radq’quorumcunq? luminum 5C multiplicationes formarum /ccundum
re&as lineas protenduntur.

Hoc qd* hic proponitur, no demonftratione,lM inftrumentaliter poteft declarari,di
uerfitas tamen antiquo^ ad hoc probandu pluribus & diuerlis ufa eft itiftrumentis, nos
uero utimur ifto q3 hic fuhfcribimus,q> regnlatius huic £ polito credimus couenire. Af
fumatur itaqj uas aneum rotundum conucnicnter fpiffiim,admodum matris aftrolabij,
cuius fandi latitudo fit unius cubiti,uel maior. & altitudo orte eius fit aqualis latitudini
duoru digitore perpendicularis faper bafom ua(is.& in medio dorli huius uafis fit per*=
pendiculariter eredum aliquod corpus plurimurorundu columnare, cuius logitudo fit
aqualis latitudini trium digitojeJatitudo uero eius fit minor uno digito,& ponat hoc
lias fecunda ilii punda media in tornatorio,& tornetur quoufq* perircria eius fit intrin-
focus & extrinfecus uerte rotunditatis.# ada-quentur plana* fuperficies ipfius, & corpus
columnare qcP eft: in medio dorfi.fiat rotundum. Signentur itacp in interiori fuperfide
fandi huius uafis duo diametri o rthogonaliter le fccantes.qua fint a b 8i c d:palam , qm
illa diametri tranfeunt per centrum circuli fundi q> fit e, dein*
de fignet in bafi orte iftius uafis, qui eft circulus a c d,in di flan-
tia extremitatis alterius diametro^ produdaru , ut diameter
a b focundu latitudinem unius digiti pundu qd* fit f,& ex hoc
pundo tertia trahatur diameter per centrum e.qute fi t f g,& a
duobus terminis iftius diametri f g ducantur dute linea; in in *
trinfecafaperficie orte uafis ,qua neceflario erunt perpendis»
culares faper faperficiem fandi Iamine, ideo , q> faperficies o-
ra,in qua perpendiculares ifta producantur, funt ereda fug
faperficiem fundi. ut patet fiipra . Illae quocp perpendiculares
fint fh#gk,# in altera iftaje lineam ut in f h fignentur tria
punda aquediftantia fecundu quantitatem medietatis grani
hordei .qua; fint 1 m n .quoji; primu qcf eft 1 fit propinquius ba*
fi uafis # ipfi pundo f, a quo diftet per quantitate medietati
grani hordei, & deinde reducatur uas ad torna toriig& fignent in ipfo tres circuli arque-
diftantcs,tran(cuntes per illa tria punda 1 m n,qui circuli diuident lineam g k.ifhe diui*
fx line* qua eft f hoppofitam proportionahter prius diaiia per 17. undecimi, firittg di
uifiones linea; g k punda o p q,& fient in unoquocp iftoru trium drculaje duo punda
oppofita,qua tunt extremitates alicuius diametri illoru circulop- in pundo diuifionis Ii
n ex f h,qcr eft pundum l.oppomtur in linea g k pundo o,#fit linea I o diameter cirs»
culi aquediftantis circulo a b c d.& fimfliter lineam p fit diameter alteriuscirculi, # 1 U
nea n q fit diameter circuli ter tq,diuidatur itacj,- medius iftoru circulo jt in 360. partes,
&t fi poffibile faerit per minuta , deinde faper lineam f h alteram duarum lineatu gpen*
diculariu qua fant f h # g k pundu medium qd* eft m,pforetur foramen rotundu,# fit
medietas diametri foraminis focundu quantitatem diftantia circulo^ qua eft linea m I,
attinget ergo foramen illud ambos circulos extremos,# medius circulo^ diu/det circii
Ium foraminis per aqualia,qm tranfit per centrum foraminis . Deinde accipitur ha
mina anea plana aliquantula fpifla,# fit eius fpiffnudo ficut hora ipfius inftrumen t i,#
ciusloiigitudofitduorudigitop'ficut& ora uafis ,& eius latitudo fit prope hoc, & fit-
seqaediftantiu faperficiep^planeturfcg adeo, ut comums fodio fupcrftcieji- fua latftudfa
Ipiflitudinis fit linea reda, qua fit e Sjdiuidaturt^ in duo aqualia per 1 o. primi , #

71

©

LIBER. SECVNDVS, 39

ab dus medio pundo qd* fit t diicatiir linea reda perpendiculari ter fuper /pfam lineam
r g in luperffeie latitudinis quxfitt u,8<: hxc,ut patet ex prxmiffis &i per zp .primi,necef
ferio xquediftabit ambabus lineis longitudims,diuidensfuperficiem tabula: per «equa
lia,& in hac linea perpendiculari qux eft t u,& d parte linea: r s cui fuperftat incipiendo
fignentur tria punda xqualiter diftantia ab inuicem fecundu quantitatem medietatis
grani hordei qux fint x y z,8i i medio iftoru pundo^ qux cft y perforetur lamina fora b
mine rotundo, ficqj foraminis periferia ad alia duo punda g
tingat, eritip hoc foramen xquale foramini 1 m n prius fado
in ora uafis , Deinde in duo xqualia diuidatur icmidiameter
uafis fundi qux eft f e,cuius extremitati in hora uafis fiipcr-
ftat una lineae ppendiculariu qux eft f hjfitig pundus diirf-
fionis t,8C ab hoc pundo t ducatur linea perpendicularis fug
eadem diametri! qux fit kts,deinde ponatur balis parux la=
minx fuper hanc iinea,donec linea qux eft differentia cornu*
nis latittidinis&profunditatis laminx qux eft r t s , fiipnos
nititr linex ifti gpendiculari dudx fuper diametra qux fimi
liter eft r t s,fit% pundus diuidens linea laminx>qux eft co-
munis differentia fuperffcic# latitudinis 5i profunditatis,qui eft ptin diis t,fiiperpofitus
pundo t,fignato in linea f efemidiametrouafis^deindcconfolidat parua lamina fundo
uafis,erit quocp tunc foramen x yz qff eft in parua lamina, qux eft r u s, direde op poli-
tum foramen 1 m a, qux eft in uafis ora , & erit linea reda m y, copulans centra mop* fo
raminum in fiiperflcie circuli medij trium circulop: prius flgnatorn, cuius diameter eft
linea m p,eritfcg linea m y xquediftans diametro uafis qux eft f e, deinde rcfecetur ex o-
ra uafis pars interiacens duos diametros orthogonaliter fe fecantes,qux fit pars 4. pro*
xime fequens qaarta illam in qua eft foramen,cui foramen laminx opponitur , & cft in
circulo a c b d,corrcfpondens arcui ad.SC planetur locus fedionis donec fiat una fuper-
ficies cum fiiperffcie fiindi uafis,& duda 4,circuli qux fit a d, fecundu quantitatem circii
lihorx diuidatur perpo.grad.&diuidanturgrad. inminuta,& ifti uau taliter informa-
to & figurato,deinceps damus nomen inftrumenti. Deinde accipit regula xnea qua*
cfrangula, cuius longitudo fit unius cubiti,& fint 4/uperficies ipfam continentis la
titudinis duoru digito^ ,& adxquatur fiiperficies eius, donec fiant xquales redan
gulx.Deinde inmcdio pundo longitudinis regulx , & in medio alicuius illaru fu
perficiep: fiat foramen rotundu.cuius amplitudo fit capax corgts,qd‘ eft in dorfo in
ftrumenti.&fit foramen perpendiculare luper fiiperffcie regulx tranfiens ad aliam
partem fiiperficiei oppofits,fiat'cg taliter q> reuoluatur in ip(o inftrumentu non le-
ui reuohidoe.ponaturfcg inftrumentu fuper regulam immiflo corpore, q» cft in cius
dorfo in foramen regulx., donec fiiperficies inftrumenti coniunga tur fiiperficic re-
gulx,erit'qj longitudo regulxxqualis diametro inftrumenti, fiantqj dux pinnuix
latitudinis & fpiflitudinis regulx, fed longitudinis pluscp unius digiti, qux confoti-
dentur fuper extremitates regulx, ita, q> ipforu prxemtnent/a fuper extremitates re
gulx fit unius digicfuel parum plus,uel minus, di pinnulx illxconfolidatx fint fug
fuperficiem regulx non perfora ta,8i quia latitudo regulx eft duoru digitoje, altitu
do uero corporis in dorfo inftrumenti eft trium digitoie,il!c tertius digitus quo cor
pus pinni et regulx perforetur, ficut in aftrolabio imittat cufpis contineris rea
gula cum inftrumento. Deinde aflumatur alia regula xnea,cui us latitudo fit dupla
fiix fpiflttudini , fpiffitudo uero fitxqualis diametro foraminis qcP eft in ora in*
ftrumeriti,& longitudo eius fitxqualismedietati cubiti, fiafcg lixc regula reda &
uera,& eius fiiperficies xquales 8i xquediftantes.Deinde fccetur illa regula in una
fili parte oblique,donec finis longitudinfs eius cotinuat cum tertio latitudinis an*
gulum acutu,ut facilius ualeat moueri.In parte uero altera fit finis latitudinis eius
perpendicularis fiiperfinemdongitudinis.Deindc diuidatur linea eius latitudinis
in duo xqualia ,& a pundo ledionis ducatur linea xquediftans lineis longitudinis
qux erit perpendicularis fuper lineam latitudinis per zp, primi, Cum itaqj hxc re-

k 3 gula

PERSPECTIVAS VITELLIONIS
gula fuerit lupcrpofita (uperficiei fundi inftrumenti taliter,ut eius fpiflitudo fit ortho-
gonaliter ereda fuper fundum inftrumenti,8c: luperficies latitudinis applicetur fuperfi*
ciei fundi ipfius inftrumenti,tunc eius fuperior iuperficies in fuperficfe circuli me<
dij trium circulorum in ora inftrumenti protradop», cuius diameter eft linea m p,
ideo,quia fpifiitudo regula: eft aequalis diametro foraminis,& diameter foraminis qua:
cft n l,eft aequalis linea: perpendiculari exeunti i centro foraminis iuper luperficie pia*
nam mftrumenti,quaeeftlineanif}cuiadiacetlineafpiflltudinis regula: aqualis ipfi.
Cum itaqj propofitam conclufione experimentaliter placuerit declarare,opponatur in
ftrumentu prajmiflum corpori lolari,uel alteri corpori luminofo cuicuncjj,uel etiam can
delae,& applicetur centru foraminis inftrumenti qcf eft pundu m ,oppofito corporis
luminofi (ecundu qcf melius fuerit poflIbile,tranfibitcg radius luminoius centra ambo*
rum oppoficojy foraminu unius in ora inftrumenti , di alterius in tabella perforata exe
untia,qua: lunt m 8i y^defcribeturfcg circulus luminoius ex parte horae inftrumenti op*
pofito foramini 1 m n direde per diametru m p,erit'cg centrum illius circuli luminofi in
pundo p.qtl faciliter patere poteft,fi i pundo p ad utranqj partem peri feriae circuli me
dij illoti trium circuloru, (ecundu gradus di minuta diuifopartes interiacentes luminofi
drculi periferia computentur,inuenientur enim aquales numeri hincinde,eft ergo pun
dum p centrum illius circuli Iuminofi,linea itacpmp, (ecundu qua incidit radius, tranfi
ens per centru circuli utriufqp foraminis,8Cper centru circuli luminofi, tota eft in fuper*
ficie plana circuli medij illoru trium circulo^, &! eft diameter illius circuli,eft ergo Imea
reda.&fialiqcf corpus forci colore medio coloratum, ut uiride uel rubeum,ponaturex
tra foramen orx inftrumenti , ita, ut lumen lolis uel alterius corporis tranfies per illud
corpus,poftmodum incidat foraminibus inftrumentf,& tranleat per illa,tunc ut patuit
per ultimam pramiflarum foppofitionu,circa pundum p in ora inftrumenti delcribet
circulusluminiscoloratiillo colore, color ergo mixtu cum lumine diffudit forma luam
(ecundu lineas redas>licut &i ipfum lumenjpatet ergo.q» radij quorumcuncp luminum
St multipHcatioes format^ fecundo lineas redas j)tendunt,&: hoceft ^politum,
ii.

Lumen nonimpeditum,per totum fibi proportionatum medium in in*
^ ftanti neceflarium eft deferri.

Sit linea jjporionata dela tioni luminis fbrtioris,uteft in lumine lolis mundi diaine
ter , qua: fit linea a b c d,& fit coi pus fortiter luminoiiim in pundo a.fi ergo dicatur , q*
lumen in tempore defertur per lineam a b c d,& non in inftanti,ergo in parte illius tem*
porisdeferturperlineamab,&in minimoteporefenfibili feretur per minima partem
lenfibile linea: a b ,quonia fi in tempore fenfibili feretur per Ipaciu infenfibile,continge*
^ ret Ipacium lenfibile ex inlenfibilibus componi, ficut tempus menfuratu poft illud fpa*
ciu compofitu ex temporibus lenfibilibus in luis partibus feretur, ergo in tempore mini
mo lenfibili per minimu Ipacium fenfibile,led in eodem tempore feretur per idem Ipad
um forma I uminofi corporis debilioris ,minus illo corpore fortiori luminofo, qm mini*
mofpacio lenfibili non eft ali^d fpaciu fenfibile minus, etia minimo tempore lenfibili
non eft aliqd* fenfibile tempus minus, aequalis ergo uir tutis erunt lumen fortius&: debi
„ lius,q> eft impoflibile,qm implicantur contradidoria,eft ergo impoflibile lumen in te-
pore per ,pportionatfi nbimediu diffundi. necefle eft ergo q> illa diffufio fiat in inflanti,
qcf eft ^politum. Ad hoc etiam aliqua deferuiunt naturales rationes Ariftotelis , quas,
qui uoluerit percurrat, quia lufficit nobis hoc unum inconueniens lecutum,
m.

Omnislineaquaperuenitluxacorpore luminofo ad corpus oppolitu,
9 cft linea naturalis fenfibilis,latitudinem quandam habens , in qua eft linea
mathematica imaginabiliter aftiimenda ,

Lux enim non procedit nifi i corpore, qm non eft nifi in corpore, unde patet , quia
in minima luce, qua: Itimi poteft,eftlatitudo:qm minima lucem dicimus,qua; li diuida*
tur,nori habet amplius adum lucis,quia non erit uifibilis,(ed utracp pars extinguetur.

LIBER. SECVNDVS; 4®

quia rtetttra pars ei? erit lux,necp apparebit ienfui.Eft ergo in linea radiali, (ccundu qu<1
fitdifFufio luminis, aliqua latitudo ,ppter qua ineft eifenfibilitas,SC in medio illius linere
eft linea mathematica imaginalis,cui omnes ali* linea: mathematicae in illa linea natu
raii aequediftantes erunt, &qm lux minima ,pced it ad minima corporis partem quam
lux occupate poteft,necefle eft,q» ,pceflus eius fit iecundu lineam mathematica, quae eft
in medio linea: ienfibilts,& iecundu lineas extremas sequediftates line* media:,neq? cae
dit lux minima in pundum mathematicu corporis oppofiti,fed in pundum lenfibilcm
corrcfpondente omnibus pnedidis mathematicis indiuifibilibus,ad quos linea: mathe
matioe ipfius lineae poflunt terminari, & ob hoc utemur in demonftrandis pafiionibus
lucis figuratione linearum mathematicarum in proceflu ,

1 1 1 1 •

Corpora diafona funt apta penetrationi luminis Si coloris fine eflentialt
Tui trafmutatione,

s Harccnim corpora,pprietatcm habent, ut non prohibeant formas lucis Si coloris
le penetrare,attamen non mutantur d lucibus uel coloribus,nec alterantur ab eis altera
tione fixa, Sed fit per illa diffufio lucis Si coloris fecundum lineas reda s per prima hu-
ius,quari- aliqua: fant xquediftates.aliqua: fecantes fe,& quarda diuerfi fitus,2<! omnium
i ftaru lineap: di ftindio fit per diftindu fitum corporis luminofi, d quo fit diftufio illius
lucis uel coloris.Formx itacp lucis Si coloris extenfie i coloribus diuerfis in eodem dia*
fono,extenduntiir quadibe t ipia^: fecundu lineam redam,& pertranfibuntad corpora
oppofita.Corpus uero diafonu non tingitur per luces uel colores, fed (blum penetratur,
neqj enim talia corpora ,ppter luces Si colores perdunt luas formas,necp tinguntur per
luces Si colores tindura fixa, quia in eis non remanent forma: lucis uel coloris poft re=s
ccfium lucis uel coloris ab iplait: oppofitione.no ergo .tranfmutantur illa corpora eflen
tiaii tranfinutatione per luces Si colores, quod eft propofitum ,
v .

Luces & colores in corporibus diafonisnonadmifcentur admuicem,fcd
penetrant diftintfti ♦.

Huius rei experimcntalfter declaranda: cailfa .ponantur "in loco aliquo cande-
la: multse localiter diftindu , & fint omnes oppofi ta: uni foramini pertranfeuntt ad kw
cum obfeuru,&: opponatur foramini tn fodo obiairo aliqcf corpus non diafonu , LuceS'
itaqj candelap: apparent fuper illud corpus diftindefecundu numeru caridelap-. 8i qua?
libet illaru apparet oppofita uni candela: iecundu lineam redam tranfeunte per forame
Si per medium luminis lumen candela:,& fi cooperiatur una candela , deftruetur unum-
lumen oppofitu illi candelae tantu,&di(cooperta candela,veuertitur lumcn;palam itacp,
q> luces in medio foraminis,ubtfe interfecant omnes uel plures in pundo uno, non' ad-
mifcentur in eodem pundo, fed fimt diftindae per iui ipiait eflentias,& ob hoc cum ul*
terius ^tenduntur, tunc iecundu Iocor:, quibus incidunt,diuerfitate localiter diftinguuti
tur,& qm lux res coloratas pertranfies,illaru coloribus colora tur,ut fup politu eft; pala,
fi lumen penetrat diftindu Si colores qui feruntur cum lumine , penetrabunt diftindi,
patet ergo propofitum,

VI.

Proportio uirtutis totius corporis luminofi' ad totu corpus luminofum,
eft ficut determinatae partis uirtutis ad parte corporis fibi ^pportionabile.

Sit corpus aliqcP luminofum a b.Dico q> ,p portio uirtutis totius corporis a b ad to«
tum corpus a b, eft ficut ^portio partis uirtutis q A B

eft a, ad partem corporis qiue eft a.Si enim no eft

iftoru eadem .pportio.aut ergo maior aut minor; CT P

fit prima maior,& fituirtus totius corporis ab (ia

gnata per lineam g d,fit% g uirtus partis Corporis qua: eft a Si d.fit uirtus partis corpo
ris qua: eft b:quae eft ergo ^portio g ad a, eadem eft d ad b,ergo per 1 8 .quinti erit con-
iundim g d ad a b, ficut g ad a.Si ergo .pportio g ad a eft maior ^portione gd ad a 1\

erit

PERSPECTIVA» VITELLIONIS
erit quoqt maior ^portio g d ad a b,cp g d ad a b,q3 eft impoflibile,non enim potuerint
efTe unius rei ad aliam dus ,pportiones,quaru una maior alia,idem quoqj accidit impof
fibile danti, q> minor fit ,p portio g partis uirtutis ad partem corporis qua; eft a,quae gd
lurtutis ad a b corpus.Si enim minor eft pportio g ad a cj? g d ad a b,8<: qua: eft g ad a, ea
dem eft dad b per 3 .primi huius,erit ergo per 1 8 .quinti coniundim ,p portio totius uir
tutis >qus eft g d,ad corpus a b minor ^portione g d ad a b,qd' eft impoflibile, eft ergo
^portio g ad a,ficut g d ad a b,& hoc eit j>pofitum,& eft uniueriale,nifi forte aliqd con
ferat unio uirtuti,qm uirtus unita fomper eft fortior fo ipfa diuiiajunde tenet noftra de
monftratio,quando partes non diuifs a toto agunt in lpfo toto non adualiter diftin-
de, cum enim diftinds font i toto, tunc non fiint partes,quia nomen partis, id qd* dicit
fignat potentia non adum,& de hoc completius in alijs formo fuerit.

VII.

Omnis corporis lumino fi intranfmutabilis fecundum formam uel fitum
in corpus aliud£equalc&omogeneum,eidem immediate uel per medium
uniforme oppoficum ,eftfemper adioa?qualis SL uniformis.

Sitenimdatialicuiuscorporisluminofiuirtusa,6<:fitcorpus squale Si omogeneS
u eidem oppo(itubg,& fitimpreftio uirtutis a inb g corpora figna

ta per c.Dico q> a fomper imprimit in corpus bg impreflionem

. g c,quae eft fomper squalis Gbijpfi 8i uniformis. Si enim detur q> a

quandocp imprimit in b g impreflionem qus eft c, qncj? uero no

■ imprimit c,fod aliud maius uel minus lpfo c, ut d, tunc cum cor-

: q pus obiedum fit omogencu Bi uniforme, erit diuerfitas imprefii*

onis non i corpore b g patiente, fod i uirrutea diuerfificatain fo,
hoc autem eft itrfpoflibile,cum corpus luminofum pofitu fit in*
tranfmutabile focundum formam di fitum ,eft ergo ipfius adio fomper squalis Si uni-
formis in corpus eidem immediate uel per medium uniforme oppolitUm ,Si hoc eft
politum. • 5 ' v vili. .

NecefTe eft termfnu logitudinis cuiuslibet umbra: radiu lumiofum efle;

Quod hic ,p ponitur, latis patet per-prsmifla principia,quoniam enim per tertiam
flippofitionem folum in abfontia luminis fit umbra ,Si p -f.iuppofitione in allationc lu-
minis umbra deffcit,tunc neceftario oportet in tanto fpacio umbram caufari, in quan-
to lumen deficit, & ubi lumen acced it, ibi umbra defici t.Terminus ergo longitudinis cn
iuslibet umbrs cum fit linea', patet q> oportet , ut illa linea fit Iuminofa,cft ergo illa li
nea raditis Iuminofus per diffinitionem radi j , patet ergo jjpofitum.

1 X.

A terminis sequediftantium altitudinum corporis luminofi altioris , Si
corporis umbrofi baffioris producta: Iinea?,concurrentes funt fuis altitudl
ilibus proportionales, ex quo patet, q? eadem altitudo corporis umbrofi ex
lumine bafliori longiorem proijdt umbram cp ex lu-
minealtiori.

Sit altitudo corporis umbrofi cuiufcucp linea a b,& fit altrtu
do alia illi squediftas ipfius corporis luminofi , qus fit d e,fit'cg li
nea d e maior qi linea a b„pducantur'cg lines e b & d a, qus ,ptra-
ds concurrant ad aliqua partem in pundo g per i, primi huius.
Dico q> eritpportio lines g b ad lineam g e,8i linea g a ad linea
g djficutlines a b ad lineam d e,quia enim linea b a squediftat li-
nes de ex hypotheli; palam ergo per zp. primi, qm angulus gba
eft squalis angulo g e d,& angulus g a b squalis angulo g d e,an
gulus quocp b g a comunis eft ambobus trigonis dge&ag b,er-
go per 4.fexti eft ^portio lines g b ad lineam g e,ficut lines b a
ad lineam e d,ergo p er j. primi huius,erit ccontrario ^pportio lines g e ad lineam b g, fi

cutli-

e b c

LIBER. JBCVNDW, 41

cut lines e d ad lineam a btpalam ergo eft(ppofitum,quoma eodem modo dcmonftra^
ri poteft de Uncis ga&g d,& ex hoc patet,qm eadem altitudo corporis umbrofi ex lu-
mine badiori longiorem prorfc/t umbram cfj ex lumine alriori.Efto enim q> aliqd cor-
pus kuninofum (ic in punfio h,cadat'cg radius h a in pundum linea: e g,qd' fit k,eritqj g
prsmiflum modum proportio e k ad b k,ficut h e ad a b,fed per 8 . quinti proportio li*
nete h e ad a b eft minor cfjdeada b,e«*go per 1 1 .quinti proportio c k ad b k eft minor cfj
e g ad b g, multum ergo excreuit umbra b k refpedu umbra: b g»ut patet per 1 o. q uinti
& per 4.primihuius,a ex hoc accidit,qHimbrs lunares femp iunt logiores cfj umbra
folaresA ita de alijs corporibus luminofis altioribus & baflro,ribus quibufcuncg , patet
ergo .ppofitum. x«

Omnem radium luminofum per mediam unius diafoni trans tiercicem
alicuius corporis umbrofi proteofum,necefle eft efle lineam unam redam.

Remaneat totalisdifpofitio proxima prscedentis,& fit pundlus g finis umbra:, ga
utiqj,ut patet per 8. huius, cuiuslibet umbra: terminus eft radius luminofus. Dico q> ille
radius terminans umbram eft linea reda,ut eft in ^ppofita figura linea d a g,fi enim non
eft retfa finea d a g , tunc d a linea fit reda per primam huius , ideo , q> nullam habet
caufain impedimenti in progreflu,& linea a g fimiliter eft rea
da p er idem .coniungitur ergo linea: d a & g a angulari ter in
pundo a:fubtendatur illi ergo angulo utcunqj contingat ba-
fis i pimdis d & g,& fit linea d u g reda,&: protrahatur uel ab
fcindanir linea ab, trigonum itaejj e db gdiuiditur per linea
d u squedi flantem lines e d,ergo per a?. primi erunt trigoni'
e d g & b u g squianguli,ergo per 4. fexti erit x> portio lines
g e ad lineam g u,ficut lines e d ad lineam d u.Scd per proxi*

■nam prsmiflam eft .pportio lines g e ad lineam b g, fleut li*
hes de ad lineam b a, eft ergo g 1 1. quinti eadem ^portio lia
nes d e ad ambas lineas b u QC b a,qa eft contra s .quinti,6d impofitbile,ad minore enim
fnaior,&: ad maiorem minor eft proportio,uel fequetur maiorem lineam efle squalem
minori p p.qiunti ,hoc aute eft impoflibile.Oporcet ergo ut r adius d a g fit linea una re
ecquod eft propofitum,

XI*

Omnia corpora denfa non diafona in partem luminofo corpori aduer^
fam umbra proqciutufcp ad incidentiaradrj per rei denfa» uertice^dudli.

Quia enim in corporibus denfisno diafonisnatura diafoneitatis8d tranfparentis
eft impedita per admixtione corporu opacoR: terreoriim,fimt enim omnia talia naturae
terres i dno .necefle eft ergo, ut tranfitum luminis impediant,
ergo per petitionem inabfentia Iuminisumbrofitatem effi*
ciuntineaparte,inquaperipfasluminis exceflus impeditur,
hoc autem eft in parte aduerfa corpori luminofo. Sit autem ali
qd talium umbrofojt corporu, cuius altitudo ab horizonte fit
a b,&eiusuertexa,& fit corpus luminofum altius cp linea ab,
cuius aliquis fupremus pundus fit d,radijitacp in tota linea a
b incidentes.impediuntur i tranfitu ,ppter corporis opacita*
tem,cadatuero radius d c proximus fiip radiu d a,hic ergo radius , quia non impeditur,
tranfit ultra corpus a b,in fua ergo incidentia qus fit c affert lume, deficit ergo umbra,
& patet propofitum .

X 1 1.

Aequalium altitudinum corporum umbroforum,quod fuerit corpori lu
minofo fe altiori propinquius,breuiorem facit umbram.

Sit fupremus pundus corporis luminofi g,q> fit altius duobus corporibus umbro-
fis.cuius altitudo 5 fuperficie horizontis fit linea a g,fint% duorum corpop* umbrofom
aequales altitudines ered* fug lineam a b,produdam in ipfa fuperficie horizontis qua:

I fint

PERSI-ECTIVAB VlTBtL IONIS
fint d c & z h,quarum d e fit propinquior corpori luminofo a g & z h remot/ore , duca*
cur'cg per ucrtice corporis de radius g e t,qui erit linea una pio,
huitis,&! per uerticem corporis z h ducatur radius g h b, erit itaq*
per promiflam corporis deumbrad e t,8C corporis zh umbra z
h b.Dico q> umbra d e ceft minor cfj umbra z h b, ducatur enim i
■pumilo h linea oquediftans linea; e t g 3 1 .primi ,quofithk:pa*
■lamfcp per z.primi huius,quonia linea h k concurret cum linea a b
•cum qua concurrit eius oquediftans quo eft linea e t,& quonia li«
«eo hb&et concurrutin pundo g fu premo pundo corporis lu-
mtnofi, cadet ergo pundukg z.8Cg i4,primi huius inter duopu
•da t& b, copuletur ergo linea eh, qua» g 3 3, primi ex hypothefi 0«
qualis & oquediftans erit lineo d z.Scd g 3 4, primi lineo e h & c
k fimt aequales, lines ergo t k & d z iunt squales, addita ergo li-
nea z t .utrobiqj erit linea d t squalis lines z k,ergo gprimamfe
xti umbra zb keft squalis umbrs d e t,quoriiafunt eiufdem alti-
tudinis ex hypathefijled umbra z h k eft minor cjj umbra z b b,^-
niam eft pars eius, ergo & umbra d e t eft minor cjj umbra zhb,
patet ergo propofitum . X 1 1 1 .

Vmbralinecere<fta:perpendicularftercorporiluminolboppofit3e,irifi*
xs fuperficiei corpori denfi nulla eft,eieuatsc uero eft linearis , apparet au*
tem pun dualis.

Si enim per fuppofitione 3 .in abientfa Iamiftis fittf mbra, tunc pa te t, q> b linea ma *
thematteam na tur alis corporis iugffc iei inffxam.accidit luminofo corpori gpendkrula *
riter offer ri, non impedietur,nifi unita linea radialis i tranfitu cum alijs lineis radialibus
qus tranfeuntad fugficiem illius corporis, nulla uero aliarum lirteap- radialiu impeditur
,ppter ob/edilillius lines.alias enim accideret duas udi plures lineas radiales cum una
Tinea gpendiculari ipfis obieda in uno pundo cocur rere,qcF eft impoflibile, quia indiui
fibilia innullo Ce exceduntiCum aiite Kidfusnon fit aliud Sj linea Iuminofa,tit patet per
diffinitionem ,palam,q» radius ad modu lines incidit fugneiei corporis fecundum pun-
dum, ergo & impedit fecundu pundum.Sed in allatione luminis umbra deficit per 4,
fiippolitione,quia ergo unicus radius eft impeditus, & ille incidit Iccundu pundum,pa
lam q> non manet aliqua umbra, Cum uero linea elatatur fuper denfi corporis fuperfi-
ciem.ubicanqjiub linea ponatur denfa fugficies,umbra inueuiruriSC fi per diueria p un-
da fiatdefcenfus,palam, quia umbra prorjcitui linearis,eo,q) intra quslibet duo pun-
da eft lineam mediam ducere, apparet autem femg pundualis/n concurfii fui cum lu-
perffeie corporis denfi.quia ibi fbiu cum umbra dcnlitatis fuperficiei comrrdfcetiir ,.pa*
tet ergo illud quod proponebatur.

XMH.

V mbra fuper fici ei plance cuiufcuncp figura perpendicularis fuper fuper
fidem corporis luminofi infixa, corpori denfo nulla eft, eleuatae uero eft fu
perficialis,fed apparet linearis reda .

Hoc patet per procedente,ad fjjdlibet enim pundultneo terinfnantfs quacuncg da
tam fuperficie corpori luminofo gpendiculariter oppofitam, contingit ducere lineam g
pendiculariter oppofitam corpori luminofo .Vmbra ergo cuiuslibet illarum linea jtfug
ficte .ppofita exiftente infixa corpori denfo,nulla eft,ergO necp umbra to tius fuper fidei
fit aliqua eleuata nifi fuperficie oppofita ab illo denfo corpore, umbra cuiuslibet illarum
linea je g procedente ,ppofitionem eft ptindualis, aggregata uero talia punda , uident
lineam conftitucre,apparetergo umbra fiiperficiei taliter eleuata; umbra linearis, SC cj-
ntam fugffcies circulares ex Cuis diametris ex alijs gpendiculariter fuper corpus lumino
lum ,pdudis,non accipiuntnifi punda u mbra r;, quo ad lineamredam inferius concur
runt,quia impediunt tranfitu redo lineo ipfaru umbra linearis reda, non enim caufant
umbra: a figura quorulibet obiedapr,nifi fecundu q> tranfitus luminis impeditur, cuiuf-

cuncp

LIBER. SECVNDVS. 41,

cuncg ergo figura: fuerit .ppofica fuperficies.umbra apparens (emp erit fuperficialis, ui-
dcbitur autem linearis ,ppter pnemifias caufas, patet ergo propofittim.

xv.

Omnis corporis denfi, cuius zequalis uel amplior eft ba fis contrapofita
fibifuperficieperpendicularitercorporilummofo oppofito infixi corpori
denfo,umbra nulla eft,eleuati uero eft corporalis,uidetur aut fuperfidalis.

Verbi gratia:Sitcolumnart>timda,uela!iud corpus,cuius balis fit aqualis uel am*
plior iiipficie illius ciufde corporis contrapofita ipfi bafi,fi ipfius corporis fiiperficies ter
minetur ad unum pundu,ut eft in pyramide, q> infigatur liigficiei alicuius corporis iolt-
di,& perpendiculariter opponatur corpori luminoiio,dico q> uerum eft qcP apponebat.

Si enim illud corpus fit columna rotunda uel aliud corpus, cuius bafis fit ecqualis iuperfi
cici contrapofita: bafi,&aduerfie corpori luminofo, patet ,qm radrj luminofi ex omni
parte iecunda lineas longitudinis perueniunt ad haiem,nulla ergo fit umbra,&: idem pa
re t,fi illud corpus fit pyramidale, uel fi bafis fit maior fibi contrapofita fiipficie aduerfi
corporis luminofi , tunc enim lumen nullatenus impeditur,qj tri accideret,fi fiiperficies
aduerfa corpori Iuminoio eflet amplior ipfa bafi corporis umbrofi,tunc enim im pedito
tranfitu luminis caularctur umbra.Sed quacuncp figura corporisexiftente,fi ipfumele-
uetur ab alio corpore cui fuit infixum,apparebit umbra fuperficialisjluperfictes enim ie
cantes corpus,& gpendiailariter iuperficiei corporis luminofi ina'dentes,umbram con
ftituunt linearem per pramiflam,&: quia tota fiiperficies corporis oppofita Iuminoio
corpori per tales luperficies exhauritur,linex uero tales coiundae faperficiem conftittl
unt,palam,omnis corporis ficdiipofiu' umbram fiiperficiale apparere,erit aute illa ums
bra neceflario corporaJis,quonia erit dimenfionata dimenfionibus corporis.qcf' poteft
declarari ut prius, patet ergo propofitum.

xvi.

Longior radius ad fphxram uel circulum columna: uel pyramidis rotu*
darum perueniens,quafi linea contingens eft.

Sit circulus magnus fphxra uel columna: uel pyramidis rotudae,qui d g, cuius cen-
trum fit pandum a,& diameter g d,& qm lumen ad omnem difFe
rentia pofitiois fe diffundit, ficut patet g 6.fuppofitione,fit pim-
dum corporis luminofi z, cuius lumen ie diffundit iug circulum d
g,ducatur'c$ linea z a a pundo corporis luminofi ad centrum illu
minati circuli,& iecundu diametrum a z deferibatur circulus , fe*
cans circulum d g m pundis e 6i b ,fiC copulentur radi) z e,z b. Di
co q> radij z e & z b ilint contingentes fpharam.uel aliud aliorum
corpojt,& q> nulli radij longiores illis poflimt ad illa corpora per
uenirciducantpr enim i centro circuli g d, qcf eft pundum a , ad
punda fedionum b 8i e.I/nea a e & a b,paIamergop 3o.tcrtij,^[*
niam duo anguli z e a 8C z b a funt redi ,ergo per 1 5- . terrij patet,
q> lineae z e & z b contingunt circulum g d„pduda ergo non feca
bunt circulum g dffunt itaq? lineae ze&zb longiores lineae , qua:

£ pundo z ad illa corpora duci poflimt. Si enim detur ,q> aliqui longiores radij duci
poflimt i pundo z ad illa corpora, patet per 8.terrij,q> illae n5 cadent in arcum c b,ipfa:
ergo produdjefecabunt lineas ■zedixb prius cp pueniant ad arais e guel b d ,duae ita*
q; linea reda includent fuperflciem,qdr’ eft impoflibi le,& hoc quid em no fblum demo-
ftrabile eft tn corporibus illuminandis,fed etiam per eundem modum demonftrari po*
teftde corporibus luminofis.quia & ab illis longior radius obieda corpora incidens,
ipfa corpora luminofa eft contingens,patct ergo ,p politum .

XVII.

Impoftibile eft, ut lumen egrediens a corpore luminofo,egrediatur tan*
fuma centro corporis luminofi,ex quo patet, q> nccefle eft a quolibet pun*

I i d o fui

PERSPECTIVAE V I TE L~L I O N I S
&0 fuperfidei corporis Iuminofi diffundi radios luminofos.

Si enim dicatur q> radij Iuminofi tantum egrediuntur £ centro corporis himinofl,
fit corpusluminoium circulus a b, cuius centrimi g,fi tfcg corpus illuminatu circulus d e,
a' centro g corporis Iuminofi egrediuntur duo radij longi(Timi,qiri poflunt ab illo pudto
a corporiilluminando incidcre.qui g prxmiflam erunt dux linea: contingentes fines
corporis iUuminati,qux fint g d u , g e z,
& punda contaduu qux fint d & e copu
lentur per lineam de&ei, xquediftanter
ducatur linea u z,g 3 uprimi,erit q> pars
corporis illuminati fu per qua caditlumen
pars d h e,& pars obfcura fuper qua no ca
ditlume , qux d cc,6i quia pars iiipra qua
non cadit radius,non illuminatur, ergo gs
contenta fub terminis u d c p e z eft um«
brofa .obfcurans lineas d e & u z xquedi-
ftates: fiint/tacp per 2 9. primi trigoni u g
2 & d g exquianguli , quia angulus dge
«ftcomunts ambobus trigonis,eft ergo g
4,fexti pportio linex g e ad lineam g z,fi
cut linex d e ad lineam u z,(ed linea z g eft maior cfj linea e g ,ergo linea uz eft maior
cp linea d e .utnbra ergo corpojy omnia cuiufcuncp fint pportionis ipfarudiameter ad
diametros corporis Iuminofi iemper eft maior corpore umbrofb,& iemper augmetan
tur fecundu modum q elongatur ultra corpus umbrofum,cuius contrariu notu eft fen-
fui.Vnde fuit fiippofitu in principio aliqua umbram infui termino acui.fiC ad pundum
terminari, palam ergo eftppofitum.Et cum lumen egrediatur 1 corpore luminofo ,8i
nonfolnm a centro, ut oftendtmus.manifeftum eft corollariu, quonia i quolibet pun-
do fiiperficiei corporis Iuminofi necefle habet egredi ad corpora illuminanda , corpus
enim luminofum fecundu qd* huius unigencum eft , unde qua ratione dabitur ab uno
pundo fux fiiperficiei lumen difFundi,eadem ratione dabitur de quolibet aliorum pun*
dornm, pater ergo propofitum .

xviri.

Impoffibile eft,ut afuperficie corporis Iuminofi egredi
antur radij folum aequedi flanter corpori illuminando in*
cidcntes»

Si enim hoc dicatur efleneceftaiium, tunc fequeret cuidens im-
poftibife. Sit enim corpus luminofiim,cuius diameter a b,& corpus
illuminatu d g,& pducant i corge Iuminofi duo radij logiores,q per
1 tf.huius erStdux 1 inex cotingcntes fines corporis g d,qux fint a g
c & b d h,& fint xqdiftantes ex hypothefi,pars qcp illuminata fuper
qua cadit lumc fit g z d,8t! pars fug qua cadit umbra fit g h d , umbra
ergo cotinet iduabus lineis e g d u,qux fint xqdiftates , Si ergo
unicuiqj corpori illum inado correfp5deat xqualis fibi pars corporis
illuminatis,tuc em fblu fecundu lineas xquediftantes radij incident
per 3 3 .primi, patet ergo,q> omnis umbra in omni iiii parte xqualis
erit fux rei umbroix, igitur no augebitur umbra, neq? minuetur, ied
,ptendetur iuper in infinitum, qcf eft contra fuppofitionem , habet
enim aliqua umbrajy terminu acutum,eft ergo hoc impoffibile,oppo
fitum eft ergo neceflarium.Si hoc eft ,ppofitum .

XIX.

Ois putidius corporis Iuminofi eam parte corporis um*

I . brofi illuminat,ad qua ab eodepuclo redlas lineas poffibi

leeft

|B'

LIBER. SECVNJDVS. 43

le eft produc/, ex quo patet, q> unus pundus luminofi corporis non illumii
nat omne umbrofum corpus»

Sunt enim corpora lumino/a unigenea In ftiis partlbus,non ergo diuerfificaturcffe
dius Tuarum partium, necp eft poffibile,ut ab una parte illuminet, & non ab alia, non ta-
me ab uno pundo corporis luminofi ad Ejdlibet pundum umbrofi corporis poflunt re
da: linea: ,pduci',& ob hoc unus pundus non illuminat omnia, Ted illuminantur corpo-
ra umbrola i diuerfis 'pundis corporis
luminofi. Sit enim corpus Iuminofum
circulus a b,qd* contingat linea dg fug
pundum a per 1 d.tertij,fit'cp corpus iU
luminatum concauu arcus e b , & fecet
ipialineadgfuperduo punda z & h.

Dico cp polubile eft omne arcum z h il*

Iunainari i pundo a corporis luminofi,
qm,ut patet, poflTbile eft, ut ab omnipu
do arcus z h ducatur linea reda ad pun
dum a 1,& ab arcu z e,8E ab arcu h u ali
quas lineas duci ad pundum a eft impoifibileg » y.tertrj.qm inter lineam g d continge
tem circulum a b aliqu2 lineam redam in tercipi eft poftibile. Sf ergo aliqua linea ab ali
quo pundo grillorum arcuu ducatur ad pundum a, illa neccflario fccabit circulum, ficuc
linea u a fecat circulu a b in pundo .t priuscjj gueniat ad pundum a,6C fimiliter eft de 01-
bus lineis i quocuncp pundo arcuum u h & z e adpundu a jpdud/s, omnes enim fecat
circulum a b in alio pundo ab ipfo pundo a priusEjj gtieniant ad pundum airadiusita-
cg exiens i pundo a,non illuminat ambos arcus u h 8Cz e,fed foliim arcum h z, fed illos
arcus ab alijs pundis luminofi corporis circuli a b,£ quibus ad eoidem arcus redc poli*
lunt ,pduci linea: nihil prohibet illuminari.Et fimiliter eft de alijs quibulcuriop corpori-
bus illuminantis,qm fi corpora concaua de quibus plus uidetur.q» poflint ab uno pun*
do iHuminari,non illuminatur ab uno pundo coporis Iuminoil,ergo multo minus cor
pora reda plures planas fuperficies habentia, uel corpora iphterica,uel alia couexa, pof
funt ab uno pundo luminofi corgis illuminarfpatet ergo ,ppofitu SE eius corollarium,

XX,

A pundo cuiuslibet corporis luminofi lumen diffunditur fecundum om
nem redam lineam,qua? ab illo pundo ad oppofitafuperficie <3udpoceft,
unica tantum linea perpendiculariterfuperficici obiedi, corporis incident
te, ex quo patet lucem cuiuslibetpundi corporis luminofi fecundurri pyra*
midem illuminationis diffundi.

Quodenim lux cuiuslibet corporis luminofi diffundatur fecunda omnem linea du*
cibilem ab illo pundo iliper fuperficiem corporis obiedi ad omnem politionis differen
tiam,hoc patet per pr^em^fiam.Qd, a utem unica tantu lineap- ab aliquo uno pundo cor
poris luminofi .pdudaru ad fuperficiem unam corporis oppofiti fit perpedicuiaris, hoc
patet ex zo. primi huius.V nica ergo linea pcrpcndiculariter incidit iuperftciei libi op*
polita:, omnes uero alia: linea: ab eodem pundo pdudte, incidat oblique,patet ergo ex
hoc.cp cuiuslibet pundi corporis luminofi lumen fecundu pyramidem illuminationis
diffunditur .cuius uertex eft in pudo corporis luminofi di bafi in fupcrficic corporisob-
iedi,& hoc quidainftrumentalirer, patet per primam huius,luminc enim tranfeunte fo
ramen inftrumenti,cuius centrum eft punda m,&diffufio in ipfo in partem oppofita
orte inftrumenti fecundum circulu.cuius centrum eft pundu p, erit cirailus p maior
circulo m,qd’ fcnflbiliter poteft uideri.Computatis hinc inde partibus in ora tnftrumc
f i,qute intcriacent periferias illorum circulogc 8i centra, patet ergo ^politum.

XXI.

Corporis umbrofi pars, cui a pluribus partibus corporis luminofi lumen

l 3 incidit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

incidit, plus illuminatur,^ pars cui a paucioribus,cx quo patet unuquodq?
umbrofum circa radium (ibi perpendiculariter incidente plus illuminari.

Sit corpus luminofum circulus a b g, cuius centrum (itd,ftt'c$ arcus fui concauita*
tate refpiciens corpus illuminandu qui a b g.diuifus per «qualia in pando b,8i ducatur
linea z e contingens circulum in pudob per i $.terttj,8i a pundo g contingat circulu
linea i k,8C in pundo a linea t h,ftt'cg corpus umbrofum arcus k
z t i c h, ducat quocp linea pbla centro corporis luminofi ad cor
pus umbrofum ,erit'q$ harc gpendiailaris lupe r lineam cs,cotin
gentem circulum in pundo b per 1 7.tertij,unaquxq! igitur par-
tium arcusht illuminatur i pundo a corporis luminofi per 19.
huius,pundus ergo b illuminatur i pundo a,[fimilitertjj arais
k i illuminatur i pondo g , & pundus 1 , totusfcg arcus zc illu-
minatur a pundo b,ergo & pundus 1, pundus itaq?l illuminat
d tribus pundis corporis lutninofi.f.pundis a b g ,& totus arcus
t i eft c5munis illuminationi trium pundo?* a b g, arcus uero c i
eft comunis duabus tantu illuminationibus punaort: a&b, ar-
cus quocp z t dl fimiliter comunis duabus tantu illuminationi-
bus puncfojK 1 & g,qm eft comunis arcubus zc&kiab illis duo
bus pundis illuminatis,arcus uero h c illuminatur tantu ab uno
pundo a, & arcus zk ab uno tantu pundo g. Illuminatio ergo
arcus t i triplicatu habet lumen, q> arcus z t & c i habent duplum, & q> arais cz&z kha
bent fimplum,magis ergo omnibus altjs arcubus illuminatur arcus t i>qui eft circa I ineS
gpendicularcm,qu« eft 1 d,& illuminatio duoru arcuu z t & c i eft «qualis , qm d totide
pundis corporis luminofi illuminatur unus ut alius, tpjbru uero ambojt illuminatio ma
t'or eft illyminatipue dupru arequme h 8( z k,erifq} femper pportio excefius illumina-
tiqnisTccundu numerum puadpgi corporis illuminantis refpicientis partem corporis
illuminati,patet itacp ex rjs,qm femper id qd' eft ,ppinquius perpendiculari fortius illu-
minatur i]la,qq eft remotius ab eadem perpendieulari,fuper iplam namcp plus luminis
cadit, q> a, pluribus luminofis partibus illuminatur,quod enim nunc demonftratum
eft in arcu k h, fimiliter accidit in alio corpojt; quoaincg , exemplificauimus autem iftu
in corpore concauo, quoniam illud uidetur plus uniformiter debere illuminari, patet er
gO fP pofitUITJ» XXII.

Omne corpus umbrofum puntftplummofo ,ppinquius,illuminatur ab
illo puncflo fortius corpore plus diftante .

Sit corpiis luminofum in pundo a ,& corpus illuminatu fit apud lineam b g,& copu
lentur linc« abSCa g,uirtns itacg corporis a illuminans corpus
b g,illuminatin aerem medium,qui continetur in triangulo a b
g,SC ducatur linea d e «quediftans line« b g e per 3 1 .primi.fitcp
linea b g jipinquior corpori Iuminofo in pundo a exiftenti
corpus d e.Dico q» corpus b g fortius illuminatur qf? corpus d e,
fit enim ut radius a b cadat in pundo d,& arcus a g in pundum
e,& i pundo b ducatur fuper lineam b e linea perpendicularis q
fit b u,& i pundo g perpendicularis qu« fit g z per » z.primi,e-
rit ergo per 34.primi linea u z aequalis lineae b g,& linea b u ae-
qualis linea zg.Ducantur itaqj linea: u a & z 2, hac ergo feca-
bunt lineam b g per z.primi huius,fecet ergo ipfam linea u a in
pundo h,& linea z a in pundo t,quia ergo uirtus imprimens
lumen in corpns bg eft diffula per totum triangulum a b g,
uirtus autem illuminans corpus u z «quale corpori ab, eft dif
fula folum per trigonum a h r,& quia per prima fexti triangulus a b g eft maior triangu
lo a h t .quonia bafis b g eft maior bafe h t,plus itaqj luminis diffafum eft in trigono a b
g,cjjj in trigono a h t.mquolibec enim iftorum triangulo^ pundo eft lumen «qualiter

dinufum

LIBER SECVNDVS*

diffufum.Lume ergo incides corpori exiftenti in linea u z,illad cor pus debilius illumf*
nat cjj corpus b g,quia paucius fibi lumen incidit, .pportio enim uirtlitis luminis incide
tis linea: ht ad imprefiionem foam in corpus uz.eft minor .pporcione uirtutis incim
dentis linea: b g ad impreffione luam in corpus u z per 8 .qufnti,qih ut patet ex prarmif
(is, lumen incidens linea: b g eft plus lumine incidente linea: h t.Propoitio uero uirtutis
incidentis linea: h t ad imprefiionem fuam in corpus u c,eft ficut,pportio uirtutis incU
dentis linere b g ad impreffione iuam in corpus b g per 6.huius,ergo per 1 6. quinti erit
permutatim ^pportio uirtutis peruenientis ad lineam h t,ad uirtutem penteniente ad Ii*
neam b g,ficut impreffion(p fada: in corpus u z ad impreffione fada in corpus b g . Sed
per prremiffa lumen perueniens ad lineam li t eft debilius linea: puenfente in lineam b g,
ergo impreffio perueniens i linea h t in corpus u z,eft debilior impreffione perueniente
i larcute luminis incidentis linea: b g in corpus b g,corpus itaq? .ppinquius corpori lu*
ininoib fortius illuminatur cjj remotius ab eodem , & hoc eft propofitum.

XXIII.

Pun&o remotiori i corpore luminofo incidunt radij a pluribus puniflis
corporis Iumfnoficp pundo propinquiori.

Sit corporis luminofi circulus a b c,cuius cetrum d,8i ducatur jSpendicuIarisd g,ui
qua lignent duo punda g remotior, & h ,ppinquior,Dico q> pun
do remotiori qui eft g, incidunt radij i pluribus puhdis corporis
luminofi cfj ipfi pundo b, ducantur enim radij longiffiitii i coipO
re lumi nolo ad pundu b, erunt itacp per i <S.huius illi radij contirt,
gentis fphaeram.Contingat itacp radij incidentes pundo g in pu
dis a & b,& radij incidente^ pundo h contingant ipharra in pun
dis e & f,palam,quia per (So. primi huius,qm punda contingen
tix edC f cadent intra punda d & b,quia itacp pundum h iolum
irradiatur a pundis arcus e c f,6C non ab alijs.Pundu uero g irra
diatur S. pundis arcus a c b,qui eft maior arcu e c f, patet propoli
turmquonia pundum g illuminabitur i fuperficie corporis lumi*
nofi.qua per xqualia diuidit arcus a cb,& pundu h illuminabit
i fuperficie corporis luminof?,qua per xqualia diuidit arcus e c k
tame,ppter radiorum fortitudine qua: iequutur ipfop: breuitate
fortius illuminabitur pundum ha paucioribus radrjs cp pundu
g 5 pluribus,multiplicitas enim luminis in pundo remotiori eft
ex concurfa radior multoru oblique incidentiu & debilium , fed
in pundo propinquiori for tificabit lux ex breui tate radij fecun*
dum qua i corpore luminofo immittitur plus uirtutis.

XXI III.

Omne corpus luminofum minus ipaciumS. quo non egreditur fortius ii
luminat cp fpacium maius illo»

Quod hic proponi tur, fatis patet per exemplum,una enim candela paruam camera
fortius illuminat £p domum uel cameram maiore, poteft tame
idem figuraliter demoftrari:Efto enim, ut fit pundus aliquis
corporis luminofi a, i quo per fpacium magnu ,in quo fit linea
b g,diffundantur radij a g,a b,a d,8C fit radius a b perpendicula
ris fuper lineam b g,illuminatur itacp fpacium tonim b g fecu*
dum has lineas a.pundo a fibi incidens,ablcindatur itacg i li*
nea a b linea a e ut placuerit,^ i linea g e abfeindetur linea a f
aqualis linea:ae,produda£g linea e f, fece t lineam perpendi*
cularem qua: eft a dinpundoh.Si ergo in linea eh f termine
tur fpacium ne lumen ultra pertranfeat,erit illud fpacium mi*
nus fpacio terminato per lineam b g d per z.fexti,Omnes au* .

tem radij peruenientes ad lineam b g,pfcrueniat ad lineam e f ,

plus

PERSPECTIVAEVITELLIONIS

plus ergo aggregantur radij in Ipac/o e f cfj in fpacio b g,fortiores ergo fiunt eu fint ufr-
tutis plus unirar, magis ergo agunt cfj in fpacio b g,in quo (unt diffufiores,plus ergo il-
luminaturfpacium minus,cum ad eius terminos uirtus luminis terminatur,^ fpa*
cium maius ilio, 8C hoc eft propofitum .

XXV,

Omnis axis uel diameter corporis umbrofi nojn perpendiculariter refpi
ciens fuperficiem corporis fpharrici luminofi ,alicui diametro illius corpo*
ris sequediftat.

Sit enim axis uel diameter corporis umbrofi linea a b^o^ perpendiculariter refpi*
cieas fugficiem corporis luminofi fphaerici,cuius centrum fit pundum c.Dico q> linea a
b aequediftat alicui diametron! corporis c,ducatur enim linea aci termino linea; a b ad
centrum corporis luminofi,& iiiper punctum c terminu lines a c,fiat angulus aqualis
angulo b a c per z 3 . prfmfquse fit d c a ,,pdiida linea d c taliter,ut anguli bac&Jacd fi-
ant coalterni,li nex ergo d c & a b arquediftant adinuicemper Z7.primi,&[ quoniam li*
nea c d eft duda i centro corporis luminofi, patet q> ipfa eft pars diametri fphxrici illi*
us corporis ,produda ergo diameter d c e, patet q> ipfa arquediftat lineae a b,& hoc eft g
pofitum. xxvi.

Diametro corporis luminofi fpharrici exi ftente aequali diametro corpo
ris illuminandi,tantumdusmedietasillumimatur56iumbrafit aequalis rei
in infinitum protenfa,

Efto corporis illuminatis diammeter a g, alius pars afpiciens corpus illuminandi!
fic a b g, diameter uero coipo ris iiluminandi fit db squalis ex hypotheli,
& per praemiflam xqucdiftans diametro a g , & fuperficies illuminata fit
d e b.Dico q> d e b eft medietas fuper fidei corporis illuminandi; ducantur
enim radij ad&g b ,& quia itacp diameter sa g eft aequalis & arquediftans
diametro d u p hypotheiim & per pntmiflam,palam q> radij a d & d uiunc
aequediftantes & aequales per 33, primi,ergo in infinitum ptradi nuncp
concurrent,non ergo illuminatur aliqua pars corporis d eu ultra diame*
trum d Ujdus ergo corporis tantu medietas illuminatur , protenditur e-
nftmimbra in infinitum aequalis diameter cum diametro corporis , di eft
extenfa intra lineas dz8iu h,& eft linea z h aequalis lineae d u,portio itacp
arcus d f iqqute eft medietas totius fuper fidei corporis d e b , 6i lineae d z
& u h continent umbram aequalem rei umbrolae,quae protenditur in infi-
nitum, patet ergo propofitum.

XXVII,

Diametro corporis luminofi fphasrid exiftentemafore dia*
metro corporis Iphaerici illuminandi , plus medietate corporis
illuminantur,# bafis umbra: eft minor magno circulo corpo*
ris illuminati concurrens ad punftum unum retro corpus,’

Sit corpus luminofum contentum cirailo a b,8i fit corpus umbrofum
illuminandum contentum circulo g d,# fit diametros a b maior diametro
_ g d,& fint radij incidentes a g & b d,tj ergo radij neceflario concurrent ul-
U[ tra corpus g d.Si enim non concurrant, tunc aequediftabunt, neccflarium
ergo erit diametros a b # g d efle aequales,qd* eft contra hypothefim, concurrunt itacp
in punefto e;patet ergo,q» radij a g & b d non trafeunt terminos diametri circuli g&d;
fi enim non tranfeant, palam, cum illi radij per 1 6 . huius circulum gd contingant^
quia anguli egd&edg erunt redi per 1 7.tertrj .In triangulo ergo g d e iunt duo angue
Ii redi^d* eft impoffibile# contra 3 z.primf.palamqp radij a e & benon tranfeuntper
terminos diametri circuli g d,fed Ultra illos contingunt fuperficiem corporis illuminati
di ,magis ergo medietate corporis illuminatur,# quia minor circulus iUius fplisricJ

corpo#

LIBER SECVNDVS.

4f

corporis continet umbram, patet q> bafis umbra: minor eft magno circulo corporis flU
Cuminati, quod eft propofitum. ~

XXVIII.

Diametro corporis luminofi fphscrici exiftente minore dias .
metro corporis illuminandi fphxrici minus medietate illuminas '
tur,& eft umbra multo maior corge illuminato in infinitu ,ptefa.

Sit corpus luminofum,cuius maior circulus fit d g ,8i corpus illuminati
dum, cuius maior circulus fit a b,SC fit diameter circuli d g minor diametro
circulia b,cocurretitacp radij g a & d b ultra corpus luminofum g d g prar-
mifiam diametro^ poru'onem,concurrantergo in pundo e ultra diametru
corporis dg,ij ergo radij non contingunt terminos diametri circuli ab . qa
li fic erunt ut in praemifla per j j-.terrij trigoni a b c duo anguli redi, qd* eft
impoffibile,minus ergo medietate corporis a b flluminatur,& quoniam ma
gnus circulus corporis a b cadit intra umbram,& umbra intra illum pten*
tenfa femper dilatatur, cum per imprimi huius radios g a 8Cg b ad illa par*
tem conairrere fit impoflibile.patet a umbra extendetur in infinitu,’& hoc
eft q<f proponitur, & per ha:c prtemifla penitus fimiliter in columnis di py*
ramidibus poteft demonftrarMdem enim in illis eft demonftrandi modus •

XXIX.

Superficiem planam fuper medium umbrar er edam corpus ttm
brofum 8C corpus luminofum per aequalia diuidereeft necefle.

Sit corpus luminofum a b,ciuus centrum e,&: corpus umbrofum fit d e,cu
ius centrum f .fitbj pudum in medio umbra- qcr fit g.di copuletur linea e f g,
cadet itacp linea f g in medio umbras/uperficies itaqj ereda fiipcr medium
umbra?,ncce(]ario erit ereda fiiper lineam g f ,tranfit ergo illa fuperficies cen
tmm corporis umbrofi di centrum corporis Iuminofi,neccflario ergo diuidet
illa corpora per aequalia per ea quae oftcnfa funt in principio huius, pa*
tet ergo propofitum.

XXX.

Superficiem planam corpus luminofum & corpus umbrofum
per ecqualia diuidentem, fuper medium umbrae erigi eft necefTe,
ex quo patet tot efte umbras eiufde umbrofi corporis , quot ipfiim
opponitur corporibus luminofis.

Sit corpus fiiper qd* cadit lumen qd continetur i circulo a b, cuius centru
eft g,8C fit unum corporuliiminofop-cotentum icit
culo d e, cuius centru aliud corpus luminofum con*
tentum i circulo z b,cuius centrum eft t,uidebit ita-
cp umbra oppofita luminofo corpori d e , contenta i
lineis a k,b 1, cuius medius pundus fit m . Cum ergo
aliqua liiperficies diuiferit corpus Iuminofiim fi i cor
pus umbrofum per aqualia, illa neceflario tranfibit
per linea u g m,iecabit ergo per aequalia ipfam um-
bram,quia perpendiculariter ereda tranfit per ipfi*
us corporis centrum qd* eft pudum e. Similiter cjqj
liiperficies diuidens per cequalia ambo corpora z a
&:ab tranfit per lineam t g,duda per centra illorum
corporum.fed eadem pertranfit centrum umbrae co*
tentae fub I ineis an8Cus fecundum pundu medium
ipfius qui fit q, t Ha ergo fuperficies diuidens corpo*
ra z h di a b in duo media,diuidet di umbram g duo
sequalia,& qrh fuperficies pians ftcantes corpora umbrofa di lumfnofa hinc inde pet

m sequa*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS^

«r qualia funt dioifar,patet q> fecundum fpfas numerantur etiam Si umbra: , patet ergo
,ppofitum. Vniuerfaliter enim tot erunt umbra: eiuidetn umbrofi corporis, quot ipfum
opponitur corporibus Iuminolis.

XXXI.

Corporis umbrofi remotioris a corpore Iuminofo umbra minus umbre
fcit, propinquioris uero magis ♦

Quoniam enim, ut patet per xz, huius, omne corpus umbroium corpori Iuminofo
^ppinquius illuminatur fortius corpore plus diftante, patet q> umbra corporis .ppinqui
oris plus priuatIuminis,radtjquocpipiam terminantes funt fortioris luminis , umbra
ergo inter illos radios apparet nigrior di plus umbrefcit,quonfa radrj terminantes illas
umbras funt plus Iumfnofi„ppter qd* etiam plus apparent umbra in prseientia illorum,
corporis uero remotioris & corpore Iuminofo umbra minus priuat luminis, radtj quocp
continentes ipfam umbra iunt debilioris luminis,umbra ergo inter illos radios apparet
debiIior,minusergo umbrefcit, patet ergo propoli tum .

XXXII.

Omnis umbra multiplicata plus umbrefcit.

Efto enim,ut fit unu corpus umbrofum ob/edu pluribus corporibus Iuminolis. pa*
lam ergo per 3 o.huius.quonia tot erunt umbra: eiufdem umbrofi corporis, quot ipUim
opponunt Iuminolis corporibus. Si itacg accidat, ut umbra: fe interlecent, dico q> um-
bra multiplicata plus umbreicit,qua:libet enim umbrari! aufert aliquod lumen, multi-
plicata ergo umbra plura aufert lumma,qua: remanet in alrjs partibus medq in quibus
umbra non miiltiplicatur,ied remanet limpliciter umbra,ergo illa fimplex profunditur
aliquo lumine q3 ad umbra multiplicante non pertingit,multiplicata ergo umbra plus
umbrelcit,qm plurimu lumine priuatur locus illius umbra:, patet ergo ^politum,

XXX III. ___

Duo corpora,quoruunum obumbrat reliquu fecundum fui medium m
eade fuperficia eretfta ,fuper corpus luminofum confiftere necefle eft;& fi iti
eadem fuperficie propinqua adinuicemconfiftunt, unum reliquum fecun^
dum fui medium obumbrabit.

Hoc quantum ad primam partem patet per 3 0 .huius, quonia enim fuperficics pha
na corpus luminofom & corpus umbroium per aequalia diuidens,ereda foper fiiperfici
em corporis luminolijfiCipfa erigitur foper medium umbrx rei umbrofie, umbra uero
cadit fiiper lumen corporis obumbrati,ergo oportet q> illud corpus obumbratu fecun»
dum fui medium Iit in fuperficie ereda fuper fuperficiem corporis luminofi, ex hoc pa-
tet fecunda pars pradentfs theoremaris,qm fi duo corpora ,ppinqua adinuicem fecundu
(ui partes medias in eadem fuperficie ereda liiper fuperficiem illumino!? corporis confi-
ftunt.unum reliquu obumbrabit, quonia remotius i lumine, quando fuerit ,ppinqu5 illi
qtfplus accedit ad lumen,cadet in umbra illius,q3 eft ^ppinquiuslumini, ut quando idc
radius tranliensuirtutem propinquioris,tranfit ad uerticem remotioris, uelpundu alia
quod.qc? fit altius illo, patet ergo prqpofitum .

XXXI III.

A equedi flantia linearum radialium,uel ipfarum concurfus non eft tota*
liter per fe ex natura radiorum, fed ex proportione diametri corporis lumi«
iioli ad diametros corporum umbrolbrum,ex quo patet, qp lumen diffundi
tur uniformiter per aerem circumflantem.

Hoc patet per 1 7 .8i 1 8 .huius, & poteft fic exemplar/ter declarari : Sit enim corpus
luminofum circulus a b,& una linea^ radialiu ab ipfa egredi entiu fit linea a g ,& alia li*
nea b g,Si concurrant illae in pundo g,fit tunc tina linea e u,8C alia h z, di finte u di h z
a:quediftantes,fitc$ corpus unum, cuius diameter fit minor diametro corporis luminofi
fuper qd* cadit lumen politum inter duo a g Si b g fe contingentes,cuius maior circulus

lit

PERSPECTIVAE VITELI-IONIS
«tiltior eft proportio $ linexh q ad lineam h ttexceflus itacp bafis gb fuperbafem ht eft '
minor exceflubaffshtfiiper balem de:& quanto bales funt remotiores i pundo a cor*
porislummofi,tantoexceflusremotiorubafiurnfuperbafes uiciniores plus minutia»1,
palam ergo, quia in remotiori diftantia radij quali ad squediftantiam plus proceduntj
& cum quantitas exceflus bafium lit quantitatis non fenubilis,nmc lineae radiales erunt
quali «quediftantes, quonia enim linea b g fenfibiliter non excedit lineam h t, tunc erat
h g &! t u radij quafi ajquediftantes fecundum fenfum,8t hoc eft pro poli tum;&: forte ad
iftud multum cooperatur proprietas radiorum.qux femper ut poteft approximat fua:
perpendiculari, ,ppter qd* radij omnium pundo^* totius corporis luminofi (emper con
currunt i quolibet pundo corporis illuminandi>& fic conftituunt pyramide radialem.

XXXVI.

Lumine incidente per feneftram fuper corpus oppolitu folidum, erit lu»
minis perimerer amplior perimetro feneftrae .

m Efto corpus luminolum.cuius centrS a circulus magnus d c g,& fit
diameter feneftrse b c,fi tfcp linea t z in fugficfe corpis folidi oppofita lu«=
J mini cui incidit radius,prodncant ejep line» radiales tangetes periferia
feneftrac,qua: fint e b g c,h« itacy linea: iecabunt fe in aliqua parte me»
drj,fit pundos comunfs fedionis f ,& har lineae produdae incidant fag-
fidd Corporis oppoGtilumtni,cadatcg linea e b iri pundum z , & linea
g c in pundum t3quia itaqj in trigono f e z,Iattis c z eft maius latere b
r, quoniam trigonum f cz maius eft trigono b cf,8c! quonia per omne
pundum periferia: feneftne fic inddunt radij ie iecantes,ideo,q> i quoli
betpundo corporis luminofi in totam feneftram fit miflio luminis per
i o.huius, palam .quoma perimeter luminis incidentis corpori (olido
oppofitofeneftraqeft maior perimetro feneftrar,®: hoc proponebatur*
XXXTIt.: ’ ■ " V»»rj

Ad centrum circularis foraminis radio d centro corporis luminofi per*
pendiculariter incidente, lumen in fuperfide denfi corporis tequediftantc
fuper fidei foraminis eft uere circulare.

Sit circulus forantitrisa b g d, cuius centruefit xquediftans fuper fides folidi cor*
potis £h k 1,& erigatur i centro e linea e z , perpediculariter fuper fuperfiae a b g d cir-
culi, in quocuncp itacp pudo linea* e z,fit centra corporis Iu
minofi , dico quod lutrten incidens fuperficieifh kl, eft uere
circulare, palam enim per 6 4. primi huius , quoniam omnes
linea: z a,z b, zg, z d, dudx i polo z ad circumferentiam
fant' aequales, & arquales angulos cotinent cu linea e z per s
primi, producatur itacj linea z t ultra punctum e ad fuperfi*
ciem «quediftante drculo foraminis.quse eft fh k ljinciderijt
perpediculariter fuper illa per i4.undea'mi,fitut incidat in
pundti m,producatur'c£ linea zbad fuperficief h kl in pun
dum k,& linea za iri pundum f,& linea zd in pundum h,
& linea z gin pundum l,erut'cg lineae a f k bj d h, g 1 per z r*
primi huiusaquales propter xquediftantiam fuperficierum & «qualitateangtiloru, to
ta ergo linea z f.erttarqualis toti linex zh,& z k, «qualis liriea: z 1, ducant quocp linea:
£ m,h m,k m,l m,in trigono itacg f m z,bafis f m erit «qualis bafi h m trigoni h m z per
4*primi, eoderricg modo erit linea k m, «qualis linex h m , & 1 inea Im «qualis linea:
k m, palam ergo per p.teroj, quonia fuperfides f h kl, eft circularis ,.8d ipla di ad quam
terminantur radijluminis incidentis per feneftra a b g d, quonia de omnibus abjs Iinds
«tdem eft demonftratio , patet ergo propofinim.

■ ' . . XXXV III*

■ . Per centrum circularisforamiius radio itminofo oblique jncj^entdii

■ ’ ' perfl.

UBER SECVNDVS* . 47

perfida denfi corporis fubftrarac fuperficiei foramims,lunien incidens eri*
figura: fe&ionis pyramidalis, cuius maior diameter erit in fuperficie erecfta
fuper fuperficiem feneftrajjSC fuper fuperficiem corporis fubftrati.

Efto foramen circulare a b c d, cuius centru e, cui fit iiiperficies xquediftans h m k 1,
Si lit fcentrum corporis lumino(i,(it'cp primo ut linea fe oblique cadat foper fuperficie
a bcd, hac itaqjproduda incidet foperficieihmklfimiliter oblique propter xquedi-
ftantiam fuperffcierum,argumento z 3 .primi huius,incidatur itacp in punctum g,8C du
catur linea a eb diameter circulijfit itaqj angulus a eb acutus, erit ergo per 1 4.primi an
gulus b e f obtufus, & quia quadratu lines f 1 ualet minus z .quadratis linearu ef&ea,
r 1 3 «(edidi, & quadratu linea: b f,eft maius quadrato linea f e,
quadrato linea beg 1 2, fecudi, quadratu uero line» b e , aequa
ie eft quadrato line» a e, quia funt squales femidiametri , &
quadratu line* fe, eft comune , patet quod quadratum lineae f b
eft maius quadrato line* f a, ergo linea i b eft maior quim linea
k a,produdis'<j lineisfafiC fb ad fuperficiem hm kl, fi linea fa
incidat ad pgdum m, 8i linea fb ad pundum l,erit linea fb ma*
for quim linea fm per eade quz pri us,copulatis'cp lineis 1 g,m g
ad pudum g, cui incidit radius tranfiens centru foraminis fenea
ftrx,erit quocp per zfexti,d£ pet 1 1 . quinti proportio linea: 1 g
ad lineam b e,ficut line* g m ad lineam e a, quoniam utruncp illa
tum proportio eft ad inuicem,lkutlinex g f ad lineam f e,eft er-
go per 1 6 .quinti proportio line* 1 g ad linea mg,ficutline» be
ad lineam e a,fed linea b e eft squalis lines e a, ergo linea 1 g eft
squalis line* gm,ducatur tunc cd diameter fuper ab diametrum orthogona1itcr,8£
continentur line* f e,f d,producantur'qj ad luperficiem h m k 1 in punda h Si k, 8i duca
tur linea h g k,& quoniam fuperficies in qua llmt line* fefiCa b,fola eft ereda luper cir
culum feneftrs, quonia omnes ali* Iiiperficies in quibus eft linea f c,incidunt illi fuperfi
ciei oblique, ficenimaccipimus linea a b,erit ergo fuperficies a f bereda luper liiperfi^
ciem circuli feneftrs, palam ergo quia angulus f e d eft squalis angulo fe c,cft ergo g 4.
primi linea f d squalis line* f c,ergo ut prius erit linea b g squalis g k,& linea Fh aequa
lis line* fk,led Si fg,eft communis,quia linea h k eft perpendicularis foper lineam m 1,
Sc fupd linea fg,palam p4.undecimi, qi linea h g’eft per pendicularis foper foperfleie in
qua uint linea fg & m g, ergo p 1 8 .undecimi, erit fugficies h m k 1 ereda fog fuperficie
1 m g,ergo Si Iiiperficies fm g eft ereda foper luperficiem h m k Umagtnetur ergo ipun
do g tertio axis,qu* eft fg,drcuduci pyramidis illuminationis circulus per i o z. huius
erit ergo per 160. & 8 optimi huius axis fg ereda fojper illum circulum Qi 1 pia eft obii
qua fuper luperficiem h m k I,erit ergo per 1 o 3 .primi huius linea h m k 1 fodio pyramis
dalis.aiius maior diameter erit in foperficiefm 1 ereda foper fuperficiem h m k 1 ,paret
ergo propofitum.Et fi foperficies feneftrs circularis fit baus pyramidalis illuminatiois
ita quod centru corporis luminofi fit polus circuli feneftrs, & axis eredus fit fog fuper-
ficie feneftrs, fogficies uero lolidi corporis excipietis radios luminis no fuit squsdiftas
fuperficiei feneftrs, adhuc erit figura luminis fodio pyramidalis, qc? eft prsmiflo modo
demonftrandu,dada enim g 1 o a .primi huius i pudo 1 tertio longioris radij,q eft f 1 fog
ficie aquediftante foperficiei feneftrs, patet g 1 o o , primi huius quod illa fuperficies fo~
cabit pyramidem illuminationis focundu circulum qus fit 1 p q,ergo foperficies h m k I
focat iplam focundu pyramidalem fodionem, patet ergo propofitum .

XXXIX.

Omne lumen per forarriina angularia incidens rotundatur.

Quod hic proponitur patet per 3 f. huius, quonia .enim omnes radtj ab uno pundo
luminofi corporis procedentes fecundum linearum longitudinem ad squediftantiam
fenfibilem plus accedunt,patet q> anguli radij focundum foraminum angularum difpo*
fitionem ipfis angulis incidentes fe applicant «quediftantix radi) perpedicularitcr ud

tn 3 circa

PERSPECTIVAE VITELt IO NIS

drca huius fuperffciei foraminis incidentis, retrahut ergo fe ab angularitate^ fle Ium?
(uperfleiei foramini obiedae incidens incipit rotundari, & quoniam ut patet per xo.hu
ius 5 pundo aiiuslibet corporis luminofi iumen diffunditur fuper omnem lineam, quae
ab illo pundo ad oppofita fuperfideiti duci potefttomnis enim illi radtj in quolibet puti
do m edij concurnmt,patet quod ipfl in quolibet pundo fe interfece'nt>& radtj inferio,»
pundorn corporis luminofi inpundis linearum feneftrae alio radio fuperioru pundo-
rum ftcant di ultra^tenduntur5& fic lumen hoc feneftram pertranfiens rotundatur, qcf
non ab eo accideret.fi folum ab uno pundo luminofi corporis egrederentur radtj fener
ftxam penetrantes.patet ergo propofi tum.

Radio luminofo medio pumfto foraminis quadrati perpendiculariter
incidente,lume fuperfitiei corporis sequediftantis fuperficici foraminis in-
cidens, eft quadratum ad circularitarealiquam accedens.

Sit centrn cor g is luminofi e,& forame quadra tu fit a b cd, cuius pundo in eo qui fit
f incidat perpendiculariter radius e f, fit heee fuperficies coipo
iis denfi aequediftati fuper ficiei foraminis quae eft g h k 1, dico
quod ltime incidens illi foperfidcierit figurae quadra t:e:fiunt
em duae pyramidesunamuerticemhabentes pudume.qiia-
rum maioris bafis eft g h k 1, minoris uero bafis eft a b c d,& ea
rum baies lunt aequediftantcs ,ltint ergo fimiles per 99, primi
huius,qu/a ergo bafis a b c d,ex hypothefi eft quadrata , patet
quod&bafisghkl eft quadrata,8c!efthoc propoli twm primu
quoniam uero p 3 y, huius radij longiores ad aliqua aequedi-
uantiam accedunt , accedit di haec figura ad aliquam circula
ritatem propter compreftione radioru , ud propter ipforum interfedionem in pundis
linearum terminantiu feneftrae,ut diximus in preemifla, patet ergo propofitum ,

• frn* XLI.

Per mediu quadrati foraminis radio oblique incidentefiiperfidei denfi
corporis fubftratae fuperficici foraminis,lumenincidens erit figura altera
parte longior fuis angulis ‘aequaliter arcuatis,

Efto ut inpraemifia centriJ corporis luminofi pundS e,& periferia quadrati fbrami
nis a b c d,cuius medio pudo qui fit f, oblique incidat radius e f, fit 'cp (iipfic ies corporis
denfi fubftrati illi foramini qua; g h k 1, cui fimiliter oblique incidat radius, dico quod fi-
gura luminis in iubftrata fuperficie erit altera parte longior, quoniam enim illa: fuper-
fic/es non funt bales pyramidis iIluminationis,fed iblum fecantes illas pyramides oblf-
que, patet per $>9.primi huius, quoniam ambx figurat abcdfiCghk I,fiue earum fuperfl
cies sequediftat fiue non aequediftant, font figura; altera parte longiores, quonia illa: fi*
gura; quae fecundum illa punda quibus axis e f propolitis fuperficiebus aliqua: incidue
pyramides,(unt a b e quadra ta;,reliqux uero obliquae, fecundu illa puda axi incidentes
lunt amba: altera parte longiores, patet ergo jipofitum primu, & qmjut patet per 3 5-. Iui
ius radij longiores quafi ad aliquam aequediftantlam accedunt^patet quod anguli illius
figura: luminis aliqualiter arcuantur.ftcut di in duabus prjemims declaratum eft,& hoc
eftpropofitum.

XLM,

Per medium fecudl diafoni denfiorfs primo radius perpendicularis du-
ftus i centro corporis luminofi fuper fuperficie obiedfi corporis femper pe*
nerrat irrefradtus ,

Huius ,ppofitionis proba*» plus experientia: inftrumentomm innititur , quim alte,
ridemonftrationSjCumergoquis experiri uoluerit modii fradionis radioru luminpifo
rum in' medio fecundi diafoni denfioris primo}ut in aqua quae eft denfior aere,aflumat

ua*

LIBER. SECVNDVS* '4S

uas redarum orarum qualifcuncp «oluerit medietate uel figurandum tamen fit altitudo
orarum maior medietate cubiti, & diameter latitudinis eiup fit non maior diametro
inftnimeci,ut faciendu pramifimus in prima huius , 8d planentur ora illius uafis donec
fupcrficics per cius oras tranfiens fit squalis plana, & ponatur in fundo uafis aliquod
corpufculum coloratu uifibile numifma uel tres piefta diuerfi coloris, deinde impleatur
uas aqua clara, cum ergo quieuerit motus aquae, (I afpiciens uiiiim ppend iailari ter ,p ie<
ceritiiiper medium numifmatis,ut pidura inueniet figuram di colorem & ipioru fitum
di partium ordinationem eo modo quo funt fecundum fe ordinata (i in aere inderentur,
confideret ergo experimentator illum fui corporis fitu, fiue fit ftans flue fedens, 8i fui
diftantiam 5 bafe,& fitum ipfius uafis, & omnia circuftantiatponatur itaq; uas iftudple
num aqua clara in loco, in quo fplendet iol,& fiftatur uas taliter ut fuperficies circufe*
rentia uafis fit aquediftans horizonti, hoc aut patet perpedi ex hoc,fi fuperficies aqua:
fit aquediftas periferiaiiafis.Dein.de imponat inftrumentu in hoc uas, ita quodpirmu
Ia fiiper extremitates regula: exiftentes fuperponat ora uafis ex utracp parte, tunc ergo
medietas inftrumenti cum tota regula erit intra uas, deinde auferatur aqua,donee fu*
perficies aqua: fecet centra inftrumentfSd reuoluat inftrumentu in circuitu uafis donec
ora: fiiper aquam obumbrent aliasfubaquam,8<:tuncretentaregula cu altera manuu
reuoluatur inftrumentum cu reliqua manu in circuitu fui centri,doneclumen folis per-
tranfeat foramenl m n,quod eft in ora inftrumenti, 8i foramen lamina: quadrata: per*
ueniat ad fuperficiem aqua, quia lumen pertranfiens foramen rotnndu ampliatur fem
per per 3 tf.huius.Siftatur quoqp taliter inftrumentu, ut lumen cadens fiiper laminam fc
eundi foraminis quod eft x y z,fitu habeat aquale,& tunc experimetacor redueftis ma-
nibus ab inftrumento, fecundu omnem fitu & modum quo prius afpexitnumiffnamfp*
ciat ad fundum aqua: ex parte quartae inftrumenti .cuius ora eft abfeifa ,qua eft a d,in
uenietejj lumen pertranfiens ex duabus foraminibus luper fijperficiem orae alterius,
qua eft intra aquam , di lumen inter duos circulos extremos trium angulorum aque-
diftanter Agnatorum, aut addens fiiper diftantiam illo{« circulorum modicum, et erit
additio squalis duobus lateribus circuloru, ex quo patet quod mediu pundtum huius lu
minis cadit in aliquod puncftu medij circuferentia circuli illorum trium circulor 5 , ut in
punctum p.Deinde acus ferrea uel lignum minutu in interiori parte foraminis orte
inftrumenti applicata pertranfeat medi um foraminis diametraliter,& tunc infpicienti
uidebitur ut prius umbra acus in medio lucis oppofita,per undecima huius diuides cii
per aqualia .Deinde retrahatur acus donec acumen eius fi t in medio foraminis , di erit
umbra extremitatis acus i'n medio lucis, quae eft in fuperficie aquae, 8i eius quae eft intra
aqua , 8i uniuerfaliter fecudu quapportione acus periferia foraminis ut corda afeindic,
fecundum eande pportione umbra aais periferiam lucis in fiiper ficie aqua: Si fub aqua
exiftentis abfeindit,acu uero penitus remota lumen reuertitur, palam ergo ex his cjuod
pundtus qua eft in medio lucis intra aquam exiftentis , di quod pundtus medius huius
lucis exijt a punefto medio lucis infuperficie aqute exiftentis, & quod punefius medius
huius lucis,erit a luce qua eft in centro foraminis fuperioris.lux ergo cum peruenit ad
centrum lucis in fiiperncie aqua exiftentis extenditur fecundum recftitudinem linea re
dta per i, purnfta m Si y,qua funt centra amborum foraminu tianfeuntes , di huius li*
nea eft in fuperficie medi) circuli trium circuloru,et eft pars diametri illius circuli , qua:
eft m p,tame fit aquediftans diametro circuli in bafe inftrumenti exiftentis qua eft f eg
punctus ergo qui eft in medio lucis qua eft in fiiperficie aqua exiftentis , eft in fuperfi- ,
cie huius medi) circuli ,led di puntfhis p in medio lucis intra aquam exiftentis, eft in cir*
cunferentia medi) circuli, hac ergoduo puncfta erat in fiiperncie medij circuli per pri*
mam undecimi.Quod fi lux qua eft in fuperficie aqua non fuerit manifefta,mittatur
regula minor in aquam, & fuperficies cius in aqua fignata eft linea diuidens fuperficie
eius latitudinis g aqualia fugficiei, applicetur aqua, ut fiat una fuperficies cuilla.&I alia
eius fuperficies applicetur fuperficiei bafis inftrumenti, palam ergo ex pramiflis in pri
ma huius, quia linea, qua eft in fugficie regula in iugficie medij circuli mdiy centrum

duoru

PERSPECTIVAE VITELLIONlS
duortim foraminum tranieuntis.apparebftq? lux.qu* eft in fuperficie aquar ftiper fuper
fidem regul*,& medium luminis lucis fuper lineam,qu* eft in medio regulae, 5C (i acus
fuerit poiita iuper medium foraminis iupcrioris,obumbrabitur linea , qu* eft in medio
regul*,8<: fi acumen acus ponat fuper centru foraminis,cadet umbra acuminis acus
in medio lucis, qu* eft Iuper regulam, Qi ablata acu redibit lumen , fic ergo apparebit ,
lumen cadens fuper foperfidem aquae apparitione manifefta,& patebit quod lux inci-
dens centro foraminis ftip er ior is, ipfa eft fuper lineam tranleuntem per centrum duoru
foraminum ,di quoniam (u perficies aqu* tranlit centrum inftrumenti,£<! fuperficies re-
gulae eft una cu foperficic aqu*,luperficies ltacg regula: tranlibit centrum inftrument/,
erit ergo remotio, cetri lucis i centro inftrumenti ecqualis medietati latitudinis regulae,
quae eft aequalis perpendiculari cadenti i centro foraminis fuper fuperficie bafis inftru-
menti, erit ergo centrum lucis, quae eft in fuperficie regulae ucl aquae centrum medt) cir-
culi ,reuoluatur ergo regula, donec angulus ipfius acutus tranfeat per centrum inftru*
.menti, QC pars inferior lineae diuidentis angulum cius per aequalia fit in centro luminis,
quod eft intra aquam,acuitas ergo ftiperior regulae tranlibit centrum circuli medi) QC
lucis quae eft in fuperficic aquae erit illa linea fomidiameter medi) circuli, immittatur
ergo acus loga in aqua ita ut acume ipfius fit in pudo anguli rcgulae.Secabitquoqj um
bra acus lucem ,qu* eft intra aqtia,|critfcp umbra acuminis acus ad finem regulae quae
eft in medio lucis ,et fic fixo acumine acus.moueatur acusaimbra acus mutabit fitum ad
uniuerfas partes lucis,umbra tame acuminis n5 mutata i medio lucis, ablata uero tota-
liter acu, redibit lux totalis; idc quoq? accidit in quocuq^ pundo lineae, quae eft in foperfi
cie regula* politum fuper acumen acus, ex quo patet quod lux exiftens in aliquo pun-
do lucis intra aquam 1(pccdit a pundo libi limili in luce quae eft in foperficic aquae , QC
quod a medio pundo lucis quae ftiper aquam ad medium pundu lucis inter aquam ,p-
lenditur radius fecundum lineam rcdam,qu* eft medium regulae ; ex quo patet, quod
tranlitns lucis per corpus aquae eft lecundum lineas redas per primam undecimi, & hoc
eft quod circa propofitam propofitionem experimentaliter intendimus declarare .

X LII U

In medio fecudi diafoni,quod eft denlius primo diafono fit refradio ra
diorum obliquorum ab anteriori fuperficie diafonifecundi ad perpendi-
cularem exeuntem & pundo refradionis fiiper luperfidem corporis lecud/,
Experimctaliter etiam & hoc .ppofitum theorema poteft declarari.Oppofito enim
foramine foperiori ipfius inftrumenti oblique ipfi corpori folarf, ita, ut radius oblique
incidat ad oram inftrumenti oppofita fbramini,& pertradato per modum quo in pr*
mifia centro lucis,qu;e eft intra aquam.fignetur illud per pundura ferri duri in foperfi-
cic ipla in (frumenti, 8d inuenietur illud centru non in linea g k ppcndiculariter ereda fii
per g terminu diametri oppofito line* f h,in qua eft foramen or* i nftrumenti , fed de-
clinabit ab illa linea ad partem in qua eft lol,erit'cg inter hoc centru lucis 5i puncftutn p,
qd‘ eft cSmunis differentia line* g k , perpedicularis fuper terminu diametri inftrumen
ti,& citcuferenti* circuli medi) tranleuntis per m QC y centra foraminu diftantia fenftbi
Ii , mutatur itacp regula in aqua,&: applicetur fuperficiei Iamin*,tta,q> terminus latior
regiil* fit fopra diametru lamin*,Qd moueatur regula quoufcg acuitas eius fit perpendi
cularis ftiper fuperficiem aqu* quo adlenfum,erit itacp centru lucis,qcF eft intra aquam
QC inter acumen regul*,& linea g k perpendiculare fuper f g diametru bafis inftrumen-
ti,patet ergo ex hoc,qj h*c refradio eft ad partem pcrpendicularisexeuntis i loco re-
fiadionis perpendiculariter foper fuperficie aqu*.Ha*cita inuento fignetur in circul
ferentia circuli medi) trium lignato jj: circuloru foper pundu extremu perpendicularis
exeuntis i centro ciufdem circuli perpendiculariter ftiper fuperficie aqu* fignum fixum
per ferri duri pundura: 8C quia patuit per pr*m illam, inftrumento diredefoli oppo-
fito SC radio folis libi perpendiculariter incidente ,lux qu* .puenit ad centru lucis , qua:
eft intra aquam,cft lux extenfa fectindu reditudine line* continuantis duo centra fo-
taminum^qu* linea pcrucnit ad centru medij circuli «quediftantis-fuperficiet bafis in-
ftrumen

LIBER SECVNDVS*' 49

ftrumenti,&! eft diameter illius, fi huius linea fuerit imaginata extendi fecundum redi-
tudincm intra aquam.doncc perueniat ad oram inftrumenti , tunc erit totaliter x*
quediftansdiamctro inftrumenti,& perueniet ad linea g k perpendicularem fuper dia
metmm f g,in interiore parteorac inftrumenti dudam, 8i qn centrum lucis quae nunc
eft intra aquam non eft fuper illam lineam perpendicularem in ora inftrumenti prodii*
dam,tunc pa tet quod lux oftenfa i medio lucis qua: eft in ftiperficie aquae non ex tendit
ad medium lucis, qu* eft intra aquam, fecundum reditudinem lineae tranfeuntis g cen
tra duorum foraminum, fed refrangitur ab illo, declaratum eft autem per prima huius
quod haec lux extenditur rede a medio lucis , quod eft in fuperficie aquae ad medium
lucis,quae eft intra aqua,eft ergo huius lucis reflexio ad fuperficie aquae, qd. eft ,ppofitu..

XLIIII.

Per mediu fecudi diafoni rarioris primo radius£pendiculariter incidens
a cetro corgfs luminofi fug fuperficie corporis obiedli penetrat irrefracftus*
Inftrumentalifimiliterexperientiapropofitu theorema poteft declarari, aflumanc
efn uitri clari tiel criftalli, figurae cubicae fruftu longitudinis dupla: diametri foraminis
orae inftrumeti , 8i fiant planae ftiperficies eoru aequales di xquediftates,& latera ipforu
fint reda di multum poliantur ,deinde fignetur per feulpturam ferri duri in medio ba*
fis inftrumentilinea reda tranfiens per centrum ipfius, quod eft e, perpendiculariter fii
peripfiusdiametrum,quaeeftf g, fuper aiius extremitates fint in ora inftrumenti,p=
dudhedUae perpendicularesf h6dgk,& producatur illa linea in utrancp partem fliper
ficiei rirculibaus,& fitzex, ponatur itacp unum uitrorum iftorum fuper fuperficiem
bafis inftmmenti,& applicetur unum laterum fuorum perpendiculariter dudhe,qua; eft
z e x,taliter ut medium lateris uitri fit uere fuperpiindum e centrum inftrumenti, 'di fic
totum corpus uitri ex parte foraminum fit inter foramina orae di tabulae, & inter centru
inftrumenti quod eft e, tranfit ergo duda diameter inftrumenti,quae eft f g , per mediu
ftiperficiei uitri (iiperpofine bafi inftrumenti , applicetur itacp uitru bafi inftrumeti fors*
ti applica tioe per bitumen firmum, taliter tamen quod p oflic auferri quado placuerit,de
inde ponatur fuper uitrum ultra primum, fed ex eadem parte foraminum, & applicetur
aliqua fuperficiem eius fuperficiei primi uitri , & applicetur bafi inftrumenti applica*
tione fixa.Deinde tertium uitrum applicetur lecudo, di adaequetur fuperfleieseius cum
duabus fuperficiebus lateru fecudi uitri,& applicet bafi inftrumeti,6<: fic fiat de pluribus
iritrfs quoufcp pemeniatur intra ad aliam perpendicularem fuper fuperficiem bafis in-
ftrumeti aut prope, feilicet uerfiis pudum t,cum itacp intra fuerit applica ta fuper ficiei
bafis inftrumenti fecundum praedidum modum, palam quoniam praemifla diameter in
ftrumcnti.quae eft f g,tranfibit per medium omnium ftiperfidenim uitrorum fiiperpofi
torum bafi inftrumenti,& alti tudo omnium uitrorameft dupla diametro foraminis,
diameter nero foraminis eft aequalis perpendiculari fm exeuntis i centro foraminis fu*
per fuperficiem bafis inftrumenti,& fuper diametrum eius f g,unaquacp enim perpen*
dicularium exeuntium i centris ftiperficieru uitronim ppendicularium fiig diametrum
bafis inftrumeti,eft aequalis linea: m f, feilicet perpendiculari exeunti i cetro foraminis
fug fuperficiem bafis inftmmenti, linea ergo q tranfit centra amboru foraminu tranfi-
bit centra fuperficierum uitroru perpendicularia fliper fuperficiem bafis inftrumetftac*
cipiaturergo regula flibtilis, cuius forma praemifimus,& erigatur fliper oram inftrume
tiin fuperficie bafis inftrumenti, Seponatur luperficies regula: in qua fignata eft linea
ex parte primi uitri, quod eft flipra e centrum bafis inftrumenti, di ponatur regula pro*
pe uitrum applicetur taliter linea, ut qua: eft in luperficie regula: fit in fuperficie me*
drj circuli , fecabiYcg linea reda tranfiens g centra amborum foraminum , per centra
fuperficierum uitrorum lineam latitudinis regula: gpendiculariter,6l tranfibit ad pun-
dum g,tunc itacp ponatur inftrumentum inuas prxdtdum uacuu aqua , di ponatur in
fole direda: oppofitu centro folis,ut accipiat radiu gpendicularem , hoc afle poteft fie*
ri,fi moueatinftrumcntu quoufcp luxfolis tranfeat g ambo foramina, 8i nat apud fecun
da foramenta srqu»U's,& afpidatur fupaficfes regula: oppolita ultro, Si a<de™

PERSPECTIVAE V I' T EX L I O N I $

txiens i duobus foraminibus ipflus inftrumcnti extenfa fup fuperficie ipfius regiils, 8i
ili ud umbrofu ^d circudat luce in fiipficie reguls,obumbrabit p umbra ora? inftrume
t/,erirq} centri! uifus ipfius afpicietis fug lineaqus eft in fuperficie regula;, deinde acus
fubtilis ponatur fiiper fiiperius fbrame , ita quod extremitas acus fit perpedicularis fiig
centru foraminis, cadefcg tunc umbra extremitatis acus fuper centrum lucis inlinea
qua: eft in fuperficie reguls,tunc ita c$ fignetur pundus illius umbra: cu incaufto fubti
liter, di auferatur acus i fuperiori foramine,& eius extremitas ponatur fug centru infe
rioris foraminis,cadettp itera umbra extremitatis acus fugpundum lignatum infpg-
ficie regula:. Ablata quocjj acu lux teuertitur;ex quo patet, qm lux qos eft fiiper pundu
quod eft in fuperficie regulae tranfit g cetra amborfi foraminu, deinde cu incaufto figne
tur nota nigra in pudo in medio fuperficiei uitri ex parte regula: , poteft aut illepudus
inueniri p 40.pt imi huius,qm ille pundus eft comiinis fedio duorG diametroru fuper
'ficiei uitri,& tuc intuens lucem qux eft fuper regula inueniet umbra pundi , qus eft in
medio uitri, pundum quod eft in fuperficie regulae, patet ergo ex hoc qm lux qus tra
fit per centra duoru foraminu, tranfit per pundu quod eft in medio uitri. Deinde euel*
Iatur uitrum primu, quod eft fiiper centru inftrumenti pundu e,& in fuperficie fecOdi.
uitri fignetur pundu medium ,ut prius fadu eft in fuperficie uitri primi , 8i coponatur
inftrumcntu fccudo , & moueatur qu.oufqj lux tranfeat per duo foramina ,perueniet'cp
lux tranfiens per centra duoru foraminu ad centru lucis , quod eft in fiipeincie regula;,
patet itaq? ex hoc quod lux pertranfiens centra duoru foraminu tranfit per pundum
quod eft in medio fuperficiei feeudi uicri,&: quod lux qua: tranfit per centra duop- fora-
mmuinprima experimentatione, tranfit di per pundu qcF eft in medio fecundi uitri*
Extrahatur itacp iecundu uitru di opponatur tertiu, di fic de exteris ufq? ad ultimu,
6i patet uniuerfaliter q> lux tranfiens per centra duoru foraminu perueniens ad fuperfi
ciem regula*, tranfit etia per centra fuperficieruuitroruomniupofitorfi fug fuperficie
Iamina;,S<ifunt omnia centra fuperficicruuitroruomniu in una linea reda cotinuante
centra duoru foraminu:! ux itacg pertranfiens centra foraminu tam in corpore uitri qj
extra corpus in aere , exteditur fecundi! lineam reda cotinuantem centra duorum fora .
mine , & eft illa linea m p,ppendiArIaris fuper fiiperficics omniu uitrori! oppofitas fora
mini per i4.undecimi,illacnimlineamp,eft squediftanslinesfg,diamerro lamina:
qus eft perpedicularis ftiperftiperffcieuitrojt,cum fit perpedicularis fiig differentia co
munem fuperficiei uitri,&fuperffciei lamina; , Si fi omibus uitris ucl ipforu aliquo pr ae
miflo modo fiiper fundum inftruinenti difpofito in fundatur aqua uafiufcpad conea*
mim fuperficiei uitri,accidet tum idem quod prius,quonia radius perpendicularis femg
penetrat irrefradus. Ite ne putet aliquis quod reditudo radiojs: perpendiculariu adiu*
uetur per cubica figura uitri , accipiatur medietas fphsrs uitres clara uel criftallins,
duiusiemidiameter fit minor diftantia,qua; eft inter pundu c & centra laminsqd’ eft
pundu e , di inueniatur centra bafis eius fuper quod fignetur linea fubtilis cu incaufto.
JDeinde ex hac linea ex gte cetri fphsrs feparetur linea squalis lines 1 m,diam«ro fo .
r.aminisors inftrumeti,critergo hsc linea squalis lines m f,qus eft inter m centmm
foraminis quod eft-in ora inftrumenti, di fuperficie la mins , deinde fuper extremi ta te
huius lines feparats a diametro pducatur perpendicularis ad utraq; parte fuperficiei
fphsrics, ad* poteft fieri per undecima primi,& fecetur fphara u/trea fecudu illa line?
plane tur qa fuperficies uitri fodi donec fit penitus squalis, fiateg ppendiculariter ere-
da fuper niperfidem plana hemifphsrrj,quod per angulum redum corporeumpoteric
menfiirari,erit ergo tunc comunis differentia iftius fuper ficiei creds, & fuper ficiei ba.
fis fphsrs linea reda,fuper qua erit perpedicularis linea prius i cetro fphsrs ,pduda
ergo etia erit perpedicularis fuper fuperficie creda. Deinde in medio illius lines qeft
comunis fedio fiat figni! cu incaufto, deinde uitri! illud politu optime fiiper hanc fiipcr-
ficie feda ponat fuper fuper ffeie lamins inftrumeti, ita quod gibbofiras eius refpiciat
foramina, di mediu lines qus eft comunis fedio duaft fiiperficiery plariaru uitri, appli-
cetur centro figatur fuper lamina ne cadat. Deinde pona tur regula fubtilis ,

fupe*

LIBER. S EC VND VS » 5-0

(aper foperficiem lamina inftrumenti ficut in experimentationc uitrop cubt'tor3,ita q>
fuperflcies regula in qua eft linea reda latitudinis litex parte uitri , #,ppe illud; de-
inde imponitur inftrumentu in uas pradidu,# ponitur uas in (ble uacufr aqua, # mo
ueatur inftrumentii donec lux Colis tranfeatambo fbramina.cadetbg Juxfug fuperficie
tegula. Deinde ponatur extremitas acus uel ftili ferrei fuper centra fuperioris forami
nis, cadettg umbra extremitatis acus fuper centru lucis, ablato quocp ftilo reuertetur
lume ad locum fouJdem quoqj accidit poneti extremitate acus fuper centra foraminis
fecudi.Deinde ponatur extremitas acus fuper centru fpharauitrea,cadettg umbra ex*
tremita tis acus fuper centra lucis ,ex quo patet.quia lux trafiens g centra duoru forami^
nu trafit & per centru Iphara uitrea,# per mediu foperficiei lucis qua: eft in couexo ui
tri, patet etia ex his qcf lux tranliens in corpus uitri exteditur iecundu rectitudine lineae
tranfeutis per cetra duoru foraminu,# eft illa linea femidiameter fphara: . Nam gpen
dicularis exiens i centro bafis uitri ad Iamina,eft aqualis diametro foraminis 5i linea
exeuntis i centro foraminis perpendiculariter ad fuperficie lamina. Si quonia ha dua
perpendiculares cadutfoper diametrum lamina, palam qcf linea tranliens per centra
duoft foraminu cu extendit in reditudine peruenit ad centru fphara uitrea,eft ergo in
illa linea diameter hui^fphara uitrea.eft ergo gpendicularisfog luperficie huius fpha
ra g 7 z.primi hui us,qm enim trafit centru Iphara, patet quod ip(a eftperoedicularis
foper couexam foperficie Iphara, ficut luperius patuit in uitris cubitis. Auferatur itacg
regula fubtilis applicata ad fuperficiem lamina ,& ponatur inftrumentu fecudo in uas
Ut prius, & moueatur ^ufcglux tranfeatper duo foramina. Inuenietur'q?lux fuper oram
inmumenti,# inuenietur centru lucis in pudo p,quod eft differentia comunis in ter cir
cuferentiam circuli medij, # linea g k, perpendicularem in ora inftrumenti, hoc eft in ex
tremitate diametri circuli medq,qua eft in p , tranleunris per centra duop; foraminum
m # y,ex quo patet, qm lux tranliens in corpus uitri, # perueniens ad centru eius , ,p-
diens'q$ in corpus aeris,extenditur Iecundu linea,qua extendebatur in corpore uitri, cu
enim linea reda tranliens centra ambop- foraminu perpedicularis fit foper fuperficie
uitri.patet quod ipla neceflario eft perpendicularis fuper fuperficie aeris tangentis ui
tri fuperficie.Itaq? fi uali infundatur aqua remanente uitro in foa politione donec aqua
fuperfluat centra uitri, adhuc inuenietur centra lucis foper extremitate diametri cirs
culi rnedrj,# fi Iphara media tranfuertatar , ita ut conuexu eius fituetur ad fecundu fo
ramen,# plana fuperflcies ad centra inftrameti,lcilicet pundu e,fiue aqua foperfundat
fiue non,adhuc omnia alia accident,qua in priori litu accidebant, qm femg radius tiran
fiens per cetra ambops foraminu, tranl ibit# per centrufohara. Ex his omnibus g uitra
cubica & Ipharica, patet q3 fou mediu fecundi diafoni fuerit denfius uel rarius,du tame
hnea per qua extenditur radius fuerit perpendicularis fog foperficiem fecudi corporis ,
quod lux exteditur in fecudo corpore fecundu reditudine lineo, per qua extedeba tiir in
corpore pi imo,patet ergo ,ppofinim,corpus enim uitri eft denfioris diafonitatis quini
corpus aeris, # etiam quini corpus aqua,

XLV.

In medio fecundi diafoni rarioris primo diafono fit refradio radiorum
oblique incidentium a pofteriore fuperficie fecundi diafoni a perperidicu*
lari exeunte i pundo refradionis fuper fuperficiem corporis fecundi „

Hoc quod nuc ,p ponitur eft coformiter prioribus per inftrumentalem experientia
declarandu. Aflumatur em illud uitrum foharicu, quo iam in pracedeti ,pximo tlieore
mate ufi fumus# ponatur foper linea inftrumenti,ita qd* foperfleies plana iplius relpi-
ciat foramina,# quod mediu linea reda, qua eft I ipfo fit fuper centru lamina,# linea
qua eft comunis fedio foperficieru planae uitri,cadat oblique fuper diametru lamina
quacucp obliqua ratione, palam ergo qifi linea tranliens cetra duop-foraminu obliqua
eft fuper fuper ficie plana uitri, c5iungatur itaqj uitru lamina inftrumenti iecundu huc .
litu firmiter,# ponat inftrumentu in iias,& uas in fole,moueatur'cg inftrumentu donec
lux tranfeatper duo foramina, cadet<^ lux in interiori ora inftrumenti, 8i centru lucis

n 2- erit in

perspectivae vitellionis
•erit in cirdunferentia medij circuli, (ed extra illum pundtl p» qui eft comunis differen-
tia circufercntie medij circuli,8£ lines ftanti in ora inftrumenti qus eft g k, di erit decli
'natio eius ad partem qua eftiol, erit ergo ad patrem perpendicularis exeuntis i loco
refradionis ftiper iuperfTcie iphsrica uitri,& qni hsc lux extenditur in aere fecundum
reditudinem lines tranieuntis per centra duopu foraminu.utpatetper prima huius , di
hsc linea in hoc ficu puenic ad centra iphaers uitres,& eft obliqua fug fuperficie ip lices
xx plana, pala ergo quia terminatio extenliois illius lucis,&! eft in centro uitri,extendit
ergo lux in corpus uferi fccundu Irnea reda exeunte i cctro fphsrs ad rircufererentia ,
qua: linea cu fit diameter per 72. primi huius,quonia ipfa eft perpedicularis ftiper fphs*
ricam fuperficie uitri,ergo di luper cocauam fuperficie aeris continentis iphsra uitri ,
non ergo refringitur in aere fecundo, ficutnccp in primo,fed necp refleditur in corpore
ijitri,nec in conexo ipfius.refiringitur ergo apud centra uitri,quia fuit obliqua ftiper fu
perficie eius plana, in qua eft centra uitri,palam itacg ex his experimentationibus illud
q<f eft, etia fuperius declaratu , fcd qm lux fi fuerit extefa in corgcfubtiliori oblique in
cidensfuperficiei corporis grofltoris, refringetur ab ipfb^& erit Cius refradio ad par-
tem perpedicularis ftiper fuperficiemiphsrica corporis groflioris,fiait per 43, huius
patuit ,ffat refradio ex aere ad aqua,crit illa refradio ad parte perpedicularis exeuntis
i loco refradionis ftiper fuperficie a qus,& no peruenitrefradio ad perpendieulare,q3
fi uitru ecouerfo fituetur.icilicet ut ftiperficies cius fphsrica di couexa reipiciat fuperius
forame,&! pundumediu lines, quseftcomunisdifferentiaftiperficieraplanaru, quod
eft centrum fplisrs uitres fit ftiper centra inftrumenthcadattg hsc linea oblique fuper
diametrum lamins,ducaturfcp in ipia fuperficielamins i cetro lamina- linea perpendi
cularis ftiper linea, qus eft comunis fedio illarum planaru ftiperficiem, qus neceflario
erit perpendicularis fuper fuperfidem plana uitri credam ftiper fuperficie lamins, po*
naniritaq? inftrumentu inuafe fine aqua,& moueatur quoufcg lux pertranfeatduo fos
ramina, cadetcg centru lucis in circuferentia medrj circuli extra pundunYp,quod eftdif
ferentia comunis medij circuli , di lines g k,perpedicularis ftiper iuperficie lamina du-
dsin ora «iftramenti quod pundum p,eft extremitas diametri medij circuli , qua eft
m p.erit declinatio lucis ad partem contrariam illi in qua eft perpendicularis eduda i
loco refradionis fuper planam ftiper ficicm uitrfhsc aut lux extenditur in uitro fecun-
dum reditudinem lines tranieuntis per centra duorum foraminum , quonia illa linea
cum per centrum fphara uitres tranfcateft in illa diameter iphsrs uitres , fit itacp res
fradio lucis apud centrum fphara: uitres,quoniam lux tranuens centra amborum fo-
raminum fit oblique ftiper iiiperficiem planam uitri, ftiper ftiperficiem aeris contin-
gentis uttrum,& fi aqua infundatur uafi quouftp fuperemineat centro inftrumenti,ca-
det adhuc centrum lucis in circunferentia medij circuli extra extremitatem fui diame-
tri oblique ad partem contrariam illi parti fuper quam cadit pemendicula r is , & quo-
niam aer eft fiibcilior quam aqua, di aqua fubtilior uitro, maior net diftantia,circuli Iu
cis ab extremitate diametri medij circulf fn aere quam in aqua , quod fi nitrum ponas
tur aliter in ftiperficielaminSjfcilicet ut linea qus eft communis differentia duarufti-
perfiderum planarum ipfius, uitri fit fuper laminam perpendiculariter diametrum Ia*
mins fecantem,non tamen fit eius medius pundus,qui eft centrum uitres fphsrs fu*
per centrumlamins,& uertaturconuexum uitri ad foramina,& figura reguls fubtilis
fuper fuperficiem lamins ereda ftiper oram eius, in quo eft linea ex parte uitri , & ter-
minus regtils fecet diametrum lamins perpendiculariter , palam quia linea tranfiens
per centra foraminum duorum non tranlit per centrum fphsrar, fed per illud pudum
luperficiei pians ipfius uitri, di erit obliqua ftiper fphsricam ftiperficiem per7z.pri*
mi huius , ponatur itacg inftrumen tum in uafe , di uas in fole, di moueatur inftrumcn*
tum qaoufque lux tranfeat per centra duorum foraminum, di non cadet lux dire *
de fuper ftiperficiem reguls ,neqj centrum luciscadet in linea, qus eft in fuperficie
reguls , ied declinabit oblique extra lineam , qus tranfit per centra duorum forami-
num ad partem in qua eft centrum uitri, hoc eft ad partem contrariam perpendicula*

• • _ : risex*

LIBER SECV-NDVr, yl

lis exeuntis 5 loco refractionis perpendiculariter fuper fuperficiem uittiTpha;ricam,e-
ritfcg linea pertranfiens centra duoru foraminum perpendicularis fuper fuperficiem ui*
tri -planam , per 8, undecimi , quoniam illa linea eft xquediftans linea: f g diametro
lamina:, qua: ex hypothefi,eft perpendicularis fiiper fuperficiem planam uitri. Si ergo
lux tranliret per centra duorum foraminu, & extenderetur fecundu rectitudine ad pia*
nam inter iuperficiem, palam q> tunc extenderetur fecundum rectitudinem in aere. Sed
centru lucis,qute eft in regula, cum non cadat in rectitudine huius lineae, patet q> luxno
extenditur in eius rectitudine ad fuperficie planam uitri,eft ergo lux refracta, fed n5 re-
fringitur in aere.neq? in corpore uitri. Refringit itaqj apud fphxrica faperfici e uitri,in
cidit enim oblique fuper fphasrfcam fugffcie ,qrh linea tranfiens centra duojt» foramina
non tranfit per centrum uitri, & haic lux egreaiens i. plana fuperficie uitri , qm oblique
aeri incidit,plus refringitur.QcP li nitrum econtrario difponitur,ut eius fliperficies pia
na apponatur foramini primo iic,q> comunis differentia fi t fiiper lineam legante diame
trum lamina: perpendiculariter,& medius punctus illius linea: (it extra centrum lamis
nte.Tunc ergo linea pertranfiens centra duojt foraminu non tranfitper centrum uitri,
fed per alium punctu illius plance fiiperficiei,&[ eft perpendicularis fuper illam fiiper fis
ciem.moueat iracp fnftrumentu fn fole, donec lux tranfeat per ambo foramina, cadetfcg
centrum lucis .qua: cadit in interiori parte ora: ipfius inftrumenti in periferia medi) cir
culi extra punctu p^cP eft extremitas diametri medij circuli,quae eft linea m p, fed decli
nabit ad partem in qua eft centru uitrea: fphc*ne,2C linea qua: egreditur i centro huius
fphaerce in imaginatione ad locum refra<tionis,cft perpendicularis fiiper fuperficie hu*
ius fpha:rac,eft ergo perpendicularis fiiper fuperficiem aeris continentis fiiper ffeie fphae
ne uitrece.Hxc itacp refractio eft ad partem contraria fllfjin qua eft perpendicularis exi
ens a loco refractionis fuper fuperficiem aeris continentis fphceram.Lux uero tranfiens
centra duoru foraminu pertranfit corpus uitri recte ,cum fit perpedieularis fuper fuper*
fidem planam uitri,fed non eft perpendiailaris flip fuperficie conuexam, cum no trafi t
centrum fphcer£e,ergo etiam non eft haec lux gpendicularis fuper fiipficiem aeris conti*
nentis connexum uitri,Sd quia hxclux refracta inuenitur.refrangitur ergo apud conue
xam fuperficiem fpharrxuitreae,q> fi aqua tunc infundetur uafi infra centrum lamina-,
inueni tur etiam lux refracta ad partem in qua eft centru uitrr.hoc aute eft ad parte cor*
trariam illi,tn qua cadit gpendicularis exiens i loco refractionis,quar extend itur in cor*
pore aeris perpendicularis fuper concauam ipfius aeris fuperficiem conuexi uitri con-i
tinentem. XLVi.

Omnem radium incidentem &refra<ftum in eadem plana fuperficie coii
ftereeftneceflfe.

Sed & id qcf nunc proponitur .poteft experimen taliter decla rari,qm enim om nibua
difpofitis,ut eft in 43 .huius,lux incidens centro Iucis,qua? eft in fugffcie aquaf,& i cen*
tro lucis exiftentis fuper fliperficiem aquar, qcP eft centrum medij circuli incidens centro
lucis intra aquam exiftentis,q> eft m circumferentia circulimedij.tranfit per centra am*
borum foraminu,quae fimiliter funt in fiiperficie medij circuli,palam,qrii linea fecundu
qua lumen incidit fiiperffciei aqua: per medium aerem,& fecundu qua refringitur in a*
quie medio,funt in eadem fuperficie, qin utracp ipfaR; eft in fliperficiemedij circuli triu
afllgnatorum circulorum.lnuenitur autem luee refractio in medio folari, quando radi*
us tranfiens folaris per centra foraminum, fuerit obliquus fiiper aqua: fliperficiem , non
qn fuerit gpendicularis}& propter obliquitatem fitus inftrumcti jl centro fpharrar aqua:
nunqj fiet haec linea radialis perpendicularis fuper fliperficiem aquar,nifi fol fuerit per-
pendiculariter fuper zenith capitis.Soleuero ultra ucl contra zenith capitum exiften-
tc, fatis euidens eft haec experimentatio omni tempore, patet ergo id qd’ proponitur,
hanc fiiperficie dicimus fiiperficie refractionis:patet itaqj ex rjs omnibus 5- . przemiffis
propofitionibus,quonia omnis lux pertranfit quacuncjj corpora d iafona fecundu 1 ineas
rectas:& c&diu linea: funt gpendio ilares fuper fuperficies corpojt ,qua:cvncp etia diuer*
Cx fint diafoneitatis.femper extendit fecuncJfS reditudine eiufdem linea:,d<: non refrfn*

n % gitus

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

gitur.In corpore uero diuerfa diaforieitatis omnis lux fuperffciei fecundi' corporis obii*
que mcidens,refringirur fecundum lineas redas alias ab illis3fecundum quas incidebat
primo corpori, qua: tamen linea femper erunt in eadem (liperficie plana ,imaginate fe*
care utriinqj illorum corpory,& hac fuperficies in fpedione inftrumenti eft medius cir-
culus trium circulop: fignatoru in interiore parte orte inftrumenti,cuius diameter eft li-
neam p.Cum uero lux aliqua exiuerit i corpore iubtiliori ad grolfius, refringet ad par-
tem ppendicularis exeuntis a loco refradionis,quar eft ppendicularis fuper fuperficiem
groflioris fecundi corporis, 8d cum lux obliqua exiuit d corpore grofliori ad fuotilius, re
fringiturad partem contrariam pradido modo duda fuper fuperficiem corporis fe-
cundi, fcilicet fubtilioris .

XLVII*

Radio perpendiculari omne corpus diafonum penetrante , radius obii*
que incidens in medio fecundi diafoni denftoris refringitur ad perpendicu
larem dudam a pundlo incidentiac fuper fecundi diafoni fuperficiem, di in
medio fecundi diafoni rarioris refringitur ab eadem.

Illud qcf de particularibus experientes hadenus inftrumentaliter probatum eft, na
turali demonftratione intendimus adiuuare, omnes enim motus naturales qui fiunt fe-
cundum lineas gpendfculares,lunt fortiores,qm coadunant uirtutejjmuerfali ccelefti fe
eundum lineam redam brein'flTma,omnifiibiedo corpori influente. Impulfiones ,pie-
dationu fadajt gpcndiculariter funt fortiores eis qua fiunt oblique:8<: fimiliter percufli
ones ,qua fiunt perpendlculariter,funt omnibus obliquis percuflionibus fortiores,8<: in
ter omnes obliquas fortiores fune illa qua plus accedut ad ppendicularitate ,quia itacp
omnis corporis denfitas impedit tranfitu luminis,necefle eft lumen imaginari repelli i
tranfi tu per refiftentia corporis denfi,& plus per refiftentiam corporis denfioris; & per
hanc refiftentiam qualitatis paftiua,qua eft denfitas ad qualitate adiuam, qua eft lu-
menLjintelligimus quenda motum motionis luminis per medium corpopj reliftentium,
qua fecundu plus a i minus capacia funt impreflionis luminaris ,non q» in tranlmutati-
one locali ipfius luminis fit alius tnotus,ut patet per..2.huius,Sed quia lumen in code in
ftrumenti fecundu diuerfitate mediop- fe plus comprimit uel diffiindit , 6i hoc uocamus
motum ipfius lucis.Omnis itacg lux pertranfiens corpus diafonum , motu uelociflimo
& infenfibili pertranfit, fic tamen, q> per magis diafona uelocior fitmotus c£ per minus
diafona.Omne enim corpus diafonum plus & minus refiftit penetrationi lucis fecundu
qcf eft participans diafonitate plus uel minus,grofliries enim corpojt refiftens eft femg
luminis penetrationi. Cum ergo lux pertranuret corpus aliqcP diafonum oblique, &
occurrerit corpori alrj dia fano grofliori, tunc corpus groflius refiftit luci nehementius,
cp prius corpus rarius refiftebat,necefle eft ergo q» jipter refiftentiam illius corporis den
floris motus lucis tranfmutetur:& fi refiftentia fuerit fortis, tunc motus ill« ad parte co-
riariam refringetur, quia uero no refiftit fortiter ,ideo lumen no redibit in parte ad qua
mouebatnr.Si uero refiftentia fuerit debilis ,ppter maiore raritate corporis plus diafo-
ni, tunc lux incidens non refringetur ad contraria partem,nec poterit per illam lineam
jicedere per qua inceperat ,fcd mutabitur in fitujcum uero perpendiculariter inciderit
quibuslibet corporibus diafonis Qi quacunq? diuerfa diafoneitatis ,non mutabitur , fed
direcfte omnia penetrabit, qm perpendicularis fortior eft omnibus,& oblique uicinio*
res perpendiculares funt fortiores omnibus remotioribus. Cum itaqj corpori diafono
grofliori lux incidit,oblique extenditur fecundu lineam reriam approximante ad per-
pendiculare,exeuntem i pundo,in quo lux ocairrit fuperffciei corporis diafoni grofli-
.pducftam fuper fuperficfe corporis groflioris)ideo,quia facillimus motuum eft fecundu
linea m perpendiculare. Si ergo radius lucis inciderit fuper lineam perpendiculare,
tranfibit retfte ppter fortitudine motus fuper perpendiculare. Et fi radius inciderit obii
que,tunc non poterit tranfire ,ppter debilitate motus fuper lineas obliquas. Accidit er*
go ut declinet ad partem aliqua,per qua facilior fit tranfi tus, cp per illam partem, ad qua
per lineam incidentia moueba tur;faciIior aute motuu,& plus adfutus ccelefti influen-
tia

LIBER. SECVNDVS. j-z

CiaefHuper lineam pcrpendicularemiqcfenimu/ciniiis efl perpendiculari, facilioris efl:
cranfitus,cf? remotius ab illa. Siti taqjutapundoa corporis luminofi incidant radtj
c£ plurcs per medium a b (iiper fuperfldem alterius diafonf corpo
ris,in qua fit linea b c d e,&! fit b f linea profunditatis illius corpo
ris,&fitlinca a b perpendicularis fuper illam fuper fide, palam
ita cg fecundum ratione prxmiflam fortitudinis perpendiculariu,

& per experientias inftrumentales per4z.&44.huius, qm radius
incidens fecundu lineam a bpenetrat perpendiculariter totu co r-
pusb e f.Radiusuero incidens fecundu lineam a c,fi diredc trafe
at corpus bef,tunc enim erit diuerfitas in diafoneitate corpoit a
be&b e.f.qd' eft contra hypothefimjlinea itacp a c propter diuer
fitatem relinentis non erit linea continua. Sed fi per corpus mi
nus refiftens mouebatur libere per lineam a c, non poteft in cor-
pore plus uel minus refiftentc per cande lineam moueri . Si ergo
corpus b e f fi t denfius corpore a b e, patet ex pra;miflis,q> diffide
lior eft tranfitus per illud. Si itaq? linea a c refringitur i linea per
pendicularfiduda a pundo c fuper fuperficiem corporis b c d e q
Iit c g,debilitabitur,nec ad aliud peruenit effedus cius,frufti a er
go incidebat,namra aute fruftra nihil agit,ficut in principio fup
pofitum eftjlihea ergo a c,ut etiam oftenfum eft experimentalft
ter per 43 ,huius,refringitur necefiario ad partem perpendicula
ris c g,ut fortificetur actio eius5fimiliter'quocp eft de i adfjs inde
dentibus fecundum lineas a d & a e.Et fi corpus, in cuius feiperfi-
cie eft Iin ea b c d e, fuerit diafoneitatis rarioris c| fit corpus a b e,
adhuc propter fortitudine adionis rndij perpendicularis qui eft
ab penetrat irrefi adus,radiusuero fecundum lineam a c tranfiens corpus denfius , Qi
in pundo incidens fuperficiei corporis rariorisjion inuenit refiftentiarn cfj prius, -
quia formarum pprium eft femper fe diffundere fecundnm amplitudine omnis ca paci
tatis materia?:patet,q>.radius a cnon procedit fecundu lineam a c,quiafic difpofitio dia
fonop: corpomm fecundu refiftentiarn ad receptione luminis eflet uniformis,qcP eft con
tra hypothefimtrefringitur ergo radius a c,fed no ad ppendiculare c g,quonia illa refira
dio non flt,ppter refiftentiarn materia?, fed propter uidoriam forma: agentis fuper ma
tcriam plus difpofitam cp prius, unde forma diffundit fe irirtute propria ab incepto pro-
greflu fecundum lineam a c,8i ad parte contrariam ipfius perpendicularis cq,3i a;que-
dlftantis qua: b f :& fimiliter eft de omnibus alrjs obliquis radijs,ut a d & a e.Motus ira-
cg radfj incidentis oblique fecundum lineam a c in corpore fecudi diafoni denfioris.qiue
eft b e f, componitur cx motu in partem perpendicularis.a b tranfeuntis per corpus b e
f,in quo eft motus,&' ex motu fodo fiipcr lineam c b,qua? eft perpendicularis ftiper line
am c g,quonia enim tranfitus perpedicular is eft for tiflimusa facillimus motuu, di der»
fitas corporis refiftit termino motus ad quem intendebat, linea ac necefiario mouebit
ad perpendicularem c g exeuntem 3 pundo c,in quo radius a c concurrit fuperficiei cor
poris denfioris,& quonia illi motui refiftitppter groflteie medij,&! etiam ,ppter natura
alterius motus,qui eft fuper lineam c b,qui propter refiftentiarn medi) non omnino di-
mittitur,fed tantum impeditur.DecIinaDitlumen ergo uerfus pundu b,femper proxi-
rnansperpendiculari a b f,fit itacp in medio diafoneitatis fecunda? grofliore medio, pri-
mo refradoradq ac fecundu linea cl propinquiore perpendiculari cg exeunti i pun-
doc,in quo occurrit corpori denfiori,qtioniam linea ac, per quam incidebat fuperfi-
ciei illius corpoiis,produda ultra pundum c ad pundu q,propinqua fuerit eidem per-
pendiculari eduda; ultra pundum c ad pundu h,ita,ut angulus a ch fit maior angulo
1 c g,non concurret tamen cum gpendiculari b f uerfus pundum f,fed uerfus pundum
a per z.primi huius,quoniam concurrit cu aequediftante eius linea c g in pundo c . Cu
uero radius a c exiuerit i corpore grofliore ad fubtilius,tunc quia minus habet refiften-

PERSPECTIVAE VlTELLJONIS
t!ar,erit motus eius ueloaor 8C magis fiii diffiifiuus , & quoniam re fidentia medijdcn*
fioris impellit iiipcr lucem obliquam,ut coadunetur ad ppendiculare lineam a pundo
incidentia faper fuperficiem illius corporis produdam,qux edcg; patet q> in medio
rarioris diafoni illa reddentia erit minor cfj prima,fit ergo motus lucis ad partem i qua
per refidentiam repellebatur motus mator,mouetur ergo lux in corpore diafono rario
re plus ad partem contrariam parti perpendiculari , ita,q> angulus g c k dt maior angu
Io a c'h,fit tamen feraper motus lucis a c in refledione a corpore fecundo rarioris dia-
foni ^ primu inter lineas c g & c e,quoniam cum angulus g c e dt redus,angulus g ck
nunc| poteft fieri redus, patet ergo propodtum.

XLVIM*

A fuperficie plana corporis diafoni omniu radioru illi fugfidei inciden*
tiu,non eft poltibile fieri refradione ad aliquod pundum unum*

Quoniam enim ,ut patet per prarmifias ,in omni corpore diafono iemper fit rcfra
dio uel ad ipfas perpendiculares dudas a pundis incidenti» radq foper iiiperflcie cor*
poris diafoni,a qua nt refradio,uel ab illis gpendicularibus quomodocunqj hoc contin
gat, pater, cum ili» perpendicularesiuper planam iuperficie funt xquedi ftantes per 6*
undecimqqm due ad ipias gpendiculares,due ab ipns fiar refradio, no ed poflibile,ut
omniu radiop: illi piante fuperficiei mcidente,refradio fiat ad pundu unum,patet ergo
propodtum. XL1X*

Nulla refradio tranfmutat ficum partium forma: refrada:,fed fblum au-
get uel minuit figuram .

Quoniam enim, ut patet per 47*huius,omnis refradio fit in medio fecundi diafoni
& in rariori S. perpendiculari, in dendori uero ad gpendicularejpalam q> iemper dexter
radius remanet dexter, & finifter finifter, & dmiliter de alqs difierentqs podus.Situs er-
go partium forma refradx non mutantur,fed iemper permanent, modo iuoautei per*
pendicularifit fradio ,auge tur formafecundu dilatatione. Et cum ad perpendicularem
fitrefradio, minuitur, qih anguli ipiam con
ttnentes,anguftantur,patet ergo ^ppofitu.
L.

In omni fimili fuperficie eiufde dia
foni radij fecundum aquales angulos
incidentes , fecundum aquales angu*
los refringuntur : & fi maiores funt an
guli inddentia , maiores funt anguli
refradionu,& fi minores, minores*
Siue enim refradionis modus attenda*
tur ex parte fuperficierum corporum in quia
bus fit refradio, quoniam alia fit refradio i
iiiperficie fph»rica,8d alia i plana,fiue i par-
te difpofitionis diafonoj^quonlaalia fit re*
fradio £ r ariori diafono .alia a dendori,ut pa
tet per plures ,ppofitiones libri huius, due at
tendatur i parte angulo^ incidenti», patet
iemper q> angulis incidenti» exiftetibus x*
qualibus, fecundu modum .ppofitionu nulla
fubeft caula diuerfitatis modi refradionis,fi
«tergo iemper refradio fecundu angulos »#
quales, & hoc eft .ppofitum primu . Et eft
huius exemplu,ut fi uni corpori fphxrico dia
ibno denfiori ipfo aere medio,in cuiiis fuper
ficie

LIBER SECVNDVS* rj

fide fit circulas abc-d eccuius centrum fit p,& i pundo f corporis Iuminofi incidant li«
neas radiales,qu«e fint a f.b f,c f ,d f,e f .incidatfcg radius f c perpendiciilariten& alij ob«
!iquc:patet q> omnes radij incidentes oblique in (uperficie illius corporis diatoni, refrin
gennir per 47.huius.Sit ergo exempli eaula & breuitatis figurationis 8C denominatio-
nis linearum,' it omnes illi radij refracti concurrant in pundo g,& ducantur perpendi#
culari ter fuper iuperffciem corporis lineas,quas fint pdq&pbz&pax&pe x.Dico q»
fi. angulus incidenciassqui eft f d q.fit aequalis angulo f br,q> angulus gd p erit aequa*
Iis angulo g b p , per praemiflam propter uniformitatem omnium prasdidarum condi-'
tionum.Similiter quoqj dico,q> fi angulus f d q fit maior angulo f a x.q» angulus p d g;
erit maior angulo p a g,fiat enim foper pundum a terminum lineas x a angulus asqua*
lisangulofdqper 23, primi,qui fit angulus h a x, refringatur^ radius ha in pundo
a,concurretfcg cum linea f g in pundo b,eritcg per primam partem huius angulus p a
x aequalis angulo p d g:eft autem angulus p a k maior angulo p a g,no enim eft aequa*
lis .quoniam tunc ex prasmiflis fequeretur angulos incidentia: efle ^quales,qd’ eft con
tra hypothefim5(unt enim fuppoliti efle inasquales,{ed necg minor, quonia fic fieret re
fradio inegularis,& eft contra 43 Qi 4 j\huius,eft ergo maior .ergo & angulus p d g eft
maior p a g.Idem quocp poteft demonftri facilius,ut fi angulus f e zfiat asqualis angu*
Io f a x per 8 . terttj.utpote (i arcus ac&ce aflumantur asquales,tuncentm anguli p a g
& p e g erunt per prasmiflatn tequalestangulus uero p d g minor eft angulo p e g, q> pa
fet,eciam fi anguli refradionis ponantur efle aequales. De hac autem materia hic aim*
marie loquimur, quoniam ipfam in 1 o huius libro5ubi locum proprium habet perfodi-»
us perlequemur, patet ergo propofitum .

LibriSecimdi Finis,

LIBER TERTIVS

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

N pramiflis libris mathcmaticalia & naturalia principia pramifimus, per
qu<r,prout noftra pofilbilicas fert^noftri propofiti cofequentia intendimus
declarare. V olentes aute forma rG naturaliu adiones lub triplici uidendi
modo profequi.f.illo qui fit per fimplicem uifione,# eo qui per reflexione
JJ & illo qui per refradionem.In hoc tertio libro profequimur modum fim*
plicis uifionis,# difpofitione ,ppria organi aifiui. Supponimus aut hxc qua* fequunt
an locis alqs declarata, uel utper fe ipfanota, Vifionem non complerinifi apua per*
uentum formae uifibilis ad animam. Item q? per fe Utfibilia funt tantum duo,fciIicet
lux & color, quoniam luxfe ipfa uidetur,& ipla efthypofthafis coloro ,alia uero per ac-
cides uifibilia font,utpote remotio,magnitudo,(itus,corpeiras,figuia,c6tinuitas,fepa*
ratio uel diuifio,numerus .motus^uies ,afpcritas,lenitas,diafonitas,defltas,umbra , ob
lcuritas,pulcritudo,deformitas,confimilitudo 8i diuei fitas . Ha-c enim non folum uTu,
fe d alijsfenfibus coprehenduntur, Item petimus lucc forte ledere uiium diutius intu
entem. Item rem maioris quantitatis, quim fit oculus,oculo tiideri. Item remui*
lam fecunda fitum, figuram dC ordinem fuarum partium uideri. Item uifeim fimul di-
uerla uifibilia uidere. Ite ab ambobus uifibus fimul unam rem uideri. I te q? color no
eft motiuus uifiis nili fecundu adu lucidi. Item fine contadu uifione no fieri,ficut nec
aliqua adione naturale. Item uirtute uifiua finitam efle ,di non extendi in infinitum,
THEOREMA I.

Vifibifi lucem adu non partiripante,ipfum impofiibile eft uideri.

Qua: eninijUt fuppofitum eft.per fe funt uifibilia/unt iux & color ; lux autem non
eft uifibilis praeter fe,& etiam lux cu fit hypofta*
fis colorum, non eft poflib/ Ie colores uideri fine lu-
ce,forma enim coloris eft forma debilior eft fit for-
ma lucis, cum color fit quardam lux incorporata
corporibus mixtis.Vifus ergo non recipit forma
coloris rei uifte.ni fi ex luce admixta cum forma co
loris,& propter hoc alternantur colores multaru
rerum apud uiium per altcrnationelucis orientis
(iiper ipfas:# fi color, qui eft per fe uifibilis,non eft motiuus ipfius uifus,nifi fecundum
artum lucidi, patet q> omni uifibiliadu lucem non participante ipfum impofiibile eft
uideri,patetergo propofitum.

Inter quodlibet pundum fuperficiei rei uifibilis,# aliquod pundum fu#
perficiei uiius produci poft fe lineas redas eft necefle , ut res adu uideatur,
cxquopatetjfolum in oppofitione rei uifcead uifrim fieri uifionem ,

Vifio enim fiue fiat ex eo q> radij egrediuntur i uilu fiiper punda rei uifie , fiue ex
hoc,q> forma pundorum rei uiiae per lineas radias
les perueniantadfiiperficiem organi uifiui.femper
necefle eft inter quodlibet pundu fuperficiei rei ui
fibil/s,# aliquod pundum fuperficiei uifiis produci
pofle lineas redas,ut resuidcanturadu:unde cum
hx lines fecundu quodeunep propofitu modum
duci poflunt,fir uifio,nififorte,ppter alterius impe

dimenti refiftentiam uifiis fuerit impeditus . Cum

Ev itaq? uifiis fuerit oppofitusrei uilar, uidebit iplatnt
$ ca aufertur ab cius oppofitione,non fentiet iplam,& cum reuertetur ad oppofitione,

reucf

LIBER TERTIVS* 5-4

rcuertetur fenfirs,quonia ab alijs partibus cjj ab oppoftas direcfte non poteft linea prodii
ci i pundlis uifibiliu ad punda fuperficiei uifiis,patet ergo ^politum*
in..

Organum uirtutis uiliuac necefle eft fphsericum effe *

Si enim non fitfpha:ricum,dico q>non impeditur uifio,utpote fi fit fuperficiei pla-
no, tunc enim non uidebit uno afpedupiifi fibi aequale,fiue enim radij egrediantur i ,ui
fu fuper rem uifam,fiue forma: pundorum rei uifo per lineas radiales perueniant ad fu*
perfiriem organi uifiui,patet qj femper perpendiculares iiint breuiores per z 1 .primi ha
ius:unde res magis approximat uifui fecundum ilIas,quoniam res uifo direde fecunda
ipfas ppendiculares ufdent,non per aliquas lineas obliquas,quo res frangantur , quia
ut patet per 48 .fecundi huius,in corporibus planis non poteft fieri ‘refradio formarum
ad aliquod pundum unum,eo q> in talibus nullus pundus eft omnibus corounis , foia
ergo illa ab organo uifiuo fuperfic/ef plano uideri poteft , qua fine refradione direde
perueniunt adipfum,hoc autem fiint fecundum perpendiculares lineas peruenientia ad
uifum.Sit itacp fuperficies plana uifusrin qua fit linea a b,6<! fit in fuperficie plana alicii*
ius rei uifo oquedfftantis uifui,& linea a b linea reda, qua: c d e, & a pundo c ducatur
perpendicularisfuperfuperficiemuifusper 1 i.undedmi,quofncidatin pundum a, &
fltaci&dpundodducaturfimiliterfliperfuperficieuifusperpendicularis qua: fit db*
Cum itacp linea a c & b d fint oquediftantes Qi oquales,per z 3 .8i zj-.primf huius, ergo
per 3 3 .primi huius ,lfnca a b oqualfs erit lines c d,Qi qm linea a b squalis eft lines c d,
fed linea c d e eft maior cp linea c d,ergo non uidetur fimul tota linea c d e,quia in hac di
fpofirione non poteft res uifa excedere quantitate fuperficiei uifus,& quoniam hoc eft
falfum & contra fiip politionem, quae patet fenfui.quoniam poffibileeft rem maiorem
ipfb oculo uideri,palam,quia non eft pofttbiIe,ut fuperficies organi uifiui fit plana , fed
neq; alterius figura: cjj fphorico,qufa iemper accident impoflibiliainsqualitatis ui*
fionis,neceflario ergo erit fphorica fuperficies organi uifiui.in cuius centro fiat concur
fiis linearum radialium exiongemaiori magnitudine^ fit ipfum organum uifiuum,
patet ergo propofitum .

n n.

Oculus eft organu uirtutis uifiux fphajricu ex tribus humoribus & qua
tuor tunicis, a fubftantia cerebri prodeuntibus fphecrice fe interfecantibus
compofitum .

Quomodo fit oculus uirtutis uifiuo organi! negocio alterius partis pfrilofophiore
Iinquimus,q> aut fit fphoricns,neceftariu eft per procedente ,ppofitoine, 8i etia exeo q>
eft naturo aqueo ,cuius .pprietas eft: iemper rotundari,ut alibi eft declaratu.Qd autem
fit oculus ex tribus humoribus 8i 4.tuntds compofitus,diligens Anathomizanriu cura
edocuit.Primus itacp humoru iftoiy criftallinus uel glacialis,qui .pprfe eft organum tjir
tutis uifiuo eft in medio oculi fitus,eft'cg fphora parua alba humida,humiditatis re-
ceptibilis formaru uifibiliu.fn qua eft diafonitas non intenfa ualde,cum fit in ea aliqua
fpiffitudo.unde diafonitas eius aflimilatur dialbnitati criftalli uel glaciei, Qi ob hoc di==
citur humor criftallinus uel glacialis,quia uera eius humoris diafonitas nutritur in fui
parte pofteriori ueriiis cerebra ,a qua parte totus oculus recipit nutrimenta, q> antccp pa
fede uniatur humori criftallino,quo principaliter intendit nutr iri ,nondu plene in for
misfubftatialibus&accidetalibus,& eide aflimilatuneceflario eft alterius dfafo nitaris
ab ilIo,8«: ob hoc dicit alrer humor ,S>i uocatur uitreus, quia fimilatur uitro quafi fruftra
to ,5i quia in omni qcf nutritur, femg pura ab impuro feparatur,illud qcF ab humore cri
ftallino nutrito.ut fuo pnritati inconuenies.feparat ad parte oppofita parti nutrimeta
Ii,hoc eft,ad anterius criftallini humoris ,pfluit,&! eft diafbni3,quoquo mo afllmilatu hu
mori criftalIino,nondu tn fuo gfedo confiftentio in denfitate,eo q> eft fugfluu nutri*
menti corgis denfioris.patet q> neceflario eft diafbnfi liqaidu,unde uocatus eft humor
albugineus, eja fimile eft albumini oui in tenuitate Qi albedinc Qi diafonitate, eft eni hu-

o % mor

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
'tnor alb?,clarp,tenuis,diafon?,8<;habet humore ad jjte antcriore,ficut di uitrcQ hunio
re ad parte pofteriorc pro cuftodia humoris criftallini,ne ab extrifecis occafi5ibus uel
intrilecis ciris» pariat,& cadat ab officio organi uifiui naturae fagacitas deputauit.Coti
net aut primu duoshuores.f.criftallinu di iutreu, tela ualde tenuis di fubtilis feparas cos
ab albugineo.Sd circudans ambos cos,cuius etiam tela; aliqua parsdefcendens per me»
d ium fe parat criftallinu £ uitreo& hac tela ppter lui fobtiliratem tela aranea nomina#
tur . Cum aut humor albugineus Iit liqaidus,per fe non confiftens,neceflariu fuit ipfom
per aliquod folidu pro oculi cuftodia retineri,circudedit ergo ipfum natura pelle uilco-
fa (olida forti, non multu diafona,qux fui denfitate melius rerineat,&: fui caliditate hu#
morem albugineum temperet, necriftallinus congeletur ,8i fiat inhabilis receptioni
uiffbiliu foi ma^&quia^pptereius ttmicar denfitate di uifcofitate forma: uifibiles ad hu
morem criftallinu undiqj tali tunica circundatamon gueniflent,ideo in anteriori parte
oculi.ubi eftlocus receptionis forma r- uifibilium,na tura hanc tunicam intercidit, fa-
chirricg eft foramen rotundu,cuius diameter eft quali aequalis lateri cubi deicriptibilis
intra ilia fphara.uel lateri quadrati inferiptibilis cirailo magno illius (phara,&! cft hoc
foramen ideo rotundu,ut fit magis apta fufccptioniomniuforma^ pertranlies ulcj? ad
eiufde tunica: concau3,& ob hoc hic tunica dirfta eft unea, quia affimilabit una iri afpc*
cftu ,di elt hac tunica plurimu nigra, fape tn uiridis,& qncp glauca, di corpus illius tuni
ca eft tenue denfom non rarum, nc uero humor albugineus effluat ex fora mine unea,&
ut non impediatur operatio uirtutis uifiua,neccflarium fliic natura foramini unea: fub*
ponere uelamen diafonu folidum ad modu cornu albi dari, didaq? cft hac tunica cor-
nea,ubi uero coniungit hac tunica alijs partibus corporis cirdipofitis oculo, ibi cefiat
diafonitas,fit'cp a! terius dilpofitionis tunica folidior cornea non diafona,ipla tamen
cornea complens fpharam unam, quae eft fphara totius oculi,& illius iphara poftcrfo
or pars n5 diafona,fed carnofa fit alia tunica,& hasc dicit coiundiua uel confolidatiua,
qfhcoiungitoculuj& cofolidatipfum cupartib? corgis uicini,eritergo tunica cornea
humor albugine?v& humor glacialis di humor uitres»,(e ad tnuice cofequetes,& ola ifta
funt diafona ppter meliore rorma^ uifibiliu receptione. A (iibftaria cerebri ,pdeut hu*
inores & tunica: oculi,qrh ex anteriori parte cerebri £ duabus ptibus iplius crcfcut duo
nerui optici.i.cocaui cofimiles habentes duas tunicas ortas a duabus telis cercbr/,&;
cedunt q nerui ad mediu antertorioris parris cerebri, ubi efficitur nemus unus obticus,
qui in .pceffii iteru diu idit in duos nertios obticos cofimiles di aquales ,q tranfmuta.tis
liris fitibus,ita,ut dexter ffa t finifter ,di finifter dcxter.funt .pcedetes ad couexa duo» of
tiu cocauoKr cotinen tiu oculos, qm in medijs i fto» duoru offiu cocauop: font duo fora-
mina aqliter p,forata,q dicunt foramina giratiois neruo» cocauoR>.& qih illa duo fora
mina font rotunda .pundus uero medius cuiuslibet illop» foraminu dicitur centra illius
foramtniSjilli ergo nerui intrant ifta duo foraminaA' exeut ad cocauitate duop- ofliu p-
diclojiij&i illic dilatatur & ampliatur ,di efficit extremitas aiiufcpipfop: quali inftrume
tu ponedf uinu in doleis ,hoc eft admodn pyramidis rotuda cocaua,& qlibet oculor co
ponit fopuna extremitate iftius nerui,&; cofolidatur cuipfotcofimiliter & a tunicis ifto
ru neruoft oriunt tunica ocuIoRr,na tunica cornea oritex tunica extrinfoca duajfctuni#
■ca» iftias nerui tunica unea oritur ex tunica intrinteca dnara tunicari- duoa neruoa,
intra ifta tunica unea ordia t humor criftallinus fop extremitate c5cauitatis nerui medi
a ntc uitreo humore, q ambo ex medullari lubftatia cerebri oriunt, & inf humores iftos
di tunica unca ex fobtilifllmis filis tunica unea texit tela aranea, qua alq uocant tunica
retia, qa eft cbtexta ad modu retis.Spharica fe interlecat humores di tunica oculi,quia
enl tunica unea no nuenic intra oculu ad coplementu fphcera,cu ficut pramifliim eft, in
anteriori foi parte ut forame rotundiqqd' tegit £ cornea tunica,fphara ergo tunica cor
nea ncceflario (ecabit fphara unea,& c5is lecftio fuart; liigficiep: fpharicaje eft circufere
tia illis» forarms ,di eft linea circularis g 75». primi hui?, in anteriori huoris criftallinl

11 p ter meliore fbrmaj» receptione eft coprcfliofugficialis pua minoris amiitatis, cp fit
fopficies cornea cotities illa;fpicitas,n. fopficiei huoris criftallini afilmilat coprcflioi lii

LfBER TERTIVS, ’tf

Jjfidel leticulcc,itt patet ex cofideratibus anathomia oculi, (iigfides ergo anterior ipfi?
eft portio iiigffdei maioris ipharne cfr fit fphxra unea continens ipfam.Si hxc compref
fio arqualiter defleditur ad oppofitutn foraminis5quod eft iri anteriori parte unea:, quia
fitus eius abeo eftconfimilis,f?cut autem foramen rotundum.quod eft in anteriori par*
te unett.eftdireda^ppofitum extremitati concauitatis nerui iiiper que collocaturo*
cillus , (T etia in parte pofteriore c5cauitatis unea: eft foramen rotundum, quod eft iug
extremitatem concauitatis nerui, & foramea.quod eft in anteriori u nex, eft oppofiriS
foramini concauitatis nerui.quoniam neniuus opticus interiecat tunicam coniundiua
di uneam.&penetrat omnes tunicas oCuliuiqj adiphanam criftallinam,qua: pyramide ;
nerui interfecat,ficut di humor uitreus.q in nerui optici pyramidali cocauo collocatur,
itaqj communisfedio pyramidisnerui optici,& fphrera: criftall /na^eft cirCulus p 1 09.
primi huius, ipharra itaqj glacialis eft compofita in extremitate concauitatis nerui opti
ci,& in foramine pofteriori uneae rotundo . Extremitas ergo nerui continet medium .
fpheera: glarialis.&i eft neruus ille concauus deferens in fe fpxritum uifibilem a cerebro
ad oculum, & per eius uenas paruas peruenit ad nutrimentum ad oculum , di diffundi-
tur in illo per uias inftrumenti,& eft in interiedione huius nerui in anteriori parte cere
bri uirtus uifiua ientiens di dijudicans omne uifibile,& confolidatur unea cum glaciali
in circulo continente forame rotundum in pofteriori unea:. Interiecant quoqj fe fphte
rx ifta:dir»,(cilicet glacialis di uitrea nec diario, cumconuexum unius obuiet coucxo
alterius, ficuc emfuntdiueriie naturae 8i diafbnitatis, fic fiint portiones diuerfaru iphas
rarum fc fecantium , communis itac$ iedio illarum fphxrarum eft circulus p 7 9 • primi
huius.Idem ergo circulus eft bafis pyramidis nerui optici ,Qi ipterledionis eiuidem py.
rarmdiSj&iphaera: criftallinx, di conlolidationis uneae
(pha:ra: cum fpha*ra criftallina,6<! forte interfedionis
canmdem iphaerarum. Corpus uero cofolidatitie c5
tiuee partem pyramidalem nerui,qua:eft intra forame
offis per quod tranfit neruus , di intra circunferentiam
(phsra: glacialis,& continet ip hieram uneam. Ex his
icacp pacet humorem glacialem proprie efle organum
uh tutis ui(iux,nam h aius folius diafonitas eft receptis ‘
bilis formaru ui(ibiliu,8t eft in medio omniu di humoru
Qi tunicarum colloca tus,& fi alij cuicuncg tunica: uel hu , ,
inori accidat lefio faluo glaciali humore , femper auxi- Iwj
lio medicinae recipit oculus cura tione,&!ianatur ac re
ft: tuitur uiius : Ipia uero corrupta , corrumpitur uiius \3,
totus fine fpe reftitutionis per auxilium curae medicina
lfs;eft itacg humor criftallinus uel glacialis principali-
ter turturis uifiua: organum , propter quod eft ante dili
gentius conieruaru , di coftituit natura duos oculos ,p*
pter perfedionem bonitatis uifionis , di complcmen-
tu eius. Sic ergo patet , quod humores di tunica: ocus
Ii fphxricaefcinterfccantj&ipatetdeclarario diffinitio*
nispropofita: oculi fecudum omniu eorum experientia
qui de ipfius anathomia hadenus fcripierunt.Harc aute
omnia, quae fcilicet de copofitione oculi , in hac quarta
propofirione huiustertijlibri noftra: perfpediua: funt
prsmiffa.nunciummatim per figuram mathematicam
duximus exemplanda, qua: eft talis. Sit enim centru
oculi pandit a,&(uperficies conuexa ipfius glacialis ar
cus b c d,&: fuperficies couexa ipfius uitreae arcus bed,
di tela aranea cooperiens glacialem anterius litaretis
b c d,tela quoq? araneae inter corpus glacialis di uitrea:

0 3 fit linea

PERSPECTIVAE VITBLLIONIS
fft linea reda uel curaa,qua b d,tela quoc# cooperiens fpfamu/trca pofterius fit bqd,
exterior quoqj tunica nerui obtici fit g h dextra , & g h finiftra , & interior tunica illius
nerui fit g d dextra , Si g b finiftra. Superficies quo* une» fit cuius centrum n , 8i in
qua fitarcus t m u , & b I d, & eius foramen fi t cimis diameter eft m b, & centrum eius
pundum fjhumor quocp albugineus fit corpus b 1 d o,fuperficiestg intrinfece ipfius cor
near fit arcus h f k,& ftiperffcies exterioris cornea fit arcus be k, erit ergo medium uirtu
tis communis pundu m g,8i axis pyramidis totius nerui obtici erit linea g a f,fn qua e*,
runt centra omnium humorum & tunicarum ipfius oculi, haec itacg eft figura totius o-
culi>quam cum opportunum fuerit pofterius utemur,
v,

ImpofTibile eft uiTum rebus uifis applicari per radios ab oculis egreffos .

Si entm aliqui radij egrediuntur ab oculis, per quos uirtus mfiua rebus extra coiun
gitur, aut illi radij (unt corporei uel incorporei. Si corporei,tunc cum uifus uiderit ftel*
las & ccelum.neceflarium eft, ut d uifti aliquid corporeum exiens impleat totu (parium
uniuerfi, quod eft inter uifiim & partem cceli uifam prater diminutionem ipfius oculi,
quod 8C impofltbileeft fieri^etiam tam cito fieri,fiibftanria quantitate oculi manen-
te ialua. Siuerodetur quod radij fint incorpore/,cumfenlusn5fitnifiinre corporali,
tunc ipfi radi) non ientirent rem uifam, ergo nec oculus corporeus mediante hoc incor-
poreo non fentiente poterit (cntire,necenimtaliaincorporea reddunt aliquid uifi.it,
quo uifus pollet comprehendere rem uifam, cum uifiis non fiat nifiper contadu uiftis
cum forma uiia, quia fine contadu non fit addo .Radrj ergo ^cedentes ab oculo fi nihil
reddunt uifui, tunc non ficperipfosuifio.Siuero aliquid reddunt uiluhhac erunt luces
uel colores qua: per fe uidentur, 8i qua; inter radios multiplicantur ad uiftim , radij ergo
non fiint caufa applica tionis uifiis cum rebus uifis.fed aliquid aliud quod fe mulriplfcat
ad uifiim,eft per le caula uifionis,impofiibile eft ergo radios g (e die caufam uifionis , ni-
fi forte radij dicatur linea deferiptx per punda formarum multiplicata a fiiperfiriebus
rerum uifarum ad uifum,quoniam ut patet per 2.huius,inter quodlibet pundum fuper-
ficiei rei uifibilis,& aliquod pundum fiiperficiei uifiis necefte eft p olle produci lineas re
das, ut res adu uideat,tales uero radij ab oculis no egrediuntur , patet ergo jppofitum»
VI,

Vifiofit ex adione formse uifibilisin uifum , & expaftione uifus ab
hac forma »

Formas uifibiles agere in uifiim ex fiippofi tione patet, laeditur enim uifiis ex forti
luceinaipedu corporisfolarisuelalteriuslucis for tis,ut lucis reflexa ad oculum 5 cor
pore polito,uel ab alio corpore ualde albo. In his enim debilitatur uifiis taliter, ut i (lia
cadat opera tione quouftp per uir tutem intrinfecam naturalem fuerit reftitutus. Sed 8i
uifus patitur d ienfibilibus fbrmis,retinct enim quandocp in le fortes eart: fmpreflioesjui
(us enim poftquam diu infpexerit fortem lucem uel colorem,fi poftea afpiciat loeu ob-
(ctirum uel locum debilis lucis,inueniet id forte uifibile,quod prius inlpexerat in (e ipfo
cu luce colore, 8i figura fua di quandocp color fortis imprefliis uifiii perm licebitur colo
ribus rerum uifarum in obfcuro, Qi ufdebutur res illa alio colore mixto colorata, ut for
te uiride uifum facit res albas , poftea uifiis in loco obfcuriori mixtam uirides appare*
re, fi claudat oculus , nihilominus occurret uifiii forma prius uifa . Forma ergo uifibiles
agunt in uifiim ,& uifiis patitur ab illis, & quia uifibilia per fe funt lux di color,& lux eft
hypoftafis colorum , lux aut femper fpharica diffunditur ad omnem politionis diffe*
ren tiam, palam ergo fic etia colores dtffundficum itaqjuifus opponitur alicui rei illum J
nata uel colorata tCic multiplicat lume uel per le,uel cum illo colorata rei oppofita ui
(ui,& perueniens ad uifiis (uperficiem & agit in uifiim, & uifus patitur ab illo, cum itaqj
lux &i color ueniut fimul ad ftiperfiriem uifus, di agunt in illum, & uifus patitur ab illis,
& uirtus anima propter unionem formarum uifibilium cum fuo organo fiteognofees,
tunc fituifio propter pralentiam uifibilium formaru agetium in uifiim, &C fit hac adio
& pallio modo aliarum adionumnaturalium9quoniamtotum agens, agit in quodlibet

LIBER. TER.TIVS, y<S

paflt&! indinHibUe, 8i totum paflum patitur i quolibet pundo agefitis,forma ergo lu-
cis Si coloris qu* funt in aliquo pandorum rei uifibilis perueniunt ad fuperficiem o«.
Culi,& forma; omnium pundorum fuperficiei rei uifibilis perueniunt ad pundutn unu
(uperficief oculi,& fic ficadio Si paflio inter ifta,non fit aut adio formarum uifibilium
in uiiiim nili forma uifibilis fit potens ad agendum & completa; hypoftafisex luminis
pr*fentia,& nifi medium extrinfecum oculo 8i rei uifibili fit lucidum adu, Si nifi orga*
num uifiis fit receptitium forma uifibiliu per tunicas medias, Si humores diafonosuia:
propria diafbnitatis,parsenim tunica; corneae iuperpofita foramini une*, quae primo
aeri extrinfeco coniungitur,8i humor albugineus implens foramen une* , fi a propria
Ceciderit diafonitate, ut pote mutata qualitate fibi propria uel impedimento alio oc=
cunentCjUel etiam ipfe humor glacialis,fi per minimam cogelationem.uel alio modo i
formarum receptione fuerit impeditus non fit uifio,quia forma fenfibilis organo i rifiuo
imprimi non poteft: forma itacp uifibilis ueniens i re uifa per medium lucidum ufcgad
fuperficiem uifiis , tranfit per diafonitatem tunicarum rufiis, & perucnit ad uirtutem ui
fiuam ex foramine, quod eft in anteriori une*, di perueni t ad glacialem, di pertranfit in
fecundum modum fii*diafbnitatis, Si ob hoc natura omnes tunicas oculi diafonas or*
dinau/t ut i formis fenfibilibus adum lucidi habentibus patiantur, uifus uero licet pati
atur a formis uifibilibus,no tame tingitur i forma lucis uel coloris poft reccflum prselen
ti* corporis lucidi uel colorati, fiaituniuerfaliter oftendimus hac paflionem conuenire
6mni corpori diafono per 4.fecundi huius , 8i licet quandoqj .ppter fortitudinem lucis
&i coloris fiat aliqua impreflio in uifum,& ai teratio fecundum illas luces Si colores , no
tamen illae remanent in uifii nifi tempore modico, non eft ergo talis alteratio fixa, uifiis
itacp non tingitur Si coloribus Si formis lucis tindura fixa formis fenfibilibus agen-
tibus in uifum, patet ergo propoli tum,

VII.

Centrum fphxrx totius oculi Si centrum glacialis Si centrum fuperficie*
nti n extrinfecx Si intrinfecx cornea»,# centrum conuexae fuperficiei humo
iris albuginei necefle eft idem eflejex quo patet , quoniam fuperficies intrin
ftc«c corne* fuperficiei fu* extrinfecx xquediftat .

Refiimpta figura oculi quam pr*mifimus in 4.hutus .dico quod uerum eft , quod
b;c proponitur, quoniam punduma,eft comune centrum propofitarum fpharrarum.
Si enim detur quod centrum fph*r* totius oculi, quod eft pundum a, non fit centrum
fphair* glacialis,palam per 7j-.primi huius.quoniam line* red* perpendiculares fiig
fiipeificicmfph*r*oculi,nonfiintperpendicularesfiiperfiipcrficiemfph*r*glacialfs
nifi folum illa.qu* tranfit per ambarum centra, c*ter* uero omnes qu* erunt perpen*
diailares fiipcr fuperficiem uifus,erunt declinantes fuper fiiperficiem glacialis . Si ergo
glacialis coprehendat formas rerum uifarum fecundum incidendam iftarum linearum
qu* funt perpendiculares fuper fiiperficiem oculi, & oblique declinantur fiipcr fii*
pcrficietn glacialis, tunc necefiario glacialiscomprehenditomnesformas rert uifibiliu
obliquatas,# declinannir i fuo fitu Si figura quam habent extra in fuperficicbns rerum
uifibilium,quod eft contra fiippofitioneni pr*mifiam in principio huius libri,# quoni-
am form* incidetes medio fecundi diafbni denfioris fecundu lineas non perpendicula*
res huius refringunt ad perpendiculare,ut patet per 47.fecudi.Subftantfa uero humorS
Si tunicarum oculi denfior eft aere circunftante,# fiibftanti* diuerf* diafonitatis inter
fe,ut patet per 4.huius, palam quod in iplafiipcrficieglacialis fiet refradio alia quam
jn fupcrficie corne*, non diftinguetglacialis aliquid ergo in rebus uifis propter refra-
dionem formarum infuafiipernciefadariim.manifeftu eft enim, ejuod line* obliqua:
incidentes fupficiei uifiis magis obliquatur in fuperficie glaciali , cum glacialis fit alte-
rius diafonitatis a cornea uel albugineo humore,eft enim in glaciali aliqua diafbnitas
propter quam recipit formas, & aliqua fpiflitudo prohibens tranfitum formarum, & ob
boc finguntur form* in eius fuperficie Qi corpore,nulla ergo formarum uifibilium com

prehendit

PERSPECTIVAE VITELLIONI?
prehendit faciale fecundu eius fitum , & figuram quam habuit extra uifum.hoc autem
e fi: impofltbile,quoniam patet manifefte per iuppofifione,quod glacialis c5prehendit
formas rerum uifibilium fecundum fitum di figuram quae habent in rebus extra, Eft er
go neceflarium quod linex qux funt perpendiculares iljpcr fiiperficiem oculi , fint per
pendiculares fuper fuperficiem glacialis,erunt ergo fliperficies ocu!i,& glacialis fuper-
ffc/esfphxrarum contentarum habentes idem centrum di extremitates omnium linea
rurri imaginatarum produci i quolibet puntfio fiiperficiei rei uifx perpendicidariter fiig
fiiperficiem oculi , cocurrunt in hoc centro per 7 z, primi huius,& iimt perpendiculares
fuper fuperficiem glacialem per 7 z. primi huius, & quonia fuperficieS cornex anterius
complet oculi fuperficiem fphxricam,& fit cum illa una fiiperficies iphxrica,pater, qm
centrum oculi eft centrum cornea; per diffinitionem fphxrx, patet itacg quoniam cen*
trum oculi, & centrum glacialis, di centrum corne* funt idem centrum, quia ergo cen*
tfum oculi, quod eft centrum fiiperficiei exterioris ipfius cornex, di centru fphxrx gla*
cialisfiint unumcumcentrototiusoculiexomnibus fuis humoribus & telis conflate,
conuenientius naturae eft ut centru glacialis fit ipfum centrum fiiperficiei interioris cor
nex, ita quod centrum omniu fiiperficierum oppofitarum foramen unex fit unum pun
<ftumcomune,& fiiperficies concaua cornexfphxrxfiat xquediftans eius fiiperficiei
conuexx, ficenimper 7Z.&! 74,primi huius.erunt omnes linex exeuntes a centro ad fu
perficiem oculi pcrpendicularesfuper omnes fliperficies oppofitas foramini,& augebi
tUr bonitas uifionis,& erit totus oculus rotundus propter unitatem centri cornex cum
toto oculo, & quoniam per 7 3 * primi huius, fiiperficies intrinfeca cornex xquediftans
eft fiiperficiei extrinfecx ipfius, cu ipiarum ambarum fitidem centrum,humor uero al
fougineusieciindum eius conuexum cotingit concairum cornex ,ut prxmiflum eft per
experientiam anathomfeantiu in 4.huius terti) per 79. primi huius, fiiperficies conexa
humoris albuginei erit pars fuperficieifphxricx fecundum eius couexum fiiperficiem
coricauam fpljxrx cornex contingentis, patet ergo per 7 3 .primi huius,quoniam con
«exx fiiperficiei humoris albuginei di concaux fiiperficiei cornex eft idem centrum,
&hoceft'propofitum. . vin.

Sphseram uneam neccffe eft toti oculo ecentricam effe,centrumq3 eius ad
anterius oculi plus accedere,cctrumuero oculi amplius profundari,* ex quo
patet centrum unete Centris Omnium tunicarum di humoru anterioris par*
tis oculi amplius ekuari.

Cum enim ut pa tet per 4 .huius, di per prxccdentem ,fphxra corn ca fecundum eius
fuperficiem manifeftam fit continua cum fuperficie totius oculi, & pars fphxrx ipfius,
& totus oculus fit fphxra maior quam fphxra unea ,quonfam intra fe continet maxis
muni circulum fphxrx unex,patet per diffinitionem fphxrarum fe /ntriniecus interfe
cantium ,quod fiiperficies fphxrx cornex, eft maior fuperficie fphxrx unex, pala itacg
ex diffinitione fphxrx maior/s.qux femidiameter cornex eft maior femidiametro u*
n ex,& quia fiiperficies intrinfeca cornex fuppofita foraminiunex, eft fiiperficies coca
ua fphxrica xquediftans fiiperficiei manifeftx ipfius cornex,eo quod tota cornea eft x*
qualis fpiffitudinis,ut oftenfum eft in prxcedenti,ideo quod centrum fiiperficiei intrin
fecx cornex, id e eft cum centro fiiperficiei manifeftx conuexx eiufdem cornex.fed fu*
perficies concaua cornex cecat fiiperficiem fphxrx unex fiiper circunferentia forami-
niSjquod eft in anteriori parte unex, ut prxmiflum eft in 4,huius , di declara tum g 80.
primi huius,ergo per 84,primi hiuus,centrum fphxrx conrinentis fphxram uneam ne
cefle eft remo tius efle in profundo qtrim centrum fphxrx unex,pa tet ergo,qm fphxrS
uneam necefle eft toti oculo ecentricam efle , centrumfcg t^ius ad anterius oculi plus ac-
cedere,centra uero oculi amplius profundar/, quod eft principale propofitu,& ex hoce-
tiam patet correlariu, qa cu fphxra unex non fit in medio cofolidantix fed anterius ad
partem fiiperficiei manifeftx oculi, di cu fiiperficies manifefta ipfius oculi fit pars fphse
ix maioriSjpalam ut prxmiflum eft, quia centrum eius erit remorius in ^fundo centro

une*

LIBER TERTI VS, ff

Uncat, manifeftu uero oculi eft fuperficies ipfius comeac extrinfcca coiiuexa , cui atqui
diftat eiufdem fuperficies intrinfeca concaua,centru ergo tamiirperffciei concaue qua
fuperficiei conuex* ipfius corneae plus profunditur in oculo quim centru une*,& quia
faperfides concaua cornea; cotingit fuperficiem humoris albuginei, qui eft in anterio
r i foraminis une*. & fuperponitur ei, patet ex pr*mifla,&per 7o.primi huius,quonia
fuperficies conexa humoris albuginei eft fuperficies fphatrica, cuius centru eft centru lu
perficiei fibi fuppofit* , iuper ficies ergo couexa corne*,8i: fuperficies cocaua ipfius , &
fuperficies couexa humoris albuginei attingens cocauum corne*, cu fint fupficies fphae
. rica* squediftantiu fphxraru .palam 573 .primi huius, quia centru ipfaj* omniu eft u-
• nus pundlus, qui amplius profunditur centro une*,& quia fiipcr ficies anterioris glacf
alis eft fphatrica cu cetricato totali oculo per pnccedente,& etiam quia fuperficies fphae
~rx gladalisconuexa fecat fuperficiem fohxrx une* intrinfecus,patet per 84. primi hu
rius,cum fuperfldes glacialis fit portio I ph*r* maioris quim fuperficies fphxrx une*,
<quod amplius profundatur centrum gladalis quim centrum une* .centrum itacp une*
-centris omnium tunicarum & humoru oculi,qui fant anterioris partis oculi ad partem
.acris extrfnfeeam refpicientes amplius deuatur,quod eft totum propoli tum .

IX.

Inter centrum oculi X centrum unear produ&a linea retfta centrum circu
*li fecftionis uneae,& medium cocauitatis nerui obtici neceflario penetrabit *

Oftenfum eft per 7. huius, idem efle centrum totius oculi 8C centrum corneae, fed li
nea‘qu* continuat duo centra corne* 8i une*,qu* in pr*mifla figura oculi in 4.huius
eft linea an, h*c producfta peruenit ad centrum circuli comunis earu fecftionis per 8 z.
primi huius, ut inpundhim f, centrum circuli foraminis une* , (Ccundu cuius periferia
illxiphxrxfeinterfecant:fuperhries enim concaua corne* . & fuperficies conuexa.u-
ne* funt du* fuperficies fphsric* fecantes fe fecundum periferiam foraminis une*, ut
patet per 4.huius,palam'<» per 8 <5.primi huius, quod eadem linea nduda peruenit ad
duo media duarum iuperneierum corne* inter fe *quediftantium iuppofitaru illi fora-
mini une*, cuius foraminis periferia eft circunferentia circuli fecftionis.ft: quoniam fo«
ramen.qaod eft in anteriori une* eft direde oppofitum foramini,quod eft in pofterio-
r i une*, quodeft extremitas concauitatis nerui, palam per 3 jrrimi huius,quoniam ea-
dem linea producfta medium concauitatis nerui obtici necefurio penetrabit,& hoc eft
centrum circuli bafis pyramidis obifei concaui, patet ergopropofitum .

. -X,

Inter centra fphxrarum glacialis 8£unea: linea redia produtfta ad centru
circuliconfolidationisfphacrarumgladalfs Xuitrex cum unea neceflario
pertinget, X fuper illius circuli fuperficiem eretfta erit.

Paniitexpr*mifTisin4.huius,quoniafph*ra glacialisinteriecat ltrinfecus fph*
ram uneam .linea ergo per centra iftarum fph*rarum tranfiens,qu* eft l inea a n,g 8 z.
primi huius, erit perpendicularis fuper centrum circuli comunis iedlionis ipfaru . Ift c
uero circulus fecftionis.aut eft circulus diftinguens fine confblidationis harum fph*ra
rum ad inuicem , aut arqusediftans ei.fuperficies enim qu* eft in anteriori parte glacia
Iisoppofita eft foramini .quod eft in anteriori parte une*, & fituseiusabeoeft (itus
cofimiliSjUt patuit in 4^1119, terminus ergo iftius iupficiei.qut eft circulus fecftiois inter
duas fuperfides fph*r* glacialis & une* , aut eft ipfe cfrculus coniblidationis iftarum
fphxrarum cum unea, aut *quediftans ei.Si ergo circulus fedlionis inter duas fuperff-
cies, gladalis.f.fph*r* & nitreae, fuertt ipfe circulus cofolidatiois ipfaru cu unea, lfte er
go circulus.eft drculus ferftiois inter fiiperficie glacialis & unear,& tuc ut prius per 8 x.
primi,patet ^pofitu, qd* fi circulus fecftiois inter fuperficie fphxrx glacialis dC fupficie
fphxrx uitre*,no fuerit ipfe circulus confolidationis fphxraru crfftallfnae,& uitrex cu
fphxra unea, fed fuerit xquediftans circulo confblidationis earum cum unca, tunc fu-
perfides fphxrx glacialis fi imaginetur extendi intelledlu mathematfco,fuper id quod

p forma

PERSPECTIVAE VITEX LlONtS
•forma naturalis fux fphxrae extenditur ,fecabit fphaeram unea: Iuper circulum aequedi-
flantem ifti circulo fedionis fpliaerae glacialis & uitreae.quoniam ille circulus squalem
habet litum & circunfcrentia fphaera: uneae, di quia ille circulus eft aequediftans circulo
co nfolidationis,erit neceflario circulus fedionis inter fuperficiem glacialis & fuperft*
dem uneam,aut i ple circulus confolidationis , aut squediftans d , quod fi circulus ille
fuerit iple circultis confolidationis,palam per 8 z. primi huius, quia linea tranfiens per
centrum gladalis,8<! per centrum nues, tranfibit perperidiculariter per centrum illius
circuli,eo quod ifte circulus eft circulus (edito nis inter duas illas foperficiesfphaericas.
Sed fi ifte circulus fuerit aequediftans circulo confolidationis,8<! eft aequediftans circulo
fedionis inter fuperficiem gladalis & fuperficiem une*,eft ergo cum rirculo fediois
inter fuperfldem glacialis & uitreae, infuperficie una fpha:rica,qua:eftfuperficies gla*
cialis,a eft aequediftans circulo didee ledionis,Sedfi in aliqua fphaera duo circuli fue-
rint *quediftantes,linea tranfiens perpendiculariter centrum unius, neceflario tranfi*
bitperpendicularit centrum alterius,ut patet per 68 ,& per 66,primi huius.linea igitur
quae tranlit per centrum uneae & per centrum glacialis,tranltt per centrum circuli con-
folidationis fphxrarum glacialis &C uitrea: aimunea fecundum omnes difpofitiones
fphaerarum& illorum circulorum,eft ergo illa linea ereda fuper fuperficiem illius cir-
culi per 66.primi huius,qtiod eft propoli tum. Sunt tamen neceflario hi tres circuli cir*
culus tinus,qtiamuis etiam fi fint diuerfi c/rqili,& sequediftantes eidem, propofita omi
bus occurrunt, fecundum eundem enim circulum lecant fe glacialis 8i uitrea, & amba:
illae lecant uneam, & confolidantur fecundum eundem circulum cum illa, & eft ille cir*
culus bafis concauitatis nerui op tici,di lic ille unus circulus obtinet officiu 4. circulop:»

X I.

Sphaeram uitream necefTe eft fphaeraj glaciali ecentricam efTe , centruc|?
nitreae ad anterius oculi plus accedere , v-,-*».'-

Quia enim fuper fides fphaerae glacialis , & fuperficies fphxrae uitreae funt dux lu*
perficies fphaerica: fecantes fe, centrum ergo fuperficiei anterioris regula: manifefti ocu
li,eft remotius in pro fundo qusim centrum fuperfidei, pofteriorisper 84, primi huius,
pofterior uero harum duarum eft fuper ficies ipfius uitreae,ut prxoftefum eft in 4. huius,
patet ergo propofitum ,

XII,

Lineam tranfeuntem centrum glacialis & unezc , centrum quoq? uitreae
& medium concauitatis nerui optici neceflarium elijranfire.

Quia linea reda tranfiens centrum fphxrx glacialis 8ameac,qua: in prxmifla figu
ra oculi eft linea a n,produda fuper cetrum circuli confolidationis glaciaiis,cum unea
perpendiciilaresiiiper fuperficiem circuli cofolidationis fphasrarum glacialis& uitrea:
cum unea, ut patet per io.liuius,huicautemcirculo,autidemeft circulus interfedionfs
glacialiscum uitrea aut aequediftans efquocimqi uero illorum modora exiflente,fem*
per erit praedida linea perpendicularis fuper circulum fedionis fphaerae glacialis cum
tiitr ea, palam ergo per 8 3 .primi huius,quoniam ipfa trafit per centrum fphaera: uitrea:,
quia ergo linea illa tranlit per centrum uttreae, patet per 8 z.primi huius, quod ipfa ne*
cellario centrum circuli cofolidationis perpendiculariter tranfibit:extenditur ergo in
medio concauitatis nerui optici fuper que componitur oculus, quoniam circulus confb
lidatiois eft bafis,&! extremitates cocauitatis nerui optici,ut patet ex4,huius,quia uero
oftenfum eft fupra per 9 .huius,quod inter centrum oculi 8C centrum unea: produda li
nea centrum circuli fedionis uneae, & medium concauitatis nerui optici neceflario pe*
netrat,cum ab eodem pundo, ut i medio nerui optici Iuper eandem liiperfidem piares
perpendiculares non poliunt produci, ut patet per zo. primi huius , palam quoniam li-
nea eadem per centrum circuli fedionis fphaera: uneae 6i glacialis, 8i centrum une* 8C
centrum oculi,& fphaerae glacialis di uitreae , di per centrum circuli confolidationis eft
tranfiens, patet itaq? ex pncmiflis,quod una di eadem linea eft,q a f, tranfit per medium
cocauitatis nerui optici per duo media ornniu tunicarum oppofitarum foramini uneae,

eteft

&eft ipfa per 74,primi huius, perpendicularis fiig fiiperficies omniS tunicarum oppofi
tara foramini unca:, & eft perpendicularis fug luperficiem foraminis unear,& eftgpen
dicularis fug fugflciem oculi confolidationis,8C exteditur tti medio concaui tatis nerui
obtici fug quod coponitur oculus, di ipfa eft axis totius oculi quae in propoli ta figura*
tionc eft linea g a r. x 1 1 1 «

V ifus no comprehendit res uifas nifi corpore medio diafono exi ftente.

Quia e in, ut patet per 9. fex t i huius ariflo no eft nili ex adione forma: uifibilis uenie*
cis i re uila ad uifum,tormas uero no extendunt nili in corgibus diafonis conii m ilis dia
fonitatis, in quibus Iit lucis 8i formae extenfiofecundum lineas redas , ot pa tet g pri*
mam fecudi huius, cS ergo lineas ^dudas i reb? uililfbus ad uiliim no abfeindit aliqcf*
corpus media non diafonu , tunc perueniunt forma: ad uifum,8C uifio complet, quod II
aliquod corpus no diafonu interuenerit, impedit multiplicatio forma: ad uifum, patet
ergo propofitum. XMII,

Non fit uifio corpore uifibili exi ft ente limilis diafonitatis cum medio.
Si enim corpus uilibil e fit diafonum, tunc non eft coloratum, nec eft habens for*
mam Jucis,fed lolum luddi,ergo non uidetur,quonia ut patet per «f.fecundi huius , lux
no figitur in corporibus diafonis taliter ut iplas tingat, uel quod cis praeftet adum ui>
flbilis,cum ergo diafonitas corpori uifibili fuerit limilis diafonitati aeris , tunc erit eius
difpolitio ficut difpolitio aeris,& non apprehenditur a uifu,ficut nec aer , di limiliter eft
dc alio medio quocimcg; nullum enim taliu uidetur,cum diafonitas rei uife non fuerit
fpiffior corporis medq diafohitate . Si uero corpus uifum fuerit diafonum ,fed minus
quam medium;ficuti criftallus refpcdu aeris;tuc resuifa quoniam habet aliquam colo*
rem refpedu fuae fpiffitudinis,uidebitur per medium aeris ueluri res colorata,quoniam
cum lux oritur fuper ipfum figetur in ipio aliqua fixione, fcilicet fecundum id quod-cft
in ipfa defpiffitudine,S<: tranfibit ineo fecundum luam diafonitatem,& eft in eo forma
in aere fecundum colorem di lucem qua: flint in fua fuperficie,& illa forma cum perne
nerit ad uifum operabitur in uifum , 8C fentiet uifus rem uifam, patet ergo propofitum.
xv.

Inter uifibile8£ oculi fuperficiem di ftantiam mediam neceflariueftclTe.
Non enim apprehendit uifus rem uifibilem , nifi quado fuerit aliqua lux media per

{irimamhuius.hoc aut non eft nifi per mediam diftantiam,quando ergo uffibile fuerit
iippofitum uifiii fine medio, tunc ipfum non uidetur,res enim per fe luminolse non pof
lime immediate fuperficiei uifus applicari , taliaenim funt , ut ftellat & ignis, quae uifiii
immediate non poliunt applicari , quoniam ex eorum applicatione fequeretur corru-
ptio uidentfs.Reliqua liero corpora non luminofa fi uifiui applicentur, illa fine lumine
non u/debutur, relinquitur ergo media diftantia inter illa corpora, 8i inter fuperficiem
ipfius uilus, in qua fe diffundant corporum illorum formae mediante luee,& etiam cor*
poribus uifibilibus ipli uifiii immediate applicaris, tunc corpus oculi fecundu litum fiiu
prohibetur i uifiiali operatione,quia enim uifio non fit , nifi ex parte oppolita fbrami*
ni unea^ut patet per 4,huius,fi ergo uifus comprehedat rem uifibilem per immediatam
applicationem , non comprehedit illam nili fecundu partem applicata foramini unea;,
& non comprehendet reliduum rei uife,8<: fi imaginetur res uifa moneri fuper oculi fu*
perficiem quaufqj uifus totam illam rem contingat.no propter hoc erit indicium g ui-
fum,fed potius per tacftu.nec enim fic aget in uifiim forma uifibilis, quae eft forma mul*
tf plicata extra rem fenfibilem , fed res ipla.non ergo erit uifio nili inter uifibile di ocu*
li fuperficiem fit aliqua media diftantia,& hoc proponebatur.

XVI,

Vilionon fit linedolore 8i pafiione i fubftantia oculi abrj ciente, ex quo
patet uifum oportere conuenientis dilpofitionis in fanitate e(Te ad hoc, ut
complete exerceat uifionem .

Quoniam enim glacialis recipk forma lucis di eolariSj&Iux Sd color operantur in

p * glaciale

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
glacialem, erit neceflario illa operatio non fine dolore, quamuis quandoq? ndn ftnfiat
ille dolor, ut cum non eftualde fortisduces uero fortes anguftiant uifiim , di laedunt i-
pfum manifefte,ut patet in luce folis,uel in luce reflexa i corporibus politis ad uifum,&
quia operatio omnis lucis in uifiim eft ex uno genere non diuerfificata fecundum ma=:
gis di mirius,&: maior operatio cuiuslibet lucis in uifum eft ex genere doloris, di non di
uerfificatur in hoC fecundum magis &minus?ficetia quod quadocg latet dolor ipfiim
lenfum ,femg tn illa paflio quantumcuncg inlenfibilisabxjcit i fubftantiaoculi,exhoc
ergo pateqquod oportet uifum conuenientis difpo (itionis infanitate efle ad hoc,ut co
plete exercet uifionem, quoniam femper comprehenfio utffoilium ab uifii eft iecundu .
fortitudinem uifus,quia ienfiisuifus oculorum diuerlificaturfeamdum uigorem di de-
bilitatem ip(orum,huroidi enim oculi citius fodantur a lucibus di coloribus, di ficci mi-
nus^ ha:cuoIuimus declarare,

XVII*

Vifiodiftincffafitfolum femndum perpendiculares lineas Jipundis rei
Uifaj ad oculi fu per fici em produdas,ex quo patet omnem fqrma uifam fic
ordinari in oculi fuperficie,(?cut eft ordinata in fuperficie rei uifie .

Licet enim ut oftenfiim eft in 6, huius, tota forma rei uifibilis agat in uifiim ,& in
quodlibet pundum fiiperficiei uiftis,quia tamen per z o .primi huius,forma tantu unius
punefti totius fuperficiei rei uifooppofitce uifui perpendiculariter incidet uni pundo
fiiperficiei uifus,& forma: omnium punctorum refiduorum fuperficiei rei Uifo ucniunt
ad illud idem pundum fuperficiei uiius iug lineas declinantes g 1 3 ,undecimi.& in quo
libet pundo fuperficiei uifiis tranieunt in eode tempore forma- omniu pundorum,qua:
fjnt in fuperficiebus omniu uifibilium oppofitoru uifiif in illo tempore ,quonia,luppd* j,

fitum eft in principio huius,uifum fimul diuerfa uifibil ia uidere, lola nero forma pudi,
qua perpendiculariter incidit illi pundo fiiperficiei uifus per 47.iecuhdi huius, tranfit
rede g diafonitate omniu tunicarum oculijfbrma: uero omniu alioj« pundorum refrin
guntur,& tranfeunt per diafdmtate tunicae uifus lecundu lineas declinantes fug iug*
ficiem uifus & etii ex quolibetpudp fugficiei glacialis erit una tantu perpendicularis
iuper fuperficie uifus,qm cum fpharae glacialis di totius Oculi fit idem centrQ, ut patet g
7.huius,quaccucp linea fuerit perpendicularis fitg fuperficie unius, & fuper alterius fug#
ficiem perpendicularis erit g 74.primi huius.ficut aut ex eodem pudo fuperficiei fphte-
tx glacialis fecundum ponentes radios egredi i uilii, exeut Iinex infinitae ad iuperficie
tiifus,qua: fimt declinantes firper fiiperficiem uiius, fic i pundo aliquo fuperficiei glacia
Iis,ex quo erit perpendicula r is fuper fuperficie uifiis,& pertranfit foramini uneae , exeut
linea: alfe infinitae tranieuntes in foramen uneat,& ^d peruenietes ad iuperfirie uiius de
clinantes, 8i ficut radrj imaginati egredi a uifibus quando fiierunt imaginati refringi ie-
cundum modum differentia: diafonitatis cornea: diafonitate adis per 47.iecudi huius,
peruenerint ad diuerfa loca Si ad punda diuerfa in fiiperficiebus rerum uifibiliu oppofi
taru uilui in uno tempore, & nulla iftaps lineam occurrunt pundo, quod eft apud extrea
mitatem perpendicularis , ficeti a iecundu nos ponentes radios non egredi ied formas
diffundi ad uifum forma: pundorum iufibilium,quae funt apud extremitates harum lis
nearum extenduntur iecundum reditudinem harum lmearum,& perucniunt ad fuper#
ficiem uifus per eandem 47.iecundi huius, refringuntur ad idem pundu fuperficiei
glacialis :folus autem pundus qui eft apud extremitatem perpendicularis non refrin-
gitur, fitdifemper extenditur fecundum reditudinem perpendicularis, di pertranfit ad
illum pundum glacialis :fiitacp glacialis iecundu lineas non perpendiculares ientiat,
tunc punda q funt in fiiperficiebus uifibiliu nuncp ordinabunt in lenfu iecundu medu
ordinis fin iri fiiperficie rei uifae, quoniam in eodem pundo occurrunt forma: admixta:
ex multis fortnisdiuerfis, & ex coloribus diucrfis,& non diftinguetur aliquid in iliis,
fed fi glaciafis fecundum lineas perpendiculares tantum ientient,tuc diftinguentur in
ea pundi q fiinr in fuper ficiebus uifibil iu,ncc erit differetia fitus di ordinatiois formalis
Uifibiliu in fiigficic glacialis & in rebus mfibilibus,q funt extra;qm aut fecudu fuppofiti

unem

fcft? noftra formx uifibiliuperueniunt ad utfumiiib figuris quas habent /n rebus extr&
^>atct q> iecundu (olas perpendiculares lineas fit uifio, tunc enim (olum forma lilia fic or
«linatur in oculi fuperficie.ficuteft ordinatfiin fiiperficie rei uifie, patet ergo propofitu.
Omnes itacp lineae diffiifionis quarucuncp uiiaru fbrnia&,qux finit perpendiculares iug
foperffcies tunicare uifas, continent in pyramide,cuius uertex eft centru uifiis,& cuius
ba fis eft circtilus foraminis unex,uel pars iuperficiei illius circuli,^ quanto magis ex-*
tenditurhaec pyramis,8C remouetur i uifa, tanto magis amplificatur, & omnes formx
rerum cadentiu intra illam pyramidem,extendutur in rectitudinem lineans radialiu , 8C
pertranfeunfctunicas oculore rebracta; 8i hanc pyramidem:formx uerd rerum uifibiliu,
qux fiint extra hanc pyramidem,nuncfj inciduntper aliqua illarum' lineare perpendicu**
larium, ied forte accidi? ipias extendi per lineas rectas, qua; iunt inter ipfas & fiiperficie
nilus oppofftam foramini unex,& illae formx refringuntur d diafonitate tunicarfi u ia
fus,& non periieniunt ordinate ad uirtutem uifiuam,unde non fit diftincta uifio fecun-
dum illas, ueruntameivllas formas refractas aliqualiter accidit uideri, ied indiftincte
in concurfu.f.ipfaje cum lineis perpendicularibus d centro oculi extra p yramidem ra-
dialem productis.DMmus autem nuc fiiperficiem tiifus illam partem iuperficiei oculi,
qux eft oppofita iuperficiei foraminis unex.q* ant uifiis coprehedat qhcp illa qUxiiint
extra pyramides radiales, patet experimentaliter, extremitas enim acus uel ftipulx fiib
tilis pofitx in poftremo oculi, ut inter palpebras uel in parte lacrimali quieicenre uifii
uidebitur,cum tn illa extremitas Iit extra pyramide radialem. Similiter quoq? in eif=
dem locis circa oculu erecto indice uel alio digito extra pyramide radialem,qux uald*
fabrilis cft,qm pyramidalitas eius eft ampla,unde nihil fili prouenit ad loca qux circti
dant oculfi,uidebitur tame fuperficies ipfius indicis uel alterius digiti .Forma traqj ifto
rum uifibiliu peruenit ad fiiperficiem uifiis per lineas obliquas, qux fiunt extra pyramis
dem radiale, patet ergo q> formx rerum taliter fituatap: relpectu pyramidis radialis per
uenumt ad fuperficie uifiis per refractione factam in fuperficie uifiis ab aere,qtli eft rari
oris diafoni,c| fint tunica; ipfius uifiis. qj aut refractio fiat in fuperficie ipfius uifiis for-
mam oblique uifui incidentiu,patetetiam in ili is, quo r- formx nifi prohiberentur, cadd
irent intra pyramide radialem: fi enim acus uel aliqua resfiibtilis minuta directe oppo-
lita foramini unex interponatur uifui & parieti albo,uidebitur tn forma totius parietis,
cufeeumdu ueritatem formx partis parietis directe oppofitx acui & uifiii, directe non
ptnferiiat ad fuperficie ipfius uifus,periienit aut,ut patet,qm uideturtpalam ergo , qm
perdenit per refractforie factam in fiiperficie ipfius ui(us,omnia aut hxc uidentur indi-
ftincte ,unde reductis ipfis intra pyramide radialem,& ablato quolibet corpore inter-
pofito,u/debuntur illaR; formx diftincte& perfectius cfj prius:fitergo uifio diftincta io-*
Inmieatndu perpendiculares lineas d punctis rei uific ad oculi fiiperficie productas , in'
diftincta uero uifio fit per lineas non perpendiculares^ ita uifio indiftincta coadiuuat
diftinctam. xviu.

'4 Omnium formarum uifibilium diftincfta uifio fit fecundum pyramide,
epius uertex eft in centro oculi, bafis uero in fuperficie rei uifa;,ex quo pater,
omne quod indetur fub anoulo uideri .

Cum per 6.huius omnis uifio fiat ex actio ne formx uifibilisin uilum ,& quxlibet
pars formx uifibilis 3C punctus ie multiplicat per medi ii extrinfccu ad oculi fiiperficiem
totam,&tota fuperficies rei uifie ad unum punctu ociili,quia tnoculofe tnnicx iunt al-
terius diafonicatis eji aer extrinfecus , folx illx linex formaju d fiipficie rei uifibilis ad fil •
perficie oculi productx,quxprotractx centru oculi penetrant, cu fint perpendiculares
fiiperfiigficiem oculi,non rerringutur in medio diafoni ipfius cornex,ut patet per 73 *
primi huius,8d per 47 .fecundi huius,&: per prxmiflam.alix uero linex omnes refringu
tur,quia incidunt oblique,unde non fit uifio fecunda illas,qm aut iola glacialis proprid
eft organu uifiis,& non fuperficies oculi, qux eft pars fphxrx cornex, oportet necefla--
irio ut linex, per quas debet fieri uifio, peirueniant ad gladale,& quia non eft poflibi!e,nt
■ ■ " ‘ "• p" ' ' uifas

PERSPECTIVAS VITELLIONIS

Uifus comprehendat rem aifam fecundu futim efle,nifi quando apprehendit forma ani*
us pundi rei uif» ex uno tantu pundo fu» fuperficicfqm ut in prxmiiTa oftenfum eft:
omnis forma rei uif» fic ordinator in oculi fuperficie, fient eft: ordinata in fuperficie rei
uifie.Non eft: ergo poffibile, ut glacialis comprehendat rem uiiam fecundu ilium e ile,
ni fi quando coprehendit colore ucl formam unius pundi rei uif» ex uno tantu pundo
fuperficiei uifus ueniente ad ie:& cu centru oculi & centru fph»r» glacialis, ficut patet
per 7. huius, iit idem pundu.necefle eft: q> omnes line» perpendicularitcr .pdud»,:! pun
dis uiiibiliuiuper luperficiem oculi diafoni conairrant in centro glaciali, erutfcg quidg
diametri in fuperficiebus tunica^ oculi gpendiculares fuper ipfas tunicas oculi , eritcg
quaelibet perpendicularis occurrens fuperficiei corneae in pundo uno,& occurrens fug
fidei glaciali in pun (flo uno ,& nna tantu perpendicularis tranlit per puudu aliquod
glacialis i centro corne» per ipiam fuperficie corne» fuperpofita illi pundo glaciali,
qu» fit perpendicularis iuper fuperficie rei uif»sqrh per xo. primi huius ab aliquo pun*
«o fuper fph»ram unam una tantu perpendicularisduci poteft,unde cu iuperficies rei
Uil» fuerit »quediftans fuperficiei ipfius uifus,erit per 13 .primi huius illa linea perpen*
dicularis fug fuperficie uifus &: fuper fuperficie rei uif»;ali» uero line» omnes funtob*
liquefiiper Uiperficiem rei uif»,£(juis produd» ad centru uifusjfiant perpendicularesfii

£er iuper ficiem uifiis,& fuper fuperficiem ipfius glacialisjforma ergo cuiuslibet pundi
[perficiet rei uifibilis mota ad uifum fecundu lineam unam perpendiculare produdam
ab eo ad fuperficie ui(us,occurrit fiiperficici oiius fuper unum pundn/uper que no oc*
CUrrit ei aliqua formae pundoru aliorum rei uifibilis.Produdis ergo i quolibet pun*
do fuperficie rei uifibilis ad centru oculi lmeis,pa!am>qm ift» line» produd» in diuef
fis pundis oaili fuper ficiem fph»ricam oculi fecabunt,& omnes in centrum oculi con*
current, quia omnes line» ift» continentur quafi in uno copore continuo, quia i pun*
dis quali continuis unius fuperficiei rei uif» ad unum pundu qui eft centrum oculi tet
minancur:palam ergo,qm omnes ift» line» imaginand» funt in quadam pyramidem
ucrticem habepte in centro aculi&bafem in fuperficie reiuif»,erit enim forma cuiuicu
cg pundi fuperficiei rei uif» extenfa fecundu reditudine line»,qu» eft inter illud puru»
dum 5C uer ticem pyr amidis qui eft centru uifus >5i omnes tunica^ oculi di humorum fil
perficies fecanthatic pyramidem,qm form» penetrant per illas, & pb hoc .quia fuper fi
cies glacialis conuexa fecat hanc pyramide quafi »quediftanterbaff,figuratur in illa fil
pernete glacialis,quia noua pyramis,cuius bafis eft in ipfa fuperficie glaciali, di uertex
ubi prius di bafes illar u pyramidu fiunt quafi fimiics.ut patet per 99.dk per 1 0 o * primi
huius,&: ex hoc patet,omne qcP uidet fiib angulo uideri que continent line» radiales co
currentes in centro uifus, patecergo propofitum. Linea icaqj reda tranfiens per omnia
centra tunica^ uifuu ad locum girationis concaui nerui, fuper que componitur oculus,
quia illa, ut patet ex pnemiftis 8i 1 2.huiiis,tranfitper centra uifus di per centrum fora*
minis qd* eft in anteriori une» ,& per centru ipfius une» extenditur in medio pyram i*
dis radialis,dicatur axis pyramidis radialis,ali» uero line» huius pyramidis dicantur
line» radiales, x 1 X .

Corpus uifibife oportet ut fit alicuius quantitatis rcfpedu fuperficiei uU
fusadhoc,utaduuideatur, .

lam enien oftenfum eft,qm uifio femper fit per pyramidem , cuius conus eft in ceu
tro oculij&bafis in fuperficie rei uil» per pr*miflam>8i: cj> ifta pyramis dxftinguitur ex
. fuperficie membri fen tientis paruam partem in qua ordinatur forma rei uif»,ut patet g
I7,huius.lnrebus ergo ualde paruis eritpyramis parua.SC pars diftrida per ipfam ex
fuperficie connexa glacialis-,qu» eft prim3 membru fentiens,erit quafipundus 8i ual-
de parua,fed membru fentiens non fentit foramen, nifi qn pars fu» fuperficici,ad quam
pctuenit forma,fuerit quatitatis fenfibilis refpedu totiusoculi,qm uirtutes fenfus fune
finit», & non extenduntur in infinitu,unde funtfecandu unum aliquem terminu ad que
petuemrc poteft uirtus fenfiriua. Cum ergo pars membri fentientis ad quam peruenic
lom^no eft quantitatis fenfibilis apud totu membru fentiens3tunc no fentit membr di

adfoss

tlfeSU TERTIAS,

«•^tortem qua agft forma rei uiftbilis in Uk parte ,ppter parui tatem ipfius, quare no co
«prehendit formam rei tam paruaefo!* itacp res funt fenfibiles acfiu^quarum pyramides
• inter u(Turii'& centrum uilus diftinguuntex luperficieglacialipartem aliquam fenfibi
lem quantitatis refpedu totius foperffciei glaCialis,ill* ergo res oportet ut fint alicuius
quantitatis refpedu (uperficiei uiiiis, 8<: hoc eft propofitum »

XX,

Vifio non completur nifi cum ordinatio formae recepta in fuperficie g!a*
cialisad neruum peruenerit communem ,

Quoniam enim, ut patet in 4,huius ,in concurfo ambop- netuor 3 op ticornm in ante
riori parte cerebri conftituta eft uirtus uiiiua fentiens 8i dijudicans omne uifibile„ppter ■
qd* in uno ufdente eft unitas fenfus uilus, ob cuius unitatem ambobus uifibus unam &
eandem rem fimul accidit uideri.patet q» uifio non complebitur nifi cum forma uilibfo
Ii uniretur uirturi fentienti,qu* eft iu cocauo comunis nerui , oportet enim cognofribi-
leiemper uniri ipfi cognofcenti.quia uero per 17. huius formae uifibilium fitordinatio
iri ipfius oculi luperflcie,licut ordinat* in fuperficie rei uil*,& ex foppo (itione huius res
uiia fecunda fitum,figuram & ordinem fuajy partiu uidet,necefle eft ergo fieri ordinatio
nem for m* in ipib nemo, qm fecunda modu ordinationis quo eft recepta in Iuperficie
glaciali,& aliter non complebitur uifio, patet ergo propofitum,
xx n

Humorem uitreu alterius diafbnitatis i glaciali neceflarium eft efle;

Si enim diafonitas iftoru duop- corporfi glacialis.Chumoris & uitrei fit confinul/S,
ninCjUt patet per primamfecundi huius,& per 17, huius, Sd per 7z,huius,qm forma uiu
biles receptat in iuperficie glaciali non reflexa; fecunda lineas radiales concurret in cen
tro oculi propter confimilitudinem diafonitatis,& ibi fe interfecantes ulterius fe diffun*
dent. Quia uero.ut patet per pr armi fiam .uifio non completur nifi poftcp ordinatio
formae, qua recipit in fuperficie glaciali,peruenit adneruu co mune, fitus aut partiu for
m* fecundu fuum efle in iuperficie glaciali non poteft peruenire adneruu comune nili
per extenfionem eius in concauo neruffup quam componit fpharra glacialis, qa aliter
eft ipfam impoflibile peruenirejforma uero non poteft extendi i lujjnde glaciali ad co-
cauu nerui comunis fecundu extenfione linearu redap*,& conferuare fitus liiap* partiu fe
cvtndu fota efle.nifi natura alterius diafoni clarioris fibi occurrat antecjj gueniat ad cen-
tra oculi,qm li no fit mediu alterius diafoni comunis,ift* lineae cocurrent apud centra
oculi,&etticftt quali unum pundu,& quia hoc centru oculi eft ante loca unionis neruo
rum otpicoru,patet per 9 1 .primi huius, q> fiill* linea: ultra centra oculi debeant exten-
di,neceflario erit lineanim illaru interfedio in centro, 8i poft cetrum creabitur noua py
ramiSjCuius line* longitudinis fecunda politionem & litum priori py ramidis modo co
trario fe habebunt.conuertetur ergo totus fitus figur* rei uil*,quoniam habet in fuper
ficie rei u if*& in Iuperficie glacialis taliter,ut illud qd* eft infuperflcie glaciali dextru,
fiat finiftru apud fenfum , & econtrario,& fuperius fiat inferius & econtrario,nec perueS
niet aliquid form* direde ad neruu commimem nifi foluunum pundu quod eft in ex*
trem itate axis pyramidfs:omnes ergo res fecundu modum fuo naturali litui contraria
uidetur,quod eft contra fuppofitioen%8<: manifefte contra id qd* accidit in fenlii, patet er
go q> neceflarium eft,q> ifti humores unt diuerl* diafonitatis.qd’ eft propofitum,
XXII.

Superficiem communis fecftionis fphaerac glacialis & uitretcad anterius
centro oculi litam effe,humorem^ uitreu 8£ fpiritu uifibile eiufde quafi dia
fonitatis,& utraq? plus diafona humore glaciali neceffe eft efle.

Quoniam, ut patet per zo, huius, omnis forma rei uil* fecundum litum, figuram
ordinem foarum partium peruenit ad neruum communem,palam,ficut inpraertiifla o*
ftenfum eft,q> neceflarium eft q> fiat aliqua refradio ante p^ruentum formae ad centru
oculi, quia etiam (i fiat refradio poft centri tranfitum,erSf iieceflario form* conuerf*,

qtionia

PERSPECTIVAE VlTELLlONlS , ^

quoniam & tunc per 9 1 .primi huius.erit mutatus (itus partium formae > refradio tj|ft
cum folu fiat ad per pendiculare.uel i perpendtculari,ut patet per 47-iecundi huiUSj p**
lam.quia non tranimtJtat (itum partiu,ied folum auget uel minuit figuram per 4 9 , Ce*

. eundi huius,qu ia uero glacialis ad qua perueniunt foima iecundu reditudfoem,toti
eft unius diafbni.refradio uero.non.fit nifi medio alterius dia foni:palam,quia non po-
reft fieri refradio formaje nifi apud humorem uitreu, cuius cor pus, ut in praecedenti o*
ftenfum eft,diuerfeeftdiafonicatis i corpore glacialijhic ergo humor neceflario ante*
cedit centra oculi ,ideo ut refringantur formae apud ipium priuscp perueniat ad ipfum
centru oculi.qcfeftidem centru humoris glacialis per 7,huius,quta alias enim in Centro
'-illo fieret concurfus omnium linea^ radialium per 7^ primi huius, quia illaelineg funt
omnes gpendicuhresitiperiuperficiem glacialis, accideret quoqj illis formis ulterius
progredientibus tranimutatio iecundu litum per 9 1 .primi huius, ut praemiflum eft , &
<|a hoc eft impoflibile,patet ergo q> humor uitreus antecedit centru glacialis,cpuis ita*
qt glacialis,in qua eft prinrip iu ienfus,indigeat lineis radialibus extenfis iecundu redi*
tudinem,eo q> impoifibile eft,ut forma rei tiife fit ordinata in fuperficie uifos .ppter ma
gnitudinem rei ui&,8d per unitatem (uperficiei corporis uifus rufi per iftas lineas , per
quas completur coprehenfio rei uife iecundu fuum efle:peraentus tn formap- ad ulti*
*num Ientiens non indigettantu extenfione formary fecundu reditudin? iftaru linea ju,
qih receptio fbrma^ in membro ientiente non eft omnino fimilis receptioni formap- in
corpore diafono,membru enim ientiens recipit iftas formas .,ppter luam diafonitatem,
&! fentit eas,ppter e(«s uirtutem fenfibilejSC fic recipitformas iecundu receptionem len
fus,cum alia corpora diafbna recipiant formas tantu ad reprefentanduipias uiilii , non
aut ad fentiendu.Qual itas ergo receptiois forma^ in humore uitreo fecundu lineas res
fradas.eft ppter diuerfitate iux diafonitatis £ corpore glaciali & ,ppter qualitatem re*
ceptionis fenfibilis, qua non eft completa in humore glaciali;led & corpus fubtile, qd*
eft in concauitate ner ui inter humorem uitr eQ & neruu comanem^qd' corpus nominat
(piritus uifibilis,qm tnipfoprimo diicurrunt fpiritus uifibiles,necefleeft diafonum efie,
qra forma rerum uifibiltu quando perueniiit in corpus humoris uitrei , extendit ienius
ab illo in corpus Ientiens extenium in concauo nerui continuati inter nilum & anterius
cerebri J&C iecundu extenfione ienius extendunt forma ordinate iecundu fuam diipofi-
tionem,patet ergo q> ordinatiopartiucorporisientientisformas^ordinatio uirtutis
fentientrs aqualiter eft neceflario in corpore uitreo, & in omni corpore fobtili extenib
in concauo nerui.Dum enim forma peruenit ad aliquod pundulupcrficiei uitrea, ex-
tenditur direde,&: non alteratur eius fitus in concauitate nerui in quo extendit corpus
ientiens,& erunt format omniu pandor confimilis ordinationis adinuicemtcorpus ita
qt ientiens qcFeft in concauo nerui.erft neceflario diafonu ,ppter receptionem formaje
uifibiJiu,eritfcp diafonitas eius quafl eadem cn diafonitate humoris uitrequt non obii*
quant,uel fiant monftruola forma apud puentu ea^ ad ultima iuperficie uitrei uicinan
te qd corpi eft in cocauo nerui, pertranleut ergo forma in ifto corpore fobtili ratione
diaroratatis,& apparent uirtoti ienlitiuaeratione fpiflitudinis eiuiaem corporis.Senti*
ens itacp ultimu qd* eft inr»er«jo,qd' comprehendit lucem ex illuminatione corporis hu
ius & colore ex eius colorat»one,qm horfi forma tranleunt 8i figura in ipfo: fit aut re*
fradio formajK apud humore uitreO tam ,ppter diuerfitate qualitatis receptiois ienius,
capter diuerfitate diafonitatishumoris glacialis&uitrei.Et fi diafonitas fiioru corpo
rum eflet confimilis,eflet forma extenfa in corpore nitreo iecundu reditudine linea je ra
dialiu^ppter confimilitudine diafbnitatis,& eflet refrada ,ppter diuerfitatem qualitatis
fenilis inter hac duo corpo ra,8i fic fient forma aut monftruola , aut eflent dua forma,
qh uero 4>pter diafonitatis diuerfitatem fitrefradio,& diuerfitas qualitatis ienfns affir
tnzt illam refradfone aut obliquatione,£uncerit forma poft obliquatione refradionis,
forma una ordinata iecundu iuajt; partiu fitum figuram&ordinem,qna habet forma
in te extra,& uirtus ienfitina ientit formam rei uiia ex toto corpore fentiente,extenio i
fiigfiae uifos primo fentienus QC lenfibiles formas recipientis 0% ad concauu nerui co
' munis

LIBER TERTI VS. • 6\

"fnunfsjqtl eft ultimu corpus fentiens,quonia in /pio conftituta e fi: uirtus fenfituia , funt
itacg humor lutreus 8i corpus qc? eft in cocauitate nerui eiufdc quafi diafonitatis, qa in
ter ipfa no fit refradio aliqua fenfibilis diuerfa/ed regulariter per unitate uirtutis ien-
fitiu* ad unitate fimplicis extenfionis formarpoft rcfradionem in fiiperficie uitre*, 8i
■ qminijsarnbobuscorporibusfitprogreflioforrnaruultracentrumoculi,paret q> illa
refradio fada eft i perpendiculari ereda ipundo refradiotiis fuper fuperficiem glaci-
Iis,utrucjj ergo illarum corporum eft plus diafbnum corpore ipfius glacialis per 45- « uel
•f 7.fccundi huius.patetergo propofitum.

XXIII.

Superficie comunis fediois fphserse glacialis & uitrerc,necefTe eft plana
efTe,aut gte fphairze maioris,cp fit fph*ra gladalis 8i ecctrica fugficiei oculi,

Iftarum fphajrajK glacialis.f,& uitre* comunis fediois fuperficies eft neceflario pia
ha,aut talis qualis ,pponitur,qm oportet fiiperficie huius fedionis efle fimilis ordinatio
nis.itacp cius extremitates ordinent in cofimili & eadem diftantia i centro oculi, ut no
appareant forma: moftraofie per refradione : fiiperffcies cSflmilisordinatiois.aut eft
plana, aut eft fph*rfca,h*c aut fuperficies no poteft efie ex fph*ra cocentrica oculo.tuc
enim erunt line* radiales qu* ftint perpediculares fuper fiiperficie glacialis, perpendi
culares etia fuper ipfam ex 74.primi huius,8<: no fieret refradio formait, fed cocurrer et
in centro,& fierent form* mSftruof*, ficu t per prarmiflamoftenfiim eft. Eftergoilla
fiiperficies.fi fuerit pars fph*r*, neceflario ecentrica oculo,ergo no poteft efle ex fph*
ra minore cjjfltfph*ra ecentrica oculo,qm ratione diuerfitatis centri forni* cocurrent
ante peruentu fuu ad centrum oculi?minoris enim fph*r* minor eft diameter quantum
eft de naturafphxricitatiSj&jpptermaiore d/afomtateni fph*r* uitre* fuper glaciale
qu* oftenfa in pr*mifla, refringerent form* ab ipfa perpendiculari per ^.fecundibus
ius,ratione rarioris diafoni cui incidunt,ratione tiero fph*r* minoris in fiiperficie coi
munis fedionis frangerentur ad perpendiculare,flc ergo efficerentur form* monftruo
f*,qm pcederent ad perpendiculare ratione fii* perpendicularis Iuper fiiperficie fphee
rica.qu* perpendiculares femper tranfeut per centru per 7 2 .primi huius,&! re flederen
tur d perpendicalarftifta ergo fuperficies eft aut plana aut fph*rica,utpote pars fphaei
r* alicuius bon* quantitatis,ita q> fph*ricitas eius coueniatordinationi fecundu pro*
portionejrefradionis i perpendiculari, qu* fit per natura alterius diafonitatis.Omnes
ergo form* pemenientes in fiiperficie glacialis,extend5tur per corpus glacialis fecun-
dum reditudine lineap- radialium qnoufc^peruenerintadifta fiiperficie, tunc refledun
tur apud ipfam fecundu lineas confimilis ordinatiois fecantes lineas radialestforma ita
cp perueniens in aliqd* pundu fuperfi'cieiglacialis,fempcr extenditur fuper eandem in*
cidentiam line* ad idem pundum fiiperficiei ni(iis,8C ad idem pundu loci nerui cornu*
n is,d quibuslibet ergo duobus pudis cofimilis litus in refpedu duoru neruop: extedun
tur du* form* ad idem pundu in neruo comuni, donec fiat perfeda unitas formaru.
xxinr.

Inter omnes lineas pyramidis radialis,necefieeft folam axem tranfeunte
per centru foraminis une* fuper fiiperficie comunem glacialis 52 uitreae , 62
fuper pofteriorem fuperficiem uitreze perpendicularem efle.

Axis enim hic ,fi non fuerit perpendicularis.fed declinans fuper aliqua iftaii- fuperff
cierum, accidet dnierfificatio ordinationis formae peruenientiu ad illam fiiperficie , di
mutabuntur difpofitiones illaru formait propter declinatione axis, fblum enim cu axis
fuerit perpedicularis fiiper fuperficiem glacialis,perueniet forma r ei uifie in fiiperficie
glacialis ordinata fecundu ordine partium fiiperficiei rei uifie.fiC perueniet forma pun*
di,quod eft apud extremitate axis in fiiperficie rei uifie.ad pundu qcFeft fuper axem
in fiiperficie glaciali,ut patet per i7.huius,&:quiaaxisradialis eft perpendicularis fii-
per fuperficiem glaciale, palam ex 18. undecimi, quoniam omnes fuperficies plan*exe*
untes ab axe,5t: fecantes fuperficiem glaciale, erunt perpediculares fuperifta fiiperficie,

q ec

PERSPECTIVAE VITELLIONlS
& quia fuperficfes humoris uitrei reCpiciens ipfam fuperficie glacialem, au* eft comunis
fedio fphar* glacialis &C uitrex,ut patet per prxmiflam , aut eft fuperricies plana aut
fphxrica,& centrum eius no eft centrum uifus. Si ergo axis radialis eft declinans fti-
per iftam fuperficie.S; no eft perpendicularis fuper ipfam.no exibit ab axe fuperfides
plana perpendicularis fuper iftam fuperfide.nifi una tfn fuperficiesrflla.f,qux tranfit g
inaequalitate maximam angulo^, quae patet per 29 , primi huius,& omnes fugficiea re
fidu* exeuntes ab axe.erunt declinantes fuper ipfam fuperficiem uitrex. Si enim duae
fuperficiesuel plures exeuntes ab axe, funt perpendiculares fuper didam fuperficie, c3
illae fuperfides de neceflitate fe interfecent,& fua comunis differentia fit axis pyramidis
radialis5erit per 1 9, undecimi axis perpendicularis fuper eandem fuperficie jdauim aute
iilit q> eftet declinans,fit itaqj centrum oculi pundum c,in fuperficie quocp oculi, flue in
ipfa fuper fide glaciali, qua? per 7. huius & per 73. primi hu*
ius xquediftat fuperficiei ipfius 0 culi , fit linea bad,&: in fu
perfide humoris uitreirecipiente humorem glaciale fit li-
nea e gf, fitfcg axis pyramidis radialis linea a c , imagine»
mar ergo fuperficie a b c dexeuntem ab axe,& er edam fu»
p er fuper ffeiem glaciale trafeunte per centtG oculi , qcf eft
c .SCbarc fuperfides ereda fit etiam III per fuperficie humo»
r is uitrei, qua: efteg f,fii% comunis fedio nuiusfuperfidd
ereda: a b c d,cum ipfa fuper ficie glaciali linea bad,& fint
punda b&d «qualiter diftantia dpundoa , qcf fit termi-
nus axis py ramidis uifual is fit comunis fedio eius cum

fit humoris uitrei linea t f :exeunt quocp dux lineae d centro
c .qua: fint c b & c b,erut ergo ift* linea: c b & c d,& cu axe c a in fuperficie comuni

jperpedicqlari fuper fup erficie eg f per prima undecimi .qm omnia punda c b d funt in
illa fuperfi'cie,er untfcg ex hypothefi duo anguli a c b & a c d aequales, q> patet per 8 , pri»
mi,fi illis arcubus b a QC a d fubtendant cordae b a & d a,fint quocfi linex c b & c d fecan-
tes lineam e f ,quae eft cois fedio didar fuperficiei credar & fuperficiei uitrear fuper duo
punda e &f,fecet'cg axis caeande linea e f fuper pundQg. Si ergo fupfi cies, q eft cois
fedio fphxrx glacialis & uitrear,eftplana,& differentia cois ,qux eft e g f.linea ereda,
& fi axis a c fuerit declinans fuper fuperficie uitrear, & ipfa eft in fuperficie a b c d ereda
luper iuperficie eg.f ,tunc neceflario critaxis c a declinans fuper linea e f,eiut ergo an»
gulieg c &fgc inxquales.qm linea d pundo g gpediailariter.pduda luper linea e g f
ex 1 1, primi faciet angulos ecquales cu linea e f ,Ci3 itacjj anguli e g c 8C f g c fint ixqua-
Ics.angulus c^cp cg f fit exempli caufa minor angulo c g e,& duo anguli a c b & a c d fint
arquales,erut per 24. primi dua: 1 inex e c & e f inarquales ,eft enim linea e f breuior cp li-
nea e c;fi enim illx linex fint arquales,cum anguli e c g & f c g fintarquales, & linea g c
comunis ambobus triangul/s.erunt per 4,primi anguli eg c & f g c arquales.qcPeft co
tra datum.cu axis a c fi t declinans fliper linea e f,fit ergo linea c h ecqualis linea: c e ..du-
catur linea h g,qux per 4.primi,& ex prxmiflis erit «qualis line* eg,& a pundo g du-
catur perpendicularis g 1 fuper lineam c h per i z.primi.Ex penultima ergo primi latus
g h oppontum angulo redo in triangulo h 1 g, eft maius latere g l,ergo per 19. eiufdem
primi erit linea g b maior cjj linea g f*cum enim angulus g f h n t extrinfecus angulo g
i f redo,palam q> angulus g f h eft obtufus,eft ergo maior angulorum trigoni f g h ,er»
go linea e g,qux eft «qualis line* g b,maior cp linea g f,erunt ergo duo punda e & f di
uerfediftanti*ipundog,6<:iftaduopundae6<!f flintilla ad quae perueniunt forma:
duorum pundorum fuperficiei glacialis/. b&d,qux funt «qualiter diftantia ab axe;
puda itatp «qualiter diftatia ab axe in fapfirie glaciali, inxqliter diftat i pudo axis in»
cidctis fupficiei uitrex, q> cuitafit,pala,ga cu forma puenerir i fup ficie glaciali ad fapfi
cic huoris uitrei.erit ordinatio fbrmx n5 lc3m efle qdP habet in fupficie glaciali ,no fecu
du futi cflelfupficie rei uif«:qn ergo axis fuerit declinas fup fupficie plana,q eft coisfc
diofupficiei glacialis et uitxcxt&i er it linea q eft differetia cois cuiuslibet fupfidci excu

tis

LIBER TERTIVS* 6z

tis ab axe erede faperfuperficicmuitrex&fuperffcieiipfiusuitrexcontinenscum a *
xe duos angulos mcequales3pra?terqj? in una tantum firperficie.qua: focat fecundum an
gulos redos fiipcrficiem tranfounte per declfuitate axfs,qm huius tantu fuperficiefcois
dfffcretia corinebit cu axe angulos redos:& cu duo anguli prxdfdf fiierint matquales,
8i anguli apud centru glacialis aequales, erut duce partes differentia: c5i's,qua? eft in fiigfi
a'eu/trei,ma:qaales:forma: ergo fecunda ifta punda qfunt in extremitatibus lftap- diffe
rentiajtjpuenientes ad fuperficie: uitrear,erut diuerfe dittStfe a pudo axis q3 eft in ifta
fugfide,fed qa punda iftaru lineajt in fugficie glaciali xqualitcr diftat i pudo axis , in
cade fugficie uidebunt formce no focundu fua ordinatione in fugficie glaciali di in rei ui
fariugficie.Similiter demonftrandu ff fugflcies uitreae fuerit fphcerica>& fiierit axis
declinas fuper ipfam ,tunc enr axis no tranfibi t per centru uitrece,& cu trafibit per centra
glacialis linex,ergo qua: exeunt sf centro glaciali ad punda, quoiy diftatia dpudo axis
in fuperficie glaciali eft a:quaIis,cotinent cu axe apud centru glacialis angulos aequa-
|es,& quia centru glacialis no eft centru uitreaz.ut patet per 1 1 ,huius,dfftinguet iftce \U
neaeex fugficie nitrea: arcus inaequales. Cu enim linea e c,utpra:didueft,fit maior cp 1 ia
nea e f,fft linea c h aequalis linea: c e,& protrahatur linea g h , fuper qua defcrfp ta portio
oculi e g f qua: fit g h,erit xqualfs portioi e g per z 3 .terti] ,ideo quia corda e g eft ecqua*
Iis corda: g h per 4.primi;produda ergo perpendiculari g l,erit ut prius corda g h ma<
ior cg corda g fiergo arcus g h erit maior arcu g f per z 3 .terti]' >ergo di linea reda qua:
eft e g aequalis lines g h,erit maior cfj linea g f reda, arcus ergo e g eft inaequalis arcui
g f per z7.tertij;null* ergo linea: cotinentes cu axe angulos redos di exeuntes cu linea
a c,in eadem fuperficie diftinguut ex fuperficie nitrea: duos arcus tcquales.nifi dux tan*
tum linea:, qux fiint in fuperficie,focante orthogon aliter fuperficie ereda fug fuper Rcie
uitrex.cu ergo axis fuerit declinas fug Iiiperficie uit rex, forma: peruenientes ad fugficie:
uitrex, erunt diuerfx ordinationis,fiue fit fuperficies nitrea: plana fiue fphxrica;cu uero
axis fuerit gpendicularis fiiper fuperficie uitrei,erit perpedicularis fuper oes differetis
as quarucuncg iiiperficie^- planar u dudap- per linea a c,& fiigficiei i piius uitrex ,di erut
qlibetduxlinex exeuntes i centro glaciali q> eft unus pundus axis, cotinentes cu axe
angulos xquales,&! diftinguentes ex differetiacofqux eft in Iiiperficie uitrex duas par
tes' reqleSjfiue fit fuperficies illa plana fiue fphxrica , di coprchenduntur formae a fenfu
fecunau fiia ordinatione in Iiiperficie glaciali 8i in fuperficie rei uifx,& qa talis eft com
prehefio formajy,ut patet ex fuppofitioe,pala,qa femg axis pyramidis uifualis eft pcr=
pedicularis iiig Iiiperficie huoris uitrei anteriore 8(pofteriore,qm eade eft canfa di eode
modo demoftradutoes uero alia: linea: erut declinates (iiper has fugfi'cies»qm ,pceduut
ac fi focare poflint axem fiig centru glacialis,&; nulla ipfaru trafit per centru uitrex fi fiie
rit fphxrica 3nifi axis trn per 7 z.grimi luiius,qm fola illa eft perpedicularis fiiper ipfam,
patetergo,ppofit5, ’ xxv.

Motu oculi fecundum fe totum exiftente poflibili,non eft: poflibile fitu
fuarum partium mutari ,

Oftenfiim eft in 44huius foramen effe in concauo oflis >per qcf tranfit neruus opti*
ais,fcd inter hoc foramen oflis di inter circuferentia glacialis coniunda cuunea,cft fpa
cium aliquantulfi,& neruus opticus extenditur in illo fpacio ex fine foraminis ufqj ad
circumferentia glacialis fecundum pyramidalitate,& amplificatur quoufcg perueniat
ad circumferentia fphxrx glacialis cum qua confolidatur.Cu ergo ifte nemus declinat,
ertteiusdeclinatioapudforamenconcauitatisipfius oflis, & quonia concauitas oflis
continet totum oculu, declinato fic neruo,& oculus mouebitur focundu totum in ifta co
cauitatc,confolidatiua enim qux confolidatur aim eo,qj eft in anteriori oculi ex neruo
di ex tunicis refiduis fomper eft cuftodiens fitum eiusideclinatio ergo nerui apud motu
oculi non eft nifi a pofteriore totius pculi,non eft ergo poflibile fitum partium oculi mu
tari,qm ut per 7,huius patuit, centru fiigficie^ tunicaru uifus oppofitap- foramini uneai
ut cornex, eft idc cu centro oculi, ficut ergo cu mouebit oculus no mutabit centru ocii<«

q z il,qm

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
li,qitoniam iphxra aliqua aliqualiter mota mon propter hoc mutatur fi tus centri, fic nec
centri! fiiperficie» tunica^oppofitaru foramini tineae mutat.ergo neqj finis tunica^ o*
culi murat, quia enim linea tranfies per centra omniu tunica ft & humoru oculi, tranfit
per mediu cocauitatis nerui orthogonaliter ereda fuper balem pyramidis nerui, ut pa
tct per p.huius;8<! linea quae tranfit ortliogonaliter per centrucirculi bafis alicuius pyra
snidis, neceflario attingit nertice pyramidisper 8?.primi huius. In pyramide uero con*
caua nerui optici uertex pyramidis moto oculo no mutatur.necefie cft moto oculo fecii
du ie totu partes eius nullo modo mutanVqm linea quae tranfit per centra illoj*: partio,
tranfit per mediu cocauitatis nerui optici per 9 .huius, ex quo patet, q> partes oculi nullo
modo mutant .Declinatio enim partis pyramidalis nerui fuper luperficie circuli conio
lidationis eft iempcr declinatio cofimilis,partes ergo oculi Iecundu fiiu fitum no mutan
fur,& hoc eft ,p pofitu,&: qm oculi ambo iunt cofimilis diipofitiois in luis tunicis & par
tibiis, & in figuris fuarS tunica^,& in fitn cuiuslibet tunicam reipedu totius oculi .patet
tp no eft diuerfitas inter illos quo ad hoc qcf^ponit de faaru partium fitus mutatione
ipfis oculis motiSjfitusenim linearu ambajc trSfeimtiS per centra tunica^ uiius in utro*
tjj oculopr eftfemg fitus confimilis inoibusdifpofitionibus oculo^,patet itaqj illud qcf
apponebatur. xxvi.

Vno oculo mo to,necefle eft alium eidem conformitermoueri»

Quonia enim fitus partin oculi nonmutatur in utroqj oculojtA motus unius ocu
li fit per momm nerui optici in centro foraminis offis, motus uero nerui partialis proce
dit i pundo nerui comunis,quoniaiemper illud quod mouetur in partibus aliata, mo<
uetur circa aliqcf fixunv.motus itaqj nerui partialis incipit in pundo nemi cois ambos
bus neruis opticis ambo$e oculoru, in quo eft uirtus animae ientietis & mouentis,& qm
illa uirtus eft indiuifibilis & uniformis 3t principiu,quo primo mouet eft corpus natu*
rale iecundu lui forma naturale indiuifibilejpalam q> mouendo unum oculu mouet & al
terum,nec enim eft maior ratio qua unum oculu moueat.cp qua alterujuno itaqj oculo
moto, ambo oculi mouentur,& unus conformiter alteri mouet ,ot ficut ab eodem pun-
do motus AmBbram indpjit^ficgd eundem terminum terminentur ambo motus,& ficut
ab uno indiuifibili incipiunt,ficad unum diuifibilem terminenter , palam eft ergo illud
qnod proponebatur . v

XXVII.

Duobus uifibus uno uiiibili direde oppoims , necefle eft duas figura*;
ri pyramides^quarum co munis bafis cft fuperficies rei uifar,& axis cuiusli*
bec tranfit per centru foraminis unese,& per centrum fui uifus.

Qm enint.ut patet per j 7.huij>, fitus partiu fuperficiei rei uifie peruenit ad iugficie
utriuicjj uilus, & in illa ffgnrat iecundu lineas ppediculares ab omnibus pundis luperfi
ciei rei uifie ad oculi illius fuperficiem.produdas,quarum omniu concurius lecundtmun
da fuarum incidentiu refpicit centrum oculi cuius fuperficiei incidit,&demum poit re
fradionem quaelibet illaru figurajyperuenit ad medium pundu nerui comunis,amba-
rum itaqj illaru formaro concurius nt in pundo medio nerui communis cui incidunt,
quia itaqj centra duorum milium iunt duo, palam, quia in uifionc eiuidem rei i duobus
oculis duce pyramides uifuales modo propofito figura ntur, Superficies enim rei ui*
fx iempcr eritbafis utriufcB pyramidis ab utroqj oculorum prodeuntis, propter, multi*
plicationem ibrmx cuiuslibet pundi luperficie» rei uifie aequaliter ad uiiiim,& axis cu*
i usi ibe t ea rum tranfi t per centra foraminis unex ad centrum ilii uilus. Sicut enim u /*
fibile direde opponitur uni uiliii,fic direde opponitur & alteri, ex hypothefi , & quoni-
am ambo urfiis aequaliter mouent ad aliquid uidendu.per prxmifiam patet, q> iemper in
uifione unius rei mediu pundu fuperficiei uilus oculi opponit medio pundo luperfici-
ei rei uifie, uel .ppinquo illi,medium aut pundu liiperffciei uifus uel oculi eft centru.iora
minis unex per 4.huius:forma ergo illius pundi medq fuperficiei rei uifie uel pundi p*
pinqui illi, per centru foraminis uneae penienit ad centru iirt uifus hoc eft ppofltiuh.

Duo

XIBER TERTTyS*,

6)

xxviir,

Duobus exiftentibus oculis unius rei,unam tantu forma accidit uidcn;

Quoniam enim ut prius pluries didu eftforina recepta in iltperficie glacialis per*
Cranfit coi pusglacialis,deinde extenditur per corpus fubtilc,quod eft in neruo optico,
&C uenit ad anterius cerebri, in quo eft fentiens ultimu,quod eft uirtus fenfiti'ua,compre-
hendcns fenfibifia.cuius uirturis oculus eft inftrumentum recipiens formas reru,& red-
dens eas ultimo lcntienti' ftc quod apud neruum comunem ambobus ocuIis,cuius ner*
ui fitus & duobuj oculis eft fi tus confimilis,demum completur uifio, licet ergo duae for-
mae perueniantin duobus oculis ab una re uifa,illx tamen fbrtnx ambx quando pcrue*
niunt ad neiuu comunem,concurrunt 6i fiunt una forma,& per unionem haru forma*
rum comprehendit ultimu fentiens formam rei uifx,& fic unius rei tantu unam forma
acciditutderi,nififorteperaliquam occafionem interuenientem acckfit formas duo*
bus oculis acceptas non uniri ,eo quod non concurrunt in unionem amborum nerupru
opticorum, tunc enim duas formas accidit uideri,ut cum afpicies matauerit fitat unius
oculi ad anterius,& alius oculus fuerit immotustquando uero nullus fitus duorum ocii
Iorum fiierit naturalis.tunc quia fitus ipibrit ab una reuiia eft fitus confimilis , peruene,
rit forma ab una re uifa in duo loca confimilis fitus , 8i cum fitus unius oculorum fuerit'
declinans, tunc diuerlatur fitus oculorum ab illa re uifa,& fic perueniuntduxfbrmxil
lius rei uifae diuerfi fitus , fed hoc non ineft uifiii naturaliter,(ed folum per uiolentiam,
quam facit uoluntas uel naturalis debilitas confpetudini naturx : quando itac£ fitus o*
culonim fuerit naturalis,tunc femper ambobus uifibus unius rei unam formam accidit
uideri,quodeftpropofitum. Dux ergo formae uifi pundi infiguntur in duobus me-
di]’s duarum fagficierum ambora uifuum , di quilibet pundus alius formxuifie infige*
tur in duobus locis confimilis politionis in duobus uifibus. Deinde duae formae uifxg*
ucniunt ad concauitatcm communis nerui,&; perueniuntduae formae quae funt inpun*
do,quod eft in duobus axibus illarum duarum pyramidum radialiurnfocundu quas fit
uifio ad pundum.quod eft in communi axe,8i efficiuntur una forma, di qualibet dux
forma; qua: funt in duobus pundis confimilispofitionis a duobus uifibus peruenient ad
idem pundum pandorum circunftantium,pundum qui eft in axe communi , fic ergo
dux formae totius rei uifa: fuperponuntur fibi di efficiuntur una format fic utfum com
prehenditur unum . XXIX.

Omnem pundum forma: incidente fuperftciebus uifuum per axes radia
les a.d centrum foraminis girationis nerui concaui contingere eft neceiTe.

Quoniam enim quxltbet axium tranfit per centru foraminis unex ad centrum u U
fiis.utpatetper z7.huius,ergo&!pertranfitcentnimipfius fphxrxunex per 8. huius,
omnis uero linea reda produda inter centrum ocnli , di qn ex centrum circuli fediois
uncx,&: medium pundum concaui tatis nerui neceflario penetrabit per 5», huius , pala
ergo cu perpendicularis femper maneat inconfrada per 47. fecundi huius.quod omne
pundum formx incidentem fuperfleiebus uifuu per axes radiales ad centrum giratiois
nerui communis pertingere eft necefle,ob hoc autem pundo diffunditur forma ad me*
dium pundum nerui communis,8c: quoniam medius pundus nerui comunis eft tantu
unus, palam quia axes ambornm uifuum in uno pundo nerui communis femper con*
curruntjpatet ergo propofitum,

XXX.

Si a terminis linias inter duo centra foraminum girationis neruorum co
cauorumprodudae duae lineae redae ad medium communis nerui produ*
cantur,neceife eft in conftituto triangulo angulos ad bafem aequales efle,
ex quo patet quod linia: illa: produda: funt aequales .

Sim duo centra foraminum girationis neruorum concauoru r&t, inter qua: pro*
ducaair linea r t, fitqj medius pundus nerui communis a , di conftituatur triangulus
r a t.dico quod angulus a r t eft xqualis angulo a t r,cum enim politio duorum neruoa*

q 3 inrefpedu

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

in rcfpedu coftcauitatisnerui communis fit pofitio confimilis,quia concauitatis notui
unius eft omnino fimilis concauitati alterius per 4. huius , ergo et mediumcoricaui-
j\ tatis unius eft ftmile medio concauitatis alterius, unde axis nem i unius x-

A qualis eft axi ner ui alterius,fed per eandem 4.huius, pofitio duorum ner*
uop* in refpedu duorum foraminum eft pofitio confimilis,in quorum ner
uorum medio fuerint lineae rq&taut axes.palam ergo quoniam pofitio
duarum linearum r a 8i t a apud lineam r t eft pofitio confimilis , hoc aute
eft impoflibiIe,nifi anguli art&atr fint xquales,quoniam ad inxqualita
tem lftorum angulorum (equitur inaequalitas politionis medi} axis ipfofe
neruorum concauorum,&ex confequenti ipforum ncruorum , funt ergo
. illi anguli ad bafem aequales , ergo per 6. primi linea: illae produdx lunt
^ T teqiialesjfcilicet linia a r lineae a t,patet ergo propofitum.

XXXI.

V no pun&o rei uifc fuperficiebus amboru uifuu perpendiculariter inci
dente, necefle eft axes radiales in centris foraminum girationis neruorum
concauorum angulariter refrangi .

Quoniam enim ut patet per z7.huius,quxlibet illorum axium pertranfit centmm
foraminis une* & centrum oculi, motus autem cuiuslibet oculorum fit in centro fora-
minis girationis nerui optici,patet quoniam fecundum motu oculorum uariantur axes
illi radiales.in quibus funtfemper idem femidiametri oculorum , qui fcilicet ab ipforii
centris ad centra foraminum une* protenduntur, partes aut fuperiores illorum axium
^ quibus a centris foraminum girationis neruorum concauorum formae g-

ueniunt ad pundum medium nerui communis,femper manent fecunda
modum unum , cu itacp ali* partes illoru axium femper fint immobiles,
& alrj femper mobiIes,qim per ipfas unus pondus uiaet, patet per prima
undecimi,quoniam illae line* non ftint linea una, utpotefi forma ptmdi
b, uideatur fecundum ambos axes b r & t r,& ficut fadum eft in pr*m if*
fa,ducanturline*r a&ta, ad medium pundum nerui communis qui fic
'Ta, patet per primam undecimfquoniam line* b r & r a, no ftint linea una,
eius enim partem in (ublimi,partem in plano accideret efle , quod eft im-
poflibile,patetergo quoniam angulariter coiunguntur, quod eft propoli
tum»& licet axes prxmiflo modo refringatur, formatio tamen pyramidu
uiftialium fit ac fi axes integri ad uerticem p eruenirenqnecg accidit uiftii
aliqua diuerfitas ex illo .

B XXXII.

Necefte eft axes pyramidum uifualiumamborumuifuum tranfeuntes
per centra foraminum une* femper coniungi in uno punefto fuperficiei rei
uif* etiam motis uifibus per fuperficiem rei uifte.

Cum enim uidens intuebitur aliquam rem uifam,tunc utercg uifus erit in oppofi
tione illius rei uifx per fecundam huius,$<: uti acp pupillarum dirigetur ad illum uiftim
diredione *quali propter uifuum xqualitatem per 4.huius. Sint ergo duo centra duo
rum uifuum e & g,& fit medius pundus nerui communis pudus a, a fuperficies rei ui-
K* b c d f,qux fit exepli caufa xquediftanslinex,centra uifuum conuertenti qu* fit c g
palam ergo quoniam i cetris uifuum perpendiculares ftiper ipfam ftiperficiem bedf,
produd* ftint xquediftantes per 6, undecimfqux fint c q & g x. In hac itacp fuperffcie
bed f fignetur pundus qui fit u,dico quod propter xqualitatem amborum oculorum
in omnibus fuis difpofitionibus fi alter uilus fuerit motus ad uidendum piindu u,fta«
tim etiam reliquus mouebitur ad uidendum idem pundum u,itaq$ a‘xes ambarum py-
ramidum iiifualiu tranfeuntes per centra foraminum une* coniunguntur in pudo u,
una ipfarum ibi pertingenre.Si enim una illarum axium incidet inpundo u, alia in*
ddft ip, alio pundo, fit illud pudumz,erunt<£ duoaxes e u & g z .inter quora terminos

linea

LIBER. TERTI VS» 6 <$,

liiica z u producatur, & quoniam axes fic protenfi • i duobus uifibus non concurrunt in
aliquo punctorum linea: z u,ficut nec# Concurrunt (i fuper perpediculares lineas, aure
fiint e q 8i g x,fiat uifio, palam quod nullum pundorum lines z u , uidebitur ambobus
uifibus,ied tantum uno, alter ergo oculoru mouetur fuperflue,cum unus oculorum fecu
dum lui axem omia punda lines z u,poflic interceptiliter tranfeurrere; coftituic aut na
tura duos oculos propter perfedionem bonitatis uifiois et com
plemetum eius, ut ipforum uirtus unica fit fortior , ut patet per
4.hutus,Si ergo axes uiiuales non concurrant in aliud pudum
unum lines z u,fequitur uel naturam fuperfluere,uel ipfam mo
do debiliori quo poteft operari, quorum utere# eft impoflibile.

Natura enim nihil agit fruftra,nec deffeit in neceflanjs,ut patet
per fuppofitione,accidit autem hoc impoflibile fi axes folum in
cidant aiuerfis pundis ftiperficiei uifibilis , impoflibile aut nun-
quam accideret , fi incidant in illud pundum , palam it ac# quo*
niam in illud pundum incidere axis pyramidum amborumui
litum femper eft necefle, quoniam operatio amboru uifuum eft
uniformis,cum fgitttr uifus fuerit motus fuper rem uifam,tunc
utere# uifus mouebitur fuper illud, & axes cogregati in uno pun
do ftiperficiei rei u(fs, moto uno ambo mouebutur fimul ad ali
udunum pundum fuper iuperficiem illius rei uifs,ambo enim
oculi funt squales in omnibus fuisdifpofitionibus,SC eft ambo*
bus oculis unus neruus communis,& quoniam motus oculoru
procedit ab una uirtute, necefle eft uirtutem motam per uni*
tatem nenu' procedere, hoc ergo moto uno oculo ambos oculos
mouebit , ut patet per z6. huius, adio itaq? Si paflto oculorum B
femper eft squalis 8Cconfimilis,8i fi alter uifuum motus fuerit
ad aliquid indendum , ftatim alter mouebitur ad hoc idem ui-
dendum illo eodem motu,& fi alter uifitu quiefeat reliquus qui-
efcet. Impoflibile eft enim alterum uifuum moueri,&: alteru qui
efccre.nill alter fuerit impeditus , ut patet per 2 6, huius, Si ficut
etiam declaratum eft per 1 8 .huius, fiiperficiem rei uifs iemper erit bafis utriufcg pyra-
midis ab utroqj oculorum prodeuntis, quoniam tunc pofitio pundi in quo ambo axes
funt coniundi eft pofitio confimtlis,quia eft oppofitus duobus medqs amborum uifuS,
palam ergo propofitum,dicemns'c# pundum concurfus amborum axium in fuperficie
rei uifs pundum qoniundionis ,

XXXIII.

Si i pundo medio ncrui communis ad medium lineae connedentis
centra foraminum girationis neruorumconcauorum linea reda produca*
tur, necefle eft produdam fuper diuifam perpendicularem efFe, Si eam puii
douifo cum axibus incidentetrigonumab axibus Kdiuifa linea conten-
tum per xqualia diuidere .

Quod hic proponitur patet per prsmiflam & per 3 1. primi huius, ut autem parti-
cularius demonftretur,fint omia difpofita ut in 3 o.huius,od fit linea r qdiuifa per squa*
lia in putido s,f?t'c# uifibile aliquod oppofitum ambobus uifibus qd fit b t,in cuius pun
do medio, quod fit b,concurrant per prscedentem ipfi axes radiales,qus fint r b & tb,
6i producatur i pundo a, quod eft medius pundus concauitatis nerui ad pundum fci*
licet linea as, dico quod linea a s,cft perpendicularis fuper lineam rt, quoniam enim
angulus arteftsqualis angulo a tr, per 3 o. huius, & linea a r eft aequalis lines at. Sed
linea a s,eft squalis fibi ipfi,ergo per 8 .primi,trigona a r s & a t s,ftmt squ i angula,an»
gulusergo ast eft squalis angulo asr,ergo per difFinitionem perpendicularis linea
a s eft perpendicularis fuper lineam r t, producatur item linea a s, ufep ad pundum con

iundionis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
fundionis amborum axium, quod fit pudum b, dico quod linea s b,diuidit per aqtialia
trigonum r b r,fioc autem patet cx pramiflis # ex 3 .& 4.primi,erit enim trigonum par
ciales r b aequale trigono partiali s b t, patet ergo propoutum , # ex hoc patet , quonia
A. tota linea ab.cuiustp puncto uifb incidit , utcuncg tranfmu ta-

tis axibus, non mutatur fed fcmper in medio eorum confiftit,
poflumus ergo illam nominare axem commumem , quia fem*
per ducitur aequaliter ad pundum coniundionis amboru axiu
in fuperficie rei tiiice i pundo, qui eft in medio concauitatis ner
u/,in quo dux linea? extenfa in duobus medijs concauitatu ner
uorum duorum fe intericcant , hic uero pundus fem per eft u*
nus non tranfmutabilis,# pundus etiam s,femper eft unus non
tranfmutabilisperqucm femper tranfit hac linea a b , eft ergo
di ipfa iemper intranfinutabilis, licet alij axes tranfmutentur
quandocg ab ipio communi axe,

XXXIIII,

Axe communi cum axibus radialibus pundo rei uifte incidente lineam
copulantem centra foraminum girationis neruorum concauorum,# lineas
ab his centris cludas ad nerui communis medium # axem communem am
bostp axes radiales in eadem fuperficie confiftcre eft necefte.

Sit difpofitio qua in proxima, dico §d linea r t,Si duas lineas r a & t a ,Si axem com -
munem qui efta b,# duas axes radiales fcilicct rb Si tb,in eadem iemper fuperficie co
fiftere oportet,duo enim axes tb#r b,tranieuntpcr centra r Si t,per Z5>,huius,tranfeut
enim per centra foraminum girationis duorum neruorum concauorum, # quia in pun
do coniundionis concurrunt cum axe communi , ex hypothefi , neceflario erunt cum
axe communi in eadem iup er ficie per fecundam undecimi ,fed & linea r t,conedens cen
tra foraminum girationis neruo^ifecat has duas axes radiales in pundis r & t, & axem
communem in pundo s, lineae quoqj r a Si t a,fecant lineas r t & a b,in pudis in quibus
cum ipfis concurrunt,# quia omnes hae line* funt reda, palam per primam undecim/,
quoniam quaelibet ipfarum eft in una fuperficie,patet ergo per fccundu undecimi,quo*
niam omnes firnt in eadem fuperficie,# hoc eft propofitum,
xxxv,

Necefte eft axes radiales cum axe communi concurrentes in pudo cuius
diftantia a uifu fit multiplex linea: connedenti centra oculorum fecundum
fui partes mteriacentes pundum coniundionis , 8C fuperficies ipforum ui*
fuu aequales effe, fupcrficiebusq$ amboru uifuui nec no fuperficiei anteriori
ipfius uitreae aequaliter incidere,# fecundum angulos aequales.

Sint item ut in tricefima huius duo centra duorum foraminum girationis nemo-
rum concauorum r Si t, quoniam ergo oculus mouetur fecundu totu non fecundum par
tem,ut patet per z j- .huius, palam quoniam punda r Si t,ftint pofteriora oculo, ffgereti
tur ergo duo oculi quafi contingentes pijnda r Si t, circa centra o Si p. Si ab aliquo pun
do fuperficiei rei uifse quod fit b,procedant axes ad centra uifiium,# producatur ultra
ad ptmda r Si t, palam itacp quoniam axes r b & t b, tranfibunt totum uifum , tranfeat
ergo axis r b, fuperficiem anteriorem fui uifus in pundo n Si axis t b , tranfeat anterio*
rem fuperficiem fui uifus in pundo q, Si producatur linea n q, funt ergo punda q Si n,
punda illa fuperficierum uifus quibus infigitur forma pundi coniundionis axium
quod eft b,# quoniam axes r b & t b,funt aquales per pramiflam,dico quod partes a ,<*
xium qua funt bndihq, funt aquales,# quod incidunt u/iui fecundum angulos aqu d
les,cum eni linea r n Si t q,fintaquales,quia funt diameter aqualium oculorum aqua-
lieer S. pundis r Si t,diftantium,necefleeft fi illa ab aqualibus axibus abfcindatur,quod
refiduum fit aquale, erit ergo linea b n aqualis linea b q,# quoniam linea n q aquedi*

LIBER. TERTIVS, . 6$

ftat linea? r t, per fecundam lexti,ideo quoniam latera t b Si rb, proportionaliter diuis?
duntur per lineam n q,ergo per 29.primi,erit angulus b nqxqua-
lis angulo b q n, angulus enim b r t «qualis eft angulo b t r , quonia
linea bs diuidit trigonum r t b per «qualia Si balem eius r t, ut pa-
ter gprxmiflam,patetergo quonia axes radiales fuperffciebus ut / \

fuum «qualiter incidunt & lecundu angulos «quales, & fi incidant / \

fuperficiebus uifuum taliter,uc per centra uiiuum tranfeant,palam / \

ergo quoniam orthogonales luntfuper fuperficies contingentes in / \

pundis n di q, incidunt ergo (liperficiebus uifuum «qualiter fccun / \

dum redos angulos incidentes,8<! propter hoe in omnium oculoru j. \
ordinatioe motu uel quiete lemper duo axes eius liint «quales, aut RJ c y

non elbin eis diiierfitas lenfibilis,qu« caulat aliquam diuerfitatem — • ~/\

uifionis,maxim« cum res uifa no fuerit ualde propinqua trifili', led ( \ \ ( L

cum diftantia eius a uilu fuerit mediocris, cum enim res uila ualde y i / ' V /

uifqi approximauerit,ita ut linea qu« eft interduo centra oculoje, ^
qu« funt o Si p, proportionum xqualitaris uel exteliis uel paru« di \ /

minutionishabueritadaxemradialem,tunceruntaxesfenfibiliter \ /

inxquales,& facient angulos inxquales:alias uero femperienfibili- \ /

terxqualesminq&conftituentangulosfenfibiliter «quales, quia \ /

propter unitatem uiliium,&!uniforme'recep donem formaru c^dli* \ /

bet pundum multiplicatur uniformiter ad utruncp oculB , propter \ /

quod etiam omnes line« «qualiter diftantes ab axibus faciunt an \ /

guIos«quales,&ipf« ornes fenfibiliter funt «quales, eode quocg \

modo demoftrari poteft,quia anguli qui per axes fiunt in ipia lu- \ /

perficie uitre« in qua fit refradio funt «quales, patet ergo ,p politu, \

Omnium linearum pyramidis radialis obliquam plus \ /

uicinarum axi refradio fit fecundum angulosjminores: re _ V

motioru uero fecundum angulos maiores:a?quaIiter uero 1 — — — — ^

diftantium fecundum angulosajquales.

Sit pyramis radialis cuius uertex a , & diameter ba fis quae per
1 8 .huius eft fuperficies rei uiCx fit b c d e f, axis uero d a,& lintlinex caSdca, Iine« ra*
diales obliqu« uicin« magis axi d a Si fint b a Si f a r emotiores , dico quod linea: c a Si
e a fecudum minorem angulum refringutur , Si linea:
b a &; f a, fecundum agulum maiorem . Intclligantur .A.

enim omnes ifte linex concurrere in pundo a,quod A

eft uertex pyramidis, fit infuperficie uitre« linea // \\

cui incidunt ilis Iine« ghikl, hxcergo linea erit re / / \\

da uel cuma circularis p er 1 3 . huius; fit primum re- j j \\

da, & incidit linea b a illi linea in putido g , & linea / / \\

c a in pundo h , Si linea d a axis in pundo i,& linea f \ \ \

ca in pundo k,& linea f a in pundo l,quia ergo an j L \ \

gulus g i a,eft redus per prxcedctem , palam per 3 z . — ~ — X^x"

primi,quodangulusghaeftobtufus,ergoper ip.pri / /K i \

nu, linea a gefi maior quim linea a h quia i pun* / / \ \

do a, exeunt dux linex a c& a b,qu« funt ad balem / f \ \

trianguliagi,quxeftghi,angulusergo ah i maior / / \ \

eft angulo agi, per 16. primi, quia ergo angulus ah i / f 1 \

cum angulo ch i , ualet duos redos per 1 3 . primf,& / / \

fimiliter angulus bg h c angulo a gh,’ualet duos re* / / \’

dos, palam quia angulus ch i minor eft angulo.bg i, b C j> k.

ergo

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
ergo^penufrima fecundi huius angulus refractionis I/near cheft minor angulo refra-
ctionis Ifnesbg, patet ergo quod linea ch reflectetur fecundum minorem angulum
quam linea g b,& iimiliter eft de lirnjs e k di f 1, & quia linea: aequaliter diftantes ab axe
a d.utfunt exempli canfa linis a c& a e, fecundum modum praemitium aquales angu-
los faciunt in fuperfide uitrex , qui funt c h i 8i c k i, patet per penultimam fecundi nu-
ius, quoniam anguli refractionis flint ecquales , patet ergo propofitum , quoniam linea
g h i k l.fit linea circularis, erit eodem modo demonftrandum per j-o.fecundi huius,
XXXVII*

Omnes formae punitorum aequaliter circunftantium puncta qusefu*
perficiebus uifuum intidunt,fecundumaxesradiales ad puncta aequaliter
circunftantia medium punctum nerui communis iimiliter contingunt.

Difponantur omnia alia ut in 3 y. huius, figneairtp in fuperfide oculi cuius cen-
trum eft punctum o, ex utracp parte puncti etiam duo puncta u & x ,& in fuperficiqo*
culi cuius centrum eft punctum p,fignentur ex utraqj parte pueti ci, duo puncta y Si z,
iitiqt fu per fides rei uifs oppofita uifibus , in qua fit linea
recta, qua: g b c,cuius punctus medius fit b,& extremi pun
ctigfk c,incida ntcy axes radiales qui funt r b di t b , cu axe
communi qui fit a b,ipfi puncto b, qui fit punctus coniun-
ctionis omniu trium axium , procrahaturq; i punctis u &
x,fiiperffctef uifus cuius centrum eft o, ad puncta g & c,fus
perneiei rei uifs dux line* rects.qus fint u g 8t x c ,& 3 pu-
ctis y & z,fuperficici uifiis cuius centrum eft protrahan-
tur linea: z c & y g , dico quod formae puetorum fliperficiei
rei uifs quxfimt g & c , quae in fugficie oculi o incidunt in
punctis u & x,in fuperfide oculi p in punctis y & z, no per
ueniunt ad medium punctum nerui communis quod eft a ,
fedcircunftant ipfom punctum a, fimihsdifpofitionisut
puncta c g.difppflta flint ad punctum b, in ipla fuperfi*
cie rei tufae taliter, ut puetus quf eft dexter,ad punctum h,
qui eft punctus coniunctionis axium in fuperfide rei uifie
fir dexter pertingens ad punctum a finffter ipfi piincto
bjfiatfinifteripfipucto a,&ficdealijsdifiereti]s pofitfonu,
qd eft furfutn ad puetu b (it furfum ad puetu a A q3 eft de*
orfum punctu b, deorfum fiat ad punctu a , producatur em
iruitrocp oailorum linea 1 m , recta uel curua , diftinguens
fuperRcic uitrear i fuperfide glacialis, & hsc linea fiue re-
cta fuerit fiue curua,quorum alterum eftneccflarium p Z3.
huius, femper tamen anguli incidenti* erunt squales per
3 5-. huius, qm & cade de illis eft demonftratio , Sed 8t angu
li refractionis fiunt squales per pvsmftiam , 8i ideo quia
propter conformitatem uifuum & squalem diftantia pun
ctorum g&c,a puncto b,ex hy pothefi , fequftur trigona y
gu 8ixc z,efle squiangula, anguli ergo g p u & c x z.funt .
squales, fed St figurs oculorum funt penitus fimiles, et dia
fonitas eft conformis, fiat ergo linearum cxetgy.infu*
perfide refractionis conformis refractio , & Iimiliter linea
rumgu&!cz,fiet conformis refractio di fecundum angu*
los squales , quilibet ergo ipfarum refringitur squaliter i
perpendiculari , fit ergo ut linea t x refringatur ad punctu
ft 8i linea g u ad punctu h, qus funt puncta foraminisgirationis termini circa punctu
x, linea uero g y refringitur ad punctum l,di linea c z ad e , puetum alterius foraminis,
quod eft circa punctum tA quoniam omnia puncta formarum fccundu lineas rectos
■ 1 bre-

LIBER TERTIVS. 66

bruiffimas refringuntur 5 perpendiculari n r.palam quia non concurrunt cum illa , fed
divede difFundcntesfead punda nerui communis fimilem litum &difpofitionem rcci
piunt cis qua; habent in fuperficie rei uifa,qua eft bafls pyramidis uifionis , linea ergo
x f, qua: uenit a pundo c,rei uifa refrangitur ad aliquod pundum nerui, aliud i pudo
aquod fit d,& linea uh quae uenit i pundo g, rei u/fa,refringirur ad pundum aliud a
pundo a quod fit k,& quoniam unius difpofitionis funt ambo uifus,S.' oculoru diftan-
tia eft res modica,ut pacet per 4.1iuius,& line* ad talia punda produda i uifibus am-
bobus funt aquales, 8i anguli incidentia funt aquales per 3 y. huius, anguli quoqj refra
dionis funt aquales per prami(lam,palam quia linea u 1,qua eft forma pundi g,rcfrin
getur ad pundum k m,quo cecidit forma eiufdem pundi g, ueniens per lineam u h , 1 ia
nea quocg z c,qua eft forma pundi c .refringetur ad pundum d,in quo cadet eadem
forma pundi c, ueniens per lineam x f. fimiliter quoq? demonftrandum de quibuslibet
duobus pundis ftiperficierei uifa , aqualiter diftantibus i pundo coniundionis quod
cftb. Omnes ergo forma pundorumrei uifa aqualiter circunftantium.punda qua
ftjperficiebus uifiium incidunt fecundum axes radiales ad punda aqualiter circunftan
tia medium pundum nem/ communis fimiliter pertingunt, & {eruatur figura & difpoa
fitio totius fuperficiei rei uifa in partibus fuis , Si in remotione i pundo quod eft in
axe fecundum modum diftantia& declinationis ptmdorum,quorum -forma illic reci-
piuntur i pundo coniundionis in ftiperficierei uifa fecundum difpofitionem angulo-
rum refradionis in ftiperficie rei uitrea , 8 i dua forma qua infiguntur in duobus pun-
dis confimilis pofitionis apud ftiperficies duomm uiftium,perueniunt ad illum eundem
pundum concauitatis nerui comunis,8t! ftiperponuntur libi in illo pundo ,Si erunt una
formadinea quocp obliqua fuperffciebus uifiium incidentes,qua in fuperficieipfius ui=s
ftis refringuntur, ad eandem ordinatione forma pofliint perucnire, patet ergo ,ppo fitu.
xxxviii.

Nccefle eft: ambos axes radiales cum axe comuni concurrentes in fuper**
ficiereiuifte cum linea aquediftante linea connetflenti centra oculoru uel
cum totali fuperficie aquales hinc & inde angulos continere.

Sunt enim ambo oculi aqualis difpofitionis per 4.huius,patet etiam fenfui quod
funt diftantia modica ab inuicem, &i axis fetng in quolibet oculo una tantu linea tran
fiens per centrum foraminis unea Si centra omnium tunicarum ad centrum foraminis'
girationisnerui concaui pertingens,ut patet per ip.huiusifitcr^
go ut linea b f c aquediftat linea eg, connedenti centra oculo-
rum c&g,(it'cg medius pudus nerui communis qui a. Si fit ut for
ma pundi fuperficiei rei uifa quod fit fjper axes f e 8if g,perue*
niat ad centra oculoru quafunteg,connexa per lineam eg, per*
tingatcn ad pundum a , quod fit pundus medius nerui commiis
nis, Si fit axis communis qui a f, incidens ftiperfic/ei rei uifa in pu
do fecundum angulos redos,quoniam ftiperficies in quaftmt
omnes afiignata linea axium Si puda per 34, huius, ereda eft fti
per fuperficiem rei uifa,& axis communis inciditdirede per 33.
huius, Si per 29. primi, quoniam linea connedens centra oculoru
linea r t,connedcnti centra foraminum girationis nerui conca*
ui eft aquediftans,ergo Si linea uel ftiperficiei illi aquediftanti g
30. primi, quia ergo per 3 3 .huius, angulus a f e eft aqualis angu
lo a f g,erit ergo refiduum duorum redorum contentoru ab axe
8i linea b c , qua eft communis fedio rei uiia,&! iuper ficiei axium
inter fc hinc inde aquale, axes ergo radiales incidut fugflciei rei ui
fa fccundu angulos aquales, Si hoc eft propofitu, quoniam angulus e f b fit aqualis an
gulo gf c. xxxix.

A puncto coniundtionis lineam zequediftantem linea* connetftenti cenc
na oculorum in fuperficie rei uifa: illi a:quedi(bmte protrahere.

r % Sint

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
Sint centra duorum oculorum punda c & g, ducatur linea e g,fit'q$ fuperffdeb
tei uife bcdf, £ cuius pundo dato quod fit a, linea squsdiftans lines e g, debeat pro-
duci,diuidatur ltacp linea e g, per squalfa in pundo r , g
io.primi,&4 pundo a ad pundum r ducatur linea ar,
ducantur lines ea & g a, qua» fint axes uifuales concur*
renteS in pundo a, fupcrficiei rei uife , patet ergo, quo*
niam axis e a squalis eft axi g a , per 3 y. huius, di linea
e r eft squalis lines g r ,& linea r a communis : erit ergo
per 8 .huius primi,angulus e r a squalis angulo g r a, 8i
ambo eredi,erit ergo linea a r perpendicularis niper li-
neam e g, per diffinitionem line* perpendicularis , & I
centris uifuum e& g ducantur squediftantcs lines r a ,
per 3 1. primi, qus fint lines e z&gy,hs ergo inter fe
funt squales di squediftantcs per 2y.primi huius, & funt
in eadem fliperficie perprimam primi huius, &quiaco-
munisfedio huius fiiper fidei &fuperficici rei uife tranfit per pundum a eft per 3 3 .
primi squcdiftans lines e g, palam quod ipfa linea z a y,eft linea qus qusritur , eft er*
go fadum id quod proponebatur.

XL.

% G

Omnes line» produ<ffce ab ambobus uifibus ad idem pundum line»
cum ambobus axibus pyramidum radialium angulos redos facientis ne*
ceflario funt icquales.

Verbi gratia fint ut ftipra in proxima prscedente centra duorum uifuum punda e
& g, & f uperficiei rei uif» fint b c d f , in cuius pundo a concurrant axes e a & g a, di a
pundo a.adutrancg partem producatur linea una qusfitrau,redos angulos contis»
nens cum utracf} axium,producantur'cp i centris tiihium lines e u,g u,e z,g z.dico qcf
lines eu di g u,funt squales inter fe,& lines e z &gz, squales inter fe, quoniam enim
axes iuluum squales (unt per 3 y.huius, palam quod axis c a eft squalis axi g a , di an-
gulus e au squalis angulo g au, quoniam utercg ipfonimeft redusex hypothe(i:led
linea a u, linea eft communis in triangulis eau di g au, erit ergo per 4.primibafis eu
squalis bafi g u, di fim/litcr critbafis e z squalis
bafi g z , di eodem modo in pundis omnibus lis
nes z u, accidit , palam ergo eft quod proponi-
tur. Poteft et hsc aliter demonftrari, ducat enim
a pundo a,fuperficiei rei uife, in quo concurrunt
axes, linea squediftas lines e g,qus eft inter duo
centra oculorum per prscedentem,qus fitlinea
k J,er it'cg illa linea k l,in ffiperficie rei uife , ducas
turquocg linea z a.perpcndicularis fuper lineam
k l,per 1 z. primi, et tunc ducatur i pudo a, linea
orthogonaliter fuper lineam e g,qus fit linea a r,
lines e g per squalia in pudo r,per 3 1 .primi hu
ius,etex 3 y.huius,et ex y. primi, qm em axes ea
8>i g a, funt squales,erut anguli ad balem squa<
les,et linea r a comunis ambob? trigonis e a r,an
gulfcpad pudu r (lint squales, qa eredi,erit ergo g 3 z.primi,8<! p 4.fexti,linca e r squa
1 is lines r g,producatur'cg linea r z, erit ergo per 29. primi linea r a perpendicularis lug
lineam k a 1,8£ qm per 3 4,huius Unes e a,g a di r a funt in eadem fuperficfe,& linea z a
eft perpendicularis lug lineas e a & g a,ut patet ex hypothefi,ergo per 4.undecimi linea
z a eft p cr pendicularis ereda fuper illam (uperficie in qua funt lines e a ,g a,r a ,ergo &
fuper lineam r a. Item per 4, undecim» linea' k a erit perpendicularis fuper fuperficierz

a, erit

LIBER TERTI V$, 67

a, erit ergo per 8. undecimi linea er perpendicularis fuper cande fuperfleie rza exdiffj
nitione,ergo linea; ercda?inper fuperffcie erit linea er perpendicularis fuper linearz,
cja ergo duoje trianguloR? e r z Sigrz anguli funt a:quales,qa eredi, & linea e r arqlis
eft linea: r g,& latus r z comune erit per 4. primi, linea e z arqualis linea: g z,8i eode mo
cfo de quolibet aliorum pundorum lineae zudemonftrandu, patet ergo .ppofitum,
XLI.

OmneslinearprodudxabambobusuilibuSjadidem puntftu lineae cu
ambobus axibus angulos obliquos facientis,neceiTario funt inaequales .

Sitomnimoda difpofltio utfiipra in prsccdentc.Dico omnes lineae ab ambobus ui
(ibus ad idem pundu extra lineam u z,qua: iola cum ambobus axibus facit redos, lemp
funt ina:quales,figncntur enim in lineam k I ut oportet ,iecante lineam u z duo ponda
& pundo a.prout placuerit, diftantia qua: fuit m Si n,8d ducantur linea: em&c n,dico q»
linea: e m&gm funt fna:quales,&! linea: cn&!gninarqnales: ducatur enim i pundo r
ad pundu m linea qua: fit r m.qmergoangulus er a eft redas, ut patuit in pramifla,
paIam,quiaangu!usermeftminorredo,anguIusergo grmcft maior redo per 13.
primi .In triangulis ergo gr m Si e r m latus r m eft commune,& linea e r tequal/s eft li*
nca: g r,& angulus g m maior angulo e r m.ergo per Z4. primi erit latus g m longius la
tere cm;& fimiliter eft de Omnibus alijs pundis extra lineam u zargumentandu , pacet
ergo ppofitum.Ifta tamen inaequalitas illarum linea jt; minus eft ienfibilis,cum punda
declinationisfuerintpropinqua pundo coniudionis ,

XLII*

Omnes linea: ad punda sequediftantia punefto coniuneftionis axium in
linea cum ambobus axibus angulos obliquos faciente,ab alterius uifibus ,p
du(fhc,necefTariofunta:quales,&;cquaIes cu illis lineis angulos cociiienccs.

Sit omnis difpofitioucfupra in duabus praemiffis,&: fintm&n,punda in linea kl,
angulos obliquos faciente cum ambobus axibus aequaliter diftantia a pundo a , qd‘ fic
pundu contundiois axium, ita qd" linea m a fit arqualis a n.Dico cj> protradar lineae ab
alterius uifibus utenSCgm&emSign funt aequales : cu enim axis e a eft aequalis axi
g a per 3 y. huius, & angulus incidentia: axis e a, qui eft: angulus e a m,a?qualis eft angu-
lo incidentia; axis g a,qui eft angulus g a 11,1'deo quia anguli ram&ran funt redi , an
guli quoqs r a e & r a g ftmt xquales,ut haec patent ex prardemonftra tis in pra:m ifiis du
abus ,ppotitionibus,iemanent ergo anguli e a m & g a n a:quales:fed Si axes e a Si ga
funt aquales, & linea m a aequalis eft lines n a ex hypothefi,erit ergo linea g n aequalis
linea: e m per 4,primi,& angulus g n a xqualis angulo e m a, ergo in triangulis qitoqj
emn&gnm per eandem q.prtmibafis e m arqualis eft bafign. Et fimiliter demoftra*
ri poteft in omnibus alijs pundis fimilibus.Iinea: enim gb Si e f,g f & e b,Si g k8i e I, g
I & e k,g c & e d,g d&l e c omnes ut fic nominantur, & ut ab alternis uifibus ad punda
aequaliter i pundo a diftantia producuntur,neceflario funt aequales, patet ergo propo
ficum, quocuncg etiam alijs lineis modo fimili produdis.

XLIII.

Secundum omnes lineas pyramidis radialis formaru fit certa coprelisn*
fio a uifu, magis autem fecundum lineas axi uiciniores,& maxime per axem
centrum foraminis uneae tranfeuntem .

Solus enim huius axis extendit fecundu reditudinem qtioufq? perueniat ad loca g i*
rationis concaui nerui ,& omnes alia: lineae obliquantur, ut patet per z4.huius;forma er
go rei uife oppofitx medio fuperficiei uifiis,peruenit ad glaciale Si uitreum fecundir ex
tenfionem u(cp ad locum girationis nerui concauftforma: uero qua? uen/unt fecundu li'
neas alias obliquantur,& quia difpofitio formare obliquata^ no eft fient difpoficio for»
maruextenfaiii rede,qm obliquatio neceffario ipfas alterat aliqua altera tioe in cerritis
dine comprchenfionisipundus ergo formae perueniens ad loeu girationis concaui ner

r 3 ui/.y.it

PERSPECTIVAS VITELLIONIS
ut, qui extenditur (ecundu reditudine axis, eft magis uerifieatiis omnibus pundis for*
marum,& quia obliquatio linear u uicinapf axi eft minor ,& remotior* maior, eo q> an*
guli qui fiunt ex lineis fuper quas ueniunt forms,& ex gpendicularibus fiiper axem
dudis in fupcrficie obliquationis Iincaru uicinaft: axi,funt acutiores, & remotio?- mi*
nus acutfiut patet per 3 6 . huius:formte uero.quaru obliquatio eft minor,magis manife
itantur, qj forma; quaru obliquatio eft maionpundus ergo,qui eft fuper axem,perueni
ens ad locum girationis nerui concaui,eft manifeftior omnibus alrjs pundis, 5i certio*
ris comprchenfiois,& qcP eft propinquius illi,eft manifeftius remotiore ab ilIo:& fimili
ter eft de forma perueniente in neruum comunem,ex quo comprehedit uirtus fenfitiua ■
formas rerum,patet ergo propofitum,

X L 1 1 1 1 «

Pundo confun<ftionisinaxecomuniexiftente,certifIimaHtui(io,pro*
pfnque uero illi axi ad harc certa, remotius liero minus certa.

Sic linea connedens centra foraminu unea: qute ab,& fitlinea ce axis comunis,pu*
dus quoqr coniundionis in ipfa linea c e fit d,in quo cocurrant axes a d & b d,& fit me*
dius pundus concauitatis nerui comunis pundu h . Dico 9 puti-
do d exiftente in linea ce.tunc certiflima fit uifiotformar enim uifie
peruenientes ad fiiperficie iufus,funt tunc magis cofimiles,eo 9 a*
xibus cadentibus in centra foraminu uneae,qua* funt fignata g pun
da a di b, forma: pandor* circumftanti il pundu d diftinde,&confi
militer incidunt circa illa ccntr a,& qm axis comunis qui eft e c ditii
ditlineam a b per a:qualia in pundo c per 3 3 .huius,6C per 29 . pri*
mfidco quia linea concdens. centra foraminum unea:,eft tequedi*
ftans linea: r t,conedenti centra foraminu girationis neruoru con
cauoru,ut patet ex prxmiflis,8C per 4.huius:unde per 3 1 .huius pa*
tet,q> linea, h e per aequalia diuidit linea a b,& eft perpendicularis lu
per illam >eft ergo palam per 4.primi,qm axis a d eft aequalis axi b
d,& angulus d a c squalis angulo d b c,(ed per 3 o .huius anguli h a
c& h b c funt a:quales,& qra axis comunis,qui eft e c , pertingit ad
h pundu mediu cocauitatis nerui comunis, ad qcP forma- a pfrdis
•a&b diffundunt :palam per 26.primi,qmangulicha&; chb fimt
aquales.Idem quoc$ accidit in omnibus pundisquibus incidunt Ii
nete radiales ipfis axibus a d &i b d ,ppinque,qua: fimt a-quales quafi
ad ienfiim,ut patet per 4o.huius;hte enim linea- radiales quafi a-qua
liter incidunt pundis aqualibus fiiperficiei nerui comunis per 37.
huius. Forma itaqj pundop- taliter uiforu fimt magis cofimiles, un
de fit tunc uifio certior.Sed cu pundus coniundionis foerit modi-
cu extra comune axcm,uc in pundo f ,fiue remotio illa fit ad parce
finiftra uel dexrram,fiu fum uel deorfiim,fiue ad alias utcuncp , tunc
ad haredua: forma: qua: infigunt duobus uifibus, non multum ha*
bent diuerfita tis:unde pundu fonnar.ciu duo axes infiguntur ipfi
pundo h,medio.fipundo cocauitatis nerui incidente,refidua pun*
da forma: rei uifae per lineas radiales uicinas axibus ipfis uifibus in
cidentes,inconcauitate nerui comunis circa pundu h uniuntur non tame fircunduper
fcdlionem priorisdiipofitionis:uideturitacg&tuncrescertauifione,non tn in gradu
certitudinis priorisjeum uero coniundionis pundus fuerit remota extra communem
axem,quieft:c e, ut in pundo g,ad quacuncp differentiam politionis ha:c contingat, tud
ad lia?c pundus rei uifie,in quo duo axes concurrut, infigetur ipfi pundoh. Sed formar
fefiduo/* pundoru illius rei uifie infixa: in circuitu pundi h,non recipient difpofitionS
prioribus duabus fimilem,necp erit illorum pundorum uifio bene uerificata,fedrema-
net minus certa ,patct ergo propofitum .

Omne

H

Omne uifum in punffo coniuncflionis duoru axium uiTuali um certius ul
detur, eo q? per radios axibus propinquos,S£fecundu remotione ab axibus
gradus certitudinis decrefcit,exc|uo patet, qp puncfta fugficiei rei tiiiac aequa
Iitcrdiftantiaapundoconiun&ionis,firniliteruirtuti uifiuae offerentur*

Quonta enim, ut patet per 43 .huius.fccundu omnes lineas cuiuslibet pyramidis ra-
dialis Iit certa coprehefio forma: uilibilis i ui(ii,magis aut fecundu lineas axi uidniores,
di maxime per axemcentru foraminis uncte tranfeuntem ;in pundo aut coniundionis'
concurrunt duo axes per 3 z.huius,palam ergp,cum uirtus duplicata fit fortior fui medi
etate,o> in pundo coniudionis certior fituiuo fecundu totam fiiperfidem rei uif%> quae
eft bafis ambam pyramidii uifionis,& fecundu proportione dupli ad duplu.qua: eftum*
pii ad fimplu, fecundu lineas nero radiales qua: fune propinque axibus fit minus cercani
lio cjj per axes,quonia forma: pundoiy peruenientes ad uirtutetii fenfitiuam , non perne
riiunt direde ad mediucomunisnerui,undenon fit adeo perfedude illis nidtctu.tltdc
formis peruenientibus per ipfos axes;fecundu remorione uero illatu lineaR- ab axibus
gradus certitudinis uifionis decrefciqqiua cum partes fuperficiei reiuifa: quibus axes
incidunt,& partes illis proxime manifeftius uideantur per 43 .huius fecundu partes re
motiores illius fuperficiei .quibus incidunt extrema: linea: longitudinis pyramidis radi
alis,eft dcbiliflima certitudo uifionis,& fecundu alias partes medias fit media difpofitio
certitudinis,fccundu qcP plus accedunt axibus,uel fecundu q> ab illis plus remonemur,
palam ergo ,ppoficum,fiC per hoc patet corollariu.qrh in pundis fupficiei rei uifze a:qua
lirer i pundo coniundionis diftantibus eadem cft ratio certitudinis uifionis hinc di in
de.quomam illarum forma: arqualiter in fuperffcie ipfius uifus,8i ex confequenti in fog
Scie nerui comunis femper figurantur,patctergo totum qd1 proponebatur,

'XLVI.

Omne uifum in quo concurrunt duo axes uifuales,uelradrj illis propin*
qui, uidetur femper unum.

Quonia enim formar per axes radiales peruenientes ad uifum requaliter incidunt
uifibus ambobus per 3 j-.huius,per 3 o. huius requaliter perueniunt ad medium punduin
concauitatis nerui,concurmt ergo amba: illa: forma: ad pundu imum, di una ipfamm
fupponit alteri, & fiunt forma una,&: qrn omnia uifa nobis aflueta iemp funt oppofita
arnbobus uifibus,&: ambo uifus afpiciQt ad qdlibet illoru uifibihu,propter qd' duo axes
duoR; uifi-iCr femper cocurrunt in uno pundo illorum uifibilium per 3 z. huius, di politio
radioB.* refiduoru qui circiiincidut cdmuni pundo ipfbrt eft politio cofimilis per 3 7.hu-
ijis, maxime qh non differut in remotione i duobus axibus maxima differentia ; ,ppter
hoc ergo quodlibet uiforu afluetoR- uidet ambobus uifibus unum, di qa ut pmiflum cft,
patet per 3 7.huius,qm omnes forma: pundoi« reqnalfter circuftantiu punda,qita: fiig
ffeiebus uifuu incidue fecundu axes radiales ad punda aequaliter circuftantia mediu pun
dum nerui cois confimil iter pertingutd/nece uero radiales ,ppinque axibus uifualibus,
quia no multu oblique incidun t uifibus .ideo no multu oblique rcfringimf,qm ipfaic rc-
fradio cft fecundum angulos minores per 3 <S.huitts,diredius ergo perucniut ad conea-
qitatem nerui, & conringut ergo fe circa medium pundu concauitatis nerui fuppo-
nuntur fibi adinutcem,fiuntq3 forma una,& hoc proponitur .

XLV1I.

Omneuifumin quo concurrit axis communissimus axium uifualiuin
comprehenditur femper unum»

Axis enim communis adiuuat certitudinem comprehcnfionisS axis uifualis uni-
cus unam tantum forma regulariter difpofitam imprimit medio pundo nerui cornu*
nis, uidetur ergo una tantum forma, quia tunc non fit refradio alterius forma: ad ali*
qua parte nerui diftindafecundu parte iiel fecundu remotione, patet ergo ,ppofiairn.

Nulla

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

X L VI I I.

Nullum mTorum fimul totum aequaliter uidetur.

Qnonia enim fiue aliqd* uifum exiftat in axe communi, fiue extra illam,fomper pon
(fiam eius aii mcidut axes uiTuales certius uidetur,c{j punda quibus incidut radij ,ppin
qui,& illa punda certius uidentur,cp puda quibus incidunt radij remoti per 45-. huius,
patet q> nullu uifum totum fimul aqualiter uidetur,cum enim omnia punda ipfius co-
muniter per oes tres axes,uel faltem per duos uifuales motu oculi trafcurfa fuerint, tuc
folum aqualiter eft totum uifum, quoniam tunc forma cuiuslibet fui pundi infigetur
pundo medio concauitatis nerui,&! erit femper noua difpofitio totius forma? circa pun
dum illud, magis ergo aequaliter perpendet tunc partium aequalitas adinuicem inomi
busdifpolitionibus fois,tuc ergo tota res aequaliter uidebitlnullus aut motus eft in in*
ftanti.fodfoluin tempore, palam crgo,qj nullu uifoife fimul totum aqualiter uidebitur,
led bene eft pofllbile ipiiim totu fimul uideri inaqualiter,qm omnia punda formae op*
polita uifofi quibus lineae redae poftiint .pduci ad uifom, fimul multiplicant ad uifum,
qjuis focundu diuerfitate anguloic diuerfimode focundu diuerfas partes uideant : pania
tamen corpora di propinquoit dtametroru Ecqualius uident ,cp corpora diametrojy ma*
io ru: remotiores enim partes a pundo coniudionis non adeo bene certificantur,ut pro
pinqua per 4j\huius;& fi uiium fuerit unius coloris uniforme, minus accidit in eo ina
qualitatis, cjj fi fuerit plurium colorum, aut fi fuerit in ipfo linea tio,aut pidura,aut alia:
fubtiles intentiones, tunc enim forma extremop; erit magis dubitabilis,# non bene cer
tificataihaenim comprehendunt per lineas radiales motas ab axe,patetergo ,ppofitu.

XL1X.

Impofiibile eft plura fimul aequaliter uideri.

Quau/s enim uifus quandocp eode tempore opponat multis uifibilibus diuerfico-
loris,inter qualibet quaru di uifum produci, pofiiinc lineae reda in aere cotinuato me*
dio inter eas di uifum, perucnianteg forma jucis di coloris,qua funt in rebus uifis ad fu
perfide uifus,# in eodem tempore di forma cuiuslibet ipfap: ad qualibetpartem fu per*
ficici nifus ,ppter earu diredam oppofitione,# licet uidens uideat in eodem tempore1
uifibilia diuerfi coloris oppofita uifoi,# fic 1 tota fojjficie uifus fint multa lumina diuer
fa di multi colores diuerfi,quorum quilibet implet foperficie uifus fibi oppofitam, prout
incidit perpendiculariter ucl oblique,tame ut patet per 1 7. huius, non fit diftinda tiifio
nili folum feciindu perpendiculareslineas i punctis rei uifa ad oculi fuperficie produ-
das;# foctlriduhac diftingutint forma focundu diftindione partium fuperficiei uiftis,
in quas folum incidunt perpendiculares,# licet fic pcrucn/ant ad foperficie uifus forma
admixta luminibus 8i coloribus diuerfis,uifus tn comprehendit omnes formas focun*
dum ipiarum proprietatem : non eft ergo impofiibile plura fimul uidere ,fcd ina*
qualiter di indiftindc,nani licet, ut patet per 1 7. huius,humor glacialis fentiat formam
unius rei focundu fiifi effe,# figuram ordinata in foi ftiperficie focundu ordinem qua ha-
bet in foperficie rei uifa, extra poteritetiam fentirein illa difpofitione formas alia rure*
nimuifariS prater illam rem uifam ex pyramidibus diftinguentibus exfua fuperffciea-
lias huius rei partes,# poterit fentire formam cuiuslibet illarum rerum uifarum focun*
dum fuueflc,#fentire litus eoru adinuicem,non tamen aqualiter ! fod per fedius illud
qd' uidet focundu pyramidem,cuius axis incidit per centrum circuli unca ipfi centro ui*
fus, minus uero perfode alta,quoru pyramidu axes incidunt focundu alia punda foper-
ficici didi circuli.ut patet per 4 3 , huius .illoru enim omnifi axes font longiores, etia fl ab
eadem diftantia ,pcedant:afpiciens itacp qfi fuerit oppofifus multis rebus uifibilibus,#
uiiiis eius fuerit quietus .inueniet rem oppofitam medio fui uifos manifeftiore illis qua
fune .-i parte laterum illius medij,# qd* eft propinquius medio # manifeftius, di qd* eft
reinotius,erit minus manifcftum,ut hac omnia patent per 43 .huius,eft ergo impoflibi
lc plura (inuil aqualiter uider^qm impofiibile eft axem pyramidis radialis tranfounte
per eentru unca fimul pluribus pandis ne dii fogficiebus incidere per 3 o , primi huius,
patet ergopropofitum .

Inter»:

LIBER TERTIVS, 6?

L.

Interpofcis Gbi diuerfisuifibilibus 3 remotiorum quando^ fecundum
aliquid u /fio impeditur.

Exempli caufa fint duo punda n&m centra duorum uifcu,& fit r ptindum Cii/ufis
dam rei uite,qu* fit lo, remotior ab ambobus uifibns c£ fit
res uila,quar fit bk c,in cuius pundo k concurrant ambo axes
uifoales,quxfiintmk&:nk,fit'cgpnndum r taliter politum,
ut ipfum protradis axibus n k ad pundQ q,8i m k ad pundu
h intercipiatur inter axes,nihil£$ citis capiat per interpolitio
ne rei uiiar qua* eft b c, fit aut uifibile e d remotius cjj fit ipfum
b c,8i ,ppinqitius pundo r inter duos axes taliter difpofita,ita
q> line* nbamc protradar.fiC cocurrentes in lpfo p , aliqua
parte eius intercipiat quae fit f gdineae nero mp8inp interfe
cantes Ce in pudo p .ptradar continget periferia corpis, in <|
eft pundu r in pudis 1& o,fit uero a fjddamuilum ^kimuui-
fui cadens inter axes mk&n k,dico qn uifos coprehttidft fn
eadehorainfimul formas uifibiliu qfuntbc&cd&r,q3qn
m impedit fecundu aliqd uifio ipfius e d,qm impedit fecundu
(ui parte quae eft f g,qu*cu fit obumbrata uiliii per interpofi
tione uifibilis q3 eft b c, patet q> forma illius partis no gueni»
et ad uifum,necj? feruabit in neruo coijforma uero uifibflis re*
motioris q» eft 1 o,in quo eft-pundu r,qin ipfum cadit inter li»
neas n b fiCm c,fecantes fe in pudo p,quae .pdudae ultra pun*
dfl p/uis terminis 1 & o incidut,patct q> gueniet ad uifom, no
impediente uifibili b c,qa tn in nullo cius pundo concurrunt
axes uifuales.forma cius uidebit inordinate fecudu litu earu»
dem par tiu ipfius formar.q fibi direde no fupponent.ut often
fum fuit in 37.huius,ergo erunt inordinate fecundu remotio»
nem a pundo medio nerui cois,qu* remotio erithuic inde in
arqualis ,ppter diuerfitate incidet/* ipfajt linea jy, per quas ad
ueniuteade puda forma jt, ut funt line* m 1 & n 1 refpedu for
m* pundi 1,& linea: m o & n o rclpedu formae pundi o,par s
tn um‘uerfi,qu* attedit fecundu dextra ucl finiftra,furium ,uel
deorfiim gtiu ipfius form* no mutatur,uifiim enlbc c5 fitmi
nus uifo 1 0, in quo eft pundu r ,qn in pundo k reib c coiungu
tur duo axes m k & n k ,tuc forma uifi b c fit in duobus locis duaje* uiiuu confimilispo-
fitionis,& forma uifi q; eft I o diuerfificabitur fecundu ficum par tiu fo* forma e, di fecuna
dii remotione in*quale a pundo medio nerui comunis,qrheftmagna diuerfitasinan-
gulis reflexionis fuait partialiu formae, licut & in angulis inCidcti* earunde,ut hoc pa*
terepoteft per 3 6.huius, no tn erit error in parte uniuerfi,quia forma: paftiu iuo ordine
difppnent.ut funt in r e,& res uidebitur una,q> no accidit in forma uifiXipfiusa, q> pro

Squiusuilui eft, fi ipfum panne fuerit quantitatis, 8C no fit in illoru corpop* politione
'tentia fcnfuiji ta q? corpus a cadat inter axes m k & n k,qn itaqj ambo uifus ambas
res uifaSjin quibus funt 1 8i d e,comprehendut,&: quando duo axes fixi funt in uifo b c,
fecundu loca no obumbrata inftituutur illaru rerum uilarum d e & 1 o,formae duobus Io
cis duqvu uifuum,& fiunt confimilis politionis in parte uniuerfi,8d no in remotioe apiLs
fto tnedio nerui comunis.aut non omnes partes caru erunt confimilis politionis in re^
tiiotionc | duobus axibys,ncc forma eoru erit certificata:de uifo uero a , q> eft proxim0
Ulfibibus.qm ipfiim c^ditintcr axes m k & n k,& eft ^pinquius uilui,quia em figuntur
in ipfo axes.poteft fieri politio eius in refpedu ambo# uifuu diuerla in parte ipfius uni=
uerfi,ita,ut necuideatur ad finiftranec ad dextra.qm forma ipfius quantum eft de fe ad
iufilam partium umucrfi lecundu relpcdum pundi medij ipfius nerui concaui, aii axes

s uiluales

PERSPECTIVAE yiteelionis
uiiluales incfdont,ordinattir.Sic ergo uifu exigente fixo interpofitis fibi diuerfis ifffibili
b(is,remotJO{v quadoqj fecunda aliquid uifioimpcditqr,ut patet. Cuaute utffis focrint
moti,& axes fuerint coniundi ia unoquocg uifibiliu ccprehenfbj* , infimul tue formae
omnia uifibiliu coprehedent fimul in ambobus uifibus cofimiles in parte & remotioe,
£d comprehendent fecundu modu fuae certitudinis forma: uniuicuiulcg uifibiliu : huius
aut rei totius ratio cft haec.qiiia cer titudo uifionis fit fecundu axes,£d uifio fit per multi*
pltcatioem forma: uifibilisinuifum,quaj uero nunfjj tunc per corpus inter pofitu impe
dttur,cum linea multiplicationis forma: aliam fiiperficiem corporis medrj oppofitam ui
iui aliqualiter attingit, & hoc eft quod uolebamus .

Ll»

Omnis uifio fit uel per afpe<ftufimplke,uel per intuirione diligentem»

Afpedum primufimplicemdicimus illuadltim.quo primo (impliciter recipitur in
oculi fuperficie forma rei uifieftntuitionem uero dicimus illu adtum.quo uifus ucratn co
prehenflonem forma rei diligenter profpiciendo perquirit,non contentus fimplici rece
ptione,fed profunda indagineuiifiisitaqj per afpedlu fimplicem comprehendit intea
tiones manifcftas,qua: font in rebus, nec certiffcat illas,per imuitione uero cofiderat oes
intetioes partiu forma: uiheocculras afpediui,& certiffcat omnes difpofitipcs illius for
mx uiCx>8C quia afpedusflmplex poteft cfle fine intui tione^uis intuitio non poteft efie
fine fimplici afpedu, patet qj omnis uifio aut fit per unum t florum modorum, aut per
alium, QC hoceftpropofitum.

l 1 1 *

Afpetftu fimplici fecundum totam pyramidem uifual,em exiftente poffi*
biIi,imumoficfolumfecunduminddentiam axis pyramidis uifualis.

Quonia eni,ut patet p prxmiflam,afpedus fimplex eft folfl receptio forma: fenfibi
Iis in fuperficie uifus, palam qi ipfa fit fecundu totam pyramidem uifuale,qua:libet enim
ppendiculariu fiue Iinca^ radialiu illam pyramidem conflituentiu per 1 7 .huius , addu*
ci t aliqua forma pundli fuperficiei rei uifioilis qua tnc afpicit uifus: quia uero intuitid
certi ficac ueritate forma ^ c5prehenfar u,cerrificatio uero oim formate uifibiliu plp fit g
axes pyramfdu uifualiu,c| per aliqua aliara lineae illius pyramidis per 4 3 .huius , patet
q> intuitio fit folffper incidendam illius axis;cucrgo uifus fuerit fixus oppofitus altari
rei uife.quce foerit aliaiius quantitatis,^ illud qdP opponitur medio uifus ex illa re uifa
fucrit^fiue per axem uifualem aut prope illum, tunc erit ipfiim qd’ eft in axe,uel q> appro
xima t axi,manifeftius refiduis partibus rei uifa?: fi itacp uidens uolucrit certiffcar/ de for
ma totali rei uifa:, monebit ambos uifus,donec medium eius opponatur cuilibet partiu,
ucl puncftorufupcrficiei rei uifarfibi oppofira*,&! tunc quia ambo axes radiales per 3 2.
huius incident unicuicp pundloru, fiet hoc modo intuitio completa totius forma:, quoni
am enim uifus fuerit oppofitus rei uifa:, tunc fentiens comprehendet totam formam co*
prehefionequalicuqj per 43 .huius, & partem qua» eft apud extremu axis comprchen*
det uera comprehenfione.deindc mutatis axibus ad aliud pundu,tunc idem pundum
uerius coprehendct tue euhoe tota forma prius coprehefacoprehendetur fecundo,
Si ctia ille p&fttis in quo prius fixi fuerunt axes,& cu axes mutabutur ad punefru tertia,
fiet tertio coprehenfio totius formce,& ctia illofepundloie qbns prius axes incidebSr,
ita fcdm numeru puncftd^ cjbus incidutaxes.numeratur coprehefio totius forma:, feni
per tn pundluSjCoi axesincidut,certius alrjs p udi is coprehendet.Sic ergo intuens p mo
tum axiucoprehendit certitudine cuiuslibet pundli rei uifa?,& infug reiterat frequenta-
tione coprehenfionis totius forma: fcdm numeru pundlojt qbus mcidutipfi axes,appa
rct ergo tiiilii tunc omne id quod pofltbile eft apparere in forma illius rei uife,&! non
cerrincabmirforrnarei uife,nifi poft motus uifus fecundum flios axes radiales fupet
omnes partes uel puncfla fuperficiei r«i uifce,nec enim intentiones fubtiles , qute ifiint in
rc uifa, apparent uifiii nifi per motum uifiis.Sd per tranfitum axis , aut radialium linea*
rum , quae font prope ipfiun,fuper quamlibet partium rei etiam fi res fuerit

•infimae

- LIBER . TERTIVS. 70

/nfimsc paruitatfs,& non fuerit oppofi tauifiji,no intuebitur illam uiftis liitnitione pcr-
fccfta,nif? donec moto uifti axis radialis tranfiuerit per omnes particulas uel punda illi*
us rei,ficergo fitfolum intuicio fecundum axis pyramidis radialis incidentiam,cpuisas
fpedus fimplex fiat Tecundu omnes lineas radiales totius pyramidis uiftjalis, patet er;*
go.propofitum ,

LIM.

Axisradialisincotomotuipfius oculi femper manet fixus infuo ficu ,
quonia ille motus oculi eft infenfibilis uelocitatis.

Motus enim axis fuper partes rei uifa: non eft per girationem axis a loco centri ipfl
us uifu^ per motum eius per fe iiiper partes rei uiftc,patcr enim per 14.6»; 1 1 ,huius,q>
linea axis extenditur rede ufog ad locum girationis neruftftiper quem componitur ocu
Ius,& q> fttuseius i uiili non mutatur,fod aim totus oculus mouetur in oppofitione rei
uifte,& medium oculi, in quo eft ienius uiliuus,opponitur cuilibet partium rei uifar,tuc
axis tranfit per quamlibet partium rei uife,& fecundum iftum modum tota forma cu-
iuslibet partis rei uifa extenditur ad uifum femper fecundum reditud/nem axis. Si erit
giratio axis immutabilis i loco fuo refpedu omnium partium Si tunicarum oculi, fod
cum girabitur axis in concauo oflts cum motu totius oculi,^ cum uilus uoluerit intue
ri rem ui(am,S<: inceperit intueri in extremitatem rei uifa?, 8i tunc extremum axis fu*
per extremitatem rei uifte,erit'cg indifpofi tione maior pars totins rei uifte in partefup*
ficiei uiftiSjdeclinante autem obliqua ab axe ad aliam partem pnrter partem iiiper qua
eft axis,quoniam forma eius erit in medio uiftis 8i in loco axis,eri t<$ refiduu format ob
liquu ad aliam partem ab axe;& cum uiftis poft illam difpofttionem mouebit fuper ah'
qua diametra rei uifte, trasfert axis ad parte fequente illa parte rei uifar,&! erit forma pri
ito par tis declinans ad loeu altu oppoficu loco ad que mouet axis,& no ceflabit forma
declinare cpdinmouet axis ftig illa diametru,^uicp axis gueniat ad ultimQ illius diame
trirci uifte, q eft pars alterip rei uifte,& fic erit forma toti? rei uifte in ifta difpoiitioc ob
liqua uiiui Si pundo oppofito ipfi' axi, etiam cui prius fuit obliqua axe radiali in alijs
pundis diueriis mcidente,pra:terqj ultima pars Si extrema ipfius rei uifte qua: remanes
bit fug axem, in medio uifus Si axis.in ifto toto motu erit ffx9 in iuo (itu tfjtfi ad cra.fi
tum uniforme omnium tunicarum oculi, patet ergo illud quod proponebatur .

L 1 1 1 1 . -

Axis in motu intuitionis nunqp fit bafis anguli quem refpidt fuperficics
rei uifa?,neqj femper fecat angulum que relpicit aliqua diametrorul rei uifae.

Quia enim iam oftenfum eft in pratcedente thcoremate,cp axis in toto motu oculi
ad intuendum fomper manet fixus : ii ergo axis fieret bafis angulo que refpicit fuperfi-
cies rei uifte.aporteret immotas remanere lineas illum angulum contincntes,&! mone*
ri axem,Iioc autem no eflet poflibiIe,nifi quoniam axis moueretur per fc toto oculo qui s
efccnte,& quia hoc eft impoftibile per pra:cedentem, totus enim oculus mouetur apud
intuitionem,&: axis monetur per motam eius,& moto axe monentur orti nes linea: con
tinentes angulum pyramidis,& tota pyramis uariato axe uariaturtincidentecnim axe
radialidiuerfispundisiugficieirei nifte.licet idem remaneat uertex pyramidis, & cti*
am eadem bafis fit.Variato tamen axe,caufatur fompernoua pyramis,quamuis nide*
atnr femper una,ideo quia motus oculi eft inieniibilis uelocitatis :per hunc icaqi motu
comprehendit uifus quodlibet pundumfuperficici rei uifa: uifui medio in pando folli*
cetaxis,&: per hunc modum mouetur forma rei uifte ad ipfam fupcrficicm uifus, & mu*
tatur pars fuperficiei uiftis in qua prius fuit forma,quoniam forma rei uifte apud 1110»
tum axis erit in una parte fuperficiei uifus poft aliam partem fuperficiei uiftis, quotiens
enim comprehenderit uirtus fontiens partem rei uifte, qua* eft apud extremum axis.to*
tiens comprehendet cum hoc totam fuperficiem rei uifte, & comprehendet totam illam
partem fuperficiei uifus,in qua puenit forma totius rei uifte,qua: fomper eft alia Si alia,
quadiu icacp axis cadit in aliquod pundorum diametri rei uifte non terminanti u ipfa m

PERSPECTIVAE ~ VITEtLIONlS
■diametrum, tunc -axis diuidit angulum, cui in centro uifus fubtenditur illa diameterjftd
cum inciditipfi termino diameter, tunc ipie axis fit una linearum continentium illu an*
gulum,no ergo (ecat fomper illu angui u, quod cft propofitum.

IV.

NecefTe eft omnem uifionem quae fit afpetflu fimplici fieri in inftanti,

P Si enim fiat afpecftus fimplex in tempore, quantumcuncp paruum fit illud tempus,

<rit ipfum pars magni temporis ,& quoniam non datur utfio fieri in tempore nili per
diftantiam uifibilisabipfouiiii,palamtunc’,q>fecundum fpacium diftantiae uifibilis
i uifii mul tiplicabitur 8i tempus.producatur itacg linea a b c d,& fit uifiis ad pundum a
o* & aliqcP uifibile fit apud pundumb.Cum itacp,ut ditflum 5i declaratum eft in <5. huius,
forma pundi b multiplicatur ad uifiim, fi hoc fiat in tempore quocuncp, etiam forte im
perceptibili,!? t aliud uifibile in pundo c,& fit fpacium a c multiplex fpado a b, erit ergq
tempuSjin quo forma ptmdi c multiplicatur aa uifiim a multiplex tempori, in quo for*
t> ma pundi b multiplicatur ad uifiim a,& fi hoc tempus nondu fit fenfibile,ficut in ulteri*
ori pundo uifibile d remotiori i uifii 5 ,cjj eft ipfum c, fitfcg fpacium da multiplex fpacrj
c a, ergo erit ipfum magis multiplex fpactj b a*, forma itaqj pundi d multiplicabit ad ui
lum a in tempore multiplici temporyn quo perucnit ad uifiim forma pundi c,fed in
pertranfitu formar pundi d per ipfum fpacium a d non requirit in ipfa operatione uifi*
^ ua plus temporis,^ in Ipacio a b;apertis enim oculis aeque citouidentur remota & pro
pinqua,neq? enim cft ienfibil/s differentia temporis,quo mouetur resproxima,aut alie
quaftellarum fixarum,au'us fere diftantia eft fecundum mundi femidiametrum quas
eft maxima linearum naturalium entium timpoflibile eft ergo uifionem, quae fit afpedi»
iimplici, fieri in tempore,ied neceflc eft omnem huios uifionem, quantum ad afpedum
fimpIicem,fieriininftanti&fubito,ciusitaqj principium non differt ab eius fine,&
hoc eft propofitum,

LVt* .

Omnem intuitione in tempore fieri cft necefTe,tennpustg intuitionis in
ternionum uifibilium diuerfatur fecundum diiierfitatem intentionum for*
marum intuitarum ♦

Cum enim,ut patuit in j- 1 .huius,intuitio fit adus uirtutis uifina*,quo uifiis uerantf
comprehenfionem forma? rei uifie diligenter perfpiciedo perquirit, femper in ipla in*
tuitione axes radiales per omnia punda fiiperficiei rei uilae moueanf,uc declaratum eft
per f z.huiusrcum ergo omnis motus fenfibilis fiat in tempore fenfibili,ideo,quia ut alii
bi declarauimus, tempus eft proportionale motui, palam, quia omnium intuitionu in
tempore fenfibili fieri eft necefle: tempus quoqj intuitionis diuerfatur fecundum di*
aerias intuit/ones formare- uifibilium eorum ,qua? quis intuetur, cuius exemplu eft ,ut fi
uifiis comprehendat animal longu multop* paruoru pedu.qd* moueatur,tunc primo per
modicam mtuitionem comprehendit motu eius,& per motum comprehendit ipfiim ef
fe anfmaf deinde per modica intuitionem in pedibus comprehendet ipfiim efle multo*
rum pedum,ex comprehenfionc diftantia: inter pedes ,non tn cognofcit npmeru ipfbps
pedu,& deinde diligentius intuens cognofcetnumeru pedum pluri intuitione& maio*
r is temporisconatu:coprehenfioergoanimalitatiseius eritinparuo tempore, & copre
henfio multitudinis pedu erit in tempore maiore illo tempore prtori,in quo cognitu eft
ipfiim efle ammahnumerus aut pedu erit ad hoc in tepore maiori aliquo illop- temporu,
oportet enl uifiim intueri quemlibet illop- pedu, & numerare illos,erit aut quatitas tepo
iis intuitiois pedufc3m numeru multitudinisuel paucitatis pcdu,& hoc etia patet £ di
uerfitatealiaifeuifibiliuintetionuttepusitaqp intuitiois intentionu uifibiliu forma^qa
ru una eft numerus,diuer-fat fecunda diuerfitate intetiona forma p- intuitaru, patet ergo
propofitum. lv ii*

V ifijs non poteft comprehendere ueram formam rei uifce primo afpe*
fimplici, fed poft diligentem intuitionem ,

Cum

LIBER TERT1VS* 7 1

Cum em forma: uifibilium fiat copofitx ex multis intentionibus particuTaribus,qui
bufdam illarum exiftentibus groflrs, primo afpedui fe offerentibus,quibulcla uero fub-
rilibus ualde,ut funt lineatioes minuta: 8i colores minutatim difperu,& fimilia qua: pri
moafpeduiqui eft inftantiuus per j-j-.huius.ftatimie offerre non pofTrint, unde indi-
gent tempore ut uideantur , poft diligentemergo intuitum uidebuntur,& non prius;
uifus enim no comprehendit ueram formam rei uifae nifi per comprehenfionem omniu
intentionum particulariumquxfant inilla forma , patet ergo quod forma rei uifiein
qua ilibtiles funt in tentiones,non comprehendi tur i uifu fecundu ucritatem fui efle pri-
mo afpedlu,ied poft intuitionem diligentem ,dC quoniam etiam in formis in quibus na
iunt fubtiles intentiones,uifus illarum carentium £ primo afpecSu dijudicare no poteft;
ideo etiam tunc eft opus intuitione,nec enim poteft certificare ueritate formae nifi poft
diligentem intuitionem cuiuslibet partis illius forma rei uifepala itacg quia uifus nu~
quam poteft comprehendere neram formam rei uifte in primo afpe&u, fed folurti poft
diligentem intuitionem,&: hoc proponebatur.

L V 1 1 I,

Intuitus repetiti plus figunt 8C certi ficant formas fenfibiles in anima re-
manentes.

Cum enim utfas comprehendit aliquam rem uifam,& fuerit ccrtificata forma eius
apud fentientem.tunc forma illius rei uife remanet in anima, & figuratur in imaginaria
ne ipfius uidentis.ut in naturalibus anima paflionibus declaratum eft, & fi terminabJ
tur comprehenfio rei uifie, tuc eft forma ei ns magis fixa in anima quSm forma rei iemel
uife,quia uifus raro comprehendit perfedx rem rei femel uifam,fed femper ex iteratio
ne uifionis pcruenit forma denuo aa anima.&l renouatur forma prius uiia apud anima,
& fi aliquid ex intentionibus illius forma obliuioni traditum eft refiguratur , 81! fi prius
uifum non eft recuperatur i anima aut, per formam fecundam rememoratur forma pri
ma^&cum pluries iteratur euentuseiufdem intentionis fuper animam,erit anima ma
gis rememorans illam intetionem , & fic erit illa forma magis fixa in anima fed & ma-
gis certificata.quia in prima uifione.in qua forma rei uifa uenit ad animam,forte ani-
ma no comprehendet omnes intentiones qua funt in illa forma , necg certificabit ipfas,
& cum forma redierit fecundo, coprehendet anima ex ea aliud quod in prima uice non
comprehendit^ quanto magis forma iterabitur fuper animam , tanto magis manife-
flabitur ex ea quod prius non apparebat,& cum anima comprehenderit intentiones fub
riliores formarum, magis certincabitur fibi efle totius forma:, patet ergo ex his, quia in-
tuitus repetiti erunt certiores, ut proponitur.

LIX.

Nullum uifibilium comprehenditur folo fenfu uilusnifi IblumfucesiK
colores.

Solaenim harc aim fint per fc uifibilia,ficutin fuppofitionibushuius libri prtemifi
fum eft, patet quod ipfa funt priora omnibus alijs uilibilibus.unde ipfa fine alijs offeru
tur uifui,ut fine fitu figura et magnitudine et fimilibus,alia uero no offeruntur uifui fine
illis, uifibili enim a du lucem non participiante impoffibile eft aliud uideri , ut patet per
primam huius,circa lucem ergo et colorem non nt aliqua alia operatio animae nifi fo-
la fenfatio uifionis,lux enim qus eft in corpore illuminato comprehenditur a uifu lecu
dum fuum efle per fe ex i pfo fenfu dux uero et color quae funt in corpore colorato et ilJ is
minato comprehenduntur i uifu fimul , et admixta comprehenditur aut utruncp illoruf
in (blo fenfu uifus, lux enim prima comprehenditur i uifu ex illuminatioe corporis fent
tientis quod eft de fubftantia oculi ,et color ex alteratione formae ciufdem corporis ien
tientis et eius coloratione cum admixtione lucis, qua: eft hypoftafis coloris; ficut enim
fentiens comprehedit in penientu formae lucis primae folam lucem , fic in pementu for-
mae coloris comprehendit lucem coloratam, ergo ha:c duo comprehenduntur folo fen-
fu uifus fine alijs animae potentjjs et operationibus, quod non accidit in aliquo aliorum

s } uifibiliff

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
inuifibi1ium,quoniam illa quafi pluria i pluribus fenfibus fentiuntur ,et fine aliqua ipfo
rum folo ienfu uiius fentiatur,&! non alijs fenfibus particularibus hoc accidit, uel ex ifto
rum aliqua participatione,uel iftorum priuatione , ficut cft in diafonitate & opacitate,
tenebris & umbra, in quibus neceflaria eft ratio coferens hinc inde,qux non eft necefla
ria in comprehenfio ne lucis & coloris,patetergopropofitum«

LX.

Omneuifibile aut comprehenditur a uifu folo fimpliciter, aut cum ratio
ne &C diftin<ffcione.

V t enim patet per procedentem, lucem & colorem per fe fimpliciter comprehedit
iolus uiius, funt tamen plura alioru qua: de numero uifibilium iiint fiippofita, qua: uiius
quidem comprehendit non tamen fimpliciter per fe ipfum , fed alijs acfttontbus animo
accedentibus ,&{unt plura talia uifibilia, quorum comprehenfio non eft puro ienfu
uiius,quoniam uiiiis quando comprehendit duo indiuidua eiuidem fugficiei et format
eodem tempore, tunc comprehendit duo indiuidua et comprehendet quod funt fimilia,
fed Iimilitudo duarum formarum non eft ipfte formo ambo necg una ipfarum, fed neq?
forma tertia propria confimilitudini, fed eft conuenientia illaru duarum formarum in
aliquo, non ergo comprehendetur duarum formaru iimilitudo nifi ex operatione unius
ipfarum ad alteram,non fit ergo iimilitudinis comprehenfio per folii uifum , fed ex po*
tentia animaequam dicimus rationem per acftum ratiocinatiois diuerfas formas uifas
ad inuicem comperantem,ct etiam quando uiiiis uidet duos colores albos,quoru unus
eft albior alio, comprehendet amborum albedincm,et quod alterum eft fortioris albedi
nis,comprehendet ergo iimilitudinem illorum duorum alborii in albedine,etdiuerfita<
cem illorum in fortitudine & debilitate; diftindio uero inter illas duas albedines no eft
ipfefenfus albedinis,quoniam fenfusalbcdinis eft ex albatione fuperficiei uifus , quie
fitab ucroq* albedine,diftindio autem illarum albedinum fit propter diuerfitate acftio
riis illarum duarum albedinum in ipfum uifum ,non eft ergo illa diftindio i folo fenfif,
fed cft ab alia uirtute anima:, quam dicimus diftiricftiuam; & fimiltter eft,de compara-
tione 82 diftintflione aliarum fenfibilium formarumlnihil enim illorum accipitur folo ui
fu;fedrattone uirtute diftincftiua coadiuuantibus:ui(iis enim per fe non habet uirtu
tem diftinguendi,fed uirtus diftincftiua anima: diftinguit omnia illa mediante uifu,pa»
tet ergo propofitum ,

1 LXI,

Ex intentionibus formarum indiuidualium fepius intuitarum remanet
in anima fixio , & certificatio formae uni u er falis exiftens uifui principiu co=
gnofeendi omnia indiuidua eiufdem fpeciei.

Quia enim quodhbet uifibilium indiuidualium habet formam & figuram , in qu i*
bus conucniunt omnia indiuidua illius fpeciei ,quai diuerfenturfolum intentionibus
particularibus coprehenfis p lenium uifus, & forte erit in omibus illis indiuiduis color
unius modi,ut quafi uniuerfaliter indiuiduis auiu , ut cigno coruo pica &i graculo & fi*
milibus, in cjbus eft uniformitas coloris conueniens toti fpeciei uelut in pluribus,quia
iam uidimus cornum album 82 tirflim album, fi itacp forma & figura & color & omnes
intentioes, ex quib9 coponitur forma cuiuslibet indiuidui fpeciei,eft forma uniuerfalis
totius fpeciei,&uifus comprehendit illam figuranti formam et colorem et omnium ii
lorum intentione, qux conueniunt illi fpeciei, tunc anima iudicabit illud particulare ui
liimefic indiuiduum illius (pecfei,non tamen propter hoc cognofeet unum indfuiduu
abalioindiuiduo eiufdem fpeciei diftimfhim, donec comprehendit etiam intentiones
particulares p quas diuer fantur indiuidua,et donec illae quieuerint in anima et in ipfa
uirtuteimaginatiua, tunc enim aliquo prius uiforum indiuiduorum ipfiuiiiii occurs
rcnte per intuitionem indiuiduorum illius fpeciei, cuius forma eft apud animam , itera
bitur i tiifii intuitio illius forma: uniuerfalis qu* eft illius fpeciei, cu diuerfitate formaia
particulariu illoru indiuiduoruni3et cu lUaforma uniuerfalis per intuitionem alterius

indiuidui

LIBER TERTI VS» 7*

jfndfufdui eaifclem fpeciei comparabitur m anima , tunc figetur in anima et quiefeet , c*
diuerficateitaq! formam particularium uenientium ad uifum cu formis uniuerfalibus
apudintuitioncm.comprehendet anima diuerfitatem indiuiduorum eiuidem ipeciei,et
per conuententia accidentium uifibilium in diuerlTs indiuiduis coprehendet , quod for-
ma in qua conueniunt oiriia indiuidua illius fpeciei eft forma uniucrfalis illoru omniu.
Sic rema net ergo in anima forma uniuerfalis , 2d in eius uircute imaginatiua,& eft illa
forma uifili principium cognofcendu omnia indiuidua eiufdem fpeciei,quantum ad ii*
Iud quod eft in ipfis ex intentionibus uniuerfalibus indiuiduatu a. de intentioibus par*
ticularibus ienfibilibus quibufcuncp, patet ergo propofitum .

LX 1 1 *

Omnis uera comprehcnfio formarum uifibilium,aut eft per folam intui
tionem,aut per in tuitionem cnmfci entia praecedente.

Comprehenlio uifibilium iola intuitione fit,quando comprehendatur uifibilia ex*
tranea , uc quando uifus comprehendit rem uifani quam antea non perceperit nec in (e
nec in fuafpecie, per intuitionemuero diligentem acquiritomnes diipofitiones 2«; for
mam eius ucram non tamen cognofcit formam eius , quia ipfam antea non percepit,
uel non recolit ;fic ergo comprehendetur illa forma uera comprehenfione per folam in
tuitionem,comprehenfio aut uera formaru uifibilium alia ab alia qua fit per folam in-
tuitianem,quandoqj fit per in tuitionem cum fetentia pracedente ,ut quado uifus com*
prehendit formam aliaiius rei uifa,quam compreiiendit etiam ante, Sd cuius forma in
tentio eft apud animam aut tota, aut aliqua pars illius, tuc enim uifus ftatim in afpecftu
illius rei comprehendet eius formam, & deinde modica intuitione comprehedet totami
forma eius,qua eft fcietia uniuerfalis lua: fpeciei , Sd cognofcet forma uniuerfale quam
comprehendet in illa re uifa apud comprehenfionem forma in anima per rememora*
tionem illius rei uifa fpedalicer,& deinde intuens intentiones refiduas qua funt in illa
re uifa.ccrtificabit particulare formam illius ipfi uifo indiuiduo appropriatam , & fi fue
ritvememorans .illius forma particularis,ut prius per uifum comprehenfa,tunc cogno
fcet illam formam indiuidualem, Sd quia nulla res uifa comprehenditur uera compre*
henfione,mfi aliquo iftorum modorum.patet ergo propofitum .

LX III»

Comprehefio uifualis per cogni tionem femper fit per aliquem modum
rationis conferentis .

Eft enim cognitio comprehenfiofimilitudinis diiarum formarum ftilicet forma:
quam comprehendit uifos apud cognitionem, quando fenti t fe cognofcere remquam
uidet.fid forma quiefeentis in anima prius comprehenfa , unde non fit Uifualis cognitio
rufi per rememoratione, quonia fi nulla forma talis fuerit qtiiefcens apud anima cx prrC
fens mcmoria,non Cognofcet uifus rem uifamtlcmper' itacp fit cognitio ex afllmilatio
rie forma quiefeentis in anima ad formam pofteauifamextra,fiue forma quiefeens fit
forma fpeciei uel indiuidui cognofcendi,uifus ltacp comprehendit multas res p cogni-
tiohemjCognofcic enim hominem efle hominem, 8d equum efle equum,6d Socratem efle
Socrate , 8d cognofcit alia fibi afliieta , 8d arbores 8d plantas 8d lapides, qua prius uidit,
8d cognofcit illis fimilia , 8d omnes intentiones fibi afliietas in rebus uifibilibus ,8d qua-
titatesomnm rerum fibi confuetarum.quanon cognofcuntur fblo uifii per 5 y. huius,
liec tamen cognofcit uifus omne quod uidit prius,nifi quando fuerit rememorans for*
ma prius uifa,fton eft ergo cognitiouifualis comprehenfio folo fcnfu,fed per rationem,
forma prafentis rei uifa forma prius uifa & apud fe qUfefceriti conferentem, nunquam
enim poteft flericOgnitio nifi per comparationem forma quiefeentis in anima ad for*
mam uifam extra,ficergo patet, quoniam comprehenfio uifualis per cognitionem fem
per fit per aliquem modum rationis conferentis,patet ergo propofitum,

V •»••• LX I II Iv ' ' ' ' ‘ •" ''' . ‘

' Omnem comprehenfionem uifualem cognbfcitiuam in tempore fieri e ft
■ ' •. neceflS

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

necefTe, fed in minori cju£m fit tempus comprehcfionis per fola fntuidona

Quonia eni ficut iii pcedente^ppofic/one pramiflum eft , ols uifualis cognitio fitg
intuitione & formam in anima quiefcentem rememoratam & applicatam forma , nuc
per diligentem intuitum perfpeda,& quoniam omnis intuitio nt in tepore per hu*
ias,di omnis rememoratio forma prius uila fit plurimum in tempore, quoniam fit per
difcurfum anima per formas quas apud fe habet in imaginatione,qua li quaerenti ani-
ma ftatim occurreret, non edet rememoratio fod cotinuata memoria, quia itacg ambo
hac, follicet intuitio & rememoratio , uel ipforum alterum fit in tempore, patet ctia qd*
omnis comprehefio uifiialis cognofoitiua fit neceflario in tempore;fed in minori quam
fit tempus comprehenfionis per folam intuiti6nem,quoniam intuitiones exiftentes in
anima prafohtis memoria noh indigent Ut cOgiiofcantur omnes intentiones quafunt
in formis rerum cognitarum ei quibus componuntur inrei uqritate,fod iufficit in com
prehenfione eorum comprehendo alicuius intentionis propria iUis,aim ergo uirtusdi
ftincftiua comprehenderit in forma ueniente ad ipfam aliquam intentionem propriam
illi forma, erit rememorans prima forma, & gognofoct omnes formas, uenientes aci
ipiam,quoniam omnis intentio appropriata alicui forma ,eft fignahs fuper illas fora,
mas, ut quado uiius intuens Socrate,c6prehendit lineationem manus humana , ftatim
comprehendit quod fit homo, &! antequam comprehedatlineafione fua faciei uel par
tiumaliarum,excomprehcn(ioneergoquarundam intentionum qua appropriantur
forma hominis,comprehendit quod idem uiiibik fit homo fine indigentia coprehenfio
n is partium ahaj^quas comprehendit folum per cognitione pracedentem ex formis
relidentibus in anima, per comprehenfionem alicuius intentionis propria illi indi-
uiduOjUt per glauci tatem oculorum uel oris groflicie aut araiitatem fuperefliorum aut
fimilibusjcoprehendit totalis illius indipidui intentiones,& fimiliter cognofcet equum
per aliqua maculam in fronte aut alibi in corpore ,& feriptor ex quorundam compre*
henfione linearum cognofcit ornes partesdifrionisuel orationis,quam frequenter Si
continue; uidet,& quoniam coprehenfio qua acquiritur tantum per intuitione fit per co
fideratione pmniu partium rei ufra & omnium intentionem qua funt in ea, coprehen*
fio liero per cognitione fit per .eonuderatione folum quarundam intentionu qua font
in illa forma,palam quod uifio qua eft per cognitione eft in minori tempore , quim fit
uifio per folam mtumone3&propter hoc uiius coprehendit uifibilia alfueta uelociter
in paruo tempore quali latente lenium, & maxima illa qua a ilii primordio cognofoe*
re cofaeiritjUcl cu quibus multo tepore perfouerauit, patet ergo illud qd pponebatur.

LXV.

Viiio pef cognitionem praecedentem per modicam intuitionem no effi'
cit certam formae rei comprehenfionem »

Quoniam enim uifio per cognitionem pracedentem non eft nili circa totalitatem
& uniuerfitatem rei uifa fuperfiq'alitejrfi< in groflo & per quadam exteriora ligna illius
rei m'fre^i.-Uirtus diftincftiuacomprehendit intentiones particulares qualimtin illa r$
uifa foqindum modum qigoi eognouit respifas dx prima forftia illius rei uiia, in ani*
maexiftente,ied omnes particulares intentiones uifibiliu3quafrmt in rebus corrupti-
fbiis mutantur temp oris mutatione, u(fiis aut non: coprehendit mutationem intentior
num rei uifa per formam priushabitamje.il mutatio fuerit no manifefta nec coprehen*
fibilisauifii primo alp e cftu, cognitio ergp praecedes no efficit, heram rei cognitionem,
utpote fi in homine munda faciei, prius cognitO accidat poftmoduini macula uel dea*
trix in facie, qua no fit manifefta9cUm enim poftealongo tepore uifo illo homine non
cognofcet ipfum uidens fccundam formam fui quam priusmemoriter fcruauerat,ne£
tum comprehendet maculam uel cicatricem illam in facieiIli'us , nifi poft intuitione
diligentem facftam in illa maculam uel cicatrice^ thne copfelfrndet formS,eius freun*
du fuu cfle: & fimiliter eft fi macula femper in facie ipfius cogniti ftierit,nbn tame fuerit
uifoi mul tu manifefta ,t0jc em licet habeat uides apud fo forma illius no maculata, 1^5 ta
mm applicabit ipfam filius facie : maculata, OC no cognofcet ipfum riifi poft multa alia#

intentio

UBER. TERTI, VS. 73

fatencfonum particularium intuitt*onent,&ft«iiIiter eft inalfts indiuiduis uifibilium Si
intentionibus dtuerfis ipforum.In omnibus enim ipfis tiifio per cognitione praecedente
per modica molitione no efficit certS forma: rei comprehenfione,patet ergq ,ppofitu.
LXVI.

Nullius entium quidditas per fe eft uifibiiis,fed per accidens medianti*
bus intentionibus fcnfibilius quae per fe indentur,

Quonia enim ut fuppofitutn eft in principio libri huitis, uifio non completur nifi
apud peruentum formaru uifibilium ad anima , quae omnes fun t de genere accidentis,
ut patet per ipfaru fingulari enumeratione, palam cvr nulhus ftrbftantiae qliiddf tasfit de

tenere accidentis.quod nulla ipfarum per fe eftuifibilis,pet accidensaf tquiddiras iub
antiarum corporalium gcipitur i uifu, fcilicet per comprehcnfione fua jr- intefttionu
uifibilia q per fe uidenqfic ergo quidditas fubftantiae non fit nifi per cognitione intrin
fecam animaequa: fit ex coparatione formae unius pofterius coptehenfae, ad forma alia
prius coprehenfam quiefcente .in imaginatioercoprehenfio ergo quidditatis ftibftatiae
uifie,ut hominis uel canis uel alicuius alterius iubftanti£e,no eft nifi ex coprehenfioe af-
fimilauonis formae reiuife ad aliqua formaru uniuerfaliu quiefcentiu in aia & fixaru in
imaginationequamuifus ante coprehenderat.Si quia uirtus diftincfiiua qua: eft in anis
ma,per qua animare^ differentias dijudicat, ut homine no cfle cane,& ecouerlo, natura
liter aftimilat ipfas formas uifibiliu nouiter fcilicetuifasfbrmasformis naturalibus Si
fixis in imaginatione.Cu ergo uiftis coprehenderit aliqua re uifam,ftatim uirtus diftin
tftiua quarrit eius fimilein formis exiftenubus in imaginat/one,& illa inueta' cognofcit
per illa rem uifam,&: coprehendit quidditate das, Si u non inuenerit ex formis quiefccn
tibus in anima forma fimile forma: illius rei uifae,no cognofcet illa rem uifam , necp c-o-
prehedet quidditate eius : ficergo nulfa quidditas alicuius (ubftantta: comprehenditur
per fea'uifu,ied per accidens utpponitur.Si eiri aliqua taliu quiddicatug fe coprehen*
deretur a uifu, ergo Si om is quidditas cuiuslibet uifibilis fubftantiae cflet coprehefibilis
i uifu,ficut patet in lucibus di coloribus, & fubftatia; quanta ad fenfam Si fenfibile oppo
fitione exiftetes indiuifibilcs g fiias quidditates uideretur,qd’ non eft uerfi, oportet em
ut corpus uifibile fit alicuius quatitatis refpedu fligficiei uifus, ad hoc ut ipfum adu ui^
deatur>ut patet g ip.huius. Similiter quocg patet de oibus alijs quorumcucfjendu quid
dicatibp^emg ern quidditas cuiuslibet copofi ti copofita eft, et eius cSpofitione urfus g fe
coprehendere no poteft,& fi uifus aliqua quidditate, ut eft quidditas,cognofccret, tunc
uifus omne quidditatem cognofcerer, quaru multa: tamefunt inuifibiles,cu Oihes ipfte
fint per fc intelligibiles Si cum hoc fit impoflTbile,patet ergo propoli tum .

LXVI I*

Primum quod comprehedft uirtus diftindliua ex mtenfionibus appro*
priatis fbrmse uifibilf eft quidditas lucis 8C coloris,

Quamuis enim lux Si color fint per fe ipfa Qi primo uifibilia.ipfbrum tame quiddi
fates Si differetix eflentialcs folo fenfu uifus comprehedi n5 poftunt, quidditas enim lu
cis non coprehenditur folum g uifum,nifi cooperante uirtute anima: qua: eft cognofd
tiua,qm uifus cognofcit lume folis,& difti nguit inter lpfum & lume luna & lume ignis

f)cr cognitionem prius fada Si per forma in anima re(eruata,fimiliter etia quidditas co
oris non comprehenditur i uirtute diftindiua nifi per cognitionem quado color rei uia»
Cx fuerit ex coloribus afluetis Jlla autem cognitio diftindiua fit ex comparatione fors
ti\x coloris nunc uifi ad formas fimiles illi colori prius coprehenlas.no enim poteft ni*
fus comprehendere colorem rubeum di quod fit rubeus,nili quia cognofcit fpftim, quia
in ipfa anima uidentis permanfftformaeiusutpriusuifaffienim uifus nunquam colo-
rem rubeum antea uidiflet, nunc ipfom uifmn cognofcere non pofletded ipfum colos
ribus illi .ppinquius fibi cognitis afiimilajret,ut quotidie facit in noua gmixtione quo*
rumlibet- colorum. Cum itaqj uirtus diftindiua comprehendit diuerfita tem lucis fuper
resuifasSC diuerfitatem coloris, comprehendit etiam diuerfitatem quidditatis lucis S.
calorum quidditate,quamuis forma quam comprehenderet uifus fit admixta ex forma

t lucis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
lucis Si coloris,qux iiint in re u/(a,& quoniam lux di color font prima ui(ibilia,quorum
participatione di auxilio omnia alia uidentur,ideo necefle eft ut prima quod compre-
hendit uirtus diftindiua ex intentionibus appropriatis forma: uifibili,fit quidditas lucis '
di coloriSjtir ficut illis primo debetur uifiua comprehenfio,fic 8i illorum quiddita

tibus debecur p ie 8i primo operatio uirtutis diftindiua:, ut illis quoru pradentia prius
relucet in organis uiliuis,quae omnia fecundpm plus di minus accedunt ad diafonita-
tengpatetcrgo propoli tum.

Lxvm.

CSprehenfio colorisin eo quod eft coi or, eft prior coprehefioneqiuddi
tatis coloris, ex quo patet quod prior eft coprehenfio ornniu uifibiliu in eo
quod in fuo genere uifibiliafunt, quam fuaru fpecialiu quid dita tum.

Vifiisenim comprehendit colorem fentit quod eftcolor, prius qu^mferttiat cu
iufmodi (it ille color, ut patet in coloribus fortibus politis in locum non multumlumu
nofo . Ibi enim comprehendit quidem uifus colores indiftinde tantum , diftinguutur
aut per aduentum maioris lucis aut per longam intuitioncmiprimum ergo quod cora*
prehendit uifus ex forma coloris,eft mutatio membri fentientis & coloratio eiu!s ,qtto*
nfam apud peruentum forma; inuifum coloratur uifos,qui fentiens Ce coloratum ftatfm
fentit colorem deinde cx diftindionc&comparatione iplius ad colotes ridtos uiliii,
comprehendit quidditatem coloris:comprehenlio ergo coloris in eo quod eft c6lor,eft
ante comprehenlionem quidditatis iplius color/s,qus fit non g folu fonfum uifos fed p
cognitioncm,quando idem color prius fuit i iiiftr comprchen(us,& forma eius eft in me
rnoria animae conforua ta ,8i ii uifus comprehendat colorem extraneum, quam nunquS
indit ,tunc comprehendet quod eft color3& tame nefeiet cuiusmodi lit coloris, led com-
parando ipiiirn coloribus alrjs affimilabitpropinquiori colori fimili fibi,& forte plures
uidentes illum colorem limul ineodem lumine, aflimilabunt ipfom coloribus ditierfis,
ut accidit in colore confecto ex diflolutione corporis commixti,ex cupro & argento .
Illum em aliquis aflimilabit utriditati,quae eft ex cupro, & aliquis laezurio colori qui fit
ex argento.patet ergo.per has experimentationes,qtiod coprehelio coloris in eo qudd
eft color,eft prior comprehenfione quidditatis coloris,& quoniam color eft primu ui-
ifibile poft lucem ,patet quod prior eft comprchenlio omnium uilibilium in eo quod ui
fibilia font,quim iuarum fpecialium quidditatum;prius enim comprehenditur inlenfu
uifus in genere ipfe fi‘tus,quam aliqua lpccies fitus,& prius figura in genere, qitim ali-
qua fpec/alis figura, & fi contingat in uifo abfolui inipeeialem , remanet tamen gene*
ralis,uel illa qua: eft primi generis ,uel illa qua; eft generis fecudi,& hoc proponebatur*
LXIX.

Diuerfaruin intentionum uifibilium per rationem 8£ diftintflionemfil
comprehenfto finiul in inftanti,fimilium uero in tempore.

Figura enim di magnitudo,^ diafonitas,& plura fimilia, quando comprehendun
turprimo afpe<ftu,qui fomper fit ininftanti temporisper y y ,huius,fta tim ut uifu prse-
fentant per rationem di diltindioncm propter uelocitatcm rationis in eodem innan-
ti comprehenduntur ,&! omnes intentiones qua: funt in illis: uirtus enim diftindiua no
arguit per copofi tionem di ordinationem propofitionum ad forma iyllogifticam,(icut
ergo in intclledu qui eft habitus primoru in aditiali intclledu ppofitionu uniuerfaliS
& per fe manifeftaru non indiget aliquanto tempore, nec etiam indiget tempore in ap
prehendendo conclufioes particulares ex iIIis,quoniam cum intelledhi propofitionisu*
xmicrfalis fimul accipit conclufione,quar immediate fequit ex illa, /deo quia ala huma*
na apta nata eft ad arguendum fine difficultate & labore, unde etiam non percipit ho*
mo,c]uod coprehenfio qua; fit per rationem di diftindione fiat per argumenti?, ftcutpu-
trrulus ex duobus pulchris diftinguens & eligens pulchrius,non percipit quod id fiat g
iiiam argumentationis di confiderationis eligendorum, hoc itacp modo fimili di con*
iormi qua tenus eftpoflibile fit omnium intentionum uilibilium per rationem di diftin

. dionem

dionem in inflanti comprchenfio.Diftindio em & argumentatio uirtutis diflfndiua:
•. fitilatim uenientibus formis intra medium nerui cqmmunis,quoniam totu corpus ex
cenfum a fiiperficie primi oculi recipiente formas ufcgad medium nerui communisjeft
fentiens & diafonum, & fic per ipfum tranfitus intentionis formarum in inflanti, eum
ftatim ultra oculi fubftant/am ntipiritus uifibilx* diafbnus5per que uirtus ienfittua dea
fertur ad topjm diafonum omnium humorum & tunicarum amboru oculorumtomnia
enim diatona illa illuminatur i luce & coloraturi colore uncj uej diuerfls iecundum dia
qerfuatcm colortim corporis fenfati,& corpus quod eftin concauitate nerui comtmis,
dl qltimum corpus ad quod perueniunt lux di coloncum ergo extenditur forma i fag*
ficie prima membri fentientis ulcp ad medium nerui communis,quailtbe t pars corporis
fentientisfentiet formam ; & cum peruenerit in concauum nerui communis , tunc co-
mprehenditur ab ultimo fentiente,&! tunc fit diflindio formarum, non tamen inter adfi
Jliftindionis&adu primi afpedus efl differentia temporalis, quoniam ficut lumein
uno inflanti le multiplicat per mudi diametrum propter corporis medi) diafonitatem,
. lic euam forma lenfibfles ut oflenfum efl per y y .huius, in inflanti per tingut trans me-
dium quodeunep corpus diafonum ad medium nerui communis, ybf per utrtutem ani-
ma fentiuntur comprehenduntur 8i di{lingunttir,& quoniam uirtus anima efl indiui
f?bilfs,fic hoc totum fimul in unico inftanti,quoniam uero intentiones uifibilium fiunt
~fimflesualde,uteftuiriditas ruta uiriditati menta, tunc nonfitipiorum diflindio in
•inflanti illo, quo utracg illorum uiriditatum comprehenditur 3 uiui,fcd poft compofir
tionem unius ad alteram ex poft fado coprehenfionis,fit ergo in alio inflanti , & uc ijis»
ter inflans primi afpedus f?mplfcis8d inflans diftindionis cx comparatione necefla*
rium efl tempus medium alTumi, patet ergo illud quod proponebatur. ..

Comprehenfione quidditatis coloris in tempore fieri eft necelTe, ex quq
patet quod comprehenfio quidditatis omnium fimilium uifibiliumnon
fit nifi in tempore .

Fic enim comprehenfio quidditatis coloris pofteomptehenfionem coloris in eo
quod eft color, ut patet per 68. huius ,& quoniam color in eo quod eft color non poteft
comprehendi per afpedum fimplicemnifi in inflanti per yy. huius, cum ergo compre-
henfio quidditatis alicuius coloris fit com polita ex comprehenfione coloris in eo quod
eft color, & iniiiper ex alia diftindiua comparatione confequente,per quam quidditas
unius colorisdiilinguitur 3 quidditate alterius coloris, ideo quod omnes colores mi*
xti habent eflentialem conuenientiam in adu dC hypoftafi Iucis,& inftiper habent plu-
res iplorum adinuicem maximam conuenientiam in proximitate mixtionis, pala quia
illadiftindioquidditatisipforumcolorumcornpleturinalio inflanti temporis qu3m
comprehendatur 3 ui(u,led inter quibus duo inflantia eft tempus mediu,quia itacp co*
prehenfio quidditatis coloris fit per diftindione unius eoioris ab alio,pala per praemif-
fam, quoniam illa diflindio completur in tempore, ergo & comprehenfio quidditatis
neceflario fit in temporejuifus quoq non comprehendit quantitatem coloris nifi g in*
miitionem.quoniam fi color no fuerit in aliqua fuperficie3ita ut fibi poflint infigi axes
uifuales in tepore lenfibili,no coprehendit uiftis quidditate coloR;,unde in rebus ueloci
termotisno diflinguitquidditascoloristfedfiplures in re uelociter mota (int colores
uidebunc oes indiftinde unus permixtus color,ut patet in pila diuerfi coloris uelociter
mota per iadu fortem,patet ergo coprehenfione quidditatis ipfius coloris in tempore
fieri eft neeefl£,8d ex hoc patet q> comprehenfio quantitatis oim forma p; uifibiliu n5 fit
nili intepore.Sienf uffas nqpoprehendit quidditate coloris,qui coprefienditur folo fen
fu uifus,nifi in tepore, pala qcPplus indiget tepori intentipnibus alipjt: uifibiliu quacco-
prehenduntur plurimS diftindione&! CQgnitionetpim |tacg intentionum uifibiliu quid
ditatu cSpreherifio fit in tepor e, licet illud tempus quandocg fit ualde paroum,$: hoc ,p*
ponebat. "i xxu

Vifus in formis indiuidualibus miriori tempore comprehendit inten»

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
tiones fpcdales quam indiuiduales.

Quando enim uifas comprehendit aliquod indiuiduum hominis, comprehendit
ipfum efle hominem prius qudm comprehendit formam eius particularem, & forte
per intentiones formx horni nis,ucl per aliqua couenientia propria formae hominis co
prehendit ipfum efle hominem, quamitis noti coprehendat lineatione fua? faciei,utpote
ex reditudine corporis & ordinatione membrorum corporisrindiuidualitas autem rei
uifie non coprehendetur nili ex comprchenfionctntentionu particulariu illi indiuidoo
propriarum omnium aut quarundam,& harc comprehendi non pofliint nili poft com
prehenfionem uniuerfalium intentionum, quae font ex genere tiel ipecie illius indiuidui
omnium aut quarundamdedeomprehefio formas partialis eft in minori tepore quam
formae totius,& quoniam indiuidualitas addit aliquid fuper fpecialitate, patet quod in
diuidualitas eft quali quaedam totalitas rcfpeduipecialitatis , comprehenfio ergo fpe*
cialitatis rei uifie eft in minori tempore qirirh comprehenfio indtuidualitan's,& hoc jpt
ponebatur, LXX;H,

Intentiones fpeciales 8t indiuiduales quorunda uifibiliuafluetorumino
r i teporeafrjs intentionibus fpecialibus & indiuidualibus coprehendutur .

Quxdam enim fpecierumuifibilium afliietorum non aflimilatur alijs fpeciebus,ut
fpecies hominis,qute propter corporis recftitudlncm nulli aliorum animalium aflimi*
latur, & quaedam aflTmilanturalrjsfpeciebus, ut fpeciescqui, qux aflimilatur multis
animalibus in tota forma, tempus ergo in quo uiilts comprehedit (peciem indiuiduiho
minis,& comprehendit ipfom eflehoinincm,eft minLis tempore in quo comprehendit
equum efle equum, di maxime quando comprehendit utracp iftorum in magna remo-
tione,qm uifus comprehendens indiuiduum hominis motum localiter, ftatim compre
hendet ipfum efle animal, ex mpni& ex corporis eredione coprehendet ipfom efle ho-
minem :led licet per motu etia pbflit coprehendere quod indiuiduuiii equi fit animal, 8i
per numcrSquatuor pedQ comprehendit ipfum eflebeftia,non tn .ppter hoccopreheh
det ipfum efle equum.qrn intentiones equina: quae funt i fpacio remoto uifo perceptibi
les,foht. in pluribus quadrupedfqquae aflmlilantur equo in pluribus eflentialibus S>i ac#
cidentalibus intentionibus,ut in muIo&inalrjs.Siitacguifusnon coprehendit aliqua
intentionu propriaru equo, no comprehendet illud efle equfl , quia itaqj tempus in quo
comprehendit uifus eredione corporis hominis,noneft ucut tempus in quo comprehe
dit forma equi cu intentionibus parricularibus,per quas diftinguitur equus ab alijs bea
jftijs, ut eft lineatio fua- faciendi extefio colli, di ueIocitasmotus,Si pafluiim amplitudo;
comprehenfio igitur fpecid hominis eft in minori tempore quam coprehenfio ipeciei
equi, qua inuis enim illa duo tempora funt parua.th unum ipforum focudum omnes di-
(pofitiones eius eft maius altero, & fimiliter quia rofx hortenfi nullus alius flos aflimila
tur in forma fux fpccici, nel etia intentione fax rubedinis , ideo uiius' inminori tempo*
re comprehedit eius fpedem per rubedinem rofeaceum, quam (peciem ruta: per eius ui
r tditatem,au multa: herbarum aflimilantur: di uniucrfaliter quidditates omniu Ipecie*
rum qu?e pofltint aflimilari ajtjs, non adep cito comprehenduntur a uiiii , ficut quiddi*
rates omnium fpederum,quae pauds uel nullis aflimilantur, & fimiliter etiam eft de in*
diuiduis,q.uon<amiiidiuiduumnuIli aln aflimilatum comprehenditur per modicam in
tuitionem di per figna, illud aut indiuiduum , quod aflimilatur alio indiuiduo , oportet
quod comprehendatur per multam intuitionem,patet ergo illud quod proponebatur,:
lxxiiIi

Virtus fen fitiiia comprehendit quantitatem anguli,quem in centro uifus
refpicit fiiperfictes rei uifie folum ex cornprehefione partis fuperficiet uifus
in qua figuratur forma rei uifie ,

Qtiauis em ordo purae mathefis fit in hoc,ut £ quantitate angulop: foiat quatitaspar
tium foperfiaefy fpharraru illis angulis fobtenfaru.eo q3 fiait centru eft principiu cofti
turionis totius ipha;ra-,fic ptes anguloje S.folido^, q funt circa centru lphaerar,ur circa'
':tl' '■ quodlibet

LIBER. .Q,VARTVS<!*3 'i 7f

^dlibtt imuterfi gtiu fit principiu diftindiiiu bis gtis fugficici JpliEttiat g Br.pi^m/huis»
tamen in hac (cienti* ienfibiiis experientia, quar naturaliureru cbditfonepermilcetur »
virtus lenffttua ex comprehefionc partis fuperficiei uifus,tn qua figurat forma rei uif*>
comprehendit i pofteriori uia (en (ibus competente quantitate anguli, qua in centro u*
- ftr'src(piritfuperfiriespr*fata:(enfasenirn.ui(u<; naturaliter com p rehendi c i jfernfugfi
ciem,/n qua figuratur forma rei uife per diftindione lucis & coIprfsrqui perie. ^ccidut
in illa parte ab altjs (uperficiebus uiiiis diftinda ,&i quando coprehenait quantitate illi-
us partis, tunc imaginatur angulos quos refpiciutill* partes, & comprehendit quanti-
tates eoji! apud centru uifusfecundu quantitate partin fuperficiei uifus illis angulis iiib-
tcnferfbangult aut tunt non certificantur nifi per motu uifus relpicientis fuper diame-
tros reitrife,aur fuper ipaciu,cuius uifus ma gnitudine uul t (cire: patet ergo prOpofitu:
& licet linea; radiales in centro uiiiis non concurrant, qfn peruenit interfodio axiu uifti
alilim ad mediu piindu nerui comunis,ut in pr*cedentiu theoreitiatu pluribus patuit,
'partes tarrie iiiperffciei uiiiis ipftus informantur fecundu modu qiib 1 ine* radiales cdru
airnmt iri centro' ififius ui(iis,nifi ip(os refradio in medio fecundi diafoni prxuenis
requt patet per zz.huius,&hoc eft notatu dignu,qm nos ihfequetibus utemur centro
uifus, ac (? line* radiali fri ipfo angulariter cdcurrant,qafc3mhoc ois Uifiofriformat,

LIBER QVARTVS

perspectivae vitellionis

Radauimus in prxmiflo tertio libro de proprietatibus organi uiliui, Si de
eflentialibus modis uidendi,nunc aut reftat,ut in hoc quarto libro .pfequa-
mur .pprietates omniu ui(ibiliu,qu* ut inprincipio tertij diximus,funt ui*
gintiduo.quoru tantu duo.f.lux Gi color fnn t per fe uifibilia . Alia uero ui^
dentur per accidens,uel quia pluribus alijs fenfibus percipiuntur , uel quia
, non uidetur nifi ppter luces 8i colores,u{: patet in lingulis ipforu,& qrn in prxmiflo ter
rio libro de uiftone lucis Si coloris fetis prpmufimus,ideo nuc alia zo.uifibilia reftant g-
tra (ftanda:hxcitacp omnia, paffionesqubcp&l deceptiones, qux accidut uifibus Si po
tenttjs intrinfecis. animx circa illa naturaliter .ue! mathematice,prout natorarei Si pofo
fibilitas noftra fert,fub modo demonftrationis fflo ordine percurremus ,unicuicp ipfope
fux uifionis modu di in fe di in fqis gtibus prsmittentes,deceptiones quocp qux in ipfo
uel tantu uirtuti uifiux,u'el etiam potentfisanimxintrinfecis,ut qua: uirtuti diftindi*
u* di rationarius accidunt,cum rhidio fubiugemus:qux aut prxmittimus fu nt ifta.
Forma dicit diredle uifibus incidere,a qua producta linea reda fuper (uperficiem ui-
fus eftgpendicularis incidens ipfi centro foraminis unex, Oblique uero incidcre,di-
citur a qua pduda reda dido modo non eft gpendicularis. Linea direde uifui oppo
fitaidicitur illa cui axis radialis gpendiculari ter incidit fecundi! aliqftod eius pundum.

Linea obliquata ad uifum,dicitur cui axis radialis ad nullu fili pundu gpendiculari-
terpoteft incidere. Supcrficiesdiredeoppofita,diciturquando axisradialis ppendi-
culariter erigitur iuper illam. Superficies uero obliquata ad uifum ,dicitur quando a-
xis radialis pundis illius iuperficiei incidit oblique. Complementu diredionis in op
politione uifus eft,cum axis gpendicularis incidit medio fuperficiei,uel lineae oppofitx
uifui,&! quanto magis pundus,cui incidit axis gpendiculariter/uerit medio fuperficiei
aut line* ppinquior tanto erit fuperficies uel linea maioris diredionis in oppofitfone.
Vera comprehenfio per nilum,dicitur illa inter qua & ueritatem rei uife non eft di-
uerfitasfenfibilis omnino refoedu totius rei uifar. Remotio unius rei ab altera, eft pri
natio cotadus inter illa. Conus dicitur pyramis rotunda uel uertex pyramidis Cuiuf
cuce rotunda: uel Iateratx, Petimus aut hxc. SubeleUatioribusradifs uife eleuatiori
apparer e,fub dediuioribus uero decliuiora,^ fimilitfub dexterioribus radqs uifa dexte

s i tiora

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
riora apparere, fub finifterioribus uerofiniftcriora. Itemfuhpluribus angulis uift {?
fpicatius uideri , = Item amnes uifiis aequalis difpofitionis seque ueloees elle . Item
omtie totum uideri maiusfua parte.

THEOREMA I.

Ex intemperata proportione ci rcumftantiaru formaru uifibilium adui
fum fit deceptto in uifu,nonfolum fecundum fe,fed fecundum uirtucemani
mpe diftindiuam »

JExhis quae declarata funt in librp tertio patet 8 .eflenece(Ian'a ad perfedam opera
tionem'piius,quae (unt luXjdifpofitioneSjUifibijia ^ uifun^per i .teftfi huius .Item diftan
tiq uifibiUs i aify per i y .terttj hqjus.Itgtfi (itus oppofitionis iplius ujfti? per z. terttj hu*
ta$Hfp$is refipedu axis: comunis per 44.fq;pj hpiqsjfem trognjtudo corporis jv 19.
tfertrj huius .Item (olidi tas corporis uidendi per i4,terrij.huius.Itemdiafonitas aeris per
13 .terfijhutus.Item tempus conueniensintuittom facienda; per j-6, terttj huius .Item
fanitas uifiis per 1 6, terti) huiusjqpodlibet autiftoruiatttudiriem habet ,pportionata ad
rem uifamflux enim habet latitudine, qm lux maxima impedit uifiin^,&Iiix debilis non
educituilibiiiainad:uageiK(iinuifum,undecorporammuta uel intentiones uifibiles
minutae non indent in luce debili ,ied eft ibi latitndo in tjs lucibus, quae eft magnitudini
corporis pportionata, Diftantia quoq? uifibilis a uuu fiue ipfius remotio latitudine
habet: corpus enim aliquod ab aliqua diftantia plene comprehendit,^ ab alia non ple*
ne,&: infer illas diftantias eft latitudo magna,in qua fit plena comprehenfio corporis i!
Iius3& fecundi! cp magis fuerit corpus, maior erit latitudo diftantiae fpactj fecunda qua
ipfiim poterit uideri. ' Similiter cu magna fuerit declinatio alicuius corporis i diredio
ne pppofiupnis ipfius uifiis, non comprphendutur particula: uel notae paruce quae funt
in ipfp,qua: in pania declinatione corporis uiderenf,& eft ibi inter illas declinationes
latitudo. Similiter corpus pamafitum exha^jcem.Comimem uidebiair multu elofigatS
& occultaf:^,8C idem corpus fitum dr&axei$ comunemutdebitur aperte, palam aut qp
litus refpedm axis coiminis habet latitudine ,qtn habet habitudine ^pportionata ad cor-
poris magnitudine & minutias ipfius. Magnitudo etiam corporis habet latitudine;
fi eptm partes rei uifae non fuerint ,p portionales totali magnitudini uifae , occultabutur
uifuft&fj fuerint .pportioales totali uifae magnitudini,fit tn corpus totale modicum , ad
huc non uidebuntur,unde in piduris modicisaliquas particulas nonftatim percipimus
iiifu,iicet .pportionalcs fint fuis fotis: latitudo ergo magnitudinis rei uifie amorttona-
ta debet elle ad totale corpus,cuius fuerit pars illa uifa magnitudo . Soliditas quoqj
habet latitudine ,pportionatam ad remdifam.Si enim in corpore aliquo color ualde z*
cutus fucrit,licec ipfiim fit pauca: folidita tis,illnd t ame corpus uideri poterit, q» no acci
deret maiori folidita te in illo corpore exiftente,qm forte color .ppter refledione uelie-
mentem luminis impediret uifiim,qua:refledto fieret ^)ptcr magnam corporis folidita
tem;& fi color fiierit obfcurus,tuc forte accidetminus folidu debilius uideri coloreeius
qbfciiro, exiftente. Diafonitqs etiam aeris habet latitudine,quia per flammas & per
fumos np fit uifio rerum minuta^, led forte groflaru, fient fi per ipla uideret carta no feri
ptura. Tempus etiam conucmens intuitioni facienda; latitudinem habet, quia cor*
pus fiibito uifum pertranfiens,non comprehendit i uifu,&!quandoqj motus trochi non
uidetur,quia eft uelociftimus in tempori ualde patuo. Sanitas etiam uifiis latitudine
habet, in qhufda em ifirmitatibus triinutiae corporis,nifi abfcodant,in minori lpacio p
cipiuntur^oC Uifiis debiliores non uident illa qua: occurrunt uifibus fortioribus, Vni*
uerfaliter crgo.quilibet iflforu motoru, in quo non uerificatur forma rei uifa;,ficut eft in
rei ueritate,eft egreflus & teperantia ad rem illam mdenda,pportionata , & harc omnia
fe alterutru refpiciunt , fc3m conuenientes adinuicem ^portiones, & §dl(bet ipforum
ad alia odo conuenientem, oportet % habeat dirpofitonem,qtioriim pertradatipnere*
linquimus confidera tioni anima; res propinquius ipituentis >

Impof

7 6

LIBER. QJTARTVJ,

II.

Impoflibileeftuifum unam intentionum uifibilium per fe fofam com*
prehendere.

Vifus enim per le comprehendit form as uifibiliu,qux lunt corporalesromnes ante
formxcorgales funt copofitx ex multis intentioibus uifibilibus particularibus prxdi*
diis, jficut magnitudo non eft fine figura, & figura non eftfinefitu,&: hxc omnia no fiinc
fine coIore,£d color non eft fine luce,& lux no diffunditur nifi in corpore:uifiis itacp no
comprehendit aliqua iftaru partium intentionem,nifi ex copreh enfione formapa uifibt*
liucopofita^ex pluribusintcntioibusparticuIaribus,quaruquaIibetfimulcomprehen
dit uifus, & qih nulla intentionu per fe lola complet aliqua forma ju corporaliu lenfibilis
um:palamq>impofl(bileeftuifnmcoprehendcrealiqaam illait intentionS folam per
le,fed lemper lunt plures illaruintentionu fimul in forma lenfibili congregatxanliis er
.go coprehendit fimul lemper multas intentiones particulares.qux lolu difringuutur au
xilio uirtutis diftindiux per imaginatione^ fic demum u iliis comprehendit intentio
nem particularium quamlibet diftindlamjquod eft propofitum ,

• irr. IU..,

, Non fub quocutn^ angulo res fenfiblles indentur.

Quod omne qcf uidetur lub angulo uideatur,patet per corfclariu 1 8 .terrij huius,&
etiam cu per 1 9. terti) huius,corpus uifibile oportet ut fit alicuius quantitatis refpedu uf
•fus ad lioc ut adtu uideat,palam ergo, q> fub angulo contirigentix,qui eft indiulfibtlis g
• i j\ terrij huius.non erit polfibile aliqua rem uiderhomnisenirh angulus lub quo poteft
fieri uifio,eft diuifibilis g axem pyramidisradial/s lugficiei ipfius niliis opedieularj' ter in
ciderem,eo q> omnis uifio fit per pyramide uilualem , cuius balTsfuperncies rei uife per
1 8 .tertii huius, uel ad minus ille angulus eft fub illa axe,& lub alia 1 inea longitudinis ra
dialis pyramidis contentus, ut declaratum eft in 5-4. tertrj huius,eft ergo recfiilineus,eft
•ergo diuifibilis per 9 .primi, & qrh maximus anguloR:,fub quo fit uifio,eft quali redlus,
ideo q> diametri! foraminis unex qux fobtenditur illi angulo in centro uifus,eft qualia:*!
qualis lateri cubi inlcriptibilis Iphxrx unex,uel lateri quadrati ifcriptibilis circulo ma
gno illius ipharne.ut oftendimus in 4. terti) huius.illi aut lateri lemper fubtendit angu*
lus reclus per ultima: fexti.qm eius corda eft quarta circuji. Si ergo uifio fieret acli 1 ia
nex radiales in centro unex concurrent, tunc maximus angulus lecundu que fit uifio, et
let quali angulus redlus loIiclus,ita q» pyramis uifualis maxima fieret recftangula, & Ic
midiameterbafis illius pyramidis fieret xqualis axi: fit aut uffio sic fi lineae cdhciirrant
i n centro uifus,ut patet per ultima terti) huius:centru uero uifas eft remotius in profim
do cfi centri! unex per S .terti) huiustmaior ergo angulus lecundu que fit u ifid, eft minoir
rcdo,(cd non multi! minor,quia illor 5 centro^ Iphxrx IciKcet unex & ocUlf,no eft mas
gnadiftantia,£d fit axis maximx pyramidis uifualis maior lemidiametro bafis eius, led
non multo maior:& hoc patet etiam experimento,qfn fi aliquis ftet in campo plano cs
re<ftus,& aperiat oailu ut amplius poteft, tunc uidebit quali quartam circnli maioris
fphxro^ cceleft is per zenith capitis tranle untis,& per anguli huius diuifionem fit uifio
partium illius,&: omniii rerum illis angulis lubtenfar5,quoulcg perueniat ad angulum
mintmS,quifidiuideretur,nonffcretutfiolecunduilIum,licetenim omnis angulus re*
dtilineus mathematicus fit in infinitu diuilibilis,in angulis tn naturalibus , fc3m quoru
difpolitioem fit pallio operationis fenfibiIis,oportet ut fitftatus in diuifione,quando mi
nus lenfibilc illo non erit,necg ergo erit uifio fenfibilis lecundu illum,lcd omnis uifio eft
lenfibilis,cum fit adlio fenfitiua, nulla ergo uifio erit fecundu angulu minorem illo, non
ergo fub quocuncp angulo res fenfibiles uident,& hoc intelligendum eft fecundum lia
•neas radialesperpendicalariter liiperficfebus uiluum incidentes non oblique, fecundum
quas obliquas fit incerta uifio,8i confiifio formae rerum uifibiliQ in uifir, ut oftedimus
in 1 7.terri) huius,patct ergo propofitum.

Forma,

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

XIII.

Forma tineas pcrpendiculariter fuperfkiei uifus oppofitae non uidetlir,
quonia per ipfam folum fit diftindtio pundlualis,oppofi'tae uero uifui fecun
dum longitudinem fecundum fui formam propriam uidetur.

Efto ut uifui,cuius centrum fit d,ppendiculariter incidat linea a b, qua fit aliqua (en
fibilis,utpotecorpusIongum infenfibile habens lati#
tudinem, ut pilus, qui licet fit columna rotunda, uel la
terata,bafis tamen eiusi uifii percipi non poteft,dico
q> tale corpus taliter difpofitum no uidetur ,eft enim
angulus in centro uifiis,cuifubtendit bafis eius dia*
A. me tri penitus infenfibilis,fecundu qeP non poteft fieri
uifio per pracmiffam, in formis tame alijs uifis fietper
incidentia formaehuittfinodi coipis aliqua diftindio
puncfhialis infenfibilis,qin forma pundi illius gpendi

fi culariter incidentis,fe formis pundorv cireuftantium

aliaruformattimmiicebir,&c5nonfitdegenereilIo*
ru,neccf&riO aliqua faciefcfiftindione,ita,ut!lfomm
corpopa formae adu,licetnon multum ienfibilker di#
c ftinguant,ncc ad naturam continuitatis unius lineae
pertfngimf,oppofitauero linea uifui fecunda longitudine fiue fit pofitio direda uelob#
liqua/emper ipia fecundu fui formam ppiiam uidebitur, qm tota eius longitudo.lub
angulo uno ,& partes eius fub angulis fenfibilibus peruenient ad uifum,ut fi Irrita ab c
opponatur uifui d fecundam lui longitudine,& fit diftantia conueniens,tunc ipfa tota
uidebitur fub angulo a d c,&S pars eius a b fub angulo a d b,& pars eids b c fub angulo b
d c,& fiuefif reda uel curua,uel irr egularis,femper aliqua longitudo fecundu latitudi-
nem defctibetur in oculi fiiperficie, fecundu q> eft in ipla linea ,& per longitudine fenfi-
btlem S>C latitudinem non ferifatam uirtus diftiadiua forma linea iudicabiqut accidit in
lineisnaturalibus quae funt ut quidam pili,patct ergo propofitum.

■' v«

Superficiei oppofitsc uifui taliter,ut imaginata protrahi fecet oculum pes
cius centrum una tantum linea,oppofita: uero uifui fecundum latitudinem
forma propria uidetur.

Oppofita enim uifui fiiperficie, quacuncp fiiperficie per mediu quo pponit formae
omniu ptmdoR; perpediculariter incident fuperficiei uifus, concurrent in centro , Si
quonia forma cuiuslibet illoru pundoiis facit aliqua diftindione in uifii per praceden#
tem,di ola illapimda fecundu longitudine incidentia coniuda cadimt in quada linea,
patet cb illias fupficiei fic dilpofita una tm linea uidet,oppofita uero linea fiiperficie fe#
cundu lui longitudine uifui forma cuiuslibet fua linea uidet fecundu fui forma propria
linearis p pracedente:tota ergo fuperficies fecundu feu' forma^pria uidet, qmfemp tri
debitur longitudo &i latitudo aliqua, fiue illa fuperficies fit plana fiue cocaua,ueT conue-
xa,qa no eft differentia in illis quantu ad (ppolitam pafiione, patet ergo propofitum.

VI.

Corporu uifibusoppofitorufolse fuperficies a folo uifu coprehendunt.
Quia enim i. folo uifu corpora uidentur,fecundu q> forma ipforum uifui fe offerur,
Si in eius fiiperficie depinguntur, ut patet per 17. ternj huiustforma Uero profiindita#
tis cor pornmuifibus non offeruntur ,fed folum ea quibus fecundu longum di latum fi#
nexdudx a* centro uifus incidunt, ut patet per z.terrij huius, hac auc eft difpofitiofup#
ficialiscorpo^ergo uifibits oppofftoru folx fiiper ficies a' folo uifii comprehenduntur,
& fi una fit corporis fuperficies, fiue i it illud corpus fphaericum concauum uel conuexu,
una tantum uidebitur fuperficies, di fi plures fint corporis unius fuperficics,u£ in coipo#

LIBER. CtVARTVS, < 77

ribus omnium planarum fuperficieru St columna,** rotundamm,& pyram idu&! portio -
num Iphaeraru quarucuncBjiemper non nili plures lup er fici cs uidebuntur.ac li no edet
corpus, led quxdam fu perficies ficexten(a,fine corporis medi] inclufione, patet ergo ,p*
po (itum, quia itacp palfio in lineis uiiui accidens.delcend/t in fuperflcieru uifionera , St
paflio in lupficiebus uifui accides defcmdi t in corpor u uifione,foIa uero corpora per fe
uidcanttir.quia iolum corpora per fe lunt entia naturalia fenfibilia , 8t fuperficies ,8d lif
nex in illis lunt imaginabilia.Parcenduni nobis eft:, fi uifiiales pafliones corporum pro
ponimus per modum paffionu uifualium fuperficieru uei ltnearum,quia q> uilibus inii*
n eis acciditjCorporum longitudini uel latitudini folum redimamus accidere, & q> (liper
fidcbus accidit , corporum longitudini fimul cum la titudine neceflarium eft . euenire,
unde tecundji iftojK conuenientiam fiiperficiebus uel lineis nos pofterius utemur,

' VII* . .

Omnium jequaliuuifibilium quP a propinquiori uidetur,{ub maiori an
gu!o uidetrqcfueroaremotior^fubminori .

Sint duae magnirudines aequales b c St 4 e3f?t'q$ centrunvuifiis a,fit'cgbc propinquis;
oruffiii a cp ipla d e,dicq q> b e t uidetur fub maiori angufo cp d£, ■' _
ducantur enim lineae a b a a c,8t quoniam hx linex conclirrurit iri ‘
puncfla a, palam q> non arquediftant per diffinitionem ^quedlftan
tium linea ruded neq; concurrent in aliquo alio pufto 3j in a, quia „
lic dux redae linee (uperfleie mcluddret,qd' eftimpoflfl>ile,tiuhqj. ■ \
ergo concurrent alibi cjj in pundo a.protradae uero ulti a piyida
bac,(anperibuntindiftantiam,ergonun^tangunt lineam dq,
nec erit uifioaliquojirpundorGlinexdelqcunduillasper *.tertij
huius.Si ergo extrema punda linex d e uideri debent,hoc erit fe*
eundum lineas cadentes intra lineas b a & c a, quae fint linea: a d St
a e.fiue ergo magnitudines b c &! d e aequediftent fiue non,duda i
pundo dxqucdiftante&xqualiipfibc per 3 1, primi, patet g 34. A-

primi huius ,qm angulus b a c erit maior angulo d a e ; linex ergo
a d & a e funt angulu b a c diuidetes,qa uero angui? partialis d a e eft minor totali an-
gulo b a c, patet id qd* pponebat fimiliter demoftradu eft,fi lineape bcSdcd xqualiu
ut idem terminus,qui eft c,uel fi fint adinuice declinantcs,tuc enim idem accidit q> pri*
us,totutame q3 hic proponitur per t 08, primi huius perfedius patetjemotioris enim
uifi axis pyramidis radialis,eft longior axe pyramidis radialis propinquioris uifi, unde
anguli (olidi in uerticibus illarum pyramidum diuerfificantur,patet ergo yppofitum.

VIII.

Vnumquodqj uiforum longitudinem habet ipacq , ultra
quod non uidetur.

Sit centrum oculi b, res autem dg fit uiiafub minimo angulo uilui
determinato ,dico q> illa res qux eftg d in ulteriori (pacio n5 uidebitur;
fit enim pofitum g d in.fpacio ulteriori, in quo fit puncfhts k, fi igitur g.d
uidetur in punefto kmecefle eft per prxmiflam ipfam fub minori angulo
uideri cp fub illo minimo,qui eu uilui de terminatus :nec enim fub mino *
ri angulo uifibile potuit ad uifiim multiplicari,angulus enim multipli*
cationis formarum ad uifiim tam diu poteft diminui,donec forma prin* ^
tfomm extremitatis rei uniantur,& fiant pundus unug,nec res uidebi-
tur nili pundualis,uel nullo modo uidebitur,patet ergo propofitum.

IX.

Remotio rei uifse abipfo uifu non eft comprehenfibilis a
folo fenfu uifus,fed auxilio uirtutis animae cognofcitiuas St di-
ftin&iuje.

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Intentio enim remotionis inter duo corpora eft priuatio contadlus propter aliqct*
fpacium inter illa duo corpoi a exiftens:aon comprehenditur ergo remotio perfeauiiir,
fed auxilio uirtutis cognofcitiuar & diftindiiKe cognofcentis atruqj extremor u corpore
di diftinguentis inter ifla,fit tame talis comprchenfio no in tempore,fed in inflanti, qui
e (eunt enim in anima intentiones fcnfibilcs,per quas coprehendit remotio, di quia ili*
intentiones reqnieuerut in ai a per temporalongiora,ideo .ppter nimiafrequentatione
di iteratione formajt illatu pluries in uifu frt&a.no indiget uirtus diftindiua nouis coi*
lationibus teporalibus apud coprehenfiongillajt intentionu,fed ftatim coprehendit re«
motione fimul curei coprehenfioneppter cognitionem antecedente, quia enim oculis
apertis res oppofita uifui ftatim uidetur,& ftatim daulis oculis uel re ablata ab oppoli*
tionenon uidetur,condudit ratio q? illud quod accidit eflcin.uifu apud aliquem certum,
litum, & non ma ne tpoft cius ablationem, non eft fixum intra uifum, & quonfam forma
ipfius per quamjuidetur,non eft intra uifum,eftergo ab extrinfeco i corpore (cilicct exi
it ente extra uilum,non contingens uifum ,eft ergo inter uifum di illam rem uiiam re*
motio. Fit autem \vxc argumentatio non in tempore,fed ftatim fimul cum fimplici
a(pedu uifionis,quoniam ex frequentia iiifioniscurh hac argumentatione quiefeit in
anima uniuerfalis ,ppofitio,qu5 etia aia no geipit apud fe qefcente,&: eft q> oia uifibilia
funt extra uifum,&: cp inter qualibet rem uiiam & ipium uifum eft remotio , patet ergo
^ppofitum. X.

Quantitas remotionis coprehendi tur a uifu auxilio uirtutis diftindliuae,
cum remotio refpicit corpora ordinata & continuata .

Quantitas remotionis diuerfa eft ab intentione remotionis in eo q> eft remotio, qm
intentio remotionis dicit priuationem contacftus aliquoit: duoru eorpoie ppter fpaci5
interilladuocorporaexiftens,(edquantitasremotioniseft quantitas fpactj inte* illa
duo corpora remota exiftenstnulla ita cg quantitas remotionis omm'3 uifibiliu compre
henditur per folum fenliim uifus etiam cum auxilio uirtutis diftindhua; , nifi quantitas
remotionis illopt mfibiiium,quoruih remotio refpicit corpora ordinata di continuata,
Si quorum remotio eft mediocris,tunc enim cum uifus comprehendit corpora ordina-
ta di continuata refpicientla remotiones aliquorum corpo£-,& certificat menfuras illo
rum corp‘oTum,confequentcr quoqj certificat remotionis menfura per menfiiras illoru
corporu di per quatitates fpacioru,quce funt inter extremitates eojy :fpaciu enl qd‘cft
inter duas extremitates uifus di corporis reipicit remotione qcice eft inter uifum di rem
illam ilifam, Vnde cu uifus apprehendent menfura illius fpacq comprehendet etia men
furam remotionis rei uff*,& hoc fit certitudinaliter per corpora ordinata di continua»
ta in illo fpacio exiftentia di ucre coprchenfa,& cum remotio eft mediocris . Dicimus
ucro corpora ordinata &i contin uaia ,qu* funt in aliqua linea quafi reda difpofita,ina>
quali quafi ab inuicem diftantia.ut funt arbores, montes, uel altae turres, di fimilia ; per
iftorum enim numerationem cu ipforum diftantia ab inuicem aliqualiter fuerit nota,
& innotefei t quantitas remotionis eius q> fecundum illam lineam i uifibus eft remotu.
Mediocris uero^remotio eft illa, in qua non latet omnino quantitas rei fenfibilis refpe*
<ftu quantitatis totius remotionisjlolum itaqj illorum coiporum remotio i uifu copres
henditur uera comprehenfione,quonim remotio refpicit corpora ordinata di continua
ta, quo rum corporu di (paciorum ipfa intcriacentiu quantitas di meniura i uifu poteft
co uprehendi uera comprehenfione,&! cum remotio eft mediocris.unde fiue deficiat co
prehei ifio corporum continuato^: di ordinatorum,fiue deficiat mediocritas remotiois,
nimej? comprehendetur rcmotibilloru corporum uera comprehenfionc,ied folum fecun
dum a:ftimatione:unde uidens nubes in loco non montuofb.ieftirnabir nubes ualdeiv
pi nquas cceloifi autem nubes uideantur fuper cacumina montium,uel fub illis,tuncfci*
et uifus,quia nubes funt propinqua; terne '.cum ergo uifuscornprehendit uifibilia, quo<
tum remotionum quantitates non certificantur a uifu, tunc uirtus diftintftiuaco*
gnofeit menfuras remotionis eorum fecundum animationem , non fecundum re *

LIBER Q.VARTVS* 78

&itudincm,& comparat remotionem earum ad remotionem fibi flmihiim ex uifibili-
bus prius comprehefis £ uiliijquarido itaqj uifus comprehendit aliquam rem uifam re*
motam, ftatim 'uirtus diftintftiua comprehendit remotionem eius & menfura m remo*
tionis cias (ecundtt qdP poterit comprehendere, aut per certitudinem,aut per aeftimatio
nem,& ftatim remotio illias rei habebit in anima menluram imaginatam . Corpora
ucro ordinata & continuata refpicientia remotiones ui(ibiliu,funt ut plurimu partes,
terra & uifibilia aflueta,qua; iemper uel frequentius comprehendunt 5 uilu , ut q uint fu
per terne fuperficiem,& corpus terra: interiacet illa corpora.ficutetiaminteriacet illa 8d
cprpus.l^piijisafpicienrisicorpus aut terrai interiacens illa corpora,menfurat i uilu g
nnmeru pedum, quomam pes eu minima menfura confueta hominibus ad menluran-
dum partes terra: propinquas, per quas partes terra: propinquas menfura nt partes tef*
rte remota: per ufht di ftincftiuam anima:,prop ter frequentatione compr ehenftonis limi
liu partiu illi parti terne .quapy partfu menfura quieicif in anirna,ita,q» etiam anima no
percipit illart partiu quietem apud fe ipfam,peruemc aut ha-c meniiira adanima,quoni
am quatttas Ipadifrt qua: funt apud pedes homiriu coprehendunf a uilijr,menlurant em
etiam fine intentione per pedes hdmiiiu,qn frequenter ambulant iiipef illa Fpacia,licut
etiam menfuratur per exterifiones brachiop^Si uirtus diftincftuia.coprehend it iftam ue*
ram menfuratione,& certificat ex ea quatitates pattiu continuata^ eu dorpore hominis
uidentis;2d hocquielcens in anima eft principiCrrnenlurationis omniu remotionu lecun
du aeftimationeicn enim uiluscoprehendic fitper quantitate partiu terne (ibi uicinaru,
remanet apud ammS etiam qiiantitaslinearu protehiap- ab extremitatibus filare partiu
terra: ad uilum,8i quan titas partis itrperftciei membri fentientis,dd qua peruenit forma
illaru partiu terree, & per corifcquSs quantitates angiiloprperuenftntm in centro uifus,
quos relpiciut illa parteslliperficicjfcuilus per ultimatertijhuiustunde 1? homo erecfius
afpexerit terra qua: eft ante pedes eius, tunc longittfdolineajb radialiu erit quantitas li
neo: ercdionis,8<: foperducfta iuperiori palpebra uiluf,erit quali indiuifi'bilis,(icut angu
lus cotingentia:,ilk angulus fecundflque fituifio,&! cS ^fpexerit ulterius .augmentan*
tur linete radiales per penultimam primi>& eleuataTupcriori palpebra , augebitur an-
gulus,ita ut cum quantitas fparij nili ad quantitatem femidiametri mundi acccflerit ,6d
quantitas anguli peruenit quali ad recftum angulum .quoniam illi angulo fubtdridetur
quarta drCuli magni iplius fphxr£ecceleftis uife.Cum itaqj hte incentioes linearum
angulorum in anima quieuerint,fumf principia coinprehenfionis quantitatu remotio*
num quarucuncp.quoniam te^ual es linea radiales®! anguli aftimant partibus aquali
bus correfpondere,8<! utimur rjsuidensprater intetiortf com politionis ,&! boadiuuat ini
hoc quantitas a ngulory &C augmentatio ipforn in longiori quantitate irelpedlu breuio-
ris:8i limiliter eft in pportione lineaia logitiidinis radialiu qua per leferirit uilus auxi-
lio uirtutis difttn<ftma?,£pendens q? omne totu eft maius fua parte,hoc itaqj modo corti
prehedit uifus auxilio uirtutis diftiricftiiKe quantitateremotiois rcru uiiajt; fc3m lineas
diftantiajv fuaru abinuice & a ui’fu,licut etia iiilus qncp per uirtute diftincftiua coprehe
dit quatitates altitudinu aliquop- corpora eleuaton>(ug fuperficie terra:,licat turriu, pa
rietum 6i montiu, maxime cu remotio fiierit mediocris,ueI etia altitndo.Cu aut remotio
uel altitudo fiierit maxima ,tuc partes parus,q liint iri ultimo fpacij.no coprehendutur
Auifu.nec diftinguQtur per uirtute diftincftiua.qm pania quantitas in remotione maxi
im latet uiliim,no enim facit angulu lenfibile apud centru uiliis„ppter qd‘ quantitas iU
loru no certificat per 3 .huius. Nihil itaq? ex quatitatibus remotionu uilibiliu certifica
tur, nili per corpora ordinata & cotinuata mediocris diftantte ab inuicem & arqualis,
nulla quocp remotio poteft certificari,ni(i cum uifus alllmilat remotione rei uife remo
tioni libi fimili ex remotionibus afluetis dC notis: remotio uero mediocris,cuius quantis
tas certificatur i uifu,eft remotio apud cuiusultiinunon latet uifum pars habens pro-
portionem lenfibilem ad totam remotionem,8d cum uidens fcit quantitatem angtili fe*
cundu qua uidet remotionem certam cognita flbi,tuc lecundu exceflTjm uel diminutio*
nem , uel tequalitatem , aut illum angulu notum uirtus diftin&iua iudicat,remotiones

u 1 ignotas

PERSPECTIVAE VPTELLIONIS

igliotas accipiendo focundu quantitate anguli & quantitate ipfius remotionis A etiam
certificat remotio per motu uifus fuper coi pus r efpiciens remotiones cxtrempjz alicu*
»us fuperffciei aut ipacrj generaliter,aut forma rei uifie cu forma remotionis rei uifac.cu
iusremotio eft mediocris, & refpictens corpora ordinata &C continuata,perueniunt co
muniter in imaginatione (imul apud intuitionem rei uifieA uirtus diftindiua illa dfjtr*»
dicat modo dido, patet ergo propofitum .

XI.

Aequalibus quantitatibus ex inaequali di flantia uifi's,maior efl propor*
tio diftantice maioris ad minorcm,£p maioris anguli , fub quo iit uifio,ad
minorem.

Sint exempli cauia dat* du* aquales &*quediftantesmagnituclinesJqu* a b Stg
yjH d,fit'cp centrum uifus pandum e,& fit g d propinquior uifui >a b ue
ro remotior,(itcg illarum magnitudinum una remota ab alterat
utra<$ ipfarum ab ipfo centro uifus fcnfibili remotione , ftatuahv
turtg taliter,ut punda b 8t d.qua iirnt extremitates illarum dua-
rum m agnitudinum,fint in uno axe pyramidis uifualis , & focun*
dum illum axem forma: illornm pundoru perueniant ad uilum :
cum itaqt punda b & d fecundum eandem lineam ad uifum fo mul
tipliccnt,palam q> oportet punda a &g fecundum diuerlas lineas
quae a e & g e ad nifum peruenircA quoniam ut patet per 7,huius
magnitudo a b,qua eft remotior a uifii fub minori angulo, patet
q> linea e a feca t angulfi g e d,ergo per 2 5». primi huius ipfa fecabit
bafem g d,fic'q$ pundus,in § linea a e inteifecat line5 g d, pudus,
_ z ,Qi centro exiftente pundo e, fiat arcus circuliad quantitate fe-
„ midiametri e z ,qui neccflarip focabit lineas e g & e b , cum linea e
, z,quac eft femidiameter,fit minor illis ambabus lineis,linea S. e b
ex hypothefi ,& linea e g per ii\primi,fecet ergo linea e g in pundo IA lineam e b in
pundo c,fitcB ille arciis i z t .quia itacp trigonu e g z eft maius fodore e z i A trigoni! e
z d minus feclore e z t,ergo per 9. primi huius trigonu e z g maiorem habet proportio
nem ad trigonu e z d,<5 (edor e z i aid fedorem e z t,ergo per 1 1 .primi huius erit con*
iundfm maior proportio trigoni e g d ad trigonum e z d,cjj fodor is eitad fodorem e
z t.Sed proportio e g d trigoni, ad cz d trigonum per primam foxti eft ficut proportio
linea: gd aa lineam d z,fod linea d g eft aqualis linea: a b ex hypothefi.crgo per 7, quin
ii linearum g d & a b ad lineam d z eft eadem proportio quoniam per 29 .primi, & ex
hypothefi trigona aeb&ezd fiint *qutangula,quia ambobus ipfis angulus a e b eft
comm unis, eft ergo per q-lexti proportio line* a b ad lineam d z, ficut line* b e ad line-
am e d, ergo per 1 1. quinti erit proportio line* b e ad lineam de maior cp proportio fo-
doris eitad fedorem e z t:fod ficut fc habet fodor eitad fedorem e z t,ita fe habet ar-
cus i t ad arcum z t3q> patet per primam fexti A nos hoc declarauimus in 3 5- .primi hu-
ius :eft autem proportio arcus i t ad arcum z t, fient anguli i c t ad angulum z e t per niti
mamfoxti,eft ergo maior proportio line* b e ad lineam de,cp anguli iet ad angulum
set,paIamergo qj maior eft proportio diftanti* maioris ad diftantiam minorem, cp
anguli maioris fub quo fituifio ad angulum minorem A hoc proponebatur.IIIud enim
q» in *quediftantibus magnitudinibus declaratum eft,in non *quediftantibus ampli-
us patet, quoniam tunc uifionis anguli minuuntur, ut oftendimusin 7,huius, patet er-
go propofitum .

XII,

Aequalitas remotionis extremorum lineae uel fuperficiei rei uifae $ cen*
tro uifus dire<Aionis,comprehenfionis ui fiua; eft cauia, ficut inarqualiras ea
dem eorundem eft caufa obliquationis.

Aequa

LIBER QyAKTVS* W 9

Aequalitas enim remotiois extremo^ lineae uel fuperffcfef rei ulix caufat eeqtialita
tem angulorum ipfbrum axium radialium illi linea: uel fuperficiei incidentium fecan*
idum media /pforum pun <fta,ut fi linea: a b c extrema qua: fiint a &_ c^qtiafiter diftenti
cetro uiiiiSj^d eftd, 6t ducatur axis rad ialis qua: d b,& 1 ineo: radiales quaed a & dc » tuc
patet cx hypothefi,& per 8 ,primi,quoniam angulus d b a & d b c,fiint «quales. Si uero
extrema pundla qua: funt a Sic, inxqualiter diftent i centro d, tunc linea: d a Si dc.fiQc
inxquales.Si fimiiiter anguli d b a & d b c, fiunt inaequales & fit nifio obliqua, Si itacp ii#
fiea uel fiiperftcies rei uif* fuerit dire&e oppofita uifui,fentiet uiftis directione eius ex
lenfu «qualitatis remotionum fuarum partium ab axe uifiiali perpendiculariter iUi
linea: uel fuperficiei incidente, quoniam tunc per diffinitionem linea: uel fuper ficte» di>
reefie uifibus oppofitx,8i per 3 8 , 3 .huius pater, quoni3 ambo axes ra* D

diales c5tmet hinc Si inde angulos «quales,& fi fiiperfiries r£i uifae fue A

rit obliqua, tunc fentiet uifiis obliquationem eius ex fenfil ineequalita- j VI

tisquanritaturcmotionumextremojeeiuSjSietiamangulorumeius, fi Vi

& fic incipit latere quantitas magnitudinis! eius uirtutem diftindiua, ... Is W

qih uirtiis diftindtiua comprehendit ex fnxqualitate remotionu dia* fl \\

«netroru extremoru illius obliqui fpacij obliquatione pyramidis conti fj Y>

nentisipfiim,quafi fentit diminutione magnitudinis bafis eius .pprejj- // \

obliquat ion e, &! no couenitftcudu.affimilatione quantitas magnitudi //

nis onliquifuioppofitxquatitati magnitudinis diredteuifui oppofitee //
rufi tuc qn coparatio fuerit ad angulu fblum, fed fi fiat coparatio ad an //
gul 3 & ad logirodines Iinear u radialium interiacentiu uifiim Si extre* / /
nra rct uifae, tunc nulla erit dubiu in diuerfitate quantitatummagninb j

dinis hinc inde:remorifitma enim remotlonnm mediocrium reipecftu
leiuifa: per obliquationem, eft minor remotiflima remotionu nted io* "

erium refpedu illius eiufdem rei uifte per direcftionem . Remotio uero
mediocris refpedlu rei uific eft in qua non latet uifum pars rei uifae pro
portione habens fenfibile ad totam rem uifam, tota itacp res obliquata uifiit latet in re*
motione minori fub illa remotione in qua latet illa res uifa in direcftione>8i diminuitur
quatitas eius in remotioe minori illa remotione in qua minuitur quantitas eius qn ftlC
rit dtredte uifui oppofita, patet ergo propofftum .

XI 1 1»

Horizon uidetur quafi giferiic terra: coh3erere,drftantiae tarne maioris
apparet quam cenith capitis uidentis ♦

Quia enim inter horizontem, qui eft circulus terminator uifus ad cceli cocauatn
fuperfiriem,Si inter extremS terree periferia,qux eft ultima pars terrae uifibilis, non co-
prehenditur aliquod fpac/um fenfioile per uifinn,non poteft uifiis illorum Certa remo*
rionem ad inuicem difccrnere, quoniam ut patet per 1 o. huius, quatitas remotionis tuc
folum comprchcditur i uifii auxilio uirtutis diftincftiuae ,cum remotio rcfpicit corpora
continuata 8i ordinata, Si quia inter periferiam terree & concauum cceli non fiint huius
corpora, uidetur ergo horizon quafi periferi* terree cohaerere. Diftaria uero peri feriae
hprizotis ifiio centro quod eft centrum ui(iis,apparet fenfibiliter maior quim diftan-
tia cenith capitis uidentis qui eft polus horizotis , Quia licet fecundum diuerfitate illa»
quantitas diftantixaut eadem fit aut infenfib/Iiter maiOr,proprer quod quafi in omni-
bus aftronomicis confiderationibus quee per uifiim fiunt.centrum uifiis ponmir.cenrru,
imind/,appaxet tn fenfibiliter maior uifui uirtute etiam diftindriua fic iudicante /quod
aes id it propter latitudinem fpacij fuperficief terree quod fentit inter uifiim hpitfzota,-
cu inter cenith capitis & terram nihil percipiatur: quod enim cx corporum mediorii
fenfibili diftantia quantitas remotionis cognofcitur per 1 o,huius,necefie efl ubi maior .
qu atitas mtcriacere uidetur,maior diftatia iudiccnir,muIto ergo maioriuefetur. defrar»
tia periferix horizontis quini diftantia cenith capitisuidctis.af fimilitereft dequalibct
parte alia cceli uifa„ppter hoc qd1 uifus in medio terra: latitudine coprchehdit,patet cr
go^pofitum, U i Locus

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

= >•}'• XIIII.

Locus r.ei uiCx comprehenditur i uifu ex remotione,# ex parte uniuerft,
& ex quantitate remotionis' auxilio ui'rtutisdiftin<5Huaj.

Quia enifti 'intentio remotionis non eft lpfa quatitas remotionis, intentio enim re*
motionis eftpriuatio contactus duorum corporum, & excofequenti coprehelio cuiuf
dani fitus rerum ab’ intricem remotarumtcomprehenfio uero quantitatis remotionis
eft copreherifio quantitatisudmagnitudinis fpacij illa corpora interfatenfis, palam er
go quod cbinprehenffo loci rei uiferion eft coniprehetifio remotionis.eius, Confiftit
autem cortiprdienfibloci reiuif» ex cSprehenffone lucis & coloris rei & interitionis rei
& partis uniuer(i,in qua eft res illa uilafefpectu; uidentis,# excoprehenlioner qiiantfta
tis remotionis,qriando omnia ft» C fimuf coprehenduntur per ttiam cognitionis,# eti5
quia ut patet g i r*terttj huius’ UilTodiftintfta fit ex pernetu formajdecundu lineas perp?
diculares fuper fuperficreoculi mcidcntiuad iplitm uifum :cu ergo uifus fenfcrit form5
lic adueniente,»ftimabit uirtus diftfnctiua rem uifatn efte apud extremitatem illius li*
nece,# (ecundu diredionqm iITius lincte comprehendet locu rei uifaejlocus ergo rei uifae
comprehenditur S (entiente ex COmprehenftoe litus rei uifarapud uifionem per directio
nem line» radialis ab illo loco ad uifum :cu itacg forma reiuife peruenit ad uifum,tunc
' fcntiet uifus parte membri fentientis ad qua peruenit illa forma,# uirtus diftinctiua co
prehendetftatim Ioc5 rei uif» per directionem line» radialis ab illo loco , & quonia in-
tentio remotionis eftquiefcens in anima ipfa.ergo coprehcndet locum & remotione
inftmul in comprehcnnone formae ab ipfo uifu, patet ergo propoficum,

xv. •;

Aequalium uiCibilium inaequaliter a uifu diftantium aequali intuitu uifo
nimpropinquipris.certiorelluiiio, n-': . ;ri-

Sit centra uifus b,fintfc£, duo uifibilia,gd #kljin3equaliter diftantia $. centro uifusb
quae nunc exempli caufa ponantur »quediftantia inter fe,quoniam fi fint fe conti ngen
tia uel fecautia, patet c|d ipfa in puncto conta dli,ts uel fect io nis xqualiter diftant a pun
dio b,de a% uero.ipfbjj: punctis eade eft demoftratio qu» de ipfis aequediftantibus ipfo
rum parttus uariatis fecudum approximationem uel remotionem Ji uifu quantum ad
modum certitudinis uifionis: ponatur itacg g d # k l,»quedu
jftare # fint g d propinquius uifui,peruenianfc^ ad uifum for
mae punctoru terminaliu per lineas d b,g b,k b,l b,fient'cg tri-
goni b g d # b Id ,[ducantur'cg line» 1 d # k g,qu» per 3 3 .pri<
m/,erunt cequediftantes # »quaIes,forma itaq) puncti 1, mul
tiplicans fe ad uifum b,non tranfibit ad punctu d , neqj forma
puncti k ad punctum g , qth fi fic , eflet linea k g b, linea una, '
& linea Idb linea una , ergo lineae kg#ld concurrent in pu-
cto b,qu» fiint cecjuediftantes,hoc autem impofli bile, fed necp
fierit formarum punctorum k # l.multtplicationes ad uifum
b, extra aliquod puetum line» g d , quia tunc cum /n trigono
1 kb,cadat linea d g cequediftanter line» k 1, palam per fecun-
dam 6. quoniam erit linea g d minor qudm linea k l,pofitaau|
tem eft »qualis illi,palam ergo quoniam line» kb # 1 b, per-
tranfeunt aliqua puncta line» g d, erit ergo aliqua pars line»
g d, intra pyram idem uifionis qu» b kl,fub quoq? ergo angulo uidetur k l,fub eode ui
detur & aliquid ipfius g d,& non econuerfo quoniam ut patet per 3 4.primi huius , uel o '
7ihuius,angulusgdbeft maior angulo kb 1, quidquid ergo uirtutisuifiu» applicatu*
ipfi k 1, applicatur etiam ipfi g d,& non econuer(b,forttus autem patet illud per io8.prl
mi huius, lub pluribus ergo uifibus & angulis uidetur g d quam k l,ergo perfpicarius ui
detur per fiippofitionepr»miflam in principio libri huius, ipfius ergo certior eft uifio,
#hoceft propofitum,

Vifioni

LIBER. Q.VARTVS» 80

X V 1« • • ....

Vifiom' uirtutis diftinifhua» error accidit in remotiois uiiTone ex intem
perata difpoficfonecxfto c/rcunftanriarum cuiuslibet rei uiftc .

Accidit enim uirtuti diftmeliun: in uifione remotionis ex intemperata lucis
diipofitione error in remotione rerum uifarum ; exiftentc enim remotione tempe*
rata non multum certa & debili luce , ii fiat hominum ucl aliarumrerum talis diipoft*
•tio.utunuspoftaliumiit politus , nmc de nocftc uel in crepufculis3& maxime uno ui*
fo adhibito, uidebtxntur illi homines uel res alia; fibi quafi cohsrcre , quia propter lu-
cis debilitatem non comprehenditur diftantia inter illa , & Ii illi homines ad canas
dem partem moueanturatquali motu,femper (imul moucri putabuntur >& non per*
pendetur diftantia inter illa, ied uidebuntur quafi res una . Similiter etiamex nimia
diftantia uirtuti diftiniflnix accidit error in rerum uifarum retnotioe ab inuicem, tame
em fi quis arbores tialde remotas infpexerit , licet illi pluiimfr diftent inter ie, uidebunt
tamen quafi coniundlx.uel quali propinqua ad inuice,8i! ita ftellx cceli aliqua; repu tan
tur quafi coruundice, licet plurimu a fe diftent in ueritate,propter egreflurn etiam diftan
tia: a temperantia ftelkeuagantesxftimantur fore in eadem fuperneie cum ftellis fixis
licet plurimum diftent ab illis. Ex intemperatadifpolitionectiamfitusinoppo.fi*
tione rei uilibilis ad uifum error accidit in remotionis uifione, ut fi uideatur duo corpo-
ra, quorum unum fit retro,alterum ita quod anterius cooperiat partem pofterioris&a*
lia pars emineat, nec inter ea fiunt aliqua corpora uifa ,5i fic remotio temperata no inuj
tum certa tunc non plene te (limabitur menfura longitudinis unius ad alterum, forte
iudicabit uifiis ipfa efie fibi ualde prop/nqua,& eft hic error ex fbla fi tus oppofitioms in
temperant i a, quoniam liuiuim non occultaret partem alterius, ied utruncg totum ex*
poneretur uifui,ita ut cflet ienfibilis diuerfitas inter illa , tunc d/fcerneretuf diftantia u*
nius ab a'io,& ita patet quod ille error eft propter intemperantiam fitus, quoniam folo
(itu ad temperantiam redufto no accideret error talis. Ex inteperantia etiam difp o
(itionis quantitatis error accidit muifioneremotionis.unde fi fintduo corpora xquali*
ter ii uifu diftantia fecundum temperatam remotionem non nuiltu certam , quoru unit
(it longe maius aiio,xftimabitur maius propinquius uifui,quia certius uidebitur , & fic
propter quantitatem erit deceptio in remotione, quoniam a;quc remotorum anum ui*
detur remotius a Itero. Ex (nteperata quocjj fbliditate corporu accidit error uifui in re
motiois uifione,!? enim corpus fiierit ualde rarum minime foliditaus - ficut eft criftallus
pura, St fit retro ipfum corpus ualde coloratum lucidum, tunc non plene compiehen*
diturcnftallus,fedquafinon e fiet inter media comprehendetur corpus per ipfam,££
acciditcrror in comprehenfione criftalli propter remotionem criftalli i uifii . Ex in*
temperantia enim diafonitatis error accidit uiiui remotionis uifione , fi enim fuerit aer
mibilofus,ficut accidit plamlcp in crepufculis, tunc res aliqua ut turris oppofita tnfui in
longitudine temperata aftimabitur i uifiii plus elonga ta quam fit fecunda acritatem,
quia enim tunc propter denfitatem aeris no comprehenditur quatitas terra fnteriacens
uifuni Si rem uifani,per quam accipitur meniiira elongationis tums,fit'qt erroris cau*
fa ex ipfa intemperantia diafonitatis aeris. Ex intemperaria etia teporis fit error u<ft:i
in remotione, fi enim intueatur quisaliquod remotum i turre alta.qd ftatim uifui fub*
rtpiatur,tunc uirtus diftintftiua non poterit plene difeernere inter remotion em illius i
zunc,di indicabit forte aut minus remotum i turre aut magis quim fuerit in rciueri-
tate , quoniam in tam modico tepore noni percipitur i uidente quantitas terra: inter ia.
cens turrim Qi aliam rem uifam,lecundum quam per i o .huius,perpcndiaiv menfura re
motionis illorum ab inuicem.nec enim in tam breui tempore potuit axis uifualis„quan
titatem terra inter mediam per diligentem intuitum tranfcurrere,unde illam no plene
comprehendit; & fic ex breuitate teporis fit error in remotione. Ex rftternpetaniia e*
tiatn debilitatis uifus error accidit uifui in remotione,fi enim opponatur uifiii duo cor*
pora, quorum unum quod eft remotius a triiu fit coloris fortis3& alterum quod eft pro-
pinquius fit coloris debilisjtunc debilitas luft^ incertam faciet collatione, & quia a pud

fortes

perspectivae vitellionis
fortes uiftis expertum eft, fiC patet per pra:cedeiitcm,quod corpus uiftii propinquius eft
maiorisCertitudmis.Aeftimabit uifus debilis illud quod eft certius efle propinquius, 8i
fic quia fortior color a uifu debili melius percipitur, iudicabit uifibile fortiori colore co
loratum prqpinquius fibi, licet fit remotius fecundum ueritatem;&: fic fit error in reino
tione ex uifus debilitate.SC ctia quia ab oculis grofla humiditate infedis fit reflexio fore
marum, ficut e;tiam i (pcculis cum ab uno ujfu non fada reflexio peruenit ad alterum,
propter groffttudine aeris extrinlecam uidebituifus debilis formam fibi propinquam,
qua: eftforma rei remota: fcilicet. Sic ergo uifioni uirtutis diftindiua: error accidit i re
motione ex in temperata difpofitipne drcunftaptiarum quarumlibet rei uifte , quae funt
tantum ,8.ut patuit per primam huius, quarum euentu percurrimus his exemplis & cxj
petimentadP1nibusperfenotis,patetitacppropofitum. .

• : ;ivb: . ‘3

Magnitudo rei uifte comprehenditur & uifu fecundrim magnitudinem
partis fuperficiei uifus, ad quam peruenit forma rei Stangulffolidi qui fit in
centro uifus* v '*

Pars enim ftiperficiei uiftis ad quam perueriit forma rei uifte per angulum uirtutis
pyramidisradialis,fecimdum quam per / S , 3 . huius,fit rei obieda: uifio,quod eft apud
centrum uiftis femper menftuatur,quamuisuirtus fenfitiua comprehendat quantitate
illius anguli ex comprehenfione partis fuperficiei uiftis in qua figura tur forma rei uife,
ut patet per ultimam 3 .huius,proprie tamen angulus eft per fe caufa menfiirationis il*
litis ftiperffdetieft enim femper proportio illius partis ftiperficiei oculi ad totam fphx-
ncam fupcrffciem oculi,ficut illius anguli ad odo angulos redos folidosper 87, primi
huius.cu em pyramidis radialis bafis femper fit in fuperficierei uifa: per 18. terti) huius,
fecatur tame ipia pyramis quafi xquediftanter lute bafi per fuperficiem ipfius uifus , 8d
fic unus angulus fit ambabus pyramidibus comunis,radiali uidelicct totali & eius oarc
tis refedte per ipfam fuperficiem oculi. Magnitudo itacp partis fuperficiei uifus, ad qua
peruenit forma rei,& angulus quem continet pyramis radialis continens illam partem
fuperficiei uifus,funt ambo radix comprehenfionis magnitudinis rei uifie: quamuisaut
& hic angulus & htec pars ftiperficiei uiftis diuerfiffccntur fecundum diuerfi tatem remo
tionislquanto enim magis elongatur res,tanto magis ille angulus minorabitur g 1 0 6,
primi hiriiis,quia pyramis radialis fit Aridior, & quafi una pyramidu radialium , qua:
eft rei uifa* remotioris, infer/bitur pyramidi radiali qua: eft rei uific propinquioris : anu
gulusergo in centro uiftis fit acutior, &pars ftiperficiei uifus correfpondens illi ana
gulo fit minor, 6C quato plus a pproxima tres uiftii.tanto plus ampliat magnitudo: fem
per tn magnitudo rei uifa: comprehenditur a uifu iecundum magnitudinem partis prx
niifiarfiipcrffcieiuifusj&languliilliusfblidiqui fitincentrOuifus,patetergopropofitS,

XVIII.

Magnitudines omnes comprehefe a uifu fecundum oppofitionemfunt
quantitatesfuperficierum uifibilium &C partium illarum fuperficicrum ,nec
non fuorum terminorum &fpaciorum inter uifibiliadiftindorum.

Quantitas enim totius coiporis rei uifa: non comprehenditur a uilii , quoniam uu
fus non comprehendit totam fuperficiem corporis, (ed folum illud quod fibi opp onfiur
ex fuperficie corporis aut ex ftip er ficiebiis eius, quamuis corpus fitparuum,utpote illud
inter quod aliquam partem fuperficiei uifus duci poflunt linea: reda’ per fecundam,
3 .huius:ficergo uiftis comprehendit (olam rei fuper fidem, fi uiftis coprelienderit co t
poreitatem corporis ,non propter hoc comprehendet quantitatem eius,fed tantum fi*,.
guram corporeitatis : quod fi fortaflecorpusj fuerit motum aut uifus motus, ita quod,
uifus comprehendet totam corporis fupei fidem , tucuirtus diftindiua comprehendet
quantitates corporeitatis eius alia operatione quam uifafit apud uifionem , 8C fimilitet,
eft de partibus coi poris:quantitates ergo quas uiftis comprchcdit per op politionem,'
rio funt nifi quantitates ftiperficietum & linearum terminantnl illas fupfides uel /pias

menfuianutl

liber’ QJV ARTVS, 81

menfurantium fecundum longum uel fecundum latum, 8i quoniam comprehenfis diuer
(orum corporum (iiperficiebus diuerfis 8d iplarum terminis,necefla rio comprehenditur
diftantia inter illa corpora per comprehenftones partium fiipefffciei uifiis non coloras;
tarum colore uiforum corporum, fedintcriacentiurnpartes fupcrficiei uifivs coloratas
coloribus illorum corporunyiec luut plures magnitudines qux uffii comprehendant
cur, patet ergo propofitum .

XIX.

Omnia uiTa fub eodem angulo, quorum diftantia ab inuicem non per-
penditur sequalia uidentur *

Sit uifiis centrum punitum a,& Gt res uifa linea b g, fintfcp lineae fecudum quas pun
lia g & b,perueniunt ad uifenn g a & b a.uidet ita cg linea b g fub angulo g a b,(itqj alia
res quae eltd e cadens inter eafdem lineas g a & b a,ita ut i pia uideatur
fub eodem angulo g a b,dico quod linea g b 5i d e,uidebuntur aquales.

Si linea d b di e g,non perpendantur i uifu,quia enim uifiis a , compre-
hendit duo punita d di b,fiiper lineam unam qua eft a b ,& duo punda
c & g fiiper lineam unam quod eft a g,non ergo uidet aliquem terminu
alicuius duarum quantitatum b g & d e, egredi ab alia,fed uidet fines ex
tremitatum aquales,&quia non perpendit quantitatem linearum d b
&eg,efle aliquam,apparec uifiii pundus dfuper pundumb36l pudus
e fiiper pun dum g,eorum uero quorum alterum alteri fuppo (itione no
excedit reliquum,nec exceditur ab ilIo,ilIa funt ad inuice aqualiajdua
ergo linea: de&b g,uidetur a:quales,qm fecudu iudiciu uifus una i pfas
rum aliam cooperit, neqj extremitates unius fuperant alterius extre
initates,& per hunc modum in nod/bus aliqualiter lucidis,ut cum luna lucet de fub nu
lubus.uel in horis crcpufcularibus , fi accidat hominem uel aliud aliquid cum alta arbo
re uel turri (ub eodem angulo uideri,iudicabitur homo uel res alia forte altitudinis ipfi
us arboris uel turris , di fit propter hoc multa deceptio inuifu , patet itaq; propofitum.

XX.

Omne quod fub maiori angulo uidetur, maius uidet , Si qcF fub minori
minusjex quo patet q3 lde fub maiori angulo uifum apparere maius fe ipfo
fub minori angulo uifo,& uniuerlaliter fecundum proportionem anguli fit
jpportio quantitatis rei direde uel fub eadem obliquitate uifa: ♦

Efto centrum uifus in pudo a,& fit res qua: f e uifa fub angulo fa e , ,pdudis quoqj
lineis a f & a e , producatur inter ipfaslineagbajquediftaftterlineaef e, uidebitur er*
go linea g b fub angulo f ae.quam forte accidet uideri efietequalem linea: f e, per pra*-
mifla m,ut fi lineas g f & b e, non contingat uideri , fed uifis lirteis gf &b e, uidetur mi-
nor,quia eft fecundum ueritatem per 4.fexti, linea g b minor qliam fit linea f e,cu linea
a g fit minor quim linea a f, ex hypothefitducatur itaCg i pundo e linea ajquediftans li
hea: a g per 3 1 .primi,qua: fecet protradam lineam g b in pundo d,erit ergo per 3 4. pri
mi , linea g d arqualis line* f c,ducatur'q3 linea a d,fecans protradam linea e f in pun*
do h,erit'cg linea h f maior quam linea c f,& angulus f a h eft ma p
(or angulo f a e, per 29. primi huius, S>i quoniam angulus fac eft
pars anguli fah, linea uero fh uidetur maior quam linea e £& li*
nea d g uidetur maior quim linea b g,quia uifus parte i toto dijtr
dicat,q> ergo fub minori angulo uidetur, minus iiidcf,fed di qua-
doqif e per prarcedcntem uidetur arqualis line* gb, ergo ut po-
teft uideri linea e f minor quam linea g d , quas eft aequalis line*

{ c,ut patet ex praimiffis: quod ergo fub maiori angulo uidetur
maius uidetur, di quod uidetur fub minori, uidetur minus: conus
itacp pyramidisuifuahs qui eft f a e, fecundum quam tf/denitres
r «notior, qu* eft f e,mmOr di acutior eft quam conus p yramidii

gad,8<;

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
g a d,& quonia liiperficics oculi lecat ambas iftas pyramides, cu ipfanim ambdntm co-
nus fit quafi in cetro oculi per i S. terti] huius, necclle eft ergo balem pyramidis abfcifa:
4t pyramide/; a e minorem efle bafe pyramidis abfcifa: i totali pyramide g a d, per 1 09.
primi hu/us,cu illa: dux abfcifie pyramides aequalis fint alritudinis,quonia linea prodiis
dia i centro foraminisgirationis nevui concauiad lupcrficiem oculi cxtrinleca,eft axis
ambaru illarum pyramidu abfcifarum.pars ergo fu per fidei uiilis ibi figurata g forma
rei uilac quae cfl: g d,dl maior quim pars eiufdem fuperficiei figurata per ftirmam rei q
eft f e, uidetur ergo linea g d maior qudm linea fe, di quoniam fecundum quantitatem
illarum partium luperflciei iplius uifus uirais fenfitiua comprehedet angulu que linea:
radiales continent in centro per nltimamj .huius,patet quod reiqus uidetur maior, cor
refpondet angulus maior, di rei qua: uidetur minor cor relpondet angulus minor, quo
niam lecundu qd forma rei uila: recipitur in fuperficie organi uiliii,lccundu hoc accipis
tur quantitas anguli fub quo fit uifio,& lecudu hoc ide etia fit iudiciu quantitatis rei ui*
ftetomis ergo res fub maiori angulo uila maior uidetur fe ipfa uila liib angulo minori,
di uniuerlaliter in rebus direde uifis lecundu excrementu anguli fit excrementu quanti
tatis rei uifie.unde fub duplo angulo uifum duplum uidetur, & fub triplo triplff, & fic fe
cundix proportione nenioR-Jn oblique tn uifis, uel in his quoru unu uidetur direde , di
aliud ob!ique,non fic.Si enim trigonu a e f fit orthogoniu,ita ut eius angulus a c f ficVe
dus,diuida turfcp angulus fa e per a:quaIia,produda linea; a k,fecante lineam f e in pu-
do k,no propter hoc diuidetur linea e f per ecqualia in pudo k, qfh ut patet per 35-, pri-
mi huius,minor eft proportio anguli fa k ad angulu k a e.quam linea: f k ad linea k e,8i
fic lecudum $ portione anguli ad angulu, no lemper fit proportio
quatitatis uilce ad quantitate tulam,necj? em talia uifa lecundu ean
dem uident dilpofitione di fitu refpedu ipfip uifus .In coformibus
aut uifibilibus lecundu dillantia di fi tum di alia accidenriaqutcre*
quiruntur ad conditionem di circuftantia uidendi , qua: patent g
prima huius/emg lecundu ^portione anguli uidetur proportiona
p liter quantitas rei uifa:,unde etia illud qdkib minimoangulo tude
tur,minimatiidetur,&: c[d lub nullo uel inlenfibili angulo peruenit
ad u iliis fuperficie, nullo modo uidetur, ut patet p /$>. primi huius,
patet ergo .ppofitu, XXJ.

Paralellae lineas fecudum remotiores a uifu ptes quafi
concurrereuidcntur,nunq? tn uidebuntur concurrentes*
V niuerfale cfl qd proponitur uiliii quocucg modo fe habente
ad illas lineas para!elias,fiue em uifus fit in illaru luperfieie fiue fu-
pra illam fiue lub illa, femper eadem pallio uiliii accidit,fit ergo pri
mouiltisin illa fuperficie, & fint dua’paralella:linex a b&gd/hte
ergo p prima 3 .huius,ncceflario erunt in eadem fuperficie, fic ergo
!• in ipfaruluperffcieuifusqui (it c,ud ,ppe illam, dico qd luperficiei
interiacetis lineas a b 8i g d,ina:c]ualis apparebit latitudo, di quod
pars lui propinquior uifui apparebit latior quam pars eius a uilu re
motior ,& ita linea: a b di g d, quali concurrere uidebutur: fignetur
enim punda .-equediftauterA' fimiliter in lineis ab&gd, qua: fint
u in linea a b punda zdit,8i in illa linea g d & d g punda 1 di k, di
‘ coniungant illa punda di punda terminalia dudis lineis b d, z b,
t k, a g, qua: oes erut <equediftantcs ex hypothcfi,& p 3 3 .primi, &
^ducantur lincte e b, e z ,e t, 8i e a,e d, e 1, ek,e g, di qm ergo angu
lus b e d maior eft angulo z e /ficuc totum parte , quod patet £34.
primi huius,pala p prxmiflam ,q a maior uidebitur linea b d quin»
u k linea z 1,& code modo maior uidebitur linea z 1 quam linea t k,ma
"^iorcp uidebitur linea t k quim linea a g,et quia fic diminuuntur in
uilii linete latitudinis,palam qcf fugficies inceriacens Iineas: minor

uidebitur

LIBER. QJTARTVS/ 8t

UidebiturJ/ncs ergoa b & g d quafi concurrere uidebuntur, nunqua tii uidebuntur co
curretes.quia femg lines latitudinis iub aliquo angulo uidentnr, cui in termino uifiois
fubtenditur bafis cuiufcucp fuerit paruitatis, nunqua ergo uidebutur cocunentes,fino*
ta uifui qus (it a,paralells iubiaceant,qus fint lines !g&xe,itaq3 uifus fit erecflus fa
per fuperficie horizontis, & lines illae fint in fuperficie ipfius horizontis, adhuc ilis Ii*
nesiccundu remotiores i uifu partes quafi cocurrere uidebutur, dimittatur em i uiiii a,
gpendiculatis fug iliperficie horizontis g i i .undecimi,qus fitab,fint'cg ut prius lines
h e,k n» t m,paraleIls,dico qrn adhuc insqualis latitudinis apparet fuperficies interia-
cens lineas 1 g & x e,& partes linearu remotiores i uifu quafi cocurrere uidentur , ducat
em linea a puwfto b,perpendiculariter fiiper linea x 1 quae fint b r,erutfcg lines b r 8i 1 x
in eade fuperficie per fecunda 1 1 .& producatur linea b r fiiper lineam g e in pundlum t,
fccetcg linea k n in punefto p, & linea m in pundlo t,& ducatur lines 1 a, k a , c a,x a,n a,
m a,fimth'ter ducantur lines a r,a p,a t,qm itacp angulus a b r,eft redlus, palamqj fiiper
ficies a b c,erecfta eft fug fuperficie 1 x,e g,2c earu comunis fedio eft lineab f,per i ?.pri
mi huiiis,qih illa linea b fjeft in ambabus illis fliperficiebus , quia ergo linea a r ,ptracfla
eft in fuperficie a b c,& fimiliter lines a p & a t,pala per diffinitione , qm anguli a r x &
apu&ac m,funt re<fti,& ita illi trigoni qui funt a b r,& a b p, & a b c, funt orrhogonrj,
fi linea p n eft squalis lines r x,ex hypothefi, & per 34,primi,qa uero angulus a b r eft
redlus, erit angulus a r b acutus per 3 2. .ergo per 1 3 .primi angulus a r p eft obtufus, li-
nea ergo a p maior eft quim linea a r per ip.primfangulus ergo r a x,per 3 4,primi hu
ius,mator eft angulo p a n,maior ergo uidebitur linea rxcp linea p n , per prsmiflam,
fimilicertp maior uidebitur linea 1 r quam linea k p, quoniam ea-
dem eft dcmoftratio,eft enim linea 1 r squalis lines k p, per prin
cipiuiSi ab squalibus etc.tota ergo linea 1 x uidebitmaior qua'm
tota linea k n,eode'cg modo tota linea k n uidebitur maior quim
tota linea t m fuperficiei,ergo I x g e,partes remotiores uifui ui«
debuntur ftridliores, lines ergo lg&x e,uidebuntur quafi con-
currere,non tame uidebuntur unqua concurrentes, quia femper
fiib angulo aliquo uidebuntur eode penitus modo demonftra
dum fi lines paralclls uife fint uifu fuperiores, ut fi uifix inferius
exiftente lines ipfs paralells fint in aliqua fugficiefuper uifum,
ut accidit in tedis domuum, Sifimilibus uifu exiftente inferius,
patet ergo propofitum, XXII,

Lineis pluribus aequaliter ab inuice aequediftatibus
obi eefis uifui diftatfa remotiora minor uifui apparet,

Efto ut in prsmifla uifus,cuius centrum fit a,erecftus in aere
fecundu eredionem uidentis,in fuperficie quocp horizontisfub-
iaceant uifui lines squales £dsqucdiftantes, 8t fecundu squale
diftantiam abinufcem diftantes,qusfintlx, kn,tm, ge,hoc ordi-
ne pofits ut linea b e fi t uifui .ppinquior.alis uero fus nominatio*
nis ordine fint remotiores i uifu , dico quod linearu k n SC tm, di*
flantia minor uidebitur qu;!m linearu 1 x & k n , cum em ifts lines
fint squales & squediftates,qus firnt 1 x ,k n ,fiC t m , copulatis ipfa=
r um terminis per lineas 1 g & x e,crit per 30. & per 3 3 .primi, linea
1 g squalis lines x e,8<: ducartir ut in^xima prscedente linea ab,
perpendicularis fuper iuperficie 1 x,ge, & fadla demoftratione ut
in illa .fequatur angulum r a p cfle maiore angulo p a c , facilius tn
patet hoc per 3 j-.primi huius,qih in trigono orthogonio a b f,par-
tes squales funt abfcifs ab uno Iateru recftum angulucontinentiu,
qus r p & p c,& e fj eft ergo angulus r a p maior angulo pac,g 10. q
quinti,linea ergo r p p 20 , huius, uidebit maior cfs linea p c,et linea
p t maior cj? linea e t, Remotior ergo iftaju diftantiaru qu«e funt r p p c,et e f, minor ap

x 1 paret

perspectivae, vitellionis
paret uifui per 2 0 .huius, & hoccft ppofitu. Et uniuerfaliter in omni u/fiis difpofitionc
ad datas paralcllas poteft hoc idem ut in prxcedenti demonftrari,

XXIII,

Acqualiupartiueiufclcuifibilis lineas conectenti centra foraminu gira*
tionis neruorum cocauorum asquediftantfs remotior a uifa min,or uidetur.
Sit linea r t connedens centra foraminu «rationis' neruorum concatroru, fintfcg x*
quales partes eiufde uifibilis fug linea xquedi Itante linex r t collocat», quas fint a b,b g,
g d,d f,trahatur'c& perpendicularis a e, in qua fft ceiitru oculi e , dico quod maior appa*
rcbit pars.a b c|5 d g,& b g quim g d ,8C g d quam d f,cu enim perpendicularis c a,fic bre
uior oibus lineisdudibilibus d pundo e ad lineam a d,ut oibtis lineis e b e g,e d,^d per
penultima primi pala eft,manifeftu eft ergo , qni gs
a b ,eft fipinquior uiiui oibus illis partibus quae funt
b g & g d,d f,ducan tur cih line» g quas accedunt for
m» pundojy ad uifum qu» funtbe,g e, de, fe,Sd du-
catur g 3 / .primUinea b z xquediltas line» g e, quia
igit in trigono a e g, linea bz xquediftat lateri e g,
pala per fecunda iexti, qm eft ,pportio line» a z ad li
neaze,ficut line» a b ad linea b g,(ed linea a b aequa
lis eft line» b g,ex hypothefi,ergo linea a z eft »qua
lisline»ze,fcd g penultima primi linea zb eft ma-
ior quam linea z a , ergo linea b z eft maior cp linea
ze,angulusergozeb g 1 8. primi, maior eft angulo
z b c,fed angulus zbc.per ag.primgxqualis eft an*
gulo b e g,quia /Imt cdaTtemf inter lineas xquediftates,qux funt z b & e g,ergo angu*
Ius a e b maior eft angulo b e g,crgo p 20. huius, maius uidehitur a b q.uam b g, fob ma»
iori cm angulo uidebitUr.Similiter quoqj duda i pundo g linea xquediftate line» e d,
eade eft de monft ratio. Idem quocp accidit fi liiie» e a,eb,e g,e d,e f,no funtin una linea'
naturalhdum tnlinea mathematica inter ipfas imaginata»quediftet line» g e uel g r,
&hoceft,ppofitu. XX Ii II.'

Aequalium diuerforu uifibiliufecundum eandem retftam lineam asque
di ftantem lineas connedenti centra foraminum gtratiois neruorum conea*
uorum uifui obiedoru, quod propinquius eft uiiui apparet maius.

Sint duo uifibilia difeontinuata diueria,fcd »qualia ah 8d g d.oppofita uifui fecuda
linea a d , qu» fit »qu»diftans line» r t, conectenti cetra foramini* giratiois neruojt cq
cauoru,8d fint inaequaliter diftatcs a cetro uifus qcf fit e,ducaturcp line» d terminis uifi*
biliu ad cenfru uifus, qu» fint e d & e a, & fit linea e a maior cfj linea d e, dico qcP g d ap*
parebit uifui maius cjj a b,pducantur em line» e g 8i c b, et circa trigonu a e d,ddcn'ba -
tur circulus g y .quarti, & p.ducatur linea e g ad circuferentia in
pundu ],& linea a b in pundu z;& a pundo g ducatur perpen
dicularisfugad,g 1 1 . primi, q ptrada ad circuferentia firg k,et
d pudo b ducatur linea b c,»quediftas line» g k,crit ergo g 29,
primi linea b c,gpendicularis iiiper linea a d, iecctcp peri feria cir
culi in pudo t,quia itaqj a terminis line» a d intra circulu collo
cat» »quales gtes funt refodx qu» font a b & g d , qm ili» funt
«quales ex hypothefi,& i pudis iedionu funt duae line» gpen-
diculares iug linea d a J(pdud» ad pei iferia illius circuli , q funt
£ k 8d b c,erit ergo g 4y .primi huius,Iinea b c «qualis line» g k,
ied 8d linea a b eft xqlis line» g d,ex hypotheft,Sd angulus a b c
B- »qualiseftangulokgd,qauterqtredus,ergocordakd «qua-

lis eft cord» c a,g 4.primi,ergo g 27. tertrj, arcus d k «qualis eft
arcui c a,fod arcus c a eft maior arcu z a, ergo & a reus k d maior eftarcii z a,arcus uero
I d maior arcu k d, ergo multo maior eft arcus I darcii z a , fcd in arcu z a cadit angulus1

aez,

LIBER QJVARTVS. *j

a e z, & in arcu I d cadit angulus I c d,crgo {5 ultima lexti angulus Te d maior eft angulo
z c a, ied fub angulo a e z,uidebitur linea ab, £C fub angulo e I d uidebitur lmea g d ,ma
ior ergo apparet uiliii linea g d,quim linea a b,per z o, huius, quod eft propofitum ,
XXV.

Aequalia & a?quedifhntiumagnitudinu inaequaliter a uifu diftantia,f>
pinquior femg maior uidetur, no tn ^portionali ter luis di ftatrjs uidetur »

Sint duar magnitudines uifa ab&gd inrequaliter diftantes ab ocuIo>cuius centra
fit c,fit'cjj uifui propinquior gdcpab,dicoq> maior apparebit gdcjj ab,
producantur enim 1 i nece ea,eb.e d,eg,uidebiturcg g d ilib angulo g e d,
qui eft minor angulo a e b,ut parte fua per 3 4. primi huius , patet ergo
per zo.quia linea g d uidebitur maior cp linea a b,& hoc eodem modo de
monftrandum,fiue centra uiilis & res uifre (intin eadem altitudine , flue
in diucrfisjijt fi uifus fit altior rebus uifis,uel etiam econtra,non tamen ui
dcntnr h:ec proportionaliter fuis diftanrijs,uidelicet ut $ portio g d ma-
lorisTeciindu apparentiam ad a b minorem,fecunduapparenti5 fit ficut
b c diftantire maioris ad d e diftantiam minore,qfh ut patet per 1 1 .huius
maior eft proportio b e diftantia: maioris ad d e diftantia: mmore,cfj an
giilig-ed maioris ad angulua e bminorem . Sed quantu angulus ged
eft maior angulo a e b.tanto linea g d uidetur maior c$ linea a b,ut dixi*
mus in 2o.huius,quoniamilIa uifibilia conformiter ordinantur ad u i-
fam.Non uidentur ergo linecegd&a b propottionaliterfuis diftantijs,'
quoniam diftantiarummaioreftproportioj&hoc eft propofitum *
xxvi/

Omeuifibilcobliquatuauifuminnsuidcturfe ipfolc^
eundum proximum fui terminu direde uifui oppofito.

Sit enim linea connedcns centra oculorur t,fit'q? centrum ui-
fus a, & fit uiflbile obliquatu a' uifubcjducaiiturqjlinece ab & ac,

& a pundo c,qui fit terminus rei uifre proximus uifui, ducat linea
c d,requalis linea: c d,8i requediftans linea: r t connedenti Centra
ocuIoru,qd‘ fieri poteft per 39. terti) huius,illa ergo direde uifui op
ponetur per fuppofitione, ducaf quocp linea a d,& quoniam per a
huius linea cd fub maiori angulo uidetur cfi linea c b, patet per 2 o.
huius, quonia minor uidet linea c b obliquata cfj fua cequalis , qure
eft linea c d direde uifui oppofita fecundum proximu terminu ipfi.
usi in ere c b,quo uifui plus appropinquat, qui eft pundus c , & hoc C
eft propofitum. xxvii.

Vera rerum quantitas non comprehenditur a uifu nifi
auxilio uirtutis diftindiua:.

Quonia m enim,ut patet ex prremiflis, anguli qui formantur in centro ttiflis,& par«
tes fuperficieru uifus,fccunduquas fit coprchenfio magnitudinis rei uifar,fempcr diuer*
fanturfeciindu approximatione & remotionem eiufdc rei,& iccundu eandem diredios:
ncmuel obliquatione fe habentis ad uifum & ad axes radiales.Virtus ergo diftindina
^iftingaeus quantitate ucram rei uife,non confidcrabitfolum angulu uel fplum remo*
tionem,qm neutra illoru per fefufficiqfed confiderabit angulu & remotione fimul;qurf
titates ergo uera: ipfop; uifibilium no coprehcndentur nifi aer diflindione & coparario
nemthree aut coparatio erit f?mul,di erit ipfius bafis py ratmdis radialis,qure per 18. ter.
tij huius,eft fuperficiesrei uilre ad angulu pyramidis,& ad quantitate logitudinis axis
pyramidis.qure eft linea remotionis rei ulice a uifu.Cofidcratio uero uirtutis dii? indiure
ipfius(uperficieicftfemperinpartecoIoratafuperficieiuifirs,angulo dido corrclpon*
denti cum cofideratione remotiois ipfius rei uifre a iiiperficie uiius.qm quantitas illius
partis colorata; fuperficiei uifus femper eft fecundu quantitate illius anguli per ultima
" ' x 3 terti)

PERSPECT-IVAB VITELLIONIS
tcrtij hulus.No eft autem in illa cofideratione nirtutis diftintfiiuar inter remotioem rei
uifte i fuperficic uifus & remotionem eius a centro uilus ditierfitas lenfibilis ; cum itacp
uifas c5prchcndit I/neas pyramidis radialis perpendtcdariter fibi incidentes,tunc uir-
tus diftindiiua imaginabitur quantitatem extenfiois,lecundu quantitate extenfiois ifta
rum lineari.- i centro uifus ufc£ ad terminos rei uife,8<: quomodo cu hoc coprehcnderit
quantitate remotiois rei uifa* per i o.huius,tunc imaginabit quantitate logitudinu ifta
rum lineajsr & quantitate fpario^quae fiint inter ipfar u extremitates, qux Iparia funtdi
ametri rei ipftus uife,qm ergouirtus diftindliua imaginabit quantitate anguli, & quan
citatem partis fiipernciei uilus correfpondentis illi angulo quantitate logitudinis lu
nearum radiali5,& quantitate fitus ipibrQ adinuicem,&: quantitate fpacio^ qua: iunc
inter extremitates eoru.tuncipla coprehendet quantitate rei uifa: Iecundu (iium efle,
qrn tunc nihil coru, quibus coprehendttur magnitudo rei uifa:, remanet incoprehelixm.
Htec eft itaejj qualitas coprehenfionis magnitudinis rerum uifaru)& fit plurimu ,ppter
aftueeudinem uifus indiftindia remotionis uifibiliu,qui quando lenierit forma & remo
tionem rei ui&,ftatim imaginabitur quantitate loci & quantitate remotionis, ddex qs
coprehendet magnitudine rei ui&, patet ergo illud quod proponebatur .

XXVIII.

In magnitudinis uiiione uirtuti diftindiua: error accidit ex in tempera*
tadifpofitione odio circumflandarum cuiuslibet rei uifoe.

Ex intemperata enim lucis dilpofitione,ut de nodeuel in Grepufculis aim lux eft
dubia,in(pecflo homine uifo nemore aut pariete, remotis ab illo hormne.cum latuerit
homine ufdentem dillantia inter homine & nemus aut pariete ui(um;quauis illa diftan
tia feaindu ueritatem fit plurima, tunc uidebit: propinquitas hominis ad nemus uel, ad
parietem ;& li accidit,ut iaem radius perungens ad caput hominis perueritat ad conca-
uum nemoris, & tunc per 1 9 .huius uidebutur homo & nemus aut paries eiufde altitudi
nis,qm fub eodem angulo indetur forfitan homo uidebitur maioris altitudinis ipfo

nemoretut fi radius tranfiens caput hominis ad nemoris uelparietis altitudine no pet
tingat,& huius fimileacciditiuxta duitate Vratislauiae apud nemus uilla:Borer,uifi
funt enim homines ibi in crepufculis altiores nemore illo alto,& uifus cfl lupus iuxta li-
gnum 8 ( caftrum Polonue3a:qualis altitudinis ipfi nemori,fed hoc accidit in horis cre*
pulcularibus*.fed cum lux eft dubia, di teftimata limt illa uifa fiiifie fantalmata 5 uidenti
bustnon accideret ante aliquid talium luce exiftente in temperamento,qm tuncdiftan-
tia hominis d nemore dilcerneretur,8C altitudo uniufcuiufcp Iecundu terni inu ipftus ap-
parentem mefuraretur. Similiter etia ex coloris debili tateaccidit error in uiftone ma
giiitudtms,qm fi in aliqQo loco llatuatur aliqcP corpus fortis coloris, no latebit uiliim :
q> fi in eodem loco ponatur corpus atquale priori, fed coloris debilis, non uidebit illud
corpus. Sic etiam accidit error lfte ex colojt identitate in corpore medio & in re uila,
unde corpus album in loco aliquo pofttu effula aliqua albedine in fuperfleie terra inter
tacentis uifum QC rem uifam,no uidebit iremota uero albedine fpacrj interiacentis , fta*
tim forma illius albi corpis coprehendet > fit ergo tunc occultatio ex couenientia colojc,
qm fi loco illius albi corporis ponatur corpus aquale fibi alterius coloris , unde uidebit
ipfum trans mediu dealbatum. Ex intemperata etiam logitudinis dillantia fit error
in magnitudinis uiflone,qfh tunc uidebit res multo minor cf fit in ueritate per 3 2 . hu-
iuSjtanc enim etiam partes eiufdem rei improportionales luo toti ablconduntur uiltri,
quia no poteft in tanta dillantia uideri per i 3 .buius,& fit minor totalis rei apparentia,
quoma plura infenfibiltter abfeodita faciunt rei fenfibilem ablatione, qua no fieret di*
Itantia temperata. Intemperata etiam approximatio errorem inducit in uifione ma*
gninidinis,qm corpus approximatu oculo,uidetur maioris quantitatis cp fitreuera,
niam ,pp ter magnitudine anguli corpus uidet maius,ut prius propter paruitatem an-
guli corpus uiliim ell minus,&: patet hoc per 29 .huius,fecundu quantitate enim ampli-
orem anguli pyramidalis amplior fuperneies uilus informat,ut patet per S 7.primi hu-
ius;imdetecundu quantitate illius anguli & elongationem corporis ficsftimatio quan

LIBER <\VARTV$> 84

titatis rei uifie.ut praemifiiim eft in procedente ,ppoGtione,ttec enim longitudo diftan*
tix rei ad interiora indentis penetrat, cum pars capitis interior no (it capax totius quan
titatis radialiu h'neapr,nec poteft certitudinalitcr mcnfurari,& .ppter hoc rei quantitas
refertur ad capacitatem & totam Iongitudine.Vera aut remotio corporis attendit fe-
cundum lineam i centro uifus ad fiiperficie rei procedente, refpedu cuius linex femidi
ainctcr oculi incipit ede in(enfibilis,unde no facit aliqua (enfibile errorem in longitudo
nis illius oftimatione. Sed corpore approximato uifui ultra illam diftantia,tunc fit ie-
midiameter oculi ^portionalis diftantio corporis pportione fenfibili , erit enim aliqn
maior, aliquando arqualis,aliqn minor ^portioe modica, nec forte (iib dupla uel llib tri*
pla,uclhuiufmodi;unde in tali .pprietate rei uife magnitudo anguli pyramidalis &ien
fibilis minoritatis logitudinis aftimato refpe<fhi,uere inducunt fennbile apparentiam
maioris in corpore. Ex inordinata etia fitus op pofi tione fit error in magnitudinis iti
fione,cum enim aliquis in alto exiftens uidet (ab ilia altitudine aliqua exiftentia inter fe
tcqualia,quoru eft unum poft aliud in ordine difpofitn,tuncenim per 25-. huius iudica=t
bitur poftremum ,q3 eft uidenti propinquius alterius, omnibus altjs uel maius,ut nigil
ftans in turris alicuius emine tia,uides homines uel arbores sequales, inaequaliter ale di
ftantcs,ppinquiores fibi ajftimat altiore . Ex intemperata etiam quantitatis rei uifae
accidit error in magn.tudinis nifione , propofitis enim uifui duobus corporibns,quoru
unum fit modiefi maius alio,autin fola Iongitudine,aut inlatitudine,aut in utrocp ipfo
rum,forfita.n illa judicabuntur aequalia in omni dim enfione,qni paruitas illios exceflus
no (entitur ppter fui paruitatem,n5 enim excedit fines temperantiae relpedlu ipfius ui
fus. Ex intemperata etiam ibliditate fit error in uifione magnitudinis,in criftallo ent
angulata corpora angulorO,quia parum folida (iint,qncp no uidentur,cum corporis fo
lidi anguli uideripofient. Ex intemperata etiam raritatis in uifione magnitudinis er-
ror accidit,quonia in aere nubilofo obfcuro,ut in horis crepufcularibus plurimum acci
dit,q? corpus uifum maius apparet cf; in aere tcmperato,ut nos infra declarabimus , ca
tractatu de ijs qua: uidentur per medium fecundi diafoni faciemus . Ex intemperan-
tia etiam temporis fit error in uifione quantitatis,cum enim ardens ticio faepius per ali
quod fpacium uelociter mouetur,apparet totum fpacium ignitu, quia no perpenditur
quantitas temporis propter uelocitate motus ticionis , 8i fic ignis paritus arfiimat ma
ipr propter fui motus temporis breuitatem . Ex intemperantia Si uifus debilitate in
tnagnitudinisuifioneerror accidit,quiaetiamres forte parua nullo modo uidetlir,ut
patet in fenibus, qui non poliunt difeernere literam minuta,patet ergo propofitum, •

XXIX. 1

Vifto comprehendit omnem fitum per comprehen (Ionem debita: remo
tionis (n ipfis rebus (Ituatis.

, Siuecnim nomen finis dicat totiusrei uife,fiuc partiu eius oppofitiotiem ad uiftnn
fccundu direcftionem uel obliquatione,fiuc dicat ordinatione fuperficierum rei uife, uel
partium cius apud luperficie ipfius uifus.ut cum res ui(a eft multarum (iiperficieru apj>
parentium uifui , fiue nomen fitus dicat fituationem linearum, qua* firnt ipfarum fupera
ficierum uifibilium,fiuc dicat fitum fpaciorfgqua: funt inter quar libet duo uifibilia fimul
coprehefa a ui(ii,femper accepto fitu fecimduquaamcg iftoru modortUxec omnia Si (in
gula coprehedit uifirs,ut heee iunt difpofita in corporibus lucidis uel colora tis,ut per (e
tiifibilibus Si in illis fundata ,& femg cbprehendit quelibet motu fitns,coprehenfa remo
tione i ui(u uel inter (e, qua’ debentur ipfis totis uel partibus fituatis,patet ergo ,ppofitir,
qih hos modos particulariter in (equentibus profequemur ,

XXX.

Situs oppofitionis rei uifae 8 i partium cius ad uifum comprehenditur 4
fenfu uifus auxilio uirtutis diftiniftiuae.

Cum enim fitus cuiuslibet habentis fitum apud aliud, componatur ex remotione ii
Iorum duorum ab inuicem, palam q> oppofitio rei uif* ad uifiim,qua quidem fitus eft,

' c5P°

PERSPECTIVAE VITEtLIONIS
componitur ex remotioncrci uife a uffu,8i ex parte unfuerfi.in qua eft res uifa rcfpedu
Utfustcomprchcnfio autem remotionis rei uife eft ab ipfa uirtute diftindiua per inten
tioncm qufcfcctem in anima,ut oftenfum eft per nonam Si per i o .huius.Cum ergo uir
tus diftindiua coprehendct locum rei uife Si fuam remotione, tunc uifibilis cum illis co
prchender rei qppo(itionc:ucrus autem loais rei uife com prehenditur ex fi tu ipfius uu
fus,& ex fitu ipfius rei uifa apud ui(ionem,quonia uifus no coprehendit rem uifam n ia
fi ex oppofitfone.Diftinguet ergo uirtus diftindiua inter locam obliquu uifui di locum
propinquu euuirtus enim diftindiua coprehendit omnia loca rerum locataru per coni
prehenuonem remotionis 8i par tisuniuerfi ,ad qua eft illa reinotio,ut patuit per 1 4.htM
ius:undeetiam comprehendet locum oppofitum uifui apud coprchenfionem rei uife,
&qaonia uifui ablato ab illa rcuifa,deftruitur uifio illius rei, tunc uirtus diftindiua co^
prehendit q> res uifa non eft nili in parte oppofita uifui apud uifio nem illius rei uife , &
fecundam hunc modum difti nguuntur loca uifibilium,quoniam uifibilia diftinda non
diftinguuntur a uifu nifi ex diftindione locorum diftindoru in fuperfirie membri lena
tientis,ad qcF perueniuntformce uifibilium diftindorum.Sicut itaq? loca uocum Si (b
«orum comprehenduntur i fenfu auditus,& deinde mediante auditui uirtute diftin*
diaa,ita loca uifibiliu comprehendatur mediante uffit i uirtute diftindiua.Cum enim
forma rei uife peruenerit in iliperficiem uifiis,fentiet uirtus uidens locum membri (en*
rien t is ad quam peruenit illa forma, & ex reditudine linea perpendiculari ter inciden*
cis illi IocOjCompreliendct uirtus diftindiua locum rei uife , &i quia intentio remotio-
nis eft quielcens apud ipfam animam, ipfa ergo comprehendet locum rei uife. Si remo
rionem eius in fimul apud comprehennonem forma: i uiiu ientiente. In peruentu er*
go forma: uife ad uiium comprehendit uifus lucem Si colorem rei uife,& partem fuper
nciei uiilis,qu* illuminatur Si coloratur ab ifta forma, & uirtus diftindiua comprehcfl
dic focom Si remotionem rei uife,&; per confequcns oppofitionem ipfius totius rei ufa
fe Si omnium partium eius adinuicem in fuo toto , Si omnium iftorum comprehendo
fit fimufifitus ergo oppofitionis rei uife Si partium eius ad uifum comprehenditur 5 feji
fu tjifus auxilio uirtutis diftfndiua:,quod eft propofitum ,

XXXI.

Vifus comprehendit diredionem & obliquationem linearum, fuperfi*
cierum 81 fpaciorum ex comprehenfione diuerfirateremorionum fuaru ex*
tremitatum auxilio uirtutis diftincfliua: .

Cum enim axes radiales fecant lineas uel fuperffriesarel lpada,ut fuper illa perpen
dicularicer ered/,tunc uifus comprelienditiupcrfidem rei uife,& remotiones extremi*
tatum eius aquales ex utraqj parteaxis eredi, tunc comprehendit illam fuperficiem cf
fe direde uifui oppofita m,& iudicabit uirtus diftindiua fuperficie illam direde oppo«t
ficamuifui.Cum autem uifus comprehenderit remotionem extremitatis fuperficiei ui*
fediuerfam,& i pundo coniundionis axium extra lineam, tn quam incidunt axes per*
pendiculariter,non inuentt in tota fuperficie fibi oppofita duo punda aqualis remotio
nis a fuperficie uifus,tuc comprehendet illam fuperficiem obliquatam in cius oppoficio-
ne,& uirtus diftindiua iudicabit ipfam obliqua taifiC fimiliter eft de (itibus linearum Si
fpacioru cadentium inter res plures uifas fimul,ip(orum enim diredione Si obliquatio*
nem iudicabit uifus auxilio uirtutis diftindiua: ifta aequalitas diredionis & d/uerfu
tas obliquationis multo tiens comprehendatur i ientiente per folarn aeftimationem Si
per figna; in maxima enim diftantia uel remotione comprehendetur fliperficies uel li-
nea uel fparium, quod eft obliqUatum,quafi fit diredu, quando fcilicetnon perfedeco-
prehenditur diuerfitas,quae eft inter remotiones extremitatum eiusjunde ad hoc quod
uifus bene hoc comprehendat>oportetuf talium uifibilium fit diftantia mediocris.quia
etia in magna diftantia,parum obliquata uidentur ut penitus direda, & licet fecundiS
modum pnxdidum fliperficies aliqua, uel linea uel fparium uifui fint direde oppofita,
nulla tame pars illius fuperficfei,lme» uel fpadj per fe direde opponitur uifui, quonia

axes

LIBER. Q.VARTVS, Sj*

axes radiales ubictinqj extra unum pundu perpendiculares mddat.femg incidut obii*
qite,& fecunda angulos inaquales per i o.pr/mi huius.Si aut liigfieies, linea: uel fpada
sequediftet axibus uifualibus.nec fecent ab illis.opponant aSt uifui ,tuc etia finis ipfbjfe
in diredione di obliquatione coprehenditur i uifu per remotione fuarum extremitatu,
8 i potefl: fieri proportio iftoru ad fuperficies, lineas uel fpacia qua: iecant axes radiales,
quibus axibus ipfa aquediftant, patet itacp illud quod proponebatur.

XXXII.

Situs partiu Si litus terminoru fuperficiei rei uife , aut litus fuperficieru
eius adinuicem,& litus plurium uilibiliu limul uiforum ex comprehenlioe
diuerlitatis in remotione 8C ordinatione formarum peruenientiu ad uilum,
comprehenditur a uifu auxilio uirtutis di ftindiua:.

Qaonia enim forma cuiuslibet partis fuperficiei rei uilae puen/t ad aliqu-aparte fu*
perficiei uifus, ad qua peruenitfonna totius rei uifieiunde cu fuperficies rei uiia fuerit di
uerlbjfecolorudiftindoru.tunc erit forma peruenies in uifum diuerfojt: coloru , di erut
partes cius diftinda fecundu diredione partiu fuperficiei rei uila,tunc itacg uifus fenti
et qualibet parte forma uifa ex fenfu colop- illarff partiu & lucis qua: eft in eis, di fentit
loca formapi partium fiiperficie uifus ex fenfa colop- partiu illaru di lucis caje , di uirtus
diftindtua coprehendit ordinatione illop: coloru ex coprehenfione diuerlitatis parttum
formx,di ex coprehenfione differentiap- iplaru partiuA fic coprehendit aliqd cotigtiu
di aliquid feparatn,fimiliter etia eft deipfis uifibilibus contiguis uel difiundis . Situs
uero partiam rei uifac adinuice fecundu acceflione di remotionem, uel fecundu praremi
nentia unius ipfap: fuper altera, & profiindatione unius ipiap? fub altera coprehenditur
* uifu ex coprehenfione quantitatis remotionis partiu lecundu magis di minusitermmi
aut fuperficiei rei uifa ac fuperficieii: eius, qua funt linea ipfas fiiperficies terminantes,
di ordinatio ipfbp' coprehenditur i uifu per coprehenfione partis fuperficiei eius, in qua
puenit color ipfius fuperficiei rei uifa per illos terminos uel lineas terminata, di lux cip
di gcoprehefione terminop- illius partis ordina tiois auxilio uirtutis diftindiua, di qni
ola ^pofita fecundu hunc modum cSprehenduntur, patet ergo illud ^deponebatur.

XXX III.

Ols linea uel fugficies reiuifie direcfte uifibus uel uifui op
pofita gfedius uideturcp obliquata,# fecudum qualitatem
obliquationis fitimperfedlio uifionis.

Eftocentrumuilusa,8<:fitexempli gratia liiperffc/es piana rei
uifa direde uifibus oppofita.in qua ut linea b c d e f,di fint b.c,c d , d
e, e f partes illius linea aquales uel inaquales , fit'cp fuperficies obii*
quatauifibus,inquafitlineaf gh i k,&Ut taliter, ut obliquatio illius
(uperficiei incipiat i pundo f,fit'cg linea a d perpendicularis fuper Ii*
neab f ,ducantur'qj a centro uifus linea a f,a e,a d.a c ,a b,qua omnes
^ducantur ad fiiperficie obliquatam. Incidatlinea a e in pundu g , di
linea a d in pundu h,& linea a c in pundu i,di linea ab in pundu k ,
di quia per 1 3. primi angulus hdf eftredus,quia angulus ad f cftre
dus ex hypothcfi,palam ergo per penultimam pr imi ,quoniam linea
f h eft maior cjj linea f d;& li i pundo g ducatur linea aquediftans U
neaf dper 3 1 .primi.qua fit gm, erit per *9.primi&4.fexti,&! pc-
nultimam primi linea g h maior c£ linea e d:8i fimiliter fiet de omnis
bus pundis inter panda f & h datis. Item i pundo h ducatur lis
nea aquediftans linea d c,qua fit h n,8i quoniam per 3 z . primi an-
gulus a c d eft acutus, erit per 1 3 . primi angulus i c d obtulus , ergo
per zp. primi angulusinh eft obtufus.ergo per 19. primi di pcrfecun
dam fexti linea h i eft maior cfj d qeodem quoc$ modo fit de omnibus

y pundis

PERS P ECTIVA 6 VITELLI OMIS
pundis linea* h k,patct ergo q» eidem angu!o,qiu fit in centro uifus, femper fubtendiirt-
tur maiores par tes lines obliqua line* direde oppofit* uifui:partes itacp fiiperff-

dei rei uti* direde uiiin' uel uifibus oppofit* aequaliter diftantes d pundo axis, uel 3
pundo coniudionis, fimiliter uifiu* uirturi offeruntur per ^.y.tertrj huius,propter qcP
perfedias tota illa fuperficies uidetur,& omnes flibtiles intentiones quz funtin ipfa :
(lipcrficies nota obliquata uifibus,acquirit formam dubitabilem, fiue per unum uifiim
uidea tur fiue per amboSj&fiue illa forma per axes perucniat ad uifum fiue extra axes:
& etiam fi diftantiafitmediocris ipfius fuperficiei obliquatae 3 uifu, partes enim fiiper-
ficici illiusatquaIespartibusfuperficieidiredeuifuioppofit*,ut patet ex praedemon-
ftratis,fub minori angulo uidentur,quonia fi cflent direde uifibus oppofitai^quia line*
fuarum extremitatum i centro uifus produdx,minoribus angulis fubtendijntur, fic er*
go totales illae fuperficies inftituuntur in fuperficiebas uifiis,quafi' congregat* propter
luam obliquationem,angulus enim quem fubtendit fuperficies ipfius uifus,qu* eft in*
formata fuperficieiobliquatae3eftparuus & fenfibiliter minor, eo q> faceret eadem fu-
perficies uifibus oppofita direde, uel fuperficies aliqua alia *qualis fuperficiei obli-
quat*,quia ergo ipfa fupeficies uifus informata ex illa obliquata fuperficie eft minor,
& partes paruae illius fuperficiei obliquat* incidunt angulis quafi infenfibilibus ,ppter
maximam obliquarionem,ideo de neceflttate illa fuperfides obliquata utdetur minus
perfedcrcum enim parua fuperficies fuerit multum obliquata, tunc enim dux lines exi
euntes i centro uifus ad extremam illius partis.fient quali linea una, quapropter fenties
non comprehendet angulu contentum inter illasmeqj partem quam diftinguut ex fup
ficie uifus : tota ergo fupficies obliquata uifui multu amittitfenfibilitatis,qa fi in ipfa fu
erut fabriles altq intentiones,non coprehendent d uifa ppter latitantia fuarum parti'3
parua^,& qih itiperficiebus plus obliquatis plus accidit ppofit* paffionis,ideo fecundu
quantitate obliquatiSis fit imperfedio uifionis,patet ergo illud quod ^ponebatur,
XXXIIII.

ExceiTu remotionis nimio exiftente,res i uifibus obliquata quandoqj ui
debitur direde oppofita.

Quonia enim,ut patet per i o,huius,quantitas remotionis attendit fecundu quan-
titatem diametrorS rei uifie.ideo & nimietas exceflus remoti-
onis attenditur fecundu quantitatem diametro^ rei uif*:quas
enim magno uifibili non eft nimia diftantia d uifii,hoc mino-
ri uifibili eft nimia,qrh non eode modo in eadem diftantia ma
ius & minus percipiutur d uifii,ut patet per 7. & per 20, huius.
Sit itacp centrum uifus a ,& res uifa obliqua qua: b c, cuius alter
terminorum qui fit b propinquior fit uifu,fitfcg illa res uifa fub
angulo b a c, erit ergo argumento 26.6C 20. huius angulus b
a c minor cjj ipfa res uifa, qua: b c i proximo fui tennino ad ui-
fumqui eft b direde uideretur,(ed per 1 1 .huius,in omnibus ui
fis maior eft proportio diftantia: maioris ad diftantiam mino
ris.cf fit anguli maioris ad angulum minorem: in nimia ante
remotione diftantiarum proportio diftantia: maioris unius
extremorum rei uif*,ut in propofito ipfius cad diftantia mi-
norem alterius extremorum, ut ipfius b, eft differenti* infenfibilis.ut line* a c longio-
ris ad lineam a b breuiorem ,ergo mtilto magis infenfibilis eft differentia ipforum angu
lorumtuidebiturergobcinmaximaremotionequafidirede uifibus oppofita cum fit
obliquata, & hoc eft propofitum,

XXXV,

Omne uifiim exi ftens extra comune axemin uno tantu axe uifuali,uel g
radios propinquos axi, uel in ^pinquos ambobus axibus uifiialibus com*
prehenium auidetur axi communi approximare plus eius fitu uero,

Axis

LIBER. QJVARTVS. 8 6

Axis enim radialis, ut patet per }7*tcrdjhnius,(eniper defert ptmdum, ‘cui incidit
ad pundu medium nerui comunis,cui fempcr inhaeret terminus axis comunis.Cum er
go uifus comprehendit rem utfam fecundu qd’ eft,SC inftituitur forma in concauitate co
munis nerui in uno loco,& cotinua fibi adinuicem fecundu continuationem rei uffie,8C
pundus rei uiiie qui eft fiiper radialem axem,licet non fuerit fiiper axem comunem,ui=
detur tamen in loco propinquiori c5muni axi , cg fit in fuo uero Ioco,tunc punda reff-
dua etiam uidentur in loco propinquiori comunt axi,cp fint in fuo uero loco , quia funt
continuata cum parte qua: eft apua extremum a xis;& fi axes ambqru uifuum concur-
rerint in aliqua re uifa extra axem comunem,uidebitur tunc illa res in loco propinqui *
ori communi axi,c{j fit in fiio loco uero,hoc tamen raro accidit3qi)ia cum axes uifuales
concurrerint in aliquo uifb,tunc ut plurimum axis communis pranfibit per illud uifum,
quia raro axes amborum uifuum concurrunt in aliquo uifb extra axem communem,
nifi per laborem aut impedimentum cogens iiiium ad boc;undeha:c difpofitio non eft
uifibus aflueta,quia fi eliet talis difpofitio uifibus mulrum aflueta , tunc ipfa accideret in
omni uifione uel pluribus,qcf tamen non eft uerum, patet itaqj propofitum,
xxxvi.

Omnium uifibilium fecundum fui longitudinem ante oculos extenib*
rum,qux funt a dextris in finiftram,8C quas in finiftris ad dextram educi ui
dentur partem .

Sint duo uifibilia fecunda fui longitudinem ante oculos extenfa, quue exempli cau
la fint’xquediftantia,&fincab d g,uttg centrum uiius e , ducan*
tur'cg line* ad punda illomm uifibili um in finifteriori quidem par
te qua: fit a b, ducantur linea: cb, e c,e k,e a,SC in dexteriori qua: fit
g d ducanmr linea: c d,e z,e i, e g,dico qj linea: ez,e i, e g uident ,qua
fi in partem finiftram produd*,& lineae e t,e k,e a uidentur quafi
jitrada: in partem dextra,fit eni linea c d gpendicularis fug lineam
d g,8C linea e b gpendicularis fiiper linea b a, erit ergo per / 9. primi
linea e d breuior oibus lineis ez,e i, e g,8i linea e b breuior oibus 1 ia
ncis e t,e k,e alline* ergo e d Si e b minima i uifu denotebut diftan*
tiam lineaj» g d & a b, fecundu illas ergo lineas gfedior fit uilio par
tiu reru uifajK qbus incidut g 13 .hp, linea ergo e d apparebit dexte
rior oibus lineis fuo uifibili incidetibus,8<! linea e b finifterior,ilIis d
q; lineis .ppinquis incidetes mutabut fitus difpofitione fcdm recef-
fum ab iliis lineis,eritfcg linea e z dexterior c£ illa linea e i,8C linea e i
dexterior cfj linea e g:pal5 ergo,qm linea e g uidet in finiftra a linea
ei,8(!.lineaei fimiliteruidet in finiftra a linea ez,eode quocp modo
uidebitur linea e a in dextra educi i linea e k,& linea e k uiaetur in
dextrS educi i linea e t:pundirergo z plus approximat ad finiftra
cp pundu d,S«C pundu i plus cj; pundu z,8C pundu g p I9 cp pundu
i:tota ergo linea d g uidet finiftrari,& tota linea b a uidet dextrar/,
qrh pudo b exiftente finiftro,pundu c uidet plus dextru illo: & ite
pundu k plus dextru pudo t,& pundu a plus dextru pundo k, pa-
tet ergo ,ppofitu,qm fimiliter eft in quibuslibet alijs pundis demon
ftrandu,q enim fub dexterioribus radqs uident, dexteriora apparet,

& q u* fub finifterioribus (inifteriora,ut patet per fuppofitione hu-
ius, h*c aut omnia accidut.qa line* paralell* ,fc3m rernotiores fui
i uifu partes cocurrere uident g z r.huins,8<: hoc eft propofitum.

XXXVII.

Superficierum fub oculo iacentium, remotiores £ uifu,
altiores uidentur.

Sit centrum uifu? a in altipri fitu cqllocatO , qnoniam fuperfi-

cies

y *

PERSPECTIVAE VITELLIANIS

cies rei tuTae in qua fint lines b e, e d,d g,ducanturfc# lines a b,a e.a d,a caufa ex*

em pii fitus talfs,ur linea a b fic perpendicularis iuper lineam bg, in qua collocantur li-
nes b e, e g,d g,qm in alqt (itibus maior eft diuerfitas.dico q> linea g d altior uidetur cp Ii
nea d e,&: linea d c altior cp linea b e, fumatur enim in linea b e pundus,
& i quo ducatur per 1 1 .primi linea z i perpendicularis iuper lineam b
e,qus fiat altior cp linea a b, quoniam ergo pundoru forms e g d proce
dentes ad ui(iim,primo pertranfcunt lineam z i,cp perueniant ad pun-
dum a centra uifus, fit ut linea g a fecet lineam z i in pundo i,& linea d
a in pundo t,& linea e a in pando k,quia ergo pundus i clcuatior eft
pundo t,&! pudus t pundo k,ideo q> linea a t maior eft cp linea ai, & li-
nea a k maior cp linea a t per iS.primi;8iin linea in qua eft pundum i
eft etiam pundum g,& in linea in qua eft pundum t,eft etiam pundu
d,& in linea in qua eit pundu k,eft etiam pundu e :per coprehenfione
uero pundoru d & g uidetur linea d g,& per punda e&d uidetur linea
e d, palam, qin cu linea g d eleua tior apparebit cp linea d e,& (imiliter d
e apparebit eleuatior cp linea b e, cuius enim pundi forma multiplicando fe ad uifuni
magis e!euatur,hoc a! tius apparet uifiii per fup pofitione huius,quia in altiori fitu offer
tur iuiui,& iecundu illum modum figuratur in fuperficieuifus, patet ergo propofitum,
6i patet ex hoc,q> multum exaltato uifu fuperficies pians iacentes longe 5 uifu conea*
ne uidebuntur, tendunt enim forms talium pundoru ad uifumper modii circu fer entis
circa centru uifus propter squalitatem uirtutis uifius, patet ergo propofitum.

XXXVIII,

Superficierum uffui fuperiacentiu remotiores a uifu dediuiores uident.

Sit centrum uiius punctus a in inferiori fitu collocatum cp iliperfides rei inis, in
-g D ^ qua lint lines b e, e d,d g,5i ducantur ficut in prscedenti lines a b,a e.a

~~f 7 ~7 d,ag .quarum a b fit perpendicularis iuper fuperficiem iuppofitam ui*

/ / / fui.dico q> linea d g apparebit dccliuior cp linea d e,& linea d e dediui*

/ J / or cp linea b e,ducatur enim in piscedcnte linea z i squediftans lines

f / a b,fecans lineam g d in pundo i,& Itncam c a in pundo c,& lineam d

/ a in pundo k,ergo per ea qus in prscedenti diximus.forma pundi g

/ / dccliuior uidebitur cp forma pundi d,& forma d decimior cp forma pun

/ di e,& forma pundi e dccliuior cp forma pueli b.Sed per formas pun*

/ dorum g & d forma lines g d occurrit uifui,& per formas p undorum

/ d&e uidebitur forma lines d e,& per formas pundoru c & b uidebi*

tur forma lines c b.quonia itaqj,ut offendimus in prcrmifia . linea a t
eft maior cp linea ai,& linea a k minor cp linea a c‘,di fecundum harum
lincajj-diipofitione fic forma illojw pundoru uifio,pala ergo , qiheetro
uiius & ipfo uifib/li fic difpofi tis.Remotiora igit it uifu,decli
uiora umii occurrunt.cp propinquiora,&! hoc eft ^politum*
xxxix.

Aequalium magnitudinufubeodem uifu ereda
\_\c\ ^rum remotiores altiores apparem.

Sit centrum uifus pundum i,& fint uils squales magni
tudines.qus fub ipfo uifii fint ereds,q fint a b,g d,c z,fit'cjj a
b remotior dui(u;&! deinde g d,& deinde e z,& fit centru ocu
Ii pundu i,eleuatiusexiftes illis magnitudinibus, ducatur!#
lines i a, i g,ie,dico q> magnitudinu illa^ab apparet altior
cp g d,& g d altior cp e z,qrh eni linea i a eft eleuatior cp linea
i g ,8i linea i g eleuatior cp linea i e,& in linea cui ictdut lines
‘z. D B i a,i gj e iiint puda a g e,& p 37M9 uident puda remotiora

L lufiti altiora,puda uero age fimt in magnitudinib? a b,g d

'ZjCrgo magnitudo a b apparet eleuatior cp ipfa magnitudo g d,&: magnitudo g d ap *

paret

LIBER QVAR TVS, 87

paret alt/orquim ipfacz, quod eft,ppofitu,&qa de qualibet tmgnitudinelogiori po
tellabfcindi aqualis brcuiori.Ideo in 01'bus magnitudinibus /ubiacentibus uifui praes
(ens tenet dcmonflratio, quoniam fcmper remotiores uidetur aluores, quim fint (ecun
diinuieritatem. xl,

Aequalium magnitudinum uifui fuper erciflarum remotiores decliuio»
res apparent. E G

E flo ficutin procedenti centrum uifus pundum i, & fint oquales
magnitudines quo a b,g d ,c z,eredo fuperftantes uifiii , ficfcg a b remo
tior uifui quam alix,& e z propinquior uifui, dico quod magnitudo a b
apparet decliuior quam g d,& magnitudo g d dediuior cp e z, ducantur
enim ut in pro milia lineo ib, i d,i z,quonia ergo ficut,patet per 3 8 ,hu
fus, forma ueniens per linea i b,efl decliuior modo uifui incidens.quam
forma uen/ens per lineam i d,& forma uifui adueniens per lineant id,
dccliuiori modo incidet, qua'm forma ueniens per lineam i z , fed in li-
nea cui incidunt lineo i z,< d, 1 b,funt punda z a b , quo punda funtin -5

magnitudinibus a b,g d,e z, palam ergo qnoniam illarum magnitudi
num illa quo eft a b decliuior apparet qua'm gd,&gd qu^m e z,& hocf
eft propofitu,eft aut uniuerfaleillo modo quo diximus in procedenti,

XLI.

Altioris magnitudinis uifibilis per uerticem inferioris afpetfhc acceden*
te & recedente uifui fecundum lineam uertici inferioris ppendiculariter inci
dentem, femper idem erit exceffus,non uidebituraute idem.

Sint duo uilo magnitudines inoquales a b maior, &gd minor, quarum uertices
finr a & g,& fit ccntru uifus pundum c,ducatur'qj linea g e perpendicularis fuper linea
g d, forans lineam a b in pundo z, dico qnod oculo accedente &
recedente fecundum lineam ge, femper idem uidebitur exceflus Ii
neoa bfiiper lineam gd, qui excefliis cfllinea za,accedatenim ui
ilis ad pundum i,propinquius pundo g quim pundum e , nel re«
moueatur ad aliud pundum f, remotius quam pundum e, femper
autem perpendiculariter non incidet forma alicuius pundorum
lineo g d,ipii uifui,nifi ibla forma pueli, efl in quam cadit perpen
d.cularrter e z, quoniam per 20, primi huius,duas lineaseidem fii*
perffcieiab eodem pndo dudas perpendiculariter infiftere eft im
poflibilc,palain ergo propofirum,uidcbltur tii linea a z, minui uel
augumentari fecundum diucrfitatcm angulorum ,flib quibus fiet
uifio per 2o.liuius,8i' cflutpatctexpromiflTs.St per 2 1, primi, an
galus a i z maior angulo a c z, &' angulus a e z maior angulo a f
z,fecundu hoc aut diucrfiffcatur in uifu quantitas lineo a z,femper tarne illius lineo a z,
eadem efl quantitas in lc ipfa, & hoc efl propofitum,
xui.

Altioris uifibilis per uerticem inferioris afpecfti accedente uifui fecuduna
lineam exceflui altioris perpendiculariter incidente,maior pars altioris ui*
detur,recedenteuerouifufecundum eandem lineamminor pars altiorisui
dctur,fecundualia uero linea accedente uel recedente uifu, accidit ecouerfo.

Sint ut in promifla duo inoquales magnitudines,quo a b &t g d, quarum maior fit
a b,& fit centrum uifus in pundo e.pofi tum in linea e a,perpendicularirer inddente pii
do a qui fit altior terminis lineo a b,ambo ergo magnitudines tam a b quim g d fubii
cebunt uifui, cum uertex altiorisqui eft a, fit in perpendiculari dudla i centro uifus ad
magnitudinem aItiorem,fint enim magnitudines a b & g d, taliter eredo, ut pudum a
iit altiusquam pundum g.perueniatcg forma alicuius pudor» lineo a b,quod fit z. per

y 3 uerticem

PERSPECTIVAE VITELLION1S
uerricem line* d g. qui fitg ad ui(ume,& fit linea fecundum quam adyenitilla forma
linea z e, fublinea itaqjzeuideturlinea z a, pars magnitudinis a b & tota magninido
d g,remanet'cg pars lineas a b,qu* non uidetur per uerticem g,& hoc
eft linea zb,accedat autem nilus propinquius ad pundu a, ut fiat in
eadem linea puncto i, palam quocjj quia in hoc (itu aliquis pundus
line* a b inferior pundo z peruenit ad ui(um,qui (it pundus t , &]du
catur linea t per uerticem g ad uifumjfub linea ergo i t uidebitur pars
magnitudinis a b quas eft t a ,& tota magnitudo g d, remaneteg pars
£ lineas a b quae eft a t uifa , & quoniam linea a t eft maior quim linea
z a,qu*uidebatur uifu exiftente remotiore;neceftanum autem eftli
neam t a fieri maiorem quam fit linea z a,ideo quod angulus a i t eft
maior angulo a e zdllud ergo £jd uidetur fub angulo a i t , eft maius
illo quod uidetur fub angulo a e z, per 20. huius Jinea ergo at ma*
ior uidebitur per 19. primi, maior eftquSm linea a zfr quando Ii
nea e gperpendiculariter incidente cuicuncp pundo fiexceflus lines
abfuperlineamg d, eadem eft demonftratio?palam ergo quod ac*
cedente uifii fuper apparens pars line* a b femper fit maior,receden
te uero uf(u fit minor,& hoc eft propofitum primum : fecudum aliam
uero lineam qu* fit perpendicularis faper lineam a b ,non tamen in*
cidat in pundum a,ucl in aliquod punctum exceflus , fcd in aliquod
aIiudpundumIine*ab,bafiiustoto exceflu line* ab fuper lineam
g d,ut in pundum f, uifu accedente uel recedente accidit econuerfo,
nam accedente uifu totius magnitudinis a b, minus uidetur per uerticem xeceden*

te uiilunagis, exiftenteenim uifii in pudo e.multrplicabitur ad uifiim forma line* za,
accedentetiei op,ui(uin pundum /,& dudis lineis e g & e t,ig c , patet quod ili* line*
lecabunt fe in pundo g,& non peaieniet ad uifiim forma alicuius pudorum line* z t,
icd folum formas line* t a,qu* eftneceflario minor £$ linea z a,,patet ergo propofitum,
X L 1 I 1,

Inaequalium uifibilium uefticibusin eadem linea arquediftate horizon*
ti exi flentibus, pars inferior longioris uifa per bafem breuioris accedente ut
fu fecundum lineam exceffui longioris perpendiculariter in
ridentem maior pars longioris uidebitur: recedente uero
uifu fecudum eandem lineam minor pars altioris uidebitur,
fecundum aliam uero lineam accidit econuerfo .

H*c non differt in hypothefi a prarmifla , nifi quod in illa uifibilia
fiint flibiacenria uifui, In hoc uero funt (uperftatia,Sint ergo in*qua
les quantitates ab & g d, quarum maior fit ab, fintfcg uertices illarum
^ quantitatum b &d,:& fit linea bd *quediftans horizonti , fit'cg centra
t uifus in pundo e, multiplicetur^ forma alicuius pundi line*ab,utz
per bafem g,ad uifiim e,fiat'cg linea z g e,fub linea ergo z e continetur
z a & g d,& b z,non apparet uifii propter interpofitionem ipfius g d,
inferior uero ipfius pars decliuior apparet per 40 .huius,remanet'cg a z
pars line* a b apparens uifui ultra lineam g d,accedat ergo uifus 5C fit
in pundo i propinquiori ad pundum a ,in eadem linea perpendicula
ri, Iuper lineam a b qu* fit e f, h*c enim *quediftat uerticibus ip forum
uifbrum qu* funt b & d,multiplicabiturcg forma alicuius pudi line*
ab per pundum g,ad uifumexiftente in pundo i, fit ille pundus t , 8i
ducatur linea t g i, fub linea ergo tgi continentur magnitudines gd
& t a ,'fiib linea uero e z, continentur magnitudines a z di g d , di quo-
nia m linea t z a minor eft quStn linea t a, cum enim angulus t i f> g i£.
primi,fit maior angulo z e fiergo per zojuiiufi Jinea e f uifa flibangu

lo,tif

LIBER O.VART VS* .'8g

Io t i f maior efl quam linea z f.uifa fub angulo z e f, &! non fohmr apparebit uufuf ma-
ior in uno 8t erit minor, quia itaog ambabus lineis t f & z f, communis eft linea f a,pa-
tcc quod tota linea t a erit maior quam linea z a ,8t hoc eft primum propoli torum, Si ue
ro uifus accedat nonfecundum lineam c f, fed fiat in pundo i .extra illam lineam ef^8d
in alia linea e f perpendiculariter incidente lines a b,non in aliquod pundorum excef
ilis a b fuper d g,dico quod accidet econuerfo,er it enim linea t a minor quim linea z a,
ducatur enim lines t g i, 8t a i,Qt i z.palam quocg per 3 a. primi, quoniam angulus ait
eft mrnor angulo a i z.ideo quia angulus a i z minor eft[angulo a t i,per z 1 .primi,&! an
gulus t a i c5munis,uifum ergo i pudo i,fiib angulo a i t eft minus uiio fub angulo a i z
linea ergo z a eft maior cjj linea t a,& uidebitur mafor,& hoc accidit cum centrum ui-
fus collocatur fuper lineam primam e f , dt altius quSm illa. Si nero ipfum collocetur in
ferius quim linea prima e f,tunc accidit econuerfo.patet ergo propofituni ,

X L 1 1 1 1.

In fitusuifioneufrtutidfftintftiua: error accidit ex intemperata difpofi*
tione octo circunftantiarum cuiuslibet rei uife,

# Ex intemperantia enim lucis uirtuti diftincftius error accidit in uifione fitus.ut 1? in
no A e non obfcura aliquid modice declinet i uiiii,tunc sft/mabitur in eo (itus reditudo
propter debilitatem lucis egreflam i temperamento. Nimia etiam remotio in uifio-
ne litus errorem inducit, unde res uilibilis ualde remota 5 uiiii 8t obliquata ilifuf uidebi
tur direde oppofita per 34,huius. Item intemperantia etiam (itus errorem facit in fi-
tus uifione, cadente enim axe tufuali in corpus fecundum temperatam diftantiam ui-
(iii oppofitum,&; fumpto alio corpore multum elongato ab axe,& declinato modicum
fuper lineam imaginatam,fuper quam cadit axis radialis perpendiculariter , tunc uifus
non comprehendit corporis illius declinationem propter litum i temperamento egrefe.
lum,quoniam non fit plena comprehcnlio corporum longe ab axe politorum per 45-,
rerti) huius , St ita propter hunc errorem res oblique uifibus oppofirariudicabitur oppo
fita direde. Intemperantia etiam magnitudinis in uifione (itus efficit errorem, quo-
niam granum finapis fi fuerit ab oculis declinans.uidctur tucac fi effet direde oppofi-
rum,quia eius declinatio propter paruitatem corporis no poteft comprehendi, nec eiri
rit fenfibilis declinatio huius grani ab axe communi orthogonaliter luper uifibilia ca-
dente, fecundum quam difcernitur obliquatiorertim uifarum refipedu uifus , quoniam
non plene difeernitur diftantia inter hunc axem 8i extremitates grani
qua- eft quali minima linea omnium linearum fenfibilium. Exintem - "**

perata etiam foliditate error accidit uifui in fitu, quoniam fi corporis
ra ri litus refpedu uifus fuerit declinatus,occultabitur eius declinatio,

& fi forte uidebiturdiredeopponi,unaenim extremitatum illius cor
poris eiufdem diftantia: reputabitur cum alia, cum tatne fint diuerfae,

& accidit hoc propter minimam raritatem non terminantem certitu
dinaliter uifibilem oppofitionem , & inducentem incertitudinem in
quantitate angui i, fub quo fit uifio. Intemperata etiam diafonitas efe
ficit errorem uifui in fitu.fi enim corpus nilum fub parua obliquatioe
obfjciatur uifui in aere denfo obfeuro , ficut accidit in or is crepufeula-
ribus,occultabitur declinatio qua pateret in aere lucido claro , fit ergo
error in fitu oppofi tionis corporis ad uifum . Ex intemperata etiam
quantitate temporis fit error uifui in fitu,cu aliquid occurrit uifui fubi
to,quod ftatim recedit,hoc enim forte direde uifeii oppoficum reputa
Jjitur obliquatum, uel econuerfb . Si fuerit obliquatum uifui forte re-
putabitur redum. Ex indifpofitione etiam uifus in fanitate fit error
ui(ui in fitu,ut fi ab obliquata diftatia licet temperata corpus aliquod
in oppofitione uifiis modicum obliquatnr,tunc enim uifii exiftentede
bili,non fentietur obliquatio, cu tamen fit obliquatio fecunda uerum .

Sic ergo in fitus uifione uirtuti diftindiu* error accidit ex intemperata difpofitionr-

odo

PERSPECTIVAE VITEXLIONIS
ododrcunftantiarum cuiuslibet reiuifie, ut proponebatur.

XLV.

Figura circularis fuperficiei rei uifae comprehenditur a uifu ex circularita
te formae in fuperficie oculi deferiptae .

Quoniam enim forma; rerum deferibuntur in oculi fuperficie ficut funt in rebus ex
tra,per 1 7.huius}& formae fecundum figuram quae deferibuntur in oculi fuperficie fic g*
ueniut ad neruum communem, di circa eius pundum medium figuratur, pro ut patet
per 3 7, terti] huius,8i ibi comprehenduntur ab anima fecundum fui difpofitionem , tSc
patet quod forma circularis fuperficiei r ei uifar coprchenditur i uifu ex c/rcularitate for
mi in fuperfide oculi defcriptac,& fimiliter coprehenditur cirailaritas cuiuslibet par-
tium fuperficiei reiliifae, certificatur aut harc uifio cii uidens moucrit axes radiales am-
bos uel faltemunu per totam circunferentiam rei uifie aut partis eius, fic em ex certifi-
catione fituum termioru formae comprehendet figuram fuperficiei circularem cx con-
fimilitudine uel diflimilitudine partium, Si ex coprehenfione aequalitatis uel inaequalita
tis remotionis parttu rei uifae ab inuicem,uel aequalitatis uel inarqualitatis eleuationum

xlvi.

Figura tc&iline a coprehendita uifuexfuoru terminoru coprehefione.

Qm enim figura eftqux termino uel terminiscontinetur, termini autem figu-
rarum iunt linea qua comprehendatur uifu non decepto fecundum ipfaruni fituatiorie
in fuperficie oculi, ficut eft ipfarum fitua tio in fuperficie rei uifae, palam ergo quoniam
ipfarum comprehcnfio a uifu eft comprehenfio figura: in ipfis conrentse,cuius funt ter-
mini hoc eft propofi tum^cd in his omnibus uifus requirit diftatiam mediocrem

6 alias circunftantias uifui debitas,neforte fiat deceptio inipfo uifu,

XLV II.

Planidesfuperficiei fecundum mediocrem diftantiam direclc uifui op*
politae comprehenditur, dC ex comprehenfione aequalitatis remotionis par
tium,K confimilitudinis ordinationis ipfarum .

Sit iuperficiesplana a b c d,8i fit centrum uifus e, 5 quo duca tur fiiper datam fliper^
, nciem perpendicularis e f,& quoniam fuperficies illa eft direde uiftij

£ oppofita, fic quod perpendicularis incidat in medium pundum il>

/l \\ lius fuperficiei , producantur quocp ad punda arqualiter 5. pundo f,

/ / \\ diftantia qua: funt a b c d, linea: e a,e b,e c,e d,& cotinuentur linea; f a,

/ / \\ f b,fc,fd, quae omnes erunt aequales propter arqualem ipfarum difta-

/ / \ \ tiam a' pundo f, cum ergo omnes illa; linea: f a,f b,f c,f d, per d/ffin i-

/ \ \ tionemIine«fiiperfuperficieeicda:fintgpendicularesfuperIinea eft

/ \ \ _ pate t per 4. primi, quoniam lincte e a, e b,e c,c d funt Aquales, iiiperfi*

7 \ ~7\ cies icacP ab»c d, fecundum illoseiusterminos aequaliter diftata uifu,

, / fed di alijs lineis ad punda alia arqualiter diftantia d pundo fj centro

Y Y uifusprodudisillarumomniumadinuicemex prtemiflis cocluditur

/ \ aequalitas,tota ergo fuperficies fecundum omnes fui partes «qualiter

/ \ / \ diftantes ex omni parte d pundo f, confimiliter peruenit ad tiifum, to

/r\ \ ta itacp ftiperficies uidebitur plana ex comprehenfione «qua litatis re*

\ \ motionis partium ^confimilitudinis ordinationis ipfarum,& hoc eft

\ \ propofitum. Sed & fi axes radiales no incidant ad medium, nihiJomi

\\ nus per eandem demonftrandum.femper enim termini cuiuslibet par

Y Dtium fuperficiei erunt linea: reda;, fuperficies ergo eft plana.

XLVIU,

Conuexitasfuperficiei comprehenditur a uifuex propinquitate partili
mediarum & aequali remotione partium extremarum.

Cum

fctBBR QVAKTVS. J ■; 851

Cuni enim fuperffcies conuexa dire&e uifui opponitur fecundum mediocre dfftan
tfam.tunc cum omnis regularis fuperffcies conuexa fitpars alicuius fphsrs uel colurna
na: rotunda uel pyramis rotunda: per 1 18. primi huius, fi fuperficiesilla oppofitauf-
iui fit pars fphsrics fupbrficiei.fi d centro uifus ad centrum fphsrs linea reda ducatur,
alisfcg prster centrum lines plurimum producatur,patct per 73 .primi hukts, quod fo
Ia illa qua: centru tranfit,eft gpendicularis fuper fphsrs fuperfidejalfs ueto oes lines
£ centro, 'uifus ad illa fphsrica fuperffcie produdls,funt fug illa fuperffcie incidetes obii
que,eritergo g S.tertij.pars perpendicularis interiacens centru uifus & fuperffcie fphs
ricam omnia aliarum linearubreuiffima,ergo fecundu illa fit.pxima approximario ad
uifum,& oes circuli fecundii pundum cui incidit illa perpendicularis in fuperffcie fphs
ix defcripti,erut uifui proximiores fecunda ill a punda ,& fccundu alias lineas oblique
incidentes erunt uifui remotiores,quia omnes lines perpendiculari lines .ppinquiores
modo dido funt minores rcmotioribus,quoniam per prsnominatam ergo tertrj, ornes
lines a centro uifus ad periferias maioR; circulorum produds funt longiores lineis p-
pinquioribus lpfi perpcndiculari,ex coprehenfione ergo propinquitatis partium me#
diorum in illa fuperffcie, et remotione aliaic parttu qua? funt in terminis,apparet maior
eleuatio partiu mediaru quam extremarum , & ex inaequalitate eleuationis partiu fuper
fidei uidetur gibbof?tas,quseft caufa conuexitatis,& qih in omni pudo fiigficiei fphs
ries fecant fe circuli magni trafeuntes per centru illius fphsrs, & oes lines qus lines
breuiflims utruncp sque .ppinquant funt squales, ideo fecundu squalem dtftantiam £
perpendiculari fit squalitas omniu lineajt ad fphsrs fuperffcie a centro uifus ,pduda?
ru,&: apparet deflexio gibbofftatis squalis fccundu omne differentia pofittofs in fphs
ricis fuperficiebus maxime cum direde uifibus opponuntur. Si liero fuperffcies con
uexa oppofita uifui fuerit pars fiiperficiei columnaris aut pyramidalis rotundari?, tunc
fit cade demonftra tio .pdudis lineis perpendicularibus i centro uifus ad centrum circu
ii ba fis.Sd omnium circuloru squediftantiu bafi,altjs quocg lineis pluribus ab eode cens
tro uiffis non perpcndiculariter per eofde circulos pdudis, coplcbitur demonft ratio Ut
prius , Si fi ilis fugficies quscuqj obliquats fint ad aifum, nihilominus g eade eft demo
lirandum. Siuc enim gibbofitas fit inferius, fiue fuperius , flue i dextris,fiue i finiftris,
femper partiu insqualis diftantia propofftu cocluderet de irregularibus coucxitatibus
per eade fit coprehenfio in ui(u,paret ergo ^>pofitum,uniuerfaliter enim couexitas com
prehenditur i uifu ex ,ppinquitate partiu mediati;,& squali remotioe partiu extremapr,
patet ergo qct ,pponebat . XLIX,

Concauitas fuperficiei comprehenditur d uifu ex remotione partiu me*
diarum Si fequali appropinquatione pardum extremarum.

Per eadem q in prscedenti demonftr andu,& fimiliter per omne fuperffcie tranfcur
rendu.fcmg eih per 8 .tertij, linea i cetro uifus ad centru fphsrs uel circuli .pduda, quia
continet diametrum, eft omniu longifl?ma,8<! fibi ,ppinquiores funt csterfs remotiori-
bus maiores,8i oes squaliter ab illa diftates funt squales,ergo termini illius fuperficiei
uidebuntur arcualcs.Si tota fuperffcies uidebitur concaua,8i fi ilis fuperffcies fint obii*
quats ufffbusjfecnhdu arcualitas terminop; fit fuperius fecundu inferius,fiue £ dextris ,fi
ue a finiftris,femper per eandem demonftrandum, patet ergo propofitum ,

L ,

Centro foraminis unes 8i circunferentia circuli in eade fugficie cxiffcen=
tibus,circunferentiaadaliquam recftitudinem accedere uidetur,

Efto foraminis unes centru a, in eadem exiftens fuperficie,cu circunferentia circuli
111 (i, ita qd plana fuperffcies ciraili imaginata ,pduci,fecet fphsra oculi trans centrum,
illius quocp circunferentia circuli fitg b,& eius centru k,S£ i puncflis illius circuferentis
ducantur lines plurims ad uifum a,qus fint b a ,d a,e a,z a,i a,c a,g a, fecundu quas li-
neas forms illopj pundloru accedut ad uifum,dfco qih arcus b g,apparec uifui linea re<
<fla,ducatur eih i centro illius circuli lines k b,k d,k e,k z,ki,k c,kg,qm ergo linea k b
. uidetur fob angulo k a b,8i linea k d fub angulo k a d,qui minor eft angulo k a b,quonia

PERSPECTIVAE VITELLIONlS
pars eius eft, e-gop zo.hinus, pala eft, quia maior uidebitur lincakb quSrhkd, qrhfub
maiori angulo uidetur, & (imilitcr uidebi tur linea k d maior quim k e , di k e maior cjj
k z,& eodcrri itiodo uidcbitur k g maior quam k c,& k c maior tp k i, di
k i maior quim kz^&l pundus quocgz inter o'mnes datos pundos.qm
cadit in perpendiculari a k, propinquior uidebitur centro k quam pun*
dum e,& pundus e npinquior quim pundum d,& pundus-d propin-
quior quim pundu b,fn apparentia ergo uifui,alioqUi tollitur de cumi
tate arais z b,SC fimilitereft de arcu z g, accedere ergo uidetur ad redi*
i*1' tudinem arcus g b,cum enimper 8 .terrij, linea a z,fit omniu breuiflima,
di linea a e breuior fit quim linea a d, di a d ■ breuior quim ab, patet qd!
in uifii aliquid remanet curuitatis apprehenfa,& fic non uidebimr tota
periferia linea reda , fed ad reditudine aliqualiter accedens, paret ergo
,ppofitum, di hoc idc accidet couexis di concauis partibus periferiacir
culiuifuioppof?tis,quiafiipudo z ducat aliqua gpendicularis itig li-
neam a z,tuc no eft differentia magna uifui inter arcu di linea coringcn
rein.cu per maius (paciC uilio fiat„ppe ucroexiftetcuifu, maior percipi
nir conuexitas uel cocau/tas di magis apparet , Et (i ccntru oculi di cit
culus no fint in eade fuperficie,ruc circuferentia circuli uidebitur curiia,
qfntunc (itus pari/um lincte circularis fecundu fuum fitu di efle propriu,
perucn it ad uifum Si depingitur iecundu ilia curuitate in iligficie illius,
licet quandoqj forma ipharica illius curuitatis Iecundu alicjd fui uariet.
L I

Circulo centroq; foraminis unea: in eadem fugficie exiften
tibus m/nusfemicirculo uidetur»

Sit centrum foraminis uncae qd* fit pundum a ,& circulus b c d,cu-
us diameter be,in eadem fuperfleie plana exiftens, uidcaturfcg arcus b c d ,dico quod
minus femicirculo uidebitur.fi enim arcus b c d qui uidetur fit femicirculus , necefie eft
lineas a b fiC a e,fuper terminos diametri b e incidere,aliter enim femicirculusnon uide
bitur.quia fola diameter eft qua diuidit circulum per aqualia, ergo Iis
nea a d 8i a c,femper contingent circulum, quoniam i terminis diamei
tri producuntur, palam ergo per 17. terti), quoniam utracp cum diametro
bc, angulum redum continebit, triangulus iraqj ab c habebit duos an
gulos redos3S<i tertium angulum , quod eft contra 3 z.primi, di impofli-
bilc, patet ergo propofitum .

LII.

Centro foraminis unete exiftentein circuferentia uclin ccn
tro circuli,tocaliscirculus uidetur.

Efto centrum foraminis unea pundum a, in circunferentia circuli
d b , dico quod totus circulus d b uidebitur , nec enim eft pundus in toto
circulo i quo ad quelibet pundum datum in circunferentia duci linea rc*
da non poflit, & quia ut oftenfom eft per fecundam tertij huius, poftibi-
le eftfolum illum uideri,inter cuius quodlibet pundum in aliquod pun*
dum iliperficiei uifus produci lineas redas eft pofllbile , forma ergo 0*
irmium pundorum circuli percingere poflunt ad uifum nullo cxtrinieco'
corpore impediente, talisergo circulusfecundum omnia fua pundaui
deri poterit centro foraminis unca in illius circuli circunferentia colloca
ta,& quoniam centro foraminis unca in centro circuli exiftente, ad huc
omnes linea ducibiles i pundis circuferentia ad centru ad ipfom uifum
perucniunt-, patet quia fiet uifio fecundum lineas qua i pundisciram*
ferentia ducuntur ad centrum uifos per decimam feptirnam terrij huius.

ya

& hoc eft propofitum.

Exiftente

9»

LIBER. Q.VARTVS.

LII I.

Exiftentc centro oculi in linea a centro circuli liiper fuperficiem circuli e=*
. reda,aut in termino linea obliquae fuperficiei circuli infiftenns aqualis fe<
midiamecro,oes diametriin eode circulo ,pdudi aquales uifui apparebut»
Efto circulus d c g z, cuius centrum fit pundus a, erigaturfcg linea a£,perpendi-
cularitcr fuper circuli fuperficiem ,& ducantur diametri ez& d g.ponaturfcp centru ocu
Ii in linea a b in pudo b,dico quod omnes diametri dudx trans fuperficiem circuli.ut
c z & d g, aequales adinuicem uidebuntur,ducantur em a centro uifus linea: b e,b z,b d,
bg,quoniam ergo linea z a aequalis eft linea: a g ,& linea b a communis ambobus trigo
nisabg&:abz,anguliquocp ad centrum a funt squales, quia redi, palam per 4. pric
«ni, quoniamlineabgcft: squalis linexbz,& angulus abz aequalis an-
gulo a bg,& eodem modo erit angulus a b d squalis angulo a b e , SC o*
mnes anguli ad centrum uiius inter fe funt xquales.emo per 19. uel zo ,
huius,omnes iemidiametri squales apparet, imo 8i lpii diametri, iub x*
qualibus enim angulis omnia uidentur,8<! totales diametri di partesded
oi omnes lines xquediftantes alteri diametrorum uidentur maiores dia
«netris,& remotiores minores propinquioribus,quod patet duda linea
f h squediiianre diametrorum d g.cuius medio pundo qui fit k, incidat
linea b k,&: copulemur lines b fjSC b h,& a k,erftfcg linea a k per 3 .tertrj.g
pendicularis fuper lineam f h.quoniam ueniens d centro diuiditipfam
per squalia in pundo k,quia itaqj in trigonis bagdibkh, anguli b a g
Sf b k h fint redi, ut b a g, exhypothefi&bkhper zz.primihuius, linea
ucro b k eft maior quam linea b a ,8i linea a g eft maior quam linea k h,g
3 7 .primi huius,angulus b h k eft maior angulo b g a,fimiliter quoq? an*>
gulus b f h erit maior angulo b d a, in trigonis ergo dbg Scf bk erit g
3 1. primi, angulus d b'g minor angulo fb k,diameterergo dg uidebit
maior quam linea f h,pcr z o .huius, fimiliter quoc£ eft de omnibus alqs 11
neis squcdiftantibus diametro refpedu ipfius diametri, SC ad inuice de*
monftrandum,qusIibetcrgo minor uidebitur minori ita totus circux
Ius uidebitur propris fus ngurx,& hoc eft propofitum primum. Si uero
linea a b,non fit ereda fuper circuli fuperficiem, fed oblique infiftens , fit
tn squalis fcmidiamerrocirculi,adhucdiameter dg&ze uidebuntur
squales cetro uiius in pundo b,exiftente em ex hypothefi,z a femidiameter fit xqua*
lis lines ab,& femidiameter a e squalis fit eidem,pala quoniam lines a b, a e, a z funt
xquales.Si a go fuper pundum a, ad quantitatem femidiametri e a, circulus deferiba*
tur in luperficie in qua funt lines a e,a z,a b, palam quia tranfibit per pundum b , ergo
per 3 o.tertij.angulus e b z eft redus, fimiliter quocp oftedetur angulumg b d efle redu,
& quia omnes anguli redi funt squales, & fub squalis
bus angulis uffa squalia apparent g iji.uel io. huius, pa
lam quia oes diametri illius circuli quocnnqj ducant ss
qles apparebut , ficut diametri c z ipfi diametro g d,qd*
elt propofitum fecudum,patet ergo totu qd ,p ponebat.

Ll 1 1 1.

Centro oculi exiftentein termino lineas maio
ris uel minoris femidiametro circuli, cuius fugfi
cieiin cetro oblique eft infiftens , a:quales angu
los cudiuerfis famidiametris cotinentes,illsedia
metri eiufdem circuli aequales apparebunt.

Sit circulus b g d e, cuius centru a, di fit centru uifus
Zjfifcg linea a z non ereda fed oblique incidens fuperficiei circulimaior uel minor fe<
mxdiamctro d adit tn angulus d a z squalis angulo g az,& angulus e a z squalis ane

z » gulo

PERSPECTIVAE V.ITELLIONIS
gulo b a z.dico quod ad hoc diameter d g & e b uidebuntur «quales , quoniam enim li*
nea d a eft «qualis a g,Si linea z a communis duobus trigonis z a g>6i z a d , eft quoqj
ex hypothefi angulus d a z «qualis angulo c a z, erit per 4.primi, linea z d «qualis li*
near z g,& angulusd z a «qualis angulo g z a .ergo per 19. uel ao,huius,bafis d a uide
bitur «qualis g a bali.Similiter quoqj per eadem demoftrabitur angulus e z a «qualis'
angulo baz,ag prxmifla uidebit linea e a «qualis linear b a ,& angulus a z g,«qualis
eft angulo a z d,& angulus e a z «qualis angulo a z g,ideo accidit ut totalis angulus d
zb totali angulo ezg fit «qualis,uidebitur ergo utmpra patuit diameter db «qualis
diametro e g,quodeft ,ppofitum,pofltbile eft aut hoc in quibufdam diametris accidere,
non aut in omibus diametris ciraili taliter uifui oppofiti.no ergo oportet qd* oes dianie
tri illius circuli uideatur «qualesjno em fllx diametri uidebunt xquales,cu quibuslibet
linea z a, fecit angulos inxquales, lv.

Si recftalineaa centro circuli centro oculi incidens no erigatur fuper fti*
perficiem circuli, necp aquales angulos cotineat cu diametris , maior fe

midiametro,diametri illius circuli insequales apparebunt , totusc^ circp*
lus uidebirur fecHo columnaris, cuius maxima eft diameter illa cui perpen
diculariterinciditlinearadialis.

Efto circulus a g b d cuius centrum z ,& ducantur diametri a b & g d, ie ad inuiccrtt'
orthogonaliter iccantes,(ic quod centrum oculi e>& quo ducaturlineaczadcentru cir'
culi diametro quidem d g iecudum angulum retftum perpendicnlaritcr incidentes,dia
ametro uero a b oblique ut acciderir,non erit ergo linea e z e reda fuper (uperficiem cir
culi3fitfcg linea e z maior femidiainctro cirai!i,aico quod diametri a b di g d uidebitn -
tur ma:quales,&gd maxima quidem ab uero rninima.&quod totus circulus uidebitur ■
altera parte Iongior,ueluti fedio columnans,quoniam omnisdiameter ciraili qu« ce-
ciderit propiorminimx, uidebitur minor remotiore ab illa dux tantiim diametri ap
parebunt «quales,ut ill« qu« «qualiter diftat ab utracp parte i minima diametro qua:
eft a b,quonian\ enim diameter g d,eft perpedicularis fuper diametru a b , & fuper lineS
z e,palam per 4,undecimi , quoniam linea g z eft perpendicula-»
ris fuper fuperficiem in qua iunt linex e z & a z, uel a b,ergo per
i S.undecimi , erit circulus propofitus orthogonaliter iiiper fup*
ficiem e a z,ergo Sica z/upcrficics ereda er it (uper circulum,du
catur ergo a pundo e, fuper fuperficiem circuli a b g d , perpendi-
cularis per / 1. undecimi, hoc itaq? per prxmifla neccflario cadet
in communem fedione illarum fuperficierum.qux eft a b, cadat
ergo Si (It e k,& ducatur linex e a,eb,e d, eg, producaturfcg dia-
meter-circulialiaquxfitsz p,conftituendo cu diametro g z d an
gulum p z d «qualem angulo g z s per 1 5-. primi , ducatur quOC£
alia diameter qux fit i z d,ita ut anguli gzgSiizg fint «quales,
quia itaqji pundo e, in acre dato fuper fubftratam planam iiipef
ficie circuli qui eft a b g d,duca nt dux Iinex,una ppendiculariter
q eft e k,& alia oblique q eft e z,& inter puda incidetix qux funt
k 8iz copulatur linea z h,in ipfe fuperficie,patet per 3 9. primi hil
Ius,qm angulus e zk,minimus eft omniu angulos fub linea ez,
oblique irtcidente,etfemidiametro z i uel z p,uel quacuqj alia dia
metro contentorum, & omnis angulus iftoru angulorum propin
quior angulo e z k eft minor remotforeiduo cijqj anguli ex utracp
parte «qualiter angulo ezk approximates,utfuntanguliiz k,
& p z k inter fe funt «quales, copulentur linex e i, e s,e p, e t,

quia itaq} ab angulis duo* trigonoru d e g di t e i , ad medietates
fuap*ba(ium xqualiu in trigono deg linea ezperpendiculariter
‘lncidit,8iintrigonoteiob|iqeft,qlmeaez maior medietate utriuicg illa^bafiu.gd
& i t, ut patet ex hypothefbeigo g 49 .primi hm'us,erit angulus deg maior angulp t e i.

LIBER Q_VARTV?V 5>r

ergo £ 10 .huius.dian^ter d g.uidebiturmaior diametro / t,Si quoniam ut oftenfum eft
E 3 9. primi huius angulus e z i eft maior angulo e z a,ambabus uero baftbus trigono-
rum tei&aeb, qua funt i t di a b,ad medium pundu qcfeft z linea e z incidit oblique;
erit per j- 1 .primi ludus angulus t e i maior angulo a
eb,ergoper zo.huius diameteri cuidebiturmaiordi
ametro a b,& fic per pramifia de qualibet aliaru dia-
metroril refpedu diametri a b eft demoftiandif.OIm
itaqj diamctroril circuli propofirf gd uidetur maxi*
ma,& a b minima,& propinquiores diametro g d in-
dentur maiores,& propinquiores diametro a b uidcn
tur minorestdua quoqj diametri aqnaliter hinc inde
diftanccs uidentnr aequales, ut iunt i t &sp pdr pras*
miftam,qm propter aequalitate angnloru aliqitorum
qui funt e z i & e s p per 3 j.prmi haius anguli t e i di
se p fiunt aquales per $ 1 .primi huias,totu.s ergo cir-
culus uidetur altera parte longior, ucluti fedio colu»
naris. Sed & fuppofitis tjs qua per 39. primi huius
declarata funt, poteftreliquualiter dcmoftrari.Extra
hanc enim figuram .ptrahatur linea 1 m aqualis dias
metro d g per j ,primi,& diuidatur linea 1 m per aqua .
lia in puncto n per io.primi,&: i pundon ducatur li*
nca n x perpendiculariter ftiper lineam 1 m per 1 / ,pri
mi,& rcfecetur li nea n x ad aqualitate linea z e , quae
eft ex hypothefi maior cp linea n m , aqualis lemidia
metro zg.ut patet cx pramiflis,duclis'cg lineis 1 xdi-JL
mx, compleatur trigonulmx,&iper j- .quarti circu* '
feribat ei portio circuli qua fit 1 m x,eft itaqj illa por»
tio circuli 1 m x maior femicirculo,ideo quia linea n x
eft maior utraqj linearu n m di n I,& qni trigonorum
gze3dnxlatusgzeftaqnaklaterinl,& latus ze
arqiial e lateri n x,& angulus g z e aqualis angulo 1 n
jqqm ut patet ex ptarmiftis uter® ipibje eft redus,erit
per 4..primi bafis g e aqualis bau 1 x:& fimiliter itera»
ta demonftratio in trigonis dze&nx m,erit linea d e aqualis lineam x, Si erit totus
angulus I x m aqualis totali angulo g e d.fiat quocg faper pnndu n terminulinea I n g
2. 3 .primi angulus aqualis angulo i z e, & fit angulus I n o,fiat'cg per 3 .primi linea no
aqualis linea e z,8c ducantur linea 1 o & m o , de* > . ,

fcnbaturfcp ftipra circa trigonum 1 o m portio circu»
li qua fit 1 o m,erit quoqj lecundu pramiflum pro-
bandi modum angulus 1 o m aqualis angulo i e t, ita
utpriusperi3.primiconftituatur fuper pundu n
terminulinea 1 n, angulus 1 n p aqualis angulo a z
e,& fiat linea np aqualis linea e z,di ducatur linea
1 p & p m,&: circa trigonu Ipm defcribatur portio
circuli ut prius, qua iit 1 p m,erit quoqj modo pra*
miflo angulus 1 p m aqualis angulo a c b, ducatum*
lineai pundol ad pundu fedionis,ubi linea mole
cat circufcrentia portionis circuli qua 1 x m,qua li*
nea fit 1 q,8d quia per z^.tertq angulus Iq m aqualis
eft. angulo lx m, cadunt enim in eundem arcu que concordat linea 1 m, angulus uero 1 q
m maior eft angulo 1 o m per 1 <S.primi,patet,qa angulus 1 x m maior eft angulo 1 o m,
angulus uero 1 x m aqualis eft angulo g e d,&: angulus lo m aqualis eft a ngulo i e t,pa=
ii. : . z 3 lam

PERSPECTIVAS VITELLIONIS
lam ergo,quont'2 angulus g e d maior eft angulo 1 e t.Similirer quocp duda linea k ad
pundu (ecfiioniSjin quo linea m p (ecar arcum 1 o rh, palam ut prius, qih angulus 1 om
maiore!}: angulo 1 p m,& quonia angulus 1 p m eft squalis angulo a e b,erit angulus i e
t m jior angulo a e b, ergo per 20 huius maior apparebit uifui in pondo e polito diame
ter gd,c^ djameter i t,&! diameter i t maior diametro a b, di qm de omnibus diametris
cadentibus in arcum i a eadem eft dcmonftmio refpedu diametri a b, patet q> omnib?
illismaioruidebiturdiameter gd,& minor uidebitur diameter a b:omniu itacp diame
troru co ncurrentiu cum linea e z in pundo z diameter a b uidetur minima,SC g d maxt
matdiameter aero media diuidens angulo a z gper aequalia.modo medio uidebitur in
diametris g d Sd a b,8i quia per prsmiflam angulus i c t aequalis eft angulo s e p,palanv
quia diametri i 1 di s p aequales uidebuntur .quonia fcnt diametris g d di a b aequaliter di
ftantes,at patet per pr*miflam di per 1 5- .primi ,hoc ergo eft propoficum,

LVI.

Si linea recda a centro circuli centro uifus incidens,non erigatur fuperfu
perficiem circuli, necp ecquales angulos contineat cum diametris , fitfcp mi*
nor diametro,diametri illius circuli inaequales apparebunt, totusfcjj circu*
Ius uidebitur fedtio columnaris, cuius maxima diameter eft illa,cui oblique
incidit linea radialis .

Efto circulus a b g, cuius centru e,& ducantur duae diametri ag&bdfe inuicem ad
redo s angulos fecantes in cetro e,& ducatur linea ez,qu* neq? fit ereda fupet luperfi
ciem circuli dati,nec angulos aequales continens cum diametris a g di b d , di fit minor
iemidiametro continens angulos redos cum diametro g a,
& in*quale$ cum diametro d b,dico q> diametri propofiti
circuli apparebunt inxquales.fid q> totus circulus uidebitui
/\ /V's' ftdio columnaris, aiius diameter g a apparebit omniu mi-
\/ \\ \ nima,8C diameter db maxima tdiametriuero aequaliter ab

TnAX \ iftis ambobus diametris diftantes.xquales apparebunt ocu

/ A lo in pundo, SC exiftete ut funt diametri h p fiC s r,quia enim

F/ \— angulus z e g eft redus.ducantur linea? z g,z d,z a,z b , 8i

/ \ / ducantur ad d/ametrQ h p lineat zh,zp,& ad diametru gr

/ / \ / Imexzg&zr.&omnibusalijsucinprxmifiadifpofirisjci

\j/ \ n. / licet duda linea z k iuper diametru g a, cui gpendicularitet

h\. < incidit linea zc per 39.1'tacjj primi huius,patetq> angulus z

^ — _JL- — e k eft minimus omniu ariguIoR; ilIom:&omnis angulus il
s Ii propinquior eft minor remotiore,quia ucro ab angulo tri

go ni g z a defeendit linea z e ad mediu bafis,qux eft a g perpendicuIariter,fiC ab angue
Io trigoni h z p de/cendir eadem linea z e oblique ad medium bafis h p.eft itacg linea z
e minor medietate utriufcp ilforu bafium a?qualiu,ut patet exhypothefi,palam per 5-0,
primi huius ,qm angulus g z a eft minor angulo h z p,tta per 5- 1 .primi huius,quonia m
a ngulus g z a eft angulus h z p minor angulo d z b.Simfliter quocp de quibuicunc^ di-
ametris mcdrjs dem onftrandu, patet ergo per 3 o. huius, qih omniu diametroji: a g uide
tur minima,&! d b maxima ,Qi mediae medio modo Ce habentes, fecundu q> plana appro
ximant hinc & inde;duat quocp diametri aequaliter diftates ab extremis uidentur atqua
0 les per y+.huius, patet ergo ppofitu. Sed 8i fuppofitis ijs ,qux

per 3 9 .huius primi.poteft reiiquu aliter demonftrari: Alfamas
' «t in pratmifla k 1 «qualis diametro g d,8d diuidat in duo aequa

\\\ l*a ,n pundto m,8i producatur i punefto m perpendiculariter li
’ ^A\ nea m o aequalis line* e z,erit ergo linea m o ex hypothefi mi*

nor ^m,diametro g e,& minor linea k ni,& ducanmr line* k d
&i 1 o:trigono quotj k n 1 circufcribat circuli portio per y.quar
JM J» ti,qu* fit k 0 ljeft atite illa portio minor femicircHlo,quia linea

m o

LIBER. QyA&fVS*

m o eft minor femidiametro,erit'cp per 4 .& s .primi angulus kol ecqualis angulo g z
a. Sit iterum angulus p e z ecqualis angulo k m x,8C fit linea x m ecqualis linea* c z,du .
< fh's'cg lineis k x fit! 1 x.circylcribatur trigono k x I portio circuli kxl, erit modo prs-
millb angulus k x 1 aqualis angulo li z p .Item fit angulus k m q aqualis angulo a e z,8i
fit linea m q aqualis e z,dudiscp lineis k q & 1 q, ut prius deferibatur portio circuli k q 1,
& erit angulus squalis angulo dzb,& quia inter prsmiflinn patuit, eritangulus kol
minor angulo k x I,& angulus k x 1 minor angulo k q l,erit angulus g z a minor angu-
lo h z p,& angulus h z p minor angulo d z b,apparebit ergo diameter d b maior cjj dia-
meter h p,8C h p maior cp g d, diameter uero h p & e i aqualiter di ftans , qua s k, si dias
metro g a, aquales apparebunt per r4.huius,&hoceftpropofitum.

L v 1 1 .

Centro uifus exiftentein linea erefla fuper fuperficiem quadrati in pun*
flo interfeflion is duorum diagonorum,lateraquadrati aequalia apparent,

SC diametri aequales.

Sit tetragonus a b g d,& protrahatur in ipfo diagoni a g,b d,& earu interfeflio fit
e,erigatur e z fuper iuperficiem tetragoni per 1 2.undec<mi,ponaturq; oculus in aliqno
puti flo lines e z ut m z,& daca ntur line* z a,z b,z d,z g,quia itacp per 40 .primi huius
medietates diagonoR» inter fe funt *qaales,ur d e & g e,a linea ezeft comunis duobus
trigoni s dze&gze,SC anguli circa c funtreflt per diffinitioem line*
fuper fuperficie erefls,erit per 4.primi bafis z g aequalis bafi z d,& an
gUlus e z g aequalis angulo e z d,uidebitur itaqf linea d e aequalis line*
e g per 20 huiust&fimiliter per eandem,quia angulus a ze eft aequa*

Iis angulo bze.uidebitur ergo linea a e aequalis lineae b e,rota quoq; li*
nea d b ap parebit squalis toti lines a g,SC qm linea g z eft squalis li*
rics b z,&! linea a z squalis lines dz& linea ab eft squalis ipfi g d, ^
quoma funt latera ciufdem quadrati, &fic tria latera unius trigoni iimt
aequalia tribus lateribus aIterius,ergo per 8 . primi anguli squalibus
lateribus contenti funt squaIes:omnia itaqj latera ipfius quadrati hoc
modo squalia apparebunt, & hoc eft propofiru,qrn in omni punflo li
nes a z eadem eltdemonftratio, concludendo femper per 20. huius»

L V 1 1 1 4

Si refla linea maior uel minor medietate diagoni quadra*
tia medio punflo centro uifus incidens obliquata fuper eius
fuperficiem squales angulos totineat cum diuerfis medietati
qusdiagonoru,diagoniilliusquadratiapparebut aiquales» "*

Sit quadratu a b c d, cuius medius putidus inueniatur per 40, primi huius, qcf‘ fit e,

& ducantur diagoni a c b &! c e d,fit'qj centru uifus f linea f e fir maior cjj linea e a me
dieca te diagoni,ueI minor illa, fit quocg linea f e obliquata fuper fuper ficietn quadrati,
fit tamc angulus f e a squalis angulo f e c,dico q> adhuc diagoni ipfius quadrati squa-
lesapparebunt:circa punflu enim e deferibatur circulus ad quantitate lemidiamem' e
a, palam ergo, cum omnes medietates diagonoru fint squales per 40. primi huius , qin
per s».tertij circulus ifte circufcribet totali quadrato,oes terminos diagonop- attinges,
erutergo diagoni quadrati diametri deleripti circuli.Sed manifeftii eft g j-4.huius,qtn
diametri circulo^: in hac difpofitione omnes uidetur squales, ergo SCdiagoni quadrati
cum fint idem cu illis,& hoc eft propofitum. Idem quoq; accidit i n omnibus figuris
poligonrjs quibufcunqp fornis, & per eadem uel fimilia demonftrandum.

LIX.

Linea refla ad punflum medium fuperficiei quadrata; oblique k centro
uifus incidete,& inaequales angulos cudiagonis cotinente , fiue maior fiud
minor femidiagono fuerit,femg diagoni quadrati inxquaks apparebut.

Remaneat

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
Remaneat difpofitio proxima: pra:cedcntiJ,contineatcg linea f e inaequales angit,
los cum diagonis,ita q> angulus f e a fit inaequalis angulo f e c,& circumducatur circu-
lus quadrato circa centrum c ut prius,& fi linea f e fuerit ma-
ior iemidiagonoac,condudeturper yj- -huius diametros cij.
cuIi,quifuntdiagoni propofiti quadrati, inaequales uideri,
q> fi linea f e fuerit minor femidiagono a e,tnnc fimiliter per;
j- 6. huius conuincet diagonos quadrati inxquales uideriJDi
uerfitas tamen iftarufri intequalitatu.fit fecundu modum iU
lic in circulis propofitu,{ecundu diuerfitate angulojt: inciden
tia: hinc inde,patet ergo j?pofitu,& eodem modo poteft dc
alqs figuris,ut de quadrangulo altera parte logiore,& de hex
agonis, odogonis, & uniuerialiter de omnibusj poligonijs
parium angulop* faciliter demonftrari,qj ipfbjb diagoni quan
doc£ squales uidenr,&! qhqj ina:quales,nec in talibus duxi*
musimmorandu,quia quilibet huius fcienti«e gfcrutator hoc
faciliter coprehcdct. lx,

Centro foraminis unex in puncfto medio fuperficiei cuiufcunqj figurae
rcdh'linexexiflente,femg figura fecundu fui forma propria uifui occurret.

Verbigratia:Sitfiguradataexempli caufa quadrata , &C inueniaturpundus me*
dius per 40 . primi huius,in quo ponatur centrum foraminis tinca\,& hoc eft,ut fuppo-
namr oculus illi pundo ,di quonia ab illo pundo ad omnem pundu laterum angulo^
poflunt duci linea: arquales uel proportionales jjs qua; in ipfa iuperficie,patet'cp q> for-
ma cuiuslibet illorfi pundop uidebitur,&! propter xqualirate linearu radialium ad eas
qua; in fuperficie lineas figurabitar figura in oculi fuperficie, ficut eft extra in fuperficie
rei uife,patet ergo q> totalis forma 8i fi gura illius fupficiei uidebit, ficut eft .ppria illi fl
guratio cuiufcunqj fit figura:, & hoc eft propofitum.

LX I.

Figura quadratauno folo latere diredte uifui oppofito , dxftantia uifaal
tcra parte longior uidetur .

Sit enim figura quadrata a b c d,&:centrum uifus c,& latus quadrati qcffitab, op-
ponatur uifui direde, palam ergo, quonia alia uifui opponetur ob-
lique, fed per z<5. huius quantitas oblique uifui oppofira uidetur
minor,quoniaiti fub minori angulo uidetur:diredeuero uifui op
pofita,uidetur fua propria: quanrita tis cfj oblique uifa: fub maiori
enim angulo uidetur omnia direde uifibus oppofira,c[j fibi arqua
lia qua: opponuntur uifibus oblique, tota ergo figura quadrata ui
debitur altera parte longior, Superficies uero quadrata e, diftantia
uiia altera parte longior,uidetur ut proponitur , fed eft poflibile,
uel altera parte longior appareat uifui efle quadrata , ut fi latus ei
uero breuius direde opponat uifui & longius oblique.tunc enim
poteft fieri propter difpofitionem obliqu£tatis,ut longius latus ap
paret xqualebreuiori. Multa quocp fimiliaacciduntexhac radice,
C 0 utpote irregularitas in quibuslibet poligonijs figuris ajquila teris

& xquiangulis* In alijs quoqj accidit fux forma; diuerfitas in uifione, qua; omnia re
linquimus diligentia; particulariter perquirentis,fufficitenim nobis hoc oniuerfaliter
propofitum in radice.

LX IT,

Si quadratum, cuius latus non fit excedes ,diftantiaoeuloruuifibus pro
prijs apponatur, uidebitur altera parte longius, 8C latera uifibus obuiantia,
exparte uifuum concurrere uidebuntur ♦

Sit qoa#

LIBER QJVAR-TVS* 9j

Sit quadratum a b c d, cuius latus a btton fit excedens quantitate linea: concdcnti
centra oculor, hoc eft di' flantia oculojt ,& applicetur uifibus ut 4) pius poteft: , fecundu
latus fuu a b,dico q> uidebit altera parte !ohgius,latera enim eius duo.f.a c 8i b d dire*
.de fiibijciuntur uiLui,qm qdlibet illoru laterum imaginati! extendi lecund u fiium conti
tiuum & diredum peri .fecundi huuls penetrat centrum aifus,Oii diretfte iubtjcftur, 8i
fic forma eius direde depingitur in fugficie ipfius uiius,& latas cd direde opponitur ui
fuijUidebutur ergo illa fua ,pprix quantitatis per 2<S.huius,latus itero a b uidet oblique,
qm cadit intra axes uifualcs,nec luper ipfiim erigitur aliquis 'axium uifualiu, nidetur er
go minus per eandem z6,huius;totum ergo quadratu a b cduidetur altera parte longi
us Si lines cafitd b.quac funt lateraillius quadrati uifibus obuiantia .uidebuntur plus
diftare fecundu lineam c d,cf? fecundu lineam a b.uidentitr ergo concurrere uerfus par-
tenM.iifus,qd'eft propofituiSi eadem palfio accidit figura: quadrangula: altera parte 15«
giori,nec eft differentia q ad illu,q3 etia per earide poteft demoftrari, patet ergo ptpofi
tum,Et qm figura corporalis qda figura eft, licet uifio corporeitatis fit alia i nifione fi-
gurat ,quo uirtuti diftindiusc error in uifioe flguraeaccidattduximus in pofterius diffe
rendum. L X 1 1 r.

Corporeitas comprehenditur a Uifu,in quibufddm corporibus per fe,&
in quibulHam auxilio uirtutis iudicatiuae *

Cum enim corporeitas fit extenfio corporis Iecundu trina dimenfione.dico q» ipfa
quandocp coprehenditur in quibulda corgibus d uifu per fe,qua:da enim corpora conti
nentur 1 fupnciebus planis fecatibns fe rede uel oblique adinuicc,& quxda afuperficfe
bus cocauis St c5uexis,S: qdam i fupficiebus couexis St planis, Si quada d fiiper ficie-
bus concauis& planis,& qua?da d diuer fis fiiper ficiebus couexis , conea uis St planis ie
interfccantibus,8t quardam continentur ab una fbla fuperficie rotundajcorplis itaepeo
tentum a fiiperficicbus fecantibus fe,cuius una fliperficies eft planatquarido fiiperflcies
cius fuerit oppofita uifui fecundu diredam oppofitione fiue obliquatamqta tamen , q>
communis fedio duarum fuperficicru uideatur,& ambx fuperficies le fecantes oc*
currant fimiduifiii.timccxtenfio corporis fecundum longitudinem & latitudinem , Si
fecundum profiinditatem d uifu comprehendetur.fic ergo corporeitas coprehendetur.
Corpora quocp.quoru fuperficies eft conuexa fiue fit tina fiue mulfce;cum opponuntur
uifui fecundu diredionem uel obliquatione,erunt remotiofes partiu eius d uifii intequa
les,& erit medium conuexi eius propinquius extremitatibus uifiis per 8 .tertrj. Reliqua:
uero partes eius erunt d uifii remotiores.quo comprehSfio fentiet uifiis corporeitatem,
quoniam comprehendet profunditatem partiam plus remotarum d fe refpedu parttu
propinquioru fibi,8C cum hoc comprehendet longitudinem Si latitudinem dimcnfionu
illorum corporo. Corporis quocp concaui concaiiitas percipi poteft d uifii fecundu me
diocrem diftantiam,tunc enim,qoia medium eius maxime elongatur d uifa per 8 . ter*
tij,at prias:profimditas i Ilius corporis coprehenditur d Uifii propter maiorem diftanti*
am unias partis relpedu aliarum ,fed ex confequeriti loiigitudo & latitudo patentjq? fi
plures funt in ipfo fiiperfides feiecantes,quoru commiiiies fediones fe d uifu offerant,
corporeitas ipforum comprehenditur d uifii ciim fentftur obliquitas illam fuperficie*
rum. In ijs autem omnibus attendenda eft mediocritas diftantix.quoniam in maxi-
mis remotionibus eft fecus,tunc enim per uiliiin niidiim non comprehenditur corpus
propter uifionem fiiperficiei >fed auxilio uir tutis anima: fiiperioris,eft enim principium
quiefeens in anima ex confiietudinc iu(ionum,&! eft tale,qj nihiluidctur nifi corpus.Vn
de qando uifus uidet aliqaam uifibilem fupernciem,ftatim uirtus iudicatiua anim* di*
cet.q» uidens uidet corpus, quamuis non comprehendat tiifus extenfionem eius in pro»
fundum.Nam latitudinem 8i longit&dirtem per fe comprehendet uifiis per comprehen
fionem fuperficiei cuiufcuncpper 1 7,tertij huiUsmon alitem comprehendet femper cor
porum profiinditatem,qux dt tertia dimefio ip£bru,iiifi auxilio uirtutis fupetioris ipfi
us animsf, patet ergo propofitum, .

PERSPECTIVAE VlT ELLIONIS
LXliU.

Longior linea ab aliquo pundo fuperfidei conuexa* fpha?rica* ad miam
accedens,eft linea contingens circulum magnum illius ipharrte.

Efto data fphaera d g, cuius centru fit a,crrculus'cius magnus d g e b,qua? fplla?ra.ftt
uifaaboculo,cuius centru fit punduz,& fu per lineam diftas
tix centri fphxrsc qcf eft‘a,&! cchtri oculi qd" eft z, pofitam
diametro quae fit a z.figiiretur Circulus a b e z,& ducantur ad
fedionesdrculo^: iftoru lineae zb & z e, dico q> h» lineae cort
tingunt circulu d gcb,qui eft circulus magnus ,ppofita? fplice
rar,cx! q> ipiae funt longiores omnibus alfis lineis dudibilibua
i quibuidmqj pimdis fuperficiei fpha-ra? ad centr u uifus, du-
cantur enim i centro fpharrae qd* eft a, duae lineae ad termihos
linearu z e &zb,quae facieiit cum cis angulos redos , fient
. enim anguli a e z & a b z redi per 3 o .tertifquia utercp illbriS
cadit in (emicirculo, ergo per iy , -terti) illae duae lineae ze^z
b funt contingentes circulu d g e b,protrada? ergo circulurio
fccabut. Si uero dicat,qj illae contingentes non funt longifii*
ma?,qua? perueniGt i pundis iuperficiei fpbaerae uifae ad cCn*
tru uiilis z,fint alia:Iongiores,quae ut patet ex pra?miflis , fi
linea z b protrahatur, fpfa non fecabit circulum quem contingit per 1 y.terrij , ergo.fi i
pundo z centro uifus in fuperficie, in qua iunt lineae z e & z b, protrahatur linea longi*
or cp fit linea z b ufeg ad circulum :palam ergo,quta ifta reda cum linea z b iiiperficiem
includet.qfi eft impofilbile. Illa? ergo duae lineae contingentes circulu funt omnibus
alrjs lineis longiores,quod eft propofitum.

LXVt • »•

Sphacrse i remotiffimo uifae fugficies conuexa uel concaua uidet plana.
Sit fphaera, cuius centru fit a,& in ea circulus magnus b c d,& fit centru uifus e , du*
eanturfcg lineaea,eb,e t,e d.palamfcg per y o .huius, quonia
forma arcus b c d ipfi uifui e i remotiori incidenti» arcus b' c
d accedit ad reditudinem,& idem eft de alijs arcubus qui*
buicuncp uifus incidit in tota data iphxra^otalis ergo por*
tio conuexa? fup er ficiei,cui uiius incidir,uidemr plana,ut fi-
cut arcus circulo»»; in fuperficie ipfius defcr/ptibiliu accedat
ad reditudinem linea jb,fic totalis fpharr* fuperficies ad pia
niciem accedat,& per eadem poteft fieri demoftratio de c<5
uexa fuperficie ipfius fpha?ra?>cu eni#i in illa partiu rei uii»
plus altera diftarc uidetur,neccfle eft unius diipofi tionis a pa-
pavere totam fuperficie rei uifae. Cum itaqj totum conuexif
corpus uel concauu in remotione maxima fuerit a iiifti , tufc
uiius no comprehendet concauitate uel conuexitate, ied c<?
prehedet ipfum quafi planu,quia litus partiu fuperficie/ iii»
adinuicemnocomprchendit a uiiti in aliqua diuerfitate, fcd
fecundu concauitate squalem peruenerint ad uifum.& iii
ipfius uifus fugficie iecundu diuerfitatem fitus figurat >uiidei
plana iudicant,8i plana uidebit' totalis fuperficics rei uiue,'
& ob hoc figurae fuperficiei u folis & luna? uident plana?., fe^
midiametri enim ipforu ad lineam fu* diftantiar,qua? i ceni
tro uifus ad iplbrum folis & luna? centra ducitur, noii habet
aliqoa fenfibile ,pportion5,unde nihil aufert i quantitate lineae a centro uiius produd»
contingente fpheeras illas per preemiflam. Longior enim linea ab aliquo pundo fd
perfidei conuexa? ipfius fphxra? ad uifum accedens,eft linea droilumagnu illius fplree
‘ raeco

UBER. Q.VARTVS» 94

rx contingcns,& illa: linea: omnes iunt aequales inter ie per 5-3 .primi huius qm ien«=
iibflitcr no excedunt lineam a centro uiiiis fuper liigficies illaru ipharra^ ,pdudas, ideo
omnes illa* linea: uidentur quali «quales ipfis gpendicularibus,qux tranfeunt centra; il
Ioruin corporu i centro uifusprodud«,&; arcus interiacentes reditudini acceduntjun
dc rotales iliperficies uidentur plan«,& hoc idem propter eandem caufam accidit in
omnibus alijs ftellis.qua propter remotioem maximam quali quadam fuperficies par
uorum circuloru uidentur, patet ergo propofitum,

LXVI.

Sphxrica: fuperficiei couexac illuminatae uno oculo uifo,£emper minus
hemilphamo apparet, & pars eius uila circulo continetur.

Sitlphora uife centru a, fi i lit centrum uiiiis b,producatur'cg linea a b,lit'qj ut liipcr
ficicsplana tranfienspundub,{ecetiph«ram,erit ergo per 69.
primi huius communis (cdio illius fuperfideifi*! fphxra circu-
lus,!?! ille circulus gd.fiC liipcr diam,etru a b,qu« interiacet cen*
trum 'uiiiis fiC centru ipharx uif«,defcribatur circulus qui fit a e
d b,& producantur linea gb,db, a g.ad, quia ergo arcus agb
eftlemicirculus.palapcr 3o.tertq,quiaangulusagb eft redus.

Similiter aute & angulus adbelt redus, ergo linea b g di b d
iiint contingentes circulu per /j-.tertij.copuleturitacp linea gd
duda per punda contaduu, qua fccabic linea b a per aqualia g
5-8. primi huius,lit ergo pundus ledionis k,erut'cg per 4. primi
trigona g k b 8C d k b aquiangula, patet 8i hoc g 3 .tertq,ducaf Q
cpg centru a linea i taqucdiftater linea gd per 3 1. primi: erit er
goper 29. primi linea a b gpendicularis luper linea i t , cum ipia
fit gpcndicularis iiiper lineam g d «qnediftante linea it, ergo g
1 j .tertrj erit linea i a continges circulu agb d,8C ipla eft diameter circuli d g, arcus er-
go d gqui uidetur,minor cftiemicirculo^put etiam patet per s 1 .huius, trigonus itacp
b g k manete fixo latere b k,intclligatur circuduci quouiqj redeat ad locum unde ccepit,
fiC palam, quonia linea b g contingens circulu d g,unuquodcp pundu fuperficiei Iphx-
r«,cui ipfa ctrcuducitur.continget.St! linea k g motu fuo faciet circuliledioncivgfietqj
pyramis, cuius uer tex erit pundu b,qcP eft centrum uifusbalisfcg cius erit circulus per
motum linea k g fadus:pars ergo uifa liib circulo continetur, palam quocp , qupniam
uidetur minus hemifph«rio:eft enim, ut pramiffum eft,fphara uifa diameter i t, 8i Ii*
nea g d illi aquediftas minor diametro,eft aut linea g d diameter bafis pyramidis uiff-
onis, minus ergo hemifphario uidetur, quod eft propofitum.

LXVII.

V ifu fpheerx illuminatae conuexx approxima te, minus fuperficiei fphac
rae uidetur, apparet autem quali magis uideatur ♦

Efto ut in pramifla (phara, cuius centrum a,fit quocp centru
uifiis b,SC ducatur linea a b,8i circa diametru a b deferibatur dr*
culus g b d,Si ducatur a pundo a linea eaz perpendiculariter iii
per lineam ab per 1 1. primi, Si quia linea a bfi<: e z Iiint in una fit
perfide per 2,undecimi. Intclligat hac liiperficies plana fccare
fpharam ipfa aut per 69 .primi huius fccabitTphxra iecundu cir
culu qui Iit g e z d,erunt'cp piinda ledionis duoru .ppofitojt: cir-
culoru qua g ad, ducantur linea g a,d a,b g,b d,fi<: patet per mo
du ^xima pracedentis,qm linea bg 6<!b d contingutfpharam.

Si uidet ab oculo exiftente in pundo b pars fphara g d : fit ergo
ut appropinquet oculus fpharx, 8^ fiat in pudoc, ducatur'^ ca
drea qua ut diametru dderibat circulus akdl,ducantur'q? linea
ck,cl,ak, a 1, ergo propter pisemifiarinudebiturfob circulo exi*

A * ftente

PERSP ECTIVAB VITELtIONiS
flente in pundo e pars fphara, qua eft k l,qua minor eft parte fphafttf gd uffa* ah ocii
lo exiflentcin pundo b,qrh arcus cadens inter p unda cotingentiae linearu ck £d cl,-
qua per ^.hnins attingfit fphara,minor eft arcu g d,qua cadit inter punda cotingen
tfeiineafebg&bd.qcPpatet per 6o.huius,palamcrgo,qniapprop!nqiiante oculo ipfi
fphara, minus fuperficiei fpharica uidetur,quia uero.ut patet per eande 60 » primi hu*
liis, linea gb&ck concurrut fi producatur uerfus puncta g, palam per 1 6.primi,quoni
am angulus k c a minor eft angulo g b a , fimfliter angulus a c 1 maior eft angulo a b d,
totus ergo angulus k c 1 eft maior toto angulo g b d; pars ergo fphara,in qua eft arcus
kl.fub maiori angulo uidebitur,cjj pars fphara in qua eft arcus g d,apparet ergo p io,
huius maior uifui pars fphara qua: eft k l,cfj pars eius quae eft g d,& hoc eft ^ppofitum,
LXV1II.

Diametro fphterae illuminata: conuexa: linea: connedenti centra ambo
ruoculoru aequali exiftente,hemifphjeriu eft qcP ambobus uifibus uidet,
Sphara data: fit centrii a,fit'cj? circulus eius maior,cuius diameter fit bg,quce exhy
pothefi erit aqualisdiftant/a oculorum, hoc eft linea* connedenti centra
uifuum amboru qua iunt c 8d d, ducantur quoqj d pundis b & g perpendi
culares b d g c,qua fiant aquales per 3 .primi.dt copuletur linea d e,qua
per 3 3 .primi &cx hypothcfi erit aqualis & aquediftans linea g b , ducat
quoqj perpendicularis i pundo a centro fphara fuper lineam g b per 1 1 .
primi,qua produda ad lineam d e fecet ipfam in pundo z : palam ergo p
19. primi, quonia linea a z eft perpendicularisfuper lineam e d, & per 17.
primicrit linea a z aquediftans Iineag c,ergo per 3 3 .primi patet q> linea
c d diuiditur per aqualia in pundo z,& quia,ut patet ex hypothefi , erunt
oculi in pundis d &C e.dico q> hemifphariu eft qd’ uidetiir , manente enim
fixahncaaz,drcuuoluaturparalcllu ab z d,donec redeat ad locum unde
incepkdinea ergo a b mota deferibet circula aquale circulo g b,cuius ipfa eft femidia*
meter .erit aut circulus magnus fphara data circulus g d,ergo per motu linea a b de<
feribit circulus magnus,hic aut fphara diuidit in duo aqualia, patet ergo propofitum;
LX1X.

Linea connedes centra amboru ocuIom,fi maior diametro fphara: illu
minatae couexa: fuerit, plus hemifphanioeft qcf ambobus uifibus uidet.
Sic fphara data, cuius centrum a,& eius circulus magnas fi t e c d i, fintiq? centra am
borum oculorum b&gjfitfcf? linea bg produda maior dia*
metro data iphara & eius circuli magnfdfco q> ab ambo-
bus uifibus mains hemifphario uidebitur, ducantur enim i.
centris oculomm linea b e &gd contingentes circulum ed
ci per 1 ^.tertrj,concingant'c{3 in pundis e & d,&! ducatur i
pundo a diameter fphara aquediftanslineabgper 3 1. pri
mt,8<! quia diameter fphara ex hypothefi eft maior cfj linea
b g,palam,qm linea b e & g d ultra diametrum f h concur*
xunt per 1 j- . prim i huius,concurrant ergo in pundo z , quia
ergo ab uno pundo z ducuntur dua linea contingentes cir
culufcificetez dC z d,pal5,qa portio circuli qua eft e cd eft
minor femidrculo per j-ji.primi huius,ergo portio eiufde cir
eidi reliqna.q eft e i d eft maior femicirculo :hac aut portio
eft illaq uidet, & qa ide eft de oibus circulis magnis in tota
fphara fignatis,pala,qa maius hemifphario eft .qcPfuperfi*
dei ipharicahypothefi tali exiftete uidet,fi<: hoc eu ^ppofitu*
LXX.

Linea conncdens centra amboru uifuum, fi diametro fphsera: conuexa:
minor fuerit. minus hemifphario eft quod uidetur.

Sii

LIBER QJVARTVS. 5>J*

Sit fphxra data cuius centrum a, & circuli cius magni diameter fit f h.fmtq? centra
oculorum d Si e,& producatur linea d e.conedens centra oculorum mi
nor exi flens diametro f h,ducantuttp linex illum circulum contingens
tcs.qux fint d b & e g,dico quod m inj» hemifphxrio cft illud quod uidet,
pro trahantur enim linea: bd&ge,&quoniam linea dc, eft minor dia*
metro f h .palam per i y .primi huius, quoniam linea: b d & g c, concurs
runt ultra ambos uifus , ut ergo concurfuspundusz, palam per y8. pri
mi huius, quoniam cum i pundo 2 ducantur dux linex unum circulum
contingentcs,quxfuntzD&zg,ciuodarcusbig cft minor fcmicircu-
lo, minus ergo lemicirculo b g uiaeturfub oculis d fiCe.ergo ut prius
rtifnp hemifphxrio uidebitur fub oailis d di e, Si hoc eft q3 ^ponebatur,

LXXI.

Centro foraminisunexin fuperficie fphxrx concauxillu*
minata: exiftente tota (phterae intrinfeca (upcrficies uidetur .

Efto centrum foraminis unex pundus a, Si fit fphxra data, cuius maior circulus fit
b a g cratiens per centrum a,patet ergo per y z.huius.quoniajn fic
uifu difpofito totus circulus d a g.porcrit tiideri, & Cja plurimi cir*
Culimagnifpxrxfefecantfuperpolosiphxrx.quilibetautemptm
dius fphxrx eft polus fphxrx, pala quia ornes circuli magrii fphx-
rx datx,qui per omnia punda iuperficiei fphxrx imaginari pof«=
funqtranfeuntesfe /nterfecabunt fuper pundu a, erit ergo pundu
a,quod eft ccntmm fora minis ipfius unex in quolibet illorum ma*
gnorum cirailorum, ornes autem illi circuli magni fphxrx totam
iphxrxfuperficiemeuacuanc.quianoncft dare pundumin ipha*
rx fuperficie,quem aliquis cii culus magnus no tranfeat , uifu ergo
taliter difpofito tota cocaua fphxrx fuperficie? uidebitur ,&hoc cft
propofitum ,

LXXII.

Cen tro foraminis une* intra fpheerx co cauce illuminatae fuperficicm liet
extra illam exiftente portio circularis fpHcerx uidebitur, cui incidunt aequa
les lineae a centro uifus dudcc,ericcp uifum quandoq? hemifphxriu,quadod
que maior portio quandoq? minor*

Efto centrum foraminis unex putidum a, & fit fphxra concaua,cuius circulus mas
gnus fit b c d,2C centrum fphxtx fit pundum e.Si ergo centrum uifiis fuerit in pundo
c, centrum fphxrx quod eft etiam centrum circuli magni, qui eft b c d . per diffinitione
circuli magni, tffc manifeftum eft per y z.huius,quod totus circulusb c d uidebitur , fed
Si per cande y z. huius, omnes ali} circuli fubiedi llemifphxrij xquediftates circulo b c d
uidebttntur, quoniam omnium illorum polus erit cerrum uifus,
omnes quoqj linex direde dudx i polo ad periferiam fui circu
lifunt xquales per 6y. primi huius, 8i quoniam hi omnes circii
li totu hcmifphxiiuexhauriunt,patetquodinhoc litu exiften
te uifu totu hcmifphxrium uidebitur . quod fi pundum a,cen*=
trum foraminis unex fit fub centro fphxrx, quod eft pudum e,
tirc per eadem minus hemifphxrio uidebitur.Si fit fupra ccntrtS
e,fiue fit intra fphxram (iue extra , tunc fimiliter per fecundam
tertij huius, omnes draili ad quorum circunferentias poflunt ,p
duci linex redx uidebuntur,maius ergo hemifphxrio uidebit,

& fi linea i centro uifus ad fuperficie fphxrx duda, oblique in-
cidat Iuperficiei ipfius fphxrx, tunc palam,quod etiam fuperfi-
cicbus multorum circuloru oblique incidet, Si poteft accidere quod tota figura (phxraj
ridebitur inxqualis,iuorum circulorum perifmjs quibufdam tendentibus ad figura fcj

A 3 dioilia

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
dfonis columnaris pery y . & y 6. huius , patet ergo propofitum »

LXXIII,

Vifuhcmifphcerio cocauo appropinquante minus fuperficiei fphaerse
uidebitu^appafetautem plusuideri *

Hx*c po teft derhonftrari flcur Si 6 7. huius, de fphara conuexa eft demonftrata , eft
enim per omnia idem hinc inde demonftrandi modus,undehaec fphara concaua figure
tur ut illic conucbca,Si fub eifdem literis contignetur figuratio totalis, & per eadem con
cludetur,8i hoc quidem de uifione fuperficierum dida firnt fuperficiebus ipfanim op-
pofitis uifui totaliter esdltcntfbus luminofis per fe,uel illuminatis aliunde , quonia hoc
non cxiftcntclidetinfphaerarO fuperficiebus permaneat didorn modorum uifibilitas,
non tamen adii uidebutnr, nifi lineis interuentu.ut patet per primam terti] huius,& lea
cundu diucrfitatcm luminofitatis in partibus fuperficiei fphararu qua uidentur, non*
ne pafliones uifibus generantur, aquales funt ha ,quas nuc intendimus excmplificare.
Lxxiin.

Diametro fphaerae u ifie illuminata: maiore di ftantia oculorum exiften»
te, & diametro fphaerae illuminatis eidem aequali uel maiore,circuloq$ bafis
pyramidis uifionis aequediftante, circulo bafis pyramidis illuminationis
uel ipiumintrinfecus contingente , tota fuperficies bafis pyramidis uifiois
illuminatauifibusoccurric,uideturautemin maiori diftantia quafi plana»

Patet enim per 26. uel 27, fecundi huius,quoniam tanta exiftente quantitate diame
trorum illorum corporum ut proponitur, tunc bafis pyramidis illuminationis aut eft
circulus magnus iphaera: illuminata,aut aquediftans ei. Circulus autem qui eft bafis
pyramidis uifiois.utpatet per 70, huius, (emper eft minor circulo magno fphara uifar,
quoniamutex hypothefi diameter fphara uifa eft maior quam diftantia oculofunvS»
ergo circunferentia circuli minoris fit aequed i ftans circunferentia circuli maioris,tunc
per 68.primi huius, centra duorum illorum circuloru in eodem fphara diametro confi
ftunt,8(: tota bafis pyramidis uifionis occurrit uifibus, quia tota eft illuminata,uidet aut
fuperfleies plana per tfy.huiu^&i hoc proponitur. Sed etiam fi centra iftoru circulorum
ufqj ad purpdum contadus dreunferentiarum immutentur, quandiu unus circulus alig
noii fecat, {emper tota bafis pyramidis uifionis uidetur illuminata, 8ilumen in fphara
uifie CrpcrRcfc uidetur femper circulare, & tota bafis pyramidis illuminata, plus tamen
tcnebrefcttbafis pyramidis uifionis ad illam partem, nifi fitetintadus illorum circulo
rtim per 2 r .terti]' hitius,patet ergo propofitum, Si quod hoc de duobus oculis oftenfum
eft,euidentiiis patet, fi uifio tantum uno fiat oculo per 6 huius,
txxv.

Si diametro fphaerae uifae illuminatae maiore diftatia oculoru exiftente,
diametrocp fphaerae illuminantis eidem aequali uel maiore ba fis pyramidis
uifiois interfecet bafem pyramidis illuminationis ita ut ambo centra bafiu
fint fub fugficie comunis feclionis , erit illa comunis fecftio pars fuperficiei
Iphaericae irregularis,uidebiturcg iugficies plana gibborofa,ut duabus cur*
uis lineis inaequalis quantitatis &curuitatis contenta.

Imaginetur enim centra bafium, quae per praecedente in eadem diametrojfphara lii
fa fore difponuntur, tantum ab inuicem elongari, ut circuli bafium fe fecent quantum*
enneadum tamen centra ambarum bafium fub fphaerae quae eft communis ambabus ii
lisbafibus remaneant, hinc illa communis iedio erit pars fuperficiei fpharica figura
irregularis,quonia ut patet per 26. uel per 27,fecundihuiusJ&7o,huius,etutoftefuni
eft in praemifla proxima, arcus cifdilibafis pyramidis illumina tionis eft maior arcu cir
culi bafis p yr a nudis uifionis,& fi illias fuperficiei acciperetur pundus medius linea ab
illopundo adperifierias arcuum dudaeflent inaquales,uidetur autem fiiperficies illa
eiieplanaper <5 y. huius, Si erit gibborofa3ut duabus pramiffis ctlruis lineis insqlisquS

titatia

LIBER QJTAKTVS.' 9&

titads & cuniitatis contenta, qiionia arcus circuli pyramidis uiQohis eft cuhtior &ma
ibr portio luar circunferentia?, quim arcus circuli bafis pyramidis illuminationis fitpor
tio fux circunferentiar,quod accidit per inarquaf itatem circulo^, patet ergo propoli tu,
LXXVIi

Bafe pyramidis mffonfs iphazra: interfecante bafem pyramidis illunii*
nationis, ita quod ipforum axes angulum reiftum contineant,communis€a
rum fetflio eft quarta fuperficiei fphxrictc, uidetur autem in maiori diftan»
tia plana fuperficies una reda linea di femicirculo contenta .

Quod illuminatio cuiuslibet fphatrar fiat fecundum pyramidem , cuius bafis infii
perfide Ipharrce illuminat* eft cirailus,lioc patet per i6.Si 17.& z 8. fecundi huius, qd*
etiam bafis pyramidis uifionis omnis fpharx fit circulus,pa tet p66.8i68,&6p.&yot
huius.quoniam axes iftarum pyramidum ex hypothefi produdxad inuicem angulum
rcdum continent, tunc patet per ultimam fexti, qd* ab illoru axium concurfus pundo
fecundum quantitatem femidiamecri fpharra? tiifa: circududo circulo interiacebit quar
ta circuli inter axes.fiC quoniam uterqj axiu eft perpendicularis fupcr fuperficic fpharra:
illuminatae uffar, palam per 1 1 1 .primi huius, quod uterq? axiii tranfibtt per centrum il-
lius fpharra; :pundus itaqj interfedionis axiu eft in centro illius fpharrar,& folu ille pun*
dus qui eft centru fpliarra? ambobus axibus erit comunis , axibus ltaqs inccriacet quar-
ta magni ciraili fpharrae aequaliter diftantis i duobus pundis duarum interfedionQ cit
culorum bafis pyramidis illuminationis di bafis pyramidis irifionislcomums itacp fe*
dio iftaru duarum bafiu eft quarta fuperficiei fplKericar,& quonia tota fil perfici es fphar
rica in maiori diftantia uidetur plana fuperficies per 65- .huius , palam di hanc fuperfi*
cicm fphnrricam planam a maiori diftantia uideri , axis enim pyramidis uifionis cadit
in fuperficic circulibafispyramidis illuminationis propter erectionem fui fuper axem
illius pyramidis,qcf patet p. 4. undecim', palam ergo cu centrum uifus fit in uertice axis
pyramidis uifionis,quoniam circulus bafis pyramidis illuminationis eft in eadem fiip.a
fici e cum centro uifus, palam ergo per j-o. huius.quoniam ipfe uidetur linea reda. Sc«
micirculus uero bafis illuminationis quia non eft in eadem fuperficie cum centro uifus
uidetur circularis.Sic ergo ii a fuperficies communis fedionis, uidetur fupcr fides pla-
na,una lmea reda, & alia curua contenta ,qu--,d eft propofitum.

LXXVII.

Bafe pyramidis uifionis fphierse interfecante bafem pyramidis illunii*
nationis, earum communis fedio cui neutrius axis incidit, eft portio minor
quarta parte fuperficiei {pharricar, uideturautemplanafuperficies duobus
quafi arqualibus circunferentiarum bafium arcubus contenta.

Quia enim ut in proxima prarmiflum eft.omnis illuminatio fpharrae fit fecundu py
ramidum cuius bafis eft circulus,ut patet per plures propofitiones fecundi huius fimi
liter bafis pyramidis uifionis eft circulus per 66; huius , pala fi ifti circuli qui funt bafes
py ramidis le non fecent.ut quia ipfi fiti funt in oppofitis quafi partibus fugfictei fphar*
rx.cuius una pars eft illuminata uel alias uifa,nec incidcntialuminisqua: fic fuperficiei
fpharra? aliqualiter i uifli perpcndctur,utpore fi globum ligneum uel cei cum,cuius dia*
meterfitmaior diftantia oculorum.oculis&lumen direde interponas, rcuoluto aute
globo ita ut lumen fiiperficiei fpharricce ipfius globi incidens aliqualiter appareat, tuc
uidebitur ipfius fiiperficiei globi illuminata pars.quam recepit circunferentia bafis pyra
midis uifion/s,& quoniam illa parsuifa ut illuminata eft, terminat p circunferentia ba
fis pyramidis illuminationis.patet quod illa uifa portio fpharra: eft minor quarta par-
te fuperficiei fpharra?:cu enim neutrius pyramidis axis incidet fuperficiei comunis fe-
dionis,ut patet ex hypothefi , palam per ultimam fexti, quia arcus diuidens illa fltper-
ficiem aequaliter diftans i duobus pundis interfedionum circulorum didarum bafitl
diuidens totam fpharram di illam communem fedionis fuperficiem per tequalia.eft ml
par quarta circuli , quoniam enim angulus ei fubtenfus eft minor redo, pa tet quod ar

PERSPECTIVAE VITELLI0N1S
tus ille eft minor quarta drcu!i,& ipfauifa fuperficies indetur plana per 6 j- .huius, & qa
nulKis illorum circulorum uel arcuum d ircde utflbus opponitur, quilibet illorum in fua
uidetur curuitate, quoniam forma pundorum cuiuslibet illorum arcuum fecundum 1?
tum ilium pernenitad uifiim , Illa ergo portio comu nis fedionis baii um dudatum pyra
midum utdetnr quali duobus aequalibus arcubus contenta propter infenfibil/tatem in-.
arqualitatisunaximecum i remotiori fpacto fit uifio per j-o. huius, certum tamc eft per
»7.iccundihuius,&perleptuagefimamhuius,quia arcus bafis pyramidis illuminatic
onis eft pars maioris circuli quam arcus bafis pyramidis uifi6nis,quoniam diameter
iphxra: corporis illuminantis eft maior diametro fphxrx illuminata, &’ dfftantia
oculorum minor flla,patet ergo propofi tum. Ex his itac# quatuor theorematibus pa
(ef.quareforma kinx (it inrecefhi iconiundionenouacuhrishn tempore enim coiun
dk>ras luna non ukktur,niii fiat eclypfisiblis, ita quod radq iblis penetrantes diafoni
ratem corooris lunae propter differentiam denfitatis corporis lunaris ad d/afonftatem
partium mx fphxrx uidnamm,& peruenientes ad ui(um,faciant corpus ipharicum lu
nae uifibile: tunc enim uidetur lima fecundum fui figuram diftmde,fed proprio lumine
priirataJnaltjs autem coniundionibusquia radi) perpendiculariterincidentes corpot
ri lunx,autualde ohlique aut nullo modo peruenient ad uifum. Gorpus tunc lunae non
uidetur.co quod bafiepyramidis uilionis incidit in partem oppofi tam bafi pyramidis il
iuminationis,nec iccat una diarum bafium aliam.Cum autem luna recedet S fole , iftx
bafes fe incipiunt interiecare^nc ipfonim communis iedio qua: eft portio iliperficiet
fphxrici corporis luna» uidetur, & propter magnitudinem diftantia: uidetur illa portio
fphanx quali plana iuperficies duabus curuis lineis fecundum eius conuexum eonca
iiinn contenta,qux u/dentur xquales propter remotionem, no funt aUtem XqualeSjied
femper illa qux eftin conuexo,quia itacp arcus circuli bafis pyramidis illuminationis
eft pars maioris circuli quSm illa quae eft in concauo,qux eft arcus circuli bafispyrami
dis uifioniS,8i! quoniam axis pyramidis illuminationis femper eft perpendicularis! fup
corpus folis,ut patet per 3 .primi huius, ideo iemper conuexumlunx eft: atierfutttfoli St
cornua oideitur femper rdpicCre ad folem.Vnde diorum fitus femper uariatttr fecuri*
dum (itum (olis >8d fecundum latitudinem motus Iunx, Et durat iemper in lunahxcft»
gura,quoufcpaxes pyramidum fecant fe ad angulos recflosper ^6.huius,tunc enim lu*
na uidebitur in quadratura, quonia quarta pars fuxiphxrxinteriaccspcriferias duda
rum bafiu uidebitur, & in prima quadratura & fecuda iemper arais dluminationis,quia
diredeuifibus opporiirur, uidebitur linea reda,& arcus pyramidis illuminationis fem-
per curuus.Mutato autem hoc fitu, tunc centra bafium ambarum pyramidum iiint in
fuperffcie communis fedionis, uidebitur ergo luna gibberofa & planae iliperficiei g 75-,
huius, & hoc durabit quoufqj circuli bafium intriniecus fe contingant , tunc enim luna
uidetur plcna.Et quando centra circiilorumdudaram bafium fibi adinuiceih ftippo-
nentur,ita ut ambo fiant in linea una,ut quando illi circuli fiunt xquediftantes in eade
fuper ficiefphxrarlunx, ut patetper^s,primi huius, tuc erit iiera Iunx impletio, &lumS
ex omni parte riminfertur xquale. Et deinde1 luna mota ufeg ad cocauum circulorum
ipfirum bafium, ufdetUf femper pkria,tn aliquantum obfufeatur lumen approximans
renebr0fitati,8Cfic procedit luna iri figUris eidem diftantix competentibus ab oppofi-
tioneadconiun<ftionem,ficuticoiuriSioneadoppofitioriem,&hocquideminIuna ,p*
pter eius propinquitatem ad uiius rioftros eutdenthts apparet. In alrjs tamen omnibus
ftellis funm lttmen 8£ acualitatetri lui luminis a ioleuel ab alijs ftellis accipientibus,
necefleeft eafdem figuras ex prxmiflts tribus theorematibus prouenire.Et fecundu hoc
cceleflium influentium afpedus & modidiuerfrficantur : non a pp aret autem hoc uifi-
biliter in ftellis alijs dlrinai, propter ipfarum magnam remotionem $. uiiu , ratione Cuius
aeciditerror uifuiiut patet g 1 huius. Videntur itacp omnes alix ftellx prxter lunam
femper ro tundx ,ppter fur remotionem i tiifibiis , propter quod etiam ignis remotus i
uifibus uidetur ronmdiis. Videntur autem ftellx eaedem maxime plente quando cg maio
«s quando cg minores, quod rfosctdcm caufiepauatatifcilicrtfii$iIkinmiationis uel

rtiUftimu

LI;B'E R. O^ART VS.' 97

multitudini credimus ex puemiflis afcribendum , De his tamen luo loco iermo erit.ad
prsfens uero nobis fufficiatex: pracmifiTs ^politionibus demonftratione pra?lentibus
attuliflc, fecundum enim ftel larum diametri lunt omnes ad inuicem arquales^cum tame
una iplarum litmaior altera, lemper tn patet, qcF omnis diameter cuiulcucB ftelkeeft ma
ior cp litdiftantia oculorum cuiufcGcpuidentis , di lichanc paliioncm uinbus inipfaru
illuminatione accidere eft necefle.quamuis illa diftincfte non coprehendat uifiis, & hpc
quidem di ante nos dixit Arabs Meflala , Sed fuper hoc nulla attulit demonftratione,
LXXVI1I.

Columna? rotundae uel chilindri conuextiub uno oculo uifi minus me*

dictate curuae (iiperfidei uidentur .

Efto columna rotuda, cuius una bafufit ciratlus g b,& eius diameter f h, & centru
m fiiperfirie illius circuli centrum oculi pun&um d,& producatur linea d a, co*
pulanscentrum trifils cum centro circuli balis columna?, & ducatur linere d b di d g,quze
eontfngaflt Circulum gbper r 6.terttj,& producantur i pundKs g di d, dua? lines longi
tudinis columnarpcr i o i .primi huius, qua: iimt be di g.z, & erunt illa: linere orthogo-
naliter fitper balem g b ercclxper 9 i.primi huius, fttfcg ut per lineas b e &bd , una tran
feat fuperficies plana, & perlineas g d & g z, alia iiiperfiries plana,neutra ergo iftarum
faperficieium fecat columnam, quoniam lineaedb 6i dg,iimt contingentes circulum
bafis>& linea: b e & g z funt linea: longitudinis irtfiiperftcie columna no iecantes illam;
fiint ergo flkeiuperficies ipiam columnam contingentes , iftarum quocp faperficierum
contingentrom columnam , quia ambae tranfeirtt centra uiiiiS ,Ut patet eJt praepiiffis ,&C
ipfarum commOnis fecflio eft linea reda per 3 .underim i, interfedho fitin quadam linea
tranfeunte centrum uifiis arquediftanter axi columme&hoc quod interdias de fiiper-

ficie columna . -

intercipitur,hoc 11 V ^

folum uidetur, \ c ~~

quia uero linere \ ^ — 7y^~z r:- —

longitndinisbe \ \ / /

&gz, fiintac* \ / / /

aequediftates g \l / X * r y

6, undecimi, pa* \ / J \ /

lamper 33.prt- \/ /

mi.quonia cor* 3sNs~" ~~y/ —

dre arcuum bafi H

um inter ipfas cadentes, quzfc funt g b & z e , fiint xquales , ergo per 27 . tertq , ar*
cus illis cordis correipondcntes erunt aequales , portiones itaqj circulorum iplarum
bafium intercepta inter has lineas longitudinis columna: b e fiC gz , & omnium arcu»
iorum aequediftantium bafibusiiint arquales portioni circuli gb, eft autem hoc mi*
nor femicirculo per j- 1 .huius,ergo di omnes portiones aliorum circulorum funt mino
res fuis iemicirculis,uidebir ergo minus medietate columnae,quod eft propofitu. Idem
quocp accideret m columnis lateratis,ni(i quod anguli quandocp impediunt quando-
que iuuant uifionis quantitatem,quorum uilionis modum propter infinitatem numero
rum obmittimus,quia radice prsienti fuppofita diligens inueftigator multa partior*

LXXIX.

Linea connecftens centra amborum uifuum fi sequalts diametro bafis chi
lindri fuerit , fcmichilindri conuexum uidebitur, fi maior magis , fi minor
minus . f,

Efto circulus bafis chilindri, cuius centrum lit pumftum a,pundhis uero extra
lignatus lit z,di ducatur linea a s ,& producatur apunifto a, diameter g d orthogona*
liter fuper lineam za.per 1 1 .pnmi,&defcrtbaturiuper lineam a z, uc fuper diametrS

B circu-

FER.JPECTIVAB VI TfeLL 1 0 N IS
circulus a b s e, producantur I/nex a b,b z, a c,e z.dux itacp lineae qux ze&4 b,c6n
tingunt c/rculumbe,dg per jo.& per i j- . ter tq, producantur ergo a puncftisb&Cjper
i o i. huius dux linea: longttudinis,qax erunt perpendiculares Iuper lineas a e3zb,jrpit

Srimihuius,idco quod finreredx iuper baiem , fuperficies quocfi dudx iuper lincasz e
'zb,8i per /ineas longitudinu iibi conterminaks fecabutfe in linea per centrum dom
mune amborum uifuum,quod eft in medio pundo interfedionis nerui coficaai,duda
xquediiianter axi columnx.quando linea connedens centra amborum utTuum fuerit
minor diametro bafis columna:, qua fi maior fueric,fllx diametri concurrent ad partem
oppolttarn tn aliqoa linea fuperficiei dudx per lineam dudam

®per centrum commune xquediftanter axi, & per ipfam axeiii.

Si uero fuerint diametri bafis columnae uifie Qdinea conedcns
centra oculorum aequales, tunp linea longitudinis dudaca»
dunt iuper terminos diametri aquediftacis centris oculorum,
& iiiperficies produda nunquam Concurrent, Superficies aute
columna: inter has fuperficies columnam- contingentes inter-
cepta eft portio fugficiei columna qua: uidetur , funt autem o-
mnesportioes circulorum intercepta: inter eas aquales portio
ni bafis intercepta.Si ergo illa fuerit iemicirculus.mcd/ctas clli
lindri uidebitur . Si minor iemicirculo , ut eft in propofito ar-
cus b e, tunc minus femichilindro uidebitur,fi maior maius, fio
rum autem omnium dedudio efteuidens ex pnemifllspluriesrepetitis.patetergo prq
politum. LXXX,

V ifu appropinquante chilindro conuexo minus curuas fuperficiei uide»
b/ tur, apparet autem ac fi magis uideatur.

Sit chilindri bafis circulus b g cuius centrum fit a,& diameter f h,oculi uero cena
trum fit in pundo e,& ducatur linea e a inter illa centra, Qi ducantur linea: ebSce g,cii
culum contingentes per 1 6 .terrij,& ducantur i pundis b & g, per i o i .primi huius, li-
neae longitudinis chilindri.quae fint d i & g z , uidetur itaq? p

t modum praemiflarum fub oculo exiftente in pundo e, fuper
fides chilindri i b&gz, qua minor eft fern/clulindro per 78*
huius,appropinquetergo u/fus columna: 8i fit in pundo t.
St' ducant linea: cotingcntes bafem columna, quae fint tkSi
t I,& d pundis k & I ducantur linex longitudinis chilindri,
qua fint b a & k n, uidebitur ergo fub uifu exiftente in pudo
t, fuperficies chilindri,qua eft b a di k m,qtia minor eft iuper
fideib&gzuifa inpundo e,cuiusdedaratioeft fimdis de-
clarationi fada in 6?.huius, appropinquante ergo uifu ad
x-jsj |vi — chilindrum minus iplius fuperficiei uidetur ,apparet aute ac

fi magis uideatur,quonia per 60. primi huius,& per x 1 .pri-
mfangulus Itk maior eft angulo b e g, concurrant enim linex tkS<eg,uerfuspun-
dum g.patet ergo propofitum per to, huius.

L XXX I.

Axeunius tantum uifus centro bafis columnas rotundae uel latera ta» cu*

iufcuncp incidente,uel fi diftantia oculorum aequalis uel minor fuerit dia*
metro bafis chilindri obie&te dire&e uifui ,folabafis uidetur , quae fi maior
bafe fuerit, totum uidebitur chilindrum, bafe remotiore duntaxat excepta.
Cum enim uno oculo fit ui(io,8£ axis incidat centro circuli bafis columna: ro-
tunda: uel la terata.tunc quia omnes lines longitudinis funt perpendiculares fuper ba*
fem , ut patet per 51 x. primi huius , non uidebitur forma pundi altius illarum lineamm
nifi folus pundus communis lines longitudinis di pcriferiafuperfidei bafis, uidebitur
ergo folabafis,& idem eft fi uifio fiat ambobus uifibus,diftantia tamen oculorum qui

LIBER Q.VART VS, p8

eft linea connedens centra oculorum fuerit squalis uel minor diametro bafis, time em
ut patet per 4.huius,nuIIa lineamm longitudinis columna: peruenient ad ambos uiiijs
niu folum ut prius oftenfum eft,pundus qui eft communis ledio alicuius illarum linea
rnm Si periferis ipfius bafis. Si uero maior fuerit diftantia oculorum ipfa diametro
bafis.tunc omnes linea: longitudinis columna: peruenient ad ambos uifus, Si uidcbitur
tota conucxitas uife columna: ,& bafis fuperior uicinior uifibus,inferior uero ba fis non
uidctur,quia nullus eius pundus peruenit ad uifum.rWfi periferis fuse cum lineis longi
tudinis columna:, qua: ad illam periferiam terminantur, quod fi unotantum oculo uiflo
nc fada axis cecideritextracentrum bafis, uidebitur aliqua pars linearum longitudinis
totius columnae, quoniam tunc periferia bafis fecat pyramidcm uifionis, patet ergo il-
lud quod proponebatur. Eft aut pofiibile ut uifu oblique bafrcolumnae incidente, tota
columna, & fi regularis fit; uideatur eius bafis altera parte longior, 8i tota columna Ha
gurce irregularis per j- y, huius, & hoc eft nota dignum,

LXXXII,

Vnius tantum uifus axe centro columnaris fedionis, quae eft bafis abfi<*
dis columnaris rotundaincidente,tota illa bafis 6C pars linearum longi tu*
dinis abfidis uidentur.

Sit enim aliqua columna rotunda taliter abfcifa,ut abfis non fit gpendiailariter ea
redus fiiper bafem, palam ergo per 103 .primi huius quod bafis harc eft fedio q dicitur
columna ris uel fedio oxigonia , & ipfa pars columna: abfeifa dicitur abfis , dico quod
fi axis uifiialis incidat centro illius ba fis , quod pars linearum longitudinis abfidis , illa
fcilicet q in decliuiori parte approximat, uidebitur uno tifi uifu. Huius autem cauia eft
obliquatio bafis qua: fub minori angulo uidetur.per 2 ^.huius, propter quod etiam ui-
dentur formae pundorum lineamm longitudinis illius obliquitatis remotiori parti ad*
iacentium, ca refidui anguli perueniut ad uifum.quod no accideret fi illa bafis pofietdi*
redeuifui opponi; hoc autem impoflibile fine linearum longitudinis abfidis uifione,pa
tetergopropofitum,

LXXXIII.

Centro foraminis unea in fuperficie illuminata conCaua columnae cuiu£
cuncp exiftente,femper columna: tota concauifas uideturnn alfis autem par
tium columnaru concauaru uifionibus,ideaccidit q3 fphararu cocauitatf,

Difpofito enim uifu fecundum propofitu modum relpedu cuiuslibet columna: co*
cauae formae omnis pundorum linearum longitudinis quas fecat fuperficies foraminis
tmeaestunc omnes perueniunt ad uifiim,ideo quod ad centrum foraminis illius fecunda
lineas redas per tingunt.^ fuperficiem oculi contingit tantu una in illo centro , alis ue
ro ipfam contingunt in pudis diuerfis circuli foraminis; uidebuntur ergo omnes g fes
eundam tertii, huius, & quoniam forma: omniualiap: lineamm longitudinu , & omnes
pundi bafiu direde uel oblique perueniunt ad uifum, palam quia tota columna: cocaui
tas uidet fecundu omnia punda ftiae fuperficiei.Sed forte accidet figurae 'uifte irregula*
ritas^jpter aliquarum fiiaru partium obliquatione ad uifum g yy.uel j-d.luuus. In alijs
quocg uifionibus partium columnaru concauarum idem accidit quod in fpheeris coca*
Uis, quoniam uifti pofits in pundo medio quadranguli terminantis femichilindfu illu
totaliter uidebitur pertfo.huius. Sed Si quodlibet pundorufuperficieiconcaus Seba-
lium uifibus occurrit.Et recedente uifu ab illo pudo,femper uidebitur portio columna
minor uel maior femichilindro.patet ergo propofitum .

LXXXII 11»

Pyramidis rotunda bafi fn eadem fuperficie cu centro uhius oculorum
exiftente, minus medietate fuperfiriei conuexa pyramidis uidetur .

Sit pyramisrotunda cuius bafis fit circulus qui b g, cuius diametrum f h,cetrum
.k,uertex uero ilUus pyramidis fit pundum a, Si fit centrum uifus di Seducantur lineae
db&dh, contingentes circulum Bg,per 1 6 /ter tij, eft ergo per y8 ;primi huius ,ar«»

B z cua

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
oubg minor ftmidrculo , ducantur quoque i uertice a pyramis per i o i , primi
huius,Iine* longitudinis , qua fint a b 8d a g , palam itaque ad mos
dum eorum quae demonftrauimus in columnis , quonia fuperfiries
intercepta lineis ab&ag fola uidetur. Et quoniam ha linea ex o-
mnibus circulis xquedifrantibus bafi pyramidis partes fimiles re*
fecant& intra fe illas continent, cum per j-8.huius,arcusbgfitmi
nor femicirculo. Erunt ncceflario arcus omnium aliorum circulo-
rum minores (emicirculis fuis,ergo portio uifa minor erit hemico
nio.Quoniamficuttotaconuexa fuperfides pyramidis totibafire
refpondet,Sicparsproportionalis adtotu conuexam fuperficiem
parti proportionali bafis ad totam baiemtquomam line* longitu-
dinis produd* i uertice ad periferiam bafis, fictit diuidut conicam
fap er fidem, fic line* i terminis illarum linearum ad centrum ba(is
pyramidis produd* diuidunt ipfam,& poteft hoc conuinci argu-
mento quint* duodecimi Euclydis, patet ergo ppofitum .

_ LXXXV.

Centris amboru uifuu in eadem fuperficie cubafe coni
exiftentibus,filinca connedtens centra uifuu *qualis fiie«
rit diametrobafis,hemiconiu uidebitur , fi maior maius,
fi minor minus ♦.

Difpofitioe ordinata ad conum, qu* in 7<>,huKis,ad columna,
hoc /olo adredo quod centra uiiuumlintiblu in cade fuperficie eff
baie pyramidis, di non eleuentur fecundum lineam axi coni *que
diftantem,ficut poteft fieri in columna.Si enim uifus in linea xque*
diftante axi column* eleuetur,idem aeddit quod eo in bafl exrnen-
te.quia in columna fufficit,etiam fi flntinfiiperfide bafi xquedift2
ti, patet ergo quod hic ^ponitur, 8i cft ide demonftrandi modus, unde fruftra elt me m
branasdenuo occupare. ixxxvi.

Appropinquante centro uifus in fuperficie
bafis coni, minus conic* fuperfidei uidebitur,
apparet autem plus uideri.

Sit drculus a b, bafis coni,aiius centru I,& fit uer*
tex coni pundug, centrum quocpoculi fit d,ducatur!J
nead l,ad centrum uifus i centro bafis pyramidis,Si
ducantur line* d b & d a,contingentes circulQ,qui eft
bafis coni,in pudis b S>C a,& ducant S uertice pyrami*
dis line* longitudinis cont,qu* fint gaSCgb, ergo p
ea q prius in pr*cedentibus dida iunt, fupficies g a b
uidetfub oculo d,&eftminor hemiconio, appropin-
quet aut oculus,& fiat in pudo e,ducatur'cg line* e z,
e i,con tingentes circula qui eft bafis coni , 8i d uertice
coni coti nuent line* g z fiC g i, uidebitur itacp ab uno
oculo exiftente in pundo e, portio iupficiei conic*,q
eft g z i minor portione g a b,uidetur autem apparere
maior portione g a b„pprer maioritate anguh' z e i, fu
per angulum a d b, & hoc eft ,ppolitumf
1XXXVI I ♦

Lineis i cetro uifus ad bafem coni cotingm
ter dudiis,di a pudlis cotaduu dudtis lineis 15*
gitudinis coni, fi in comuni fe&ioe fupficieru g cafde lineas & per centrum

oculi

oculi producftarum uifus cono appropinquet, eadem portio fuperficiei coni
c«e uidebitur quse prius, & eiufdem quantitatis apparebit .

Eftoconus,cuiusbafisfirc/rcuIus b zg,& tjertexeius pundu a, axis quocp fit ah,
centrumcp oculi fit d,& ducantur per i <$.cenij linea: i centro uifus d contingentes circu
Ium bzg, quae fintdz&dg,# qfnhoc fit ex hypothefi,
tunepatet per i y.tert q di z.undccimi,quonia centrum ui-
liiseft in luperficie bafis coni uifi,& ducantur i pundis c5
tadhiuz di g dux linex longitudinis per coni uertice pun
dum a,qux fint z a & g a,qcP fiet i o j .primi huius,&! a cen
tro uifus pundo d,& ad uer ticem pundu coni a ducatur li
neada,8f ducantur dux fuperficies, una per lineas dg Si g
a,alia uero per lineas dzdiz a, di qm ex fuperficies con-
airnmtin centro uifus d,& in uertice coni a, erit ipfapr co
munis fedio linea a d per i. undecimi di per /9. primi luu
ius, dico q> fi oculus appropinquat cono (ecundu lineam
d a, non uidebitur maior conicxfiiperficiei portionuc cp
prius oculo in pondo d exiftente . Sit enim ut approxts
mando ipfi cono perueniat in pundu e linex da, Si ducan
tur 5 pundo e linex xquediftantes lirie/s d b di d z 'ad fu*
perffeiem coni ui(am,hx erunt ergo necefiarij contingen- £
tes aliqua circuli coni xquediftante bafi bzg ;ergo neceQ
fario cadent in aliqna punda linea^ a z Si a g,ideo q» illx
lecant .pportionalirer bafem coni, Si omnes circulos ei x*
quediftantes,qm iecundu lineas illas terminatur uifus, Si
Iecundu illas fuperficies contingentesterminatur uifio cir
culoru.Si ergo dicatur q> illx linex contingentes alicp di*

(floru circulo^ dudx a pundo e, cadant extra lineas a zdi
■ g,cum linex i pundo e in lineas a z di a g dudx termi*
nent uifumiSi fimiliter illx contingentes terminet uifum,

(equitur uel lineas radialesefle reFradasin medio unius
d/afonqqd' eft contra ea qux demonftrata flrnt per 44 . di
fequetes fecundi huius, uel fcquitur lineas radiales efle cur
uasjqd’ eft contra 1 .fecundi huius,uel (equitur duas redas lineas (ixperficiem include-
rCjquod eft impoflibileteaden t ergo didx linex pertingentes ad fuperfic/em conicam
dudx i pundo e in lineas a z Si a gicadant itacp in ipfajt duo punda qux fint 1 di c, di
fint linex e i Si e c,quia ergo angulus d e i eft xqualis angulp g dz per / o. undecim i, fi-
cut di angui i contenti (iib lineis cidig z,quoniam omnes ill^ anguli continentur (Iib IU
ncisxqucdiftantibus angulariter contundis, patet per zo.htuusuerum ellequod pro-
ponitur.Et quia nbicunq? uifus in linea d a ponitur,(emper anguli ad uifum (unt xqua-
les per 10. undecimi, palam ergo eft propofitum,& hoc idem (uo modo in ambobus po
teft uifibusdemonftran,

LXXXVMI.

Eleuato uifurefpedu fuperficiei conica:, maius erit quod uidetur, uidebi
tur autem minus uideri,depreffo uero uifu minus erit qcP uidebitur, fed ap
parebit maius prius uifo.

Efto conus,cuius bafis circulus b g ,di uer tex pundhis a,di ducantur linex Iongitu»
dinis qux fint a b & a g,fid ducatur linea b g ,di producatur u(cp ad pundhim 1,di i pun-
do fit inferius pundo a uertice coni, ducatur linea xquediftans linex ab per 3 f*

primi ,qux produda uerfus lineam b l,(ccet illam in pundo p,& fit aliquis pundus eius
inferior pundo t pundus le,& fit illa linea t k p,dfco q> oculo pofitoluper pundum t,
qui eft eleuatior pondo k,pars (uperficiei conicx uifa, maior quidem erit, minor autem

B j uidebi

PERSPECTIVAE VITELLIDUIS
uldebttur ,cp uidcatur oculo exiftente in pundo k, ducantur enim lines ak&ar,& prd*
ducatur linea a t,doncc concurrant cum linea b l:co
currant autem per conucrfam fecunda: ^.quoniam
enim linea t p eft minor cp linea a b,ut patet ex prs
miffis,&! ilis lines squcdiftant, patet q> lines a t&!
&b 1 concurrent,fit ergo pundu concurius i .& fimi
liter lines a k & b 1 concurrent, fitfcg pundus coii*
curfuskpalam itaqgquia magis uidebitur de cono
luper pundu i,cjj iuper pundum 1 per 8 <S.huius„p-
pinquior enim eft ipfi cono pundus l,qulm pun-
dus iiqd’ antem de fuperfide conica uid etur oculo
exiftente in pundo uidem per pracedente proxi-
mam uidetur centro uifus exiftente per totam line
am i a,utpote in pundo t,& illud quod uidetur ui
fu exiftente in pundo l,uidetur in quolibet pundo
lines 1 a exiftente uifu.ergo &in pundo k.Sed qcf
uidetur i pQdo i maius eft eo qd* uidetur i pundo 1
& minus efle uidetur per 86.huius,ergo illud quod
uidetur i pundo t maius eft illo qcF uidetur i pun*
do k,& minus uidetur efle,& hoc eft quod proponi
tur,& hoc idem etiam fuomodode ambobus uifi*
bus poteftdemonftrari, patet ergo propofitum,
LXXXIX.

Linea a centro uifus ad uerticem coni du
<fta perpendiculariter exiftente fuper axem
fuperficiei conica: medietas uidetur .

Verbi gratia fit pyramis a c n, cuius axis a d , 8d
uertexa,palamergo per 8p. primi huius, q> pundu d eft centru cir*
culi bafis ipfius coni, fit cg centru uifus b,& ducatur linea b a facies
angulum d ad redu,dico q> conics iiiperficiei a c n medietas uide
bitur,fccet enim aliqua iiiperfides conum a c n squediftan ter ba-
ficn:hsc ergo per roo, primi huius iecabitipfam feamdu circulflf
qui fitf g,& eius centru fit pundu 1 ,erit in aliquo pundo axis
a djfeccfq* iiiperficies plana pyramidis per axem a d,& per cen*
trum uiiiis b:illa ergo iuperfictes fecabit circulum f g, linea qtioqj
cSmunis huic feiperfidei & circulo f g erit orthogonalis luper
axem,quonia axis efteredus iuper fuperficiem circuli,& tranfibit
centrii circuli.Sit quoqp illa linea kl.qus erit per 2 S . primi squedi
ftans lines b a,& eft cum illa in eadem iuperficie : ducatur quoqj
per centru circuli diametri f 1 g orthogonalis iuper lineam k 1 per
1 1, primi, &S terminis huius diametri pro trahantur dus lines co
tingentes circuluper 1 6.primiJqus fint f e&g h,& ab eifde pun*
dis g&h ducantur dus lines longitudinis ad uqrticem coni per
1 0 / .primi huitis,qus fint f a & g a:dus ergo foperficies pians, in
quaru una fint lines f e&f a,&: in quaru altera fint lines gh & g
a:palam,qm contingentpyramidem fecundu lineas longitudinis,
qus funt f a & g a,per 9 j ■ .primi huiusA qm linea k 1 squediftatli
nes b a ,& lineis contingentibus circulu,qus funt f e 8C g h,iit pa
tetper if.terrip&per zS.primi^enintperji.undecimi lines f e8i
g h sqnediftantes lines b a:quslibetergo ipiapieft in eadem fug
fide cum illa per 1 «primi huius. Ilis ergo dus fup erficies n ecefla-

rio fe*

3LIBER QJ7AKTVS* Io o

fio lccabunt fe fuper lineam b a per 151. primi hirius,ittracp ergo fiiperffcfefu pyramidi!
jnpofltaje in terminis diametri imius iuoru drcidojie contingentiu tranfit per ccntr$ ui
lus:q> ergo fuperficiei conica: inter illas fuperficics cadit, apparet uiiui,eft aut hoc me#
dietas pyramidis,qm illas lineas contingentes interiacetmedietascirculi.rn hoc ergo
fitu medietas foperfiaei corneae uidetur, quod eftpropofitum»

• XC,

Lineaa centro uifus ad uerticem coni du&a angulum obtufum cum axe
tenente, nec tamen cum aliqua linearum longitudinis coni unita, uidetur fu
{ierficjei conicae pars maior medietate.

• Sit pyramisb i m.cuius axis b d,uertex b,palam'cg per 8?.prinuhuids,q> centra cix
culibafiseftpundud.fitfcgpundu a centri! uifus, & duda linea
a b,fiat angulus a b d obtufus,ita tamen,ut linea a b no flat una
linea cu aliqua linearulongitudinis coni, fedfecec eas Utcuncg
poffrbilc eft produdas omnes, eriteg tunc uifiis altioruertice py
ramxdis.Sitfcg ut in procedente circulus e h oquediftans bafi py
ramidis quo eft i m,& linea comunis huic Cuper fidei & circulo,
in quo eft ccntru uifus pundu z&i axis coni qui eft b d fit linea e
b,erit'cg linea e h gpendicularis fuper axem b d,& producatur li
neaeh extra pymmidem,donec concurrat cu linea b a , produc
da ultra pundu b, concurret aut per imprimi huius,ideo , quia
angulus a b d eft obtuius ex hy pothefi,& angulus d b h eftacu*
tus per 3 z.primi,& linea e h eft ppedicularis fuper. axem b d. Sit
ergo concurfus pundus g,&i pundo g producatur duo lineo
g f & g k,circulu e h contingentes per 1 £tertij, contingant qcp
circulu in duobus pundis f & k,& ab rjs pandis per r o 1 .primi
huius, pducantur lineo longitudinisad uerticem coni pundfi b
quae fint f b Si a b:fuperficies ergo illo in quibus fimt lineo g f di.
t b,&linexgr8irbcontingutpyramidem,&in utraqj iftaru
fiiperficicru erit uertex pyramidis pundus b,& pundus g, in ^
concurrit linea a b cum linea e h,ergo linea a b g per 1 . ondeci *
mi eft in utraqj illarufiiperficie^ergo utracp fuperficies tranfit
j>er punduacentru uilus, & quonia per j-8. primi hdius duo Iis
neo g f & g r includut minorem partem circuli,qin arcus cxrcu
ti interiacens punda contingentis duaru lineajt ab eodem pun tj
do produda{c,eft minor femicirculo.tunc patet, q> illo duo fu*
perficies includut minorem partem fuperficiei conico cfj fit me*
dietaslrefiduu ergo illius fuperficiei eft maius medietate,hoc au
tem uidetur i uifu taliter ut pponitur collocato, parS ergo fiiper
ficiei conico maior medieta te taliter uidetur, 6i hoc eft .ppofitu,
ambobus uero uifibus adhuc uidetur magis .

xc 1.

Cum linea longitudinis coni produ&a ultra uerticem .cum centro uifus
Concurrerit,nihil uifum totius fuperficiei conicas latebit, nili linea longitu*
dinisillafola.

Sit pyramis,cuius uertex fit pundu b,& linea longitudinis fi t c b,fi t'cp centrum uU
fils pundu a,& linea c b produda ultra pundu b, concurrat cum centro uifiis pundo a,
dico q> non latebit uifum totius huius fuper ficiei conico pars aliqua, profer quanda li-
neam intelleduale.quoeftipfa linea longitudinis bc.Omnis enim fuperficies in quo
eft linea & centro uifiis ad aliquod pundu axis dudadecabit pyramide ,excepta tatitm
illa fuperficie in qua eft linea a b c.hoc enim contingit pyramidem fecundu 1 inea bcp
5>y,pnmi huius,& qm illud qd* fub fuperficie contingente pyramidem, & tranieunte cen

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
tro uifus continetur occurri uifui per i 7.tertij huius,form* enim omnium pundojt fup
perffdei illius conica infiiperffcie uiliis depinguntoripalam ergo,qm
tota lupcrficies conica uidetur, excepta (ola linea intelleduali quae eft
bc,dato enimquocunq? punefto iuperficieipyramidalisexrra lineam b
c,dico q, illud uidebitur,fit enim illud pundu h ,& ducatur ad ipfttm i
centro uiiiis a linea a h,&.’abillo eodem per i o i .primi hutus,ducatur Ii-
nea longitudinis quae fit hb,fict'q} triangulush b a,qutnccefiarioerit in
aliqua lupcrficxe pyramide iccante,perti anfeunte centru uifus a ;ex li-
neis aut illius iupcrficiri non cadunt,nifi dua in fuperficiem confcS py«
ramidis.fi lincalogitudinisbh.&linea oppoftra lineae bh in alia parte
pyramkUs,qmutpatct per 90. primi huius, plana fuperficiei fecantfcs
conu trans axem ,& fuperficiei conicae comunis ledio eft trigonu dua#
bus lineis longitudinis pyramidis & diametro bafis contentfi:linea ue
ro a h fecat lineam b h in pundo h,& linea c b forat eadem b h in pGdo
b per 9 j .primi huiusrlxne* ergo a h nulla linea concurret i uertice py*
ramidis nili in pundo a,necenim ad aliquod pundu mediu line* a h i
\ uertice bduda linea incident, n5 occultabit ergo pundush ab aliquo

j alio pundo quo minus perueniat ad centru uifas ajoccurrit ergo ptm#

Qj dosh uifuijCu interipium & uifum no accidet foKdi Corporis fnterpofi
J tio.cadem quoq3 eft ,pbatio de quolibet alio dato putido fuperficiei py
/ ramidxsiinlineauerobcqoagpendicularfseftfbpriiuperncie uiius r
71. primi huias^lStantu pund3 poflibileeft niderf,utoftenfum eft in
4.huius:omnia uero alia punda line* bcneceffario occultantur, patet
ergo .ppofitu. Patet itaepex fjs,qm in hoc litu nulla fuperfidep- pyramida conringen
tium peruenit ad centru uiius,pr*ter illam quae in linea b clongitudttiis centrum n/fus

tranfeuntisp

it ,& omnes (uperfides aliaconS contingentes,(e«ttttlw
neam produdamiccntro ad ipfixm pyramidem fiiter uerticem coni Qt
centrum uifus.

”, Xcii.

Axe pyramidis cum centro uifus uerfus nertfeem caneat*
rentc,tota conica fupcrficies uno oculo uidetur.

Efto data pyramis,cuius axis b c,uertex quocp pundus b,&fit uu
fus centru pundu adirq; ut axis b c.pduda currat in pundu a, dico q»
in hoc fitu oculi tota conica iupficxes p yramidis occurrit uni uifui^iUfc»
Ius enim pundus fuperficiei conica: totius pyramidis uifiri occultat,
dato enim quocuncg pundo fit ille 1,8C ducatur adipium i centro uifus
a linea a b3& ab ipfb pundo 1 ducatur per 1 o 1 .primi huius linea longi
tudinis pyramidis,qua fit 1 b,fiet'qj trigonul b a , quod neceflarib erit
in fuperficie pyramidis fecante,ideo qi linea aeduda a centrouifus in*
trat in ipfam pyramide fecans ipfam,& ipfa eft in dida fuperficie per
1 . undecimi, qm linea a b eft in linea fuperficiedinea uero a 1 fecat linea
b 1 in pundo l,cx linefs uero fuper ficid,in qua funr dua line* a 1 & b I,
nofimtnifi dua tantu linea infiiperficiepyramidis.f.linea longitudi#
nis qua eft b 1,8J linea alia longitudinis illi oppofita qua fit b k,iit patet
per 9o,primi huiusihac ergo linea b kproduda ultra pundu b, cum fit
in eadem fuperficie cu lineis a b Qt b l,neceflario foabit angulu a b I, er*
go per 49.primi huius ipfa foabit & bafem al;fit ergo ut lecet illam in
pundo d,8C quia linea a 1 fecat duas lineas kb&l b,qua fola ex lineis
fuperficiei pyramidis iecantis iunt in pyramidis fuperficie, fecat enim
linea a I lineam kbextra pyramide in pundo d,& lineam 1 b in iiiperfl
cie pyramidisin pundo l;produda ergo linea akin»nfinir5,nonca»
curret cum aliqua illaru lineaje: no interponat ergo folidwm pandum

qif

VlBBH CtYAKTVS. ,01

quod eft k inter uiltim Si pundum I,fed nullum aliquod aliorum putidorum ipfius py*
ramidis, quoniam nullum iplorum caditinillafuperficie,nonoccultabitur ergo tunc
uiiui exiftenti in pundo a datum pundum l.tunc inter ipium di centrum uifus non ac-
cidet aliqua folidi corporis interpofitio:& eadem eftdemoftratio de quolibet dato pun
do in tota iuperficie pyramidis,patet ergo propoli tum:palam itaqjexhis.quoniam in
hoc (itu nulla fuperfiderum contingentium pyramidum tranfit per centrum uifus , fed
qualibet ipfarum fecabit lineam i centro iulus fu per uerticcm conum intrantem inter
centrum uifus &pyramidum,qu£m in uertice ipfius axis.ut patet intuenti,

XCIU.

Omnes linea: uelfuperficies inter lineas uel fuperficifcs contingentes eo*
lumnam uelpyramidem rotundam fuperficietn uifam terminantis i centro
uifus produche,columnam uel pyramidem neceffario fecabunt.

Verbi gratia , fint dux linere longitudinis columnre uel pyramidis terminantesui*
fam iuperficie qua fit a b & c d.dico quod fi a centro uifus quod eft e ducatur linea e f;
inter lineas illas a b Si c d, quoniam linea e f/ccabirn
politam columnam uel pyramidem,tranfeat enim iu
gficies plana columnam uel pyramide fecans iplatn
in pundo f requediftanterbafi , crittp per i oo.prim*
huiuSjCommunis fedio circulus qui nc g fh ,quf fecet
lineas longitudinis columna uel pyramidis, eam ici—
licet qua a b in pundo g > & eam qua eft c d in pudo
h,& ducantur i pundo e, per / 6.terrij,dua lineat con
tingenresillum circulum qua* finteg&e b,palam au
tem per 3-7. primi huius, quoniam linea e f,in Cade iu-
perficie cum lineis illis exiftens fecat circulum g fh,er
go fecabit columnam uel pyramtdem qua per eun.-
detr. circulum fecatur , Idem quoq? accidit li per fe*
dionem linea longitudinis hoc placuerit demon*
ftrari,8<: in idem redqt, patet ergo propoli tum ,

; XCIltl.

Pluribus planis fuperficiebus centrum uifus tranfeuntibus fecundum li*
neas longitudinis partis fuperficiei uifie columnam uel pyramidem conue*
xam fecatibus , folam fuperiiciem axem columna: tranfeuntem/uperficiem
columnarem uel pyramidalem uiiam p$r aequalia diuidere:& ecouerfo Itig*
ficiem per aequaliailla uifam fuperficie.diuidente axem tranfire eft necefle*

Sit columna conuexa eoius iiiperficies uifa fit e d f g, & axis, eius fit h i, fit cetram ui
Ips pundum a,lintcg linea longicudiniscolumnx continentes uiiam itiperficiemqua:.
c d & f g, imaginentur quocp multa plana iiiperficies tranfeuntes centrum uifus a ,8i fe
cantes cd fg,uifamiiiperficiem columna,dico quod fola illa qua pertranfit axem h i,i-*
pfam uiiam (uperficiem per aqualia diuidit &nulla aliaiu, fola enim hac creda eft fu-
per conuexam fuperiiciem columna.quoniam communis fedio illius fuperficiei fecan
tis,8d fuperficiei columna eft redanguluiuper duabus lineis longitudinis columnae &£
duabus diametris baliiim cotentum,ut patet per 93 .primi huius,ergo communis fedio
illius fuperficiei 8i uifx fuperficiei conuexa ipfius columna fit linea logitudtnis colu*
mna, qua m o, & imaginetur Iiiperficies plana contingens, columnam fecundum li-
neam longitudinis m o,per 95- .primi huius.erunt ergo illa contingens iiiperficies di fit
perficies fecans per axem ereda ad inuicem per 97. primi huius. Si ltacg in linea mo fi-
gnetur pundum p ,8i in fuperficie contingente ducatur linea t ps.tunc palam quod li*
nea t p s cotinget quendatn circulum fuperficiei columna aquediftanrem bafibus. qui
fit b q di eius centrum fit u, ducaturfcp per j $,ternj,lineae ab2<aq,i centro uifiis circuld
" G bqconun-

PERSPECTIVAE VITHLLIONTS
Ij q contingentes, erunt ergo ilis linea: aequales per 5-8. primi huius,fecent'q? linea illam
drcuhun contingentem qua: e ft t p s in pundis t & s , & ducatur linea a p, qua; produ*
da,ut patet per 1 7. terti), pertinget ad axem in pundunib centrum circuli, fi* ducam»
Intra columna lineae b u & q u.femidiametri circuli b q , trigona itac£ a b u di a q u funt
jequflatrra,ergo per 8,primi,funt aquiangula , angulus ergo n ab eft squalis angulo
u a q.Sed in trigono a t p angulus a p t ,eft squalis angulo a p s trigorn' i p s, per diffini*
tionem lineae fuper fiiperfldemereds.ergo pier 3 z.primi, angulus a t p eft squalis an-
gulo a s p ergo per 6.primi,eft linea a t squalis lines a s,& quia lineae a b & a q funt s-
quales,ut lupra patet: ablatis ergo hinc inde lineis a t & a s, remaneat linea t q squalis li
nes s bjed linea t q eft squalis lines t p,per j-8 .primi huius , quoniam i pundo t, du-
dsfunt dus lines circulum cantingentes,qux funt lines t q & t p. Similiter quocp lit
linea s b squalis lines s p ,cum ergo per 1 3 ,primi,anguli b s p & q t p fint squales, erit
per-y.pr imi, corda p b aqualis cordsp q, ergo per z7,certrj,erit arcus p b squalis arcui
pt i, a quoniam idem accidet in bafibus columns , & in quolibet aliorum circulorum
sqUediftante bafibus, patet ergopropofitumprirnurn,fcilicet quod fuperficies plana fe
«ns columnam per axem & tranfiens centriim uifus fficatfuperficiem uifotn per squa
lia,& quoniam omnes alis fuperficies declinantes ab axe oblique incidunt fuperficiei
coringenti columnam in media lineii luperficiei uifae ipfius columns qus eft linea m o,

^ patet quod
A nulla ipfafc
illam niper
ficie tufam
g squalia
iccat. Sed
etiam fug*
fides qus
ui(am par*
tem fuper*
ficid colu*
mns gs*
qualia fe-
cat,necefla
X io trafitg
axem. Sit

enim difpofirfo qua: prius,8i ducantur omnes lines priores, erit ergo etiam linea m o,
cui illa luperficies incid/t,diuidens iuperffciem uifom per squalia, a ipfo eft communii
fedio fuperfic/erum fecantis& contingentis, erit itacg per 6 1 .primi huius,linea p t s-
qualis I/nes p s,fed linea p t squalis lines t a, per 5-8. primi huius , di fimiliter linea p s
squalis ipli lines s b,relinquif ergo linea a t squalis efle lines as,& quonia in illis trfis
gonis a p s & a p t, linea a p eft c5munis ambobus ipfis,erit ergo per 8 . primi , angulis
a p t Squalis angulo a p s,uterq? ergo illorum angulorum eft redus , linea a p eft per*
pendicularis fuper lineam t p s,linea ergo a p, cum squales angulos contineat cum U*
nea m o, palam per diffinitionem , quoniam ipfa eft ereda foper fuper fidem conti ngen*
tem columnam in linea mo,ergoper i8.undecimi,fuperficiesinqua eft linea a p fecas
columnam,ereda eft fuper fliperndem ipfam contingentem columnam fecundum li*
neam m o,ergo per 97.primi huius.patet quod ipfa tranfit per illius columns axem,&
penitus eodem modo eft in rotundis pyramidibus demonftrandu, di hoc ,p ponebatur,
xcv.

Re&angulae magnitudines i maiori diftantia uifae circulares apparent.

Sic magnitudo redangula uifo ex magna diftantia,qus ftc b g,d z, quoniam er*
go unumquodep uiforum habet longitudinem diftantia: qua foda non flet uifio, ut pa-
tet per S «huius. Corpus uero angulare drea angulu eft minus qtidm circa alias fui par*

t es.

LIBER Q_V A R.TV5* io i

tes.eftergo necefle prius deficere uifui corpus circa angulu g quam circa puncta remo*
tiora qua: funr d zfii fimiliter accidet m unoquoq? aliorum angulorum,tota ergo pc*
riferia corporis quantum ad prominentiam angulorum propter iuidiftantiam a uifii
non apparebitjUidetur itacp uifui corpus redangulu efle figurae circularis,ut turris qua
drata uidebitur rotundatquando itacp trifiis comprehenditquadratum aut poligonium
i remoto, comprehendet illud rotundum fi fiierit aqualium diametrorum, aut compre
hendetipfum oblongum figura: teretis. Si fuerit inaequalium diametrorum, ut eft figu
ra altera parte longior,ut plurimum limt quadrangulae turres, qua cum d remoto uiden
tur, apparent teretis figura:, nec enim exceflus radiorum ab angulis (uperficiei quadra*
t* prodeuntium ad uifum fu per longitudinem radiorum prodeuntium d lateribus pia*
nis eft proportionalis,refpedu diftatire totius corporis i uifii aliquaproportionc (enfi-
bili,unde propter infenfibilitatem exceflus omnes radi) srfti
mantur efle aquales, magis autem hoc folet accidere in alrjs
poligonis figuris.Oxigona enim corpora plurimu ex aliqua
magna diftantiauifa uidentur rotunda, & eft hoc quali per
eadem pramiflis dem onftrandu m,& hoc eft propoiitum.
xevi.

Curruum rota: uel lapidum molarium figura* qua
doqj circulares,quandoqj oblonga: apparent,

# Quod fiipra per 5-.j-.8d 5-6. huius conclulum eft de figuris

(uperficialibus,hic proponimus fimiliter de corporalibus fi*
gur/s:pafliones proprias ipiarum iuperficierutn illis corpo-
ribus, quorum funt ipfefiiperff cies applicantes:(?c itaqj ro=
ta a b g d, cuius diametri fint b a 8d g d,lecantes fe ortliogonaliter fiiper centrum efittg
oculus in fiiperficic circuli uel circa , fi ergo linea qua: cadir S. centro oculi fuper cerrum
rota*,quod eft pundum c,obliquc incidat fuperficiei ipfius rota.illa ut non fit perpendi
cularis fiiper rota: fiiperficie.nec aequalis (emidiametro, dico quod dia
metri rota: inaequales apparebunt, 8d una quidem maxima, alia uero
minima,alia ucro omnes qu* funt media inter maxima 8i minima,
jppinquiores minima: funt minores remotioribus ab illa , qualibet afit
dua: aequaliter diftantes ab altera diametro^ aequales apparebunt.Ro*
taergo oblongae ut fcdio columnaris uel conica oxigonia uidentur.

Et ide accidit in figuris lapidu molariu 8i oibus alijs quibufcuq? figuris
Sdhoceft,ppofitu. xcvii.

In figura: uifioe uirtuti diftimfliute error accidit ex intepe
ratadifpofitione o<fto circuftantiarum cuiuslibet reiuife.

Ex intemperata erh lucis difpofitioneffgura poligoniaaquilatera uidebit de node
circularis uel fpharica,quoniam lux nimis debilis occultat angulos , di etia iphara fiib
luce ualde debili uila aftimat fijgficiei plana.quia propter lucis debi litatem occultatur
uifui partium prominentia in fugficie ipfius fphara, Ex intemperata etia logitudine
diftantia figura quadrata quandocp uidetur rotunda fphariea , & etia figura quadrata
quando cg apparet uifui altera parte longior,ut patet g s-?.huius,qn etia propter remo
tione nimiam obliquatio alterius lateris quadrati no fentitur.Tunc .ppter ipfiim remo
tionem quadratu altera parte longius uidetur,ut patet g 6 z. huius. Accidit etia error u*
fioni figura: ex longitudinis immoderatione,figura enim multoru latera aquali ii oppo
fita uifui direde , in magna diftantia uidetur circularis rotunda , quia anguli eius funt
uifui imperceptibiles.quod patet g py.huius,8i linea curua aftimatur reda per 90.hu*
ius,& figura fphariea uidetur plana g 6 j-.huius.Ex inordinatione etia (itus error acci*
dic in figura: uifione. Si enim corpus circulare ut fcutella ab axe elongetur , di modicu
fuper lineam cui axis perpendiculariter incidit obliqua tur, uidebuntur eius diametri in
aquales per 9 6 .hutus,& figura circularis per yj-,& j- 6 .huius , uidebitur fedionis oxigo

C z ni* uel

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
nise uel columnaris ffgurar,& fimilitcr propter aequalitatem oppofitionis unius laterum
ad tftfum figura quadrata a-ftimabitur altera parre longior per 6 1 . huius , Ex intem
peranna etiam quantitatis uel magnitudinis accidicerror uifioni figurarum, cum enim
fuperfides utfa fuerit multum parua,(i fuerint in ea anguli occultabfitur uifui , unde for
te forma eius angularis seftimabitur rotunda, fpharica, aut colamnaris.Et fi fuerint in
eius faperficie aliqua: prominentiae latebunt uifam, & aeftimabitur eoru fiipcrficiespla*
na, ut hstc patere poflunt in athomis fol*s,quorum certa figura no coprehenditur, quo-
niam anguli ipforam uifui i minori diftanria occultantur, ut patet per 8 .huius. Ex in
temperata edam foliditateaccidit error uifioni figurarum. Si enim corpus fuerit minus
(olidum in quo fuerint anguli, illi forte occultabunt uidentL& angularis forma putabi
tur fphxrica,forte et fphaeriettas illorum corporu uidebitur plana. Intemperata quo*
que diafonitas inuifionc figurarum errorem inducit,quoniam exiftente aere nubilofo
obfcuro,ut in crepufculis.uin corpore illo fuerint anguli, forte apparebit fphaericitas,
& fi in ipfo fuerit fphaericitas apparebit forte planicies , quoniam medium no eft taliter
difpofitu ut per ipfumpoflit fieri completa uifio^d quam requiritur lume, ut patet per
primam terti) huius. Breuitas etiam temporis errorem uifibus in uifione figurarum ad
ducit,modica enim gibbofitas in re fubito uifa latet oifum,& seftimatur planicies. Et fi
firerint res figura: angularis iubito uf&,fortc(phserica: apparebunt . Vifus quocpdebf
litas errorem caufat in figurarum uifionc,modicus enim gibbus , & multiplex angulus
debilem latent uifum,&.' uidetur res fpharrica* plana: angulares fphaericae, fic ergo pa
tet propofitum in omnibus circunftantijs uifibilium,&! hoc proponebatur.

xcvnr.

In uifione corporeitatis errores aeddentes ufrtuti diftmcliuae ex intem*
perata difpoficione odo circu flandarum cuiuslibet rei uifie, funtidem illi»
qui in fitus 8C figurae accidunt uifione.

Corporei tas enim ut patec in 6 j .huius, 5 uifu comprehenditur ex comprehenfione
figurarum quas faciunt fuperfides corpus continttttCs,eft ergo eadem hinc inde erroris
caufa,& omnis error qui poteft accidere uifui in uera comprehenfione uera: corporei*
taris, uel in erronea comprehenfione, accidit ex errore proueniente circa fpccfes figu-
rarum,ut fi fuperfides fphaerica conuexa uel concaua arftimctur plana per 6j, huius,
quia in corporibus maxime remotionis si uifu non comprehendet uifiis corporeitate,
quando non comprehendit obliquationem fupcrficienim, &hoc totum accidit^pter
deceptionem circa figuras fadam,non enim comprehendit nmc uifus fitus partium illa
rum fiipcrfiderumad inuicem,qui finis efFidt fignram,unde cu certitudinaliter compre
henditur figura, certitudinaliter coprehenditur corporcitas.SC cu comprehenditur figu
ra indiftinde, coprehenditur etia corporeitas indiftinde,2C hoc accidit in orhibus mo-
dis quibus error accidit in uifionibis figurarum.&quia fitus eft caufafiguraru, ideo e-
tiacrroresaccidentes fitui, accidunt & corporeitati,quiaenim corporeitas induditfiib
figura QC fituudeo errorem corporeitatis gerit error in fe fitus dC figura:,

XCIX,

Diftiti&io uifibilfum comprehenditur a uifu ex diftintfiione formarum
ipfarum uifibilium in diuerfis fuperficiei uifus partibus impreflarum.

Diftindioquareft inter quaelibet duo corpora.auteft exluce, aut ex colore adlum
lucidi habente,aut ex obfcur itate,hae enim funt principiu diftindiomVformarum in fu*
perfide uifus, quoniam haec per fe perueniunt in partem fuperficiei uifiis,quandocp aute
lux & color uel obfcuritas ftmt in fpfis fornus qua: diftinguutur, quandoqj ueroluxSC
color uel obfcuritas diftinguentia formas in ipfa fuperficie uifus funt in corporibus me*
dijs fecundi! fi tum diftfnguentibus corpora .quorum forma: diftinguutur in uifu,& tue
fi uifus non fenferit quod lux, color aut ob(curitas,qute eft in loco diftindionis , no eft
in corpore continuato cum utrocp corporum qua: funt in eius lateribus, tunc non fen-
iict diftinciioncm duorum corporum A etiam quandoqj fit diftindio uifibiliu ex hoc,

quia

r'

LIBER <*VARTVS* ,03

quia non eft pofltbde plura uffibilia xqualiter uideri pcr49,tertij huius, aut enim (uper
fides cuiuslibet illorum corporum eft obliqua ad fuperficiem uiius.in loco indiftindio
nis,fed eft inaequalis obltcjuitatis,aut unius ipforc forma eft obliquata, alterius uero fors
■na eft uifui direde oppouta.manifeftior uifui,qua'm alia.qune non eft uiiui oblique opi
pofita,uel qua (ibi opponitur plus oblique, Si fecundum hoc comprehcdet uiius diftin*
dioncm uifibilium formarum, fi ipforum diftindio (ecundum (paciu interiacens l?t am
pia (iue ftrida, dum tn (it (enfibilis refpedu remotiois corpora u iforu & refpedu quanti
tatu corpop- diftindoru,quia forte quadocg diftindio forma^ eft quantitatis unius ca*
pilli,Si illud diminutu non aufert diltantia fenfibilem inuifu,patetergo propofitum*

C,

Continuitas uifibilium coprehenditura uifu ex diftantitc priuatione.

Cum enim uifus non lenierit in corpore aliquam diftantiam, cora prehendet i pium
efle continuu,8<! (i in corpore fuerit diftantia occulta non comprehenla auifu,compre,«
hendet uifus illud corpus efle continuum, di difcernetinter contfnuationem&cotfgua
tionem ex compreheiione aggregationis duora terminorum duorum corporum. Si er
go ienticns non lenlerit,quod utrancp duorum corporum cottguoram eft diuerfum ab
altero &diftindum ab co.tunc non lentiet conriguarionetn.led iudicabitefle inter illa
uifa perfectam continuationem & totius fuperficiei uifa perfedam unitatem qua: eft:
continuitas,patetergo propofitum ,

CI,

Numerus comprehenditur i uifu per hoc, quod unum uifibilium copre*
henditur ab altero diftin&um .

Quia enim uifus comprehendit in una hora multa uifibilia in fimul dtftinda,& in
illorum tdiftindione comprehendet q> quodlibet ipibrum eft ab altero diuiiiim , come
prehendet ergo multitudincm,et tunc uirtus diftindioa comprehendet numera cxmiil
titudine illorum, SC fi eft par uel impar, St! medietatem paris numeri & quamlibet lpfora
unitatem per hunc modum omnium rerum uiia.ru numera coprehendit Qi mathema
ticum & naturalcm,patet ergo propofitum,
c 1 r.

Omnisformauifibusobliqueincidensfertiperapparet ultra locum for*
mtc direde incidentis, ex quo patet quod forma: ambobus uifibusfecundu
«qualitatem anguloru obliquius incidentes plurimu a fe didant .

Quod hic proponitur faris patet,quando em linea radialis fupertreiei uifus oblique
tncidiqtunc ipla per 47.lea.mdi huius,refiringitur a fuperfide oculi,&: ad cocauum ner
ui perucnit plus oblique,quoniam tunc iecundum angulum incidentis formatur quaru
titas anguli refractionis per 3 d.tertrj huius.palam ergo quoniam illa linea oblique lu-
perficiei ipfius uifus incidens propter fuar incidctia: obliquitatem & anguli acuitatem
facit angulum ilee refradionis acutu,unde tunc linea refradionis interlecat lineam di
f ede incidentem, & i fuperfide oculi aqualiter refradam,&;fic forma obliqua uidetur
ultra formam rcdaruilam.&ifiamba formae oblique incidant fecnr.dum eundem fuae
obliquitatis moduirijita uc utrobiq? fitaqualitas angulorum incidentis & >-ctTadiols»
tunc forma oculo dextro incidens,(ecans lineam per quam direde incidens ad mediu
pundum concauitatis nerui perueniflet, fit finiftra ab illa ,&t forma oculo fini ftro obii
que incidens,refpedu illius medij pundi concauitatis nerui , fit dextra , & fic quandocp
accidit illas formas d fe plurimum diftare.fiC quoniam qualibet ipfarum offertur Uirtu-*
ti fcnfitiua,quoniam (ecundum loces & colores qua font in ipfa forma , qua eft extra»
depingitur ipfa forma in fuperfide organu membri lentientis in duobus locis fecudum
neraum oculoro quibus incidit i quorum fuperficie refringitnr,quia uero forma dire
de incidens ad unum fecundum omnes eius partes ordinatur locum confimiliter,ut pa
tet per 3 7. tertij huius,forma ergo oblique incidens femper apparet ultra loCum formae
direde incidentis,patet ergo propofitum,& eius correlatiuum ,

,C 3 Omne

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

OmnemTum quod direde opponitur medio unius uifus,& in reipeflu
ad reliquum uiium eft obllquum,femper uidetur duo.

Nam forma pundi,quas direde incidit medio alterius uifuum, perucnlt ad pundi!
mediu coczuiutis nerui, ut patet per 3 p.tcrtij huius, qm forma illius pundi incidit ui*
fui fecundu axem pyramidisradialis:formaueropundi oblique incidentis in medio
luperffcici alterius uiilis uenit ad pundu aliud cp ad medi fi
pandum concauitatis ipfiusnerui fecundum obliquatio*
nem pundi fuperficiei uifus,& fic non concurrunt illa: for
mx in eodem pundo medio concauitatis nerui. Verbi
gratia, fint centra duoru uifuum a & b, fit linea e £ quod
oiliimdiredc oppolitam centro uiiiis a.fitantemipfali*
_ nca e f oblique oppofita uxfni, cuius centrum eft pundum
B b.quia ergo forma linea: e f direde peruenit ad medium
concauitatis nerui communis per 29. tertij htuus,palam, q> forma citis circa illum pun
dum medium concauitatis nerui fecundum omnes litus litarum partium ordinatur
per 3 .tertij huius,qiiia ucro fomta efufdcm linea: e f tota oblique incidit luperficiei ui*
ilis b, palam per ca qine declarata iiint in eadem 3 . terti) huius, q> forma eius non per*
ucnitad pundum medium concauitatisnerui, fcd ad aliquod ipfius pundum aliud:
non fopponetur ergo priori forma: ,ied remanebit diftindaab illa, apparebunt ergo
duae formor, quoniam in duobus locis ipfius membri ientientis offertur forma ipfius
uifibilis ipfi uirtuti lentienti, 6i fic indicat illas efle duas,S<: non unam,patet ergo propo*
litum. Ciiir

Omnis forma rei uifa: intra axes radiales conftitutse,oblique ambobus
uifibus occurrit, unde femper uidetur duo, ^ '

Verbi gratia, fit centrum duorum uiluum a & b,& concurrant axes uiluafes in
pundo c,fit'cg axis dc,8t fit res intra axes ui(a,quxe,dicoq> forma reiuife, quae eft e,
lemper oblique occurrit ambobus uifibus,imde lemper uidebitur efle dua:,q> autem ob
lique femper incidat ambobus uifibus,pater, cum enim i pundo c,
duda fit lineae a perpcndiculariter fuper centrum foraminis uneae
oculi,coius centrum eft pundum a, ut patet per 24. tertij huius. Si
aimhncacb duda fit perpendiculariteriiiper centrum foraminis
unca: oculi, cuius centrum eft pundum b, palam per 1 3 . undecimi,
quonia ab aliquo pundo fuperficiei rei uife, qua: eft e, ad dida cen
tra foraminum perpendiculares alia: duci non poliunt, omnes er*
go lines d fuperficiei corporise ad fiiperfirie uifuum produdx,limt
obliqua per 24.tertij huius,nonergo perrefradionem concarrent
in pundo medio concauitatis nerui, ledultra, plurimum die di*
_ ftabuntper 102. huius, uidebuntur ergo femper dua perpraceden
B tem.Cumitaq} axes duarum pyramidumuifualiumconairrantin
aliquo pundo rei uifa:, &duo alij radij obliqui comprehendant aliud uifum propinqui
os duobus uifibus aut remoti as intra axes, tunc politio eius apud duos nilus erit diuer*
fa in parte,nam illud uiium erit dextrum uni axium uifualium di finiftrum alteri iplb*
rum.Radij quoqj exeuntes abipfa re taliter uifa ad alterum uifum,erunt dextri ab axe,
ad reliquum uiliim exeuntes erunt finiftri ab illius axe,& fic politio eius apud duos
uiiiis erit dfuerfa in parte,& forma unius aiforum incidit duobus uifibus, in duobus lo-
cis diuer/e politis, a peruenitadlocadiuerlaconcauitatiscommunis nerui a duobus
lateribus Cui pundi mcdij,8e partes illius formae non fuperponuntur libi, erunt ergo
duce forma:, oi ita femper forma rei taliter ad uiium dilpofitx uidentur dux forma:, 51
resiplauiia uidentur lemper duo, quod eftpropofitum,

CV.

Linea: reda: uicina: uifibus in fuperficie axis communis ereda: fupe r tri

gonujn

LIBER QJTAXT VS. 9p

gonum axium radialium pundo coniundionis incidente, folum illud pun
dum uidcbitur unnm,omhia uero alia d/da» lineae punda uidebutur duo,
d sequaliter a pundo coniundionis declinantia, ac fi duae lineae fe interie*
centin pundo coniundionis.

Sit centum uifus finiftri pundum a .dextri uero pundum b ,8i fit linea reda h z,qux
fecundum medium pundum nafi ambobus uifibus interpofitis,extendatur taliter,ut
in aliquo pundo fup fignato quod fit q, concurrant axes uifuales,erit ergo q pundum
coniundionis amborum axium uifualium,&quoniam ipfum pundum,quod eft in li-
nea h z, qux fic extenditur inter ambos axes radiales,tunc palam eft q> ipfa eft in filper
ficiein qua eft axis communis ereda fuper bafem trigonam b q a.per 3 3 .terrij huius.
Dico ergo q> ubfcuqj pundus coiundionis qui eft q,linex h z,oblique incidit uifibus,
'hoc eft ambobus axibus b q,& a q,uel eorum altero angulos redos non continentibus
cuni linea hz,folus pondus quidebitur unus,uteft,quoniam forma eius folius per ama
bos axes radiale?? peruenit ad medium pundum concauitatis neruf , & fic forma una
uidetur rei unius,ut hoc patere poteftper4<S.&47, quarti hua^
ius,rdiqua uero punda omnia linea; hz nidentur xqualiter a ^
pundo coiundionis declinantia, ac fi duae line* fe interiecent
in pondo coniundionis qUod eft q, quia radtjdiuerfi ab illis
pondis peruenientes ad ambos uiius ci finiftrantur & dextran
tur, omnes enim radrj exeuntes ab illis pundis linea; h q,adui*

Ium dextrum ex parte axis h q, fiunt finiftri ab axe a q,& perue-
nientes ad finiftrum uifum ex parte axis h q, fiunt dextri ab axe
b q,perueniunt enim ad fuper fictem uifus ex urta parte fanidi*

ametri foraminis,qux i centro une* refpicit axem communem

& radi] peruenientes i pandis line* q z,ad uifum dextrum, fi* A.
unt item finiftri ab axe a q & peruenientes ad uiiiim finiftrum fiunt dextri,p erueniunt
enim utricg radrj ad iuperficiem uifus ex parte femidiametri aim priori femidiametvo,
diametrum totam illius foraminis une* complente, & quoniam ambo oculi funt in
omnibus difpofitionibus xquales per 4. terti] huius, palam qp utriufq? anguli axium 8C
iftorum femidiametrorum funt xquales circa centrum utrfufqj oculi foraminis,angu
li quocp c q z,& d q c,propter eandem flnt *quales,duda itacp linea i pundo, & xqui*
diftante line* a b per 3 1 . primLqus fit e z d,producatur linea a q in pSdum d, &i linea
bq in pundum c,patet quod fecundum illas 1/neas fit uifio illarum formarum, quo*
niam enim anguli fecundum quod fit obliquatio uffion is, qui funt tqz,&dq z,font
*quales,ergo per 13. decimi quinti, fiC 14. primi line* uifiiales,qux exempli caufa
fintlinexbq,&qc,coruundx funt linea una, &ftmiliter de lineis a q, &q d, uidetur
autem linea una radialis dii* line* propter diuerfitatem inddentix fbrm* illius pun-
di ambobus uifibus.quxobliquatio Rtquafi per modum duarum linearum fefecan»
tium circa pundum q,forma enim fecundum axes radiales uifibus incidens ad mediu
pundu concauitatis nerui pertingit,& form* oblique incidentes,circa ipfum fe fecan-
ces ffgurantur^Remotiones enim duarum quarumlibet linearum radialium ab aliquo
pundo Iinexhz, ad ambas axes peruenientium.femper eriint in duabus partibus di*
uerfis,quapropter du* form* cuiuslibet pundi eius incident duobus pundis coneam*
tatis nerui communis i duobus lateribus pundi medij.ucoftendimus in prxmilTis.pa-
tet ergo propofitum, patet etiam quod mutato pundo coniundionis linearum interfe
darum quantitas mutatur.Semper tamen ex utracp parte fedionis partes linearo funt
aequales, & fecundum approximationem ad uifus anguli medt),ut funt a q b, & c q d,
fiunt maiores, & iecudum elongationem i uifli fiunt minores.quoufq? circa axes radia
les pyramides defcribuntur,quarum bafis eft tota fiiperficies rei uife, & horum proba-
tio experimentalis accidit, fi uifibus modo dido difpofitis unus ipforum claudatur,
alter qg apertus refer uetur,fic uices mutando quantum placet.

Sia

PERSPECTIVAE VITELLIONlS
CVI,

Si a pundo coniundionis linea inter duas perpendiculares producas
i terminis line* connedent/s centra uifuu eidem aqualis & aquediftans fu
erit, produda forma cuiuslibet pundi produda: linea autrei fuper ipiam
cxilientis, & forma rdexiftentis fuperalteram perpendicularium in pun*
ifto propinquo prsedida: lincte uidebiturtantumuna:exiftentisautemin
eadem perpendiculari remota a produda linea uidebitur femper dutc.

Sint centra duorum uiftium a & balnea ergo connedens centra efta b,&ab illius
terminis erigantur perpendiculares a c & b d per 1 1 . primi,et Iit pundus coniundionis
q, erunt ago axes ufluales aq&bqd pundo aero q per 3 i . primi ducatur linea k q c,
aeque diftans linea: a b dico q> forma: cuiuslibet pundi Iinex k c,aut rei
litper ipiam exeuntis femper uidebitur una.SC fi in aliqua perpendicula
.«fv rfum ac fiCb d,in pundo propinquo Iinex k t,ut in pundo r, fii: res uf-
V / ia, ad hac uidebitur cius forma una,q> fi fuerit in pundo ualde remoto

\ / p ut in pundo fitunc uidebitur ima res ibi exiftens elfe dux.Ducantur ein

\ / / i pundo b Iinex bk,br,fb,palarn’ergo per i5». primi,quoniam lihealb

\ / / R maior cp linea b t.Scd linea k q,eft xqualis Iinex qc, ex hypqtlieli

V // / ergo p 3 y.primi huius angulus c b q,cft maior angulo q b k,eft em /n tri

C 'FrKr i''~~? & 2ono orthogonio quod eft c b k.produda linea b q,ab angulo c b k,er-

/ goproportio anguli q b k,ad angulum cbq, minor cp portio bafis,
///)/' qux e it q k,ad pa rtem ba fis qux eft q c,Sed partes illae bafis adlnuicem

////\ iunc xquales,ergo angulus c b q,eft maior angulo q b k, per 10. quinti.

/V/ \ Sedper 4,primianguluscbq,eftxqualisanguIokaq, angulus ergo k

u/ \ a q,eft maior angulo k b q, ergo per argumentum petitionis fadx in

jJ ^principio primi fibri huius remotio lineae a k.ab axe a q,eft maii» cp re

motio lineae b k ab axe b q.Differentia tamen inter hisdOras rCmotio»
nes eft modica, quoniam differentia inter duos angulos kaq,&kbq,eft modica, for*
ma ago putidi xmon multum obliquabitur ab axibus uiiualibus , qui funt b q, & a q,
non ergo Uidebitur illius pundi k, forma nifiuna,qin forma eius non multu elongat i
pundo medio cocauitatis nerui,& qm corpore aliquo exiftente in pundo r.patet cj> ra
dq exeuntes ad pundu b r & a r, & quia etia duo anguli raq&rbqno multu differur,
qm angulus k b r,quae eft illoju angulorudifferen tia,ut patet ,no habet ienfibile quanti
ta te .quando pundus r fuerit ualde ^ppinquo pudo k forma ergo pudi r adhuc non ui*
debitur nifi una. Si uero corpus aliquod cuius forma ie offert infui, cxiftat in aliquo puti
do linea: perpendicularis fuper iuperficicm uifus, qux efta c, remoto ualde £. pando
k,ut eft pundum fjtunc quia anguli f b q & f a q, iunt diuerfi maxima diuei fitate. Ideo
q> angulus f b k,qui eft iliorum angulorum differetiaeftienfibilis quantitatis,tunc cor *
pus q> eft apud pundum ^uidebitur duo, quando duo axes concurrunt in pundo r,for*
ma enim pundi f oblique incidit iuperficiei uifus b,unde no peruenit ad medium pun*
dum concauitatis nerui,ut patet per 1 0 1, huius, ied apparet ultra illud, fic ergo mune*
ratur forma illius pundi f . Ex hoc itac$ patet, q>uiium in quo concurrunt duo axes
femper uidetur unum.ficut etiam patuit per 46.terrij huins,a! q> unumquodqj uiforu,
in quo concurrunt radq confimilis pofitionis, inter quos non eu magna diftantia ab
ambobus axibus uidetur etiam unum, illud uero uifum in quo concurrunt radtf multum
d iftantes ab axibus uidetur duo, propterea q» ipfum uni uiiiium inddit diredefiC alta!
ualde oblique, uel fi ambabus uifibus incidit oblique,una illamm obliquitatum eftieri-
fibilita maior q; altcra,uidetur ergo talis res dux per 1 04, huius, patet ergo propofitu.

cvii.

Pundo coniundionis in angulum trigoni, cui fubtenfa bafis fit aqualis
linea: conneclenci centra oculorum fecundum terminosfua: bafls,appliqa*

ti centris

LIBER O.VARTV5. /Of

tl centris amborum uiTuum, quodlibet duorum fatcrumtngdni duas for*
masuifuircpriefentat* .. ’ • ',,T.

Sint centra amborum uifuum a & b ,fi tfcp trigonum a Uq‘ applicatum uifibUSj tali-
ter nt (pponitur.,ueI (? ita ut trigoni a b a, bafis ab, fit baffior centris ocuIoru,incidaiittp
axes uifuales in pundum q,qui fit pundus coniundionis,&! axis communis fi t h q, di-
co q> laterum trigoni, qux funt a q & b q, unumquodep duas formas uu QJA
denti prxfentabic.quoniam enim utracp formarum linearum a q 5i b q, u-
terqj uifui (e offert direde& oblique, ut linea dextra qux eft a q,dextro
uiiui qux eft a /e^offert direde,quoniam omnes radij d quolibet iiiorum
pundorum exeuntes incidunt in centrum foraminis nneae per 24. terti)
huius,&: linea (iniftra quae eft b q, incidit oblique uifui dextro, qux eft a,et
econuerfb linea b q finiftro uifui qui eft b direde incidit, & linea a q eide
uftra finiftro qui eft b incidit oblique, ut hxc omnia patent per 24. tertq
huius.fbrma itacp oblique incidens dextro uifui declinat ultra latus finiegi
ftrum,cufus ipfa eft forma A fic fimftra ab axe 8d forma oblique incidens
finiftro ui(ui>clcclinatadlatusdextrum,cuiusipiaeftforma,8<: fitdextra ab axe, eruntfcp
laterum trigoni omnia punda in apparentia uiiuum duplicata, praeter folum pundu
q,qiti eft pundus coniundiqn|'s,&: eft ratio huius apparitionis eadem illi in prxccden
ti theoremate declarata, patet ergo propoficum*
cvm,

Viumremnonnunquam uideri 4ua& experimenta liter declaratur,

Aflumatur tabula lignea planajb fuperffcie#, aiius lineae! longitudinis xquediftan
tcs&xqualesfinta b,abd,&fint unius cubiti, latitudinis uero ipffus lineae aequales
BC xquediftates , finteg a b,&: c d,& ftnt quatuor digitorum orthogonaliter fuper lineas
longitudinis eredx,duccnturqj dux diagoni qux ftnt ad,&bc
fecantcsfcinpundpq.&apundo q^d* per 40. primi huius eft .D^
medius pundus luperficiei totius tabula: a b c d,ducatarad u»
trumqj latus longitudinis linea xquidiftans lineis latitudinis
per 3 1 .primi, qux fit k q c, ab eodem pundo.q ducatur linea
hqz, xqucdiftans lineis longitudinis a c, &C b d, & intingantur
omnes iftx linex b c,a d,t k,h z, tinduris lucidis diuerforu colo»
rum,ut bene appareant.Sed tn duo diagoni qujf iimt a d, & b c,
ftnt unius coloris, di faper pundum h interiorem terminum li-
nex z h in medio la titudinis ipftus tabulx, cauetur tabula auafi C J-
pyramidalitcr.ut ita pofllt intrare cornu nafi, ita ut cum tabula
flipponitur fuperioriparti ipfiusnafi,tangantduo anguli tabu-
lx fere duo media fuperficicrum duorum uifuu, 8i fit huxuscon .
cauitas m h n, fiant itac# de exra tria corpufcula columnaria, et
ftnt diucrforum colorom,qux fint e g p,& erigantur iftx colum
nx fuper fiiperficiem tabulx in linea k q c.ita q> corpus gfit fug
punda q,& corpus p fup pundu k,& corpus e uig.pundu c,& ap
plicent illa corpora firmiter ipff tabulx, ita q> no cadant,& tuc ap B le
plicet tabula uifibus ut fupra pmiflum eft, deinde exgimcntator
infpidat forti intuitu corpus g,q<f eft in pundo q, medio pundo tabulx, tuc ergo duo
axes amborum uifuum concurrent in aliquo pundo fuperficiei corporis g, Sauppo»,
nenturduobus diagouis tabulx, qui funt b q,& a q,aut erunt xquediftantes illis,&: axis j
communis flipponitur linex h q,& fi in hac difpo fitione intueantur ambo uifus, oniia
qux funt in iuperficie tabulx & corpora & lineas,inuenictur forma uniufcuiuftp cotpo*
rum,qux lunt eg p,forma una,^ ro ta fonna linex k q c,eric una,U'nea uero h z, exten*
fa in longitudine tabulx apparebit linex dux fecantes fe fuper pundum q,uel fuper
Sdcuqj aliud pundum, cocurrSt radij uifuales,& etia quilibet duojt diagono^ qui funt

D bc&

PERSPECTIVAE VITELLI O 1$

bc&ad, apparebit duplicatusita at uf<Jeantur4. diagoni, angulds uero a q b apparet
amplior cfy infecundum ueritatem,8fl fi alter uifiium claudatur, uidebuntur duo tantum
d.agoni,& diagorms remotus i medio feqaitur uifum coopertum, ex quo patet, q»
duo diagoni qui uidenttfr remoti, fune illi quorum utercp uidetur uifui obliquo pro*
pter hoc comprehenditur per radios remotos ab axe dextros SC finiftros, unde inftitu-
untur in cocauitate nerui cSmunis ab inaice remota:, in figuntur crh in duabus partib?
contrartjs refpedlu pundli medij nerui comunis,& in partibus remotis ab illo pundlo,
unde illi duo diagoni habent duas formas propinquas (ibi, di duas remotas i (e inui-
cem.Deinde experimenta tor figat axes uifuales fuper aliquod corporum,quae funt e et
p, quae fint fuper puncta t&kextrema lineae tqk, tunc enim apparebunt omnia nu»

S prius, q> fi corpora e&p auferantur i ldcisfu/s,Q<: ponantur in linea hz, a:*
ter i pundlo q, & iit corpus e uidnius uiiibus in pundlo 1 circa pundlum q :
p fit remotiosi uifu inpundo s,tiltrapundum q, & applicata tabula ipfis
utfibus figantur axes uifuales fuper corpus g,quod eft in pundo q medio, tunc
unumquodque corporum e & p apparebit duo, & apparebunt ambo illa corpora,
quatuor corpora oblique i medio corpore g,duo.f,in dextro, & duo in finiftro.fic uide*
buntur fuper duas Iineas,^uis fecundum ueritatem fint fuper lineam unam, & appare*
bunc qualibet duorum illonim 4-corporum liiper alteram fllajeduap: linearum.Ide c^qj
accidit fi corpora e &p, ponantur fuper alterum duorum diagonorum fecundum o*
mnem modum quo poma fuerint fuper lineam h z.taliter ut arquediftant corpori g, &
umjmfitpropinqnius uifuf cjj altcnim ,quia enim tunc utercg diagonorum apparebit
duOjUndefuperutramc^ linearum qua: funt unius diagoni duo apparebunt corpora ,u*
num in parte ipfius uifus, & aliud ultra corpus g pofitum in medio illorum duorum cor
porum.Erlimiliter fi corpora e &p,ponantur fuper ambos diagonos,unum fuper u*
aliud fuper alium, & ambo in parte uilus,ttmc enim apparebunt 4,corpora, duo
propinqua & duo r emota.Deinde auferantur duo corpora t&Cpi tabula,&! ponantur
alterum iplbrum fuper marginem tabulae in, linea a c,ultra pun dium k , & tamen Ualde
uidne illi pundlo k,&: fitfupra pundlum r, & tunc applicata tabula uiiibus dirigantur
ad hoc axes ad corpus g pofitum in medio, 8£ tunc apparebit forma pundli e, tantum
una,q> fi corpus e ineaaem linea a t, ponaturfuper pundlum f, remotius i pundlo k,
qnlm fit pundlu tjfittp pundli f,d pundlo k diftantia fenfibilis,a fit diredlis axibus uifu
alibus ad corpus g medium .apparebit forma corporis e duplicata. Idem quocg accidit
fi ambo axes uifuales fecundum illam difpoflttone dirigantur ad quodeuep pundlum li
nex c kjfempcr enim tunc corpus e pofitum in pundlo f uidebitur efie duo, haec uero
qux prxmifla funt omnia per /of.huiusSi propofitiones fequentes declarata, ut patet
innicnti.Quod fi experimentator direxerit axes uifuales ad pundlu aliquem tabulae ex
na lineam k t, tunc ipfirm corpus g, pofitum in medio fuperfleiei tabulxin pundlo q ui-
debitur duo,& fi corpus e ponatur in pundlo t,& corpus p in pundlo k,tunc utracp ipfb
rum uidetur duo.Sed redeun tibus axibus uifualibus fuper pundlum q,aUt fuper afiqc?
pundlu linea: t k,tunc reuertet prior difpofitio. Deinde accipiatexperimcritator tres ce
dulas pergameni paruas & aequales^ mferibat omts ipfas una feriptura manifolia ae-
qualis quatitatis.a ponat unam ipfanim in medio prxmiflx tabula: in pundlo q,& al*
teram ipfarum fuper pundlum k, figendo cum cana ut ftent eiedle, 8i applicata tabula
ipfis uiiibus ut prius,i ntueatur cedtdattr pofitam fuper pundlum q, & coprehendet eius
feripturam certa comptehenfione,& fimfliter feripturam cedula: pofita: in pundlo k,co
prehendet.fed non ita perfedle ut feripturam cedula: pofita; in pundlo q, licet fint lite
feriptura: confimiles in figura, forma Sdquantitate» Deinde a ffumatur tertia cedula, &
ponatur quali in medio pundlo lineae e z,& manu protradla fecundum redritudinem li
nex kc, teneatur ultra tabulam in fitu& politione duarum aliarum cedularum, tunc
cniin fixis ambobus axibus uiiuum in cedula pofita in pundlo q & tunc trifa tertia ce*
dula uidebitur forma feriptura: fux dubitabilis & indiftindla,8i u cedula pundli k repo

LIBE* O.VARTVS.

las:&: (I tertia cedula moneatur planefuper lineam q k,axibus illorum ulluum cadete in
pundum q, uidebitur tunc diminui diftindio icriptura: cedular mota: fecundum aritan*
nam qua: fit per motum donec peroeniat ad puneftum k,& tunc paulatim a puncto k',
extra tabulam moneatur fecundum lineam latitudinis a k protenfam , tunc lemper
minuenir icriptura: diftindio, ita quod tandem nulla erit diicretio ipfius.Peradisqj
circa lineam c d, eifdem qua: cum his cedulis fada ftint drea lineam k c,eadem tunc iri*
fibus apparent qice prius ieruata diftanti* proponione,& etiam fi elongetur ultra lon
gitudinem rabula:, quae itaqj ex his paflionibus ambobus uifibus accidunt, plus ac*
cident uni uiiuum fi alter fuerit coopertus. Deinde aflumatur fchcdula 4. digitorum
quad rara ,in qua pundus medius fignetnr per 40. primi huius, fit alia ichedula icriba*
tur icriptura aliqaa diftinde,flt erigatur hac ichedula fiiper lineam k t,& dirigatur ui-
fus ad medium illius fchedular,tunc enim uidebitur icriptura benediftinda, fed icripfu
raquteeft circamedium ichedular uidebitur diftindior, quim qu* in extremis.
Deinde parum obliquetur ichedula fuper lineam t k, in puncto q, 3t tunc axibus uifuu
cadentibus foper medium pundum ichedula:, inuenietur ichedula minus diftinda cfj
prius, cum fchedula fuerit iuper linea m k t,& fi ichedula plus obliquatur,indiftindior ui
debitur icripcura,& quanto magis obliquabitur ichedula. tanto magis latebit utrumcp
. uifutnuel alterum ipia icriptura. Et fi fchedula iecundum alterum iuorum extremo-
rum ponatur in pundoq,fii erigatur iuper fuperficiem tabui* iecundum lineamk q,
tunc patet qudd medietas ichedula: cadet exrra tabulamiuifui itaqj cadente in pundum
q, tunc uidebitur icriptura arca pundum qdiftindior,m/nus autem iecundum partes
remotiores ab illo, & fi obliquetur ichedula iuper lineam qk, apparebit latentior icri-
ptura iecundum quantitatem obliquationis fit diftantiar i pondo q, & fi ichedula pona
tur fuper lineam cd, tunc uifibus diredis ad medium pundom ichedula: erit lifera legi
bilicer diftinda ,£t fi obliquetur ichedula fuper pundum z, fit tunc erit (criptUra laten-
tior quim prius,St taliter peracio circa lineam c d,quod prius adum cft circa lineam t
k, idem accidet indiftindione icriptura: proporcionaliter illi fpacio diftantiar, eti-
am fi elongetur fchedula ultra longitudinem tabui*: quod autem accidit ambobus uifi*
bus in hac cxperimentatione,ecfam accidit uni uifuum altero cooperto. Patet ergo ex
his experimenta tionibus exemplum eoru qu* p plura theoremata proponuntur, fit pa
tet manifeftc,qudd pluribus modis accidit unam rem uideri duas, patet ergo propoi
ficum.

C IX*

In uifione diuiiionis,cotinuationis 8f numeri error accidit uirtati diftin
di'ua2 ex intemperata difpofirione odo drcunftaniiarum cuiuslibet rei
uifait

Ex lucis enim debilitate error accidit in pnemifiorum uifione, quia fi de node uidc
atur tabula, in qua fint linearum obicurarum protradiones, uidens illas putabit for*
te diuifiones efle uel fciffuras,fit ita continuum etiam putabitur diuifum, fit partes eiuf
dem continui plura putabuntur utdiuiia jcum tamen tabula fit continua fit tantum
ima.Similiter ociftente uifu in forti luce reflexa, fi ipfi uifai adhibeantur corpora modi*
cumdiftantia apparebunt continua unum , propter reflexionem lucis fad* ab illi?
corporibus.qu* non permittiteorum diftantiam difeerni. Ex intemperata etiam di*

D a flantia

PBRSPECTfVAH VITELLIONIS
ftantfa fit error in prrcmil7orum uifione. Pariete enim aliquo i longe ufio, 17 in parte
«ius fuerit color rcnebrofus, forte putabitur fada elle diuifio illius parieris fecundum
fpacium iH/uscolom.Sfmil/tcretiam fi prope parietem illum crefcat alt/tudo herba-*
enm,ot conlaeuit in talibus crefcere hardera,uidebitur forte paries fircundu hzderac fpa-
ciumdimius.Et fimiliterlucefolis (uper uifom album parietem fplendente,fi fortis um-
bra aliqua Jucenvparieris diuiferit^ritimabitur paries diuifus:& ita his modis omnibus
&' etiam pluribus alqs hoc poteft aeddere, ut. continuum teftimetur diuifum,& ex con*
fcquenti unum plura, Sed di quandoqj ipfa fecundum ueritatem diuifa aeftimantur con
tinua,&! plnra arftimanturunurr^corporaenim i longe uffa in colore fimilia,&adin*
uicein propinqua creduntur Cotinua,8<1ppter hoc rabula parietis uel fcamni apparet
qncpcotmuae, cu modica dtuifionead inuice funtdiuifir,8ific diuifa teft/mant ,ppter
remotionem i uifu efle Continua plura teftimanturunom. Ex inordinato etiam litu
oppoflrionfs oritur etrorinprarmillbrum uiGone.fi enim alicuius corporis magna fue
rit i uifuobKcjuatiOjin quo fuerint panda fenGbilia,nigra uel ualde tenebrofa ,’ifla qde
diuifiones putabuntur,inter partes illispundis confines, indicabitur diuifio Si plurali*
tas,licet in eis Gt continuitatis unio,fiC fi in hoc corpore fuerint linex tenebrofie fenfl*
■bileSjiudicabuntur partes eius cotinuales diuifar.cum fint continuar,& plures,cum fint
unum.SimiJitcr etiam ex obliquatione (itus plurium parienim ad uifum, quorum unus
cft ordinate poft alium modicum diftans ab illo, ita quod uno afpedu uideri ualeant,
forte occultabitur uldenti fpadum quodeft inter illos parietes, Si putabuntur contio
nui fiCunus cum fint di aer Ii Si pluresrqaaliter autem propter fitum eius erret in nume-
ro,fatis patet per propofitionem prarmiflam. Ex intemperata etiam magnitudine er-
ror accidit in uifioneprarmiflbrum: adhaerente enim capillo uafi uitreo, apparebit ui-
rmm ffflura,qudd ideo accidit, quia capilli paruitas non (entitur efle corpus. Si enim Ia- .
teret fuperuasuitreum calamus aut corpus aliud fenfibile, non propter hoc fentiretur
Uitreum efle filTum.Similiter etiam accidit error in continuitate,fi enim folia pergame-
ni tenuis aequalis altitudinis,ita quod in eadem plana fnperficie conftituta, & bene co*
pretfa.SCuioens ignoret efle folia,iodicabit ipfa efle continua, & unam fupcrficie ipfo-
rum; huius autem error caufaeft paruitas quantitatis fparij & aeris, fecundum quod
fe illa folia contingunt,& fic etiam numerus inducit errorem. Ex intemperantia quoqt
foliditarisfiterrormpraemxflorum uifione,incorpore enim magnar raritatis ut in eri-
(lallo pura, fl in aliqua parte faperficiei fiar fuerit linea magna, apparebit totum cor-
pus filium fecundum locum in quem cadit illa linea, & ita aeflimanir uitrum difeontf*
nuum Si plura,SC hoc accidir propter perfpicuicatcm qus accidit ex defedhi foliditatis.
Et fi duo corpora talia fuerint modicum i fediftantia reputabuntur continua 8i imum.
Ex in temperantia etiam raritatis accidit error in prarmiflornm uifione idem, qui ex de*
fcdu foliditatis ,augmcntatus tamen propter exceflum raritatis.Ex paucitate etiam
temporis accidit error in prcemiflbnim uifione. Si enim corpus in quo fit linea nfgra
fubito a uifu diuertatur .putabitur illa linea efle partium diuifio : corpora contigua

aut ualde propinqua fubito uidentur, aeftimabuntur continua, ficut acciditintabulis
fcamnorum fubito infpedis, di fit error in continuitate Si numero. Ex intemperantia
& debilitatis uifus error accidit inuifione praemiflorum ,Si fecundum modos temporis
breuitateaccidentes,quod enim fano uifufaccidit in temporis breuitate, debili accidit
in maiori-tempore ,Si forte femper durante uifus dcbilitate,& etiam ftrabo uel debilis fn
uno oculo unam quandoqj iudicat duo, tunc enim res uifa habet diuerfitatem fi tus re*
(pedu talium duorum oculorum, quxdiuerfitas facit ut unum uideatur duo, ,etiam per
duos oculos fano s & aequalis ordinatiotiis,ut fatis demonftratum eft ex pr*nuffis, pa-
tet ^rgo propofitum.

Motos

/

LIBER. .'QJTAB ,TVSS fo7

' CX. ^

Motus comprehenditur a uifu ex comprehenfione rei mota* fecudum di
uerfos fui litus in inflantibus diuerfls,inter qua: fenfibile cadit tempus .

Quoniam enim moueri eft aliter fe habere nunc quam prius, palam quod facilitas
huiuscomprehenfionismotusfitexcomparationerri motxuifxadaliod uilibile qut-
cfcens non motum, quando enim comprehenditur litus unius rei mobilis refpedu alte
riits rei uifibilis,tuc etiam comprehenditur diuerfitas litus eius refpedu illius uilibilis,
di tunc comprehenditur motus, femper itacg motus comprehenditur i uifu aut ex com
prehenfionediucrlitatis&! mutationis litus rei uifar mota: refpedu alterius uilibilis qd*
eft remotius aut propinquius uilui,ipfo tamen uifu in parte altera exiftente in luo loco,
aut comprehenditur motus experimentatione litus alicuius partis.uel partium rei u ifx
mota- refpecfhr illius uilibilis non fecundum fe totu moti, & hoc modo comprehendit ui
fus motum circularem. Similiter etiam accidit motu i uifu comprehendi, (7 res uifa mo-
ta ad multa immota uifibilia coparetur. Cum enim uifus fuerit quietus, 8i res uila mo
ta ad ipliim uifum uel i uilii,tunc uifus fentiens diuerlam locationem corporis moti,fen
tietmotum,autentmmobfle,t5celongabfrurautappropinquabituifui per motu, quia
ut patet p huius, elongatio aut appropinquatio i uilufentitur,palam quia motus tuc
fentitur,quod fi mobile mouettanru circa uilum cirailariter, tuc enim itiperheies uili*
ua oculi non fit tota lphxrica,ut patet per -f.tertrj huius,quoniam lola fuperficies fora*
minis unex eft uifiua Si non alia: partes fuperficiei oculi;aliqua icacp re mota circa ui*
fum,neceflario mutabitur litus partis oppofitx uilui,& cum illa parsrei uila» motx fue-
rit mutata,fentiet uilus mutatione eius.SC lic tiiiuexiftente in luo loco fentiet uilus mo'
tum rei uifx. Et (i ipfe uilus moueatur,c5prehendet tamen motum fecundum quelibet
iliorum modorum.uc cum uifus fentit diuerlitatem litus rei uifar motx, fentiedo quod
illa diuerlitas non eft propter motum ipfius uillis: fed tamen quado ipfe uilus di etiam
res uila ambo mouentur, adhuc difeemit uiliis motum.quoniam diftinguit inter diuer*
litatem illi uiliis qua: accidit rei uilce motx propter motum ipfius rei, uel propter motu
iplius uifus,quoniam moto uilii fentiuntur etiam forma: corporum exiftentium no mo
tx,nec femper iudicat uilus rem uilam moueri propter liii iplius motum , nili forte per*
ucniat in uiliim forma rei uifx motx,6<: quoniam motus omnis eft in tempore, non con
prehendit uilus motum nili in tempore,diuerlitas enim litus partium rei uifx non po-
te ft comprehendi nili ad minus in duobus inftantibus,& quia inter quxlibet duo infta*
tia cadit tempus medium, palam quod inter illa duo inflantia cadit tempus tnedium,&
quoniam uirtus uiliua eft uirtus fenlitiua ,opor tet tempus ab ipfa coprehenfum efle fen*
Imile,^ hoc proponebatur,

<Ja£l*

Qualitas motus comprehenditur i uiiu ex comprehenlione /pacfj fupeif
quod mouetur res ipfa uifa .

Siue enim motus fit furfutn uel deorliim,uel etiam fuper iplam luperfidem horizon
tis uel xquediftantem illi,liue etiam no fit motus redus,fed lit tortuofus uel circularis,
femper qualitas motus comprehenditur i uilii ex comprehefione fpacrj fuper qitod mo-
uetur res ipla:qualitas enim motus redi comprehenditur ex comprehenlione Ipacij ft i*
per quod mouetur res uila fecundum fe totum motu redo,& tunc uifus certificat quali
tatem motus per ceryficationem figurxfpari} diredi,luper quod fit motus in fuperff-
cie horizontis,aut in fuperficie xquediftante ei, aut in linea perpendiculari uel obliqua
fuper fuperficiem horizontis . Similiter quocg qualitas aliorum motuum ut tortuofi di
circularis comprehenditur i uifu ex comprehefione Ipacij tortuofi uel etiam circularis,
in fuperficie horizontis,aut xquediftante ipfi aut ereda luper ipfam.motn enim com»
politum ex circulari di redo uilus comprehendet ex comprehenlione Ipacij tortuofi fu*
per quod fit motus. Comprehendit etia uilus diucrfitate &xqualt'tate motuum fecun
dum uelocitatem di tarditatem cx comprehcnliondpaciorum fuper qux monentur ui
fibilia cognitione temporis in quo fiunt illi mqtds,cum enim uilus fentit quod

D 3 unum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
unum fpadum p crrra nlitum ab uno mobili in aliquo tepore, cft maius alio (pacio per*
tranfito ab alio mobili in eodem tempore ,ucl cum uifus fenferit squalitatem duoru fpa
ciorum cuinarqualita te temporum duorum motuum, tunc enim (tante auxilio uirtutia
animsdiftindius& cognoicitiune (entiet uelocitatem unius mobilis fuper alteru duo*
rum motuum insqualiatem,patct ergo propofttum .

CXII.

Quies comprehenditur a uifu ex comprchenfione rei uifsein eodem loco
& imi tempore fenfibili permanente.

Cum enim uiius comprehendit rem uifam in eodem loco,& fecundum eandem fita
in duobus inflantibus diucrfis,inter quae cadit medium rem pus fenfibile , tunc compre-
hendet rem in illo temporcnon fuifle motam, per 1 i o. huius, quonia fi illa res in illo tem
pore fuit mota,mutatus eft fitus eius,comprehendet ergo illam rem quiefcentem: com-
prehenditur aut fitus rei uifar quiefcentis non mutatus refpedu alterius rei uel aliarum
rerum uifarum,& etiam refpedu ipfius uilus, fecundum hunc ergo modum fit compre
henfio quietis uiiorum corporum i uifu.SC hoc proponebatur.

CXIII,

Eft locus in quo oculo manente tranfpofita re uifa,res femper arqualis.
epparec. %

LIBER. O.VAR .JTTftk »os

in qua fit cetram uifus mota fui circuli periferiam pro centro habentis cen-
trum oculi, femper «qualis uidetur . Idemcp accidit fecundum lineam i cen
tro circuli eredam centro oculi fuper circuli luperJiriem eleuato.

Elio ab aliqua magnitudo uila ereda Iuper quamcuncp iupcrffciem planam data,
in qua fitcetrum uifus quod lit g,& ducatur ab altero terminorum
rei uife ad centrum uilus linea g b,&' fecundum quantitatem lincte
g b, centro exiftente pundo g,deicribatur circulus,dico quod fi fug
illius circuli periferiam moueatur magnitudo ereda,qu« eft a b, ^d
icmper uidebitur «qualis ocnlo iplo in puncfio g exiftente, quia eiri
linea ab, eft ereda Iuper iuperficiem planam g diffinitionem , quia
femper radt angulum ab gredum,& femper angulum aquale cu
linea gb> utcuncp contingit duda linea a b,fed Si linea gb icmper
eft aequalis fihqpfi , cu fit diameter circuli, & linea a b femg eft aequa
Iis fibtjpfi: ducatur itacg linea a g,palamtp q> g totam circuli perife
riam angulo a b g eft «qualis libijpfi, ergo per ao. huius, magnitu*
do a b, femper uidebitur aequalis quod eft pr imum propofitoru,dus
catur iterriq? linea gei centro oculi erecfia iuper fuperficiem circa*
l/,erit ergo linea g e «quediftans linete ab.per 6. undecimi, & cen*
trum uilus eleuetur fuper fuperficiem circuli fecudum aliquod pun
cflum Iine« g e quod fit e, in quo figaair uiius,dicqquodadhuc ma
gnitudo a b,mota iuper drculi periferiam «quediftaqter lineae g e,
iemper uidebitur aqualis. Produdis enim (ineis ae&be,patetg
4.primi .quoniam angulus a,eb iemper eft asquaUs fibqpfi , cum enim angulus bg e,ftt
iemg «qual is fibtjpfi.erit bafis b e fibqpfi femper aequalis, &: angui? e b g «qualis libijpfi
ergo etia angulus a e b eft iemper «qualis ubijpfi,ergo & bafis a e,& angulus a e b , erit
(emper «qualis fibijpfi, ergo pio .huius , linea a b, femper uidebitur «qualisfibijpfi,pa*
tet ergo fecundu propofitorom,& hoc eft totum quod proponebatur,
cxvi.

Quantitas oblique incidens fuperficiei plan«,in qua eft centrum uilus,
uniformiter mota fecundum circuli periferiam,cuius centrum eft centra ui*
fus, femper «qualis uidebituriipfa uero exiftente «quali femidiametro iU
lius circuli mota quoqj fecundum fui fitus «quedi ftantiam per illi us rircu=
li periferia quandocp «qualis qfiqp minor quaftocp maior uiiu apparebir.
Sic circulus a d, cuius centrum ut pundume,&; in dus periferia fumatur pundum

d, fit quocg linea d z,obliqueinddens fqperficfei cuculi,& fic centrum oculi in pundo

e, centro circnli. Dico quod fi linead z,tn cirdiji periferia trafponatur uniformiter, ita
ut cum lemidiametns illius circuli femper «qualem contineat angulum.quod tpia fem
per «qualis apparet,hoc autem poteft euinciper 4,primt,ut in pracedenti , Eli enim
angulus dez.femper «qualis fibijpfi.ergo fieres femper uidetur «qualis per 10. huius,
& hoc eft propoli tum primum.RurliimliLcentrumuilus in pundo e,cetro circuli a d,
cuius lupficiei oblique incidat linea d z,qu«ly; «qualis femidiametro de, moueaturq;
per circuli illius periferiam fecundum fuiprimi fitus «quediftantiam,fit'qj exempli cau- ,
ia angulus zdeacutus. Dico quod aliquando apparebit linea mota qu« dz «qualis
fu« propria: quantita ti.utpote lemidiametro circuli aliquando maior aliquado minor, .
ducatur enim i centro circuli e.linea e g «quediftans line« d z.g 3 1 . primi , qu« fiat x*

ualts eidem per 3 .primi,ducatur quoqj i pundo g, perpendicularis iuper drculi iug-
ciem per 1 1 ,undecimi,qu« fit g i,& ducatur a centro circuli linea e i ,qu« producatur
ad periferiam circuli in pundum a,&: i pundo a ducatur linea «quediftansline«eg,
per 3 1 . primifcju« fit ab , qu« refecetur per j .primi * «qualis linesd z, eritfcp linea a b
«quediftans line« dz per 3 o.primi.uel per ? .undecimi» Si quoniam linea g e , ut patet
cx hypotliefi eft obliqua iuper fuperficiem circuli a d & * pundo g, in a&e dato ad fub«

ftrata

PERSPECTIVAE VITBLVIDNIS
ftrata planam fuperficiem incidit linea g i , pcrpendiculariter,S<! linea g e oblique',tuc
patet per 3 p.piimi huius,quonia angulus gea minimus cfto-
tanium angulorum fub illa linea obliqua g e,& quarcuncp linea
in fubftrata foperficic circuli a d , protracto contento , 8C omnis
angulus dii propinquior eft minor remotiore, & duo anguli ex
utraejf parte illi aequaliter approximantes funt inter (e aequales,
dico itaque quoniam linea a b omnium lxneanrm aqualium
Jineardz tranfpofi tarum fecundam periferiam circuliminima
apparebiqducantur enim linea: gz,gb, eb,zc, e d,quia iraq; li
nea g e eft arquediftans line* a ba *qualis,patet per 3 4. primi,
qm linea g b eft aqualis linea: ea reqtiediftans eide, funt er*

go duaefugffcies galellogram* q e g b a& e d zg, qa uero an*
gulusgeaeftacunis,utpatetex prarmiflis^pterobliquarione
linea: g e, fuper fuperficiem circuli a d,erit ergo angulus g e d ob
tufusper 1 3 .primi,quoniam enim ut patet per 39. primi huius,
angulus gea eft minimus omnium angulorum contentorum fub quacunqj linea in fu
perneie ciraili duda ad pundume.Sf fub linea g e, eft ergo angulus gea minor quaYn
angulusged, ftd ramen linea e z fit diagonus paralellograma: e d z g, palam quod an
gulus d c z eft medietas g c d anguli per 4.primiJ& fimiiiter angulus b e a eft medietas
anguli g e a,angulus icacp d ez eft maior angulo bea, ergo per 20. huius, quantitas li*
nea: b a minor uidebitur quam quantitas lines zd, di per prsmifla aim angulus gea
fit minimus omnium angulorum qui continentur fub linea g e,6i aliqua linea in fupern
cie circuli a d e producto, paia quia medietas anguli g e a eft minor medietate cuiusli*
bet aliorum angulorum, quantitas ergo line* a b.uidebitur omnium aliarum fibi xqua
bum quantitate minima, di quoniam angulus z e d eft maximus omnium illorum alio
rum angulorum,uidebinir ergo quantitas z d maxima,mediac uero modo mecfib uide*
buntur, di quantitates in circuli periferia aequalitir squediftantcs ab utraqp quantita*
tom,qu2 ab& d z,ad inuicem uidebuntnr srqiiales,a hoc eft propofitum.

cxvii.'

Re uifkfaper fuperficiem planam erecfta fixa manente, & centro oculi fe*
eundum circuli periferiam moto circa putftum in quo, rea'
A tufa fuperficiei coiungitur,res femper aqualis uifui appa*

/ \ rebit,quod non accidit centro uifus moto fuper periferia

/ \ oxigonia: fed/oms.

' \ Sit a b.magnitudo erecto fuper fuperficiem planam , tangens

\ ipfam in pundo b.fitt# centrum oculi in pundo g,in eadem fuper-

\ ncic, 8C centro quidbn exiftentepundo b fecundum fpacinm bg

\ linea:, deferibatur circulus qui fit g d, dico quod f? tranfponat cen

\ tmm oculi d pundo g, fuper totum circuli g d periferiam , apparc-

V bit ui fui linea a b fe mper arqualis.quoniam enim angulils a b g eft;

\ femper redus per diffinitionem line* fuper fuperficiem ered* , pa

\ lam quia omnes anguli a b g,per 4,primi,funt ubicp aequales , ergo

V\\ per 2o,huius,res uua,quie a b, femper uidebin-ir «qualis , di hoc eft
\ \ propofitum primum, non accidit autem Hoc centro uifus moto fu
\ Vi per periferiam oxigonia fedionis, quoniam tunc quantitas rei ap

B| I 'I paret insquaf»s,qua:fuperipfiiJsfedionis pudum medium eft e-

I p- reda,quoniam fedlooxfgonia habet femidiametros in*quales,Si
J J omnes lineae i centro ufep ad circunferentiam duda: funt inaequa
j / les,appropinquantesenimfemidiametromaiori fiihf maiores, &
J,' approximantes femidiametro minori funt minoreS,irontrar:um er

U® neccflario accidit eis , quod oculo moto fecundum circuli peri-

feriam

LIBER QJVAR TVS* JO?

feriam acddebat,qc? patet per 7,&per 2 o. huius, patet ergo to tu quod proponebatur.

CXVIII.

Re uifa fixa manente oculo uero moto fecundum lineam redam oblique
incidentem quantitati rei uifa:, illa quantitas quandocp sequalis quandocp
inxqualis uifui apparet .

Sic res uiia qux a b,fiC (it centrum uilus pundum e, incidatq? linea eg, oblique li-
nex a b , producatur enim linea a b in pundum g, donec concurrat cum linea cg.fi its
tem producatur linea e g,in continuum & diredum ultra pundum e ad pundum d, (it
illa linea indefinita deg,dico quocj oculo tranfmutato fecundum lineam d g.quonia U
nea a b uidetur minor.quandocg maior, quandocp xqualis, Sumatur enim per 9. fexti,
inter duas lineas b g & a g,linea medio loco ,pportionalis,qux (it exempli caula linea
e g,hoc autem eft poliibile per refedionem linex d g per 3 .primi , ponaturcp centrum
oculi in pundo e,producatui 'c|3 linea e b,& producatur in iuperficie trigonijb e g,i pur»
do b, linea perpendiailaris iuper lineam b a, qux fit b d,qux per 14. primi huius, coctir
ret cum linea e g,ideo quod angulus e g b eft acutus, & angulus g b d redus, concurrat
icacg in pundo d,dico quod moto uifei per to tam lineam e d, femper u/fum b a /nxqua-
Ie ap paret, duca ntur enim linea: a e, a d,SC deferibatur per y .quar ti,circa a e b trigonum
portio ciraili qux (imiliter fit a e b,& quoniam illud quod fit ex duduf linex b g in linea
ag.utpatetper /6.fexti,&ex prxmifiis,eft xquale quadrato linexeg, patet per ulti*
mam terdj,qnonia linea g e eft contingens circulu b e a in pundo e,& d termino quoqj
a,linexg a ducatur linea a z per 2 3. primi, ita ut fiat angulus g a z xqlis angulo g d b,
cadat'qj pundum z in lineam d g.inter punda e fiC g,per 2c>.primi huius.erictg b a z d,
quadrilacerum inferiptibile circulo per 2 1 .terti]', quilibet enim duo anguli ex aduerfe»
collocati ualent duos redos,angulus enim d z a, per 3 2 .primi, ualet angulum z g a, &
angulum z a g,fed angulus z a g,ut pa tet ex prxmiflis eft xqualis angulo g d b,fed an*
gulus dbg, redus cu angulis b d g & d g b, ualet duos redos g 3 2.primi , angulus itacp
d z a cum angulo d b g,ualet duos rcdos.fed omnes anguli quadranguli cuiufeuneg ua
Jcnt quatuor redos , quia quodlibet illorum eftdiuifibileinduosrrianguIos,quon»n
cuiuslibet anguli ualent duos redos.ergo anguli zdb&za b, ualent duos redos, eft er
go quadrilaterQ z d b a circulo inferipti-
biIe,circunferibaturergo et cirtulusp 3 1.
terti) , di per ^.quarti , & fit circunfcripta
portio circuli qux fit bd z a.ducaturfcg Ii*
nea b z,fecans arcum e a in pundo t, feca
bit enim ipfam ideo.quia ut patet ex prx
miflis pundu z, cadit inter punda c&g,
di ducatur linea t a , erit per r <S.primi,an=: -
gulus a t b extrinfecus maior angulo a z b intrinfeco.fed angulus a t b eft xqualis an*>
gulo a.e b per 3 <5.terti]',quoniam cadunt in eundem arcum qui eft b a, portionis circuli
minoris qui be a.angulus itaqs a e b maior eft angulo a zb, angulus uero a z b xqualis
eft angulo a d b,per eandem 3 <5. tertij, quoniam ambo illi anguli cadunt in eundem ar*
cum qui eft a b ciraili maioris qui eft b d z a,angulus i tam a e b maior eft angulo a d b,
centro uero utfus exiftente in pudo d, uidetur linea ab fub angulo a d b. Ipio autem ex
iftente in pundo e uidetur fub angulo a e b, maior itacp uidebitur in pudo e quim in pui
do d per zo.huius.mutato ergo oculo fecudum punda linex e d, femper inxqualis u i-
debitur magnitudo b a, quoniam femper minor fe ip(a,& quanto plus accidit ad pun*
dum d, tanto uidebitur minor, & quanto plus appropinquat pundo e.tanto apparet
maior,codem'cg modo uifu mutato fiipcr puda linex e g, inxqualis uidebitur linea a b,
& minor qj fuper pundu e, qm linex dudx fuper pudum aliquod linex ez,a terminis
linex a b, femper angulus erit minor angulo b e a,qrh angulus i lineis ad ciralferentia
arcus e a dudis p 2 r .primi .maior erit illo coftituto fup aliquod pundo»; linex e g, per
linea tras idem pundu arcus ab altero termino^ linex a b j)dudam,et p linea i reliq uo

E eius

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
eius termino coptiIat5,quiIibct aut anguloru conftitutorG fuper aliquod pundoru ar-
cus c a, per lineas i terminis linea a b produdis eft aqualis angulo b e a,g z6.terdj, er=
go p i o.liuius Jinea a b maior uidebitur centro uifus exiftente in pudo e quini ipfo ex
iftcnrc in aliquo pundoru e g.femg quocy minor apparebit feamd&quod plus appro»
ptnquat pudo g , ita quod centro uifus exiftete in pudo g,no uidebitur nili unicus eius
punctus qui eft a,ut patet per 4.I1UIUS, maior aut femg apparebit feciidum quod appros
pinquat ad pundu c,&! ad pundu uero z apparebit ucut ad pundu d aequalis (ibi, ideo
quod anguli bd a & b z a, per z6.tcrtij,utfupra patuit funt aquales, &qm ut iam often
dimus uini exiftente in pOdo g,no uidebit linea a b,imd tota linea g b,ntfi pudus, pala
quod inter puda g Si z modica fit additio, femper ergo nidebitur linea a b in*qualis,in
arquediftantia uero i pundis d Si z,uidebitur etiam aequalitas ,ppter aequalitate angu-
lorum proucnienuu hinc inde , quod fi linea e g no ex parte pundi a, ied exparte pudi
b,c5curratcu linea a b, eadecft demonftratio.Sitem ut fiat cocurfus ficut prius in pun*
do g ,& fit linea g e medio loco ,pporttonalis inter lineas a g &g b , & copulatis lineis
ea&eb trigono a cb, circunfcribat portio circuli qua: (it ut prius b e a ,Si ducant lineae
db&d a,fttcp centra oculi fuper pundu d,& ad pundu in quo linea a d interiecatrircu
ferentiam circuli bea qui fit z,ducatur linea b z,5t quia angulus b z a eft maior angu-
lo b d a, p 1 6.primi,& angulus bea aequalis eft angulo b z a, per z6. terti], qm cadunt in

eudem arcum a b , pala
quia angulus bea ma-
ior eft angulo b d a ,uu
iiif itac£ centro exiften
te fug pundu e maior
apparebit linea b a, per
zo, huius , quonia ipfo
exiftente in pundo d,
in pundis uero d & z
apparebit linea a b, xq
lis>& omnia alia accidunt,ut prius declaratum eft, patet ergo propofitum.

CXIX,

Reuifafixamancnte,uifuautem moto fecundum lineam zequediftante
rei uifar, eius quantitas quandocp tequalis quandoqj inaequalis uidetur.

Efto uifa magnitudo qua: fixa & immota gmanens fit a b,diuidatur£g g aequalia in
pueto c,8i erigatur fup er ipiam gpendicularitcr linea e z, per / 1 ,primi,fit'cg centru ocu
b in pudo z , ducaturfcjj linea za&z b,ita utcopleatur trigonu a z b3& deferibatur cit
ca a z b, trigonu portio circuli a z b,g y.quartqducaturcp linea z d,paralella linea b a,
per 3 i.primi,moueatur<$ centru oculi in pundu d,2C ducant linea d a di d b>& ad pun
dum in quo linea d b5(ecat circulu quod fitl, ducatur linea a l:p,ala ergo g 1 <S,prirm' qm
angulus a 1 b maior[eft angulo a d b,fed g ztf.terrij, angulus a z b eftaqualis a 1 b,eft er-
go angulus a z b maior angulo a dis, maior ergo uidebit magnitudo a b,in centro ocu
Ii exiftente in pudo z quam in pudo d,ut patet per zo,huius^ fi linea z g fit aequalis li
neaez o,aequalis uidebitur linea ab in pudis d Si g,hoc e in cocluditur g 34. &g 4. pri-
mi,dudis lineis gb8Cg a,angulus em b g a aequalis eft angulo bda,8C fimilif patet hoc
in alijs pundis aequaliter diftantibus i pundis d & g,ergo g zo.huius,in talibus pudis
uidebitur linea b a ,(cmg fibqpfi aequalis.Si uero linea z h fit minor quim linea z d, tuc
ducatur line* b h & a h,&,pdncatur linea a b ultra pudum b ad pundu q, qfh itacp an*
gulus z c b eft redus,patet per 3 z.primi,quoniam angulus z b e eft acutus , erit ergo g'
1 3 .primi ,angulus q b z obtutus .ergo g zs>.primi,angulus h z b eft obtufus, ergo g 16.
primi,angulus g h b eft obtufus,linea ergo b g eft maior qtrim linea b h,per 1 9. primi,
quia uero per 4.primi>fiCexhypothefi patet,q3 angulus zba eftaqualis angulo zha,
angulus ergo b a heft maior angulo hb a, ergo g 19. primi, linea bh eft maior cp linea
a h,ergo di linea b g eft maior quam linea a h,& quoniam lineae b g & a h (e intermeant,

fit pun

LIBER -Q.VAR TVS. ’ r - , lo

fit punctas fcctionis p,& quoniam per 3 7,primi tr/gonub g a eft aquale trigono bha
ablato ab ambobus cornum' trigono bp a, remanebit trigonum bhp aquale trigono
a p g,fcd per| 1 y.primi, angulus a p g eft atqualis angulo b p h ,crgo per i4.1exti,erit p
portio linea: a p ad lineam b p, ficu t linea: h p ad lineam g p,ergo per 1 3 .quint/.erit pro '
portio totius linea: a h.ad totam lineam b g,(?cutlinea a p ad lineam b p , fed linea a h
eft mrnor quim linea b g.ut patet ex prami(fis,ergo linea a p eft minor c|? linea bp,li*
nea ergo bpefl: maior quim linea a p,qua:eft ergo proportio lincte bp ad lineam a p,
eadem (it linea a p ad lineam po, per 3. primi huius, erit ergo ex pramiflis linea p o mi
nor quamlinea p b.abfcindatur ergo linea poa linea p b,per3 .primi, Seducat linea h o,
quia itacpg 3, undecimi quinti,& ex pramif- ^ ,,

(iscftpportiolineaeap adlineam pOjficutli’ O r . — \tt~~

nete h p ad lineam p g,& angui ns h p o eft a:- \ / \

qualis angulo a p g,per »j-.primi,palam per / \ Vn!

6.(exti, quoniam trigono h p o & g p a funt / \

ad inuicemaquiangula, eft ergo angulus o / '/y^ \ \\

hp aqualis angulo a gp.Siquonia linea ho L \ \ \

diuidit bafem b p trigoni b h p, patet per 29. I \ \ \

primi huius,quoniam ipla linea ho diuidit e* ( \\

uamangulubhp,eftergoangulusbha ma l / X/ ~~~

for angulo o h p,ergo 8d eius aquali, icilicet 6\ /r

angulo b g a.quatitas ergo linea b a per zo.-q^: — p

huius,maioriudebiturcentrouifus exiftente

in pundo h quam in pundo g, minor aut qu5m in pundo z * Sit enim purtdus in quo
linea b h fccct circulum b z a,pundus x, & ducatur linea a x, patet quocp per 1 <5 .primi,

& per 26. terrij, q m angulus b z a cft maior angulo b h a,8i quoniam quibulcucg pudis
linea: d z uel lincte z g datis,fiuc linea d z (it maior quim linea z g, fiue minor , femper
eodem modo poteft demonftrari, patet ergo propoficu .angulus em bza.fit maximus
omnium illoru angulo{s:,& ei .ppinquiores fiunt remotioribus maiores , & cequaliter ab
illo diftatcs fiut aquales, & fecundu llloR-angulop; quatirates g 2o,huius,mutat quanti-
tasreiuife. cxx.

Sunt loca in quibus oculo tranfpofito arquales magnitudines comuniter
loca quseda direde occupantes,qnq? a:quales,quadocp inxquales apparet.
Communite r dicuntur magnitudines occupare loca ilia .quando una applicatur al
teri taliter,quod nihil cadit medium inter ipfas.necp fecudum redam lineam aqualiter
utriq) magnitudinum coniundnm.necp fecundum lineam alteri illarum magnitudinu.
angulariter incidentem.Sit itacp centrum oculi in pundo d , & fint uiia magnitudines
aquales qua a b & b g, communiter occupantes locum b,& i pundo b fuper ambas iU
las magnitudines ducatur linea perpendicularis, qua: (it bz.fi teg oculus difpofitus in ta
b’ (itu, ut linea z b protrada ultra pundum b, concurrat cum pundo in quo eft centru
uifus,& quoniam in quocuqj pundo linea: d z.pofito cctro uiflis
erunt femp per 4.prirni,anguli bdg&bdain centro uifus aqua*
les,manifeftumergop 2o.huius,quoniam fecundum quemcucg
pundu linea dz pofito centroanTus d.femper magnitudines b g
& a b aquales apparebunt, tranfponatur autem oculus ,8i fit ex*-
tra lineam d z in pundo e.dico quoniam magnitudines a b & b g
inaquales apparent,producantur enim linea e a,e b, eg,& deferi
batur circa a e g, trigonum circulus qui (it a e d g,per j- .quarti, &:
adijeiant linea eb,linea reda b i,attingens in parte oppofita pun
di e circunferentiam,quia itacp arcus a z eft aqualis arcui z g, g
ultimam (exti,propterreditudinem angulorum ad pundum b,
fiue pundum fit centrum deferipti circuli (iue non, femper enim
c*hypothcfi,&: per 3 . terti) ,& per 4,primi,8i: per 27,certij,erit arcus d q maior arcu i g,

E 2 palam

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
palam ergo,/! em per ultimam foeti, quoniam angulus a e 1 maior eftangulo leg,fed
lub angulo a e i uidetur magnitudo a b,ab oailo exiftente centralltcr In puelo e, & fub
angulo i eguidetur magnitudo b g, apparet ergo a b maior quam b g , oculo taliter di*
fpofito.utpatetpcr 20. huius, palam etiam per i is. huius, quod fio culus tranfmutetur
fecundum lineam e 1 illis magnitudinibus oblique inddentcm,femper uifie magnitudi
nes a b& b g apparent inarquales, & quanto propinquius ad pandum b, tanto appa*
rent maiores per i^.primi,& per zo.huius, quoniam femper angulus extrinfecus ma*
ior fit angulo intrinlcco (ibi oppofito , Si ergo fuper circuli circimferentiam centmm
uilus moueri intdligatur, femper inxquales apparent magnitudines a b & b d,& fi ocu
Ius extra circulum ponatur non exiftens in diredo lincard z, adhuc inarqualcs apparet
magnitudines a b&bg, quod cft propofitum ,

CXXI.

Sunt loca in quibus pofito uifu arquales magnitudines communiter lo*
<z quardam oblique occupantes, quandocp aequales, quandoqj inaequales

apparent.

Efto centrum ui(us in pundoz,&fint dux magnitudines squales uifie,qux gd Bt
b g, qux communiter loaim unum occupant nullo medio corpore interpofito, oblique
ramenconiungantur fecundum anguIumquifitdgb,huncergo angulum perxqua*
lia diuidat linea g z,per 9, primi, dico quod in quocuncp pundo linea: z g cadat oculus,
femper aequales uidebunrur magnitudines bgfifgd,poteft autem hoc conuinciper
4, primi A' per zo.huius, femper enim angulus gzb eftxqualis angulo gzd. Idem
quocp accidit fi fuper titranqj illam linearum bgfiCgd iemicirailus deferi-
/ \ batur,& i pundo fedionis illorum femicirculorum qui fit z, ducantur li*

f \ nex z b & z d,z g,tuc enim quia uterq? angulorum b z g & d z g,erit redus
_ \ per jo.tertq, patet ergo per zo.huius, propofitum. Idem quocp accidit fi ul*

y v \ tra pundum fedionis lemicirculorum linea g z producatur, 6C in eiuspun*
\\ do z centrum oculi ponatur. Sed cft etiam locus in quo illa: magnitudines
-Dy datae aquales quae funt b g Si g d,uilui inarquales apparent.ad qua inuenien
/ dum, circa 1 ineam g b Iemicirailus defcribatur,qui fit b z g, & circa linea g d
J portio maior femicirculo qux fit g d z, pofiibile quoeg eil hoc fuper g d, de
/ feribere portionem circuli capientem angulum dato acuto angulo requalem
\ / per 3 z.terrq.Sed illa portio maior cft fenucirculo per 3 o. terti] , fic ergo de*

\ / lcripta,&: fitgz d,& ducantur linea: bz&gz &dz,angulusitacpbzg,ell

£v redus per 3 o. ter tij'A angulus g z d, acu tus per eandem 30. fed fub maiori

unam magnitudinum ,& femicirculi fug alteram coftituti, & hoc eft quod proponitur.

CXXII.

Eftlocus in quo inarquales magnitudines comuniter loca quadam obii*
feyw que occupantes, quandocp inarquales , qncp aequales apparent.

/ \ Sit ut in prarcedente centrum uifus in pundo z, & fint dux magnitudi

' \ nes quarum maior b g, minor uer o g d.coiundx fecudum angulum d g b,

tz. \ qui diuidaturg9.primi,perxqualia,duda linea gz,dicoq> oculo exiftete

^ X. \ (uper quodcuqj pundu lines z g > femg magnitudines bg&gd uidebutur
^s\ inxquales,& b g maiorjdudis em lineis bzad z, anguli ad pundu z fiunt
imtquales,8f maior ari maior bafis iubtenditur.g 2 6. primi , qrh fi detur q>
/ illi anguli fint xquales,erut trigoni b z g & g 2 d xquiaguli fi i xquilateri,
. / quod eft c5tra hypothefim.pala ergo q> illi anguli erut inxquales,uidebun

^s. / tur itaq? per 2o.huius,ilIx magnitudines inxquales , fit! maior uidebitur i*

Uidentor aqu»les,deicribaair em ficut in prarmifia circa linea bg maiore ipfa^ portio

maio|

LIBER Qj AK TVS, II f

maior femicirculo qua: fit b zg,& ducant linea? b z St! zg,& circumlcribantur linea: g
d, minori portio iimilis portioni b z g,hoc eft angulum aqualem angulo b z g,capierv-
tem,fir quoq? communis punctus iftarum fedionum pundus -zfiC ducantur lineae z b,
&zg,zd,quia itacg angulus d z g.eft aqualis angufo b z g, quoniam in fimiles cadut
portionesjoculi itacp centro pofito in pundo z,qui eft pundus communis fedionis it
larum portionum,magnitudincs b g Si g d arqualcs apparent, qd* eft propoli tum*

cxxm.

Sunt loca in quibus centro uifus pofito sequales magnitudines erecfta: fu
perfubiacentem planam fuperficiem, quandoqj aequales, qua ndocp inze*
quales apparent*

Sint duae magnitudines a b,& g d, aequales & eredae fuper fubiacentcm ipfis planam
(uperficiem,dico q> eft locus ubi polito centro uifus magnitudinesab 8igb, apparent
aequales. Ducatur enim inter iplas in (iibieda plana iiiperficie linea reda ,qua: fit b d,
qua: diuidatur in duo aequalia in pundo e, per i o.primi ,& i pundo e protrahatur per-
pendiailariterlineaez,tuperlineambd,Lneademluperfide per 1 1 , primi, dico quod
fuper lineam e z, perpendicularem iuper lineam
d b exiftente centro uifus fuper magnitudines
a b.SC g d, aequales apparebunt. Sit enim oculus
in pundo z>& ducantur lineaza,z b,z g,z
d,quoniam ergo illorum trigonorum b e z, & d
ez.latus be,elt aequale lateri d e, & latus ez eft
comune, anguli uero z eb,& z e d,(unt aequales,
quia redi, palam per 4.primi,quoniam linea z b
eft aequalis linea: z d. Sed & linea a b, eft aequalis

lineae db g hypothefim,& anguli gdz.fiC ab z, , .

funt redi per diffinitionem lineae fuper fuperficiem eredae, erit ergo per 4. primi linea
z a,aequalis line» z g,& reliqui anguli reliquis angulis, angulus ergo a z b, «qualis eft
angulo g z d,ergo per z o. huius aequales apparent magnitudines a b,ix g a» aico etiam
q>'qnandoqj inaquales apparent ipfe magnitu
dines a b, & g d, remanente enim praemifla di* v.

ipofitione in eadem (ubftrataiuperficietranfe / — "

mutatur centrum oculi extra lineam e z,& fiat / X

in pundo i,bL ducatur linea i e,ad medium pun /

dumlincaebd,&ducanturlineatia,ib,ig,id, [/

erit'qj per 14. primi linea i b, maior fp linea i d, I/ ■

ideo quod angulus b e i, eft maior angulo dei, D^— - — — U/ — - - —

aequis inter fe lateribus cotento, abfeindatur G

ergo i linea i b, aequalis linea: i d, per 3 , primi,

fitfcg linea b t,aequalis linea: lincte i d,SC ducatur linea a t, quia itacp per diffinitionem U
nex fuper fuperficiem ereda: anguli i b a,&: i d g funt aequales, quia redi.erit per 4.pri*
mi angulos b t a, aequalis angulo gi d.Sed angulus b t a, per 1 6. primi, eft maior angu-
lo b i a, quia eft extrinfecus; trigono a t uangulus ergo g i d, maior eft angulo b i a, ergo
per zo. huius, ui(u exiftente in pundoi maior apparet linea d g, cp linea a b,& eodem
modo de quolibet pundo extra lineam z c dato,demonftrandu:uariantur aute magni-
tudines in ui(u (ecundum approximationem ud elongationem ab altero ui (1 bilium,
patet ergo propofitum,

CXXIIII,

Sunt loca in quibus centro uifus pofito in eadem fuperficie scqualia late*
raredanguli quandocp aequalia,quandocpinsequaliauidentur.

Sit redangulum a b d g,cuius duo latera ab 5dg d,fint squaIia,dfco q> fint loca in
quibus centro uifus pofito, illa duo latera ufdebuntur aqualia, circumfcribatur enitn
illi redangulo per 40, primi huius,& per^.tertij circulus uicinus alterius arcuum qui

E 3 funt

PERSPECTIVAE yiTELLIONIS

Cmt b dA’ a g,in quocuncg pundo ponatur centru uifus.Sit autem exempli catrfa poli
las in puncta medio arcus bd, qui fit o ,& copulent linea: qua o a,o g,oib,° d.quia itaqj
latera a b,&d g,funtsqualia,eruntper 27. tertij arcus a b,&dg cequalcs, ergo per 26,
ternj, erunt anguli a obj&god squales, ergo per 20 .huius latera ab, &dg uidena
rurarqualia uiTu exiftente inpundo o. Similiter quoqj demonftrandum de quolibet
pundo amborum arcuum bd,& a g,lemper enim centro uifus in quorumcunqj illoru
pundlorum exiftente uidentur a b,&gd,magnitudtnes squales. Sic
militer quoqj fi linea b d diuidatur per aqualia in pundo.f,per i o. pri*
mi,& in pundo f ponatur centrum uifus, tunc item per 4.primi,& zo .
huius lines ab &gd uidebuntur squales, & fi i pundo f, ducatur per
1 1 .primi linea perpendicularis (iiper lineam b d,qus fit f,&ffecans pec
riferiam ciradi in pundo o,tuc ad huc fecundum prsmiffa in quocuqj
pundo lines f z, ponatur centrum uifus, femper per 4.primi, & 2<>.hu
ius dids lines a b,6i'g d, apparebunt squales, quod fi centrum oculi
fit extra circulum a bg d,urin pundo e,q> fit exempli caula propinqui
as lines d g,cp ipfa b a,dico q> uidebitur linea a b,maior a linea g de-
trahantur enim lines e a,e g,e b,e d,fecetcg linea e a,pcrireriam circuli
in pundo t,& linea e g,in pundo r,& copuletur lines b t, &d r ,8i quo
niam,ut fiipra patuit lines a b,& g d,funt squales ex hypothefi, ergo g
2 7. tertij, erit arcus a b, squalis arcai g d,eruntergo per ziS.tertrj angue
Ii a b t, &.'grd, squales propter duorum arcun squalitatem, ergo per
1 3 .primi anguli b t e & d r e funt squales, qa uero arcus b t, eft maior
arcu dr, propter maiore propinquitatem pundi e ad lineam dg,eritcr
L go g 2 s . tertii latus b t,niaius latere r d, linea uero e t eft minor cjj linea r
e,q> patet ex penqltima terti), & 1 y,fexti,protrada prius i pundo e, g
1 (S.terti), linea e q,circulum contingentem in pundo q, tunc ergo cum
linea a e,fit maior cfj linea e g,ex hypothefi,pa tet etia per 3 . tertij, linea
ar,efle maioremlinea e t,quia uero linea b t,eft maior cp ilinea r d,8<:li*
nea e t,eftminor cp linea c r,fiat per 3 .primi huius, ut qus eft propors
tio lines b t,ad lineam t e, eadem fit lines r d,ad aliqua lineam quarta,
qus neccflario,ut patet cx prsmiflis, erit minor cp linea r e, abfeindat
ergo per 3 .primi squalis illi dlinea r e, qus fitrp: copuletur quocp Ii*
nca p d,crgo per 6, texti trigona bte,&rdp, squiangula erunt,erit'cg
angulus r p d, squalis angulo b e t, Sed per 1 6 . primi angulus r p
d,mafor eft angulo p e d:angulus ergo a eb,eft maior angulo g e
d.crgo per 2o.huius,uidebitur linea a b, maior cp linea g d.Si aute
centrum oculi confiftat intra circultf.tunc immutetur figura, fiteg
ut prius circulus a b d g,ci reuferiptus redangulo a b gd, cuius la-
tus b d,diuidatur per squalia in pudo f, di ducatur i pundo f,ad
periferiam cirtuli perpendicularis fuper lineam b d,qus fit z f, co
liftatfcp centrum uifus intra portionem z fd.utin pundo o,dico q>
linea g d,appatebit maior £p linea a b.Sit enim centrum illius c ira
culi pundum e,ducattir'cg lines o a,o b,o g,o d,producatur linea-
a o,ufcp in pundu circumferentis,q> fit g,S linea g o, ufep in pun-
dum q,& linea e o,ufcp in pundum i,& copulentur lines qd,&g
b,aim ita® linea a s,fit maior cp linea g q,per 7.tertij,propter hoc
cp pundus o,in q eft centru uifus,datus eft in portione z f d, .ppinquior
lines d g cp Jines q b,& .ppinqor pundo g,cp pundo a,linea ^jcp a s.eft
propinquior centro e,cp linea g q.eft ergo portio circuli di arcus a stria*
for por tioe circuli & arcu q g.^Sed ut patet ex prsmiflis arcus a b ,squa
lis eft aren g d,per 27. tertij, « ex hypothefi. Ablatis ergo hincSc inde ar
cubus squalibus,remanebit arcus b s,maior arcuqd,ergp .per 2 tertij

LIBER Q_V A R T V S ♦

erit corda b s,tnai'or cfj corda q d.Scd per y.tertij linea o s.eft minor cfj linea o q.cnm 1 ia
nca o s,(?t propinquior diametro e i.cj? linea o q,ut patet ex prxmifiis.quoniam ergo an
guli b s a,&! g q d,per z^.terrij funt xquales.quoniam cadunt in arcus xquales, in trigo
nis quoqj b o s,oi d o q, latus b s.eft maius latere q d,& latus q o, maius latere s o , ut pa*
tetex prxmiflis,&hxc latera hinc & inde continent angulos ecquales, tunc per modum
quo in prxmiflis fuperius ufi fumus,patet q> angulus b o s, maior cft angulo q o d.ergo
per 1 3 .primi angulus b o a eft minor angulo g o d,ergo per zo. huius, uidebitur linea g
d. maior cp linea a b, centro oculi exiftente in pun&o o, qcf eft propolitu. Similiter
li centrum uifus fuerit in portione z o b.u idebitur linea a b .maior cp linea d g,hxc ergo
latera trianguli qnqj uidentur xqualia, qnqj inaequalia indiuerfis locis cetro uifus poli
to,quod eft propolitu. cxxv.

Suntlocainquibusoculo polito inarquales magnitudines inidemco*

pofitae aequales, utricp imequalium apparent.

SitJduaje magnitudinum data» bg maior,&d g minor, & circa utracglemicirculas
defcribat.ut circa linea d g femicirculus dzg,& circa linea Is g, femicirculus g k & ters
tiusfemicirculusdefcribatcircatotalincadb.qfitd ab, ducitis

itacp lineis d a & b a,pal,aquia ,pdu(flx lines fecant minores fc / / \

micirculos,fecet ergo linea a b,(emicirculum g k b , in pundlo k

& linea d a,lcmicirculum d z g in pundto z,& ducantur line* z // >

g & kgrpalam itacp per 30. terti]', quoniam angulidjz p,& g k b o \v

8«; d a b, omnes funt xquales quia redii, oculi itacp centro leoin* G

dum pundta k az tranfmutato,uidcbitur linea b g,xqualis Ii nex g d, & linea d b xqua
Iis alteri datanim,& linea d g ecqualis ambabus lineis d g & b g, & idem accidit centro
oculi fccundum pundta formarum femicirculorumtranfmutato.patet ergo propolitu.

cxx v 1.

Poflibile eft inueniri loca a quibus aequalis magnitudo apparet medie*
tas,uel quarta pars,& uniuerfaliter in ea proportione fecundum quam pro*
politus angulus diuidetur.

Sint dux magnitudines abfidgb xqualcs,8<! circa ab delcribatur femicirculus qui
fitakb, qui per zp.tertijdiuidaturperxqualiainpuncftok.ducfiis lineis a k Sdbk,pa*
lamquocp per 30, terttj, quoniam angulus a k b eft redias, diuidaturfcg angulus a k b,
perxqualia per 5>.primi,dLidta linea k f,qux per ultimam lexti neceflario erit perpen-
dicularis fuper diametrum a b,& incidet centro femicircu
Iqideo quia arcus lemicirculi diuifus eft per xqualia in pu<

«ftok,&per 32.tertrj, lupra lineam bg delcribatur portio
circuli capiens angulum xqualem angulo a k f. & quoniai
angulus a k f, eft acutus, angulus enim a k b, qui eft recftus
eft duplus angulo a k fuerit ergo illa delcrfpta portio ma-
iorfemicirculoper 3 o , tertij,qux fit b e g, critq? angulus a
kb,duplusanguIobeg,cadat'cppu(?luse in medio arcus
b eg.quia itacplinea ab&bg.uidentur dircdlxuifui op-
pofitx, cum uilus centrumeft in pundtis k& e, uidebitur ergo per z o. huius linea b a
in pundto k,dupla linex b g,uifx in pundto e.Sd quoniam omnes anguli in una portio-
ne circuli luper arcum confiftentes funt xquales, per ziS.terrij, palam q> accidit (imiliter
fuper omnia pundta illorum arcuum femirirculi.f prxmiflqqui a b k,£d portionis b eg
i quibus ducfhe linex continent xquales angulos cu d£ametro,ita ut obliquitas uilionis
hincfndelit fuper eadem, u ilii itaqjexiftemeinpudto communis fedtionis iplaru,q>fjc
pundius h,tunc eodem intuitu uidebitur linea a b, quali dupla linex bg,6d eodem ergo
modo diuerlifleatur rerum xqnaliSapparctia diuifo angulo per aliu numeru quecuqj.
Generale enim eft hoc,data magnitudine & angulo diuidere angulum lecudum aliqua
proportionem per zy.primi huius, & circa magnitudinemdeferibere portione circuli

capientem

PERSPECTIVAE VlTELLlONIS
capientem angulum alicui diuidentium arqnalem,& fuperpofito centro tlifus ad illum
angulurmifdebirur apparentia magnitudinis uariari fecundum illud.hoc eft ergo pro-
poli tum. In hoc tamen non modicum eflfednm habet longitudo diftantia: fecundum re
dam lineS protentae i pundo cocurfus linearu illu angulo cotinenriu, qm in omnibus
uifis ex inaequali diftantia, maior eft proportio diftantiae maioris ad minorem.cp an*
guli ad angulum.ut patet per 1 1 .holus: idem quoqj accidit,!? angulus a k b,fecundu alia
proportionem fuerit diuifus ,& ei aequalis in portione circuli,fuper lineam b g,conftitu
atur angulus.&eadem eft demonftratio, patet itaqj propofitum,

CXXVII.

Sunt loca in quibus polito uifu eade magnitudo qnc£ totius fuac quatita
tis,qncp medietatis,qnq; quartae.,uel fecudu datam proportionem uidetur.

^ — . Efto a b magnitudo uifa,dicog> ipfa tranfmutato cetro n(<

fus ad diueria punda,quandocp ipfa apparet fuar ,ppria:qu3
titati.quandoq? in alia quaefie^ portione.-defcribatur eni cir
ca lineam a b.circolus a e b,ita q> linea a b non fit diameter iU
Itus circuli.qd’ poteft fieri fumptadiametrocirculi aliqua li*
nca maiore, $ fit linea a b.Sit itaqj centrum illius circuli pun
dum g,& ducantur linea: a g,b g,a e,b e,pala ergo per 1 9. ter
tij, quoniam angulus a gb,duplus eft angulo aeb,ocuIi itaqj
centro exiftente in centro circuli g,linea a b apparebit duplo
maior cfj appareat centro oculi exiftente in arcu a ed,per 20.
huiiis.qm omnes anguli cotentt fub lineisabiftis pundis ad
punda a b dudis funt arquales per z6, tertij,8C cuilibet illoru duplus eft angulus qui ad
centrum g,per i^.tertij, patet ergo propofitum»

CXXVIII,

Oculo ei quod uidetur propius accedente uidebitur rei uife,quan
titas augmentari»

Sit linea uifa b g,& fit oculus in pundo 3 .ducantufcp linea: 3 b 5i $ g , & ac*
cedat oculus propius lincx,& fitfupcr d pundum.Intclligimus enim hic accefi
fionem fccundu lineam redam perpendicularem fuper magnitudinem uiam,
ducantur ergo lincte b d & g d,& quia per 2 1 .primfangulus b d g,eft maior an
gulo b 3 g.res autem fub maiori angulo uifa maior uidetur per 20, huius,uide
— bitur ergo augmentata quant itas linea: q g, cirailo iiiper d exiftente, reipedu
B eiWquod fuit exiftente centro uiilisinpundo 3,&hoc eft propofitum»
CXXIX.

Augmentattemagnitudines uidebuntur oculo appropinquare»

^ Sit magnitudo a b.qute uidetur, & centro oculi fit in pundo
~ g, Seducantur linea: g a &'g b,£x: augmentetur b a, magnitudo ita
ut fiat magnitudo b d,maior cfj b a,& ducatur linea d g, quia ergo
angulus b g d, maior eft angulo b g a,ut patet per 29. primi huius
quia eft maior ficuttonim fua parte, palam per 20. huius, quonii
maior apparet magnitudo b d,<^ b a, maiora uero fe ipfis prius ul
fis uidentur omnia poftmodu auda, & in eo ueroq» maiora lunt
fub maiori angulo uidentur,& quoniam tale uiiiim uidetur idem
ei qd* prius uimm eft,& aftimatur aequale fibi ipfi, omnium autem
aqualiu ^d appropinquiori uidetur, fub maiori angulo uidetur,
ut patet per 7.huius,uirtus ergo diftindiua anima: fentiensangu
Ium fub quo fit uifio augmentari& aftimans rem eandem, iudicat fe illam appropia*
quiori uidere, omnes ergo audae magnitudines uidentur oculo appropinquare, fiC hoc
<ft propofitum, cxxx.

Omnes magnitudines in eadem fupcrficieiacentes extremis fiiis noti

in dire da

LIBER. QVARTVS,

in directo fuo medio exi flentibus, totalem fuam figuram qua
docpconcauam, quandocp uero faciunt conuexam.

Verbi graria.uidcat magnitudo g b d, tacens in aliqua fupcrficie,&!
cius pundum mediu qd* eft b,oo fit in di redo fuoru extremoru,fed exs
tra illa.Sitq; oculus in puelo k,& ducantur linea: kg & k b,& k d.uidc*
bitur itacp tota figura g b d cocaua.fi eius medius pundus fit remotior
a uiiti, accedat uero medius pundus rei uife.qcP eft b,ad uifum.SC fiat ,p
pinquior oculo,dico q» uidebitur tota magnitudo conucxa,uidet enim
uifus fimul punda media & extrema, quoje form« fecundu ipfoprfitu
& diftant/a deferibunt in fupcrficie inTus,&; accidit uifui paflioquseac
cidit ex fugfidebus concauis & coucxis, apparent ergo illa concaua di
conuexa fecundu diuerfitatem fitus fui pundt medi},& hoc eft .ppofitu,

CXXXI.

Omnfum.mobilium a?que uelocium fecundum eandem lineam moto*
rum ultra puntftum coniuntftionis axiu uifuaIium,proximum uifui exiiten
tium remotiora uidentur tardius moueri.

Sint duo mobilia b 8i c,qu?e moueantur «qualiter, & fit centrum uifus a,& fit ut mo
bilia b di c,fint fuper linea a g,di fit b remotius a uifu c^c, qa ergo linea a b, eft maior cf?
b'nea a c, palam per 7.hufus,qm fecundu lineam a b fub m inori angulo fit uifio cjj
fecundu linea a c, uifio ergo qua: f it in pundo b,minus erit certa,cj; qua: fit in pun
do c, & fimfliter per canae 7.huius,fub minori angulo uidetur ipacfutn qd’ in al* 1
quo tempore pertranfit mobile b,cfj illud fpaciu qcr in eodem tempore pertranfic \
mobile c, motus ergo mobilis b,non coprehenditur tam perfode .ut morus mo« 1
bilis c, uidebit ergo b tardius moneri qu fub maiori angulo uidetur mobile b,tf; \
mobile c,& fimiliter ipaciil qd* pertrafit mobile b.ilib minori angulo uidebitur q; \
fpaciu.pcr quod in eodem tempore pertranfit mobile c, minus ergo uidebit fpa- \
cium per quod motu eft mobile b,fpacio qd’ pertranfit mobile c,per zo.huius,& \

fi h«c mobilia ambo fint in linea obliqua ad uiium extra axem, ut linea a d,tunc \ I

ambo minus uidebuntur moueri filis ueris motibus.minus autem ad huc uidebit \ j

moueri b.qd’ eft remotius a uifu cp ipfum c,quod fi ambobus ipfis exiftentibus in 1 1
una axe uiaiali,8c aliquod ipfott fuerit intra concnrfum axium propinquiflfmu u
uifui, illud propinquius penitus oblique uidebitur,ut per multas pnecedentiu pa- V

tuit:undc «ftimabit tardius moueri, licet ipfum fit propinquius uifu/, patet ergo A

propofitum. c x x x 1 1.

Omnium mobilium mqueuelociu fuper lineas a:quediftantes,non proxi
mas uifui motorum remotiora uidentur tardius moueri.

Sint duo mobilia a 8Cb, «qucuclociter mota fuper duas lf->v _____

neas «quediftantcs di «quales,qu« fint ad&b e.qua ru remo- ^ /

tior i uifu fit a d, fitfcp centrum uifus pundum z, aquodus
cantur linere z a,z b,z d,z e,dico q> mobile a, q? eft uiiiix remo- \

tiuSjUidebinir fieri tardius mobile b,quod eft propinquius,
quia per 7. & zo.huiiis linea ad, uidebitur minor cj lineabe,
cum tamen fint «quales, mobile ergo a,quod in«quali tempo
re «quales partes lfne« a d, abfeindit, uidetur tardius moueri
qj mobile b, q> in eode tepore proportionaliter diuifioni line«
a d, maiores partes line« b e, abfeindere uidetur, epuis ut patet
ex hypothcfi illae partes hinc di inde fune «quales, apparet er*
go uelocius moueri mobile b,cg mobile a, remotius uifuuquado eni mobile b peruenit
ad pundue, tunc mobile a, peruenit ad punctum d,qui uidetur efleretro pundura c,6C
ita uidetur mobile a,pi«pofteratum mobili b,quia linea b e.uiderur maior cp linea a d
«nobile ergo a, «ftimatur tardius moueri cp mobfleb, quod eft propfitum.

F Oculo

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
CXXX1II.

Oculo fixo exiftente & axe uifuali aequaliter tranfmutata , remotiora ui
forum aequaliter diftantium a priori fitu axis,pofteriorari uidentur.

Sint duo uifibilia a & g.exiftetia in duabus lineis aequalibus,
qusfirvt a b & g d,(k'cp centra uifos e ,£C fit ut axisuifualis trafeat
ex pun do d,adpundfib,erit ergo pundu b remotius i. uifu,c}j fit
pundu d,pala itaa per 7. huius, qm linea a b remotior a uifn fub
minori angulo uiuet,^ fua squalis,qus eft g d, propinquior ni*
iiifiangulus ergo d e g,eft maior angulo bea, ergo per z 0 .huius
lineag d,uidct maior cp linea a b, manente itacp oculo fixo in pun
do e, & axe uiliiali mota per fpacium totum,in quo funt uifibilia
a & g,pertranfit axis propter minoritace anguli bea, reipedu an
gulid eg, cimis uifibilc a, cp uifibile g uidetur,ergouifibilea fie
r i pofter/us uifibili g, qm uifb g uidebi t a retro illud, quod eft pro
pofitum. c xxx 11 11.

Mobilium fecundu linea cui perpendiculariter infiftunt squecliftante
linea; ab oculo du<ffcc,a:qualiter ad dudam ab oculo lineam motoru, illud
quod remotius a centro uifus eft antecedere , propinquius uero fequiui*
detur,tranfituuerofecfto ad aliam partem lineae ab oculo dudse, remotius
quidem fubfequi, propinquius uero antecedere uidetur.

Sint aquali uelocitatemota tria mobilia.f.b g.d 3, k
a.fuper linea qua: fit g a,cui orthogonaliter infiftat fecui
dumpundag 3 a,fit'cg mobile b g,remotius d centro ui
fus,quod fit pundu m,&! fit mobile a k,ui(ui .ppinquius,
ducaturfcg i uifo d pundo.f.m,per 3 1 . primi,linea para-
lella lines g a, qua: fit m l,8i ducantur lines m g,m 3 ,m a
producantur'^ lines k a,d 3 ,b g,ad linea m J,mcidatfcp li
nea k a lines m l,in pundu f, a linea d 3 ,in pundu e, 8i
linea b g,in pundii 1,& qm Iinesg a 8im 1 iuntparalel*
ls,palam per 2 r ,huius,qm ad parte I, cScurrere uident,
propinquior igitur uidebitur g,ad pudu l,cp 3 ad pun-
dum e,ucl a ad pundu f,uidetur igitur pcedens b g,fub*
fequensuerod 3,& ultimu iplbjtka,protrahatur itaqjli
nea g a, ultra pundu a, ad pundu q,& copuletur linea q
m,quia ergo per 1 6 .primi, angulus m a q, eft maior an*
gulo m 3 a ,8i angulus m 3 a,eft maior angulo m g e,pa*
Iam quod linea m g,magis approximare uidetur ad pu«
dumg,cjj linea m 3 ,ad pundu 3 , uel linea m a, ad pun*
duma,qm anguli cxtrinfeci maiores funt intrinfecfs,
itaq; mobile b g, quod eft remotius, uidebit prscedere
mobilia d 3 k a, antecedentibus fecundu linea redam,
quseft g a, ad linea m l,squeuelociter ipfis mobilibus k
a,d 3,d g,mobile uero k a, quod eft poftremum, uidetur
fubfequi,quia magis uidetur a linea m l,elongari,et hoc
durabit quouftp linea g a,fupponatur lines m l,tunc fecundu linea reda m 1, mobile k a
,ppinquiiis uiilii uidef 3; alia, QC maius per 7.&2o.huius,fado aut tranfitu ultra lineam
m l,ita ut mobilia qus ruerint prius dextra uifui,fiant finiftra,uel ecotrario, tiic mobile
remotius uifui uidebit feq,2C,ppinquius prscedere ,ppter eande caufam qua prsmifi*
mus, &C ut hoc exemplaricer pateat, fit ut mobile b g, qd eft remotius 5 centro uifus m,
pertrafita linea m ^perueniat ad loeu lines n x,& mobile d 3,ad loeu lines p r ,et mobile
ka.^deft ^ppinquius uifui perueniat ad loeu liges s r, ducatur quo cp a centro uifus ad
punda a p 9 .lines m n,m p,ni s,m'debitur ergo mobile n x , (ubfequi duo alia mobilia,

ideo

b c d,& fit centrG oculi pundu a, fit aut inter ha?c mobilia b,tar /
>x uffiiijduei o fituelocius cjjc.et oinia moueantur ad eandem /

LIBER. QVAR TVf, 1 14

ideo qudd fiait prxmfflum eft, finea n x magis approximat ad pundu I, qjj linea p r ad
pundu c,ue! cp linea s t,ad pundu fygiturmobile bg,quod fuerit prius praecedens, cu
peruenerit ad lineG 1 x, uidebit fequi,8t! linea a k, quae fuerit prius fubieques fug lineam
s t, uidebitur prcecedere,&ficiftorum mobilium mutato fitu motus uidebitur diucrfus,
quodeftpropofitum, CXXXV.

Pluribus mobilibus non aeque uelociter ad eandem partem motis
ad quam mouetur 8C uifus,stqueiocia uifui quiefcere,tardfora uero con* /
tra moueri, 6i celeriora antecedere uidebuntur.

Sint tria mobilia b c d
difimi3}8£ c a:queue!ox uil

parte untuerfi,a centro quocp' uiiiis a^lucantur lineat a b, a c,a d,cu itacp motus fue- /
iit oailus a, tunc mobile c, quod eft aqueuelox oculo aequaliter motu eft cum oculo, /
no ergo mutat fitu refpeduoculi,crgo per nz.huius,ipiumquieieereuidebit a.mo /
bile uerob.quia eft tardifltmu, patet quod moto uiSx ipfum eft pertranfituper moru J
uelociore ipfius uilus, di quia mobile c uidetur quieicere,& mobile b femg magis Si I
magis remoueturi mobili c,propter excefliim uelocitatis mobilis c,fupcr mobile b, /
uidetur ergo mobile b ad parte contraria moneri, mobile uero d,quia uelociflimu eft I
praecedit mobile c,&i ipfum uifum,& femg fit plus dtftans a uifu,uidet ergo pnecea y &
derc, paret itaq? ppofi tu. cxxxvi.

Si aliquibus mobilibus arqueuelociter motis u ilis apparet aliquid immd
tum,illuduidebituradpartem contrariam alrjs mobilibusmoueri.

Sint cm duo mobilia b di d, qua: mouea nrur atqueuelociter ad unam parte
contraria,8<: fit c.aliquid n5 motu.Sffcg centru uifus a .ducantur i centro uifus
linex a b,ac, a d.qa itacp mobile b,mouct ad alique tcrminu.palaqm ipfum fit /
£>pinquius ad illucp corpus c, quia no mouetur/ed8C mobile d, aiqueuelociter /

motu eft mobili b, uidetur ergo mobiltab fiC d,no mutare fitu adinuice, corpus /

uero c mutat fitu refpedu illoit amboit; mobili u, uidetur ergo c, ad parte illius /

cotraria moueri, quod patet per 1 1 o.huius,& hoc eft ,ppofitu,&: cxjhoc apparet /

quare motis oelociter nubibus luna uifa uidetur ad partem contraria moueri, /

quia ein partes nubiu aeque uelociter mouentur.utb di d,Iuna: uero motus pro j
pius 5 uifii ,ppter remotione in paruo tge no percipit,idco uidetur luna ut mo? I
bile c,ad partem contrariam moueri. C x X X V 1 1. I

Punda lignata in re circulariter mota ,uidentur drculi Si line» fu /
perficies rotunda:» O o

Cu ein talia mobilia fiefignata mouent circulariter.^dlibetfuop: puntftop?
motu iiio delcribit circulu, qm ^d libet pudu n5 figitur in eode loco tge ienfibili.Sed in
paruo tepore rircumgirat tota circufcrentiafupcr qua uohutur, peruenit ergo tunc for
ma punai fignati in fupcrficie uilus per modu circufcrentia circuli, qm cm motus cir-
cu!arisefttotusunus,nodiuidcnscempus,nopoteft uilus coprehendcrc forma pund»
fignati nifi fecundi! circuferemi3ciraili,mminimo.n.tge cbprehenditcolore illius pii
tfa circGgiratu,&: fi plura funt puda fecundu ordine unius fub altero fignata,plures ui*
debunt circuli liibaltcrnatim di ordinate cotcnti,& hoc eft ludus puerojB in trochis fug
planas iupcrficies circulariter exagitatis, qm qh trochus fuerit circugiratus motu forti,

& afpexerit qs ipfum, (i unus eftpundus in ipfb fignatus, uidebitur circulus, Sdfi plura
funt punda ab inuicediftatia,uidebunt plures ciraili xqdiftates,& circa ide centru, Si
uidebit uifus differentia colojt cuiuslibet illojit circuloiv, & fi plura punda diucriojt co*
lo^ (ibi adinuice approxima tur,copreliendet uifus oes illo.R: pudop* colores quafiunQ
colore, diuerfum ab oibus colorib.q funt in illis pundis,qfifit color. copofitus ex olb.
coloribus illoti pGdoft,8C n5 coprehedet lineatione nec^ diuer fitate colojt. Si fi motus
fuerit ualde fortis,coprehendet uifiis illud corpus motu.quaft qeices & circulariter figu
»atu,idco q> nullG illius corporispudG figit in loco tge ienfibili ,ied in minimo tge gi-
ratur tota circufcretiaiug qua reuoluif,& fimiliter mota linea uidebit fecundu linea: loc
gitudine latitudo cuiufda fugficici rotudac delcripta in fugfide ipfius uifus, di fi linea illa

F * fuerit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
fuerit colorata, tue x>ptcr motus uelocitate, morus facit tota (uperficie rotunda appare
rerolorata,5dioceftpropoiTtu, cxxxvm.

I n motus fli quietis uiiione error accidit uirtuti diftindiua: ex intempe
rata difpofitioneo&o circumftantiarum cuiuslibetrei uifsc.

Ex inteperata em luce accidit error in uifione motus Si getis,(l ein denodle copre
hedit nifus holem an altqd* ncmus,forte occultabit ci diftaria hois ad nemus. Si iraqj ui
dens moueat uerius holem uifum,quato magis ad illu accefleriqtato diftantt'5 illa certi
us ufdebit,undec6 pri? fimul una cu nemore appareret ei homo uifus,& cpto adeuplj
acccdiqplp uidet i nemore remotus, & certu eft ei nemus immotu remanere,» (limabit
ergo holem ad parte cotraria nemoris incedere, licet ueritas fit ipfum hoiem uiiiim im-
mota & qetu ei]e,2«J etia fi homo de nodeuitiis no plene coprehcdit,q modicu moueat
no dilcernet motus eius,& uidebit quie(ces,hi auterrores no accideret in teperata lucc.
Et inteperata etia remotione error accidit in uifione motus Si quietis. Si qs.n.ad parte
in qua luna ah iole aut flella aliqua uiderit moueari, cu poft plurimu motu 1 una an feui
derit eloga ta no minus cp in principio fui motus,£eftimat ipam luna ad eade parte fccO
moueri,&' ab eo recedere, & ob hoc eloga tioes; durare, & euenit hoc etia i luna ad parte
cotraria jjperate,accidit'qjhicerrorideo,qa notu efthoi,qcPinhis naturis inferiorib?
«xiftctibp duobus corgibus, qjb unu moueat in parte aliqua, fi tuc permaferit identitas
fitus rcfpedu alterius corgis, tuc nccefle eft etia aliud corpus i cande par te at qli motu fu-
ifle motu, hoc cn no oportet fic xftimari i luna uFftelIis,qm magnitudo uiae cp gagit gs
motu fuo,no eft ^portionalis magnitudini corgis lunte uel alterius ftellse,ergo neqj ex-
cefluspoftremx .ppincj taris ad llella iug prima ,ppinqtate eft (enfibilis refpedu totalis
remor/ois.Ide etia error accidit! motu nubiu,credit.n.ueloci(Timus ce motus luna, qa
gtes nubiu,g quas uidef Iuna,fubito mutant, ec luna nec cu his partibus nubiu, nec cu il
lis uidetefle fita,& qa luna eft corpp luminoftim uifibilias cp nubes, ceftimat luna moue
ji motu,q<f (ecimdu ueritate no mouet.Similiter etia accidit error in qete, aliqs .nilo
ge uifus no neloci motu motus, qefcere uidet,6<: gpterhoc planetas credimus immotos
licet uelodter moueant.uiar emqs incedut i tge paruo,no funt gceptibiles uiliii i tanta
remotioe,unde durante fitu ipfajtr,re(pcdu indetis identitate qefcere putant.Similiter
e tiu accidit hic error, fi i eade linea uildaliuel axe corpus aliqcF uiium uel i uifu moueat
Tuc em ubi motus ei? fuerit ualde fortis,putabit Imotu,qa no geipit an gtes uel ipfum
totu ie aliter habeat nuc cp prius, nia ein cjtccdit, eft igceptibilis a tata remotioe. Ex in
temga ta etia (itus oppofi tiois obliqtate accidit error uirtuti diftindliu» in pmiftbp; ut-
fione, undeali^ uelociter nauigate i flumine,^ obliq ifpiciete arbores in ripa fluminis,
tuc arbores ab axe uiiuali multu elongatas xftimabit moueri, illae uero arbores quibus
axis uiiualis icidet qeicere uidebilt.Similiter rota al/qmota, ut molendini obliq uifa ui
det quieicere.Eft aut hic error ,ppter fola oblicf tione litusrei ad uiium,qrh talis rota di
rede intuita moueri uidet .Ex intepera ta etia magnitudine accidit error in uifione prje
mifla^.Si ein moneant duo.qp: unu fit paululu uelocius alio,putabit uides efle aquale
ipfopi mo tn,cu infenfibi le fit uifuiunius motus (ijg alia excrementu,& fimiliter quatitas
exceflus ui» qua trafit alius, igeeptibilis eft uifui, unde indicat acf litas motuu 8i uiap-
8i fimiliter res gua mota forte aeftimabit no moueri,etia fi diftatia a uifii fiicrit tgata.Ex
inteperata etiararitate accidit error in pmiflis.Si ein in aere nubiloib obfcuro duo cor-
pora moneant, unu alio paululu uelocius moueat, iudicabunt forfita tequales ipfojc
morus.cu^ppter inteperie diafonitatis aeris difeemi no pofiit motus unius admotual
terius exceflus, uidet em tuc perpediculariter i uifu exceflus ui» gtrafita: ab uno a uiag
tranfit» abalio.Similiter etia in tali aere i logitudine media no tn paruafi qsuideata<
quii fluente,aut iudicabit ea Imota,aut fi fuerit fortis eius fluxus , arftimabit miniis mo*
ta cp moueat. Ex inte perata etia tgis fit maximus error in uifione motus & qetis, q per
fe tge meniuranfjCu em duojt mobiliu unu paulo uelocius alio monebit, tunc motus in
tge modico coprehefi »qles iudicabunt,qa no eft ta fubito coprehenfibilis ipfojt excef
fus,& fi aliqd tarde moueaf hoc in tge modico in relpedu no uidebit moueri,qin uiag
quamouet in modico tge,eft (perceptibilis ui(i»\ppter (iii paruitateXed di uelociflime

motum

LIBER. 07ARTVJ.’ lip

motu circvhriter,8i in eode loco mancns.nt trochus,noa:ftimatmou£ri,focas em tro*
chi no mutat, & partes udorifllme reddit ad priore litu, Ex inteperantia etiS diipofitio
nfsnifus accidit error tiifionipmiflojfe. Cuemqs fiepius in circuitu fuerit reuo Jutus di
poft quicicir,tSc putat q> uidni parietes moueant,ideo c}a fpiritus uifibiles iterius mori
difcurnnt ex motu corgis ipfius facio, nec ftatim gefcente cor pe exteriori) fpus intrinie
cus moti qufefeuc.eo §d leuiores corpe groflo funt illo mobiliores, di minor uirtus ani
mat mouet iIIos,ilIi aut moti formas motas uirtuti diftindiuat repfentat,ufdet em omia
moueri, forma: motis fpitibus uirtuti ai a: offerut etia poft qcte ipfius uidentis, Sd
Imius fimile e etia I alrjs motis,troc!ius em diu poft gete manus motricis mouet, &no q
efeit i^ufcp uirtus influxa fibi definit moucre.Eft etia qda corpis &ocu1or- infirmitas ju
cj uident oia circfiuolni.Si etia corpj» fimiliu ptiu uolijat tarde, ut accidit in gbufda rotis
horologiopijtSc uifus debilis no peipiet motu eius.neq? etia (anus nidis peipiet motu g
ui tgis.Si uero fit corpp diflimiliu gtiu,ut i rotis moledini.tuc forte etia uifus debilis co
jphendet motu.nifi ualde feftina fiierit rota reuolutio,qa ,ppter uelocitate motus forte
difiimilitudo ptiu rota no poterit comprehendf,patet itac^ illud §d proponebatur.

CXXXIX,

Afpcritas coprehenditauifu ex coprehenfione lucis iuperficiei corporis
afpcri incidentis , g qua coprehendit diuerfitas fituupartiu fugficiei corgis.

Cum afperitas fit diuerfitas fitus partium fiiperficiei corporis,palam per 1 1 .fecundi
huius, quod partes prominentes umbram faciunt quando lux inciderit fiiperficiei illius
corporis,partcs ergo pneminentes erunt mantfeftariuci di difcooperta:,8C in partes ,p-
fondas perueniut umbra: permifeentes lucem illis partibus incidentem,diuernffcabitur
ergo forma lucis in (u perncie illius corporis , quoanon accidit in fuperfide plana, dus
enim partes funt confimilis fitus, & fit forma lucis in omnibus filis partibus confimilis,
n iliis itacp cognofcit forma lucis in fuperficicbus afpcris di planis diuerfam propter fre
quentationem uifionis fuperftcicrum afpcrum 8i planarum, di fecundum hoc dijudi-
cat afperitatem fuperficierum ucl planiciem in corporibus afperis quibufcunq?,(ed fi fu
perficiei afperae partes fuerint ualde prominentes , poteft etiam uifus comprehendere
pneminentiam illarum par tiii ex coprehenfione diftantis quae eft inter partes. Si fic ex
comprehenfione diuerfl tatis fitus partium Iuperficiei corporis afper i copr ehe ndet etia
afperitatem illius,8i erit etiam lux in illa afperitate maximo diuerfitatis , quoniam ma-
ioribus umbris diftindi permifeetur, di ex diuerfitate formo lucis uidebitur diftantia
partium, & diuerfitas fitus earum,& ex hoc uidebitur corporis afperitas,quod fi promi-
nentiae partium fiiperficiei rei uifo fuerint paruo ualde , non comprehendet uifus illam
afperitatem corporis nifi cum multa appropinquatione intuitus,fit ergo per diuerfita*
tem lucis fuperficiebus corporum afperorum incidentis.&ex confequenti per compre-
benfionem diuerfitatis (ituum partiam fiiperficiei corporis, afperitas comprehenditur
i uifu, patet ergo propofimm. CXL,

Lenitas fiueplaniries coprehendit a uifu ex coprehenfione lucis fugficiei
lenis corporis incidentis illis jetia per fuaru partiu omimoda tequalitate.

Quia enim lenitas eft oqualitas fitus partium fiiperficiei, patet quod partes cor-
poris lenis fimt confimilis fitus, lux ergo illis cor poribus incidens fit confimilis di in illis
umbris permixta.unde etiam corporis terfitudofiue politio, qua: eft quardam lenitas
ucl planicies, comprehenditur i uifu ex fcintillatioe lucis in fuperfide illius corporis , dt
ex fitu fecundum quam refleditur lux ad uiftim,uel ad aliud corpus obiedum.compre-
hendit etiam uifus quandocp planiciem per intuitum diligentem,per quem comprchcn
dit partium fiiperficiei uife a:qualitatem,quandoq? etiam comprehedic ipfam planidc
fiiperpofito uilu in una parte illius fiiperficiei uifie,8( cum forma: partium extremarum
illius fiiperficiei qua: funt remotiores i uifii fecundum lineas redas gueniuntad uifurri
in ipfa fuperfide produdas,tuc uifus fic ipfius fiiperficiei planiciem coprehendit, patet
ergo ppofitum. exii.

In afperitatis & lenitatis uiftone error accidit uirtuti diftindiuas ex inte-
perata difpofitione odo circunftantiarum cuiuslibet rei uifas .

F 3 Exde

PERSPECTIVAE VlTELitONIS

Ex debiti rate enim luas error accidit uifioni afperitatis et lenitatis, quia de nodfo
uifa afperitas forte indicabitur Ienit.is,aut cconuerfo fecundum qualitatem rei uife > et
etiam cum i capillis nigris lotis fit lucis rcflexio.aeftimantur illi capilli fummar plani,
cum line fecundum ueritatemafperi,eo quod eft in cis diuerfitas & diftantia innumero
fa.Superflua etiam longitudo diftantia: errorem ingerituifioni afperitatis&: lenitatis,
unde in pitftis capillis uel ueftibus alicuius picfbe imaginis propter logitudinem diftan
ti.r xftimatur afpericas,idco quia fenfus confueuit accipere afperitatcmm capillis ue-
ris & idem accidit in rugis ueftium depidarum,qu* propter diftanttam uidentur repli
catx,cum fint in ana fuperficie conftitutx.Simfliter etiam fi magna diftantia opponat
uifui corpus,in quo eft modica afperitas, putabitur lcnitas,quia a tali diftatia no poteft
difeerni diuerfitas partium aut proiciftio umbrae partium eminentium fuper depreflas,
unde indicatur ineo lenitas. Ex intemperantia etiam litus fit error in uifione afpcru
tatis &: lenitatis.Si em ii capillis depidiis alicuius picftx imaginis fiat obliqua reflexio
luris,ucpote uifu non exiftente in loco reflexionis fiet comprehenfio afperitatis capillo
rum.cu non fit nifi lenitas in illis:hoc autem non accideret uiiiii direcfte lucem reflexam
excipienti,quia tunc ucra lenitas appareret,cum etiam corpus aliquod in quo eft modi
ca afperitas obliquatum fuerit ab axe uiTuali.tuc apparebit lene, quod fi direcfte tiifiii op
ponerctur,fua afperitas uifui fe offert. Ex intemperantiaetiam magnitudinis errot
accidit uifioni prxmiflbrum,cum enim occurrerit uifui res multum parua,uidebitur fol
telenitas ubi eft afperitas,auteconuerfb,non enim comprehenditur prominentia par*
tium aliarum fuper alias propter minima corporis parui tatem . Ex foliditatis edam
intemperantia error accidi t uifioni pracmifloru.Si enim in corpore multum raro fuerit
afperitas non magna,putabitur forte lenitas,& fi totum fiierit lene,& trans lpfum uide*
atur corpus afperum autdiueiforumcoloru,a:ftimabitur hoc corpus quod eftraru&lc
ne efle afperum, & erit error in afperitate& lenitate. Ex intemperantia etiam rarita*
tis error accidit uifioni pratmiflbrum, quia in aere nubilofb oblcuro uidebitur corpui
afperum efle lene propter latentes afperitatis c»ufas,&:ui(a. re polita cunon difeernitur
reflexio abea,atftimabitur forteafpera. Ex paruitate etiam temporis fit error inuifio*
nepra£imflbru,c5erum fubito uidetur aliquod afperum teftimabitur lene , Qi fi lene ui*
fum fuerit fubito non poterit difeerni lenitas aut afperitas, undefub dubio fit error. Ex
uiiusctiadebilicatefiterror fn uifion^pc^miflbru.quia forte uifus debflisreputabftcor
pus modice afperum fore lene , uel econuerfo,fi in formis corporis afperi Sileni fuerit
diflimiiitudo,paretergo propofitum. CXLir.

Diafonitas comprehenditur a uifu cx comprehenfione forma: corporis
ultra corpus diafonum exi dentis.

Quod diafonitas comprehendatur modo propofito fatis patet, dicimus enim ut in
principio fecundi huius prxmifimus, illa corpora diafona,qua: fiint peruia uifui ad ali»
corpora uidenda, corpus itacp diafonu per fe non uidetur ,ut patet per 14* terti) huius,
nifiin ipfb fit aliqua fpiflitudo rcfpe&u diafonitatis aeris interiacentis uifum,ut eft cri*
ft alius & berillus,& (imilia denfa diafona, fed etiam illorum diafonitas d uifu non com
prehenditur ,nifi ex comprehenfione forma: corporis exiftentis ultra illa uel in circuitu
ipforum , quorum lux uel color per media illa diafona peruenit ad uifum, cu ergo uifus
comprehedit,quod formaluds uel coloris comprchenu ile eft folum corporis ultra cor
pus diafonum exiftentis.tunc fentiet diafonitatem corporis diafoni;quod fi corpus dia
tonum fuerit debilis diafonita tis,utpote maioris fpiflitudinis quSm alia diafona, & cor*
pora ultra ipfum exiftentia fuerint debilis lucis uel coloris,tuc diafonitas eius uix com*
prehenditur i uifuubi apponatur forti luci, tunc enim poteft eius diafonitas melius co
prehendi:propter applicatione aut proxima corpo^ ualetfpifloru talibus corporib^df
afonis,ipfbm coprehenfio a uifuquantu ad parte applicatiois penitus impeditur.ut pa
tet dehyafpide in auro, patet ergo propofitum « cxliii.

Spiflirudo fiuc den fitas coprehendic a uifu ex priuatfone diafonitatis.

Cum cnrm uifus comprehendit corpus aliquod,& no fentiet in ipfb aliqua dfafb
nitatem,ftatim arguet ipfius fpj'flitudine,quia cu ftatfm ad illud corpus terminat opera

tlo

LIBER. Q.VARTVS. n 6

tio uifiua, ncc aliquid penetrat, g illud uero uifira exercetur ad oidehdd ultra ipfiim for*
mas aliorum corporum, tunc iudicat uifus ipfum efle (piflum flue denfum 8i parciu con
pa<fhrum,&! (Ic comprehenditur (piflitudo uel denfitas i uifu ex priuatione diafbnita*
t is .quod proponebatur. C X L 1 1 1 1.

In raritatis Si (bliditatis uifioe erroraccidit uirtuti diftimfliua: exintem*
perata difpofitione odio circunftantiarum cuiuslibet rei uiftc.

Ex lucis enim debilitate ut de node uidebitur corporis multum rari minor efle
raritaris,quia tamen trans ipfum non plena fit comprehendo forma corporis folidi,
aftimabitur remiflio raritatis uiam tranfitus formaru prohibere, &' corpus modice ra*
rum etiam tunciudicabitur iblidum. Ex intemperantia etiam remotionis fit error in
uifione prsmiflbnim.cum enim circa oculum erigitur acus, aut aliquid aliud multum
fubtile , licet illud appareat uiiiii maius quim fit, tamen nihil occultatur ei de oppofito
pariete aut alio corpore, unde quia raritasnon perpenditur , non quod retro corpora
rara alia corpora uidentur, ut patet per f4z,huius, aftirnab/turdiafonitas efle in acu,
aut in alio corpore, cum retro ipfum torus paries uideatur,quod tamen accidit id eo, q a
remotio tam modica relpcdlu occultationis acus eft immoderata. Similiteretiamil
quis i longe intueatur corpus rarum retro, quod non fit aliquod corpus coloratum aut
tenebrofum,non reputabitur illud corpus rarum ied iblidum , quia retro ipfum non g*
cipitur aliud corpus quod eft proprietas corporum raromm. Ex intemperata etiam
fitus difpofitione accidit error inprxdicftorum uifione , Si enim defeenderit lux dedis
nata in uitrum plenum uino.Sf lateat uifum tranfitus lucis per uitrum , & fit magna de-
clinatio lucis illius i radijs incidentibus, lateat quocp uidentem uinu efle in uaie uitreoi,
tunc arftimabitur i uidente uinum efle corpus lolidom, fcificet uinum cum uafe uitreo,
& non accidet hfc error in tranfltu Iucisper uasuitreum direcfte oppofitum . Ex in*
temperata etiam magnitudine accidircrror in uifione prarmiflbrum . Si quis enim ins
tueatur corpus ualde purum politum, ut ab eo lux poflit rcflecfti,fiC fit fimile margaritae,
iudicabit ipfum uifus efle rarum cum fit denfum , fimul utlo corpore ravo multum par-
uo,quia poftipium non fit corporis (olidi coprehenfio.fimulabitur folido. Ex intem-
perata etiam loliditate fit error in uifione prarmiflbrum, Si enim retro corpus ualde ra-
rum fit aliquod corpus non multum rarum di colore forti coloratum , tunc apparebit
primum non multum ramm, fed aflimilabitur eius raritas pofterioris corporis rarita-
ti, ut uitrum ali) uitro fuppofitum non apparet ita rarum ficut apparet adhibito uifti fi*
bi (blijUnde fit error in raritate ,Si autem poft corpus rarum ponatur ualde propinque
corpus (blidum,tunc primum iudicabitur (olidum , 8C fit error in loliditate . Si etiam
uas uitreum ualde rarum contineat uinum , cum poft illud non percipiatur lux aut cor*
pus aliud, iudicabitur forte uinum ipfum cum uitreo efle unum corpus folidum. Item
etiam accidit error in uifione prarmiflbrum ex paucitate raritatis. In aere enim nubilo-
fo obduro corpus rarum apparebit minus ramm , di forte putabitur (olidum , & ita fit
error in fioliditate & raritate . Ex paruitate etiam temporis fiterror in uifione prar*
miflorum.luceenim declinata fuper corpus remifle rarum, ipfo quocp defeendente fubi
to per uifum ,cum non percipiatur declinatio Iucis,putabitur forfitan quod illud fit ra»>
rum infima raritatis, aii fi in tempore maiori fiat intuitus,percipientur ab ipfo ui(u de
clinationem lucis efle caufam apparentia maiorisraritatisincorporeremifleraro. Si
quis etiam inftanter intueatur corpus rarum,&: poft ipfum non dilcernat lucis tranfltu,
putabit ipfum efle folidum . Debilitas etiam uiftis errorem inuchit uifioni pramiflo*
rum, cum enim fuerit in corpore raro (bliditas pauca,aftimabitur i uifti debili illa foli*
ditas maior qudmuera,&cu fuerint in corpore raro color fortis aut poft ipfum,autra
ritas modica, putabitur illud corpus uiftii debili efle foltdu, patet ergo uniuerlaliter in
oibtis illud qcr proponebatur. C x L v .

V mbra coprehendit a uifu ex priuatione alicuius lucis luce altera pfente.

Eft enim umbra priuatio cuiuldam lucis exiftente ablu prarfentia lucis alterius in lo
co umbro(b:cum itacp (enierit uiftjs corpus uicinum umbra maioris illuminationis ,
fortioris quam corpus exiftes in loco umbrofo , tunc ientiet obumbratione illius loci dC

p vilia*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
priuationem luds incidentis corporibus uicinis ipfi,cum itacp uifiis fenferit aliquam Iu
ccm in aliquo Ioco,qui careatlucc Tolis prima5guar proijcitur fecundum diredionera*
dioR-, percipiet tamen fecudam qua: fitex diffuuonc lucis prima;, ut cum in domum u *
nicam habentem feneftram radius folisincidit,totamdomufiii diffiilione illuminatis,
tunc uifiis extra locum radq exiftens fentiet umbrationem locf& priuationem a prima
luce (olis qua; eft in radio uel in alia luce for ti,& forte uifiis quandoqj ftatim fentiet cor*
pus umbrofum,quandoq} non nifi per diligentem intuitionem38<! quandocp uidebitum
bram multiplicatam fecundum diuerfaru lucium priuationem , Temper aliqua luce re*
manente,cx cuius adualitate uifus poflit luam adionem ad alia exercere : uniuerTaliter
itaqi fecundum omnes modos umbrarum quos prtemifimus poliunt uideri umbra
hoccftpropofitum,

CXLVI*

Obfcuritas comprehenditur a uifu ex omnimoda priuatione lucis.

Cum uiTus comprehendit aliquem loeu & nullam lucem in illa,tuc fentiet eius ob*
fcuritatem,licet forte illa obfcuritas ab umbris caufetur, ut in carcere exeo de die pro-
pter umbras deniorum parietum uidetur obfeuritas,& nox obfcura eft ex umbra terra,
eft ergo obfeuritas umbra magna.cuius terminus ad aliquidlucidum pertingere non
fcntic ur, (Tcut etiam umbra eft obfcuritas parua habens aliquam acftum lucis , di ad ali*
quod lucidum terminata,patet ergopropofitu.

CXLV II,

In umbra: & obfcuritatis uifione error accidit uirtuti diftincliuae exins
temperata difpoiltione odo circuftantiarum cuiuslibet rei uifx.

Ex intemperata luce difpofitione error accidit in uifione umbra: Qi obicur/tatis, Si
enim in pariete albo fuerint partes obfcurte , di cadat (iiper parietem albu lux candete,
poteft accidere quod uidens illam obfcuritatem iudicabit ipfam efle umbram, & forfan
uidebitur quod procedat apparens umbra a pariete uicino , 8C fi fuerit in parte patie-
tis nigredo multum intenfa,xftimabitur forte uacuitas foraminis prxbens iter egredi*
entibus tenebris,Si fi tota fuperficies parietis fit denigrata intenfa nigredine/orfan to
tus paries xftimabitur quadam obfcuritas tenebrarum,ficut accidit in pariete cooper-
to fuligine fumorum uiib fub debili Iuce.Ex fuperfluitate etiam remotionis error aed
dit in uifione umbra; & obfcuritatis.Si enim i maxima diftantia opponatur uifuicon
pus album,ia quo fic aliqua pars tenebroia luce (olis (iiper corpus illud defcendente,ap
parebicumbra in parte corporis tencbrofa,& fi tunc uideatur corpus aliud iuxta illud
primum.xftimabitur quod umbra apparens proijciatur ab illo alio cor porefuper pri-
mum. Sic ergo propter excefliim diftantia; fit error in uifione umbra;, fi eriam i loge u u
deatur corpus album in quo fint partes multa; nigra?,aeftimabntur fortaflis in parteilla
tenebra; .credetur enim aliqd corpus album fecundum fui partes nigras pcrforatum.per
quos fiat egredio tenebrarum exiftentium retro corpus album : hoc autem non accide*
ret in temperata remotione. Ex inordinatione etia fi tus oppofitiois accidit error inui*
Cone praemiflbrum,ficut di ex intemperata rcmotione:corpore enim aliquo elongato li
fixerit in eo pars tenebrofo, putabitur fortaflis umbra, & fi corpus aliquod fuerit drcail*
lud primu pofitum,xftimabitur umbra proqci ab illo fecundo corpore faper primum,&
fi in corpore illo fuerit pars multum nigra ,xftimabitur forte (n loco illo cuiufdam fora
minis perforatio per quam egrediatur tenebra exiftens retro corpus albu , hoc autem
non accideret in corpore approximanti diredioni oppofita. Ex parilitate etiam qua»
titatis rei uifie accidit error in uifione pitemiflorum.Si enim in pariete albo uifui oppo
fito fuerit puneftorum non ualde nigrorum diftindio.adhibita luce folis direde in patie
te cadente uel prope.ajftimabuntur duidente fingula puda illa fingula efle foraminain
quibus fit umbra, cum lux non penetret ea,ficut folet accidere luce (iiper fiiperfidemfo
raminum multorum cadente, di fit error umbra; ex (ola pudorum paruitate; quod Ilii
la puda funt maxima; nigritudinis,tuc a;ftimabutur efle foramina parua per qua: tran
feant tenebra:, & fic etiam (bla illorum pundoruparuitaseft caufa apparitionis tene

LIBBR. C^VAKTVS* n?

ferarum. Ex intemper3ta'etiamfbliditate,utpote propter dcfodum ( bliditatfe fit ere
ror in umbra: di obfcuritatis uifione,luce enim folis in domu g fbrame aliquod defeen*
dente, & itipcr feneftram uitream cadentc,fi domus iHa fuerit umbroia .apparebit fuper
feneftram illam umbrajicet in ueritate lux (iiper ipfam inciderit.qua: quidem lux cont
prehenderetur fi (olidum efiet feneftra; corpus, quam tunc lux non penetra r,8C ita fiiper
(olidum corpus lux apparet, fit ergo error in umbra propter defectionem folidiratis.Si
•militer etiam fiterror in uifione tenebrarum fecundum obfcuritates exindilpoficione
(bliditatis,quialuce(blisinaqua fluminis directe non defeendente aut in mare .ficut
acciditin hora matutina 8i uefpertina , fi fuerit magna claritas in qua apparebit tene
brofa,& quato fiierit clarior tanto apparebit tcnebro(ior,6C accidit hoc , quoniam pars
aqua fuperiorqpibramprotjcitluper proxima partem aqua: in feriore, & illa proxima
fuper aliam proximam infcriorem,& ita per fingulas partes femg (iiperior prorjcit tim
bram fiiper inferiorem ufq? ad fundu aqua: , di licet fingula rum partium umbra in (e fic
modica .plures tamen umbra: coniunctae unam faciut maximam umbram, ficut palam
eft in colore u ini accidere. In modica enim quantitate uini color eft debilis , di in multa
quantitate uini licet totum tunum fit homogeneum in (iibftantia di colore , fit fortior
idem color . Cum aut quterit in mari umbra fuis partibus fuperforibus fuper inferio*
res tacentibus, uideantur efle tenebra: in maris elaritate,hoc eft quoniam intenfa ipfius
claritas eft fignum intenfie raritatis.qux formis uifibilibus maiorem concedit penetra
tioncm,unde fic maior difEifio formarum pluriu maris partium umbram facientium,
quarum umbrarum aggregatarum perceptio induat fimilitudinem tcnebrarum.Si ue*-
ro mare fuerit turbulentum propter diminutam raritatem,pcnetrabunt forma parttu
pauca: penienietes ad ui(um,a comprehedetur modica aqua: pars, quae liceat fecit um
bram , tamen cum ipfa fit modica erit umbra remifia , di uincet color illius partis um-
bram. In turbida enim aqua aliquis color partium aqua: apparet,6i! in daranullus, un-
de Si propter apparitionem turbidum colorem, & propter umbrae partis apparentis re
miflionem non comprchendutur in aqua tenebrae, & inde eft cum fiierit turbida appa*
ccbit colorata, di cum eft clara apparebit tenebrofa. Solis autem radio cadente directe
fuper maris fuperficiem,cum ei propter raritatem eius pateat tranfitus, abrjcitur ornis
tenebra Si umbra: apparetia.Ex defeifhi itacg foliditatis caufatur di umbra di tenebra:,
quia per corpus perfecffce folidum non fit tranfitus luminis, & per corpus perfefta: rari-
tatis fit tranfitus lum inis fi ne umbra . Ex intemperantia etiam raritatis accidit er-
ror in uifione prarmiflbrum.Si ultra aerem nubilofum ucl tenebrofum ut in crepufcu*
lis uideatur corpus album,in quo fint particula: rotuda: nigra: , tuc luce ignis in corpus
illud cadente, ita ut non mutetur tota difpoficio aeris illius , apparebit in locis illis um*
bra,aut forte reputabuntur foramina pratftatia uianftencbris.quaeflmt retro illud cor-
pus ad uilum pertingentes,ficergo propter corporis intemperata raritatem accidet er
ror in uifione umbrae & obfcuritatis.Ex parilitate etiam temporis accidit error in ui-
fione pneiniiloru.Si enim in albo pariete fint partes fijbnigrae defeendetes fuper i pfum
parietem luce ignis,ill3e partes nigrae fubito uifie putabuntur efle umbrae. Si uero n igre
do illarum partium fuerit intenfa.tunc acftimabuntur foramina tenebris plena . Ex ut*
fns etia debilitate error accidit uifioni praemiflorum. In pariete enim albo macula: fiib
nigrae defeendente luce (uper iplas apparent debili uifui efle umbrae , di fi fuerint multu
nigra: apparebunt efle foramina, per qua: tenebra: ex locis quae funt retro illum album
parietem perueniant ad uifum. In omnibus ergo prarmiflis ocfto uifibilium drcuftan*
tijs patet quod proponebatur,

cxLvm,

Pulchritudo comprehendit a uifu ex comprehenfione fimplici formam
uifibilium placentium animze, uel coiunclione plurium uifibilium intentio
num habentium ad inuicem proportionem debitam formae uifae ,

Fit enim placentia anima:,quat pulchritudo dicitur,quadoqj ex coprehenfionc flrrt
plici uifibiliu formarurr^ut patet per omnes fpecies uifibdiu dxfourrcndo , ut ciri ex em*

G plarit’

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
planter dicamus, & al/a per hoc accipiantur. Lux qua eft primum uifibile facit pulchri
tudincm.unde uidentur pulchra fol & luna Si ftellae propter lucem fbla.Color etia facit
pulchritudine.ficut color uiridis Si rofeus,& alij colores fcinrillantes forma fibi appro-
ptaci luminis uifui diffundentes . Remotio quoqj Si approximatio feciut pulchritudo
ncm in uifu, in quibufdacm formis pulchris funt maculae turpes parua Si rugiofar,dif*
plicentes anima uidenti,quar ppter remotionem latent uifiim,& forma placita anima
ex illa remotione peruenit ad uifum, In mulas quoqj formis pulchris fant intentiones
parti* fubtiles coopcrantes pulchritudini formarum, ficut eft lineatio decens Si ardi*
natio partium uenufta.qua tantum in ,ppincjuitatc ad uifum apparent, & faciut forma
uifui pulchram apparere.Magnttudo etiam facit pulchritudinem in uifu , Si .ppter hoc
luna apparet pulchrior alqs ftellis,quia uidetur maior, & ftell* maiorespulchriores mi
no.ribus,ut maxime patet in illis ftellis qua: funt magnitudinis prima: tiel fecudx, Situs
quoqj fecit pulchritudine in uilu,quonia plures intentioes pulchra: no uident pulchra:
nifi per ordinatione parciu,unde fer ip tura Si pidf ura,onies quoqj intentiones uilTbiles
ordinat*& permutat* no apparent pulchrae nifi g copetentcm libi fitu,quamuis enim
figurae lmea m fint oes g fe bene d/fpofita & pulchrae, Si tamen una ipfaft- eft magna Si
alia parua, no iud/cabit uiius pulchras fcripturas,qu* funt ex illis. Figura eria fecit pul-
chritudinem,unde artificiata bene figura» uidentur pulchra, magis aut opera natura:,
unde oculi hominis cu fint figurae amigdalaris Si oblongae uidetur pulchri, rotudi uero
oculi uidentur penitus deformes, Corporeitasetiam facit pulchritudine inurfii,undeui
detur polchru corpus fpliaera Si columna rotuda Si bene quadratum corpus. Continua
tio quoqj facit pulchritudinem in uifu, unde fpatiauiridia cotinua placent uiliii, Si plan
tx fpiflx uirides,quia quae accedunt continuati funt pulchriores eifdem difperfis. Dii
uitio etia fecit pulchritudinem in uifu.unde ftellac feparat* Si diftindae funt pulchriores
ftellis approximatis nimis ad inuicem, ut ftell* galaxiae Si candela; diffindi* funt pid
chrioresmagno adunato igne. Nummis etiam fecit pulchritudinem in uifu,& pro-

pter hoc loca coeli multarum ftellaru diffindar um funt pulchriora locis paucaru ftella*
rum,6d plures candelae funt pulchriores paucis. Motus quoqj Si quies faciut in uifupul
chricudincm,motus em hois in fermone Si (eparatione eius facit pulchritudine, Si <ppter
hoc apparet pulchra grauitas in loquendo Si taciturnitas diftinguens ordinate uer-
ba, Afpcritas etia fecit pulchritudinem , ufilofitas enim pannojt cathenatoru & aliorS
placet uifui. Planicies quoqj uifui pulchritudinem facit, quia planicies pannorum fe*
ricorum Si f! ad politionem fiue rerfione accedunt placet anima: , Si eft pulchrum uifui.
Diafonitasetiam fecit pulchritudinem apparere, quia per ipfam uidentur de node res
micantes.ut patet de aere fereno per quem node uidentur ftell*, ^d non accidit in aere
condcnlato japter uapores. Spiflitudo etia facit pulchritudinem, qnoniam lux Si co
lor Si figur* Si lineatio Si omne pulchrum uifibile comprehenduntur i uifu propter ter
minationem corporum quibus infunt,qux terminatio i fpiflitudine caufatur.Et umbra
fecit apparere pulchritudinem, quonia in multis formis uifibilium funt maculas fubtiles
reddentes ipfas turpes cu fuerint in luce, quae in umbra uel luce debili uifum funt laten*
tes. Tortuofitas quoqj qua: eft in plumis auiu,ut pauonum Si aliaru, quia facit umbras,
facit apparere pulchritudine uifui propter umbra, qua; uifui admixtione cu lumine cau
fat uarios colores, qui tn non apparent in umbra uel in luce debiIi,Obfcuritas etia facit
pulchritudinem apparere uifui, quoniam ftell* no uidentur nifi in obfcuro. Similitudo
etiam pulchritudine fecit,quoniam membra eiufde aialis ut Socratis non apparent pul
chra,nifi quado fuerint confimilia,unde oaili quoju unus eft rotundus et alter oblongus
non font pulchri, uel fi unus maior fuerit altero,uel unus niger Si alter uiridis,uel fi una
gena fuerit profunda Si altera prominens, erit em tota facies no pulchra , qih enimpar
tes congenex no fiierint cofimiles. Diuerfitas etiam facit pulchritudinem,quoniS di*
uerfx gtes uniuerfi ornat Si pulcru faciut imiuerfum,& diuerfx partes aialiu aialiatean
dem quoqj manum ornat diuerfitas digitorum , omnis enim pulchritudo membrorum
eft ex diuerfitate figurarum partium ipfarum , fic ergo pulchritudo comprehenditur i

LIBER. O.VARTVL 118

uifu cx comprchenfione limplici formarum uifibilium placentium animar.quodlibct ta
men iftarum uifibilium intentionum no facit pulchritudinem in qualibet forma in qua
uenit illa intentio ad uifiimtquarlibet enim figura no facit pulchri tudine in qualibet for
ma,& fimilitcrdealijs omnibusintmtionibusparticularibusuifibilium quorumcuncjj.
Ex coniundionequocg plurium intentionum formaru uifibilium ad inuicem,& no fo-
lum ex ipfis intentionibus uifibilium fit pulcliritudo in uifu,ut quoniam colores fcintil-
Iantcs& pidura limilitcr proportionata fiint pulchriora coloribus & piduris carentia
bus ordinatione confimiIi,&! fimiliter cft i n uultu huma no . Rotunditas enim faciei cu
tenuitate 8i fubtilitate coloris eft pulchrior qu^m unum fine altero,& mediocris parui*
tas oris cum gracilitate labiorum proportionali eft pulchrior parui tate oris cum grofti
tudine labiorum. In multis itaqj formis uifibilium c5iundio,qtue eft in formis diuerfis,
facit modum pulchritudinis , quem no facit una illarum intentionum per fc;facit auie
proportionalitas partium debita alicui forma: naturali uel artificiali in coiundione in
tentionum fenfibilium pulchritudinem magts,qu^m aliqua intentionum particulariu:
omnes enim pulchritudines quas faciut intentiones fenfibiles ex ipfarum coniundione
adinuiccm confiftut in proportio nalitate debita formis quas perficiunt fub modo illius
coniundionis.-cu itaqj comprehendit aliquam rem uifam in qua eft aliqua intentio par
ticularis faciens per fe pulcnritudine.tunc peruenit forma illius intentionis poft intui*
tum ad uirtute fentiente,& coprehendet uirtus diftindiua pulchritudine rei uifae in qua
eft illa intentio,&! fic coiundio diuerfarum intentionu fit caufans pulchrirudinc.cu per
uenerit illa coniundio ad fentiente,tuc uirtus diftindiua coparabi t illas intentioes ad
inuicem,& tunc comprehendet pulchritudine rei uiia: copoftta: ex illaru intentionu co
iundione qua: fiint in ea, Si hi fiint modi penes quos accipitur 5 uifu omniS formarum
fenfibilium pulchritudorin pluribus tamen iftoru confuctudo facit pulchritudinc,unde
unaquarqj gens hominum approbat fux cofuetudinis forma,ficut illud quod per (e atfti
mat pnlchrum in fine pulchritudinistaliosenim colores &! ,p portiones partiu corooris
humani Si piduraru approbat Maurus Si alios Danus,& inter hsec extrema & ipfis ,pxi
ma Germanus approbat medios colores Si corporis proceritates & mores : Si ficut uni*
cuicp fuus .pprius mos eft,fic & .ppria xftimatio pulchritudinis accidit unicuiq* : de his
ergo topice & figuraliter fit didum,&! patet quod proponebatur,

CX L IX. .

Turpitudo comprehenditur a uifu, cum intentioes fenfibiles nec^ per fe
neq; ex coiumftione ipfarum ad inuice aliqua pulchritudine fiint caufantes.

Turpitudo formarum cft priuatio pulchritudinis in eis:iam autem pra:miflum eft,
quod intentiones no faciunt puleliritudinem in omnibus fbrmis^ed in quibufdam tan*
tum, formae itacp in quibus non faciunt intentiones particulares aliquam pulchritudi*
nem neq* per fe neq? per fuam comundioncm , ut illa in quibus non eft aliqua confue*
ta propor tionalitas inter ipforum partes, carent omni pulchritudine,^: fic funt turpes.
Si fi quandoq; accidat in eadem forma congregari intentiones pulchras Si turpes, tunc
uilus comprehendit pulchritudinem ex pulchro, '& turpitudinem ex turpi auxilio uir-
tutis diftindiua?, quando fuerit intuens intentiones qua: funt in illa forma , patet ergo
quomodo i uilu comprehenditur turpitudo,fed etiam in hoc plurimum coadiuuat con
fuetudo, .ppter qua nonnunqna accidit uni uideri turpe, quod uidetar alteri g pulchru,
CL.

In pulchritudinis Si deformitatis uifione uirtuti diftmtftiua: error acci*
ditex intemperata dilpofitione o&ocircunftantiarum cuiuslibetref u ffe*
Ex paruitateenim lucis error accidit uifioni pulchritudinis Si deformitatis, de no*
decnimuidetur facies formofa, licet in ea fint macula: , ficut lentiginesuel ficut cicatri*
ces puftularum. Et fi flierint in re uifa pidurx fubtiles rem perfedius informantcs,cum
illa: in node uifiim lateant,uidetur res deformis. Remotio etiam excedens modum,cft
caufa erroris uifionis prtemillorum. Cum enim i longe refpicicur res aliqua , fi fuerint

G x in ca

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
In ea macula: partiar /pfam deformanrcs.illas ex diftantia accidit occultar/,& indicabo
tiir res formo(a,&' f i i magna diftantia uidcatur res in qua ftint pidura* minutae, in qui*
bus conftftir pulchritudo illius rei, illa res indicabitur dcformis,quoniam uirtus diftin*
tiua iudicac res fecundum quod apparent. Ex inordinatione etiam litus oppofttionis
accidit error uilioni p nem illorum. Cum enim corpus aliquod remotum fuerit ab axe
uifuali.in qua funt macula: minuta: deformantes rem, tunc nonnunquam maculteillx
occaltabuntur propter obliquationem rcfpedu axisuiftialis,& obhoc facies lentigi*
nofa oblique uifa uidetur pulchra,unde etiam accidit, quod cum luna oblique afpicitur
latent umibrofae macula: fpfius, & tunc pulchrior uidetur: fi autem in corpore aliquo ui
fb fuerint picfkirae iubciles rem decorantes.illa: piefturte obliquateead uiftim latebunt i*
pftim,&adiudicabiturpulchritudodeformitati.Exparuitate etiam magnitudinis ac
cidit erroi uifioni pnemitlorum in exemplis pntmiftis,- cum propter folam fui paruita^
te aliqua minuta ipfas res uifibiles deformantia ijel decorantia non uidentur. Ex de*
fedtu etiam fbliditatis fit error in uifione prxmifibrum, Si enim in uafe uitreo multum
raro fint aliqua parua: particula uel menfurationes ipfi decorem inferetes,&’ impona-
tur uafi illiuinum turbidum & turpe uel feculentum, tunc occultabuntur illa: deco-
ris cauftc,& iudicabitur uas deforme, & fic uas tale deformant aliqua: particula:, & f? im
ponatur ei uinum clarum lucidum coloris formofi p!acidi,occultabuntur illae caufx tur
pitudinis & apparet uas pulchnim. Ex intemperantia etiam raritatis error accidit ui-
lioni pramiflbrum,cum propter aerem obfcurum nubilofum caufx pulchritudinis uel
deformitatisnonuidentur. Ex temporis quocGq? breuitate error accidit uifioni prat-
nuilbrum, quoniam in paruo tempore non ftint comprehcnfibiles minutfe caufte pul-
chritudinis & deformitatis , ficut accidit cu aliquis f nfpiciens per foramen uiderit ali-
quam faciem, tuc enim aliquando deformem iudicat efle pulchram^ aliquando econ*
uerfo,& idem aeddit mota re uifa fubito remanente oailo non moto . Ex uifus etiam
debilitate error aeddit uifioni prarmiflbrum.minuta enim quae funt circa pulchritudi*
nis uel deformitatis uifus debilis non uidet,unde modo contrario iudicat unumquodqj
tftorum, patet ergo .ppofitum . c li,

Confimilitudo comprehenditur i uifucx conuenicntiaformarum com*
prehenfarum ad inuicem ,

Eft enim confimilitudo xqualitas duamm formarum aut duarum intentionum in
re in qua funt confimiles. Cum itacp nifus comprehenderit duas formas aut duas inten
tiones confimiles in fimul,comprehendcr confimilitudinem illarum ex comprehenfioe
cuiuslibet illarum duarum formarum & ftiarum intentionum ex comparatioe alterius
illarum ad alteram .uifus iracp comprehendet confimilitudinem in formis & intentioni
bus confimilibus ex coprehcnfione cuiuslibet formaru intentionu fecundum fuum efle
& ex coprchenfione illate ad inuice . C l 1 1.

Diuerfitas comprehenditur a uifu expriuatione confimilitudinis in for
misfenfibilibus comprehenfis.

Cum enim diuerfitas nt hic accipitur non fit aliud cp differentia formaru fenfibih'5
coprehcnfarum i uilu,hxc diuerfitas coprehenditur a uiftjin formis diuerfis ex compte
henfione aiiuslibet illarum formaru diuerfarfftfiC ex coparatione alterius illarum ad al-
tera, &cx coprehenfione priuatiois cofimilitudinis in eis:diuerfitas ergo c5prehendit
P fenfum uifus ex coprehefione cuiuslibet formaru & intentionu p fe,&: ex comparatio
ne ipfarum adinuicem,& ex fenfo priuationis confimilitudinis ab ipfo fentiente ,
CLIII,

In fimihtudims&diuerfitatis uifione error accidit uirtutidifhneftiuce ex
intemperaradifpofirioneotftotircuftantiarumcuiuslibetreiuifse.

Ex paucitate enim lucis error accidit in uifione confimilitudinis diuerfitatis
corporum ciuftfem coloris fccudum fpcciem,tiel eiuidem figura: fecundu fpeciem in qu|
bus partialis diuerfitas g latentia figna diftinda eft, tuc em illa in lucedebili no uident.

LIBER. Q^V ARTVS. r ,p

& ob Iioc Iter illa corga oTmoda iudicabit fimiIftudo:& fi afiq corpa fofu,ppter afidf m<
nuta (igna ipfis comunia gticipent fimilicudine,tuc,ppter luas debilitate illis caufis c5
fimilitudinis no gcep tis iudicabit diuerfitas totaIis,4d no accideret in luce remgata.Ex
(upflua etia elongatione accidit error in pmiflbp: uifione, ut patet in pmiflis exeplis.Mi
nuta: em caufe fimilitudinis uel dilTimilitudmis d magna remotione non indentur per
odraua huius.Et (Tmiliter etiam eiuldem error accidit ex (itus nimia obliquatione, qua:
res pamas non (init comprehendi d uifu per z6, huius. Accidit etiam error in pnem ino-
rum uifione propter caularum confimilitudmis uel diffimilitudinis paruitate, propter
quam ceteris exiftentibus conuenientcr uifui difpofttis non uidentnr. Ex defeciu eti.1
(oliditatiserroraccidituifioni prxmidbrum.Si enim duouafa multum rara conueni-
ant in fpecie, figura & raritate , fcd diferepent in aliqua fuarum partium difpoGtioc,tuc
uino eiuldem coloris & claritatis ambo repleta Iatebut caufe diucrfitatis, Si reputabun
tur omnino fimilia,qai error accidit propter detedhun ipfbrum (blidttatis,quiac5finc
peruia,ideo res per ipfauila fimilitudinis uel diffimilitudinis aufert caufas. Ex intem*
perantia etiam raritatis accidit error in uifione prarmiflorum, in aere enim nubilofb di
obfcuro minuta: caufe fimilitudinis uel diflimilitudinis non uidcntur.Ex temporis eti
am breuitate pramifiomm uifioni error accidfequoniam particulares fimilitudinis uel
diffimilitudinis caufe parniflimo tempore infpecfta: latent uiilim.Debilitas etiam uifus
errorem illorum uifioni adduciqquia minutas ipforum.f. fimilitudinis uel.difilmilmidi
nis caufas uifus debilis perlpiccre non poteft, patet ergo propofitum,

CLIIII,

Virtuti diftin&iua: error quandocp accidit ex caufarum plurium ag=*
gregatione, quarum nulla per (e ad errorem fufficit caufandum.

Quandoq; enim dua: intemperantia: ciramftantiarum ocio omnium mfibilium c5
currunt in uno uifibili, fiC faciunt errorem in uifu,1icet neutra ipfaru per fe (iifficerct ad
caufandum erro rem, fi enim moucatur aliquid i magna diftantia motu tardo, illud (libi
to uifum uidebitur non motum, di motus ille pollet percipi in diftantia temperata etia
fubiro uifii,uel etiam poflet percipi in illa remota diftantia per intuitum diligente tem
pore conuenienti.Scd illis duabus caufis erroris concurrentibus, tunc errabit uirais di-
ftindh'ua,& uidebitur res immota. Sed etia quadocp concurrunt inteperantiae plures ad
unum errorem caufandum ,quam nulla illarum per (ecau(aret,Si enim d magna diftan
tia fub debili luce in tempore modico opponatur uifui debili corpus dinerforum colopi
motum tardo motu, tunc forte uidebitur quicfcere.Sed motus eius qualibet illarum cau
(arum aliquo deficiente percipi forte pofiet,& forte quandoqj intemperanti* omnium
ciKumftatiarum corporum uifibilium concurrunt ad unum errorem caufandum, uel
quandoqj plurium illarum, 8i fecundum diucrfas combinationes qua: plus experientia
cf; rationem rcfpiciunt fecundum omnem fui diuerfitatem,unde dc his fic efle fiiffidt ex
cmplariter. c l v.

Error accidit uifui uia feientize per inconuenientem applicationem for^
m*,qua: cftin anima alicui rei uiftc in inteperantia cuiuslibet odio circum-;
ftantiarum rei uifsc.

Cum enim res alia aut alterius fpeciei uifui apparet c{j fit in rei ueritate,tunc fit cr*
ror uia (cienti* in uifu, quoniam forma quiefeensin anima inconuenienter alteri rei
applicatur cui non conuenit,& hoc accidit propter intemperantia cuiuslibet odio cir*.
ainftantiarum rerum uifibiliu. Propter defedlum enim lucis fit plurimus error in re-
rum cognitione,ut hoc euidenter perfe patet.Debflitasemmlucisnimia,errorem in*
fert forma: uife,unde accidit error in crepufculis in omnibus uifis,unde etiam nodlilus
ca uidentnr lucere in tenebris.quorum forma non eft lumen, nec etiam fcintiffans co.;
lor,qux omnia non acciderent in luce tempcrata.Etpropter diftantiam etiam nimiam
uifibilis d u ilii accidit hominem notum quandoc# pro extraneo reputari. Si econtrario,:
uel etiam notum unum pro alio noto, ut Socratem pro Platone, aut econtrario, & qua*

G 3 docp

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
docp aliquis uidens equum, putat fcuidereaffnum. Et untuerfalfter fit error fcientiar,
uel i tpecic ad ipcciem.ucl ab indiuiduo ad indiuiduum eiufdem fpcciei : uel ab indi*
uiduo fpctici unius ad lndiuiduum fpccici alterius,ut equus Petri arftimatur mulus
Martin/. Etquandoqj quisuidcns ignem remotumlongc in aere.putat ftcllam ui*
dcre.hare enim omnia fi prope eflent uidcrenturfine errore. Situs etiam oppofi*
tionis errorem indnciqquandocp enim Petrus remotus ab axeuifuali, putabitur Mar-
tinusA quandora equus uifus, putabitur ede afinus.qux fi diretfle uifui opponantur er*
ror penitus ceflabit. Quantitas etiam extra temperantiam exiftens errorem facit ni-
fui & (cientiXjUt cum granum finapis crediair efle granum nafturrij. Soliditas etiam eft
caufa huius erroris.unde criftallus,cjuia parum eft lolida, creditur color eius efle color
rubri, fuppolito fibi tali colore&uifu inoppofitoexiftente. Diafonitas etiam nimis
diminuta huius error is eft caufa.uitroemcoloratouifui di rei uifie colorata: iterpofitte
teftimabit color corporis oppofiti mixnis ex colore ,pprio di colore uitri: & fi oculis di
rebus uifis interponatur pannus multum rarus, apparebit color corporis mixtus, non
q> (ecundfi ueritatem partes coloris rei per foramina panni tranleuntes concoloribus fi
iorum miiccantur.fed quia puncfta coloris rei u iCx di filorum fine diftantia fenfibili pro
pc admuicem in uiius fuper ficie fituantur.undc illi colores diuerfi uidentur pun&uali-
ter adinuicem coniundi,propter quod apparet uifui unus color ex illis ambobus colo*
ribus mixtus,ut fi magna (int panni foramina difeementur colores & panni di rei ui*
facfinealiquamixtura.Etex hoc accidit quod uiiocolqre alicuius corporis perpannu
laneum,uidebitur mixUira colorum plurimum confonans colori filorum, quia forami*
na panni lanci funt ftrida.qua: pilis multis coloratis conteguntur, & etiam cum jo-
culatores faciunt fub pannis (c circumftantibus imagines ligneas pidas moueri, tunc
fimilitudines illarum imaginum inlpicienti per pannum lineum fubcilem,ficut folct fie
r/,apparcbuntauesuclaliaanimaliaillis formis conuenientia, 8d hoc propter defeda
diatonitatis medij,qui a in aere praeter pannnum aliud uidetur. Temgis etia intempe
rantia huius erroris eft caufa. Si quis enim per foramen refpiciat aliquod corpus tran
fiens ueloci motu A non plene acquirat formam corporis,etiamfi quis fubitoaliquid
uidcatqnodftatimSuifurecedat.errabitin indiuiduo illius forma:, unde forfan eft er-
ror in fpecie uel in indiuiduo uel utroq;,forfan enim a:ftimabit equum fuifle mulu, uel
Petrum Martfnum,uel equum Petri fuifle mulum Martin/. Debilitas quoqj uiius hu
ius erroris eft caufa, ladiis enim uifus i colore forti cui incidit lumen forte,iudicat omne
colorem uilum illius coIor/s,ucI alterius coloris ex iHis duobus mixti, di etiam propter
oculorum tegritudinem aliquando equus apparet afinusA Socrates uidetur Plato. Et
fimiliter in ahjs uifibilibus errabit uifus propter folam intemperantiam fiia: arqualis di
fpofltionis nullo alio impedimento accedente.Si ergo errores fcientia: accidunt uifui fe
eundum fingulas intemperantias 8 .circumftantiarum rei uifx,ut patet.his autem di eo
rum fim{IibusnonduximusmuIniminfiftendu,quiahsc qua: diximus, fufficiunt pro
talium omnium radice, et hoc eft propofitum.

CLVI.

In folo uifu error quandocg accidit propter intemperantiam cuiuslibet
ocfto circumftantiarum rerum per ipfum proprie uifarum.

Quia enim,ut patet per principium tertij huius,lux di color funt per fe obiedum ui*
fus, palam quod ei fbli non poteft error acciderenifi in luce & colore, accidit autem ui*
fiii in illis error propter ipforum intemperantiam in fortitudinc,ut lux fortis non per*
mittit alia uifibilia uideri A color fortis facit res alias quafcunq; in colore fibi fimiles
uideri, cu tamen Alorum color fit diuerius.Etfimiliter eft in lucis di coloris debilitate,
Si enim corpus in quo fit inulta coloa- diuerfitas.occurrat uifui fub luce multum debili,
ut ucftis diuerfi coloris apparebit unius coloris. Et fi color fit ualde debilis, etiam in lu*
ce temperata non uidcbitur,&! fic lux extra temperantiam facit uifui deceptionem fe*
eundum utruq; extremoru, Diftantia etia uifibiliu errore inducit uifui, qa ,ppter impro

portionatam

LIBER Q_VART VS, lio

portionatam diftantiam res coi orum diuerfop: minata tfm ipfis afpcri nidtbicur unius
coloris. Situs etiam oppofitionis fenfum errare fecit, quia cum corpus uifum fuerit mul
tum obliquatum .occultabuntur propter fui obliquationem ipfi uiliu minuta: cius par-
ticula:.& ii fuerit in partibus minutis colorum diuerfitas.,apparebir in totali Corpore,
& fi corpus redierit ad direflamoppofitionem, illorum colorum diuerfitas apparebit,
nili forte elongatio partium colorati corporis ab axe uifuali fuerit nimis magna. Ma*
gnitudo etiam uiflii errorem inducit,quia etiam luce di diftantia,&! fituuifioni conue*
nicntibus,colores paruarum partium corporis diuerfi coloris cuadutuifum, di uidetur
res unius coIoris,quod non fieret fi pamitas partium temperamentum non exiret. So*
liditasetiamcftcaufa deceptionis uifus, fi nimis remifla faerit, unde criftallus uidetur
colorata colore rei fibi fuppolit» propter fiue foliditatis paruitatem, quod non accide-
ret fi criftallus plus iblida cfiet.Ex diafonitate etiam error accidit uifui, quia propter in
terpofitionem flamma inter uifum & rem uifam.etiam fi illa resuife fortis fit coloris,
uiaebitur illud corpus tenebrofum propter fola carentiam diafonitatis in medio. Tem-
pus etiam eft caufe crroris,quia fi firbito fuper corpus diuerforum' colorum fiat uifasdi
rediio, apparebit illud corpus coloris unius,donec per diligentem intuitum difeerna^
tur.Dcbiiitasetiamuifuscrrorem pratend it in uifione pramiflorum, luce enim forti
in uifum agente kditur uifus ftatim,& ad colorem alicuius corporis conuerfus ipllim
colorem tenebrofum recipit.donec poft aliquod tempus lefio receflcrir.Similitcr etiam
cum adeft oculis infirmitas.occultabitur uifui colorum uarietas,^ fic fit error in ral ibus
ex fola uifus qualitate 3 temgamento recedente, patet ergo quod fccundu omnes circu
ftantias rerum uifibilium in folo uifu fieri deceptionem eft pofGbile,& hoc proponebat,
CLVII.

Fulgidum mixtum nigro, flue pernigrum medium uifui colorem prx«=
fentat puniceum.

Huius declaratio eft ex fenfibilibusnatnralibus experientrjs, uidemus enim quod
in fpeculis bene terfis fulgidis res fulgida uiiiii prarfentatur in fui fulgore, quod fifpe*
culum fulgidum non fuerit.tunc forma fulgidi permixta nigro colore fpcculi pra:fcn*
tatur uifui, non intentione fui fulgoris, fcd quafi aliquantulum denigrata,& ita rubea
fiue panicea appar et. Vniuerfele enim eft, ut in principio fecundi huius fuppofitueft,
quod rerum ualde coloratarum colores.quo ipfius medi) coloris fpeculi commixti fir*
mantur ad uifum.ut fi per uitrum coloratum aliqua res uideatur,qudd color rei uxfie ex
colore proprio di colore uitri permixtus uifui pra:fentetur,&:ho£s multas experientias
plane poterit quis uidere. Euenit etiam humidos oculos habetibusquod forma albi fui
gidi per infetftos humores di tunicas oculi ad centrum oculi peruentensrin medium co<=
lorcm utftis iudicio permuta tur,& apparet oculo coloris punicei fantafia. Et etiam ui*
demus uiridiumlignoru flammam rubeam appropinquare puniceo colori, quia ignis
fulgidus di albus exiftens per fumum nigrum propter groflicicm materia:, di humidita
tem aqua:, qua: illi fumo mifcetur,puniccus uidetur. Per caligine quoq; di fumum ni-
grum uidetur fol non fulgidus fcd puniccus,quando talem fumum uel caliginem foli di
uifibus accidit interponi,&hoc ide in alijs ftellis poterit perpendi. Item circuli qui ciri»
ca cadelas uident, ,ppter groflitic aeris di nigredinem purpurei tiidentur, quoniam aer
ingroflatus i natura lucidi aliqualiter impeditur,^ propter admixtionem umbra: ni*
grcdinepermilccriuidetur,uelaliomedio colore fecundum difpofitioncm luminis di
admixta:umbrar,&hocetiaplem'usdcdarandum diligens inquifitor plures experien
tias poterit applicare, patet ergopropofitum.

CLVIII.

V ffum protenfum longe debiliorem fieri patens eft.

Non enim uifus uidec finulitcr de longe pofita quemadmodum prope exiftentia.
Si enim uideatur de Tonge corpus foraminofum, cuius fintparua foramina, totum uide
tur coruinuum,unde fi aliquis uaporem roridum de longe uideaqtotu ipiiim fore onu

corpds

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
corpus continuum uifus iudicabit,quia ctia nilus rccfta cirrtia, rotunda quadrata exxti
morione iudicat.ficnt eft in pnemifus huius libri theorematibus declaratam ,Et fi uifus
pannii colorati? in quo eft minuta colojtdiuerfo^ cofpcrfio.adquos pportionata par*
rium elongatio Ut intemperata ipfi uifui, diutius etiam afpcxeriqapparebit pannus ii*
le unius coloris tantum,qrh extra temperantia eft longitudo rcfpeau partialium colo
nun, licet omnia alia coueniant in debita temperantia rcfpednuiffts,quiaergo uifibile
rei circuftantia uifus ptenfus no perfpicitpala qtiia debilitatur cx ptenfione fui ad ut-
fibile fiuecx remotione oifibilis ab ipfo,&: hoc eft quod proponebatur.

C L IX.

Nigredinis in re non nigra apparitio cx uifus prouenit defedhone.

Experientia fimilitercomprobat quod hic pponitur ^auxilio prxccdent/s, quia
enim uilum ptetifum longe debiliorem fieri patens eft, ut prxmiflum eft, ideo accidit
q> ea qua: longe uidentur ppter uifus debilitationeomnia nigriora apparent, ficut ctia
corpora remotiora Si minora 8i planiora cp fint,uifibus apparent, qih eminentia: fua^
partium aiperitates Si tumores in ipfis facictes non uidentur.Similiter eti2 qua: in fpe-
culis uidentur.quia propter reflexionem ipfort: diftantia augetur, ideo propter remotio
nem quar accidit uiiui talia nigriora uidentur experimentanti :quanto em magis ex re*
motioncetia rei alba: immoto Ipeculo diftantia i fuperficie fpcculi augmentatur, tanto
magis color ille albus uifui ad n igredine accedi c,unde etia nubes appai entes in aqua ni*
griores uident cp in loco fuo uiiui in codc loco cxiftete,qrii reflexio fada in aqua auget
diftantia:nihil aut differt aliquid multum diftans uiiui apparcre,in uifu per multam di*
ftantiam uifionc rei coplere:fcmpcr em fit iudicittm uirtutis uifiux fecundum quod for
ma eft in uifus organo recepra:neqj latebit hic experimentante,quia quando clara nu*
bes fuerit uidna (oli, tunc alicui afpicienti ad nubem, nubes no uidebitnifi alba. Sed fi
refledtatur ab aqua, & eam uifus in aqua uideat,tunc illa nubes alba alique colorem cX
medijs coloribus uifui prxfentabit.ut paniceum,purpureum,uiridem,& Iazuriu: unde
ficut uifus colore nigrum per reflexionem uideteflenigriorem,fic&! colorem albu ul*
det mtnus*album,^)pter r eflcxionem.Nubem itacp alba exiftentem uidet nilus propter
diftantiam ampliore, qua: fit per reflexionem in fuo colore nigram, & fimilcm priuatio
ni & negationi propter uifus protenfi debilitarem,& qrii coloratio nubis fit ex impref*
fione luminis ab aliquo corpore lumtnofo.poteft concludi ex pranniflZs, quod in omni
corpore aii lumen uel color cx corpore Iuminofo imprimitor, eandem canfara Qieffe-
tftum participem habcbirAhoc eft quod proponebatur.

LIBER QVINTVS

PERSPECTIVAE VITELLIONIS.

■xpeditis aliqualiter his quae fimplici & dire Ax uifioni neceflaria exiftere,

&eius deceptionibus accidere uifa funt, reftatnunc at conuenicnter eum
modum uiuonis,qui fit per reflexionem i politis corporibus, qux fpccula
dicimus,profcquentes,de omni reflexionis modo i quibulcucp fpeculis ex
quifitius pertractemus. Primo itacg in praefenti quinto huius fcientfe U
bro promittemus, quarlibet illop- qua: aeftimamuscommaniaomnibusfpeculis,&de-
inde ad/ungemus paftiones qua: accidunt rebus 8i uifui i lolis fpeculis planis, quorum
fpcculorum forma fimplicioreft formisomnium aliorum fpeailorum, propter quod&I
ipccuIoR: planorum paftiones quibuOam alijsljpeculis fiint communes,ut patebit in li* \

brisfcquentibus.quibus a!io& fpeculorum paftiones proprias referuamus. Verumtn
ficut in principio huius feientix diximus,non intelligimus in hoc tratftatu per fpecub»
corpora tantum formata Si polita per artificium, ted etiam ipfa corpora naturalia»

rura

LIBER. QJVINTVS. nl

ium fuperRaebus fit eadem reflexio, qua: 8i i corporum artificialium fu perficiebas ac-
cidunt. Nec intelligimus qnod folum hacc reflexio fiat ad uiiiis animalium,fed.etia ipfis
uillbus non prsfentibus fit reflexio formarum, & accidit uifibus, fi in locis reflexarum
formarum difponantur, quod fiat reflexio ad lpibs, quod manifefte patet per haec, quia
no in loco fit reflexio ad quodcuqj uifum aipeculo quocucjj, eft tn in receptione hajt for
marum reflexarum in uifibus aliqua proprietas,& maxime in illis reflexionu modis, in
quibus fit aliqua deceptio in uifu.^uisaututin prooemio huius fcienti» diximus.idem
Imittatur in cotrarium & in fenfum,qih unius rei una & eadem forma femper diffundi»
tur per rnediu, propter quod cade forma refle&iturd fuperficiebus fpecnlofe.qu» etiam
in modo fimplicis uifionis direde uifibus occurrit,n5 poteft tn in reflexione faifta a fu*
perficiebus fpecaloje quofteuep coprehendi ucritas form»,ficut coprehendif in uifione
limpha direda.In reflexionibus ein a qbufcucg fpeculis fatftis apparet forma rei,ut plu
rimum prae oculis ipfis uifibus quafi oppofita.cti tn fecundum ueritace illis no oppona
tur.Lux quocpfiC color corporis nifi femper miicentur cu colo re fpeculi,* quo fit re fle*
xio, qua mixturam in reflexioibus ullus perficit,Si; no uera luce uel uer u rei uil» colore»
Omnis quoqj reflexio, ut nos inferius perfecftfus declarabimus, debilitat luces & colo-
res,unde in orni reflexionelatet nilum ueritaslucis & coloris,plus cjj in direcfta fimplici
uifione, qua: uero ad hunc uifionis modu.qua* fit per reflexione d quibufcucg,&; a planis
maxime fpeculis pr»mirtimus,funt ifta. Politio corpoiv, eft cotinuitas partiu iiiperfi
dei politi corporis fine fenfibilitate porope ael diuifionis, Spec ulu dicit omne corpus
politSopere artis uel natura:. Linea incidenti» dicitur illa,fecundu qua forma rei in*
cidit fugfici ei fpeculi. Linea reflexionis dicit illa fecundu qua forma reuerberara pro
pter foliditate fpeculi qua penetrare no poteft reflecftitur ad uifum. Puniftus inciden
tix dicit ille puniftus in quo linea incidentia: incidit fuperficiei fpeculi,& idem eft pun*
tftus reflexionis,qm forma it reflexio aduifurn femper nt a punifto incidenti». Per*
pendiailarisfuperfiipcrficielpcaili.a quo fit reflexio, dicit linea orthongoalitereretfta
d punifto incidentia: fiipcr fuperficie fpeculi illius,* quo fit reflexio , (i illa fuperficies fit
plana:quod fi illa fuperficies fit conuexa uel concaua, tunc dicit perpendicularis' ftiper
ipfam ,qu» eft perpendicularis fuper fupcrficicm planam illam luperficiemconuexam
uel concauam in punifto incidentia: cotingentem. Superficies reflexionis dicitur fu-
perficies cdtinens lineam incidendae & renexionis,& perpendiculare d punefto contin-
genti» .pducftam iiiper ipiam fpeculi fuperficiem,uel luper fiiperficiem ipfam contin*
gentem. Kathetus incidenti» diritur linea perpendiculariter ereifta foper fuperficie
planam fpeculi,"autiupcr lineam retfta cotingentem co munem fedionem fuperficiei
reflexionis^ fuperfiriei fpeculi conuexi uel concaui dmfta a punefto, a quo incipit inci
dentia, ut a centro uifus.uel ab alio punifto quocucp, cuius forma i fpeculo refleeftitur ad
uiium. Kathetus reflexionis dicitur linea erecfta ftiper illam eandem fuperficfemuel
lineam 5 punefto ad qua terminat ipfa linea reflexionis.ut 5 centro uiiiis uel ab alio pun
efto ad quam reflexio terminatur. Superficies incidenti» dicitur fuperficies conten*
ia i linea rei uif»,& d kathetis incidenti» terminoru illius line». Ajigulus incidcn*
ti» diritur angulus quem in fuperficie reflexionis continet linea mcidenti»,cum linea
qu»eft communis feeftio fuperficiei reflexionis, & fuperficie i ipfius fpeculi, 5C fuper-
nriei fpeculum in punifto reflexionis contingentis. Angulus reflexionis,dicitur
angulus quem in fuperficie reflexionis continet linea reflexionis cu dicftacomunife-
cftione. Imago dicitur forma in fpeculo coprehenfa. Locus imaginis dicitur locus
uifionisilliusform».f.locusinquouideturforma. Supponimus autem h»c. Ref
elongat» & approximat» fpeculo, extrema qnqjuideri. Item quod uniformis fituario
punifti rei uif» refpeiftu fuperfiriei cuiufcunqj fpeculi d qua eius forma reflecftitur,fft fo
Ium fecundam kathetum fu» incidenti».

THEOREMA I.

Corporum terfdbu politoru cufufcucp figura; fint, fuperficies £ quolbiet
fuorum puneftorum luces colores Si formae rerum oppofitarum refledun*
tur fecundum reiftitudinem linearum.

H

Quoniam

PERSPECTIVAE VITELLIONlS
Quoniam enim, ut patuit per primam fecundi huius.forma fuds i corpore lumino
ib fcmper fecundum lineam redam diffunditur in omne corpus ci'oppofitum,&.' fimili
ter forma colorata habentis adum lutnini^.Cum itacp ha?c incidunt alicui corpori ter
fo polito, quia in tali corpore non patet tranfitus lumini uel colori, propter talis corpo-
risdenfitatem di priuationem diafonitaris, cum fint plana?' fuperficieru, in quibus nui*
Ia cft afperita$,fcmper ab illis fit luminis 6 i coloris di forma? reflexio, di ob hoc oppo*
fico fpcculo lumini forti oblique incidenti, manifefte fit ad parietem uicinum luminis
reflexio Si coloris,!] color fuerit coniundus lumini, di uidebitur lumen reflexum inci»
dens parieti cum colore moto fpeculo radius reflexus moucbitur mutans locum, &
ablato fpeculo lumen reflexum aufertur:ct fiiloco cui inciditradius Iuminofus manus
uel aliud corpus mundum uel politum fecundum lineam reda ducatur ad fuperficiem
corporis i qua fit reflexio .patens erit quonia fccundu reditudinem linea? reflexio cft
feda, quoniam ipfi experimentanti feamdum lineam redam ad corpus i quo fit refle-
xio redeunti liipcr reflexionem Iuminisaccidituidcri:fn omniitaqj polita fuperfide
cuiulcuncp fit figura?,* quolibet luo? pundo? fit reflexio lecundu reditudinem linea*
rum,caditenim in quedlibetpundu corporis politi lux a quolibet pundo corporis lu-
niinoli.Vndeficutoftenfumcftin 2o.fccundiliuius,fuperquodlibct pundum corpo*
ris politi fit pyramis,cuius uertex eft in pundo corporis politi,&.' bafis in liiperficie cor
poris luminoii,3i'a quolibet pundo luminoficorporis procedit pyramis,caius uertex
cft in pun/to corporis Iuminofi.&bafis in iiipeificiecorporis poliri: &fii corpore lu*
minolo procedit lux ad corpus politum lecundu lineas a’quediftantes,fi illa? line* quali
columnam continentes terminant ad bafes pyramidu pra?mifla?,per quafcuqj autem
lineas lumen corpori polito incidit,(ecundu illa? .pprietatem rcflcdit,fiue fint perpen*
diculares fiueobliquc,patct ergo propofitu, fit aut i corporibus politis reflexio lucis,
no aut a corporibus non politisafperis,qffrinillisfunt pori di fouca?,quas (iibintrat lu
men,& redit in fe permixtu cu umbra illo? corpo?:, unde non fit reflexio fcnfibilis ab
illis. i u

Ab omni corpore colorato prscfente luce color ad corpus oppofitum po
litum mixtum cum lumine mittitur, & quandocp totaliter, quandoqj par=
tim refletftitur ab illo, licut di ipfum lumen.

Quod hic proponitur experimcntaliter declaratur. Sit enim ut intra domum unius
tfh feneffr* defeendat lux lblis lliper corpus multu coloratum forti colore, 8d ponatur
moppofitionccontra ipfum (peculnm argenteum, &item contra ip&iiTum ponatur
lias concauum ad modum Icyphi.quod fit interius album,uel in quo ponatur corpus al
bum,& aptetur taliter ut lux reflexa incidatfuper illud corpus album, apparebit iraqj
liipcr faciem albi corporis color illius corporis in quod primo fit deferemus lucis, color
itaqjmixrim cum luce refleditur,ergoetiarnixtim cum lumine incidit' corpori po*
lito, quod corpus politu fi denfum di durum fuerit, color cum luce totaliter ab iplb
ref leditur.ita ut non coloret corpus politu.Si ucro corpus politum fit rarum di lucidS
a du,ficut funt aqua &uitrum,& fimilia.tunc refledunt ab illo colores di luces, & pene*
trantinillud,quodpatetperhoc,quddformareflexionis ab his corporibus di debilio-
ris lucis di coloris,^ ab his corporibus denfioribus cp fint illa, di etia circa aliquod pun
dum fub iftis corporibus, uel in iftis uident forma? lucis di coloris incidentes fiiperio*
riliipcrficieiiftorum corporum, patet ergo illud quod proponebatur.

ili.

Omnis reflexio debilitat luces di colores,# uniuerfaliter omnes formas.
Qjtonfam enim lux continuafortioreftluce dilgregata per petitionem princi*
pij fcctmdihuius. Si quanto lux ab ortu fuo plus elongat, tanto plus debilitatur.per 24.
iecu adi huius,patet q> cu fccudu aliqd corpus corgis luminofi .pceditluxad fupncie cor
poris poliri in modn pyramidis,quod quanto magis elongatur a' pundo ilIo,tantoma«
ior eft cius debilitatio,# propter elongationem ab ortu lucis,#propter difgregaiione;

luxi

liber, ojriurti* m

fux oero reflexa ab aliquo pol/ro corpore pfus debilita tur,t5 propter efongationcsllo*
co reflexionis & d/fgrcgationem, ttim propter ipfam reflexionem. Luces quoq; fccu-
dum lineas aequediltantes poliris corporibus madentes firnt debilfores luces obli-
que inc/dcnres.qm minus aggregantur. Colorum quocp reflexio cjjtris fiat ab omni cor
pore polito, ficut Sllucls, ut patet per primam hufus.non tamen eft multum fenfibilis
propter debilitationem qua; fit ex reflexione, & npter admixtionem coloris ipfius fpe-
culi conformis IpfoR: colorum reflexorum, niu forte i fpcculo argenteo flat reflexio.
In Ferreo enim fpeculo color apparet debilior fpcolor ferri mixtus cu lucereflexa,& ipo
colore reflexo debilitat ipfum colore reflexu. Omnes i tacp reflexiones color u oprime
ex periri poflunt in domo unici foramlnls,cui foramini albus pariesopponit.Tuncem
tn radio folis poflto fpeculo argenteo ,& IpfT lpeculo & parieti interpofita re aliqua co-
lo ratacoit reflexio coloris ad pariete albu fenfibilis. rde quoq? accidit fi in radio incide-
tiailplruyfpeculiponatcorpusdiafonucoloratn.per^d tranfeac radius incides ipfi fpe
twfojtltpotc fi ante feneftram ponat uitmm colora tfi, uel fi modo fimifi ut expei imen-
tantf nideblr,difponat.Cadente i tacp luce forti fuper fpeculfrargentcum & ipfa reflexa
Iuper parietem albu, notabiliter uidebit lux parietis debilior c{? ipccnfi, effexlo ergo la
cemdebilftar.Eteodemodo color reflexus eft debilior colore dquo fit reflexio. Pa-
lam ergo, quod reflexio debilitat luces & coldres fed colores magis c{? luces.Colores.n.
debiliori modo incidunt c{j luces ,undc etia in reflexione facilius dcbtiicant. Color enim
debil» cu adfpeodi5peruenerit,miicetur colon' fpeculf frtrmutatTir^pter illius admi
xtionem,quare color reflexus apparet debilisSC tenebrofus,& uniuerfaliter formae re-
flexae funt debiliores cfj fint i loco a quo refle Aunt.Sicergo pa te t q aod omnis reflexio
eft cauta debilitatis.nam St hoc patet fenfibiliter in luce, licet em lux direcfta di luxre-
flexa aequaliter diftent ab ortu fuo,tn debilior eft lux reflexa. Opponat em in aere ra-
dio (olis intranti per feneftra domus aliqua,in qua unica eft feneftra, fpeeulS minus fo -
rami ne.ita ut lux refidua foraminis quae no icidit in fpcculo cadat in terra fuper corpe»
album, &i lux i fpeculo reflexa cadat Gmiliter fiig corpus album eleuatum a terra ,hoc ob
(eruato,ut fit eademdiftanria corporis eleuati St iaccutis 5 centro foTaminis feneftra,
uidebitur itacj? fuper corpus album eleuatu.ad quod fit reflexio lux minor.q? fiiper cor-

S' cens,cuius minoritatis fbla reflexio eft caufa, 6i idem poteft in colojereflexfone
er demonftrari,& eodem modo,patec ergo propofitum.

1 1 u.

Omnis lux reflexa, SC fidebilior fitluce prfma,eft tamen fortior quam
lux fecunda aequaliter ab origine di ftantibus ambabus, & ide eft in colore.

Luce enim reflexa cadente in aliquod corpus,fi aliud fimile corpus ponatur extra
focum reflexionis,& fit cum illo eiufdem elongationis i fpeculo, uidebitur fuper ipfum
corpus fecunda lux minor £J? in illo quod eft pofitum in loco reflexionis, fit em quod
in diredto foraminis per quod radius domu aliqua igred itar,po natur fpcculum in ter-
ra afpiciens totam lucem radrj incidentis per illam feneftra,qua lucem liiperias in prin
dpio fecundi libri huius fcientia* diximus lucem primam, tunc eiri fiet palam,qudd erit
lux fortior iuper corpus in loco reflexionis pofitum, cj? fuper aliud corpus fimile pofitu
extra fllumlocum eudem i fpeculo elongatum. Et idem accidit fi litperficics fpeculf n5
(ufeipiacradtum diredle fed oblique.Idem eriam patet in coloribus, quoniam facfla re-
flexione coloris i fpeculo argenteo corpus album pofitum in loco reflexionis pluri-
mum recipit coIoris,aIiud uero corpus seque album exiftens extra locum reflexionis,
& in eadem diftantia i fpeculo , apparet quidem colorarer, fed debilius ualde cp corpus
pofitum in loco reflexionis, 8i fi ferreum fuerit fpe culum forte in corpore quod eft in
loco reflexionis modicus uidebitur color,extra uero loeu reflexionisin corpore aeque
albo quafi nullus apparebit color, patet ergo propofitum.

v.

Naiura agit in omnibus fecundum lineas breuiores.

Ha

Hoc.

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Hoc uniucrfaliter patet in omnibus operibus namra,omnes enim motus natura*
Ics fiefi imr.dcfcendunt ciri grauia perpendiculariter fug fuperficie horfcontis.Sagitta
etiam cmifli uiolcntcr ab arcubus feruntur in linea breuiori fecundum angulum fua
cmilfionis:per breuiorem enim lineam ab eodem term ino in eundem terminum ucloci
& e ter eft motus; et quia ut in principio fecundi libri huius

‘ feientix fuppofitum eft, natura nihil agit fruftra.necp de

ficit in neceflarijs, palam quod ncceflario agit fecudum
lineasbreiHorcs.Si enimpoflit operationem intentam complere per motum uel a dio
nem per lineam a b,&! agat per lineam a b c,omnis adio quam facit in linea b c eft fru*
ftra, quoniam conftcuta eft finem in pondo b, non ergo agit fecundum aliquod pun*
dum lineae b c,& hoc idem per multa naturalia exempla patere poteft. Vnde di anima
fia quomm motrix eft anima fecundum breuiorem lineam mouent ad terminu, ut pa*
tetin reditudine filorum aranearum, ex quibus texunt telas fuas, qua telae &fi non
nunefj inueniantur circulares,funt tamen ex redis filis di inftamine, oi in fubtelari con
texta propter linea breuitatem.Idem quoqj patet in canibus, qui obmiffis duobus late
rflxis trigoni,concurrunt per tertium,ac fi naturaliter informati nouerint, quia duo la
tei a trigoni maioresiunttcrtio,quodhomines geometras edocet zo. primi Maximi
Huciidis,patet itaqj propofitum prout poffibile nobis fuit,
vi.

Omnis reflexio luminis SC coloris fit fecundum lineas fenfibiles latitudi
nem habentes.

• Secundum enim tales lineas fit lucis incidetia etia lucis minima fuper corpus polf
tum, ut patet per 3 .fecundi huius,latitudo ltacp linea reflexionis eft aqualis latitudini
i mea inciden tia ; di linea mathematica, qtta eft linea media totius linea reflexiois,eun
dem habet fi tum in loco reflexionis, que habet linea mathematica , qua eft linea media
linea incidetia fenfibilis in loco incidenria^SC (imiliter qualibet aliarum linearum ma«
thema dearum in linea fenfibili reflexionis eunde retinet fitUm,qu3 fua compar in linea
incidentia fenlibfli,& ob hoc lineis mathematicis pro ip fis fenlibilibus non inconue*
niens eft ud in tradatibus reflexionum, patet ergo propofitum,

VII.

In reflexionibus factis a quibufcucp fpcculis, fit deceptio propter intepe»»
rantiam lucis,uel propter diuerfitatem fitus,uel propter remotionem pun*
<fci cuius forma refktftitur, uel etiam centri ipfiusuifusa fuperficie cuiusli*
bet fpeculorum.

V nxuerfaliter enim quibufcim® modis contigit decipi uifum circa intentiones ui-
fib ilium per fimplicem uilionem uifarum.eifdem etiam modis cotingit uifum decipi in
cilione qua fic per reflcxionem,quoniam& hacuifio eft quadam uino in qua forma Iu
cis & colorum di aliarum intentionum uiflbilium ipfi uirturi diftindiua prafentatur,
&hoc ,ut patuit per prima quarti huius, et multis illius theorematibus,acciditodomo
dis, plurimam tamen manifeftius fit hoc in fpeculis,uel propter debilitatem lucis uel ,p<
pter diuerfitatem (itus, propter quam lineas reflexionum reinouer i accidit ab axibus iri
fualibus.uelpropterremotionem puhdi rei tufa, cuius forma reflediturd fuperficie
ipfius fpeculi.uel etiam propter remotionem ipfius centri uifiis, ad quod remota fit re*
flexio a fupficie ipfius fpecnli. In alijs uero quibuslibet modis licet fimliter caufet error
in uifione formarum reflexarum i quibufcuncp fpeculis ad uifum, non eft ille error
tam fenfibiliSjUt in iftis modis pofitis,nec tamen fit totalis excufatio ab illis,patetergo
propofitum.

Vili.

Specula a quibus regularis fit reflexio, funt tantum feptem.

Quoniam

LIBER Q.VINTVS/ 14)

Quoniam enim regularis reflexio no poteft fieri nifi a corporibus regularibus : cdr
pora ucro regularia non poliunt efle nili corpora plurimu planarum iuperffcierum uel
unius fuperficiei concaua uel conuexa:ficut autem patet ieniuglicet corporum plana-
rum fpccies fecundum figuras & numeri angulonim uarfentur, quantum tamen ad na-
turam reflexionis in omnibus llliseft identitas fuperficiei plana:, cum nec enim in i#
piis quo ad lixcuariatioinuenitur,ut aut patet per 1 1 8. primi huius, omnis iupcrfic/es
conuexa uel concaua regularis aut eft pars fuperficiei fphara,aut columna: , aut pyra-
midis rotunda. Sic ergo habentur in uniuerio feptem fpccula, quorum unum eft planu
cuiufcuncp figura, & tria funt couexa,fpharfca,coIumnaria uc! pyramidalia, & tria funt
concaua, fpliarica, columnaria uel pyramidalia,ncc eft pollibile plura cilcfpecula i qui
bus regularis fiat reflexio, patet ergo propoli tum .

Inftrumentum conftitm'mus,in quo modi omnium reflexionum a qui*
bufcunqj regularibus fpeculis inftrumentaliter declarantur*

Afiumatur fetnicirculus xneus conucnientis fpiflItudinis,utpotc medietatis grani
ordei uel circa illud, & conuenientis quantitatis,qui fit a b c, cuius diameter fit a c,8d ei-
us centrum d,producaturq$ linea d b perpendiculariter fiipra diamctfO a t,per j-.prim/,
eft ergo d b femidiameter circuli diuidens femicirculum per aqualia per ultima fexti :
abicindatur itacp ex ltnea d b fuperius fexta pars ipfius per undecimam fexti, q fit b e, Si
fecundum quantitatem line* edi centro d,fia t (emfefrculus qui fit fe g: arcus xtaqjbc
diuidatur in partes quot libuerit fecunda punda h i k, & arcus b a in totidem partes di
uidatur fccundu punda 1 m nritacp arcus 1 b fiat aqualis arcui b h, di arcus m 1 arcui h i,
& arcus n m arcui i k,pcr a j .primi# if.tertij,produdis lineis d h, d i ,d k,d Ld m, d n,
deinde itera i femidiametro b d,tnferiu$ abfeindaturfexta pars ipfius, qua fitdo, 6i i
pundo o duca tur linea aquediftans diametro fcmicirculi qua eft a c.pcr 3 t .primi ,qux
jit p o q,hanc itaq? interfecabunt omnes linea ad partes diuifionis 'i cetro d produdx,
pundus ergo in quo linea d nipfam interfecat (it r ,& in quo linea d kfit s , & punda in
quibus interfecat femicirculus fe g fint t Qi u.deindc i totali femicirculo abfeindat pars
d a,p r,ex una parte 8i ex alia pars a c,q s,8i planentur optime fuperficics,# acuatur d,
centrum ailiimptifemicirculi quali pundus, ita ut ipfum pundum d maneat in eadem
fuperficie femidrculi cum lineis produdisinos aut quatitatem lineab e, qua eft fexta'
pars femidiametri d b, deinceps dtgitu appcllamus.eft ergo diameter a c , duodecim di*
gttorum. ' Deinde afiumatur tabula lignea quadrata plana, cuius latus fit 14. pramif
forum digitorum , excedens diametrum a c,duobus digitis,# fpfflitudo eius fit 7 .digito
rum# in hac tabula fignetur pundus medius per 40 . primi huius , Si fuper ipfum fiat
circulus fccundu quantitatem lateris tabula, hic ergo excedit circulum a b c, quantitate
unius digiti ex omni parte.quonia eius diameter in duobus digitisexcedit diametrum
a c,fiat iterum fuper idem centrum tabula lignea circulus aqualis circulo fe g, diuida*
turfcjj circulus tabula lignea proportionalitcr femi
circulo anco , qui eft a b c,ita ut prima pars circu-
li lignei refpodeat prima# lecuda fecada & fic de-
inceps, & i centro tabula lignea ducantur ad puda
diuifionis linea reda, & rotundet tabula lignea ex
trinfecns fecundu circulum maiorem excidatur

pars interior tabula minori circulo contenta , rema
nebifqj quada armilla lignea cuius latitudo eft duo
rum digitorum, diameter exterioris circuli 14. inte-
rioris circuli 1 o# totius armilla ^funditas uel alti
tudo erit 7.digitorum,cuius fuperficies curua optima planentur ad modum columna
rotunda: remanebun t'cg in liiperficie plana illius armilla linea diuidentes circulum fe
eundum diuifionem femicirculi a b c,d capitibus itacp illarum linearum producantur 1 i-
nexin fuperficie conuexa altitudinis armilla perpendicularis fuper planam ftiperficie

H

lati

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
latitudinis ipflustponatur enim pes c/rrint fiiper terminu lineat diu/detis dreu!3,& fiat
femicirculusin fuperffrie conuexa armilla:, qui diuidatur per jequalia per i5>.terrij,& n
ducatur i pundo ad pundum linea, palam per 105-. primi huius , quoniam illa linea eft
perpendicularis fug fiigfide latitudinis.qua pars eft balis columna, & eode modo i ter
minis illarum diuidentium producantur perpendiculares in fuperficie armilla: conea*
uar. In qoa eti5 fugficieexparte planae fuperficiei no diutiae fumatur altitudo duoru di-
gitorum^ in pcrpedicularibus lineis omnibus in illa fuperfirie productis, fiant figna,
fit fecundum (igna illa flat circulus Jtquediftans planae fiiperficiei armilla , immifia ta*
bella aenea .fecundum figna illa fiat circulus aquediftans plana fiiperficiei armilla: im*
mifla tabella aenea quantitatis circnli f eg.uel alio modo prout coucnientius pofllt fie»
ri,& fecundum quantitatem medietatis grani ordei fiant alia figna intra illos duos digi
tos,&! circunducaf circulus aqdiftans priori circulo fecundu quantitate pmifiam me*
dktatis gnmi ordd,& fub hoc fecundo circulo intra altitudinem duorum iUonim digi*
torum, fecundu profunditatem femicirculianri a b c,fignentur alia puda in praedictis
perpendicularibus ,& iteru fiat circulus fecundu illa puda, & excepto per aliqua inftru
menta illo corpore ligneo inter hos duos fecudos circulos exiftente, fiat concauitas uni
us digiti profunda, & coa ptetur huic cocauitati anea femicirculi portio.qua eft p b q ,
qu* intrabit concauitate ufep ad portione minoris circuli qua; eft t e u » ideo quod di-
tantia iftorum duorum arcuu eft unius digiei,-SC eadem eft profunditas cocauitatis fa*
da in tabula lignca.fut aut taliter ut fuperficies circuli fe g,diuifa per lineam i centro
d,adcircunferentiam produda , firad partem fuperficiei armilla; , diuifa : lineae itaqj
perpendiculares duda in concaua fuperficie armilla , tangent lineas diuifionis circu*
lifeg,& cadent perpendiculariter fiiper fuperficiem circulifeg. Item in conuexa
fuperficiearmillaex parte fuperficiei non diuifa fignetur pundus in qualibet perpen
dicularium produdarum fecundum diftantia duorum digitoru ab ipfaplana fuperficie
nodiuifa,St pofito pede drdni fuper quodlibet pundorum fignatoru, filant circuli, qua
rum cuiuslibet diameter fit aequalis ouantitati grani ordti,8C fecundum illorum circulo
tum quantitatem fiant foramina columnaria rotunda , & inde aliquo ipiorum coapte-
tur baculus ligneus,qui cum tranfierit ad interiorem concauftatem armilla:, tanget fe-
micirculi f e g luperficiem,quoniam ut patet ex piamiffis centra cuiuslibet illoru rircu-
lorum paruoru, erit in circuferentia drculi prius (ignari in fuperficie concaua armillae,
i quo aiftat fuperficies circnli anei qui eft f e g.fecundum quantitatem medietatis gra
ni ordei, Deinde firmatur alia tabula lignea quadra ta,cuius diameter fttsequalisdiame
tro armilla lignea, QC perquifito pundo medio ipfiusg40.primihuius.ab
illo pundo medio rircuducatur circulus ad quantitatem femidiametri d e,
&hic circulus erit aqualis circulo f e g,& bau concauitatis armilla. Item
fuper centrum huius circuli fiat quadra tum, cuius latera fint quatuor digi*
torum lateribus luis aqualiter diftanribus a lateribus tabula huius lignea,
quod poteft fi eri per 4 1 , primi huius,& fodiatur hic quadratum ad ,pfundi
tatem unius digiti,&! planentur omnes fiigfides concauitatisfua , ut fianl
redangulx,& fundus eius fiat planus . Deinde huic tabula coaptetur im*
mobiliter bafis armilla,ita ut circulas minor huius tabula ap plicetur ccm»
cauitatiarmilla.Deindefiat columna ferrea concana aliquantum fpifla,
cuius bafis diameter fit aqualis quiritatis grani ordei ,ficut diametri fora-
minum, di ponatur illa columna in prius fadis foraminibus,qua cu peruencrint ad con
cauumarmilla.contingetlineasincirculof egprodudas,fiatautin capite columnas
quodeueg artificium, non permittenscolumnam intrare nifi ad locum determinatum,
& ut firmius ftar c pofiir,modicum cana: fibi circumponatur ,ctia tantae longitudinis co
lumna,ut procedens fiiper fuperficiem drculi f e g, contingere pofllt latus quadrati co
caui in tabula lignea,quod eft aquediftas linea r s,duda in fuperficie circuli anei.Dt*
inde fiant fep rem regulae lignea plana xquediftantiu iuperficieru orthogonaliu,aquy
les& penitus fimiles, quarum longitudo fit digitorum fex, latitudo quatuorAfpiflifil

docom-

LIBER Q^VINTVS/ 124

do comunis.ut inferias neceflitas ipfios finis edocebtt,& una fpfarff adaptetur quadra*
lo concauo,ita ut orthogonaliter cadat fuper fiindu quadrati concaui,& ut faciliter fn*
tret fine compreflTone,ducatur'cp taliter ut pundus d.centrum fcilicet circuli a b c,con*
lingat unam fuperfiderum latitudinis regulat, & in pundo contadus fiat lignum in ree
gula quod fit x,8i i pudo fignato x,producatur inextremitate regulae linea aquediftas
longioribus lateribus regula.qua fit b x p,&.' palam quoniam illa erit linea longitudi-
nis regula.deindc in longiori parte illius line* i pudo x fignato, fumatur altitudo me
dij grani ordei,& fiat ibi p udum ~, erit itaq; z medius pudus longitudinis regula,cen-
triscg foraminum oppofirus direde, centra enim foraminum altiora funt fuperficie cir*
culi ab C,in quantirate medi] grani ordei ,& diftant i bafe armilla per duos digitosipun
dus ergo z diftat ab eade baie per duos digitos,& regula in quadraro concauo per di*
gftwmino, di quia ab extremitate regula: ufcg ad pundu z , funt digiti tres, longitudo
quo q; regula eft tantum fex digitorum, patet quod pundum z, eft medium longitudi-
nis regula, ducatur itaq? per pundu z, lincte aquediftans lineis extremitatum latitudi
nis regula.qua fit t q,eft itacp linea longitudinis regula qua eft b p , diuifa per aqua*
La in pimdo z , cuius item medietates qua funt b z & z p,diuidantur per aqualia in pu
dis k di y,fcmper dudis lineis latitudinis i pundis fed/onis -k di y , perpendiculariter
fuper lineam longitudinis b p,aqucdiftanfer linea c q,fic ergo erit linea b p , di coni*
•muniter tota regula diuifa in qua tuor partes aquales , di hoc modo omes alia fex linea
diuidantur,etfadumeft quod proponebatur.

X. .

In fpeculis planis radq oblique incidentis fit ad aliam parte reflexio:fem
perqt angulum incidentia: aquale efle angulo reflexionis experimemahter
comprobatur.

Fiat iraejj ex ferro mundo fpccalum planum circularis figura,cuius diameter modo
pvatmiflo fit trium digitorum,& concauctur regula pramifta fecundum centrum z, qui
eft medius pundus regula circulariter ad quatitatem diametri fpeculi , di profundetur
feaindum fpiffitudinem ipfius fpeculi, aptetur'q; taliter, utuna fiat fupcrficies fpeailiS^
legula,8i ut centrum circuli rotunditatis fpeculi direde fuperponatur pundo z , linea
Itaq; c q diuidens latiorem luperficiem regula per duo aqualia, diuidet etiam fiiperficie
fpeculi per duo aqualia, & in hoc experimentantis diligentia confiftat . Immittatur i?
taq? lignea armilla hac regula, donec centrlim d,quod eft acumen tabula anea cadat
fuper fpeciilum,&: tunc illa regula fit cum fpeculo in figura quadrato concauo per ali-
quod artificium appodiata ne uacilleqfed ftet firma.Deinde bene obftruentur oihia fo
ramina inftrumcti prater unum, quod oblique fuper regula fuperficiem declinet , & fit
cxepli caufa forame correfpondcns linea d 1 in circulo a bc aneo,& hoc foramen aper
tum adhibeatur radio fblfs , di melius eft fi radio folis per feneftram domus intra nti.Ra
dius itaq; fpcculo plano incidens uidebitur refledi ad foramen aliud correfpondcns lis
nea d h in circulo a b c aneo,& fi foramen illud pundi h aperiatur , di cu foramen prius
opertum quod fuit pundi 1, obftruatur,refleditur rede radius in illud forame cooper*
tum . Angulus aute b d 1 eft aqualis angulo b d h,ut patet ex hypothefi in pramifla,cr-
go angulus Id a eft aqualis angulo bdc,quoniam totus angulus bda eft aqualis toti
angulo b d c,quia uterq; eft redus.Si etiam imponatur forame aperto columna ferrea
concaua,de qua pramifimus.defcendi t lux per columna cocauitate ad fpeculum rc-*
fledetur in foramine refpiciens aqualem angulum ut prius. Et fi ad fecudum foramen
columna transferatur,refledetur radius ad primum, femper tamen erit debilior Inx per
columnam defeendens quim fine columna per ipfum foramen defeendes , & illud eft ex
perimentandimodus, fi aliquod foramen alm cara obftruatur , & circa centrum eius
cum ftilo ferreo fiat modicum foramen, tunc enim lumen refledetur in fimilefpacium
paruum circa centrum foraminis alterius, illud primum in anguli aqualitate refpicien
tis,& fi concauitas columna ferrea concaua obturata fuerit fado foramine primo fecOc
dum centrum fua bafis,defcendet lux paxem columna, di ad centrum alterius fora mi-

nis}&

PERSPECTIVAE VITBLLIONIS
R», di refledetur fempcr xquali ta te angulorum in omnibus obfcruata.Et fi aptetur m*
ftrumenraluer,ut lux per duo foramina refledetur fimili ter per alia duo illis fimilia/etn
per enim declinatio linearum reflexionis eft xqualis declinationi linearum incidentia:,
Qt quoniam linea 1 xp,qux eft linea media longitudinis regulx.eftorthogonaliter flig
lineam Iatitudi nis regulae inferiorem arquediftantem linere c q,quoniam illa eft comiu
nis fcdio fliperficiei regulx ^-fuperficiei fluidi quadrati concaui xquediftantis iuperfi*
cieia bc circuli atnei A linea media fuperficiei fundi arquediftat linere db,qux eft media
diameter circuli,& quia linea que eft communis (edito (cmicirculi a b c ,5i fuperficiei re
gulx in qua eft linea latitudinis regule 8i xquediftans communi ledioi fuperficiei fim-
di Si regulae per z8 .primi,quoniam linea b x p, cadit perpendiculariter fuper ambas ita
las lineas latitudinis regule, & quonia linee b x p , eft ereda fuper fuper ficiem fundi p
linee, per zj .primi huius.quoniam lineabxq eft perpendicularis fuper fuper ficiem cir
culi a b c equediftanter (upcrficiei flindi tabule,ergo per diffinitionem linere fuper fu*
perfictem erede diameter d b eft perpendicularis fuper lineam b x p,cu lecent (e in pun
do d, eft ergo linea d b ereda fliper luperfidem foeculi plani , 8i fuper eius circuli dia*
metrum,quiafliperficiescirculiabccft xquediftans fuperficiei circuli tranicuntis per
centrum foraminum,quoniam diftantia omnium centronim foraminu d (uperficie cir
culi a b c,eft ead em fcilicet medietas quantitatis grani ordei.Superficiesuero tranfiens
centra omnium foraminum fecat columna ferream per axem , eft ergo axis columnae
in illa fuperficie,& quia columna ferrea in (uo defcenfu tangit aliquam linearum in (ug
ffeie circuli a b c a centro d,ad circunferentiam produdaru,utpote lineam d b, uel lincS
d m,uel aliquam aliam aliaru lincajc, palam per prxmifla,quia axis columna: requedi*
ftat illi linere qua: tangitur per lineam Iogitudinis columna:, 2i quoniam per quodeuep
foraminu columna delcendete,femg axis eius cadit in linea b x p et in pundu z, linea ue
ro z d b,(emper eft perpendicularis fliper luperficiem a b c, linea quocj i pudo z,ipfius
regulx protrada ad centrum foraminis,quod eft contingens pundum n,eftxquedi-
ftans linexd fimiiiter de alijs centris foraminu^ pundism Ih i k,fignatfs ineirtil-

ferentia a b c,omnes enimfemidiametri foraminum funt aequales & xquediftantesli*
nex z d, per i j- .primi huius, funt enim omnes (emidiametri foraminum perpendicula-
res fuper fuperneie circuli a b c, quoniam flint partes linex longitudinis armtllx,linex
itacp 1 d &d h, flint aKjuedtftantes duabus lineis imaginatis ducia pundo regulx quod
ell z, ad centrum duorum foraminum contingentium punda 1 Qi h,per 3 3 .primi,ergo
per 1 o.undccimi.anguli ab illis lineis in fuperficiebus xquediftanribus contenti (unt
xquales,& fi i pundo z, ducatur linea ad cetrum medij foraminis.erit ipfa perprxmif-
fa xquediftans Iinex d b,diuidcns angulum linearum fecum concurrentium per xqua«*
lia, ficut linea d b diuidic angulum 1 dh per xqualia,patet ergo propoli tum ,

XI.

In fpeculis planis radium perpendiculariter incidentem refledi in fei*
pium inftrumentaliter declaratur.

Remanente enim omni difpofitione inftrumenti ut prius,&! regula in qua fiturn eft
fpc culum planum ereda fuper flindi quadrati concaui ,quod eft in tabula lignea, qus«
eft bafis inftrumenti, obturentur omnia foramina prxter mediu cui refpondet femidia*
me ter d b circuli a b c, & fiat baculus columnaris ad quantitatem foraminis,cuius extre
miras acuatur ita ut remaneat folus pudus qui eft terminus axis eius qui immitta tur
fora men ad (peculum,fignetur'cp incaufto pundus in quem ceciderit. Deinde extrado
baculo opponatur foramen apertu radio,cadet<$ radius fuper pudum lignatu circa
ipfum efficiet circulum, fignetur itaq; in fine huius lucis circularis pudum, di fecundum
quantitatem Jincxinteriacentis punda lignata, fiat circulus qui erit maior circulo fo-
ram inis,per 3 <5. fecundi huius,quoniam femper proceflus lucis per foramen ingredien
tis eft in modum pyramidis,in nullo aut aliorum foraminum necjj in aliqua parte cone
eauitatis arm/IIx uidebittir lux reflexa, palam ergo quod lux defeendens per axem re-
fledicur per eandem, di fecundum illius reflexionem ordinatur totalif reflexio luminis

inde

LIBER Q.VIN TVJ, 114

incidcntis,quamuis autem uideatur lux circularis circa bafem intcrioremforaminisma
ior luce incidente uel radio, Si quamuis illa lux uideatur maior ipfius lucis interioris cir
culo,palam'q! fit illam lucem apparere per reflexione, n5 tamen accidit hoc g reflexio-
nem radi) perpendiculariter inddcntis.qui eft axis illius pyramidis luminofte; fed acci*
dic hoc propter reflexionem aliorum radiorum pyramidis oblique fpeculo incidentur,
qui etfi fecundum modufuae obliquitatis ad partes oppofitas,& no in fe refledunt , qcP
pater, fi obturetur per arra utraq? balis foraminis,facfto modico foiamine fecundu axe,
tunc enim radio folis per tuam tantum axis defeendente non a pparebit lux reflexa cir»
cularis circa interiorem bafem foraminis,patetcrgoquod non procedat illalux circula
ris ex reflexa luce axis, fed ex reflexione lucis oblique incidentis ipfi fpeculo. Quod
li regula in qua ficum eftdicfium Ipeculum planu aliquantum rctrorfum inclinetur , tuc
palam eft quod radius per medium foramen incidens non cadit perpendiculariter fu»
per faperficiemfpeciilguidebiturfcp lux reflexa a medio fbramincrcmota fecundu medi
um declinationis fpeculi.femper tamen cenrrum lucis cadet fiipcr linea dudam in con
caua luperfleie armilla: perpendicularem fiiper fuperficiem a b c circuli anci, & defeen»
dentem per centra balis foraminis medij,hoc enim fecat femper lucem circulare reflexa
Si diuidit circulum eius per mediu, & fi regula ad latus dextruimiel finiftrum decliner,
lemper radius fecundu hoc obliquabitur.regula uero ad reditudinem redeunte, reuerre
tur lucis reflexio ad interiorem balem foraminis ut prius, patet ergo propoficu , femper
enim in fpeculis planis radius perpendiculariter/ncidens reflectitur in fe ipfum , fed in
radijs oblique incidentibus angulus incidentia: fit aqualis angulo reflexionis , ut patet
perpramiflum. XII.

In fphaericis conuexis feculis radio incidente Si reflexo, lemper angu*
Ius incidentia: eft aqualis angulo rcflexionis,ex quo patet quia radius per»
pcndicularis reflectitur in feipfum.

Fiat ex ferro mundo fpeculum fphariaim connexum hoc modo. Deferiba tur cir»
culus maximusfphara,cuius diameter ficg,fex digitoru aflumptoruut prius,&.' inferi»
batur ei linea aqualis femidiametro per primam quarti huius, itacp erit corda trium di
gitomm,ducatur quocp i centro fpliara femidiameter perpendiculariter faper ilia cor-
dam per n.primi,& producatur ad arcum, cadetfc^ in tnedium arcus pundumper 4*
primi,& p x7.terdi,erit'op fausuerfas minor medio digito,abfeindamr itacp illa minor
portio circuli,& feaindnm illius quantitatem Si concauitatem fabricetur fpeculurrgqd
linietur Si poliatur planiflime extrinfecus, aflumaturcp regula lignea fimul penitus pri-
us flimpta in omni lineatione St creatione,& fada concauitatein linea ad modum fpe
culi,applicetur fpeculum regula ita ut mediu pundu conuexi fpeculi cadatfuper zme
dium pundu regula:>& fit in fuperficie ipfius reguli quod poteftfciri per applicatione
alterius regula; uel alicuius ut placuerit.Erigatur quo cp regula cu Ipeculo orthogonali
terfuper fandum quadra ti,uc in fpeculis pl an is, & operatione priori repentur ,& luce g
foramcobliquado uel mediu defeendente fiat reflexio ut prius ,8i fimiliterfiet fi regula»
declinetur. Scmper enim luces per diucrfas lineas obliquas fpeculo fpharico conucxo in
cidentes.per diuerfas lineas obliquas rcfleduntur,SC qua: feamdum perpendiculares li-
neas fpeculo luces incidunt refledentur in feipfas , & fcmg angulus incidentia: eft aequa
lis angulo reflexiois.qcP proponebat. x 1 1 1.

In fphaericis concauis fpeculis radio incidente & reflexo, femper angulus
incidentia: eft aequalis angulo reflexionis.

Fiat fpeculum fphaericum ut fupra,6c feaindum conucxam portionem illius circu»
li limetur Si poliatur planiflime intrinfccus,& aflumatur alia regula lignea fimilis prio
ri,& coaptetur ei fpeailum taliter,ut circulus bafis fpeculi fit in fuperficie rcgula?,& cen-
trum illius circuli cadat in pundumz,Sif linea cq, qua: diuidit fuperficiem regula: per
aqualia, continuetur diametro bafis fpeculi,& fiat lftonim diligens inquifirxo per arcifi
cium quod induftritc expernncntantis committimus. Immittaturfcg regula cu fpeculo
ipfi infxrumento ut pn'us,& liat operatio fimilis omnino priori.fic tamen ut femg puns

I dus d,

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
«ftus d, cjitI eft centrum femicirculi aenei .cadat Riper medium pundu (peculi, hoc enim
eftfemper in omnibus (peculis conucxis & concauis obferuandum. Declarabitur*#
angulorum incidentia Si reflexionis arqualitasutprius.tam in radijs oblique incidenti-
bus quam in ip(oradioperpendiculari,patet ergo propofitum,

XI i II.

In columnaribus conuexis (peculis radio incidente Si reflexo, femper an*
gulus incidentia; eft: aequalis angulo reflexionis .

Sumatur autem columna rotunda, qua; fit altitudinis trium digitorum cu-
ius ha (is circuli diameter (it fex digitorum ,&.'rcfecctur portio circuli bafis illius coltia
mnae ut prius in (peculis (plixr icis , fiat*# ex (erro mundo portio columna*, cuius bafis
(it illa portio circuli & altitudo ipfius trium digitorum A' (ccundum c5cauitatem illius
formetur conuexitas illius pcrtionis,fiant*# omnes linea* longitudinis eius perpendi-
culares fuper utrafqj bafes ,crit'q? finus uerfus bafis minor medietate unius digiti :hoc i-
tacpfpcculum optime politum uifiii conuexae , applicetur uni regularum fimili priori*
bus,ira ut medius punclus cins cadat fuper medium pundiu regula: qui eft z,&.' ita ut li*
nca longitudinis diuidens ipfius conucxam fupcrficiem per aequalia fit in fiiperficie re*
gulae A' applicetur ei fecundum lineam longitudinis cius qui eftb p A hoc fieri poterit,
(i utriufq; bafis arcus per aqualia diuidaturfic punda media Agnata linea b p appliccn
tur.Immictaturitaqj regula aim fpcculo ipfius inftrumcnto ut prius A flat operatio fi
milispriori. Dcmonftrabiturfcj; angulorum incidentia: et reflexionis aequalitas ut (u*
pra , ncc eft in aliquo 3 paflione fpcculorum planorum in his (peculis dtuerfitas,nifi in
hocquod fi radio per foramen medium incidente regula haec obliquetur fecundu para

• tem dextram uel flniftram.apparcbit inde lux refledi fuper idem medium foramen Si

medium lucis fuper medium foraminis,qua lux in (peculis alrjs obliquetur, quoniam
enim in (peculis columnaribus radius perpendiculariter incidens uni linea; kmgitudi*
nis, perpendiculari ter unicuic# aliarum fibi oppoGtarum inddit,propter hoc in omni-
bus ipfisaccidic uniformitas reflexionis , Si femper radius perpendicularis refleditur
in fcipflim , patet ergo .ppofitu. XV,

ln pyramidalibus conuexis fpeculis radio incidente Si reflexo, femper an
gulus incid entia: eft ivqualis angulo reflexionis .

Fiat ex ferro puro (peculii pyramidale, cuius bafis fitarqualis bafl (peculi colunaris,
c: (tergo corda illias bafis triu digitoivA finus uerfus minor medietate unius digiti.Sit
aut linea logicudinisfpcaili qua tuor digitoie- Si dimidiuA lioc optime exterius politu,
applicet uni (iniiliuregularu taliter cocauatx.uc medius puduseius fit fuppuduz me

• diu pudu regula: Aut acume eius fit in termino linea b p,& linea diuides portione pyra

mitiale p aqualia q fcilice: i ucrtice pyramidis ad mediu pudu arcus bafis .pducif, fit in
fupficic regula*. Immifia quoq? regula cu fpeculo in inftrumcntu fiat opatio ut priusA
accidilt ola qua in fpearlis colunaribus couexis accidebant, eft ergo in ipfis angulus in
ridentia aqualis angulo reflexiois,& radius femp refleditur in feipfum,ut patuit in p*
miflis,patctcrgo .ppofitfr. XV J.

Iit columnaribus concauis fpeculis radio incidente Si reflexo, femper an*

• gwlus incidentia: eft ecqualis angulo reflexionis.

Fia t ferreil ipeculu colunare cocauu, cuius cocauitas fit omnino aqualis prior is colu
innaris (peculi coucxirati,fit*# optime fecundu cocauitate arcus portiois bafis interius
politu,& hec applicet uni Iincaja fimiliu cocauata ut prius, taliter,qcl corda arcus utri
ufq; ba (is cu extremis lineis logitudinis fint in (iipficic regula, Si fiar operatio ut prius,
inci J encq . oia q in (peculis columnaribus couexis accidebat A P hoc patet .ppofitum,
XVII.

. In pyramidalibus concauis (peculis radio incidente Si reflexo, (emperin

gulus madenda; eft ccqnalisangulorcflcxionis .

• Fiat ipeculum ferreum pyramidale concauum, cuius cocauitas fit omnino aqualis

praruiflj

UBER. Q_VIN-T-V-?t - - ■ : - 1*6

p rsmifli coTxtcxi pyramidalis fpeculi canuexitatiA jpoliatur interfuSjappliccturfcp uni
Iincanfmfimiliuni,talirer ut medius pundus eius fit fuper pundu z>& ut acumen eius
fit diredc in linea b p,8d ut corda arcus ipfius bafis fit infupcrficie regulat: cum aut linei
longitudinis portionis pyramidalis fpcculi (it qua tuor digitoru 8i dirnidrj,refi:ar ex lo>
gitudinc rcgular digitus & dimidius tam in fpeculo concauo quam in conuexo. Immif
ia quocp regula cum fpeculo in inftrumentutn fiat operatio utprius,accident,cp omnia
qua: in fpeculis pyramidalibus conuexis accidebant in reflexione radiorum oblique iri
fidentium ad angulos a?quales,& in reflexione radiorum pcrpedtcularium in ic ipfos,
patet ergo propoli tum, palam itacp ex praemiflis.quoniam in omni reflexione i quibuG
cunq? fpeculis politis regularibus, iv funt harefeptem fp eaila , femper radius fuper lineS
rectam perpendiculariter incidens fecundum eandem redam perpendicularem refle-
dt'tur,& quod radiusfecundum lineam redam oblique incidens fecundum aliam linea
obliquam refleditur,ita tamen quod angulus incidenti^efl femper aqualis angulo re
flexionis, unde hoc inuento propter rationabilem fenfiis experientiapn femper ut uni*
ueriali principio deinceps in omnibus his fpeculis utemur, Si licet hoc ut quidem hu-
ius feientiar principium fit ex perimcntalitcr declara tum,potefl tamen etiam per alique
demonftra tionis modum ad ipfius («entia perueniri.unde nos ipfiim prout diligentius
poterimus tentabimus demonftrare,propter quod duo (equeptia theoremata duximus
prarmittenda. xvjn,

Omnisres uifeperfpeculum quodcunqhlubbr?Hrffimislineiscornpre
henditurduifu.

Sit fpeailum in cuius (uperfleie f?t linea reda uel curua , quat fit a c b, rei quocp uifie
pundus fit d,& centrum oculi fit f ,8i pimdus d irfdeatur reflexus i pundo fpcaili c, di
co quod linea: f 1 8i d c, funt breuiores omnibus lineis protradis i p3dis d &£ f^ad qua-
libet alia punda fpeculi.ducantur enim i pundo alio fuperficiei fpeculi quod fit e,lineae
e d Si c fj qua: non fint breuiores quim linea c d 8i c f , n eqj squales illis, ied longiores,
quia ergo ut patet per y.huius matura in omnibus agit fecundum lineas breuiores; mul
tiplicatiouero formatu ad fuperficies fpeculoru eft naturalis ,qm fit operae natura,ficuc
et ornis alia diffiifio formariim.iit in philofophia naturali capitulo De naturali adione
oftendimus,& fimiliter reflexio formarum a fupcrficiebus (peculopt aduifum eft purae
naturalis,quonia fit ab operar qatuneA copletur per adione animae ,ficut 8C omnis alia
uifio>utpatetgtotaquartuhuiusnoftrafcicntialibra. Eftautanima tanqua natura
animaliu, patet ergo quod huius diffufio formae Si reflexio & coprehenfio quae fit fecun
dum.ipfam eft uere naturalis, flat ergo fecundum lineas breuiores , quod eft propofi tu,
fruftra enim fleret fecundum lineas longiores.cu poflit melius Si certius fieri iecundu li*
*»cas breuiores. XIX.

Linea: incidentia: Si reflexiois cotinentes angulos aequales cum perpen*
diculari a pundo fui concurfus fuper fuperficiem fpeculi plani uel conuexi
cxtratftajfunt breuiores oibus lingis ab eifdem terminis fuper eande fuper
fidem fpeculi ypdu&is cotinendbus angulos insequales cum perpcndicu*
laribus a pungis fui concurfus extradlis .

Quod hic.pponitur faciliter per 17 Si 1 §. primi huius, poteft dcmoftrari , fcd quia
aliter eft idym demonftrabile.Sit res uifa quacnc^,ia quafitpadus c,& fit fpeailum* 'pia
pum, in cuips iliperfic/e fit linea h d e,(jt aut nuc exempli caufa fpeculu plani! datum .erit
ergo linea h d e jinea reda, linea: quocp contingentes angulos aquales cum linea h d e
ficut e d & d f,aut ergo centrum oculi erit in eadem linea xquediftate lineali d e, in qua
^ftg punchis rei irife,autno,Efto itaqjpundo oculi f,& protrahat linea c f extraha
gur a pudo d,perpcndicularis fup fpeaili fuperfici? p 1 z.undecimi,q ,ptrada,quia fccat
?ngulum c d f.patet g z? .primi,qm ipfa fecabit lineam c f,eft em in eadem fuperficie cu
iHa>hnius ergo perpedicularis £>duda ad linea c f fit d g.erit ergo linea d g.perpendicu-
fif (upeflin^mcf arquediftant em linea d e per zp .primi, quia ergo cdh angulus eft

1 * «equa

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
sequalis f d e angulo, dcpris diis angulis atSlibus 1 duobus redis,qui funtg d h & g d e,
erunt anguli refidui squalcs,cft ergo angulus c d h squalis angulo gdf,& quonia tria
gonorum c d g f d g,ambo anguli qui funt ad puncte g funt redi,palam per 3 2. pri
mi,qfh angulus d c g & d f g funt squales , (un t itacg trigoni c d g & F d g squiangul/,
latera ergo squos angulos reipicientia funt proportionalia per 4.fexti,&: quoniam Ia*
tus d g squale eft fibqp(i,er it latus f d squale lateri c b.dudisfcp, lineis fc& c e fuper purt
dtrm e pundu linea: d e.qus ut patet ex prsmiffis eft squediftans lines e f, patet quod
lineacceftmaiorquimlineafe,g i 9.primi,eft enim angulus cfe maior angulo gfd,
& angulus f c e eft maior angulo g c d .refta t ergo ut a ngulus c f e fit maior angulo f c e,
& quod linea c e (it maior qu ; m linea f e,ct quia fuper eandem ba
fem qus cf,6f -inter lineas squediftantes qus funt d e & c f,coIlo
catur trigonum c f d cuius latera c d & d f funt squalia , & tri-
gonum cf e, cuins latera ce&fefunt squalia, ut patet exprs
miliis,dico quod latera c d & d f ambo fimul (umpta funt maio-
ra ambobus lateribus c e & fe fimul fumptis, producatur ein 1 inea
c d ultra pundu d,in cotinuum & diredu ad pundu l,ita ut linea
d 1 (ic squalis lines d f,(cd & linea c e qus eft longius latus trigo*
ni c f c, ^ducatur ultra pundu e ad puncflu m, donec linea cm (it
squalis lines e f,& copuletur linea 1 m dt linea e 1 , & quia angu-
lus fd c eft squalis angulo f d c,per apprimi, & angulus d f c eft
squalis angulo d c fjut patet ex prsmiuis , angulus ucro ed I s*
qualis eft angulo f c d,per 29. primi, erit ergo angulus f d e squa
Iis angulo c d l,fed linea d 1 eft squalis lines d f,ct linea d e eft am
bobus trigonis qus (Iintfd e&edl comnnis,ergo per 4.primi>eft linea fe squalisli-
nes 1 e, ergo & lines e m g per 5-.primi,anguli e 1 m et e m I funt squales.-totalis ergo an
gulusclm eft maior angulo embergo per 19. primi, linea cm eft maior qusim linea
c I,duo ergo latera c e & e f, pari ter accepta maiora funt duobus lateribus c d & d f pari-
ter acceptis, quod eftpropofitum . Si autem uifus & res uifa non funt in eadem linea
xquediftante lines h e,Gt pundus rei uifs ut prius c,& centrum uiliis fi t b, & ducatur Ii

' - nea b a squediftans lines h d c.qeft

in (peculi fupcrficie,& producatur li
nea d c ad puncflum a,& protrahan*
cur lines cd,bd,ce,a e,eb,8ifint li*
nes cotinentes squales angulos cu
linea d e,qus c d & d b, inaequales ue
ro angulos contineant c e & b e, erut
ergo ut (iipr a lines ad &bd squa*
Ies„pduda perpendiculari dka pun
dod,coparato ergo trigono adb
■JU adtrigonumacb,eruntlinesad&
_ =*»^' d b minores quim lines a e & e b,ut

ut pa tc t fccundu prsmifia . Cu enim lines a d 8i d b funt squales per 2 ,fexti,idco quia
lines cdStdf funt squales, lines ucro a c & b e fint insquales,erut duo latera a e & b e
fimul funda maiora duobus lateribus a d & d b fimul iudis,crgo cu a c & c e duo latera
trigoni ace, p 2o.prim/,fintlogioralaterea e,cnmtiftstreslinesac,cc,e bjongiores
d * ; 009 linei s q fu nt a d & d b,ergo dep to hincinde iplb a c c6muni,remanebut lines c e
&e b maiores q; linesc d & d b,quod eft npofitu.Et eode modo poteftdemonftrari in
qu.bufcunq? aiijs (pcculis couexis.fit ergo lpeculu no planum cuiufcucp figurs conexa:
p!acuer<t>& fir nuc exempli caufa (phsricu conuexu,qiua ide accidit inalijs , & fit h ab
litfcp centru uiliis g 8i puncte uifiim d,& lines g a & a d squales angulos cotineant cum
linea circulum contingente in pundo a, qus me f,ita ut angulus ea g fit squalis' arigii
lo f a d. Incidantqj I/nes g b & d b in pundum aliu fpcculi quod fit b , ita ut insquales
angulos contineant aim linea contingente ipeculum in pundo b, dico quod lines1 g a

6<ad

■ LIBEU Q^VINTVi.’ '* • 1 1*7

& a d funt minores lineis gbSedb.qih enim angulus co tingentia: quxefth a e aqualis
eft angulo b a fiuterq? eft em minimus aaitorum per i $■. terti], angulus uero e a g eft
aequalis angulo f a d,(ic pundus in quo linea g b,iecat lineam contingentem, quae eft e ,
fjpundus z,5e ducacurlinea dz, palam per i6,primi,quoniam angulus e a g, eft maior
angulo e z g,crgo angulus d a z,eft maior angulo g z a.Sed angulus d z f.eft maior an
gulo d az,crgo angulus f z d,eftmaior angulo g z a.crgoper i r.primi huius, dux li*
near ga.fiC d a, funt minores duobus lineis gz&d z.Sed lineae 'g z & dz,funt minores Ii
nc/sgb& d b, quoniam linea g b,cft maior cfj linea g z,ut torum parte.Iinea uerodb
eft maior ^ linea dz per 8. terti],patct ergo (ppofitu uniuerfaliter in ftiperficiebus quo
rumlibctfpeculorum connexorum. Hoc autem idem ut prxdiximus, poteft per 1 7.
uel per 1 8.primi huius,facilius demonftrari,c{j in alijs oftendimus, cj> linex redx conti
nentes angulos xquales cum linea cui ad unum pandum incidunt, poflunt breuiores
omnibus lineis ab ciidem terminis fuper eandem lineam ad unum pundum alium .

dudis,&hocpropoiuimuspcr i7.primihuiusinlineisredis,per is.eiuidcm primiin
lineis conuexis. XX.

In omni reflexionea quibufcunqj fpeculis fada,fempcr angulus incicien
tix eft xqualis angulo reflexionisrex quo patet, quod linearum intequali* .
tas naturam reflexionis non iitimutac.

Quoniam enim ut patetper i8.huius,otnnisresuila perquodcuq^fpcculumpla- ‘
numueIcQnuexuuelconcauum,fubbreuiflimis lineis comprehenditur, linex uero ab'
eifdem pundis utpote i pundo rei uifx,8t centro uifus ad fiiperflciem cuiufcuncp fpe-
Culi produdxbreuiflimxfunt,quxc5tinent angulos xquales, 8C cum Ii- /6
neis contingentibus fiiperficies fpeculorum, Sd aim perpendicularibus d 1
pundis fui cocurfus productis fuper iuperficies fpeculorum, uepatet per V
prxmiflam,angulus uero quem iacit linea i pundo rei uiix produda, cft \. ^

angulus incidentix.SC angulus quem facit linea ab illo pundo ad ^nrriF
uifus produda , cft angulus reflexionis, patet ergo quod angulus incide z' /\ ^
tix iemper eft xqua lis angulo reflexionis, i quocuncp fpeculo plano uel f f \
connexo fiat reflexio, Sed SCidcm patet in.concauis fpcailis quibufcunqj, [ / \

fit enim aliquod fpeculum conuexum,in quo fit circulus e b d,que in puns \ / \ ^

do b, contingat cxtrinfecus per iz. terti) drculusa b c. Se ducatur d pun-
do b, linea f b g,ambos circulos, contingens in pundo b, di fit pundus rei niix b,cuius
forma 5 pundo b,(peculi conuexi reflectitur ad uifum exiftentem in pundo k, eritfcp
per prxmillam angulushb f,xqualis angulo kbg.fed Se angulus a b
f cft xqualis angulo c b g,per 1 j-.terd), quoniam funt anguli incidens *— g-
tix:reliriquiturergoanguIushba,quicft angulus incidentixinfpe* /

culo concauo a b c.xqualis angulo k b c, qui eft angulus reflexionis, \/

patet ergo propofitum.Vniucrfaliter enim in omnibus fpeculis co-*fT" -ErST
caiiishxcdemonftratiopotcftcoaptari,cftaut hoc rationale, fi enim \

linea incidcntix qux fit exepli caufa a b.lineam redam c b d, protra- ^

disinfuperficieplaniipeculi,ucl contingentem (uperficiem conue*
xamuel cocaua alicuius fpeculi fine reflexione penetraret in pundob.ufqj ad ptmdu e
pala p 1 $■ .primi, angulus icidetix a b c.fieret xql is angulo c b d,fi ergo fiat reflexio
lecudalfnea b f, couenietius eft ut fiat (ecudu angulu xquale illi contrapofito qj fccudtf
aliquem altu angulu, ita ut angulus f b d xqlis angulo e b d, Se angalo a b c. St eiii pu-* •
duscSe d,ex/ftetibus imotis linea c d, imaginet reuolui,tunc em linea e b,,ppter xqua
lita tem angulorum e b d Se d b f, cadet fuper lineam b f,& hoc uidetur importare nomg ,
rcflcxionis,patet ergo propofitum.Patct etiam ex hoc corrollarium, linearum enim in-
xqualitas.quia non immutat angulorum quantitatem, ergo neqj naturam reflexionis, .
unde omnia punda eiufdem linex remotiora ii pundo reflexionis poflunt reflediad
nifum,ficut punda eiufdem linex propinquiora pundo reflexionis,tmiuerfalitcr enim
oia punda eiufdem linex fccundu xquale angulum refledipofliintjSehoc^pncbat.

,1 i Omnes

PERSPECTIVA® VITBLI^IQNIS
XXI,

Omnes formae fecundum lineam perpendicularem fuper fuperficiem eu
iufcuncp fpeculi incidentis, reflexio fit fecundum lineam eandem.

Verbi gratia,efto ut forma ptmdi a, fuperficiei fpeculi b d c, incidat fecundum line*
am perpendicularem fuper foperficiem b d c,dico quod reflexio form* pundi a^erirffe
eundum eandem lineam d a:dato enim quod fecundum aliam lineam fiat reflexio, tua
cum angulusincidentixfemper fitarquafis angulo reflexionis,ut patet per pnemiflani
& in propofito angulus incidentia: fit rcdus>mfiniti quocp fint anguli redi ordinales
fuper pundum d,nccfitdeclinatioformx plus ad unum pundum fuperficiei bc,cf;ad
ajiud.xqualiter enim fehabet linea a d.qux eft linea incidenti* adpunda b,& ad pun*
dum c ,& ad omnia alia punda fuperficiei b c. Sic ergo erunt infinitae reflexiones ad
infinita punda fuperficiei b c, quia qua ratione ad unam differentia pofitiois fleret refle
xiOjCadem ratione fieret ad aliam & omnem, quod eft inconueniens, dabitur ergo ne-
cefiario quod fiat reflexio fuper unam di eandem lineam a d, fecundum quam inciden**
tu fiebat, perpendiculares ergo ucl non refteduntur,uel redeant infe ipfas,& fortifica-
tur actio tal ium formarum.Si tamen dicatur quod perpendicularis incidens per aliam
lineam refledirur, fit ut refl edatur per lineam d e, ninc ergo angulus incidoiria?, ut pa
ruit per prxmifTam,femper fit «qualis angulo refldtionis,ent angulosa, d c^squalis an
gulo a d e.Scd angulus a d c, «qualis eft angulo a d b,pcr hypofliefim^erit ergo amplus
a d e, «qualis angulo a d b,pars fuo tot i, quod eft impoflibitapatet ergQ prqpofiwou
XXII,

Interpunda formae fuperficiei cuiufcunq? fpeculi incidetufe;$? fpectili Qp
pofiti fuperficie,necefTe eft infinitas pyramides figurari,conos.& bafes hin«
inde mutuas habentes.

Declaratum eft enim per primam hnius,quom'am I quolibet pundo corpori? op*
pofiti procedidux uel color acf quodlibet pundum fpeculi,onies enim line* dudae ad
quodlibet pundum corporis.reddunt in unum pundum fpeculi, & forma
unius pundi corporis mddit omnibus pundis fuperffdd totius fpeculi,cq
q> ad omnem politionis differentiam fit difliifio formarum, tota ergo fori
tna corporis erit in unoquocp pundo fpeculi, di forma cuiuslibet corporis
in tota fpeculi fupcrficie:quot ergo funt punda in fupcrficie fpeculi, to«
funt pyramides ad totam fuperficiem fbrmx corporis terminat*, qu« ft«
perficies fit bafis omnium illarum pyramidum :& quot funt punda in tota
ii fuperficic corporis, cuius forma incidit fpeculo, tot fiunt pyramidesad
totam fuperficiem Ipeculi terminat*, qiue fit bafis omniudlarum pyrami*
dum, & funt omnes iftx pyramides continuae per continuitatem pun*
dorum indudis. foperficiebus exiftentium potetia non adu,erit'cg axis cuiuslibet ha*
rum pyramidum pundus fecundum quem fpeculo inciditpundusmedius totius for*
mx fpeculo incidentis.quoniam ab illo incidit fecundum «qualem diftantiam , omne*
pundi alij drcumftant «qualiter medium pundum form*,patet ergo propofitum.
xxiii,

bftpofTibile efruidteri imagines in quibufcunft fpeculis propter reflexi
©nem radiorum uifoalium i fpeculis ad res uifas/edfc>liunpropter reflexi*
onem formarum i fpeculis ad uifum.

Sienim radij uifuales reflederentar ^fpeculo adres, quorum uiftis accipit imagi*
ncs,referent'cp:ipfas formas i fpeailisad uilum,tunc qualibet imago uidetur loco fu*
rei cuius eft imago,quod eft contra fenlum ,di quia, ut przeoftenfum eft fecundum feca
dam huius,ab omnicorpore colorato prxfente luce.color ad corpus oppofitum politu
mittitur mixfttm cum lumipc,8C quandocp totaliter, S i quandocg partim refleditur ab
iHis,tunc fi i adq uifuales incidentes fpeculis refledentur ab illis ad res ipfas» & deferent

fecum

LIBER CLVINTVS, Ii8

rcaim formas, accideret qnod dux indentur imagines uniufcuiufqj re/, quorum tmam
offerrer uiftii lpfe uifual/s radius reflexus, & aliam /pie radius forma* rei incidens fpccu
culo,in quo forma rerum imprimuntur,^ reflexus i fpcculo ad uiftim, quod totum cft
impofiibilcfenfui. Sed fermo ad eius oppofftionem quidam antiquorum demonftra
tionem attulit, qua & nos ut indifferenti*
uigoratam fortius praetenti propofito ap*
plica mus. Sit ita q; exempli caufafpcculu
planum eredum luper uiperficicm horis
contis orthogonaliter, in quo fit linea di-
uidens fuperficie fpeculi per cequalia,qua
fit a b,& Iit centrum uifus g,a quo ducat Ii
nca g e, perpendicularis (iiper (uperficiem
fpcculiper 1 1 .undecimi.Sit itacp ut linea
gt,cadatfuper lineam ab,inpundum t,
erit ergo linea g t, perpendicularis fuper
lineam a b,& ducantur i pundo g, lineae g a &gb aquales, erunt ergo per j-. primi, ans
guli g a b,& g b a aequales, &; anguli ad pundum t funt rcdi,crgo per 1 6. primi, & per
hypothefim erit linea a t,aequalis linea: b t, producantur itaqj lincte g a &Cg b.ultra ipe*
culum ad pnnda d & e.ita utlinetega d,&?g b e,finttequalcs,fic' coniunga tur linea de,
producatur*» linea gt.ad lineam de,& incidat illiinpundoh,erit ergo per prarmifla
& 2<S.priroi,fincadh,a:qualislineaehe,ergoper 8. primi, & per diffinitionem perpen*
dicularis anguli ad pundum h, fune redi, ergo per 2S.primi,Iinca:dh&!a t,funta:que-
diftantes,& linea: h e 6i t h,*qucdiftantcs,producaturt{j linea t h, ultra uifum g,donec H
nca t i, (it aequalis linea* t h,& ducantur i pundo i.Kncaei u,& i z, tequediftantcr lincte a
b,& fit linea u z, aqualis linea d c,& ducantur linea u a & z b,qufa ergo linea t i, eft ae-
qualis ipfi linea t h,& linea u z, aqualis linea* d e,5i linea a b,a*qualis cft fibi ipfi,erit fu*
jjcriicies a b 2i d o, aqualis fupcrficiei a b d e.Snppofita em ncc cxccdic nec excedetur, li
nca ergo u a,cft aqlis linea a d,&z b cft aqlis ipfi linea* b c,& angui? a u z,tcqlis eft an
gulo a d c,& angulus d z b,eft aqualis d e b,& angulus d a b, aqualis angulo ii ab,ra*
dius ergo g a.per zo. huius, refledetur ad pundum u. Si tantum producatur linea ab,
ultra pundum a,ad pundum r,6i ultra pundum b, ad pundum 1, palam cx prtemiflis
& per 1 3 ,primi,quia linea a r z diuidet angulum u a d,pcr duo aequalia, erit ergo angu
Ius s a b.cequalis angulo r a d,& fimilirer erit angulus z b I,tequalis angulo e b I.Scd an-
gulus r a d ,cft tequalis angulo g a b, & angulus I b e,tequalis a ngulo g b a, per 15-. pri*
mi.crgo angulus r a u,eft aequalis angulo g a b,& angulus 1 b z,£equal/s angulo g b a,er
go per zo .huius duo radij g a & g b,conuertentur i duobus pundis a &i b,ad duo pun-
da u & z.Si itacp centrum uifus quod eft g, appropinquet fupcrficiei fpeculi, di lincte a
b,ut fi peiuenianc in pundum f.tunc quia angulus incidentia:, qui eft g a t, erit per z o.
huius, angulus rcflcxionis,qui fit q a r, minor angulo prioris reflcxionis,qui cft u a r, d!
cricangulus q a r .maior angulo u ag,&linea q i, maior linea u i,approximante ergo ui
fu fupcrficiei fpeculi non uidebuntur extremitates rei prius uifte, quae funt u d! z,fccun
dum extremitates fpccnli.qute funt a di b.Scdd: uifu perfiftentc in pundo g, & linea u
z.approximante fpcculo ulcp ad pundum x,quod fit pundum linea: z h,non uidebun*
tur extremitates linete u z,quce funt u di z,fed folum aliqua punda /pfius.in quibus ra=
dius g a,uifualis reflexus a fuperficie fpeculi fecat uz,qute fintpunda m di n,er/tcnim
linea n ni, minor qj linea u z,quod patet per 3 4.primi,dudis lineis tequediftantibus, 8i
perpendicularibus, qice fint n o & m p,& fi linea u z elongata fuerit i fuperficie fpeculi,
nullum cius pundum uidebitur fecundum radios a b & uz,quia alij radij uifuales a pun
dis extremis illius fpcculi,qua: fune a & b,non refleduntur ad aliquod pundum linea:
uz,fcd ultra illa, quod patet per 3 4.primi, copulatis lineis tequediftantibus qua: fintu
u di z z,non uidebitur ergo in tali dilpofitione refpedu Ipcfnli aliquod pundorum li*
ncie u z,quod cft contra experienciam Qi fcnfum;accidit enim extrema re/ approxima

tx. &

PERSPECTIVAE VITELL10NIS

tac & elonga ta: fn fp callo qncucp uideri, ut fuppofitum cft in huius libri principio* E*
ficut hoc patet in fpcailis planis, fic etiam patet in alijs fpeculis quibufcucg , quoniam
de omnibus eadem eftdemonftratio, patet ergo propoli tum, aut ad minus ex lus non
condudituroppofitum ipfius.

XXI 1 1 1.

Comprehenfionem formarum uifibilium in fpeculo fola efficit reflexio
qua: ad uifum,unde fecundum difpofitionem linearum reflexionis uifus
neceflario informatur.

Quod enim radij ab oailo non exeant, qui redeuntes ad uifum referant fecum for-
mas uifibilium,hoc oftenfom eft per prsmiilam.quod aute forma (enfibiiis non infor-
met ipfam (peculum.flcut forma naturalisfuam materiam.hoc patet ex hoc, quod non
in omni differentia politionis uidentur formae in fpeadis quibufouq?, in tuens enim ali»
quis accedens ad fpeculum fixum.uidet formam quam prius non uidit,& recedens a Io»
co uilionis formae prius in fpeculo fixa uifar,non amplius uidet illam; & uifa parte (pe*
culi, non propter hoc uidetur pars formarum in fpeculo apparentium,fod in eode pun*
do fpeculi diuerii afpicientis uidere poliunt formas diucrlas & diffindas, qua tamen
ut quidam actus coinpleciui eandem partem fpeculi non poliunt fimul informare, uide
nir etiam in fpeculo forma rei, qua foaindum lineam rectam non poteft multiplicari
ad uifumtmulta quocp alia accidunt,quorum ratio pofterior eft magna, tn impoflibili*
ratem demonftrant, palam itaqj formas i fpeculo non procedere,ut in fpeculo exiften»
tes Si multiplicantes ie ad uifutrgfod ut incide tes iplis fpeculis i rebus formatis & i fpe-
culis ad uifum reriedi. fecundum diipofitionem ergo linearum reflexionis uifus nccef-
farioinformatur.quia quandocp uifus ucrerem aliam non uidet, cuius formam coms
prehendit i fpeculo reflexam,pacet ergo propofitum.

XXV»

In omni reflexione a quocuncg fpeculo flufta/uperBciem reflexionis fu*=
per illius fpeculi fuperficie,uel fug fuperficie illud fpeculum in punfto refle
xionis contingentem,ere<ftam efte eft nccefle.

Qyoniam enim fi lux uel forma alicuius fpeaili foamdum perpendicularem lineS
incidit, illa foaindum eandem refleditur per 1 1 .huius.palam quod tunc fit incidentia 8i
reflexio fecundum eandem lineam, fiiperficiem reflexionis necellc cft cilc credam fu»
per fiiperficiem ipfius fpeculi per i S.undccimi.Si uero lux ucl for»
ma focundum lineas obliquas incidit iuperficici fpeculi cniuicucp,
tunc lemper angulus incidentia: Si reflexioniscrunt in eademfu»

Ecrfirie reflcxioniSjUt patet ex eorum diffinitione, fed &in eadem
iperficie fecundii lineam perpendicularis fuper fiiperficiem fpccu»
]i Si lines ipeidentiat Si reflexionis dudos angulos cum Iinea,quae
eft communis fodio fuperficici reflexionis& fpeculi continentes,
ut patet per diffinitionem fuperficici reflexionis,eftergo per i8.un
dccimi,illa faperficies ereda fuper fiiperficiem fpeculi,uel fuper fu»
perfleiem fpeculum contingentem in pundo reflexian/s,& hoc ex
emplariter patet in fuperficie circuli foquentis armilla inftuunenri
inji.haius pratmiflqatquediftanrer bafibus fuis per omnia centra fb
raminum,6<; sequediftantis fiiperffciei circuli amei.qua: efta b c, ra»
dio enim per foramen medium incidente Si fpeailo declinantefo*
eundum regulam eadem eft demonftratio ,qute in radqs obliquein
cfdcntibustreflcditur enim femper tunc radius ad lineam longitudinis armilla:, qu*
tunc non atquediftat I ineat bz p ,quat eft linea longitudinis regulat, & quoniam fit tunc
reflexio i pundo z,cui incidit axis colurnos rotunda:, uel radrjpcrpendiculariterfiiper
lineam tq.quar cft communis fodio iiiperficiei regulat & fupernciei circuli tranfeuntiJ
per centra foi ammum,^ huic axi atquediftat linea d b, fomidtameter circuli a bc,font

ergo

LIBER O.VINTV5. Ii?

ergo in eadem fuperficie per primam primi hufus.Sed linea d b,eft perpendicularis fug
lineam latitudinis reguls,quxeft communis fedio fuperffcici regulx di circuliabc,
ergo per diffinitionem fuperflcieifuperluperficiem e redx, fuperficies in qua funt axis
columna: ferres uel radi) incidStis^: linea d b, eft ereda fuper fuperficie regulx uelfpe
culi, di in hac fuperficie eft linea perpendicularis, quae eft linea altitudinis armillae tran
fiensper pandum b,& per centrum foraminis medrj, in quam lineam fit reflexio lucis
axis pyramidis radialis,patet ergo propofitum,8i: ita inunoquocp fpeculoru, quoniam
ad omne fpeailum liare demonftratio fe extendi t,ut patuit ex prxmiflis.

XXVI.

In omni reflexione a cuiufcuncp fpeculi fuperficie linea reda per aequalia
diuidensangulumcontentumfublineisincidentiar di reflexionis fuper li*
neam, quae eft communis fedio fuperficiei reflexionis Si fpeculi, uel fuperfi
riei in pundo incidentia: fpeculum contingentis necefiario perpendicula*
ris e^iftitiex quo patet illam lineam eredamefle fuper lupernciem in illo
pundo fpeculum contingentem.

Sit efh ut forma pundi a, incidat fuperficiei alicuius fpeculi fecundu pundum b,&
refledatur in pundum c,eft itam linea incidentis linea a b, di linea reflexionis linea b
c,qnar funt in una fuperficie ereda fuper fuperficiem ipeculiper prsmiflam, fitfcg ah*
qua fuperficies plana contingens fpeculum fecundum pundum b, comunis aut fedio;
haius (uperflciei & fuperficiei reflexionis ,fit linea d b e, angulu uero a b c, diuidat linea
b f,per aqualia.Dico q> linea f b,eft necefiario gpendicularis fuper liriea d b e, qa enim
angulus d b a, eft squalis angulo eb c, per ro. primi huius, angulus em incidentis a b;
eft squalis angulo reflcxionis,qui eft e b c,& quia angulus a b £ eft squalis angulo f b
c,exhypothefi,pa!aq> totus angulus fbd eft squalis toti angulo fbe,eft ergo linea f
b.perpendicularis fuper lineam d e, per diffinitione lines perpendicularis.et hoc fi linea
d d e ut linea reda.qux fi fuerit dr cularis, fic ut g h linea reda ipfam contingat in puni
iftob,per i<S.terrij,&quiaanguIicotingentisgbd,S:hbe,funt squales, relinquit qcF
anguli f b g,& f b h fint squales, & erit ide linea f b,gpendicularis fug linea g b, 8i fug
lmeam d e,cu itacg linea f b,fit duda in fuperficie reflexio nis,qus ex prxmifta eft reda
fuper fuperficie fpeculi, uel fug fuperficie ipeculu in pundo incidentis contingentem.
6i cu ipfo fit fug ipfare comunem fedione perpendicularis,patet quod linea f b,eft ere*
da fuper fuperficie fpeculu in illo pundo cotingentem, continerem cu omnibus lineis
in illa fiiperficie produdis angulos xquales,& qm eodemodo poteft fieri declaratio
in fedionib.patet ergo ,ppofiru. XXV II.

In cunni' fuperficie reflexionis a Ipeculis quibufcuncp centra uifus 8i pun
dum forma:uifa:,& pundum reflexionis SC termini perpendicularis &ka*
theti utriufq? cofiftere eft ncccflerex quo patet linea gpediculare a pudo re
flexiois duda,omibus fugficieb.rcflexionis illi pudo incidetib.coem eflfe.

Oftenfum eft per zs-.hauis,quoniam in omni reflexione i quocuncp fpeculo fada
femper fuperficies reflexionis,in qua funt lines reflexionis & inciden
tixdi perpendicularis' fug fuperficiem fpeaili duda d pundo refles
xionis,ereda eft fug fuperficie fpeculi, i quo fit reflexio :cu aut linea
incidentis incipiat i pundo forms cbprehenfs , di terminat in pun*
dum reflexionis, & linea reflexionis incipiat S pundo reflexionis,8C
terminatur ad centrum oculi, pala quod hsc tria punda funt in eade
fuperficie. Sed cum perpendicularis fit ereda fuper fuperficiem fpe
culi,fuper quam per 25-. huius fugficies reflexiois eft ereda, qrn Si in
illa fugficie eft tota gpendicularis.cu.n.ipfa gpendicularis in pundo
reflexionis fecet lineas incidetis di reflexionis,cu qbus ipfa ex diffmitioe eft in eadem
fiigficie,crgo g prima y, terminus gpendicularis fugior necefiario erit i eade fugficie cu

K pundis

PERSPECTIVAE . VlTELLIONlS

pu nefis pradidis.Si errnKa perpendicularis ad pundQ alium extra Itigfiefem reflexi*
onis terminetur, patet q> illa pcrpendicolaris in aha erit luperfide, qcF eil contra diffini
tioncm iuperffciei reflexionis, (cd etiam fi ipfa in alia fuerit fuperficie, erit redus mi*
nor redo, quod eft impolfibilc, linea eih i pun do reflexionis produda in ipia fu-
perffae reflexionis ereda faper fuperficiem fpeculi, cum linea in fuperficie fpe-
culi ab eodem pundo produda continet angulu redum di perpendicularis finiilircr,
Siergo illae i.lineae addiuerfa punda terminant, fit redus maior redo. Sed pereunde
modum patet id qd* .pponitur de kathfetis, di qm oes iup.firies re flexionis qua; tranloft
idem pundu reflexionis,& alique pundu formi coprchenfum, licet ad diuerfa centra
uifuu termmenf,(emp tranleunt eunde terminu ppendicularis,qm oes fanr eredi fug
luperfide fpeculi.uel lug iiiperficie fpeculu in pundo refledionis cotingente, pala qin
oes lecant fe in gpendiculari.cft ergo gpendicularis ab olbus comunis.Sed 8i hoc figu
Taliter eft declarandu.Sit.n.funfidcsfpeculi cuiufcucg a c b, in cuius ptmdiJ c, iftcfdat
radius i pundo rei uife,quod fit f.per linea f c,& refledat ad centi u uifus qd* fit e, per li
neam c e,extrahat perpendicularis fuper fuperficie (pcculi,quicftb ca,i pundo c,

qui fit cd,peri 2. undecimi, intelligit a pando e, perpendicularis ,p trahi iug fuperfi

ciembca.utcicorinda per 1 i .undedmi.qux fit e a,eritfcg lineae a, iqdiftans linei dc
per 6.undecimi,qrh ambi funt orthogonafes fug cande fuperficie fpeculi, qui eft b d,
Si qm lineid c Sic a,fiintiqdiftantes,pal3 per prima primi huius, qa funt in eade pia*
na fugficie,2<./ linea reda a b,cu utraqj illait' lineaitr.fd c&e a,cotincbit angulu redu,
erit in eadem fugffrie cu utraqj ipfaR per 2. undecimi, & linea c c, tenebit cu his ambab?
lineis q lunr e a & d c, angulos acutos,pptcr diffinitione angulos rcdojt ;,di qin linea in
cidentixdi refl exibis cu perpendiculari d c,fimt in cade fugfidc,& linea ec reda copu*
lat extremi tates lineaitr e a di d c.erit ipfa per 2,undcdmi,in eadem Iiiperficie cu dudis
-perpedioilarib?,oes ergo linei qua iimt e a dic c„d cf c,(Imt in una a eade fuperficie,
quatuor ergo pmifia punda funt in eadem Iiiperficie reflexionis,&hoc,pponitur,qm
infpcdo Scuqj alio pundo corpor is uifi uel fpeculi, femgaccidit idem fitus lineatu radia
lium c5 tpfis perpendicularibus.Si fimfliter patet de utrifq; kathetis&l incidentixdiie
flexionis per prima j. patetergo ^pofitQ.Si ex hoc patet ?, corrella.fatis manifefte.

XXVIII.

Omnem puntftum reflexionis formae pun di oblique Ipeculo incidetis ,
inter kathetum incidentiac SC reflexionis in fuperficie fpeculi confiftere eft
neccffe.

Sit luperfides cufufcucg fpcculi,in quo cornum S fedio fuperfi
cici reflexionis &iiiperficiei lpeculi fit linea a b c, reda uel Coma,
Si fit pundus rei uifx quid, & centru uifus pundu e, fitfcg kathetus
inddentii q da, &kathetus reflexionis qui e b,d ico qcP omne pun
dum refledionis formi pundi d,ad centrum uifus e, inter punda
faperfide/ fpeculi a & b.confiftere eft necefle.Siemm detur quod
in ipfis pundis a uel b, fiat reflexio ibrmi prandi d, ad uifiim c,fit
ergo ut fiat i pundo fpeculi, quod eft a,& ducator linea ae,tunc cu
linea da, fit perpendfcularis,& linea a e non fit perpendicularis,
& per 20, huius, angulus incidenriifit iqualis angulo reflexio*
nis,crit ergo angulus e a b, redus, led di angulus e b a ,eft redus,
trigoni ergo e ab, duo anguli fnnt redr,quodeft impofljbile.Simi
liter 'cp deducendam fi detur reflexionem fieri i pundo b,qaoniam
idem accidit impoflibfle, non fit ergo reflexio ab aliquo pundo*
V rum a uel b, quibus incidunt katheti. Sed necp abjaliquo pundorS
'linei a b c, extra punda a di b,fit enim ut forma pundi d,refled»
tar ad uffum c,S pundo fpeculi c,dndis ergo lineis d c & c e, d/ui*
daturaneulusdccpcriquaha-.per^.pr/mij&ducaturlineac f, fecans lineam be,in

h • pundo

LIBER QVINTVS.

pando f.crit ergo per prxmiflam linea e f, perpendicularis
luper linea a c, trigoni ergob f c,duo anguli funt rcdi,£jd eft
/mpoflIbile,utprius,&! eodem modo deducendum, fi detur
fieri reflexio ab aliquo pundo linea a bc, ultra pundum a,
uti pundo g.duda linea g h,angulum d g e, per xqualta di
u idente, patet ergo quod folum inter punda a & b, fiet refle
xio ab aliquo pundorum linea: ab, uidclicct inter kathetum
incidentia: & kathetum reflexionis,quod eft propofitum in
fpcculis planfs,& patet uniuerlaliter in omnibus reflexioni
bus a (pcculis,quibufcunqj, quia danti oppofinim eadem im
poflibilia fequantur,duda corda arcus interiacentis,duda
punda reflexionum 8i katlietornm produdorum,& du dis
lineis contingentibusin illis pundis ipfas (tiperficics (pe*
culorum,uel lineas qux funt communes fodiones ipforum (peculorum di (upcrficier3
reflexio nis,patet ergo propofitum,

XXIX.

ImpoflibileefUimulduopunidaeiufdemreiuifeab eodem punedo cu
iulcuncp (peculi refledi ad idem centrum uifus,uel a duobus pundis (pecu*:
lorum planorum uel conuexorum, formam unius pundi.

Quoniam enim pundo alicuius formx perpendiculariter iuperfleiei (peculi inci*
dente aliam lineam ab alio pundo rei eiufdcm.ucl perpendiculariter alterius duci fu*
per eandem fuperficiem ad idem pundum eft impoflibile patet per 1 3 .
undccimi.quod autem perpendicularis refledatur in fcipfam, patet per
a 1. huius, impoflibile eft ergo duo punda eiufdem forma: uilae ab co*
dem pundo (peculi ad idem centrum uifus refledi perpendiculari ter. Sed
neq$ eft hoc poflibile fieri linea incidcntire obliqua exiftente, omnis enim
pundus cuiuslibet forma: incidit (peculo. Si refleditur aduifum fccun*
dum lineas breuiores per is. huius, & ornis talis reflexio aduifumS; ip(a
rum comprchcnfio fit fecundum difpoficioncm linearum reflexarum per
»4 hnius.illx ergo dux formx fi ad unum pundum quod eft centru oculi -
incidunt,& ab uuo pundo rcfleduntur,tunc illa duo punda i quibus fua ^

rum formarum fic inddentia,quia non pmieniunt ad uilum nifi fecundum lineas incis*
dentix, qux ab uno pundo renexx perueniunt ad uifom, uidebutur unus
pundus.a; fic erit confufio formarum in uifu. Si enim lineae incidentia:
formarum diuerforum pundorum non diuerfificant punda reflexionis,
fcd incidunt eodem pundo, palam quod aut aliqua forma tota, aut plura
punda illius formx poflunt uni pundo incidere, &i in unum pundum rea
Redi, qui eft centrum uifus,&! uidebitur tota forma unus pundus. Item
fi detur lineas incidentix di reflexionis propter angulorum fuorum diuer-
fitatemfomper diuerfas efle, ficdt ergo funt dux linex incidentix, qux i
diuerfis pundis formx incidant eidem pundo (peculi :Sic fient dux linex
reflexionis qux ad idem centrum uifus terminantur,nt(i i duobus puns ' ... ~ "

dis formx incidentix fpeculo.qox funt a & b,i ncidunt eidem pundo (peculi, qui fit c,
dux linex a c,8ib c,2C ab illo refledentnr ad idem centrum uifas quod Ut d, fequitar ad
huc fi ab ano pundo reflexionis c,diuerfx formx pundorum a & b,ad centrum uifus
d pcrueniantjduas lineas redas qux funt c d, (uperneiem includere, quod eft impofilbi-
le,patet ergo propofitum. Sed neqt 3 duobus pundis alicuius fpeculi plani uel conue-
xi ad idem centrum uifus fimul poflibile eft idem pundum formx refledi. Sic enim fi
poflibile eft ut formapundi a, refledatur ad centrum uifus b,3 duobus pundis fpenia
Ii plani uel conuexi cuiufcunqj. qux fit c Si d, fignata fuper lineam qux eft communis

K *• fodio

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
fedto fuperficiei reflexionis & fpeculi uel fupcrficiei contingentis fpeculum conuexS
qua: (it e fjaim ergo per 14, huius, fecundum diipofitionem linearum reflexionis uifus
femper inibrmetur,mnc forma pundi a.qux cft indiuifibilis occurret uifui ut forma Ii*
nearcd.qu* eft diuifibilis linea, non ergo occurret uiiui nifi tantum unus pundus
formx reflexa: ab uno pundo fpeculi,ncq; unum 1 pundu forma: i duobus pundis ip e*
culi plani uel connexi poflibilc cft refledi.quod eft propoiitum.

XXX,

Ab uno pundo fuperficiei fpeculi cuiufcuncp formam unius pundi rei
uifcC,ad duos uifus non eft poffibile refledi.

Linea enim reflexionis ad unum uifum .pccdens fi cum perpendiculari ere da i pun«
do refledionis fu per fuperfidem fpeculi angulum teneat aqualem, angulus quem te*
net linea incidentia cum eadem pcrpendiculari,ut patet per zo.huius, palam q> non po
tcftin eadem liiperfictc alia linea fumi, qua aqualem angulum efficiat cu duda per*
pendi culari, unde ab hoc pundo non refledetur forma eiufdem pudi ad uiium alium,
oportet lginir ut i diucrfispundis fpeculi cuiufcuncpfiatad uifus diuerios reflexio, &
quoniam duo tantum funt uiius,oportet ad minus ut i duobus pundis fuperficiei fpe*
cui i cufufcuncp fiat reflexio forma unius pundi rei uifa ad ambos uifus,patet ergo pro
pofitum. XXXI.

Ab uno pundo reflexionis cuiufcuncp fpeculi ad diuerios uifus poiTibi*
U eft formas pundorum plurium refledi, & a diuerfis unam.

Quamufs etiam ut patet per zp,huius,iolum forma unius pudi incidentis ab uno
tantum pundo fpeculi reflexio fimul fit pofllbilis ad unum centrum uiius, eft tame pof
fibile fieri fimul ad diuerios uiius ab uno pundo fpeculi diucrforum pundorum for-
ma incidentis reflexionem, quoniam illa punda fecundum angulos diuerios incidut,
& iecundu diuerios refledutur, ergo ad punda diuerfa terminant linea reflexa,in qui-
bus diuerfi uiRis cadentes punda diuerfaium formarum comprchedit ab uno pundo
fpeculi ad diuerios uifus reflexa ,& fi unus uifus motus fuerit,& fi tum uariaucrit,fpecu-

10 exiftente immoto,amc etiam fecundum finis fui diucrfitatem ab eodem pundo fpe*
culi ad ipfum punda diuerfarum formarum refledentur, femper tamen complebitur
py ramis reliquarum formarum .Sed & anus uiius motus, uel diuerfi uifus eandem for-
inam uidebut i diuerfis pundis fpeculi reflexam, quia quilibet pimdus forma: fnciden
tis totali fuperficiei fpeculi incidens ad aliquam partem oppofitam refleditur,& feca*
dum modum quo in z Z4.huius proponitur, patet quod formarum pyramidesdi-
uei fantur, &! quia diuerfis uifibus diuerfiaxes pyramidum incidunt, qureflmt eiufdem
fbrmx,accidit ut £ diuerfis uifibus una forma i diuerfis pundis fugfidei fpeculi reflexa
tiidcatur, Scidcm accidit etiameidem uiiui moto, quando ipecolum permanet immo-
tum,patet ergo, propoiitum,

XXXII.

A centro oculi duda perpendiculari fuper fuperfidem cuiufcunq* fpecu*

11 plani uelconucxi,non eft poflibilealiquempundum duda: lineae refle*
di ad uifum,nifi eum folum quo duda perpendicularis fuperfidem ocuH
i nrcrfecat,& ab eo folo pundo quo duda perpendicularis incidit ipfius ipc
culi fuperficiei.

Sit ccntru uifus pnndu a ,& fit linea qua: eft comunis fcdio fuperficiei reflexionis

fupcrffcieifpecnli cuiufcucg plani uel c5uexi,& fitniicexepli cairfa fpeculi plani da
ti linea bg,fitq; ppe ndicularis duda a pudoa,fuplinea bg, linea a g.fitquocp ut linea
a g, feret fugficie fpha:ricac5uexa oculi in pudo d,dico qcf in tota ppediculari a g.qul
tumcuqi .ptrada no eft pudus q refledat ab hoc ipeculo ad cetru uifus a,nifi fbluspu*
dus d.Si.n. alius pudus duda: ppcdicularis ad uifum refledit pter pudud,aut illepu^
tftus eft ultra cetru uifus a,aut fub uifu,fi ultra uifum fit ille pundus h,pala ergo q> non

perumict

LIBER. QVINTVS/ Ijl

pcmenfet forma das 'ad fpeculum faper pcrpedccularem h a,prop.tcr fbl idi corporis in
tcrpo(itionem,quod eft ultra uifum in capite uidentis,non reneditur ergo forma pudi
h fuper perpendicularem h g. Si uero dicatur quod ab aliquo pun*
do ipcculi prster pundum g, poteft refledi forma pundi h ad ui=
fum a. Sit illud punda b,& (Tr linea incidenti® h b & linea reflexio
nis h a.dtufdaturq* angulus h b a, per arqualia per lineam b t dnda
ad perpendicularem hg, auxilionon® primi, erit ergo per 2 6,
huius, linea b t perpendicularis (uper linea h g , fcd linea t g eft per*
pcndicularis fuper eandem lineam h g,ab eodem ergo pundo t eft
ducere duas perpediculares fuper lineam h g,& fug ipfam fupffcic
fpeculi quod eft impoflibile. Sequetur em trigoni a b g duos angu-
los efle redos,fcilfcet angulos cgb&cb g,& ab eodem pundo plu
res ducerentur perpendiculares linea luper cande iuperficiem , qd*
eft contra 20, primi huius: nulla ergo forma punctorum line® hd,
poteftrefledi ad uifum nifi folum pundud, quoniam de omnibus
alijs pundis eodem modo cftdemonftrandum.necp enim poteft di
c i quod aliqua forma alicuius pundiiumpti inter punda a&d, re.-
fledatur ad uifum nifi per lineam perpendicularem d a, quonia punda inter centrum
uifus.Si fuperficiem eius pofita funt ualdc rari,unde no mittitur alicuius ipfbrum forma
in uifum, necp ab aliquo fpeculo refledit ut fentiatur , fed neqj forma alicuius pundojB
lineae d'g poteft refledi ad uifum a,i pudo fpeculi g,ut forma pudi fjquonia fi illud pu-
dttm d tolidi corporis faerit,patet quod ipfum impediet reflexionem ad uifum per linea
d g.quia propter fbliditatem ipfius forma pundi f, non poterit tranfire & ad uifum ps
uenirc,& fi foerit raru,adhuc forma reftexa i fpeculo mifcebltur ei & adherebit fibi.necp
peruemet ad uifum, Sed ncq$ poteft forma alicuius ipforum pundonim refledi i pudo
alio ipcculi qua'm i pundo g,ut a pundo k,quoniam ditdis lineis f I z & a 1 z, & diuifp
angulo a I z f per aqualia ,per lineam h Ucqua tur idem impoflibile quod prius .f. lineas
1 k di 1 gjppcndiculares efle fug fugficie fpeculi,uel fuper fiiperfide fpeculu contingente,
qcF eft cotra zo. primi huius.olm itacj? pundoru line® h g,no refledit aliquis ad uifum
a nifi folum pundum d,& quoniam quodlibet pundum totius uifibilis in quo eft linea
h g pneter pundum d,in fu perfide uifus impreflum opponitur fpeculo non ad angulCi
rcdum,quoniam omnia punda circunftantia pundum d, concurrunt in centro uifas
a,& faciunt conum pyramidis cuius bafis eft in foperffcfe ipeculi circa axem a g, uide=*
buntur form® omnium filorum pundorum femper perpendiculares ab cis ad iuperficie
fpeculi dudis,patetergo propofitum, quoniam in fpeculis connexfs,linea hg, eft femjg'
perpendicularis fuper fuperficiem fpeculi , nec ab aliquo fiiorum pundorum fuper fpe
culi fopcrficiem alia perpendicularis duci poteft per 20, primi huius,ita tame quod h®C
qu® pr®mifla funt in uno tantum uifu intelligatur in Omnibus fpeculis planis 8i quibuf
cuncg conuexis,ficut propofitio proponit,quoniam eiufdcm pundi rei uif® ad ambos
uifus reftexa, fi uni uiluum pcrpendiculariter incidaqpoteft ali) uifiu oblique incidere fo
eundum lineam reflexionis oblique 5 fuperficie fpeculiadcentrum uifus procedentem.
Si uidebitur idem pundus rei uif® i duobus uifibus fecundum diu erfum modum fu® rC
flexionis, in fpeculis uero concauis quibufcunqj eft fecus .

XXXIII.

Impoflibile eft formam oblique fpeculo incidentem fecundum lirteafuze
incidentuead uifumrefledi,uel ex parte fui anguli minoris.

Efto in fpeculo a d binddat forma pundi c .oblique in pundo d,ita ut angulus d
d b fit maior angulo cd a, dico quod forma pundi c fecundum lineam c d, non refledi
tur in fc ipfam propter inxqualitatem anguloru,cum femper angulus incidenti® fit®*
ualis angulo reflexionis per zo ,huius,fed necp ex parte fui anguli minoris , q eft c d a,
at enim ut refledatur (ecudum lineam d e diuidentem angulum c d a,erit ergo angu-
lus c d b ® qualis angulo e d a, fcd angulus c d b maior eft angulo e d a , erit ergo angus

K 3 lus

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

pundislereipicicntibus. Si ergo in fuperficie fpccuh' (7 r totalis figura fuperfiriei corpo
iis uift.quod non accidi t in fpecnlo alterius figurar.fimflitcr quoq?(iimpta quacunqj Ipe
culi parte cuius figura fit fimflis figura; corporis,& fitus xquediftans erit (emper com-
plementum figurae corp oris in ea :& cum infinita fint tales fpeaili partes, palam quod
infinitae erunt forma: corporis fpcculo incidentes, qua: fcmper ad diuerfa punda refle*
duntur ex quibus formam corporis uiius diucrfi in eodem fpeculo comprehendut.Hoc
itaq? accidit in omnibus (peculis, fed maxime euidens eft in planis,cum enim quolibet
pundo fuperficici plance (uperficiei fpeculi plani incidente figura pardum circunftan-
tium (it (imilis ordinationis & litus,accidit ex omnibus pundis (imul refle
j B xio & (imul & in eodem modo,8<! fic fit complementum in ipeculo fonpse
corporis & figurce,& hoc proponitur.

XXXVI.

In fpcculisquibufcunc^ unumquodq? pundorum confpedo
rum in katheto fua: incidentia: uidetur .

Sitfpeculum quodcuncp,&: fit nunc exempli caufa planu, quod fitgA
pundus'q$ uiius fit a,&; centrum oculi fitb,& ducatur i pundo rei uilarqu
eft a,kathetus incidentia quod fit a g. Dico quod imago pundi a, fempet
uidetur in linea a g:fuppoficumcnim cftin principio huius libri, quod uniformis fitua-
tio pundi rei uife reipedu iiiperficiei cuiufcuncg (peculi i qua eius forma refleditur.fic

folirn»

LIBBR. QJVIHTVS, 13»

fclum fceudum kathctum fu* inridentia*,forma autem qu* in fpeculo uidetur cfl ima'
go rei uifar,ut patet per diffinitionein.neceflceftergo imaginem illam uideri fecundum
fituationem uniformem ipfius pund/ rei uiQe ad fpcculum, quoniam aliis non uidetur
illa forma per modu imaginis,uidebitur ergo neceflario in iplo katheto incidenti* itiar,
quod cft propofitum. In alijs enim fpeculis cft eodem modo declarandum .

XXXVII.

Locum imaginis rei uife in fpeculis quibufcuncp in puntfto concurfus li
nex reflexionis cum katheto incidenti* necefTe eft efle .

Huiusexemplum cft.fi pyramis ortlrogonia erigatur pcrpendiailariter fuper fu-
perficiem fpeculi cuiulcuncp.ninc enim apparebit uifui alia pyramis continua , tenens
fe cu pyramide extrinfeca quali ad modu rhombi , & uidebutur harum pyramidum uer
ticesquafiimiformiterdiftantesilupcrficiefpeculij&filinearedairnaginenir duci a
uertice unius pyramidis ad uertice alterius .palamqrh ipfa erit perpendicularis fuper
balem uil* pyramidis,& ita fuper fuperficiem fpcculi,cum eadem fit fupcrficics fpcaili
& balis uil* pyramfdis,ut in fpeculis planis uel bafis uif* pyramidis *qucdiftec iiip crfi
cieifpeculum contingenti ut in fpeculis conuexis,quonim 1 peculoru iuperllcies ipfa ba
fis uif* pyramidis eft contingens,uel sequediftans fuperffdet coringenti fuperficiem fpe
aili.ut in fpeculis concauis,<n quibus bafis pyramidis ered* iuper fpecula mquediftac
fuperfidei plan* fpeailu contingenti, uertex itaqt pyramidis femper uidebitur in linea
perpendiculari ab eo eduda ad fpeailum. Similiter quoq* i quocunqj pundo pyrami
dis ducatur linea atquediftanter axi,fempcr incidet ad pundum fimile libi refpicicns i -
pfum in alia pyramide, 8i erit linea produda per 8 .undecimi.fempcr orthogonalis fti*
per bales didapr pyramidu.fiC iuper fuperficiem fpeculi uel fuper iiiperficiefpeculu con
tingentem, imago ergo cuiuslibet pundoru pyramidum fpeculo oppofita cadit in g
pciidiculari intelleda duci i pundo illo fuper Iuper fidem fpeculi. Sed quicuc# pundus
coqxms opponatur fpeculo, necefle eft imaginari pyramidem orthogonalcm fuper fit-
pc> fidem fpcaili aur ei continuam, uel fuper fuperficiem ipfum fpcculu contingentem ,
'lici fuperficiei cotingenti aequediftantein.ut patet per zi ,liuius,cuius'pyramidis uertex
cft pudus ille uiius,&: bafis eius ftiperffcies fpcaili aut fuperficics contingens ei cotinua.
Si couenit ut imaginetur alia pyramis oppofita illi, cum illa quafi complens rhombum,
quarum utriufqj eft bafis uel eadem uel unabafium eft alteri arquediftans , 8i perpendis
cularis i uertice unius ad uerticem alterius duda erit perpendicularis fuper fpeculi fu#
pcrficiem,& quia imago cuiuslibet padi fpeculo oppofiti cadit in lineam perpendicu-
larem dudam ab dio pudo ad ipeaili fugneiem aut ei cotinuam, patet quod locus ima-
ginis eft in linea illa perpendiculari ter u t patuit per pr*miffam,fed quia in fpeculis qui
bufcuncg non accidit comprehendo formarum nifi per lineas reflcxionum.ut patet per
a.f.huius,palam etiam quia imago cuiuslibet uifi pundi cadit in lineam reflexionis, di
quia quaelibet talium linea Ft eft reda, imago ergo cuiuslibet pudi formae reflexae cadit
in pundum fedionis gpendicularis line* rcflexionis,uidetur ergo quandoqj citra (iig-
fidem fpeculi, ut cum talium linearum intcrlediouidelicet line* reflexionis di katheti
inddenti* non poteft fieri nifi fub fupcrficie fpeaiIi,concurrit autem linea reflexionis
,ptrada cum katheto incidenti*,quia enim linea reflexionis cocum t cum Hnea perpen-
diculari eduda i pudo reflexionis fuper ipfam fpcaili fuperficiem,ut patet ex prannife
■fis.Sed in fpeculis planis illa gpendicularis *quediftat katheto incidenti* g 6 . undeci#
mi.funt enim amb* fuper fpeculi lliperficiem perpendicularis, manifeftum ergo per z.
primi huius, quia in illis fpeculis linea reflexionis concnrritcum katheto incidenti*.
In alijs autem fpeailis eft hoc magis manifeftum, quoniam in pluribus illis kathetis in
cidcntix conairrit cum gpendi culari duda i pundo reflexionis fuper fuperficiem fpe-
culi. Dc fingulis tamen ipeculis hoc in fcquentibus demonftratur,&! in iftarum linea-
tum concurfa uidetur imago, eft ergo locus imaginis ut ,pponebatur,hoc autem cftnc
ceflariOjideo quia cum medium diftanti* inter pundum uifuin comprehcnfum & fpe
‘ culi fugficiem non fit uacuum, fit reflexio forma: corporis medi) ad uifum,ficuc Si pu ndi

COV.S

P.ER SPECTI VAE V1TELLI0NIS
corporis ad quod intendit uifus , nec eft differentia reflexionis forma? corporis medij 3
reflexione forma: pundi intenti,nififtcutalicuius forma: unius totius corporis con*
tinui, cuius folum pars modica intenditur uideri,ut fi foramen acus intendatur uideri in
focculo & forma illius multiplicatur ad uifum , nihilominus ordinatur in fpeculotota
forma acus: &! quoniam forma: cadentes in uiflbus & fpeculis quibufcuncp regularibus
retinent efientialem ordinem (uarum parti» di figuraro, ut patet per 34.I1UIUS, ideo ne*
cefle eft punda formarum incidentium fpeculi quandoq? in quadam diftantia uideri, ut
quando diftant punda rei extra,& quando linea reflexionis & kathetus concurrutfub
meculi fuperficie ucl inter uifum & fpeculu,&! non in ipfa fuperficie fpeculi uel retro uu
fum ,in quibus omnibus eft eade uniuerfalis caufa qua: prarmifla eft, deferens folu fecun
dum uarios modos reflexionunv.accidit enim rebus fecundum quod forma ipfaru dif«
funduntur p medium ad fuperficiem fpeculi in formis fuisfpecincis difFerre,cum fenfibi
liter non ferantur ad fpcculum,nifi lux & color & figura di fimilia,quae non faciunt difc
ferentiam fpccificam in rebus, ut in ligno Si lapidc,quamuis uirtus diftindiua per ac*
cidentium cognitionem fpecificam accipiat differentia , follicet per applicationem il*
lorum accidentium ad propria fubieda.qu* uifibus direde uidentibus fub talibus acci
dentibus occurrat. Sicut ergo unius corporis naturalis continui partium forma ferun-
tur ad fpeculi fuperficiem,& feruaia forma totali 8i figura,accidit neceflario partes re-
motiores i fpeculi fugficie remotiores uideri,ne forma di figura remm uifaru confun-
datur, fic ut accidit neceflario de rebus uifis per mediu aere ut praordinata formaaeris
in (itu (lio refpedu forma rei per mediu aere uifa oim ftioru pudoR: forma uideantur,
alias enim figura 8i forma rerum multiplica taru ad fpeculi fuperficiem confundentur,
& hoc mihi uifum eft efle caufa rei per aliosmultis ambagibus gquifitse . Videtur itac$
res neceflario in pa pendiculari,quoniam ut patet per z i , primi huius , hoc eft brepiffi*
ma eius diftantia i fugficie fpeculi i qua fit reflexio ad uifum,aut i fuperficie ei cotinua»
& fecundum hanc fit rei uifa refpedu fpeculi uniformis difpofitio , di ex hoc forma rei
nomen aedpi t imaginis.ut diximus in praomifla, licet ergo forma rei fecundum aliam
lineam refledatur ad uifum, judicium tamen uirtutisuiuua:,quiarecipitformamper
modum imaginiSjfit fecundum lineam breuiflunam fecundum quam incidit forma uiia
fuperficiei ipfius fpeculi aut ei continua:, propter conuenientem ordinationem formari!
in fpeculi fuperficie di in uifu,& propter certiorem cognitionem fuae propria: quanti»
tis,cumenimneccflefit imaginemefle in linea reflexionis, fi uideretur citra kathetum
propinquior ad uifum nideretur maior, fi ultra kathetum,uiderenir minor, ut i remotio
n uifarin katheto uero quam permittit figura fpeculi di uifum diftantia , fecundum ftd
propriam quanti tatem uidetur,cft ergo ncceflarium ipiam uideri in pirdo concurfas lf
nere reflexionis cu katheto incidenti»,uifusenim cu per reflexionem formas compre*
hendit,n5 auertitquod hac copreheniio fit per reflexionem, quoniam reflexio ut iupra
in prooemio huius fcientia diximus,non accidit ex proprietate uifus,uifu enim remoto
nihilominus fit reflexio i fpeculis,quoniam forma corporalis non minus incidit foperfi
ciebusfpeculorum,fed quoniam fnuemttranfeundi refiftentiamexfbliditate corporis
fpecularis refleditur ab illis,& fi contingat uifum efle in loco in quo fitlinearum refle*
xarum aggregatio.comprehendetuifus lTlas formas in capitibus illaru linearum, &.eft
quaelibet formarum reflexarum i quocunqj fpeculo in illo foeculo tanquam non adu«*
niens,fed ac fi naturalis eflet forma fpeculi,cum tamen non Iit aliqd eflentia ipfius fpe
culi, patet ergo propofitum.

XXXV I II.

Formam omnis rei uife comprehenfa: per reflexionem fadam d fuperfi
cie alicuiusfpeculi,figura:fup<rficiei illius fpeculi eft neceflarium aliqualfe
tcrfimilari.

Quoniam enim ut patet per prarmifla m locus imaginis cuiufcuncp pudi forma: uf
fac eft in concurfu linea: reflexionis cum katheto incidentix,harum aut linearu concur-

fvudi-

L IBER Q_V INTVS* /3 j

lus diuerfificatur fecundum figuram fupcrficierum fpeculoru i quibus fitreflex/o, qm
fecundu illius figura: difpofitionc,fft diucrfitas concurfiis katheti incidenti* & perpen
dicuiaris ducffce i puefto form* incidentis fug fupcrficiem fpeculi, uel fuper fupcrficiem
fpeculi cotingentem in p Cieto reflexionis fuper fidei Ipeculi, £ qua fit reflexio ad uifum,
quaru pcrpendiailariuconcurfusdiuerfificat concurfum linearum reflexionis ea kathe
to incideti*, in quo concurfu fit locus ima ginu ut declaratu eft in pr*mifla,habet itaqj
fuperficics fpeculi i qua fit reflexio aliqua dignitate in formatione imagfnu uifaru qu*
ab ipfis refleduntur,non tamen fit femperharc afllmilatio feaindum tota difpoiitione
formaro, nifi cu loca imaginum ead unt in ipfis fuperficiebus fpeculonim non intra fpe*
cula uel extra ipfa.Sed di tunc fecundum aliquod (imitantur form* uif* ipfis formis uel
figuris fpeculorum,quonia in fpeculis pyramidalibus apparent form* aliqualiter pyra
midales,& fic aliqualiter accidit in alijs fpeculis,patet ergo propofitum *
xxxix.

Diuifacuiufcuncp fpeculi fuperficie,acciditformamunius pueti reiuifie
numero illarum partium numerari .

Hoc quod hic proponitur ueru eft,quando per diuifione fiiperfic/d alicuius fpeculi
fenfibilis accidit diuerlitas ordinis & (Itus par tialium fuperficieru u ifx,di refpe&u ipfius
uifus ut plurimu accidit in fpeculis uitreis plumbatis.g diuifionem ab unitate ftiperfia
dei defacili recedunt, quod no accidit in alijs fpeculis tam facilitcrjqn itaqp alioru fpccu
lorum, (uperficies p pter diuifione in ipfis fa&am ab unitate fugficid fecundu litum ’&
ordinem pratmiflb modo rccedut. accidit forma unios puefti rei uif* numero illaru para
tium numerari, tuc enim diuerfi fiuntkatheti incidenti* form*eiufdem pueli rei uifae
refpechi illanim diucrfarum partialiu fuperficieru,& fimiliter dfuerfa fiut pundta refle-
xfonum Si diucrfx reflexionu line* ad ccntru dufeie uifus,& quia locus cuiuslibet ima
ginis femper fit in pu&o cocurfus linea reflexionis cu katheto incidenti*,ut patet g 37
huius,idco patct,quod fecundum numeru iftarum lineanim fui concurfus form* ei-
ufdem puncli imagines numerantur.patecergo propofitum .

xi.

In omnis fpeculi fuperficie fit formarum deflexio in longitudine & latitu
dine fecundum modum politurce.

Quod hic fi ponitur exemplari ter patet in fpeculis quibufcuncg artificio politis. Si
em fabricant in longum ut accidit in fuperficiebus enfium,tunc facies intuentis uidebit
oblongata refpechi' fu* .ppri* difpofitionis,8i fi fabricant aliqua fiigficies feaindu ipfa
rum latitudine,!! longitudo fabricata fecundu fui latitudine opponitur uifui, tunc ima
go faciei illa intuentis uidebitur latior quam fit eius ^pprietas uera feaindu illa diipoli*
tionem,& quandocp uidebitur imago tranfuerfalis jjptcr tranfuerfalitate fabricatiois,
in oibus uero his caufa eft unitio maior fuperficie?: ipfari! corporum politora, i quibus
& quaru partibus cofluit reflexio ad unione forma?: reflexanim, 8 i fecundu illud perue
nit ad uifum,8iem ut in principijs huius libri diximus,politio efteotinuitas partio fug
fidei politi corporis fine fenfibilitatc pororu uel diuifionis,imde cu ad aliqua differentia
politionis illi pori coplanantur,necefle eft (ecundu illa differentia formas pluribus pun
cflis illis incidentes in unitate form* confluere di uniri,&! fecundu illu modii formam ui
fam fecundu reflexione augmetari 8 i uideri maiorem.fecundfi alias uero pofttionu diffe
rentias ticccfle eft ipfam uideri fo* difpofitionis ppri*,uel circa illa,& fic accidit qu*da
mcnftruofitas in imaginibus forma?: taliter uifa?:,quia ipfarum reflexio eft *qlis hinc
indc,&; fit irregularis feaindu ili ud,ut itaes £ corporibus arte politis reflexio fiatregu-
laris & coucnicns difpofitioni forma?: reflexaru,neceflc eft ipforu fiigficies fabricari fe
condum modu circulare non in longu nec in latum uel trafuerfum,ne fecudum illos mo
dos formarum ,ppria dilpofitio difformemr, patet ergo propofitum,

X L I,

It» omifpeculo accidit cande imagine a duobus uifibus qnC£ uideri duas»

L Huius

PE R J P EC T IV A fi VlTELLIONtS

Huius rei euentus accidit uifui in unius imaginis uifionc i quocucp fpeculorum re<
flexa, ficut&! idem error fibi accidit in fimplici rcru uifione.cu eadem caulae concurrunt
ud aliarum aliquam quasdedarauimus in i o 3 .& 1 04. 1 05-. 106^ 1 oy.quarti libri huius,
utpote cum eiufdem rei forma ab eode fpeculo reflexa uni uifuu offertur direde & alte-
ri oblique, uel cu forma reflexa confli tuta intra axes radiales ambobus uifibus occurrit
obliquc.Quibufaincp enim modis accidit formam eiufdem ref uideri duas , eifdem mo
dis poflibile cft imaginem illius formae uideri duas, fi (ecudummodu iuae uifionis ad u i*
Cim ab aliquo fpeculo rcfledatur,& quia talibus no oportet aliter immorari quim ut in
fimplici uiuone didu eft, no e m accidit tllud .ppter diuerfitate pundoru reflexionis for
*na tiulde pudi ad ambos uifus.quonia illa diuerfitas aut nulla eft,aut no eft fenfibilis,
unde nulla fenfibile inducit uifibus errore/ed ambo uifus fecund u illa unde {suemur ad
uifionem unitatis eiufdem forma: uc pofterius declarabitur , patet ergo propoli tum,
XLII.

Imago rei uific mota: in omni fpeculo moueri uidetuf.

Huius caufa non eft alia,nifi uniformitas reflexionis i quolibet pundo Ipeculi, fug
quam fit motus A quia omnia puda rei uila i diuerfis quim prius pudis refleduntur,
efficitur noua imago totius rei uda fecundu quod p eius motu punda i quibus fada eft
reflexio permutantur .uidetur itacp forma moueri,licet fecundu ueritate no moueatur,
fcd potius noua imago mutato fitu rei uife generet, hoc aut accidit propter continuita
tem pundoru reflexiois in fugffcie (peculoru.patet ergo ,ppofitu. His itacp comunibus
omniu Ipcculoru paflionibus pramiffis,rcftat ut ad plano# fpeculoru pafliones ,pprias
calamum conuertamus. xliii.

Jn omni reflcxionca fpeculis planis fada,linea: incidentia: 8C reflexionis
proportionales funt kathetis i punclis fuorum terminoru demiffis , 8C ipfis
bafibus in fpeculorum fuperficie interiedis .

Sit fpeculum planu,i n cuius fuperficie fit linea d c e, & fit linea incidentia: a c.rcflexi
onis uero c b ,8i ducant ka theti a d incidentia: & reflexiois b e,dico qudd qua eft ,ppor*
tio a d ad c b, eadem eft a c ad b c & d c ad c e, quoniam efh in trigo-
no a d c , angulus rcdus,qui a d c eft a*qual is angulo b e c redo, & an-
3 gulus a c d, q cft angulus incidentia: p zo.huius,aquafis angulo b c e,
qui eft angulus rcflexion/s,crit neceflario angulus d a c, trigoni a dc
aqualis angulo c b e trigoni b e c,pcr 3 z. primi, ergo per 4.fcxti, latex
ra iftorum trigonorum aquales angulos rcfpicientia ftmt .pportiona
lia ,qua eft ergo proportio linea a d ad lineam b c,eadem cftpropor*
_ tio linea a c ad b c, di linea dc ad e c,& quoniam femper manetea-

dem proportio refultans cx aqualitate angulomm, patet ergo propofiaim.

XLIIII.

Forma pundf rei uifte fuperficiei plani ipcculi incidente , locum in quo
uifu confti tuto ad ipfum fiat reflexio inuenire.

Efto pnndusaiius formafpeculo pIanoincidata,&!fitline3bcd communis fe-
dio fuperficiei reflexionis &fpeculiduda in fuperficie fpeculi,incidatcgpndus2fpe*
culo fecundum pundum c, & ducatur linea incidentia: qua a c A i p ucio
. a,ducatur linea a b perpendicularis fuper lineam bcd,p 12, primi, &,pdii
catur ufep ad pundum e,donec p 3 .primi , linea b e fiat squal is ip fi a b,&
continuatur linea c c,qu» educatur ultra c ad pundu fidico quod uifu ex*
_ iftentein quolibet pundo linea c^fempcr fiet reflexio ad /pfum.et uidehil
-D forma pundi a,copuIeturem linea a c,erit quocg angulus a b c aqualis an
gulo cb e.quta ut patet ex pramfffis ambo illi anguli fiint redi , qin ergo
per 4. primi, cu cxhypothcfilincabe fitaqualis ipfi a bA lanis b c coitui*
ne,trigona a b c & cb e fint aquiangnla ,erit angulus a c b aqualis angulo
b c e fcd per 5 .primi.angulus fcd eft aqualis angulo b c e , ergo angulus

f edeft

LIBER. QJMSTV5. IJ4

f c d eft aequalis angulo a cb,ergo per zo. huius, cu linea a c fit linea Mcidentiar.erit c f Ii
nea reflexionis, uifu ergo in illa polito fiet reflexio ad uifiim,quod eft propofitum .

XLV.

Forma pundi a Ipeculo plano non refleditur ad eunde uifum nifi ab uno
pun<fto cantum.

Efto centrum uifus a di pundum uilum b,& fit z h llipcrficics fpcaili plani, dico qif
ab uno tantum pundo fuperficiei zh,refleditur forma puncfK b ad uifum a , fi enim I
duobus piidis fit poflibjlc illa reflcdi.ffnt illa duo puda d dic,di ducatur linea a centro
uifus in pundo a ad pundum uifum b linea qua: fit a b, linea itacp a b ,p trada ultra alte
rumpundorum qua liintb uel a , aut concurrit cum fuperficie fpcaili aut aqucdiftat.
Si cocurrit fiue fi tper pedicularis iug fuperficie fpeculi a|quo fit reflexio fiue non , lem-
per ipfa erit neceflario in una iola fuperficie reflexionis. Si enim ipfa fit perpendicula*
ris fuper fuperficie fpeaili, tunc patet quod ipfa eft in una fuperficie reflexionis per 17.
huius,quoniamipfarefledHturinleiplamper zi.hutus.Siuerolincaab fuper luperfi*
ciem Ipeculi non fit perpendicularis,cum fit linea reda extenfa inter duo punda extre*

ma, qua ambo per zy .huius .neceflario funt in una fuper ficie reflexionis ereda liiper fu

perficiem fpeaili.eritetiam linea ab in una Iola tali fuperficie, quoniam fi in duobus ta
libuslupernciebusfueritjtuncipfaerit communis fedio dnabus illis fuperficiebus or-
thogonalibusfuperfuperficiemfpeculiper 151. primi huius,unde'fumptoin ea pundo
Si duda ab illo pundo linea in altera fuperfiderum fuper lineam communem huic fua
perficici 6C fuperficiei ipeaili , erit hac linea ereda fuper fupcrficiem fpeculi per diffi*
nitronem fuperficiei fuper fuperfitiem creda:8f (imiliter ab eode pundo ducatur linea
in alia fuperficie fuper lineam communem ei di fuperficiei Ipeculi , di erit iterum hac li
nea ortliogonalis luper fuperficicm fpeaili, ab eodem ergo pundo contingeret ducere
duas perpendiculares fuper eandem fuperficicm fpcculi,quod eft impoflibile 6i c5tra
zo. primi huius , ergo linea b a in nna fola fuperficie reflexionis ereda luper fuperficie
ipeculi plani, crunccg tria punda a c b in eadem fuper ficic reflexionis per primam un*
decimi, Si erunt lincte ae&cd&i c b.per zy.huius,in illa fuperficie re- -v
flexionis in qua eft linea a b,& fimiliter linere ed&dbSida, quia Ii*
nece d a Si e d, erunt in eadem fuperficie cu lineis d a Sid b, per fecun-
dam undecimi.Sed anguluse a h eft maior angulo a d e per 1 iS.primi,
cxtrinfecus em eft maior intrinfeco.Sed g zo,huius,angulus inciden-
tia qui eft a c h eft aqualis angulo reflexionis qui eft b e d,ergo Si an-
gulus a d e eft aqualis angulo b d z, angulus ergo deb maior eft an*
gulo a de.ergo Si ipfius aquali,fcilicet angulus bdz, quod eft contra FT _

1 (5.primi,extrin(ecus enim qui eft b a z maior eft intrinfeco qui eft b c d,ergo Si angu*
Ius a d h maior eft angulo b c d,Si fic idem angulus eodem angulo erit maior &C minor,
quod eft impoflibile, i folo ergo pundo ipeculi plani fit reflexio forma pundi b ad ui*
fum a. Si ucro linea a b fit perpendicularis fuper fuperficie fpeculi plani , patet per 3 z.
huius, quod unius tantum pundus refleditur fecundu ipfam ad uifum , Si ab uno folo
fpeculi pundo,quod fi linea a b non cocurrat cu aliqua linearum protradaru in fuperfi
cie fpeaili, fed fint aqucdiftantcs aliaii illarum ,ergo per ,undccimi,ipfa erit aquedi*
fhnsaulibet aquediftanti illilineain fpeculis fuperficie produda. Sic ergoaquedi-
ftans linea b z,cmnt quocp per fecundam primi huius linea a b & h z in eadem fuperfi*
cie, fiat ergo deductio ut prius, quonia intrinfecus angulus erit maior ex tr/nfcco , quod
eft impofnbiIe,ergo di illud ex quo fcquebatur, patet ergo quod proponebatur .

XLVI.

In fpeculis planis dati pundi uifi ad centrum uifus datum pundum refle
xionisinuenire.

Sit fpeculum planum, in aiius fuperficie fit linea a 'g,& fit centru uifus b,pimdus'q}
rei uifa fit d,Si ducatur katheci a d & g b,perpendiculariter fuper fuperficie fpeaili per

l l , undecimi, diuidaturqj linea a g in pundo h , ita ut fit ,ppomo linea a h ad linea h g„

L z ficut

PER.SPECTIVAB V1TELLI0NIS
flcut 1/ncat a dad lineam gb, per i imprimi huius,dfco itacg quod forma pundi d refle-
u detur ad uifum b a pu do fpeculi h, ducant cin line* d h & b h , palam
/\ itacp p 6.lexti,&ex hypothcfi,qrh triangul? d h a cftsqutangulus trl
angulo h gb angulus era h a d cft arqualis angulo hg b, quia Iunt a m
bo re<fti,& eft^porrio Ii near a d ad linea gb.ficut line* ahad lineam
hg,angulusita«ahdeftsqualis anguloghbtipudoitacp fpeculi
quod at h,reflcaicur forma pundi d ad uikim b,p loJiuius, angulus
ein incideris eft squalis angulo reflexionis.Si aut pQdus h , oburuaf
<* per aliquod fuperpoliru,urpote {> erra uel p picem aut libi fimile, nul-
la uidcbft imago pundi a,centro iplius uifus qood cft b, difpotico leaindu prsmiflum
modu,qm i ptSdo alio ipoflibik eu fieri reflexione p prsmiflam,acdd/t em i pudo alio
uariari <pportionem,& angulos inddentiar Qi reflexionis fieri insquales,patetergo,p*
politum. xlvif,

Line* reflexionis formsc eiufdem pundi d dfuerfis pundtis fpeculi plani
non funta’quediflantes,attamen in centro unius uifusnon concurrunt, ex
quo patet quod unus uifus uidere non poteft idolum eiufdem form* a di*
uerlis pumfris eiufdem plani fpeculi reflexum .

Efto Ipeculu planum in cuius liiperffcic fit linea a b c d, cuius duobus pSdis c8i b , i
pondo re/ uifs quod fit c, incidat lines e b Se e c,& lit centru uillis g, & refledatnr linea
eb fecundu linea b fj& linea c c Icnuidu lineam c g , dico quod lineat cgSC b f non iunt
squediftan tes.nec tn conairrent in centro unius uiliis , quauis etia fint in eade fuper fi*
cie.angulus cin incidentia: qui eft e c d cft squalis angulo reflexionis qui eftgca,&!an
gulus e b d cft squalis angulo fb a, ut patet per zo.huius,quia ergo tri
y* goni c b c latos b c ,p trahitur ad pundu d,erit per 1 6 .prrmi , angulus
c c d,extrinfecus maior angulo intrinleco qui efteb d,pal5 ergo p z o ,
huius, quia Qi angulus gea maior eft angulo f b a,ergo per i <5. primi
huius, lines g c & bf »non funt squediftantes,angulus enim extrinle-
cus maior eft intrinfeco cadetc linea a d fuper ambas lineas gc&bfj

fed necp concurrunt in centro unius uifusrdatoenim quod cocurrant

3> in centro uifus quod fit f,& linea e c refledatur ad uifum f, lecundu Ii*
neam e f^tuc quia per zo.huius.angulus /ncidentisquieft f basqualis eft angulo refle
xionis qui eft c b d,& angulus e c d squalis angulo b c f, fed angulus f b a maior eft an*
gulo f c b,per 1 primi, ergo di angulus eb c intrinfecus maior eft angulo e c d extrin-
fteo ,qcf eft cotra eandem 1 6.primi,8i impolTibile, patet ergo propofitum, di ex hoc pa
tet pland totum corrclariu. Si cin lines reflexionis forms eiufdem pudi non poliunt in
centro unius uifusconcurrcre,tuc eft manifcftu quod unusuillis non poteft idolum ei*
uldem forms uidere reflexum d diuerfis pudis fuperficiei eiufdem fpeculi plani , qcf eft
totum .ppofitum . XLVlll.

In fpeculis planis forma puifti ad cetru uifus reflexa loeu imaginis inuenire.

Efto fpeculum planum.in cuius liiperficic fit linea a b c , fit quocg ut forma pudi rei
uifie quod Gt d,reffcdatur ad centrum uifus quod fit e,a pundo lpeculi b , di ducamr li-
nea incidentis qus fit d b, & linea reflexionis qus fit b e, dico quod eft
Dpoffibile inueniriloaimimaginis in quo uidetur forma pundid,quonia
enimper X7.huius,p5dadbefuntincademfuperficie, patet per primam
&lccuda undecimi,quoniam linea a b c eft cum lineis d b & b e, in eadem
fuperficie, i maginetur ergo extendi linea a b c in cotinuum,quoufcp i pun'
p do e fuper ipfum ^ducatur per i x.primi,Iinea perpendicularis qus fit e c,
& ei squediftans d pondo d qus fit d a, per 3 i. primi, quia itacp linea eb
concurrit cum linea e c in pundo e, pala m per fecunda primi huius, quo*
niam ipfa cocurret ca linea d a pduda , fit cocurfus pundus f,dico per 3 7.
'F huius,qm pundus fjeft locus imaginis forms pudi d,pacet ergo ^politu.

Eadem

LIBER. Q_V I N T V S ♦ Ijf

xnx.

Eadem eft diftantia loci imaginis i fuperficie fpeculi plani fub fpeculo,
qus eft puneftiuifi ab eadem fuperficiefuperfpeculum planum exi ftenti».

Sit pandius rei uife a# fit centrum uiiiis b# fit c d e linea comunis iuperficiei re*
flexionis &i iuperficiei ipraili plani,fit'cg d punefius reflexionis# i purnfio d ducatur Ii*
nead f.pcrpendiculariter iuper lineam c d e, per i i.primi,uelfuper totam fuperficiem
Ipeculi plani per i z.undedmi# i pu nefio a ducatur perpendiailaris iu*/v p, * 33

per iuperfidem ipeculi per / / .undecimi, quae fit a c, qux produca tur uls \ I /
trafpeculu# ducatur linea incidentia: qua: fit a d,& linea reflexionis qua: I /

fit bd, patet ergo per z7. huius, qfn lines a d,f d,bd,funt in fuperficie re^ \ I /

flexionis# cun linea f d,fit sqdiftans lineae ac, g z8.uel g 6. undecimi,#^ NI/ - .

linea b d, concurrat cu linea f d, in punefio d, patet per z.primi huius,quia ~/a> E'

linea bd,protra<fiaconairretcnm linea a c,protra<fia, concurrat ergo in /

punefio g,dico quod linea g c,eft squalis fines a c, quoniam enim angus /

Ius bde,eft squalis angulo ad c,per zo.huiiis,funtenim anguli inciden-^ /
tis reflexionis.Sed angulus b[d c,eft squalis angulo cdg, per iy. primi,
quoniam funt anguli. contra fe politi, angulus ergo a d c,eft squalis angulo c d g.angu
lus uero a c d,eft, squalis angulo d c g, quoniam uterq? eft redas, erit ergo per 3 z. pri*
mi,angulus c a djrigoni c a d,squalis angulo c g d trigoni c g d, erunt ergo per 4.1ext/,
latera squos angulos continenda (pportionalia,ied latus cd squale eft libi ipfi, erunt
ergo cstera latera squos angulos rap ic/en tia inter fe squalia ,uc a c ipfi c g,[& ad ipfi
a g.quia ergo in punfio g,eit locus imaginis per 3 7. huius# linea c g, eft squalis tpfl
a c,patet ergo propofitum.Siergo perpendiailaris ultra fuperficiem ipeculi imagine-
tur linea c g, squalis lines a c relecari/emper erit in punefio g locus imaginis tihdi*
ftans i fuperficie plani iub fpeculo, quantum puncfiusrci uiis, cuius forma uidetur in
ipeculo.diftat ab eadem fuperficie ipeculi fuper ipeculum, patet ergo propofitum.

In omni reflexione i fpeculis planis fa<fta, linea i centro uifusad locum
imaginis produda,squalis eft lineae incidentia: reflexionis ftmuliun&is*
Efto in fpeculo plano linea a b c# fit centrum uiius d, &
punefius rei uiis fice,fiatc$ reflexio forma puncfiie.aduifum ^

d,a purnfio fpeadi plani quod fit b. erit ergo linea incidentis
qp:cb#lineare0exionisqusbd,fit'cglocus imaginis pun- x.

cius g, hoc ergo per 3 7. huius, erit in concurfo lines reflexi* \/

onisd b,aim katheto incidentis.Sit ergo utkathetus e g pro-

duefius fecec lineam a c in purnfio f,qufa itacj angulus inciden N.

tis qui eft e b f.eft squalis angulo reflexionis qui eft a b d, per \.

zo.fiuius# angulus gbf squalisabd.per iy. primi, eft ergo \

angulus g b f,squalis angulo e b f.Scd di angulus e f b,squalis

eft angulo g f b,quia ambore(fii,ergo per 3 z. primi, trigoni b

g £&b eiCfuntsquianguli,ergo per 4.fcxti,latera illorum squos angulos continentia

lunt propottianalia. Sed latus b f.eft squale fibi ipfi, ergo g b eft squale ipfi b e, ergo

linea dg,f centro uifus ad locum imaginis g prodacfia,eft squalis ambabus lineis a b,

& b c,fimul acceptis,quod eft propofitum.

In fpeculo plano ab utrocjj uifu uno punefto coprehenfb, idem erit ima*
pinis locus uifibusambobusjex quo patet qudduna fola imago utriepui*
lui occurrit.

Sint duo uifus b 8i g ,8i fit a pundus rei uiis# fit q d z e, linea in fuperfide fpeculi
plani ducfia,fit'cp linea ad perpendicularis du<fia i punefio a, iuper fuperficiem ipeculi,

L 3 a quia

PERSPECTIVAS VITELLIONIS
& quia per j o. huius, ab uno pundo fpeculi ,ppofiti ad ambos uifus non poteft fieri res
flcxio,fcdadrainusi duobus. Sint itacp illa duo punda c & z & ducantur lfneabc,a
c ,a z,z g,palam ergo per 15- .huius, cmia linea bcaa a d,funt in eadem fuperficie
reflexionis ereda fuper fuperficiem lpeculi,&fimiliter lineae a d,a z,z gfunt in eadem
fuper ficie,&: linea d c,eft communis fedio fuperficiei reflexionis,qua eft a d.cb, & fu-
per ficia ipfius lpccali,& linea d z eft communis fedio «fuperficiei reflexionis, quae eft a
d & z g,& fuperficiei fpeculi per 1 9 primi luiitis. Si ergo amba
lineae reflexionis quae fimtbc&gz,fuerint in eadem fuperfi-
dc ereda fiiper fuperficiem fpeculi, palam quia linea c d z, erit
linea una ereda,ideo quia communis fedio fuperficiei fpeculi,
& fuperficid cuiufcuncj fuper ipfam ereda eft linea una reda {>
3 .undecimi,tunc ergo & perpendicularis a d, qua: eft inter du-
as lineas illas reflexionis .qua: c b & g z,aut erit in eadem fuper
"cie cum illis, aut extra illas in alia liipcrficie, quodeueg iftope
fuerit fuper linea reflexionis,qua b c ^ptrada fccabit ex perpen-
dicularijCjua eft a d, ultra fpeculum .ptrada partem aqualem
ipfi a d,per 49.huius.qux fit d b,quoniam fdnper lineae b c & a
d,funt in aliqua eadem fuperficie per 17. huius, ut prarmiflura
eft,8i fimiliter J5 49 .huios.Iinca g z)(ptrada ultra fpeculum fccabit ex $ trado katlieto
ad lineam aqualem ipfi linea a a,(ecabit ergo ipfam in pundo h, imago ergo pundi a,
in eodem pundo perpendiculari,qd' eft h,pcipietur ab utrocp aifu,& idem erit imagi-
nislocas,unaergo tantum erit imago, & in uno eodem'q$ loco uidebiturab ambobus
uifibus, tn quo pundo uno tantum uifu geipietur .Si ue.ro punda c & z.non fuerint in
eadem (uperperficiereflexionis,adliuc eadem fecla dedudione una tantum imago ui
debitur.Sc unus tantum erit imaginis locus,ut prius. Semper enim utraq? linea reflexio
nis fccabit ex perpendiculari ,ptrada partem aequalem ipfi ad, eriteg fedio ambarum
linearum reflexionis cum illa perpendiculari in eodem pundo h,qui per 3 7. huius, erit
femper imaginis locus&hoc eft jipofitum, Quoniam fi centra ambarum uifuum qua:
iunt b & g,mcrint ex eadem parte rei uifa.qua eft a,fcmper code modo eft demonftran
dum.concurrentenfm lineae reflexionum cum katlieto in eodem pundo, & erit idem
imag(nislocus,& eadem imago Uifibus occurret.

Lir.

In fpeculfs planis figura rei uifa: Si litus partium fecundum quatitatem
longitudinis Si latitudinis non mutatur,ex quo patet quod imago cuiusli*
bet rei uifein fpcculo plano aqualis eft forma: rei extra.

Sit fpeculum planum,in quo fedio communis fugficiei illius fpeculi,& fupfic/ei re
flexionis fit linea ab ,& duo punda extrema alicniusrei uifa fint f&l.erigaturqj kathe
tus ppendicularicerfug fugficiem fpeculi i pundo l,qui fitlh,8ti
pundo fjkathe tus qui fi tfz,& erunt z&h,auo punda in fupficie
reflexionis per z7.hufns,(pducantnr/c£ taliter fup fpeculum, ut li-
nea h g,fit aqualis ipfi 1 h,& linea z d,aqualis ipfi f z,fit quocp cen
trum uifus e,dueaturcg per 1 1. undecimi d pundo e, kathetus fup»
fpeculum qui fit e b.palam itaq? ex z8, huius, quoniam forma pun
di 1 refleditur ad uifum e,ab aliquo pundo fpeculi linea h b,& lo
ais imaginis fua p 44.huius,eft p&ndum g,tantu diftans 'i fugfi-
cie fpeculi ultra fpeculum, quantum pundus 1, fuper fpeculum.
Similiter forma pundi f .refledit ad iiilum e, ab aliq pudo linea z
b,& loais imaginis eft pundum d,duda quoqj linea f I,& linea d
g, palam, quia quodeunqj pundum linea f I, refleditur ad uifum e.
Similiter locus imaginis fua eft tantum diftans a fupficie fpeculi ultra fpeculum, qu^n
wm file pundus eft: fup fpeculum, quilibet ergo pundus line* f I, tantum uidetur difta

refub

LIBER. OVINTVS.

136

re /ab fpeculo, quantum ipic pundus in foperficre fpeculi foper fpecufum. Si ergo li-
neaflf^ritrcdacritlineadgreda.filineaflfoOTtarcascircuIi.eritquocp linea d g,
arcus circuliA lemg eiufdem curui tatis & di fpo (itionis, linea ergo f 1, iemg apparebit
eiuldem quantitatis & figura:, cuius cft extra fpeculumA hoc eft ,ppofitum.Supponen
duin tamen cft,ut tale fpcculum planum (itjxqualiter polttum,quoniam fi ad Iongitudi
nem & latitndinem nimis declinet politio,dedinabit & forma fecundum idem per 40,
huius.nec erit in longitudine & latitudine debitus ordo formae.

LIU.

Altitudines & profunditates i planis fpeculis reuerfa: uidentur cum fpe*
Culorum fuperficiebus perpendiculariter infiftunc.

Efto altitudo offa qirar a b c e,fit'q? centrum uiius d, linea tiero communis iuperfi-
dd reflexionis & fuperficiei fpeculi plani fit e fg h i,incidat'cp ,
forma pundi a, fecundum lineam a h,& reflcdanir fecundant
lineam h d,& forma pundi b, incidat lecundum lineam b g,8C i
refledatur feaindum lineam gd,& forma pundi r, incidat fe* c
eundum lineam c f,et refledatur lecundum lineam f d,dico qd* I

altitudo e a uidebitur reuerfa„ptrada ciri linea e a.quarperp? J-
diculariseft foper lineam e i.fop ipeculum ,8i ptradHsomibos '
lineis reflexionis ad concurfum,cu .ptrada linea a e .ultra pun ^
dum e incidat linea dk in pun dum m,& linea d g.inpundd A,

1 linea d fjin pundum 1 z palam per pmfflam, quon/airi lf
nca Ire, squalis eft ipfi linearec.Sdeipfi e b, & m e arqual/a^

Ipfi e a,panda ergo altitudinis e a„ppinquiora fupficiei Ipecu
li fuperius exiftentia .ppinqniora uidebuntur eodem fub fpeculo infcrfus,8f punda re-
motiora fuperficiei fpeculi fuperiu s remotiora uidebuntur fub fpcculo inferius,uidebi *
tur ergo altitudo reuerfa fub fpeailo/quoniam enim quod eft fuperius in altitudine uu
debitur inferius.quoniam fub maiori diftantia i uifo nidetur,& quod eft inferius in alti*
tudine uidebitur fuperius, quoniam .ppinquius uifo uidetur, & eodem modo demon-
lirandum, filineaabc fit Linea profunditatis alicuius rei, patet ergo propofitum.

LIIII.

Obliqua: longitudines i planisfpeculism'dentur,quemadxnoduni Ce
habent.

Sit d e longitudo oblique diftans i foperffde plani ipe-
culi,ita ut punctum eius qtr eft e, fit remotius ab ipia fuper
fidcfpeculi.communisquocpfediofoperfic/ei reflexionis, 0
& fuperficiei fpeculi fit linea Ira q g,ccntru'cg uifus fit pun
dusb,Sdncidat forma pundi d,ipii fpeculo tecundu linea
d a,& refledatur fccundu lineam a b,ad centra uifus, Si in*
cidat forma pundi c .fccundu lineam e g . & refledatur ad

nifum iecundu lineam g b.protrahaturcu kathetus c I z, p* !^|
pendiculariter.Si! linea reflexiois qua: eft I

ftba,donccconcur
rant in pundo m, Si ,ptrahetur kathetus e q, perpendicu*
lariter donec concurrat cii linea bg, in pundo 1, eriti^ per
49 .huius, linea d 1 z, aequalis IinCa 1 z m, & linca.e q , tequa*lVjj/
lis lineat q l,8i quoniam longitudo d e, oblique (e habet ad
foperfiriem Ipeculi. Sienim pudu c remotius eft i fpeculo
qi pundu d.eritlinea eq.longior c{j linea d I z,ergo & linea

Jj I, longior c| linea 1 z m,p udu ergo illius obliquae magnitudinis qcFeft remotifis /aper
uperfirie Ipeculi, hoc fimlitcrfub luperficie ipeculi i remotiori uidetar,& qd* foperi us
propinquius cft fpeculo, hoc qcf fui) fpeculo etiam uidetur efleinloco propinquiori,
uidentur ergo tales magnitudines queadmodufe habent A hoc eft quod propon cba f.

In

PBR.SPECTIVA.B VIT&LLIOHIS

In fpcculis planis dextra apparent finiftra, & finiftra dextra.

Efto fpeculum planum g s t jSi ulla res fit d b,fint quom line* incidenti* d g&bs,
& fit ecntnrtnuifos p,Hnex quo<$ ttflexiois (int p g&p s, & fit ut linea reflexionis qu*
eft p g,eoncurrat cfi katheto incfdentix qo* d b in pfido f, & linea reflexionis qu* cft

fp s,concnrrat cO katheto b t,in pundo c,producatur'q$ linea f
c.quxeft pet j- xdiuios imago'rei u»'(x,qu* d h,apparebunt er-
go dextra finiftra,1^ finiftra dextra .qm enl g 3 3 .huius, femg
ad angulum minorem angulo inddentix fit reflexio,& ita ad
parata oppofitam parti incidcntix:pa tet quod dextra rei ui*
J^IxfOTperwdebftfab linea reflexionis magis finiftra,&fini*

I ftrafublinea reflexionis magis dextra, illa linea reflexionis
qo* plus eft dextra cadit fuper dextram parte imaginis,& fi*
tuftra cadit fug finiftram.Sic ergo dextra rei apparet fub fini-
ftra imaginis, 5i econaerfo, qm imago rei uidet fe habere ad
te rem,ficut homo ftans ereda «de contra alique alium : tunc
erft pars finiftra opponitur dextra:, Si dextra finiftrx,& femg
cum aliqs homo alnop poni tur.contrariuseft eis oppofitis adinuicem fitnstad eandem
enim pofitionis differentiam eft dextrum unius finiftrum alterius. £i econuerfo, & fic
qd* eft rei mT* dextrum, fit fu* imaginis finiftrum , & qd* eft rd uifx finiftrum, in ima-
gine dextrum erit fecundum uilun) >patet ergo propofitum ,

Lvi.

PofTibile cft fpeculum planum taliter fifti ,ut intuens propria fmagfne
non uifa,ukkat imaginem rei alterius nonuife.

Sit a b dignum horizonti perpendiculari ter tnfixunyiel fuper fida fibi xquediftan
ti.uel aliter quocuncp difpofitx,qux (it b g.fifcg fpeculum planum in quo fit linea d b&
fit quadratnrn,&; quia lignum a b,eft perpate liciuariter eredum fuper g b fuperfidem,
ducatut linea g b, ut contingi t^pabun ergo quod angulus a b g, eft redus,diuidatur er
go ille angulus redusin tres partes xqualesg
aS.primihuins, inclinetur-^ fpeculum ab, tali—
^ ter i ligno a b,ut angulus d b a, fit tertia pars u*
nius redi, qui eft a b g, erit ergo angulus dbg,
dux terti* partes unius redi, ln hoc auteconu*
ftit bonitas operationis moechanfc* & utilior ef
fedus , quscuncg alia pars redi anguli abfein*
datur , ad idem peruenit demonftratio, utpa-
tct,S it itacfl angui? a d b, tertia pars uniusredi,
8i producatur linea fpeculi qu* eft b d, ultra pun
dum d,in continuu Si direoum ufq; adpundfi
quod (it e,& qm linea g b,eft perpcndfcularisfu-
per lineam a b,cu linea quocp fpeculi' qu* cft db,
# continget angulum acutum, tunc i pun do g, q>

fit in fuperfide orthogonaliter ereda luper fpeculi fugficiem,ducatur linea gpendicula*
ris fuper lineam b e,per 1 i.primi,qu* ut g e,angulus igitur b c g,erit redus. Sit ltacp

us ipfius uiiits pundum g,i quo ad pundum d,prou ahatnr linea g d,^ pudo
iroducat linea cadens fuper lineam bg,qu* incidat in pundum z,ira\jt angi

locus

d,pi , ^

dgfit *qualis angulo e d g.conftitoto fuper terminu ifnexgd, per
icLxquediltans linexge,per i7.primi.ereoDer 8. undecimi.

w quocp

g,qu*inridatin pundum z^ira\« angulus z
13^ primi, erit ergo
t linea zd,ereda

linea zd,xquediftans line*ge,per 17. primi, ergo per 8. undecimi, eri , ,

perpendiculariter fuper fugneiem fpcculi>& perpendicularis fng communem fedionfE
fuperficiei reflexionis 8i fpeculi qu* eft b d,angulus ergo z d b, eft redus *qualis an-
gulo g e dexpr*miflis,6<! etiam per t?.primi,d pundo quoc5z,ducatlineazh,petpeft

dicularis

LI.BrB K .CfcVPNTVV? • i m ' v ■' >37

diculart»foperfaf*ffcicmgb,per 1 1 .undecimiyBi fuper pundu d, terminum linea: z d, •
conftituat angulus aequalis angulo g dz,qui (?t angulus z d i,&qm per z. primi huius
concurret linea d i.cu linea ztudeo quia linea dl,produda ultra pundud, concurret cu
linea a b,ut patet ex pramilfis;& per imprimi huius .fitergolincarum d i,& z b,cocur- •
fos in pundo /,& i pundo i-ducatur linea aquediftanslineabd, per j i . primi, qua: fit
linea i t,& i pundo b .extrahat perpendicularis luper fugficiem fpeculi per zzr. irodeci*
mi' qua: (it b q.eritcg linea bq,aqucdiftans linea: g c,crgo per 8 .undecimi,quia linea b
q .fleat 6i linea g e,ereda eft perpendiculariter fug (uperficicm fpeculi, quod eft d b.fil
per p yndu ergo D.ter minum l incar qb .conftituat angulus aequalis angulq g b q,qui fit
q b t:concurret ergo linea b t,cu linea aquediftancer duda.linete a b.i pundo i, qua: eft
linea i t.per z. primi huius, fit concurluspundus t,& compleatur tabula i t, depingatur
ftaqj iri tabula in qua eft linea i t, imago qua:cuncp placuerit, & ponatur tabula depicta
imaginis in loco linea i t,fecundu medium linea tabula corrclpondens linea z i,& g«
foretur luperffciesg b, fecundam lineamzb, itautfbrma pidura* poflitueftire adfpe*
culum db,cu itaqj centrum uifus fuerit in pundo g,uidebit infuens formam imaginis
depida: in tabula i t„ppriarti liero non uidebit imaginem.cuius haec eft demonftratib,'
quia enim angulusgeDeftredus.patet per i<S.primi,qm angulusgd b.eft obtufus,&
umiliter omnium pundorum forma uel fkciei ipfius uidentis incidentium fpeculri d b ,
anguli lunt obtitlf per eandem r 6, quia uero anguli incidentia lemper font aquales
angulis reflexionis per zo. huius, palam per i 3. primi, qmnimc^ erit reflexio forma
ipfius didentis ad centra uilus.fed femper ad punda qua lunt iub uifii, qitod patet per
3 3 .huius ,nunc|j ergo uidebit quis exifrens fecundu centra offlis fn pundo g.propriam
imaginem in fpeculo plano taliter ordinato fecundu fitum,& fi uilus elongenir i fpecu
lo fecundu quodeuep pundu ultra pandum g,utpote ad pundum fj palam qiri angu-
lus b e f.eft maior redo,fed & angulus f d b,eft maior angulo f e b, per 1 «S.primi.nuncfj
ergo .fiet reflexio ad pundu ^(ed lemper ad aliu pundu fub linea.Similiter quoq? acce-
dente uilu ad fpeculu fecunduquodcucp pundum linea g z,prater c£ fecundum ipfum
pundiim z.riun^ ‘uidebit uidens fili ipfius imagincm5(bla enim pcrpendiailaris,quaC
eft linea zd,ut patet ex pmiflls per z 1 ,huius,reflcdit in fe ip(am,& ita in pudo z con
ftituto centro uifus uidebit intues forma fui ipfius ocali a fpeculo plano taliter diTpofi* .
to reflexa,n5 aStalii pdrte faciei,qm fola gpendicularis q eft liriea unica refledit in fe
ipfam.& ita lolius illius pundi fit reflexio, no aut pandore alio»:. Si ergo uifiis i pudo
g appropinquet fpeculo fecundu pundu k,cadente inter punda g di z,u i pundo k,du
caf linea ad pundu d,q fit kd,palag /4.primi huius,& ex pmilfis qcf linea dk Si eg,c5
currantultra lineag k.fola. n. linea dz,*quediftat lineae g. angulq uero g e-d. eft re-
dus.Si angulus z d b,redus: ergo angulus k d b,eft obtufus, fiet ergo reflexio ad aliud
pundu fub pundo k,i.pundo uero z,ut pdidu eft,fiet reflexio in ipfum pundO z, ideo
qa linea z d,aquediftans linea ge,eft gpendicularis fug linea d b,per Z9,primi,et ex hy
pothefi.Similiter qcp pofito iufu in quocucp pundo linea z b,qm a ^ libet pudop.* illoja
eft ducere gpendiculare liiglugficie (pcaili,uelfog linea kq.reflcdit illarum qlibet in fe
ipfam g z 1 .huius .pala itacg qm coftituto uifu in linea g z,no uidebit intuens imagine
fui ipfios,8i qaut didueftlbla gpendicularis feaindS unicu pundu refledit ad uiium,
n5 autalia punda forma.ga uero angulus i d x.eft aqualis angulo z d g,8i linea z d,
eft gpendicularis fug fuperfirie fpeculi d b,ergo per z o.huius forma pundi i, d pundo
fpeculi d,refledft ad uifum in pundo gexiftente,& qa angulus t b q,eft aqualis angu*
logbq.at patet ex pmiffis,6<: linea bq, perpendicularis eft fuper (uperficie fpeculi,pala
per zo.huius.qm forma pundi t.d pundo fpeculi b, refledit ad uiium in pundo g. er-
go per z4.huius,forma totius linea i t.refledit i fpeculo d b,ad nifum fn pudo gvno ui
debit aut lpfa tabula depida i t,qm eft fub fugficie cuifuperftat Ipeculu 8i uifus. Poteft
autficfieriut fecundu longitudine linea zb.fitfadus murus fuper tara ad altitudine
oidentiu, cj interiusfit cocauus, fuperius uerfiisfpeculu aper tus,8i in.illomwo depona,
tur tabula pida.qua eft i t, aquediftanter Ipeculo b d,Si fit uilus in diftantia i fpeculo

M fecundum

VERSTECTIVAB ▼ITELLTONIS
feamdum ffnrm pundi g,& fit phfbitus fecundu aliquod mcdifl,nc poflit propius ac#
cedere .tunc em omnes tormarpundo;* dcpid* imaginis incident uifui.difponatur er
go taliter per ingenia, ut tabula depida nullo modo uideatur A fit fpcculO fitum uer#
hu lumen,ita ut aer circa ipfum fitluminofus,fit'qp tabula depida fimiliter lumen ha-
bens,quia aliter in tenebris latens non pollet uideri,mcdiante em lumine forml fitam
multiplicat per medium A peruenit ad fpcculum, & reflediturad uifum, palam ergo
propolium.

IV II.

PofTibileeft fpecukim unum planum in camera propria taliter fi fti,ui
in ipfo uideantur ea qu at geruntur in domo alia uel in uicis & plateis.

Sic in catpera utdenus locus alius,mqoo exili ente uifu placet u iderc per fpcculum
planum omne illud cx ■ • •• • ,r °-

Ilgnatus pundo i.& fi

gnatus pundo b.fitcp rima iiue teneitra in camera uidentis oppolito loco b, quar Iit g,
«ducatarlfneabgA,pducatur in continuum& dtredum intra cameram aaaliquod
punctum qui fitd.qd' totum poteft fieri per aitrolabium fiue quadrantem ud aliud in#
ummentum certificarionis uifam.uilio enim pundo b>reuoluatur uifus fixo in 11 rumen
co,& cadat uifus per eafefem pinulas immotas in pundum camerat d, ducantur ergo li«
nezda&gaAdiuidaturlincaga,per 1 19. primi hiiiusqn pundo e, ita ut fit propor-
tio lineae a e,ad lineam c g.licut lineae ad>ad lineam d g, qaae ambar per inllrumenti ac#
ceptione funtnoce,ducatur($ linea ed.diuider ergo per 3 .fexti,linea d e.angulu a d g,
per aequalia, ponatur itacp fpcculam perpendiculariter eredi nm liiper linea d e, in pun#
cto d,per conuerlam undecim* undecimi,in quo fpeculo Gc linea f h,i pudo itaq? fpe-
culi d,reflcdctur formapundi g ad nilum a,per xo .huius,ergo 8 C forma pundti b, per
eandem 10. huius, diftantia enim fecundum eandem lineam naturam reflexionis
non immutat, uidebit itaqj uifus fecundum eius centrum In pundo camerae, quod efi
a,exiftens omne quod erit & quod agetur in loco b,fioe Gt domus alia Guc uicus Gue pia
tea A hoc eft quod proponebatur.

IVI II.

Poffibilc eft fpcculum ex fpcculis planis compofitum co nftrui, in quo
videantur folius afpicicnris plures imagines ad modum chorearum.

Aflumamrarcuscirco'ia 3, aiiuscenrrumGthA quoniam arcusa 3, indefinite af
firmatur.efto ut iple exempli caufa diirifus fit in qu/nc^ partes aequales, uel quotctmqs
quis uolucrit partes, ita ut a rcui a b,fint arquales arcus b g, g d,d e,e 3 ,& ducantur cor-
ae a b,b g.g a ,d e,e 3 , qua: ornes erunt nequales per 1 3 .tertijA i centro h ducatur lineat
h a,h b,h d,!i c h 3 A' ablatis arcubus luper cordas a b di b g , fid alia erigantur fpecula
plana quadrangula per paralellogramma, ita utrorum lateraai,bk,gl,dm,en, 3 x,
r m Gnt arquediGantia, 8d fint fpecula continua ad inuicem taliter,

ut latera eojt quz lunt b k,g h.d m,c n.fint comunia,Gnt autem
fpecula adinuicem taliter com polita, m anguli contenti i line*
is a i 8d i k,b kA k I,g 1 A I «n,d m & m n.e n A n y,Gnr aequales
angulis contentis i lineis h a & a h,h b 8i b g, h g & g d,h e A c
3 , tmt'<$ fuperficies infiftentes lineis a b, d g, g d, d e,c 3 , uer»
fac inferius, di luppofiatfupficiebus alijs fuperiuseleuatis.in
quibus funt lineat i k,k 1,1 m,m n.n x A Gnt fuperficies fuperio
1^ res inferioribasarqaediftanres..h*c enim omnia fpecula tali#
ter difpofita afpeoum uniformem habebunt aduifum exiften
tem in centro h, quoniam enim linea: h a,h b,h gdi d,h e,h 3, du
canturi centro h,adpnnda communia cordis &arcubus,patet per i7.tcrrij, quoniam
omnes funtpcrpendicularesfupcr lineas circulum a 3dn dlispundis contingentes.cr#

E°

LIBER. CIYINTVS. «38

Ro per i / .huius, omnes illx linea- reflectuntur in fe ipfas.erit ergo diftinctio fmaginu
fecundum illas, ied ce' perpendiculares quae i puncto h, ducantur fuper lupcrficierri (pe*
culorum pIanorum,qna: per zo. primi huius, folum numerantur numero fuperffrierum
(poculorum A' circa omnes illas fu uniformis reflexio ad uifum, numerabunt ergo ima-
gines numero (pcculorum,cjuorum numero fi* loca imaginum numerantur, ideo quia
* puncto h produci ce perpendiculares no concurrunt ultra fpecula, cum omnes in puti
dio h concurrant,eft autem locus cuiufcp imaginis in concurfu katheti aim linea refle*
xioni* per 3 7.huius,& cum h;cc fpecula uniformiter refpician t uifum in pundio h, pas
ter cjd* qua ratione reflexio ffc ab nno ipforinn ad uifum,eade ratione fit reflexio i quo-
libet aliorum)& fic reflexionum lineae numerantur numero kathetorum,plures ergo ui
«kbuntur imagines difpofice adinuicem numero fi i ordine fpeculorum,quia ucro fpe-
cula rcfpiciunt uifum ut fi.it centrum ad inodum arais circuli, fid imagines ipfius inci-
dentis refpicientuidentem ad modum chorcarum,quod cft propofi tum. Ponunt & per
hoc fpeculum uariato fitn plures elici imaginum fituationes, quod expcnmentantis in
duflria: cenfoimus relinquendum, ut fi fpeculum a b, fecundum bafem a i,fi tuetur aeque-
«fiiiansfuperhcici horizon tis,uel fecundum aliosmodosut libuerit,diucr(ctur.

LIX.

Poflibilc eft fpeculum cx fpeculis planis compofitum conftru/ ,fn quo
afpiciens fuam uideat imaginem uolantem.

Airumatur trigonum hyfochcles rectangalum , quod fi tb a g,& fic a ngulus cius
quibag,rcctus,SdIineab g,fecetnr in duo aequalia in puncto c, fic: ducatur linea a c, £d
fuper lineam a g, ponatur fpecula pIanum,quod fitz h,& fuper lineam b a, ponatur a*
Kod fpeculum planum, quod fit de, fidfituifus in tuentis in linea a c, rcfpiciens in quo*
cuncp illoram fpcculorum uoIuerit,Ut in z h,8d alterum fpeculum quod fit
cdjiaccatin plana fupcrficie fuper quod ftat intuens, & accedat & rece*
dat inurens , donec calcanei fui forma perueniat ad fpeculum e d, dico qcf*
reuerberabitur in aliud fpcculu quod cft -h, m quo afpiciens putabit pro*
priam imaginem uolare,quoniam uidebicipfam eleuatam fecundu feto-
tam rn acre,cum tamen ipfe afpiricns ftet fuper fuperficicm terra: ucl alte-
rius rei, inqaa eftfpeailum ed, quoniam forma calcanei incidens inferio*
ri fpeatio quod eft e d, reflectetur adftiperius fpeculum,Si in illo figurabi*
tur tnta foi ma intuentis, fic! fi intuens moueritfe aliqualiter, ita tamen ut i
non mutetur fitusrefpectu reflexionum qua: ffuntin fpeculo, moueri ui* c
dabitur imago in acre per 4 z .huius,fid fic uidebitur afpiciens fuam imaginem uolan*
tem quod proponit, & t circa hoc plura alia diligentia artificis perquiret. Vt aQt idem
propolitam St' aliter melius pateat figuraliter demon ftratum, fit orthogonium trigo-
num a b c, cuius angulus b a c, fit rectus, Sf in cuius larerca b, fituetur
fpeculum planum, cuius media linea fit d e,cuius punctos d, fit propin
quior puncto b,quim punctus e, & fit trigonum a b c, fecundum eins
latus a b.pofitum in fiipcrffcie horizontis uef alia quarennq; fupcrficie,
fuper quam eleuata fit ftatuva incuentis.cuius planta: pedis ftent in pu- _

<to g , aliqualiter eleuato fuper lineam a b, 8i ducatur linea gd,Sd fas
per punctum d, terminum linexbd ,fiat per z 3 .primi angulus arqualis
angulo g d b,qui fit h d a, producta li nea d z,ad lineam a c.fid fuper pun
«tum h terminum lincte c h,fiat angulus d h k,a:qualis angulo d h a, p*
ducta linea h k, ad lineam b c,pofito'qj centro irifusin puncto k, patet
ex preemiflis fic per zo. hnius^jucmiam forma puncti g, i puncto h, re*
flcctiair ad trifum,fi punctum h,fuerit punctum fpeaili alicuius, fnuen*
tot;; per 46.huiiis,m fpeculo d c,puncto reflexionis formte puncti m, quod fit in itati-
cc uidcntis,fit forma: puncti illius punctus reflexionis e, fi* ducatur linea m e-.&angu*

M » lus

FERSPECTIVAB VHTELL10NIJ
fus m e d, fuper pandum e.terminum Iincar m c,per z 3 . primi’ fiat arquali* angulo qiri
fit a c J,produda linea ei,ad lineam a c,5( inter pundaa & h,»tuetur fpeculum quod fit
1 h,ita quod punda l Igfinr m fuperficieillius fpecuIi,fiC fimiliter pundum a,& quoniam
forma pundi m,i pondo ipcculi d e,quod cft e,rcflcditur ad totam fuper fidem fpecu*
li I h,pcr z z.huius,& abillo pundo ipcculi 1 h,in quo anguli el a, fli h 1 k, fime aquales,
quodcunqjcnirn fuerit illod pundum.icm periplum dicatur pundum l,fl£ fiat reflexio
ad uifum lc,quoniamenim ut patet per a d. huius anguli k 1 c,
& k hefunt acuti,patet per 14. primi, quoniam illa: lineae cotj
ctHTOTt,fit'q; pundus concurftisl r, palam ergo per 34.hu*
iugquod tota imago afpidcmis qua: eft lincag m, i fuperfi-
cicrpeatli ed,refleditur ad fpeculum 1 h,&i fuperfleie fpecu
h'lh,refleditur ad uifum exiftentem in pfldok,& quoniam
utpatet per 37J1UIUS, locus imaginis forma uniufcuiufqj p3
dicftinconcurfukatheti fua incidentia , cnm linea fua: re*
flexionfs:producatur itaqj i pundo fpeculi d e, d quo fit re*
flexio formae pudi g,quod cli d , per 1 1 . undecimi, linea per
pendicularis fuper ipeculia h, fuper ficiem, & patet cum ex
hvpothcfi angulus d a h, fit redus, quod illa perpendicularis
eft linea d a. Similiter quoq? perpendicularis i pundo reflexionis formae pundi m,
quod eft fpeculi d e, pundum c.duda fuper fupcrficicm fpeculi a h, cft eadem linea qua:
c a.haec iraqj linea eft kathetus incidentia* formarum pundorum g 8i m, reflexorum i
pundis d & e, ad ipeculum 1 h,& quoniam ut pramilium cft per zd.huius,quod angu-
li k h c,&’ k I c fant acut/,auoniam linea angulum d h k, uel e I k, per aqualia diuidens,
eft perpendicularis fuper iineam 1 h .angulus uero d a h eft redus, ergo per 4.primi hu-
ius.Itnea de a concurret cum ambabus lineis kl 8C kh, fit ergo
ut pundus concurlus linearum d a 8£kh fit n,& pundus con*
curfus linearum e a & k 1 fit o, erit ergo linea o n, imago forma:
totius linea m g.erifcp pundum quod eft imago forma pundi
g,plantatumfdlicetipiiusintuentisalterius in aere quimpun*-
dum o.quod eft imago forma pundi m, uirtutis ipfius uiden*
tts,uidebic ergo ex pundo k,intuensfpeculuml h, fiiam imagi*
nem in aere uolantem, quoniam uideoit pedes altius in aere qs
ipfumcaputcoIlatosaduifum.Pereandem quoqj demonftran-
dum fi trigonum a b c , fuerit oxigonium, nifi quod imago in*
tuentis aliam recipiet fitus difpofttionem, katheu’ enim incidcn*
tia aliter fuperficiei fpeculi incidunt quam prius, femper tamen
trigono a b c, exiftente orthogonio ucl oxigonio aidebitur
imago intuentis uolans lub fpcculo.quod fi trigonum a d c, fuerit ampligonium.pofii*
bile eft fieri ut imago fit uola ns in aere retro uifum, quoniam ut pa tet per 1 4, pr imi hu-
itis,ka theti incidentia & I inea reflexionum concurrent retro centrum uifus.non uide*
bitur autem talis imago,quoniam femper fugiet abfconfa ab iplb uifa, nifi forte ab alio
(peculo tertio ad uifum pofTct fieri reflexio, patet ergo illud quod proponebatur, & hoc
uiftx fblum rcfpicicnte in fpeculu a h, non in fpeculum d e,& hac quidem demonftrata
funt,ac fi i pundis primarum reflexionum,qua fimt d & e, ducantur katheti incidens
tia, qua fi imaginentur i locis primarum imaginum duci,mu!to fortius fecunda itna*
gines ,qua uidentor in fpeailo a h.uidebuntur efle difpofita ut uolantes.

IX.

Per duo uel tria fpecula plana orthogonaliter ad inuicem difpofita, pof*
fibif c eft ei ufefem pundli imaginem uideri .

LIBE*. O.VINTVS, I3J>

Sit uifibilc aliquod, in quo fic pudum a,& f?r centrum uiEis b,8t fint tria /pccufa pia
na gd,de8iez,orthogonaIiterad inutccm difpofita,L.
ducatur quocp i pudo a, linea a z perpcndiculariter Iu

per fiiperficiem fpeculie z, p i /.undecimi, et .pducatur^ T>

linea a s in continuu,ab(cx'ndatur'cg in pudo c.tahterp^ 1 \/

).primf,urlincazcfitsqualislinesaz,&i pundob, /V

quod eft centrum uifus, ducatur linea bg perpendicula /

ricer dtp fpeculud g,et producatur taliter ut linea g s fit N '

squalis lineat b g,i pundo quocp c ducatur perpendi* / \ 'v p

cularis fiiper iuperficiem fpeculi d c.qus fic c k,& produ / \ x

cattrr ultra pundu k ad pundum l.quoufcy linea ck fit c / I __

squalis 1/nes k 1,& d pundo 1 ducatur linea ad pundu 55 gT

s.lecans fpeculum d e in pudo m ,& /peculum d g in pundo f, & i pundo m ducatur
ad pundum c, linea m t lecans fpeculum e z in pundo r , di ducantur lineae ar&bfj na
ergo linea b g eft aqualis lines g s,& linea g f.comunis ambobus trigonis sgf&gfb,

&! angulus b g farqualiseft angulo s g f,quia ambo illi anguli funt redi, erit per-f.pri-.

lis angulo f sg.Ied angulus s f g eft squalis angulo d fm per i s . primi.ergo angulus
dfm squalis dl angulo gf b,poteft ergo per zo.huius, forma pundi m,renedi ad ui*
fum b,quia uero linea c k eft squalis lines k 1.& linea k m comunis eft squalis ambo*
bus trigonis c k m di 1 m k .angulus quocp 1 k m squalis eft angulo m k c.quia ambo re*
di.eric g 4.primi,linea 1 m squalis lines m c ,QC angulus 1 m k squalis angulo k m c,er*
go angulus d m f eft squalis angulo k m c.quoniamper i y .primi, ip/e eft squalis angu
lo 1 m k,ergo per zo. huius, forma pundi b, poteft renedi d pudo m ad pundu f & dpu*
do f ad pundum b,centrum uifus per z. ergo fpecula qus ftint deSddg, uidetur for*
ma pundi n,rcflexa ad idem centrum uifus quod eft b,« quia linea a z eft squalis lines
s c,& linea z b communis eft ambobus trigonis a n z di z i c,angulus quocg a z n eft-s-
qualis angulo n z c,quia ambo redi funt, erit angulus a n z per 4.primi,squalis angu-
lo z n c,crgo per 1 5\primi,angulus m n e eft squalis angulo a n z, forma ergo pundi
a refleditur d pundo n, (peculi z c,ad pundum m,fpeculi d e, &d pundo m ad pundii

mago eiufdcm pundf a, quod eft propofitum , 6C hoc accidit uiHui folum refpicientein
fpeculum dg.

LXI.

PofTibile eft per quodeunq? quis uoluerit plana fpecula fecundum dilpo
fitionem poligonq ccquilateri & squianguli ad inuicem difpofira eiufdem
pundi imaginem uideri .

Sit centrum uiliis pundum a,Si pundum rei uifs fit b,& ducatur linea a b,& fecun*
dum quantitatem lines a b deferibatur poligonium squilatcrum & squiangulu,quo-
cunqj laterum uifum flierit ordinari.Sit autem nunc exempli caufo poligoniu a e d g b,
pcntagonum,cui circunfcribatur circuluspcr i4.quarti,&! ducantur lines ad ccntru dr
culi quod fit c , ab angulis poligonij qus fint a c,e c,d c, g c,b c , palam itaqr, quoniam
omnes ilis lines funt squales per diffinitionem circuli.anguli ergo adba/es omesfimt
squales per per 8.pritni,fldn concurfii quorumlibet didorum laterum ponat Cpc-
culum planum.prsterquim inpundisa&b.ut i pundoedg, uelli fuerit poligort/iJ
plurium laterum ponantur plura,& erigantur omnia ortliogonaliter iug lineas adeen'
trum circuli produdas,ut iunt hsc lines d c & g c.ad* fiet per 1 1 .undecimi , ita ucipe*
culum f h fiiper lineam g c,fit perpendiculariter in(iftens;ad unum uero angulu fit pun
dum rei uifs.Si ad alium libi proximum fit ccntru uiius.utfimthsc pundaa&b, quia
itacg angulus c g f eft xqlis angulo h g C,quia ambo funt redi , fed & angulus c g b eft

M 3 aequalis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

«pqi»Wsanguiocgd,utpatetper prarmfflaAper 8. primi,angukisergo bgf aequalis
eft angulo d h g,ergo forma pundi b i pumilo g, fpeculi f h reflectitur ad pundum (pe
culi proximi^juod eu ad punctum d , per squales enim angu'os fit

H. vf '■ omnis reflexio, ut patet per 20 . huius,A quoniam omnes anguli illi

'' 1 v ' pr»mfffis duobus angulis fimiles inter fe Ium squales , pala quia Hi

reflexio i puntilod ad pundumc, A i puncto e ad pundum a , quod
cft centrum uifustuiius itaepexiftens m puncto a, & in tuens folum
fpeculutn .cuius eft pun<fl u e uidebitur forma b,qu» immediate non
refledetur ad ipfum i pundo fpeculi e,rcflexam mediantibus fpecu
Iis g & d quod eft propotirif . Quod fi centro uifus fit in pundo e qd*
eft centrum circuli,cuiuspcrilenam conungunr oinia fpecula in an
gulis poligonioram confticuta .palam quod forma pudi e, ab omni-
bus pundis refleditur in fe«pfam,quonia omnes lineat quar funt e a,
e b.c g,c d,c c,fanr perpendiculares fuper fpecubrum fuper ficies .refleduntur ergo in fe
iplas ad pundum c,per 27.hu/us, palam ergo eft propofitu ,& fi plurima ordinatur lioc
modo fpecula.de omnibus eft eadem demonftratio & idem modus circunfcribendi cir
culu alteri poligonio qui A pen thagono.Per liate itacp duo theoremata .patet quod rei
qus non uidetur imago poteft in fpeculo uidcri,ut Ii res taliter dilponitur ad prima fpe
culum,quod ad ipfum udus pertingere non polL t ,hoc aut faciliter accidit cogitanti.

LX I I .

A pluribus fpeculis planis pofifibileeft formam rei per fcuife uel rei
non uifat refledi ad uifum,ita ut diftancia imaginis a centro uifus fit arqua^
lis omnibus lineis incidentia: 8C ipfi linea: reflexionis.

Sic centrum uifus in pundo a, A pundus rei uifar b,& inter illos duos pundos G pia

paries uel aliud .quod ut p g AapuncrisaAbadoppoluaipusIoca. ducantur uneataer
quediftanres per 3 1, primi,qu» unt a d Ab e, A coaletur linea d e,fint'cg exempli cau*
fe line* b e A a d,perpendiculares fuper lineam c d, A diuidatur angulus a d e per »qu*
lia per p-primiAida 1 inea d z , A fimiliter diuidatur angulus b c d, per aequalia p linei
C h, A foper punctum d terminum lineat zd erigatur pcrpcndiculariter linea kdc,pet
/c 1 3 .primiA fimiliter fuper pundum e.ter

minum line» h e erigatur perpendiculari

J3j \ ter linea 1 e m,& ex his duabus lineis k d c

I Alem. imaginetur foperponi duo plana

\. j fpecula .forma i tacp pundi b incidet fpe*

Ks. P G culo plano quod eft m e 1 in pudo e A re*

v. H fledetur in pudum d,pcr 20. huius, quia

1- / anguli bem A dei fontaequales, anguli

7B emhelAhem funt aquales, quia redi,

fed&anguli hed Ahebfunt»quales ex
praemiflis. Item forma incidens fpeculo
kdeabeios pundo d,re fledetur ad pundum a, quod cft centrum uifus per 20. uel j-.pri
m« huiu$,quoniam ut fupra patuit anguli ed z & zd a funt arquales.uidcbinir ergo for*
ma pundi Aper uilltmexiften cero in pundo a,cum tamen res in qua cft pundum b,no
fit uifibtlis per fe ipiam, linea quocpreftcxionis ad uiflim qute eft d a,eft femper una, qua
vis line» incident/arum fecundam numerum talium (peculonim numerentur, A fi d pflL
do rei uifie quod eft b, ducatur per 1 i.undecimilineaperpendicularis fuper fuperficie*
fpeculi quae llt b mfecans lineam e 1 m in pundo m, erit angulus b m e redus , ergo per
1 3, primi, erit angulus ebm acutus, cum ergo angulusbedfitredus,palamper /4. pri
mi huius.quia line» b m A d e concurrent.ut eoncurfus ipferum in pimdo n, quia itaeji
linea mei cadens fuper lineas e h A bn, facit angulum em bintriniecu squale angulo

leh

LIBER .QJTINTVS, 14»

Ic ft extr/nfeco.patet per 28,primi,quoniamIine*bn&eh funtxquediftantes.ergo
angafusd e hcxtrinfecuseft «qualis anguloemb intrinfecoper l^.primi angulu»
c b n eft «qualis angulo b e h,quia funt coaltemf , fed angulus b e h eft aequalis angulo
h c d,uc patet cx prxmiflis,diuifus eft enim angulus b cd per aequalia per lineam h e,crit
ergo angulus e b n aequalis anguloe n b,ergo per 6.primi,linex n b & e b font aequales;
eft autem per 3/) . huius , pundum n locos imaginis forma; pundi b reflexi ad uifum
exiftentem in pundo d, i lpeculi m e 1 pundo e. Item i pundo n ducatur linea perpen-
dicularis fuper linea c d k per 1 z.primi,qux fit n k, patet ergo ut prius per 3 i.primi.qd*
angulusdnkeftacums.ScdanguIusndaeft redus ergo per i4-pr imi huius, lineae nfc
& a d produda concurrent , fit pundi concurfus s,quia itacg linea d k cadens fuper lia
neas zd&ns, ferit angqlu z d t extrinfecu aequalem angulo n k d intrinfko , utera em
illorum anguloru eft redus,patet ergo per i8.primi,quod lineae ns&zd aequediftant,
ergo per 29. primi, eft angulus z d a extrinfecus «qualis angulo n s d iritrinfeco , fed di
anguli s n d & n d z funt «quales,quia coaltcmi,& anguli n dz&zda funt «quales , ut
patetexprzmiftlstangulus enimndadiuiditur per «qualia perlineazd,angulus er*
go d n s eft aequalis angulo d s n,ergo per 6.primi,du« line* d s di,d n funt «qles , quia
itaqj linea e n eft «qualis lineae e b,erit linea d n aequalis duobus lineis d e & e b, ergo Ii*
nea d s eft aequalis illis eifdem duobus lineis d edic b ,&i auia per 3 7. huius,pundu s eft
locus imaginis form« pundi n reflexa: i p6do fbeculi k d c quod eft d,ad uifum exiften
«em in ptlndo a, paret quod linea a s,qux eft diltantia imaginis i centro uifus eft aequa
lis duobus lineis incidentix quz (unt b e &e d,& infuper line* reflexionis qu* eft d^,
& hoc eft propoficum.quoniam fii pluribus fpeculis nat reflexio eodem penitus modo
erit demonftrandum.

LXin.'

Reflexione a pluribus fpeculis planis ad eundem uilum fada,ab impari
bus quidem dextra apparet finiftra,# finfftra dextra:a paribus uero dextra
apparent dextra, Si fini ftra finirtra,& diftantia imaginis i uifu conflabit cx
quamitateomniumlinearurnmcidentKC & lincte reflexionis*

Sit centrum uifus a ,di linea rei uifx fit b g,& fi placet fit inter centrum uifus & rem
uifam aliquod corpus denfum fimplicem pronibens uifionem,ut paries uel aliquod fimi
le,quod fit d,fiat'cg reflexio cx tribus ipeculis qu« fimtez&h c & k I,refledatur'cg for*
ir.a lineae b g,per haec tria fpecula ad uifum exiftentem in pundo a,fit'cg utpundus b,li
nex bg incidat fpeculo kl in pundo k,& fpeculoh cfn pundu h,& fpeculo e z in pun
dum e,rcfiedatur'q; ad uifum a fecuduni lineam ea ,& finufiter forma pundi g incidat
fpeculo k 1 in pundum I,& fpeculo h c in pundum c,5C
fpeculo c z in pundum z refledatur ad uiiiim fecu-
dum lineam z a ,8i ducantur h* linex incidentix & re*
flexionis q erunt b k Qi k h,h e,c a,8i g 1,1 c, c z,z a ,fit'cg
locas imaginis formx pundi b,in primo fpeculo quod
fit kl pundum c,& Joais imaginis fbrm* pundi g, in^
primo fpeculo fit pundum q,& ducatur linea cq , au*
per 49.huuis,*qualis linex bg. In fecundo uero fpe*
culo quod eft h c, linea imaginis fit s o. In tertio uero
fpecuioquodeft e z, linea imaginis fit mn,pater itacp |h
quoniSin quolibet iftorufpeailorum tanta eft diftan-
tia imaginis fub fpeculo I fuperficie fpeculi,quanta eft diftantia formx qux refleditur
i fpeculo i fuperficie ipfius fpccult per 49, huius, linea ergo k b,qux eft diftantia pundi
rei uilx i fuperficie fpeculi extra fpeailum eft «qualis linex k c,qux eft diftantia i magi
nis a fpeculo fub illo,et linea gl,eu «qualis line* 1 q,tunc linea g h,qu* eft diftantia for
m«uifae£fupcrficicfpeculfhc,eftaequalisline*h.s,qu«eft diftantia loci imaginis fub
eodem fpeculo, di linea q t eft «qualis line* t o , linea quocp s e,qux eft diftantia formx

refle*

, PERSPECTIVAE VITELLIONIS

reflexa i (pecufo zeeft aqual is lines e m,qux cft diftantia formor ab eodem fpeailo fubi
lUOj&fimilicer linea o z cft aequalis lineae z n,SC quoniam ut patet per 3 7. hui as , locus
imaginis uniufaiiufcp forms pundi uifi eft in pundo cocurfus katheti fiiar incidentia:
cam linea reflexionis A in fpeculis planis imago femgeft arqualis rei uiGe g yi, huius,
patet quod m(us exiftens in pundo a, comprehendet imaginem forma- linear b g in lo-.
co lineae m c arqualem ipfiTei uifar,& cius diftantia i uifu qua: eft fecundum lineas a m
& a a eft squalis omnibus lineis incidenciar.quonia linea a m cft aequalis lineae reflexio
ni s qua: eft e a, & linear m e quar eft aequalis lineae es,(ecundum prae milia eft arqualis li~.
near incidentis quae eft e h,& linear h s arqualis linear c h,quar eft arqualis lineae k h, & li-
near c k,quar linea c k cft aequalis linear k b,& fimiliter linca.a m n cft aequalis lineae refle
xionis qux eft a z,& omnibus lineis incidentis ut iam paruit, & quoniam ut patet per
yy.hunjs,m fpeculis planis dextra apparent finiftra & finiftra dextra,pala quod infpe»,
culo primo rcfpedu rei uifibflis,quod eft fpcctilum 1 k,fit imago forma: rei b g ui(s,qux>
eft imago c q tranfmutata modo dido.Sed & eadem imago reflexa i fecundo fpeculo,
quod eft h c,mutat dextrum inftniftrum & fjniftrumindexrrum,rcdit ergo in fpeculo
numeri parisdiipoficio partiu imaginis addilpofiuonem partiu ipfius rei uife,& quia
in fpeculo tertio qd eft e z, imago lecuda,qux cft s o,mutat fi tum partiu fuarum , patet
quod imaginis m n (itus eft alius i dtfpo (irione formar rei quar eftb g , in fpeculis itaejj
numeri paris fit imago fimilis rei fecundum dextrum ct finiftrum,etin fpeculis impari*»
bos tran(mutatur,et lic uniuerfaliter quotiefolcp fpeculis paribus ucl imparibus pofitis
fccundu haec unaginu difpofitio uariaturfccundii dextru et finiltru,patet ergo ^ppofitu,
LX III I.

Duo fpecula plana quadrata & «cqualia poffibilceftficfifti,utintuens in
uno Ipeculoru (uam imaginem uideat ueniencem,& in altero recedentem,
Sinrduo ipecula plana redangula & arqualia cuiufcuncp placuerit quantitatisluopj
latcru.dum tn latera unius fint arqualia lateribus alterius, & fint latera eiufdefpeaili in
ter feproportionabflia ita utlogitudo fit duplata latitudini eiufde fpecidi, aflumatur 'cy
linea,cuius longitudo fit multo maioruno latere illoru (pecuIorum,8c: fit exempli cau-;
faquatuor cubitorum qusfitab,&(eceturex ea portio squalis quartar parti unius
laceris longitudinis fpeculi per tertia primi,qux fit a g , & diuidatur linea g b in duo ac*
qualia in pundo d,& i pundo d ducatur linea perpendiailariter fug lineam a b.pcr 1 1 .
primi,prodncatur'cp in continuum & di redum,et abicindatur ab ipfa linea arqualis alti
cudihi (peculi qux fit linea d z,er i pundo b ducatur linea squalis & arquediftans linea:
d z qus fit b c,et produca tur linea c z orthogonaliter (uper lineam b c, qux erit squalis
linesbd,per«3 3. prifni.et producatur linea cz in continuum et diredum , ducamrcjj i
pudo g, linea g e squediftans etsqualis lines d z, erit ergo linea ge,per 3 o, primi, x-
qualis ct squediftans lines beet (uper pundum e, centrum exiftens deferibatur portio
circuli fecundum modum quantitatis p!acirx,qus fit r i.diuidaturcg arcus r i per squa
Iia,per Z9,teroj,inpundo 1,« ducatur linea 1 e,et i pundo e ducatur una linea perpen-
dicularis (uper lineam 1 e,qus fit e m , et ite alia qux fit
e n, qux tamen lines adinuicem coniundxlunt linea
una per 1 4.primi,et fit linea m e squalis lines n e,et to
ta linea m n fit aequalis longitudini fpeaili.Si ergo, duo
rum (peculornm planorum redanguloru & xqualiu
angularis coniandio fiat luper lineam m n, tunc diui-
dentlin£smeetne,fuperficies illonim coiundorunj
(peculornm per squalia,patet'cg quod illa fpecula non
erunt in una plana fuperficie difpofita , perpendicula-
res ergo i cetro uifus (iiper illa fpecula duds quxlunt
katheti incidentis forms ipfius uidentis , funt diuerfi,
pofito ergo centro uifus (n pudo d,ct motis fpeculis fuper lineam 1 e fixam, uidebit ho*
mo feipfum fug unum duoro (peculoriim uenientem,et in altero recedentem, eft enim

longi*

HB3R SEXTVJ. 141

longitudo ambomm illorum ipeculomm qua: cft linea m n,quafi duplata latitudine u-
nxus /piorum & fic pundum cft quali medium fuperffcici amborum illorum Ipeculojt-:
«nde circa iplum arqualior fit motus. Et fi harc fpecula fuerint taliter ordinata , ut dau«
dantur di aperiantur , & angulos inter ic exiftentes uarient cum rcuoluentur,muIta dec
formitas efficitur imaginum unius etiam rei : angui i tame taliter fint difpofiti, ut ab u*
no ipeculo in aliam fieri poflit reflexio, nec aeftimamus hac demonftratione alia in his
quar prarmifli Hsnc in fimplicibus planis fpcailis indigere , & hoc pradicae artificu du*
dmus c5mittmda,quia et harc quar prarmifimus plus habilitatem operis mcechanici re
fidunt, quim firmitudine demonftrationis,fuit enim iftud diligens inuentio antiquo
rum ,cui poteft addere et demere ille,qui diligenter pcrfpexerit ea quar, demonftratiSis
necdlitate confcripfimus in hoc libro . ixv.

Ab uno fpeculo plano folioppofito ignem eft impofTibile accendi plus
ribus uero poflibile.

Hoc enim euidenseft,quia ignis non accenditur nifi per aggregationem plurium
radforum.lineac uero reflexionis i fpeculoru planomm diuerfis pundis produdse non
concurrent, ut per 47.huius,demonftratum eft,in nullo ergo budo coueniuntilli radij
reflexi, ad generationem ignis poflibileeft in materia combuftibili quacacg, patet ergo
prima propofitoium, Iam autem dixit Attenmus nefeio qua dudus experientia, quod
fblumuiginti quatuor reflexi radij cocurrentes in uno pundo materia* infiammabilis
ignem in illa accendunt, di «oniunxit feptem fpecula plana hexagona colligatione fta
bili fixa .icilicct fex extrema circa unum,quod ftatuit in medio illoru, et uniebantur illa
fpecula in quibuslibet angulis hexagoni, ideo qa figura: hexagona: replent locufiiperfl
cialem , ualent enim tres anguli hexagoni quatuor redos.et dixit Attenni us , quod ad
quamcuncgdiftantiam fic ignis potuit accendi,qux fi ad complendam unam planam
luperficiem coiunxerat.nan poterat,ut ex prarmiflis patere poteft, intentionem fuam
aliter coniequi ,quim ficut ex uno fpcculo plano, quoniam ut prajdidam cft tres fu*
perficies hexagona: replent pundum unum, quia angulus quilibet hexagoni ualet duas
tertias duoru redorum,& tres anguli hexagoni ualent quatuor redos, concurrentes er
go tales tres anguli nullum uacuum dimittunt.nihil cft ergo quod pundum fui cocur-
lus diftingat i natura plana: fiiperficiei di unius.quod fi idem hexagoni taliter adinuice
inclinentur,ut ab una lphara fiant circanfcriptibiles,tunc ad centrum illius fphaerar fiet
reflexio omnium radiorum perpendiculariter ab uno pErdo illis fuperfidebus incidcn
tium,&: augebitur uigor caliaitatis,unde tale fpeculum melius poflet ex trigonis quam
hexagonis componi .quoniam numero fiipcrficferum numerabuntur radij & Uirtus au
gcbitur caloris.hoc tame quia facilia funt ut ducimus , profequenda ipfam relinquente*
artificis tnduftrium animarum.

LIBER SEXTVS

PERSPECTIVAE VITELLIONIS.

Battus quo potuimus fpeculonim planorum pafllonibus percurlis , fuper
it nunc ut ad aliorum fpeculonim pafliones proprias diuertamus,6E quia
iccula conuexa funt fimpliciora concauis,quonia quaedam paflionu (pe*
alorum conuexorum defeendunt in concaua,ut in illa.quorum pafliones
ropriediuerfimodeuariantur.conuenit ut primo tradatum fpeculonim
s praetnittamus.Sed quia inter fpecula conuexa.quoru quada funt (pha>
rica,cju3edam columnarfa.currdapyramidalia.ipfa fpecula fphxrica funt alijs fimplicio
ra .pafliones em &caufie reflexionum fpeculoriinri fphaericorum conuexoru defcendQt
In fpecula columnaria di pyramidalia conuexa,cu in illis ab aliqu/buspundfs fliororm
cf rculonim accidit fieri reflexionem, ficut di pafliones fpeculonim planoru defccnduf in
«dem fpecula columnaria SEpyramidalia, quando ab aliquo pondo alicuius linearum

N longitu*

PERSPECTIVAE VITELIIONIS
longitudinis illorum ipeculoru ad nilum fit reflexio. Poft tractata ergo planorft fpe
eidorum de ipcculis fpharricis coucxis, ut de fimplicioribus omnibus altjs dC concauis
ipcculis .pfequi dignG uiiurn eft. Qua: i tacp ad fpccuiom (phxricorum ,ppnas paifio*
nes ,pfequendas,pmittt mus fimr ifta. Maius ipeculu fpliarricum conuexu uel cocaufl
dicimus, cuius /piurrar diameter eft maior. Si minus cuius minor . Diamerru ipeculi
rpli^ridjdicimusdiametrufpliaa-aecutusporttoeftipeculu . Centiu fpeculi dicimus
centrum fpharra: cuius portio cft fpeculu. Diametruuifualemdicimuslincai centro
uifiis per centru Ipeculi fphocrici trafeunte,& eadem dicitur kathetus reflexionis. Li-
neam redam a«quediftare fpeculo iphacrico conuexo dicimus,qua: fecundu eius pundu
medium arquedillac line* alique arcu circuli magni illius ipeculi fecundu medium eius
pundu contingenti. Finis contingentiac,dicitur pundus ubi alter kathetoru fecat U
neam in pundo reflexionis Ipecul um contingentem. Metam locorum imaginum, dl
cimus punctum uel lineam ultra quam imagines non uidentur.

Communem fecfcionc fuperficiei reflexionis & fuperficiei fpeculi fpharri
cicouexi,neceire cft circulumagnu uel arcum circuli magni fpharrae ede; ex
quo pacet cp ols fuperficies reflexionis diuidit fphtera fpeculi g aequalia.

Quoniam enim ut patet in principio y.huius,(upcrffeies reflexionis dicit fopffcies
coti nens linea incidenti* & 1 i nca reflexionis & perpendiculare a' pundo contingenti*
producta faper fiuperficicm (pharricu ipeculu fn puntflo incidentia: cotingenrem.Quar
omes line* red* iunt, patet quod lupficies reflexiois cft fuperficies plana. Omne aut
(pcculu fphaericum conuexum.aut fpharra eft, aut pars fpharra:, ut pa tet p 7.quinti, ergo
per 69. primi huius, fi fuperficies reflexionis fecpt fpcaiiu,iplbpr comunisfedio necefla
rio erit circulus uel pars circuli ,& quoni3 perpendiculares funt (uperficies fphanas con
tingentesmeceflario tranfeunt g centrum fphaerst,ut oftendi poteu per 7i.primi huius,
& per diffinitione lineae ppendicularis luper luperficie fpharra: polita in principio pri*
mi huius,psrtet quod omnis luperfides reflexionis tranfi t centru fpeculi, eft ergo illa co
munis fedio circulus magnus ud arcus circuli magni (phae* x illius ipeculi ,p diffinitio*
nem rircidi magni A hoc eft,ppofitum,patetetia correlariu.quia cu ois fupfic/es refle-
xionis tr5feat per centru ipeculi.patet manifcfte,qm ipfa diuidit ipharra ipeculi p «equa
Ira,& hoc ^ponebatur. 1 1 .

A centro uifus ad luperficie fpeculi fphcerici couexi ducta contingens cir
ca fixam uifualem diametru arqualitermota portionem fuperficiei fpcculi
determinat,;» cuius punctis fiet formarum reflexio ad uifum .

Sit centmm uiiiis pundus a,& comunis fedio fuperficiei reflexionis & iupficiei fpe
culi Ipharrici conuexi Iit circulus b c d k, cuius centru fit e,& i pundo a ducat per 6. ter*

c 1 -tt rii»Iinca contingens circula in pundum

F d qua: fit a d, ducatur St diameter uifua*
"xs lis quae fit a c.fecSs periferia circuli b cd
^ / \ jA in pudo c,dico quod fi diameter a e ma*

_ / \ \ nente fixa linea cotingensq eft ad, ima

~ . . ‘ 1 'C K g , netur arqualiter moucri iup periferia

"" \ j ipeculi , leruans femp arqualitacc anguli

V y cad,quoufcpredeatad.locuundeexiuit,

Qi ipfa motu fuo fecundu pundum d,de»
“^~'--~_^lcribet circulu determinante portionem
fpeculi fpharrici co uexi,i qua fit reflexio
omnium formare ad uifum exiftente in pudo a, ab illa parte alia fpeculi fuperficiei a qua
non fit reflexio, producatur em linea a d ultra pudum contingenti* d ad pundu £& du
catur linea c d,q producatur extra ipeculum ultra punda d uiq? ad pundu g, erOtergo
pex 17, tertij, anguli omnes ad pundu d redi,omnes ergo pundi in linea d f conflanti

LIBER. S EXTW . l+z

ufdebun t dfrede,idco quia linea a f manens una no refrangic i pudo d , quia tamc ea-
dem linea cotingit fpcculu,indpiut pGda linea: d f, aliquid participare naturae reflexio
nis,undeuidcbutur3 pundo d,rcfledi focundu lineam da ad uifum a, per zo. quinti hu
ius,quonia angulus incidenti* qui eft f d g, eft arqualis angulo reflexiois, qui eftg d a,
dico etia q> a nullo pudo arcus d k b poteft fleri reflexio ad uifum a. Si enim fit hoc pof
fibile,efto quod a pundo h arcus dhb,ffat re flexio forma: alicirius pueli ad uifum exi-
ftente in pOdo a, & ducat linea reflexionis ad uifum a,q fit h a, hoc ergo no poteft: traf*
ire (olidum corpus fpeculi, fcilicct arcus drculi b c d fecando.tranfibit ergo extra circu-
Ium,quia itacp angulus contingenti* qui efthdf eft indiuifibilis,pcr i y. ter nj, patet q>
illa linea reflexionis qu* eft h a, no tranfibit pundO d , fecabit ergo linea d g,fit ut fecec
iplam in pudo I,& quia linea reflexionis qua: eft h a no focat angulu h d f, palam cu no
, (ecet arcu h d,quod fecat linea d fjfit ut fece t ipfam in pundo m.Si ergo linea h m i pun
do m,perueniat ad pundu a,pate t q> du* reda: qu* ftmt m Ia & m d a includunt fuper
fidem, quod eft impofllbilejuel deducatur , fit trigoni d 1 m, angulus m d I redus.ergo
angulus d 1 m per 3 z.primi,eft acutus,ergo g \ 3 .primi, angulus a 1 d eft obtutus . Sed
angulus a d I eft redus,quia angulus a d e eft redus,ergo g iq.primi huius,c5 linea e g
cadat ftig ambas lineas a d & h a,& fadat angulos pnedido modo difpofitos , patet qcr
line* h 1 a & d a ad illam partem concurrent,ad quam funt anguli minores,non ergo re
fiedftur forma aliqua 3 pundo h ad pundum a,quod eft oppolitudati, patet ergo pro-
pofitum,quoniam quocuqp pundo arcus d k b dato, eodem modo poteft fieri dedudio.

III.

Oppofito uifui fpeculo fpharrico couexo,ita uc uifus non fit in fuperficic
illius fpeculi aut fuperficie ei continua,erit comunis fetfirio bafis pyramidis
ui fionis di fuperficiei (peculi circulus minor magno drculo fphecra fpeculi p
aequalia fecante.

Opponatur uifui fpeculu (phsericS taliter ut uifus no fit in fuperficie illius fpeculi e»
cotinua,dico q> pars fpeculi 3 uifu coprehenfa erit pars fph*r* drculo inclufa,que effi-
cit motu fuo radius cotingens fugficiem fph*r*,quia em ut patet g 1 6.tertrj huius, lon
gior radius adfph*r* fuperficie cotingens quafi linea fpeculu cotingenaeft.Si ille radi
us imaginet g gyru,moueri attingendo fph*ra,donec redeat ad pundu primu, 3 ^ funi
pfit motus principi5,pala per pr*miflam,quia pudus contingenti* in fph*r* fiigficie
circula deferibet , hic uero circulus minor erit circulo magno illius fph*rar,qrh fi intellis
gant fugficiesfocantesfefugdiamerrufphxr* tranfeuntes polos pdidi circuli &fphae
ram g *qualia fccantes, patet qcP o es illi circuli cotingentes lineas habet illas q iixnt lis»
ne* longitudinis pyramidis uifiois,ergo g 5- 8. prini i huius,quilibet arcuii continuu ipfi
fiigficiei fph*r*,& his fugficiebus planis focantibus fph*ris,erit minor femicirculo cir*
culi magni. Verbi gratia fit g 69. primi huius,circul9 q eft comunis fodio fugficiei fph*
r* ct fugficiei plan* tranfeutis g uifum a, extra fph*ra exiftente,& g centru fph*r* qd
fit b,drculus c s d, cuius centru fit b,fit'cg polus drculi intelledi focundu quem bafis py-
ramidis uifiois fecat fuperficie fpeculi pudus.fod ,pducaf b a femidiamccer ad uifum a,
& fit linea b s a,& i pudo 3,cctro utflis ducat linea cotingens circulu,q fit a c,6 i a pudo
cotingetias q eft c , ducat ad centru b, linea c b,dico q<? arcus c s eft minor quarta cir
culi magni, angulus em bea eft redusg i7.terti|, angulus ergo cba
eft acutus, qa no poflimt efle duo redi fn eode trigono a b c,g 3 z .pri-
mi,huc itacg angulu in centro exiftente refpiciat arcus c g.pala ergo g
ultima fexti,qm ipfe minor eft q; quarta circuli , & quia ide accidit in /
oibus pudis imaginatoju drculop: minop,qm quilibet arcuCE illojk cir l 1

culoru eft minor cfj quarta drculi magni ,ergo circulus terminans ui* \. I ^

fam eft minor circulo magno fph*r* ,ppofit*,et hoc eft q3 jpponeba
tur .tenet auth*cdemoftratio in uno uifu tifi,uel in ambob? uifibus,
dum modo diameter fpeculi fphaerici fit maior diftatia oculor , qm iftis exiftentibus
aequalibus drculus maior fphaene erit circulus ,ppofit*fedioms,& medicus fph*r* ui

N % debitur.

PHRSPBCTIVAB . VITELLIONIJ
deb/tur. Si uero di flantia oculoru fit maior diametro fpeculi, plus medietate fpfmar u i»
debi curA erit comunis fedio circulus minor, uc h»c /ixnt demonftrata in quarto huius.

1 1 1 1.

In (peculrs fpharrtcis couexis fecundu accelTum uifuum ad fpecula circulo
rum uifum rerm/nantitOTi quantitas minuitur,adreccfrum uero augetur.

Efto em fpeculamfphaericu conucxO.cuiiis centrum b,& fit centra uffu* a , fitfcj} cir
culus terminans uifum in fugflcie fpeculi cjcgh r,dico quod leo indu acccfium & recefx
fumuifufia' fpcculis dJornm circulojt quatitas mutaf, diminuitur em fecun
dum acceflum,et auget lecudumreceflinn. Sic eiu comunis fedio fugficid
reflexionis di fpeculi drculus edef cuius arcusc d e, fit eredus fug circu-
lum cg h c,ui(am parte fpeculi cotinente,fitcj{ ipfius arcus ede medius pun
dus d,& ducantur linea; a c, ad b,cb,a e,erit'q,- g 1 7.tertij,angulus a c b, re
das, accedat ergo uiius fecundu linea a b ad pundfi k.Si ergo uifiis termix
natur ad eundem circulum c g h e,ut prius.ducat linea k c,& qm per 1 6 , fe
eundi huius, longior radius i uifu ad fpharra contingens quafi linea contin
gens eft, patet g 1 7. ternj,qm angulus 1 k c b eft redus, Sed &angulus a c b
fuit redus, eft ergo redus minor redo,quod eft fmpoflibile.Exiftcte ergo
uifu in pundo 1 k,no terminabit uifio ad circulu cg h e,fed ad alique ciraix
Ium iplb circulo c g h e minorc,quta em inter duas lineas cotingentes drx
culum qfunta cfii’ a e,ab uno pudoa,dudas a pundo k, ducunt ali» duas
li neat eunde circufu cotingen tes,pala ergo g 60 .pi imi huius,qd' puda con
tingentiarinterioiucadcnt intra punda cotingenu» ex ter i 0{e,m inore er-
go arcu drculi coprehendent lineat ,ppinquiores c£ remotiores , patet ergo
,ppoficum. v. ♦

A quolibet pundo fuperficiei fpeculi fphajrici conuexi oppo
fitae u i fu i, pote II fieri reflexio ad uifum.

Efto dilpofiuo eadem q in tertia huius,dico q> 1 quolibet pundo por-
tionis oppfitae trffuf i quolibet pundo arcus e s,8i omniu fibi fimiliu arcuu
poteft fieri reflexio ad uifum,fignetur ein aliquis pudus arcus e s,qui fit d,fiC ducat femi
diameterdb,pal5per 7*. primi huius,qib linea d beft perpcndiailaris fug fuperficiem
plana contingentem fpeculum in pundo d,cu iracg fornix pundi rei uifar pundod inci
dunqpalam per 2 y. quinti huius,quia linea reflexionis erit in eadem fuperficic cu femi-
diametro d b,& cu katheto a b,orrhogonalirer cadente fuper fuperficiem fpeculi, eo qd*
tranfear per centrum eius b, Si ducatur a pundo d, linea cotingens circulu c d s, per 1 6,
tertq , q fit linea hdk, erit ergo per 17.
terdj, angulus b d k redus .erit ergo tri
A goni d b a.angulus a d b obtufus.bi erx
go,pducatur linea bd extra fph»ram
ad pundum fuerit per 1 3 .primi, a ngu-
lus f d a acutus, ideo q> angulus b d a fic
obtufus.ut patet ex prceinilJfs,& g 2 1.
primi ,8i etiam ex hoc, quia cum linea
a d cadat intra line5 a c fpeculfi contingente,pa!a per 5-7. primi huius,quia linea a d^pdu
da fecabit fphaera fpeculi,& fugficies cotingens fphacra in pudo d.in qua fint line» h k,
e g,decliuior erit cjj linea a d,fecabit'cg linea a b quia femidiameter b d eft perpendu u
laris fug fugflcie b k,eg.fpeculu in pudo d c5tingentc, erut anguli f d k 8i f d,d h,b h re
di, ergo cria erit angui? bd k redus, angulus 8cp b d a maior redo,8i angulus f daml
norredo.refccato ergo abangulo redo q eft r dh,angulu acuru»quale angulo f da,
per 17. primi huius,q fit mdfierutcp line* cotinentes hos angulos in cade fuperficic,
pudus ergo rei uif» exiftens in linea m &,&i fupcrficici fpeculi incidens ad pundfi d, » c
fledef ad uifum per linea da, per 1 i.ucl 2o.qumtihiiius,cotinent em line»md Siad,
tngulos aequales cupcrpedicularib fj&Iine» ili» incidcux.dt reflexionisut oftcnfum

fuit

UBER SEXTVS. /4j

fckper tr.quintihufus,erutincadem iuperficie qerkdiperfTeiVsreflcxio/semfla/uper
iuperfleiem fphartam ipeculi in pundo tfcontingcntenr.&code modo demonftrabi-
tur dc quolibet pudo arcus e s, di cuiuslibet arais iui fimilis,hoccft de tota portione fpe
culi uiiui oppofira, quoniam de quolibet dato pundo poteft: eodem modo demoftra ri;
patet ergo, quoniam i quolibet pundo fupffcici lpcculi fphxrici conuexi oppofitae uiiui
poteft fieri reflexio ad uifum Gcuc proponebatur .

v i.

In omni fuperficie reflexionis a fpeculis fphxricis conuexis centru uifus
& centru fpeculi,pun<fiu reflexiois &pundu('rcflexuc6fiftcre eft neccffetex
quo patet linea a centro uifus ad centrum fpeculi prod udam omnibus fu*
perfidebus fedionum fecundum diuerfapundafpeculahuiufinodifecan#
lium communem efle.

Hoc patet p ij-. quintihufus,tn orni emiugfide reflexionis ncccflario funt linea in
cidentiar 8( linea reflexionis.har aut linea: continent tria punda.f.pundu reflexum, 8C
pundu reflexionis,fiC centru uiius,6d quia quaelibet illaji: fuperficicp: eft ereda fup iup*
ficiem focculi,3 quo fit reflexio,crurit linea: in ipia ,pduda: quee iunt ereda: iuper iuper
ficiem ipeculi centrum ipeculi rranfeuntes per 72. primi huius, manifefhim ergo quia
qua: libet illaR: iuperficiejk tranfit centrum fphetre. In qualibet ergo fuperfidejt reflexi-
onis funt praenominata 4.pundacorpop:quorumliber,ex his patet quia aim fuperfi*
cicrum pia non; feinterfecantium comun/s fedio fit linea reda, ut patet per 3 .undeci-
mi,! ftarum fuperficieRt neceflario c5munis fedio erit linea i centro uifus ad centru fpe«
culi,pduda,quoniam ahjs duobus pundis uariatis fecundu numep: fuperficieR! reflexi-
oni ^lirrc duo punda. f. centrum uifus 3C centrum fpeculi in talibus iuperffcabus femg
manent,paretergo propofitum. V 1 1.

Omnislineareflexionis pneter lineas contingentes fecat circulum, qui
«fi: communis fedio fuperficiei reflexionis, & fupcrficici fpeculi fphaerici co
uexi in duobus tantum pundis,in pundo uideiicct reflcxionisSCinpun-
do alio portionis fuperficiei fpeculi non apparentes.

Sit comunfs fedio (iiperficiei fpeculi fphttrici conuexf,& fuperficiei reflexionis cir
colus a b c d, cuius centru fit pundu fit centrum uifus e i quo ducantur linea: con-

tingentes illu circula q fint e a &e c,pal3 ergo per 2. .huius, qm i toto arcu a b c, fltrefle
xio ad uiium,fit ergo ut i pondo b, ad* eft inter pun
da a flCc.fiat reflexio ad uifum e, & fit linea reflexio#
nis b e.dico quod linea e b, pduda ultra 'pundu b,ie* z'
cabit circula a b c, in aliquopundo arcus Ipeculi non / \

apparentis quod fit d, ducat ein diameter uifualisefB

g h.diuidens circulum per aqualia in duos femicircu- V jg

los qui funt f c h,6C f a h.oftenfum eft aut per j-7. pri- 's? / ^ . — - — '

tni huius ,qm ab uno pundo datum femicirailum tra
un5 linea contingente duci eft impoflibile,&: cooften-
(iim ibi eft quod omnis linea ab eodem pundo fub

linea cotingente duda fecat femicirculu in pundo uno fup er pundu contingentia: &
in alio fub ipfo,patet ergo cu a pundo e, ducatur linea cc, circula contingens, & abeo*
dem pundo e ducat fnb linea contingente linea e b,qm linea e b, fecat femicircul ufeh,
in ono pundo fuper illu pundu contingendae qui lit d,& in alio pundo b,fub illo pun-
do c.qui eft terminus portionis arcus apparentis uifui,pundus ergo d cadit in porrfo-
necda,non apparente uiiui,quod eft propofitum. Eodem ergo modo de quolibet
pundo arcus a f, poteft demonftrari, patet ergo quod proponebatur.

VIII.

In omni reflexione a fpeculisfphericisconucxis linea £ centro fpeculiad

N } pundum

PERSPECTIVAE VITEtLIONIS

punftum reflexionis duda,diuidit angulum i linris incidentia: & reflexio»
nis contentum per duo arqualia.

Sit centrum nilus a,& pundus rei nific per reflexionem i fpcculo.ppofito flt b, ficq*
comunts fedio lugflciei re flexionis di fpeculi circulus c d e, cuius centru fi t f, & refledat
forma pundi b,aduifuma,a pundo fpeculi d,& ducatur linea df, dico quod linea f d,
produda extra circulu ad pundom g,diuidit angalum a d b per arqualia.
iu ut angulus a d g,fit aequalis angulo g d b,ducatur tm linea contingens
circulum cde,in pundo d, per i<5.tertrj,qux fit h k.crunt ergo per 17, ter-
trj,anguli f d k,& f a h redi,crgo per 1 3 .primi,anguli g d Ic di g d h funt re
di & arquaks. Sed angulusbd k, cum fit angulus incidenti*, eft per 10.
quinti huius,arqlis angulo ad h,q eft angulus reflexiois.remanetergo an
'^‘gulusadg, ecqualis angulo gdbjinca ergo f d, produda i centro ipecu»
li ad pundom reflexionis quod eft d, diuidit angulum a d b,pcr arqualia,
patet ergo propoli tum,

IX.

In conuexfs fpeculisfpliarrkisomncmlirream reflexionis cum katheto
incidctia: ab eode puefio ad centru fpeculi produdu,cocurrere eft necefle.

Efto comunis fedio iuperficici rcflexionis& conucxi fpeculi fpherici circulus g d,
cuius centrum fitz,& fit centru uifus pundu b,pundus'cj3 rei uifk Iit a,rcllcclaturty for
ma pundi a,ad centru uifos b,a pundo fpeculi d,& fit linea reflexionisd b, linea quoqj
incidenti* fit a d,ducac itaqj linea i pundo dato a, ad centrum fpeculi z,
A qu* fit kathetus a z,fccans fuperfitiem fpeaili in pundo g,& copuletur lu
f nca d z,&! producatur b d,intra fpeculu donec conairrat cu linea a z, con*
curret aut per 29. primi huius,qm em linea b d)(pduda lecat angulumad
_ z,ut patet g pcedentcm & per 1 r .primi,ergo fecabit &bafem azJit itacp
~ pundus concurius c,eft aut linea a z, kathetus incidenti* pundi a,uc pa-
tet g diffinitione kathcti,3i per 7 i.primi huius, patet ergo propofitG.qin
linea reflexionis coairrct cu katheto inddenti*. Quod aut hic de cocurfu
line* inddenti* cu katheto incidenti* demonftrauimus.hoc adiunximus
jppter 3 7,qu/nti huius, featndu crh utracp illaiv Iincajv eft neceflarium fieri
uifionem.qih fecundu illam reflexionis forma refledit ad uiliim, fecundum kathe*
tum incidenti* refpicit res /pfum ipeculum, a cuius iuper ficte forma reiuifx refledit
ad uiium. X.

Centro uifus polito in katheto incideti* fuper fpeculu fphzericu couexu
incidente, ab uno tantu pundo fpeculi fiet reflexio, SCuidehitur imago in
fuperficie fpeculi in ipfo.f.pundo reflexionis,nifi forte propter continuitas
tem fui cum punctis alrjs form* uifx ad aliu locum imaginis protrahatur.

Oftcnfum eft per 3 3 .quinti huius,qm omnis gpendicularisrencdit in le/pfam, nec
aiit oftendemus quod hic .pponit, Sit ergo g centru uifus 8i d centru fpeculi propofi-
tffitcg g k,z d,kathetus inddenti* dudus i centro uifus ad fpeculu fccans fuperficiem
oculi in pundo k,& incidens fugffciei fpeculi in pun*
do z,dico quod lolius pudi r forma reneditur ad uu
fum.qrh de alijs pud/s line* d g,quibufcucp da tis, qua
tnm adipfojt reflexionem eodem modo demo nftran*
dum, ut in 3 z.quinti huius, lednecp aliquod pundum
huiusline* refledit ab alio pudo fpeculi, dato enim
quod ab alio pudo fiat reflexio, fit illud aliud pndum
a,& ducaf linea g a, qu* fit linea reflexion/s,ducatur
linea incidenti* ad pundu a, ab illo pundo line*
gd,cuttu forma i puelo a refledit, q fit x, hxc ergo linea x a, continebit angulu culi--

UBER. SEXTVS. «44

nea ga.qui fit x a g,& ducatur diameter d a,h»cergo extra circuli! producta neceflario
diuidet angulum x a g,per aequalia per g ,huius,co qd* ueniens i centro ipeculi & ad iftfl
pundu reflexionis elt ppendicularis fag ipfum.concurret ergo diameter d a, cum per-
pendiculari g d, inter pundu x reflexum,a pundfi g centrum uifus; (intergo du» li-
ne» reda?, qua? fune x d& d a, in duobus pundis concurrent & fugficfem continebunt,
quod eft impoflIbile,patet ergo^ppofitu.qin ab uno tm pondo fpeculi reflexionem fie-
ri eft necefle,ergo & una tantuuidebit imago,& quia loeu ipfius nulla lineae inferie-
dio determinatjOt patet per 3 7.quintihuius,palam £jd illaimagouidetin proprio lo-
co fuo.hoc aut eft in (uperficie iplius ipeculi in pundo .f. reflexionis, nili forte propter
continuitatem (ilicum pundis alijs formae natui alis uiiie ad locum alium imaginis
pro traha tur,patet ergo propofitum.

Locum imaginis uifac in fpcculis fphaericts conuexis in cocurfu lineae re*
flexionis cum katheto incidentia: necefleeft e fle : ex quo patet, quod in o<=
mni reflexioneab his fpeculis fada, femper imago totius rei uifa? contine*
tur in aliqua linea inter loca imaginum fuorum extremorum puneftorum
^dudarpatet etia quod in his fpcculis poflibile eft loeu imaginis inueniri.

Quod linea reflexionis concurrat cQ katheto incidenti», patet per 9. huius,poteft
& idem demonftrari aliter .Sit em pundus rei uifie a, centra oculi b, pundus reflexio-
nis g,cenrru fpeculi n,pal5 itacp per zj-, quinti Imius, quod a g.linea incidentia?, g b li-
nea reflexionis funt in eade iiigficie ereda fog iiiperflciem fpeculum in pundo g,con-
tingente : linea itacp comunis fupcrficiei reflexionis,6C fiigfldei fpeculi,(it cirailus z g
q,& linea comunis fugficici contingenti fpeculu in pundo g,QC fuperficiei reflexionis
fit linea e g p,ducatur'q; linea h g, perpendicularis fug lineam g pe, g
1 1. primi. Si patet per 18. terti}, quod linea hg prodnda pertinget ad
centrum drculiz g q,qui cu fit circulus magnuqut patet per primam
huius,paJam qd* centru eius eft centram ipfius fpeculi, traniir ergo li-
nea h g,produda ultra pundu g, per centram fpeculi quod eft n, aliter
em linea i centro ipeculi ad pundu g duda,erit etia ppendicularis fug
lineam p g e,Qi linea h g„pduda eft ppendicularis iiig eandem, abeode
ergo pundo ad eundem pundu linea? reda? continget duas perpendi
culares fug unam lineam quod eft impoflibile, pertinget ergo linea h
g,ad pundum n, ducat ergo linea a n>2 pundo uiib ad centrum ipecu-
li,erii'cp linea a n,per 71. primi huius, ppendicularis fuper fuperfleiem
fpeculi, ergo Si foper fiiperffcicm contingente fpeculu in pundo illo R
qua tranfit>& quia inter duas lineas h g & p g,angulu redum continenres cadit linea b
g, palam quia ipia non contingit circulu z g q.ipia ergo ,pduda iecat circulu, cocurr ef
ergo cfi linea an.lit ut concurrat in pundo d,cfi itam ut patet per 6. huius, pundum a,
cuius forma i pundo fpeculi g refleditur,&! centrD fpeculi quod eft n, neceflario fint in
eadem (uperfirie,erit ergo per prim5undecimi,linea a n,in eadem fuperff ciccum linea
b g.pala ergo per 3 7 .quinti huius,quia pundus d erit locus i maginis, qm ipfe eft pun-
dus comunis linea? reflexionis,inqua neceflario eft forma Si linea? an, qua? eft kathe-
liis incidentis formae pundi a,fecundum quam ut fecundum lineam breuiorem neccfla
rio uidetur forma, patet ergo principaliter ^ppofitu per 3 7.quinti huius. Si per hoc pa-
tet corrolariu,qa in omni reflexione i fpeculis fphcericis conuexis foda, iemper ima-
go totius reiuii» continet in aliqua linea inter loca imaginum foojt ex tremo?: pundo
rum ,pduda,qm katheti incidenti» pundo?: medio?: cadunt femper inter kathetos in*
cidentia? pundo?: extremo?; .necem katheti incidenti» ab aliquo illo?; pundo?; extre
morum ,pdudi ad centrum fpeculi focare poflunt alique ka thetum incidenti» pundo??
extremo?;, patet cti2 quod in his fpeculis cuiufcancp pundi rei uii» poflibile eft locum
imaginis innexuri; ,pduda cm linea reda i pundo quocunqj uiib per reflexionem ad

centrum

PERSPECTIVAE TITELLIONIS
centrum fpeculf ,& produda linea reflexionis ad concurfum eu linea, erit pundui co-
ni unis iedionis illarum linearum femper locus imaginis, & hoc proponebatur,

XII,

Kathetum incidenti* linea reflexionis £ circulo,qui eft communis fedio
foperficiei reflexionis, K fpeculi fpharrici couexi fecante,# d pundo reflexu
pnis dudaereda illum circulum contingente quae fecet kathetum, eritto*
tiuskathetipropordoadinferiorempartemfui refedam uerfus centrum,
ficut partis extrinfecus refcdhe per cotingentem ad eam parte qu«c utrafeji
intenacet fcdiones.

Man eat dilpofitio figurat prarcedentis,dico quod ,p portio totius linea: a n, ad line!
n d.eft fleut proportio linea: a d, ad ed, quia em angulus b e h, squalis eft angulo h ga
per 8. huius, angulus uero bgh,arqualis eft angulo dgn.per ijvpri*
mi,qufa funt anguli contra le pofiti,patet qued angulus h g a squalis
eftangulo dg n,&quiaangulinge,8<:hge fiintredi.per i7.terrij,
' idc.o quodjlinea e g.cil perpendicularis fuper lineam li g n .patet quod
aqualibus angulis ab his hinc inde demptis emnt anguli a g c & d g e
aquafes.SC quia in trigono a g d,linea d e, angulum a g d, per aqualia
-P (ecat, palam ex 3 ,fexti,quia ,p portio linea a e, ad lineam cd, eft ficut
linea a g,ad lineam d g,,p trahatur itacg i pondo a, linea aquediftans
Iineadg,per 3 i.primi,concurrensculineahn,in pundo h, qua fich
a, concurrent aut illa linea per x. primi huius,erit ergo per 29. primr,
angulus ngd, aqualis angulo gha.fed ex pramiflis patet, quod an*
galu3ngd,aequaliseft angulo a g h.eft ergo angulus a g h, aqualis
angulo a hg.ergo per 6. primi .erit latus a g, axjuale lateri a h, ergo 'g
T-qoinri.erit ,p portio linea a g,ad g d,ficut linea a h,ad g d,fed ^por-
tio linea a h ad g d,cft ficut ,p portio linea a n ad da.g 29.primi,&E4
Ibcti.qa ergo q uportio linea a h ad d g, eadem eft linea a n.ad d n^p
portio Sero lineae a h ,uel a g ad a g,ut patet exj5miflis,eft ficur,pportio lineae a c,ad e d
ergog 1 1 . quinti.eft ,p portio linea a n, ad a d.ucut linea a e ade d.quodeft propofitu,
quoniam linea e d,utraicp interiacet fediones,

XIII.

In omni fpeculo fphterico conuexo linea reda interiacens centrum fpecu
li,& locum imaginis maioreftreda interiacente locum imaginis di pun*
dum reflexionis.

Sit difpofirio quemadmodu in praccdente.dico quod linea n d, eft maior linea d
g,(ecet emlinea p g e,lineam a n,in pundo e, palam quod pundu e.dicitur finis corin
gcntia,utpatetex principrjs libri huius, fiC quia per pcedentemeft ^portio linea an,
ad Uncam n d.ficot linea a e, ad lineam e d, ^portio uero linea a e,ad e d, per 3 .iexti.eft
ficut proportiolinea.ag.ad gd^m praoftenfum eft lineae g,diuidit angulum a g d,jj
aqualia,eftergo j)portiolineaan,adnd,ficut linea ag, ad lineam gd,pcr 1 1. quinti,
ergo per 16. quinti, erit permutarim ^portio linea a n.ad a g.ficut linea d n,ad d g, icd
per 1 5>.primi,linea a n eft maior cjj a g,ideo quod angulus a g n,eft obtufus»cu fit maior
angulo ngc.tedOiCrgo linea nd,eft maior c|» linea dg,& quia per / 1. huius, pundusd^
eftlocus imaginis,patet quod linea n d^nteiiacens centrum fpeculi, di locum imagi.*
triJ eft maior linea d g,interiacentebcum imaginis & pundu reflexionis quod eft g,pa
tetergo^pofitu. xiiih-

Dudo katheto incidenti* ad centrum circuli,qui eft communis fedio
fupreficiei reflexionis & fuperficiei fpeoili fphzerid conuexi,duda quocg 82
linea in puncto reflexionis eundem circulum contingente, pars kathetiin*

tenaces

LIBER. {EXT VS< I4T

Teriaccns finem contingenti* & circumferentiam circuli femidiametro eruf
dem circuli eft minor.

Remaneat omnino diipofitio qu* fupra, & quiajpundtns e eft finis cotingen tiae.in
terfccet linea a n .circumferendam circuli in puncto i, dico quod linea e f, eft minor fe*
midiametro circuli,qui eft f n.qrn ein ut patet ex pmiffis in proximo theoremate pro-
portio linea: a g, ad gd,eft ficut ,p portio lineae a c ad e d,& proportio linea: a n ad d n.
eft ficut line* a d ad a g.igitur per i r .quinti, erit .pportio line* a n ad d n, ficut lineae a
e,ad ed,ergo per 1 6.quintf,ertt permuta tim ,pportio lineae a n ad ae.ficut d n ad d c,fed
linea a n eft maior qj linea a e.qm totQ eft maius fua parte, ergo linea d n,eft maior cjj li
nea d e,erit ergo linea d n,multo maior linea f c,qoae eft pars ipfius d e, multo magis
ergo linea n f erit maior cjj linea f e,quod eft propolitum.

XV.

Line* reflexionis form* eiufdem puntfti a diuerfis pundtis fpeculi fphte
lici conuexi non funt *quediftantes: attamen in centro unius uifus non co
currunt, ex quo patet qudd unusuifusnon poteft uidere idolum eiufdem
form* reflexum i diuerfis punftis eiufdem fpeculi fphcerici conuexi.

PERSPECTIVAE V I TEI, L IO N I S

dei portionis fuperffciei fpeculi uifui oppofita„pducatur'cp linea reflexionis a g, qtrte
producto ultra pundum g, fccabit per 9. huius, perpendicularem b n, fecctcrgo illam
in pundo q,qmpundusq,ut patet per 1 1 .huius, eft locus imagi
nis.palam itacp per <5. huius, quia punto a nb,(imtin eadem fu-
perfide orthogonali fuper lupcrficiem fpcculi,& quia fuperfleie**
credait fuper fp haram fpeculi in quibus fu nt punto b « n, nui-
la extendi poteft ad pundum a, quod eft centrG uifus,nifi una tii},
qmpuntosa.eftindiuilibilis.quiad luperficies fe circaipfum
ud lineam in qua eft, non (ecantes c5 munis efle non poteft, tunc
palam quia punto a & b,(iint tantum in una fupcrficic ereda fu
per fpharram fpeculi,& non in pluribus,n5 ergo fiet reflexio piip
di b,ad uiTitm a,nifi in circulo iphara qui eft cbmunisiedio fo-
perficici fpeculi,& fupcrffdei a nb-Sitcrgo hic drculusd ge, di-
co quod a nollo pundo huius circuli d g e.practer qua i (blcrpum
do qcf jppofirum eft efle g.fiet reflexio Forma pundi b adaperi»
trumuims.Siem fitpoftmile fieri ab alio pundo cirtulidge,cpJi

Eunto g.fir ille datuspudus 1, in quo kathetus incidetiac qui eft
n.fecat fuperficiem fpeculi.cum itaqj linea b n.fit perpendicula-
r is fuper (iiperficiem fpccuIi.SC linea a I,no fit perpendicularisfij
per illam,quia non tranfit centrum fpcculi quod eft n,8i formale
eundum lineam perpcdicularem ueniens ncccflario lecundu per
pendiailarcm rc fledatur, quoniam iemper angulus incidentia eft aqua lis angulo refle
scionis, pafam quia non renedi tur forma punch' b,ad uiiiim a, i pundo 1, paiam etiam
quod non : efledetur ab aliquo pundo arcus 1 e.hoc em eft impollibile qcf ad quodeuep
pundum illius arcus ducatur linea i pundo b.tenebit cum linea cotingente circulum
in pundo illo angulum obtufum ex parte e.Ideo era quod angulus contentusfub dia-
metro ctrculijSt linea in illo pundo circulum contingente eft redus per / 7-tertij, di il»
Jalemidiametereduto non peruenit ad pundum b,qm ibi peruenit femidiameter nl,
erit ergo angulus contentus iub linea duda i pundo b, & lub illa linea contingente ex
parte pundi b,neccflario obtufns.flc linea duda i pundo a,tenebir cum illa linea con-
tingente in pundo dato angulum acutum uerfus Uinea em i centro fpeculi ad pundd
illum contin gentia penieniens tenebit cum linea contingente circulum in illo pundo
angulum redum per 17- terti), i pundo ucro a linea uenienscumeadem cotingentejte-
ncbit angulum minorem redo ex parte pundi l,hocem contingens ipudo a.duci no
poteft ,q<f' patet per 5-7. primi huius.qm linea a c, fuperficiem fpeculi eft contingensex
hv pothefi,ppter hoc.quia linea a e & b d, continent arcum circuli d g e, uilui apparen*
tem.qui per i. huius, d (iiperficiefpcculi non apparente uifui per lineas contingentes de
terminatur, quare fi ab illo pundo fieret reflexio, tunc per zo. quinti huius acciderer,
quod ellct angulus acutus aqualis ebtufo quod eft impoflibile,non ergo fiet reflexio ab
aliquo pundo arcus 1 e,fcd etiam st nullo pundo arcus g 1, poteft in hac difpofitionc fie-
ri rcflexio.fit em fi pofitbileeft ut fiat st pundo z ,8i ducatur linea a z o, fccans kathetS
incidentia.qua eft b n,in pundo o ,Si ducatur linea contingens circulum in pundo z,
hoc ergo contingens neceflario cadet inter lineas b g 8i b 1, qih pundus z,eft inter pun
da g & l.Sit ergo illa contingens ltnca zm,& fit g f linea contingens ciraiium in pua
do g,fecetfcp linea z m,kathetnm incidentia in pundo m, 6i linea g f, in pundo f, pal3
ergo per 1 1. huius, quod ,p portio lineabrgadlineam n q.cftficut lineabf, adfq.&fi-
militer erit pro portio linea b n ad n o,ficut .pportio ltnca b m ad m o,ied quia linea o n
maior eft cjj linea q n,qrh totum maius eft fua parte, erit per 8. quinti huius,Iineab n ad
n q, maior proportio ad lineam n o.maior ergo ,p portio eft linea b f ad f q, cp linea
b m ad m o.quod eft impofltbilc,& contra 9. primi huius, cum Jinea b f,fit minor cy linea
bm,& f q fit maior cp m o,rcftatergo ut si pundo z,non fiatreflexio,fed neqj ab aliquo
alio pundoarcusg I,quoniam dato quocunqj pundo alio i pundo z, poteft fieri de-

dudio

'LIBI*. S EXTTS. I4tf

rfodio pnemiflo modo. Similiter quocj nec ab aliquo pando ‘arcus gd, fiet reflexio, 'fi
cium fiat ab aliquo.fi t iftud t,& ducatur linea b t, & linea a t hfreans katherum b n, in.
pundo h,&: ducatur contingens arculam in puncto t, qua: ut t h, fecans karhetum b
n,in pundo p. Erit ergo per i 3 ,huius,proportio lineae b n ad n h,ficut linea b p ad p h,
& linea: b n ad n q,eftncut lineae bf ad f q:ied maior eft proportio line* b n ad n h.cfclf
ne* b n ad n q.per 3. quinti, maior eft ergo proportio line* b p ad p h.cjj line* b f ad t q,
qood eft impoiIibile,8<: contra primi huius,maioris enim ad minorem maior eft pro-
portio,^ minoris|ad maiorem per eandem 9 .primi huius ,eft eni m linea b f, maior cjj b
p& p hmaior £f{ f q.palam ergo quodi nullo pundo atcusgd.fiet reflexio form* pun
di b,ad uifum a.quodlibct ergo pundum form* uife ab uno folo pundo fpeculicon-
uexi fphaerid ad uifum refleditur.una iola ergo erit linea reflexionis cuiufcunqj pun-
diuifi.iedeftetiamunicus kathetus incidenti* per xo. primi huius, unicus ergo pun-
dos eft in quo illae line* red* fe fecant.qoi eft locus imaginis,ut patet per j 1 . huius,u-
ruus ergo pundi dus unica imago, SC hoc eft propofitum.

XVII.

lnuno katheto incidentia: fuperfidei fpeculi fphzerici connexi fumpti*
duobus pun<ftis,quoru form» i liiperficie fpeculi fint reflex/biles ad unum
uifum, erit pundus reflexionis pundi propinquioris centro fpeculi remoti
ori centro uifus, quim pundi remotioris ab eodem centro fpeculi fit ab
ipfo centro uifus.

Remanente diipofitione qu* in pnccedente, fint in katheto incidenti*, qu* eft n
b,duo punda fignata qu* (unt p 8i b.ntc^pundum p,x>pinquioris centro fpeculi pun
do fcilicetn.centro circuli dge.qui eft communis fodio fuper &
ficiei reflexionis & luperficiei fpeculi dati, & fit pandum b, re*

«notius ab eodem centro.SC fit a centrum uifus.SCfit locus refle
Jrionispundi b,pundus g.dico qnod pun dus reflexionis for-
tn* pundi p, remotior eft 4 centro uifus, quod eft pundum a,

^ g » qui pundus reflexionis form* pundi b. Ducantur

enim i pundo a d e, line* contingentes circulum, & portione
eirculi oppofitam uifui continentes per z.huius,qu* fit a e & a
d,at fi pundus in quo kathetus b n, lecat’ drculum propofitum
pundum 1, palam ergo quod forma pandi p, non refledituri
pundo 1 ad pundum a, quoniam fbla perpendicularis uifua-
lis refleditnr in feipfam per io.huius>necg refledic forma pun-
di p ,4 puncto g, quoniam ab illo refleditnr forma pundi b, ut
patet per pr*mifia,fed necefle eft ut refledatur ab aliquo pun-
do arcus g 1, inter punda g&I. Si enim detur quod ab aliquo
pundo arctis gd,fiat reflexio form* pundi p,ad uifum,fit il-
lud pundum t,fit'cg p t.linea incidenti* form* pundi p, duca-
tur itaq? ad pundum t, perpendicularis n tu, hoc ergo per 8.hu
fus.neceflario diuidit angulum p t a,per *qualia,ducatur quoqj
ad pundum g,perpendicularis n g k,palam ergo per 1 1 ,primi,quod angulos u t a,ma
ior eftangulonga, angulus ergouta, qui per 13. primi, eft refiduum duorum redo-
rum foper angulum u t a,eft minor angulo k g a.qoi eft refiduum duorum redorum III
per angulum n g a, Sed angulus k g a, per s. huius, *qualis eft angulo b g k, angulus er
go u t a,eft minor angulo b g k,angulus ergo p t u,qui p er 8, huius, eft aqualis angulo
u ta,minor eft angulo bg k,fed angulus p tu, ualet angulum pnt,& angulum tpn.
per 3 x.primf,& angulus b g Iqualet angulum g b o,& angulum g n b, per eandem 3 x,
erunt ergo duo anguli t n p,SC t p n,minoresduobus angulis g b n & gn b,quod eft im

O * poflibile

PERSPECTIVAS VITELLTOWlS
poffibf1e,arm angulus p n r, contineat angnlumbn g.unfjj partem fui,# anguli» t p *
fit maior angulo g b n,per itf.primi,palamergoquodpun<ftus p, non reflcditur rufi ab
aliquo arca g I, interiacente punda g # 1,& quoniam inter panda g& 1, pondus g, dt
p ropinquior pundoa , qui eft centrum uiius,pa t et quod omne pundutn arcus g I ,al iud
i pundo g.eft remotius i centro uifusa,quatn pundum g. quodrft pundum reflexio-
nis fornue ptmdi b,pundnm ergo reflexionis forma: pundi propinquioris centro fpe*
culi eft remotius i centro uiius quim pondus reflexionis forma pundi remotioris i
centroipecuk',quodeft propofitum.

XVIII.

Formae omnium pundorum arqualiter diftantiu a centro fpeculi fpha?*
rici conuexi fecundum aequales angulos fub karh eris incidentia:# diame-
tris irifualibus in centro fpeculi contentosrefleduntur ad uifus.

Sit communis fcdio iiiperficiei reflexionis & iupcrffciei ipcculi fphzrid conucxi
circulus a bc, cuius centrum fitd.patctq; per primam huius,qaoniampundum d.eft
centrum fpcculi, fintfcu duo pandae# f, arqualiter diftantia i
centro fpeculfquod eft d,erunt ergo lineae e d # f d arqnales,di-
coqnodnrceflarium eft formas illonim pundorum refledi ad
ufiumiecundumangtilos aequales, ut fi forma pundi c, refleda*
turad uifum exiftentem in pundo g, i pundo fpeculi h,& for-
ma pundi f, qua: per prarmifiam non poreftrcfledi aduifum g,
i pundo h,refledarur ad uifum exiftentem in pundo k, i pun-
do 1,& ducantur lineer gd#kd,d ico quod angulus edg, eft ec-
qualis angulo f d k . Sit enim ut kaehetus incidcn tiar, qui eft e d,
jfecet circulum in pundo a,# karhetus f d .in pundo b, & diame
ter uiilialis g effocet circulum inpundo c,& diameter k d,in ptm
do mjqtiiaitacplineatcd&.fdjfuntaequales.patet per prarmif-
fam,quoniam punda reflexionis quarfunth #1, aequaliter di-
ftanti uifibus ad quos refleduntur, ut quantum dirfath,pun-
dus reflexionis i pundo c, in quo dia meter uiiualis g d,focat cir
culum.tantum differ pundus reflexionis, qui eft I.a pundo m,in
quo diameter uiilialis qaareft k d,focat circulum, quoniam pun-
dus reflexionis forma: pundiminus diftantisa centro fpeculi
fitperprarmiflam remotior i centro uifus, # plus diftantis pro-
pinqil/or,ergo in illis quae arqualiter d/ftant,erit arqualitasdiftantiae i uifibus ad quo*
refledunnir,nec eft in hoc diuerfitas, flue aliqua punda fine in diuerfis kathctis incidcn
tiar,ucl in una,fomper enim pundorum arqua liter diftantium a' centro eiullicm fpecu-
Ii,eadem eft habitudo # ratio reflexionis,arcus ergo h c.cft squalis arcui 1 m, di eadem
ratfonecftarcusah,aequaI/s arcui bl, quoniam ergo per ultimam iexti, periferfa cir-
culi, ficut# per 87-primihuius,totaluperficiesipeculi arqualiter fe habet ad centrum,
& punda e Si f arqualiter diftant ab eodem centro, totus ergo arcus a c, eft squalis to-
ti arcui b m, ergo per z<S, temfangulus e d g,eft atqualis angulo f d k, quod eft pro-
pofirum.

XIX.

Impoffibfle eft duo punita aequalis diftantia: a centro fpeculi fpharricl
conuexi,cx eadem parte diametri uifualisexiftentia ab arcu,qui eft commu
nis fcdio fuperficiei reflexionis & fuperficiei fpcculi,ad eundem uifum
reflccfti.

Sic comunis fedio fuperficiei reflexionis Si fpcculi fphatrid conuexi arculas a b c.

cuiua

LIBER. SEXTVS .

eu/us centrum fit pundum d,& fint duo punda arqualiter diflStia i ce n ^
tro fpeculi qua: fint e & f^fitfcg centri! uifus in pudo g.in eadem iuperff
cie cum pundis c8if,& ex una parte ipfonm^fitqj p tmdum e,remo*
tfus i pundo g quam pundumf,dico quod illa duo puncta e &f, non
eft pombile rcfledi ad unum uifum cxiftentem in pundo g , ducantur
cniin linee e d, f d,g d, patet itaqj ex hy pothefi , quod angulus edgcff
maiorangulo fdg,ficut totum fua parte, fiat ltaq; fuper pundum d,
tci minum lines f d,angulus squalis angulo e d g,per x 3 .primi, qui fit
f dh,palam ergo per prxcedeiuern,quonia forma pundi f rcfkdetur
ad pundum h ,quod er it ultra pundum g,no ergo ad pundu g, per i y.
liuius,patetergopropofitum.Sienim detur ut refledatur ad pundum
g,eritperpramifiamanguluspartialisqui f dg aequalis angulo cdg,
quod eft impofllbile,

XX.

Pundo rd u iCx SC ccntTo uifus arqualiter a fuperfide fpecu
Ii fphxrici conuexi di itantibus pundum reflexionis inuenire,

Efto b pimdus rei uifx,& fit a centrum uifus,fit quoqt da ti fpeculi conuexi Ipharr/c
ci ccntmm c,&£ fit circulus qui eft communis fedio fuperneienim reflexionis, & fpc cu-
li quicf g,&! ducantur kathetibc&a t^ecantcs circulum in pundis f &g , quia ergo
propter squalitatem altitudinis pundi rei uifae cO centro uifiis,tftx duae linea: b c & a c
fu nt squales, cum manifeftum fit per ea qus patuerunt in demonflratione 17. huius,
quoniam ab aliquo pundo arcus f g, interiacentis katheti in- ^
cidcntix & reflexionis neceflario fiet reflexio, fecctur iracp per ?.M
primi , angulus a c b per xqualia per lineam c d, fecantem arcum H\^
f g in pundo c,patetquoq? per xy. terti}, quoniam arcus f e eft xq
Iis arcui e g,erit'qj linea c d perpendicularis (uper lineam cirailum
contingentem in pundo c,pcr 1 7.tertq,ducantur ergo ad pudum
e,dux lines a e & b e.eruntcg duo trianguli a c c & b e c,per 4, pri^
mi ,8icx hypothefi xquiangulf & squilateri,angulus ergo a c d s*
qualis erit angulo d e d, erit ergo per 8.huius, pundume,quod eft:
medius punaus arcus f g,pundus reflexionis fbrmx pundibad
uifum a,&! hoc eft propofi tum.Si uero lines b c & a c , fuerint inx*
qua les fia t in ipfis squalius longi oris,ut fi linea b c fit logior quam
ac,cumf c fit squalis cg.quia fiint femidiametri eiufdem circuli,
rclccetur linea b f ad squalitatem lines a g in pundo h.fitcp fhs-

Sualis ipfi a g, palam ergo per prxmifla,qm forma pundi hrefle*
fltur ad uifum a, i pundo e.punda uero uiciniora centro c,quia per 1 7. huius, fiint in
pundo Ius reflexionis magis diftantia 5 pundo quod eft centrum uifus, nec poflunt ca
dere in pundum e, palam quia refleditur i pundis arcus c fj&i fccudum elongationem
fut i centro circuli c,erit pundorn ipforum reflexionis approximatio ad centrum uifus
fecundum punda fus reflcxionis,rcmotiora uero punda.ut illa qus fiint ftiper pundu
h,fcilicet puda m 8C b, erunt fecundum punda fus reflexionis propinquiora centro ul
fus quam pudum e, cadent ergo in arcum e g,& fecundu approximationem fui ad cen
erum circuli c.erit pundoru reflexionis maior elongatio i centro uifus b , hoc aute licec
fit in groflo icientiam afferar, eft tamen fecudum lignorum pundopi reflexionis d puti
dis fingulis fuperficiei fpeculi diligentius perferutandum ,

XXI.

Si angulus concentus fub linea incidentia: i pundo rei uifie oblique du
da ad pundum aliquem fuperficiei fpeculi fpharrici conuexi, 6C linea & cen*«
tro fpeculi ad eundem pundum duda non faerit maior redo , impoffibi le

O 3 eftfie

PERSPECTIVAE VITBLLIONI5

«ft fieri reflexionem perfeclam ad aliquem uifum fecundum illu pundum.

✓b Efto a ccnmim ui(us,& b pudus rei uifceJlt quoc^ g .centrum fpe

/ culi {pharrici conucxi,fit'qj communis fcdio fupcrficiei reflexionis Qi
— fpeaili circulus,cuius cen trum erit pundum g.per primam huius, fit
quo^ d,pun<fhis aliquis reflexionis & ducantur lineae g d,b d & a d, q
necdlario erile in fupcrftcie reflexionis per <S.huius,uel per zy. quinti
huius, dico quod fi i puncto d debet fieri reflexio, necefle eft a ngultan
b d g die maiorem rcdo,quia fi no fit maior redo, nunquam fiet ab il-
lo p nndo reflexioni enim angulus b d g non eft maior redo, aut er*
go eft redu*,aut minor redo.Si dicatur quod ipfe fitredus,ergo per
i r*rerrij, linea b d cot ingee circulum in pundo d,fcd per zo .quinti hu
ius, angulus incident» dl axjualij angulo reflexi6is,ergo et angulus a d g , erit redus
& contingens circulum in pundo d, ergo per i4.priml,du* lineae bd&da coniundae
in pundo d,funt linea una'non ergo fit reflexio (ecutmdu pcrfcdam natura reflexionis
formee pundi b.i pando (peculi d ad uifum exiftentem in pudo a.Sed fit (impliciter ui-
fio fecundum linea a d b, quod eft contra hypothefim .quoniam pundum d,cft pofiuim
efle pundum reflexionis. Si uero angulus bdgdicatar efle minor redo.tunc st pudo
d.ducaturlinea circulum contingens in pundo d, per 1 6. terrij,quae producatur ad par
tem lineae d b di fit d e, erit ergo per i j\tertrj,angul us g d e redus , & quoniam angulus
b dgeft datos minor redo, eu ergo angulus bdgminor angulo cdg.fiC quoniam line
am d d, qua: eft linea incidenti* forma: pund i b, extra fpcculum cadere eft necefle , erit
ergo neceflarium per ip(am diuidi angulum contingenti* lineae de, quod eft impof*
fibilc,d: contra i y. certi], non eft ergo poflibile angulum b d g efle minorem redo, ied
necg xquatem, neceflarium ergo eu ipfum efle maiorem redo, & hoc proponebatur-
XXII.

Puncto rei ui far dato plus diftante a centro fpeculi (pliaerid coucxi quam
centrum oculi, poflibile eft in fuperfiric fpeculi inuenirc cenum puntfcum
reflexionis formae dari pundi ad datum centrum uifus.

Efto pundum a centrum uifusA fit b datus pundus rei uifir.fitfcg g centrum (pe*
culi fplixrici conti exi,du ca n turcp linea: a b & b g,lit'q? exempli caufa linea b g maior cjj
linea a g,ideo ut pundus b,plus difteta centro (pcculi g quam centrum uifus a, di quo
mam line* a g & b g funt in fiiperffcie reflexionis per ly. quinti huius.fir communis (e-
dio fuperficiei reflexionis St fpeculi circulus cuius centrum g,dico quod in hoc circulo
poflibile eft inueniri pundum reflexionis i quo refleditur forma pundi b ad uifum a,
dtuidatur enim angulus b g a per *qualia,per s>.primi,duda linea e g,fecantc per/ferii
circuli in pundo u. Sumatur quocg alia linea quatfir m k,& diuidatur in pundo f tali-
ter , ut eius pars fm (e habeat ad fk.ficut linea bg ad lineam ga,per < 19. primi huius Si
diuidaturlineam k per aequalia in pundoo,per 1 o .primi. Si i pundo o educa nir gpen
dicularis indefinita fuper lineam m k,per 1 1. primi, qua: fit o c, di du*
catar i pundo k. linea ad lineam c o tenens cum ip(a linea c o , anguld
teqtialcm angulo eg b qua: fit kc,eft autem poflibile hoc fieri,cu enim
^linea 0 c fuerit accepta indefinita^ linea g e indefinita ducatur g 1 z,
* primi, i pundo b perpendicularisfuperlineamge qusfirbe.eritfcp
angulus b eg aequalis apgulocok, quia utercp redus, fiiper pundo ex
go k terminum linea: cjk, fiat per 13. primi , angulus ok caroua Iis an-
gulo e bg.produda linea kc,qua: per i4.primihuius,neceflario cort
curret cif linea o c.quoniam cu angulus-ko cfit redus, pat et quod angulus o k c,qui eft
a»qualisanguIoebd,eftacutus,palamper 3 j.primi,quoniamangulusock eft *qua*
lis angulo b g e, quia ergo trigonum k o c eft orthogonium, in cuius latere o k eft datus
pundus f, tunc per 1 3 7-primihuius, i dato pundo f, ducatur linea ad bafem trigonf
c k.quar fit f p, & cocurrat cum produdo latere c o in pundo s , ita ut proportio lineae
s p ad p k fitjficut line* b g ad femidiametxum circuli cuius centrum eft pundu g , qua:

fitgu.

LIBER StXTTS » «4*

fit g u,e* angulo quocg b g a fecetur angulus aequalis angulo f p Iqper 27. primi huius,
qui fit b g d,hoc autem eft pofltbile propter hoc, quia angulus p c s eft aequalis medieta-
te anguli b g a,eft aut angulus p c t maior aqgulo c s p.per 1 8 .primi,quoniam fic opor
•ct duci lineam s p,ut linea s p nat maior quim linea cp,ad qiusfitum propofitum inue-
niendum,aliis enim non poteft per lineam m k.pundus quarrendae reflexionis inveni»
ri.fcd oporteret aliam lineam aflumixft ergo angulus f pkminor angulo bga.g 32.
primi,&! ducant lineae ks St! bd, quia ergo proportio linea: s p ad p k,cft (icut linea: b g
ad fcmidiametrQgd^rt anguli his Iineispportionalibus cotcnti funt aequales, crut per 6
foeti , trianguli sp k&bgd arquianguli,erit ergo angulus s p k aequalis angulo b d g,
fed forte fecundum quod opponitur in 1 3 3 .primi huios,& declaratur in 1 3 7.primi hu*
ius.poffibile eft i pundo f,dud lineam aliam ad lineam c k fimilem linea: s p, ut fi duc*
tur hoc modo linea y f r fecans lineam c s in pundo y ,& lineam c k in pundo r, taliter
ut proponitur.f.ut fit eius proportio ad r k,partem linea: quam fecabit ex linea c k, ficut
linea: s p ad p k,Si tunc i pundo k ad lineam o seducatur linea k y alia quim linea s k,a*
liumfcg aim linea c k angulum cotinens maiorem uel minorem angulo c k s,qui fit an-
gulus c k y. Si ergo maior angulus ex his no fuerit maior re do, non erit inuenire puti-
dum reflexionis, ut patet per pracmiflam, quoniam di tunc angulus cotentus iub linea
reflexionis di femidiametro ipeculi non erit maior redo. Si uero aliquis illorum angu*
Iorum fuerit maior redo, eft pofllbile fieri reflexionem di pundum eius inueniri.Sit igl
tur primo angulus c k s maior redo, er itij pofffbile inueniri pundum reflexioms,pa*
lam enim fi angulus c k s eft maior redo .quod eius aequalia b d geft maior redo, duca*
tur itacg i pundo d, linea contingens circulum per io.terti),qua:fitndy cuius pudus
n,cadat in lineam bg.per 14. primi huius, & cum angulus p k o fit minor redo per3z.
primi, ideo quia angulus c o K eft redus,ut patet ex prsemiflis, fecetur ergo ex angulo
b d g aqualis angulo p k o.per 27.primi huius,qui fit angulus q
d g,duda linea d q fecantelineam b g in pundo q , cu igitur an*
gulus s p k fit arqual is angulo d g q , & angulus p k f arqualis an-
guloqdg,erunt per 3 2.primi, triangulus f pk atquiangulus tri*
angulo qgd.eritergo angulus p f k squalis angulo d q g, ergo
per 1 3. primLeric angulus dqb aqualis angulo kf s,.6!quiaans
gulus b d q eft aequalis angulo f k s , ideo quia cu totus angulus
bdg fit aqualis toti angulo c k s,& angulus q d g fit aqualis an-
gulo p k f. Reftat ut angulus b d q a:qualis fit angulo tks .ergo
per 3 x .primi .angulorum duorum illorum trigonorum b d q « f
Ic s,erit triangulus triangulo aMualis,feilicetangulus dbq,angu
Ius k s f, trianguli ergo bd-q & F k s,funtper 4.fexti,fimiles:,pdu
canir aut linea q d extra circulum, & i pundo b ducatur perpen*
dicularis fu per ipfam qua: fit b z,erit ergo angulus b p z,per 1 3 .
primi, aequalis angulo sf o,&!angulusbzq redusceqliseft an-
gulo s o f redo,erit ergo g prarmifla triangulus b q z fimilis tri=
angulo sf o, producatur ergo linea dz ultra pundum zufcp ad
pundum i, ita quod linea z i fit a:qualis linea z d,per 3 .prim i.pa
lam ergo ex fimilitudme trianguloru, quoniam proportio linea
z q ad q b,eft ficut linea f a ad t s,di proportio linea b q ad q d,eft ficut linea f s ad f k,
«rit ergo per 22.qUinti,proportiolineazqadqd,ficutof adf k,ergojj i8.quinti,erit
coniundim ,p portio linea z d ad q d, ficut linea o k ad f k.ergo per « y.quin ti,erit pro*
portio linea i d ad Iineamq d.ficut m k ad f k.eft enim linea i d dupla ad lineamd z , fi*
ait linea m k dupla ad lineam o k,crgo per 1 7.quinti , erit diuifim proportio i q. ad q d,
ficut m f ad f k ,eft autem ex pramiflis proportio m f ad f k .ficut g b ad g a,ergo g 1 1 .
quinti.erit proportio i q ad q d, ficut b g ad g a , quoniam accepta eft proportio mf ad
f k.ficut b g ad g a jducatur itacg linea b i, cui i pundo d,ducatur aquedxftans d 1, g 3 1 »
primi, & producatur lineab g donec concurrat cum linea d l in.pundol;coneurrent aQt

ili»

PBRSPECTir AB V I-TE L I»I ON IS
fllxfine*,per fecitndam primi lmius,eru'cg per iy.& per Z9.primi,&! q.Iexti.triangtfi
lus 1 d q fimilis,iriangulo b q i, er erit proportio q i ad q d,ficut b i ad d 1,& cum linea r fit
«qualis linea* z d,& linea b z perpendicularis fit fuper lineam d i,ut patet ex prarmiilis,
primi,linea b d xqualisb i, er it ergo proportio lineae b d ad d l,per 7,quinti,fi*

erit per 4.primi,Unea b d «qualis b i}erit eigo pre
cut linea* b i ad d I,eft ergo proportio line« b d a<
a uinti,ficut lineae b g adg atducatur aut 1 pund

n

d ad d l,ficut linea: i q ad q d , ergo per 1 1
quintijficut line* b g adg atducatur aut i pundo d, linea qux fit d h, «quale tenens an
gulum cum Iinead l,angulo b g a, per aj.primi,qui fit angulus b d I,cadat'q$ pundus h
in linea b g,cu ergo lineae h 1 & d 1 cocurrant in pundo 1 , erunt duo anguli 1 n d & 1 d h
minores duobus redis p 5 z . primi uel g 14. primi huius,ergoduo anguli a g h & d h g
qui iunt xqles iftit, ut patet ex pmiffis.funt minores duobus rcdis,quarc linea h d con
curret cfi linea g a per 14. primi huius,dico quod concurret in pSdo a3palaem quod an
gulusgoneftrtdus,per 1 7.tertij,(ed per ja.primi,cum trigoni okc, angulus cok fit
rediiSjCt duo anguli ock&cko funt «quales redo,eft angulusg d n «qualis illis duo
bus anguliso k c & o c k,& angulus o k c,ut patet ex prxmiflis xqlis eft angulo g d q,
reftat ergo ut angulusqdnfitarqualis anguloock ,quiut patet cx prxmiflis «qualis
eft angulo b g c,icilicet medietati angulibg a,eftergo angulus qd n , medietas anguli
b g a}& ita medietas anguli h d l,(ed angulus q d b eft medietas anguli b d J,per 3. fextf,
quoniam eft proportio linc« b q ad q I, ficut linex b d ad d 1 , cu ficutlupra oftenfum eft
triangulus d q 1 fimilis fit triangulo b q i,& linea bd «qualis fit linc« b i,u t patet cx prae
miliis . Reftat igitur ut angulus b d n fit medietas anguli h d b,& ita angulus bd n erit
«qualis angulo n d h,cum enim angulus b d q fit «qualis angulo q d 1, patet quod angu
lus b d h excedit angui u h d l,in duplo anguli q d h,cft ergo angulus b d n «qualis angu
Io n d h,produca tur itacg linea g d ultra pfidum d ad pundum f,& quia anguli f d n &
g d n iiint redi,Reftat ut angulus b d f fit «qualis angulo h d g,ducat ergo g 3 1 , primi,
linea ht«quediftans line« b d, cuius pundus t cadat in lineam dg , palam ergo per zj>.
primi.quod angulus b d f eft xoualis angulo htdXedSi angulus b d f «qualis eft angu
lo h d g,crgo per «S.primijinea h t eft «pialis linex b d , fedeft proportio Uncae b d ad
h tjficuc line« b g aq-g h,per ip .prtmi,& per 4.fccti,cu line« b d & h t fimt xquediftan#
tes t Eft ergo per 7 * quinti «proportio linex b d ad d h,ficut line« b g ad g h,fed ex pra:

miflis patetquod linea h d produda ultra pundum d, cocurret
e cum linea g a,& fiet per 3 z.primi.triangulus fimilis triangulo

h d l,cum habeant angulum 1 h d comunem , & angulus hd 1 fit
ex praemiflts «qualis angulo h g abigitur per 4.{exti,cft propor .
tio linex g d ad lineam d 1 , ficut linex h g ad lineam quamic-
, cat linea h d cx linea a g,& ^portio linex b d ad 1 d,pcr 1 3 .priy
mi huius,conftat ex proportione linex b d ad d h , & linex d h
ad Id, igitur ut patet ex prxmiflis proportio linex bd ad Iine3
d I .comta t ex proportione linex b g ad g h,& linex g h ad linea
quamhd (ecatex ga ,led proportio bd addi, ut patet fupe*
rius.eft ficut b g ad g a,ergo proportio b g ad g a,conftat ex ,p .
portionibus b g ad g h,& ipfius g h ad lineam quam lecathdexgajconftatautem pro
portio linex b g ad lineam g a, per 1 3 .primi huius,ex proportione linex b g ad g h,Sd U
ne* g h ad g a,igitur g a eft linea quam (ecat h d,ex linea a g,& ita linea h d cocurrit cfl
a g in pundo a,quia iracg ut patet ex prxmiflis angulus h d f eft «qualis angulo h d g,
& angidus h d g aequalis eft angulo f d a.fibi contra pofito per 1 5-. primi, patet quod an
gulus b d f aequalis eft angulo fd a,illud ergo pundum d,eft pundus rcflexionis.pcr 8,
huius.quoniam in ipfo angulus incidenri* fic aqualis a ngulo reflexionis,quod eft pro ,
pofitum. Quando angulus cks eft maior redo . Quod fi neuter angiilorum,quilunt
e k s Qc c k y fuerir maior redo.dico quod non fiet reflexio ab aliquo pundo (peculi ai
uifiim: Si enim dicatur quod hocfic pofCbile,fit ergo pundus reflexionis d.dudis line*,
is a d,b d,a g.b g, d g. & qnia fit reflexioi pundolpccuJ/ d,patet per prxmiflam.quod .
opsrtet angulum b d gefle maiorem redo,noa ergo fiet reflexio ab his lpecults fe-

eundum

LIBSR SEX.TVS, 149

c54um dilpofitionem talem figurs,ut angulorum c ks & c k y quilibet fit minor recto.
Sed Si idem aliter dcmonftrandum, producatur itacM linea a d intra circulum ulqj ad h,
pundum linea: g b,& producatur linea d 1 ultra circulum taliter,ut fiat angulus 1 d h x<
qualis angulo a g b,per 2 3 ,primi,protrada quocp linea b g quo* **

ufep concurrat cum linea dl in pundo l,concurrct autem per 14.
rimi huius,quoniam angulus g d I eft minor redo per 41.pt imi
uius, & angulus d gb,ut patet per 3 . huius, & per ultima fex ti,
eft etiam minor redo,&: ducatur linea cotingens circulu in pun-
do d,qus fit d n y ,& a' pundo d.protrada linea d qfecante linea
g b in pudo q,fiat angulus q d n squalis medietati anguli a g b,
per 9. Si z3.primi,palaergo quod triangulus hdl aequiangulus
eft triangulo Ii g a, quia enim angulus hd 1 squalis eft angulo h
g a, & angulus a h g eft communis,eritper 3 2 . primi, tertius ter*
tio squalis .ergo per 4.fcxti,erit proportio linea: dh ad d bficur li
nes h g ad g a:ducatur ltacg i pundo h,per 3 1 .primi, linea atque
diftans linea: bd,qus fit h t.erit ergo per 29. primi, Si per 4. (exci,
proportio lincsbdadth,ficutlinesbgadgh,quia ueroex hy*
pothefi forma pundi b refleditur ad uiuim a, i pundo fpeculi d
ducatur linea b d extra circulum ad pundum e, erit quoqj per 8 ,
huius,angulus e d b aequalis angulo e d a.ergo per ij-.£C 19. pri*
mi.erit angulus d t h aqualis angulo h d t,ergo per 6. primi , erit
linea d h squalis lineae h t.quia ergo ut patet perq-flexti. cu linea
t h fit squediltans lines d b,erit p ro portio b g ad g h , ficutb d ad th,(ed linea th squa-
lis eft ipfi d h,cft ergo per 7. quinti, proportio b d ad d h,ficu t b g ad g h,fui t autem pro*
portio d h ad d l.ficut h g ad g a .ergo per 3 2 .quinti, erit proportio b d ad d l,fiait b g ad
g a:fcd cum angulus b d e fit squalis angulo h d g per prsmifla, Si angulus n d c aequa-
lis angulo n d g.quia uterqj rectus. Relinquitur angulus b d n squalis angulo n d h, eft
ergo angui us h d rynedictas anguli b d h,(ed angulus n d q eft medietas anguli a g b,cx
prarmiflis,ergo & eft medietas anguli h d 1, qui eft squalis angulo a g b , igitur a ngulus
d d q eft medietas anguli b d I.cft ergo angulus b d q «qualis angulo q d 1 .ergo per 3 .fe*
xti,in trigono b d I erit proportio b q ad q l.ficut b d ad d 1, ducatur quocp i piicflo b , per
3 1 .primi.linea squediltans lines d I,qus fit b i, Si concurret linea d q cu linea b i in pun
do i,concurretautem per (ccunda primi huius, 2C diuida tur linea d i per squalia in pun
do z,per 1 o. primi, & ducatur linea b z,palam iraqj per 1 j ■.& 29. & 3 z.pr{mi',quoniam
trigona b q i & q d 1 iunt squiangula,ergo per 4.foxri, erit proportio lines bq ad q 1, fi*
cut lines b i ad d l,flut aut ex prsmiflTs pro portio b q ad q l,fian b d ad d l.ergo per 1 1 «
quinti.eft proportio b i ad d l.ficuti b d ad d I,ergo per 5>.quinti,lines b i Si 1 d funt aequa
les.ergo per 3 1 .primi huius.ltnea b z eft perpendicularis fuper lineam d i , eft autem fi-
cut ex prsmiflTs patet.proportio i q ad q d.ficut m f ad f k,ergo per 1 8 .quinti , erit con-
iundim ^portio lines i d ad d q.ficut m k ad fk,& erit per ry.quinti.proportio.dzad
q d.ficut o k ad f k, ergo per 1 7.quinri.erit proportio z q ad q d, ficato f adf k,produca-
tur'cg linea bz intra fpcculum donec concurrat cum linea eg.concurret autem per 14.
primi huius.cum angulo d zb fic redus ut prsoftenfum angulus z d g fit minor

redo,qui eft angulus n d g.fit ergo pundum concurlus x, palam aut ex prsmifiTs.quo
niam eft proportio lines b g ad g d.ficut lines s p ad p k,cum ergo angulus c k s dicatur
non cfle maior redo.fiat fuper pundum k,lines c k angulus maior redo.hoc autem eft
pofllbilc fieri.quia cum,ficut pa tet ex prsmiflTs , angulus q d n fit squalis medietati an*
guli a gb,2C eidem squalis conftitutus fit angulus k c o, necefie eft quodangulus qdn
ut squalis angulo k c o , erit ergo ut patet ex prsmiflTs angulus q d g squalis angulo
c k o,quod patet ut prius;cum enim trigonum c k o fit orthogonium , palam quod duo
anguli kao&cko, ualent unum redum per 3 z. primi, (iint ergo squalesangulo n d g.
Ei quia angulus k c o eft xqualisangulo n d q, relinquitur angulus c ko squalis angulo

P qdg,fiat

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
q d g.fiat ergo fuper pundum k.Iinc* f k angulus sequalis angulo b d q,6d ponatur q3
linea tenens hunc angulum concurrat eu linea eo in pundos,& ducatur linea sp tran
fiens per pundum f, quae fit alia i priori linea s f p,dico quod illius lineae s p ad lineam
p k partem line» e k.erit proportio ficut linea: b g ad g d,cum enim angulus b zd fit ia
tftus aequalis angulo sok, erit triangulus bzd ex prarmiffis fimilis triangnlo so k ,eft
ergo proportio linere b z ad b d, ficut linearo s ad lineam s k,& linea? bz ad z d, ficut li-
nea: i d ad o k,firit autem oftenfum prius .quia eft proportio line» z q ad qd , fictu line»
o t ad f k,ergo per j-. primi liuius,cnt econtrario proportio linea: q d ad z q.ficut t k ad
of.ergoper i8.quinti,eft,pportiotottuslinc*zdadzq,ficuttottusIine*ok ad of^
ergo per xx. quinti .erunt z b ad z q.ficut so ad o fjergo per (S.fexti.trigona z q b£e o f s
funt *quiangula, angulus ergo z b q eft arqualis angulo o s f, remanet ergo angulus q
b d arqualis angulo fs k.fcd angulus fk s fadus fuerit arqualis angulo b d q , & angit
lus p k f arqualis eft angulo q d g, totus ergo angulus s k p arqualis eft angulo b d g, er-
go per 3 x. primi, & cx 4.fcxtt,erit triangulus bd g fimilis triangulo sp k,& totus trian
gulus bge fimilis totali triangulo c k s.cft igitur proportio lincar s p ad p k.ficur b g ad
g d, coniti tuto ergo fuper centrum d, angulo arquali angulo fcilicct s p k,& duda lemis
diametro circuli quar (it g u, patet fecundum prarmiflum modum , quoniam pundum
u erit pundum reflexionis, quia ut pater per 1 6. pi imi , d ex prarmiflis prior angu-
lus s p k eft maior prarlenti angulo s p k.quoniam exrrinfccu%pala quod i duobus pun
diis fpeculi.qu* funtd &u,ffet reflcxio,quod eft contra r 6. huius non ergopoteft angu
lus s p k.unquam cfle non maior redo fi fecundum iplum debeat fiet i pundi reflexiois
muentio,quia fecundum talem dilpofitionem co'locatis pundo rei uifar & cetro utlus,
non eft poliibfle fieri reflexionem . Item impoflib/l e eft quod duo anguli collituri fiiper
lineam mo fint utcrq? maior redo. Si enim urerq? talium maior fuerit redo, tamen fu-
per g centrum circuli propofiti fiat angulus *qualis angulo skm, fiet fuper illud cen*
trum ang ulus alius diuerlus ab illo quam efficiet fug k m,alia linea fimilis priori lineae
s k,d ita i pundo d,& ab alio pundo illius circuli, fiet reflexio forma: e/ufdem pudi ad
uilixm eundem, quod eft contra 1 6.huius,oportet ergo ut tantum unus illoru anguloiu
lic maior redo,non ambo maiores ucl ambo minores redo.patet ergo propofitum.

Super unum kathetum incidentia? fuperficiei fpeculi fpha?rici conue*
xi, uel fuper diucrfos ad uifum ad quem fit reflexio, cum fimiliterfe habens
tes, daris duobus puntftis, quorum formae a fuperficie Ipcculi fint reflexi bi-
les ad uifum, erit locus imaginis punefti centro fpeculi propinquioris remo
tior a centro fpeculi, Si remotioris propinquior.

Sit circulus qui eft comunis ledio fuperficiei reflexionis & fuperficiei Ipcculi fph*
rici conuexi a b c cuius centrum d,fit<qp centrum uifus e,8i kathetus incidenti* fit d f g,
in quo fime duo punda f&g .quorum form* fint reflexibiles ad uifum,& fit pundum f
propinquius centro fpeculi, & pundum g remotius.lecetfcp idem kathetus circulum a
o c in pundo c,dico quod locus imaginis formae pundi f , remotior eft a centro fpeculi
quod eft d,quam locus imaginis forma: pundi g , quoniam enim ut
patet per hypothefim quarlibet formarQ iftorum pundoru ab aliquo
/j pundo fpeculi refleditur ad uifum, patet cum illa punda fimt /n ca<
/ /- dem katheto incidenti* confiftcntia,quod centrum uifus e eft cum
/ /j ambobus illis pudis in eadem fupcrficie reflexionis per tf.huius, fiet
\\ / / f ergo reflexio cuiuslibet illorum pundoru ad uifum e, ab aliquo pun-

y\ /'/ / do circuli a b c,fir ergo ut forma pundi g , refleda tur i pundo a, Si

\m)v- / formapundi fi pundo b,erit ergo per 17. huius, pundusb, remo-

tior i centro uifus e quim pundusa, ducat itaq? diameter uifoalis
' \\Yk \ qu* c d,& ducatur I ncre incidentia- qua: fint g a g b,8i line* refles
\ /**■ \ xionis qu* fint a e Sibe, quarprodud* intra circulum fccabuntka-

’ tlietum

■LIBER fI2KTTA |T0

thetum d fg,per p.hufus.^ quoniam concurrunt cum diametro uffuali.qua? dl ed,(?ter
go ut linea e a lecet kathetum g d in pundo h,& linea c b in pundo k,eric ergo pundu
h,locus imaginis forma pundi g,& pundum k locus imaginis forma pundi f, per 1 1.
huius.quoniam uero pundum h,eft propinquius centro dquimpimdum k,pcr zp.pti
mi huiu?,quia enim linea h e fecat angulum d e k,palam quia ipla fccabit bafem illifub
tenfam qua: eft d k,eft ergo pudum h propinquius centro fpeculi quod cft d quam pun*
dum k,& quoniam ut patet fecundum hunc modum omnes linea: duds i centro uifus
quod eft e, per quscuncg punda arcus a c, inter media pundorum a & cad kathetum d
g,cadunt in punda iemidiametri dea centro remotiori quam pundum h , patet pro*
politum. Et ex hoc etiam patet quod quanto punda linea: c g fune propinquiora cen-
tro d, tanto loca fuarum imaginum funt magis elongata i centro fpeaili quod eftd &
quoniam omnes katheti incidentia: concurrunt in centro fpeculi, palam quod de pun*
dis diueribrum kathetorum ad uifum ad quam fit reflexio confimiliter fe habentium,
eadem eftdemonftratio qus de pundis eiufdemkatheti,quonfam unicurcp pudorum
inunofimili katheto lignator nmpunduslimilis qui fiteiufcfemdiftantia i centro fpe
cuhinkatheto alio reipondec illorum quorumctincp pundorum, quia confimiliter re-
ipiciunt uifum.loca imaginomrefpedu centri fpeculi confimiliter ordinantur, paret er
go propofi tum.

xxiur.

Si ab aliquo pundo fpeculi fphxrici conuexi linea reflexionis produc
da circulum qui eft communis feftio fuper fidei reflexionis 8t fpeculi, tali*
ter fecuerfr,quod linea: produda! pars qua: eftintra circulu fit aequalis femf
diametro circuIi,locus uifa: imaginis femper erit intra conuexum fpeculi.

Efto centrum uifus g,& centrum fpeaili fphsrici conuexi fit pundum d,fit'cg com
munis iedio fuperficici reflexionis di fpeaili circulus a b r,i centro quocjj uifus pundp ,
g.ducantur per 1 6. tertij.dus linea: contingentes circulum a b r,
qus fintg aag b,erunt'qj per fecundam huius circuli a b r.portio
a b apparens uifui,& centrum eius fit pundum d,per primam hu-
ius.quoniam autem uifus di fpecula mutant Iocu.Sit talis fada di
fpofitio uifus ad, fpeculum ut i pundo g, centro uifus duda: lines
fecantes circulu a b r, pars intra circulum quod eft corda arcus cire
culi qui h r, fit squalis femidiametro illius circuli , & fit illa linea g
h r, cuius pars h g , intra cirailum fit squalis femidiametro d r, hoc
autem poifibile dl fieri , fi per primam quarti inferibatur circulus
a b r , linea h r sqlis femediametro illius circuli , di in illa linea r h ^
produda extra circulum ponatur centrum ui(us,dico quod locus
imaginis reflexa: ^ pundo h, femper eft intra connexa fuperficiem
Ipeculiproducatur enim i pundo h, fuper lineam, contingentem
circulum in pundo h,perpendicularis qus fithra, hsc ergo pro-
duda in circulum tranfit per centrum d,per 1 8. terrij, dico quod cu
forma i cuius rei uifs refledat i pudo h, locus imaginis fus erunt
femper intra conuexi! fpeculi, ducatur enim 5 pundo h, linea con-
ftituens fuper pundum Interminum lines h m,angulum squalem ‘
angulo g h m,per z 3 .primi,qui fit p h m produda linea h p , refle*
detur ergo per zo.quinti.puda huius lines h p a d uifum g, i pun
do fpeculi h,nec alterius lines punda i pundo h , ad uifum pote-
runt refledi.Sumatur ergo aliquod eius pudum,quod fit p,S i ducatur linea ab fpfb ad
centru fpeculi qus fit p d,erit quocp per primam huius, St: per 9 z.primi huius, linea p d,
perpendicularis fug fuperficiem contingentem fpeculu in pudo quo ipfa linea p d fccat
circuferentiam circuli a b r.copulet quocg linea d r, & quia angulus p h m incidetis cft
sqlis angulo m h g reflexionis,ut patet ex prsmifiis, angulus uero g h m g 1 y . prinu ,
Squalis eft angulo rhd, angulus igitphmeftsqualisangulorhd. Sed angui? r h d

P z squa

PER JPECTIV A1 VI TE11I ON II
■aequalis eft angulo h d r,pcr j\primi,ideo quia latus h r , ex hypothcfi aequalis eft fcmlt
diametro dr,anguIusergophmeft squalis angulo hdr, quia ergo linea md cadens
fuper lineas ph&d r,facit angulum extrinfemm.qui eft m h p, aequalem angulo intrin
fcco qui eft m d r,linea ergo h p per i8.primi,aequediftat linea: d r,lincaeergo h p & d r,
in innnitu protrahar nunquam cocurrent, & linea p d quae eft kathetus incidentis for
mae pundi p,uel quscuncp alia linea duda i quocuncp pundo linet h p ad centrum d,
iem per inter punda h & r,interiecabit linea Ii r interiacentcs lineas squcdiftantes,qux
fiint r d&h p,ut patet per 29. primi huius , diuidunt enim omnes illi katheti angulum
h d r.ergo 8i iecabunt baiem h r , quilibet enim illorum kathetorum incidentis iemper
ducitur ad centrum fpcculi ut adpundumd^quodcuncpcrgo pundum fumatur in Ii*
ncaph, iemper linea duda ab illopfido ad pundum diecabic lineam reflcxionis.qus
eft g h r intra conuexu fpecuIi,quoniam iemper kathetus incidentia; produdus ad cen-
trum ipeculi perpendicularis eft ilipcr fuperfiriem fpcculi,i?cut nunc eft p d, imago er*
gocuiufcuncppundi linexp h,pcr 1 i.huius,apparebit intra conucxum fpcculi, & hoc
proponebatur.

XXV.

A quociiq? puncto arcus circuli, qui eft comunis fedio fuperficiei reflexi
onis &fpecuiifpha’riciconuexiinteriacentis,punctain quibus kathetus re
flexionis SC linea reflcxionis,cuius pars intra circulum eft squalis fem/dia*
metro circuli, fecant circulum, fiat reflexio ; locus uifo imaginis femper erit
intra ipeculum .

Sir diipofi tio qua; in prarmifla,» ta ut linea reflexionis qua; g h r fccct circulum a b r,
taliter uceitispars intra circulu, qusefth r, (it squalis iemidiametro drculf, ducaturicg
kathetus reflexionis i uiiu ad centrum ipeculi , qui fit g d tecans circulum a b r in pun*
dio z,dioo quod i qnocunqj pudo arcus h z fiat reflexio , iemper erit locus imaginis in-
ti a fpecolum. Sit enim ita ut a pundo illius arcus h z, quod fit i, fiat reflexio, ducatur^
dpuriifto g,centrouiiiisadpundum i, linea iecans drcultim fuper pundum i.qus fit g
i *,& ducatur iuper fuperfiriem ipeculi linea perpendicularis i pudo i,quod fiet per 7 3 .
primo huinSjSii ccrftro ipeculi pundo d, producatur linea qua; fit d i t, fuper cuius pu*
dum i ffatangulusarqualisangulotig, per 2 3, primi, qui fitp
i t, palam ergo quod iolum ptinda linear p i,refleduntur i pun*
do i ad uiium g,pcr 2o.quinti huius,palam etiam per 14. rertij,
quod iinea i s maior eft quim linea h r ,crgo linea is eft maior fe»
midiametro s d,tn trigono ergo s id,angulus s d i eft maior an*
gulo s id, per iy.primi,ergoper ij\ primi, angulus sdieftma*
ior angulo ti g, eft ergo angulus s d i maior angulo t i p , qui ex
pnemiffiseft squalisangulo t i g,ergo per 14. primi huius, 1 i*
nes p i & d s non iunt squediftantesjin infinitum tamen protra
da; ex parte fuorum pudorum p Si s nunquam concurrent, fed
ex filis partibus i & d prorrads concurrent, i qtiocucp ergo pun
do lineae p i ad centrum d, ducatur kathetus incidentis, ille fe*
cabit lineam g i a , quae eft I inca reflexionis intra conuexu ipc*
culi , & omnis linea duda 3 quocunqj pundo linea: p i ad pun-
dum d,erit perpendicularis iuper ipeculi fuperfiriem per 7 2.pri
mi hui?, ergo ipia eft kathetus incidentis ,ficut nec eft linea p d,
& cum locus imaginis fic in occurfu katheti incidentKe,& lineae
reflexionis per undecimam huius,palam quia locus imaginis cu
iufcunqj pundi lineae p i, femper cric intra conuexum fpeculi, &
quoniam dato quocucp pundo arcus h z , femper eadem cftdcrnonftratio,manifeftum
ergo quod omnium imaginum arcus hz, proprius locus erit intra ipeculum, quod eft
propofitura.

A quo*

lyl

LIBER. SEXTVS,

XXVI.

A quoaincppuncfto arcus circuli,qui eft communis fetftio Cuperfidei re*
flexionis SC fpcculi fphamd conuexi interiacentis, pundhim in quo linea re
flcxionis,cuius pars intra circulu eft squalis femidiametro circuli,fecat cir*
culum & puntflum proximum, in quo linea dufta a centro uifus contingit
circulum, fiat reflexio, locus uife imaginis quandocp erit intra fpcculum,
quandocp in fuperficie conuexa fpeculi, &quandocp extra fpeculum.

Remaneat totalis difpofitio figura: qux in prxcedenci & in 5 4,huius ,in hoc.Cut li-
nea reflexionis quae g h r.fccet circulu a b r, cuius centrfl eft punctu d,talftcr ut eius pars
intra circulu quae eft hr.ficxqualis femidiametro d z,& line» g a &gb,fint contingen-
tes cirailu a b r,in pundis a Si b,& fit pandus b propinquior pundo li,dico qcP a quo*
cunqj pundo arcus h b.fiat reflcxio.erit locus uifx imaginis qncg intra fpeculir.qncp in
fupficic fpeaili, qnq* extra fpeculu.Sumat em aliquod pundu arcus h b, 3 quo fiat refl e
xio ad unum g,od illud pundum reflexionis fit n,a ducatur linea reflexionisfecans cir*
culum, qux duda trans circulum fit g n q, di ducat i centro d femidi
ameter d q,& ad pundu reflexionisducat gpcndicularis d n £&,pdu
catur ut in pmiflis linea n e.cotinens cu katheto d n f, angulu xquale
angulo f n g,qui fit angulus f n e,& qth linea n q,per 14. terti]', minor
eftcfj linea h r,pal5 qa linea n q, eft minor femidiametro q d,'qm em
Imcahreftxqualisipfiqd,exhy,pothefi,critergo lineaq n, minor cp
linea qd angulus ergo q d n, trigoni q d n,eft minor angulo dn q.per
iS>.primi,crgo per i j-.ciuide angulus q d n, minor eft angulo g n r, er
go Si fuo xquali qui eft c n fjigit line» d q & n c,cocurrent ad partem
ininoje angulo.Rjper 1 4.primi huius,f?t ergo cocurfiis eait in pundo
c.pala aut ut in pmiilts,qa linea e q d,cft gpcndicularis fup fuperficie
fpcculi per 7 z, primi huius,eftcrgo linea ed,kathetus incidenti» for
m» pundi e,2C fecat lineam g n q,qu» eft linea reflexionis in pundo
,qui eft pundus fugficiei fpeculi, imago ergo pundi e, qn fuerit re*
exio feda i pundo arcus h b, quod eft n, uidebit in pundo q» quod
eft i:i fuperficie couexa fpeculi,a qin linea reflexionis qu» eft g q,pe
riferiam arcus b r,in unico tm ‘puefto interfecat,ut patet per 7.huius,
palam quia no accidit uideri imagine fbrmx alicuius pundoft: line»
n e, in ipfa fugficiefpeculi,nifi folu in illo uno pundo.in quo ad ipm
dudus kathetus fecat linea reflexionis in ipfa fuperficie fpeculi, ut eft
in ppofito kathetuspundi e.Si uero in linea e n,fumaf pundu ultra
c,qd' fit pundum k,fit'cp kathct&s incidentixdudus ab illo pundo k,
ad ccntru fpeaili qui fit k d,fccans lineam reflexionis,qu» eft g n q,,p
dudam ultra pundum q,in pundo 1, tunc erit fedio extra fuperficicm fpeculi, quare
Imago pundi cuiuslibet line» ne, ultra pundu e, fumpti uidebit extra fuperficie fpe*
culiiecundu diftantia pundi incidentis,^ femg ut patet per 1 1 .huius, erit locus imagi-
nis in pundo fedionis lineait: kathcti,& reflexionis ut formx pundi k.Locus imagi-
nis eft nunc in pundo l,qux eft comums fedio pmiflarelincaiy.Si uero in linea e n,m*
ter punda n di c/umatur aliquod pundu ut c,kathe tus ab eo dudus ad fpeaili centriT
fecabitlineareflexionis,qu»gnqpintrafpecuIum,fecabiterh ipfam in punderaliquo
eo», qux funt inter punda n&q, imago ergo cuiuslibet pundi linexen, inter punda
e&i n, fumpti uidebit intra fpeculu.& fimiliter in quolibet alio arcus b h, poterit idem e"c
eodem modo de diuerfis pundis lineaq incidenti» demonftrari. Si hoc eft ,ppofitnm«
Sicut itaqj in arcu z b demonftrauimus in pmiflis tribus theorematibus, fic et/a figura
t/one adhibita in arcu z a poterit demonftrari,qrh eft omimoda fimilitudo hinc inde.
& idem eft de omnibus circulis fpeculi fphxrici couexi, circulo a br,fimilibus. Si em p*
pcndicularis g z d, manente fixa linea gh,fecundu xqualicate anguli d gh, imaginetur

P 3 moueii

PERSPECTIVAE VlTELllONIS
moueri quoufcg redeat ad locum luu unde mouerf incepi t,tnn e linea ghmota iecabit
ex tota fpeculi conuexa fuperficie motu luo portion? lupficiet,& i mago forma: cuiusli
bet pun<ftl reflexi ab aliq puncto^ huius portionis uidebit femper intra fpeculum, Si
uero fixa manente diametro gzdjinea cotingcns circulQ a b r,qua: eft g b, moneatur
quoufcp ad Iocu undeexiuit rcdeat,lccabit ex ipharra portioni! maiore, & fada reflexio
ne forma: cuiuslibet puncti i quibufcppun dis fupfidei ipeculi deforiptar per arcum h b,
uel i pondis arcuG illi ffmfltum,tunc ka theto incidentia fccantc lineS renexiois in ipfa
fuper ficie fpeculi fcmper locus imaginis forma pundi illius erit in ipia liiperficie Ipe*
culi Sed aliop- pundojt in illa eadem linea exiftcntiu quorunda locus imaginis eft intra
fpcctilu,quorunda extra fpcculu,fecunduqif katbeti ab illis pundisad centrn ipeculi
,pdudi,fccant lineas fuajt reflexionO.Et qm (itus centri utius,uel fupcrficiei fpcculi,uel
etiam ipfius rei uiCe poteft multipliciter uariari, hoc experimentan ti relinquimus, ut
fpcculoitfphacricoptconuexojfc.quowufusutplurirnum apud homines no ftne habita-
bilis eft comunis,qm intra qua: fpeculant modo fphamco diffundente fe, artificii fpirini
exfufflantjtfUdcifiuB portione quis taliter collocet,ut qna imago pundi uifi appareat
intra ipccuIu,hocdt ultra ftipcrfidcm ipfius.qncp in ipfaluperflcicfpcculq&qnqj extra
fuperiiciefpccnl/,ita qcf fupcrficies fpcculino fit media inter imaginequarnidet &ocu
Ium uidcntiSjicd ad lanis extra uideat^ hoc iam pluries experimenrantibus eucnit,un
de & per iftam pa ter^jd' Ipecolum fplia-ricu cduexum ccntrumcp uiCus,& res aifa fic fi-*
fti pollent, ut imago extra fpeeulu in aere appareat ^qu relinquimus artificio Equiretis.

XXVII,

Omnis diameter fpeculi fphjcrici conuexi, in qua locus imaginis cadit,
in ipfafuperficiefpeculiaucextrafpeculumportionum fphxrx fpeculi non
apparenti uifui,necefIario applicatur, ex quo patet quod iplkeft demiflior
qualibet linearu cotingentiu a centro uifus ad fpeculi fuperficie ^pdudlaru.

Quod hic (pponitur patet per pmiflasjelurnpta figuratione pra:cedentis,&: quia ut
pateti qaolibctpundo arcus a b,poteft neri reflexio, omnis fjcp linea reflexionis qiri
i centro uilus fti liqea i centro uiUis .pduda drculum contingente,ducn,patet per r7«
primihuius,qm ipia iecat cir culum, & qn locus imaginis foericin ipfa Ipeculi liipcrficie
uel extra, patet qtr hoc no poteft accidere indiameti is fpeculi applicatis arcui a b, non
em poteft in illis diametris locus imaginis efle in ipfa fpeculi fuperficie, qiri katheti iiu
ridentia: 54 linea reflexionis flloju pundojt in illis pandis cocurrerc non poliunt. Sed
necpextra Ifxiculojkfaperfic/es poteft in lUis diametris efle locus reflexionis,qmIineat
reflexionum ad partcillam extra ipcculSnon cocurrent,omnesergo diametrosipecu
1 i cuiiifainq? iphsrici conuexi in quibus loca imaginu fimt in ipfa foperfirie fpeculi.nd
extra ipccuIum,neceflario applicant portioni fpeculi non apparenti uifui,& qm portio
foeculi apparens 8£ non apparente per lineas cotingentes i centro uilus ad Ipeculi fog*
fidem durias determinat, ut patet per fecundu huius, Ideo manifeftumeft .ppofitutn
corrollarium,qiuelibetem diametro# in qua eft locus imagimsin ipia ftiperfirielpccu*
li aut extra fpeculu.oportet ut fic demiffior qualibet linea# contingentia a centro uifus
i Ipeculi lugfidc .pdudaj^Si hoc ,p ponebat. Poteft aut diameter in qua apparet locus
imaginis intra ipeculu efle uel altior uel demiflior illa cotfngente, ut patet ex his qua:
fimtmpmiflbdemonftrata, ReftataOtwtnos deinceps loca imaginu certius determi-
nemus. XXV XII,

Ad diametrum Ipeculi fphanrici conuexi ducla linea reflexionis fecante
fpeculum, ita ut pars duria: linea: interiacens fuperfidena fpeculi 84 diame*
trum,fita:qualis parti diametri interiacenti punrium feftionis 64 centrum
fpeculi, in illa parte diametri non eftlocus alicuius imaginis, fed eft imagi*
num meta,flcut 64 in illo punrio feriionis.

i;fto circulus comunis feriionis foperfiaei reflextonu Silupctficiei ipeculi Iphsr*

ciconqexl

LIBER SEXTVS. lyj

rideonuexi,quiab f cg,&: fit pundu h, centrum uifus,pundu flep d centnim (pcculi,8d
fitdefemidiameter fpeculi.quae necefiario eft perpendicularis ftip fupcrficie ipeculi per
7x. primi' hufus,&fit linea z hjinea reflexionis fccansiiiperficie conucxa fpcculi fuper
pundu cocurrens cu ed.fcmidiamctro fpeaili fuper pundu z. Sit quotj; linea z f7
aqualis linea; z d.qd* poteft: fieri per 1 3 6. primi huius, dico quod in linea z h,non eft lo
cus alicuius imaginis,neqj ern pundus z, poteft cfte locus aliaiius imaginis, nifi ioluni
alicuius pundoit lineare d ptrada;, quia ut patet per r 1, huius,
locus imaginis forma: cuiufcp pundi (emper eft fuper kathetum
fuac incidentiar,&: hoc eft in fpeculis fpharricis couexis in linea ab
illo pundo ad centrufphaera: duda: quod uero pandus z,no fit
locus alicuius imaginis pundoa: linea; c d,patet, ducat em ppen*
dimlaris i centro d,fuper pundu f,qua .pduda extra circulu fit d
f n,St! fuper duda perpendiculare fiat in pundo f,angulus ceqwa-
lis angulo n f h,per 13 .primi, qui fit q f n,eft ergo per 1 j-.primi,
angulus q f n,xqi»Iis angulo z f d, fed cu z d & z f, linea; ex hy*
pothcfi fint aquales,eritper j-.primi.angulus z d f,a:qualis angu
Io z f d,ergo Si angui? q f n,a:qualis eft angulo z d f,ergo per z 3
primi lines z d & q f.funt adinuice aequediftantcs,in infinitu er*
go,ptTadat nun^ cocurrent.nullius ergo pundi linea: e d,quan
tumcuncj ptrada: forma mouebif ad pundu f, per lineam inci-
dentia: g £fed no poteft die locus alicuius imaginis in pundo z.nifi moucafur ad puns
dum f forma per lineam q f, aliis crh linea f h,no fieret linea reflexionis,in mius intere
fcdionc cudiametro d c,eft pundu z,no eft ergo pudu z locus aliaiius imaginis pun-
dorum linea* cd, ergo nec alicuiusalteriusimaginisforma; cuiufcunq; pundi extra
Iineamde, ptractam, & cade erit demonftratio quatucunq; fumpta diametro ed,fcd
& nullus alius pundus linea z d pter z,potcft efle locus alicuius ima ginis:dato em qc?
pundusp poltiteflc locus alicuius imaginis,ducaturlincahp,fccans coucxam (uperft
ciem fpcculi in pundo b,& ducat perpendicularis d b m, 8i ut fupra angulo mbhfiac
aequalis angulus luper pundu b q m,t b m,palam ergo ut prius quod angulus t b m.cft
tequalis angulo p b d.fed angulus d p b,per 1 ^.primi.eft maior angulo p z li, cu fit d ex
trinfecus in trigonop zh,igitur duo alij anguli trigoni p d b.funt minores duobus altjs
angulis trigo ni d z f fed angulus pdb.eft maior angulo z d f, eo qcF totif maius eft: fua
ptc,&’ cria patet hoc p z? .primi huius.Sequit ergo,ut angui? d b p,fit minor angulo d f
z.angulus uero d f z efta-qualis angulo z d f,ut prius patuic.anguhis ergo d b p, minor
eft angulo z d f, multo ergo minor eft angulos d b p, angulo p d b , angulus itacp t b m,
minor eft angulo p d b.lincce igit tb&cd.per jq.primi huius.nunqj coairrcnt ad par*
*cm i qua pollet fieri reflexio, nulla ergo forma incidens pundo b, refledetur ad uiliim
h,ita ut locus imaginis fiat in pundo p, Similiter neq? imago alicuius alterius pundi (e
offeret uifui fuper aliquod pundu linea: zd, tota ergo linea z d.crit femp uacua imagi*
fiibus.necuncp erit locus imaginum ipfa, & fimiliter poteft de qualibet alia diame-
tro ppofiti fpeculi demonftrari hypothefi leruata.Patct etiaex pmiffis,qm linea zdcffc
eft meta imaginum, qin fi linea f z fuerit maior cp linea zd, nulla uncf; apparebit ima*
go,qm angulus zdf,per f?.primi,eritmaiorangulodf z,crgo& angulus nfh,per 1 j-.
primi,ergo & angulo q fn.pcr 7.hnius, lineae ergo e d & q ftper 14. primi huius.no con-
current aa partem pundojt e & q,fed ad parte pundo.R: d Si f. non ergo aliqua poterit
apparere imago in pudo z^rgo necin ali£j pundop- linea: zd, qeffi linea fz fit minor
linea z d.tunc fecondu pmiflum moduerit angulus zdf, minor angulo qf n, ergo p
i4.primihuius(h'nea:ed8c'q^cocurrcnt ad parte pundoiy e&q, Si ab illo pundo po*
tcft alicuius pundoR* linea: e d fieri reflexio ad uifum,& locus imaginis erit per 1 1. hu-
ius, in pundo z,Si erit linea zd, Ionis imaginis (ccundu omnefau pundu quoufqjlt*
nea incidentia: refpedudiametri refpiciat jppofitam dfuifionc,paretergo quod cum II
nea z d eft aqualis lincce z f,quod linea z f, eft meta imaginu ultra qua nulla,& circa qu3

omnis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
olnnis uidet imago, & fimilitcr pundus zeft meta imaginum, qm utpatct ex pmiffis»
omnis linea incidentisa quocucp pundo fpeculi ad uifum h, inter punda Z&d, duda
eft maior cjj linea qua: per illa reiecat ex linea z d,qm ifta eft maior cp linea z f,p 1 4,ter .

ergo etia maior linea z d,ex hypothefi,ut patctde linea b p, qua: eft maior cp Ii*
nea p d,uel linea z d,omnis'cg linea inter punda z & e, ad uifum h, duda inter iacens pe
riferia circuli & diametru , eft minor cp linea f z,ergo & minor cfj linea z d,crgo eft etia
minor cp linea qua ipfa reiecat ex femidiametro d e,funt ergo ut patet p pmifla in linea
z e, loca imaginum pter cp in pundo z,in linea uero z d,non iunt aliqua loca i maginu,
& lic patet, quod pundus z,eft meta imaginum, nec eft differentia an pundus z cadat
intra circulu,an extra, an in ipfa fuperficie fpeculi, quia iemg ubicfiqj acciderit lineam
z d, squalem fieri parci linea: reflexionis interiacetipundureflexionis & pundum z,
erit femper in pundo z meta imagintjm,& fimiliter eft de tota linea z d, patet ergo ,p-
pofitum. - XXIX,

Affignata meta imaginum in quacunqj diametro inter lineas contingen
tes^uiluadfpeculum iphaericum conuexum dudas pr*cter uifualem dia-
metrum in pundis tantum data: diametri inter fuperficiem fphajrce & pun
dum qui eft imaginu meta exi flentibus iunt loca imaginuillius diametri.
Sit b centram uifus,& funt u 3 & b e lineat fpeculum fphsricu conuexu contingen-
tes in pundis 3 & e,& fit a centrum fpeculi,&: b h a diameter ui(iialis,&: fit a g d,diame-
cer. alia, in qua meta imaginum affignata fit in pundo t,per pcedente,&! per 1 3 «S.primi
huius, feccicg linea a d, iupficiem fpeculi in pundo g, dico quod
folum in pundis lines t g.qus iunt inter punda g & c,funt loca
/*+ imaginumdiamctridga,quiaemimagines ilis non cadant in
pundug,qui eft in fuperficie fpeculi, uel quia non cadant extra
luperficieipeculi,palaper z-j.huius^oportet em femper diame-
trum io qua locas imaginis eft in fuperficie fpeculi aut extra de
iffiore efle pando cptingentis,diameter uero a d, eft inter li-
neas contingentes.nec ergo in fuperficie fpeculi, nec extra fphs
ram ipfius apparebit imago fecundum illam dfametrUm.Scd qdf

tur linea Suifu ad illu pundum qus fitb q,fecans fuperfidefpe«
culi in pundo p,& ducat gpendicularis a p 1,& iecundum isptus
pmifla angulo 1 p u,fiat per Z3. primi, angulus squalis, qui fit d
p I,& ducatur linea b c,fecans fuperficiem fpeculi in pando ^du-
catur quocp gpendicularis a f.triangulus ftaega p b,cotinet trian;
gulum a f b,angulus ergo a f b, maior eft angulo a p b, per z r ♦
primi.Sedangulusaf c,cam angulo a f u,ualet duos redos,8f
angulus a p q,cum angulo a p b,ualct duos redos per 1 3 . primi,,
palam ergo quia angulus a f c, minor eft angulo a p q,ied angulus a f c,eft squalis an-
gulo/ a t.per y ,primi,qm latus f t,eft squalis lateri t a, per 1 3 6. primi huius, & ex hypo
pothefi, angulus ergo a p q,maior eft angulo f a t,quare etiam erit maior angulo p a q,
qui eft pars anguli? a t quia anguli a p q, & 1 p b,funt squales per 1 y. prim.i,funt em
contra fe pofiti , erit angulus 1 p b.maior angulo p a q, eft ergo g S .huius ..angulus dpi,
maior angulop a q, patet igif ^d lines p d a a q.cocurrcn t per i4.primihuius,fit er-
go d pundus concurfus ipfarum, forma igitur pundid,refledeturad uifiim in pun-
dum b,i pundo fuperficieifpeculi quod eft p,per lineam p b,& locus imaginis fus eft
pundum q,per 1 1 .huius,eadem quoqj eft demonftratio fumpto quocuncp pundo in-
ter g & t,tn diametro uero b h a, qus eft diameter uiiualis,non eft aliquis locus imagiV
nis^nifi ut proponit 1 0, huius, patet ergo propofitum,

linea,

tlBElt. iEXTVS. • ,,,, ijrj

xxx.

Linea reflexionis circulum qui eft communis fedio fuperficiei reflexio*
nis 8i ipeculi fphazrici conuexi taliter fecante,quod pars linea: produda: in*
tra circulum fl t aequalis femidiametro fpeculi pars diametri in terminis hu*
ius lineae fecantis Ipeculum interiacens pundum feiftionis ipeculi, 8Z pun*
dum Tectionis fui cum linea cotingente a uifu duda ad fpeculum, eft locus
imaginum pundorum illius diametri, & nullus pundus alius diametri eiuf
dem, eritfcjjlocus imaginis femper extra fpeculum.

Sint a c Si a g.Iinex contingentes circulfi,qui eft comunis iedio iuperficiei reflexi*
onis di fuperficiei fpeculi fphxrici conuexi, cuius centrum fit pundu b, fit quoqj in pun
do a,cetrum uifiis,fitcg linea b 3, diameter uifualis iecans fuperficiem fpeculi in pudis
d di 3„ptrahatur'cg i centro ipeculi b,ad pundum cotingentix g, linea b g, palam ergo
per 5-9 .primi huius, quod arcus d g, eft minor quarta circuli, arcus ergo g 3 , eft maior
quarta circuli, ergo per ultima iexti, patet quod angulus 3 b g,eft maior redo, hoc etia
patei.'fic,cum em in triangulo b a g.angulus a b g,ut redus per / 7, terrij, erit angulus g
b a, minor redo, pala ergo per 13. pri- X, /P

«ni,quodangulusebg,eftminorredo, y

abicindat ergo ab ipio angulo hbg, re*
dus,peri3 .primixrit linea h b.xquedf*

ftans linex cotingenti circulu qui eft a ^

g,pala ergo qin linex bh&a g„pdudx ~ / Nj

nuncjj concurrent,& quxlibetdiamcter^^^^^ ^

cadens in arca hg, inter panda h&g, \ J

cocurrent cu linea a g>(pduda per iecu*
dam uel p.pvimi huius.qm angui u acu*
tum cotinebit cu linea b h, ducatur ergo

i pundo a.linea iecans fpeculum qux flt a m o,ita qcP ccurda m o,flt xqualis (emidiame
tro fpeculi qux iit b oJioc aut polHbile eft fleri per 1 3 6. primi huius,erit linea b o,& pu*
dum o,meta imaginum per zS.huius.cocurratfcg diameter b o,cum linea a g,in ptmdo
t, dico fid in quolibet pundo linex t o , eft locus imaginis,& q> in nullo alio pundo dia*
meter tb, eft locus alicuius imaginis ,8i funt punda o di t,metxlocop; imaginum,pim
dum o in fuperficie ipeculi di punda t,extra ipeculu.Solu em in his duobus pundis co
curret diameter b_d cum lineis reflexionis.qux funt a m & a g.iumatur em aliquod pun
dum linex t o.quod fit k.Si ducatur linea a n k.iecans connexam fuperficiem ipeculi in
pundo n,8i ducator ppendfcularis bnx,& angulusa nx.fiat xqualis angulus iug pun*
dum n,ut in alqs pmi(iis,& ,pducatur linea n fataliter ut angulus x n f.fit xqualis angu*
Io a n x,per z 3 .primi„ptrahafcg perpendicularis h t,ad lineam n f. in pundu f,pundus
em concurfus quodcuqj fuerit, uocabimus f.palam uero per 1 4.primi huius,qm conair
tent, linea itaqj n f,non cadet inter punda circuli qux iunt bfiCg, non em fecat ipeculfl
neqj iecat lineam ipiiim ipeculu contingentem in pundo g,qux eft a g t,nifi in uno pff*
do quod eft extra fuperneiem ipeculi iupra pundum g.Si aut daretur quod linea n£
caderet inter pundab8ig,oporteretutuelfecaretiuperficiem fpeculi uel lineamap,
in duobus pundis, in uno infra pundum g, di in alio fuper pundum g,ubi fit reflexio
ad uifum exiftentem in pundo g, di fic dux linex redx fuperficiem includerent qd* eft
impoffibile, forma ergo pundi f mouebitur per lineam f n,ad pundum n,£i refledetur
ad a, per lineam a n,apparebltcg imago eius in pundo k,in cocurfu katheti incidentix,
qui eft fb,cum linea reflexionis,qux eft a k extra ipeculi fuperficiem,8i eode modo de
omnibus pundis linex o t eft demonftrandu, di imagines oim uident extra ipeculum,
& qm i pundo mnulla poteft fieri reflexio forma alicuius pundopdinex b f. ain omes
linex reflexionu 5 pundo m ad pundu a, fadajt xquediftant diametro b f,qcr patetfl
ducatur pcrpcdicnlarisbm,qua; producatur ufeg ad pundum q, & fiat angulus pmq,

QL xqualis

V PERSPECTIVA* VITEILIONIS

sequalis angtrlo g m a, tunc em quia anguli b mo, &mbo, fimt.oquales cx hypothefl,
8i' per j-.primf, erant ficut oftendimus in 28 .huius,anguli b m q, & m b o aquales , ergo
per 28, primi, lineo m p 5i b f oquediftant,nonergo concurrunt , nec un^ flet reflexio
forma alicuius pundi diametri b f, i pundo fpeculi m, pundum ergo o no erit locus
alicuius imaginis pundojj- diametri b f, omnia ergo illa loca funt extra fpeculum in li
nea t o,ita quod punda t o funt loca imaginum.patet ergo ,ppofitum,ita tamen utpun
diun t accipiatur ut (impliciter uifuiri,& ut reflexum pro ut diximus in fecunda huius,
quoniam ipfum cadit in linea contingenti.

• XXXI.

Katheto incidentise fecante quecunc^ pundum arcus circuli, qui eft cos
munis fedio fuperficiei reflexionis Si fpeculi fphamci conuexi interiaccn.*
tis pundum cotingeqtiaj lineae fi centro uifus dudas, Si pundum quo linea
ireflexionis cuius pars intra circulum eftazqualis femidiametro circuli,fecat
arcum circulinon apparentem uifui, erunt locorum imaginum plura intra
jfpeculi conuexa fuperficie,unu tm in ipfa fuperficie 8i plurima extra ipfam.

Difponantur omnia ut in prohabita dcmonftratione,iecet'cg linea a m o, circulum
taliter ut linea m o,(it oqualis femidiametro fpeculi, Si linea agt, contingat fpeculum
inpundog,dico quod in arcu g®, erunt loca imaginum ut proponitur. Sumatur er#
go pundns illius arcus g o,qui ut l,8qp trahat i centro fpeculi diameter b 1, ufcjjquo fe-
cet linea contingente circulu in pundo g.quo eft a t.fecabit aut per 1 4.primi huius, Si
per ea qua: declarata funt in ,pxima pcedente , Sit ergo pundus (edio-
nise.Si producatur linea a l,(ecans apparentem fuperficiem fpeculi in
pundo r,8i palam ex 1 4. tertii, qm linea 1 r, minor eft cjj linea m o,Cu er*
go ex hypothefl linea m o, fit aequalis femidiametro b 1, patet quod li'
nea r 1, minor eft femidiametro bl.Si ergo p, 1 3 «J.primi huius, i pudo a,
.ducatur linea ad diametru b 1, cuius pars interiacens circulum & diame*
trum fitoqualis parti diametri interiacentipundum huius fedionisSi
centrum circuli b,hoc linea reflexionis cadit intra punda b 8i 1, quia fi
detur ut cadat inter puda 1 & e, erit linea v I, maior linea 1 b,omnis em
linea interiacens centrum circulijSC illam partem linea: reflexionis illi
parti dianictri squalem, erit maior illa parte diametri ficut in commen

)to 2t>.huius,per 1 4.tcttij oftendimus de linea b p,quo eft maior cp linea
f j .aequalis parti diametri 3 d,ut ibi patet.Eft aut linea r 1, minor cfj linea
b l,qrn per 1 4,tcrtij,ltnea r l,eft minor c$ linea m o,quae ex hypothefl eft
oqualis ipfi I b, no ergo cadit illa linea inter punda 1 & e,fed necg in pun
da I, ,pptcr eandem caufam.cadit ergo inter punda b & I, fit ergo pun
dus in que cadit illa linea pundus i, a ducatur linea a i,(ecans portione
apparentem fpeculi in pundo u, cuius pars u i, (it aequalis parti diame*
cri quae eft b i.dico ergo quod in quolibet pundo inter c & i, fumpto eft
locus imaginis^ funt punda e & i,meto imaginum. Sumatur em ali-
quod pundum linea: 1 e.quod fit f, & ducatur linea f a,(ecans apparente
portionem fpeculi in pudo h,8d ducatur i centro fpeculi perpendicularis quo fit b h k,
fiatcj? per 2 3 .primi fuper pundum h, terminum linea: k h, angulus oqualis angulo a li k
qui lit h k n jqpalarricp ex promiflis in procedente quoniam lineo b e 5i h y, producte:
concurrent per /4. primi huius, (it pundus concurfus y,8<; quoniam linea h y,cadit extra
ipeculum, forma a go pudf y.mouebitur per lineam y h, adfpeculom, refledeturquocp
S. pundo fpeculi quod eft h,ad uifiim exiftentem in pundo a, apparebitep imago cius
in pundo f in concurfu katheri incidentiae qui eft b f, cum linea reflexionis quo eft ah,
extra fpeculf fuperficiem, & eodem modoeft de omnibus pimdis lineo 1 e, demonftran
dum, imagines enim formarum omnium illorum pundorum uidentur extra fpeculum
excepto folo I, in quo diametrum b l,fecat fpeculi fuperficiem, quoniam in -illo pundo

locus

LIBER S.EXTVS, " *• Ipj.

loedis imaginis eft in (llperBde fpecul/, ideo quod in fuperficie eius Ce in teriecat linea re
flexionis qua: eft a !,cum katheto incidentia, qui eft b y,erit% pundu cuius forma: ima r
go uidee in pudo 1, reflexa d pundo r,confiftens in diametro b i, produda ultra pundu ,
y,ut patet g 1 7.Scd ut patet g zj>,huius,oes forma pudoft cadctiu in diametro b y.ultra
pyndum reflexum i pundo r,refleduntur ab aliquo pundo arcus ru,& loca imaginfi
omnium illorum pundofa (unt in linea i l,ideo quia ut patet ex pramiflis pundum i.eft
meta imaginum, ultra quod pudum nunfjjj apparet aliqua imaginum uifu exiftentein
pundo a, di ipeculi (itu difpofito.ut patet ex hypothefi,pala ergo quod in quolibet pun*
do linea: e i .fumpto inter punda e di i.eft locus imaginis forma: alicuius pundoru dia
metri b e,cduda ultra pundum c.quadani ergo imagines in diametro eb, fequfitur Io
ca intra fpeculum.quadam extra fpeculum ,di una fola in fuperficie ipeculi. f. in pudo
l,& code modo in fjlibet pundo arcus o g.poterit dem5ftrari diametris data puda ar*
cus o g, tranfeuntibus di fuperficie fpeculi fecantibus, prout demonftrationu ncceffiras
requirit. XXX ii.

In quemcuncp pundum arcus circuli, qui eft communis fedio fuperfi*
dei reflexionis di fpeculi fphmrici conuexi,interiacentis pundum in quo Ii
nea reflexionis cuius pars intra circulum eft aequalis femidiametro circuli
inportionenonapparenre,fecatcirculum Si pundum di flantem a pundo
contingentia: per quartam eiufdem ctrculx kathetus incidentia:, ceciderit, lo
cus imaginis femper erit extra fpeculum. ■ /■'

' Difponant ola ut in pCedentib9,ita ut linea a trt o.ffc fleet circulu fpeculi, ut linea m
6,(it aqlis femidiametro ipeculi, di (?c ut i j o .huius ahgitlus h b g,reduSj& linea a g p,
iStingat fpeculu in pudo g.dico qd arcui o h.kathetis icidetia occurrent^ locus ima
ginis erit iemg extra fpeculu.ducat e ni per ali qd pudort arcus o h,diameterbq,cj
Currant cu cotingente a g p,in pundo p,& ducat i cetro uifus linea a u q,fecans fugius ;
in portione uifiii apparente fpeciilum in pundo u,& quia ut prius patuit linea m o, eft,
aequalis linea o p,& linea u q .eft maior eft linea m o.per 1 4.tertij,crgo linea u q,eft ma- .
for linea qb.lineaquoqjduda i circuferentia ad diametrum d b,qine eft aqualis par
ii diametri p b.interiacenti ipfam di centru fpeculi, non cadet inter punda q di b.Si em
hoc fit pofltbile.tunc ut prius erit linea u q, minor fjj linea q b, quoniam fi linea illa ca-'
deret in pundum q,& eius pars intra circuferentiam maior £{j linea u q, per 1 4.tertq.
Reftat ergo ut linea aqualis cadat inter p di q.qnod enim non cadat in pundum p.pa-
lam per hoc, quia angulus p g b eft redus,eft ergo per 19.primi.in trigono p b g, latu»,
pb, maius latere p g,cadat itacjj linea taliter duda.dtra p,8C fit pnndus in que cadito,
frit ergo per 1 8. huius, pundus g.meta locorum imaginum, di quilibet pundus inter
punda p di g.erit locus imaginis,& eft eadem demonftratio qua in fuperioribiis.f, 3 o.
Si j 1 .huius, in quolibet quoq? pundo arcus h o, eft eadem demonftratio. Ex his er*
co pramiflis,ppo(itionibus palam eft, quia imagines diametrorum arcus h o, omnes
jiunt extra fuperficicm fpecul i, imaginum nero diameter f y,ut in 3 1 .huius, una fola eft
in fuperficie fpeculi,ut illa qua eft in puncto 1, alia uero (unt intra fuperficicm fpecul/,
ut qua cadunt in parte diametri qua eft i b.alia uero omes (lint extra fpeculum, ut qua
cadunt inlinea 1 e, omnium quoqi imaginum diametroit arcus o g, quadam funt intra
iuperficiem fpeculi.quadam extra ipfam, quadam in ipla fuperficie Ipeculi conuexa,ut
ibidem in pramifla conclufum eft, patet itaq? quod proponebatur.

XXXIII.

. In arcum circuli communis fedionis fupcrficiei reflexionis 8i fupetfficiet
fpeculi fpbarici conuexi interiaccntem pundum, ubi diameter uifualis
pundum diftans a pundo contingentia: per quartam circuli inferius fecane
circulum, non poteft cadere kathetus incidentia: in quo aliquis locus ima*
ginis occurrat.

Omnibus

PERSPECTIVAE VlTElltONIS
Omnibus altjs difpofitis ut in proxima iiiperiori figura, dico qd in arcum h z.fco pof
tcft cadere aliqua diameter in qua (it locus alicuius imaginis , qrh em linea contingens»
qua eft a gp,xquediftat diametro b h, per zS.prirm, tunc patet quod ucrfus pundum»
p.nulla diameter cadens in arcum z h,concurrit cum linea contingen-
te qua eft a p,& 5 quocuncg pundo talium diametrorum ducatur line»
ad fuperficicm fpeculi conuexam cadit in portionem no apparentem
ipfius fpeculi, utpote in portione circuli quae eft g z c, di nulla ipfaniMi
cadit in portionem circulig d c,uifiii oppofitam,nifi fecando fpliaer ant
fpeculi, nulla ergo forma pundi alicuius talium diametrorum ucniec
ad portionem uifui apparente uel ad uifungomnia aut ifla quas in fe*
micfrctilo d gz,& in eius arcubus in pramiflis theorematibus decla-
rata funt, in arcubus quoqj femicirculi d c z,(imiliter poflunt demon-
ftrari ut in arcubus femicirculi d g z, fimilibus enim acceptis utrimqj
difpofi tionibus arcuum di fimilibus fa dis .ptradionibus linearum, ca
dem in omnibusoccurrcntpaiTiones,& idem eft demonftradi modus,
St fimiliter etiam quod nec declaratur in circulo c d g z, poteft in una
quoqj circulo qui funt communes fediones fiiperficierum reflexionis
& fuperficfcR! conuexi fpeculi fplmici declarari. V nde omnes paflio-
nes probatae fecundum quofcunqj pundos circuli d g 2 c, in comple-
tis circulis accidunt per totam fpeculi fiiperficie, ficut fi pundus g, uel
aliter pundus Jignatus moucatur per fphara fuperficiem St circulum
V defcribat,paflioncs uero arcuum circuli d g z c.pcrueniunt in quadam
^latera fiiperficie contenta fub terminis aqucdiftantiucirculop» per to-
tam fpharam fpeculuficut fi arcus aliquis aquediftas polo motus fpe*
culi aliqua fuperficicm diftinguat,ut patet intuenti.Si itacg linea bh,moueatur eadem
manente angulo h b z,fignabit ipla motu fuo fecundum pundum z, portionem fpha*
xx, in cuius diametris nullus erit imaginis locus, & fi linea b z.immotaexiftentc mouc<
atur arcus o h,defcribetur portio fphxrte, cuius omnes imagines in diametro b o, uel a*
lia protrada exiftentes fiint extra fpeculum,moto ucro arcu o g,fict portio fpeculi.cuj»
»us diametrorum quadam imagines funt in fiiperficie fpeculi, quadam extra, 8t qua*<
dam intra fpeculu,uerum uifiis non femp comprehendit qua imagines funt in fuperffn
cie fpeculi, uel qua fint extra, nec certi fica tur in iftorum comprchcnfionc,nifi intimu,
quia fentir quod funt ultra portionem fphara apparentem. Sic ergo ex pramiflis 6,
theorematibus patet in propofitis fpcculis loca imaginum cfie dcterirunata,fecundum
quod imagines horum ipcculorum uni cantu irtuifui offeruntur,

XXXI 1 II,

Ambobus u i filius a duobus puneftis reflexionis fugficiei fpeculi fpharici
conuexi forma unius pundi occurrente unicus imaginis eft locus, & imago
tantum unica uidetur.

Sint centra duorum uifiium a di b,8<! pundus uifus fit c, fifcgcf
c centrum circuli magni, qui eft lecans ambos circulos, qui fiint co*
munes fediones fupcrficicrum ambajt reflexiois & fpeculi,dcuiuS
pundis fit reflexio, & cuius portio apparens uifui fit e f, fit'qj pun-
dus reflexionis di fpeculi forma: pundi c,ad uifum a,pundus g,84
pundus reflexionis forma pundi c,ad nifiim b,fit pudiis h, adit
cat kathetus incidentia i pundo c,ad centru fpeculi, qui fit c d,fe#
cans circulu in pundo o,fecet'cg linea reflexionis qua eft a g, ,pdii<
da ipfiun kathetu c d,in pundo k,& linea b h,in pudo gfunfqj prl
mo uifiis ambo aqliter diftantes a cetro fpeculi d,&: i pudo rei ui-
ia qcP eft c,dico qcr ambob? uifibcj a di b.formx pundi uifi c, licet
duo fint reflexionum pun da iquag&h, uno tantum imago uide
f* uu, quia unicus eft imaginis locus. Ducantur enim linea a d 84'

K

LIBER frEXTVS. lyj

bd, a' centris amborum uiTaum ad centrum; fphsrs fecantes (peculom in 'pundis
1 5C m,82 pa!am,quonia ilis lineat iimt squales, ocul is enim aequaliter diftantibus i cen*
tro ipeculi quod eft d, palam quod linea a b continuans centra oculorum cum ambabus
lineis a d&'bd,cotinet angulos squales argumento 30. terti) huius, ergo per 6. primi,
linea: a d & b d,funt squales: fi ergo fitus pundi c refpedu utriufqj uiius a&b (itidem,
ita ut linea a t fit aqualis linea: b c,tunc pa tet per 8.primi,quod utraqj diametrorum ui
dialium icilicet a d & b d,cum katheto c d continet angulos arquales >ergo per zj-.terttf,
arcus fpeculi 1 0 &! m o funt arquales, quia enim ad &bd, diametri uifuales fecant ex cir
culis comunibus fuperficiebus ipeculi & reflexionis arcus, & concinet angulos squales
cum katheto c d in centro d,pala per zj-.terttj.quia illi arcus lineas cd&bdex una par*
te,Sd ex alia lineas c d & a d,interiacentes duo punda reflexionis qute iimt h & g,8 i pun
dum o,(unt squales per 2j.terri),quoniam perpendiculares duds i centro ad punda
reflexionum,qus funt d g p & d h q,cum linea c d continent angulos squales,&: quia ar
cush o &!gofuncsquales,8<:iernidiametri d h & dg squales, erunt etiam lines reflexi
onum qus ilint h b & g a squales ,per 4. primi, quoniam ad uifus squalirer diftantes i
centro (peculiiecundum squales angulos funt incidentes, eruntfcp (imiliter lines ge&
h e squales, linea uero b h,& a g neceflario ie iecant,quoniam cum anguli iimt minores
duobus rcdis,palam per i4,primi huius.qaia lines b h & a g,in aliquo pundo nccefle
habent concurrere >Si quia anguli reflexionis ‘ad arpbos uifus propter squalem diftan*
tiam amborum uiiuum i pundo rei uiix,8£ i centro ipeculi funt squales ,enint & an
guli c g sP&fc h b inter ie squales, palam ergo per 1 3 .& 3 z,primi,quia trigonii g c h eft
squiangulum trigono h c i,d£ linea c h cft squalis ipfi lines e g,eric ergo per 4. (exci, liV
nea h i squalis lines g k,& linea c k squalis ipfi lines c i,punda ergo k & i funt pudus
unus,fuper idem ergo pundu kacheti cd,erit (edio ambarum linearu 'reflexionis , qus
funt a g&bh,cum katheto incidentis qui eft cd,& in hoc pundo utriqj uifui appare-
bit imagOjUidebftur ergo una fola imago, quia unus et idem imaginis locus erit, quia ui
fus non squaliter diftent i fpeculo ucl i re uifa,ad huc tamen unica uidebit imago, licet
enim imago pudi uiii cadat in diueriis pudis perpendicularis,hoctamcn eft imperce*
ptibile, imago ergo cuiuicuncg pundi i quocuncp uideatur oculo, iemper feruat iden-
titatem partis, & ob hoc apfwret unitas imaginis. Remotio enim pudi uifi ab uno ui*
fu modico , cft maior cfi ab alio,& ob hoc loca imaginum funt imperceptibiliter remo-
ta,& ob hoc apparent (imiliter.qm ex illis fit una imago compada , quia loca imaginis
n5 taliter i fc diftant, licet ptialitcr aliquatulu diftent, patet ergo,ppofit5.Poteft tamen
quadoq? 2^ lioc accidere,ut (i forma reflexa ualde obliqus incidat alteri uiiuu.qcPppter
obliqcacem Una forma uideatur dus , ut cum in una iuperficie reflexionis funt centra
ambap; uiiiium,tunc enim prsmifli anguli in cetro fpeculi fiunt insquales,& accidit ui
deri duas formas, iicut& nos in fimplici modo uideai diximus in quarto libro huius ca
pitulis de uifione numerali, fed hoc euenit ut raro,& nos de hoc ali qd diximus in 7. quin
ti huius. XXXV,

In fpeculo fphamco couexo eft ordinatio pun&orum imaginu in ambo
bus uinbus,iicut ordinatio puneftorum rei uifa? ,

Ducantur i terminis lines qus eft in re uifa duo katheti ad centrum fpeculi , pala ’
ergo quod tunc erit triangulus in quo corinebuntiir omnes imaginesomniu pundoja
illius lines & fi in illa linea ii t pundus non eiufdem fltus refpedu amborum imaginu
pundi remotioris ab illo erit in diametro remotiori ab eius diametro , fi^pingoris in
,ppmquiori, qni iemper imago cuiuslibet rei uiis uidebitnr in c5curfu lines reflexionis
cum katheto incidentiedudo ab illo pundo ad centru fpeculi ,ut patet per 1 1 .huius . Si
ergo obferuabitur (itus p artiii in imaginibus iicut fuerit fitus in pundis uifis . Sumpta
uero linea in qua eftpundum eiuidem fitus, quodlibet pudum illius lines eiufdem erit
fitus refpedu oculorum.Si aut fumat linea qus angulu qua continent dus lines a cetris
oculorum ad pundu uiiiim .pduds diuidit per squalia , ficus cuiuslibet pundi illius li«
nes quatumcuq? ,pduds eft fitus cofimilis utriqj uifui ficut ani, patet ergo propofi tu.

3 In qbua

PERSPECTIVAE VITELLI OKlS
XXXVI. -

Inquibufdam fitibus poftibileefti fpecujis fphscricis conuexis pluribus
uifibus rem apparere unicam unamfcp imaginem habentem.

Sit communis fedio fuperficiei reflexionis di fpcculi fphxrici coiluexi circulus a b,
cuius centrum fit d,&: lit pundum c .pundumrei uifx,ducatur'cg linea C d,S pundo uis
fo in centrum d,fecans fpeculi periferia in pundo o,fit'cg arcus a o, xqualis ai cuio b,8i
ducantur lt nex c a & c b,qux per 8 .terit), & ex hypothefi erunt xquales, & i pundo di»
catttr linea f a e, contingens circulu per 1 6,tertfj,&: a pundo b,linea p b q, & ducatur Ii
nea ab, patet ergo per j- «primi huius, qm anguli c ab di cb a,funt xquales, fed di angil-
,li a o b Sd o b a linea curua & reda contenti funt xquales per 43 «primi huius.Sed di ari

J guli contingenti* o a e di o b p per 1 j-.terrii.funt xquales: relini*

quitur ergo angulus c a exqualis angulo cb p.Itaqj (up pundS
\ a terminum linex e a coftituatur angulus xquafis angulo c a e

\ per x 3 .primi huius.qui fit g a c,di fuper b terminu linex c bcofti

\ tuatur angulus xqualis angulo p b c,qui fit h b c, eritq? angulus

\ h b c xqualis angulo g a c.Pofitis rtacjj uifibus in pundis g & h,

? \ palam per zo. quinti hutus,quontam Forma pundi c refleditur

\ \ ad ambos utilis exiftentes in pundis g Si h,ad punduquocg h,|

\\ pundo b producatur quoqj ultra pundu a linea g a, ad linea c d,

\\ qux cocurrentcu illa per i4.primi huius, ideo quia anguli g a c

& a c d funt minores duobus redis,cocurrat itaqj in pundo k, 8i
producatur linea hb ad lineam cd,qux fimilitercocurret pprx
Hmifla di in eodem pudo lc,quia enim ut patet ex prxmifiis linei
zr^^np^a r aqualis linex c b,& a d xqualis ipfi b d, quia femidiameter
K di linea c d c5is eft ambobus trigonis a c d & b c d.erfit anguli a c

\ d & d c b xqles, per 8 «primi, & angulusg a c, eft xqlis h b c, fed
\ di angulus p b c oftenfus fuit xqualis efle angulo e a c . eft ergo
^ \ angulus hb q xqualis angulo g a f per / 3 «primi.Sed 5i angulus

eakeftxqualisangu1ogaf,&:anguIuspbk xqualis angulo h
b q,per 1 j\primf,ergo angulus e a k xqualis eft angulo p b k, erit ergo totalis angulus
c a k xqualis totali angulo c b k,ergo per 3 z.primi, trianguli cak&cbk iunt xquiar»
guli,crgo per 4«(cxti,cu a c fit xqualis ipfi b c,erit latus a k xquale lateri b k, cocurrent
ergo in uno pundo k ,qm la tus c k eft in ambobus trigonis xquale fibtjpfi, fed pudus k
eft locus imagmispudi c,ci it ergo ambobus uifibus idem locus imagtnis,fccundum er
go propria facie aipicientes uideat fiue res alias i loco pundi c,a pundis a & b reflexas
ad uifus in pudis g di h exiftcntcs.Idem accidit utrobiqj.idem accidit in toto cir-
culo tranfeunte piicla b di a.qfn in quolibet pudo illius circuli modo prxdido difpofi
tis uifibus eadem eft dcmonftratio,pala ergo propofitu. Si aut anguli reflexionu funt
diuerfftunc res una diuerfis uifibus in locis uidebit diuerfis, & plura idola obtinebit, di
hoc eft notandu, & fatis patuit per prxmi(Ta,quia i lix reflexionu linex in diuerfis pun-
dis diametri fpcculi concurrut,& ob hoc loca imaginum conftituunc diuerla,ut patet
per 1 1. libri huius,patct ergo propofttum.

xxxvii. :•

In fpecuhs fphscricis conuexis minor eft diftantia imaginis a fpeculi fu*
perficie,quam ipfius rei extra.

Efto circulus,qui eft co is fedio fuperficiei reflexionis di fpcculi fphxrici couexi h
. k, cuius centrum z,di linea uifa oblique incidens fpeculo fit e ffitcp centrum uifiis b, &
refledatur pundus c,i pundo ipeculih ad uifum b di f,d pundo q, ducantufcp linex e
h,hb, f q, q b,& ducant perpendiculariter fuper fuperneie fpeculi katheti e z,f z,per
7 z. primi huius.fecctfcg linea e z circulum fpcculi in pundo r,&f z in pundok,&bI»
produda intra fpcailum fecet e z in pundo a ,di b q fecet f z in pundo g, di pr-oducai

X. I B E R SEXTVfV

*urlineaag,quxper 1 i, huius, etit imago linex e t, ducator*# Spundloh linea eircu*
Ium contingens per i £.terttj,qux fi t h tA hxc produda fecet lineam e z in pundo t,
eritcp pundus t finis contingentia: linea: h t, fecet'*# linea t h produda ultra h, lineam
b g in pundo 1>& a pundo t ducatur perpendicularis fuper lineam e z per 1 1, primi,
qua: produda fecet e h lineam in pundo d,& fit d t,quia itacp angulus b h 1 eft aqualis
anguloehtper zo.quintihuius.Scd & angulus t h a aqualis eft angulo bli 1, per i y,
primi ,ergo angulus e h t eft aequalis angulo t h a, ergo per tertiam iexti erit proportio
line* e h ad h a,(icut line* e t ad lineam t h. Sed linea e h eft maior cp linea h a, ergo &
liriea e t eft maior, qudm t a.Qudd autem linea e h fi t maior qudm linea h a, patet; cum
enim angulus et d fit redus,erit angulus e t h maior redo*,eft ergo per 1 3 .primi angu-
lus e t h maior angulo a t h. Sed angulus e t h maior eft angulo c h t,g 1 3 .primi. Item
angulus e t h maior angulo a t h.Sed Qi angulus e h t eft aequalis angulo a h t, ut patet
ex prxmiffis, quia ita*# anguli trigoni e th, omnes fimulfumpti funt ecquales angulis
trigoni a t h,oibus fimul fumptis perzz.primi.Relinquitergo angui? t a h trigoni t h a
maior angulo t e h trigoni h e t.In trigono ita*# a e h, angulus e a h maior eft angulo a
eb,ergointrigonoeah,latusehmaiuseftlatereha,per i8.primi;maioreft ergo li-
nea c t,quam linea t a.multo magisergo linea e r eft maior qudm linea r a.Sed linea r a
eft diftantia imaginis pundia.d fuperficie fphxrx fpeculi intra ipeculum, di linea e t,
eft diftantia pundi uiu,qui eft e, a iiiperfifcie fpeculi extra fpeculum, & fi 5 pundo q du
catur linea contingens circulum,qux produda ad kathetum f z, fecet /pfum in puiv*
do m,& d pundo m ducatur perpendicularis fuper f z,qux produda ad f q fit m n, pa
tebit fimiliter,quoniam linea f k eft maior quam linea k g.hoc eft ergo propofitum.qfl,
niam fi a medijs pundis linex-e f, ducantur line* ficut ab extremis,patebit idem in o~
mnibus imaginibusipforum.quxpcr 1 1. huius cadunt omnes in lineam a g, patet ergo
hoc quod proponebatur.

XXXVIII.

Re confpe<fta d tali longitudine, quod eius certa quatftftas uifu compre*
hendi non poflic,nonnunqu3 uidebitur imago rei uifaz in fpeculo fphzeri*
co conuexo a:quaIis,quandocp maior qudm forma per fe
uifui occurrens. #

Sit a centrum ipeculi iphacrici conuexi,& circultls qUi eft Coni
munis fedio fuperficiei reflexionis & fuperficiei ipeculi fit e d b, 6i
fit e d diameter illius circuli, & ducatur diameter e d ultra d,uiqj ad
z,taliter,ut illud quod fit ex dudu e z in zd.fit xquale quadrato a
d,femidiametro per 1 z7.primi huius,ac fied&ad fint du* line*
datx,Dmidatur<#lineazdpcrxqualia in pundo h, per io.pri«
mi,erit igitur ah medietas linex e z, ergo per 1. iexti, iftud quod
lit ex dudu ah in dz^ftxqnalc medietati quadrati line* a d. Er *
go per eandem primam fexti illud quod fit ex dudu a h in h d, x-
quale eft quartx parti quadrati ad, & quia illud quod fit ex dudu
a h in h d , maius eft quadrati h d,per 3 .fecundi. Sit illud quod fit
ex dudu a h in h t,xquale quadrato h d.erit ergo h t minor qudm
h d,fiat ergo circulus fecundum quantitatem linex a h,qux necefi»
fario xquediftabit circulo priori.quoniam ipiorum eft idem cen*
trtim pundum a ipiorum iemidiametri funt ixquales, & d pun
do h ducatur corda xqualis medietati linex h d,per primam quar
ti, qua: fit hq,& producantur linex q a,q t,& fuper pundum q li-
nex h q,fiat angulus xqualis angulo q a h per uicefimamtcrriam
primi,quifithqn,dudalineaqn fuper lineam a h , & quoniam
trianguli h q a, angulus q a h xqualis eft angulo h q n,trigo
ni h q n,8i angulus a h q utriqj comunis, erfit tertius tertio xqua<

PERSPECTIVAE VJTE1LI0NIS
fis per 3 i-primf.f.angulus a q h, angulus h n q.ergo per 6.tertq,en't pportio h a ad q h,
fictu q h ad h mergo per i 6, facti, illud qcf fit ex dudu a h,in h n, aquale eritquadrato h
q,fed quadfata h q eu 4. pars quadrati h d,g 4.fecadi,eft em h q medietas lineae h d, du
dusergo'a h in hn.eft aequalis 4.partf quadrati d h.ergo & 4.dudus a h in h t, eft ergo
linea h n,squalis 4-parti lineae htpcri .fexti,cadit ergo pundan.inter puda h & t, ren
mariefqj linea t n, tres qtiar ts lines h t.reftat ergo ut dudush t in t n,fic tres quarta q-
drati h t,per x.fecundi.Sed di per 1 .fexti, erit dudus lines a h in t n,tres quarts quadra
ti hd.qrh aut angulus a q h,eft acutus g 41. primi huius,& ipie eft squalis angulo; q h a
per j- .primi.qm latera a h & a q,funt squalia.patet ergo, quia angulus q h a, eft squa*
lis angulo h n q,in minori triangulo, ergo per 6.primi,Iatus n q, at squale lateri h q, di
angulus h n q eft aeutus,ergo g r j .primi, angulus q n t eftobtufus.ergo quadratum li-
nes t q, amplius eft quadraro lines q n,& quadrato lines t n, in illo qcf fit ex dudut n
innh,g 1 x.fecundi, Siemipundo q .ducat perpedicularis fughn, palam per 3 1 .primi
huius.cu latera q h di qn.fint squalia qcf ipfa cadet in medio pudo lines h n, ex prima
nero fecundi dudus n t, in h n, squipollet illi qcf fit ex dudu t n,in medietate h n bis.
Sed dudus t n in n h,cu quadrato n t,squalis eft dudui h t in t n, per 3 . fecundi, igitur
dudus h t in t n,eft excernis quadrati lines t q.fiig quadratu lines n q»ergo di fug qua*
dratum h q,cu hqdit squalis ipfi n q,fi uero quadrata t q.eft maius quadrato h q, od li*
nca t q,erit maior linea h q,fit ergo per 3 .primi huius, .pportio a i ad a h.ficut t q ad q h,
quia ergo linea q t,eft maior cp linea q h,er/t linea a i, maior cp linea a h.erit quocg per
1 S.fexti,^) portio quadrati lines a /, ad quadratu lines h q,qm ficut fimpli ad fimplu, fic
dupli ad duplff, proportio neto quadrato^ dupla eft^pportioni lateja ex 1 8.iexti,erit er-
go per 1 7.quinti,excefiiis quadrati a i,fuper quadratu a h, ad quadratu a h, ficut dudus h
t in t n,ad quadratu q h,& qm ex 4.(ecudi,&: ex pmiflis quadratu .lines q h, quater iqm
ptum .efficit quadratu lines h d,& dudus h t in n t, quater fijmptus efficit triplum qua-
drati h t,ideo qcf dudus h t in t n,eft tres quarts quadrati h t,ut pmiflum eft,qnater ue*
rotriafunt u.in quibus tria integra continent,erit ergo per ly.quintijdudus htin t
n,ad quadratu q h,ficut tripli qaadrati h t,ad quadratu h d.Sit aut h o, linea tripla ad Ii*
neam h t,erit ergo per prima fexti dudus o h in t h, triplus quadrati h t, fed qm dudus
a h in h t,eft squalis quadrato h d,erit per 1 6, iexti,, pportio h a ad h d,ficut h d ad h t, e*
rit ergoh t ad h a, ficut quadrat^h t,ad quadratu h d,ex corollario 1 7.iexti,Veru ,ppor-
tio lines 0 h,ad lineam h a,eft ficut dudus o h in h t, ad dudu a h in h t, ex prima iexti.
Siit a per 1 / .quint/.eft .pportio lineso h,ad lineam h a, ficut tripli quadrati h t,ad qua*
dratum h d.fcd hoc erat ,pportio exccflus quadrati lines a /,(iiper quadratum lines a h,
ad quadratu ah, eft ergo coniundimper 18. quinti, pportio lines o a, ad lineam h a, fi*
cut quadrati lines a i, ad quadratu a h,exceflus em quadrati a i.fuper quadratu a h, c3
quadrato h a, efficit quadratu a i,igit ex r 7,fexti,erit linea i a, medio loco pportionalis
inter lineas o a & h a,eft.n.ut in corollario 1 7,fexti,pponit >triu lineajt- continue ppor
tionalium,proportio prims ad tertia,ficut quadrati conftituts iiper prima ad quadra
tum conftitutum fuper feaindam.igitur pportio lines o a ad i a, eft ficut 1/nes i a ad h
a.erit ergo per 19 .noni, eadem pportio refidui ad refiduum.f.o i ad i h,cu itaqj i a.fitma
ior cp a h.erit o i, maior cp i h,ergo linea i h,eft minor medietate lines o h.

Item ut prius oftenfum eft dudus lines a h,in lineam hd, eft squalis quarts parti
quadrati lines a d,ied linea ad, eft minor quim ah, dudus ergo ad inh d,eft minor
quarta parti quadrati lines a d, linea ergo h d eft minor quarta parti lines a d, quoni-
am fi eflet lines hd squalis quarts parti lines ad, tunc per 1. fexti dudus ad in hd
eflctsqual/s quarts parti quadrati lines ad, cum ambo fint altitudinis lines a d,eft er
go linea h d minor quints parti lines a h.cu itaqj linea a h fit maior cp quintupla lines
h d, dudus uero I/nes a hin linea h t, fit squalis quadrato lines h d,ut patet ex prsmif*
lis, erit per 1 «S.fexti, linea h d maior cp quintupla lines h t,quonia qus eft proportio li*
nes a h ad linea h d,eade eft proportio hd ad h r,eft ergo h t minor quinta parte lines
h d,& h d eft minor quinta parte lines a h,ergo h t eft minor * j-.parte lines a h; $ft aut

- LIRER : SEXTVS* • If7

«x pramiflis pportio I/ncae o i ad i h,ffcut line» i a ad h a, ergo per 1 8. quinti erit coiun
«ftim pportio linea: o h ad i h, ficut lineae i a cu linea a h,ad linea a h.ergo per i y , quinti*
erit proportio tertia: partis prima: line» ad iecundam.ficut terti» partis ipfius terti» li.
ne» ad quarta:quia uero linea h o aflumpta tripla line» h t , patet q> linea h t 'eft tertia
pars line» o h,eft ergo proportio line» h t ad i h.ficut terti» partis line» i a cum tertia
parte line» a h ad linea a h, Eft igitur pportio lineaht ad i a,ficut duaij: tertiari: line» a
h cu una tertia line» i h ad linea a h,quia enim linea a h bis accipitur,(emel per feipfam
&C iemel in linea i h,ergo fiteius tertia bis accipiturdinea uero i h accipitur femel in Ii*
nea a i, unde Qi eius tertia eft tantu femcl accipienda,quia uero linea o i eft maior quam
linea i h,ut fiipra patuit,8<: linea i h eft minor medietate line» o h,ergo tertia pars line»
i h erit minor 'facta parte line» o h per i y.fexti.Sed cu linea h t fit tertia pars line» o h,
ergo medietas line» ht eft aqualis (ext» parti line» oh.eft ergo tertia pars line» i h
minor medietate line» h t,ergo du» terti» line» a h cu minore parte line» cp fit medie
tas line» h t, habuit pportionem ad lineam a h,illa quam habet linea h t,ad linea i h,er*
go econtrario per 5; .primi huius.erit proportio line» i h , ad linea h t, ficut linea a h , ad
duas fui tertiaSjCum linea minore medietatclinex h t,eft aut linea h t ,ut patet per prx-
mifta minor zy. parte line» a h,&! eius medietas minor eft medietate zy. partis line» a h
Sed linea a h in zy. partes diuiia.du» eius terti» cu medietate zy. partis no efficiunt 18,
partes ipfius3qmdu» terti» de z4,lunt i.<S.8i remanet unfi, cuius du» terti» cu illo qd*
eft minus dimidiq,forte eft plus cj? unu integrum,mmus aute c|duo integra. Igitur p*
portio line» i hadlin.eaht^eft maior cpzy. ad i8.per8,quinti.Itemc5linea ht fit mi-
nor z y .parte line» ah, erit linea a t,maior Z4.gtibus illajfcpartiu.quafi' linea ah, eft zy, ,
Sed linea i h,eft minor medietate Iine».o h, eft aut o h.tripla ipfi lit,ergo linea o h.,eft mi
nor una & dimidia partiu ex gtibus,quap£ a h,eft zy .ergo multo magis linea i h,eft mi*
nor una parte & dimidia illabi zy .gtium line» a h : eft ergo pportio line» ai, ad linea
a tdteut line» minoris cp z6.partes Si dimidi» ad lineam maiore cp Z4,partes partium
earundem.Eft ergo proportio linexa i ad lineam a t minor proportione z 6. Si dimidrj
ad z4.per 8 .quinti.-Proportio uero line» i h ad linea h t,eft maior qj 14. partiu ad 1 s .
quonia ex pramiflis iplaeft maior zy, partiu ad 1 3. Igit pportio line» i h ad linea
Iit, eft maior cp pportio line» i a ad lineam a t,qm minor eft pportio z6.& dimidtj ad
Z4.cfj z4ad 1 8 .quxcft ftiquitema.Fit quoqj per 3 .primi huius, pportio line» i m ad
linea m t,ficut line» i a ad a t.Eft ergo.maior pportio line» i h ad h t,cp i m ad mt.ca*
dltergo pSdusm inter punda i Sthper p.primi huius,Iinea ergo m t eft maior cjjhnr,
ergo e S.quinti^maior eftpportio i m ad h m,cp ad m t,ergo maior im ad m h,cp line»
ia adat,ergomaiorpport/oim ad mh,cpia adah,qrhper 8 .quinti maior eltppor
tio i a ad a t,cp ad a h,cu a t fit minor quam a h.Sit ergo per 3 .primi huiuspportio line»
i 1 ad 1 h.ficut line» i a ad a h, cadet ergo ut prius pudus 1 inter duo punda m & i,quod
poteft oftendi ficut prius.Et his fic pramiflis innouabimus figura. Fiat itacp omni

moda difpofitio ut in prxmifla figuratione, Si in demoftratione ulterius pccdaf , A pu
dis itaqj 1 Si m ducantur du»line» cotingentes circulu d b e,g 1 6.terti),qu» fint 1 b Si
m g,& copulentur line» i h,h b,i g,t g, a b,a g,& educatur line» a b ,a g,ad circulu ex*
teriore qu»libet in pundu z.quia itacp ex pramiflis eft pportio line» i 1 ad linea 1 h ,fi*
cut katheti i a ad lui parte a h, patet per 1 z. huius, qm pundus h eft locus imaginisfor-
m» pundi i,reflex» ipundo fpeculi.quod eft b,quia danti oppofitum accidit contra*
rium proportionis prxdemonftratx line» i a ad lineam ah, erit enim tunc proportio
line» i a, ad lineam dudam ad locum imaginis a pundo a .ficut line» il ad lineam du*
damSpudol adIo.ciumaginis,&quiaiitprxoftenfumeft,pportio line» i 1 ad linea
h I,eft ficut line» i a ad h ajerit ergo pundus h locus imaginis,erit quocg angulus i h z
contentus fub linea incidenti» i b,& iiiper perpendiculari a b z,duda 5 centro fpeculi
ad pundum reflexionis »qual is angulo h b a,quem continet linea reflexionis cum ea*
dam perpendiculari a b z, quoniam ut patet per <j ,huius,illa linea reflexionis concur-
rit cum katheto incidenti»,qu» eft a i ; uterqj enim illoru angulorum eft aqualis cui*

R dam

> 4 **l*4 % d rt/feir? 5

PERSPECTIVAE VITEILIONIS
'fiam angulo reflexionis, qui exempli caula fi t zb x, ita ut centra nilus fit fn pundo x,
■uel in aliquo pundo illius linea.-angulo itacp zb x sequat angulus ib z,g zo. quinti ha
i ns, g que oftedit q> angulus inridetia eft aqualis angulo reflexionis,&: angulus h b a
aequatur angulo xb z,per i j-.primi.Ec fimiliter cu pfrdus h fit lo-
cus imaginis, 8i linea 1 b fit cotingens circulu in pudob, erunt ar»
guli 1 b z& a b 1 redi, per 17.tertrj.Sed angulus i b zeft aequalis an
•gulo h b a, relinquitur ergo angulus i b I arqualis angulo Ib h.Siml
liter quocp erit angulus i g z squalis angulo t g a, & cu linea m g
fit cotingens circulu in pudo g , 6C perpendicularis fiiper diame-
trum a g, erit fecundum pramifla angulus i g m aqualis angulo
m g t.eftenim iecundil praemifla pundus t locus imaginis formae
pundi i reflexa» i pundo fpeculi quod eft g. Item ducatur i

pundo h ad lineam a b,per 31. primi, linea aquediftans lineae i b,
qua fithp,&apundo c ducatur iuper lineam a g aquediftans li-
nesig.quafit t k,eritergo p 151, primi, angulus ibz aequalis an
gulo h p b.Sed angulus i b z ex pramifllseft aqualis angulo h b a
Duo ergo anguli h b a & h p b funt aquales:ergo per6.primi duo
latera h b & h p funt aqualia : & fimiliter iequitur quod duo late
ratg&tr,fimtaqnah'a:quiaitaqjintrigono h pb.duo anguli h
i pb & hbp funt aquales, patet ptricefimafecunda primi, qooni
am utercp/plbrum eft acutus.angulus ergo h p a eft obtulus,ergo
per decimamnonam primi,tn trigono h a p, latus a h eft maius la*
tere h p,ergo& linea a h eft maior quam linea h b,‘& fimiliter erit
linea a t maior quam Hnea t g. Amplius quoniam linea hpeftx»
/ quediftans linea i b;erit per uicefimam nonam primi, & perquar
tam foeti, proportio linea a i, ad lineam a h.ficut linea a d ad line
ara a p :& fimiliter cumlinea tr fitaquediftans linea igjeritp*
portio linea a i ad lineam a t,ficut linea a g ad lineam a r: ergo e»
V titecontrario per quintam primihuius,proportio linea a h ad li*
\neam a i.ficut linea ap ad lineam a b.Sed linea a geft aqualis li*
nearab, per diffinitionem circuli: ergo per ieptimam quinti, ea*
dem eft proportio linearum a g & a b adlineamarteft ergo pro-
portio linea a i ad lineam at,ficutab ad a r. Ablatis ergo hinc
indeeifdemmedijs, quaflmt a i & a b, erit per uicefimam iecun»
fiam quintbproportio linea a h ad lineam at.ficut linea a p ad lineam a r.Verum cum
angulus h p a fit obtufus, palam per duodec/mamfccundi, quia quadratum linea a h
excedet ambo quadrata linearum h p &a p , in eo quod fit bis ex dudu linea ap inii
neam dudam & pundo p u% ad locum perpendicularis duda i pundo h fuper line-
am a p.Scd perpendicularis duda £ pundo h/uper lineam a p produdam, neceflario
cadet in medio linea p h,per tricefimamprimam primi huius,quoniam linea hb& h p
funt aquales:ergo per primam fecundhquadratum linea a h ,excedit ambo quadrata
lineat um h p & a p.in eo quod fit ex dudu linea a p in lineam p b. Sed per primam fe
cundi,illud quod fit ex dudu linea ab in lineam a p,eft aqualisei quod fit ex dudu li*
nea a p in lineam pb,& quadrato linea a p.Quadratum ergo linea a h excedit quadra
tum linea h p,in eo quod fit ex dudu linea a b in lineam a p. Eodem quocp modo de
monftrandum,quod quadratum linea a.t ,excedit quadratum linea t r, in eo quod fit
cx dudu unius linearum a g uel a b in a r,cum linea a g fit aqualis ipfi a b: ducatur er*
go linea ab in ambas lineas ap & a r Aproticnient duo pramifli exceflus, quorum
alterius ad alterum proportio per primamiexri.eft ficutiinear a p adlineam a r,cum
apforum fit eadem altitudo ,qua eft linea ab, eft autem ex promillis proportio linea a
p ad lineam a r,ficut linea a h ad lineam a fjerit ergo proportio exceflus quadrati a h
fuper quadratum h p,ad excefium quadrati a t fuper quadratum t r,ficut linea a h ad lt

LIBER SEXTVS. lj-8

«icam a t:& cum h p fit xqualis ipfi h b>& t r fit aqualis ipfi t g, erit proportio exceflus
quadrati a h (Iipcr quadratum h b.ad exccflum quadrati at, fuper quadratum t g, ficut
Iinexah,ad lineam a t.quiauero per zj-.tertij .illud quod fit ex dudu linex e h, in hd,
eft aquale quadrato linea contingentis dudx S. pundo h,ad circulum d b e,cj per 60 *
primi huius, Qt per 8 .erit minor quam linea h b,iilud quod fit ex dudo linea eh , in li*
neam h d,eft minus quadrato linea h b.patet ergo quod illud qd'fit ex dudu a h,in b d,
minrisell quadrato hb.fiat ergo per 1 primi huius, ut illud quod fit cx dudu ahii»
h u,minorem linea h d, aquale fit quadrato linex h b,& quoniam linea a h eft maior cff
linea h b,erit quocg a h maior quim h u,abfcindatur ergo h n I linea a h, per tertia pri*
mi in pundo u,patet itacp per z Jecundi ,quia quadranim linea a h,eft aquale ei qu»d
fit ex dudu linea a h, n h u,& in a u, illud quod fit ex dudu a h in a n, eft exccfiiis qua
d rati ah fuper quadratum hb.Eft ergo proportio lineae a h, ad lineam a t, ficut eius
quod fit ex dudu a h in a u.ad exccflum quadrati a t,iuper quadratu t g.Si itaqj dux li*
nex a h & a qducanrin lineam a u,erit per i.fexti proportio eius quod fit ex dudu a U
fn a u,ad illud quod fit ex dudu a t in a u, ficut linex a h ad lineam a t, ergo per nonani
quinti,illud quod fit ex dudu linex a t in a u,eft xquale excefliii quadrati a t fuper qua
dratum t g.Sed per fecundam (ecundi, quadratum linex a t eft xquale ei quod fit
ex dudu a t in a u, & a t in t n,eft ergo illud quod fit ex dudu a t in t n xquale quadrato
tg, palam ergo quoniam dudus linex a h in h u,cft xqualis quadrato h b,& dudus a C
in t u, cft xqualis quadrato t g. Item arcus b g diuidatur per xqualia in pundo o,
per uicefimam nonam terrij ducaturfcg linea a o,& i pundis b8ioag ducantur tres g
pcndiculares fuper lineam a h per duodecimam primi,feilicet b f ,6 y,g k,& a pundo g
ducatur linea xquediftanslinex a h,per tricefimamprimam primi.qux fitg s ,& a pun
do b ducatur perpendiculatis fuper lineam a g.qux fic b t hic quidem b c fi produce
recur ad periferiamcircu1i,dtuiderctipfamlineaaginduoxqualia per tertiam tertff,
& fimiliter diuideret arcu cuius corda eflet produda b c per xqualia in pundo g, & ita
fecarctur alius arcus xqualis arcui b g, quoniam in illum arcum caderet angulus c b g
& ita angulus c b eft medietas anguli qui fuper centrum a caderet in illum arcum , per
dedmamnonam tertij. Sed ille angulus per uicefimamfextam tertij cft xqualis angulo.
gab,quoniam cadunt in arcus xqaales fuper centrum a, igitur angulus c b geft medie
«as anguli g a u. eft ergo per uicenmamfexta tertij, angulus c b g xqualis angulo o a g.
Duo autem anguli b s g & b c g funt redi .ergo per tricefimam terti], fi imaginetur cir*
culus,cm'u$diameterfitbg,tranftensperpundums,illeneceflario tranfibit per pun*
dum c,& fiet arcus c s,in quem cadent duo anguh c b s & c g s, ergo hi duo anguli per
Hicefimamfextam tertij funt xquales.Sedangulus g a y xqualis eft angulo c g s, per ui
cefimamnonam primi,quoniam linex g s & a y xquediftant:cft ergo angulus g a y xa
qualis angulo c b s,ut autem prius oftenfum eft.angulus e b g eft xqualis angulo o a g
ergo totalis angulus o a y xqualis totali angulo g b s,fed anguli ay o&g sb funt re--
di ,cft ergo trigonum b a o xquiangulum trigono g b s,ergo per quartam fexti,eft 43 ->•
portio linex g b ad lineam b s, ficut linex o a ad lineam a y.&proportio g b ad g s, ficut
a o ad o y. Item quia angulus a h b eft acutus per quadragefimam fecundam primi
huius,palam per dccimamtertiam (ecundi.quia quadratum linex abminus eftambo
bus quadratis linearum a h & h b.in eo quod fit cx dudu linex a h in lineam h f bis,igi
tur quadratum linex a h cum quadrato linex h b, maius eft quadrato Ii nex a b, uel qua
draco eius xqualis,qux eft a d,in eo quod fit ex dudu linex a h in lineam h f bis. Sed il-
lud quod fit ex dudu a h in h f bis, eft per primam fecundi xquale ei quod fit ex dudu a
h,in h d bis,& ex dudu a h in d f bisfillud autem quod fit ex dudu a h in h d bis, cu qua
drato linex a d,eft xquale quadrato linex a h cum quadrato linex h d,per feptimam fe
cundfiquadratum ergo linex a d,cum eo quod fit ex dudu a h inh d bis, quia cft com*
mune utrobicp,auferatur:remanet ergo quadratum linex d h, quod cu eo quod fit ex
dudu linex a h in f d bis,xquale quadrato linex h p.Sed cx prxmifiis patet, quod il lud
quod fi t ex dudu a h in h t,cft xquale quadrato h d,8i illud quod ex dudu a b in- h u .eft .

R * xquale

PERSPECTIVAE VITELLIONI*

«male quadra tohlj, erit ergo dudusa hinhusqualtsduduia h mh tlemd&bis in
d fiablato ergo dutftu a h in h t,qui communis ponitur utrobiqj , felinquif ut illud qd*
fitex dudtu ah int b femel, fit aquale ei quod fit cx du<fiu a h in d fbis.crgo per i . fexti
erit linea t u dupla ta linea d f. Item cu angulus a t g fit. acutus, erit fccundu prsdi&u
modum quadratu lineat a t cum quadrato line® t g aquale quadrato lineat a d,& ei qd?
fit ex dudu a t in t h bis,& ita ei qd1 fit ex.dudu a t in d t bis & in d k bis.Remanebitfcg
ut prius quadratfi linece t g aquale quadrato lines td,& ei quod fit exdudu a t in d ic
bis. Si autem per nona m fexti, ut qua* eft proportio a t ad t d, eadem fit ipfius t d ad t a l
ergo per 1 6, fexti, illud quod fit ex dudn at in t tf,eft squale quadrato tdlfed ex prs-
miffis illud quod fit ex dudu a t in t u,eft squale quadrato tg;ablato ergo utrobicg eo
qtffit ex dudu a t in t <x,reftat ut illud qd fit ex dudu a t in in a u femcl,» t aequale ei qd
fit ex dudu a t in d kbis,igitur per primam foeti .linea 0 u eft dupla lines d k. Sed iam
oftenfum eft,quod t u eft dupla ipfi d f.Reftat ut linea a t fit dupla lines k f. Item quia
ex prsmilfrs illud quod fit ex dudu a h in h t,eft squale quadrato h d, ergo per decima
fextam fcxti erit proportioa h ad h defient h d ad h t,eft ergo proportio lines a h ad h t
proportio duplicata lines a h ad h d:& fimiliter per eandem rationem proportio a t ad
t .tf eft duplica ta proportio a t ad t d.Sed maior eft proportio a t ad t d.quam a h ad h d,
per quartam primi huius,qnoniam eiufdem lines qus t h ptioribus antecedenti Si con
fequenti fit additio,ergo maior eft proportio lines a t ad lineam t .er.quam lines a h ad
lineam a t,ergo per decimam primihuius, erit permutatim maior proportio lines a t
ad lineam a h,quam lines 1 0 ad lineam h t.Sed a h eft maior quam a t, quoniam totum
eft maius parte, ergo h t eft maior quimtrf ad ht.Sedtj* eft dupla ad f k,ut patet fupe
rius.ergo h t eft magis quam dupla ad f k. Item utiupra demonftratum eft,propor
tio b g ad g s, eft ficut o a ad o y,ergo permutatim per dccimamfextam quinti, erit pro
portio bg ad o a,ficut g s ad o y.Sed o a eft squalis ipfi b a per circuli diffinitionem, di
g s eft squalis ipfi f k per tricefimamquartam primi,eritergo per ieptimam quinti jp.
portio b g ad b a, ficut r k ad o y, Item quia ut prius quali in principio patuit, linea
i h eft minor medietate lines oh.&lmea oh eft tripla lines ht:erit ergo linea i h mi-
nor quam linea h t,& quim ipfius medietas.Sed linea h t eft minor quinta parte lines
hd,ut prius declaratum eft,ergo linea i h eft minor qua'm linea cd: fedlineand eft ma-
ior qua'm c d,ergo i h eft multo minor quim n d;eft autem m i minor quam ih: ergo m
i eft multo minor quam n d,& quoniam z hcft squalis ipfi h d.ut prsmiflum eft:patec
quod ptmdkitn i cadet inter duo punda h di z,ergo Si pundum m cadit inter duo pun
da h & z. tItcm illud quod fit ex dudu czinz d,fuppofitum eft squale efle quadrato
(emidiametn a d, igitur illud quod fit ex dudu e m in m d,eft minus quadra to a d, eft au
tem id quod fit exdudu e m in m d squale quadrato lines contingentis circulum,qui
m g,per tricefimam quintam tcrtij,quadratum ergo lines m g, eft mimis quadrato li*
nesad, ergo linea ad eft maior qua’m linea mg.Igitur linea m g eftminorquim Ii"
ncaa g,squalisipfilines ad, cum fintfemidiametrieiuldeni circuli.Etquia duo trigo
na a gmamg k, habent unum angulum a m g communem.Sed di angulus a g m eft
redus per decimam Ieptimam terttj,& angulus m k g eft redus per diffinitionem per*
pendicularis,ergo per tricefimam fecundam primi, illa trigona lunt squiangula, ergo
per quartam fexti eft proportio lines m kad lineam k g, ficut lines m g ad lineam g a'
(ed linea m g eft minor quam linea a g,ut iam patuit,ergo linea m k eft minor qtrim li-
nea kg.Scd linea k g eft minor quim linea o y,per decimamquartam tertrj , Si linea h
deft minor quam linea m k, erit ergo linea h d minor quam linea m k, erit ergo linea h
d minor quam linea o y. Si quia per prsmifla di per decimam fextam fexti eft propor
tio lines a h ad lineam h d, ficut lines h d ad lineam h t.Cum itacp linea h q fit medie-
tas lines h d,crit per decimam quintam quinti proportio lines a h ad lineam h q, fi*
cut lines h d ad medietatem lines h t,patuic autem iupraauod linea h t eft magis
quam dupla lines k f :Si linea h d eft minor quam linea 0 y, clt ergo maior proportio
«nedietatislinesh t,ad lineamh d,quam lines f k ad lineant oy, per nonam primi hu

Ius,

LIBER SE XTVfc ' '1- ' - r*> ly?

lus,cft ergo per undecimam quinti, & per y. primi liuais, proportio qh adah.maior-
cjjfkadoy. Item linea a q.fecat circulu e b d.fit pundus fedionis x,Qi ducat corda d,
x,qua .ppter aquediftantia araiu h q,dx,erit arquediftans corda: h q,per 43 . primi hu-
jus, & per zS. primi, erit per z5>.primi,&: per 4. fexti , ^portio hq ad ali, ficucd xad ad,
fed ,pporcio h q ad h a, eft maior c|f kadoy, erit ergo proportio d x ad d a, maior cpfk
ad o y,eft aut cx pmiflis f k ad o x,ficutgb ad a d,el tergo maior .pportiox d ad d a, cfj b
gad g a, fed d a eft aqualis ipfi g a, quia iemid(amctcr,crgo per 1 o. quino, corda x d eft
maior cp corda b g.ergo per z7.terttj,crit arcus d x, maior arcu b g„pducatur item linea
a q, extra circulum ad pundu s.donec per 3 .primi,fiat a s aequalis linea: a i, & copulen*
tor linea: s i,qua per7,quinti,& per fecunda foeti, erit arquediftans lincte h q , ergo per
z?. primi, & per 4.fexti erit ,pportio s i ad hq,ficutiaadah,eftaute praroftenfum qd*
eft proportio i a ad a h,ficut t q ad q h,ergo per 9, quinti, linea s i eft aqualis lineae tq,
cum ipfaR: ambaru ad lineam q h,eade (it proportio qua line te i a ad lineam a h. Quia
uero numerus aflumendarc lineajc excedit multipliciter numerum literaife latinaru, ne'
forte fiat intricatio in nominibus ipfaifchterap-, mutetur figura, & qmlinei nouiter af-
fumpta,quae eft a s,pofita eft aqualis lineae a i.fiat circulus fiiper centra a.fecundu ipfa*
rum quantitate,& loco s, ponatur litera n.fitfcp circulus d g b,f?milis priori circulo qui d
b e,& ^ducantur lincte ab&a g.uftp ad circulu exteriorem in punda c di r ,& fin t linete
a b c ,& a g r,permutentur'q$ linea a i dC as, ita ut linea a d i, fit loco linea ax s, & loco 1*
neaadi,fitlineaaf n,ponatur'cploco litera s, litera n, & loco literax, ponatur ferftqj
ut praoftenfum eft arcus dfjmaior arcu gb.Sit ergo arcus bm aqualis arcui df, quod
fiet per ultima fcxti,fi prius per z 3 . primi, fuper a termini! linea a b,fiat angulus aqua*
lis angulo d a f.qui fit b a m^pducatur quoqj linea a m,ad exteriore periferiam in pttn
dum u,8i fit a m u, ducant etia linea i b,i g,i m,n m,qua producantur ufq? ad exteriore -
circulu,&: cadit in pundu z ,& ducant linea za,z g,cu itacp arcus b m,fit aqualis araii
d ^addito comunt arcud m,erit arcus m f,aqualis arcui d b,ergo per 46.tertq, erit an*
gulus n am, aqualis angulo i a b,quia itacp trigono^ n a m,i a b,duo latera unius funt
aqualia duobus lateribus alterius,&angulusangulo,ergo per 3 .primi, erit linea n m,
aqualis linea i b,& angulus m n a,aqualis angulo i b a,remanct ergo p er 1 3 . primi ,atv
gulus nm u, aqualis angulo ib c.Etcu in pramifla proxima figuratione linea a h, foe*
rit pofita aqualis ipfi linea aq.erit trigonoja q a m,& a h b.duo latera a q St: a m, aqua-
lia duobus lateribus ali&a b,& angulus q a m eft aqualis angulo h a b,,erit ergo p 4,1
primi, linea q m,aqualislinea h b,&! angulus q m a, aqualis angulo h b a, remanet er-
go angulus q m n, aqualis angulo h b i, a. angulus q m u, aqualis angulo h b c, per 1 3 «
pri mi,&: quia linea a n Si a i,funt aquales per diffinitione circuli, & linea a q eft aqua*
lis ipfi a h,ex hypothefi, Remanet linea n q, aqualis linea i h, quia itacp angulus n m u,
eft aqualis angulo i b c,8t! angulus ib c ,ut poftcnliim eft, aqualis eft angulo h b a, angit
Io uero h b a,eftaqnalis angulo q m a.erit angulus n m u, aqualis angulo q m a, patet
aut quod linea m z,tota eft extra circulu, eja cum linea contingens circulu duda d pun*
do b, cadet inter punda i & h,ut praoftendimus,& quia eft eadem remotio pundi b, i
pundo h,qua pundi m,a pundo q,qm oftenfum eft, quod linea b h, eft aqualis linea
q m,8dinea i h ,eft aqualis linea n q .patet qcf contingens duda d pundo m, cadet in*
ter punda n & q.igit cu linea q m, cadat fub linea contingente, patet per 1 y. terttj, qni
ipfa fecat circulu, eft ergo tota linea m z, extra circulu.qm linea q m z, pofita eft efte li-
nea una reda, propter qd' etia erit per iy. primi, angulus q m a, aqualis angulo umz,
fed angulus n m u-oftenfus eft efte aqualis angulo q m a.erit ergo angulus n mu, aqua
lis angulo u m z.ergo per 8 .huius, forma pundi n.refledif apudo fpeculi m, ad uifum
exiftentem in pundo z,& erit per 1 1. huius, locus imaginis pundusq. Itemquia
angulus n m u.cft aqualis angulo u m z,erunt per fuppofitionem primi huius linea ri
m,z m.aqualiter diftates a diametro a u,ergo per 7. terti), ipfa funt aquales.Ducantur
itacp linea n u&z u,qua per 4. primi,erunt aquales comuni exiftente linea m u.ambo
bus trigonis n m u}& z m u,ergo per z7,tertij»arcus riu.eft ^qualis araii u z, ergo per

R 3 x6,ter

PERSPECTIVAE V1TELUONIS
a&tertij, angulus n a rfeft aqualis angulo u a z.Sed ex pmiflis patet qf angulus nSu,
«eftxqualis angulo i a c,crit ergo angulus* a ecqualis angulo uaz,angulus;ueroba
g.aut <a-it aequalis angulo s a m,aut minor aut
*mior,fit primo aqualis, frigitur ab angulo i a
b,fubtrahatur angulus b a g,&! ab angulo za«
angulus g am,remanebit angulus i a g, aqua#
Iis angulo z a g,& quia duo latera i a 6t a g iiint
jsequal ia duobus lateribus z a & a g,ergo per 4.
primi >eritlmea i g,a:qualislinex zg, & angtu
lus i g aequalis angulo z g a, ergo per 1 3 . pri-
mi,angulus i gr.eft aequalis angulo z gr.fiat
itacp fug g terminulinexag, angulus aquali*
.anguloigr,per z 3 .primi, qui fit angulus t g a,
■duella linea gt/uper linea I a.erit crgoangulus t g a .aequalis angulo z g r. Si igit linea
t g ,pduca cur ad perifer/am c/rculi.paJa m p er 1 j-,primi ,qm ipfa p erueniet ad pundum
Zjiinea emzg&t g.coniundx in pundo g, fiunt linea una per j 4, primi,eft ergo t g z
linea una reda.forma ergo pundi frefledit 3 pundo fpeculi g, ad uifum exiftenfen»
in pundo z,& locus imaginis eius eft punctum t, palam itaqj qiri ad nilum exiftenten»
in pundo z,refleduntur formae duorum punciojr: n & z,3 duobus pundisfpeculi fphae
Tici conuexi qua: funt m[Qi g,&i oca imaginum fune punda tSiq, igitur per .1 1 , huius,
linea t q,erit imago totius linexm :pbatumeft ante fupra,quod linea t q eft aequalis li-
nea y i, palam ergo,qm accidit in his fpcculis imaginem die aquale rei utfae, quodeft
unum ppofito^. Quod fi angui us b a g, fuerit maior angulo g a m.abftrahatur b a g
ab angulo i a b,8i angulus g a m,ab angulo za u, aqualis angulo i a b. Remanebit er#
go angtrius z ag.maior angulo i a g. Sic ergo angulus k a g, aqualis angulo ia g, erit
quoqj angiil os k a g, minor angulo z a g,per z 3 .primi, duda linea i centro ad circum-
ierentiamin pundum k.&copuletur linea k g, pundumergo k,erit altius pundo z,
& pundum maltius pundo g, linea ergo k g, fecabir lineam z m.Sit ut fecet ipfam iq
pundo 1,& producatur k g.fuper lineam i a,in pundum t, fi at quocp dedndio u t ftatiiq
iaproximalinea t g, palam ergo qcf uiiuiexiftentein pundo l,refledetur ad ipfum for
ma pundi n,3 pundo m^locus imaginis q,&fimilitcr ad ipfum refledet forma pun#
di i, a pundo g,& locus imaginis er it r,iecundu priorem probationem,erit quocp linea
t q, imago linea: y i.quce di squalis /pfi,ut fiipra oftenfum eft,&! fic fequitur idem ,ppo<
firum quod prius. Si uero angtriusb a g,fuerit minorangulo g a m.eritut fupra angu
Ius z a g, minor angulo i a g.Sicergo angulus o a g, duda linea a o,ad periferiScirai*
Ii arqualis angulo i a g, er icergo . angulus o a g,maior angulo z a g, eft ergo pundum o
inferias pundo z,& producatur lineaog.quat incidat linexi a,in pundo t, pala itacp
■quod forma pundi refiedicurad uifum exiftcntemin pundo o, 3 pundo fpeculi g, li*
nea itaqp o g»aut lecabit lineam z m q,extra drculimi fpeculi, aut non, fi fit pofCbile fe-
tet ipfamextra cireulu,fiia pundo fedionis fuerit uifus,refledent ad ipfum dux for*
mx pundopa ndi,apundis fpeculi m&g,8ii loca imaginum erunt punda q & t,& to-
ra linea q t, imago totius Iinex y icerit per prxmifla xqualis ei.patet ite hoc qd* prius
qm imago rei uidebitur inhoc muxquaksipfi rei.Si forte finea o g, fecet lineam z m q,
intra circulum fpeculi, tunc non poreft accedere probatio prxmifla, fedextra totalem
lianc fuperfidemeftpoflibileinHeniripundum,in quo pofito uiiurefledant adipium
.forma: diio^pundop- n & i,a duobus pundis fpeculi, Sripfbrum imaginescrunt p un-
da q Si t.qinem ut patet ex prius prxoftenfis, angulus na z,eft duplusangulo n a u, ap*
quali angulo i ab,ut patet ex pmiffis,Si angulusiao,eft duplus angufo i a g,eft aut an-
gulus i ab.-maior angulo i a g,in angulo gab.&qufaaqgulus g a b,eft ex hypothefi mi
nor angulo m a g.pacet quod angulus ga b,eft minor medietate anguli m a b, totus ue#
joangulus m a b,eft per ultimam feitci,a:quah's angulo n a i, qm arcus d f, eft xqualis
arcui mb.ergQ angulus g al\eftminar medietate anguli naqangulus ergo naz>exce«

dcn,s

LIBER. SEXTV5* • i *:■ * i6»

tfens angulum i ab,tn'dupIo anguli' g a b.non excedet ipfam in angulo maiom^fitan
gulns n a i, duo ergo anguli n a i,& n a z,funt maiores tertio.qui eft i a o, & duo anguli
n a z,& i a o.fimt minores tertio.qui eft n a i, di duo anguli i a o,& n a i, funt minores ter
tio.q eft n a z.funt ergo ifti tres anguli n a i,n a z ,di i a o.quofy quilibetduo funt mino*
res tertio, omnes auc tres (ima! 4.redfs funt mfnores,qm anguli fuper centrum a, 4* re-
dis funt aquales .ipfos impoflibiIeefteuacuare,utpatet,igiturper z§. undecimi, polfi-
bile eft ex illis fieri imum anguliun fblidu,fiat ergo illefiipcreecruma, per eandem 23,
undecimi, & fit linea s a,elcuata fuper fuperficiem circuli in pundo a, taliter ut angulus
i as, fit aequalis angulo i a o,&: angulus n a s ,fit squalis angulo n a z, angulus ucro n a i
maneat ut eft in fuperficie circuli immotus.fiat itaq? linea a s.squalis alia» linearum a
h,uel a a,uel a o, qus ornes funt squales, quia funt lemidiametri eiufdem circuli, & pro
ducantur linea: t s,q s,qu<a itacp angulus t a s,eft squalis angulo t a o,ut patet ex pinif-
lis,& duo latera ta&a o.funt squalia duobus lateribus t a & a s,8i angulus t a o, eft x *
qualis angulo t a s,ut patet ex prxrniffis,erit per 4.primi,bafis t s,squalis bafi t o,&: to*
tus triangulus toti triangdlo,erit ergo angulus o t a,uel g t a, aequalis angulo sta. Simi
liter ^qj angui? q a s,eft sqlis angulo q a z ,di duo latera duob.Iaterib.erit ergo, ut prip
angulus z q a,qui eft m q a,squalis ahgulo s q a,diuidat itacg angulus t a s,per aqualia
per lineam a y.ex?. primi, & fit y pundus,in qiio linea diuidens angulfi,fecat lineam 't
s,pal5 cu angulus i a g,fit medietas anguli i a o,ut patet ex pmiflts,erit angulus t a g,a**
qualis angulo t a y,led di angulus g t a,oftenfus eft squalis angulo y t a, & quia duob?
trigonis y t a,& g t a,Iatus t a,eft comune.crit per 16, primi, trigonus y t a.xqualis trigo
no g t a ,qm latus t y,erit squale la teri t g ,di latus a y, squale lateri a g, erit ergo p udius
y,in fugficie fpeculi ficut di pundu g,cu ambo squalitcr diftent i centro fpeculi, qcf eft
a ,di quia angulus t a g,eft squalis angulo t a y,erit angulus i a g, squalis angulo i a y,
di latera lateribus funt xqualia.qm i a eft comune,&: a y eft squale ipfi a g.ergo g 4.pri-
mi,erit angulus a gi,squalis angulo a y i,8i linea i y, pdutfta erit squalis lines yg,&
^ducatur a y.extra fp eculu ufeg ad pundu p.reftat ergo angulus i g r, squalis angulo i
y p.uerum cu linea t s fit squalis lines t o,ut fupra patuit,Sd t y squalis ipfi t g,reftat li-
nea g o.squalis lines y s,duo ergo latera a y & y s,funt xqualia duobus lateribus a g,8£
g o,di bafis a s,eft squalis bafi a o,ergo g 8 .primi,trigono$: a y s,a g o.anguli sqs late-
ribus cotenti funt squales, angulus ergo a y s,eft squalis angulo a g o, Reftat ergo per
1 3 .primi , angulus s y p .squalis angulo o g r,igit duo anguli i g r, di 6 g r .squales funt
duob? angulis i y p,s y p ,ueru linea a s,fecat fugficie couexa fpeculi, fit pudus fediois
e,tria ergo punda q funt e y d,fiint in fugficie cduexi fpeculi, lines ergo d centro fpeculi
qd’ eft a, ad illa tria puda pducfts funt squales, qa uero trigonu t a s, eft g fecunda 1 1.
totu in eade fugficie.patet qd* ifta tria punda d y e.q funt in laterib? illius trigoni funt
in eade fugffcie.ergo Iineaey d,eftg ?.tertrj, arcus fcirculi magni fphsrs fpeculi, cuius
cetru eft a cetra fpeculi.eft aut i fugficie reflexiois comunis fedio fugficiei fpeculi Sirefle
xiois t s p, g prima huius,ergo forma pudi frefledit ad uifum exiftete i pudo d pudo
fpeculi y ,& locus imaginis eft pundu t.Similiter diuifio angulo n a s,g sqlia g linea a
x,duda fug q s,in pundu x,& pduda extra fpeculu fugficie in pUndu tf.demonftrabit
pdido mo,qa linea q x,erit sqlis q m,&a x sqlis a m,& liea x s,sqlis m z,8dduo angu
li n x o,&: s x o, erut sqles duooj» angulis n m u,& z m u,& ita forma pudi n, refledet
ad uifum exiftente.in pudo s,d pudo fpeculi x,& locus imaginis eft pundfi q, dt ita uc
prius forms duojj: pundop: n di i.refledunt d duobp pndis fpeculi x di y,ad uifum ex*
iftente in p5do s,& erit linea t q, imago lines i n.eft aut linea t q, sqlis lines i n, patet
ergo ^politu, ut prius. Ite fi d pudo i,ducat gpendicularis fug linea n a, illa cadet i Jer
pQda n & q,no extra pundu n.qa cu g42.primi hufus.angulj) i n a, fit acutus, fi caderet
extra pundu n,fieret acutas excrinfecus redo,& ita maior g 1 ^.primijqcfeftipoflibi*
le,cadct ergo illa gpendicularis circa pundu n, faciet ergo illa gpendicularis angulu re
du, fug linea n q,qua refpiciet linea i n,ergo g 4(5.primi,erit linea i n, maior illa gpediol
lari, ergo illa gpedicularis erit minor linea t q,q eft squalis lines i n,pudus ltaq; li*
bes n q,i que cadit illa gpedicularis.q fit k.refledit ad uifum i pudo s,cxiftente abaliq

pundo

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
pundo fpeculi, & locus imaginis fus erit in linea n a, per 1 1 .huius .erit remotior 4 cen*
tro fpeculi.qd' eft a,ultrapunduq,^(it ipfum pundu q,ut patet per 17. hufUs, quanto
em remotiora funt punda quo^i forma: refledunt a fpeculis fphsricis conueais, tanto
locaimaginu magis accedunt ad centra fpeculi,fed pundus i/illiOts perpendicularis re
fleditur ad uifqm 4 pundo fpeculi y6 & locus fas imaginis eft piindij t, quscunq? ue»
r 0 linea ducitur 4 pundo t,ad aliquod pundum lineae ft q,ultra q, propius ad pundum
n, ut linea t k.illa c5 opponat angulo obtufo,ut patet, erit per 1 9. primi, maior cjj linea
t q.ergo etia erit maior 8$ linea i n.qus eft maior illa perpendiculari,cUius imago Xiifui
occurrit,paiet'ergo q>.imago illius gpendiculari s erit maior ipfa perpendiculari, & ide
acddit,quscunc$ linea dacatur 4 pundo i,ad linea n q,inter illam perpendiculare i k 5i
linea i n, erit era femp linea i n, maior illa linea per 46. & per 1 9.primi,& imago illius li«
nes femg erit maior cfj linea qt,8d ita femper erit imago ipfius maior ipfa.quod eft fi
politum. Poflimt aut haec clarius patefieri, quia emTorma pundi n, refleditur ad n ia
fam exiftente in pundo z,i pundo fpeculi m,& locus imaginis eft punda q,patet qcF
linea reflexionis quae eft zmq,fecat circulum,
r fit punda fedionis e, patet ergo quod contin-

gens duda 1 pundo z ,ad circula qui eft coma
munis fedio fuperfleiei reflexionis & fpeculi,
K no poteft cadere in pundu m, quia per i 1 .hu*
ius, angulus a m z, oportet qcF Iit maior redo,
quod eflet contra 1 7.tertij, (i linea z m,eflet cir
culum contingens,nonpoteft cadere inpun*
dum e, quia ibi fecat& no contingit.cadet er*
go in aliquod pundu arcus me, & ,pduda ad
lineam n a.cadet akiusefc pundu' q,quoniam
pundus in quem cadit, dicit finis contingens
tiae, qui fit eft meta imaginum,nt patet per

diffinitione, & putida fub illo pundo I.qui eft meta imaginum exiftentium non pote-
runt refledi aduifurnfuperiora uero illa poterunt reflcdi,igit perpendicularis duda 4
pundo i , fuper linea n q,fi ceciderit altius pundo n,qui eft meta imaginu,potcft refle
di ad uifum pundus ille lineae n q,in que ipfa perpendicularis cadit, £?erit ut pmiflum
eft imago perpendicularis maior ipfa perpendiculari. Si uero perpendicularis cadatin
ipfum pudum ii, qui eft meta imaginu.uel inferius illo, tunc forma pundi nuntjj cadit
perpedicularis nec refledec, quare nulla erit imago ipflas perpendicularis,uer untame
qin ii finis contingentis eft inferior ($ linea t n,& plus ad centrum, erunt inter pundu,
qui eft finis contingentis ii,& pundun, infinita punda,quop: quodlibet refleditur ad
uilum, imago cuiuslibet erit fuper linea n q, & cuiuslibet lines duds 4 pundo i, ad
quodlibet illorum, erit imago maior illa linea, cuius eft imagb, patet ergo propofitum
longis ambagibus_ certius perquifitum,

xxxix;

In omni diftantia quacertaquantitas rei a uifu poteft comprehendi, inia
20 cuiuslibet rei uifee in fpeculo fphxrico conuexo minor indetur quam
iorma rei extra.

Sit ab lineauifa,& fit z x,arcus circtili qni eft communis fedio faperficiei reflexio-
nis & fpeculi fphsrici conuex«,cuius centrum d,(itcg e centrum ulfas,& refledet forma
pundi a, ad uifum e,4 pundo reflexionis h, arcus z x,& forma pandi b,S pundo n, in-
telligatur'cg linea a b,,pduci intra fpeculu,aut ergo ipfa tranfit centru fpeculi, aut non.
Sit aut primo qd* tranfeat,& ducatur linea a b d, ducat quoqj 4 pundo n, linea contin*
gens circulu.qus fit n 1,& 4 pundo h ducatur cotingens,qns h m,6<: ducantur lines in
cidentis & renexionis,qus fintb n,e n,a h,e h,,pducantur'cg lines reflexionis eb&en,
donec cadant in ppendiculare a d,&[incidat linea e h,in pundum t,& linea e n,in pun-

aum

LIBER. SEXTVS. l6l

dun»j|,palam ergo per 1 1 .huius.quoniam t eft locus imaginis for
mx ptindia, di qeft locus imaginis forma; pundi b, dico quod li*
nea a b cft maior cfi linea q t.paceccmex i z.haius, qtria .pportioa
d ad d t.eft ficut amadm t. Similiter per eande .pportio b d ad d q,
eft ficut pportio b I ad I q,fed a d eft maior cpbd.&dteft minor cjj
dq.ergo per p.primihuius, maior erit,pportio ad ad d t, cp b d ad
d q.ergo per 1 1 .quinti, maior erit pportio a m adm t.^jblad ql,
fccetur ergo linea a m ,in pando f.per j . primi huius, ita ut propor
tio f m ad m t,fit ficat hl ad I q>& ita cO m t fit maior ^ 1 q, erit per
I4,quinti,f m maior cp b l,ergo per S .quinti.erit f m ad t m maior
pportio cg b 1 ad t m,erit ergo minor .pportio b 1 ad m t,cpbladlq
6i multo magis erit minor .pportio b 1 ad m t,cp b 1 ad q 1, fecet er-
go m t in pundo k, taliter ut pportio b m ad m k, fit ficut b 1 ad 1 q,
palam ergo per natura proportionis^ per 8. quinti,qni pandus k
neceflario cadet ltra puda m 5i q, linea em 1 q, minor eft^mq.fli
linea bl eft maior cjj linea bm,c5 igitur fit pportio f m ad m t.ficut
b 1 ad 1 q ,& ficut b m ad m k.erit per 19, quinti, pportio f b ad k t, fi
cut b 1 ad 1 q,fed b 1 eft maior cj| 1 q, ergo f b eft maior cp k t, fed f b
eft minor cp a b,& k t eft maior cjj q t.Si ergo f b eft maior ^ k f, er
go multo fortius a beft maior cjjj q t,di hoc cft propofitu. Si uero li
nea a b.produda no peruen/at ad centrum d.ducatur a pundo a,
linea ad centru d.qux fit a d,& i p undo b ducatur b d,& locus imaginis a[fit ptmdusg,
locus imaginis b,fit pundus p,& ducatur linea p g.erit ergo linea p g.imago line* a b,
dico quia a b eft maior cfs p g,aut em p g eft xquediftans line* a b, a A

aut no.fi fuerit xquediftans.pala quia p g eft minor cjj a g,per 29. pri r/ \ r

mi,& per 4,fexti,cuem fit pportio ab ad pg.ficut adaddg&ad, fic 7\ A®

maior cjj d g.erit a b maior cjj p g.Si uero linea p g.no fit xquediftans / /C \

ipfi a b.pducatur ufcpquo cocurrat cu a b,&! fit pundus cocurliis z,di / / V \

ipundo p ducatur xquediftans a b,qux fit p h.angulusergo p g h, fi / / \

fit redus uel maior redo,erit per 1 8.primi,latus p h /naius latere p g, //
fed p h eft minus cp a b.per 4.lexti,ergo p g eft minus cp a b, fi angu- /
lus pgh fuerit acutus, maior tn angulo phg,adhuc ieqaitur idem 0
q cf prius:quod aut angulus p g h.fit minor angulo p h g,hoc non po-
teft accidere, nifi cu tanta fuerit rei i fpeculo diftantia,qi illa diftantia ipfi etiamuifui oi
deretur minor cjj fit fecundum ueritatem,tunc aute poteft imago uider/ maior cjj forma
per fe uifui occurrens, ut patet per prxmifiam. patet ergo propofitum.

xt.

In minoribus fpeculis fpharricfs couexis eiufde rei apparet idola minora.
Sint duo punda fpecula fphxrica conuexa fuper idem centrum t, collocata, exems
pii caufa quoja maioris circulus comunis fibi & fuperficiei refles
xionis fit a g, minoris uero fit e i, fiat quocp reflexio forni* alicu-
ius uifibilis ut ipfius h d.ab utrocp illoja ipeculojj: ita ut forma pu
di d refledatur a pundo g.circoli fpeculi maioris.f. ipfius a g,ad
uifum qui fitb.Si itaqj idem uifibile d refledat ad uifiim b ab alis
quo pundo circuli e, fpeculi minoris ut i pundo o.non eft poflis
bile ut linea reflexionis.qux fit o b, cadat in pudurn g fpeculi cir-
culi maioris; detur cra ut cadat in pundu g, 8i refledatur ad ais
ftun b,& ducatur linea d g,ut prius, manifeftum itacp p 8 . huius,
qifi linea d centro fpeculi t,ad pundu gproduda diuidit angulu
d g b.per duo *qaalia,qu* produda fit t g q, & qrn forma pundi
d, incidit pudo fpeculi minoris quod cft o, ducatur linea to,a cena
jtro fpeculi. hxc diufdet angulum do b> per aqualia, QC produ*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
da fit t o p,qufa itacg angulus d g b, cxtrinfecus eft ex hypothefl angulo dob,in tri*
gonodog,paIamper i 6. primi, qm ipfe eft maior illo, ergo medietas anguli d^b, eft
maior medietate anguli d o b.SC ita angulus q g b,maioreft angulo p o g, ied angulus
o g t eft squalis angulo q g b,per ij-. primi, ergo angulus pog, extrinfecus eritcequa*
Iis angulo o g t.intrinleco in trigono tog.quod eft contra 1 6. primi, & impofltbilejno
ergo tranfibit linea reflexionis o b pundu g,fed neq? ultra pundum g, uerfus pundum

a, ad aliquod aliud pundum fpeculi maioris incidere poteft, fi eia hoc fit pofllbile fit ut
ad pundum r incidens refledat linea d o ad b, palam aute per 1 7. huius, cum a pudus
lines d a, cadat in (uperficiefpeculi &! refledat ab illo pundo cui inridit.fin: pundum d,
refleditur a pundo g,quia quodlibet ipfoR: lines d a,refleditur ab aliquo pundoia ars
cus a g,& fiunt .ppitiquiora centro fpeaili,quod eft t,quia refleduntur i pundo remo*
tiori i centro uiius,quod eft b.aliquod ergo pundop: lines d a.refledetur i pundo r ad

b, fit illud m,& accidet idem impofiibile qd prius , dudis lineis m r,r b,t r , uel fit forma
pundid,rcfleditur ai pundo fpeculi maiorisquodeftg,8<!itcm per reflexionem ipun
do ipeculi minoris quod eft o, incidet pundo fpeculi maioris,quodeft r, a duobus er*
go pundis maioris fpeculi qus iuntg & r.refleditur forma unius pundi ad uiiumb,
conciduntergo radij i duobus pundis huius fpeculi reflexi,quodeft contra 1 j\huius,&
impoflibilernon cadet ergo radius reflexionis i pudo o.fpeculi minoris in aliquod pun
dum arcus a g,ipeculi maioris.a quo fit reflexio formare pundoit lines a d, ied direde
peruenit ad uiium in pundu b, trans aliquem pundo^r arcus circuli ipeculi maioris, cir
ca pundum g, Similitercp fit ut pundus b, lines d a,ex alia parte uifus b, fit pundil
d,refledaf ad uifum b,ab aliquo pundo fpeculi maioris quod fit f.eritfcg f per 1 7, huius,

ex alia parte pundi g,refledatur'cg
forma pundi h,a pundo i, minoris
ipeculi ad pundum b, fiet quoqj re*
flexio i pudo i ad b,fimiliter ut pri-
us,quia ergo angulus g b f, fub quo
apparet idolu in maiori ipeculo eft
maior q? angulus o b/, patet per 40
quarti huius, qm in maiori fpeculo
maius apparet idolum in mino*
r/jforms em magns coanguftant
circa centra minorum fpeculopr, c[j
circa centra maiorum , unde fiunt
iemp maiores in ipeculis ma/oribus.uniuerfaliter autein omni fitu proportionato reru
adfpecula poteft patere .ppofitum per 46. primi huius, qm partes diametroru circuli
maioris lunt maiores Si minoris minores, & fiunt ex confequenti imagines maiores di
minoresut patet per 1 1 , huius, patet ergo propofitum,

X L 1.

In iodem fpeculo fpharrico conuexo centro uifus immoto exiftente ima
go rei approximat® fuperficiei Ipeculi' uidetur maior,& fecundum eandem
lineam elongatx minor.

Quoniam em ut patet per 1 1 .huius,tmagines pundoR; rei uiis uidentur in kathe*
tis fus incidentis di imagines rerum uifait inter kathetos incidentis Iuojk terminoril
katheti uero pundoR- terminalium rei i fpeculi fuperficie elongats cotinent angulum
minore, 8i approximats maiore per 3 4. primi huius, linea em squalis di squediftanS
bafi trigoni uicmior angulo fupremo maiori angula fubtenditur, & qin mutata relecfi
dum locum, mutat ipfius imago in omni fpeculo,ut patet per zS. quinti huius.patet qd*
imago rei elongats fit minor, unde & uiderur minor ,&a pproxima ts ftiperficiei fpecu
li fit maior, unde 8i uidetur maior, quod (ecundum prsmifta in proxima prscedent?
uidetur fub maiori angulo contento in centro uifus fub lineis reflexionum ip%« pun*

dorum

LIBER. SEXTVS. lSt

<fiorum terminalium illiusVef.utpatere poteft per 34. primi huius, &p.er 24 . huius, pa-
tet ergo propoficum,8<: per harc&per prcemtflam poteft patere, qm fi fit jpportio elon-
ga tionis rei uifx i fuperflde fpecufi maioris ad elongationem i mperficie (peculi mino
risjlcac cxccflus imaginum qu* proucniunt in illis fpeculis excedentes fe fecundu pro

gorfionem diametro^ (pecaIorti,poflibile eft in (peculo maiori plus elongato i re uiia,
in ipeculo minori plus approximato eidem rei *qualem imaginem uideri ciufdcm rei
qua; alia's infpeculo maiori appareret maior ,Si in ipeculo minori minor.ut patet per
pramiflam, Si hoc eft notatu dignum.

X L 1 1.

In fpeculo conuexo fphxrico dextera rei uifx apparent finiftra, SI fini*
ftra dextra.

H*c non requirit aliam demonftrationem ab illa qu* [fimilem paflionem decla*
ratin ipeculis planis ,unde eodem modo demonftrandum,nec aliter oportet in maiori,
XLIII.

Altitudines 8i profunditates perpendiculariter incidentes a fpeculis
iphxricis conuexis, reuerfx apparent.

• Efto (peculum iph*ricum conuexum a d g,cuius centru nynridafq; fuper ficiei lpe-
culiperpcndiculariter altitudo qu* fit e a, cuius altius puneftum fit e, a. (it centrum u U
fus u,reflecftaturcg puneftus a, i punefto fpeculi qui fit a.a fitlinea reflexionis qua: a b,re
fleefta tur quocg forma punefti altitudinis e, 3 punefto fpeculi g.fitqj linea reflexionis g b.
Si alter punctus line* e a, qui fit t, inferior punefto e,refleefta ' ' '■
tur ad uiiiim b,i punefto fpeculi d.Se! fit linea reflexionis db,

^•ducatur itacg linea altitudinis e a, ultra puneftu a, palam cp
cx hypo thefi,et per 7 * .primi huius,qm i pfa tranfibit centra
*n,2C produca tur linea reflexionis u g, intra fpeculu, Si quia
line* e a & b g.iunt in eadem fuperneie reflexionis per 14.

Cjnti huius, pa!2 cum non fint*quediftates, ut patet per 9.
huius, quia concurrent, concurrant itacp in punefto h, iedfiC
b d linea reflexionis concurrat cum lin,ea e a, produefta in
punefto f.& quonia per 1 1 .huius punefta h& f.umtloca ima
ginum puneftoft e Si f.pala quod linea hf eft imago line*,
fimi liter quoqj de alijs puneftis line* e a demonftrandu.

Erit'qj imago line* e a,linea a h,reuerfa ergo uidetur altitu
do, quod em fupremu eft uidetur infimum Si econuerio,patet em per 13 .huius, quoni5
fuper unum kathetum incidenti* (ignitis duobus puncft/s,eritIocus imaginis punefti d
centro fpeculi .ppinquioris remotior i centro lpeculi,& remotioris propinquior,remo«
tior itacp tiideb/tur i centro m imago punefti t,qu* eft fiqrh imago punefti e, qu*efth,
palam itacp eft propofitu primum, Si eodem modo eft de ,pfunditatibus demoftrandu.
Inflmumerft puneftum refleeftitur ad puneftum imaginis fupremum,8i econuerfo, Me*
dia quocp punefta modo medio reuerfc difponuntur, propofitum autem eft hoc.

X L I III.

Obliquarum longitudinum idola a conuexis fpecu*
iis reflexa apparent lux proprix difpofitionis.

Efto longitudo d e, oblique incidens fpeculo iph*rico cone
uexo quod fit a g,Si eius centrum f,8t fit altius puneftu d cp e,pun*
dum 4 fuperficie fpeculi dati.Sitfcp centrum oculi b,& reneeftator
puneftus d ad uiiiun b,5 punefto ipeculi a,8t puneftus c,i punefto g,
Si i punefto d ducatui perpendicularis fuper fuperficiem fpeculi,
qu* per 7 z.primi hnius,necefiario tranfibit centrum fpeculi qef
eft f,qu* fit d f,& fimiliter ducatur kathetus e f,ducantur'cp line*
reflexionum b a & b g,di pducantur intra fpeculum,concurrat'cp
b a cum d f,in punefto h Si b g.cu e f,in punefto k. Si ducatur linea
Sz h kjCrit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
' h k,cr/t<$ per » i . hufus, linea hk imago lines de,eftaute linea kh, oblique fe habens ad
uifum b,ficutlinca d e ad (peculu, qm per 23. huius pundu e, quod efl propinquius ceru
tro fpecuIi,imago qua eft k, remotior fit i centro fpeculi f,& pundu h, quod eft imago
pundi d, remotioris 5 cetro ipeculi fit propinquius centro fpeculi, quod patet per hoc,
qm alicuius pundi katheti df.tamudiftantis i pundo fiquatu pundff e, jocus imagi-
nis eft remotior i cetro fjcp locus imaginis pudi d,g z 3 .primi Ixii^efl itacg h remotius
I couexa fuperficie fpeculi apparens, & pundum k .ppinquius eidem fuperficiei.Sic aut
di pnndus d fuit remotior i fuperficie fpeculi,&! pundus e propinquior, patet ergo ,p*
politum, qm obliqua longitudines apparent illius diftantis a fuperficie fpeculi,cuiu*
funt fecundum ueritatem in fua propria difpofi tione.

XLV.

Duobus pundis rei uific «qualiter di flantibus a centro fpeculi fph«rid
conuexi, Si inaequaliter a centro uifus in eadem fuperficie uel diuerfis, erunt
imago & finis contingenti» pundi remorioris a centro uifus remotiora i
centro fpeculi,quam imago 8C finis contingentia? pundi propinquioris;ex
quopatetquod pundorum aequaliter diftantium a centro fpeculi&a cen*
tro uifus,imagines 3 centro fpeculi aequaliter diftabunt.

Sint t di d duo punda squali ter I pundo g,centro fpeculi remota, Si fit c centrum
uifus,&! (it comunis fedio fuperficiei reflexionis di fpeculi Ipharrici conuexi, circulus a
b, cuius centrum erit putidum g,per primam huiusSitfcg pundu d, .ppinquius uiftii, q
eft e, qj pundum t,di ducantur duo katheti incidenti» i pundis t & d ,ad centrum circu
li g.qui fint t g & d g, fecetfcg kathetns tg, fiiperficiem ipeculi in
pundo b, fiatfcg angulus e g d,fuper lineam t g, «qualis angulo
c qui fit t g z,& angulus e g t, «qualis angulo qui fit t g h, g z 3. pri-

mi,fecet'cg linea h g circulum in pundo a, 8i fumatur per z o , uel
2 z .huius, in circulo pundu a, quo forma pundi t, refledatur ad
pundu z, qiiod fit pundum q.palaergoquod forma pundi t no
. refertur adpunduh.ab aliquo pundo arcus b q.non em d pun-
j do b,quonia cum ille fit in katheto incidenti», pala per 1 o, hus
/ ius,quia refleditur in (e/pfum di no ad pundu h. Sed necg i pim
do q,qm ab illa forma pundi t refleditur ad pundum z,quo<
cuncp uero pundo fumpto in arcu b g q, linea i pundo h, ad iU
lud pundu dudafecabit linea qz.igit ad illud pundu fedionis
refledit forma pundi t,a pudo aliquo arcus b q,& ad idem pun-
dus fedionis refleditur i pundo q, ergo forma pundi t, refle-
ditur 'i duobus pundis fuperficiei fpeculi ad unum pundu qcF
eft impoflibile,& contra 1 6.huius,reftat ergo ut forma pundi t.
refledatur ad pundumh,ab aliquo pundo arcus q a. Sit illud
pundum m,8<: a pundo m ducatur linea c5 tingens circulo per
i6.tertij,& .pducat ufqj ad kathetfi g t, & fit m n,*er it'cg pundus
n, finis contingenti» pundi t,refpedu pundi h.&d pundo q ducat linea cotingens cir
cplum,q .pduda ad kathetum tg,fit q o,hoc ergo neceflario cadet fub linea n rrj, g 60.
primi huius, & .pducat linea z q, donec cadat fug kathetu g t,in pundo p,cadet aut per
5>.huius,& erit per 1 1 .huius, pundus p locus imaginis forma- pundi t,crit ijcp per 1 z.
huius„pportiogtadpg,(icuttoadop,ergoper 1 tf.quinti, erit permutarim .pportio
g t ad t o,ficut g p ad p o, fed maior eft .pportio gtad tn, cjjadt o,g 8. quinti, cu t n fit
minor eff t o,ut patet ex pmiflis,maior erit .pportio g t ad t n,cp s p ad p o,eft aut per 8.
quinti,maior .pportio g p ad p o,cp ad p n,ergo multo maior eft .pportio c g ad t n,cfj g
p ad p n,qih p 0 minor eftcjjp n,diuidat ergo g 1 19. primi huius, linea g n i pudo 1, tali
ter ut fit .pportio t g ad t n.ficut g 1 ad 1 n,erit'c^ g Imaior cjj g p, no »qualis neqj minor
‘g 8 ,quiti,erit'cg per 1 <S,quinti„pportio t g ad g l,ficut t n ad 1 n,ergo per conuerfam 1 3 ♦

huius

■LIBER SBXT-VS* Itfj

huius, eri t pundu l,lociis i maginis pundi h.Sint ergo linea h g.e g, z g, af quales inter
fe,& g f fit aqualis s p,& s p aequalis linere g o,cu igit angulus eg d,fit aqualis angulo t
g z,erit cx principio primi huius,remoeio puncti 3,5 pundo e,ficut remotio pundi z,
d pundo f,q'm cum punda d & t funt eiufdem diftantia i cetro fpeculi quod eft g, erut
linea: d g & t g aquales.crit ergo per z 3. huius, imago forma pundi d, refpedu uiliis e,
tih eleuata in katheto g d,quantu imago pundi t,eleuata eft refpedu pundi z,in kathe
to g t,crit ergo locus imaginis forma pundi d,in pundo f,ficut locus imaginis forma
putidi t,eft in pundo p,cu linea gf &gp,fint aquales, & fimiliter finis contingentia
pundi d, refpedu pundi e,erit eiufdem altitudinis cuius eft finis contingentia pundi t
refpedu pundi z, erit ergo per pmifla finis contingentia pundi d,in pundo s.Verum
quia angulus e g t,aqualis eft angulo t g h,& linea h g aqualis eft lineae e g,erit per ultk
mam icxti,<ppter aqualitatem angulo^ aqualitas araium mteriacentifi kathetum t g,
di lineas h g Si e g,erit ergo g pmifla pundus i,locus imaginis pundi t, refpedu e, ficut
eft refpedu h,& erit pundus n,finis c5tingentia refpedu pundi e,ficut di refpedu pu*
di h,imago ergo p udi remotioris ab e, centro uiliis, remotior eft 5 cetro fpeculi cp ‘ima
go pundi j3pinquioris,8i finis contingentia pundi r emotioris remotior eft ab eodem
centro cp finis coti ngentia ,ppinquioris,8C hoc eft ppofttum. Ex quo patet quod fi pun
da uifa in fpeculo fpharico conuexo aqualiter diftent 5 centro fpeculi, di d centro ui*
fus,quod imagines ipfopi 5 centro fpeculi aqualiter diftabunt,nec em ut patet expmif-
lis fit diuerfitas in locis imaginum,cum fines contingentia^ iemper fint aqualiter 5 cen
tro fpeculi diftantes fecundum quos accidit diftantia imaginum 5 centro fpeculi, quod
eft g.patet er go quod proponebatur. xivi,

Imago arcus concentrici fpeculo fpheerico conuexo diametro uifuali ere*
da fuperfuperficiem incidentia uidetur curua,& femper scquediftansar*
cui cuius eft imago.

Efto a b arcus oppofitus ipcculo fpharico conuexo.in quo comunis fedio luperfi*
ciei reflexionis 5>i fpeculi fit circulus h t z, & fit g centru illius arcus a b,& (im ifiter cen*
trum ipeculi.qih ex hypothefi arcas uifus di fpeculu funt con
tenta,lit'cg d centrum uifus,3<: ducatur linea d g,a g,b g,di fu*
matur in arcu a b,puijdus e,quocucg modo & ducatur linea
e g.erit ltacp fuperficies a g b,fuperficies incidetia in qua erit
linea e g,& linea dg, eft diameter uifualis qua ex hypotliefi
eft ereda fiiper fuperficiem a g b,erft ergo g diffinitionem li-
nea fug fuperficiem ereda anguli d g a, d g b, d g e, redi 8i
oes aquales. Sed di latera lateribus aqualia funt, qfhdg eft
aquale fibtjpfi,&: alia latera funt aqualia per diffinitione cir-
culi.ergo per 4.primi,bafes illote triangulorum funt aqua*
les, omnia ergo punda arcus a b,eiufdem diftantia funt & cen
tro uilus ,quare imaginesomnium iIIopl- pimdonim eiuldem
diftantia erut a cetro Ipeculi g corollaria pmiflum. Sit'cg q m
I,imago arcus a e b,erit igit linea g q,aqualis lineis gm& g 1, quare g 9, ter tij, linea q m
l,erit arcus ciraili cuius centra erit pundu g,erit ergo couexitas ipfius refpedu centri
g,no refpedufagficiei couexa Ipeculi fiuc loci reflexionis,8<: qrh curuitas arcus ab, re*
(pexit couexitate fugficiei fpeculi ut cocentrica ipfi ex hypothefi ,patet qd* ide arcus eft
concentricus liia imagini,ergo g 7 3 .primi huius,patet q imago aquediftat arcui uifo
qm eft femg in lugficie incidentia,eft em femg imago cuiuslibet pundi in katheto (ua
incidentiag 1 1. huius,oes aut katheti illius funt in fugflcie incidentia, patet ergopro-
pofitum. xlvii.

Imago arcus concentrici fpeculo fphaerico conuexo diametro uifuali fu*
perficieiincidentiaeobliqueincidente uidetur curua, non aequediftans ar*
cui cuius eft imago,ni(i perpendiculari duffo a uifu fuper aliquem puruftum
uifu arcus incidente.

S 3 Difponant

PERSPECTIVAE ViTELLTONIS
Difoonanttir omniaxit in pcedente theorematc,nifi qaod diameter uffualis qua? eft
d g>no Ht ereda (e d oblique incidens fuperficiei a b g,dico qd" imago arcus a b, uidetur
curna, ducatur em perpendicularis i pundo d,fuper hanc fuperficiem per 1 1 , undeci*
mi.cu itacg iUa perpendicularis fit minor om nibus lineis dudis 5 pundo d , ad hanc fu-
perficie per 2 1 .primi huius ,erit angulus redus que continet h*c ppendicularis uerius
pundu g,minor.quolibet angulo uerfus pundfl g, imaginato, que Continet alia linea i
r, p pundo d ad fugficiem illam duda per 1 6. pri<

ftiiA lineat pundo d, ad fupflciem illam duda
quanto remotior erit gpendiciilari, tato maior
erit & maiorem anguium continebit uerius g,
quia minorem continet uerfus ppendicularem
g z 1 .primi,fi ergo harc ppendicularis no cadat
in arcum a eb. fed ultra ipfum, tunc erunt oes
line* duda i pundo d,ad hunc arcum declina
txin ptemuna,& remotiores maiores Si mino
, rcmanguln contingentes uerfus pundum g,
1 <5 ,ppinquiores perpendiculari, Siergofuman
_tur triapunda in arcu a b, qua* fint a c b A fi<
n is contingenti* pundi b,fit 1, & finis contin*

tenti* pundib c, fit m, palam p 44,huius,quia ex eo q> pundum c,eft .ppinquins uifui
,c$ pundus b, erit pundus m ^pinquior centro g.cft pundus I,lunt aute line* gb &
g t,*quales ex hypothel?A per diffinitione circuli,eft ergo linea t m .maior cjj b l,fit au
tem q imago pundi c,& fit t imago pundi b A ducat linea q t, & ducant line* t b & m
L,quarquide ,pdud* concurrent.quia fi i pundo m ducat linea *quediftans line* cb,
illa fecabit ex linea g b,lfneam *qualeipfi mr.p fecundam lexti,eft aute c m maior cp b
l.concurrant.ergo line* t b Si m l,in pundo o A qin per 9. huius, .pportio eft line* g t
adgq.ficut line* c m ad q m,erit per 1 tf.quinthpcrmutatim ^portio g t ad c m. ficut g
q ad q m A fimiliter erit g b ad b l.ficut g t ad t l.ergo per 13 4. primi huius, eu line* gc
Si gb,angulariter coniund* fint proportionaiiter diuifieA i pundis ledionu ducant
line* concurrentes, qui c o Si m o,pa!a q<F linea q t,cocurret cu linea c b , m 1 A erit ipla
rum concurius in pundo o: finis contingenti*uero pundie, fit o,Si quoniam pundus
n.per 44.huius,demi'flior eft pundo m.erit ut prius e n.linea minor c§ linea c m,produ
dis ergo lineis eo&nm5pa tet ut prius quod concurrent , fi t ergo pundus concurfus
p, Educatur linea q p A procedat donec iccetlineam e g,in pundo f, Si producatur li<
nea o q.ufcp ad lineam e g qua lecet in pundo k,pala quocp propter hoc quod pundus
2i,eftdemiflior pundo m,quia pundum k erit luperi as cfj pundum fA linea g q,minor
erit cfjfg, patet aut per 1 13. primi huius, quoniam proportioline* gead cn.eftficut
line* g rad fn.Sed finis cotingenti* eftpundus n,locus ergo imaginis erit pundus f,
per 1 z.hiiius,igitur linea f q t, erit imago arcus circuli e t.erit linea curua non reda, ut
pote arcus illis tribus pundis g f. quarti, circulcriptus, no erit aut ille arcus *quediftas
arcui fpeculi necp arcui uifo.qm ut patet line* t b & q t A f e,ftint in*quales, ppter qd?
remanent line* g t,g q Si g f,in*quales.Similiter demonftrandum fi ppendicularis

duda i pundo d,cadatex alia pte arcus a b, citra ipmm.tuc em fimilis erit ,pportio,pa
tet ergoppofitii pritnu.Si ucro ppendicularis duda i pundo d, iug fugficiem inciden-
ti* cadat in medio arcus a b.linearipundo d.ex diuerfis partibus ad arcu dud* «qua-
liter diftanres i gpendiciilari erut*quaIesA*quales angulos cotingcntes uerius pun*
dum gA imagines ipfa^ xqliter diftabut i centro g, Si fines contingentia^, fimiliter
imago itaqj «qdiftabit arcui a b, & arcui fpeculi, qin imago figurabitur lirg centru fpe-
culiqcP eftgA erit illis concentrica 573. primi.hoc poteli .pbari pdidomode utracg
parte arcus p fe lecundu qd* diuidit a gpendiculari,q> eius imago fit linea curua modo p
dido *qdtftans arcui ullo .ppter ctqlitatelineajs' a centro fpeculi 2C arcus uifui ad loca
imaginu ^dudaifc.qcf eft ,ppofitu,De imagine ein arcus a c poteft fecudu pmifla idem
patere. Imago

LIBE*. SEXTTS.

164

xlviu.

Imago arcus ecentrici circulo, qui eft cois fedio fuperficiei incidendas 8t
fpeculi fpharrid conuexi fecundu mediu cius pundu propinquioris cetro
ipeculi uifu cxiftentc extra fuperficiem incidentiae,uidetur maioris curuita
ris cp arcus eidem circulo fpeculi arqued i flantis.

Efto arcus uifusbe a,circulus'qj cois iuperficiei reflexionis 6C
fpeculi arais fit h z, cuius centru fit g.fitcg arcus bea ecentricus
arcui h z,fint tn tfti arais in eade fuperficie,& iit e medius pudus
arcus b e a .propinquior centro g.fitig uiiits extra fuperficiem inci
dentix.Dico q> imago arcus b a erit curua , & maioris curuitatis
cp akerius arcus concentrici ipfi fpecuIo.DucaturJenim linea i cen
tro fpeculi quod eft g,ad centru arcus b a, quod fit f, produdacg li
nea g e. palam per 7. terttj,quonia ipfa eft breuior olbus lineis i ce
tro g ad cetru a d b .pdudis, 8i qm arais b e eft squalis arcui e a,
palam per eandem 7. qfn linea g a squalis eft lineat g b, dudistg
lineis g a,g b,fecundu ipfaitquantitate deferibatur arcus i centro
g,palam'cg per prsmifla,qrh arcus deferiptus fecundu fui pudum
mediu magis diftabit ab arcu h z,cp arcus b e a. Sit ergo defaipt?
arcus b d a.fiC ducat linea g a ,ad mediu pundu illius arcus.qui e-
rit squalis g b,excedit ergo arcus b d a, arcum bea. Manifeftum
aut ex prscedentibus,quia imago arcus b d a eft curua uifuqua
litercuncg fe habente ad fuperficiem reflexionis: punda ergo coia
iftis duobus arcubus, qus funt a & b, habebunt imagines fuas fitas
uniformiter prioribusifed tn pundum d fit remotius St centro g cp
pundu e.cius imago erit propinquior centro fpeculi cp imago pundi e. & ita cuiusli3’
bet pundi arcus g a a imago,eft propinquior centro imagine pundi fibi correfponde*
tis in arcu g c a, quare uidebitur imago arcus a c b curuior imagine arcus a d b, & hoc
eft propofitum.Et fecundu hunc modum in altjs (itibus arcuu & fpeculo$- poteft fieri
demonftratio.qn uifus no fuerit in fuperficie incidencis,fed extra illam,

X LIX,

In fpeculis fphtcricis conuexis uifu no exiflentein fuperficie linea; reda:
sequed iftantis fpeculo, imago uidetur curua.

Sit linea reda uifa a b,8<: fit ipeculi fphsrici conuexi centru
g.ent ergo (iiperficies incidentia: a gb.extra qua (it centru uifus
quod (it d,fit'qjlinea a b xquediftas fpeculo.hoceft linea: contin
genti arcu circuli , qui eft comunis fedio fuperficiei incidentis
& fuperficiei fpeculi fecundum medium pundu illius arcus.Di-D
co cp imago linea: reda: a b curua uidetur, ducant enim lineae re \
da: d g,d centro uifus ad centru fpeculi, & linea: g b, g a, i centro
fpeculi ad terminos linea: a b.Hs autem linea: ag&bg cum li*
nea a b squediftant ipeculo.pala q> funt squales per z<$.tcrrij, 5i
per 4.primi,fiac ergo circulusconcentricus fpeculo fecundu qua
titatem illaru lineari.-, qus fit a c b,cadet ergo linea a b intra illum
circulum ,erit'cp peiqy.uel 4 6. huius imago arcus a e b curua. Sit
ergo imago arcus a e b arcus z t h,ita q> imago pundi a fit z,2<!
imago pundi e fit t,& imago pundi b fit h,a ducatur linea g e fecansreda a b in pun
do r, pala ergo q> pundus e eft in eadem linea cu pundo f,fed remotior 1 centro g, c*
rit ergo per 2 3 .huius imago pundi e propinquior centro fpeculi, cp imago pundi £ co
muni utrog? pundoii: qus funt a & b, imagines funt exdem.Sit itacp pundus m ima*
go pundi f,cric ergo z m h imago a b lines redx.patetaut q> linea z m h eft linea cur
ua,cu linea z t h fit airua}& omnium pundorum lines redx qus a f loca imaginu or

dinen

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
dinentur fecundum conuenientem (ibi proportionem inter punda h & m, refpedu ar
cus h m, patet ergo propofitum.refedisqj lineisa f & b fxqliter,eade eftdemoftratio.

L.

Linea: reda? no xquidi ftan tis fpeculo, qua: produda non contingeret
uel fecaretfuperficiem fpeculi fphacrici conuexiuifunon exiftente in fuper*
ficie i ncidentiajjimago uidetur curua,

Dilponantnr omnia ut in prxcedente,nifi q> linea a b no xquediftet fpe
^ culo, nec contingat nec fecet fpeculu/ed tantu obliquetur iitper ipfum, pa
’/ lam ergo qj linex g b & g a produdx funt inxqualcs. Sit ergo a g minor
cp g b,a fiat circulus fuper centrii g,ad quantitate linex a g, minoris,^ fit
a c q, & ducatur g b ultra b.ufq? quo cadat in circulu in pundu e, patet au
tem ex 45\uel 46.huius,qm imago arcus a e eft curua,pudus autem ima*
ginis a fit z , pundus uero imaginis e fit m , erit quocp z m .imago arcus a
e,8i quoniam imago pundi b, eft remotior a centro imaginepundie.per
- 2 ) .huius;patet q> erit imago linea: a b,curua,quod etia g puda media arc^

ae&a b, faci liter poterit oftedi, patet ergo propofitum,refeda quoqj linea a b, ex qua
cuncjj (iii parte femper eade eft demoftratio qux prius,

L I.

Imago linea: redae, qua: produda contingeret fpeculum fphxricu conue
xum,uifu non exiftete in fuperficie incidentia:,femper uidetur curua ,

Sit difpofitio qute prius , ita tamen, ut linea a b produda contingat fpeculum in p3
do e,& ducantur i centro fpeculi, quod fit g,Iincx g b Qi g a , (it'cg ut funffcies inciden-
tis, qua: (it ab g fecet fpeculum in arcu , e h,& fit d centrum uifus , (itfcgfediocom*
munis fugficiei reflexiois in qua funt linex g a & g d,&: foperficiei fpeculi arcus Zp.Co
munis uero fedio fuperficiei reflexionis in qua funt li nex g h & g d , & fuperficiei (pecu
li fit arcus h p.Pala ergo per ea qux demoftrata funt in 1 6. huius,quod forma pundi b
refleditur,ad uifum d ab aliquo pundo arcus
j- h p. Si ergo i pundo illo ducatur linea con*

\ tingens arcum h p , illa fecabit lineam b g ,6i

finis contingentix erit pundus illius lediots
Sit pundus ille m, palam eft, quod fi i pundo
m ducatur linea contingens arcum e h , quod
Ailla cadet circa pundu e, per i (5. primi huius.
Quonia linea a b produda , eft cotingens cir
culum in pudo e,ct pundus b,eft altior pudo
m. Cadat ergo codngens i pudo m duda in f,

&hxc contingens produda in continuum Qi

D diredu,per eandetSo .primi huius fecabit linea
a e, ergo fecet in pudo t,& ex alia pte fecabit
fincag a,per i4.primi huius.Cu illx omnes linex erat in una iugficic, fecet ergo ipfam
in pundo t , fiat quoqj fupra g terminum linex b g,angulus xqualis angulo b g d, per
z 3 .pritni,qut fit angulus b g s,cadete pudo s in periferia circuli , & .pducaf linea g s, ad
xqualitatem linex g d,qux (it gl. Erit ergo per zy.terttj arcus sh xqualis arcuthp, fi-
ent ergo refleditur forma pundi b , ad uifum in pundo d,ab aliquo pundo arcus h d,
fic refledetur ad pundum 1, ab aliquo pundo arcus h s,& erit reflexio a pundo f, ficut
imarcu h p. (it reflexio S pundo, S quo ducitur contingens ad pundum m.quoniailliar
ens neceltario funt xquales,ut patet per S9< primi huius.Bt quoniam i pundo m,uenit
titracf) illarum linearum contingcntium.palam quod lplx ambx funt xqwales per y.o*
daui primi huuis.Ducantur ergo linex b f, & 1 f. Similiter quoqj forma/pundi a.refle*
di tur per 1 6,huius ad uiium d,ab aliquo pundo arcus z p. V erum in triangulo curuill
neo h z p, duo arcus hz&z p/unt minores tertio, per 17, ter ttj , & per 2 0 .primi, Sed ar

LIBE*. S-EX TV1* '» ' ftfy

cus hp;cft squalis arcuih s.Igltur arcus zp,eft minor arcui z a .Refeindar ergo focus
Z s, ad squalitatem arcus z p.quod poteft fieri auxilio 33 . terti), fit ergo fadu ; in punn
dio y, di dicatur linea g y,qus produda adsqualitate lineae g s,fecabit neceflario line
am f fidet? quialinea g d,eft squalis lineae gb, quia itaq^ linea illa fecat angulum 1 g z,
ergolccabft etia balem ei fubtenfam per zji. primi huius.Secet ergo in pundo y,& fit li
nea g y k squalis linesg d, palam ergo, quonia fient forma pundi a refleditur ad u i* .
(um d,ab aliquo pundo arcus z pdimfliter eadem forma pundi a, reflectitur ad k,ab ali-
quo pundo.arcus z y ,fed non reff edetur i ad k,nili ab aliquo pundo quod cft circa pu-
dum f, ex parte pundi z , Si non dicatur quod a pundo f,uel ab alio pundo arcus f x ,
refleditur forma pundi a , .ad pundum k ; fit Ut fiat illa reflexio i puncto f, palam
ergo quod tunc linea ducta ipuncto reflexionis fjfeeabit in aliquo puncto lineam b f ,
Quia linea contingens circulumin puncto e, trafit per punctu b,ad illud ergo punctu
comunis fectionis illaru linearo a f&b f, reflectetur puetus k , di id idem punctu i pu-
lto ^reflectetur puctusl,& ita duo puncta inhis fpeculis reflectetur ad idem punctu ab
eodem p uncto f,& ex eadem parte diametri uifiialis,qubdeftcorttra i^huiW.Sed necp
ab alio puncto arcus f y , quonia tuc ut prius Iinea,ducta j puncto a ad punctu reflexio-
nis fecabit lineam b f, fit punctu Tectionis u, ad illud ergo punctu u .rfcflectetur forma pu
ctikfiC forma puncti 1, a! ita duo puncta eiufoem diftantis i centro propofiti fpeculi
qcf eft puetu g, quonia ambx 1 g,kg,funt squales rpfi' g d, ex h y pothefi,& reflectetur ad
idem centro utfus ex eadem parte diametri uifiialis , qasab illo puncto lectionis linex
b f.quar eft u, eft duqibilis ad pundu g cftrulpeculi.Erunt ergo p 1 8. huius angulus 1 g
u squalis angulo k g u,totu lus parti, quod eft impoflibile, non ergo refleditur forma
pundi a ad pundu k, ab aliquo pundo arcus f y.reftat ergo ut pudus a,refledatur ad
pundum k, ab aliquo pundo arcus z s,alio quam pundum f,fi igit ab illo pundo duca
tur linea cotingens circulum, illa produda neceflario fecabit lineam a z , di cadet intra
.punda z s c per 60. primi huius ,ideo quod pundus s,refpedu diametri g ademiflior
eft quolibet pundo arcuszs,& ita linea contingens S. pundo s,quseltf o,altior eft
aJijs contingentibus i pundis arcus zf, dudis.Cadfo ergo contingens illa in pundum
n,&: ducatur linea m n ,qus quidem linea cum tranfeat per arcu trianguli b m t, & pro-
duda diuidat angulum b m t.per 1 y.primi.Quonia di ipla diuidit angulum g m t,ut pa
tet ex prsmilfis, c[a ergo diuidit b m t, ergo neceflario fecabit bafem b t,per z?. primi
huius.Secet ergo ipfum in pundo q,& ducatur linea g q,fit auteqi y imago pundi a, et
fit o imago pundi b,& r fit imago pundi q, palam autem ex 43 . huius . Cum pundum » _
b Iit propinquius pundo g,cetro fpeculi qudm pundu a,erit ergo imago pundi b remo
tiora pundo g fjj y imago pundi a, ducatur ergo linea oz,qus per 1 1 . huius , erit
imago lines ab, palam etiam per 1 z,huius,& per 1 6.quinti,quod proportio a g ad a n,
eft ficut gi.adi n,& proportio bg ad b m,per eandem,cft ftcut g 0 ad o m , cum ergo li
nes a g & b g, diuidantur fecundum proportionem fimilem utraq? ipfarum in duobus
pundis,& a pundis diuifionum ducantur linex, quarti feilicct g q di m n concurrant ad
idem pundum q, tertia qus eft i o,neceflario concurret ad idem pundum per iz4,pri*
mi huius.Linea ergo io produda cadet liiper pundum q,eft ergo linea i o q linea reda
Jgitur linea lor, non erit reda5fed linea i o r, eft imagolines a q, quare pala quod ima
go lines a q, erit curua.Pofito aute b loco pundi q,& alio pundo lines a b , polito loco
pundi b,eodem modo penitus probatur. Quoniam imago lines a b eft curua,& hoc eft
propofitum.

L 1 1.

Imago linea» reda: , qua: produda fecaret circulu, qui eft comunis fedio
fuperficiei incidentia: , di fuperficiei Ipeculi fphforici conUexi,non tartieri p
centrum uifu non exiftente in fuperficie incidentia: uidetur cuirua .

Manente priori dilpofitione,fit ut linea a b,produda circulum e b z , quieft comunis
fedio foperfidei incidentis di fpeculi, fecet in pu&o c,di pundus reflexionis forms pu*
di b,adj)undum i, fit pundu f,& fit m finis contingentis, lines cotingetis circulum e

T bzn»

EE RS PECTI V A E V fTBLLIONIS
b z, in pundo f produda ad linea b g . Rcfledctur itacpbad d,ab aliquo pfido arcus
hp, ficut in pracedente propofirioe pramiflum eft. Arcus quocg ab illo pundo reflecti
onis ufqj ad pundum h, aut eft aqualis arcui h e, aut maior
autminor. Si aquaiiSjCum per praemifla in pracedett arcus ille
fit xqualisarcui h f, ideo quia i pundo m.produda lincte cotin
gentes pertingat ad arcus aquaiespferjS. primi huius. Sit ergo
q pundus ipfltis circuli, in quem cadet contingens duda a pudo
m ex parte e, igitur linea ae tranfit per pundu q.dd ita linea m q»
fecat lineam a e, trans pundum e , quoniam utrucp pundop- e &
q,eft in perifcria circuli,6c! eft pundu unu.Si uero arcus ille fit mi
nor arcu h e.fecabit linea q m lineam e a, ultra pudu q, ficut fecet
ipfam in pundo t,ut efficiatur triangulus duda linea e q.Siuero
arcus ille fuerit maior, arcu h e, fecabic linea m q lineam a e , cir-
ca pundu q:quodcucpiftoji; accidit iteretur probatio pramifla,
& eodem modo penitus probabitur,q>imago linea: a b eft curua^
quod eft propofitum.

1 1 II»

Imago linea? retfta?,qua?‘produ<fta trafim centru circuli, eft comunis (e
diofupf/ciei incidentia: & fpeculi fpharici conuexi,cetro uifus exiftentein
eadem iuperficie , uel extra illa, non tamen in illa linea, femg uidetur reda*
Difponentur omnia ut in pracedetibus,nifi quod hadenus 16
^ cuti fumus de paflionibus haru Ifnearu uifu non exiftente in fuperfi

cie incidentia,&!nuncuifum fupponimus qncp efleinfuperficie in
cidetia,qui fit ut prius in pudo d.Si ducatur linea g d,cocurrat'cg Ii
nea a b pro.trada cu circulo e h z,tranfiens ipfius centru g, pala er-
go quod angulus illarfi linearu a g,et d g;, cadet fuper g, centru fpe
culi , uidebmir'rg imago linea: a b, una linea reda.Imago enim ca
iuslibct pundi illius linea: a b , cu ipfa fit in kateto fiia incidentia
difpofira , apparebit in ipfa linea a b produda ad centrum g,per
1 1 ,huius,erit ergo imago illius totius linea: redar, ficut et ipla linea
a b produda, eft linea reda, paterergo propofitum*

LIIII,

Linea? reda? declinata: a cetro circuli,qui eft comunis
fediofuperficieiincidentia?, & fpeculi fpharici conuexi,
centro uifus exiftentein eade fuperficie incidentia?, ita qcj
declinatio linea? iit ad partem aliam a uifu,5£ fit tangens
fuperficiemfpeculi,tantum imago unius pundi uidetur.
Ordinentur omnia ut prius in j- 1 .huius,& fit linea a b declinata fuper circulum eh z
ita quod non contingat centru eius, Si tep uifus d in firperficie incidenria,& fit declina*
tio lincte ad parte aliam, ab illa in qua eft uffiis,ut fi uifus fit in parte dextra, declinet pun
dum a ad finiftm,uelecontrario ,& linea pertingat ad fuperftciemfpeculi.dico ^d tan
tum unius pundi lineae a b,imago uidebitur.Surnaturenim per auxilium i <5. huius , pu
dus circuli.li quo refledi poffit aliquid ad uifum.qui fit h ,Qi fumatur aliqua linea rene*
xionis punctorum a b,lineadeclinata,utpundi bA' illa cadat forfitan fuper hanc line
amreffediontsdh.quodfifuerit.nonuidebiturqtnedam imago lineat huius declinata:
qua a b.nifi fecundum folum illu pundum b,quod patet diido kateto incidentia i pu*
do a , qui fit a g , tunc enim arcus interiacens pundum h a.quo refleditur forma pii-
di b , & pundum fcdionis circuli e h z.per katetam a g quod fit z,continet omnia pu-
• da reflexionis formarum pundorum lineaab,ut oftenfum eft in propofitione 5-0.
huius , produda ergo i centro uifus ad centrum fpeculi linea qua: fit g d,fecans circula

‘ eius

LIB5R • 5EXTVS. f 66

e h zj‘n pundo e ,fi fumatur in arcu circuli,qui e h, circa hanc lineam d h pnndus^quo
refledicur ad uifum aliquis pundus line» declinat» a b ,fed ille pudus refleditur i pu
«flo aliquo arcus h z prius affignati.qui eft terminus lineat fu» refle
xionis,cumIineaiu» reflcxionisflt ultra linea reflexionis forma:
pundi b,& ita ille pundus line» declinat» refleditur ad eundem
uifum i duobus pundis arcus ipeculi , quod eft impoflibfleA con*
tra 1 6. huius, non ergo reftedi tur ad uiium ab aliquo pundo arcus
eh,interiacentis lineam d g,&! pundum reflexionis form» pundi
b,qui arcus non impeditur per lineam interpofitam uiiui & fpcculi.
jftem fi aliquis pundorum line» a b, pr»ter pundum b,refledetur
ad uiium ab aliquo pundo arcus e h,interiacente lineam d g,& pun
dum reflexionis forma: pundi b,cum illa punda, omnia fint ins
eadem fuperficie incidenti» , ficut & centrum uiiiis,tuncpatet per
primam 1 1 .quod omnes line» re flexionum funt ineadem uiper ffcie
linea ergo incidenti» ipfius pudi iecaret lineam incidetisform»
pundi b, forma ergo pundi illius iedionis reflederetur adeunde
uiium d , i duobus pundis, fcilicet, d pundo h .f. pundo reflexio*
nis form» pundi bA ab alio pundo dato, quod totum eft impofli
bileA contra 1 6. huius: non ergo refledi tur aliquis pundorum line» a b , pr»ter pun-
dum b,ad uiium d,ab aliquo pundo arcus e h diicooperti , licet autem refledatur quili
Ibet pundus line» a b , ab aliquo pundo arcus h z , prius iumpti,non tamen uidebitur,
cum (it in linea reflexionis qu» occultatur uilui, per pr»cedentia punda lineae (olidae,
& ita linea adiacensline» reflexionis form» pandi b, nonuidetur uiiu fic diipofito,ut
pr»milium eft, patet ergo propofitum,

LV,

Linea; reda: declinata: a centro circuli,qui eft communis fedio fuperfi*
ciei incidentia: & fpeculi fphazrici conuexi, centro uifusexiftente in eadem
fuperficie incidentia:, ita quod declinatio linea: fit ad partem uifus , fiue fit
«angens fuperficiem ipeculi fiue non , nullius pundi imago uidecur*

Sit diipofitio qu» fupra , & fumatur a blinea declinata ut proponitur ,8teiasdecli*
natio fit ex parte uifus d, dico quod nullus pundus illius line» uidebitnr.Detur enim
quod aliquis pundorum illiusline» poflit refledi ab aliquo pundo arcus interiacens
lineam reflexionis non impedi tam per corpus line» interiacentis ui
fum & fpeculum & lineam d g,a cetro uifus dudam ad centrum (pe
culi, & ducatur linea ab illo pundo ad pundum arcus fumptum,
hoc unum iecabit lineam reflexionis , & pundus Iedionis refledi-
tur ad uifum i duobus pundis fpeculi,quod eft impoflibile. Si uero
dicatur quod pundus fumptus in linea a b,refleditur ii pundo ar*
cusciraili,qui eft iub illa linea a b,hoc erit impoflibile, quia totus
ille arcus occultatur per lineam interpofitam uiiui,8i fpeculo abfein
dente oes lineas reflexionum iliorum pundorum A pr»ter ea iecun
dum hanc difpofitionem uifus eft ex parte anguli minoris line» ob-
lique fpeculo incidentis,reflexio uero folum iit ex parte anguli ma-
ioris ,ut patet per 3 3 .quinti huius, non eft ergo poflibile aliquod pundorunfVllins li-
ne» refledi aditiiumiicfituatarum, nullius ergo pundi illiusline»a,tmago"uidetur,
qubd eft propofitum ♦

IVI.

Line* reda: obliqua: no tangentis fuperficiem Ipeculi fpfmid conuexi

T i uifu

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
uifiiexiftcntein fuperficie incidentia; , itaquod obliquatio linezefit ad par.
tem aliam & uifu,modicum imaginis uidetur , Si erit imago femper curua.

Difponantur omnia Ut in pracedentibits, flt'qjiinea a b, obliquata ftiper fuperficiem
fpeculi, ita 9 produda centrum eius non tranfeat nec tangat fuperficiem fpeculi , feci
diftat punctus b aliqualiter ab illa in aere exiftens , fitfcp uiilis d , incidentisillinsline»
a b.dico quod modicum imaginis Hne» a b,cii(iii occurret , ducatur
enim linea d b/uper fuperficiem ipeculi incidens in pundum c cir*
culi e h z , qu» eft communis (edio fuperfidd incidenti» 3i fuperfl
/ dei fpeculi : i pundo quoqj cjducatur linea contingens circulum pj
1 6, terrij , quae fit 1 o y,&fuper c tantum line» m c , fiat angulus»*
qualis angulo d c 1 ,fecanslineam a b, in pundo f,& d pundo f du*
catur kathctusfg ad centrum fpeculi.fiC ducatur kathetus b e.palam
fta'cg quod forma pundi f, refkditur ad uifum d , d pundo c per
zo.quinri huius, critcp locus imaginis in linea fg,fimiliter'cp forma
pundib,ai!nnonliabeat aliquod obftaculum refledeturadui-
uim ab aliquo pundo fpeculi, & locus imaginis erit in linea b g per
1 1 .huius,&: quia propter interpoli tionem lineae folidae qu» fb.alia
punda line» a b , non poliunt refledi ad uifum,nili punda line» b
1, quorum omnium imago cadit in linea duda , d pundis fedionu
° ! linearum refledorum pundoram b & f, & kathetorum b gQi f g,

qu» eft res modica , paret quod imaginis Iine»ab,pars modica uidetur , quod eft
propofitum. Augetur tamen illa quantitas imaginis fecundum quod centrum uifusin
eadem fuperficie declinat plns ad fuperficiem fpeculi, unde fi uifiis perucniat inter fuper
ficiem fpeculi di pundum b, totius line» a b uidebitur imago , tunc enim cadit h»c li*
nea a b inter lineam reflexionis form» pundi a , & inter produdum katetum a ultra 11
neam a b , 8i fi taliter fituetut h»c linea a b , ut cadat inter lineam reflexionis d c ,& in-
ter lineam per pundum reflexionis pundi b , tranfeuntem ad centrum lpecul/,po terit
uideri imago totius line», V idebitur autem imago totius line» ab.uel partis cius fem
per curua .quod poteft oftedi per modii yo. huius , 8i minuitur curuitas imaginis huius
line», fecundum quod magis acceflerit ad lineam tranfeuntem ad centrum per pundu
reflexionisform» pundi b,uninerfa!iteruero quidquid interpofitum uifui&fpeculo»
impedit peruentum formarum pundorum fpeculi ad uifum, illius imago no uidebitur
in his fpeculis.H»c autem qu»hic propofita funr,intelligcnda fiint de lineis occurren
tibus tiifui in arcu circuli, qui apparetuifui, utpote in arcu qui interiacet duas cont/iv
gentes dudas i centro uifusadipeculum, quoniam illefolum opponitur uifiri per y.
liuius, linearum ucro concurrentium cum fpeculo in parte circuli occulta uifui in aliqua
poteft cfleequediftans line» contingenti,» illa non uidebitur, fimiliter eft contermina
lis illi squediftantij& illa non uidebitur .fimiliter di conferminalis illi xquediftanti,
qu» cadet fub »quediftantepenitus occultabitur'uiflii,led linea terminali aquedfftan*
ti cadens iliperipfam ex parte illa.poterit uideri >&h»cexperimentantuiminduftri»
ex prahabitis principias «linquimus demonftranda , erunt tamen hoc modo tufarum'
linearum redarum imagines femper curua.

LVII.

Vifu exiftente in fuperficie incidentia; line» redae non concurrentis
cum fuperficie fpeculi fph»rici conuexi, fed azquedi flantis lineae interiacen.
ti centrum fpeculi 8Cu Tus, uel concurrentis cum illa extra fpeculum ex parre
luifus, imago uidebitur curua,

M

LIBER. SEXTVS, i6j

Sit d centrum uiius,& g centrum ipeculi,& h c.fit linea mTa , qos quid? linea no co
currat cum circulo qui eft comunfs iedio fuperfic/ei incidentis di ipcculi, fed iit sejuea
diftans linea d g,uel iecet eam ex parte d, iit quocp a b circulus qui eft comunis Iedio
fuperficici incidentia uel reflexionis.in qua funt linea dg&he,&: fuperficici fpeculi fi
pofiti,& producat linea h g,in qua (it pundus z, imago pundi li, punctus quoqj circuli
i quo refieditur forma pundi h,ad uifum d fit b,ducatur'cg 5 pundo b, linea, circulu co
tingcns,qua fecet linea h g,iuper pundu t,erit<$ ptmdus t finis contingentia, ducatur
ecia linea g b,qua produda necefiario continet cu linea h e.Si em h e fuerit aquediftans
d g,concurret quidam per iecunda primi huius.Si uero d g concurrat cu h e,multo for-
tius g b coeurret cu eadem g ij.primi huius,cocur(us quoqj ille aut erit in linea h e, aut
ultra hanc lineam, fi ultra concurrat in pundo m.Ducat quoqj 1 inea m g, quae erit lea*
tlietus incidentia pundi m.er/t imago pundi m,fit'cg q imaginata quoqj linea dpuna
do reflexionis formae pundi m,ad lineam gm, produda, finis contingentia: fit pun*
dus g,& ducatur linea z q, copulans loca imaginu.S/militer ducatur linea t s, copulas
fines contingentiarum.fit quoqj ut linea d g, fecet circulum a b,in pundo a, di produca
tur a pundo a, linea contingens circulum quat iit a b,pala itacp, qrh arcus a b, eft minor
quarta circuli, cu uifiis d uideat ex circulo minus medietate g 3 .htmrs.qre angulus a g
b,eft acutus per ultimam Iexti,& angulus u a geftredus per i7.tertij,igitlinea a uco
carrct cum linea gb, per i4.primi huius,cocurrat ergo in pundo u.Dicoquiapundus
u.cadct ultra pundum s,quia cu per i7.huius,pundus m refledit ab aliquo pundo ar
cus ab, SC pundus a, fit demiflior illo pundo reflexionis forma: pundi m,crtr finis con
tingentis lines ducte i pundo a contingentis circulum altior fine contingentis illia
us pundi,per 60. primi huius,& ita erit pundus s,demiflior pundo vu Protrahat ergo
linea t s,donec cocurrat cu lineati a, coeurret aut per i4.primi huius,& fit concurfiis in
pundo k,& ducatur linea g k,qus produda coeurret cum h m,per iecunda, uel per 29.
primi huius,fit concurfiis in pundo c.pudus itaqj c refledit ad uiium d,ab aliquo pun*
do arcus a b, quod patet per 47 .qua: demonftranda funt in 1 6. huius, fit lines pundus
f,i quo ducatur linea contingens ipeculu ufqj ad kathetum g c,qus quidem erit demiii
fior linea a k,8i fit f o/ecans lineam g c, in
pundo o,qui fit finis contingentis gd, per
60. primi huius, erit pundus o demiflior pua
do k.fimt em punda k & o,fines contingen-
tia»;, producat quoqj linea d f.ufcjjquo cadat
fuper g c kathetu, cadet aut per 9 . huius, fit er
go ut cadat in pundu r, di producatur linea
z q,n(qj ad lineam g c,& cadat in pundum I,
dico qm pundum 1, eft altius c|j pundu r,lf
nea em h c Si c kjSi z l,aut fiint squedi ftantes
aut concurrunt, fint primo^xquediftantes,
cum ergo hs lines xquediftantes (ecent line»
am c g i, fuper tria punda c k 1, Si fecent utracp lineap: tn g & h g, & cfi fit proportio lia
nes h g ad hc,ficut lines g z ad z c, per huius, & per 1 6. quinti, & fimiliter cu fit,p«*
portio lines m g ad m s,ficutg q ad q s,erit eade .pportio g e ad ck.q g 1 ad 1 k.per i.ie
xti,fed palam per 1 1. huius, qmr eft imago pundi e, linea emd f.eft linea’ reflexionis
concurrens aim katheto c g, in pundo r Qi o,eft finis contingentis,eft ergo per 1 2.hu
ius.Siper 1 6.quinti,proportio g c ad c o,ficut g r ad r o, fed minor eft proportio g c ad
c k,cp g c ad c o,per 8 .quinti, ita erit minor proportio g 1 ad 1 k.cfj g r ad r o, erit ergo
«contrario conuerfim per 6,primi huius,minor proportio 1 k ad g 1, £jj r o ad gr,eft era
go minor proportio linea o r ad g r,c£ k 1 ad g l.ergo coniundi m p 1 y.primi huius,mf-.
nor .pportio eft o g ad r g,cp k g ad 1 g,fed k g eft minor cfj o g,ergo per s.quinti, 1 gcft
minor r g,eft ergo pundus r demiflior pundo l,ied z q 1 eft linea reda, ergo linea Z;
q tjCft linea cmua.ergo imago line» h e,eft curua.erit ergo ptobare quod, imago line*

T 3 herecbe

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
h e,redar fit curua.Sitiero linea: h mit z,& z q,non funt xquediftantes, concurrat ergo,
& erit cocurfus, aut ex gte d,aut ex parte h,fi t ex parte d, & concurrat in pundo c, erit
ergo per y, huius z q t, linea reda .quare z q r erit curua, eft ergo imago lineat h e, reda
curua, demonftrationc completa ut prius, hoc ergo eft propofitum.

LVIII,

Omnfsarcus circuliin cuius fuperficie incidentia: fuerit centrum uifus
imago fenfibiliter apparens intra fpeculum fphatricum conuexum uidetuf
femper curua.

Sit arcus uifus a b,& fit centrum fpeculi pundum g,& centru uifus pudum d, fitcg
hoc centrum uifus in fuperficie incidentia.qua eft a b g,dico qd* imago arcus a b.uidet
femper curua, qa fenfibiliter intra fpeculu uidet.ducatur em corda ab, palanfcg expree
^ ^ j miflis ppofitionibus.qm imago corda a b, fecundum omnem fui fitu,
rcfpedu fpecqli uidet femper curua, nifi folu tunc qn ipfa fit fn katheto
incidentia unius iua extreminatis,ut cum ipfa eft perpendicularis iu-
per ipeculi fnperflciem pertranfies eius centrum, tunc em. ipfius imago
uidetur reda,ut patet per 5- z.huius.arcn uero a b, efle l katheto incide
tia fiiajt extremitatnm eft impoflibile, cuquilibet fiiotu pundorum di*
uerfum habeat incidentia kathetu,ergo nuncjj uidebit imago arcus ta
liter diipofiti in linea reda,qm femg loca imaginu diaerfoja pundord
in diuerfis iunt kathetis,curuitas uero imaginis poteft faciliter conclu*
d i fecundum modum quo in pracedentibus in lineis redis ufi fumus, &
coadiuuabft ad hac 44,huius, patet ergo propofitum,

LIX,

Conuexitas imaginum quorumlibet arcuum cum lo*
cus ipfarum eft intra fpeculum fphaericu couexu uel extra
ipfum, conuexitati arcuum fit contraria fecundum fitum,
Efto qd“ arcus ab refpiciat fecundu foi concauu uelconuexum
centrum fpeculi fpharici conuexi,qd‘ fit pundum g,dico quod co
uexitas ipfiUsimaginis erit contraria fecundum fitum conuexitati
ipfius fpecnli.qni imago totaliter eft intra fpeculum, uel totaliter
extra,uel fecundu partem intra,iecundu partem extra, & fecundu
partem in ipfa fepcrficie fpeculi, loca em imaginum, pundoru re*
motiop: 3 fugficie fpeculi f uerint .ppinquiora centro fpeculi, 8i lo*
ca pudoiy .ppinquoij: fpeculi fuperficiei fuerint remotiora i centro
fpeculi, ut pa tet per z 3 .huius, & quia imagines accipiunt continui
tatem fitus fuarum partium i continuitate rerum, quajt ipfe funt
imagines,patet qd* conuexitas ipfarum imaginu conuexitati ipfb
rum uiforum arcuum fit contraria fecundum fitu, prout etia often
dimus per 43 -huius, patet ergo propofitum,

LX.

Imaginum curuaru eiufdem arcus uifi remotioris d cen
tro fpeculi fpha;riciconuexi curuior uidetur.

Sit a b arcus, cuius pundus medius fit e,& cuius arcus imago
fit curua,& eius corda fit a b,linea reda.fitig centrum fpeculi g.dico quod accedente U
nea a b ad fpeculunymago eius fit minoris curuitatis,&! recedente ipfa fit maioris, dn*
cantur enim kathetiagabg,inquibus erunt loca imaginum pundorn a&b,per 1 1.
lumis.quia itacg accedente linea reda a b,ad fuperficiem fpeculi,angulus a g b, fit ma-
ior,^ recedente ipfa angulus ag b,fit minor ,per 34.pnmi huius, imago uero pundie,
plus elongati i centro fpeculi fit propinquior centro fpeculi,& imago eiufdem approxi
mantis fpeculo fit remotior i centro, extrema uero punda illiu&imaginis femper funt

LIBER SEXTVS* ' • > -fit

fh kathetis a g dia b, patet ergo quod imago arcus a b, remotioris i centro fpecul/j plus.
coanguftarur,& approximatis plus ampliatur, di fecundum hoc ipfius curuitatis mo
dus uariatur modo propofito, quoniam ipfius remotioris i centro fpeculi imago fit
Curuior,&propinquioris fit minus curua,qm lpfa lemper fit pars circuli maioris in ao»
ceflu ad centrum ipecul»,6tT fit pars circuli hiinoris in receflci i centro, & fecundu quanti
tatem acceflus lllius&receflus uariatur quantitas didarum imaginum, patet ergo
politum, LXI.

Omnis imago in fuperfide fpeculi fphzerici conuexi uifui occurrens fem

per apparet conuexa.

Efto fpeculum fpkericum conuexnm a g, fit centrum uilus e,
&fit linea reda uel curua uiia dh, in qua fignentur pundab &q,
fitcgut loca imaginum lftorum pundops fint in Iuperficie ipfius
fpeculi lineis incidentia: exiftentibusipfis,quce da,bc,iz,kg,lf*
neis qnocp reflexionis exiftentibus a e,c e,z e,& g e. Si itacp aliqua
illarum 1/nearu reflexionis fit perpendicularis fuper iuperficie fpes
culi, palam per yx, primi huius,qm ipfa tranfibit centrum fpeculi,
ergo per 8.iecundi,uel per 21. primi huius, illa erit breufflima
omniu linearum illarum reflexionis,&; illi^ppinquiores fuht remo
«oribus breuiores,patetergO;qrn illa imago uidetur curua, quo-
iniam aliqua pars ipfius propinquior eft uilui , & aliqua remotior:
idem quoqj accidit,fi nulla illarum linearum reflexionis fit perpen
•dicularis fuper fpeculi fuperficiem.qm duda perpendiculari linea
dpimdoe/uperfuperficiem fpeculi per 1 1 .undecimi, palam quod
omnes linea reflexionis illi perpendiculari remotioribus funt lon-
giores, di fic iter 5 imago linea reda uel curua.qua eft d k ,occur«
rens uilui in liiperficie. fpeculi uidetur femper curua, di qrh eodem
modo eft demonftrandude qualibet imagine apparete in luperfi*
cie fpeculi, patet ergo propoutum,

LXI Ii

Imago linea: curua: fecundum eius concauitatem refpicientis fuperficic
fpeculi Iphxrid conuexi nonnuncp uidetur reda.

Sit linea curua ab c,oppofito ipeculo fpharico conuexo ieCundum fiii partem 'con
cauam , dico quod nonnun^ imago ipfius poteft uideri linea reda, ducatur em eius
corda reda linea qua fit a b, palam per plures pramiflarum propofitionum lib. huius,
qm in aliquo litu imago ipfius linea reda uidetur curua cnruitate relpiciete centrfi fpe
culi, quia ergo extremitates linea curua a bc, qua firnt a &c, ludetur in
extremitatibus imaginis linea reda ac, imaginetur ipfi auua imagini
linea reda fic fubtendi corda intra fpeculum. Si itacp hoc accidit, quod
eft pofllbile, ficut curuitas ipfi? arcus qua eft a b,fit fimilis curuitati imagi
nis ipfius corda, ita quod eius fitus uerli hinc inde fint'fimiles, pala per 23 *
di per 43 ,huius,quod imago linea curua qua a b c,erit in linea reda lub-
tenfa per modum corda ipfi imagini curuata,uidebitur ergo linea reda
imago ipfius curua linea a b c,quod eft propofitum.Patet hoc etiam ali-
ter,quia enim ut in pramifla proxima didum eft, omnis imago in fuperfi-
cie fpeculi fpharici conuexi uilui occurrens, lemper uidetur conuexa cens
trum fpeculi refpiciens fecundum eius concauitatem, di eiuldem arcus imago cadens
intra fpeculum refpiciat centrum Ipeculi fecundum fui concauum,'cuergonon eatur
ab extremo in extremum fine medio in huiufmod/ reflexionibus di iuperficiebus
partium eiufdem imaginis,'palam quod illa imago in aliquo fitu habeat dilpofitios
nem reditudinis, et quia omnia loca imaginum pundorum illius arais cadent in
unam lineam redam, quem litum tamen a uifus di rei uifie & fpeculi perquirere

eflet

PERSPECTIVAS V I_T.E L L 10 N I S
«flet longam Si inutile, patebit tn (impliciter ex pramiflis uia iUadperquirere uofent/,
per huncitacgmodum accidit c/rcalum quando cg uideri ad modo iemicirculi &diame
«n',& ex portione circuli fit portio risuerfa.ita quod imago reda linex fit curua,&. cyr-
ua linex fit reda,& quandocg amba uidentur curua ad eandem partem.fi curuitasar
cus uifi fit minor curuitate imaginis fiix corda,& qnqft ad partes diuerfas.ficut interfe-
dione duo circulo# inaequalium iuperflcies incluia.a harum imaginum Si multa di*
tierfrtas, quJex pramiflis principes diligenti iolertise relinquimus exquirendam .In h js
itaqj feculis imago lineae redas apparet curua, Si linex curua imago femper uidetur
«tfniaia qnqj apparet uifui curua:&: qd* offendimus de lineis, accidit eti5 in lpfis iuper
ficiebus planis cocau/s et connexis per lineas quae infunt illis fuperficiebus,&: idem pen
nitus eft in lineis longitudinis Si latitudinis ipfa#,Si aute ^ponatur uifui in his fpecu*
Iis corpus curuum longum, modicum habens latitudinis,apparebit illius corporis cur#
«itas maritfefte,cu ipla diicerni poffit.per ea quafunt fupra corpus, aut circa illud aut
intra.no em beneddeernit curuitas no magna, qn occultae fuerint extremitates longi-
tudinis Si latitudiniSjiinde in corpore cpnuexitatxs modicas, & quantitatis magna no
focne diicernitur eius conuexitas, licet imago ipfius fit conuexa,cu non appareant ter#
mini corporis in lortgitudineuellatitudine}quitermimcoadunantnon modice com#
prehenfionem conuexitatis.

LXII.I.

A fuper fide fpeculi fphscrici conuexi ex diuerfts fuperficiebus fphjcraru
©ppofita, formas reflexa monftruofe imaginis indentur.

Quiaein diuerfa# fpharica# fuper fideru diuerfa funt ccntra,8d locus imaginis co#
iufcj pundi in fpeculis iphasricis conuexisper i / .huius,eftin katheto
fuas inddentias duda i p undo uiio ad centrum fpeculi, haec aute cen-
tra diuerfificanf in huiufmodi fpeculis irregularibus, patet ergo quod
_ forma diuerib# pundo# inpartes diuerfas protrahantur,# qm S.toe
7 ta (uperfide fit reflexio,# puda reflexa, fecudu loca diuerfificant.no
vfecundum eundem fitiim, patet quod imago tota qua: ex lods talium
pundo# aggrega f Si unit faa#gtium recipit inordinata fitum,uidet
ergo imago in talibus fpeculis monfhuoia, 8ifit extenfio uniformis
aliqua# fua# partium fecundam uniformem extefionem illarum iii#
perficieram,# aliarum partium f it deformitas ab'alfjs,unde qnasdam
imaginis partes trahuntur in Iongnm.quasdam in latum, quasdam in
tranfuerium,fecudu qd paries aliqua* fupficiei Ipeculi reipiciunt diuerfa centra diuerfa
rum iphararum.patet ergo propofitum.

LXIII.Ii

Poffibile eft per plura quotcum^ ejuis uoluerit conuexa fphaerica (pecu
la eiufdem pundi imaginem uideri.

Fiat hac diipofitio qua in j-8. quinti huius.de fpeculis planis didaeft.fitfcp a centru
wifus,# pundus uifiis b,& deicribatur exempli canfa poligonium aquilaterum Six*
quiangolam,quod fit a b g d e,# ad panda g d e,fint fpecula fpharica conuexa contin
gentiapunda angulo# aqualium,» imaginentur linea contingentes fpecula in eifde
pundis,ut in pundo g, linea s k, Si qm angulus b g k,eft aqualis angulo d g 1. palam g
zo. quinti huius.qiri forma pundi b.refledctur 5 pundo g,adpundum d,# eadem ra-
«ionc i pundo d,ad pundume,# i pundo e, ad pundum a, hoc aQt eft qcf^ponebat.

LXV.

A fuperfirie unius fpeculi fphaerici conuexi ignem impoffibile eft accen*
<di,ex plurium tamen compofltione poffibile.

Quoniameinutoftenfumeftin i y.hitius linea reflexionis forma eiufdem pundi
i diiierfis pundis eiufdem fpeculi fpharici conuexi non funt aquediftantes, attamen
tn centro unius uifus non concurrunt, ergo nccp radq lolares ucl altj fiiperficfei huiusfpe

culi

LIBER SEPTIMVS. 1 6?

tuli incidentes in aliquo uncp pundo poflunt concurrere.fed difpergitntur ia ipib me*
dio,non ergo illi aggregati radij un$ corpus aliquod quodeuneg uel ipfum fit combrii
ftibilepoflunt incederent refledutur d fuperficie fpeculi unius, ex plurium tn fpeculop-
copofitione poflet aliqd huiufmodi effici, ita ut a quolibet illop» fpeculopt uno pundo
renedetur unus radius ad unum pundu.cu aliojfe lpeculop: radijs concurrens, Si fle for-
tificaretur adio radiorum in illo pundo,& fcamdum numerum fpeculotum fieret nu*
merus radiorum^ unio uel aggregatio radiojt uirtutis.Hxc aut fpeculojtt compofitio
plus eflet difficilis $ utilis, unae tali operi nos no dignum credimus infifti, patet itaqj
propofitum.

LIBER SEPTIMVS

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS.

1 Rdinis realis feries nos ammonet.ot qui planorum fpeculorum & fphxri
i eorum conuexorum pafliones proprias prout potuimus tranfcurrimtis,
| nunc ad fpcculorum columnariu Si pyramidalium proprietates diuerta-
J mus.Sunt efh ipeculopa iftorum aliquae palfiones,cx paflionibus prxmif-
llbrum fpeculorum conflantes uel Compofitte.ficut & figur* iftoji: fpeculo
rum ex figuris iHor: prxmiflojt: fpeculoju aliqualiter coponunt* Specui 5 em columna*
re cu fit pars columna; rotunda, ficut ih odaua Si in decimaquarta,8i in decimaquinta
quinti huius dcdarauimus.Palam ex pneraifiis in primo libro huius fcientia;, & in prin
c/pfjs undecimi Euclidis.qm pyramis fit ex tranfitu redanguli,quod uno fuopilateriun
fixo moris alijs circumducit,quoufcp redeat ad locum unde motus accepit principium.
Speculum quocp pyramidale caufatur ex motu trigoni redanguli, cuius unum latejn
redum angulu continentium figitur,8i alia duo modo prsmiflo quoufqj ad locum im
de moueri cceper ut circuducuntur.V trumq; ergo iftoR: (peculor, quia ex motu linearu
redarum ortum habet,palam quia redarum pafliones proprias non euadit. In quan*
tum uero ili* line* caufant fpeculojt: figuras cu circularirer circuferuntur,in tih h*c fpe
cula pafliones circulares.hoc eft Iphaericas, quap- origo eft circulus, comuniter cofirqml
tur,& hoc maxime in fpeculis colunaribus euidentius apparet, prout manifeftabinius
in proceflu. Proprie uero illopt fpeculope pafliones ut illae qua; fecundum oxigonias ie-
diones accidunt, quae folis his fpeculis.fiue fint conuexa, fiue concaua conueniunt, ex
quadam comuni natura linearum redarum ,&! motus accidut in illis, haec ergo fpecula
pofteriore ordine recipiunt d plana fpecula & fphatrica conuexa.Prius uero de his (pe*
ailis columnaribus Qt pyramidalibus conuexis profequemur quam de quibufcunq? co
cauis 8t fph*t*cis,propter (implicitate paflionu fpcculort-couexoiv refpedu concauojt?,
ut illarum quae in alias defcenaunt.qu* uero pramitrimus funt ifta.

Maius fpeculum columnare uel pyramidale conuexum uel concauum dicimus, qd*
eft: pars maioris columnx uel pyramidis & maius quam eft pars minoris. Axem

fpeculi columnaris uel pyramidalisj,d/cimus axem illius columna: uel pyramidis cuius
pars fpeculum exiftit. Bales, fpeculorum .ppofitorum dicimus bafes fuarum colum-
narum uel pyramidum qua^cGcg. Diametrum uifualem dicimus lineam d centro ui
{usperpendicularem,fuperfuperfidemfpeculi.&:adaxem produdam,& eadem dicit
kathetus reflexionis. Kathetus incidenti* dicitur ut prius linea perpendicularis du*
da d pundo rei uifx fuper lineam qu* eft comunis fodio fiiperficiei reflexionis 8i (pe-
culi.utpote fuper lineam redam, qu* eft linea longitudinis fpeculi, ud fuper circulum,
uel fuper oxigoniam fedfonem, fecundum quod ab aliqua iftamm IineajK reflexio jpeea
dit. Finis cotingenti* dicitur pundus in quo alter katheto^focat linea in pundo re
flexionis fpeculum fecundum circulum uel fedfonem oxigoniam contingentem .

V Metam

<•.. PERSPECTIVAE VlTEfcLiO&IS

Metam locorum dicimus utin ipeculis fphcericfs pundum nel linea iiltra qiiam
imagines non uidentur,

THEOREMA I.

Oppofico uifui' fpeculo columnari ucl pyramidali conuexo orthogona*
■liter ere&o,ita ut uifus non fitinfuperficiefpeculi,autei continua linea re*
'da a cetro uifus duda CUm aXe fpeculi in uercfce acutum anguium tenente^
parce fuperficiei ipeculi interiacente fuperficies contingentes dudasicen*
tro uifus ad ipeculi fuperficiem folum iit reflexio ad uifum.

Hoc quod hic proponitur uniuerialiter.conyenit fpeculo columnari conuexo, flue
fecundum angulum rcdum flue iecundu acutum fibi incidat linea iniualis,femper era
ficu t per 78,quarti huius oftenfum eft.minus medietate fuperficiei columnaris uifui oc-
currit,& ab illa folum fit reflexio ad uifum, haec autc fuperficies
ipeculi columnaris contenta eft duabus fiiperficiebusa centro ui
lus produdis fecundum lineam longitudinis contingentibus co*
Iumnam,&: quoniam huius paflionis idem eft demonftrandi mo*
das in utroqj propofitop; ipeculojii.difficilius uero in pyramidali-
bus,fufficit exempli caufa .ppofitu in ipeculis pyramidalibus de*
monftrari.Sit itaq; ipeculum pyramidale conuexum, cuiusaxis
fit a d,& uertexa diameter bafis c n,centru bafis d, di fit haec pyra
mis ereda fuper iuperficiem horizontis,ita quod non inclinetur
fupcr illam,& fit centrum uifus b,cocurratfcg linea b a, i uifus cen
tro ad uerticem fpeculi prodiida cum axe data: pyramidis conti
nens cum ipfo angulum acutum, qui eft d a b.dico quod folum a
parte/fuperficiei conicae huius pyramidis quce interiacct iliperfi*
cies contingentes dudas d centro uifus ad eandem fuperficiem,
fit reflexio ad uifum, imaginentur enim fuperficiem d centro ui*
fus prodeutem.qux fecet pyramidem orthogonaliter per axem,
& palam per loo.primihuius, quoniam communis iedio illicis
iuperficiei,5C fuperficiei pyramidis erit circulus a-qucdiftans ba*
fi pyramidis. Sit ergo ille circulus f g,a centro uifus ducant duas
linea: fgfiCb g.illum circulum contingentes per 16. teirij,& per
i o i .primi huius.ducantur i pundis rdi g,dua: linea: longittidi-
ttispyramidis,qucefintc f a ,8i n g a,palam itac^ quoniam fuperficiesin qua fiint linea:
c f a ,& lfnea b f, continget pyramidem.Si enim dicatur quod feoetillam di non contin ‘
git, palam quoniam linea b f,quae eft in illa fuperficie iecabit circulum f g,& non con*
tinget, duda autem eft ad conti ngentiam,fecare igitur eft impoflibile. Superficies er-
go illa pyramidem cotinget, di fimiliter oftendedu eft de iuperficie in qua funt linea ii
g a,8t b g.quoniam di illa pyramidem continget, fuperficies ergo pyramidis interia*
cens has duas fuperficies contingentes uifui occurret, 8C folum ab hac fiet reflexio ad ui
fiim,quiautper KS.iecundi huius, oftcnfum eft longior radius ad circulum columna
tiCl pyramidis rotundarumperuenies, quali linea contingcnscft, patet ergo propofi*
tum, quoniam in fpeculo columnarieft fimiliter demonrfrandum,

II.

Si a centrooculi ad lineas qua: funttermini fuperficierum fpeculorum
columnarium uel pyramidalium conuexorum apparentium uifui dua: fu*
perficies reflexionis producantur ,necefle eft per ipfas ambas ipeculum
confingi,

. . : - , ■ ■Verbi

UBER. SEPTIMV?, 170

V erbi gratia.Sfnt connexo Ipeculo columnari' quod ficdfje g,du* lines fongitudi
•is.qusfintde, di£ g,fint'q} lflar lines termini iupcrficieicolum*
ns fpeculi apparentis ui(ui,utpatetex prsmifla, di per 78.quarti ** f
huius# iit centrum uifusa.,produdis'q; lineis a d,a f,a g, a e, erunt
fiiperflcies trigona: a d e,& a fg»dico qcP ilis Tuperficies cotingent

de,m«i

cies a f gjecet columnam# fit iedlio fuper linea f g.Sit ergo ut iu
perficies plana pertranfiens centrum oiius fecet columnam sque-
dtftanter ba(ibus,erit'q} per 1 o o.primi huius,fedio communis illi
foperficici & ipecali circulus.qui fitbc,hsc ergo tranfit per duas
lineas londitudinis d e# e f g, ducantur ergo line* a b a a c, ad <
hunc circulum ,hs ergo cum fint in illis luperficiebus iecantibus
Hiperfieiem columns,(ecabunt circulum b c, minus ergo uidebitar
de arcu, b c,^ fi^illud quod fub lineis circulum b c, contingentibus
i centro uiiiis pundo.f.a,ducftis continetur,qd’ eft contra ea qus
declarata funt in y 1 .quarti huius, di fimiliter de bafibus coluns de
clarandum. No erunt ergo ilis fiiperficies produds ad terminos
fuperffdei column* apparentis uifui.ied citra illas, quod eftcotra
■ hypothefim. Eodem modo quocp eft de fpeculis pyramidalibus de
monftrandum# fequitur idem impoflibiIe,§d priusper 84.quar#
si huius,quod eft contra hypothefim,patet ergopropofitum.

1 1 r.

Communis fedio omnium fuperficierumd uifuprodu
daru cotingentiu fpeculu columnare conuexum,eft linea
craniiens centm uifusaequediftanter axi illius fpeculi.

Quod hic pponit.efto em axis fpeculi columnaris conuexi h k
i, #bafis iuperior column* circulus f d, 'cuius centrum fit h, di in-
feriorbafts circulus g e, cuius centrum i, & communis iecfiio alicuc
iusiuperficiei reflexionis di luperficiei fpeculi columnaris fitcircu»
Ius b 1, cuius cetrum k,cu itaqj axis h i.qui orthogonaliter eftfagba-
fes.ut patet per 9 y.primi huius ,fit etia orthogonalis fug circulu bl,
per 1 00 ,di g i 3 .primi huius# per eade fint lines longitudinis cos
lumns d e & f g, orthogonales fug circulu b 1, fuperficies ergo con»
tingentes columnam fecunda illas lineas d e & fg,ere&s erunt fug
circulum b l,pcr /8.undecimi,ergo&iuperluperficiem reflexionis
lecante columnam iecundu illum circulu b l,ergo per 1 9. undecimi ,
comunis (ecflio illatu iuperficiep: contingentium columna orthogo*
nahter erit fiiper illam fuperficie reflexionis.ergo per 6 . undecimi,
illarum fuperficiejy comunis ledio squediftanserit axi column* q
fuper eande fugficiem eft orthogonaliter ereda.fecant aut ilis fug
ficies fcin centro uifus.qm centrum uifns in omnibus illis exiftit, ut
patet ex hypothefi de iugficiebus planis Ipeculum ppofitum cotin-
gentibus# de lugfijae reflexionis ex i7.quintihuius,patetergo p
pofinim. 1 1 1 1.

Ad quodcuncj; pudum lignatu in fuperficie apparente
fpeculi columnaris uel pyramidalis conuexi d centro uifus
ducatur linea reda, illa ,pduda necelfario fpeculu fecabic.

Sit difpofitio omnimoda pmiffs,fignetur'cg in apparente oiiiii
ppottione fpeculi.qd' eft e d,f g.pundus q#pducat linea a q ,di-
Y * eo qugd

wgficiesj&fimilitereritpcedere fi

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
fco quod linea a q>(pdu<5a neceflario fpeculu fecabir, ^ducatur em i pundo q,finea Ion
gitudinis coluns qua: fit q m,per i o i. primi huius.hsc itacg linea erit squcdiftans am«
babus lineis longitudinis d e &:f g.per 3 1, primi. Sit quocp ut fuperficies aliqua reflexi
onis fecet coluna ultra pundu q Jecud9 circulu b I,per 1 00. primi huius, linea ergo q m
neceflario tranfibit per circulufedionis, quieftb l,(ecans ipfum in pndo, fit ergo illud
pundam p,ducaturig linea a p, hac ergo quia cadit intra lineas i centro uifus a, ad cir<
culum b l,,pdudas illu cotingeates.qua: funt a b & a l,pal.1 qa fecabit circulu, ergo ctfa
fupficies a cetro uifus ad fpeculi fupcrficiem ^prenfa, in qua lunt lines a p 8i a q, fecabit
fpeculu, qa illa fupevficies fecabit fugficiem coJ umnaris fpeculi fecundu linea longitu-
diniSjqna: eft m q, pala ergo qrh linea a q,pduda fecabit fpeculu:eode modo patet de ^
libet alio dato pundo in fpeculis ijcp pyramidalibus conexis eode modo demonftran»
■dun^duda linea i uertice pyramidis adpundu queauiqj in illius, fpeculi fupficie datu,
pala cft ergo ppofitu.

V»

Ginnis fupevficies planain aliqua linea longitudinis fuperficiei apparen
tis ui fui fpeculi columnaris ud pyramidalis conuexi contingens fpeculum,
fecatfuperficiesa uilu produftas, qua: contingunt portionis apparentis ex
tremitates,omescp illa: fuperficies inter uifum & fpeculi fugfide extendunt.
Maneat fupcriordifpofitio,cotingat'cg aliqua fupficicsplana iupficie apparenti
Ipeculi fecundu l/nea longitudinis,q eft m o,p py.primi huius^ducaturfcg fugfides refle-
xionis qua: fit a b 1,& in ea .pducat linea cotingens circulu b l,in pundo p,qus fit s p t,
pala ergo qcf linea s p t,fecabit lineas a b & a 1 , ducat em linea p 1 ,quia ergo linea sp t,fe
cat angulil a p 1, patet p 19 .primi huius,qm ipfa fecabit linea a l.Similiter duda linea p
fo.patet qcf linea s p,, fecabit linea a b,pala ergo.qm lines a 1 & p t concurrent.Sed linea
,p t,eft in fuperficie cbtingente columna fecundu linea longitudinis m o.linca uero a 1 eft
in iupffrie cbtingerite Columna fecundu linea longitudinis de,qus eft extremitas por*
tionis apparentis, patet ergo .ppofitu primu.Sed di oes tales fupficie^ qualis eft fupfri
cies in qua eft linea s t, inter ui(iim&! fpeculi fupficie, Si no extendunt,^ de fpeculi qui
flem fupficie pater, qcf fint ilis fupficies cotingentes ipfam fpeculi fuperficie,& non fe*
canresdla.fed & patet de centro uifus.Sit em pundu n„pximu pundu fignabile fub pS
do I,in arcu 1 b,& imaginet aliqua fupficies cotingens fupficie columns in linea longi
tudinis,in q fit puelus n. hoc ergo neceflario fecabit fupficie reflexiois q eft a b 1, ani dt
orthogonalisfuperillaper 1 S .undecimi. Sit itac$ per tertia undecimi fupficiei reflexio
«is qabl,& dids fuperficiei comunfs fedionis.linea reda,q fit n r , palam ergo per p-
inifla,qni linea n r cotingit circulu bn, in pundo n,fed pundu n demiflius eft pundo I,
■ergo cotingens linea qus n r,erit demiflior linea cotingente q eft a b,per 60, primi hu
jus.No ergo ptinget linea nr,ad pundu a centrum uifus. Eodcmodo demonftrandu
inaltjsquibufcuq? fuperfdebus taliter cotfngentibus fugficiem apparente fpeculicolil
naris.Similiter ejeg demonftrandu eft de fugfciebus cotingentibus fpecula pyramida*
lia quscun‘c£,patet ergo propofitum.

vi,

O mnis fuperficies refle&ionis in qua funt linea contingens bafem fpe-
culi columnaris uel pyramidalis conuexi & linea longitudinis eiufdemfpc
culi ldc fpeculu fecundu lineam fuse longitudinis neceflario eft cotingens.
Hoc patet per modii fecunda: huius,qm eadem huius & illius eft demonftratio.S/C
eni refumpta figura pcedet/s fligficies reflexiois g a f,in qua fitlinea z f, cotingens co-
lumna nvue! pyramide in pundo f,& linea longitudiniscolumnsuel pyramidis qns
eft g f,dico qd illa fuperficies reflexionis continget columnam uel pyramidem, Si dec
q> illa fuperficies columnam uel pyramidem fpeculi fecet, tunc et linea z f,bafem illius ■
fpeculi fecabit, quod eft contra bypothefim, palam ergo propofitum,

. Oppflto..

LIBER. SEPTIMVff>. '17 I

VII.

Oppofito uifui fpeculo columnari uel pyramidali' connexo , ita ut cen *
trum uifus non fit in fuperfide columna; uel pyramidis , 8i pundus rei uifie
fit cum uifu in eadem fuperficie fpeculum fecundum axem fecante, comunis
fedio fugficiei reflexionis 8C fuperficiei apparentis fpeculi eric linia Iongitu
dinis fpeculi,& fi illa communis fedio fit linexlogitudinis fuperfiices refle
xionisfeeat fpeculum per axem.

Sit fpeculuu columnare conuexu, aiius axis flt h i.euius fuperficies apparens uifui
fit e d fg, fit'q$ a centru uifus, & b pundu uifum ,(ecetcp fugficies reflexionis in qua per
Z7.quinti huius , neceflario funt pftda a&b .ipfum fpeculu fecudiim axem h i, dico qd*
comunis fedio illius fuperficiei reflexionis & fugficici e d fg , eft linea longitudinis fpe
culi,qm enim per 9 3 .primi huius,comunis fedio illius fuperficiei plana & liipficiei toa
tios coluna: fpeculi eft quadrangulu redangulum fub duabus lineis longitudinis & dua#
bus diametris bafiir columna contentu, cum fuperficies refledionis tranfeat per cen#
trum ui(iis,cui direde in fpeculo opponitur faperfides appares uifui , per prima huius,
patet quod comunis fedio illaru duarufuperficieru, erit linea Una longitudinis, qua eft
unu latus illius trianguli, quod eft comunis fedio illius fuperficiei plana: fuperficiei
totius columnae.Sic quoqj patet per 90, primi huius,de fpeculo pyramidali,qm cornu#
nis fedio (iiperfiriei reftexionis,& fuperficiei conica fpeculi uifui apparentis ,fit unum
latus illius trigoni, quonia eft communis fedio huius plana fuperficiei , 8C totius fuper
ficiei ipfius pyramidis fpeculi , quod eft una linearum longitudinis pyramidalis .patet
ergo propofitnm,

VI tt.

Omnium fuperfiderum planarum fuperficieiti fpeCuli columnaris uel py
ramidalis cOnuexi contingentium unica fuper fuperfiderii reflexionis fpecu
culum fecundum axem fecatite,eft ereda , utqutc fecundu comunem fedi*
onem illius fuperficiei K fpeculi lineam,fcilicet longicudi nis fuperficiem ap
parentem fpeculi per tequalia diuidentefflfpeculumeft contingens.

Sit fpeculum columnare conuexu .cuius apparens uifui fuperficies (it, e d fg,& axis
h i,fit'cg centrum uifus pundum a,& communis fedio fuperficiei reflexionis fpeculum
fecundu axem fecantis & fpeculi, fit linea longitudinis qua; m o,per arqualia diuides lug
licii e d f g,c5tingat'cg fugneie fpeculi fiigficics plana: qtcuq?,dico qd* unica illa qua: fecu
du linea longitudinis m o fpeculu cotingit.ereda eft fu g illa fugficiem reflexiois , 8i qd1
oes alia; fuper ipfam funt obliquata;, ut eni*n patet g 9 z , primi lniius,linea m o , redos
eft angulos cotinens cu femidiamitris bafiu coluna: & fimul cu femidiametris olm circu
loru bafibus illis cequediftantifi fecantiu columna ,ut patet per i 00.dC per z 3 .primi hu-
ius,palam quocpper 9^.primi huius.quonia omnes pe rpcndiclilarcs,qtia: intra colum
namducibilesfunt femp ipfam fugficie cotingen te fpeculu neceflario trafefitperaxe
fpeculi,oes ueroilla; ppendiculares cadunt mliiperficie fpeculu fecundu axe fecante,er
go per diffinitione illa fuperficies contingens eft ereda (ug fuperficie illa reflexionis,o-*
innes ergo alia: fuperficies dida fuperficie fpeculi fecudu alias lineas longitudinis c5tin
gentes fuper illam fuperficiem reflexionis funt obliquae, aliter enim ilice fuperficies
contingentes feneceflario interfecarent , li ababliquo pundo lineae , qua: per 3 . unde#
cimi , eft communis fedio illarum fuperfiderum ,dua linea: in illis fuperficiebus con-
tingentibus ad fuperficiem reflexionis perducantur,quarum extremitates in ipfa fuper
fide reflexionis per lineam tertiam coniungantur.erut protradi illius trigoniduo anguf
.li redi, quod eft impoflibile ,non eft ergo aliqua illarumfuperficierum fpeculum contui
gentium fuper illam fuperficiem reflexionis ereda, nifi unica in illa communi fedio#
ne fpeculum contingens, & eodem modo in fpeculis pyramidalibus poteft demonfl va:'
tio formari, patet ergo propofitum,

V 3 Oppofito

PERSPECTIVAS VITELLIONIS

Oppofito uiTui fpeculo columnari connexo, ira ut uifus non fitfrifpfafii
perfide columnte,# pundus rei uif& fit cum uifu in eadem fuperficie arque*
diftanti bafibus columna: , communis fedio fupcrficiei reflexionis Si fpeeu
li erit circulus aequedi flans bafibus columna:.

Efto columnare fpeculum conuexum, cuius axis fit h i,& ba
fis fuperior circulus fd inferior bafis circulus ge,&fit cetrum,
uifus pundum a, Si pundum rei uifx (it b,0ttg (peculum dire-
dx tiifui oppofitum.ut proponitur .dico quod quoniam faper
ficies reflexionis qux fit a b c z , (ecabit fuperficie propofiti ipe*
culi , taliter quod communis fedio qua fitcz, erit drculos x-
queaiftanter bafibus fpeculi, hocenimpatot ex hypothefi,&!
per i oo.primi huius.uel etiam hoc modo:Ducantur enim dux
linex produdx i uifu contingentesfpeculum, qux fintazfii
a c , fintfcf} z & c punda contingentia oppofita adinuiccm in-
eadem fiiperficie,&abutrocp illorum pundorum ducantur li-
nex iecundum longitudinem columnx , qux fint d c e & fz g.
Si quoniam linea d c, eft xqualis linex f z,& linea c e , xqualit
linex zg,exhypothefi8<; per 25-. primi huiiis.propter xquedi*
flantia bafium fpeculi Si luperficiei refledionis.palam quia li«
nea z c , qux eft communis fedio fuperficiei reflexionis Si fu*
perficiei oi fpeculi . xquediftabit arcubus bafiu,qux Iunt d f fl<
g e .Dudis enim redis linex d fio z, g e,erunt iUx linex redx
xquediftantes per 3 i, primi huius, ergo & hxcurux,qux in eif
dem iunt iuperfidebus erunt xquediftantes Si iunt circulares,
quoniam funt xquediftantes in eadem fuperficie columnari,
patet ergo propolitom.

X

Oppofito uifui fpeculo columnari uel pyramidali
conuexo,ita ut uifus norf fit in fuperficie columna: ue!
pyramidis fuperficie reflexionis oblique axi fpeculi in
cidente, communis fedio fuperficiei refledioms&fpe
culi erit oxigonia fedio.

Eftoutin prxmiflis fpeculum columnare uel pyramidale
conuexum , cuius axis fit lineali i, Si liiperficics eius apparens
uifui fit e d &fg,fit'q3 centrum uifus pundum a,& pundus rei
uiix b.fecett# iuperncies refledionis (peculum obliqne tranfa*
xem .feilicet non xquediftanter bafibus columnx, dico quod
communis fedio fiiperficiei reflexionis & fiiperficiei fpeculi ui
!ui apparentis eft pars oxigonix icdionis .quoniam enim ut patet per 1 0 3 . primi hu«
ius , patet q> omnis fuperficiei (ecantis columna uel pyramidem tranfaxem non xque-
diftanter bafibus Si luperficiei totius pyramidisucl columnx communem iedionem
circulum efle , eft impofllbile, uel etia linea longitudinis per 7. huius , cum talis luper*
ficies plana no fecet pyramide uel columnam, iecudu axis longitudinem,patet q> com*
munis fedio iuperficiei reflexionis , qux plana eft & partis fiiperficiei fpeculi pyram*
dalisuelcolumnaris oppofitx uifui,non poterit efle arcus circuli , necg linea longitu*
dinis,erit ergo pars fedionis oxigonix , quia totam talem (edionem totius fuperficiei
pyramidis uel columnaris , Si luperficiei planxlecantis pyramidem uel columnam di*
ximus oxigoniam fedionem in?8.primihuius,,pat« ergo propofitum,

Com-

LIBER. SEPTIMVS*

Gommuni fe&ione fuperficiei reflexionis & fpcculi columnaris circulo
«xiftente,omnesfuperficiespIana: fpeculum cotingentes fuper fuperiiciem
reflexionis funt ereXa?.

Remaneat difpofitio qua: praecedit in 9. huius , & quia per 95-. primi huius, omneS
plana; fuperficies columnam contingentes fecundum lineam longitudinis contingunt,
pate t per 9 z.primi huius , cum omnes linea: longitudinis reXos angulos cum femidi*
ametrisbafium contineant,quoniam omnes fuper illas bafes funt ereXx.ergo per 100
61! z 3. primi huius, illae lineae omnes funt ereXat fuper circulum a:quedi flantem baffbus
columnae. Hic autem eft circulus, qui eft communis feXio fuperficiei reflexionis&
fpeaili,per 9,huiusJergo per diffinitione fuperfideru ereXarum fuperficicnim funt fog
fides, omnes ilice fuper fides contingentes columnam fuper praffatam fuperficiem refle
xioniseriguntur, quod eft propofitum,

. XII.

Communem fecKonem fuperficiei reflexionis & fpeculi pyramidalis co
uexi, circulum impoflibile eft efle.

Sit pyramidale fpeculum conucxum a b c,cuius uertex a diameter bafis b c,fit'cp ai
Xis fpeculi linea a d , eft ergo per 89. primi hijuis , pimXum d centrum ba(is,fit'cp ce n-
trum uifus e,& punXus rei uilx fit f , dico quod forma punXif, non poteft refleXi ad
uifum e , ab aliquo puXo (peculi propofiti , ita ut communis fcXio
fuperficiei refleXionis & fpeculi, cuius centrum fit k,fit circulus .Si
enii,nhpc fit poftlbile,eftojquod reffeXatur forma punXi f,ad ujf*
forne a punXo fpeculi g, fitep circulus g h communis fcXio fuper
fidei reflexionis & fpcculi , cuius centrum fit k , erit'cg per 1 oo.prie
mi huius ,c/rcu!us ghxquediftans bafibe, producatur ergoapu#
flo g extra fpeculum linea g m, perpendicularitcr fuper fuperfici
em contingentem pyramideminpunflog,per 1 z undecimi, quia
uero fuperneies bafis non eft orthogonalis foper fuperficiem con
tingentem pyramidem in punXo g , ideo quod omnis fuperficies
contingens pyramidem fecundum lineam longitudinis eft con tin
gens , ut patet per 9 j-.primi huius, & linea longitudinis oblique fo
perftat foperficici bafis, palam quod fuperficies circuli h gxquedi
ftantis bafi no orthogonalis fuper fuperficiem fpeculum continge
tem in punXo g,produXa ergo linea perpendiculari, qua: eft g m.

Intra pyramidem, palam quod ipfa non pertingat ad centrum cir
culi,quodeftk,fed cadetfobiilo in alifj punXo axis, qui fit PU11X9
n, fiC continebit linea mgn, acutum angulum cum axe uerfus
punXum uerticis , fdlicet angulugna,qui ncceflario eft acutus
per 3 z.primi.ideo quod angulus g k n eft reXus per 3 9 .primi, cum
angulus ade, fit reXus ,& quoniam ut patet per x7.quinti huius,
punXum m , qui eft terminus linea: perpendiculauisfupcrfuperfi
ciem fpeculi.qui perpendiculariter eft linea nam in foperficie refle

;

\ A

1

\ 'P
/m

m K

/V N

[&

\

Xtonis confiftere eft necefle , linea ergo h k g , non eft in illa fuperficie , palam ergo qd
fornix punXi fad uifum e, non fiet reflexio a punXo fpeculi c, ut i punXo circuli. Si
enim fieret reflexio i punXo g, ut i punXo circuli gh, oporteret neceflario fuper

fidem circuli g h .perpendiculare efle foper fuperficiem planam contingentem fpeculu
in punXo s,dC perpendicularem m g produci ad centrum circuli k ,quod eft impoflibile
per prxmifla , patet ergo propofnum,

XIII.

Oppofito uifui fpeculo pyramidali conuexo , icautuifus non fitinfuper
Ecic pyramidis aut ei continua, pundusejj rei uifie fit cum centro uifus in

eadem

PERSPECTIVAE VITEIMONIS
eadem fuperficie sequedi flanti bafi pyramidis , impoffibile eft reflexione
fieri ad uifum.

Exiftente enim tali difpofitione eenfri uiiiis & pundus rei uifie refpedu fpeculipy*
ramidalis conuexi,ut proponitur.palam per i o o .primi huius.cum fuperficies reflexio
pnis fit fu perficies plana,qii(a communis fedio fui & fuperficiei comc« ipeculi eft cir-
culus,patetergo propofitum per pucmiflam.Eft enim in illa oftenfum,impoflibile efle
Ut communis fedio fuperfiaeireflexionis&fpeculipyrarmdalis conuexi fit circulus,
qi|ia fi fediq illa communis eflri circulus, efletipfa per i o o, primi huius, xquediftans
bafi fpcculi,&: eflet fuperficies illius circuli in fuperficiei reflexionis,^ quia axis ad,eft
gpendicularis fuper illu circulu per % j .primi huius.erimt linex longitudinis 'pyramidis
declinata: fuper illum circulum angulos acutos continentes cum diametris bafis., 8i it a
Client ilk lineas obliqua: fuper fuperficie refledtonis , ergo in illa fuperficie non poffit
duci perpendicularis fuper lineam longitudinis.fed per z7.quinti huius,perpendiculari
ter duda iiiper iiiperficiem contingentem fpecuium fecundum pundum renexionis,eft
in fuperficie reflexionis^ pcrpcndiculariter fuper lineam longitudinis, cum qualibet
fuperficies contingens pyramidem contingat illam fecundam lineam longitudinis, er*
go nunquam fiet refledio ad uffum in hoc fltu formas alicuius pudorum rei uifa: iiiper*
ficie reflexionis ipeculum pyramidale, ut pyramidale contingente, fi uero fugffcies in
qua eftliqca contingens ipeculi circulum fecundum aliquod pundum illius circuli fe*
cet fuperficiem fpeculi, tunc eft poflibile ab his fpeculis,&: ab illo pundo circuli reflexio
nem neri,nonutiipecuIis pyramidalibus,fed in quantum ipforum cohuexa iuperficies
communicat cum fpeculis fphasricis uel columnaribus conuex/s, quorum pafliones de*
clarauimus in prasmiflis,ut tunc haec paflio ad proprietatem fpeculorum pyramidalia
acciderit, patet ergo propofitum.

x m i.

Superficierum reflexionis , quarum communis fedio cum fuperficie
fpeculi py ramidalis, eli lin?a reda fecundum diuerfas uifus fituationis, qua
doq? folu una , quandpcp plurimas ad eunde uifum poflibile efl; applicari,’
Quocuncp enim modo uifu taliter diipofito , ut minus medietate iuperficiei conicas
pyramidis uideatur,per 84.quarti,tucfol5 unica fuperficies refledionistranfit per ui-
fum , cuius communis fedio cum iupcrficie pyramidis fit iinea longitudinis,quoniam
unica tunc tranfibit per axem pyramidis,oftenium cft enim per 7.haius,quon/aip,in o*
mni fuperficie refledionis fada i fpcculjs pyramidalibus, quando communis fedip fu
perficieirefledionis& fpeculi fuerit linea longitudinis fpeculi, neccefle eft efle axem
fpeculi, taliter uero djipofito uifiii, ut tota pyramis uideatur per 9 x. quarti huius, non
folum plures , fed etiam infinitas Iuperficies reflexionum, quarum cgmmunis fedio e fi;
linea longitudinis ,ut proponicur,poflunt ad oculum applicari,quonfam tunc centrum
uifus omnibus lineis longitndinis totius fpeculi eft commune, SC omnes fe «qualiter ha
bent ad uffum ,cum enimradiu^ uifiialis continuus fuerit axi pyramidis, tota pyramis
uidetur per pi.quarti huiusjfn qualibet ergo fuperficie reflexionis fit totus axis 8i linea
perpendicularis fuper fpecoli fuper ficiem ad axem tranfiens i pundo reflcxionis,erit'cp
cuiuslibet fuperficiei reflexionis, & fuperficiei pyramidalis fpeculi fedio linea longitu
dinis in hoClitu , quonia quaslibet Iuperficies , in qua eft totus axis,communem habet
lineam longitudinis illius pyramidis cum fuperficie pyramidis per 90 . primi hm'us,pa*
tetergo propofitum. x v.

Omnis fuperficies refledionis , cuius communis fedio & fuperficiei ipe*»
culi columnaris uel pyramidalis conuexi, efl: linea longitudinis ipeculi, per
aqualia diuidit fuperficiem fpeculi apparentem,

Efto ipecul um columnare conuexum , cuius apparens fuperficies uifiii,fit e d fg et
axis h i, di fit centrum uiiiis a, ut prius in prsemiflis,patet itaq? pertf.huius.quofiiani iii*

.perfi*

LIBER. SEPTIMVS.

perficies reflexiois taliter fecans fpeculu columnare uel pyramida#
le lecatipium fecundum axis h i longitudinem, Sit autem linea.lon
gitudinis fecundum, quam illa iiiperficies reflexionis fecat fpeculu
linea m o , dico quod linea m o per aequalia diuidit fuperfleiem fpe
culi edfg, uiiiii apparentem , patet enim per zy.quinti huius, qd*
illafuperficies reflexionis eft orthogonalis fuper fuperficiem con»
tingentem columnam in linea m o,fi ergo in linea m o fignetur pu
dum p,& ducatur linea a p , 8i i pundo p ducatur linea t p s,in fu-
per fide fpeculum contingente, taliter ut linea s p t, contingat que#
damcirculu columnae aquediftante bafibus, qui fit bl , erit quoqj
linea a pppendicularis fuper lineam tps, quoniam ducitur in fu*
perfide fuper illam iuperficiem ere da, ergo per 1 8,tcrtq,linea a p,
produda traniit centrum circuli b 1 ,quod fit x , ducaturfcp lineae a
b&al, quae iirnc aquales per j-8 . primi huius, copulent qOocp
femidiamctri x b & x I,erut ergo trigoni abx&alx aquiangula p
S.primi , erit angulus p a t aequalis angulo p a s , ergo per y 8. pri-
mi huius, linea ap diuidit arcum I p b,per aequalia in pundo p,fed
arcuslpb, eftaquediftans bafibus columnae , lineae quoc# redae
terminantesfuperficiemipeculiuifui apparentem aquediftantli- 6 ^
neamo, quod patet per 9 z.primi huius, 28,primi,linea itacg
modiuiditurper aqualia balis columna ,eft autem linea mo in fu
pficie reflexiois, palam ergo quod illafuperficies reflexionis diui*
ditfuperficiem fpeculi apparentem uiiiii per aequalia, & quoniam
in fpeculo pyramidali fiue unica flue plurimae fint ilis fuperficies re
flexionis, ut patet per pratniflam,femper eadem eft dcmonftratio,
patet ergo propofitum»

XVI.

Omnium {uperficierum reflexionum ab eodem fpeculo columnari coiie*
aco ad eundem uifum fadarum unica eft, cuius communis fedio 2£ fuperfi*
dei fpeculi , eft linea: longitudinis illius fpeculi ,

Sit difpofitio figura eadem quae in prarcedeti,& quia nunquam comunis fedio lug
fidei reflexionis & ipeculi propofiti, eft linea longitudinis fpeculi , nifi iblum fuperficie
reflexionis columnam per axem fecante per 7, huius , in hoc autem fi tu fuperficies re«
flexionis qua eft a h i,fecat fuperfleiem e d fg apparentem u/fui per duo aqualia, ut pa
tet per praemittam huius,aut fuperficies tranfies per axem h i, eft unica , patet qd huius
foltus 8i fuperficiei ipeculi communis fedio,eft linea longitudinis fjpeculi.Si autem dic
catur quod di illa iiiperficies reflexionis eft , cuius communis fedio & fuperficiei fpec
culi elt linea longitudinis fpeculi , ergo per 7 . illa fuperficies fccat fpeculum fecundum
axem h i , ducatur ergo in illa iuperficie linea 5 centro uifus ad axem h i, qua fit a r k,&
ducatur in propofita iuperficie reflexionis fuperfleiem apparentem fpeculi per aqualia
legante linea a p k,palam ergo quod ifta dua reda includent fuperfleiem, quod eft im
pdffibile,patet ergo pro politum . Vnica em poteft imaginari fuperficies in qua funt a*
xes columna di centrum uifus di pundus rei uifa,& non plures.

XVII.

Omnium (uperficierum reflexionum ab eodem fpeculo columnari con*
uexo ad eundem uifum fadarum unica eft, cuius communis fedio Si fuper
ficieifpeculi,eftcirculu$ jequediftans bafibus columnae.

Sit difpofitio qua fapra, ita ut communis fedio fuper fi dei reflexionis & fpeculi
columnaris conuexi, fit circulus , quia ergo in omni tali Iuperficie reflexionis linea

X perpen-

PERSPECTIVAE VlTELLIONlS
perpendicularis ereda fiigfuperficie cotingeritem fpeculu in pundo reflexionis eft dte
a metro circuli bafibus columna; xquediftantis no poteft efle in fuperficie columnae
nifi unus circulus arquediftas bafibuscoluna: , qus cu centro uifus fit in eade iuperficie,
palam quia omniu fuperficierum reflexionum ab eodem fpeculo columnari couexo ad
eundem uiiiim fadarum unica eius communis iedio & fuperficiei fpeculi.eft circulus
aquediftans bafibus columnx. Si em dicatur quod fint plures, fit communis (cdioiu
nius illarum fuperficierum dC fuperficiei fpeculi linea qua: fitbp t, alterius uero x y z,
punda quoqj in quibus axi columna; incidunt centra illonim circulorum fintk&r,
& producantur linea a k & a r i centro uifusad illa punda, palam ergo per xqucdiftan
tiam bafium ad iftas,quoniam in trigono a kr duo anguli ad bafem k r , fiint redi, linea
enim h r,aim fit pars linea h i axis columna, ficut eft reda fuper bales columna g?z.
primi hoius,ita & fuper fuperficies citculoru illis bafibus aquediftantiu per i). primi
iiuius.ergo & fuper diametros illorum circuloru eft perpendicularis ,funt autem illa di
ametri in lineis ak&ar, linea ergo k r eft perpendicularis fuper ambas lineas a k & a
r,quod eft impoflibile, patet ergo propoli tum.

x v 1 1 r.

Superficierum reflexionis quarum communis fedio cum Iuperficie (pe*
culi columnaris uel pyramidalis conuexi,eft fedio oxigonia,plures ab eade
portione apparenti fpeculi ad eundem uifum eft poftibile applicari.

Fiat ordinatio figurae ,qna; fupra in i j-,huius,fit<q? commu-
nis fedio fuperficiei reflexionis tranieuntis per axem h i , linea
m o , & comunisfedio fuperficiei reflexionis eequedtftantis a*
xibus columnae circulus b p 1 , palam ex prxhabitis, quoniam
ab omnibus pundis fuperficiei columnaris mpb&mpl, po*
teft fieri reflexio ad uifum a fecundu partes fedionis columna
ris,quiaenim ad quodlibet illorum pudorum poteft alius pun-
dus rerum uifarnm incidere,patet quod ad quemlibet illorum
pundoru fieri poteft reflexio ad uifum per primam huius, mani
feftum eft ergo quod partes illarum fedionum columnarium
uel pyramidalium poflunt efle infinita^quarum quxlibctfecun
dum lineam perpediculare fuper axem fecat columnam uel py«
ramidem fpeculi» utpatet g i o4.primi huij), patet ergo^pofitu.
XI x.

Linea longitudinis exi ft ente communi fedione fu
perficiei reflexionis & fpeculi columnaris uel pyramis
dalis conuexi,a quocuncg pundorum illius linea; fiat
reflexio ad uifum ,femper fit in eadem fuperficie.

Signata ut in prtemifla i j\ huius , fuperficie reflexionis cir
culi ut proponi tur,q> fecet fuperficiem fpeculi fecundu lineam m
o.dico quod a quolibet pundo illius linea: fiat reflexio ad ui-
fum,femper omnes line» reflexio nis erut in eadem fuperficie a
m o . quoniam enim in fuperficie a m o,eft per 7. huius, axis hi
& unica fuperficies contingens fpcculum m illa linea m o, eres
da eft fuper fuperficiem reflexionis,ut patet per 8 ,huius,palam quia quocuncp pundo
in illa linea m o.fumpto perpendicularis ab eo ad axem h i duda, femper erit in eadem
fuperficie axehi, 6t erit illa linea orthogonalis fuper fuperficiem contingentem fu»
perficiem columna: fecundum illam lineam mo, quia per i7,tertij illa linea i pundo
contadus ad centrum circuli duda eft perpendicularis fuper lineam contingentem cir
culum dudam in fuperficie columnam contingentem, fuperficies ergo m o,h i , eft ere-
da fug fuperficiem in linea m olpeculu contingente, fed centrum uifus eft in fuperficie
orthogonali fuper eandem fuperficiem , quoniam in fuperficie una eft centrum uifusfii

linea

LIBER. SEPTIMVS. 174

linea mo&! axis fpeculi h i, ut patet per pracmifla,una fola auteni fupcrficies eft orthogo
«alfsfuper illam fuperficiem contingentem fecundum lineam m o, quoniam dato op<
polito contingeret duas lineas fuper pundum unum ad fuperficiem unam orthogo na
liter in(?ftere,quod eft impoflibile per 13 .undedmi.ornnes ergo reflexiones dpundis
linea: m o,fada: funt in una & eadem fuperffcie,quod eft propofitum ,

XX.

Sedione communi fuperficiei reflexionis & fpeculi columnaris conuexi,
exiftente circu!o,a quocunqj pundo illius circuli fiat reflexio ,femper fit in
eadem fuperficie.

Fiat figuratio ut in 17, huius , & fignetur quodeunq? pundu
placuerit in circulo b p t, palam , quonia femper femtdiameter illi f
us circuli,duda i pGdo k,cetro illius circuli b p t, eritperpedicula
ris fiiper fuperficiem contingentem fpeculum in illo pundo refle
xionis dato , erit ergo quaelibet talium perpendicularium produ*
da extra fuper fuper fidem contingentem columnam in eadem fu
perfide confiftens tota per prima undecimi. Eft aut illa fugficies
eduda extra columnam fuperficiei reflexionis, quia ergo quaeli-
bet talium perpendicularium eft in (uperficie illius circuli,fk pun
dum uifusquodefta,fimili ter eft in eadem fuperficie, in hac er#
go fola fiiperficie erit reflexio cuiufcunq? pundi rei uifae fada i
quolibet pundorum totius illius circuli uel portionis fuse uifae,
quod eft propofitum ,

XX!.

Omnis perpendicularis a pudo reflexionis fuperjjfpe
culi columnaris conuexam fuperficiem ereda produda
intra fpeculum, eft diameter circuli aequediftantisbafi* c
bus columna>,& econuerfo.

Sit difpofitio figurae ut prius , Sitfcg pudum reflexionis p,fiue
communisfediofiiperficiei reflexionis 8i fpeculi (it linea longi#
tudinis uel circulus uel ledio columnaris, & i pundo p, ducatur Iin^a perpendicularis
fuper fuperficiem contingentem fpeculum in eodem pundo p,quaefitpq,dico quod lis
nca p q intelligatur produci intra fpeculum quod ipfa cadet inpundum k,quod eft cen
trtim circuli b p 1,& erit diameter illius circu1i,quia fi detur quod non > cum eonftet per
1 7 . terti] diam etrum k p, perpendicularem cfle fiiper lineam s t,cotingcntem circulum
b p l,in pundo p ,& ex confequenti fiiper fuperficiem in illo pundo contingentem cos
lumnam,in qua per 6,huius,eft linea s r,cum & linea q p fit perpendicularisfiiper ean-
dem lineam & fuperficiem in eodem pundo fpeculum contingentem, palam quod e-
runt hae dux perpendiculares q p di k p coniimdx in pundo p, linea una,per 14. pri-
mi,ambx enim illae lineae exeunt ab uno pundo p,linex s p,&! continet quaelibet ipfa#
rum angulum redum cum eadem, & danti oppofitum etiam accidit ex eodem pundo
p fuperficiei contingentis duas erigi perpendiculares fuper illam fuperficiem , quod eft
contra 1 3 . undecimi, produda enim diametro k p , extra fpeculum ,fi ipfa uero pertin
gat ad pundum q, fit ut ipfa pertingar ad pundum z, extra fpeculum fiiper fuperfici-
em contingentem,accidit ergo ipfum p z & perpendicularem q p, eandem fuperficiem
ad idem pundum p , produdas perpendiculares efle , quod eft impoffbile, patet ergo
propofitum primum, conuerfaquoq? patet per eundem modum,*
xxu.

Superficiei reflexionis & fpeculi columnaris conuexi, communi fedione
quacuncp linea exi ftente,formae eiufdem pundi rei uifa: non fit reflexio ad
uifum eundem, nifi ab uno tantum illius/edionis pundo.

,X z Commu<

PERSPECTIVAS VITELLIONIS
Communi enim fedione fuperficiei reflexionis Si fpeculonim propofitonime»-
iftence lmea reda per 7. huius, tunc non fiet reflexio, nifi ab nno tantum pundo illius
lines, ficut de fpeculis planis oftenfiim eft per 45-. quinti huius, fl uero communis fedio
fuperficiei reflexionis Si fpeculi columnaris fuerit circulus.ut patet per 9 . huius , tunc
ab uno tantum pundo illius circuli fiat reflexio , quemadmodu in fpeculis fphxricis co
uexisoftenfumeftper i^.fexti huius, fi uero illa communis fedio fuerit oxigonia,ut
patet per 2 0 .huius, tunc eft hoc propofitum in fpeculis propofitis fpecialiter demonftra
dum, fiat ergo difpofitio ffgurx ut in prxmifla ,pxima, fittjj pars columnaris lectionis
linea, qua: eft p u,dico quod ab uno tantu pundo lines p u, fiet reflexio ad uifum in illa
fugficie.dato e ni quocuncppudo alio, palam quonia perpedicularis ab illo pundo re-
flexiois ereda fuper fuperneie coluns, orthogonalis.eft fug linea logitudinis columna:
per illu pundu tranfeuntis,quare&fuper axe perpendicularis erit per 294>rimf,&: erit
illa perpendicularis diameter circuli squediftatis bafibus fpeculi p prxmiflatrqet fugficf
es reflexionis& circulus ille fecatfe, 8i linea cis communis eft diameter illius circuli jj
1 opprimi huius,&: dia meter illa eft perpedicularis fug fugficie fpeculu in illo pudo co
tingente^ fugficies reflexiois eft fecas illa linea logitudinis coluns, fug qua fi t cotinge
tia.&eft declinata fug ea. ergo di fiig axe erit illa iligficies reflexionis declinata,(ed in fd
gficieplana fug aliqua linea declinata,ut fpecialiter patet de fedione oxigonia per 1 1 2,
primi huius,non poteft intelligi nifi una linea orthogonaliter cadens in iplam linea uel
in ipfum ax2,qm linea terminas illa fugficie,in uno tantu pundo fecat illa linea fug qua
fugficies dcclinaturtab uno itaqj pundo tantu illius fediois fiet reflexio. Si em i duob?
pundisilliusfediois daretur fleri reflexio ad eunde uifum,fequeret qd in eade fugficie
illius reflexionis, eflent dux lines illius fuperficieiorthogonales fug axe columns,qd'
cflenon poteft, cum illa fiiperficies fit declinata fiiper ipfum axe, perpendicularis enim
duda d pundo reflexions cadit in circulum xquediftantem bafibus colunmna: in pun-
dum axis, Si eft comunis fedio fuperficiei circuli Si huius liiperficiei reflexiois per 1 04
primi huius.Si itacp fieret reflexio etiam ab alio pundo, tunc iterum perpendicularis du
da i pundo illo reflexionis, eflet per proximam propqfitionem diame ter alterius cits
culi illi primo circulo xquediftantis& caderet in pundum axis, in quod non cadet fug*
fic/es refiexiois.In omnibus ergo huius reflexionfi fuperficiebus ab uno tantu p undo li
nete communis fit refledio in eadem fuperficierefpedueiufdem uifus, quamuis refpe-
du duorum uifiium poflit fieri reflexio i duobus pundis fuperficiei fpeculi ,ut a duobus
diametris circuli terminis,qus eft perpendicularis fuper ipfam fedionem , ita tamen fi
diameter illa fit squalis diftacis circulorum, uel minor , ab uno uero uifii hsc fieri non
poteft, quoniam ab ilio femper uidetur minus medietate columna: fpeculi per 78 , quar
ti huiuiSjpatet ergo propofitum , quod nos demum particularius profequemnr , o frena
dentes qupd in his fpeculis quacuncg linea cfi fedione fuperficiei reflexionis Si fpeculi
«xiftente,ab uno tantum pundo totius fpeculi fiet reflexio ad uifus,

XX 111.

Linea uifa non exi ft en te in eadem fuperficiein qua eft centrum uifus SI
axis fpeculi colunaris uel pyramidalis couexi,fi linea uifa refpetflu bafis fpe
culi fuerit altior uelbaffior cetro uifus,fi'uereflexio fiat a linea longitudinis
fpeculi fiue a circulo, femper fiet fecundum oxigonias fetfliones fuperficiem
fpeculi fecundum puncta illarum linearum continua fecantes.

Sit linea uifa fiue fit reda fiue curua.qux b c ,8i fit centrii uifus a,fit<g axis fpeculi co
lunaris uel pyramidalis conexi d c , ducaturfcg hnesadfiC a e cotinetescuaxede trf
gonu a d e,in cuius fiiperficie no fit linea b c , fed extra illa, fiue lecet trigonu a d e fiue
no, lecet ipfum,fiatqj lines b c reflexio ad uifum a, ii fugficie fpeculi propofiti, pala aut
quod ab uno pundo fpeculi tora linea b c ad uifum a refledf no poteft g 25) . quinti hu*
ius , dico quod fi linea b c refledatur ad uifum a , i linea longitudinfs fpeculi , qus fit
s g , ut fi linea b c squediftet axi d e , Si fiiperficies in qua eft linea b c fecet fpeculum

tranfaxem

LIBER SEPTIMVS. ,7T

tranfaxem orthogonaliter fuper bafem fpeculi. Secct'q* fuperffciem in 'qua fontceri*
trum uifus 8i axi s fpeculi qui eft d e, ita q> comunis fedio illap: fupcrffcierQ flt axis d e,
fiet tn reflexio ad tufum fecundu oxigonias fexiones, cfjuis fiat a linea longitudinis fpe
culi,quseftsg,palamemper i7.quinti huius, qm in omni fuperficie reflexionis ogtet
ut fit centrum uifus pudus cuius forma refleditur ad uifum,& pundus fpeculi, qui
eftpfidus reflexionis. Sitcr
gout pundus d,refledanir
aduifumr.i pundo fpeculi
f,& pundus a,£ pundo h,8i
ducantur 1 ines a f,h £a h,c h
quia itacn pundus b.lines b
c.noneft in fuperficie a de,
ex hypothefi, patet quod fu*
perficiesfus reflexiois qus
cft a f b, fecat fuperficicm a
d e,fupcr pundum a.&fug
pundum fpeculi f, fecat er*
go fpfam fecudu lineam a f & fecat fpeculum tranfaxem d e, no aut squediftat bafi ex
hypothefijqiii illa linea uifa quae b c,no cft in fuperficie a d e,fed extra illam, fliperficies
ergo b f a ,qus eft fliperficies reflexionis tranfuerfaliter fecat axem d e ,qm linea uifa cft
altior uel baflior cetro uifus ex hypothefi,c5munis ergo fedio ftiperficiei reflexionis di
fpeculi per io. huius, cft oxigonia fedio. Similiteiqj eft de pundo c, & quolibet me-
dio pundo lineae b c, licet ltacp omnia punda fines b c,refledantur ad centrum uifus a,
& finea longitudinis fpeculi,cuiuslibet tn pundi reflexio ad uifiim fiet fecundum oxigo
niam fedione. Similiter'cg demonftrandu, fi fliperficies incidentis lines b c, orthogo-
naliter fecet axem fpeculi, & fuperficiem a de, tunc em comunis fedio ftiperficiei ilici*
dentix lines b c,& ftiperficiei lpeculi,fiet circulus squediftans bafi fpeculi, d r o o . pri*
ni huius .unde fi fiat reflexio ad ui fum fiet ab arcu circuli squediftantis bafi "fpeculi, q*
libet tn fupcrficies reflexionis tranfiens centrum uifus fecabit oblique axem fpeculi fc*
cundu aliquod pundfl illius arcus , licet itaqj omnia punda lines b c, refledantur ad ui
fum a,ab arcu circuli fpeculfifit tn cuiuslibet pundi illius lines reflexio fecundum oxi-
goniam fedionem. Si tn aliquis pundoife lines b c, fuerit cum centro uifus in eadem
(liperficie squediftanter bafi fpeculu fecante Ullius folius reflexio fiet fecundu circula
aliorum ucro omnium pundojii reflexio fiet fecundu oxigonias fedio nes, & fic punda
illius ftiperficiei diuerfas afferunt uifui pafliones, patet ergo propoficum,

• XX III i.

In omni fuperficie reflexionis a fpeculis columnaribus uel pyramidali*
bus conuexis centrum uifus, pundum uifum,pundum reflexionis, pundii
axis, in quem cadit perpendicularis dudaapundo reflexionis fuper fuper*
fidem fpeculi confidere eft necefte.

Quod centrum uifus & pundum reflexionis & pundum reflexum fint in fu*
perficie reflexionis, patet per 17. quinti huius. In omni enim fuperficie reflexionis
neceffario funt linea incidentis & reflexionis,qus continent tria punda prsdida , etfi
fliperficies reflexionis fecet fpeculu fecundum lfneam fus longitudinis, paia per 7« hu-
ius,qcP totus axis & pundum in quod cadit perpendicularis £ pundo reflexionis duda
funt in hacfuperficie.Si uero comunis fedio ftiperficiei reflexionis 8i fpeculi fit circulus
palam, quia centrum illius circuli.qui eft pundus axis.ad quod per z 1 .huius, omnes ps
pendiculares £ pundo reflexionis totius circuli produda concurrunt, eft in fuperficie
reflexionis.qm tunc tonis circuluseft in fuperficie reflexionis.Si aut comunis fedio ftt
perficiei reflexionis & fpeaili fit fexfo oxigonia.palam per 1 o.huius, quia hscfedio de
diuis eft fuper axem columnae, interfecans axem in pundo cui incidit gpendicularis ,p
duda a pundo reflexionis fuper fupficiem contingentem columnam in pundo fidio-
re 3 nis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
nfs,patet ergo propofitum fecundum omnium diuerfitatem dudarum fedionnm.
xxv.

In fuperficie apparente fpeculi columnaris conuexi flue communis fedio
fuper fidei reflexionis di fpeculi (it linea longitudinis fpeculi, fiue circulus,
fiue oxigoniafed:io,a quolibet pun do poteft fieri reflexio ad uifum.

Signentur termini apparentis portionis columna: u t prius, & fit illa portio d fg ,8t
fit p pundus datus in fuperficie illa apparente, fit'q$ x pundus rei uifa, Dico <Jd i pun
do p,poteft fieri reflexio forma pundi x,ad centrum uifus quod fit a. Sit em primo ut
(iiperficies reflexionis ia qua (unt punda uifa,quod eft x, di centrum uiiiis a, di pundu
S. quo fit reflexio quod eft p,fecc t columnam fpeculi fecundu axemh k i, erit ergo per 7.
huius.comunis fodio illius iuperficiei di fpeculi linea longitudinis columna qua fit m
pn, ducat itacp linea x p,& a pundo p erigatur linea perpendicularis fug lineam m n,
per undecima primi, aua fit p r z ,di fuper pudu p, termini linea z p,fiat angulus atqua-
lis angulo x p z,quae iit z p q,Si itaqj centrum uifus quod eft a, fuerit in linea p q.palam
per zo.quinri huius,cu angulus incidentia fit aqualis angulo reflcxionis,qm i pundo
p fiet reflexio forma pudi x,ad uifum a,exiftente in linea pq,f|dfi fugficies reflexiois
fecet coluna fpeculi aqdiftanter bafibp, pala, qa cois fedio erit circufo g 5>.buius,fi'er'cg
iteit a pudo p, reflexio ad uffum,ducat era g 1 o 2. primi huius, circulus aqdiftasbafib?
columna tranfiens per pundum p.qui fit b p 1, cuius centru fitk.in cuius fuperficie ex-
tenfa extra ipeculu fi fuerit pundu uifum, di ducatur linea x p, qua j>duda fi tranfoat
centrum circuli k,palam cu axis columna li k i, fit orthogonalis uiper fuperfidem illius
circufoficut&fuperbafos columna per 100, & per 2 3 .primi huius,qfn di ipfo axisbkr,
qrthogonaliseritfuperlineaxp,ergo di linea longitudinis columna quaeftm p,erit
orthogonalis fuper lineam x p,per 2ji,primi,refledetur ergo per 2 1 .quinti huius, linea
x p,in fefpfum,& in ea exiftente uifui forma pundi x uifiii occUrrec.Si udo linea x’p*p
duda non tranfeat centrum circuli k,fed obliquetur abillo.tunc copuletur femidiame-
ter,qua k p,qua ut patet ex pmiflis erit orthogonalis fuper axem h i, erit ergo linea k
p, perpendicularis fug lineam longitudinis, qua eft m p, & per 251. primi, erit ergok p
gpendicularis fuper fuperfidem contingente columnam fuper linea longitudinis mp,
in qua ducatur linea contingens circulu b'pl,in pudo p.qua fit
s p t, educaturip linea k p,perpcndiatlariter fuper illam ftiperfi
cie in pundu u.fitcg ut prius centru uifus qd* eft a, in linea qp,
in eade fuperficie circuli,& qm in illa fuperficie circulu contin-
gente eft linea s r,erit angulus k p t redus,ergo di angulus s p u
eft redus per 1 y. primi, pala ergo quia angulus a p s,eft minor
redo z,ergo eft acutus, ergo per 13. primi, angulus apt cftob
tufus,refcindat ergo ab angulo u p t redo angulus aqualis an-
gulo a p u, g 27,primi huius. Si ergo linea x p, illum angulum
continear, pala per 20. quinti huius.qm i pundo p reffedet fot
|z> ma pundi x,ad pundu a, centrum uifus, quod fi linea x p,iUum
angulum no contineat,tunc ut prius fug pundu p, trn linea u
p ,fiat angulus aqualis angulo x p u,per 2 3 .primi, in linea
illum angulum continente pofito centro uifus a,patet £ pofitu,
&qm perpendicularis kpu,&cu pundo a, in eadem ftiperfi#
cie,perpmiflameritlineaa'p,ineadem fuperficie cu linea xp,
di erit hac fuperficies ipfa fupcrf/cies reflexionis di orthogona
lis fuper fuperfidem fpeculum contingentem fecundu lineam

tm n,qm perpendicularis p u, qua eft in fuperficie reflexioms
ereda eft fug fugficiem fecundu lineam m n,foeculu cotingen-
tem,& eft in ea circulus b p t,aquediftans bafibus columna, 66
fimiliter poteft demonftrari de alxjs j

LIBER. SEPTIMVS. I7&

fide fpeculi .Idem quoqj patet fi comunis fedio fuperfic/ei reflexionis 8i fpeculi colum
naris, fuerit iedfo oxigonia per i o.huius.qm ut offendimus in 'z i .huius.patet qd fem*
per perpendicularis duda 4 pundo reflexionis cadit in aliquod pundum a xis,di eft fe
midia meter circuli eiufdem fecantis fuperficie fpeculi teqnedi flatem bafibus columna?,
dudafcg linea in pundo dato fpeculu fecundu oxigoniam fedione contingentem,& p-
duda illa perpendiculari.fi pundus rei uifa? eft centru uifus,cadant in eandem pcrpen
diculare.ucl in lineas in eade fuperficie cn perpendiculari exiftentes, di aequales angu*
los cu ipfa continentes,fiet fecundam pmifla reflexio ad uilum.patet ergo uniuerfaliter
propoutum in omni fedione.cot fuperficiei reflexionis di fugfidei fpeculi columnaris,
XXVI.

Superficiei reflexionis & fpeculi columnaris conuexi communi fedione
linea longitudinis ipeculiexiftenteformzceiufilem pundirei uificab uno
tantum pundo totius fuperficiei fpeculi ad unum uifum fit reflexio.

Eftofpeculum columnare conuexu .cuius axis fit ct.fitfcp fuperficies reflexionis a
bg.ita ut forma pundib.refl edat ad a centrum circuli d pundo g firpficiei fpeaili, di
fit comunis fedio fuperficiep: iftarum linea f g n,qua? eft linea longitudinis fpeculi, di-
co quod forma pundi b,non poteftre-
fledi ad centrum uilus a, ab alio pun<=
do fpeculi, £jjd pondo d, ducatur em
3 pundo g perpendicularis fuper fug*
iiciem contingentem columna fecundu
lineam f gn,per i z. undecimi, qua? fit
linea g q fecans lineam ab„pdudam in
ter pundu uifum di centru ui fus in pu-
do q, palam g z i . huius, qm haec linea
gq.produda intra fpeculu fecatfpfum
cranfaxem c djecet ergo in pundo e,di
quia linea longitudinis qua? eft f n.eft in fuperficie reflexionis,palam,qm axis c d, erit
in eadem per 7. huius, ergo & pundu e, erit in illa fuperficie.cu ltaq; una fola fuperficies
poffic intelligi in qua funt fimul omnia punda abgfiC c,di It nex nf,dicd, palam qd*
d fuperficie totius fpeculi non poteft renedi forma pundi b,ad centru uifiis, nifi 5 linea
longitudinis f n,fed per 4j-.quinti huius.oftenfum eft quod in fpeculis planis ab uno fb
Io pundo fituniuspundireflexioaduifum,ergo& in his fpeculisno poteft fieri refle*
xio ab alio pundo, cp ab uno folo pundo.f. linea? f n, forma ergo pundi b,refleditur
ad uifum a, ab uno folo pundo fuperficiei totius fpeculi, quod eft propoficum,
XXVII.

Superficiei reflexionis & fpeculi columnaris conuexi comuni fedione ex
Jftente circulo bafibus fpeculi arquediftante ab uno folo pundo fuperficiei
totius fpeculi forma: eiufdem pundi rei uifae fit reflexio ad uifum.

Sit dif politio qux in praecedente, palam'cg per 17.huius.qfh hac hypothefi exiften*
te fuperficies reflexionis a b g.erit xquediftans bafibus columnae, circulus quoqj qui eft
comunis fedio fuperficiei a b g,di columnae cuius axis eft c d.qui eft xquediftans bafi-
bus columna: fit g h, cuius centrif fit pundum e, dico quod d circulo g h, qux eft comu-
nis fedio fuperficiei a b g,n5 poteft fieri reflexio forma: b ad a uifum, nifi ab uno tantu
pundo g.patuit em per 1 6.fexci huius, quia in fpeculis fphaericts connexis d circulo fug
quem fit reflexio, nSpoteft fieri reflexio nifi ab uno tantu pundo, ergo nec in iftis fpe*
culis columnaribus fiet reflexio forma; unius pundi rei uifa: ad uifum, nifi ab uno tan*
tum pundo quod fit g.Si uero datur quod ab alio pundo fpeculi huius, ut d pundo 1,
jfimiliter fiat reflexio ficut d pundo g, producatur d pundo dato 1, linea 1 k,per 1 i.unde
cimi, perpendicularis fuper fuperficie coIumna?,ha?c ergo pduda cadet orthogonalid
ter fuper axem c d,per z 1 ,huius,cadat inpundu axis,qtr fit l.Similiter quoqj linea 1 k.

ut patet

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
ut patet ex prsmiflis fecabit lineam a bjpdadam inter pundtrreiuifa: & centrum ui«
fis/ecetcg ipfam in pundo k.quod fiue fuerit ide cu pundo q,(iue aliud i pundo q, du-
catur (emper linea k e, ad centrum circuli g h.eritcg linea ke,orthogonalis fuperaxem
cd,qih eft infuperficie reflexionis orthogonaliter axemcd fecantem,dusergo linea:
kc&kl,cu linea e i, parte axis continent triangalu.cuius duo anguli funt redi, quod
eft impoffibile,palam ergo quod in tali difpofitione non refleditur forma pundi h ,ad
uifum a,ab aliquo pudo luperficiei totius circuli alio ^ d pundo g, & hoc eft ,ppofitu,
XXVIII.

Superficiei reflexionis & fpeculi columnaris conuexi communi fe&ionc
exiften te oxigonia/ormse eiufdem pundi rei uifse ab uno folo pundo to#
tius fuperficieifpeculifitreflexio ad uifum.

Sit fuperficies reflexionis a b g, cuius comunis fedio cn fuperficie fpeculi columna*
ris fi t oxigonia fedio tranfiens in fugficie fpeculi pundu g ,& fit b pundus rei ui&* & a
centrum uifus,&! g pundus reflexionis.dico qrh forma pundi b, no refleditur ad cen*
trum uifus a,ab alicj pudo totius iugficiei fpeculi,nifi i pudo g,ducat em dpudo a iiig
ficics squedtftans bafibns columna fecans fpeculu fecundum circulu,qui fit e z 1, quod
fi fiet ,pduda em i pundo a Jinea perpendicularis fuper axem columna:, per i z. primi,
erit haec linea perpendicularis ereda fuper (uperficie columna, quia erit gpendicularis
fuper lineam longitudinis columna: cui ipfa incidit per zp, primi, ducatur item ab eode
pundo axis quod fit q.alia linea redum continens angulo cu axequs fit linea q e,ergo
per / S.undecimi patet,qm fiiperficies plana lineas illas aq&q e,imaginata pertranure
fuper fugficie fpeculi erit orthogonaliter ereda,& qm per 4.undecimi,axis fpeculi ere-
dus eft fug illam fuperficiem, patet per 1 4. undecimi, & per p z, primi huius,qih illa fag
fides xquediftatbalibus fpecuh',ergo per 1 00. primi huius,cu ipfa iecet fuperfidem co*
lumnx xquediftanter banbas.patet quod ipfa fecat fecundu circulu qui fit e z f,cufus ce
trum erit pundu q,& eodemmodo i pundo g.ducatur fugficfes squediftans bafibns
fpeaili qus (ecet fpeculu fecundu circulG s g p.cuius centrum fit t,& in illo circulo duca
turabaxe lineaad pundu g,qu«fittg,8dixcpcr z 1 ,huius,erit gpendicularis fuper fu
perfidem contingente columna in linea longitudinis,in qua eft pundus g. Linea q cp t
g„pduda cocurrat cu linea a b,in pundo k,cocurret aute per zp.pr/mi huius,ideo quia
diuidit angulu a g b,& punda g a b,iunt in eadem fiiperficie reflexionis per z4, huius,
ducatur etia a pundog, linea longitudinis fpeculi per 1 0 z.primi huius, qus fit g z, ca«
dens inter duas lediones xquediftantes balibus fpeculi nunc dudas,& erit per z j-,pri*
mihuius.pars axis «qualis linea: g z, linea t q ,8i i pundo b,rei uifs ducatur linea gpen
dicularisfnperfaperffciefecatemipeculufecunducirculumezi,per i /. undecimi, quat
fit b h^ducant dua* linea: a z & h z,d£ ducatur S pundo z,in fugficie illa ad axem fpe*
aili linea z q,erittg hsc linea z q, gpendicularis fuper axem q t, per z 1 . huius, ficut 8i
fuperfidesezi,in qua ,ptrahitur,&: erit per eandem z 1 .huius,eadem linea z q, gpendl
cularis fuper fugficiem cotingente Ipeculu in pundo z,quia ergo linea q z.eduda ex*
tra fpeculi fuperficie neceflario diuidit angulum h z a, eo quod cocurfu Iineaft-h z & a
z, orthogonaliter ^ducatur fug fuperficie contingentem,ccri fuperficiei lines a z &h zf
oblique incidunt .palam g zp. primihuius.quia .pduda linea zq.cocurrct cum linea a
h,qu«fubtendit angulo i zh,cocurrat ergo in pundo lz,aicoqih forma pundi h, li-
nes b h, refleditur ad uifum a.S pundo fpeculi z, ducatur em S. pundo a, linea squedi*
ftans k g,lines qua: fit a m,hoc uticjj per fecunda primi huius,cocurret cu linea b g,cum
qua fiia squediftans cocurrit,funt em lines a b.bg,kg>omnes in eadem fuperficie re-
flexionis,^! ergo pundus cocurfuslineap-bg&a m, pundus m, palam quocg per 6.un
dectmi.qm lineag z,sque.diftat lines b h,cu utracp ipfapi orthogonalis fug fugfidem
ezi.squediftante bafibUs columns,eftergo per 7,undecimi,linea bgm.in eadem fu-
perficie, cu iecet illas duas lineas squediftantes.Infugficieergo reflexionis qusefta b
g fune uij punita m z item quia linea a n i;cft zguedifians line* k linea

Y YY

lL \^r

r

7^

u

Y

K

>7

K

LIBER. SEPTIMVS. 177

eft squcdiftans linea: b g, per 3 3 .primi, funt em linesgz & t q, squales Si squediftan-
tcs,ut patet cx pmifl?s,& linea t g .pducitur in pundu k,& linea q z squediftans lines
a m.Sunt ergo per fecunda primi huius, lines I z & a in. in eadem fuperficie, & in eadem
eft linea h a, per 7. undecimi, igit tria punda m z h,funt in eade m fuperficie in qua funt
lines 1 z & a m,& li a,qus eft fuperficies h l,z m,fed iam patuit fupra quod funt in fujxa
ficie m b h, igitur iunt in linea cSmuni illis duabus fuper Aciebus, ergo per 3 . undecimi,
linea zq m,eft
linea reda. Cu
itaqjpundusg
fit pundus res
flexionis ex hy
pothefi, erit g
io. quinti hu-
lis, angulus a
gk,squalis an
gulo kgb, fed^__
angulus kg b.g,
g 29. primi eft
squalis angus

Io a m g,cu nt extrfniecns ad ill3,&: linea kg squediftet lines a m, fed 8i angulus a g k,
eft squalis angulo m a g,per eandem 2s>.primi,quia eft illi coal ternus, ergo anguli a m
g&mag, iunt squales, ergo per fexta primi.dus lines a g&mg, funt squales, quia
uero linea g z,eft ereda (iiper iuperficiem a h z,ut patet ex pmi(us,erit linea g z,ortho
gonalis iiig qualibet linea iuperficiei a h z, dudam i pondo z.ergo erit gpendicularis
fuper lineam z m, angulus ergo m z g,erit redus,crit quocp per penultima primi, quas
dratu lines m g, squale quadratis duabus lineap- m g & g z ,6i fimiliter quadratum li *
nes a g,eft squale quadratis lineati: a z & g z. Sed quadratum lines m g, squale eft
quadrato lines a g, quoniam lines m g & a g,(iint squales, ablato ergo utrobiqj quas
drato comuni.qd* eft quadratu lines g z.Rehnquitur quadratu lines m z, squale qua-
drato lines a z.Efto igitur linea m z, squalis lines a z,ergo per j-.primi angulus a m z
eft squalis angulo z a m,ied per 29. primi, angulus I z h, extrinfecus squalis eft angu*

10 a m z intrinfeco, & angul9 z a m ,eft squalis angulo I z a,per eande 29.primi, quia il

11 anguli, funt coalterni, ergo angulus a z 1, eft squalis angulo 1 z h, forma ergo pun*
di h, incidens (peculo inpundo z,refledit ad a centru uifus a pundo (peculi, qd* eft z,
ut patet per 20. quinti huius.Si uero dicat quod ab illo pundo g,poteft forma pudi b,
refledi ad uifuma, illud aliud punduaut erit in linea longitudinis quseft gz,autin
alia.Si eft linea g z, ducat d dato pundo lines gz,qcf (it d, linea perpendicularis fuper
linea gz,qus ad utramcp parte ,pduda fit linea odf.S copulent linesa d & b d, linea
itacp o d f,per 29. primi huius, neceflario fecabit lineaa b,& erit sqnediftas lines a m,
per 28. primi, & linea duda i pundo b,ad illud pundu d, neceflario cocurret cu linea a
m,per 2.primi huius, di. erit pundus d, & pundus m, in eadem fuperficie, qm lines d f
&i a m,cum (intsquediftantes funt in eadem fuperficie per 1 . primi huius; linea ergo b
d,aut cadet (iiper pundum m,aut fupra aliud pundum lines a m,(i cadat (iiper pundil
m,eft ducere d pundo b ad pundum m,duas redas lineas.ut linea b g m, 8i lineam b d
m,quod eft impoflibile,qm tunc dus reds lines fuperficiem incIuderent.Si uero ad a*
liud pundum lines a m,qj ad pundum m, incidat linea b d,(it illud pundum n ,& duca
tur a pundo n, linea n z.ad pundum z ,& poteft ,pbari quod hsc linea n z, cum linea h
z,facit lineam redam ficut prius .pbatum eft de linea m z,qm em punda n z h,(irnt in
duabus planis fuper ficiebus, ergo fub nullarum comuni fedione.ergo per 3 .undecimi,
erit linea h z n.linea reda, Si ita d pundo h,erit ducere duas lineas redas per pundum
z tran(euntes,fiC in diuerfa punda lines a m, cadentes, quod eft impoflibile per prima
undccimi.palam ergo quod i nullo pundo lines g z.poteft forma pundi b refledi ad

Y tufum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
atfiitn n, no ifoh pundo g.fi dicator quod extra hanc lineam fumpto putido in fuper-
fide fpeculi ab illo poflit ltedi forma pudi b ad a uifum, ducat fup illud pundu fpeculi
line a longitudinis lpeculi per io i. primi huius,&: a pundo circuli e z i,in que cadit hac
linea, .pbabitur forma pundi h,refledi ad uifum a, iecundu pdida pbatione, fed iam
gbatutneft.quod forma pundi h,a pundo fpeculi z.refleditur ad uifum a, & ita for-
ma c/tifdem pudi h,ad eundem uifum a,i pudis duobus unius circuli fiet reflexio.qdf
eft contra i6.fextihuius,etimpoflibile. Super eft ergo ut i folo pundo fpeculi propo-
li ti refledatur forma pundi b, ad uifum a, palam eih quia (i communis iedio fuperfi
ciciireflcxionis fpeculi columnaris fuerit oxigonia fedio,quia tunc non fiet reflexio
nili ab uno tm pundo,qm ut patet per 24.buius, in omni fuperficie reflexionis fada: ab
his fpeculis de neceflitate oportet ut fit pundus axis in que cadit perpendicularis du-
da a pundo reflexionis, qua: ortliogonalis eft fupcr linea longitudinis fpeculi per pun
dum llludtranfeuntem.ergo&fuper axem lpeculi per 28.primi,qm linea longitudir-
tlis columna & axis lemperarquediftant per 9 2. primi huius,eft aute illa perpendicula»
ris comunt fedione oxigonia £ cuius pundo fiet reflexio & cuidam circulo aequedi-
ftanti bafibus fpeculi per 1 opprimi liuius,eft ergo lemidiameter illius circuli, fuperfis
cies itacp reflcxionis,& ille circulus fecant le in illa perpendiculari lemidiametro circuli
fuper per iferia circuli per 2 1 .huius, & fuperficies reflexionis in qua eft illa fedio oxigo
nia eft declinata fiipcr fupcrficiem circuli,& fuper illam (emidiametru}qux eft perpen*
dicularisd pundo reflexionis duda fuper axem per 1 09. primi huius.Si uero ab eadem
oxigonia fedione fieret i duobus pundis reflexio, eflet neceflariu,ut i illa ledionis fug
fide pollent duci dus perpendiculares fuper axem foeculi.quod eft impoflibile, cu unus
uifus femper uidea t minus medietate columna:, & limiliter patet per 79» quarti huius,
duo nilus ufdent minus medietatecolumna:,quandodiameter bafis columna: ma-
ior eft cjj diftantia oculorumjioc autem planius declaratum eft in 22, huius, patet itacp
propofirum. XXIX.

Oxigonia fedione exiftente comunt fugficiei reflexiois & fpeculi coluna
ris couexi dati pudi uili,a'd datum centruuifus pundu reflexiois inueniri.

In omni fcdionefuperficiei reflexionis & fpeculi propofiti exiftente linea longitu-
dinis fpi culi, pundus reflexionis poterit faciliter inueniri,ficut in fpeculis planis g 4 6,
quinti huius,oftenlum cft.Si uero illa communis fedio fuerit circulus,tunc pundus re*
flexionis poterir faciliter inueniri.ficut in fpeailis fpharicis conuexis oftenlum eft per
2 0 .uel 2 z Sexti huius , Si autem illa communis iedio fit oxigonia qualis proponi tur.fic
rei uffe datus pundus b,qui refledatur ab aliquo pundo ledionis oxigonia: ad a cen
trum uifus,dico quod poflibileeft inueniri pundum reflexionis, ducatur effici pundo
a, ut in praxedenti propofitionc iuperficies tequediftansbafibus columna:, qua: iecabit
columnam fuper circulum qui fit e 3 i,& ducatur i pundo b, perpendicularis fug hanc
fuperficiem per 1 1 . tindedmi, quarfit b h, & per 20. uel 2 a.iexti hOius, fiait in fpeculis
fpha-ricis conexis oftenfum eft,inueniatur in hacfuperficie pundus i quo refleditur
forma pundi h,ad uifum a,qui fit pundus 3 ,& 2 pando j,per 10 1. primi huius, ducat
linea longitudinis qua: fit 3 g,& ducatur linea h a A £ pundo j .ducatur perpendicula-
ris fuperlincam h a ,per 1 2. primi, quae fit 3 1,& huic ducatur aquediftans i pundo a,
ger 3 1. primi, quae fit a m,& linea h 3 , producatur uiqjquo concurrat cum linea am,
& fir concurfus in pundo m,& i pundo m.ducatur linea ad pundum b,qua: neceflarto
iecabit lineam 3 g,cum fit in eadem fuperficie aim illa,quoniam cum linea b h,fitxque
diftanslinca: g 3 per 6.undecimi,eo quodambae linearbh&g 3, fime perpendicula-
res fuper eandem fuperficiem e Sd farquediftante-bafibus colutnnat.crit ergo linea h m,
in lupcrficie illag.- per feptima undecimi,8(! ita linea m b.eritineadc (iiperncic,quae fi le«
cat lineam 3 g, in pundo g.palamex his qua in prarcedenti propofitione pracmifla
funt,quod pundus g.erit pundus reflexionis forma: pundi b ad a uiiiim, lisec omnia
gluracpalia patent gea q dida funtinpcedenri dcmonftratione,0t!hoceftgpofit3,qni
iccuduhucmodG cuiuslibet dati piidiaddatu uifum pudus reflexiois poterit njeniri.

Lineae

• 7«

LIBER> SERTIWVS,

XXX.

Linea: raftx xquedi dantis axi fpeculi columnaris conuexi uifii non ex*
i dente in eade fuperficie,reftexio fit 3 linea longitudinis fpeculi ad uifum.

Efto axis fpeculi colunar/s conuexi.Iinca 3 k,& fit linea uifa axi xquediftans, qux
ch.eritcg centru uifus e,cxtra fuperficiem t h, 3 lc, dico quod forma linex th, refleditur
ad uifum c a linea longitudinis Ipeculfqux eft comnnis fedio fuperficiei t h, 3 k, di fu*
gffciei fpeculi,& quia uifus e,no eft i fugficie t fu 3 k, fit fuperficies per ipfum uifum tran
fiens fecans columna fpeculi xquediftamerbaubus,erit'qj liare fuperficies fecans colu-
nam fecundu circulum per 1 06. primi huius, qui circulus fit b f,palam ergo cu linea h t
ex hypothef? xqdiftanter axi 3 k, qcP aliquis eius pudus refledit ad uifum e, ab aliquo
pundo circuli b fifit ergo hoc d pundo b, pun- c
dus quoqs linex t h, qui refleditur ad uifum e,

& pundo fpeculi b,f? t q >& ducantur linea: q b, e
b,qe,&; ducatur per 1 o o. primi huius, d pundo
b, linea longitudinis columnx qux fit a bg,&
ducatur d pundo b,gpendicnlaris cadens fuper
axem 3 k,in pundum l,qux| .pduda ad lineam
q e,(ecabit lpfam g fecuda primi huius, qm illae
dux linex xquediftant, ut patet ex prxmiflis,
qm ftigficies e q b,eft fupficies reflexionis, pa-
tet qd* pundu b cu linea e q,eft in eade fugficie,
fecet ergo linea b 1, jiduda ipfam lineam q e,
in pundo m,& fit linea m 1, ducatur^ i pundo
e,lincaxqnediftas linex m l,g 3 1 .primi, qux fit e o,& .pdncaf linea q b.ultra 'pundu b,
qquia cocurrit cu linea m 1 .pala per fecunda huius primi,qiH'a ipfa concurret cum eius
xqdiftante,q eft linea e o.fit ergo pundus cocurfus o,pala aut per 20 .quinti huius, qm
angulus incidentix.qeft q b g,eft xqualis angulo reflexionis,qui eft e b a, anguli uero
m b g di m b a,funt xquales.qa redi. Relinquit ergo angulus q b m .xqualis angulo re-
liquo, q eft e b m,fed per 29. primi, angulus q b m.eft xqualis angulob o e, qncg extrin
fecus intrinfeco eft xqualis. Sed & angulus m b e.xqualis eft angulo b e o, quia coaltets
nus eft, ergo angulus b o e,xqualis angulo b eo,g <S.primi,in trigono b e o, latus b e,xi|
le lateri b o. Sumat aut & alius pundus in linea t h,qui fit pundus c,& ducat linea t a,
quia ergo linea t h,xquedi ftat linex longitudinis fpecul/,qux eft a g,per 3 o .primi.ideo
qcf utracg illap- eft xquediftans axi 3 k, pala ergo per 1. primi huius, q<f linex th &ag,
funt in eade fugficie cum linea t h & 3 k, axis iint in eadem fugficie, er go per 7.undeci*
mi,linea q b o, fecans illas lineas xquediftantes,qux funt t h & a g, eft cu illis in eadem
fuperficie,& fimiliter linea t o.eft in eade fugficie cu illis,per 1 .undecimi,funt em pun*
da t & o,in dida fiigficie.fecabit ergo linea t o.linea a g, fit pudus fedionis g,& ducat
linea eg&et.cja itaqj a g,q eft linea logitudinis fpeculi eft gpedicularis fug fugficie cir
culi b f,per 8 .undecimi,ideo qcF axis 3 k.cui xquediftat linea a g, perpendicularis eft fu
per eande circuli fliperficie per 2 3. primi huius, cu ipfa fit perpendicularis fuper bafem
columnx,g 9 2.primi huius.fuperficies aut circuli b f,eft pars fuperficiei e o b f, hxc em
fuperficies fecat columna xquediftante bafi,ut patet ex pmiflis.ergo g diffinitionem lf
nex fug fugficiem eredx angulus g b o,eft redus,&: angulus g b e redus, ergo g penul-
ti mam primi, quadratu linex g o.ualet ambo quadrata lineae g b & b o ,& quadratum
linex g e,ualet ambo quadrata linea^r g b & b e,& qrh oftenfum eft qcP linex b e & b 0,
funt xquales,erunt ipfap- quadrata xqnalia,& quadratub g utricp eft commune, erit er
go quadratu linex g e,xquale quadrato linex g o,& erit igit per 6. primi, trigono e g
ojineag e,xqualis linex'g o.ergog j- .primi, erit angulus geo .xqualis angulo g o e, i
pundo itacj3 g.ducat gpendicularis fuper axem fpeculi,qui eft 3 k.per 1 2.primi,qux fit
linea g 3, & hxc ,pduda ultra pundu g,ad linea te, fit 3 g n,erittg linea 3 n, xquediftans
linexlm.per 28.primi,qm linex n 3 &lm,ambx funt perpendiculares fuper axem 3 k,
fed & linea e o, xquediftat linex Im, ut patet ex pmiflis,linea ergo 3 n, xquediftat linex

Y * eoper

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS
e o,per 3 o, primi, erit ergo per 19. primi .angulus t g n.exiftens extr/nfecus atqualis an*
gulogo e,in trinieco,&! angulus n g e, aequalis angulo g e o,quta liint coalterni. Sed
angulus g c o, oftenfus eft efle aequalis angulo g o e, ergo angulus t g n,eft aequalis an-
gulonge. Cum ergo linea tgo,& linea ng 3,funtineadem fuperficieinqua eft pun-
dus g, punda ergo a gt> erunt in eadem luperficie, ergo in eadem fuperncie funt Ii*
neae eg,og,tg,per 1 , undecimi, forma ergo pundi t.refleditur ad uifum e, i pundo
fpeculig.ut patet per zo. quinti huius,ppter aequalitatem anguloit t g n,& n g e. Sum*
pto aut in linea t h,pundo h,eiufde diftantiac i pundo q,& i centro uilus e,cuius eft pu
dus t,& dida linea h o.tranfibit hac per linea longitudinis fpeculi, qua; eft a g,fit pun*
dum tranfitus a,& duda 5 pundo a.linea gpendiculari fuper axem 3 k ,qu* fit a d, q
Jiduda ad lineam h e, fit dk,& duda linea e a penetrabit ficut prius, qa duo anguli a b e
oi a b o,funt redi. Si latera a e & a o,funt aequalia, fiuntfcg ut prius duo anguli h a k, &
e a k, aequales, forma ergo pundi h,utiupra patui t,refledit ad uifum e,a pqndo fpeculi
a-Similiter quocg fumpro quocucp pundo lineae t h,erit pbare qd* ille pundus refledit
ad e, ab aliquo pundo longitudinis fpeculi, quae eft a g,tota linea ergo t h, refleditur
ab una linea longitudinis fpeculi,quae eft a g,ad uifum e.qcP eft^pofitu. Et notandum
eft,q(f in hac difoofitione figura pundum q.line* t h, eft medius pundus illius lineae,
& eft in eadem Uiperficxe cum centro uifiis e.^ppter qcP punda t St h, [aequaliter diftant
i uifu,& fimiliter punda reflexionis qua; funt g di a,,ppter quod patet, quod lineae gb
Si ga.funt atquales,& tota difpofitio figura fit fecundu illu,quod fi uifiis fit inferior to*
ta linea t h,quod fit reflexio i linea a g,prout fecat plurimas oxigomas fediones.ut pa-
tet per 1 3 .huius.alias uero qnqj ab aliquo pundo circuli necefleeft fieri reflexionem.

XXXI.

Linea longitudinis exi flente communi fecftione fuperficiei reflexionis
& fpeculi pyramidalis conuexi,a quolibet putfto fuperficiei fpeculi appar en
cis uifui poteft fieri reflexio ad uifum.

Efto fpeculu pyramidale conuexu b x p,cuius uertex fit b,& diameter bafis xp,fift£
centra baus q,erit ergo linea b q.axis ipfius fpeculi.Sit quocp qcuncp datus pundus in
ipfiusfuperficie apparente pundus g,&!fit centra tiifus a, & pundus rei uifie fit n,dico
qd* forma pundi n,refledi poteft i pundo g,ad uifum a:fi fuerit in fitu couenienti re*

flexioi.circuducat emgioz
primi huius,£pudog circu
lus pyramidi fpeculi atquedi
ftansbafixp, cuius cetrufit
d,& alius diameter fitgc,fe
midiameter g d,q neceflario
erit gpendicularis fug axem
bqg z?.primi,eo qa* exq,
femidiameter bafis fpeculi
eft gpedicularis fiiper eande
H axe b q,ficut di alia femidia

meter bafis in eade fugficie

ex/ftes cu diametro g c atqdiftat illi, eft em axis b q gpedicularis fug fuperficies amboj*
arailojc x p di g t ,g z 3 .primi huius, di .pducat linea g b.a dato pundo g,ad uertice py*
ramidis b,pala ergo g 3 z.primi,qm angui? g bd eft acutus, & fimiliter angui? b g d,eft
acutus.cu angui? b g d,fit redus,in fugficie qcg trigoni g b d, fit linea renexiois, q eft
a g,g 7. huius,& ex hy pothefi erut lineat reflexionis a g,fiC longitudinis bg, di axis b d
•q in eade fiiperficie.SC qm angulus b g d eft acutus, fiat g z 3 .primi, angui? b g k, red?
.jpduda linea g r ,ad axe,erit'cg r g linea perpedicularis fug linea longitudinis, q eft b x,
eritfcg g r liea in eade fuperficie cu alrjs laterib? trigoni b g r,g z.undecimi, i pudo tjcp
g, ducat liea cotinges circulu g 1 6. terti), q fit liea 1 g s,erft% g Z7.terri),linea I g sperpe
dicularis fug diametru g c, ducatufqj alia diameter circuli g c, perpendicularis fiiper

diametrum

LIBER SEPTIMVS. I79

diametrum g r,qu* extrahatur i pundo d,per undecimS primi, & fit fk,er/t% ficut pri?
diameter f k perpedicularis iuper axe b q,erit ergo per 4.undecimi diameter f k perpedi
cularis fuper fuperficiem in qua (unt line* gc&b q,erit'q} diameter f k aequediftas line*
contingenti circulum ,qu*eftlg s,per 17. tertq,& per 28. ergo per 8. undecimi , linea
contingens circulum g c ,qu* eft s g 1, perpedicularis eft iuper fuperficie in qua lunt di*
ameter g c 8i axi e 1 q , ergo g diffinitione line* ered*, angui? 1 g r,eft red?.*fi ergo ima
ginemur fuperficie contingetem pyramide, in qua fit linea 1 g s, contingens circula b c,
palam quonia linea r g,ereda eft fuper illa fuperficie, fi' ergo linea reflexionis qu* eft a
g.tranfiens pyramidem,fiat una linea cu linea g r ,erit lpfe orthogonalis fuper fuperfid
em contingente fpeculu in pudo g,fiet ergo per 2 1 .quinti huius, form* fecunda illa line
am iuperfleiei fpeculi incidentis reflexio per eande , di fi puneft? n fit in illa linea,poteric
forma eius refledf ad uifum a,d pundo fpeculi g, per linea ag, fi uero linea a g no fiat
una linea cu linea g t, pala per conuerfam i4.primf,quod angulus agi, eft minor redo
uel maior,quom'a fi erit redus , tunc line* a g di g r,amb* coniund* fiint linea una g
eandem 14. fit ergo angulus agi acutus,& producatur linea r g , in continuum di dire*
dum ufep ad pundum u,erit'cg hnea ug perpendiculais fuper fuperficiem cotingentem
Ipeculum in pundo g ,& erit angulus ug 1 redus per 1 y.pnmi.erit ergo angulus u g a a*
entus, ducatur ergo in eade fuperficie linea gh,*qualem continens angulum cum
linea u g , angulo u g a,per 23 .primi.Si ergo pundus rei uif*,qui politus eft efle n, fuerit
in linea hg, pala per 20. quinti huius,quonia poffibile eft i pundo g, fieri reflexionem
ad uifum a,erunt'cg line* incidenti*,qu* eft n g cu linea reflexionis qu* eft g a in eade
fuperficie orthogonali fuper fuperficiem contingentem pyramidem in pundo reflexi
onis quod eft g,rcfledetur'cg forma pundi rei uil* feaindu pundum n ad uifum,qui eft
in pundo a, i pundo fpeculi quod eft g,di eodem modo de quolibet alio dato pudo fu
perficiei fpeculi demonftrandum, patet ergo propofitum.

XXXII.

Dato pundo fpeculi pyramidalis conuexi,& quo fiat reflexio dati pundi
r ei uifae ad datum centrum uifus a pundo oxigonia: fedionis,uel a linea lo*
gitudinis fpeculi , pofTibile eft loca inueniri,in quibus centro uifus 8£pun*
do rei uifae collocatis , fiat reflexio ad uifum ab eodem dato pundo fpeculi
pro ut eft pundus circuli azquediftantis bafi.

Sit a centrum uifus, b pundus rei uii*>& fit g pudus reflexionis fuperficiei fpeculi
pyramidalis couexi, cuius uertex fit e,dico quod poffibile eft inueniri id quod proponit,
ducatur em pro ut docuimus in 28 .huius, fuper pundu g fuperficies *quediftans bafi fe
cans pyramidem fuper circulubafi *quediftantem per 1 00. primi huius,qu* fit p g,cu
tus centru fit t,& ducatur linea ag&bg,ab,&a pundo g ducatitr ad centru circuli li*
nea g c, & uertice pyramidis.qui eft pudus e, ducatur axis e t ,& quonia fuperficies refle
Xionu femper eft ereda fuper fuperficiem fpeculu in pundo reflexionis contingente, ut
patet per per8.huius,uelper 2 5- .quinti huius, ducatur in fuperficie reflexionis li-

nea perpedicularis fuper fuperficiem contingentem fpeculu in pundo refledionis, qd*
eft g , qu* fit h g ,& pala per 26. quinti huius, quonia h*c diuidit angulu a gb , per *q
lia.ipfa ergo produda fecabit linea a b per 2? .primi huius, fiteg ergo ut fecet eam in pu*
do z, ducatur quocp i pundo e, uertice pyramidis linea Iogitudinis fpeculi, qu* fit e g,
&i huic line* e g ducatur *quediftas i pudo a, centro uifus, qu* necellario fecabit fupet1
ficiem ciraili p g , fecet ergo ipfum in pGdo n,& fit a n, di fimiliter S pudo b, ducatur li*
nea *quediftans eidem line* e g,qu* fit b m , fecans fuperficie circuli g p irt pundo m,
quia itacp amb* line* a n & b m,*quediftant eide line* longitudinis fpeculi , qu* eft c
g , patet per 3 o.primi,quia ipf* adinuicem *quediftant.f.line* a n&bm,a pudo ergo
n ducatur p 3 1 .primi.linea *quediftans femidiametro circuli,qu* eft g r,fit'cg illa *quc
diftans linea n s , di ducantur line* n g,m g,n m, palam itacp per 29. primi huius , quia
linea t g produda fecabit lineam n m,ideo quia fecat angulum m g n .eft ei tranfuerfim

* 3 duda

PERSPECTIVAE VITELLIONlS.
duda in eadem fiiperficie di lineae n f & g t fiint xquediftantes , fed linea’ n m fecat lmeS ,
n f.ergo di ipfa fecabit per fecundam primi huius, lineam g t,fecet ergo in pundo q,pa
lam ergo per eande fecundam primi hiiius,qubd lmea mg produda fecabit lineam n f,
cu fecet linea g t,xquediftante ipfi n fjfitfcg pundus fedionis f ',di ipundo a ducatur li*
nea xquediftans linea perpendiculari fiiper fuperficiem contingentem Ipeculum in p3
do g,qu» eft linea h z,di fit illa xquediftans linea a 1, palam ergo per fecundam primi
huius,quod linea bg concurret cum linea a 1, quia fecat eius
xquediftantem lineam h z, fit ergo pundus cocurfus I, duca-
tur quoq; linea qux eft fedio communis fuperficiei continge
ti fpeculi in pundo g Iuperficiei circuli p g,qux fit linea g -

o , palam quod linea g o erit orthogonalis fiiper femidiame
tru circuli.qux eft g t per 1 7,terttj,ideo quia linea g o eft con-
tingens circulu p g, quonia ipfa duda eft in fiiperficie plana
contmgete ipeculuin pundo g , & quonia linea: n f & g t x-
quediftant,erit per 2c>.primi,linea g o orthogonalis iug line*
am n f xquediftante linex gt,fumanir‘etiam linea qnx efteo
munis fedio iuperficiei reflexionis & fuperficiei contingen-
tis ipeculum in pundo g, palam per fecunda primi huius, qa
ipia fecabit lineam a I xquediftante Ii nex g h, fit ergo pudus
fedionisd,&erit linea g d perpedicularis fiiper lineam a I,
per apprimi, eft enim linea gd perpendicularis fiiper linea
g h , quia cum linea h g,fit perpendicularis fuper fuperficiem
cotingente in pundo g,erit perpendiculariter neceflario per
pendicularis fuper linea g d, produda ab eodem pundo in il
la fuperficie per diffinitione linea: fiuper fiigficiem eredx, pa
lam aute ex prxdidis.quonia linea n f,eft xquediftans femi*
d iametro circuli p g di g c,fimiliter quocg linea a 1 > eft xque-
diftans linex g h .igitur per ij- . undecimi fuperficies in qua
lunt Iinex n f & a 1 ,qux produdx uln a punda I di f, necefja
rio concurrent per (4. primi huius3quoniam anguli fn a di I
af,utpatetfiint minores duobus redis,eftxquediftansfiig«
ficiei g t h,fed di linea e g, xquediftat linex b m , ut patete*
prxmiifis , ergo per primam primi lnuus.ipfx lunt in eadem
luperficiefecante prxdidas duasfiiperffcies xquediftantes
una iplarum fiiper linea e g, alia uero fiiper linea f 1 , ergo per-
1 6. undecimi , communes ipfarum fediones erunt xquedi*
(lates, erit ergo linea f 1 xquediftans linex e g.fed linea a n eftxquediftans linex e g,ut
patet exprxmiflis, ergo per 3 o.primi, erit linea f 1 xquediftans linex a n: uerum fijg^
ficies contingens fpeculu in pundo g, fecat eafdem luperficies xquediftantes qux fimt
g t h & n f ,di a 1 , unS earu fiig lineam e g , fecundum quam ipfa eft fpeculu continges,
oi aliam ipfaru fuper lineam o d,ergo per 1 d, undecimi, linea o d xquediftat linex eg,iV
gitur pet io .primi,erit linea o d,xquediftans lineis a n, & 1 f xquediftantibus linex e g,
di quia linea n f& a 1 inter quas ducantur linex n a , o d,f), funt in eadem fuperffcie,per
fecundam 1 1 .patet quod linex a n,q d,f l,funt in eadem fuperficie.ducatur itaqj i pudo
i linea xquediftas linix 1 a, per 3 1 ,primi,fecas linea o d in pudo k,di linea a n in pudo
l,erit'c£ linea f r,xc|Iis linea 1 a per 34.primi,8<! fimiliter erit linea f k xqlis I d,& k i xqua
Iis ipfi d a.* Eft autem per fecundam 6 , proportio i k ad It f , ficut no ad o f, ergo per
7.quinti,erit proportio linex a d ad lineam d l.ficut linex n o adlinea o f,& quoniam ex
prxmiffis angulus b g z, eft xqualis angulo a g z , quonia linea g z diuidit angulum a
g b per xqualia per 2 d.quinti huius/ed angulus b g z,eft xqualis angulo g 1 a , per 25»,
primfextrinfecus em intrinfeco eft xqualis, di linex h z.di a Idunt xquediftates, fimili
ter angulus z g a per eande 2?, primi, xqualis eft angulo g a l,qa coalternus1, angulus

ergo

LIBER. SEPTIMVS. l$o

ergo g f a squalis eft angulo g a I, ergo per tf.primi, lineas g n & g 1 funt aquales, di I u
neagdeft perpendicularis iuper linea a 1, ut patet ex pramiffis, trigonii ergo agi, diui
Ium eft in duos trigonos squiangulos di fimiles p 3 1 .primi huius.cft ergo proportio li
ne* a d ad linea d l.ficut linea g a, ad linea g I .fed linea a g,ut patet exprsmiflis, eft x-
qualis lines g l.eft ergo linea a d squalis lineas dl, ergo a linea no eft squalis lines o
i, Silinea g o eft per . primi, perpediculariter iuper linea u fjquonia linea g o,eft perpe
dicularismper linea g t,uc patet ex prsmiflis per 17. terti), & lines gt&n fsquediftat
ut praemiflum eft ,quia itaqj angulus g o f,eft squalis angulo g o n linea o f squalis li
nes o n, & linea g o, communis, erit ergo per 4.primi,angulus o fg squalis angulo o n
g ,fcd angulus q g m, squalis eft angulo o f g,per ip.primgeum fit ei extrinfecus, & an
gulus q g n,squalis eft angulo o ng.cum fit ei coalternus.et lines t q & n fsquediftant
ut patet ex prsmiflis,eritergo q g n angulus squalis angulo a g m , ergo per zo.quinti
huius, £ pundo g circulipg,poteft forma pundi m, reflecti aduifum exiftentemin

gundo n ,non tamen quod fecundum circulum fiat reflexio ab his fpeculis pyramidali
us conuexis,fed fit fcxlicet quod pundus g comunica t cirailo,qui eft (edio fphsrs ue!
columns intra (pceulum pyramidale.imaginare.quoniam luperffcies contingens circii
lum pg,efteredafuper fuperficiemreflexionis.propter quod necefic habet pyramidem
fpeculi in fui parte ampliorem ,ut in ea qux eft uerfus balem (ecare fecundum squedis
liantia axis pyramidis ipeculi , 8i fit fuperficies reflexionis,in qua funt centrum uifus
& pundus rei di circulus p g , ereda eft fupcr illam fuperficiem contingentem di pun-
dan8Cm,ferelpiciunt inluperficie illius circuli fecudum angulos squales conten-
tos cum diametro ipfius collocato ergo centro uifus in pundo n , di pundo rei uifs m
pundo m uel econuerib, refledetur femper forma ad centrum uifus corpore Ipeculi py
ramidalis non prsftante impedimentum , ut fi forte lines an di b m,cadant in iplo
circulo bafis , & propter corpus pyramidis fpeculi non ualeant i pundo g,ad uifum ali
quod refledi , & hoc eft propofitum. XXXIII.

Communi fedione fuperficiei reflexionis di fpeculi pyramidalis con*
uexi exiftente linea longitudinis fpeculi , ab uno tantum pundo fuperficiei
fpeculi fit forma: unius pundi rei uific reflexio ad uifum,

Sit difpofitio omnino qus eft in proxima prscedente,& refledatur forma pundi b
aduifum exiftentein pundo a, a pundo Ipeculi pyramidalis couexi quod fitg, ita quod
comunis ledio fupficiei reflexibis di fpeaili fit linea longitudinis fpeculi,qus eft e g, di
co quod forma pundi b refleditur ad uifum a,i folo pundo fuperficiei ipefculi.quod eft

S:fi enim dicatur quod poteft refledi ab alio pundo fuperficiei fpeculi, tunc illud pun»
u aliud aut erit in linea longitudinis fpeculi.qus eft eg.aut non, fi fit in linea lorig/tu«a
dinis fpeculi.qus efte g.fit illud pundum x,& ab eo ducatur perpendicularis Iuper ftig*
fide contingente fpeculu in illo pudog 1 z .undecimi,hsc ergo ppedicularis fit x ieritcg
hneaxz per 6. undecimi squcdiftas lines zg.qus prius duda eft perpedicularis iug
eandem fuperficicm.tamen pundu g & x fint ineade linea longitudinis fecundu qua Iu
perficies illa pyramide contingit.^ quia linea h z di a 1, funt squcdiftatcs , ut patet per
illa qus didafunt in prsmifla,crit ergo per 30. primi illa perpendicularis xzsquedi*
ftans lines a 1.8C quia linea e z squcdiftas lines a 1,& quia linea x z ficut di linea z h eft
/n fiigficie reflexionis,qus per 1 y di per 6. huius, eft ereda liiper fupcrficiem configente
fpeculu in linea e g.erit ergo p fecunda primi hui?, linea a 1 in lupncie reflexionis huius
lines perpcdicularis.qus eft x z,di erit fimiliter in fugficie reflexiois lines ppedicularis
q eft z g.igit ilis dus fugficics reflexiois lines gped iculariter lecat fe fiig linea a 1 per 1 ?
primi hui?,fed fecat feetia fug pundu b,qni illud eft ijd refledit g utracn,hoc aut eft im
pofllbile, quonia pundu b no eft in linea a I,oftefum eft em prius linea f 1 squediftateef
fe lines b m,q dus lines uel cocurret fi pudu b eflet in linea a l,uel fequererpuda m etn
cadere ex una gte lines g q,no ergo fiet reflexio pudori- m & n adinuice i pildo g,£jd eft
cotra demoftrata in pmifla.rcftat ergo ut i nullo pudo lines logitudis.q e g.pfq; i pu*
do g, forma pundi b,poflit refledi ad centr Q uifus exiftens i pQdo a, fi aut poflibile eft,

ut velle

PERSPECTIVAE VITBLLIONIS
ut rcfledatur forma pundi b ad uifum a, ab aliquo pundo fpeculi extra lineam longi-
tudinis g e, fit illum pundum u , & per i o / .primi huius, ducatur linea longitudinis foe
culi.quar fit linea e u c. qua in pundo c,iecet periferiam circuli g p ,& fumatur fiiperfirf
es squediftansbafi tranfiens per pundum m, palam ergo per 8. undecimi , quoniam li-
nea a n fecat(hanc fuperficiem,idco quia lineaeg,cui squediftat linea a n iecat eandem
fuperficiem,funt autem per fecundam primi huius linea an
& e g in eade fupficie.cu fint squediftater.ficut ergo in linea
a n fecat illa fuperfide in pundo y , fimiliter quocg linea b m
squcdiftas linea? e g.fecabi t eandem fuperfide, fic quocp pQ
dus (edionis k, di ducantur linea? k u,y u,a k,& cum illa fit-
perficies per i oo . primi huius , fecet pyramidem fecundum
cirailum tranfeuntem per pundum u, ducatur a pundo u li
nea ad centrum huius circulfiqus fit r u,& producatur extra
jpeculum,& fit illud u i uerticc pyramidisfpcculi pudo

fcilicet e,ducatur lines e k,e y , qus neceflario (ecabuntfu*
perficies circuli pg ,& fint punda fedionu i Sis, di ducant
lines i a &s c,ficut ergo per prscedentem probatum eft de
forma pundi m,quod non impedientepyramide poteft re*
fledi aa uifiim exiftentem in pundo n i pudo fpeculi g : e-
odem modo probari poteft de pundo k,quod refledetur ad
uilum exiftentem in pundo y , 5 pundo fpeculi u , angulus
ergo r u y,erit squalis angelo r u k,& quonia linea b h sque
diftat lines eg , 6i linea communis fuperficici b g,c k,8ifa*
perficiei circuli p g,eft linea m g per 1 9. primi huius,quoni5
linea mg,eft in utracp illarum luperficierum, patet quod li-
nea e k, cum fit in hac fuperfide b g e k ,8i fecet iuperficie cir
culi p g,cadet fiiper lineam commune,qus eft mg, cadet au
tem in pundu fuperficiei quod eft o s ut prsmiflum eft.^ni
am linea e k o, eft linea una , erit igit linea s m g Jinea reda,
eodem modo cum iuperffcics n y e g iecet iuperficiem circu
lip g, fiiper lineam n g linea e i concurrat cum linea n g in
pundo i per modum prsmiflum.ergo linea i n g,eft una li-
nea reda, palam quod fuperficies i c e lecabit fuperficiem cir
culip g fuper lineam i t,(ecat autem fuperficiem huiciupcrfi
ciei squediftantem,qus tranfit per pundu u fuper lineam
i u.ergo per 1 <$.undecimf,linea i csquediftatlines y u, fimi
liter fuperficiesuceiecet fiiperficiesillassquediftates icili-
cet fiipficies g p t 8i u y fiiper duas lineas s c & k u,ergo g e-
andem 1 6. undecimi lines sc&ku fiintsquediftantes: fimi
1/ter fi firmatur fiiperficies fec3s ipeculum fuper lineam Ion*
gitudinis, qus eft e o in fuperficie funt punda r Si u:funt era
punda ru,cm in eadem firperficie aim pundo rtit,&a!t*
quis pundluslinex sg,fimt in eadem fiiperficie, quia eadem
eft demonftratio dato alio quocunque pundo linescm.
lemper enim fnperficies hoc modo iecans fpeculu (ecundum linea e c, fecabit illas fiiper
ficies squediftantes fuper duas lineas m c & r u, igitur ut prius ilis dus lines mcSfru,
fiintsquediftantes,igitur per 1 o.undecimi.angulus s c m,squalis eft angulo ku r ,8i an
gulus mq squalis angulo ruy dediampauiitquodangulus kur,squalis eft angulo
r uy, ergo angulus s cm , squalis eft angulo m q, quare forma pudis poteft reflexi ad
uifum exiftente in p undo i,d pudo fpeculi c, non impediete corpore pyramidis ipeculi
fed iam probatum eft per prsmifla, quod forina pundi m,refledi poteft ad uifum exU
flentem in pundo h i pundo g circuli p g , quoniam poteft refledi ad pundum n d£

punda

LIBER JEPTIMVS * 181

punda n &1 fiint in eade linea reda eonfiftentia.ut prsoftenfum eft, poterit ergo for»
ma pundi m i pudo fpeculi g refledi ad uifiim exiftente in pudo 1 ,& ita pundum s ,
quod eft in linea s m g , poteft refledi ad uifum exiftente in pundo l,a' pudo g,igit for
ma pundi s refleditur ad uifum in pnndu I ,i duobus pundis ciraili p g ,quoa eft im«
poliibiIe,&! contra fedecima fexti huius,& cocra z7.huius fcptimi,reftat ergo, ut primu
Iit iinpoflibile,lciIicet qdPforma pudi b refledi poflit ad uifum exiftente in pudo a, ab
aliquo alio pudo fpeculi, quam a pudo g, ab uno folo ergo pundo flet reflexio formae
eiuidem pundi communi ledione fuperficiei reflexionis & fpeculi pyramidalis conue
xa exiftente linea longitudinis fpeculi.quod eft propofitum,
xxxim. .

Cortimuni fedione fuperficiei reflexionis & fpeculi pyramidaliscon*
uexi exiftente oxigonia,a quolibet pundo fuperficiei fpeculi apparentis u i*
fui poteft fieri reflexio ad uifum,&ab uno uel a duobus pundis tantum.

Eft o fpeculu pyramidale connexum f k s, cuius uertex f,diameter ba fis k s centrCTcg
bafis n,eritergo axis fpeculi linea f n, fit'cg centra uifus pundusa,dico quod coniuni fe-
dioe fiipficiei reflexiois & ipeculi exiftete linea oxigoia,qux fit b 1, poflibile eft d Slibet
pudo fpeculi ,ppofiti fleri reflexione, alicui? pudi uiff ad pudu a,qcf eft cctru uii?,fit em
pud?bdat? in (upficie fpeculi.de quo dubitamur utru abeo poflit fieri reflexio forma:
alicui? pudi rei uifae ad cetru uifus qd* eft a, ducat ergo a pudo b linea logitudinis pyra
midis fpeculi per i o i .primi huius, quae fit b f , ducaturfcg i pundo b gpendicularis fuper
illam linea longitudinis extra fpeculu, qua- fit b g ,& foper pundu b terminu linea? b g
fiat per z 3 .primi, angulus squalis angulo a b g,qus fit g b p duda linea b p ,
fuperfleie reflexionis, patetfcp per zo. quinti huius, quia omnis
pudus rei tuis exi ftens in linea b p , refledetur ad uifiim in pun
dum a,fed i (olo pundo bucl duobus tantu fiet reflexio ad ui-
(iim exiftente in pundoa,pala eiii per primi huius .quod fi

perpendicularisgb,producaturintrapyramideni,quonia con-
curret cu axe fn JiYcppundus concurfiis c, palam ergo quoniam
angulus g e fcu fit in fupffcie fedionis uerfus uertice pyramidis
eft acut? g Z3 .primi, qih in trigono b e f angui? c b f,eft red?,
circuducat ergo per ioz, primi huius i pudo reflexiois quod
eft bcirculus fpeculo pyram idali,cuius diameter fit b d,et eius ce
tru e,fecans axe f n in pundo c,fiC quia ille circulus per loo.pri*
mi huius ,eft squedi ftans bafi ipeculi,palam quia perpedicularis
g c acutum angulum tenens cum axe fn, declinata erit fuper cir
culi illius fuperficiem,quia linea squediftans lines g c,fi produ
cet a pundo n cetro bafisipeculi , patet quod declinata eftfiiper
balem pyra midis, ut fit linea n q produda,ergo linea cd,a pun-
do axis c,ad circuli periferiam , cum angulus b c fit squalis an
gulo d e c,quonia m uterqj ipforu eft redus , omnes enim anguli
cotenti fub femidiametris circuli & axe fe funt squales, & lines
& centro ad circumferentiam squales, e c uero linea eft comunis
per 4 . primi,palam quonia latus b c,a?qualc eft lateri c d . di om
nes anguli fadorum trigonorum lunt squales , quia idem eft
de omnibus lineis i pudo c ad circuli b d, circumferentiam pro*
dudis,iecans fpeculu fecundum oxigonia ledione ,fiet ergo no
lia pyramis,ciiius bafis eft circulus b d ,uertex c,& axis c e,iupcr
ficies ergo reflexionis fecans ipeculum fecundum oxigoniam ledionem, aut co tinget
hanc pyramidem cb d,aut iecabit.fi contingat dico quod a folp pundo b,quod eft puns
dus reflexionis tantum fiet reflexio fecundum illam fuperficiem eandem, palam enim
quod fuperficies reflexionis contingat pyramidum fuper lineam longitudinis illius py
«midis per ? y .primi huius,hsc autem erit linea b c , in qua eft pandum b,d quo ducis

Z mt

PERSPECTIV A E VITELLIONIS

Cur linea b e perpendicularis fuper fuperficiem fpeculi, & linea reflexionis b a , 3 ptmiflo
t]uo<$ f,quod eft nertex pyramidis {peciilt ducantur linea plurcs ad iedionem oxigo-
nia,quaeft comunis iedio iuperficiei reflexiois di pyramidis fpecufaquac eft fk s,oms
nes itacp illa linea cadent in fuperficiem circuli b d,qua eft bafis pyramidis intelleda,
qm cadant in ipfam fedionem prater unam folam , qua cadet in pundum reflexionis
b,qua eft linea Fbifoloicacp pundo fafiet reflexio ad uiium.Si enim detur quod abalio
pundo dida iediois oxigonia,nt a pundo I fiat ad uiftim a reflexio, tunc linea ab illo
pundo 1 ad pundum c,quod eft nertex pyramidis intelleda duda qua fit i c , erit ut pri
us perpendicularis (iiper fuperficiem fpeculi per 9 6.primi huius ,cum enim illa perpedi
cularis neceflario fit in fuperficie reflexionis in qua eft iedio, oportet quod ipfa cadat in
pundum c, ergo erit perpendicularis fuper lineam longitudinis pyramidis fpeculi per
illud pundum i rranfeuntem , qua fit fi l,fit quocg pundus in quo linea f i,fecat circuli!
b d , pundus r , patet aut per pramifla di per 6j-. primi huius.quoniam linea c r 3 uertice
pyramidis intelleda duda ad illam lineam longitudinis neceftario eft perpendicula*
iis iiiper illam,ficut linea c b eft perpcdicularis fuper linea longitudinis ipeculi,qua eft
fb , quoniam ut patet per 89. primi huius anguli omnium linearum longitudinis cum
iemidiametro bafis & cu axe ad ucrtice funt aquales, erut ergo in triangulo c i r duo an
guli redi , quod eft impoflibile di contra 3 z. primi , non ergo fiat reflexio ab alio pudo
ledionis oxigonia qua eft b /,quam 3 pundo b fiiperficie reflexionis pyramidem cb
d contingentem.

XXXV.

Dato ipeculo pyramidali conuexo,centroc^ uifus&pundo rei tiifaj exis
ft entibus inter fuperficiem jequediftanterbafi fpeculum in uertice contin*
gentem Si inter ipfam balem poflibile eft inueniri pundum reflexionis.

Eftodatu fpeculum pyramidale.cuiusuertex fit pundus g,di fiet fuper ipfum uerti
cem fuperficies aquediftas bafi pyramidis, qua fit m n g.quod fiet dudis 3 pundo g uer
tice ipeculi tribus lineis perpedicularibus fuper axem fpecul i g undecima primi , Qi ima
w . . ginata plana fuperficie inter illas lineas extenfa, Sit'qj a pun*

_ ~7 ,C dius rei uiia,&! b centrum uifus, qua fint ambo fub illa ftiperfi*

\\ cie mng, inter ipfum fcilicctfiC baiem fpeculi, fitfcp exempli

> V N. ./ caufla pundum b , propinquius uertici b ipeculi g, quam pun*

\ n. / dum a , quoniam fi poiitum fuerit efle econuerib lemper cade

\ \V/ eft dcmonftratio,dico quod eft poflibile pundum reflexiois in

\\ /0( \ ueniri,ducaturern3pundoa,quaeftpudusreiuiiafuperflcics

Yf \\, ^ | fccas pyramide aquediftater bafi ut prius, & ducat 3 uertice fpe

' \\\ I culiqeftpund5g,lineaadpudub,Sdcftcctruui(tJs,quafitg

V\\\\ / b,hacitacphnea,pduda cadatinfugficiedpudoareiuiia du-

\ da aqdiftater bafi pyramidis.cu illa linea g b,fit inter fugfici*

\\ V es «qucdiftates duda 3 ucrtice axis ambas illas fupei ficies tran

\\\\\ icuntis.pudus ergo in que cadit hac linea g b,fit piidus h, ergo

g modu demoftradi q ufi iiimus in 3 z .huius demoftrari poteft

Y ^ qfh forma pudi a refledet ad uiiiini exiftete in pudo h ab alicj
3V\ pudo circufaqd efficit iiioficics iecas pyramide duda 5 pundis
^ '|\\ a di facuius circuli cetru fit pudu axis ipeculi £jd eft t,& fit pun

Y ■' w dus reflexiois inuentus in illo circulo pudp e,& ducat ini a pun

Y du rei uifa di cetru uifus .f, linea a b, di linea logitudis fpeculi,
\\ qua fit g e & axis pyramidis fpeculi iit g t ,8i ducat a pundo cli

Y nea ad centrum fui circuli qua fit e c , hac enim cadat fuper a*

Y t jk g c gpedicularif g 1 00.& g 89. primi huip,uel g z 1 .hu<9,&! i-
Y _r>.deo cjd axis g c cu fit gpedtcularis fug bafem pyramidis ipeculi

di etiaeredusfug (ugficic circuli aquediftantisillibaflper Z3.

.T primi hui?» eft ergo g diffinitione linea fug (ugfiae ereda axis

LIBER SEPTIMVS. »8*

g e perpendicularis fuper iemidiametra e e, Sierit linea e cereda fuper linea m.con tine?
tem illu c/rculu in pudo e per 1 7.tertij,et harc linea c e, producta extra circulum ducflisljt
ncishe&a c/ccabit angulum ab eis contentum per xqualia,fcilicet angulum ii e a ,p’dr
16. quinti hoius,ergo per 29 . primi huius eadem linea c e produda, lineam h a duda
iccabit , cum fit cum illa in eadem fuperficie reflexionis , ut patet per 24. hiiius,fit ergo
linearum c c & h a pundus icdionis r y ,Si quia linea g e & e c efficiunt fuperneiem ie-
cante linea a b,fi t pudus fedionis f ',Si ab illo pudo f ducatur per 12. primi linea perpl
dicularis fug linea Iogitudinisgc,q (?t fq,crit'q? linea fq per diffnitione linea’ fuper lug
ficie eredx ppedicularif fup fupficie cotingete pyramide fug linea g e,deinde a pudo a,
ducat linea xqdiftas lineae fq,q fint linea a l„pducatur'qj linea f q,donec cocurrat cu axe
g c, in pudo k, ducatur ite i pundo a linea xquediftans lincte r c,qux fit a s^di ducatur i
pundo e linea qtix fit communis fedio fuperficici reflexionis , qua? eftae h, 8 i fuperfia
ficiei cotingentis pyramide fpeculi in linea logitudinis qua? eft g e, Si fit ha?c linea c o,
qux cum fit perpendicularis fuper icmidiametrum circuli , qua? eft e t,ut patet per 17.
tertfj , cotingit enim linea e o circulum, cuius eft centrum pundum t, palam quod ipfa
eft perpendicularis iuper lineam er, ergo per 29, primi,erit linea eo perpendicula-
ris fuper lineam a s.quoniam linea a s xquediftat linea* t r, ut patet ex pra?mififs,duca-
tur quoq; linea bq, qux produda neceflario concurrat cuni linea a I, per 2. primi hu*
ius,quia concurrit cum eis xquediftante.f linea fq,fit pundus concurfiis 1 ,Si ducatur i
pundo q linea qua eft communis fedio fu per fidei contingentis ipeculum fecun*
dum lineam longitudinis ge,&! fuperficiei abi, qux flt q p,qua? per fecundam primi hu
iusiecabit lineam a 1, qua fecat eius xquediftantem , quas eft fk,fit pundus fedionis p,
producaturtg linea h e, donec cocurrat cum linea a s,concurrit autem per fecudam pri*
mi huius, fit pundus concurfus seducantur dux linex 1 sfi^p o,quia itacp linea r t eft
perpendicularis fuper axem g c,8i linea f k acutum angulum cotinet cum axe g c,angu
Ius em fq g per 3 2. primi.eft acutus,ideo quia angulus fq g,ut patet ex prxmillis eft re
dus,ergo per i4.primi huius linex refi^fk concurrunt in aliq pundo ultra axem g c,
fcd illarum xquediftates linex qux funt al&as concurrunt in pundo a ,funt'cp in alia
fuperficiequamlincx r 1 8d f k,qux funt in fuperficie g e k perprimam undedmi.palam
ergo quoniam fuperficies g a 1 s eft xquediftas fuperficiei g e k,pcr 1 y .undecimi , linex
quoq; q e p o funt in fuperficie contingente fpeculum in linea longitudinis g c , di ie-
cate illas duas fuperficies xquediftates fuper duas lineas,qux funt q efid p o, igitur linea
q e xquediftat linex p o per 1 6.undecimi,fi<! quia linea li c produda cocurrit cum linea
a sin pandos, erit ergo linea es infuperficieheg perprimam undecim i,8dn eadem
fuperficie eft linea b 1,& hxc fuperficies fecat prxdidas iuperficies xquediftates , q funt
algfi^gcb.induabus lineis e q &; ls, igitur per 16. undecimi hneaeqcftxquediftans
linex 1 s , ergo per 3 1 .linea p o qux eft xquediftans linex q s,uf fupra patet ,crit xque*
diftas ipli linex 1 s.erit ergo per fecundam fexti,proportio linex a o ad lineam o s , ficut
linex a p ad lineam p 1 . fed quoniam per 20 .quinti huius , angulus h e r eft xqualis an-
gulo r e a,8d angulus s e a xqualis angulo h e r,per 29, primi, quoniam extrinfccusin*
trinleco eft xqualis , Si angulus eas, xqualis angulo rea, quia coalternus , pala quia
angulus e s a eft xqualis angulo e a s,ergo per 6. primi erit lmeaca .xqualis iinex es,
quia linea e o eft perpendicularis fuper lineam a s, erunt per 3 1 .primi huius, trigoni a e
o fifseo fimileSjCrgo g diffinitionem ipforum latera xquos angulos rcfpicientia funt,p
portionalia , fed ex prxmiftis patet quod latus a e eft xquale lateri e s,ergo di latus a o
erit xquale lateri o s ,ergo Si linea a p eft xqualis ipfi linex p 1,& linea p q eft per29.pri
mi , perpendicularis fiiper lineam a l,cu ipfa fit perpendicularis fuper lineam f k xque
diftantem linex a I,in trigonis ergo q p a Si q p 1, anguli a d p funt xquales.quia redi. Si
latus 1 p eft xquale lateri p a,latus'q? p q ambobus trigonis q p 1 & q p a eft conuine,era
go per 4. primi, erit linea a q xqualis linex q 1,& angulus q 1 a xqualis eft angulo q a I,
fed angulus q 1 a xqualis eft angulo b q f, per 29.primi , cum fit ei extrinfecus,& a ngti-
lus q a 1, xqualis eft angulo a q f, cum fit ei coalternus , erit ergo angulus b q f, xqualis

Z 2 angulo

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
angulo a q f, igitur per zo. quinti huius, forma pundi a refleditur ad uifumb,4 pflflo
.fpeculi q , quo d eft proppfitum .

XXXVI.

Dsto fpeculo pyramidali conuexo,centro£^uifiis 8C pundo rei uifteex
iftentibusin fiiperficiefpeculum aequedi ftantem bafi in uertice contingen*
te , poifibilc eft inueniri pundum reflexionis

Fiatdifpfitio ut proxima pracedentis .fitcp uertex fpcaili pyramidalis pundusg,
in quo ipfum cotingat fuperficies plana, qua fitm n g aquediftas bafi ipfius , St fint ce*
trum uifus St pundus.rei uiiae in fuperficie.m n g,ita quod unum fit in pudo m . aliud in
pundo n,dico quod poflibile eft pundum reflexionis inumfri, ducantur em lines m g,
ng,mn, St diuidatur angulus m ng.per aqualia per lineam a g, pala ergo,perzo, quin
ti huius , quoniam forma pundi n d pundo fpeculi grefleditur ad uifipn o y,palam eft
quod linea mg St axis pyramidis fpeculi quafit g b, funt in fuperficie fecante pyrami-
dem ,fuper lineam longitudinis pyramidis.qua fitge.&a pundo q,ducatur pcrpedicu
laris iiiper hanc lineam 15gicudinis,qua eft g e,per zzlprinii,qus fit q e,ftiper pundu e
ducatur fuperfides aquediftans bafi fpeculi,qua fecabit pyramidem uel circulum , per
100, primi huius , linea uero communis fuperficiei u e g, 8t huic circulo fit linea e c,pas
lam ergo quoniam hac linea cadat fuper axem fpeculi in centro circuli, quod fit c , de-
inde a pundo m centro uifus ducatur linea aquediftans lines logitudinis fpeculi , qua
eft e g,per 3 1 .primi huius , qua produda in fuperficiem illius circuli cadat in pundum
b,8t fimiiiter a pundo n , qui eft pudus rei uifa ducatur linea aquediftas linea* g e, quat
prodrrda in didam fuperficiem cadatin pudum a, St ducatur linea b a in fuperficie pia
na fecantcfpeculum fecundum pradidum circulum, St producatur linea c e, extra fpe*
culum , qua fecabit neceflario lineam b a, per z$>. primi huius,cum illa amba linea in
eadem fint fuperficie circuli, fecet ergo ipfum fn pundo r , quia uero linea m b, a*qucdi-
ftat linea e g, palam per prima primi huius, qa eft cu ipfa in eadem fuperficie,qua fuper
ficies fecat fuperficie m n g,2t fuperficieb e a, fuper duas lineas m g &! b elfiiperficfes ue
romgnStbea funt aquediftantes per 14. primi huius.qih ipfa amba aquediftat bafi
fpeculfiergo per 6.undecimi, linea m g eft aqucdifta ns linea b eifimiliter quoqj linea a
n St gc funt in fuperficie fecate illas aquediftates fuperficies fuper lineas n g St c a , igitur
per 1 ^.undecimi, linea n g , aquediftat linea a e.fimilitcr fuperfides q g c fecat eaicle fug
ficies aquediftates fccudu duas lineas r c8t q g.igit ut pri'9 linea r e,8t q g aquediftar,is
gif dua linea q g & m g aquediftat duabus lineis b e & r e.ergo g 1 o .undecimi angulus
ni g q,cft aqlisangulo b e r,8t angulus q g n cade ratioe eft aqualis angulo rea ,ergo g
2o.quintihuius,formapundiapotcftreHedi aduifumba pundo fpeculi c , fi ergo i
pundo a ducat linea aquediftas ducta linea q e, St alia aquediftas linea r e, 8t copulent
linea mc&n c,8t ,pdiicat linea m e donec cocurrat cu linea aqdiftate linea dudo i pu
do q. St ducat linea comunes,ut in ,pxia pccdctc, St iteret ,pbatio,ut in illa,patcbit qif»
forma pundi n ,poteft refledi ad uifuin m d pudo fpeculi e,igit pundus c,erit pundus
reflexionis.quod eft propofi tum, xxxvu.

Datofpeeuk) pyramidali conuexo,&cetro uifus 8d pundo rei uifa: exi*
flentibus ultra fuperficiem aquedi ftantem bafi fpeculum in uertice contin»
oentem,poflibile eft pundum reflexionis inueniri.

Sit difpofitio qua prius, St fit b ccntiu uifus. St a pSdusrciuifa ultra fuperficiemg
n, fpeculum in puelo g, uertice pyramidis cotingete,dico q> eft poifibilc inueniri puetu
reflexionis, fiat enim pyramis huic oppofita, St eft hac pyramidisper 91 • primihuius
poffibile lineis omnibuslongitudinis fpeculi imaginatis protrahi ultra ipfarum coma
munem fidionem , qua fit in uerncc g , crit'q3 baus huius pyramidis aquediftans ba*
fi pyramidis prima ,duca tur ltaqj d pundo a, quieft pundus rei uifa , fuperficies fe»
cans hanc fecundam pyramidem aqucdiftanter bafibus unius et alterius pyramidum.
St qia illcbafcs ad fnufccm aqucdiftat,pala per z 3 St Z4, primi huius, qm illa fuperficies

aquedi*

LIBER SEPTIMVS, 1S3

xquediftat ambabus pyramidibp,pala autper 1 00. primi huius, qm illa CupetHcies feca
bit pyramide illam fecunda fecundu circulum qui fit y 3, centrum itaq? iiifus,quod eft
b,aut erit in hac fupcrficie pyramide fecante,autno,fi fuit in illa fuperficie, fiat dudio li
nearum ab ipfo puncto b, & copleatur demonftratio (i m
cuti 3J-. huius, qiri ad hoc quod fiet reflexio forma: pun ~~

<Si a, ad centra uifus b,ab aliquo pundo fecunda: pyras
midis quod fit z,quo habito copleatur demonftratio ut oj"
infra, ftatim patet qd* fi 'pundus b, qui eft centrum ni- ’
ius y, no fuerit in illa luperficie, ducatur a pundo g,uer
tice ipfius fpeculi ad centru uifus quod eft b , linea g b, q
producatur ufqjquo cocurrat cu hac fuperficie circuli y
3 fit cocurius in pundo d,pala itaq; qd* forma pudi

a,refledit ad uifum exiftente in pundo d,ab aliquo pu
do circuli y 3 , arcus fui interioris ,ut patuit per 3 1 . hua
ius.Sit ergo file pundus 3, Educantur linea: a 3 ,d 3, a d.angilliim qtioqj a 3 d,diuidatlf
riea,p 3 per tequalia,cadet'cg ptindus p,in linea a d,& ducatur linea ab,& i pundo 3
ducaturlinea 3 g,per 1 0 1, primi huius, qux fit linea longitudinis fecundxjpyramidis,
pala t]cp p 9 i .primi huius.qm eade linea ^duda tranluertice pyrami-
dis fpeculi.erit Ilea logitudinis primi pyramidis ipfius ipeculi,q fit liea
3 g e,pala ergo qm (Iipficies p 3 e.fecabit linea a b.iecet ergo iplam i pu
do q, & a pudo q,p 1 2.primi,ducat linea gpedicularis fup Iiriea ge,&
cadat in pundu e,& erit linea q e, perpedicularis fuper fuperficie cotin
gentem pyramide fecundu lineage,qm linea q e, eft perpendicularis
fuper curuam fphxram pyramidis.ut patet iupra, pundu quocjj e fiat
per io2.primihuius,fuperficies*quediftansbafi,quifitf eh,&: ducat A{-
3 pundo b, centro uifus linea xqucdiftans linea: 3 cdongitudinis fpecu
Ii,qux fit b q.cocurrens cu fuperficie illa f e h,inpundo h,& eide linea:

3 e,ducatur 3 pundo a, rei uifc.linca atquediftans qua: fit a f, fecans ftis
perficiem f e h,in pundo fui, qui eft f,pala itacp per 1 . primi huius, cu li
nea b h,fit atquediftans linea: 3 e,qih illa: linea: funt in eadem fuperficie, j
ied & punda b & d,fiint in eade linea, quia per 1 . undecimi, linea: d 3 Qi
h e,funt in eade fuper fide, qua- fecat fuperficies illas xqiiediftantcs.f, y
3 8if eh, fuper duas lineas d 3 &he,igit per 16, undecimi, illa: duae li-
nea: d 3 & h e,fiint a:qucdiftantcs,&; fimiliter qm fiiperficies duda per
pundu a.fecat pyramide fecunda xquediftante ambabus bafibus prae
miflaiy pyramidu fpecali.fA pyramidis imaginata: fecundu circulum
y 3, & fuperficies duda per lineaqux eft fupcrficies f e h,fecat pyrami
dem fpeculi lecundu circulu aquediftantem bafi fpeculi, patet quod Ius
perficies in qua funt linea: a 3 dC i: c,funt xqucdiftatcs per 24. primi hu
ius,lin.exergoa 3 &f e,fimtxqucdiftatcs,patetergo quod dux linea:
d 3 &a 3 .xquediftant duabus lineis hc&f e, ergo g io.undecimi,ans
gulus d 3 a,cft xqualis angulo h e f, copulet quoq; linea h fA' qm linea
p 3 ,eft diuidens per aequalia angulfi d 3 a,& erit ipfa per 2<S,quintihus
ius, perpendicularis fuper linea circulu y 3,cotingcntc in pundo 3 , ers
go per 1 S .tertrj, linea p 3 „pduda trafibit centru circuli y 3 , fupcrficies
ergo p 3 e,fecatfpeculum tranfaxem.fecat ergo fpeculum dudumper
pundum c tranfcuntem,fi’t ergo coniunis fedio fuperficiei p 3 e, 8C il-
lius circuli linea r e,ficut ergo linea r p 3 tranfit centru circuli y 3 .Simi
liter linea r e, diuidens angulfi h e f,tranfibit centru alterius circulifug que fiiperficies F
c h,(ecat pyramide fpeculi xquediftanti bafiA quia fuperficies in qua funt dux linea: p
3 & e r,(ecat illas duas fuperficies arquediftaritcs fuper dtras lineas p 3 &.'re,igic per 16,
undecimi,linex p 3 r e, funt xqucdiltantes, dux ergo linex a 3 & 3 p, funt xqdiftantcs

Z 3 duabus

perspectivae vitellionis
duabus lineis f c8ier, ergo per lo.undedmi.angulusa 3 p, aqualis eflt angulo f er, Si-
militer Si angulus d 3 p.eft aqualis angulo rei,qmficut totus angulus d 3 a,eft aqualis
toti h e fjfic medietas medietati,crgo angulus f er,aqualiseft angulo h er, patet ergo
per 20. quinti huius,qm forma pundi f,ad uifiirn exiftente in pundo h,i pundo fpeculi
e.ergo fi i pundo f„ptrahat linea aquediftans line* q e,8i alia linea aquediftans lineae
re, Si lineat alte comunes.ut in 3f. huius, reitera ta demonftratione illius patebit, qrh
forma pundi a, refleditur ad uifym b,ii pundo fpeculi e, quod eft .ppofitum, quod fi i
pundo q,no pofllt duci linea perpendicularis fuper lineam g e, nulla fiet reflexio for*
ma pundi a, ad uifum b, in tali difpofitione conftitutu, alias aut femper fiet reflexio Ut
praoftenfum eft, di patet per iq.huius.Si per po.quarti huius,

XXXVIII.

Dato fpeculo pyramidali conuexo,pun<fto'cp rei uifae exiftente fub fuper
ficie fpeculum aequcdiftantcr bafi in uertice cotingente, & cetro uifus in ea*
dem fuperfia'e,poflibile eft pundum reflexionis inueniri.

Permaneat prior difpofitio pmifla{t,& fit a pundus rei uifa.qui (it fub fiiperftcien
m g, cotingente pyramide fpeculi in uertice g,aquediftanterbafi,& fit centrum uifus in
illa fiipficie.dico qcP ad hoc poflibile eft inueniri pundum reflexionis, fit n centru uifus
^ — v. in pundo m.fupficiei m g'n,qua pofita eft fup fuperficie cotin-

/ \ gens fpeculfi in pundo uerticis g, aquediftanter bafi fpeculi.i

( < ilC' pundo a,reiuiia,ducatiupficics aquediftans bafi pyramidis,

' * ejuaper ioo,primihuiiis,fecabit pyramidem fuper circulu qui

(itd ek, cuius centrum fit pundum c,di ducatur axis fpeculi, qui
fic g c,Si i pundo m, centro uifus ducat ada.pundam rciuite
linea m a ,Si linea ppendicularis fuper dudam fupflciem circuli
qua fit m h,8< a pundo h,ad centru circuli ducatur linea h i

pundo rei uifae,qua eft a, ducatur ad lineam h t, linea a e q.intra
circulu fecans periferiam circuli in pundo e, eft ,pduda taliter
ut pars dudalinea intra circulu qui eft c q,fit aequalis linea: q t
.f.parti diametri interiacente pundum fedionis Si centru, qd*
poteft fleri per 1 3 tf.primi huius,& ducat linea t e i,8i i pundo
h,dncatur in eade itiperfleie fpeculu fecantc fecundu circulu d e
k.linea aquediftans& aqualis linea: tc.qua fit h b, 8i ducantur
linea: mb&b e,Si g s,eiit'cp g e, linea longitudinis fpeculi, pal5
qih fuperficies g te, fecans fpeculum traniaxem,(ecat 8i lineam
a m, fit ergo pundus fedionis f, Si ducatur i pundo f, perpen*
dicularis fuper lineam longitudinis fpeculi qua: eft g e, cadens
in pundu o ,Si ^ducatur ad axem g t,& fit f o p,fecans axem g
c,in pudo p, & ducantur linere mo&a o,dico q iri pundus o q,
eft pundus fupficiei fpecu!i,cu fit in linea fuse Iongitudinis,qna:
eft g e,S<! pundus reflexionis forma pundi a, ad centru uifus, pudum m, palam erh ex
pmiflis,qm linea h b,eft squalis Si aquediftans linea; te, patet p 3 3 .primi,erit linea h t
aqualisaaqnediftanslineabc.fed linea m h,eft aqualis & aquediftans m t, axigt, p
2 y. primi Imius, co quod ipfa funt linea aquediftantes inter fupficies aquediftantes $
duda,crgo per 3 3 .primi.Iinea h t,aq aedi flat Ilea m g,crgo p 3 o. primi, linea m g, a*
qucdiftat linea b e,8 i eft aqualis illi,pala etia.quod angulus q t e,cft aqualis angulo q e
t,pcr y. primi, ideo quia linea e q & q t,ut patet ex pmiflis funt aquales.Scd angulus q e
t,aqualiseftanguIoaci,pcr iy.primi,angulusergoqte,eft aqualis angulo a e i,fed
angulus q t e, per zs>.primi,eft aqualis angulo i.e b„ppter hoc quod linea e b & t h, aq-
diftant.ergo angulus icb,eft aqualis angulo i e a,patetergo p 29. quinti huius.qin for
na pundi a.refledit ad uifum exiftente in pundo b,a pundo (peculi e,Si cn linea b m
aquediftans fit lineag e,fi & pundo a, ducat linea aquediftans linea f o p, & linea aq*

diftans

X IB ER. SEPTIMVS, , 84

diftans I/nex i t,& iteretur figura iiipra dida 3 5-. huius, 8i probatio enildem, palam
quia forma puniti a reflexit ad centrum uifus exiftens in pundu m,i pundo ipeculi o
quod eft,ppofitum,nec refert queadmodum demonftraui hoc in icquenri .pxima.fiue
pundum rei uife.uue centru uifus fit in luperficie m g n,qih idem eft modus di ratio re
flexionis hinc Qi inde, xxxix.

Dato fpeculo pyramidali conuexo puncftobjj rei uifa; exiftente ultra fijs
perficiem fpeculum aquediftanter bafi in ucrtice cotingentem 8C centrum
uifus in eadem fuperficie, poftiibile eft puncftum reflexionis inueniri.

Remanente difpofitione figura pcedentis.fit centru uifiis in pundum m,lugfide/,
gmn,8<! fit a pundus rei uifx ultra illam luperficie, fiat'cp pyramis alia, huic oppofita,
& fiat iuper pundu a, fuperficies aquediftans bafi huius pyramidis,&: per .pximam ps
cedentem ,&i inueniat in circulo huius fuperficiei pundus reflexionis ex pundis interi
pribuSj&ducaturipundoilla linea ad pundum g,& ^ducatur taliter in fuperficie
fpfiusjiit ipfa fiat linea longitudinis pyramidis ipfius ipeculi, inuenieturq? pundus re-
flexionis fecundu ea quae pmifimus in 37, huius,eius'cg probandi modus penitus, qui
prius in eadem 3 7 . di hoc eft propofitum .

XI.

Dato fpeculo pyramidali conuexopundobp reiuifae exiftente fubfuper
ficiepyramidem aequediftanter baii in uertice contingente, & centro uifus
fuper eandem, uel econuerfo,poflibile eft pundum reflexionis inueniri.

Dilpofitione priori remanente, fit pudus a, rei uife fub luperficie m n g,& pundus
bjCentrum uifus ultra eandem fuperficiem Ipeculum in uertice g,contingente, uel eco-
uerlb,a pundus rei uife fit ultra lliper fidem m n g,8i b centru uifus (ub fuperficie m n
g,dico quod adhuc poflibile eft pundum reflexionis inueniri. Sit em exempli gratia,
pundum a, fub iiiperficie m n g,&b. ultra illam, ducatur'^ I
pundoa,fuperficies aquediftans bafi fpeculi fecans per 100.
primi huius,pyramide fpeculi fuper circulu qui (it d e, cuius ce-
truni fit r,& ducatur axis fpeculi qui fit g t> di ducatur linea b g,
d pundo ulteriori.in quo eft centrum u/ftisad uerticem pyra-
midis.qus pduda cocurret ncceflario cum fuperficie a e d, qih
concurrit cu axe (uper ipfam eredo. Sit concurfus pundus k,
in circulo dc, inueniat per 135-. primi huius, pundus qui lite,
ita ut linea circulu continges i pundo e,duda quae fit e s,diui- J*
dat per aqualia angulu que continent duda lineat k c & a e,co s
pulcnturq^ linex longitudinis quxfintge&gd&l apnndob,
ducatur linea aquediftans lineae g e, quae ncceflario concnrret
cu linea k e, concurrente cu eius aquediftante quae eft g e, ‘per (e
eundam primi luiius,fit concurfus in pundo h,pala itacg pp ri-
mam undecimi,quia pundus li eft in fuperficie g e k, qih elt in
linea k g b,qux dudaeft in illa (uperficie,8<! linea b h,eft in eade
fuperficie per r. primi huius,qm ipfa linea bh, eft aequcdiftans
linea g e,& ducatur linea t e i,a centro ciraili t, per pundu con
tadus e, palam itacp qih fuperficies g te, fecans ipeculu tranfa-
xem g t,(ecat etia lineam b a.Secet ergo ipiam in pundo u, 8i i
pundo u, ducatur ppendicularis fug fupefitiem contingentem 7
fpeculum fecundu lineam longitudinis fpcculi,quac eft g c, hac
c m iugfici es continget circulum d e, in pundo e,q linea fit u o
p.ftcans fugficie fpeculi in pundo o, & axe g t inpundo p, di
ducant linea a o & b o.Cu itaejj ut patet ex pmiflis, angulus a
e s, fit aqualis angulo s e k,& cu angulus i c s,fit redus p 1 7, terttj, 8>i angulus g e t,redus
pala quod angulus i e a,eft aqualis angulo tek.Scd di angulus t e k, aqualis eft angulo

ich

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
ei kp f r.pnmr,ergo angulus a e f.cft aequalis angulo i' ch.potefl: ergo forma puncfH
a refWh' ad uifiim exi flentem in pundo h,a puncflo fpcculi quod efl e,per zo.quinti, Si
ergo i puncflo a ducat linea xqucdiltans lineae u p,& linea atquedt flans lineae i t,& i te*
rerur pbatio 3 j\ huius, palam qni forma puncfli a.refledet a puncflo fpecuii quodefto,
puncflum lines g e,ad uiftim exiflente in puncflo b,quod efl .ppoficii, 8i qin femper efl
eodem modo demonflrandit quodeuq* punclorta uel b fuerit ex quacucp altera parte
fiiperffciei m n g.patetidem qcf ,pponcbat,&: imaginendueftita quod in figura folida.
puncflum b, cadat in lineam e g.qu m plano non potuimus taliter figurare. Palam
itaqjexpmiflis fex theoremafibiis.cu non fit poffibile alio modo fe habere puncflu rei
uifie fecundu (itu rcflexibilitatfs i fpeculfs pyramidalibus conuexis ad centra uifus nifi
modis ,ppofitis,qm aut ambo erunt fub fupfide m n g.aut ambo ultra illam, aut ambo
in illa, aut unu in illa, aliud lub illa uclultra illam ,aut unum fub illa, aliud ultra illam, &
omnibus his modis reflexionis puncflu efl i nucniri,uniuerfaliter ergo in tota fuperficie
fpeaili pyramidalis conexi quocunqj modo fehabente rei uifibflis puncflo ad ccntruni
uifus, puncflum reflexionis efl poffbile maeniri,quod principaliter qusrebatur.

XLI.

Speculo pyranridaliconuexofuperipfius bafem erecflo pofTibileefl re*
darolineam reiuifa? dC centrum uifusficfifii, ut ab unalinealongirudinis
fpecuii fiatformaru cum omniu puneftorum illius lineas reflexio ad uifum.

Sit (peculum pyramidale conuexum, cuius uertex fit a, axis uero a b , linea longitu*
dinisaz.&apundo z ducatur linea perpendicularisfuper fugficiem contingenti? fpe
Culum in linea longitudinis, qua: pdudaircceflario concurret cuaxea h,per 96. primi
huius}(it'cy linea h 2 r.fccans axem a h in puncflo h.fiC eius pii-
dus r,fit extra fuperficie fpecuii, & erit angulus a z h,rccflus,
ergo pet 3 z.primi,angulu$ a h z,ell acutus, ducatur quocp 3
puncflo a,uertice fpecuii linea extra pyramide ultra fuperficie
, contmgentepyramideinlineaa z, continens angtilu acuti!
cum fpecuii axe,qus efl: a h, di cu linea longitudinis a z.quat
' fit a n,Iinete quocg ah di a z, autnofunt in eade f ipflcie,fed
in diucrfis,& in f ipcrficie h a n,a' puncflo h,ducatur linea cum
axe cotincns angulu acutu arqualcm angulo a hz,qtue linea
coairretcu linea a n,per i-f.primi huius, cu anguli nan di a
h z,fint acuti.ut patet ex pmiffls, concurrant ergo in puncflo
o.Scf fit linea h o,&! facflo uip puncflum z,circulo arquediftan*
tcbafi p 1 o z. primi huius.pala cjm linea h o, tranfibit fuperfi-
cicm illius circuli.flcutetia linea hzc, tranfitp fugficie eiiifis
dem ciraili.Sitem pundus h, polus illius circulfiaeo quo die
midiameter illius circuli cu axe a h,cotinet angulum redimi
di anguli a h z ,di a h o, f mt acuti, ut patet ex prarmiflis, fecei
itaq; linea h z e.fugffdem illius circuli in puncflo z, di linea h
o,in puncflo u,ducatur'qj linea longitudinis fpeaili qua; fit a u
s, ducatur quoqj linea o z,qux .pducat ulcp ad puncflu f, di qin
linea o z,cft ultra lliperficie contingente pyramide in linea a
z»cu linea h z.fit perpendicularis fup illam fuperficie, palam
quia angulus 0 2 b,efl maior redo.cfi angulus a z h, fit recflus
'igit per 13. primi huius, angulus f zh,efl minor redo, a pun*
do ergo z.ducaf linea contingens circulu p 16. terti), qui fit
2 m,cadetbp linea z m,in fuperficie contingente fpeculum fe
cundu lineam longitudinis quar efl: a z,ell ergo linea h z pem
pendicularisfiip lineam iri z ,di i pundo f ducatur linea peii
pendiculat is fup lineam a z,per 1 z. primi, quee fit linea f e,c3
currens cu linea a z,,pduda in puncflo e,*quac linea f e„pdudi

concurret

LIBER SEPTIMVS. »8y

concurret cu linea a n,p imprimi huius, quia cum angulus a e f, fit redus.angulus ean
eft acutus,concurrant ergo in pundo n,8t d pundo e, ducatur linea *quediftans lineas
t h,qu* fit e q.per 3 1 .primi.Itenfq* ab eode pundo c,ducatur linea aequediftans lincte
tn z,qu* fit e I.pala aut qd’ linea m z,eft perpendicularis fupcr linea a e , per 2 z, primi
Iiuius,qni ipfa eft perpendicularis fuper linea t h,ut fupcr diametrum circuli quem ipfa
efteotingensin pundo z igitur linea 1 e,cum ipfa fic tequediftans linea: m z,eft per 29
primi, ppendfcularis fupcr lineam a e.Sunt quoqj linea: mz&a c,in eadem fuperficic
per / .primi huius, cu ipi* fint *quediftatcs„pducatur'qj linea q e ,ultra pundu c,et hoc
per 2.primi huius.fecabit axe a h,cB ipfa fit in eade fuperficic cu linea h t,p 1 .primi hu-
ius,fecet ergo axe in pundo d,erit'q? angulus h d q, acutus xqualis angulo a h t,per 29«
primi, fiat qcp fuperficies 1 e d q/ecas pyramidem,crit ergo illius fupcrficiei & fupffcici
pyramidis comunis fedio oxigonia per 1 0 3 .primi huius,cu ergo linea a e,fit ppendicii
laris fup linea fn,&fuper linea dq, Si fup linea le,patctp diffinitioneline* ered* iiir*
luperfiric,qmIincaIongitudinis pyramidis,qefta e, ereda eft fupcr fuperficic illius fe
dicnisoxigoni*,qu*eftIedq,&!quialinca a c,eftppcndicularisfup lineafen , erit
ergo linea f h, in fiiperficie illa fecante pyramide fccundu illam fedione, fiat ergo ut in
ilia fiiperficie fedionis d pundo f, ducat linea f p,per 3 1 .primi,*qucdiftans linea: e q ,
ergo per 9, undecimi, erit linea f p,*quediftans lincte z t,ueru cu angulus o z t,cft acu*
tusideo cjd angulus ozh.eftobtufus, erit jj 1 3,primi,angulustzf,obtufus,ducat ita <45
£l pundo z, linea faciens t z,angulu *qnal6 angulo o z t,q quidc linea ,pduda nece fla
riofccabit linea fp, per 2,primi huius, cu linea rp.fit arquediftans line* z t , fece tergo
ipfarn in pundo p,8i ducatur linea p e,qu* per 1 .undecimi.erit in fupcrffc/e 1 d q,eri t er
go angulus a c p,redus,ut patet ex pmiffis per diffinitione line* fup fuperficieered*,
cu ergo line* p z di o z,ut patet cx pmiffis,in eade fuperficic pyramide fccante , di an-
gulus oz t, *qualis fit angulo tzp,pala per 2o.quintihuius,qa forma pundiOjieflc-
ditur ad uifum exiftente in pundo p ,a pundo fpcculi z.ucru qa angulus o z t , per 29.
primi,eft *qualis angulo z f p,quia eft cxtrinlccus illi,& angulus h z f,*qualis eft angu
lo oz r,per 1 5-. primi. Sed angulus z p f^*qualis eft angulo p z t.pcr 29 . primi, quia eft
coaltcrnus,paIam quia angulusz fp,*qualis eft angulo z p f,crgo per 6. primi, latus z
f,*quale eft lateri z p,& quia angulus f e z eft redus ,ideo qa linea a c eft perpendicula
ris fupcr linea f n,pala per penultima primi, qa quadratu line* fz,ualct ambo quadra*
ta linea;*; c f di e z.Sed eade ratioe quadratu line* z p.ualet ambo quadrata linea,» ezdi
e p,qm ut patet ex pmiffts,angulus p e z,eft redus.quadratfi uero line* eft *qualc qua
drato line* z f,qiri ut patet ex pmiffis line* z f di z p,fimt *quales,illa ergo duo quas
drata hinc inde funt *qualia,ergo ablato cornum' quadrato line* ze, remanet quadra tri
line* e p,*qualc quadrato line* e f , igit latus f e, *qualc eft lateri p c, ergo p y. primi ,
angul9 e P *>cft *qua!is,angulo e f p. Sed angulus n c q.eft aqualis angulo e f p,per 29.
primi.qfh extrinfecus eft illi,& angulusq e p, aqualis angulo o p f.qa coalternus eft illi,
angulus ergo n e q & q e p/unt aquales, qih cu fint in cade fuperficic q eft p c n , pala p
20. quinti huius,qiri forma pundi n,refledit ad uifi.un exiftente in pundo p, ii pundo
fpeculi qd cfte.Similiterq? diuidat d pundo fqcuq; linea ad altqd pundu line* z c,di
,pducat ufc$ ad linea o n,fcmp ,pbabitur de pdo line* o n,in qua cadit ,pduda linea qd
ipfa fledet ad pundu p,d pOdo aliq line*z fc,que (ecatilla linea, fimili modo di omniii
huius Iincaji: ,pbatio fumet initiu a linea ppcdiculari,q eft f e,& d pte linea: c z,q erit co
munis oibus illis triangulis,2<; ita cjdlibct pudu line* refledit ad uifiim exiftente pun
dop,ab aliquo pundo line* z c,qa dc olbuscftcade demon ftratio,qdct patetp 34. qn
ti hui9.Si itacp qcucp linea reda cuiufcirqj rei uife.ponat in loco line* a o n,ct cetra ui
fus fiftat in pudo p,femper fiet reflexio ad uillim ab aliq pundoic line* a ze,q eft Ilea
logitudinis fpeculi,8c! hoc .pponeba t faciedu.patet ergo ^politu. XLir.

Cuni fuperfidei reflexionis 8C Ipeculi columnaris uel pyramidalis conue*
xi communis fedio fuerit linea longitudinis, erunt loca imaginum flCdiiiau
tia ipfarum a uifibiis,quoc di in ipcculisplanis »

a a Qitando

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Quando caufa in diuerfis fubiedis uniuocatur,3i pafllo uniuocabitur,ob hoc no re
perimus illa hic qua: in fpeculis planis dida funt in quinto libro huius fcientitc.quia u-
fxobiqj in planis,fdlicet,S£ propofitis fpeculis linea: incidentia: reflexionis incidut Si
refled untur i lineis redis, erit urrobiqj locus imaginis in perpendiculari d pundo uifo
duda fupciTuperficicm fpeculi tantum diftans a fuperficie fpeculi quantum pundiisrei
uifx diftat ab eadem fpeculi fuperficic.ideo quod femper imago rei uifce uidetur in co
curfu linere reflexionis cum katheto incidentire in omnibus his fpeculis, ut patet per 37.
quinti huius, patet ergo propofitum. xliii,

Cum fuperfitiei reflexionis di fpeculi columnaris conuexi communis fet
dio fuerit circulus, erunt punda reflexionum 8C loca imaginum , qua: eft in
fpeculis fphaerids conuexis ♦

Erit enim aliquando locus imaginis intra fpeculum columnare conucxij,aliquando
in fuperficie fpeculi.aliqn extra fpcculu,fecundu inodu que kathetus incidentia’ di linea
reflexionis in diuerfis pundis concurrunt, cuius qui cauflim Si demonftratione: quaeffe*
rit, recurrat ad ea,qure in fexto huius (cientia: libro dc fpeculis iphrericis conexis demo
(Irata funt, nani cade penitus eft ratio hinc inde,quia di fines contingendarum di meta:
imaginum di loca di eredem proportiones linearum funt in illis fpeculis di in iftis,patet
ttaqj per illa propofitum,nec uifum eft nobis dignum in lns amplius immorari.

X L 1 1 1 1.

Apundo fedionis columnaris cui incidit kathetus incidentire ad perpe
diculare cludam a pundo reflexionis fuper fuperficie fpeculi columnaris co
uexi duda reda ad axem continente angulum acutum cum eadem erit con*
curfus katheti incidentia: cum illa perpendiculari fub axe .

Hoc quod hicpponicur dcmonftrandum patet per 1 14. primi htiius,ut aute huic no
ftro,ppofito conclufio Mathematica (enfibiliter appltcetur,candc demonftratione dtj<
ximus imitandam.Sit ergo a cb c.columnaris fedio,di fit e datus pudns, cui incidit ka=
thetus incidenti* formeepundi n,qui fit pundlis rei uifre 3 b, (it pundus reflexionis i
quo duda Ih linea b d.perpcndicula ris fuper axem fpcculfqui fit h k fccctqj kathetus in
cklenr/a-dudus a' pundo n,qui eft pundus rei uifaripfum fpeculum fecundum pundu
propo (itx fedionis, qui eft c.dico ucmcfle qtiod proponitur.ducatur em linea c d , fitqj
ita, utfiatedb angulus aeneus , iit ergo qc IJinea contingensfcdionem in pundo e &
fuper pundurn fedionis, fiat circulus axjucdiftas hafibus fpcculipcr ioz. primi htu
ius, qua* iicbto, cuius cenauiitd, clueatur a' pundoe, linea longitudinis fpcculipcr

«oi. primi huius, quee fit et,
pundo quocp d per 1 1. pii
ni, ducat linea d g,pcrpendi
tilar/s fuper lineam bd,in
.ifa circuli fuperficie, palam
rgo quod fupcrficics h d g,
nm per axem h k, tranfeat,
ilii per •) i . primi huius , eft
rodus fuper circuli fuperfi*
ien 1 per 18. undecimi . Stu
efficies ucro cotingcns fpc-
culuni in pundo b, erit a’q«

diftans fuperficie/ h d gfpeculu fota ti.idco cui quia linea longitudinis (poculi cluda a
pudob,cft aqdilians axi h k.fie linea h t o.circiilum contingcnsfupcr pundu b,cft xt\*
diftans lincte g d,pcr zp. primi, angulus em g d b,eft rodus, ut patet cx pniilfis,& anguj
lus cotcntus fub linea d b,&! fub linea cotingente circulu in pundo b , redus , p /7. tern
tij.ergo ilice fupcrficics axjucdiftant per 14, undecimi, igitur fupcrficies in qua funt Ii-

nex

LIBER SEPTIMV4. |8<S

nex 1 e & t e, non eft xquediftans fuperffciei h d g,quod patet per 24. primi huius, qm fu
perficies contingens fedionem oxigoniam in pundob , no eft xquediftans fuperffciei
contigenti eandem fedionem in pundo e, in quo funt linex 1 e q, cotingens fedionem
di linea longitudinis qux eft e gangulus em e d b,ut patet ex hypothefi eft acutus, fuper
ficies ergo h e g.non xqucdiftat fuperffciei 1 c f,ergo concurret cu iJla,concurrat ergo in
linea I g,8i ducatur linea g t,qux neceftario erit contingens circula b t o,cu fupftcies in
g ducit linea g t.ipfum fpeculu fit contingens,duda autc linea t d.erit angulus g t d, re-
dus,per 1 7.tertrj,qm linea t d eft diameter circuli,& linea g t , contingit illum circulum
in pundo t.fiat quocjj ut prius fuper e, pundum fedionis circulus cequcdiftans bafibus
fpeculi g fit e s 3 p,et centru huius circuli fit pundus axis,cj k,et ducat linea k e, di ducat
etiam linea d l,quae quidem fecabit (Itpcrficiem circuli e 1 p.fecet ergo illam in pundo f,
quia itaqj pundum d,eft in fuperficie fedionis per 24,huius,cum ipfa fedionis fuperfi
cies fit fuperflcies reflexionis, &pundul, qd* eft pundu linex contingentis fedionem
eft in eadem fugficic fedionis,ergo per prima undecimi.tota linea d I,eft in fuperficie le
dionisjpundum ergo f,eft in fupficic fedionis, fed ipfurn eft in fuperficie circuli c 3 p.
Eft ergo in cornum fedione illajc- fuperficiejt circuli di fcdionis.fed di pundum e,eftin
ambabus eiufdcm fuperficiebus , ergo item p 1. undecimi linea e f.duda erit in ambabus
ilIisfuperficiebas,ergoper 19 primi huius.fecundum lineam efjlecant fc fuperffc/es fe.c
dionis5£!circulie3 p,ducatur itaqj linea k: f,& d pundo f, ducatur perpendicularis fups
ficiem circuli bto,per 1 1, undecimi, qui fit fm,cadctfcp pundus m in linea dg, ut patet,
di ducat linea tm, palam qm linea kd, xquediftans e t,xqualis eft linex f m, per 2 7. pri
mi huius.funtenim linex k d &fm,ambxppendiculares fuper fup.ficiem circuli b ta,ga
illi circuli xquediftant per 24. primi huius,utraqj em ipfaru xqucdiftat bafibus colum-
nx per 1 0 0 . primi huius, qm ergo linea f m,eft xqualis di xquediftans 1/nex d k,qux eft
pars axis, ergo per 3 3 . primi,linca k f, xqualis di xquediftans eft linex d m,& fimiliter
erit m f linea xqualis di xquediftans linex longitudinis qux eft c t.per 3 7.primi,quoni5
linea c t,eft xqualis di xquediftans axi k a per p 2 .primi huius, cu fit linea longitudinis
fpcculi,& erit ut prius linea ke,xqualis& xquediftans linex d t, & linea e f, xqualis eft
£>i xquediftans linex t m,per eande 53 .primi, ucructia fupcrficics k d I g, quia tranfit axe
columnx,8i angulus g d b,cft redus.orthogonalis eft fuper fuperficie fedionis oxigos
nix, qux eft a e b c.per diffinitione fuperffciei eredx,St: eadem fupcrficics k d 1 g.ortho
gonalis eft lliper fuperficie circuli e s p,q m illa fupcrficies k d 1, tranfiens per axem , per

1 8 . tmdcc/mi, ereda eft fuper bafes coIumnx,ergo di fuper fupfidem circul i cl p, xque
difta ns bafibus ereda eft in eadem fuperficie k d I,quia itaqj duda fnperficics k d 1 , eft
ereda fuper fuperficiem fedionis oxigonix di circuli e s p.Eft ergo orthogonalis fuper
lineam communem didx fedionis di circuli qux eft linea e f, per 19. undecimi, di quia
linea c fieft ereda fuper fuperficiem k d l,in qua duda eft linea k f, igitur p diffinitionem
linex fuper fuperficie credx angulus e f k,eft rcdus,crgo di angulus t m d , eft redus p

19. undecimi, latera era illos angulos continentia inxquediftantibus circulorum fuper
ficiebus .ptrada xqualia funt 6i xquediftaua,ut patet ex pmiflis , cum ergo angulus d
m t,fit redus ,di angulus g t d,fit redus per 1 7. tertij, in trigono ergo orthogonio d t g ,
duda eft ab angulo ad balem perpendicularis t m,crgo pe r 8 1 6 .lexti , idem quod fit
cx dudu linex d m,in g m,cft xquale quadrato linex m t,& qm linea g t , contingit cir*
culum b t o, cum fit in lupe rficic contingente duda ad pundum contingent ix quod eft
t.pala quod linea I g,eft xquediftans axi 1: d,quonia eni fupficies f r eundum lineam lon*
gitudinis fpeculu cotingentes funt eredx fuper bafem columnx, fupcrficics ergo per
1 9.imdecimi,earu comunis (edio qux in .ppofito eft linea 1 g , fuper eande fuperficiem
bafium perpendicularis crit,xqucdiftabic ergo axi h k,pcr 6. undecimi, ergo etia xque-
diftabitlincxfm,per 3 0. primi, quia ergo in trigono Igd, linea fnycqucdiftatbafi 1 g ,
patet per fecunda fex ci,quonfa lecat alia latera illius trigoni .ppomonalit. Eft ergo pro
portio linex d f ad f hficuc linex d m ad m g.ergo permutatim per 1 6. quinti , erit pro-
portio linex d f ad d m, ficut linex f 1 ad m g, fcd linea d f, maior eft ffj linea d m,pcr 19*

a a 2 pruni

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
prfm*,qfn in trigono fd m, angulus fm d,eft redus per 8 .undecimi,ergo & linea FI, eft
maior qj linea m g,ergo idem quod fit ex dudu linea: f d in f l.maius eft illo quod fit ex
dudu lineas d m in m g,crgo di quadra to lincte t m ,(ed linea t m,cft ecqualis linea e f,ut
patet ex pmiflis,ergo illud qd fit ex dudu linea d fin I f, maius eft quadrato lincte e f.Eft
ergo in trigono de 1, angulus 1 e d, maior redo g 30. primi huius, eja li eflet redus , tunc
cum linea e f, fit perpendicularis fuper lineam d 1, eflet per 8. di per 1 6,fexti,idem qd fit
ex dudu lineae d fin fl,»quale quadrato linea» cf.Rcftat ergo ut linea pei pedicularis
fuper lineam contingente fedione a e b c,qu» eft: linea q 1 ,duda 5 pundo e,cadat fub li
nea e d.nonperueniens in pundum d,fitergo illa gpendicularis linea e b,& qa angui?
edb.eft acutus, & angulus de u,acutus,qm angulus u e q eft redus, ergo per 14 . primi
huius»lineae e u & b d.produd» concurrent in pundo aliquo fub axe h k.& fub concur
fu linea: e d; cum linea b d,quod eft cuidens, patet ergo propolitum .

XLV.

Perpendicularem dudam a pundo reflexionis fedionis pyramidalis fu*
perfuperfidemfpcculipyramidalisconuexicum katheto incidentia: pun*
do remotiori a uertice lpeculi q; fi t pundus reflexionis incidentia: fub axe
fpeculi concurrere eft: necefle,dum tantum linea a pundo incidentia: kathe*
ti duda ad perpendicularem fuper axem angulum contineat acutum,

Hxcquoq? ppofitio patet per 1 1 3 .primi htrius,ut iam facilius pyramidalibus fpecu
lis applicetur . Sit fpcculum pyramidale couexum a b g, cuius uertcxfit a,& axis a k, ca-
datcj3 in ipfum fedio oxigonia,3 cuius circuferentia forni» pundop- line» uif» refieda
4ur ad uifunnqUJC fit b fc z pundS quocp reflexionis fit e, di fit linea c d,exiftcns a pudo
e,quod eft pundu reflexionis ppedicularis fug fupfide contin
gente fpeculu,q pduda in fuperficie fedionis,concurrat quide
cu axe a k,per 1 4,primi huius.angulus em c a k,eft acutus an
gulus a e d eft redus, concurrat ergo in pundo d.fitfcg kathetus
incidenti» form» pundi alicuius reflexi a pundo fpcculi e z,c[
fit h z.dico qd* kathctush z.cocurrctcu perpendiculari e d , ul-
tra pundu d,fub axefpeculi ducar em linea tzq,qu» contingat
fedione b e fin pundo z,cu fit pundum z, remotius a pundo
a,uertice fpcculfcjj fit pundum c,duda quoq; linea z d,angul3
acutum contineat cu perpendiculari c ddiiper iplum axem fpe-
culi in quo cadit pundi! d,tranfcat quoqj fuper pundu z,fupcr-
ficics »quediftans bafifpcculfqu» fecando fpeculum faciat cir
culurzg,pcr loo.primi huius, lfte ergo circulus fecat fedione
bc fin duobus tfh locis per 1 04. primi huius >qm circulus eftg
pcndicularis fuper axe a d , di fcdio eft obliqua fuper eandem
axem ,£i ducatur lincteaz&ae, lineaquoq3ae,qu»ex hypos
thcfieft breuior cf; linea a z, ideo quod pundum z, remotius eft
5 uertice pyramidis c p pundum c, ,ptrahatur ultra pundum c,
donec concurrat cum circuferentia circuli r z g,6i fit concurfus
pundus o.crgo pundus o,eft remotior a pundo a, uertice fpe*
culi cjj fit pundus e.eriYq? linea a o,»qualis line» a z.pcr Sp.pri
mi huius.ideo quia amb»a' uertice pyramidis ducantur ad cir*
culi circSferentnuCum ergo exierit a pundo o .perpendicularis
fuq flipei ficie cotingenic fpeculu fecundum lineam a d, concur
ret illa linea cum axe a k, ultra pundum d , cui prius data eft in
eide re perpendiculare e d,per z. primi hufus.Sit ergo pundus concurfus lc,crit eih linea
o lc,»qucdiftans line» c d,per (j. undecimi, ducantur ergo line» k z & d z,8i qa linea kz
cft»qualis line» k 04165-. primi huius,cft em lc polus circuli,fed linea a d,eft squalis li
ne* 3 z,p S primi haius,c8 (int linere logiaidinis unius pyramidis,^ linea a k,cois eft

ambobus

UBER SEPTIMVS. 1S7

ambobus illi a trigonis,erunt ergo per 8. primi trianguli aokdia zkxQangiil fifed an
gulus ao k eft redus,ergo 8i angulus azkeft redus.eft ergo linea k z perpendicularis
fuper lineam logitudinis fpeculi a z,qux eft in fuperficie contingente fpeculum , eft er*
go linea kzereda fiiper fuperficiem contingentem fpeculum fecundum lineam a z , er
goper 18, undecimi, di fuperffc/eszkoeft ereda fuper illam fuperficiem contingen*
rem, di quia Ipundozduda eft linea contingens fedionem qua; eft czq, cum ergo
ut patet linea k z fit ereda fuper fuperficiem fpeculum contingente fecundum linea a z
di comunis fediofuperfiriei fedionis., & illius fuperficici fpcculu contingentis fit linea
t z q cotinges fedione.et it linea k z ppendicularis fiiper linea t z q,crit ergo angulus lc
z q redus per diffinitione linea: fuperfiiperficie cotingenteA quia ut patet exprtemifi»
fis angulus k z q eft redus,trigonu q[qj a z k eredu eft fup er fuperficie fpcculu fecunda
linea a z cotingente,& linea b z eft fimiliter perpediculai is fiiper hac fuperficie contin-
gente.Extrahamus ergo a pfido z comune fedione fuperficici circuli r z g, & fiupfidcg
pyramide iecundu lineam a z contingecis,hoc aut per 3 .undecimi eft linea rcda,fi t ergo
hxc linea z y,eft pala per pramiifla q> linea z y cotingit circula r z g,fit quoq* cetra hu*
ius circuli c,8i producatur cz angulus czy,eft redus per 17. tertlj , di ducatur i pun*
do c,quod eft centrum circuli r z g,linea continens cum linea z c angulum redum per
1 3 .primi, & fit linea c f, linea ergo c r,eft tequediftans linea* z y per iS.primflmea uero
c r,eft perpedicularis fuper fuperficie a z c per 4.undecimi,ideo quia angulus z c r eft re
dus ex pramiifis,6<; angulus zca,eftredus,ideo quia axis ac eft perpendicularis fup
iuperficie circuli r z g,per Sp. primi huius, & quia etiam axis eft perpendicularis fup ba
fem pyramidiSjCni circulus ajquediftat,ergo di axis erit eredus fuper circulum per z 3 .
primi huius, linea ergoz y tequediftans lineae c r,eft perpendicularis fiiper fijperficiem
a z c per s.undecimi, ergo linea a q contingens ledioncm, eft obliqua fiiper iuperficie
a z c,ergo di fiiper lineam c z, producatur ergo S. pundo z in fedionis fuperficie extra
ipfam fedionis periferiam linea reda continens cumlinea t q angulum redum per un
decimam primi, qua; fit z b, & quia pundus d per 24.hun.1s eft in fuperficie fedionis in
aliquo pundo axis , palam quod ipfiim aliud eft a pundo k,qui eft pundus axis inferis»
or pundo d extra fuperficiem fedionis, fed pundus z eft in ipfius fuperfidc,patet ergo
quoniam linea kz eft extra fuperficiem fedionis , linea ergokzlccat lineam, zh , nec
continuatur cum ipfa , quoniam linea z h eft in fuperficie iedionis,& linea k z eft ex*
tra illam, di quoniam lineae k z & h z fecant fe in pundo z.patct quod ipfa; firnt inalisi
qua fuperficie una per z .undecimi,fint ergo linea: zkdiz h in alia fuperficie praeter fup
ficiem fedionis.quae fecet fuperficiem fedionis fiiper lineam p z h in ambabus iftis fu*»
pcrficiebus exiftentem per 1 9. primi huius,& fit z p eadem linea cum z h,quae eft produ
da in fuperficie fedionis , linea aero d z,qna: eft in iuperficie iedionis.eft extra fiiperff
ciem in qua funt linea: kzdiz h.fed linea z k continet cum linea z q, angulum redum
ideo quia ut pra:didum eft linea k z eft perpendicularis fuper fuperliciem contingen-
tem pyramidem qux tranfit lineas a z di zq , 8i fupcrficics kz h fecat fiipcrficicm d zh,
fuper lineam illis duabus fiiperficiebus communcni.per 19. primi huius,qua* eft h z.una
linea d z eft in fuperficie fedionis ut fupra patet, di fecatur a linea k z in pudo z,di pu
da c & q fiint i lateribus fiipcrficiei k z p h.crgo di fupcrficics h z k,{ecat fuperficiem d
z q,differetia ergo comunis fiipfideje h z k & d z q,& in fiipflcic h z k eft quoqi illa cois
fedio linea reda per 3 .undecf nii,cotinet ergo illa linea cu linea z q angulu rcdfi, na 11
nea z q cu fi t gpedicularis fup linea z h,ct fup linea z k, patet p 4, undecimi , qin ipfa eft
ereda fup fiipficiehzk,ergo di fup linea zp, di qin fuperficics h z k ,iecatfiiperficicm
d z q di declinatio fiiperficici h z k a fuperficie fedionis.cuius pars eft fiipcrficicsdzcj
fit cx parce femidiametri z t,erit linea qua* eft differentia communis his duabus fiiper-
ficiebus media inter duas lineas q z & z d,ergo a ngulus q 3 d eft obtufus, & h z eft in fii
perficio iu qua funtlinea: d z& z q.quar cfl fiiper ficics fedionis , Si continet clim linea
z q angulum redum, linea ergo z h produda intra fedionem ultra pundum z, fecabic
angulum d z q 3 di linea h z » concurret cum linea c d fub pundo d,pundo axis per 14.

a a 3 primi

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
Primi hufus,angulus enim y de eft acutus ex hypothefi,8d angulus d z p acutus, kathe
rus itat# iacidctix qui eft Ii z,cum perp endicnlari e d,quae ducitur i pundo reflexionis
fuper fuperticiem fpcculum contingentem,concurret fub axe di fub pudo ipfius axis,
qui eftd, fititaqj pundum concurfus p,8dhoc eftpropofitum.

XLVI,

Perpendicularem dudam d pundo reflexionis fedionis pyramidalis fu
per fuperfide fpeculi pyramidalis couexi, cu katheto incidentia? pundo $*
pinquioria ucrtice fpeculi quam fitpundus reflexionis incidentia? fub axe
fpeculicocurrereeftnecefTe,altiorisquoq$pun<fl:i kathetuscuin eadem per
pendiculari concurret remotius fubaxe,dum tame linea a pundo fuperiori
cuppdlicularidudaapudo inferiori fuper axem angulu cStineat acutum»

Sit ut in pratmifia fpcculum pyramidale conuexum a b g,cuius uertex fit a, 8ii xis
ad , fiteg in ipfofediopyramiaalfs,quxbfcz,punduniquot#reftcxfonis{?te,fit%
linea e d perpendicularis fuper fuperticiem fpeculi cocurrens cum axe a k in pundo d
in fuperficic fedionis, (itq* kathetus incidentia: forma; pundi alicuius reflexi i pudo
c,qui fit h z, cuius pundum z fit propinquius uertici fpeculi quam pfidum e,ita tame
quod linea z d,cum linea e d in pundo c! contineat angulum acutum , dico quod ueru
eft: quod ,ponitur,circ3ducafur em & pundo z,ipfi fpeculo circulus per 102. primi hiia
iusrgzA' ducantur linea: azQi ac , linea quoq; a c ex hypotheli eft longior quam
Iineaaz, patet per 1 00 A sp.pnYm huius.qucniam ablcinditur per fuper fidem circus
lir z g.idco quia pudum z propinquius eft uertici pyramidis,qute eft a, qua' m pundfi
e fit ergo ut abfeindatur in pudo o,cfl ergo pundfi o propinquius uertici ipfius fpecn
l/,quam epudum.cricq* linea a 0 arqualis lineas a zper 8 9. primi huius,cum ergo exie
rit d pundo o,perpendicularis fuper lineam a o,qux fit o k.feeans axem a d in pundo
k,crit per 28 .primi huius , linea o k tequedifi ans linea: e d,ducantur ergo linea: kz 8i
d z,8 i qalinea kz eft aqualis linea k o per 65 .primi huius, eft em pudtts k polus drs
culi kzb g,fed linea ao eft aqualis linea a z p 89, primi huiu$,et linea a lc,eft comunis
ambobus illis trigonis.erut ergo p 8 .primi trigoni a d k& a zk aquianguli , fcd angus
lus a o k,eft redus per 29 ,primi,ideo quia angulus a e d eft r edus A linea cd&okas
qucdiftans, ergo & angulus a z k eft redus , eft ergo linea k z perpendicularis fuper Ii
neam longitudinis fpeculi a z,qua eft in fuperficic contingentem fpcculum , eft ergo
linea kz ereda (uper fuperficicm contingentem ipeculum fecundum linea a z, duda
quoq* d pundo z linea cot/ngenrem fcdionem in pundo z,qua fir t Z q . Perficiat de*
monftratio, ur in proxima prxmifla , patettp propolitum nunc ut prius , cadat enim
putidus p,qua: fiteommunis fcdio katheri incidenria: dudi d pundo z cu perpendteu
lari e d fub axe a d Sf fub pundo d A fi in periferia ipfius fedionis fignetur pundus ,p*
pinqu/or uertici qudm fir pundum z,qui fit pudusx, ab eo quoqj ducatur kathecus in
cidentiae qui fit x y,qui eodem modo fi angulus x d e.fueric acutus dcmoiiftrabiturcos
currere cum perpendiculari e d fub axe a cl,fft concurfus in pundo y, dico quod pfidus
y remotior erit fub axe a d,qudm pundum p,non enim fecabit linea x y angulu a z p ,
iiccjj lineam z p, quoniam kathetus dudus a pundo altiori ulterius protenditur fub
axem,&kathetus angulum redum continens cum perpendiculari e d concurret cum
illa in pundo axisd, rcliquiucro katheti horum medij.d quorum putidis incidentia:
duda’ linere ad pundum d, angulos continent acutos,cum perpendicularis e d non Ce*
cabttlmcamd p.patetergo propofitum.

LXV 1 1.

Kathetum incidenda linea reflexionis intra fcdionem oxigoniam fecan
te, Sd a. pundo reflexionis duda contingente,qua?fecctkathetum, erit toti*
us katheti proportio ad partem fui refedam intra fcdionem oxigoniam, Cu
cut partis cxtrinfecus refeda: ad eam qua; utrafep interiacet (cdiones.

Efto

LIBER. SEPTIMVS, lS8

Efto a bcftdio oxigoifta, cuius pundus b ,fit pundus reflexionis, & fit e pundus
rei uiiic.d centrum uifus,£ pundo quocp reflexionis quod eftb,ducatur linea perpendi-
cularis fuper ruperficiem contingentem ipeculum in pundo b,qui (it gb q.duda intra
ipeculum propofitum in pundum q,& ducatur i pundo e,Itnea e k perpendicularis fu
per ipfam fedionem , aut fuper lineam fedtonem conttngentem,ut fuerit poiltbile, du
catur quoqj linea cottngens fpeculum in pundo b,qua fit tb u,8t alia contingens (edi
onem in pundo k.dua itacp perpendiculares.qua funt g b q di o k, conatrrent intra ie
dionem fub axe fpeculi per tres prarcedentes.fit ergo pundus cocurfus illarum perpeni
dicularium pudum q,fed hoc in propofito aliter dcclarandum.Ducatur enim linea: cb
o b,k b, palam per 29. pr i mi huius,& expratniflis,quoniam linea k m,cadet intra fuper
ficicm e k b. Si linea b t, cadet intra eandem ittperffciem , igitur linea b t ,fccabit lineam
e k.fir. ut iecct ipfam in pundo t,& linea k m fecabit lineam b e , 8i (it ut fccet ipfam in
pudo m . Cu ergo angulus e k m fit redus5ut patet ex pramiflis,pala quod angulus c k
b maior eft redo,8t fimiliter quod angulus g b t eft redus,erit angulus g b k maior
do, palam ergo per imprimi huius, quoniam dua g
pcndiculares g b & c k cocurrent in aliquo pundo (ii
perficici reflexionis ,cum fint in eadem fuper fide, fit ut
prius earum cocurfus in putido q, fimiliter qqjangu
Ius d b k,eft maior angulo redo, qui eft g b t,qui eft re
dus,ut patet expramiflis,ergo per imprimi huius li-
neadb&ek cocurret.fit ipfaru concurfus pundus h,
igitur per 3 7.quintihuius,pundnsh, eft locus imagia
nis forma* pundi e, dico itaepejd erit proportio linea:
e q,qua eft kathetus incidetia forma: pundi e,ad linea
q h , ficut linea: c t ad linea t lgqacrn linea: e k et b e co
currunt in pundo e,ducatur a pundo li linea h f aque
diftans linea: e b,per 3 1 ,primi,S: qm angulus c b t, eft
per 20, quinti huius ,acjlis angulo d b u,& per 1 y.pii-
mi.angulus d b u,eft aqualis angulo t b h, pala qd an-
gul? eb t.crit aqualisangulo c b h.Reftat ergo ut an-
gulp e g b ,fit aqualis angulo h b q,ideo eja anguli c b
q & c b g.funt redi et a*quales,cu igitur linea c b diu ia
dat angulu cbhg aqualia.crit g 3 ,texti,prc^rtio linea: e t,ad c h,ficut linea e b,ad b h,
fed per 29. primi, angulus e b g,eft aqualis angulo h fb, angulus ergo h f b , eft aqualis
angulo h b f,qfh ut poftenfum eft angulus e b g,eft aqualis angulo h b f ergo g tf.primi,
linea h b,cft aqualis linea h fjergo per 7.quinti, proportio linea e b ad lineam h f,(icut
ad linea h b,eft aut proportio linea e b,ad h f, ficut linea e q ad q h ,pcr 4. fextt , qag 29.
primi, trigona e q b St h q b,funt aquiangula,erit ergo proportio linea e b ad h d, ficut li
nca c q ad q h,erit ergo per 1 / .quinti .proportio linea c t,ad lineam t h,ficut linea c q,adl
lineam q h,quod eft propofitum. XLVlll,

In omni fpeculo columnan' uel pyramidali conuexo , communi fetftione
fuperficiereflextonis Si fpeculi oxigoniaexiftente linea reda intcriacens pu
dum concurfus duarum prxmiflarum perpendicularium & loeu imaginis
anaior eft linea reda interiacente locum imaginis & pundum reflexionis.
Sit omnimoda diipofi tio 8t probatio, ut in praccdcnte proxima, di quia eft propor*
tio linea e q ad lineam q h,ficut linea e b ad lineam h f,pcr 4.(exti,fiC proportio linea e b
ad h f,eft ficut linea e b ad lineam h b.per 6.primi,& 7,quinti , erit proportio linea eb ,
ad linea b h, ficut linea e q ad linea q h,per 1 1 .quinti.ergo gmutatim g 1 <5,qnti.^)portio
linea c q ade b,ficut q h ad li b,fcd linea e q maior eft cf; linea c b,g 1 9.primi,co qd angu
I9 e b q maior eft redo, ut paret expmiflTs,qa angul9 1 b q,cft rcd9,ergo linea q heft ma
ior t^liucahb,t}de,gpofi£u,eftcmpuduqilludin4cocurrut dua gpendicularcs gbq

8icb

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
R c b,qua* eft fcathetus incidentia & punctus h locus imaginis fornix pundi e. Si puti-
dus b eft pundus reflexionis forma: pundi e ad centrum uifus exiftens in pundo d,
xnx.

Communi fedfone fuperHciei reflexionis & fpeculi columnaris uel pyras
midalisconuexiexiftenteoxigonia,forma£j?rei uiftc oblique fpeculo incfo
dentc,locus imaginum formarum uiforum putidorum quandocjj critinfos
perficie fpeculi, quandocp intra fpeculum,R quandoq? extra fpfijm;

Quod hic proponitur locum habet, cunl pundus rei uifae non fuerit in diametro ui
fuali perpendiculari fuper iiipcrficiem fpeculi, tunc enim unius folius forma pudi foper
lineant perpedicularcm accedit ad fpeculum.R fecudum eandem lineam refledetur ad
uifum.utpote pudusipfius ppendicularis linea, quae eft in fuperffcie oculi indentis, pii
dus ein ultra fupcrficiem oculi iiimptus non poteftrefledi fuper hanc jjpendicularem,
quia non poteft accedere ad fpeculum fuper lineam perpendicularem propter ratione
aflignatam in 3 2. quinti huius, Rfiniilitcr non poteft refledi forma illius pundiad

uiflim ab alio pundo fpeculi, qudm
d pundo illo cui incidit linea per*
pcclicularis,(i enim daretur hoc pof-
fo fieri, tunc accideret duas perpen*
diculares dudas £ fuperffcie fpeculi
cocurrcreincetro eiufde uifus, qd
eflet contra 6 . undecim/, Si contra
20. primi huius, & duo anguli tri-
anguli fierent redi, quod enet con-
tra 3 3 .primi, & impoflibile.in tali er
go fitu perpendicularis refleditur
tantum in feipfam.fit a utcm nunc ut
forma rei uifc incidat fuperficiei (peculi non pcrpend/cular/ter, fed oblique, Si cfto ut
fuperficies reflexionis fecct fpeculum columnare conuexum.R comun/s corii fcdio fit
oxigonia fod/o.qua a b g,a cuius pundum a illinatur linea cotingens fodionem, qua:
fi t c a t,Si ducatur perpedicularis a' pundo a per 1 1 .primi,fupcr Iineam,e t intra fodio*
nem qua* fit a d,cadatfcppundasd intra fodionem, p?km ergo per 1 15-. primi huius,
quod lineada diuidit fedionem in duas partes , in quarum utracp eft pundus unicus
in quo pudo linea fodionem c5tingens erit aqucdiftans linea d a,fit ergo citra unum
illorum pundorumal/us,quifitpudusg,aiiuspundi contingens concurrat cu linea
d a in pundo h extra fodionem, Si ducatur linea perpendicularis fuper hanc lineam co
tingentem, qua? eft g h per undecimam primi, perpendicularis ftrgq, fecans lineam ali*
am contingente qua eft e a t,in pundo t,erit ergo pundum t.finiscotingentia perdifo
finitionem^ hac quidem perpcndicularis.qua g q.ncceflario concurret cum linea hd
per imprimi huius,ideo quod angulus q g h eft redus.R angulus g h d acutus , ficergo
in pundo d ipfarum concurfus,& ducatur linea g a, qua producaturextra fedionem
ufqj ad pundum p ,Si duca tur linea q a, igitur angulus q a h, aut eft aqualis angulo h a
p.aut maior aut minor, fi fit aqualis, incidit ergo forma pudi q fpeculo in pudo a. Si re
fledetur ad centrum uifus exiftens in pundo p per 20. quinti huius , Si locus imaginis
pundus g,qui eft pundus fcdionis oxigonia Si fuperficiei columna fpeculi per 37.
quinti huius, quoniam in illo pundo cocurr/t kathetus incidentia dudus a pundo rei
rifa,qua eft q ,fuper lineam contingentem fodionem in pundo g,cfi linea reflexionis ,
qua eft p a ,Si quia pundus g eft in fuperffcie fpcculi,patet quod tunc uidebitur imago
forma pundi q in fuperffcie fpeculi.fi uero in linea g q fiipra pundum a .fumatur alius
pundus ut f.R ducatur linea f a, erit quidem angulus r a h minor angulo h a p. Eft enim
angulus fa h minor angulo q a h.qui eft aqualis angulo h a p.fiat ergo angulos fa h fu
per a terminum b e h a aqualis angulo qui fit h a n,per 2 3 . primi, d producatur linea n a

LIBER. SEPTIMVS. <$J*

intra ledtoiiem .concurretq* cum katheto f q g d,& fit putidus concurfus k.palam ergo
per zo. quinti' huius, quod forma pundi firefleditur a pundo fpeculi,quod eft a,ad uia
Ium exiftentem in pundo n ,et locus imaginis forma: pundi f,erit in pundo k , di ima
gines omnium pundorum Iine*,q f,qua fiint ultra pudum q, erunt intra columna fpe
culi,ut patet per 34.qninti huius, & ex pramifiis, fi non inter pundum q di pundum t,
qui eft finis contingentia: , ponatur pundum aliquod,ut r ,& angulus r a h ma ior angu
Io q a h , ergo & angulo h a p,fiat ergo ei aqualis angulus,qui fit h a m, palam quod l!=
nca m a produda cadet fuper lineam g q extra fcdionem , ideo enim quia linea p a co
sinens cum linea a h,angulum p a h aqualem angulo q a h .cadit in i plumf fedionem in
pundum g,patet quia linea m a.fecabitlineam g q , extra fedionem , ficcjj ut cadit in
pundum oberit ergo per 3 7.quinti huius,imago forma: pundi k,in pundo o, di omnis:
nm pundorum linea: r q,excepto pundo q, imagines erunt extra fpeculum intra pun
da o & g,fi autem angulus q a h, fuerit minor angulo h a p,fecctur exangulo h a p,angu
Sus h a n.aqualis angulo q a h,per i7.primi huius, palam ergo ut prius quod forma pii
diq.imago erit in pundo k,& omnium fuperficicrum pundorum line* q f, imagines
erunt intra fedionem, fi ucro pundus r, fumatur inferior pundo q,ita ut angulus r a h
fit aqualis angulo h a p,tunc erit. imago forma pundi r in fedionis pundi g , quod cft
infiipcrficie fpeculi&.' omnium pundorum inter r di q, imagines erunt intra fpeculum
Qi omnium pundorum inter punda k di dqmagines erunt extra fpeculi fiipcrficicm,
fi uero angulus q a h fixerit maior angulo h a p,fiat angulus h a m aqualis angulo q a h,
palam quod linea m a produda fecabit fcdionem , linea enim e a t,cft contingens fc*
dionem in pundo a,propter quod linea m a produda ncceffario fedionem fecabit, fe
cet ergo in pundo b,di ducatur Unca contingcnsfedioncm in pundo b,qui concurrat
cum linea dh in pundo I, concurret autem per i4.primihuius,anguluscnimd b 1 cft
redus,&: angulus 1 d b acutus,duda linea d b , erittjj angulus d 1 b acatus per 3 2 . primi,
cum angulus d b 1 fit redus , eft ergo per 1 3. primi, angulus h 1 b obtufiis, linea ergo !
b concurret cum linea hg ,ut pate t per 69, primi huius,cx parte pundorum b di g,quia
quatum ad hoc eadem ratio eft in circulis di in fedionibus,farict'q? cum ipfa angulum
acutum .ducatur ergo perpendicularis fuper lineam 1 b i pfido b,& per 1 1 .primi , qua
fit gs,hac ergo coniunda cu linea d b, fiat linea una per 14 primi.quoniam utraqj /pias»
rum cum linea I b ,in eodem pundo qui eft b, continet angulum rcdum,& linea
b s, fecabit lineam hg, fit utfecet ipfam in pundo x,& quoniam linea 1 b protrada
concurrit cum linea h g,& angulus s bl,eftredus,patet quod linea b s cum linea h g ex
parte pundi h, continet angulum acutum per i4.primihuius, erit quoque angulus s
xh acutus, ergo & angulus gyb illi contrapofitusfimilitcvcft acutus per 15-. primi, qa
uero linea h g,fecat lmeam q a,fit pundus fedionis u , di quoniam angulus h g d,cft re
ckasjdi linea q a concurrit cum linea fd g in pundo q, quoniam omnes ha linea fiint in
una fuperficic , palam per i4,primihuius, quod linea h geum linea, qa,eontinet ans»
gulum acutum fuper pundum a, qui cft angulus h u a, quia ergo angulus s x h cft acus
sus angulus q u g, contra pofitus angulo h u a, per 1 y. primi, cft acutus.patet per 14.
primihuius,quodline*s b 6i q u concurrunt, fit ergo concurfiisipfarum in pundo z,
forma itacp pundi z, monebitur ad fpeculum per lineam za,& refledetur per line
am a m , ad uifum extfteptem in pundo m,& locus imaginis erit pundus b , 8doca
omnium imaginum pundorum linea z s, ultra pundum z , erunt intra fedionem di
omnium pundorum linea z b, qua fiint circa z, loca imaginum erunt, extra fcdiqj~
nem , quod eft propofitum,

L*

Linea redasequedxflantis axi fpeculi columnaris connexi , centroty uiV
fus exiftente in eadem fuperfiae, reflexionem poftibile eft fieri a tota li^
nea longitudinis fpeculi ad uifum , imago^. eius uidebitur reda aequalis
reiuifa*.

bb Efto.

PERSPECTIVAE VITELUONIS

Eftofpeculum columnare, ut in 3 o.hirius,-cuius axi zh,arquediftat linea reda qux
fit th,erit ergo per 30. primi huius, SC per 9 2. primi huiusjinea t h tequediftans lineat lon
gicudinis fpecult columnaris, qua: exiftens in eadem fupetficie t h z k, fit linea a g, dico
quod fi unus , cuius centrum iit e, fuerit in eade fuperficie t h z fc cu linea t h,&: cum axe
zk,pofiibiIe cft.utola punda lineat t h refledantur ad uifum e,quoniam per 3 o. huius,
poffibile eft, ut punda reflexionis omnium "pundotum linea’ t h , fint in linea longitus
dinis columnce, qucecft g a, quia illa linecf fuperficiei reflexionisinquafuntuifuse,
8i axiszlc di linea th, di luperficiei columna eft communis, ut patet per 93. primi
huius , uidcbitur ergo imago forma; lineat th reda , ideo quia qucelibet perpendicula
risdudaa pundo linete t h, erit in eadem fuperficie cum uifu di axe, di probabis
tur loca imaginum pundorum lineat t h ede. fecundum lineam redam dilpofitad
cutinfpeculis planis per y 2, quinti huius,exiftit probatum dc lineis redis uifi , patet
ergo propofitum ,

LI,

Linea; reda; atquedi flantes axi fpeculi columnaris conuexi , uifu non ex
iftente in eadem fuperficie, imago cuma uidetur modica: curuitatis, &
minor reuifa.

Sit difpofitio qua: prius in 3 0 ,huias,refledatur'q3 forma linea: t h,d linea logitudinis
fpeculi, qux fit a g.dico quod imago lineat t h,uidebitur atiqn curua , forma enim pudi
eius quod eft q,ut ftipra pat-uit refleditur ad uifum e,a pundo fpeculi b,qui eft pundus
circuli b f, linea ergo i pundo q, cluda ad centru circuli b f.quod eft l,quat erit q 1,& ipfa
eftkathetus incidentia: formxpundiq,quoniam ut patet per 17, terti], linea q l,cft ppen
dicularis fuper linea contingentem circula b f, cuius periferia eft communis fedio fug
ficiei reflexionisfit fpcculi,hic quocy kathetus q l,ut patet, concurret cum perpendicula
r i produda a pundo b, quod eft pundu reflexionis fuper ipfam fuperficiem fpeculi fus
per axe z k ,di erit cocurfus in pudo axis l,fcilicet in cetro circtil i b f,p 9 «S.primtliuius ,
cocurrat ergo linea q I cu linea m 1 , in pundo axis l.pvoducatur cfq; linea rc flexionis, cj
eft cb,quoufc$ cocurrat cu katheto q 1,& fit pundus concurfus c, uidcbitur ergo per 37,
quinti huius,imago forma: pundi q in pundo c ,& eft pundus c,pcr 1. undecimi, in ftu
perficie in qua fiint linea qh,& axis zk,cft linea longitudinis a g. Item forma pundi t,
linea: t h .refleditur a pundo ipccu!ig,q per 10. huius, eft pundus tedionis oxisonix
cir pundus c fit altior centro uifu.';, quod eftc,ncc ipfa fiint i n eadem fuperficic.Elt aut i
pundo t,una tiri ducere ppendicularc fiip ipfam oxigonia tectione, qua: eft communis
fedio fiiperficici reflexionis & (peculiare! fuper linea cotingcnte fpeculu in pudo ali§
oxigonis fcdionis per / 2.primi,fitduda,hatcergo per 1 i4.primihuius,uclper44.hu
fus, cocurrct cu perpendiculari duda £ pundo ciufdem tectionis quod eft g, fuper axe
zlc.qua: eft linea n g z.crifqj cocurfus fub axe, hoc eft fub pundo z, qui eft concurfus^
pendicularis,nz,&axizk,qiiidudalineatz,critangulus t zn acutus, ideo quod an-
gulus nzy eft redus, axe kz produda ultra pundum z ad pundum ry, producatur
itaqj linea nz ultra pundum z ad pundo 'x,di ducatur .i pundo g, linea cocurres cum
linea n z, produda ultra pundum z in pundo x, concurret autem per 14. primi huius,
ideo qa Angulus xn t,cft rcdus,uel acutus, & angulus x t n acutus, tecett^ linea tx axe
k z in pundo y,& producatur linea e g,ultra pundum g , donec concurrat cum linea
t x,cocurrcnt autem per 29. primi huius,linea enim e g produda fecat angulum tg x,
ergo Si b atem t x, quoniam illa: lineat funt in eadem fuperficie ut patet , fit ipfarum fei
dioinpundoi, erit ergo pundus i, locus imaginis forma: pundi t , per 3 7, quinti
huius, jimilitcrduda dpiuido h, linea: t h , qua: fit orthogonalis fuper lineam con<
tingentem fpeculum in aliquo pundo fcdionisoxigonia:, i qua refleditur forma
pundi h ad uifum c, per decimam huius, illa concurret cum perpendicularid a r,
fub pundo d, qui eft pundusaxisper 1 i4,primihu/us,uel per 44.hutus,concurrater
go in pundo p , Qi ducatur linea c a , ultra pundum a , donec concurrat cum linea h p

LIBER. SEPTI MVS* 190

& fit fecundum prsmiflos modos pundus concurfns s,erit quoqj ut prius pudus s ima
go pundi h, ducatur quocg linea s r,palam ergo cum linea c i concurrat in pudo x cum
- perpend/culari,n z,qus eft squediftans lines e o.quod eadem concurrat cum linea e o,
per fecundam primi huius,concurrat ergo in pundo u , fimiliter linea h s , cum concur
rat cum perpendiculari dr, qus eft squediftans linesco,concurrat cum lineaeoper
eandem fecundam primi huius,(ed quoniam (itus pundi t lines t h,refpedu pundi e »
quod eft centrum uifus,idem eft cum fitu pundi h,& eadem di
ftantiasluifu,qihlineath,squediftataxizk, Si fimiliter pun*
da t & h , squaliter diftant a pando q ,& ut patet ex prsmifla
in 30, huius, (itus pundi t Si pundi h,ad pundum o,cft idem,et
pundorum i & s refpedu pundi o,eft etiam idem fitus , ut pas
tetex praemiflis in prsfenti demonftratione, ergo perprimam
undecimi,erit linearum c i Si h s refpedu lines e o,idcm fitus, Ii
nes ergo c i & h s concurrent fuper idem pundum lines e o >co
current ergo in pundo u.erit ergo c u h triangulus^ in fupers
ficie huius trianguli erit linea i s , axis autem fpeculi , qui eft z
k,non eft in hac (iiperficie , uerum linea c h , eft in eadem fug
ficiecum axe, ut patet ex hypothefi Si per fecundam primi hu*
ius,ergofuperficiesiIlafecatfuperficiem trianguli cbh fuper
linea comunem,qus eft e h.non fuper altam,cum ergo pundus
c fit in fuperficie lines t h,8i fimiliter axis z k,fit ip eadem fuper
ficie,& pundus c non fit in linea t h , ergo non eii in fuper ficie
trianguli t u h.&duo punda i 8i s,funt in fuperficie illius trian
guli,linea ergo i t s erit curua per primam undecimi, & quia ip=
fa eft imago lines t h, palam quod imago lines reds , qus eft t
h,eft curua ,quod eft primum propofitum,fed cius curuitas mos
dica eft,quia perpendicularis duda i pundo c ad lineam i s ad
pundu.f.fedionis lines i s,Si fuper ficief circuli eft ualde parua
fed quanto maior fuerit linea uifa,qus eft t h squediftans lines
Iongitudinisfpeculi,tantoimagocius erit minus curua, di qua
to minor fuerit linea t h, tanto curuitas erit maior , 8i quoniam
linea i t minor eft qirim linea t q,8i linea s c.minor quam linea h q , quoniam linea is, i
quo modiciim declinat linea i t s,cadit inter lineas tu&h u,concurrentes in pundo u ,

Si eft quafi squediftans lines t h,ficut & axi k z,patetergo quod linea imaginis qus eft
i t s,minor eft reuifa,in qua eft linea t h , & hoc eft fecundum propoli tum,patet ergo to
tum quod proponebatur.

L 1 1.

SupcrficielinejcredasuifcCjfuperficieminquaeft axis fpeculi columna*
ris conuexi orthogonaliter fecante,centrocp uifus exiftente in utracp fuperfi
cie i circumferentia circuli, qu*c eft communis fedio dudarum fuperficicru
Si fpeculi fiet reflexio , linescjj redas uifae imago erit curua.

Efto linea t h in fuperficie plana orthogonaliter fecante fupcrficiem in qua funt ceti *
trum aifus e,&axis dati fpeculi columnaris,qui fit d f.fifcp pundum e in fuperficie cum
linea th, erit ergo pundum e in linea, in qua ilis dus fuperficies fe interfecant,quod ne
ceffeeftefleper 19 .primi huitis,S<! per primam undecimi, dico quod forms totius U*
nex t h a circumferentia circuli,qus eft communis fedio fuperficiei , t h e. Si fuperficiei
colum ns ipfius fpeculi qui fit g b,fiet reflexio ad uifiim.aut enim centrum uifus,quod
eft e , erit retro linea t h,& tunc cum illa linea fit corporalis eft diafona.eius denfitas oc
cultabit uifui fpeculum, Si non fiet reflexio,niff forte fols forms capitum lines qus
funt 1 8d h, appareant Si refledantur ad uifum i circulo fpecul^qui eft bg, fiderit for*
marum horum capitum imago tendens ad curuitatem, ficut per 6 y.fcxti huiuS , patuit

bb a defpccu

PERSPECTIVAE VlTEtLIONIS
de fpeculis Iph xtids couexis.Si uero fuerit linea th, dia foiia groflte diafonitatis , ut cri-
ftallus,de hoc fermo alter erit in decimo libro huins fcientiar/ed
fi linea t h litte exiftente diafona fiuc non, fuerit uifus fub illa ins
tra ipfam.f,& fpeculum,tunc occultabitur pars lineae t h Rapter
inferpolitionem capitis in quo cft uifus.pars autem illa lineae t
h,qua: uideri poteft non obftante capitis impedimeto, reflecte
tur i circulo b g,ad utfum, eodem penitus modo quem de fpecu
lis fphcericis couexis oftedimns fuo loco ,eft ergo imago lineae
reda: t h , taliter uifle femper curua ,quod fi centrum uifus e,fue
rit extra terminos linea t h in eadem (uperficie ut prius,& flat re
flexio ad forma: linea: th ad uifum.uidcbitur imago linea th
tota curua,ut pater fecundum prxmifla,& hoc cft propofitum,
JL 1 1 1 •

Linea: redfce uifte fuperficic ortbogonaliteraxem
fpeculi columnaris conuexi fecante, centroq? uifus no
exiftente in eadem fiiperficie/adacg reflexione ad ub
fum aequaliter diftantem ab extremis illius linea:, eius
imago uidetur maxima: curuitatis.

Sit iiipfic/es plana in qua cft linea t h orthogonaliter fecas
fuperfleiem, in qua funt centrum uifus c, di axts fpeculi colum
naris conuexi^quod fit b lc g.Sifqj centrum uiiits e, non in eade
iuperfleie cum linea t h, cuius extrema t Si h, ficut ^ponitur tea
qualiter diftent £ centro uiftisc, palamfcg per io, huius, quoa
niam communes fediones omnium in fuperfleierum reflexiois
Si ipcculi.crunt oxigomte, Si quoniam ex hypothefi forma pu
di li,rcfleditur ad uifutn c, ab aliquo pundo fpeculi propofiti,fit ergo ut hoc fiat a pun-
dob per aj>; huius, Si quia pundus r,ctultlcm-cft diftantia: a pundo c quod eft centrum
uifus.cuius eft pundum h, patet quod forma pundi t , rcfl editur ad uifutn e, ab aliquo
pundo fpccuh',fit illud pundum g,& cum extrema punda linea: h t, fint eiuldcm litus
Si longitudinis i centro uifus c.eruntctia punda reflexionum formarum illaru pundo
rum qutefimt b&g ctufde diftantia: Si litus i pundo e centro uifus,igitur duo pundab
&'g, erunt in circulo tcquediftantc balibus (pcculi,qua: cadet femper inter lineam h 1 8i
inter fupcrficicm traleuntcm centrum uifus c,Si fccantcm fpeculum tequediftanter ba
fibus iplius fpeculi, quod ideo accidit , quia punda reflextonu qua: fiint b Si g,plus dedi
nant ad centrum uifus ad quod fit reflexio , quam ipfa punda h&c, quorum forma: re-
fleduntur, fit ergo ille circulus bzg, cuius centrum fit d, ducantur itacy linea: incidetis
qua: funt hb&t g ,Si lincce reflextonu qure funt bc&g e,& i cetro d ducatur perpedicu*
lares fuper lineas circulum bzg, cotingeatcs in puelis b & g,qute fint d g Si d b o, pala
quia per z t «huius, qm illat u perpendicularia partes, qua: funt g d Si d b funt lemidtame
tri circuli b z g,& ducatur linea a pudo d,centro circuli ad centru uifus qua: lite d,& pro
ducatur linea: incidente qua: funt hb&t g, donec cocurrant cu linea e d,cO aut puda h
Si t,finteiufde litus Si diftatite refpedu pundi e,&! refpedu centro d,pala quod linea: h
b Si t g.habcbfit eunde litu refpedu linea: e d, concurrent ergo in ide pundu illius lines
d,efto qd cocurret in pudub,ducatur'c$ linea logitudinis columnae fpeculi in qua fitpu
dus z ,Si fit htec linea in fuperficie plana, in qua eft cctru uifus Si axis fpeculffitq? linea
a z Si ducantur linea: 1 z n Si d z c,Si quonia fupcrfici cs in qua font ccntru uifus & axis
fpeculi interfccat fupcvficiem in qua eft linea t h,fit pundus lincte t h,in quo harc iedio
pundus q,& 5 pundo q, ducatur linea aiquediftans lineae d z c , cadat quidem haecjtnea
per i, primi huius, fuper axem fpeculi ex una parte Si fuper lineam 1 z ti ex alia cadat cr
go in pudum n lincte 1 % n,pa!a au te per zo. quinti huius, q iri angulus h b o,g eft angu
lift incidetite foraije pudi h,cft arqlis angulo o b c,g cft angulus reflexionis, (ed angulus
' “ hboper

LIBER SEPTIMVS. ' tpr

frbo, per / j-.primi huius, eft x.qualisangulo 1 b d,qm eft ei contra pofi tus, 8i angulus o
t) e, aequalis eft duobus angulis b e d,&! b d e,per 3 2. primi, cum in triangulo e b d,ip(e fit
«xtriniecus angulus ergo 1 b d aqualis eft eifde duobus angulis.f.b ed.&bde, fccetur
itacp ex angulo 1 bd,angulusqui fitm bd,*qualis angulo bde, per 27. primi huius . Re
manet ergo a ngulusmb i, aequalis angulo b e d, quia ergo in triangulo e b ni , angulus
b e m , eft squalis triangulo m b 1 , di angulus b m e,coniunis uterq* illop- trigonoR: eric
per 3 2.primi,angulus m b e, trigoni maioris aqualis angulo m b 1, trigoni minoris , eft
ergo per 4 6 , proportioilinex e m ad b mjlcut linece b m ad m 1 ergo per 1 6. fexti, illud
quod fit ex dudu line* e m in m fxquale eft quadrato line* b m,ducatur quoq? linea m
z,fi<: qfh angulus b d m, maior eft angulo z d m,quia em angulus s d e, eft xqualis angu
Io od e. .ppter identitatem fi tus pundopa reflexionu, qu* fiint b dig >i centro uifusc,
qua: caufatur ut prxoften*
fum eft ex identitate fitus
pundojt uiforum , qui iiint,
h di qreipcdu uffus e , angu*

Ius uero s d e, maior angulo
z d m , nec totum fua parte
ergo & angulus b d m , eft
maior angulo z d m . Sed di
duo latera z d di d m,funt te
qualia duobus lateribus bd
&dm,qmdb8(!zd,funt ex
centro ad circufcrentia, fida
tus d m eft commune, erit. er
go jg 24.primi,latus m b, maius latere m z.illud ergo quod fit ex dudu line* e minimi
maius eft quadrato line* z m.fit ergo dudus line* e m, inlincam m i, minor cfj fit linea
m l,*qualis quadrato line* mz,& ducantur line* l b,i z, e z 3di quia trianguli e z m,dt
z i m, quoji: cSmunis angulus eft z m i, per 6 , fexti ,funt xquianguli ,pp ter la tcrum fuoiie
proportionalitatcmex 1 6. fexti, qu* continent illum communem angulum, erit ergo an
gulus m z i,*qualis angulo z e i,eft ergo angulus m z J,qui eft maior angulo m z i , ma
ior angulo z c d.Sed qmangulus m b d.conftitutus eft*qualis angulob dra , erit linea
m d, aequalis line* mb.per 6,primi.Sed linea m b eft maior linea m z, ut patet ex p-
mifiTs,crgo linea m d,eft maior cp linea mz, ergo per 1 S.primi, erit angulus m dz', ma*
ior angulo m z d,igitur angulus d z 1, maior eft duobus angulis e d z e d,angulus e-

nim d z 1, conti net angulu m z I,mafore angulo z d e,qm angulus m z i, qui eft pars an*
guli m z ls*qual/s eft angulo z ed,ut fupra patuit.Itcm prxter angulum m z I , cotinet
angulum d z I,8i angulu d z m, maiore angulo m d z>angulus uero n z e.eft *quah's ana
gulo d z l,pcr 1 j- .primi, di angulus e z c,pcr 3 2.primi,*qualis eft duobus angulis z d e
&zed, eft ergo angui? nz o,maior angulo e z qfccct ergo cx angulo nz c,g 27. primi
huius, angulus *qualis angulo e zc,qui fit z c f,duda linea z f, qu* quidem concurret
cum linea nq, per 2. primi huius,qmconcurritin pundo z,cum linea cd.xqucdiftante
line* n q, concurret ergo fuper pundum fjcu ergo angulus fz c.fit xqualis angulo c z
c, palam per zo.qumti huius,qmrcfledctur forma pundi f,ad uifum c,a pundo fpeculi
e,fed forma pundi q,rcflcditur ad uifum ab aliquo pundo line* longitudinis fpeculi
n anfeuntis per pundum z,refleditur ergo i pudo quod eft ultra pundu z,qa fi detur
ut refledatur & pudo quod fit circa pundu z>(ppinqitius pundo e,c{j fit pundu z, tunc
linea dilda i pundo q,ad illum pundum reflexionis fecabit lineam fz, ille ergo puns
dus fedionis refledef ad uifum e, a duobus p undis line* longitudinis fpeculi , qui eft
z a.f.i pundo z,S i ab alio pundo dato, quod eft: impoflibile.pcr z^.huius. Sumatur er-
go pundus reflexionis formx pundi q, ultra pundu z , di fit pundus k,a' quo refledat
forma pudi q,ad uifum c,di ducatur linea incidenti* qu* fitlk,& linea reflexionis qu*
e fc,& producatur linea e k, donec concurrat cum linea n q, concurret aute linea c Jqeum

bb 3 linea

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
linea n q,per i.primi huius, quia concurret cum linea d c,tequediftante lineae n q , hac
em in eadem fuperficie eft inter punda e & lc,cocummt itacplinete e k di n q,6i litpun
dus concurius p,erit ergo per 37,quinti huius.pundus p,locus imaginis forma pundi
q,fcd pudus h,refledit ad uifum e, a pundo fedionis oxigonia,cu non fit in eadem f«
perfide cu uifu e, fi ergo i pundo h, ducatur kathetus incidentia forma pundi h , qui e*
rit linea perpendicularis (iiprr lineam redam contingente fedionem oxigoniam in ali
quo pundo ipfius fedionis,palam quia kathetus ille concurret cu perpendiculari o b d,
fub axe per 44.huu.1s concurrant ergo in pundo aliquo,fimilit«r 3 pundo t, eft ducere
unum kathetum incidentiajineam.f.perpendiculare fuper iedioncm oxigoniam, i cu
ius fedionis pundo refieditur forma pundi t, ad uifum c,qua ficut prius concurret c3
perpendiculari s g d , fub axe,& qih femidiameter b d&gd,non poflunt efle linea una,
ut patet per 7S, quarti huius, palam per 1 1 2, primi huius, qm reflexio formait: pundoru
h & t,fit ex hypothefi,fk per 23 .huius, d duobus pundis duarum fedionu columnarum
fcilicetlineazd,,pdudam tranflpeeulum fe interiecantinm per 24. huius, & per r.undc
cimi,8<! 1 9, primi huius,& qm punda h di t, lincte h t,funt eiuide fitus refpedu lincte e d
ideo em quod illa punda h di t.iiint eiufde litus refpedu uifiis e,ex hypothefi, linea ue-
ro c d,quia diameter uifualis eft in eadem fuperficie cu axe fpeculi & centro uifiis, habet
ergo punda h z t, eunde fitu refpedu lincte e d,& punda fedionis fimiliter g qua: tran
feunt katheti incidentia? dudi i pundis h di t , di htee omnia accidunt propter identita*
tem fitus pundoB- h di t,rcfpedu uifus e,8d refpedu linete e d , palam ergo quod illi duo
katheti i pundo h di t,dudi fup illas iediones,quo3<i ut patet ex pmiflis quilibet concur
rit cu linea e d,ambo cocurrcnt in eode pundo linete e d, concurrant ergo in pundo u,
quia linea e b,,pduda cocurrct cu linea h u,fit pundus cocurfus r.concurrafqj linea e g ,
cum linea t u,in pundo y ,di ducat linea r y,pala ergo per 3 7, quinti huius, quia punda
r eft imago forma: pundi h , & pundum y,eft imago formae pundi t , habemus quocp
triangulu e r y,6i extra fuperficie huius trianguli eft pundum z, fuper ficies ergo huius
trianguli altior eft cp linea e p , fi centrum uifus fuerit altius cp linea h t,& eft baffior (i
centrum uiius fuerit bafllus lineah t,eft ergo pundus p,iempcr extra illam lupcrfide
linea ergo r p y,eft femper curua per 1 .undecimi, fed ipla imago linete t h ut patet p 37.
quinti,eftergoimagolincteh t,modopropofitofituatte refpedu centri uifus di fpeculi
columnaris conuexi femper curua curuitatc non modica,quod eft propofitum .

L 1 1 1 1 «

Linete redte uife non arquediftanris axi fpeculi columnaris conuexi, cu
ius fuperfiries oblique fecataxem, imago uidetur curua diuerftc curuitatis
fecundum diuerfitatem fui fitus.

Quia em per 5- 1 .huius,patet quod linea reda tequediftans axi fpeculi columnaris
conuexi imagine habet non redam fed curua, licet modica: curuitatis, linete uero cuius
fuperficies orthogonalitcr iecat axem fpeculi uifu non exiftente in eadem fuperficie c8
linea uifa, imago femper ufdetur curua per proximapmiflam, palam per eandem, qm li
nete inter has duas fitte.qute magis accedut ad uiium lines tequediftantis linete longitu
dinis columna?, habebuntur imagines plus accedentes reditudini, linea: uero qute plus
appropinquant lineis, quarum iuperficies orthogonaliter iecantaxem plus accedunt in
fuis imaginibus ad curuitatem,&! augmentatur ucl minuitur curuitas imaginum fecun
dum accefium ucl reccfliim linearum ad alterum iftorum finium, & hoc eft propofitu.

LV.

Forma omnis linex reda: incidentis uertici fpeculi pyramidalis conuexi
oblique fuper axem refieditur ad centrum uifus intraillamS!: luperficiem
fpeculiconftitutumalinealongitudinisfpeculi,imagoc^ipfiusmdetur cur*
ua modica: curuitatis cuius conuexitas eft ad uifum .

Sit fpeculum pyramidale connexu a b g, cuius uertex fita,& cuius axis fit a d,figne-

curtjj

LIBER. SEPTIJMVS, 1 91

tur'qj in Gi0cie conica cius linea longitudinis utcucp contingit, qua: iit a z.per 1 0 1 .pris
mi huius, ducaturtp pundum z, fuperflcies a:quediftans baii pyramidis , harc ergo per
1 00, primi Iuiius.iecabit pyramide fpeculi fecundi! circuluqui iit z u,& ducat per 1 i.pri
mi, i pundoz.perpendicularfsfiipcr lineam longitudinis z a , qure,pduda ad axem ipe
culi, quae eit a d, cadat in pundum h,concurret autem cu axe per 9 6, primi huius,uel per
/4.primi huius,ideo quia angulus d a z,e(i acutus, & a puncto z ducatur linea contins*
gens circulii z u,per 1 «S.tertrfqua: (it zm,& ducat a pundo a.linea continens cu utracg
lineajt: a z 8i a h .angulum acucii.qure fit extra fiiperficie cotingente pyramide fuper li-
neam a z.hocem cft pofiibile.cu angulus h a z.fic acutus. Sit ergo illa linea a n,& in fug
fide in qua iunt lineae a n 8i a h.ducatnr i pundo h .linea continens cum linea a h, angu
lum aequalem angulo z h a, per z 3 . primi huius, haec ergo linea concurret cum linea an,
per i4.primihuius,idcoquodutpatetexpraemiffis,duoangulinah,8£:ahz,fiintacuti..
Sit ergo pundus concurlus o,Iinea itacp h o, fecabit circumferentiam circuli z u , ideo
em quod angulus a h o.eft aequalis angulo a h z,oportet quod lincte z h & o h,fint in ea
dem luperficie.fecct ergo linea h o.periferia circuli in pundo u ,& ^ducatur linea logi
tudinis fpeculi quae a u, 6C extrahatur linea perpendicularis h z, extra ipeculum ad pun=s
dum cJBC ducatur linea o z,& ^ducatur in continuu & dircdum,&; fito zf,& produca
tur linea a z,adpundu e, angulus ergo fzh,eftacutus,per 1 5-. primi, quia linea o z.cfi
linea t z.continet angulum acu tu. EU: em angulus a z c,i edus,& quia linea o z, fecat fu
perfide contingente Ipeculu fuper linea a z, fuper qua ereda cft linea h z, ut patet ex p-
miflis , angulus , itaqj a z h.ex/ftente redo, angulus o z a,eft acutus .ergo per 1 y. primi,
relinquitur ut angulus e zfifit acutus, a pundo ergo f, ducatur perpendicularis fuperlf
neam a e,per 1 z.primi,8c! ^ducatur in continua & diredu donec
concurrat cu linea a o,in pundo n, cocurret aute linea f c,cfi \ia
nea a o , per 1 4 . p rimt huius , ideo quia angulus e a o ell a cucus »

& angulus a en,rcdus,& ducat a pudo e .linea e d.tequediftans
lineae zh, erit ergo per 8 . undecimi.linea e d , perpendicularis
fuper fupcrficie contingente pyramide fecundum linea a e , cum
linea z h,fit perpendicularis fuper cande luperficiem, Qi ducatur
ri pundo c, linea e 1 tcquediftans lineae s ni, & imaginetur fuper
fidcs.in qua fint linere e 1 et e d/ecare pyramide, erit quoq? cornu
nisfediohuiusfiigficiei&fugficieiconicrc ipfius fpeculi fedio
oxigonia g 1 o 3 .primi huius,qm illa fiiperficies 1 e d , eft obliqua
iiiperaxemad. Sit ergo illafediodec, linea uero mz,qoreeft
contingens ctrculu z u,cft perpendicularis fuper lineam a e , per
zz.primihuius.Ideoqnia axis a h,eredus eft fuper fuperficiem
illius circuli per 8 9. primi huiu s, & linea z m , eft perpendicula
fis fuper illius circuli diametru per 17. cerri] , cft ergo linea zm,
ereda fug fuperficic a z h.ut patuit in 4 1 .huius , qm fupcrficies
circuli fuperficiesa z h,fiintadinuice ereda: , ergo linea 1 c,
atquediftans linea: z m,pcr 8.undecimi,cft perpcdicnlaris fug
fuperficie a d e,ergo angulus a e l,eft redus, °]d came facilius pa-
ter per zp, primi, quia cfii angulus a z m.cft r edus, erit Qi angu*
lus a e l.redus.Sed angulus a e n cft redus , S i fimiliter angulus
a c d.eft redus per zp. primi, Ideo quia angulus a z b,eft redus, £
linea: z h,ergo per y .undecimi,lincre n c,l e,d c,funt in cade fupcrficie fcdionis, & linea
a e , eft ereda fuper fupcrficie illius fcdionis.cu omnes illa* linea: cu linqa ac,concurrint
ad angulos aquales Qi rcdos,ergo linea f n, eft in fiiperficie fcdionis, $> trahatur itacp lia
nea d e,in continuu & diredu uiqj ad pundum k,& extrahat i pundo f, linea arquedi*
flans linea: d e k.qure fit f r,hrcc ergo linea cequediftabit linere h z.per 3 0. primi, Qi pro,
ducatur i pundo z.in fiiperficie o z h, linea reda continens cu linea z c, angulu aqua-
lem angulo oz c, qui eft acutus per 1 3 .primi.quiautfuprapatuit.angulusozh, eft oba

tufas

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
fufus.hxcergolinea cocurret cum linea fr,per 2, primi huius, quia fecabitlineam jb,3t
qued/ftante linea: f r,6i eft in fuperficie eius, quia linea 3 f,eft in fuperficie eius . Oes aiit
linea: xqucdiftantesfunt in eadem fuperficie per 1. primi huius, concurrat ergo in pun
do r, & fit angulus r 3 c,xqualis angulo o 3 c,&quia angulus o 3 c,eft xqualis angulo
3 f r,per 29. primi, quia eft extrinfecus illi,& angulus c 3 r, aequalis eft angulo fibi coali
terno,qui eft angulus 3 r f,pala quod angulus 3 f r , eft aequalis angulo 3 r f,ergo per 6.
priniijlinex 3 f& 3 r,funtaeqoaIes.Et quia linea f e n,eft in fuperficie ledionis , & linea
t r,eft xquediftans lineae ed,quae eft in luperficie ledionis.Eft ergo per 2, primi huius.
Si per 7,undecimi,linea fr,in fuperficie illius ledionis, ^ducatur qUocg linea r e, erit er*
golinea r e,fimiliter in fuperficie ledionis per 7. undecimi, & qm luperius declaratu eft,
quod linea longitudinis fpeculi,quae eft e a, eft ppendicularis fuper fuperficie ledionis,
utere# ergo angulus a e r,cft redus per diffinitione lineae fug fuperficie eredae , quadra*
tum ergo linexl 3 .ualet duo quadrata lineate 3 e&fe,g4d.primi. Similiterquadratum
lineae 3 r,ualet duo quadrata lincaja 3 e St! e r.Sed quadratu linea: 3 f, eft aequale quadra*»
to linere 3 r.quia &C linea lineae eft aequalis cx pmilus.Eft aute amborc comunc quadra*
tnmfincs: 3 e, Relinquit ergo quadiatulinca: f e,aquale quadrato linere e r ,erit ergo Ii*
jiea f e,a:qualis linea: r e, ergo j\primi,duo anguli e r f ',di e f r,liint xquales.Sed angu*
lus ner, eft aequalis angulo e fr, per 29. primi, quia eft
ci extrinfecus, & angulus k c r , eft aequalis angulo e r
fjquia eft ei coalternus.Sut ergo anguli n c k,& k er
a:quaIes,ergo per 2o.quinti huius,forma pundi n, re
fleditur ad uifum exiftente in pundo r,£ pundo fpe
culi c,& forma pundi o,refledit ad uifum exiftente
in pundo r,d pundo fpeculi 3 ,& omnis linea ,pduda
i pundo f, ad aliquod pundum lineae o n, fecabtt line
am 3 e,p?tet quocp fecundu prxmiffa quod illa lineae
rit aequalis linea* ,pdudae i pundo r,adide pundum,
quia linea ac eft perpendicularis fuper luperficie , in
qua funt lineae r c & f e,qux eft fupcrficies ledionis ,
Si dua: linea: fc & r c.funt aequales,omnes ergo linea
exrradae a' pundisf&r, ad aliquod unum pundum
linea: 3 e,funt aequales Iterandu rnodu ,pbandi quo u-
1» Icimus prius,patct ergo qd' forma omnis pundi, q
eft in linea o n,concrtctur ad uifum exiftentem in pu*
do r, ex illo pundo Ipcculi quod Iccatur in linea 3 e
omnis qiioqj linea extrada cx Uertice pyramidis,qui
eft a,cadclis'q3 obliqi fuper axe pyramidis ipeculi , cj
eft a d,ita ut angulos acutos contineat cu axe a d , di
cu linea logitudinis qua: cfta 3,uclaIiaquocucp pmif
fo modo demonftraripoteft, quia aliqua pars ipfius
K refledit ad uifum tunc difpolitu refpedu illius uifibi
lis ut nunc eft difpolitu pundum r, refpedu linea: o
n.Similitcrqj patet, qi in hac difpofitione fornix pu-
dorum totius linea: a 0 n,reftedcnt ad uifum in pun
do r exiftente ,& fi pundus r, ulterius ^pducat in ma-
ioridiftantia d pundo 3 ,8i augmentabit quantitasli
nea: a o n.lccundit illud, & huius quide fimtle demonftrati! eft per 41. huius,nunc uero
hocpmilimus in hoc propofito theoremate, ut ftudiofus indagareea qua: lequuntur fa
cifius poliit.Omnibus iraqj cx his fuo modo dilpofitis cotinet linea n d, lecabit ergo li
nea n d, circum feretia fcdionis,nam duo punda d di n,funt in eadem fuperficie fedio
nis,&! pundi! n, eft extra circufcrentia ledionis,d uero eft intra illam, lecet ergo linea n
tborcufcrcntia ledionis in pundo c 3di quia triangulus a h o,eft totus in eadem fugficic

per

USER SEPTIMVS. 195

per 2 1 .undecimi,palam quoniam linea n d,erit in fuperficie trianguli a oh, per i.unde*
cimi,punda enim d & m,funt in lineis a o & a h,ergo & linea n d ,eft in fuperficie eade
cum illis, erit ergo pundus c , in fuperficie trianguli a oh. Similiter etiam duo punda a
Qi ti,funt in fuperficie huius trianguli a o h,ut patet ex pratmifsis, quoniam linea h 6, fecat
batperiferiamcirculi 3 u, in pundo n,fic enim notauimus pundumillud, tria ergopun
da qua; funt a & u & c,funt in fuperficie huius trianguli a o h , fed punda a b C,funt om*
ilia in fuperficie fpeculi, ergo tria punda a u c, funt in linea communi.qua eft linea reda
per 9o.primi huius.Fiat enim fedio fecundum axem fpeculi, ergo punda a u c , funt in
linea reda, protrahatur ergo linea 'a u.reda ad pandum c,& producatur linea r 3 , ultra
pundum 3,qux fecabit lineam o h , per 19. primi huius .ideoquia linearr 3 &hO,funt
In eadem fuperffcie,& linear 3, quae fecat angulum f 3 c, fecat angulum eius contra po-
litum , qui eft h 3 o , ergo & bafem illi fubtenfam qua: eft h d,necefTario fecabit, feeet er
go ipfam in pundo p.Eft ergo pundus p,in fuperficie trianguli a o h, producatur quocp
linea a p,& protrahatur ultra p, fecabit ergo lineam d n,per 29. primi huius, fccat angu*
Ium d a n,iecet quocp ipfum in pundo g,8C quia pundus f,non eft in fuperficie contin*
'gente pyramidem fpeculi tranfeuntem per lineam a 3 e, fed oblique incidit eidem, Ut pas
tet ex praemiisis.Eft autem in fuperficie fedionis,&; quoniam fuperficies fedionis no eft
crcda fuper fuperficiem a d e, per >03 .primi hutus,patet per 4,undeCimi1quia neCeflario
erit angulus a e d acutus,quoniam angulus a e f eft redus, angulus ergo d e n,per 1 3.pri
mi, eft obtufus,ergo angulus e d n,eft acutus, per 3 i.primi, cadit ergo in triangulo am=
pligonio , qui eft de n, & fit linea e X i, contingens fedionem in puftdo c , per ca ergo
qux pratmiffa funt in demonftratione 4.quinti huius , & etiam ex eo quoniam angulus
a e x eft obtufus, palam quod perpendicularis extrada ex pundo c,fupcr lineam c x,co^
fingentem fedionem fecat angulum d C x , & quod concurret cu linea c d fub pundo d,
hxC ergo perpendiculariter fecet lineam e d.produda ultra pundu d,in pundo r, perpes
"dicularis ergo extrada ex pundo n, fuper lineam contingentem fedionem fecabit lines
am e d, ultra pundum fremotius 3 pundo d,cfj fit pundum f, fiue ifta perpendicularis
cum linea e d, concurrant ultra circumferentiam ledionis Ucl intra i lia mi perpendicula
ris enim extrada & pundo n, fuper lineam contingentem fedionem non fecabit angulit
d e x,ficut linea perpedicularis duda 3 pundo c, fecat angulum illum , ut enim patet per
4<>.h0ius,&per 1 1 3.primi,erit illa perpendicularisremotior 3 linea n e.cp fit linea n d e»
hxc ergo perpendiculariter fecat axem (petuli, qui eft a d,in pundo altior i cj? fit pundu
d,fit ergo perpendicularis extrada 3 pundo n,fuper lineam contingentem fedio nem in
pundo iua: incidentia: linea n q,8c linea r e, fecat lineam n e,in pundo e, qui eft pundus
circumferentis fedionis,&! eft in ipfius fuperficie, & flmiliter linea n q.eft in fuperficie fe
dionis. Si ergo linea r e, qua: eft linea reflexionis extrahatur motiuum & eiredum , pa
lam quod ipfa fecabit lineam n q,per zp.primi huius,quoniam fpla protrada fecat angit
Ium q e n , fecabit ergo bafem q n in trigono n e q , fic ergo n qfecet ipfum in pundo x.
Item quia pundum e,quod eft in luperficie ledionis eft extra fuperficiem trigohx a n d,
quod trigonum fecabit fuperficiem fedionis, quia fuperficies a n d,non eft fuperficies fea
dionis,cum ficut patet ex prtemifsis.pundum a, fit eXtra fuperficiem fcdionis,& linea a
e fit perpendicularis fuper fuperficiem fedionis,&pundus e, eft in circumfercmiaipfiuS
ledionis, eft autem linea n c d, communis ambabus illis fuperficiebus trigoni, fcilicct a n
d,& ledionis,ergoper imprimi huius,lineancd,eft communis fedio illarum fuperficie
rum,fcilicet trigoni a n d,& fedionis linea n q, concurrit cum ipfa fedione ultra piindu
c,Ut fupra declaratum eft,ergb linea n q,eft Ultra fuperficiem trigoni a nd,fed linca<ap g
eft m ipfa fuperficie trigoni a n d, pundus ergo y,quijj 3 7»huius,eft locus imaginis for*
mae pundi n,cum ipfe fit Communis fedio linea: reflexionis,qute eft r e,&: kathett incide
tiat rormx pundi t,qiiae eft linea n q,erit ultra lineam a p g,uifuiitat£ exiftente in puris
do r,& forma alicuius rei uifie reflexa ad centrum uifus in pundo r , i lihea longitudi#
nis fpeculi , qua: eft 3 e , ut nunc in praecedentibus oftenfum eft ;!,quod Forma pundi o,
tefltditur ad uifum exiftentem in pundo r,S pundo fpeculi 3 forma pundi n>i pudo

c c fpccU*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

fpeculi e, tunc pandus p,erit locus imaginis form* pudi o,pcr 3 7 . quinti huius , qitonil
ipfum pundupjcft comunis fedio lineae reflexionis 3 r,8t katheti incidetix forma pudi
Ojqui eft linea o li>SC pundus y,eft locus imaginis formae pudi n, forma uero pudi a ,u|
debitur in fuoloco ,pprio,qa eft in uertice pyramidis, & erit imago lineae a o n , linea tra
Ciens per puda a p y,fed h*c linea eft couexa,qa pundu y^eft ultra linea a p g, (it ergo iU
lalinea imagini? curua.quse eft linea a p y,iam aut paiuitqd formae omniu pudoru line
* a n,refledatur ad uifum extftente in pudo r,S linea logitudinis .fpeculi, q eft a e , lineae
ergo reflexionupquas refledutur illae formf funt oes in fupficie trianguli rae.oes ergo
imagines pudojqline* a n,funt in hac fueficie^rgo linea a p y,q eft couexa,eft in hac fu
perfide,& pudusp,^ eft locus imaginisform* pudi o,&: „ppior cetro uifus qui eft pun
dus r,c| flt pudus y,g eft locus imaginis forma; pudi r, ,ppter fjd erit conucxitas huius
imaginis refpicies centrff uifus, erite^ couexita s parua,& diameter huius imaginis,q dia*
meter eft linea a y,erit maior cp flt linea a n, cuius imaginis eft ipfa diameter , erit aut illi
us diuerfitatis excelTus in modica quatitate,imagines ergo linearu q extrahatur ex uerti
cibus pyramidalia fpeculoru cSuexoru oblique iup axe fpeculi, coprehendutur & uifu,i ta
libus fpeculis fecudu linea logitudinis fu* reflexa;, & apparet couexx ,8C hoc eft ,ppofit2,
L v 1,

Omnis forma litieaere&ac iequediftantis latitudini fpeculi pyramidalis
conuexi uifu exiftente extra eius fuperftdem fpeculum jequediftanter bafi' Cu
cantem refleditur ad uifum fecundum oxigoniasfediones,imago£p ipfiusul
detur curua maximae curuitatis,cuius conuexitas eft ad uifum *

Efto- fpeculum pyramidale couexu.cutu s uertex fit a,diameter bafts b c, eft ergo ipi
us latitudo trigonii a b c.fitcg centru uifus d>& linea reda uifa fit ef, *quediftans fuperfl
ciei trigoni a b c,fit'cp centru uifus d,extra fuperflciem,in qua linea e f,exiftete per ipfam
(ecaretur fpeculu azquediftanter fu* baffdico £[d forma line* e f , refleditur ad uifum d,
fecundum oxigonias fedionesfpeculi fuperficie fecantis,no enim poteft refledi fecun*
dum lineam longitudinis fpeculi, quoniam tue oportet ut cocurret cu axe ipeculi uerfus
uerticem per 4 1 ,huius,8<! quod oblique incidet eidem, cuius oppo
(itum dicit hypothefis,$ fuperficie uero iftoru fpeculoru fecundum
circulum non fit reflexio per 1 z, huius ^oportet ergo de neccfsitate

/ut haru linearu reflexio cum fit ad uifum fiat iecudu oxigonias fe*
diones,& quonia katheti incidenti* qui funt perpendiculares fu
k per illas oxigonias fediones, qui funt perpendiculares fup lineas

alias fediones cotingentes cu lineis reflcxionum,concurrunt enim
in eade linea *quediftatc line* uif*,fed in lineis diuerfis,idco ima
gines talium linearu fic difpofitaru rcfpedu ruperficierum iftoru
fpeculoru uidentur curu* , ficut de fpeculis columnaribus offendi
mus in y 3 Jiuius.Sunt aut imagines haru linearo multum curu*,
ita utipCarn cantitas Iit manifelca fenfui, fftfy cetrum illarum ima.
G ginum extra fuperficies,in quibus eft conuexitas formarum haru,
linearum, fiaftfcp diametri imaginum harum linearum multo minores lpfis lineis , quod,
accidit propter augmentum fu* curuitatis,patet ergo propofitum ,

L.vu, j

Linearum redarum fuperficiebus fpcculorum pyramidalium conuexo*
rum nonfccundum concurfum cum uertice axis necp eequediftanter latitudo
ni fpeculi,fed inter haec oblique incidetium imagines funt curuae dfuerfse cur
uitatis fecundummodum quo plus partidpantfitibus extremis.

Quod hic ^ponitur fatis euidente habet caufam,line* em red* applicat* his fpecu*
lisnecp fecundu lineam longitudinis ut in 41 & yy. huius, neqp *quediftanter latitudini
fpeculi, ut in prxmifla medio modo fecudum quod plus approximant uni fitui uel alteri

partici

LIBER. SHP.JTIMVS» !«>4

pSrticipant modos curuitatis,unde illx qux plus approximant ia fuo fitu Ifaeis exiften
tibus in longitudine fpecuihhabent formas minus couexas.quse uero plus approximat
lineis in aquediftantibus latitudini fpeculoi», habent formas magismanifeftc coucxas,
fcd tortuofe tame.quia qua: appropinquat plus uer tici fpeculorum , habent formas ftri
diores & c5uexiores,qua uero appropinquant plus bafi fpeculi.habent formas a mplio
res ,ueruntn omniu filorum imaginu couexitas erit manifefta ,patet ergo propofitum.
lviii.

Omnis forma rei uifa: in fpeculis pyramidalibus conuexis uidetur pyra*
midalis iimilis fpeculi pyramidalitati.

Quodhfcproponfturpatetp4o.iextthuius qm ibidem monftratum eft infpecu*
Iis fphaericis conuexis,quod quanto minus fuit illud fpeculff, tanto minores erunt circuli
cadentes in fuperfleie ip(ius,8£ fic imagines erunt propinquiores centro,& ideo erut mi
nores.fimiliter quocp fediones cadentes in aliquo fpeculo pyramidali,illa:qiia funt pro
pinquiores uertici funt minores QC ftridiores,& fic locus imaginis erit propinquior pu
do in quo cum axe fpeculi concurrunt perpendiculares duda* fuper fupcrffcies contin*
gentes ipfa fpecula in pundis reflexionum oxigoniamm fedfonu, i quarum pundis fic
reflexio ad uifum.erunt ergo illx imagines minores/e diones uero oxigonix q funt .p*
pinquiores bafi habent contraria dilpofitioncm alijs fuperficiebus.qrn ip!a funt ampli»»
ores;ut patet per 1 1 d.primi huius,unde loca imaginu fiunt remotiora a pundotnquo
conairrunt pdtdce perpendiculares duda: fug fiip er ficies contingentes ipia fpecula in
pandis reflexionum , fiunt ergo imagines maiores, &' ^ppter hoc accidit,quod imagines
formapi utfaru in fpeculis pyramidalibus coucxis fi; ?nt pyramidales fimiles py ramida-
Iitati(peaiIorum,quod enim ex formis fieri t propinquius ncxtici fpeculi, erit ftrid/us
&t quod fuerit propinquius bafi erit latius ^omnino cnirn forma rei uifie qua? comprebe
ditur per refledionem ab aliquo fpeculorum fada afltmiiabitur fiiperflciei fpeculi 5 qua
refl editur illa forma, ut patet per 3 S. quinti htrius, reliqua: uero oes fallacia? quwacch»
duntutfui ex fpeculis columnaribus conucxis.accidtmc etiam iftis,unde non efl: iterum
talibus immorandum,econuerfoetiam qua-amqj fallacia: accidunt in feculis his pyra*
midalibus,acciduntetiain ipfis columnaribus.cxccpta pyra midationc imaginum » qm
oxigonix fediones columnariu fpeculori' , qua: funteiufdedcclioitatis fiipcr axem co*
lumnar, omnes funt tequalcs , & pars omnis talis fedionis cacumen fpeculi reipfcienris
eft fimilis parti fibi xquali in eode fitu refpicicnti bafein ipcculi.quod non eft in iedio*
nibus oxigonqs pyramidu.qua: ut oftenfum eft per 1 1 6. primi huius , omnes ad partem
bafis pyramidum dilatantur, fecunda quod circuli ipfas aqucdiftanter bafibus (ecantcs
funt maiores.qui circuli omnes in columnis funt a:qualcs, patet itacp propofitum.

LIX.

In fpeculis columnaribus uel pyramidalibus conuexis maioribus maiora
uidenturidola,reic£ uifts propinquioris imago uidetur maior.

PropofitcepalTiones aliarcy cfjplurcscomunes funt his fpeculis columnaribus uel
pyramidalibus & fpeculis fphan icis conexis, unde iftaru paflionuin licut& aliaic com*
munium idem hinc demoftrandi eftmodus,uerum fi in propofitishis fpeculis fiat com
munis fe dio fiiperflciei reflexionis & fpeculi fcclio oxigonia,qux no accidit in fpeculis
fphamcis3c5 in illis folum flnt circuli,tuc in his qua: in hoc noftro libro pnemifimus, hic
erit in ipfis fedionibus ut illic in circulis clcmonftrandum,patebit'q2 propofitum inge*
nio diligenti. LX,

Pouibile eft: fpeculum columnare uel pyramidale conuexum taliter fifti.
Ut intuens uideat in aere extra fpeculum imaginem rei alterius non uifte .

Sit fpeculum columnare conucxu,cuius linea longitudinis fit a b c,quod erigatur fii
per bafem fuam in loco aliquo domus couenienter ampla*, ita ut linea a c, cuius medius
pundus fit b,ereda fuper pauimentu domus,ducatur'q? linea contingens fpeculum in
pundo b,perpendiculariter fuper lineam a b,qua* fit d b c, qua* fecundum puncfa d & c

cc 1 tangat

"PERSPECTIVAE VITELLIONIS
taflgat parfetcs domus, & illa punda fignentur in ipfis domus parietibus . Superficies
itacg in qua eft linea d b e,quae cft orthogonalis iuper axem ipeculi, palam qm fecat fpe
culum fecundu drcnln per ( oo.primi hu<us,fujj pundu itacg d, parietis domus fignato
pundo f,ut ppinquiuSjcSuenienter pofltt ffer/.ducat £ pundo Minea xquediftans line-

- r * —-..e. — nnvilrg fh3& eius mediuspg

f, trans murum in pun-
dlok.&perfo
retur paries (e
cundu linea g

puncto I,Ut ppinqUiUS,COUeniemer pouu iitnjuutrti a fuuv.iu i,u
* ipeculi quae eft a b c.cuiufcuncp quantitatis placuerit, qua: fltg
(Sus (it f, copuletur^ Unca f b , quae producatur ultra pundum f, t

ciiTio rima: fecundum extenfionem lineat b f k,fitqj illa rima fk 1 , &! i pundo ipeculi ,
quod eft b, ducatur linea ereda fuper fuperfidem ipeculi, quae erit perpedicularis fuper
lineam d b e.quae cduda extra fpeculu ii t b m, angulo quocg k b m , fiat iuper pundum
b, terminum lines m b,angulus squalis , qui fit m b n,dnda linea b n, i pundis quoqj g
SC h.quae iimt extrema punda lineae g f h ,docatur lincte ad ipeculum quae ftnt g a & h c,
qua: pduda: cocurrant in pundo o fuperficiei circuli fecantis Ipeculu in pundo b, duca
turc$ linea b o.fada quoqj tali refedione linea: b n,per 3 .primi,ut ipia fiat aequalis linea:
b o,dico quod fi in pundo n, ponatur centrum uifus,quod ad /pruni reff edetur forma li
nexgfh,£ linea longitudinis fpeculi, quaeabe, hocautem patet per 3o.huius,forma
quoqj totius line* g fh.uidebitur extra ipeculu.f.intra fpeculu & inter lineam g f h .C ci
rra pundum d , line x d e,cot/ngcnsipcculuin pimdo b,ut patet per 49. huius , Si itacp
line*o g& o h.pducantur trans muru in punda ,& copulet linea unaqu* fitpkq.mq
tabula aliqua depida ordinetur ultra muru, ita ut media linea formae in illa tabula depi«
dae fituetur fuper lineam p k q,talitcr'qj dtfponat quod per uiiiim exiftente iu pudo n ,
uel citra illud uideri no pofltt forma depida in tabula,uidcbic tn uiiu fic diipofito imago
illius forma: in aere reflexa i fpeculi fuperficic coIumnaris.Simili quoqj modo d iligens
intuitor poteft fiftere fpeculu pyramidale couexu in centrfl uffus per 4 1 .& p 49 , huius;
£ fpccults uero ipharicis conuexisadeorcgularis reflexiono flet ut a .ppofitis fpeculis,
patetergo .ppoiitum.Seamdu liuncitaqj modu ftudiofus p.ercuntator inuigikt,quonia
hoc quoa hic prsmifimus in praftnti theoremate exempli caufa fecimus.ut cx huius 1 i»
bri ieptimi diftyliore uia perquifitionis diuerfi artifici pateat anima: diligenti,

LIBER OCTAVVS

Perspectivae vitellionis.

§^^^Otificatis aliqualiter paflionibusfpcculojt planos Bi cohucxor: regulatur
ipb®r,co?: columnariu & pyramidaliu, fupercft nunc ut de fpeculorum
i^^Ma"’cail0-R’ proprietatibus aliqua coicribamus .ficut de illis in quibus plus res
P^^^mfultat reflexionum diuerfitas & mirabilis diffufio naturaliu formarum uifu
isSiSESa® umq; afpicicntium deceptio multiformis . Specula uero concaua regula-
ria prout in quinto huius fcictix libro propoGt/oe odaua declaraaimus/unt tantu tria,

fcilice

LIBER. OCTAVVS, 19?

fcilicet fphaericGm>columnare& pyramidale, inter quarprimo de fpharricis concauis in
prxfenti libro tradabimusjUtpote de illis quorum pafliones ueluti fimpliciores aJijs in
reliqua concaua fpeculadefcendut.EtquoniamprincipiacomnumiahisfpecuIfs fphx
ricis concauis 8i fpharricis conuexis.in principio fcxti libri fcientiae huius prarmifimus,
ideoipfa, ut ex praemiflis fuppofita,hic non reiteramus.ea tamen quae propria funt his
fpeculis duximus explicanda ,

Imaginem conucrfam dicimus,qu3e.totalem fittim rei uifacuariat.ut fi caput intucn
tis,quodeft furfum,uideaturdeorfum>& fecundum hoc totus fitas partium imaginis re
fpedu fitus partium rei uifie uarietur. >

THEOREMA I,

Oppoftto uifui fpeculo fpharrico concauo, communis fetfho ba fis pyras
midis uifionis & fuperficiei concaua: fpeculi ,erit circulusipharra: quandocg
. magnus quandoqjminorillo,.

Quandoqj enim tota fphaerar «oncauat fuperficies uidetor,quandocp pars eius ma*
ior,quandocg minor, ut patet per 7 z.quarti huius , fecundam hoc ergo illa communis
fedio bafis pyramidis uifionis di fuperficiei fpeculi uariatur.cum autem fuperficies ba=
fis pyramidis fit fuperficies plana,& fuperficies concauorum fpeculorum fit fpharrica ,
patet per 1 1 o, primi huius, quod ipforum communis fediofemper eft circulus, hoc er
goquandoqj eft circulus magnus,ut quando tranfit centrum fpecu!i,quandoq; minor
circulo magno , ut cum non rranfit centrum fpeculi,fed cadit extra illud.patet ergo pro
pofitum. 1 1*

Communem fe&ionem fuperficiei reflexionis & fuperficiei fpeculi fpha:
rici concaui neceffe eft circulum magnum uel arcum circuli magni fux fphte
ra: effe , ex quo patet, quod omnis fuperficies reflexionis fecat fphscram fpe
culi concaui per arqualia, *

Huius propofiti theorematis nodi alia demonftratio , qudm quae
fada eft fiipra in primo theoremate fexti libri huius, ubi idem propo*
nitur de fpharricis fpeculis conuexis,8c! qnia fphartas concauitas fic re
fpicit centrum.ficut di ipfius conuexitas ^fuperficies reflexionis, eft
fuperficies plana erecfta fuper fuperffciem fpeculi,per zj-.quinti huius,
patet propofitum.quoniam idem erit modus demonftrandi hic qui fu
. pra.Efto enim Ipeculum fphaericum concauum a b c,cuiuscentrum d,
di fit centrum uifus g.refledaturcp forma pundi e ad uifiyn g , d pun*«
do fpeculib,dico quod fuperficiei reflexionis.quar eft eb g & fuperfici
ei fpeculi communis fedio eft circulus a b c.Sit enim fuperficies plana
contingens fpharram inpundo b,d quo pundo erigatur linea fb fu*
per fiiperfidem fpeculum in illo pundo b contingentem per 1 z.undc
cimi huius, harc ergo cadet nccaflario in ipfa fuperficie reflexionis per
zd.quinti huius , & eadem linea f b produda ultra pundumb necefla
rio tranfibit centrum fpharrte per 7 z,primi,quaeeft d, produda quoqj
fit diameter fphaerar , ergo & circuli magni illius fpharrae , di quoniam
haec diameter communis eft fuperficiei reflexionis di ipfi fphaerar,pala ergo propofittr.
111«

Iri omni fuperficie reflexionis,a fpeculis fpharricis concauis centrum uifus
centrum fpeculi, puinftum reflexionis,puntftum uifum, terminumqj diam ci-
tri uifualis a centro uifus per centrum fpharrar ducfti,ad fpharrae fuperficiem
confiftere eft necefTe»

Cum fuperficies reflexionis contingat lineam incidentia: Si rcflexionis,paIa quo=>
niamcontinetpundumreiuife,cuiusformareflediturinpundum reflexionis d quo
refleditiir,&: centrum uifus ad quod reflcditur,& quoniam comunis fedio fuperficiei

cc 3 reflexi®

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
reflexionis & fuperficiei fpeculi fphaerici concaui.eft circulus magnus per teqUalia dio!
dens iphxram perpraemiffam , palam, quia in qualibet fuperficie reflexionis eft centru
(peculi,qufa qualibet ipfarum tranflt centrum fphara ipuus (pecul&cum qualibet illa
rum fuperfiriercim fit ereda fuper fuperficiem planam fpeculum in pundo reflexionis
contingentem p er 2 y .quinti huius per i.undecimi,produda diametro' uifuali per
centrum uifus & centrum fphara, terminus illius diametri neceflario erit in eadem fu*
perflete, cum alrjs duobus fuis pundis,prxdida ergo j-.punda neceflario funt in omni
fuperficie reflexionis,quat fit a propofitis fpeculis,& hoc eft propofitum.

11 11.

Centro uifus uel pundo rei uifaein centro fpeculi fphtcrici concaui exifte
te, a quolibet pundo fiet reflexio in fe ipfum,ex quo patet , quod in hoc fitu
uifus non comprehcndet,nifi fe tantum,6£ quod pundus rei uife exiftens in
centro fpeculi non refleditur aliqualiter ad uifum ♦

Efto fpeculum fphtcricum concauum,cuius centrum fit a, & fignetur in Ipfo. alidjs
fiiorum magnorum circulorum,qui b c d e,6C centrum uifus in centro fpeculi, quod eft
pundum a,dico quod dquocunqj pundo flet reflexio ad uifum,iemper oportet ut refle
datur radius in fe ipfunr.dato enim quod a pnndo b ,fiat reflexio ad centrum fpeculi a,
in quo eft centrum utfus,palam ergo per 7 2. .primi huius,quoniam linea u a,quar eft Ii*
nea reflexionis,eft perpendicularis fuper fuperficiem contingentem fpeculum in pun*
do b,led omnis perpendicularis in fe ipfam fem per refleditur per

j?/1 "■-v. i\ .quinti luiins , fi ergo linea b a eft perpendicularis fuper fuperfi

/\ ciem (pecul/, palam qt ria linea incidens fuit perpendicularis , & ca

/ \ jS \ dem cum linea b a, dato enim oppofito , (equitur angulum incide

I yf yticc inaequalem efte atigulo reflexionis quod eft 'contra 2 0 . quinti

\ jhuius.&impolfififleJincaita^ah^cfleditmfeipfanV, utipfaeft

\ / \ J fadalincab'a,&quoniarnmhocfituui{us,omnes ]incx incidentes

gCT y/ fuperficiei fpeculffed (emi diametri (piius, palam quoniam omnes

^ anguli incidetix iunt inter fe a*qnalcs,pcr 43 .primi huius, qa funt

anguli fcmicirculorum.refledut ur ergo neceflario in feiplos, uide
bitur'q? in tota fuperficie fpeculi forma afpidetis oculi una forma, & a pud fuperficie fpe
culi apparebit>& nulfa alia forma.tunc uidebitur reffedi ad ui(imi,& ex hoc patet , cum
uifus fuerit in centro a, quod ipic uidebit fe aquolibet pundo Ipeculi dati perpendicula
riter,& quod nih.il aliud uidebit per reflexione a fuperficie fpecu!i,quonia ab uno pun*
do fpeculi aci centrum plures perpendiculares duci non eft poflibile,ut patet per 20,
primi huius , fimiliter nec# pundus rei uifie exiftens in centro uifus refleditur ad uifum
fcd folum in (e/pium .quoniam omnes lineae incidentia; funt perpendiculares fuper fu-
perfidem (peculi,tinde non refledentur nifi in (eipfas,& hoc eft propofitum, & hsec qui
dem didafunt non prarftantc impedimentum ttifui capitis denfitate . Si ergo centrum
uifus hominis uidentis conft/ tutu, fuerit in diametro fphsrtc fpeculi concaui, & in c en*
tro eius, cum qualibet linea S. uiiu ad fuperficiem fpeculi dudafit perpendicularis fiig
ipfam, tunc ut prius demonftratum eft, comprehendet uifus (e /pfum,& non comprehen
detur forma alicuius pundi lpeculi,nifi pundi portioni circuli interiaceiitis lineas Ion*
gitudinis pyramidis uifualis,quae i centrofpeculi intelligitur protcndi,qnon*am forma
cuiuslibetalterius pundi cadet in fpeculis fuper lineam i uifii declinatam, & neceflario
tefledetur fuper illam lineam declinatam, quare linea reflexionis non tranfibit per cen*
trum fpeculi,& ita non pertingat ad centrum uifus, patet ergo propofitum.
v.

Centro uifus exiftefein aliqua femidiametro fpeculi fphaerici concaui cx
tra centrum fpeculi, impoflibile eft ad uifum refledi formam alicuius pun*
ctarum illius femidiametri oblique fpeculo incidentem,reliqua uero femidi
ametereftpoftibile.

LIBER O CTAVVSi 196

Hocquod hic proponitur euidenter declaratur, fi enim centrum uifus fuerit in femi*
diametro aliqua propofiti fpeculi, fed non in centro, non comprehendet uifusformam a=»
licuius pundi femidiametri , in qua eft oblique fpeculo incidentem , quoniam angulus
quem efficient dux linea:, quarum una ducatur i pundo fumpto in illa femidiametro,8£
alia i centro uiCus in idem fpeculi pundum, non poterit diuidi per lineam perpendicula^
rem ab illo pundo fpeculi dudam, cum illa perpendicularis tendatur ad centrum fpecu-
I/, fecundum formam aficuiUs pundi alterius femidiametri coniunda femidiametro , in
qua eft centrum uffus.ad complendam diametrum fpeculi, in qua conftitutus eft uifus.
oblique fpeculo mcicidentem,perripere poteft uifus,utpote formam illius pundi,:! quo
duda linea incidentia ad aliqtipd pundum fpeculi,ab eodem pundo fpeculi duda linea
reflexionis ad uifum,angulus ab illis lineis contentus diuiditur per aqualia , per lineam
ab illo pundo reflexionis ad centrum fpeculi produdam.hxc enim eft proprietas. reflea
xionis in omnibus fpeculis,ut angulum i linea incidentia 8i linea reflexionis contentam
diuidat perdendicularis i pundo reflexionis duda peraqualia per z6. quinti huius > ille
ergo pundus poterit in fpeculo uideri,& non eft nifl unicus talis pundus in qiubulcucp.
diametri fpeculi confiftens.qui ab uno circulo fpeculi ad uifum refledi pofsit , quoniam
centro fpeculi ad quod terminatur perpendicularis duda i pundo reflexioni, 8C centro
oculi exiftentibus nxis.erit pundus ab uno circulo fpeculi reflexus femper unus.S diucr-
fis uero circulus fpeculi diuerfa ptinda diametri pofsibileeft refledi, patet ergo pro*
poffcum . ,

VI.

Polito uifu extra centrum fpeculi Ipherid concalii a quolibet pundo fpe
culi poteft fieri forma: alterius reflexio aduifum,nifi folum ab illo pundo cuf
incidit diameter uifualis.

Efto per fecundam huius,communis fedio fupcrficiei reflexionis,8t! fupcrficiei fpecit
Ii fpharici concaui circulus magnus.qui fltgdc, cuius centrum fit b, & centrum uifus fic
abducatur abi centro uifus per b centrum fpeculi diameter uifualis,qua fit a b d ind*
dens fuperficiei fpeculi in pundo d,dico quod i quolibet pundo fpeculi dati poteft fieri
reflexio forma: pundi alterius rei uifibilis ad uifum a,nifi i folo pundo d , fit eriim datu*
alius pundus qui fit g.ducaturad ipflim femidiameter bg,& continuetur linea reflexio
nis qua fitg a, a ducatur linea f g 1, contingens circulum magnum ipeculi tranfeuntem.
punda g d c, palam per i j-. terti), quia angulus bgf&bgl funt redi per 41. primi huius,
quoniam angulus b g a, erit acutus^ cadit enim linea a g inter diametrum, & lineam con*
tingentem fg I.qua eft extra fpeculum.ubicuncp ponatUr elfc centrum uifus fiue intra,,
flue extra circulum g cd,conftituaturquo<$ per i 3. primi, in eiufdem circuli fuperficie
fuper lineam 1 g ad pundum g, angulus aqualis angulo f
g a, qua: fit h g l,erir ergo angulus h g b, aqualis angulo b
g a ydi quoniam angulus contingentia eft minimus angu
Iorum per 1 r.tertij, palam quod ab angulo b g l,redo ab*
fcifo quocuncp angulo acuto redilineo , femper linea illu
acutum angulum continens cadet intra circulu g c d , quo
niam folus angulus contingentia cadet extra circulum ;
pofito itacp quocuncp pundo uifibfli in linea h g , femper
net reflexio forma alicuius fui pundi ad uifum a, & eode
modo de quolibet alio fpeculi pundo extra pundum d,
dato demonftrandum , ied i pundo d fit reflexio, clim
enim linea ad fit perpendicularisfuper fuperficiem cort»
tingentem fpeculu in pundo d,quia linea a d refleditur in feipfam per 2 1 ♦ quinti huius»
Si ergo aliquod interponatur non diafonum inter centrum uifus,quod efta , 8C pundu
fpeculi d,nulk fiet reflexio ad uifum impediente ntedio.Si uero nullum tale interponam
tur,folius pundi fuperficiei oculi forma uidebitur ab eodrifi oculo, nihiTqj aliud, & hoc
eft propoiitum,

U

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
VII»

In fpeculis fphxricis concauis lifupra periferiam uel extra ponatur ceiv
trum uifus,oculus non uidetur ,ni(i per diametrum fpeculi refledatur»

Sit fpeculi concaui fphxrici circulus magnus a b g,fit'cp centrum uifus in pundo b>
fuper fpeculi periferiam,8t ducantur line# b a&Ib g,non per centrum, & quoniam ana
gulus maioris portionis.ut patet per 4^ .primihuiusjeftmaiorjangulus uero reflexionis
iemper debet efle aqualis angulo incidentixiut patet per 20. quinti huius , palam quia
no fiet reflexio fecundam lineam a b.fed fiet ad parte maioris anguli,& fimiliter eft de pu
do g.quoniam non fiet reflexio fecundamlineam b g,fed ad partem anguli maioris per
23.quintihuius.fi enini forma pundi b,S pundis a'8f g,refledetur in feipfam,tunc an*
guli portionum ad pundum a,& ad pundum g,eftent aequales, quod eftimpolsibiIe,6C
contra 43 .primi huius, per diametru tamen CUiufcUncp circuli magni totius fpeculi fph$
rici concaui poteft Uifus incidens refledi in fe ipfum, quoniam omnium femicirculo*
rum eiufHem circuli.anguli funt squales per eandem 4 3 . primi huius, fed tuftc non fiet re
flexio in unius pundi fuperficici fpeculi diametraliter incidentis , ut fecundum lineam b
C,quxtton percipitur.quia indiuifibilisefl; , & omne quod uidetur diuifibile
-/V- --^G' eft, quia fub angulo uidetur per iS.tertij huius, altj uero. pundi incidentes

/f\ yy \ oblique refledaucur ad partem anguli maioris, & no perueniunt ad uifum
/ 'x //\ ni^ ‘A* quorum reflexiones line» incidunt fuperficici uifus, & figurantur in
/ /sk' \ *H° pundo rei uifx litibus permutatis.quod autem non refleditur, non ui<
/ // /\ J detur, in his itacp fpeculis fphatricis concauis, fi fuper periferiam fpeculi, uel
I \ J extra ponatur centrum Uifus, non uidetur oculus nifi per diametrum fpe*
v ' y culi refledatur.idem enim accidit fi extra periferiam fpeculi propofiti ocu*
lus ponatur, 8i eodem modo deriionft randum, quoniam lineatum inxqua*
litas naturam reflexionis non immutat, patet ergo propofitum*

, " '■‘viil* ;' ‘ ;"v •

Ab aiteraparte^roduda; diametri extra circulum fpeculi Ipbscrici coii*
cauiuifii pofito fiue in tranfuerfali diametro, fiue extra illa, fiue citra illam,ni
hil rerum in illa parte difpofitarum pofsibile eftuideri.

Efto communis fedio fuperficici reflexionis & fpeculi fphxrici concaui circulus a g
d, cuius centrum fit z,& producatur femidiameter zg , extra fpeculum adpundum h,
ducaturqj a centro z, per undecimam primi, alia diameter perpendiculariter fuper linea
h g, qua: azd,& fit centrum Uffiis in pundo b ab altera parte diametri h g > fi C i pundo
b, ducatUr linea aquediftans linea: h g per 3 1 , primi, qux fit linea b e, incidens fupcrfici*
ei fpeculi in pundo e, dico quod nulla rerum uifibilium politorum ab illa parte diame*
tri h g , Qi linea b e , in qua fcilicet eft uifus , poteft uideri , detur enim fi fit pofsibile , Ut
pundusq,ab illa parte politus ad uifum exiftentem inputidob*
reflexus ualeat uideri. Incidat'qj forma pundi q ad pundum fpe*
culi, quod eft C,produda linea incidentiat.qux fit q e.&ipundb
e contihgens circulum per 1 6, ter trj ,qux fint p e o , &i ducatur li*
hea e z > fi ergo forma pundi q , 5 pundo fpeculi e , refledatur ad
Uifum exiftentem in pundo e, eft palam per 2o.quinti huius , quo
niatri angulus q e o.erit aqualis ‘angulo b e p,fed angulus b e p eft
maior angulo redo , quia per iy, terti), eft angulus 2 ep, re*
dus,ergo8«l angulusqeo, eftmaior redo t quod eft contra 1)
primi . palam ergo quod forma pundi q, non refleditur & jputia
do e ad uifum b.fednecg ab aliquo alio pundo , arcus ed.qtfo*
niarn idem accidit impoftibile, fed fuper terminum linex 2 'e per
1 3. primi , Conftftuto angulo xqitali angulo b c z, pofsibile erit pundorum linex pro*
dudx.qux fit re, formas i pundo e, reflediad uifum exiftentem in pundo b, idem
quo$ patet uifu polito in pundo t, citra diametrum ad,prodtida linea c Jquel pofito ip

foin

LIBER. OCTAVVS, i?*

fo in pundo m diametri a d ,duda linea m n,copuIatis quoqj lineis z k,z n , 8i fada de»
dudionc ut prius , patet ergo propofitum,
i x.

In concauisipecuiisipiixricis ii iiiter centrum fpeculi & periferiam fuerit
punctum rei uifc, poisibile eft ut quando q? in centro unius uifusadiueriis
pundis ipeculi linea: reflexionis concurrant .

Sit fpeculurti fphtericum concauum, cuius maior circulus fit a g, centrum quo<$ fit
pundus d,& fit pundum rei uife b conftitutum inter centrum d di periferiam circuli a
g.fiatqj reflexio Forma: pumili b,i pundo fpeculi quod fit a,& i pundo fpeculi quod eft
g,dico quod linea: incidentfequa: Fune b a di b g,poflunt refledi ad centrum unius uifus
in pundo uno exiftentis , fit enim primo ut linea b g refledatur ad uifum exiftentem iri
pundo p, producantur quoqj lincte incidentia:^ pundis a &g,ad aliam partem perifc»
r/x.qua-fint linea: a t&g h,ha: ergo linea aiit funt aquales, aut inxquales,fint primo a:=
qiiales.crit ergo arcus a geper 17. terttj,aqualis arcui g c h,erit ergo per. 43. primi huius
angulus proportionis qui eft t a g,a:qualis angulo portionis qui eft b g.t,fed & angulus
b g t eft aqualis angulo p g a>perIiypothefirii,&: per lo.quinti huius , quoniatji .angulus
incidentia: eft aqualis angulo reflexionis,8<: angiilusrag fitaqualis angulo, Idi,reluv*
quitur ergo aqualibus angulis hinc di inde ablatis, ut angulus h g p fit aqualisangulo £
a l.Sit autem pundus in qucylfiiekp g'f£Sat lineafn c a.pundus. r, angulus ergo p r c,pe j
1 primi, maior eft angulo p g h , ergo di angulo lac, quia ergo
angulus p r a, cum angulo p y t eft aqualis duobus redis per 15.
primi, patet quod angulus p r a cum angulo rnl minor eft duo*
bus redis,ergo per 14. primi huius, linea g p di. a 1-concurrent , fit
coricurfus pundus p.Si itaqj in pundo p, ponatur centrum uifus,
palam quod ipie uidebit formam pundi b reflexum i duobus pun
dis fpeculi qiiafunt a & g,eftfimilitcrcp demonftrandum fi linea
a c di g h fuerint inaquales,ttel fi linea a c fit maior quim linea g h ,
tunc enim per 4}.primihuius,angulus portionis qui eft c a g .erit
maiorangulo portionis qui eft hgc, remanctqj per modumquo
pracefsimus prius angulus h g p maiorangulo c a l,fietcg angulus p r b maior angulo fi
g p & maior angulo 1 a r,ergo ut priuslineag'p& a 1 concurrent, fite^ cocurfus pundus
p.a eft idem quod prius, quod fi linea a c ftfefftffiinorqUim linea gh, tunc per modum
quo ufi fumus prius}erit angulus 1 a c minot angulo p g h.fcd di angiilus p a b,maior eft
angulo pgh.Si itaqj angulus I ac.fitmaiorangulopr b,concurfus fiet ut prius linearu
ab & p g ad pundum p,per <4. primi huius, Si uerb angulus lacfitmaiorangulopab
fiet idem per r 4. primi huius, concurfus illarum lineatum ultra a'rcum a g,quf impeditur
per corpulentiam ipeculi,unde tunc non fiet teflexib ad uifum. Similiter quocp (1 angu*
lus 1 a c fuerit aqualis angulo p r b,tunc per 1 8. primi, lineae a 1 & p g aquediftabunt. Jn
nullo ergo pudo concurrent, nunquam ergo fiet foriria unius pundi,qua: eft u, reflexio
ad unum centra uifus i duobus pundis fpeculi fphaiici concaui, patet ergo propofitum
X, .

Linea; reflexionis a fpecufis fphxricis concauis pundo rei ui fle exiftente
in periferia Ipeculi uel extra illam, nonnunquam in u* p ^ ^ \

110 centro tiifits i diuerfls pundis ipeculi concurrunt*

Sit fpeculutp fpharicum Concauum g a b f, fit'cp pundum
r ei Uifag, quod fit conftitutum in aliquo circumferentia puti
do.quod eft pundum g,fitqj U t g pundum rei uifie, refleda«\
tur i duobus pundis arcus g a b, qua: fint punda a di b,flatfc&
reflexio formxpundig,i pundo fpeculi b ad pundum e, & i
da pundo

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

'pundo a ad pundum 1, dico quod lineas reflexionum qua: funt b e 8i abpolsibile eft «5
currere , ducantur itaq? lineae contingetes fpeculum in pundis a 8i b.contingatc^ ipfuni
linea ka p in pundo a ,8i linea k b f in pundo b,&: ducantur lineae e b &fc-g & 1 a& a g.
Sit quocp ut linea: al&g bjfecentfeinpundo h, quia itaa$ omnes anguli conftituti fu*
per pundum b funt aquales omnibus angulis conftitutis uiper pundum a , per 1 3 . pri*
mi, Si per zo,quintihufus,anguItfs e b f,eft aqualis angulo k b gjk angulus I -a k, aequa:?
lis eft angulo p a g,& anguli contingentia: omnes funt aequales per 1 j\tertq,angulus ue
ro g a b maioris portionis circuli, maior eft angulo g b f minoris portionis per 4 3 , pri?
mi huius, ergo angulus k b h.maior eft angulo p a g, ergo angulus e-b f maior eft .angue
lokah, propter aequalitatem angulorum hinc inde per zo. quinti huius,.palam ergo
quia angulus e b g minor eft angulo 1 a g. Sed angulus 1 ag eft minor angulo.g h 1 , per
1 imprimi* angulus ergog h 1 eft maior angulo g b e, ied angulus 1 hgcu angulo b h l,ua
let duos redos per 1 3 ,primi,ergo anguli g b e Qi b h 1 funt minores duobus redis , ergo
per i4.primi huius, lineae a 1 & b e concurrent, (it concurfus pundus e . Si itaqj centrum
uifus fuerit in pundo e, patet quod 5 duobus pundis fpeculi fiet ad iplum forma: pundi
reflexio g,quod fi extra periferiam ponatur pundus g, accidit hoc idem.Sc eadem eft de
monftrario,non eft tamen hoc uniuerfale, quia pofsibile eft non concurrere, ut fi anguli
gbe&ghl fintaequalesuelmaiores duobus redis, tunc enim lineae be&al non con=
current, uel fi concurrant hoc erit retro fpeculum, ubi uifus conftitutus retro ipeculum
formas reflexas non poterit utdere^atet ergo propofitum»

'XI,

Locus imaginum formarum afpeculis fpha?#
ricis con.ca.uis reflexarum , quandoqj eft in puni
<fto reflexionis , quadoq? efttiltrafpeculurn,quan
ftocpiiiteruifum &fpCculutn ,quandoqj in fuper
fide ipfius uifus ,quandoc^ retro uifum.

Quando enim forma pundi rei uifie uidetur fccun?
dum kathetum fiKcincidentiar,tOc enim neceftarioima
go uidetur in ipfa fuperficie fpeculi in pundo fcificet fuj
reflexionis,quando uero forma: obliqua: incidunt fuper
ficiebus propofitorurh fpeculorum,tunc diuerlificantur
loca imaginum ut proponitur , Ad quod declarandum
fit a centrum uifus,& pundus d centrum fpeculi fphari»
c i concaui ,&i ducatur fuperficics plana per haec duo pun
da.qua: erit fuperficies reflexionis.quoniam ipfa eft or?
thogonalis fuper quamlibet iuperfidem contingentem
fpeculum fecundum pundum illutn fuperficiei fpeculfj
cui incidit diameter uifualis. Secabit ergo fuperficiem
fpeculi dati, Sierit communis fcdio illarum fuperficicrS
circulus magnus per fecundam huius.Sxt ergo ille circu*
lush b fg,& ducatur linea i centro uifus ad centrum fpe
culi, qua: fit a d,8<: i pundo a ducatur ad circuli periferi*
am linea maior qliam linea a d,quae fit a e & i pundo d,
ducatur ad cirCulum linea ajquediftans linea: a e, qua: fit
d h & producatur linea a d ex utratj parte fui ad circum
ferendam in pundo l&bjtaliter ut compleatur diame*
ter i a d b,8d ducatur linea d e, quia itacg linea a e, eft ma
tor,qu3m linea a d, palam per 1 8,primi,quoniam angu?

LIBER OCT/WSj..

lus e a d,eft minor angulo a d e, eft ergo per j 2,primi, angulus aed , minor angulo res
do.fiue angulus a d e luerit redusUel obtufusyuel acutus, fed per 2?. primi , angulus e d
h,eft aqualis angulo a e d,quia fuftt coalterni.Eft ergo angulus e d h minor redOy fuper
pundum quo Cp e lineae d e,nat per a 3 .primi, angulus aqua lis angulo aed, qui fit d e 't,
palam itacjj quoniam linea e t cadit intra circulum, quoniam fi caderet "extra circulum
fieret ille angulus aut redus,fi linea produda circulum contingeret ,aut obtUfuS, fifeca*
ret:quod totum patet dudia linea contingentecirculum in pundo e, patet per t 6.‘tertrj>
di quia hoc eft pofsibile,ut patet ex pramifsis,palam quia linea t e, cadet intra 'circulum,
fecabitfcp lineam d hjfitq* pandus ledionis erit linea e txqUalislinese d t per 6. pri*
mt.funt enim anguli e d t & c de aquales,& quoniam angulus a d e, maior eft angulo a
e d per /6. primi', palam quia angulus aed maior eft angulo d e t, ergo per 1 4, primi hu*
ius, linea e t non aquediftat linea: a b.concurrant ergo,fitcp pundus concurlus 'z, deinde
i pundo a ducatur ad arcum e h, linea an, qua concurrattum linea ae in pundo a, & iri
ter ipfam lineam d h.fibi aquediftantem producatur,palam per fecundam primi huius,
quia concurret cumlinea d h,fit ergo pundus ConcUrlus In ducatur linea d n ,& fuper
pundum n linea dn fiat angulus aqualis angulod n a,per lineam m y,qua firm n d , di
quia angulus d n a, eft acutus per quadragefimam fecundam primi huius, erit etiam an*
giilus d n m acutus, ideo enim, quia angulus in femicirculoeft redusper 3 o„ terti), om*
nis angulus contentus i quacunq? liftea Qi termino diametri.paTam quod eft acutus, coft
curret ergo linea nm cum linea d h, fit concurfus in pundo m, ducatur etiam i pundo
a, linea ad arcum e i f,quafit ag,&! ducatur linea dg,fiat'qj angulus qgd, aqualis angu*
Io d g a ,dt quonia ut prius angulus dga,eft acutus per a z primi huius,erit etiam angu*
lusqgd acutus, cocurretergo linea 'gq,cu linea d h fit concurfus in pimdoq, palam
quocp cum linea g a, concurrat cum linea a e, quoniam per fecundam primi huius , con*
curret cum Iinead h illius aquediftante.fit concurlus pundus ex parte pundi f, angulus
enim g a d eft maior angulo e a d,ergo per decimamquartam primi Intius, ad partem ma
iorern angulorum fiet concurfus ,fecetq; linea g o periferiam circuli in pundo y ■ Site#
arcus g y maior arcu g h,quod autem linea g q , cadit inter punda d di h, palam fatis eft
ex pra*mifsis,fed 8 i idem patere poteft ex hoC,quia cum arcus quem fecatlinea, g o ex
circulo hb.fg.qui eft arcus gy fit maior arcu g h, producatur linea g d ad periferiam cir
culi in pudum p,erit'cp arcus h p maior arcu yp,ergt) per 3 i.fexti.erit angulus h gd ma*
ior angulo a gd,fed angulus q g d eft aequalis angulo a g d,ut patet ex prSmfis/s , ergO
angulus h g p,eft maior angulo a g d, linea ergo g q.diuidit angulum h gd,ergo per 2$
primi huius,diuidit di bafem d h, cadet ergo pundum q, inter punda d & h , tunc i pun*
do a ducatur ad arcum fb, linea a kfecans lineam d f in pundo f,ita Ut fit tinea k f ma*
iot quSm pars diametri, qua eft f d.hoc autem Facile per feptimam teroj,'ut fi linea d f di'
uidatur per aqualia in pundo aliqito,8<: iinea a k duCatUr per illum pundum , aut per
pundum alium uerfus puhdu d,hac iraqj linea a k.fic duda.ducatur iihea d k,'pala ergd
per quadragefimamfecundam primi lwius.quod angulus d k a eft acutus, fiat ergo fuper
pundum k terminum linea d k.angulus d k a, angulus aqUalis qui fitdku.ut itacp per
derimamodauampnmi,anguluskdf,fit maior angulo dkf.ideo quia linea f k eft mas»
ior qulm linea d ferit ergo angulus k d fmaior angulo d ku, palam ergo per decimam*
quartam primi huius,quia linea U k concurret cUm linea d h,fit ergo concUrfus in puh*
do u, palam itacg per Uicefimam quinti huius, Si fecundum pradida , quod forma pun*
di t,£ pundo fpeculi e,refleditur ad uifum,qui eft in pundo a,kathetus quocg incideh*
tia forma pandi t,eft linea t d,qiia per 'i 2. primi huius, eft perpendicularis fuper fuper*
ficiem Contingentem fpeculum.cum fit tranfiens per eius centrUmA ipfa eft aqliediftas
linea reflexionis, qua eft a e, nUnquam ergd concurret cum 'illa t apparebit ergo 'imago
forma pundi t in 'ipfo pundo reflexionis quod eft C, forma uero puiicfli 'z, refleditur fi*
imilireri pundo e, ad uifum exiftentem in pundo 'a, kathetus qUdcp fua incidentia qui
«ftbz d.dudus i pundo z,per centrum fpeciili Concurrit cum linea reflexionis,qua eft
ae in pundo ajlocus itacp imaginis forma pundi z,per 37,quinti huius.erit centrum ui

dd % fui

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Tus quod eft a,forma'uero pundi ml pudo fpeculi, quod eft n^efleditur ad uifum a, &
perpendicularis duda 3 pundo m,qiue eft kathetirs incidentia;, qui m d , concurrit cum
a njinca reflexionis in pundo 1, quod eft ultra fpeculum, & forma pundi m, habet loeu
imaginis in pundo 1 fub fpeculo, forma uero pundi q.peruenit ad pundu fpcculi quod
eft g,& ex pundo g refleditur ad uifum a & locus imaginis ftne eft in pundo o,quod eft
ultra uifum,8<: forma pundi uperiienit ad pundu fpcculi quod eft k,& refleditur ad ui
fum in pundo a, Si kathetus ftiteincidentia; qua; eft petpendicularis, abeo duda trans
centrum fpeculi d, eft linea u d,concutrenscum linea a k, linea reflexionis in pundo flo
cusitaqj imaginis fux eft putidum f,quod eft inter uifum & fpcculu.palam itacp ex pra»
didis cum imaginum 3 fpcculis fphtericis concauis reflexarum qutrdam. uidenturin fu*
perfide ipfius fpeculi,ut in ipfo pundo reftexionis,qua:dam uidentur ultra fpeculfi qua;*
dam inter uifum & fpeculum , quaedam in fuperficie ipfius tiifus, qutedam citra uifum,
quodeft propof!tum,& fi centrum uifus fit extta circulum fpeculi, ucl in circumferenda
ipfius,idem acciditjSi eodem modo eftdemonftrandum.quoniam femper linea a e fitma
ior quam linea a d, di accidunt omnia, ut prius5patet crgo quodproponebatur .

X tu

Imaginum reflexarum afpeculisfphanids concauisdiucrfa fit a uifu com
prehenfio fecundum fuorum locorum propriam diuerfitatem.

Remaneat difpofitio prarcedentis in tota forma
flgurationisjcumitacj) locus imaginis fuerit ultra
fpcculum,ut in pundo l.aut inter uifum fpcculu
ut in pundo f,tunc quia formas fibi oppolitas fetn*
per perfed/us acquirit uifus coprehendttur ueritas
illius imaginis, Cum uerolocus imaginis fuerit in
pundo reflexionis,utcumpcrpendicuIarisduda i
pundo veiuiferequediftat lincte refiexonis,tunc e*
nim locus imaginis eft in pundo e, quia cu puelus
e, per 3. fecundi huius, fit pundus naturalis diuilibi
lis fenfibtiis.utpotecapaximagmts formae rei fenfi
bilis,quce eft diuifibilis ,cu fit naturalis fumptouifui
medio pundo intelleduali, erit imago cuiufcuncp
illiiispundi fenfibilis, pars quae fuerit ultra medii!
pundum fumptu apparens ultra fpeculum, Si.ima
go partis alterius qua fueric citra pundum mediu .
apparebit inter uifum & fpeculum, od cu totalis for
ma fecundo partes ulteriores fui fphara fpcculi , dC
citeriores uerfus uifum femper uideatur una 8t' co*
tmua.neceffario forma illius pundi fenfibilis pro*
xtmi pundo intelleduali uidebitur in ipfius fupcrfi
de fpeculi in pundo f reSexionis.alia quoq? partes forma fenfibilis circumiacetis illud
pundum uidebutur ab illo pundo declinare modo dido,quadam ad uifum & intra fpe*
culum, quadam ultra fpeculum, uerum in imaginibus, quarum locus eft pundus a,quod
eft centrum uifus, ueritas ipfarum non comprchenditur.undefapius accidit error uifui
in formis fic uifis. Ad huius autem maiorem euidentiam,ut non foluni demonftratio,fcd
etiam experientia doceat quod pr?einifimus,erigatur fuper fuperficiem fpeculi fpharicf
concaui.ftipes ligneusuel ferretis perpendicularitcr, qui fit maior medietate femidiame
rri fpeculi, & circa capurhuiusftipitisponaiur centrum uifus, & dirigatur uifualis radius
ad pundum fpeculi .cuius diftantia a ftipi te fit maior quam diftantia centri uifus idiame
tro per ftipitem tranfeuntem apparebit quoq? imago illius ftipitis ultra uifum , nec eric
certa apprehen fio forma; ipfius,imo apparebit, quali curua,cum tamen ftipes fitiormae

lincte

LIBER. OCTAVVJ» * j»

line* reda;, ex qao patet quod in his fpeculis no comprehenditur ueritas imaginis , nifi
cuius locus fuerit ultra fpeculum aut inter uifum St fpeculum, ut hxc patere ppifunt pcf
experientiam fittim ftipitisSt uifusuariediuerfificanci.St acciditeidem quod cum cen*
trum u/ius fuerit in perpendiculari per lignum tranfeunte,non plene comprehendet for*
raam illius Iigni,pa tet ergo propoficum ,

XIII»

fnfpecuJo fphterico ccmcauo eft proportio Katheti incidentia; ad redam
a centrofpeculi adlocum imaginis productam „ ficut linea; a pundo rei uifce
ad finem contingentia: dudw ad lineam afine cotingentia: ad locum imaginis
produdam . .......

Bfto fpeculum fphxricwm concauum, cuius centhim fit e, St fit b pundus reiuif*,5t
fit a centrum uifus)& fitg pundus reflexionis, & contingat linea zg;circulum qui clt co
munis fedio fuperfici&reneKtonis,8tfpeculi in pundo gjducarurcp linea e g, 5 pundo rc
flexionis ad centrlimipixuih^Sd linea incidenti*, qu* b g,6t
kathetus mc/dentix.qtitfit linea e b,qui produdus concur»
ras cum linea z g, in pundo t,cdnotrrent aute per imprimi
huius, cum fine m eadem fiiperflcie reflexionis per 3. huius.

St per /.undecimq&.cu per J7.teftq,anguluseg 3, fit redus
St angulus ucrdg e b ffe acatus, fit ergo pundus t, finis con*
tingenti*, ut patet ex principiofexti?ibrihuius,educatur
qlteextra circulum linea reflexionis , qua; (it a g, kathetus
itaqj c b,concurret cum a g, linea reflexionis extra pundurn
g,qux eft pundus reflexionts.St hxc ideo, quia linea; e d St a
g. Ume dux line x redx.quarum a g fecat lineam z g,in pii-
do g, St fit angulus a g t obtufus, quoniam angulus e g t cft
redus /linea uero e b.lecatlineamzg, in pundo t, St fit angulus c t g acutus,per 3 2, prf*
mi, non ergo concurrunt line* e b 8t a g ,in pundo g,aut igitur line* a g St e b. cum no
fonr xquedifbmtes.utpatet exhypothefi.concurrent ultra pundumg, aux intra panda.
g8ta,(itergoutcon\iurrantUltrapundumg,8tfitconcurfusin pundoh,qui er/tlocus
imaginis per 3 7.quinti huius,drco quod eft eadem proportio katheti e b, ad lineam c h,
fliteriacenteni ccncrum fpeculum, St pundurn concurfuslinex re? ,
flexionis St katheti incidentix,qui eft locus imaginis , qux eft pro '
portio line* b t,mreriacenti.spundiim tet uilxjk finem continge
ri*adlineamth,qua interiacet finem contingenti* , St pundus
concurfusline* reflexionis cum incidenti* katheto incidenti* qui
eft locus imaginis foi mx pundi b,qui eft pundus rei uifx,produca
tur enim perpendicularis qu? c g, ultra fpeculum,8<: a pundo h.qui
eft locus imaginis rormx pundi b , ducatur linea xquediftans li*
nc* incidentix.qu* b g,per 3 1 iprimi,qux neceflario per 2. primi
InmiSjConcurret cum produda linea eg, cum fua xquediftans.qu*
bg, concurrat cum eadem, flrpundus concurfus 1 , St 3 pundo b,
ducatur linea xquediftans h'ne*gh,qu*ut prius neceflario con-
curret cum linea z t , per fecundam primi huius, cum lineag h, cor»
currat cum eadem, fit concurfuspundusq,8t quoniam angulusb
g c , cft xqualis angulo a g e,per uigefimam quinti huius, fed angulus bge, eft xqualis
angulo g 1 h.per uigefimamnona primi,8t angulus age, xqualis eft .angulo 1 g h,per 1 y
primi, eritergo angulusgl h,xqualis angulo h g l,crgo per6, primi, erit linea 1 h, xqualis
line* g h . Similiter angulus b g q, xqualis eft angulo a g z,quia cu anguli egzSte

dd 3 gq.

PERSPECTIVAE VITELLIONI»
g q.fint squales, quia redi,8C anguli bg‘e & eg aifint squales.Remanent anguli refidut
r- * '*• lus a g z, squalis eft angulo b qg, per Jo.primi,anguIusergobgq,

squalis eftangulo bqg,‘ergoper 6, primijlmea bg,eft squalis li«
nex b q,propor tiqitatp lines b g,ad h I,eft ficut lines b q,ad linee
am h g,per y.tertij, funt enim antecedetia & cofequentia squalia
inter fe;quiauero angulus ght, squalis eftangulo tbq, per z$>»
primi. Sunt enim illi anguli coaltemi inter lineas xquediftantes,
Qi angulus q t bsqualis eft angulo h t g,per i j-.primi,fed & angu
lus hg t, squalis eft angulo t b q,per z9.primi,ergo trianguli t qb
• & g thfunt squianguli,ergo per 4,fexti,eft proportio lines qb,
ad hneamhg, ficut lines b t>ad lineam t h.fed linea b q, squalis eft
lines b g,ergo per 7,quinti, eft proportio lines b g,ad lineam hg,
ficut lines b t.ad lineam t h,ergo per 1 1 ,quinti,eft proportio linej
b t,ad lineam t h,ficut lines b g,ad lineam h l,quia uero perzj.pri
mi, trianguli h e 1.& b e g.funt xquiangulfieiit per 4,fexti, propor
tio lines e b,ad lineam e h, ficut lines bg,ad lineam lh,ergO ut pri
us erit proportio lines e b ,ad lineam e h, ficut lines bt.ad lineam
t h,quod eft propofitum, eadem quocp eft demoftratio,fi locus imi
ginis fuerit inter a centrumuifus,S<: g pundum reflexionis autfi
_ ruerit inpudo a,aut ultra illa.Siuero Itneain pudo rcflexioisfpe

eulii cotingens,qus eft z g,non concurrat cum katheto incidetis,
qui eft b ehjicd fit ei squediftans.ducatur 3 pundo contingemtis,quod eft g, lineaper*
pendicularis qus fit g e,fiiper lineam b g h ; per i z.primi , eritfc^ pcr 29. primi, linea e g,
perpendicularis fuper lineam zg.quia itac^ angulus b e g,eft squalis angulo h e g; quia
uterqj eft redus.A: angulus b eg, squalis eft angulo bgeg xo.quin*
c ti huius, palam per 3 z, primi hutus,quoniam triangulus b g e , squi-
angulus eft triangulo nge3efg6per4ifexti, eft proportio lines b e,
ad lineam e h.ficut lirtesb g,aa lineam g h, qubd eft propofitum , ut
prius, non enim tali fadadifpofitione eft ahus pundus finis contine
gentis qua'm pundumg.quod eft pundus contingentis, fimilitcfq*
demonftrandiim fi locus imaginisTuerit in ipfo centro tiifus , tunce«
/ nim punitum b,qui eft concurfuslines reflexionis &katheti incide»
tisjcft lotus irnaginis,fitidem cum pundo a, qui eft centrumuiius »
nec oportet in illiusdemonftratione aliud adijci,nifi quia per 3 .fextl
eft proportio katheti b e.ad lineam ea.dudamd centro ipeculi ad lo
cum imaginiSjficu lines b g,ad lineam g a, quoniam linea g e,diuidit angulum a gb per
squalia, per 2 0. quin ti huius. Erit ergo ut prius proportio lines b t,adlineam t h, ficut li
nes b e, ad lineam e a, quod eft propofitum, & hoc eft unuierfale ad omnes modos imi*
ginum ubicun^ uifui occurrentium, patet ergo propofitum .

In fpeculis fphseriris concauts pofsibile eft quando^? reflexionem fieri
eundum totam periferiam unius circuli ,

Sit circulusmagnus fpeculi fphsrici tontaui , qui a bg d, cuius diameter eft b e d,&
centrue.fignenuircgfugdiametrubed.duopllndaexutraq^gtecetrie^qus fint h&z,
squaliter diftatia d cetro e, er ut ergolineshe & ze squales,ducatur quoqjit cetrO g i i
primi, diameter g e a,perpendiculariteffuper dtametru b d,& copuletur lines ha&za,
quia itat^in trigonis hea&z e a, duo latera h e &z e iunt squalia ex hypothefi,6dinea
e a,c6munis eft utriufe# trigohom anguli h e a 8C z e a fiint aquales, quia redi palam per
4.primi,qnia angulus h a e,eft squalis anguloz a e, ergopet 2 o . quinti htlius, puhda h
8C z,ad ieihuice mutuo r efleduturi pundo Ipcculi quod eft a,tde quocp patet dudis line
ish g SC z g §nia iftoru pundorum mutua reflexio net d pundo g.firiat# fixa diametro

bdima^

m

LIBER. OCTAVVS*

b d .imaginemur reuolui trigonum a h z, circa diametri! b d, linea trigoni,
qua: eft hz, manente fixa tunc pundu a ,mot5 perueniet in pfidum g, & ex
inde reuertetur ad loci! Aium primu , motum iuo deferibet in concauitate
fpeculi drculu,3 quo totali fiet formari! pundoruh & z,adfeinuice mutua
reflexio, ^nia ad quemcaq? pundu illius circuli ducatur linere 3 pudis h

z/emperdudaiemidiametro 3 centro ad illud pundu anguli ad pundumM
illiuscirculi erunt aequales, & ita ab illo pundo fiet reflexio per lo.quinti i
huius. Si ergo centrum uifus fuerit in pundo h.refledetur ad ipfum forma
pundi z,d tota periferia illius circuli.Si tame puda h 5i z,inxqualiter , di
ftent 3 centro e , non fiet reflexio a circulo illo > ied forte fiet ab alio circulo
quem deferibit motu fuo pundws reflexionis , patet ergo propoliitum.

XV.

Duobus putidis in una diametrorum fpeculi fphxrid concaui fe ortho<*
gonalitcr fecantium exiftentibus fiib in&qualidiftantia a centro impofsibile
eft ab aliquo purwflorum periferiaeiemicirculijin quo eft pundus i centro re
motior illorum pundorum adinuicem fieri reflexionem , a reliqui uero femic
circuli duobus pundis eft pofsib ile ♦

Sit fpeculifphxriei cofteaui circulus magnus, qui a b g d, cuius cetrum c, fecentcp fe
in fpfodux diametri orthogottaliter,qpre fint a g & b d,in quarum una qua k d,funt duo
punda h 8i z,inaqualiter diftantia 3 cetro e.fit fcg h propinquius centro e, 8C z remotius,
fitep pundus h,i'n femicirculo ab g, & pundus z, infemicirculo a d g.diCo quod ab alis
quo pundorum femirirculi a dg,honpoteft fler i iftori! pundoru adinuice reflexio, fit
etenim, fi pofsibile eft, ut fiat 3 pundo abducatur linea a h.abicindaturfy 3 linea e 2, lik
rica aqualis linea h e, per 3 , primi, qua fit e t,& ducatur linea t a, palam ergo pef 4, primi
quia angulus h a e, eft aqualis angulo t a e,fed angulus e a t,per 29, primi huius , eft mi*
"Hor angulo e a z,angulus ergo h a e, eft minor angulo z a e, non ergo fiet pundoru h Si
Z, mutua reflexio 3 pundo fpeculi a, per 20. quinti huius, fed neqj ab aliquo alio pundo
arcus a d g.Sit ehim,fi pofsibile eft, ut fiat iftorfi pundorG reflexio i pundo k, periferia
femirirculi qui a d g ,& ducantur linea h k,e k;di z k. Erunt itatp per 5 o.quinti huius, an
guli h k e,& z k C, aquales, linea ergo k e.diuidit angulii h k e, per aquaIia,ergo per 3 . fe
xti huius,erit proportio linea h k,ad k z,ficttt h e ad lineam e z,fed linea eh eft minore^
e z,ut patet ex hypothefi.ergo linea h k,eft minor fjj h z,eft aSt linea h k maior c{j k 2,£j
niameftniaior c| linea ek,per »9.piimi,utenim patet angulus h e k, eft obtufus maior
angulo h e a redo, fed linea e k,cft aqualis linea e a, qlia eft maior cfj linea kz,irt patet
Eft ergo linea hk maior 3j linea 2 k,8t fequitur ex datis ipfam efle mmore,quod eft im*
pofsibile, non ergo flet reflexio forma pundi h,ad pundu 2,ud econuerfo ab aliquo pu
doro arcus a k g,ab aliquibus uero pudis periferia femirirculi a pg, mutua reflexione
iftori! pundoru fieri eft pofsibile, quonia eft pofsibile efle aliquod punduarcus ab,utpo
te p,ad quod dudis lineis h p,e p,z p,fiat proportio linea z p,ad lineam hp.ficut linea iz
e,ad lineam e h,ergo per 3 . (exti, angulus h p z diuidetur per aqualia per lineam e p,8C fi
militer poflunt fieri in arcu bg, patet itaq? quod proponebatur, quoniam ab aliquo pun
do arcus b g.iit 3 pundo q, Cimiliter poteft fieri reflexio dudis Uncis h q,e q,z q.

Duobus pundis in uiia diametro fpeculi fphamci fuperficid concaui exi
ftentibusfub inaequali diftantia a centro fpeculi, fi exceflus diftantiarum ad
minorem diftantiam proportionem habeat,'quam pars diametri interiacen*
ris ambo punda ad partem interiacentem piindum centro propinquius 8i
ipeculum impolsibile eft a circulo illius diametri illorum pundorum fieri mU
tuam reflexionem»

Sit

PERSPECTIVAE -VlTELLIONrS

Sit fpcculi fpfuerici concaui imaginis circulus a bgd, cuius centrum e, St diameterjb
d,fintq? duo punda 3 &f h.conftituta fupcr illam diametrum b d, quoium remotior i ce
troe.lit pundus 3 , fit propinquior-puncflus h, erit ergo linea 3 e maior quirn linea he.
Sitfcjupfarum exceflus linea 3 t.dicoquodfi proportio linea: 3 t, ad lineam te,ueladhe>
fuerit licut linea: 3 h,ad lineam h b,quod impolsibilc eft reflexionem fieri ab aliquo pnn
(florum circuli ab dg,patet enim perpraemiflam quod non poteft fieri reflexio ab alia
quo pu ndlo rum femidrculi a d g,fednecg ab aliquo pundorum (emicirculi a b g , detur
enimli fit pofsibilcipuhdo 1, arcus a b,bi ducatur linea 1 b^SC ipfi sequediftans ducatur i
centro fpcculi per 1 3 . primi, qux fit linea m e n>& ducatur linea: 1 3 ,1 e,- St 1 h/ecabit itacg
per i.primihuius.lineal 3 , linea nm,(it:pundus fetfbonism, perducatur quocp linea lh,
-ultra pundum h,qute fimiUter per 1. primi huius>fecabit lineam m n, fit pundus fedio»
; nis n,qu(a itaegex hypothefi eft proportio linea: 3 1 , ad
lineam t e, licut linea: 3h,ad lineam b h,erit ergo per 1 8
quintijconiundim pr oportio linea; 3 e ad t e,uel per7.
quinti, ad lineam h e.fiditlinete 3b,ad lineam b h,ergo
per 1 ^.quinti huius, etit permuta tim 'proportio linea:
3 e, ad lineam 3 b.ficut linea: h e, ad lineam bh, quia ue
rolinea: bl& ne ,a:qucdiftant,ut patet per 1 29,

primi,quia trigona b I h St n h e,funt arquiangula , er<
go per 4.fexti,eft proportio linea: c n}ad lineam bl, fi*
cut linea; e h, ad lineam b h,fimiliter quoqj trigona b l
3,&f e m 3>funt xquiangula per i^.primt.quia lincte bl
St e a ,a:quediftant. Erit ergo proportio linea: e m,
ad lineam bl , ficut line* 3 e, ad lineam 3 b , fed eadenveft proportio linea: eh,adline*
amhb, qua: lineae 3 e,a.d lineam 3 b,eadem 'ergo proportio 'lineae en, ad lineam b1,'qi.ti
lineae m,adeandem lineam b I.quia ergo linearum n e&ftnc,ad lineam b 1, eadem pro?
portio line£e,ergo:per 9»quinti,linete'n e §f’m'e;iiitittequales;qnia ita^angtilUs n m 1, di
uiditur pcr a:qualiaperlin'eam'l e,u.tip^td^er io,qiHhtihiiiusf,fitCnim reflexio pundo?
tum ha 3^ pundo 1, em per 3 .ftxti.propdrtid linea: 1 n,ad lineam 1 m , ficut linea: n e,
ad lineam e m5eft ergo linea 1 lijaequalfc linea: 1 m, linea uerol e.eft communis ambobus
trigonis 1 e n,& 1 e m, ergo per 8 .primi huius,anguli I e m & 1 e n,funt a:quales,funt ergo
rediper diffinitionem angulorum redoru, ergo per 2cj.primi,angulusb l e, erit redtis,
linea ergo b 1, contingit circulum, St cadit extra circulum per 1 y tertij,qu6d eft impofsi*
bile, eft enim duda lecans circulum per 2, terti), non ergo fiet reflexio S pundo 1, fcqui?
tur autem magis impofsibile fi fit proportio linea: 3 tj ad lineam t e, ficut linea: 3 .Ii, ad
aliquam lineam minorem linea h b, pate tergo propofitum , quoniam de quolibet dato
pundo eft penitus eodem modo decernendum,.

"X V I 1,

Centro uifus St pundo rei uifie exiftentibus in una diametro fpeculi
fphtcrici concaui 8t inaequaliter diftantibus a centro , fi' excefllis diftantiaru
ad minorem diftantiam proportionem habeat quam pars diametri interia*
centis punda data ad lineam maiorem parte diametri interiacente pundum
centro propinquius & periferiam fiet reflexio, pofsibilecp eft pundum reflem
xionis inuenirk . • .

Sit fpeculi fphamci concaui maior circulus a b g <3, cujus centru e,St diamctqr.fit b d,
in qua fit centrum uifus quod fit 3 ,8t pundus rei uifiequod fit h,diftet'q; centrum uifus 3,
plus d centro fpeculi quod eft e.quam pundus rei uifaequi eft h,ficcjj proportio excefllis
diftantite maioris quod eft 3 e, ad minore qda:'eft h c, ficut par tis diametri inter puda da
ia cadentis, quareft 3 h,ad lineam maiore parte diametri qua: eft inter pundu h St perii»
feriam,qua:-efthb,dicoqdinhocficu fietreflexio,& quod eft impofsibile, pundum r e?

•flexio

LIBER OCTAVVSi 20»

flexionis inueniri.ducatur enim diameter a g.orthogonaliter fuper diametru b d , & eja
linea 3 e, eft maior c|j linea h e,fit linea e t,squalis lines h e, patet g 3 .primi, erit linea 3 1
exceffiis lines 3 e, fuper lineam h e,qus ergo eft proportio lines 3 t,ad linea Ii e , eadem
fit per 3. primi huius, proportio lines 3 h, ad aliam lineam qusfit h k , eritijj „

ex hypothefi linea h^k, maior cfj linea h b,cadet ergo pundu h extra perife=
riam circuli,a' piido itacp k, ducatur linea contingens circulu a bg d.per 1 6
tertrj ,qus fit k l.cotingens circulu in pundo 1 ,8i copulentur lines 1 3 8i Ih, *

&He,&d pundo e, per 3 1 .primi .ducatur linea squediftans lines kl ,qusi/
fitn,fecans lineam inpudo m,8i linea I h,producatur;hsc ergo g 2. primi»
huius,cocurret cu linea m e n,quia cociirrit cu eius squediftante, qus eft Ii \
nea 1 k.fit pundus cocurftis n,quia itacg eft proportio lines 3 h,adlinea h k
ficut lines 3 t,ad lineaeh,uel ad eius squale lineam, fcilicet re per 7.quinti
erit per / 8,qtiinti,coniundimproportio lineie 3 k, ad lineam h krfcutlines
3 e, ad lineam te, eritep permutarim per » tf.quinti.proportio lines 3 k,ad lineam 3 e, fi*
cut lines h k ad lineam t c,uel ad eius squalem lineam h e. Eft autem proportio lines k
h,ad lineam e h, ficut linea k I,ad linea e n,per 4,fexti,quoiiia trigona h I k,& h n e, funt
squiangula per 29. primi . Ideo quia lines k 1 Si n e,funt
squediftantes,proportio uero lines k 3 .ad lineam e 3, eft
ficut proportio lines k 1 ad linea e m,per -j.fexti, quoniam
trigona-k 1 3 fit! e 1 3 funt squiangula per 29, primi, quia Ii
nea em squediftat lines k 1, lines itacp n e 8i m e, ad linea
k I,eande habet proportione.quoniam ex hypothefi eft ,p*
portio lines k 3, ad linea 3 e, ficut lines kh,ad linea h e, er*-^ —
go per s>. quinti, lines en&e mjfuntsqualesjinea uero I e
eft comunis duobus trigonis 1 e n,&: 1 e m,& anguli 1 e n ct
I e m, funt squalcs,qui funt redi per 29. primi , angulus e*
nim k I e, eft redus per 1 7, tertij,ergo per 4. primi,duo an
guli 3 1 c , Si e 1 h, funt squales, ergo per 20. quinti huius,
forma pundih.refledicur ad pundum 3,uelecontierfo ,1
pundo fpeculi quod eft I, patet ergo propoficum . Often*

fum eft enim, quia fit reflexio mutua datoru pundoru in hoc fitu.&f /nuentuseft pudu*
reflexionis quod proponebatUr.Ex his itaqj manifeftueft.quod fi linea e 3>fuerit maior
cg linea e h,& fit proportio lines k 3, ad lineam 3 e, ficut lines k h,
ad lineam e h, quod in omnibus fpeculis fphsricis concauis confti
tutis fuper centrum e, quorum femidiameter fuerit maior cfj linea
e h,& minor c{? linea e k.fiet mutua reflexio pundorum h Si 3 .ad*
inuicem i duobus pundis communis ftdionis Circuli fpeculi Si cir
culi Cuius dia meter eft linea c k. Sit enim in linea k h pundus , qui
fit b,&: fuper centrum e,defcri batur circulus ad quantitatem unius
(emidiamecri e b,qui fit ab g d.SiYcj* infpeculo fphsrico concauo.

Si diuidatur linea e k,per squalia in pundo f,pcr 1 o.primi,fiatq{ ,
fuper centrum f circulus, cuius diameter fit e k,hsr ergo fecabit cir
culus a b g d,in duobus pundis per 1 o. terti) , qus fint punda 1 8i
p,dico quod pundorum h Si 3, mutua reflexio fiet i pundis 1 Si p, 4
ducantur enim lines k I,k p,e b, e p,erit ergo angulus kl c redus,
per 30. tertij, ergo per ij- tertrj ,lineakl contingit circulum abgd
cum fit perpendicularis fuper diametrum ipfius qus eft e 1 , duda
itaqj i pundo e, linea neo y.squediftanter lines k 1 demonftrabi*
tur ut prius, quoniam punda h Si 3,mutuorefledentur admulce»

£ pundo k di 1. Similiter quotp dudis lineis 3 p & h p,&! linea q e f»

tequediftante lines kp,nameade eft demonftratio hinc inde. Sem

per enim anguli incidetis Si reflexionis ad punda I Si p, fiunt squales, patet ct pratrifr

iis quod fi linea incidentis Si reflexionis qus eft hl» fit perpendicularis fuper lineam e k

e e quoniam

PERSPECTIVAE VITELLI ONIS

qaonia linea 3 l.neceflario circulu cotingit,cuius diameter eft lineae k , efficit urcp tunc
angulus 3 1 h, maximus illoru anguloru,fecud5 quos in hoc (itu poteft fieri reflexio, duca
tur e ini pundo f»qd eft centru circulikl e p, linea f b,eritg j-.primt, angulus f 1 e,tcqua*
lis angulo fe b.Sed angulus fe l,eft atqualisduobus angulis e 3 1 ,5i e 1 3 ,g 3 »♦ primi , cu
fit illis extrinfecus in trigono 3 e 1, angulus cjqj fel,eft xqualis duobus angulis e 3 1,8C el
3. Sed angulus e 1 3 ,eft aequalis angulo el h, remanet ergo angulus f 1 h, aqualis angulo e
3 1.Sitquocg angulus hl 3,comuniter additus utrobicp,. erit ergo angulusfl 3, aqualis
duobus angulis e 3 1 & h 1 3 ,ex hypothefi eft redus, patet per 3 z. primi, illi duo angu
liquifurtthl j,&h 3.1/unt aquales uni redo. Angulus ergo fl 3 eft redus,linea ergo 1 3
cdtingit circulu kl e m,p ij-.tertrj. Sequitur ergo ide ^d prius.ft: hoc eft notandu , quod
in hac dtfpofitioe centru uifus Qi ipforu uifibiliu femper locus imaginis eft in cetro uifus
patet g 37.quinti huius, quonia ut patet sbi,cocurrit kathetus incidetia cu linea reflexio
siis, patete^ ex pmifsis,quomodo in hac difpofitione de facili inuenitur pundus reflexio*
nis^rtid punda duo qua funt inter fediones duoru circuloru, patet ergo propofitum.

XVIII,

Duorum pundorum in eadem diametro (peculi (phgrid concauiexiften
tium formis ex aliquo puncflo (peculi adinuicern reflexis eafdem ab aliquo
ipundo alio eiu(3em quartae illius circuli impofsibile eftrefletfti.

Sit difpofitio qua in figuris proximis,reftedatur'q} forma pudi h,ad pimdi^E,5 pun
do fpeculi l,dico quod impofsibile eft, ut formarum illorum putidorum reflexio fiat ad
inuicem ab aliquo alio pudo illius eiufde quarta circuli,qua eft b a,cp S pundol.Site=
nim fi pofsibile eft, ut- fiati pudoTjeiiifde quarta, & ducantur linea z
I,h l,zf,el,e f.quiaitacjj angulus zl h,diuifus eft per atqualia per line
am e 1, patet per 3 .fexti,quia eft proportio linea: z'I,ad linea 1 h . Sicut
linea z e ad linea e h,fimiliter quia angulus z f h,diuifus eft per aqua*
lia per lineam e f.Erit per 3 fexti, proportio linea z f,ad lineam 1 h, fl
cut linea ze,adlineameh,ergo per 1 i,quinti,eritproportio lineaz
f,ad lineam f ftficutlinea z 1 ad lineam 1 h,ergo per 1 <S.quinti,erit per
mutatim proportio lineazfadlineam z 1. Sicut lined f h,ad lineam
1 h,fed linea z f eft minor qua'm linea z I,per 7. tcrttj,ergo linea f h eft
minor quSm linea h l,quod eft contra eandem 7.terti), quoniam eft li
neafh,propinquiorcentro fpeculi quod eft e.quSm linea h l,8i quoniam de quoljbet pu'
do arcus a b,poteft eadem fieri dedudio,patet ergo quod no poteft fieri reflexio ab aiit|
pundo quarta circuli ab alio cjj i pundo l.Similiter quocg demonftrandu eft in quarta
drculi,qua eft bg,fi ab illius aliquo pundo fiat reflexio, patet ergopropofitum.

XIX.

Centro (peculi fphprici concaui exiftente extra lineam connedlentem cen
trum uifusj&puncftum muifle in diametris diuerfis exiftentia , 8i aequaliter
diftantia acentro Ipeculbab uno tantum pundlo (emidrculi,incuius femidia*

metris illa punda non confiftunt,fit reflexio ad uifum*

Sit fpeculi concaui circulus a bg, cuius centru fit d, diameter a g,

^ \ &femidiamererdb,orthogonalitcr erigatur fuper diametrum a g,

JG K '-4\ fitep centrum uifus pandum z , di pundus rei uife fit h;& ducatur ii

N. //.'7 \ neazh,fecansprodudamfemidiamctmdb,inpundocaitac|dcentru
V v? // / I fpeculi d.fit inter lineam z h,& fuperficiem fpeculi i qua fit reflexio»
Vv ' T! 7 ^diftenfcppunda z & h.arqualiter i pundo d, quod eft centrum fpeculi

/ J propter quod erit linea b d e , perpendicularis fuperlineam z h,dico
' \ if / qcf forma pundi h.refleditur ad uifumz,ab uno tantum pQdofemi*
circuli a b g,quod eft b,ducantur cnimlinex d z,d h,z b,& b hjfit quii
^ per tertiam terti) , linea d e b , diuidit lineam h z,per aequalia , patet

quodduolaterabe Si ch, funt aqualia duobuslateribus b e & z e,&anguli be h,&

beiz

LIBER OCTAVVS* aet

fc e z,fum arquates.quia redi, ergo per 4.primi', patet quonia angulizb «,& h be,funtae
quales, fit ergo g zo.huius reflexio forma: pundi h,ipudo fpeculi
b,ad centru uifus fjd eft z,dico itacp cjd no poteft ab ahquo alio pu
«fio fpeculi fieri hxc reflexio. Si enim detur quodliat i pundo t.du
eantur lineae 2 t &th,&icentro d.ducatur ad pundom reflexiois
l, linea d t,qua* produda ad lineam 2 h,fecet ipfam in pudo k , qa
«tacp per io.quinti huius.linea k t, diuidit angulu 2 1 h,g aqualia, 1
patet per 3 .fexti.quoniaeft proportio lineae z t.ad lineam t h . Si*
cut linea zk,ad linea kb.fed linea 2 k, eliminor cfc linea z e, ergo
Ci cfc linea kh.Erit ergolinea z t, minor ^ linea t h, fedp 7. terttj
linea zt, eft maior cjjlinea z h,&: linea hbmaiorcfj linea h t, erit er
golinea zb, minor q? linea h b$d eft cotra pmiflaj&totra 4. pri=
mi .No ergo reflectetur forma pudi h,ad Cewu uifus exiftes in pudo 2,4 pudo fpeculi f,
Similiterqqj demoftrandueftde-qlibetpudofemicirculiabg.paretergo propolitum.

. XX,

Centro uifos & pundo rei urlae exiftentibus in diametris diuerfts circuli
magni fphacrici Ipeculi concaui , pofsibilc eft reflexionem fieri ab aliquo puit
do arcuum interjacentium diametros circuli tranfeuntis per illa punda , nort
autem ab aliquo pundo arcuum aliorum >

Circulus qui eft comunts fedio fuperficiei reflexionis Si fpeculi fplixrici concaui, fle
dgt q,& fit a centru uifus intra (pecUlSfpbaricuconcauu,&: fit e centru Ipeculi, fiefir b
punctus rei utlce, Si ducatur diameter d a g,per centru Uifus a, Si ducatur diameter t q, ut
comingiqdico quod fi fuerit bjpunctos rei uifx in femidiametro e t , poteft fieri reflexio
forma: eius ad uifum a,ab aliquo puncto femicirculi d t;g.& ab aliquo pudo femicirculi
fibi oppofni.qiri eft d qg, ducatur enim 5 pudo b5re'i uifce ad aliquod pundu femicirculi
g t d arcus quarta: td,quod fit pudus m, linea incidentia: quxfitb m ,■& ducantur linea:
b a Si m a,& ducatur diameter e m.quarquia diuidit bafem a b, trigoni a m b, diuidit er=
go angulu bm a, g zo.primihimiS,produCatnrergo(emidiameter m. e,ad parte cirCUtti*
ftrenti*,qua opponitur pundo m, in pundftqui fitpundus h,arcus:gq,Sc ducantur 1 i*
nete b h Si a h.lecabit quotp linea a h, diametru t q . Sit Ut fccet
ipium in pudo t,&! linea h b.fecabiteandcdiametratqpb pun
do b. Sunt quoty punda b Si C,ex diuerfispartibus centri e , li*
neaergo eh.diuidet angulum a hb, per 19. primi huius, quoni
am diuideret ei bafem fubtefam.quf eft b c,dico itaqj quod for
ma pundi b, poteft reflecti ad uifum a ,uel ab aliquo pundo ar
cus interlatentis femidiafnetros t i Sit d;in quibus funt puda
a Si b.qui eft arcus t d, Si fimiliter ab aliquo 'pundo arcus illi
arcui oppofiti interiacentis alias lemidiametros illi conteimfc
nales.qni funt e g & e q, utpore ab aliquo pundo arcus, qui eft
a g.Si quod non poteft refledi ab abliquo pUndo arcus g t . Si
. enim hoc dicatur efle pofsibilc, fumatur tunc aliquis pundus
arcus g t,qui fit k, propinquius pundo t,& ducantur linea: a k Si kb, producatur linea k
b, donec cadat fuper diametru d g,in pundil o.cadet aute per 14. primi huius , ideo quia
angulus b e d eft redus,8C angulus k b t eft acutus,fiC omnes illae lincte funt in eadem fu
perficie, quonia ergo pundao Si a,funtineade parte Centri circuli, quod eft e, patet
perpendicularis duda i pundo k,ad centru e , noh diuidit angulum o k a , Si ita forma
pundi b,non poreft refledi ad uifum ai pundo fpeculi qUOd eft k, Similiter fumpto alio
pundo quod fit f,ita ut linea b f,fit cequediftans diametro dg,uel quod angulus f bt,fiat
ObtufuS.Semperenim tUnCpatcbit,qiloniaperpcndicularisef,n6diuidit angulu b fa, g
»9. primi huius.qiionia Cadet extra a b, bafem trigoni a b f,no ergo poteft reftedi forma
pundi b,ad uifum a,i pundo fpeculi f,ergo necp ab aliquo pundo arcus oppofiti arcui

e e a g t,qui

PERSPECTIVAE V1TELLIONIS

- g t,quleH arcus d q,code quocg modo demoftrandu-fi b pundus r ei u ifx fuerit in fupcrfi
cie fpeculi,aut extra fpeculu, du tame pundfi a, quod eft centru uifus.fitintra fpeculu , di
idem eritmodus probandi. Similiter quocg fi pundus a , centru uifus fuerit in fuperflcic
fpeculi ,& pudus b,fuerit interius uelcxtenus.tde eft probandi modus.Si eti5 centru ui
fusa, fuerit extra fpeculu, & pudus b,rei uifte fuerit intra fpeculu, patet ide quod propoli
tfi eft, Ducantur enim i pfido a,cetro uifus linea: cotingente circulu g t d , per i 6* terttj,
qua: fint linea: a h& a 3 ,& ducantur dux diametri una uifualis qua: litae g, & alia qua;
fit t e q,8i fit b pudus rei uife in diametro t e q, palam itacp ex prxmifsis.quia refteditur
forma padi b,ad uifum a, ab aliquo pundo arcus t d.Igitur ab aliquo pudo arcus 1 3 ,qa
impofsibile eft ut refledatur ab aliquo pudo arcus 3 d,quonia ille areus cadit fub .pudo
cotingentix,& etia ^pterinxqualicateanguloru.quonia per ij-, ter tij, angulus e 3 a eft
redus,& angulus b 3 eper4 i.primi huius,erit minor redo.cui fiut inaquales oes angu
Ii coftittiti fuper linea 3 a.Similiter fjcp ab aliquo pudo arcus q g,q eft oppolitus arcui t
d.poteft fieri reflexio forma: pudi b ad uifum exiftente in pundo, fed ab arcu t g,uel d q
nulla fiet reflexio propter fupradida,fimiliter'cg permutato pundo b,in aliam diametro
qux fit idem diameter t q, idem accidetquodprius,patetergo.propofitum,

XXI.

Centro uifus & pundo rei uiitc exiftendbus iii diuerlis diametris circuli
magni Ipeculi Iphafrici concaui,ft d centro uifus ducatur linea axjuediftans di
ametro in quaeftpundum rei uifsc fecans circulum, erunt omnia loca imagi*
numpundorum reflexorum ab arcu ipeculi interiacence terminum diametri
rei uifx,8i illam «equediftantem extra Ipeculum &k>ca imaginum reflexaru
d reliquo arcus interiacente diametros erunt ultra uifum, oppofiri uero arcus
loca imaginum erunt inter centrum uifus & fpeculum»

Sitdifpofitio quae prius,& ducatur i pudo a,lineaxquediftansfemidiametrote,qu$
lita p, dico quod loca imagtnu reflexarum i pundis arcus tp, 'erunt extra fpecuIum,loca
uero imadinu arcus p d, erunt ultra centrfi uifus.qd* eft a, lbca uero
imaginu arcus q g.erfit inter centrfi uifus 8i fpeculi fuperficie , dato
enim qd* forma pudi b.exiftens in femidiametro t e , refledatur ad
uifum exiftente in femidiametro t e, ab aliquo pfido arctis p t , qui
litm& b,pala per imprimi huius.qcP linea: am&be, cocurrentul
tra pfida m di b, extra fpccuIfi.Sit quocg pitndus concurfus 1, quip
37,quinti huius,eritlocusimaginis forma: pundi b.quodfi d pun=
do n,arcusdp,fiatreflexio,patetpercande 14, primi huius ,quoni
am linea a n di b e, concurrent ultra punda a di c , Ut concurfus in
pundo f,crlt'q? pundum f, locus imaginis forma: pundi b, retro ui*
fum.Si uero forma pundi b, refledatur ad uifum a, ab aliquo pun*
do arcus q g,quoniS in pracmiffa oftefum eft hoc effe pofsibile • Sit
ut illa reflexio fiat d pundo arcus q g,quod flt u,pala itaq?quoni3 li*
nea b e,produda diuidit angulfi a e u,ergo per zp, primi huius , pa*
tet qcF ipfa lecat bafem a u,nt ut lecet ipfam in pundo x, linea itacp
a u,qux eft linea reflexionis,^ kathetus incidctia* forma: pundi b,
quieftbe.fecatfein pundo x, eft ergo per 37,quinti huius, pundfi
x, locus imaginis forma* pundi b,& ipfe eft inter uifum di fpeculum
fecundu hoc itacp loca imaginfi diuerfantur,ut etiam declaratu eft
in 1 0. huius, nuncj; auteft pofsibile locu imaginis effe in cetro uifus, nifl cD pundus rei ul
fx&cctruuifusineadefuntdiametro.Tfic emimfada reflexione, utcunc# fit pofsibile,
femper patet qcF linea reflexionis di kathetus incidentia; cocurrunt in centro uifus, qtio
niam folus ille pundus ambabus illis lineis eft comunis.patet itaqj quod proponebatur.
Semper enim code modo eft demonftrandfi propofitum,fiue pundfi a, centru uifus fit in
tra fpeculSMue in fuperficie ipeculi, fiuc extra fpeculu , du tamen linea i pundo a > duda

arque

LIBER OCTAWS.

203

aquediftanter diametro fn qua cft pundum rei uifa fecet circulum fpeculi>& noncon
tingat ipfum, forma uero reflexa a pundo p fecundum lineam p a , fi pimdus cuius for=
ma refleditur fuerit in (emidiametro t e, cui aquediftat linea a p,poteft uideriin ipfa fpe
culi fuperficie,ut oftendimus in undecima & duodecima libri huius.

XXII.

Quilibet pun&us diametri circuli magni fpeculi fphaerici concaui potefl
e /Te locus imaginum quantumcuncp producatur ♦

Sit a d diameter circoliipeculi fphaerici concaui, qui fit a p m g, cuius circuli centrum
fit d,producatur'cp extra circulum, di fignetur in ipfa pundum z,flt'qj pundus e cetrum
uifus intra circulum in femidiametro m p,dico quod pundus z,po
teft efle locus imaginis,ducantur enim linea e t z, per t pudum cir
cumferentia circuli, & ducatur linea d c , erit angulus e c d acutus, /

per 43 .primi huius, fiat itaqj angulus d c I fuper terminum lines d /

c, aqualis angulo e cd,per ij.primf/ecctcp linea cl diametrumd a
in pundo 1, palam itacp per 20, quinti huius,quoniam forma pun*
dii I, refleditur ad uifum exfftentem in pundo e, 5 pudo fpeculi qcP /

eft c,& eius imaginis locus eft in pudo z,per 37. quinti huius, quo /

niam in illo pundo concurrit kathetus incidentis, qui cftd 1 z , cui /

linea reflexionis qua: cft c e,8i aflumatur pundus diametri a g in* c/ A

tra circulunr.qui debet oftendi pofle efle locus imaginis, ut fi ille pu
dus fit 1, pala m quia & ipfe erit locus imaginis alicuius forma:, duca / y

tur enim linea e 1,& producatur ufep ad pundum circumferentia: f

quod fit b , 8i ducatur linea d q,crit'cp a ngulus d b e acutus, per 42. j J W-

primihuiusjfiat ergo aqualis fibi,quifitdbp, palam itacpper 20, l

quinti huius, quoniam refleditur forma pundi p ad uifum e, i pun p

do fpeculi b,8£ locus imaginis forma: pundip eft pundus l:per 37 J

quintihuiusjfumpto quocjj quolibet pundo alio eadem cft probas
tio,patct ergo propolitum .

XXIII.

Centro uifus & pundo reiuiflcm eadem circuli magni diametro exiften*
tibus putidorum reflexorum a ipeculis fp hxricis concauis/quilibet efl locus
imaginis centrum uifus,pofsibile efl ut ab uno tantum (emidrculi pundo fl*
at reflexio ad uifum ,uel tantum a quolibet unius alterius circuli determinati
pundo .

Efto circulus fpeculi Ipharici concauigz b a, cuius centrum fit d,&interfecentfe in
ipfo duae diametri za&gb orthogonaliter , di fit fn dia metro z a pundus e , qui fit cen=
f rum uifus z h , qui fit pundus rei uifa , fit in eadem diametro z a , quoniam ubicunque
fuerint centrum uifus , di pundus rei uifae in una illius circuli diametro, femper poliunt
dida diametri taliter produci, utfe orthogonaliter interfecent, dia*
metro z a , per punda e & h tranleunte,aut ergo linea e d interiaces
centra uifus di fpeculi eft aequalis linea: d h aut non . Si fit squalis ,
ita quod illa punda aequaliter diftent i centro fpeculi , ducantur li*
nea h g, h b, c g, e b, palam itacp per 4.primi , quoniam triangulus h
gd eft aequalis triangulo gdc,8<: aequalis triangulo hdb di triangu
,lo c d b, fit! ipforum anguli refpicicntcsaqualia latera funt aequales,

Si quoniam angulus h g d eft aqualis angulo dg e, palam quia an*
gulus hge, diuiditur per aqualia per lineam gd,poteft ergo per 20
quinti huius , forma pundi h S. pundo fpeculi g,refledi ad uifum in
pundum e, Si erit per 3 7. quinti huius,locus imaginis pundus e , quod eft centrum uifus
Similitcrcp poteft forma pundi hi pundo fpeculi b refledi ad uifum in pundum e, di
erit iterum locus imaginis pundum e, per eandem qua prius.Si itaqj diametro za mas

ce 3 nente

PERSPECTIVAE V1TELLI0NIS

nente immobili, femicirculus z g a,imagincturmoueri per fpharanv fpeculi , aut etiam
folus triangulus h g e,moucaturfixa manente latere e h, palam quia: pundus g.motu fi 0
deferibit circulum, & i quolibet pundo illius circuli refledi poteft forma pundi h ad ui
fum c,8d locus imaginis erit femper putidlis e quod eft centrum uifus ,quod autem ab a*
lio pundo fpcculi quim ab aliquo pundo illius circuli non pofsit forma pundi h , refles
di ad uifum e.menifcftumeft.Si enim refledereturab alio circulo quim ab illo quem
■ motu filo caufar pundum g uel putidum b, tunc reflederetur ab
alio pundo illitis feriiicirculi a gz. Sit ergo ut refledatur a pun=
do illius quod fit c,& hoc erit extra illum circulum imaginatum
in luperficie fpeculi, ducatur quocp linea hc&ec, eriteg linea e c
maior quim linea eg,per 7.terrij, (iC erit linea h C minor quim h g
per eandem 7. terti], non ergo erit proportio linea e c adiineam 1»
c,ficutlineaedadh'neambd,qua liint aquales, ergo per 3. fexti,
angiilus e c h non diuiditur induo aqiialia per lineam d c, non ere
go refleditiif forma pundi h ad uifum e, i pundo fpcculi c,& ea*
dem eft dedudio fi fumatur pundus c inter punda; g 8C;t ,in arcu
z g.palam itaq; quoniam centro uifus quod eft e, i pundo rei ui*

)fa,quod eft h.exiftcntibusineadem diametro, &i a qualiter diftan
tibusi centro fpcculi, femper fit reflexio forma pundi uifi ad ui»
fum modo propofito, quod fi qundaduda in eadem diametro exi
ftentia inaqualiter diftent i cetro fpeculi pundo d.utpote filinca
c d fuerit maior quim linea d h, addatur linea d lilincah q,g 1 26.
primi huius, taliter ut illud quod fit ex dudu lineae q.qlifit aqua
le quadrato linea dq,ertt ergo per 1 6, fexti , proportio linea e q
^adlincamdq,ficutlineadqadlineamh q;fiat ergo CirCulusad
quantitatem femidiametri d q.cuius centrum fit q,&! quoniam illcdrCulus interfecat cir
culum g z b a in duobus Iocis,per decimam tertrj , funt illa loCa fedionis punda g & b,
ducantur linea eg, eb.q g,q b,d g^db^h g.,hb8i quia linea q g,eft aqualis linea q d, per
diffinitionem circuli,palamper 7. quinti, quoniam eadem eft proportio linea eq ad line
am q g Si ad lineam q d,eft ergo proportio linea e q ad lineam q g, ficiit linea g q ad li=
neam q h,angulus liero g q h communis eft utricp triangulorum qUi funt e q g, & h q g,
ergo per ^.fcxti.ill/duo trianguli funt aquianguli Erunt quocp eorum latera proportio
nal/a per 4.fexti, erit ergo proportio linea e q ad linea ni q g,ficut linea e g ad lineam g
h, erit quoqj per tp.quinti.proportio lineaedad lineam dh, ficutlinea e q adl/ncam d
q,crgOper 1 i.quinri,erit proportio lineacd ad lineam dh.ficut linea e g ad lineam g
bjcrgo per 3. fexti, linea d g diuidii angulum hge per aqUalia. Igitur per 20. quinti huc
ius, forma pundi h a' pundo fpeculig;reflediturad putidum e, qui eft Centrum uifus • 8L
eft pundum e locus imaginis fua,&fimil/rcr forma pundi h . i pundo fpeculi g refles
ditur ad pundum e, qui eft centrum uifus,& eft pundum e,locus imaginis fuat Si ergo
imaginetur moucri triangulus egh trans fpharam fpeculi linea h e remanente immota>
f unc pundusg.defcribct circulum in ftjperficie concaua fpeculi,i cUius quolibet pundo
refledetur forma pundi h ad uifum exiftentem in pundo e, & femper erit locus imagfs
n is pundus e, quod uero ab alio pundo quim illius circuli,non pofsit forma pundi li re»
fledi ad uifum e «patet ut prius. Si enim fuma tur pundus c inter punda g di a, erit per fe
ptima rertij, linea c c maiorquhm linea e g,& linea h c minor quim linea b g, noli erit igi
cur proportio linea e c ad c h,ficut e d ad d h,pcr 8. quinti, ergo per jJcXti, linea cd non
diuidit angulum c ch per aqualia noh ergo refledetur forma pundtli ad uiftfm e, i pun
do fpeculi c. Similiter quoq? fit pundus t, i quo debeat fieri reflexio cadat in arcum g z,
idem fcquiturimpofsibile,patet ergo propbfitum. Sicut autem hic dc pundis &( circulis
mathematicisdemonftratafunt.ficdepundis medijs naturalium imaginum reflexam
intelligendafunt, forma enim pundih, continua uidetur formis aliorum pundorum
Si eft media intclligenda in tota imagine naturali reflexa, Qi pundus medius totius illius
forma erit in pundo e, quod eft centrum uifus>& refledetur tota forma 2 loco circulari

fpeculi

LIBES. 0’CTAVVi» 104.

ripectili' habente fettfibilem latitudinem, cuius medium mathematicum eft circulas praedi
cius, funt punda e di h poli illius circuli. Cum autem linea e d fuerit maior quim
linea d h,in tantum poterit efle maior in quantum non refledetur forma pundi h ad ui*
fum ei pundo fpeculig, prout oftendimus per 17. huius, ubi enim fuerit proportio, exccf
fus linex e d fu per lineam d h ,ad lineam h d maior cjj linex e h ad lineam a h.non poterit
forma pundi h refledi aduifum e, per 1 6. huius, erit'cp proportio linex e a ad lineam a h
maior quim linex e d ad lineam d h, aliis enim non poterit refledi forma pundi h ad ui<
fum inpundum e.quia fi detur quod pofsit refledi ,fit ut refteda tur i pudo g, dico itacp
quod neceirariofequitur, ut maior fit proportio linea e a ad lineam ha, quim linea: e d
ad lineam d h,erit enim ex 4z,primi huius, angulus hdg acutus, erit quocp per, eandem
41. primi huius, angulus d g h minor redo, ducatur itacp S pundo g, linea cotingens cir
culum ag z b,qux fitg f,hoc ergo necelfario concurret cum linea e h , per 14, primi hu«
iuSjCiim angulus h d g fit acutus, & angulus dg fredusjper i7.terttj ,fit concurfus pun*
dus ferit ergo per 1 j. huius, kathetus incidentix qui eft h d ad lineam d e,dudam a cen
tro fpeculi ad locum imaginis.ficut linex h f dudx i pundo rei tiiix ad finem contingen
tix ad lineam f c.dudam afine contingentix ad locum imaginis,ergo per y, primi huius
erit cconuerfo proportio linex e fadf h.ficut Iinexe d ad lineam d h. Sed maior eft pro*
portio linex e a ad lineam a h, quim fit lineat e fad lineam fh.per 4. primi huius, quoniam
xquali linea qux eft f a, addita utrobicp minuitur proportio, igitur maior eft proportio
linex e a ad lineam h a, quim fit linex e d ad lineam d h. Si itacp forma pundi h refledi*
tur ad uifume,neceiiariumeftutproportiolinexeaadlineamha,fit maior quimlineg
a d ad lineam d h,hoc itacp cum fuerit erit ex hac difpofitione centri uifite 8t pundi rei ui
fx ficut prius demonftratum , palam ergo funt omnia qux propofita funt, cum centrum
uifus &C pundus rei uifx fuerint in eadem diametro circuli propofiti fpeculi, patet ergo
propofitum.

xxi ui*

Puncto rei liifji Si centro uifus exiftentibus extra fpecultim fpbamcurrt
concauumnonm eadem diametro circuli qui eft communis fedio fuperficiel
reflexionis Si Ipeculi non pofsibileutfiat ad uifum reflexio nifi ab uno tantu
pun<fto,& unicus tantum imaginis eritlocus * 1

Efto c pundus rei uiix,8tf h centrum uifus, & fit d centrum ipeculi, 6i ducantur linex
h d,c d, h c, fuperfides itacp reflexionis. qux per j .huius.eft fuperfici*
es h d c.fecat fuperficiem fpeculi per fecudam huius { fuper tirculum H

qui fit c b q g, palam itacp quod forma pundi c non refledftur ad ui
ium h.nifi ab aliquo pudo huius circuli, n5 enim fit aliqua reflexio
extra fuperficiem reflexionis.producatur itac£ linea h d , ultra cen*
erum d,donec fccet circumferentiam circuli , 8i fit pundus fedionis
a,8 i producatur linea cd ultra pundum d.fecans circulum in pudo
q.incidatqj linea h d circulo iii pundo g,& linea c d in pundo b, pa*
lam ergo per zo.huiuSjCumfolum fit pofsibilis reflexio ab arcubus
interiacentibus diametros.in quibus funt centrum uifits, & pundus
rei uifx, quod forma pundi c ad uifum exiftentem in pundo h,non
refleditur ab aliquo pundo arcus q g uel arcus b a, refleditur itacp p ....
aut ab aliquo pudo arcus g b,aut ab ali^ pudo arcus q a,diuidatur ^
itacp angulus c dh pergqualia per y.primi,diuidat'cp ipfurti linea d e
l.fecans circuli periferiam in pundo e,8i lineam h£ inpundol,&4
pundo e, ducatur linea contingens circulant per 16. terti), quxfff
k e f . Si itacp punda c & h fuerint fuper aliatii lineam coritingen*
tem,ubicuncp confiftant,paIamquodnoneft pofsibile refledi for*
mam pundi c ad uifum h, ab aliquo puftdo h g. Si enim i pundo
c ducatur linea ad aliquem interiorem puhdum huius arcus, linea
6 pundo h, ad idem pundum duda cadet fuper eundem arcum ex

Serius

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

'Serius & non interius, cum pandum fit extra fpeculum,& ita non erit reflexio i parte in
ter/o ricoca aitatis, fcilicet fpeculi .ipfo corpore fpeculi impediente, ab arcu uero aq pof
(ibiiecftjUt fiat reflexio, quoniam lineas dudas dpundo c,&& pundo h,concauitati illi*
us arcus pofsibilecft incidere,producatur itacg linea 1 d, donec fecet arcu a q pudus
fcdionis z.dico quod i pundo Z refledietur forma pundi c ad h centrum uifus, ducan»
tur enim linex c z,h z.fecetfcp linea h z kathetutn incidenti^qui eftc d q.in pundo p,cu
itacjj angulus c dh fit diuifus per xqualia,patet §d angulus c d zeft xqualis angulo hdz,
per 1 1 ,primt,Iincx itacg c d & h d,aut funt xquales aut non,fi funt xquales , 8c linea d z
eft comunis,erit per 4.primi, triangulus c z d xqualis triangulo h z d, di angulus c z h ,
eftdiuifus per xqualia per lineam dz»ergo per io.quinti huius,forma pundi c rcflede
turad uifum in pundu h,a pundofpectili z.fednecpeft pofsibile i pundo alioarcus re»
fiedi formam pundi c ad h.Sic enim fi eft pofsibile quod refledatur i pundo o duea»
tur linex c o di h o, linea quoqj o d m duda per centrum fpeculi , diuidat angulum c oh
per xqualia, fecctqj lineam h c in pundo m, palam ergo per S.terttj, quonia linea c z eft:
minor quam c o,8i linea h o eft minor cg linea h z.eft autem per 3 fexti.cum angulus c z
h fit diuifus per xqualia , proportio linex cz ad lineam h z , ficut linex c 1 ad lineam hl,
proportio uero linex eoad lineam h o,per eande 3 .fexti,eft ficut linex c m ad lineam m
h,fed per p.primi huius, maior eft proportio linex hz ad lineam c linex lio ad linei
c o,ergo per 1 1 .quinti,maior eft proportio linex h 1 ad lineam 1 c,cf? linex h m maioris,
cp Iit linea h 1 ad lineam m c minorem, cp fit linea 1 c,quod eft impofsibile , femper enim
eft minor proportio quantitatis minoris ad maiorem cp maioris ad minorcm,quod faci
liter patet per 9.primi huius,non ergofiet reflexio formx pundi c ad uifum h , i pundo
fpeculi 0. Similiter etiam demonftrandum, quod a nullo alio nifii folo pundo z, quod
eft propofitum,quod fi linex cd&hdfintinxqualcs, fiat refedio maioris ad aqualitate
minoris, per 3 .primi,& ordinetur demonftratio ut prius,& quoniam forma pundi cu»
iufcuncp rei uifx in eadem linea exiftentis femper refleditur ab eodem pundo cuiufcun
que fpeculi ad uifum in quocunqj pundo eiufdem linex exiftentis , quoniam linearum
inxqualitas naturam reflexionisno immutat, ut patet per zo.quinti huius, femper enim
angulus incidentix eft xqualis angulo reflexionis,pater quod quxcunq; iftarum lincai u
fuerit maior cfj alia quod non impedietur propter hxc reflexio , & quod tantum ab uno
pundo fpeculi fiet reflcxio.&liocpcr diligentiam perquirentis fecundum modum pix
mifliim poterir declarari, quia in talidiipofitionecetri uifus,& pundi rei uifx ab uno
tantum pundo fpeculi fit reffexio ad uifum.patct quod unica eft linea reflexionis qux
h z,unicus eft ergo locus imaginis/cilicct pundus p, in quo eft linea reflexionis qux eft:
h z fccat kathetum incidentix quxcft c d q, patet ergo propoficum,

XXV,

Si angulum a duobus diametris circuli magni fpeculi fphxrfci concaui
contentum diuidat tertia diameterper xqualia,& a pundo fedionis circum»1
ferentia & diametri medrj ducantur perpendiculares fuper alias duas diame»
tros,punda diametrorum , in qux cadunt perpendiculares ad fe inuicem re*
fleduntur tantum ab illo pundo circumferentix, & i pundo libi oppofiro.
Si quodlibet pundum diametri interiaccns illa pun&a,& centrum fpeculi re»
flcdmir ad pundum alterius diametri xqualiter ci condiftaiiti a centro ab eif
dem duobus pundis^&loca imaginum erunt tantum duo.

Sint circuli qui eft communis fcdio fupcrficiei reflexionis 8d fpeculi fplixrici concA
u/, cuius centrum d,dux diametri a g Qi b q,8i diameter e d z diuidat angulum b d g per
xqualiaper 9. primi, Si a' pundo fpeculi Cui incidit diameter z p c, ducantur dux pei'pen»
dicularcs fuper duas lemidfametrosbd & d g,per 1 2.primi,qux fint e c & e h , palam cm
go per 26. primi, quod trianguli cc d &ehd funt xquales Si ^quianguli, quoniam enim
angulusbdg diuifus eft per xqualiaper lineam d e, & anguli e c d & e b d funt redi ,&
linea cd eft ambobus illis trigonis comunis, patet ergo quod angulus cc d eft xqualis

angulo

LIBER OCTAVVJ, io6

d o diameter eius,& ducatur per 1 6. terttj, linea contingens cifculum b a zg in pundo
e, qua* fine k e, di quonia circulus e d h o fecat circulum b a z g,MceiTe eft ipfum fecari
in duobus pundis per decimam terti), (incilia duo punda 1 di m, Si ducantur line* c I,
h I,d 1 ,c m,li m,d m,cu itacp linea reda qu* efl: c d.fit aequalis line* h d,ut patet exprs-
miins,eritarcus cd aequalis arcui dh, per 27. terti), erit ergo per 16, terti) angulus c Id
aqualis angulo d 1 h,& ita forma pundi c refledituf ad uifum h i pundo l,a (imiliter
angulus c d m eft aequalis angulo d m h,per 2 6. terti), ergo forma pundi c,refleditur ad
uifum h i pundo m, palam igitur quod forma pundi c refleditur ad uifum h,& i pun=
dis e z,l m ,8i quoniam lineae reflexiois funt quatuor, fcilicet h e,h l,h m,h z.patet quod
in communi fcdione unius cuiufcunq? ipfarum 8i katheti incidenti*, qui efl: c d, fit lo*
cus imaginis,&: fi aliqua illarum linearu fuerit *quediftans katheto c d,erit locus imas
ginis in pundo reflexionis per 1 i.8i 1 3 .lniius,Ioca ergo imaginum funt quatuor uici®
norum locorum reflexionis, non poteft autem fornia pundic refledi ad uifum h,ab a-
lio pundo pr*tcr hoc, detur enim fi poflibile eft ut fiat reflexio form* pundi ad uifum
h,i pundo alio fpeculi praeter h*c quatuor, quod fit pudum f, & ducantur line* c f,h fp
d f,& producatur d fquoufcp concurrat cum linea contingente circulum b a z q in pun
do c,8c fi t exempli caufa,pundus concurfus k,qui fit communis fedio line* e k,& pe=

• riferi* circuli d c,h e, concurrent aUtem line*d f& t k,per »4.primi huius.&ducantur
line* c kfldh k,cr it itaqt ex hyp6thefi,& per 20. quinti huius,angulus c fd aqualis an=
gulo d f h, ergo per 1 3 , prifhi,erit angiilus c f h aqualis angulo h f k,fcd angulus c h k
eft aqualis angulo f k h,per 26. terti), arcus enim in qUos ad periferiam cadunt illi an*
guli, fcilicet arcus circuli c d h o,qui funt d h & d c,funt aquales, & linea f k eft commu*
ilis, erunt ergo per imprimi, trianguli c k (di h k f aquales, ergo per 4. fexti, linea c k
aqualis linea h k,quod eft impoflibiie, quoniam ut patet per 3. terti), linea h keft maior
quam linea Ii o,& linea c k minor eft quim linea c o, linea uero c o eft aqualis line* h o,
per pr*mifla,3C eodem modo deducendi* fi in arcu m g fit datus piindus f, qm idem fo»
quitur poflibile dato pundo f, in arcu g b,ubicunq) extra tria punda m c 1, quia fi pun?
dus k.qui eft pundus line* contingentis cadat extra periferiam circuli m d c o, copula
tis lineis 5 pundis fedionis line* e k, ad periferiam circuli mitioris pramiflo modo erit
deducendum, palam ergo quod non refledatlir forma pundi c ad uifum h, ab aliquo a*
lio pundo quam ab bis quatuor pundis. Si enim circulus flat habens centrum in linea
dzad modum circuli c d,h o, habentis centrum in linea co, palam per modu 24. huius,
duda linea c h , quoniam line* i pundis c & h ad pundum z, terminum diametri, d z
duds.fi ad partem aliam ultra punda c 5i h fuerint produd*, arcus interiaccntcsearu
alteram 5C diametrum e d z *quales, qui funt p e di s e, refecant ergo *quales angulos
cum diametro in pudozcoftitutum, & eft poflibile reflexio qu* fit i pundo z,ad alia •
uero punda arcuum uicinorum produd* 1 pundis c & h,line* femper arcus inxquas
les refecant,& ab hoc in squales angulos coftituunt fuper circunferentiam circuli ma=
ioris,& per modum quo ufi fumus in 24,huius,fequitui; impoflibiie contra nonam pri=*
mi liuiuSjUt manifeftatumeft perca qu* praemitia funt, patet ergo propofitum, quonia
tantum a quatuor pundis fit reflexio tali exiftente d»fpofitionc,et tantum funt quatuor
loca imaginum, quod eft propofitum,

XXVII.

Pundo rei uifae & centro uifus in eadem fuperficie circuli magni /pecti
li fphecrici concaui,diuerfis tamen diametris, & fub inaequali diftantia a ccn=*
tro fpeculi exiftentibus in arcu illius circuli interiacente reliquas femidiames»
tros in quibus illa punda non confidunt, pundum reflexionis inuenire,cx
quo patet,quod ab uno tantum pundo illius arcus fit reflexio in hoc fit u.

Sit ut prius circulus, qui eft comnumis fedio fuperficie/ reflexionis, &i fiiperficiei
fpeculi fphsrici concaui a b g q, cuius centru d,& ducantur du* diametri a d g & b d q,

ff &duw

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
& diameter e d -z diuidat angulum a , ab alijs duabus diametris contentu per aqualia,
fit 'cp c pundus rei uita politus in femidiametro b d propinquior centro fpeculi d.quam
fit pundus h.qui fit centrum uifus politiis in lemidiametro g d,dico quod in hac difpo*
fitione pundorum c & h poffibile eft in arcu a q pundum reflexionis inueniri,& quod
in illo arcu unicus huius reflexionis eft.pudus. Sumatur enim extra circulum linea 1 y,
& diuidatur per 1 1 p.primi huius, in pundo m, taliter ut fit proportio lineae y m ad line*

. am m I, licut lineat h d ad lineam d c, & diuidatur item linea y 1 per aqualia in pundo
n,per decima primi, & £ pundo n perpendicularis n k fuper lineam y m, pef undecima
; prinii,& fuper pundum 1, terminum linea; y I,per 2 3 .primi, angulus aequalis medietati
anguli a d c per linea f 1, erit itaqj angulus i 1 y, acutus fiue angulus a d c fuerit acutus
fiue redus,uel etiam obtufus,fed angulus f n 1 eft redus,ergo per 1 -j.primi huius , linea
f 1 concurret cum linea n k, concurrunt ergo in pundo f>& per 1 34. primi huius, ^ pun*
■do m, ducatur linea ad bafem f Iconcurrens cum latere n k in
pundo k, fecetcp lineam 1 f in pundo c , taliter ut fit propor*
tio linea: k c ad lineam c fficut linea:h d ad lineam b d, deinde
fuper pundum d, terminum lineat adiiat angulus aqualis an
gulo 1 c m qui fit i d a,fitc$ pudus circuferentia qui eft a,fupra
=j<l- pundum z,ud infra illum, & fuper pundum i, terminu lineae,
d i, fiat angulus arqualis angulo c 1 m q fit m d,duda linea o i
fecantc linqam d a in pundo o,quat producatur ultra pundu
o ,S>C fuper lineam m. ducatur perpendicularis £ pundo h, per
duodecimam primi , quat fit h f, & producatur linea r x, quo*
ufqj ipfa arqualis fit lineat r i,8c ducatur lineat hx&h i, palam
autem per 1 10. primi huius, quoniam i pundo m.impofiibilc
eft duci aliam fuper linea f I diuidentem eam fecundu proportionem qua diuifit ipfam
lineam c k.cumitaqj anguluso difitaqualis angulo lc m,& angulus o i datqualis an*
gulo c 1 m,erit per 3 2, primi,angulus i o d arqualis angulo 1 m c,erit ergo per 1 3 .primi,
angulus r o h aqualis angulo km n,& angulus h r o cftaqualis angulo k n m,quia uter
que eft extremus, ergo gz 2,primi,angulus n k m eft aqualis angulo r h o.trigona itacp
n k m & r h 0 funt aquiangula,ergo per 4,fexti,latcra ipforum aquos angulos refpici*
entia iunt proportionalia, producatur itacg linea id ultra pundum d , donec concur*
rat cum linea h f, concurret autem per 14. primi huius, angulus enim hr i eft redus, 8C
angulus r i d eft acutus, concurfus autem pundum fit s.,critqj angulus s d h aqualis ana
gulo k c f,per 1 y. primi, erunt ergo trigona i ckdis d h aquiangula per 3 1 , primi, crs*
go per 4.fexti,erit proportio linea s d ad lineam d h.licut linea f c ad lineam k c,fcd Ii*
ncahdad lineam d i, per 7. quinti,eft proportio ficut linea h d ad lineam db, quoniam
per diffinitionem circuli linea d i &db funt a*quales, eft ergo proportio lineali d ad li=
neam d|, ficut linea kc ad lineam c l,cxpramilfis enim eft proportio linea k c ad c l,fi*
cut linea h d ad lineam b d, eft ergo per 2 2. quinti, per aquam fcilicet proportionem
proportio linea s d ad lineam d i, ficut linea.f c ad linea c fiergo per 1 8, quinti, critcon*
iundim proportio linea s i ad lineam d i, ficut linea f 1 ad lineam 1 c,fed cum triangulus
d i o fit aquiangulus triangulo cl m,ut fupra patet, palam per 4.fcxti, quoniam & pro*
portio linea d i ad lineam i o, ficut linea c 1 ad lineam I m,cft igitur per 2 2. quinti, pro*
portio linea s z ad lineam i o. ficut linea f 1 ad lineam 1 m,crgo per y. primi huius, erit
cotrario proportio linea i oad lineams i, ficut linea 1 m ad lineam f l,fed eft proportio
linea si ad lineam i r, ficut linea f I ad lineam 1 n,pcr 4.fexti,qm triangulus r i s,eft fimi
Iis triangulo fl n,pcr 2 2, primi.cu era anguli s r i & f n 1, lint aquales, quia rcdi,& an*
gulir is flriil f,ffint aquales cxpramillis, erit angulus r si, aqualis angulo n f 1, igitur
per 22,quinti, erit ,pportio linea i o,ad lineam i r, ficut linea 1 m,ad lineam 1 n,erit ergo
econtrario per y.primi huius^portio linea i r,ad linea i o, ficut linea 1 n,ad lineam lm,
6 C quonia linea x i,cft dupla linea t r,8 i linea y b,eft dupla linea 1 n,erit per 1 y, quinti, ea
dem proportio linea x i,ad lineam i o, licut linea x l,ad lineam 1 m ,ei go per 1 7.quint/,
erit diuifim ^portio linea x m ad lineam m l3ficut linea x 0 ad lineam i o, ducatur itacp

i pundo

LIBER O C T A V V S. 20<S

d o diameter eius,& ducatur per 1 6. tertij, linea contingens circulum b a zg in pundo
e,qus fint k c, di quonia circulus c d h o fecat circulum b a z g,necefle eft ipfum fecari
in duobus pundis per decimam rerttj.fint illa duo punda 1& m,& ducantur lineae c I,
h l,d I,cm,h m,d m ,c§ itacp linea reda quae eft c d >fic aqualis linea: h d,ut patet ex prx=
miifis, erit arcus cd aqualis arcui d h, per 27. terti), erit ergo per 26. terti) angulus c I d
aequalis angulo d 1 h,&! ita forma pundi c reflediturad uifum h i pundo I,£x fimiliter
angulus c d m eft aequalis angulo d m h,pcr 26,rerttj,ergo forma pundi c,reflediwr ad
uifum h i pundo m, palam igitur quod forma pundi c refleditur ad uifum h,& 3 pun*
dis e z,l m,8i quoniam lineae, reflexiois funt quatuor, fcilicet h e,hl,hm,hz, patet quod
in communi fcdione unius cuiufcunqj ipfarum di katlieti incidenti*, qui eft c d, fit loo
cus imaginis, & fi aliqua illarum linearu fuerit aequediftans katheto c d,erit locus ima*
ginis in pundo reflexionis per 1 i.di 1 3 .huius,loca ergo imaginum funt quatuor uici*
norum locorum rcflcxidnis,non potcft autem forma pundi c rcfledi ad uifum h,ab a=
lio pundo praeter hoc, detur enim fi poftibileeft ut fiat reflexio formae pundi ad uifum
h,i pundo alio fpeculi praeter haec quatuor, quod fit padum fj& ducantur line* c f,h f»
d f,8£ producatur d f quoufcp concurrat cum linea, contingente circulum b a z q in pun
do e, di fit exempli caufa, pundus concurfusk;,quifit communis iedio line* e k,& pes
rifcri*circuli d c,h e, concurrent autem line* d fdi e k,per i4.primi huius.fid ducantur
line* ck&h k,erit itacp ex hypothefi,& per 20. quinti huius, angulus c fd *qualis a n*
gulo d f h, ergo per 1 3. primi, erit angulus c f h *qualis angulo h fle, fcd angulus c h k
eft squalis angulo f k h,per 26, terti) .arcus enim in quos ad periferiam cadunt illi ana
guli, fcilicet arcus circuli c d h o.qut funt d h di d c,funt aequales, di linea f k eft commu*
nis,eruntergoper i^.primi, trianguli c k f&h k f squales, ergo per 4. fexti, linea c fc ,
squalis line* h k,quodeftimpoflibile,quoniamutpatctper S.terrtj, linea h keft maior
qua' m linea h o ,6i linea c k minor eft qulm linea c o, linea uero c o eft squalis line* h o»
per pr*mifla,fi<l eodem modo deducendu fi in arcu m g fit datus pundus f, qm idem fe*
quitur pollibile dato pundo f, in arcu g b,uhicunqj extra tria punda m c 1. quia fi pun*
dus k.qui eft pundus line* contingentis cadat extra periferiam circuli m d co, copula
tis lineis a pundis iedionis line* e k, ad periferiam circuli minoris pismiffo modo erit
deducendum, palam ergo quod non refledatur forma pundi c ad uifum h,ab aliquo a*
lio pundo quam ab his quatuor pundis. Si enim circulus fiat habens centrum in linea
d z ad modum circuli c a,h o, habentis centrum in linea c o, palam per modu 24. huius,
duda linea c h, quoniam line* i pundis c & h ad pundum z.terminum diametri, d z
dud*,fi ad partem aliam ultra punda c & h fuerint produd*,arcus interiaccntes earu.
alteram di diametrum e d z squales, qui funt p e di s e, refecant ergo squales angulos
cum diametro in pudo z coftitutum, di eft poifibile reflexio qu* fit i pundo z,ad alia
uero punda arcuum uicinorum produds k pundis c di h, lines femper arcus insqua*
les refecant, & ab hoc in squales angulos coftituunt fuper circunferentiam circuli ma*
ioris,8d per modum quoufi fumus in 24,huius, (equitur impoffibile contra nonam pri*
mi huius, ut manifcftatum eft per ea qus prsmilla funt, patet ergo propofitum, quonia
tantum i quatuor pundis fit reflexio tali exiftente difpofittone,ct tantum funt quatuor
loca imaginum,quod eft propofitum*

XXVII.

Pundo rei uiCx Si centro uifus in eadem fuperficie circuli magni /pecti
Ii fphterici concaufdiuerfis tamen diametris, &fub insequaii diftantia 5 ccn*
tro fpeculi exiftentibus in arcu illius circuli interiacente reliquas femidiamea
tros in quibus illa punda non confiftunt , pundum reflexionis inuenire,ex
quo patet, quod ab uno tantum pundo illius arcus fit reflexio in hoc fitu.

Sit ut prius circulus, qui eft comniunisfediofuperficie/reflexionis, di luperffciei
fpeculi fphsriri concaui a b g q, cuius centru d,& ducantur du* diametri a . d g di b d q,

ff * &dia*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

& diameter e d z diuidat angulum a , ab altjs duabus diametris contentu per aqualia,
•fit'9 c pundus rei uit* politus in femidiametro b d propinquior centro fpeculi d.qulm
fit pundus h,qui fit centrum uifus politus in femidiametro g d,dico quod in hac difpo=
fitione pundorum c & h poffibileeftin arcu a q pundum reflexionis inueniri,& quod
in illo arcu unicus huius reflexionis eft pudus.Sumatur enim extra circulum linea 1 y,
& diuidatur per 1 1 j.primi huius, in pundo m, taliter ut fit proportio line* y m ad lines
am m 1, licut line* h d ad lineam d c, & diuidatur item linea y 1 per aequalia in pundo
n,per decima primi,& 3 pundo n perpendicularis nk fuper lineam y m, per undecima
primi,& fuper pundum Interminum line* y l,per 2 3 ,primi,angulus aqualis medietati
anguli a d c per linea f 1, erit itacg angulus f 1 y, acutus flue angulus ad c fuerit acutus
fiucredusjucl etiam obtufus,fed angulus f n 1 eft redus,crgo per 1 4.primi huius , linea
f 1 concurret cum linea n k, concurrunt ergo in pundo f>&: per 1 34, primi huius,a pun=
do m, ducatur linea ad balem f 1 concurrens cum latere n k in

> s. pundo k, fecctcp lineam 1 f in pundo c , taliter ut fit propors

tio line* k c ad lineam c I.ficut linc*h d ad lineam b d, deinde
w AX fuper pundum djtcrminum line* a d fiat angulus aqualis an

. / M gulo 1 c m qui fit i d a,fit<$ pudus cii cuierenti* qui efta,lupra

'/ pundum z,uel infra illum, dC fuper pundum i, terminu line*

fc l\ / T ^ i, fiat angulus aqualis angulo c 1 m q fit m d,duda linea o i
\ 'v J fecante lineam da inpuntftoo, qua producatur ultra pumfiu

CV o,dC fuper lineam m, ducatur perpendicularis i pundo h, per

\. duodecimam primi , qua fit h f, &C producatur linea r x, quo=

“ ufep ipfa aqualis fit linea r i,& ducatur linea h x & h i, palam

autem per 1 20. primi huius, quoniam i pundo m.impoflibile
eft duci aliam (lipcr linea f 1 diuidentem eam fecundu proportionem qua diuifit /pfam
•linea m c k,cum itaC# angulus o d i fit aqiialis angulo 1 c m ,& angulus o i d aqualis an=
gulo c 1 m,erit per 3 2, primi,angulus i o d aqualis angulo 1 m c.erit ergo per 1 3 .primi,
angulus r o h aqualis angulo km n,&: angulus h r o eft aqualisangulo k n m.quia uter
que eft extremus, ergo p22,primi, angulus n k m eft aqualis angulo r h o,tr/gona itacg
n k m & r h o funt a-quiangula, ergo per 4. fexti, latera ipforum aquos angulos refpici*
entia funt proportionalia, producatur itacp linea id ultra pundum d , donec concur-
rat cum linea h f, concurret autem per 1 4. primi huius,angulus enim h r i eft redus, 8C
angulus r i d eft acutus, concurftis autem pundum fit s,critc$ angulus s d h aqualis an*
gulo k c f,per 1 y. primi, erunt ergo trigona f c k &! s d h aquiangula per 3 1 , primi, cr^
go per 4.fcxti,erit proportio linea s d ad lineam d h, ficut linea f c ad lineam k c,fed li=
nea h d ad lineam d i, per 7. quintqeft proportio ficut linea h d ad lineam d b, quoniam
per diffinitionem circuli linea d i 6C d b funt a>quales,eft ergo proportio linea h d ad li=
neam d i, ficut linea k c ad lineam c l,ex pramiffis enim eft proportio linea k c ad c l,fi=

cut line* h d ad lineam b d, eft ergo per 2 2. quinti, per aquam fcilicet proportionem
proportio linea s d ad lineam di, ficut linea f c ad linea c I.crgo per 1 8,quinti,crit con*
iuneftim proportio linea s i.ad lineam d i, ficut linea f 1 ad lineam 1 c.fed cum triangulus
d i o fitaquiangulus triangulo c 1 m,ut fupra patet, palam per 4. fexti, quoniam & pro*
portio linea d i ad lineam i o.ficut linea c 1 ad lineam 1 m,eft igitur per 2 x.quinti, pro=
portio linea s z ad lineam i o, ficut linea f 1 ad lineam 1 m,ergo per y. primi huius, erit
cotrario proportio linea io ad lineam-s i, ficut linea 1 m ad lineam f l,fcd eft proportio
line* s i ad lineam i r, ficut linea f 1 ad lineam 1 n,pcr 4.fexti,qm triangulus r i s .eft fimi
Iis triangulo f 1 n,per z 2; primi, cS em anguli s r i 8i f n I, (int aquales, quia rccfti,& an?
guli ris & nl f,funt aquales ex pramiffis, erit angulus r s i, aqualis angulo n f 1, igitur
per Z2.quinti, erit ^portio linea i o,ad lineam i r, ficut linea 1 m,ad lineam ln, erit ergo
econtrario per y.primi huius.^portio linea i r,ad linea i o, ficut linea I n,ad lineam 1 m,
& quoniS linea x i,eft dupla linea i r,& linea y b, eft dupla linea I n,erit per 1 y. quinti, ea
dem proportio line* x i, ad lineam i o, licut linea x l,ad lineam 1 m ,crgo per 1 7.quinti,
erit diuifim ,ppor tio linea x m ad lineam m I,ficut linea x o ad lineam i o, ducatur ita q?

Ipuncffo

LIBER 0 C T AW St 107

apundo i, linea ccquediftans lineis h x.per 3 1 .primi,qux fit i u,produca tur quoep linea
da, donec cocurrat cii linea i u, concurret au te per 2, primihuius,qua: cocurrit cSeius
arqucdiftantc qua: eft h x, fiet'cp concurfus pundus u, eritcp triangulus o u i, per if. di
29 .primi, aequiangulus triaguIo,h 0 x,ergo per 4.fexti,eft arportio linea: h o ad lineam
o u, ficut lineae x o ad lineam o i, eft aute ut patuit ex pmiuis proportio linea x o ad li*.
ncamo i, ficut linea ym ad linea ml, ergo per 1 1. quinti, erit ,pportio linea hoad linea

0 u, ficut linea zmad lineam 1 m,eft ergo per eande 1 i.quinti,proportiolineahoadH
neam o u,ficut linea h d ad lineam d c, fcd quonia triangulus h r i, aqualis eft triangu#
lo h r x, per 1 .fexti, quonia ex hypotliefi linea x r eft aqualis linea r ij di linea h r, eft
pendicularis fuper linea x i, palam quia angulus h x r, eft aqualis angulo r i h, ergo an=
gulus r i h eft aqualis angulo ui o,quia per 29. primi, anguli h x i di u i o funt aquales,
cum fint coaltcrni inter lineas xh&u i aqucdiftantes,ergo per 3 . fexti, erit proportio
linea h o ad lineam o u, ficut U uea h i ad lineam i iqeft ergo ,pportio linea h i ad lineam

1 u, per 1 1. quinti, ficut linea h d ad lineam d c, uerS angulus u i d, ut patet per pramifla
maior eft angulo d i h, iecctur ergo ab angulo u id, angulus aqualisd ih, per 27.primi
huius, di fit angulus p id, fitcn piandus p, in diametro d a, & ducatur linea pt, palam
itacp per 1 3 . primi huius, qcr proportio linea h i ad lineam i u.conftat ex proportione
linea h i ad lineam pi, di ex proportione linea p i ad lineam i u,fed per 3 .fexti, propors
lio eft linea h i ad lineam i x, ficut linea h d ad lineam d p, quonia angulus p i h diuifus
eft per aqualia per lineam d i, igitur proportio linea h i ad lineam i u, qua eft propor-
tio linea h d ad d c, conftat ex proportione linea h d ad d p, di, linea p i ad i u,& pro»
portio linea h d ad d t, conftat ex proportione linea h d ad linea d p, di ex proportione
linea d p ad lineam d t, eft igitur per 1 3 . primi huius, proportio linea d p, ad lineam d
c, ficut linea p i ad lineam u i.uern ut fupra patuit, angulus r i u, eft medietas anguli u i
h ,qin angulus u i r eft aqualis angulo h x i, per 2 p.primi, 8d angulus h x i eft aqualis r I
h, per 4, primi, eft ergo angulus r i h, medietas anguli u i h,& angulus d i h,eft medie=
tasanguli pih. Reftat ergo ut angulus d i o.fit medietas angulipiu.fed angulus dio,
cu fit aqualis angulo f 1 y, eft medietas anguli p d t, igitur angulus p i u, eft aqualis an-
gulo p dt,eft aute ut patet per pmifta proportio lineadpadlineamdt,ficutlineapi,
ad lineam i iqigitur per <5.fexti, trianguli p i u di d p t funt aquianguli,igitur per 4. fexti
illi trigoni funt fimiles, di angulus u p i, aqualis eft angulo d p t,ergo per 14. primi, Ii=
nea t p i, eft linea una reda cum angulo o p t uterq; tfi illoft angulor# aqual/5,qm' funt
u p i di t p d.ualet duos angulos redos g 13. primi, qm ergo linea t p i, eft linea una rea
da.erit ipfa linea incidentia forma pundi t, di anguli tiddidih funt aquales, ut pa=
tet cx pmiifis, palam ergo per 20. quinti huius, quod forma pundi t, refleditur ad ui-
fum exiftente in pundo h, £ pundo (peculi, quod eft i,femg'cp eadem eft probatio, fiue
pandus rei uifa qui eft t, fit extra circulu fpeculi fiue intra, fimiliterfiue punduh, quod
eft centrum uiilis fit extra circulum fpeculi fiueintra,dum tn diftent inaqualiter a cen-
tro fpeculi,patet ergo ,p politum, fit em reflexio ab uno tantu pundo arcus a q, interia-
ccnte illos diametros, in quibus punda h 8 i t, non confiftunt,& qm a pundo nvmpoffi-
bile eft duci alia linea fup linea fl, diuidente ipfam fecundum proportionem qua diuifit
ipfam lineam m c k,ut per 1 2o.primi huius manifeftum eft, quia non eft poffibile in pa
polito arcu inueniri aliud pudum praemilfa reflexionis,patet ergo quod ^ponebatur.

XXVIII.

Si angulum a duabus diametris circuli magni fpeculi fpha?rid concaui
contentum diuidat alia diameter per aequalia ab omni pundo arcus interia*
centis femidiametros primas,in quibus punda reflexa non conflftunt praes»
ter pundum cui incidit diameter angulum diuidens infinita pundorum pa*
ria inaequaliter a centro circuli diftantium refleduntur,

ff 3 Sit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Sit diTpofitio figurae pra?ccdcntis,fecentcp circulum, qui eft communis fed io fuperc
ficici reflexionis di fphatraru fpeculi fpharrici concaui dux diametri, qua: funt b q di a g,
iuper centrum d,diuidat'cp diameter e d 3,angulubd g per xqualia, dico quod quicuncp
pundus fumat in arcu a q.prxter pundu 3 ,ab illo poliunt refledi infinita paria pudo
rum inaequaliter I centro diftantiu, Sumatur em in arcu a q, pundus h, 8i fumatur in
femidiametro d g, pudusl, di i femidiametro b d,fecetur linea m d,xqualislinexi d, Si
ducatur lineae 1 m,l h,m h,d h,fecabit'cp diameter e 3 , lineam m l,per 29. primi huius, qui
fccat angulum b d g, cui fubtenditur linea 1 m, fit ergo pundus fedionis f, crit'qj per 4.
primi, & ex hypothefi linea m f, squalis lineat f 1, producatur quocp h d.quoufcp cadat fu
per lineam m 1, per 19, primi huius, fiteg pundus fedionis n, eritty linea 1 n, minor cjj \v
nea n m, ideo'qj linea dn,fecat angulum fdl, quia angulus hd 3, qui per ly. primi, eft
aequalis angulo n d f, minor eft angulo a d 3 , eft aequalis angu=
lo fdl.ueru cum angulus fdm,fittequalis angulo fdl, exhypo*
thefi,& angulo q d 3. per 1 1 . primi, di angulus md a, fit aequalis
angulo 1 dq,& angulus a d h.xqualis angulo n d 1, angulus uero
m d n, eft maior angulo n d 1, di angulus ii d q,eft maior angulo
a d h, ergo totus angulus 1 d h, eft maior toto angulo m d h,
igitur per z4.primi, linea 1 h, eft maior cp linea h m,cu linea m d.
Iit aequalis linea: d 1, & linea d b, communis ambobus trigonis m
d h & 1 d h,crit ergo angulus d h I,minor angulo d h m, qm fi de=
tur quod fit aequalis, tunc erit proportio linea: Ih, ad lineam m
h,ficut linea: ln, ad lineam n m,per 3. fexti, quod eftimpoftibile
per 8. quinti,fi uero detur quod angulus d Iil, fit maior angulo d h m,crgo per 27. pnV
mi huius, fecet ex angulo d h I, angulus arqualis angulo d h m, di fcquet impoftibile ut
prius„pduda alia linea fecate ad linea 1 n, p 29.primi huius,eft igit angulus d h I, minor
angulo d h m, fecet igitur ab angulo m d h, angulus aequalis angulo d h l,qui fit angulus
thd,ergo forma pundi t, p 2o.quinti huius, refledetur ad uifum exiftente inpundo 1,
£ pundo fpeculi quod eft h,& linea t d eft minor Cp linea 1 d, qm eft minor cfc linea d m,
fimiliter fi fumatur in femidiametris b g di g d,alia punda cp 1 di m, xqualiter diftantia
i. pundis 1 di t. Similiter .pbabtt q? i pundo h, fit reflexio pudor*: inaequaliter diftantiu
4centroadinuicem,& de infinitis pundis inhis diametris fumptis femp fimilis erit pro=
portio,& a' quorucp pundo arcus a q, praeter quod i pundo 3 , eade eft derrionftraiio, i
pundo uero 3,11011 eft poffibilis reflexio propter anguloru 1 3 d & d 3 1, inaequalitatem,
qua’ patet p 4. primi, reieda per 3 . primi, linea 1 d,in pundo p,ad aequalitatem linea d
f, di copulata linea p 3. patet ergo propofitum,

xx ix.

Pundo rei uifx&centro uifus intra fpcculum in diuerfis diametris cir*
culi magni fphccriri concaui exiftentibus, inacqualiterep diftantibus a cen*
tro, fi ab aliquo pundo fpeculi arcus fcilicet interiacentis femidiametros, in
quibus illa punda non confidunt fiat reflexio formarum eiufdem pundi ad
eundem uifum, ab alio pundo eiufdem arcus eft impoftibile refledi.

Remaneat omnimoda difpofitio theorematis praecedentis, di fit ut pundus rei uilar,
0 eft t,in femidiametro circuli d b, a pundo arcus a q.quod fit h.refledat ad uifum exis
ftentemin pundo 1, femidiametro d g,plus diftantcm S centro fpeculi quod eft d, $
pundus rei ui& qd* eft t, finfiqj punda t & I, ambo intra fpeculu, dico quod forma pun*
di t,ad uifum I,poffibile eft refledi ab alio pundo arcus a q, tp j pundo h. Si enim fit
ipfum poffibile ab alio pundo refledi ad uifum I, fit illud pundu k, di ducantur lineat
t k,I k,d k, 1 t,t h,I h,& linea nd h, di producatur linea kd,qUoufcp cadat in lineam I r, in
pundum p, cadat aute p 29.primi huius, ut in pmilfa oftendimus, quia ita 03 ut patet ex
hypothcfijforma pundi t, reneditur ad uifum exiftente in pundo 1, i pundo fpeculi h?
palam per 10, quinti huius,qm angulus t h l,diuiditur per aequalia per lineam n d h, er=

g°

LIBF.R OCTAVVX. 107

a' pundo i, linea squcdiftans lineis h x.per 3 1 ,primi,qus fit i u, producatur qitoep linea
d a, donec cocurrat cu linea i u, concurret aute per 2. primi huius, qu* cocurrit cGeius
squediftante quae eft hx, fictcp concurfus pundus u,erit'cjj triangulus o u i, per r 5-, 8i
19. primi, squiangulus triaguIo,h o x,ergo per 4.fexti,eft ^portio line* h o ad lineam
o u, ficut lineae x o ad lineam o i, eft aute ut patuit ex pmiffis proportio line* x o ad H*
neamo i, ficut line* y m ad linea m 1, ergo per 1 1. quinti, erit ,pportioIine* h o ad linea

0 u, ficut linea: z m ad lineam 1 m,eft ergo per cande 1 1. quinti, proportio linea:!) o adii
neam o u.ficut line* h d ad lineam d c, fed quonia triangulus h r i, squalis eft triangu*
lohrx, per 1 .fexti , quonia ex liypothefi linea x r eft squalis line* r i, & linea h r, eft pf
pendicuiaris fuper linea x i, palam quia angulus h x r, eft squalis angulo r i h, ergo an*
gulus r i h eft squalis angulo u i o,quia per 29. primi, anguli h x i & u i 0 funt squales,
cum fint coaltcrni inter lineas x h Si u i squediftantes,ergo per 3 . fexti, erit proportio
line* h o ad lineam ou, ficut line* h i ad lineam i u,eft ergo qr portio line* h i ad lineam

1 u,pcr 1 1 . quinti, ficut line* h d ad lineam d c, uer 5 angulus u i d, ut patet per prsmifla
matoreft angulo d ili, lecctur ergo ab angulo u id, angulus squalisdih,per 2 7, primi
huius, & lit angulus p id, fitCR pundus p, in diametro d a, & ducatur linea pt, palam
itaqj per 1 3 . primi huius, qcr proportio line* (1 i ad lineam i u.conftat ex proportione
line* h i ad lineam pi, Si ex proportione line* p i ad lineam i u,fed per 3 .fexti, propora
tio eft line* h i ad lineam i x, ficut line* hdadltneamd p, quonia angulus p i li diuifus
eft per *qualia per lineam d i, igitur proportio line* h i ad lineam i u, qu* eft propor-
tio line* h d ad d c, conftat ex proportione line* h d ad d p, Si , line* p i ad i u, & pro*
portio line* h dadd t, conftat ex proportione line* h d ad linea d p, 8i ex proportione
line* d p ad lineam d t, eft igitur per 1 3 . primi huius, proportio line* d p, ad lineam d
c, ficut line* p i ad lineam ui,ueru ut fupra patuit, angulus r i u, eft medietas anguli u i
h,qmangulusuir eft aqualis angulo hx i, per 29.primi.fii angulus hxieft squalisri
h,pcr 4, primi, eft ergo angulus r i h, medietas anguli uih,8i angulus d i h, eft mediem
tas anguli p i h. Reftat ergo ut angulus d i o, fit medietas anguli p i u,fed angulus di o,
cu fit aqualis angulo f 1 y, eft: medietas anguli p d t, igitur angulus p i u, eft squalis an-
gulo p d t,cft aute ut patet per pmtflfa proportio line* d p ad lineam d t, ficut lines p f>
ad lineam i u,igitur per 6. fexti, trianguli p i u di d p t fiint squianguli, igitur per 4. fexti
illi trigoni funt fimiles, fit! angulus u p i, squaliseftangulo d p t, ergo per /4. primi, li*
nea t p i, eft linea una reda cum angulo o p t uterqj tn illop; angulorjt *qualiu,qui funt
u p i 3i t p d .ualet duos angulos redos g 1 3 . primi.qm ergo linea t p i, eft linea una rea
da, erit ipfa linea incidenti* forms punefh' t, fi i anguli t i d Si d i h funt squales, ut pa=
tec cx pmiilis, palam ergo per 20. quinti huius, quod forma punefh' t, refleditur ad ai*
fum exiftente in punefh) h, i pundo fpeculi, quod eft /,femp'cp eadem eft: probatio, fiue
pundus rei uifs qui eft t,fit extra circulu fpeculi fiue intra, fimiliter flue pundu h , quod
eft centrum u illis fit extra circulum fpeculi fiue intra.dum tn diftent insqualiter d cena
tro fpcculi.patet ergo ,ppofitum,flt em reflexio ab uno tantu pundo arcus a q, interia*
cente illos diamctros.in quibus punda h Si t.non confidunt, 8<! qm £ pundo m,impoflts
bile eft duci alia linea fug linea FI, diuidente ipfam fecundum proportionem qua diuifit
ipfam lineam mck, ut per 1 2o.primi huius manifeftum eft, quia non eft pofTibile in^pa
pofito arcu inueniri aliud pudum prsmiffs reflexionis,patet ergo quod ^ponebatur#

XXVIII,

Si angulum i duabus diametris circuli magni fpeculi fphxrici concaui
contentum diilidat alia diameter per squalia ab omni punefto arcus interia*
centis femidiametros primas,in quibus puncfta reflexa non confiftunt prs*
ter pundum cui incidit diameter angulum diuidens infinita pundorum pa*
ria inaequaliter a centro circuli diftantium refleduntur,

ff 3

Sis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Sit difpofitio figurs prsccdentis, fecentqj circulum, qui eft communis fedio fuper?
fi dei reflexionis 6i fphsraru fpeculi fpharrici concaui duae diametri, qus funt b q 8i a g,
firper centrum d,diuidat'cj} diameter e d 3,angulubdg per aqualia.dico quod quicuncp
pundus fumat in arcu a q, praeter pundu 3,abillo poflunt refledi infinita paria pudo
rum inaequaliter 3 centro diftantiu, Sumatur era in arcu a q, pundus h, Si fumatur in
femidiametro d g, pudus 1, Si i femidiametro b d,fecetur linea m d.squalis linere i d, 8C
ducatur lines 1 m,l h,m h,d h,fecabit'qj diameter e 3 ,lineam m l,per 29. primi huius, qui
fecat angulum bdg, cui fubtenditur linea 1 m,(it'ergo pundus fedionis f, eritfcp per 4»
primi, & exhypotheli linea m f, squalis lines f 1, producatur quocp hd,quoufcp cadat fu
per lineam m 1, per >9, primi huius,fir'q? pundus fedionis n, eritep linea 1 n, minor cjj lis
nea n m, idcocp linea d n, fecat angulum f d I, quia angulus h d 3 , qui per 1 f. primi,eft
squalis angulo n df, minor eft angulo ad 3, eft squaJisangu*
lo fdl.ueru cum angulus fdm,fit squalis angulo fdl, ex hypo?
the(i,SC angulo q d 3 . per 1 1 . primi, Si angulus m d a, fit squalis
angulo I d q,6C angulus a d h, squalis angulo n d 1, angulus uero
m d n, eft maior angulo n d 1, & angulus hd q,eft maior angulo
a d h, ergo totus angulus 1 d h, eft maior toto angulo m d h,
igitur per z4.primi, linea I h, eft maior cfj linea h m,cu linea m d,
fit squalis lines d 1, & linea d h, communis ambobus trigonis m
d h & 1 d h,erit ergo angulus d Ii 1, minor angulo d h m, qm fi de?
tur quod lic squalis, tunc erit proportio lines lh, ad lineam m
Ii,ficut lines 1 n, ad lineam n m,per 3, fex ti, quod cftimpolfibile
per 8. quinti,!] uero detur quod angulus d h 1, fic maior angulo d h m,ergo per 27. pri*
mi huius, fecct ex angulo dlil, angulus squalis angulo d h m, Si fequet impoflibile ut
prius, ,pduda alia linea fecate ad linea 1 n, g 29 primi huius, eft igit angulus d h 1, minor
angulo d h m, fecet igitur ab angulo m d h, angulus squalis angulo d h l,qui fit angulus
thd,crgo forma pundi t, g 2o.qumtiIiuius,refledeturaduifum exiftente in pundo I,
3 pundo fpeculi quod eft h,8<: linea t d eft minor cp linea 1 d, qm eft minor cji linea d m,
fimiliter fi fumatur in femidiametris b g Si g d,alia punda cp I di m, squaliter diftantia
3 ptindis 1 di t, Similiter .pbabit q» i pundo h, fit reflexio pudore insqualiter diftantiu
3 centro adinuicem,&! de infinitis pundis in his diametris lumptis femg fimilis erit pro?
portio, & 3 quoeirqj pundo arcus a q, pister quod 3 pundo 3, cade eft demonft ratio, 3
putido uero 3,11011 eft po (Tibilis reflexio propter angulorir 1 3 d & d 3 1, insqualitatcm,
qus patet p 4. primi, rcleda per 3 . primi, linea I d,in pundo p,ad squalitatem lines d
t. Si copulata linea p 3 , patet ergo propolltum,

XXIX.

Pundo rei ui'fcc& centro uifus intra fpeculum m diucrfis diametris dr?
culi magni fpharrici concaui exiftcnribuSjintequalitcrqj diftantibus acen?
tro, fi ab aliquo pundo fpeculi arcus fcilicet interiacentis femidiametros, in
quibus illa punda non confiftunt fiat reflexio formarum eiufdcm pundi ad
eundem uifumi ab alio pundo eiufdem . arcus eft impoflibile refledi.

Remaneat omnimoda difpofitio theorematis prsccdenris, 8i flt ut pundus rei uifs,
g eft r,in femidiametro circuli d b, 3 pundo arcus a q, quod fit h.rcfledaf ad uifum exi-
flentem in pundo 1, femidiametro d g, plus diflantem 3 centro fpeculi quod di d, tjj
pundus rei uifs qcf eft t, fintq? punda t di 1, ambo intra fpcculu, dico quod forma pun?
di t,ad uifum I,poflibiIe eft refledi ab alio pundo arcus a q, i pundo h. Si enim fic
ipfum poflibile ab alio pundo refledi ad uifum 1, fit illud pundu k, 8i ducantur lines
t k,l k, d k, I t,t h,I h,8C linea ndh, di producatur linea kd.quoufqj cadat in lineam 1 1, in
pundutn p, cadat aute p 2p.primihuius,ut inpmiffa oftendimus, quia itacH ut pater ex
liypothefi, forma pundi t, reneditur ad uifum exiftente in pundo 1, 3 pundo fpeculi h,
palam per 2o,quinti huius, qm angulus t h J,diuiditur per squalia per lineam n d h, er?

IIBER 6CTAVVS*

qua eft centrum uiTus quod eft a , facit angulum ii b g, minorem angulo ne a,qui eft an*
gulus coftans ex angulis incidetix di reflexionis > diameter uero o b, cu
diametro a b g, continet angulum o bg, maiore angulo o e a, patet ergo
propofitum. Si uero linea b g,non fuit perpendicularis fuper lineam ea*
tunc per i z. primi, 4 pundob fuper ,pduda lineam e a.ducatur perpedia
cularis qua: fit b k, qua: quidem flue cadat ultra linea a b,uel citrauerfus
pundu e,femper eade jpbacio.Sit enim linea b ^perpendicularis fuper li
neam c p, & (it linea f t, aequalis linea: a k,8i ducatur linea t b.pala itacj}
quonia in trigono f e b,angulus e k b,eft redus aequalis angulo fe b tr i*
go ni f e b,& angulus k e b,per zo. quinti huius.eft xqualis angulo f e b, li
nea uero e b,cft latus comime3ergo per z6.primulla trigona fbc dikb
e,funt cequalia,&! erit linea b f, aequalis linea: k b,fed linea a k,a:quali's eft 1
linea: f t,cx hypoche(i,Crgo g +.primi, in trigonis b t f 8i b k a, erit linea b \
i, aequalis linea: b a, 8 <i angulus a b k, xqualis angulo fb t , addito ergo u*
trobiqj comunt angulo fb a,erft angulus k b f, aqualis angulo a b t.fed
duo anguli k b f,& f e a,ualcnt duos redos per j i.primi,qaia in quadri*
latero k b fc,alij duo anguli qui iimt b f e a b k e funt recti, ergo duo anguli t b a & t e a*
ualenc duos redos, fed per 13. pr/mi, angulus t b g,cum angulo tb a.ualet duos redos.cr
go angulus t b g, aequalis eft angulo t e a, qui eft angulus conftans ex angulo inciden*
tix di reflexionis,!] igitur i centro fpeculi quod eft b,ad lineam t e, ducatur linea ultra pti*
dum t , faciet angulum cum diametro bg.ex parte pundi g minorem angulo t e a,quo
tliamfaciet minorem angulum t b gjqui eft squalis angulo te aberit illa linea maior
quini linea a b,quia erit p 1 S. primi, maior quim linea b t,quae eft squalis linex a b,qux*
libet uero linea duda ab aliquo pundo linex te,ad centrum fpeculi quod eft b, faciet an
gulum cu diametro b g, maiore angulo tbg,Crgo di maiorem angulo t e b,et erit quadi
bet illaru lincaru minor ifj linea b qergo erit minor cg linea b a, patet ergo propofitum»
xxxiif»

Centro uifus & pundo reiuifie in diuerfis diametris circuli, qui efl: com*
irnunis fecfiio fuperfictd reflexionis & fpeculi fphaerici concaui exiftentibus,
& inaequaliter di flantibus a centro fpeculi , fi ab aliquo pundo circumfereris
tix- circuli fiat rcflexio,iinpoflibjle eft diametrum in qua efl pundus rei uifsc
cum diametroin qua eft centrum uifus angulumextrinfecum angulo reflexio
riis aequalem conftitucre angulo conflanti ex angulis incidentia: 8c reflem
irionis*

Sit b centrum uifus,& centra fpeculi fphxrici concaui fitg»& ducatur diameter per
pimda b di g,qux fit z d,ficc$ a pundus rei uifae , Si efto ut aliqua fuperficies plana fecet
fphxram ipcculi fuper circulum z e d,per 69. primi huius, dico (i forma pundi a,exiftcrt
t is in diametro bg e, refledituraduifum exiftenterrt in pundob i
ab aliquo pundo circuli z c d » Si fi inaequalis eft diftantia pundo
ruma di b,i centro fpeculi quod cftg, quod diameter ag, cum di*

Smetro bg, exparte pundi d, faciet angulum a gd,qucm impof /
fibile eft efle xqualem angulo conftanti ex angulis incidenti» di /
reflexionis , fl uero I10C fit pofsibik ponatur inefle , di fit pundus (
reflexionis t, fit'q) linea dg, inxqiialis lineae bg,& ducantur li= z
nex t a , t b , t g , b a, Si flat circulus tranfienS per tria ptinda a g b,
trigoni a b g.per r*quarti,tranfibit ergo ille cirCulus ncceflario per
pundum t , fi enim tranleat extra pundum t , tUnC ditdis lineis i
pundis a Si b , ad aliquod pundum unum illius circuli extra puti*
dum t ,& duda linea ba, erit angulus contentus perliiicaS du*
das ad illud pundum circumferenti» minoris circuli per » nprimijminor atigtiio a t b»

gg f“*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

fed accidit ipfum cflc aequalem angulo a t b,pala enim per a/, terttj, quoniam ille ango*
Ius cum angulo a gb,ualet duos redos, quoniam oes duo anguli quadrilatcri inferipti
circulo ex aduerfo collocati , ualent duos redos,fed angulus a bg,cu angulo a g d , per
1 3 ,primi,ualet duos redos, angulus uero a g d, squalis cft angulo a t b cx hypothefi,er«
go angulus a g b,cum angulo a t b,ualet duos redos , erit ergo ille angulus conftitutus
fuper arcum minoris circuli aequalis angulo a t bjquod eft contra z i. primi, fimiliter quo
que accidit idem impofsibilejfi circulus ille tranfiens punda illa tria quae funt a g b , non
ceciderit in pundum tifed citraillud,8^ erit eadem dedudio , qus prius , reftat ergo , ut
circulus tranfiens per punda a g b,tranfiet etiam per pundum t , cum itacp angulus a t
g,fit per zo. quinti huius, squalis angulo b t g,erit arcus a g, squalis arcu g a, per ry.ter
ttj, ergo per z8 .terttj, er itlinea bg, squalis lines g a,propofita autemeft elfe insqualis*
hocergo eft impofsibile,patet itacp propofitum, quoniam angulus a t b,conftans ex an
gulis incidentis di reflexionis, forma: pundi a, ad centrum uifus exiftens in pundo b,
femper eft insqualis angulo contento £i diametris, in quibus fit pundus rei lufSi&ccn*
trum uifus extrinleeo illi angulo incidentis Si teflexionis, quod eft propofitum.

xxxmr.

Centro uifus & punefto rei uifte in diuerfis diametris circuli qui eft corrv*
munis fedio fuperficiei reflexionis & Ipeculiiphxrici concaui exiftentibus &
inaequaliter diftantibusa centro lpeculiafi a duobus puncflrs arcus interiacens*
t is diametrum in qua eft centrum uifus , Si. aliam in qua eft puncflus rei uilic fi
etreflexio,non erit utcrcp angulus conftans ex angulo incidentia: 8i reflexio^
nis minor angulo extrinfeco angulo cadenti ia eundem arcum adutftis diame
tris contento >

Sit, ut in prsmifla proxima cenmim uifus b, 8i pundus rei u iis a , cen trum fpcculi
fphsrici cocaui fit g,& ducatur diameter per centra b 8i g,qus fit 3 d,fccetc$ fupcrficies
plana fpeculum fecundum diametrum 3 d ,erit'cp per 6p. primi huius, fcdio communis
circulus qui fite d h 3 >ducatur'cp diameter e h,in qua fit pundusrei uifs,qui cft a, fit'qj Ii*
nca bg.qus eft diftantia centri uifus, a centro fpcculi maior tfi linea a g,dico quod fi fors
ma pundi a,refleditur ad uifum dxiftcntcm in pundo b,i duobus ptindis arcus e 3 , ti6
erit uterqj angulus conftans ex angulis incidentis di reflexionisminor angulo a g d.
Sint enim duo punda 3 quibus fit reflexio forms pundi a, ad uifum exiftentem in pun*
do b,qus funt punda 1 6i q,& ducantur lines b t, g t, a t, b q,gq, a q,fit itaq; angulus b
t a , conftans ex angulo incidcntis.qui cft at g, & ex angulo reflexionisqui cftg t b,fic

£ _ minor angulo a g d.cjui cft angulus cxtrinfccus angulo cadente

yC X. in arcum e 3 ,&cft ipfc angulus a g d , cadens in arcum c d , dico

X” quod angulus a q b qui eft conftans ex angulo incidentis a q g ,
Si angulus reflexionis g q b , non erit minor afigulo a g d , dato
\ y&L \ tamen quod fit minor , ducatur linea g n , diuidens angulum e

j g 3, per squalia per nonam primi, & ducatur linea ab,continu*
1 ans pundum rei uifs.quod eft a.cum centro uifus ,quod cft b,pa
\ / lam itacp per z 51. primi huius,cum linea b n/ecet angulum b g a,

y\ \ / cui fubtenditur linea a b , quod linea b n, etiam fccabit lineam a

\ \ / b,fit pundus fedion/s f ,erit ergo per tertiam fexti , proportio Ii*

'X nes b g,ad lineam g a,flcttt lines b f ad lineam f a , fed linea b

g.exhypothefi, eft minor quSmlincaga, eft ergo linea b f, ma*
io r qtiSm linea f a,diuidatur itacp linea a b,per squalia in pundo fc.pcr 10. primi , di fiat
per quintam quarti, circulus tranfiens per tria punda qus funt a b t,quia circulus non
tranfibit per pundum g.fed citra illud uifus pundo a & b,dato enim quod circulus ille
tranfeat centrum g.fequeretur per u. tertij, anguluma gb, cum anguloa tb,squalem
«fle duobus rcdis,quoniam illi duo anguli erunt cx aducifo collocari in quadrilarero in

feripto

LIBER. OCTA WS* iS6

fcripto illi minori circulo. Sunt autem illi duo anguli minores duobus redis, quod pa*
tet ex hypothefi.cum angulus b t a, (it minor angulo a g d ,qui per 1 3 .primi, cum angu=
lo a g b.ualet duos redos, igitur ille minor circulus non tranfibit per centrum maioris cir
culi quod eft g,fimiliter quoqjdico quod non tranfibit ille circulus minor pundum.re*
flexionis fecundum quod eft q,dato enim quod tranfeatpundumq, cum non tranfeat
centrum g.fit pundus in quo linea g fecat periferiam illius circuli pundus m, quia itacjj
anguli aqmSCmq b,funt aquales per 10, quinti huius, quoniam angulus incidenda eft
aqualis angulo reflexionis, & funt conftituti fuper illius circuli circumferentiam, palant
per iy.tertij.quoniam arcus a m, aqualis erit arcuim b,quod eft impofsibile . Sit enint
pundus in quo linea g t , fecat circulum pundus o , eritfcg palam per eafdem 20, quinti
huius,&; 2 y.tcrtij, quoniam arcus a o,eft aqualis arCui o b,eft autem arcus ao maior ar*
cu a m.fiet ergo arcus o b, maior arcu m b,pars fuo toto, quod eft impofsibile, nonergo
tranfibit ille circulus per pudum q.reftat ergo ut ille Circulus tranfeat ultra pundum q
fi enim citra pundum q tranfeat, eadem penitus erit improbatio qua prius. Ducatur
item linea i pundo o ad pundum k,qua fit o k , hac ergo diui-
dit chordam b a , per aqualia , Si fimiliter arcum b a, ut patet ex
pramilTa,dudis ergo chordis b o,& a o , qua erunt aquales per
28. tertij,patet per 8. primi, quod linea ok perpendicularis erit /
fuper lineam b a,fed per 1 9. primi, angulus b a g , maior eftangu f
lo ab g,eft enim linea bg, maior quimlineaga,ex hypothefi, Si 1
per 3 2.primi,angulus b f g,ualet duos angulos fag&fga»&\
per eandem 3 2,primi,angulus a f g.ualet duos angulos f b g 8i V
tg b,fed ex pramifsis angulus a g f , eft aqualis angulo f gb
&i angulus f a g, maior eft angulo f b g,ergo angulus a f g , mi*
nor eft angulo g f b.eft ergo angulus g f a, acutus , Si ang ulusg
f b obtufus,per 1 3. primi, ergo angulus nf keft acutus per eandem 1 3. primi , fed angit*
lus 0 kb eft redus, ut patet cx pramifsis, ergo per imprimi huius, linea o k,produdaco
curret cum linea g n, ultra lineam b f,non autem fub illa , ideofcg fi concurret cum linea
g f,in pudo k, flerent per primam fexti, trigona a g k 8£ b g k, aqualia, cum ipfa fint eiuf
dem altitudinis,& eorum bafes,qua funt b k Oi a k,flnt aquales,fed 8i eorum anguli ,qut
funt b g k & a g k funt aquales, angulus enim a g b.diuifus eft per aqualia per lineam g f
in qua cadit pundum k,ergo per 1 4. (exti, (equitur latus b g, fieri aqualelateri- a g, quod
eft contra hypotheflm.uel fequitur per tertiam fexti,lineam b k,fieei maiorem quam fu*
it linea a k,quia reda,8C contra pramifla.Idcm quotp accidit impofsibile fi pundus f,
cadat inter punda b Si k, fiet enim linea b k, maior qudm linea b f,eft autem linea b F,per
tertiam fexti, maior quim linea f a ,8i ita eft linea b f, maior quim linea k a.quod totum
eft impolsibilCjCadet ergo pundus f , inter punda k Si a , fiet ergo linearum o k & g n,
concurfus ultra lineam b f. Fado item circulo tranfeunte per tria punda, quae funt a q
b,tran(ibit ille circulus citra pundum q , quoniam ut prius oftenfum eft fi tranfierit per
pundum g, fieret _per 21. tcrtq,angulus a qb.xqualis angulo agd.per 13 . primi , quod
eft contra praemiifam proximam, tranfibitergo ille circulus citra pundum g , Si per 44*
quinti huius, & per 25-, tertij, linea g q,diuidet arcum illius circuli,quicft ab, per xqUalia
in pudo qui fit o,quoniam ipfa diuidit angulum b q a, per arqualia, ducatur quocjj linea
ko,qua: ut patet ex prtemifsis diuiditehordam b a, per rcqnalia,ergo linea k o,conairret
cum linea gu, intra lineam fb.&I ultra pundum o, quia enim, utfupra oftenfum eft, lfc>
nca o k,eft perpendicularis fuper lineam b a, pundumfcpo, cadit in peri feriam, circuli mi
noris,qui eft a q k,a pundis ergo a Si b,copulctur ut prius chordae b o 8f a o,pa tet a; per
4. primi,quoniam chorda: b o Si a o funt aequales, ergo per 17. tertij, arcus.a o,eft te qua
lis arcui b o, arcus enim b a,diuifus,per aqualia in pundo o,per lineam g q , linea: ergo
o k Si g n, concurrunt in pundo aliquo circa lineam b f,& ultra pundum o, quoniam li*
nca g n,diuidcns per aequalia angulum a g b .cadit inter punda k Si 0 , utfupra patuit,
linea ergo k o, concurrens cum linea b a , de nccefeitate pi ius concurret cum linea g a»

gg * fub

PERSPECTIVAE VlTELLIONlS

fiib linea b f, Cuius contrarium iam patuit in prtemifsis.oftenfum enim fuit,quia concUf*
rebat cum linea g a, ultra lineam b f, di ita fequeretur duas redas lineas includere fuper*
fidem quod eft manifeftum impofsibile. Reflat ergo ut angulus a q b,non fit mi*
nor angulo a g d,aut quod forma pundi a.non refledatur ad uifum in pundum b,i pun
do q, quod eft contra hypothefim di impofsibile.cft ergo angulus a q b,non minor angtl
fo a g d,ex quo fequitur propofitum quod in hac difpofitione non erit utercp angulorum
conflantium ex angulis incidentia: Si reflexionis minor angulo extrinieco angulo caden
ti in arcum contentum i duabus diametris circuli,in quarum una eft centrum uifus , di.
in altera pundus rei uiftCjpatetergo propofitum, quoniam femper fimilis erit improba*
tio fumpto quocuncp alio pundo arcus e n,fed necp ab aliquo pundo arcus 3 n, pofsibi
le eft fieri reflexionem forma: pudi a,rei uifa ad uifum exiftentem in pundo b,ita ut an*
gulus conftans cx angulis incidendae di reflexionis fadte i pundo c,di ab illo alio pun*
do arcus n 3, fit uterqj minor angulo a g d.remanente enim difpofitione figura prioris,
qua: eft anguli a t b, fit ut i pundo arcus n 3 .fiat reflexio formae pundi a, ad uifum b. Sic
itaqjquod angulus conftans ex angulo incidentia: di reflexionis qui fit fr, pundum p.fie
minor angulo a g d,(icut di angulus conflas ex angulo incidentis di reflexionis , qui eft
fupra punctum t, minor eft eodem angulo a g d, ducantur itacg linea: a p, b p, g p, feca*
bit ergo linea g pjineain k Ojquoniam ut prarmiMuin eft linea g t,diuidit arcum a b,mi*
rioris circuli per tequalia in pundo o,per zy.tertrj,eft enim per zo. quinti huius , angu*
fusa tg, tcqualis angulo gtb,& eundem arcum diuiditlinca ko, per aqualia, 2Cquoni*
am ut praroftenfum cft>patcr quod linea k o, concurrit cum linea g n, linea g p, fecat an»
gitlum n g c, cui fubtenditur linea k o , concurrens cum linea n g , ultra lineam b f , cr»
go per z<S. primi huius, linea g p,fccabit lineam ko.Sit ftaqj pundus fedionis linearum
g p di k 0 .pundus b,& ducatur linea t p,cum ita qj duae linea: gt&gpfint tcqualcs,quia
funt femidiametri eiuiclem circuli,& per r.primi .angulus g t p, aequalis angulo g p t , di.
Uterqj acutus per 3 2 .primi, duda ergo linea perpendiculari 3 pundo t, fuper lineam g t,
erit illa perpendicularis per 1 j-.tertq, contingens fpeculi circulum, qui eft e d h 3,&: pro*
duda cadet fuper terminum diametriminoris circuli per zo. tcrtij,cum angulus quem
efficit illa perpcdicularis cum linea t g.vefpiciat femicirculum minoris , linea enim t o,ca
dit fuper lineam k o,fit'qj angulus t o k,minor redo per 4 z. primi, linea enim o k.cft pars
femidiametri circuli minoris propter hoc quod anguluso k b eft rcdus,8C linea k o,pro*
duda fecat circulum minorem tranfiens per cius centrum per 1 ,tertij,ideo quod ipfa fc*
cans lineam b a,orthogonalitcr di per aqualia fcca t ipfam ncccfTario.crgo illa perpendi
cularis produda concurret cum linea ko, per 14. primi huius, crit'cj3 pundus concurfus
in pundo termini diametri circuli minoris per zo,tertij,cum ille angulus in fcmicirculo
fit redus qui fit fuper pundum t, tantum lincte g t,fed linea t p.eft inferior illa perpendi*
culari ex parte pundi n,igiturqua:ainqj Unca ducatur i pundo g, centro fpeculi ad line
am t p.fecatis diametrum o k , illa cadet nccelfario in aliquod pundum linea: t p, citra
perpendicularem, cum igitur linea g p,cadat in pundum p>di fecct lineam o k, erit pun*
dus p, citra illam perpendicularem, di infra arcum minoris circuli , cui fubtenditur illa
perpendicularis,fado igitur circulo tranfeunte per tria punda,qua: funt ab p, tranfibic
quidem iHerirculiispcrpunduml.quoniam linea pl.fecabit illum circulum ficuti prio*
rem circulum ab t,fecabit linea t o,circulus iraq? a b p,fecabit circulum a b t, in duobus
pudis a di b ,di cum exeat i pundo b,SC iterum redeat inpundum p,infcriorcm pundo
t,cum fit citra illum circulum uerfus pundum t ,necdfario fccabit illum circulum in ter
tio pundo quod eft contra 1 o,tertij,& impofsibile.Rcftatigitur ut forma pudi rei uife>
qui eft a , non refledatur ad uifum exiftentem in pundo b,i duobus pudis arcus 3 n,fta
ut quilibet angulorum illorum fit minor angulo a gd, palam ergo quod impofsibilecft
ut forma pundi a , refledatur ad uifum b, i duobus pundis arcus interiacentiscorum
diametrosquiefte 3, ita ut uterqj angulorum conflantium ex angulis incidentia: dire
flexionis fit minor angulo a g d,quod eft propofitum ,

LIBER.

OCTAWS* M|

XXXV.

In ipeculis fphxrids concauis duo punda qui diueriis diametris , & inas*
•qualis diftantiac a centro Ipeculi ouftentia a duobus puncflis ipeculi arcus fcili
cetinteriaccntis femidiametrosin quibus illa punda conliftunt ad fc mutuo
refkdantur,polsibile eftinueniri*

Sit circulus, qui eft communis fedio fupefficiei reflexionis,& Tuperficiei Ipeculi fphae
rici concaui,cuius centrum d,&: fumatur tnipfo duae diametri, qua: (intga&bh, fecan=*
tes fe in centro d, dico quod pofs(biJeeftficriquodproponitur,diuidatur enim angulus
g d b per aqualia, per lemidiametrum d e, di in femidiametro b d fumatur pundus m ul
tra pundu, in quem caditperpendicularis duda i pundo e.fuper diametra b d,& fumas
lur linea n d,in diametro dg, aqualis linee md,& fiat per j- quarti,circulus tranfienspec
tria punda m d n, hoc ergo neceflario traniibit ultra punda e, fi enim detur.quod ille cirs
culus tranfeat pundue, ducantur linea me&n e,ffet'cjj quadrangula d m e n,intra circii
lum, ergo per 2 /.terti), duo anguli iftius quadranguli ex aduerlo colloca ti.ut qua funt i
punda m di n,funt aquales duobus redis, quod eft impofsibilc, dum duo anguliemd,&
e n d,ambo funt acuti minoris duobus redis,ideo quod linea em die n, cadunt ultra per
pcndicu/ares dudas i pundo e , fuper femidiametros b d di g d , limilis quoq fiet dedu*
dio, fi circulus tranfeat citra pundum e,tunc enim anguli illius quadranguli cadentes fit
per pundum m di n,erunt iterum minores redis, tranfit igitur circulus d m n extra pun
dume, fecabit ergo circulum proportio ipfius fpeculi in duobus pundis per /o, terti),
fint illa duo punda c di I,& ducantur linea n c,m c, nl, d l,m I,8C ducatur linea m n fes
cans lineam e d in pundo f,& lineam c d in pudo p,cum itaq ut patet ex pramifsis li*
nea m d fit aqualis linea n d,& linea p d, communis ambobus trigonis p d m & p d n, ££
angulus p d m aqualis angulo p d n,palam per 4,primi,quoma triangulus p m d, aquas
lis eft triangulo p n d,crit quocjj angulus f p d aqualis angulo n p d,& uterqj redus, an*
gulus itac|j p fd eft acutus per j z. primi, ducatur ergo d pundo f, linea perpendicularis
fuper lineam dc, per i r.primi,quaprodudaad circumferentiaminoris circulifit linea
f k,hac ita<£ fecabit lineam 1 n.uel non iecabit, fi non fecet ,erit qualibet pundus lineae
1 n propinquior pundo n quam pundus ic.fi fecetpalam itacp quoniam aliquis pundus
linea 1 n,crit inferior pundo k,plus approximans ad pundum n qulm pundum k fit il
|c pundus Zydi ducatur linea c z,qua producatur uffy ad circumferentiam circuli mino*»
r is cadatq; in pundum o, arcus icaqj n o,aut eft minor arcu c l,aut non. Si nonfuerit mi
nor abfeidatur ex eo arcus minor arcu I c,& ducatur ad terminum illius arcus linea i pii
do c,& erit idem ficuti fi arcus n o fit minor arcui 1 C,fit ergoarcusn o minor cp fit arcus
c I,ergo per ultimam fexti angulus c n 1 eft maior angulo o c n • Secetur ergo ex angulo
c ni angulus aqualis angulo ocn, qui fit i nz,cadat'q* pundum i in lineam cz, per 2.9»
primi huius, & fuper pundu c, linea: mc per 23 .primi,fiat angulus aqualis angulo o c n»
qui fit angulusqcni.cuitacpanguluscmlfitmaiorangulomcq, quia arcus cl eftma*:
ior arcu n o,ut patet ex pramifsis.arcus ucro n o, determinat quantitatem anguli mc q
qui eft aqualis angulo o c n, palam ergo per 1 4. primi huius,quoniam concurret linea c
q, cum linea I m,(it itaqj coeurfus in pundo q,cum igitur angulus Ime fit aqualis duo
bus angulis m q c di m c q ,per 3 2. primi, & angulus 1 n c fit aqualis angulo 1 m c, per 26.
terti), funt enim Conftituti luper eundem arcum qui eftl c,& cum angulus i nizeix pra=*
mifsis fit aqualis angulo m cq, erit angulus i ncaqualis angulo m q c,cft ergO per 32»
primi,angulus m c q aquiangulus triangulo i n c.cum angulus 0 c n (It aqualis angulo
mc q,& umilitcr triangulus i nz, eft per 3 2. primi, aquiangulus triangulo en z, cum an
gulus C z n, ambobus illis triangulis iit communis, & angulus in c (it aqualis angulo o
c n , eft ergo per 4. lexti, proportio linea n c ad lineam c q,ficut linea n i ad lineam m q»
di fimilitereft proportio lineae n ad lineam Cz,ficut linea n» ad lineam nz,fed linea
C z , eft maior quim linea c q, quod patet per hoc,flt enfttt t.pudus in quo linea c z fecat
(ineam k f, angulus itaqjcfr eft redws;ctfn) Ifcgfaik fit perpendicularis fuper lineam c d,

gg 3 C*'S°

PERSPECTIVAE ' VITEIllIOHlS

ergo g j 2.prim/,aflgulus f c r eft acutus, cja uero linea d m,ut patet ex pranriifsis eft seq*
lis linea: d n,erit per i7.tcrtij,arcusd m tequalisarcui d nsergo p 26.tertij , angulus m c
d eft squalis angulo d c njfed angulusq c m eft: aqualis angulo o c n,cx pnemifsis,fit er
go angulus q c t squaliiangulo fc r;qUia ex squalibus angulis coriftat , angulus ergo
qcf eft acutus, Sdihea kf eft perpendicularis fuper itneam c d , angulusquocp c f k eft:
xeiftus, ergo per i -fiprimi huius.linca k F produda cocutrer cum linea c q , fitpundS co
curfus f,fk linea produda i pundo c,ufqj ad pundum f, quod eft
pundum cohcurfusjcuius parscftlinea c q , eft squalis lines c r,
quoniam enim illorutrigbrtOVutn^ngdli ad pudum f, fiunt redi
ad piindum c , expracmifsis funt squales per jz, primi,quoniam
illi trigoni c ff^c frfuncajqUungUli.fie linea c f communis, reli*
qua ergo latera quae funt c d & c r,funt squalia per 4. fexti , fed li*
nea cf eft maior qujJnri linea c q,£elirteacz,eft maior quSm linea
cr, linea ergo c'q eft: minor quSm linea cz, eft ergo per 3. quinti,
minor proportio lines n c adlineamcq, qu3m lines n c ad linea
C z,igitur'maior eft proportio lines i n ad m q , quJim lines i n ad
lineam n z.quareper 1 0 .quinti , linea m q eft minor qu^m linea n
Zjfccettir ergo ex linea n z linea squalis, lines m q,qus fitn x , 8i
ducatur linead x,8<! quoniam petii, Tertij,angulusln deum a ngulolmd,ualet duos re
dos,& angulusl n d squalis angulo q m d, ergo per 4,primi,triangulus x n d eft squa»
Iis triangulo d m q,& linea d x squalis lines d q,SC angulus x d neft squalis angulo q d
m ,di angulus d x n squalis angulo q d m,fcd angulus d x z eft maior redo,cum fit mas
ior angulo d n x,pcr 1 6. primi, & angulus d n x eft maior redo per 3 o , tertij, quoniam ca
ditinproportionem minorem fehiicirculo qui eft d n l,&'etiam patet hoc per 2 1 . tertij»
quoniam enim angulus I md tift aCutUs, pa tet quod angulus d n 1 eft obtufus, ergo per 1 9
primi.linea dzeftmaior quilm linead x, CrgolineaZ dCft maior quim linea qd , forma
ergopiindi qpoteftreflediad pundum Z , i duobus pundis fpeculi qus funte di I, di
punda q &‘z,funt insqlialis diftantiS i centro & in diuerfis diametris , quod patet ideo
quod angui us x n d eft squalis angulo q d m, addito ergo communi angulo q d x,fed an
gulus n d m eft minor duobus redis, ergo Si angulo q d x.crgo' magis angulus q d z eft
minor duobus redis, ergo duo punda q 8i z,non funt in cadcmdiamctro,fcd in diuerfis
6C hoc eft propofitum.

'XXxVr.

A fpcculisfpbaTicisconcauis duobus pundis inccqualfter diftantibus a
ccntro,& in diuerfis diametris exiiftcntibus ad fe inuicem reflexis a duobus

pundis arcus intcriaccntis illasTemidiametros in quibus illa punda confis
ftuntimpofsibilecft ipfa apundo alio illius arcus aci fe inuicem refledi .

Sit circulus fpeculi fphxrici 'coheaui a g h, cuius centru fit d,8Cfinr duo punda k&fr,
ad fe inuicem reflexa i duobus pundis arcus h g,fitcfc pundum k, remotius i centro fpe*
v •culiquodeftdquimpunduso,8dfintl/ncsgda&:bdm,

n dus diametri , in quibus funt punda illa k 8i o,fitqj pun*

/ \l \ dum k,ih femidiametro g d, fiC pundus o , in femidiamei

/ L ^7 trobd tefledantur^Formsiftorum pundorum adinuic

• f /‘ cem i aUObus pundis arcus g b,ut oftenditurper prsccde

\\ ( tem,& fit angulus o d k niaior angulo o d a , di fit cimus

f — o — ‘ ] Punc^l,s arcusbg,i quo fit reflexio, palam ergo ex 34.1111*

/ ,us>cll,°d urerqj duorum angulorum conflantium ex an*
' \ J gulis incidentia: di reflexionis.nonerit minor angulo o d

\ / a , neqj eft aliquis illorum angulorum tcqualis angulo 0 d

/ j/ a,ut patet per ea quar declarata funt in 3 3 .huius , alter cr

go illorum erit maior ahgulo od a, Seducantur linea: o
c,dc,kc,8e ex angulo oc k/ccctur per 17, primi huius , angulus arqualis angulo oda,

qut

LIBER OCTAVVS* m

qui Iit c o f.duda linea c f fuper diametro g d,8i diu/da tur angulus fck.per £quali'a,per
p.primijdudia linea c e fuper lineam kf,& 5 pundo k, ducatur linea aquediftans linea:
c f,per 3 i , primi)quafitkz,&! quoniam linea cfaquediftanslineakz, concurrit cumli*
nea c e m pundo c, paret quod linea k z concurret cum linea c e,produda per fecudam
primi huius, fit ergo linea k z concurras cu linea c e in pundo z,& ducatur linea ok, 8d
per p. primi, diuidatur angulus o d k per aqualia per linea k o,in pundo p , cuergo fit Ii*
nea kd maior cf? linea od,ut patet ex hypothefi,&! quia per 3. fextfeft proportio lineae
kdad lineam do,ficut linea kp ad lineam po.erit linea kp maior ^ lineapo. Item fit
ut linea d c fecet lineam k o in puncto n,palam quod linea d p u cadet inter duo punda
k&n,no aute inter duo punda n di o,quia enim angulus k p d ualet duos angulos p o d
di p do, fit! angulus o p d ualet duos angulos p d k di p k d, fed angulus p d 0 eft aqualis:
angulo p d k,6<; angulus k o d maior eft angulo o k d,per 1 p. primi , ergo angulus k p d
maior eft angulo opd, eft ergo angulus k p d maior redo per 13. primi ,& angulus op
d,eft acutus, (ed angulus k n d eft acutus, quod patet.fi fiat circulus tranfiens per tria puti
daock,per {-.quarti, hic enim tranfibit infra pundu d, quod eft centru circulimaioris,
quoniam cu angulus o d k fit maior angulo o d a ex hypothefi, erunt duo anguli 0 d k di
o c k, maiores duobus rcdis,quod eirerimpofsibilc per 2 i.tertipied ii circulus ille rranfi-
ret pundii d,uel fupra pundum d.quoniam eade eft demonftratio, linea uero n d diuidec
kc o, arcum illius circuli per aqualia, per if.tcrtrjquoniamdiuidit angulii ock pera»
qualia exhypochefi,fieta3tilladiuifioarcusko infra pundumd. Si uero ab illo pun*
do diuifionis arcus o k,ducaturlinea ad mediu pundum linea o k,qua eft chorda illius
arcus o kjcrir linea illa perpendicularis fuper lineam o k,per 3. primi, & cadetiHa perpS
dicularisiuterpunda p &k,cu linea kp fit maior tjj linea p o. di angulus fuper pundiE
n,ex parte illius perpendiculariserit acutus, ergo di ex parte p erit acucus,& angulus fu*
per pundum p ex parte o,eritacutus,hoccninvofrcnfum eftiupcrius, Si ergo detur,
pundusp cadat inter duo punda n &! o , imporsibile erit per*
pendicularcm illam cadere inter punda n & p, quia tunc feca*
ret lineam d p,& fieret triangulus cuius unus angulus elTcr re«
du.9,& alius obtufus.quod cum fit impofsibile , necellc eft an<
gulum k n d eife acutu.crgo per 1 3 .pr/mijanguliK 0 n d eft ob
tufus.punduergop no cadet inter puda n fit o, quoniam cum
angulus o n d fit obtufus,& ut patet ex pmifsis angulo d p keft
obtuiusjicqucretur ergo in trigono dn p.duos efle angulos ob
tufos.quod cu fit impofsibile per 3 z.primi,palam quia pudus
p,non cadet inter puda n di o,non cadit etiam in pundu n, ut
eft euidens.cadet ergo inter punda k di n, quia ergo ut patet
cx pramifsis angulus kc d eft medietas anguli kc o,Ccd3i an *
guius k c e eft medietas anguli k c f.angulusuero k c o maior eft angulo fc 0 , in angulo
kc fi refta tergo ut angulus e c d fit medietas anguli fco,fed angulus f co eft aqualis an
gulo o d a, igitur angulus‘e c d eft medietas anguli o d a,cu angulus o d f ualet duos re*
dos per 1 3. primi, trcsanguli trianguli ec p, ualet duosredos per 3 z. primi, tres ergo
anguli trigoni e c d funt aquales duobus angulis o d a di o d f , ablato ergo angulo ede,
hinc inde illis a ngulis comuni,& ablato angulo e c d, qui eft medietas anguli o d a,reftat
ut angulus ce d aqualis fit medietati anguli o d a ,di toti angulo o d n,fcd angulus 0 d p
qui eft medietas anguli o d kcu medietate anguli o d a eft redus,eft aute angulus 0 d p
maior angulo o d n,quod patet per zp.primi huius, cu ficut patet ex pramifsis pudurrt
n,line; d n cadatmter puda p di o, eft ergo angulus o d p cu medietate anguli o d a ma
ior 'angulo c 0 d,cu medietate anguli o d a, patet ergo cu angulus 0 d k cu medietate an
guli o d a fic redus, quoniam angulus c e d eft acutus, quare per 1 j- primi , ei contra poli*
tus, qui eft angulus k e z, eft acutus, igitur fi per iz.primi,ipundo k ducatur perpendi
cularis fuper lineam cz, illa cadet inter punda e8iz,quiaut patet ex pramifsisltnea
ke,non eft perpendicularis fuper lineam ce z, Si uero dicatur quod illa perpendicula*

risca*

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

'fis cadat ultra ptmdlum e,fiiper lineam ce, tunc cum angulus c e k,per 1 3 .fit obtufus,ac*
cidit triangulum habere c|uos angulos, unum redtum & alium obtufum,qilod eft impof
fibile,per 3 2, primi, cadet itacp perpendicularis illa inter pundae & z , qusfitjlinea kq,
hocautemferuato nunc quidem neceflarium interponimus,fciIicet quod linea kc,fe ha*
bet ad lineam c f, ficut linea k d ad lineam d 0 , eft enim linea c o , aut squediftans linea: k
o, aut concurrens cum illa,SitprimUrn squediftan.5,erit ergo per 29, primi, angulus od
a, squalis angulo c o d,eft ergo atigulus c o d aequalis angulo o c f, quoniam ut patet ex
prsmifsis,angulo o c f & o d a funt squales. Similiter quocp lines o d di c f,aut squedij
ftabunt, aut concurrent.Sisquediftenqcu illi cadent inter lineas k d di c o squcdiftan*
tes, palam per 3 4. primi, quoniam lpfs erunt squales. Si uero lines o d 8i c f,cocurrunt
facient triangulum, cuius duo latera erut squalia, per tS.primi,quoniamduo squiangu*
li qui funt fc o di d o c funt squales, linea uero f d (ecat illa duo latera squalia squedifta
ter bafid o, erit ergo per i.feXti,Si iS. quinti, proportio unius illorum laterum ad lineam
d 0, ficut alterius ad lineam f c,eft ergo linea c f squalis lines o d,per 9. quinti, fit autem
hsc dedudio cum lines ilis concurrunt fub linea k d.quafi concurrant fub linea c o,erit
eadem probatio, quia fiet triangulus cuiusunulatus eft linea c o,& alia duo latera squa*
lia per <j.primi,ut prius,quia linea c o eft squediftans lines d f,erit per 2, fexti, propoi-
tio unius illorum duorum laterum ad lineam d o,ficut alterius ad lineam c f, eruntqj ut
prius per i9.quinti,linesc f & d o squales. Item patet quodangulus cdf, eft squalis
angulo dco.per 19. primi, ideo quod linea co data eft squediftans cfte lincskd,crgo
angulusc d f eft squalis angulo d c k.cum anguli d c o & d c k fint squales ex hypothcfi
di per 2f.quinti huius, ergo per tf.primi.lines d k di c k funt squales ,cft ergo p 7. quin
ti proportio lines c k ad lineam c f,ficut lines k d ad lineam d o,tdeo quod antcceden*
tia di confcquentia funthinc di inde squalia.Si uero linea c o non squediftat ,fed con*
currit cum linea kd.aut hoc eft ad partem puntfi g,dia
metri a g,fi fiat concurfus ex parte a,fit hoc in pundo 1,
manifeftum ergo per 13. primi huius, quoniam propor
tio lines c k ad lineam c f,coponitur ex proportione li*
nes ck adlincam cl,8t ex proportione lines cl ad line
am c f,fed proportio lines k c ad lineam c I.cft ficut pro*
portio lines k d ad lineam d !,per 3 .fexti, linea enim d c
dtiiidic angulum k c o per squalia ex hypothcfi, quia ue
ro angulus o d I per prsmifla eft squalis angulo 1 cf,8d
angulus ad pudum l.communis eft ambobus trigonis
c 1 f Si 0 d 1, patet per 3 z . primi, quod tertius angulus eft tertio squalis, erit ergo per 4,fe
xr/, proportio lines cl ad lineam cf.ficut lines dl ad lineam d o, proportio itaejj lines C
k ad lineam c f.conftat cx proportione lines k d ad lineam d 1,& lines d 1 ad lineam do*
fcd proportio lines k d ad lineam d o,conftat cx eifdcm proportionibus polita linea d 1
media per 1 3 .primi huius, ergo proportio lines kc ad lineam c f , eft ficut proportio li*
nes k d ad lineam d o.Si autem linea c o concurrat,cum linea k d ex parte g, fit concur*
fus in pundo f ,dii pundo d, ducatur linea squcdiftans,lines k c , qus fit d r cocitmni
cum linea c o produda ultra pundum o, in pundo r, igitur angulus k c d squalis eft aii
gulocdr.perzp.primgfed&anguluskcdex hypothcfi squalis eft d co,ergo anguli
d c r & d r c funt squales, ergo per fextam primi,linea d r eft squalis lines c r , fed quo*
niam triangulus fcksquiangulus eft triangulo f rd,pcr 29. primi, di propter angulu
a f d comunc eri t per 4.fexti, proportio lines d r ad lineam f r , ficut lines k c ad lineam
c f, fcd linea dreft squalis lines r c,cft ergo per 7.quinti,proportio lines r c ad lineam
r f, ficut lines k c ad lineam c f,fed proportio lines r c ad lineam r f,cft ficut proportio li*
nea* d kad lineam d f,pcr fecundam fexti, Si per 1 8. quinti, igitur per 1 1 . quinti,cft pro*
portio lines k c ad lineam c f, ficut lines k d ad d f,fed quoniam angulus f c o squalis
eft angulo o d a , cric angulus 0 d f squalis angulo fc f,per 1 3. primi, Si angulus ad ptin
dumi eft comuniSjCrit ergo triangulus o d fsquiangulus triangulo fc f, per 3 1. primi*

ergo

LIBER OCTAVVS* tfj

ergo p 4.fexti,efi: .pportio lines e s ad e fificut lines d s ad d o,eft aut .pportio lines k e
ad linea e s, fient lines k d ad lineamd s,& eft .pportio lines es ad lineam e f, ficut lines
d s ad lineam d o >ergo per 2 2.quinti,erit .pportio lines k e ad lineam e f, ficut lines k d
ad linea d o.Quia uero linea k z squediftat lines e f,ut patet ex prsmiffis,erirp zp.pri
mi, angulus k z e squalis angulo' e c f,fed angulus k e z eft squalis angulo c e fiper i j-.
primi,ergo trigoni kzc&ec f,funt squianguli per 3 2, primi, ergo per 4.1exti,erit pro
portio lines k c ad lineam c f, ficut lines kz ad lineam c f,fed proportio lines k c ad lis
neam e f,cft ficut lines k c ad lineam c f,g j.fexti,quia angulus k e fjdiuifus per lineam
c e, lines ergo k z & k c,ad eandem lineam c f, eandem habet proportionem, ergo per 9.
quinti,linea k z eft squalis lines k c,fed ex prsmiffis patet, quod eft proportio lines z
k ad lineam c f, ficut lines z e ad lineam e c,eft ergo per 1 1. quinti, .pportio lines z e ad
lineam e c, ficut lines k d ad lineam d o,fed linea k d ex hypothefi eft maior qu^m linea
d o, linea ergo z c eft maior quSm linea e c,hoc quidem pro alijs referuares,nuc ad ppo*
ficum redeamus, quia uero ut fupra patuit linea kq, eft perpendicularis fuper linea cz,
erunt omnes anguli circa pundum q redi,(ed angulus e c d eft acutus.quonia eft medie
tas anguli f c o,ut fuperius oftenfum cft.ergo per /4. primi huius, linea k q cocurret cu
linea c d fit pundus concurfus h,& ducatur linea e h,& i pundo e, ducatur linea squedi
ftans lines k h,produda ufq? ad lineam d h qus fit e x,fecans lineam d h in pundo x}6f
atq; per j-, quarti, circulus tranfiens per tria punda qus funt e c x, immutatur figura
fi placet .ppter diuerfam intricatione linearu,quia itaq? angulus c q h eft redus, ut pa*
tet ex prsmiflis,erit p 29. primi, angulus ce x redus, ergo per 3 o.temj, linea x c erit dia*
meter illius circuli qui eft e c x,& pducatur linea k e, per triangulu orthogonium cex,
& trans circulum cadens in pundum m, circunferentis circuli c e x, & ducat linea m c,
& erit angulus eme squalis angulo c x e, per z 6, tertij, cadunt enim ambo illi anguli in
eundem arcum qui cftc c.fed angulus c x e squalis eft angulo c h k,per ^.primgquos
niam lines e x & k h ,duds funt squediftatcs,crit ergo angulus eme squalis angulo c
h k,fcd angulus c h k maior eft angulo dh e, quod patet per 29. primi huius,lecat em li-
nea h e balem k d, ergo angulus eme maior eft eodem angulo d h e.vefecetur ergo ab
angulo c me angulus squalis angulo b h e, per 27. primi huius,qui fit angulus Fm d du«
da linea f m,8i! pundus in quo linea f m lecat lineam c x,fit i, pala ergo cu exprsmilus
angulus i m d fitsqualis angulo d h e,& per 1 j-. primi, angulus i d m fit squalis angulo
e d h .quoniam per 3 2.primi,triangulus i m d eft squiangulus triangulo g h e, ergo per
4.fexci,eft .pportio linesh d ad lineam d m, ficut lines e h ad linea i m,& iimiliter tr/an
gulus c m d fit (imilis triangulo kh d,cu ficut patet ex ptsmifiis angulus d h k fit squa a
lis angulo c m d.& per ij-. primi, angulus c d 111 fit squalis angulo kd h,& tertius tertio
per 3 2. primi, erit ergo proportio lines k d ad linea d c.ficut lines h d ad lineam d m,eft
autem proportio lines h d ad linea d m,ficut linese h ad linea i m,eft ergo per 1 t.quin*
ti,. pportio lines k d ad lineam d c, ficut lines e h ad linea 1 m,fed proportio lines k d ad
lineam d c eft nota, qm femper una & eadem permanet,quicunq3 pundus reflexionis
fit c,in arcu bg, quia femper linea dc, qus eft femidiameter eft una, & linea kd,(imiliter
eft iemper una,quoniaipfa eft diftantia alterius pundoru reflexorum 5 centro ipeculi,
linea etia c h,una permanet in quacimcp reflexione, 8£ non mutatur eius quatitas,quos
niam non mutatur quantitas anguli e c h,qui eft medietas anguli o d a,qui no mutatur,
quare linea i m, femper erit una QC squalis,erit ergo pundus circunferentis in quem ca
dic linea i m produda ultra pundum i, qui eft pundus f, femper eft notus Sidetermi*
natus. Si ergo i tribus pundis arcus b g.poftit fieri reflexio, contingat ducere a pundo
f,ad circulum c x e tres lineas, quarum cuiuslibet pars interiacens diametru cx.di perife
riam circuli fitsqualis lines i m, per 9. quinti, quia femper erir proportio lines k d ad
linea d c, ficut lines eh ad quamlibet illarum linearu, patet aute hoc efleimpoflibilcjper
1 3 3 .primi huius, qd* ab eodem pundo dato incircunferentia circuli extra diametru g
ipfam diametru ad circufcrentia,ita ut pars lines interiacentis diametru ad reliqua par
tem circunferentis fit squalis dats lines, non nifi dus lines squales duci pofliint,quas
re a duobus tantum pundis illius propofitx arcus fiet reflexio>quod eft propofitum.

hh Secun*

PERSPECTIVAE VITELLI ONIS
X X XVI I.

Secundum modum data: linea: i dato pundo fpeculi fphacrici concaui du«
«fla: poffibile eft duo punda reperiri, qua: in diuerfis diametris inaxjualiter
3 centro fpeculi diftantia ab eodem dato pundo fpeculi, 6C uno tantum alio
eiufdem arcus interiacentis femidiametros in quibus illa punda confiftunt
ad fe mutuo refledantur.

Remaneat difpofitio proximee, fitej} datus quicuncfj pundus fpecuK,qui fit c, pro=
ponitur nobis ut inueniantur duo punda, qua: in diuerfis diametris fpeculi exiftetia ab
'illo dato pundo fuperficiei fpeculi, & uno tantu alio propofiti arcus pundo adfe mu*
tuo refledantur, fit enim ut quantacunqj placuerit fumatur linea z t, qua: per i i ?.pri=
mi huiusjdiuidatur taliter in pundoe,ut fit proportio linea: ze ad linea e c, ficut in prx
cedenti prOpofitioe prima fcilicet eius figuratione, eft proportio lineae k ad lineam d o,
& quortia ex hypothefi illius linea k d cft maior quim linea d o,erit linea z e maior cjj li«
nea e tjdiuidaturq; linea z t per aqualia in pundo q,per i o. primi, & 5 pundo q, ducas
tur perpendicularis fuper linea zt,per i i.primi,& fiat angulus e c d aqualis medietati
anguli o d a per t j . primi, erit quidem ille angulus e c d acutus, ergo p 24. primi huius,
linea t d, concurret cii perpendiculari dudo i pundo q, fuper linea z t, fit concurfus in
pundo h, completum eft ergo trigonn ortho»
goniu,quod cft t q h, in cuius altero lateru re«
dum angulu t q h continentiu quod eft t q, da
tus cft pundus c, poffibile eft ergo 5 pundo e
per 1 3 7. primi, duci lineam ad bafem trigoni
t q h qua eft t h,cx alia fui parte concurrentem
cu altero lateru redum angulu continentium,
y' quod eft q h,produdo ultra pundu q, itant to
ta producta linea fe habeat ad parte abfeifam
'b&fis, ficut linea data ad linea datam, fic i pun=
do e, taliter ,pduda linea d e k,ita ut fit ^portio totius linea k d ad linea d t, ficut linea k
d ad femidiametrum fphara fpeculi, ergo per 9, quinti,linca d t aqualis femidiametro,
pundu ergo d,eft centrum fpeculi.ft: angulo k t d,fiat per 1 3 .primi,iiiper pundu t, ter
minfi linea d t aqualis angulo qui fit o t d, dico qm pundus fpeculi qui cft t, cft pundus
reflexionis forma pundi o,ad uifum exiftentem in pundo k,ucl cconuerfo forma pun*
di k,ad pundu 0,6 i quod ab illo dato pundo t,& ab uno tantu alio jjpofiti arcus pun
do, fit illoru pundoru mutua reflexio, Qi hac omnia faciliter patent repetita priori dc«
monftrarione theorematis pccdentis ,put huic .ppofito cftncccffe, patet ergo ,ppofitu,
XXXV III.

Duobus pundis in diuerfis diametris circuli fpeculi fphacrici concaui exis
flentibus ambobus extra circulu,ucl uno intra circulum, & alio extra illum
& inaequaliter diftantibus a centro rcfpicientibus arcum fpeculi a quo fit res
flexio, fi refledantur ab aliquo pundo arcus oppofiti illis diametris non eft
ca poffibile refledi ab alio pundo eiufdem arcus.

Sint duo punda a 8i b,in diuerfis diametris extra circulu qui cft comunis ledio fu=
pficici reflexionis, 8i fpeculi fplrerici concaui, cuius centi u fit g.fimcp illa: diametri a c
&bd,& fit pirdus reflexionis t,& ducant linea: b t,a t,g t, illa itaqj b t fccabit arcu circu
Ii, fit pudus fedionis q, fed dC linea a £, fecabit periferia eiufdem circuli.fit pudus fodio*
n is m,8£ qiii angulus b t g tequalis eft angulo a tg, palam p 2y. tertij, qm cadunt arcus
tequales„pducatur ergo diametri t g, ad aliam parte periferia: in pundu p, fiderit arcus
q p, arcui m p aqualis, fi igitur forma pudi b, refleditur ad uifum exiftente a' pundo a,
ab aliquo alio pundo fpeculi arcus eiufdem, fit illud aliud pundu h, & ducantur linea:
ah,bh>gh,fiCfccct linea b h circulum in pundo 1, & linea a h,in piido n, producam rqj

femidia-

LIBER 0CTAV7S. 214

femidiametec.bg, in pundu circunferentiajqui fitk, fecundam prxdi&a ifafgerit arcua
Ik squalis arcui nk,fcd habitu eft prius, quod
arcus q p eft squalis p m, fed arcus q p maior
eft arcu I k, di arcus k n maior arcu m p, acci*
dirigitur impoiIibiIe,fciIicet minus eiTe maio* £
ri squale, quocunqj uero alio pundo illius ar=
cusa t e dato, idem accidit impolfibile. Reftat
ergo ut forma pundi b, non refledatur ad ui=
fiun.i pundo h, uel ab alio pundo arcus d t c,
oppofitis diametris in qbus funtpudaa8C b,
prster qu5m Ji pudo t.ldem quoqp accidit im=
poflibile, 8i eodem modo deducendum fi unix
datorum pundorum fit in circulo, reliquum
uero extra circulum, patet ergo propofitum.

XXXIX,

Duobus pudis in diuerfis diametris circuli fpeculi fphxrici cocaui exifte
tibus ambobus extra circulur, fi linea continuans illa punda contingat illum
circulum,aut tota lit extra circulum, non eft poflibile unum illorum pundo
rum ad alterum refledi nili ab uno tantum illius fpeculi pundo.

Sint ut in prsccdenti theoremate, duo punda a 8i b,in diuer*
fis diametris extra c/rculu, qui eft comunis iedio fuperficiei refle
xionis,& fpeculi fphaerici concaui, cuius centrum fit g, fint(£ illi
diametri 1 d di n m,fitcp pundus a, in femidiametro 1 g, 8i putius
bin femidiametro mg, di ducatur linea continuanspunda a di
b,qus fit a b, di hac cotingat circula illu,a quo per fecundam hu*
ius, pnteft fieri reflexio, fit'cp ille cotadus in arcu circuli q (it ar*
cus 1 m,aut fi linea illa fit tota extra fpeculu 5dico qd* d nullo pun*
do arcus 1 m, imeriacentis diametros, in quibus funt illa punda
fit reflexio forms unius pundorum a di b,ad pundum reliquum
fumpto enim qcficg pundo in arcu Im, ut pudo c^dudiscp lineis
a c fiii b c, fi linea a c cadat intra fpeculu, linea b c, neceflario ca*
det extra fpeculu, quoniam hoc requirit talis fitusipeculi,& econ* '
ucrfojfi linea b t cadat in fpeculo, linea a t cadat extra, femper em i
altera linearum ab illis duobus pudis a & b, ad aliud pundu fpe;v4
culi dudarum tota erit extra fpeculu, di fic idem neuter illorum
pundorum ad alterum refledeturab aliquo pundo illius arcus
1 m,fimiliter quoqj patet idem ,fi linea tota fit extra fpeculum no
contingens ipfum,rcfpiciattamcn arcum Im, quia neqj tunc am
bs lines a c Si b c, cadet intra fpeculum, (cd fi una erit intra fpe*
culu, reliqua erit tota extra fpeculu, unde non flet reflexio fecun*
dum illa, ab aliquo tn pundo arcus d n, poteft fieri reflexio g 2.7*
huius,& ab uno tantu pundo illius arcus, ut patet per prsceden
tem, & ita formarum illorum pundoru reflexio adinuicemno
fiet nili ab uno folo pundo fpeculi, quod eft propofitum,
x L,

Exiftentibus duobus pundis in diuerfis diametris
circuli fpeculi fphaerici edeaui inaequaliter diftantibus
d centro, fi linea continuans illa punda produda fecet
circulum unumilloruni pundorum ad alterum ab uno
tantum pundo fpeculi uel d duobus, aut tribus, aut &
quatuor polfibile eftrefledi, & fecundu hoc loca imaginum numerantur. -

hh 2 Sint

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
Sint at fupra duo punda a Si b, in diuerfis diametris circuli fpeculi fphcerici conca*
*li,itaut pundus a, fit in diametro 1 d,SC pundus- b in diametro m n, fintep illa puda in=
aequaliter diftantia st centro fpeculi quod cft g,fi i linea a b,duda ab uno illorum pudo
rum ad alterum produda fecet circulu, dico quod ucrum eftquod proponitur, fiat em
circulus pertranfiens per centrum fpeculi quod eftg,& per illa duo punda a Sib, p 5-4.
circulus itaq> ille a b g, aut totus erit intra circulu fpeculi, aut cotingat ipfum intrinfe-
cus.aut fecabit ipfum. Si totus circulus a b g, fuerit intra fpeculi circulu, palam g 6,hu*
-jiu$,quod unu illorum pundop-refledecurad alter ii ab aliquo pundo fpeculi, & propoli
ti circuli.ut patet g fecunda huius, & g i7-quinti huius, fic ergo pudus reflexionis t, pa-=
lamcp per 20, huius, quod pudus t,eft inarcu interiacetediamecros in quibus funt pun=
da a Si b,q fit arcus 1 m>& ducant linea: a t,b t,g t, extra quocjj angulus a t b minor an
-gulo b g d, (it em ut (emidiameter g t fecet circulu a b g in pudo f ,Si ducant linea: a f &b
(jfientfp duo trigona a t b & a fb,fup una bafem,q cft a b,pala ergog 2 1 .primi, qman*
gulus a fb eft maior angulo a t b,fedper 2 1 .tertij .angulus a f b
cu angulo a gb.ualct duos redos, ergo g 1 3. primi, angulus a
fb eft aequalis angulo b g d, angulus ergo a t b cft minor angit*
\, lo b g d, quilibet quocp angulus fic fadus fug arcu 1 m, ut fuper
pundu h, erit minor angulo b g d,ab arcu itaq; fpeculi qui eft 1
m,non fiet reflexio nifi ab uno tantu pundo fpeculi, qm iam o*
ftcnfiim cft g 3 4. huius, quia non cft in huius pudoijz reflexo^
difpofitioe polfibile reflexione fieri a duobus pudis fpeculi, ita
ut urcrq) angulopsconftanscx angulo incidentia: Si reflexionis
fit minor angulo bgd. In hac ergo difpofitioe abunotmpun*
do fpeculi fiet reflexio quod cft unum ppofitorum. Si ucro cir
culus a b g,fit intrinfecus contingens circulu fpeculi, fit pundu
cotadus h>& ducant linega h.b h,g h,cja itacp angulus a h b,g 2 r . tertij, cu angulo a g b
ualct duos redos, patet g 1 j. primi, qd* angulus a hbeftaeqlis angulo b g d, quare abii*
lo pudo cotadus no fiet reflexio g 3 j. huius, angulus fadus lug quocuqj aliud pun«

du arcus circuli fpeculi erit minor illo angulo, g inodu quo iam fuperius poftcnfum eft,
quare i duobus pundis illius arcus no fiet reflexio g 3 4 . huius, fed folu ab uno pfido , fi
/uero circulus a b g, (ecet circulu fpeculi, patet q> tm in duobus pudis fccarc necciTc cft g
1 o.tertij Si illa duo puda a Si b,aut ambo erue extra (peculii circuli,aut ambo intra, aut
unu extra c/rculu.aut aliud intra il!u,aut unu rlloijr pundote incircGfcrentia circuli Si a*
Jiud extra illu ucl intra illu.Si fuerint ambo extra circulu fpeculi, tuc patet qcP linea a b,
no fecabit circulu fpeculi, ffcfcjj reflexio ab uno tm fpeculi pu*
do, ut patet g pccdente.tunc em manifefte patet, qcr circulus
a bg,no fecabit circulu fpeculi fecudii arcu lm, qmillc arcus in
teriacctlineasag&bg, Si arcusbga cadit extra illaslincas in
alia puda periferia: circuli tpfius fpeculi, cG ambopunda a. Si b
funt extra circulu fpeculi, (i nero pudus b, fit in periferia circuli
fpeculi ucl intra, pudo a coftituto extra, patet tunc qd* arcus 1
m, in duobus pudis no fccabitur, fed arcus b g,tralibit pundu
ali^d arcus 1 m,qdP fit t, ergo angulus fadus fuper arcu 1 m, erit
maior angulo b g d,qfh dudis lineis 1 1, b t Si a t, patet fccundu
pmilfa p 2 1 . tertij, qih angulus 1 1 b eft aequalis angulo b gd,an>
gulus uero a t h eft maior illo, patet ergo g 24.huius, qin in hac
d/fpofitionc ab unico pitdo, ucl i duobus pudis arcus 1 m,fiet formapj illon: pundo» ad
inuice reflexio. Si uero duo puda a Si b, fuerint extra circulu fpeculi, Si circulus a b. g,
fecet circulu /pcculi, tunc patet qcfctrculusabg, fecabicarcul m induobus pundis,qiii
duo femidiamctri circuli maioris cj funtg 1 8ig m, fecat circulu a ti g, in pudis a & b, &
franfeuces rcfecantcx circulo fpeculi arcu 1 m.fccat ergo circulus a bg,arcu 1 m. in duo
bus pundis qux fuit tdib , Si reftabunt ex ipfo arcu 1 m, duo arcus in diucrfis partibus
iplitW qui funt arcus 1 1 St h m, oinniscp angulus coftitiitus fug arcum circuli fpeculi qui

’ eftth.

LIBER OCTAVy*. H?

eft t h,crit maior angulo b g d,quod patet fi fuper periferiam fpeculi fiat angulus a eb,i!
Jc cni eftmaior angulo bgd, .pduda effi linea a e, ad periferiam circuli a b g, in pudu
f‘(i copuletur linea b f,erit per 3 i ,terrij,& per 1 3 .primi, angulus a fb, aequalis angulo b
g d,fed per z 1 .uel per 1 6, primi, angulus a e b,eft maior angulo a f b, ergo Si angulo b
gd, & limiliter erit de quolibet alio pundo arcus t e h demonftrandu,ab hoc itacg arcu
t c h,ut patet g 3 «f.huius, poterit fieri reflexio, forfan ab uno tan«
tum pundo, Sd forfan 3 duobus, quod fi fiat reflexio 3 duobus ar*
cubus 1 1 Si h m, qui reflant fuper arcum t e, cx arcu 1 m, Si ex di*
uerfis ptibus ipfius circuli a bg.tuc fecudu praemifla ornes anguli
fuper illos arcus confiflentes cotenti fub lineis 3 pundis a&b, ,p=
dudis, erunt minores angulo bgd, fiat em angulus bka, fuper
puncflir arcus b t,8i qm arcus a t, circuli a b g,eft intra circulu fpe
culi fub arcu 1 t,fecet linea b k, arcum a t,in pundo 0 ,Si ducatur Ii 4 [e
nca a o,pa tcc ergo g 1 1. tcrtij,& per 13. primi, qd? angulus a ob,
eft aequalis angulo b g d,fed angulus a 0 b,cfl maior angulo a kb
per 1 6.primi, paret ergo angulus a k b,cft minor angulo b g d,8d
limiliter de quolibet pundo arcuu 1 1 & h m.efl demonftrandu, er-
go p 3 4.hui'us>ab uno tantfr fllo^e arcuum pundo fiet reflexio, in
liac itacp fitu fiet reflexio 3 duobus pundisarcus I m, interiacentis diametros, aut forfan
3 tribus, pala uero per 27. Si 19. huius, qd" ab uno tantu pundo arcus nd, fietreflexio»
Si ita in hoc fitu aliqn 3 tribus pudis fpecuIi,aliquado uero i qua*
tuor pundis fiet reflexio. Si uero unus pundoijr a uel b, fuerit in
periferia circuli.aliud uero intra circulu, & circulus a b g,fecet cir
culum fpeculi,tunc fecabit arcum 1 m in uno tm pundo, qui fit t,
qm in loco alterius pundojt 1 uel m,erit pundum a uel b, exiflens
em in altera diametro^ n m uel 1 d, Si in pundo circuli periferia
erit in pundo qd* eft comunis (edio illata, & fit i pundo b,exiften
te in pundo m Si pundo a,intrafpeculu,reftabitunicus tantu ar
cus totius arcus 1 m,qui fit 1 1, patet itacp fecunda pmifla dudis,uc
prius, lineis a fSi b f, fuper arcum circuli a b g, & lineis a e di be,
iuper ali^d pundu arcus 1 m^d* fit e.qm per 2. 1 ,primi,omnes an*
guli confiftcntes fug arcut b,funt maiores angulo b gd.ergo per
3 4. Ijuius, poteft fieri reflexio 3 duobus pundis illius arcus uel ab
uno.omncs uero anguli arcus 1 1, erunt minores angulo bgd, utpraeoftenfumcft prius.
Si ita ctx per 34. huius, ab uno tantu pundo arcus 1 1, fiet reflexio, fed 8i per zp, huius, ab
uno tantu pudo arcus n d,fiet reflexio, fiet itacg in hoc fitu re*
flexio quandoqj 3 tribus pundis, quandocp 3 qua tuor, & non
3 pluribus, quod fi pundo b, exiftente in periferia circuli fpe*
culi.pundus a fit extra illu circulu, tunc patet quod circulus a
b g, nuncj? iecabit circulu fpeculi feamduarculm,qmfcrnt= }
diameter g m,8<: periferia: circuli comunis fedioeft pundus
m, in quo cft pundus b, fcmidiameter uero g I, procedens ad
pundum a, extra circulu fecat arcum t b, nec fecatur ab illo,
omes itacj? anguli arcus 1 m, funt maioresangulo b g d,ut pa*
tet ex prarmiflis, ergo per 34.huius, ab uno tantu pundo uel \
forfan 3 duobus pundis arcus Im, poteft fieri reflexio pudo*
rum a & b, fimiliter ad inuicem ab uno pundo arcus n d, fiet
icaqj in hoc fitu reflexio 3 duobus aut 3 tribus pundis fpeculi
Si non 3 pluribus, palam ergo quod punda inaequaliter ‘diftantia 3 centro fpeculi alte
quando ab uno tm pundo, aliqn 3 duobus, aliqn 3 tribus, aliqn 3 qua tuor, nuncjj i pluri
bus refledant, fecudu haec quoqj loca imagina numerant, queadmodu patuit tam pluri
cs in pr atmiflis » Si hoc eft quod proponebatur declarandum,

hh J Exiftetv

PERSPECTIVAE VITELLIONiS
X LI.

Exigentibus duobus pudis in diuerfis diametris circuli fpeculi Iphanici
cocau i 8i aequaliter diftantibus a centro fi linea cotinuans illa puda fecet cir
culum,poflibile eft unum illorum pundoru ad alterum refledi ab uno tan*
tum pundo fpeculi, uel a duobus aut a quatuor,fed impofiibile eft a tribus,
& fecundum hoc loca imaginum numerantur»

Sint ut in prtemifla duo puda a di b, in diuerfis diametris circuli fpcculi fplmici co*
«aui qu» fint 1 d & m n, ita ut pundus a (it in diametro 1 d, di pundus b, in diametro m
n,fintqj punda a di b} aequaliter diftantia & centro fpeculi, di linea a b,duda ab uno iU
low pundoj^ ad alteru fecundum circulu, qui eft comunis fedio fiiperficici reflexionis
di fpcculi, cuius centru fit g, dico quod ueru eft qcP proponit, quod em ab uno tantum
pundo fpeculi qhqj fiat illojfe pundoij: adinuicem mutua reflexio , patet per 1 9. huius,
di etiam idem oftendi poteftg modii 24.huius,linearu ciri inaequalitas in illo fitu natu*
ram reflexionis no immutat, ut declaratu eft in zo. quinti huius, quandoqj uero fit mu*
tua reflexio ifton-pundop: a di b, 5 duobus tantu pudis fpeculi, ut patet per zj-. huius,
quandoqj uero fit reflexio mutua propofitops. pundojfc qua: funta&b, d quatuor pun*
dis cfrcoferentiaripfius fpeculi, ut patet per 2 6, huius, z tribusuerotantupundis iftorix
fpeculoru formas pundoru aequaliter diftantiu i centro fpcculi ad fe mutuo refledi eft
impoflibile. Si em ab aliquibus duobus pundis unius arcus fiat ifta mutua reflexio di*
uiib arcu intcriacente illa punda per aqualia, di dudis ad illud pundu lineis, patet g
atf.terttjj&per 4-primi, ^p ter squalitate laterum g a 8Cgb,qfh anguli conftituti fuper
illud pundu fiunt .xquaies, ab illo ergo pundo fiet reflexio per zo. quinti huius, fcd £C

0fict ab aliquo pundoarcus oppofiti illi arcui, palam ergo quod d qua*
tuor pundis fpeculi fiet reflexio & non a tribus, & qfh, ut patet g pra:
milPam di ex pluribus ,ppofitionibus huius libri, nuncjj fit i tribus pun
dis fpeculi reflexio ali^ij; duojt* pudop: adinuice nifi fiat i duobus pu*
dis unius arcus, di ab aliquo pundo arcus oppofitiinteriaccntc illos
diametros, patet ergo quod in hac difpofitioc reflexio fiet femp d qua»
tuor pundis fpeculi oppofiti, Qi nuncjj d tribus, di hoc proponebatur,
di quoniam htecduo prarmifla theoremata difpofuimus fccildum mo*
dum epilogi plurimorum prtemi florum theorematum, adimamus
«pfii memoria* comendanda. XLit,

Si ab uno pundo arcus circuli fpeculi fphxrici concaui formae unius ter*
mini linea: totaliter uifjc, ab alio quoqj pundo eiufdem arcus forma: alte*
rius termini eiufdem linea: fiat reflexio, necefle eft omnia punda media li*
neacuifx ab illius arcus pundis medijs refledi, ex quo patet quod loca ima*
ginum putidorum mediorum caduc inter imagines pundoru extremoru»
Qiiod hic proponebatur fpecialiter, quantu ad prima fui partem unfuerfaliter eft
praemitium in 14. quinti huius, cfto ergo arcus fpcculi fphxrici concaui a fh, cuiusccn*
trum c.,di fit 2 centru uifus,fit'cjj g r linea uifa, cuius unus terminus qui g refledat d pun*
do fpcculi quod fit f„& illud fit aliud pundus arcus dati, qui eft afh, di alter terminus
Uncx cjni eft r, refledat d pundo h, arcus a f h,dico quod omnia punda media linea: g,
r, reflectentur i pundis medijs arcus h f, coaptetur cih linea g t, exempli caufa diame*
tro fpcculi quae fit o a,cadet'qj intra femidiametru o c, fitqj pundus 2, quod eft centrum
uifus in alia diametro eiufdem circuli qua: fit d b, cadens in diametro c b, ducant Ii nex
g f,e f,2 f,r h.e h,h e, di copuletur linea g 2,producaturqj linea f c, ultra pundu e, ad 1 u
neam g 2, in pundfr m,& fignetur in linea g r, pundus c,dico quod forma pundi c, rc*
fledetur ab aliquo pundo arcus fh,qcf em refledat forma pundi r,aduifum exiftente
inpimdo 2, palam, cu extrema: linea: qua: funt g&r, refledant ad uifum exiftente in
UUlidO 2, fiet ergo reflexio ab aliquo pundo arcus a d3& non ab alio.oftcnfiim em eft

per

LIBER OCTAVVi. Xl6

per 2o.huius,qcP in hoc fifti i duobus arcubus a b & d o, non poteft Heri reflexio form*
pundi c, ad uifum exiftente in pundo z, oportet ergo $d fiat reflexio ab aliquo pudo
arcus a d,qm patet folum offerri trifui arca fpeculi b a d o,per 7 quarti huius, ideo qd*
centrff uifus eft in pudo z, diametri d b, oftcnfum etia eft per canae 20. huius, qd* fora
ma cuiufcucp pundi femidiametri e o,rcfledit ab aliquo pundo arcus a d,(it aute g 27«
huius,form* cuiuslibet pundi line* g r, reflexio ad uifum ab uno tm pundo arcus a d
cadente inter iemidiametros, in quibus non confiftunt punda reflexa 8i ipfum centro
uifusjforma ergo pundi c,refledit ab uno tm pundo arcus a d, ad uifum exiftetem in
pundo z, (i ergo illud punda fit in arcu f h, habemus ,ppofit5. Si uero non.cfto primo
qd* ipfum fit in aliquo pundo arcus a f, fitep pundu u, & ducant line* z n, t n, e u,g u,
eft ergo per 7. terti) ,linea g u, maior cp linea g f,fed per cande 7. tertij, lineaz u, eft m is»
norcp linea z f.ergo g 9, primi huius, line* .pportio g u, ad lineam z u, eft maior pro*
portione linc*g ffad lineam f z,fed per 3 ,fexti,& ex hypothefi ^portio line* g f, adii*
neam f z,eft ficut proportio line*g m,ad lineam m z, ^portio ergo line* gu, ad lineam
z u,eft maior cp .pportio g m ad lineam m z, linea ergo qu* diuidit angulum g u z, per
aqualia, lecat linea z m.fecat ergo lineam z e,g 2 z.primi huius, angulus ergo g b u, ell
minor angulo c u 3, fed angulus tue, eft minor angulo e u 3,
non ergo fiet reflexio form* pundi r,ad uifum 3 ,in pudo fpe
culi u,ut patet per 2o.huius,fimiIitcr ^cppoteft fieri dedudio
de quolibet pundo arcus a f, forma ergo pundi c,nonrefledi
cur ad uifum exiftente in pundo j, ab aliquo pundo arcus a f,
fed necp ab aliquo pudo arcus h d.Sit eih fi poffibile eft ut re*
fledatur ab aliquo pundo arcus h d,ut refledaf i pundo eius
quod fit q,& ducant line* 3 q,eq,c q,r q,i r,8i .pducatur linea
e h, ultra pundu e, ad lineam r 3, incidatcpin pundu n, ergo
per 7. tertij, linea 3 q,eft maior cp linea 3 h,& linea q r, eft mi*
nor cp linea r h, eft ergo g 9. primi huius, proportio line* r q,
ad linea q r, maior .pportionc line* 3 h,ad lineam h r,fed g 3 .
fexti,qu* eft .pportio line* 3 hadlineamh 3, eadem eft line* 3n,adlineamnr,eft er*
go proportio line* 3 q, ad lineam qr, maior ^portione line* 3 n ad lineam nt, linea er*
go diuidens angulum 3 q r,pcr *qualia fecat lineam n r,ergo g 2 3 .primi huius,fecat li*
neam r e, angulus ergo r q e, eft maior angulo e r q, angulus ergo t q e, eft multo maior
angulo e q 3, no ergo flet reflexio form* pundi c,ad uifum in pundum 3, i pundo fpe»*
culi quod eft q, arcus h d;eodemqj modo deducendi! quocucp pudo arcus h d,datofor*
ma ergo pundi c.non refledit ad uifum exiftente in pundo 3 , ex arcu h d, fed necp ex
arcu a fucq* ab aliquo pundojfch uel f,ut per zp,quinti huius,omnia ergo piida media
line* g r, refteduntur i pundis medijs arcus h f» nec poffunt i pundis altjs refledi, nifi
forte ab alio arcu refledant punda g dC r, 8i ex hoc patet, quia tam line* reflexionum
pundofi: medior cj? katheti fuapj incidendarum concurrunt inter loca imaginum pun*
dorum extremorum, & quia illarum linearo comunis fedio eft locus imaginis per 27*
quinti huius, patet ergo quod loca imaginu pundoru medioru cadunt inter loca ima*
ginum pundoru extremorum, & hoc eft .ppofitum. Idem eih accidit, fi res uifa uel cen*
trum uifus extra illos foeculi diametros collocentur, quoniam femper trans illa punda
diametriali* duci poliunt, patet ergo propofitum»

X L II t.

Si duorum pundorum in fpeculo fphzerico concauo a duobus pundis
ad unum uifum liat reflexio , lic quod loca imaginum fintin eadem fpeculo
diametro,maior erit proportio lineae interiacends centrum fpeculi &C locum
imaginis remotiorem ad lineam interiacentem idem centrum & pundum
reflexum d centro Ipeculi remotiorem <5? linea: interiacentis idem centrum

Sc locum

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

& locum imaginis propinquiorem ad lineam diuftam a centro ad pun&utn
reflexum centro fpcculi propinquiorem.

Sit Ipeculum fpharricum concauu,per cius centrfr tranfeat fuperficics plana, fecas»
bic ergo illa fugficiem fpcculi fccundu circulum magnu illius fpharaper 69. primi hu=
ius,qui a b g,&: cius centru fit d,8t extrahat' d centro d, linea quocucp modo placuerit q
fit d g, & tranfeat i centro ad circufercntiam in pundu g,& ducat d centro d,in fupers
fleie illius circuli linea perpendicularis fup lineam d g,qua fit d a,& abfeindat ab angu=
lo a d g,redo parua particula quocucg modo contingat, & fit angulus g d e, ita qcfi in=
ter angulum redum, qui cft a d g,& inter angulu a d c,fit ^pportio multiplicitatis relata:
ad angulu e d g,hoc aute poteft fieri, fi angulus redus qui cft a d g,diuidat per aequalia,
SC item eius medietas per aqualia, & fic
deinceps quoufqp fiet angulus a d c,mul=
tiplex anguli cd g, ut fi angulus a d e, fit
fcptuplus angulo e d g, erit redus a d g
fcqui fcptuplus angulo a d e , & diuidat
angulus a d c,in duo aqualia per lineam
d b,per 9, primi, d pundo quoqj d centro
fpcculi extrahat linea continens cum lig-
nea b d, angulu rodum, per 23. primi, q
fit angulus b d x , di extrahatur linea a d,
ultra pundum d, ad pcrifcriam,ut con»
pleat dtamctru,& fit linea d k,5i d pundo d, ducat linea d 3 .continens cu linea a d,an=
gulum aqualem angulo c d g, qui (it angulus ad 3, Si A pundo 3 , ducatur fuper lineam
d 3,conftitucns angulu ecqualem angulo k d x, qui fit h 3 d,duda linea h 3, ad diametru
h d k,lioc aute cll pofiibilc.quia cni anguli k d x di a d z,funt minores duobus redis,cos
current illa: linee qua llmt a d 8i 3 h,per i-f.primi huius,fit concurliis pundus h.angtis
Ius ergo d 3 h.cft aequalis angulo k d x,8i quia anguli trianguli ualcnt duos redos per
3 i,primi,& angulus ad 3 St! 3 d x,& x d k, ualcnt duos redos per 13. primi, angulus ne-
ro h 3 d,cft ecqualis angulo x d k,& angulus a d 3 comunis, relinquit angulus 3 h d,as
qualis angulo 3 d x, & extrahat d pundo 3 , linea 3 1,pcr 2 3 .primi, continentes cu linea
3 Ii, angulii aequalem angulo h d k obtu(b,qui (it angulus h 3 l,duo ergo anguli I 3 d Qi b
d 3, lime minores duobus redis, deliciunt em ei duobus redis in angulo 3 da,Iinca ergo
3 l,per iq.piimi huius, cocumet cum linea d b,(it concurfus pundus 1, Si ducatur linea
1 h,& triangulo h 1 d,circufcrihaf per 5\quarti,qui Iit circulus dh 1 .tranfibit ergo ille cirs
culus per pundum 3, per 3 r.tcrtij, quia duo anguli 1 r h & I d h.fimt aequales duobus re*
dis.funt aut illi anguli in quadrilatcro d h»3 b, cft ergo illud quadrilatcrc in circulo, an*
guli crgolh 3 Sdd 3, funt aequales p 2tf.tcrtij, cadunt em in arcu eunde circuli dhl,q cft
arcus 3 1, fcd ut fupra oftendimus angulus 3 h d,cft ecqualis angulo 3 d h, aequalibus er*
go angulis qui funt lh 3 & 1 d 3, hinc inde ablatis,rcnianet angulus lhd, aqualis angu*
Io 1 d x.fed angulus 1 d x,cft redus, angulus ergo 1 h d,eft redus, abfeindatur quoqj ex 1 i*
nea d c, linea d m, aequalis linea: d h, 2C ducat linea 1 m, angulus 1 m d cft rcdus,quia eni
angulus b d c,eft ecqualis angulo b d h, qih angulus a d e,diuifus fuit per aequalia per lis
neam d b, linea quoqj d m,cft aequalis linea* d h,fcd latus h d, cft comunc ambobus tnV
gonis 1 h d di I m d,crgo per 4.primi,linca Ii l,cft aequalis linea* I m.QC angulus 1 m d,cft
aequalis angulo 1 h d,fed angulus 1 bd.oftenfus cft redus efle,ergo angulus 1 m d cft rc=
dus.ergo per 2 1 . fertij, circulus 1 h d,tranfit per pundu m,&! fccat arefi b c, circuli a b g
in pundo compari pundo 3, qui fit pundus f.eritqj linea 1 d, diameter circuli 1 hd, per
2o.tertij,&: ducat linea d f.quia itaqj circuli 1 h d.arcus d m,cft aequalis arcui d h,pcr 27.
tcrttj.qih linea* d m & d h funt aequales, fed 8i arcusd f,cft a*qualis arcui d 3,pcr 64. pris
mi, relinquit ergo arcus m f, aqualis arcui h 3 ,8i arcus 1 3 .aqualis arcui I f,ergo per 2 6,
tertij, angulus 1 d Ijcj.it aqualis angulo 1 d 3 , ducant' ergo linea h b,h f, 3 f,m f,b m,b f,8d

UBER O C:T A-V.VjS*” li?

'quia angulus Ihdeft r edus, patet quod angulus b h d eft acutus, & angulus gd h eft rei
«flus ergo g 1 4.prinu' huius,ltnea h b cocurret cu linea dg, extra circulu a bg,cocurrat et
;go in pudo q.fimilitcr ejeg per eade io, primi huius linea hf, cocurret cu linea dgjextra
circulu, fit cocurfus pundus n,& producatur linea f b.ultra pundu b.quoufq) fecet arc5
. 1 3 , fecet ergo ipfum in pudo r ,8i ducatur linea r m, angulus ergo fr m,qui eft in drcfife
rentia refpicit arcufm,& angulus fbm,eft maior angulo fr m,per 1 6, primi , eft enim
extrinfecus in triangulo r b m,8i angulus f b m eft in circumferentia circuli a b g ergo fi
linea b m.protraha tur ex parte pudi m,abfcindct de circulo a b g, arcum maiorem quo
dam arcu fimiliarcui f m, circuli 1 h d,per ultimam fexti, fed arcus fnunfuo circulo 1 h d
eft fimilis duplo arcus fe, in circulo a b g .quoniam duplu arcus f e correfpodet duplo an
guli fd e.fuper periferiamftii circuli conftitutiper ultima fexti, 8i per z9.terttj.eft aute
arcus feaequalis arcui e g, per z v. ter ttj, ideo quod angulus e d g,eft ecqualis angulo 1 d e,
cu uterrp ipforu fit ceqiialis angulo a d 3 ,ut patet ex pr^miis/s, arcus ergo g f eft duplus
arcui f e, eft ergo arcus fgin circulo ab g, fimiIisarcuifm,incirculo lhd,fiergo lineab
jm.extrahatqr rede in partem m, ab fcidet de 0'jiCpIoia bg, arcum ultra pudumg, maio«
rem arcu f g,fi enim caderet in pundum gj fieret angulus f b g, ecqualis angulo fr g,ex*
trinfecus inrrinfeco,quod eft tmp'ofsibile,Iiriea trgo b m no cadet in pundu g , fed fecas
b it lineam d g,irtterduo pimefia g&ddedt ergo iiipadoo, producatur quoqj linea fm
ultra pundu m,inec erg6‘quia fecat angultt d m o, patet per 19. primi huios4qiua fecabit
lineam d 6, fecet illam in pundo u ,8i producatur a linea t n b, ultra pundum b,fecabittp
arcum lr, fecet ipfum in purfdo c,8i ducatur linea c d,et pundo c,ad centrum fpeculi,ga
ergo angulus b f eft in circtmferentia circuli kb g, erit angulus b f 3 , medietas anguli b
d 3,p 19.terttj.fcd angulus b d 3 eft multiplus anguli 3 d a.Crgb angiilus b f 3, multiplus»
ergo per ultima fexti, arcus r 3, eft multiplus arcui 3 h, arcus liero c 3 eft maior arcui r 3
ut totum lua parte, ergo arcus c 3 eft multiplus arcus 3 h , ttel maior multiplo , ducatu?
itacp lineae li, angulus ergo ch d, & angulus c m d funt squales ditobus redis'per 2 i.ter
tij, fed angulus b m d cum angulo b m c,ualet duos redos per 1 3 .primi , relinquitur cr=
go Ut angulus t h d,(it ecqualis angulo b m e.led angulus 3 hd.addit fuper angulum c h d
angulus ch 3, qui eft per z 6. tertq.efcqualfs aogtilp cd 3>& angulus cd 3, eft multiplus
anguli } da, per ultimam iexti, quoniam ut fuph» patet arcus c 3, eft multiplus arcui 3
h.ergo angulus c h 3 ,eft multiplusanguliedg,angulus ergo d h 3, excedit angulu ch d
in multiplo anguli c d g,& quia arcus f m d eft ecqualis arcui 3 hd.per 64. primi huius, re
manet arcus f 3 d.ecqualis arcui 3'fd.ergoeritper ziS.tercij, angulus fmd atqualisangu*
Io 3 h d,fed angulus c Ii d.eft ecqualis h m c.ergo angulus f m d.exceditangulum b m C,
In multiplo anguli e g d,fed angulus o m d.cft ecqualis angulo b m e per i jv. primi , ergo
angulus f m d, excedit angulu o m d,in multiplo anguli e d g,Sf quia angulus g o m ua=
let tantir angulu o m d,& angulus o d m per 3 2. primi, palam quia angulus fmd, excec
dit anguluomgjin multiplo anguli e dg, fed angulus fmd per 3 2. primi, excedit angu=
Ium m u d,in folo angulo e d rn.eft ergo angulus m u d maior angulo m o g,ergo angu*
lusm o u eft maior angulo mtio, per 1 3. primi, bis fumptum, ergo per 1 8. primi, linea
m u eft maior quam li nea m 0 t8i quia arcus h d,cft aqualis arcui m d,pcr preemifla erut
duo anguli h fd & m f o ecquales, per z6.terrij,formec ergo pundoru duarum lirtearu h f*
& fu, ad feinuicem refledantur,& fimiliter formec pundoru lincaru hb 5i b Q&jt&lifuii
cem refleduntur, quoniam per precmilTaangulus d b h eft ecqualis angplod.briy.per 4*
primi, & per hypothefes ptcemfflas,duo ergo punda quae funt o Si n,ad u/fum «riftente
in pundo h, refleduntur i duobus purid/s fpeculi quee funt b di f.eft ergb.^ ?7.quintl
huius,pundus q imago pundi o 3di pundus n imago pundi u,ducatin er£o $x pundo
tn, linea eequcdiftansl/neec hq.per 3 . primi, qitae fit linea m i\&i linea, eeqiiediftans 1/neee
h n.quec fit m p,q'tiia ergo angulus h n d eft maior angulo li q d,pd'i 6, primi, erit angu*
Ius m p o,qui per Z9.primt, eft ecqualis angalo h rfd, maior angulo mf o.qui per 19, pria
mi, eft aequalis h q d.erit ergo pundu p.inter duo puda C8£ U,per conuerfam pef i 1, prl
itiijft! quia angulus h d n eft rcdus.erit per 3 X .primi, angulus h n d acutus.ergo angulus

«t mpd

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

«t p d eft acutus.angulus ergo m p feft obtufus,per i 3. primi, ergo linea mf eft maior if
linea m p,pcr i S.primi^fed ex prsmifsis linea m u eft maior c£ linea m o,ergo per 9. pri»
mi huius, maior eft proportio linexmf, ad lineam m o lines p m ad lineam mu, fed
proportio linea: fm ad lineam m o.eft ficutproportio lineae q b ad b o,per 4. fexti,trigo*
ni enim q b o & f m o,funt xquianguli,per 19. primi, cum linea m f fit squediftans lineat
qb,8i angulus q o b fit comunis illis ambobus trigonis , fimiliter proportio lineae p m
adlineam m b,eft ficut proportio lineae n f ad lineam f u.per eandem ergo quae prius e*
rit proportio lineae qb ad lineam bo, maior proportione lineae nfad lineam fu, per 1 r.
quinti, led proportio lineae q b ad lineam bo, ficut lineae q d ad lineam do, 8C proportio li
nex n f ad fu, eft ficut lineae n d ad d n,per ea qua funtoftenfa in 1 3. huius , quorum de*
darationem cum manifefta fit haec obmittimus propter figurationis multitudinem , pa*
lam ergo, quod proportio lineaeq d adlineam d o eft maior proportione lineae n d ad li<
neam d o,8i hoc eft propofitum,

XLUII,

In /peculis fphxricis concauis imagine retro fpeculum occurrente,maior
erit diftantia imaginis i fpeculo quam rei uiftc .

Eftofpeculi fphxrici concatii circulus qui a b g d.aiiuscentrum lite, fitep centrum
uifus -zM pundus rei uifs h,fiat<p reflexio format pundi h,ad uifum z, i pundo fpcculi
b.apparcatcp imago retro fpeculfi,dico maior erit diftantia imaginis i fpeculi fuperficic
c| iplius rei uifx, ducatur enim lines h b incldentix,& z b reflexionis , & ducatur katlie*
tus incidentis qui fit ehg t, producatur quocp linea reflexionis.qux z b, donec linexeh,
&i z hjCocurrut in pundo c,erit ergo per 3 7. quinti huius, pundu t locus imaginis , dico
quod linea t b,qux eft diftantia imaginis 5 fpeculo, eft maior cp linea bh,qux eft diftan
* tia rei uifx i pudo reflexionis, Et fimiliter linea h g eft minor ^ linea g t, ducatur enim

linea e b,& i pundo b,ducatur linea contingens circulum in pondo b.per 1 «S.tcrtrj, qux
fit 1 b k,quia itaque anguli co mingetis aui funt a b k 6c g
b 1 funt xquales per if. terti), & anguli zb a&hbg.sqlcs
P xo.qnti huius, fit ergo angulus kb z sqlis angulo 1 bh,
led angulus t b 1 eftsqlisangulo k b z,p 1 r .primi, angulus
ergo t b left sqlis angulo 1 b h,fed angulus fb h eft acutus,
qfn angulus 1 b e eft rcdus,ergo & angulus tb I eft acutus,
fed angulus c 1 b eft: acutus,qiTi in trigono e 1 b, angulus e b
1 eft rcdus,crgo g 1 3 .primi, angulus b 1 1 eft obtukrs.angu
lusitacptblcftminorangulob! t,refecetur abangu
!o b 1 1, angulus squalis anguio b 1 h,g x7.primi huius , qui
fit blm,qaitacpangulusmb left squalis angulolbh,&
angulus b 1 m, sqlis angulo b 1 h,erutp 3 z. primi, trigona
I b m & 1 b hsgangula,ergo g ^.fexti, latera fpforu funt
portionalia.fed latus 1 b,cu fit comune ambobus eft squale
libijpfi, ergo latus m b eft squale lateri b h,fed linea m b eft minor linea b t,ergo linea
Ii b eft minor linea bt,& ga linea lb diuiditangulu tbhgsqualia, patet g 3, fexti,qm
eftpportio linexl h ad linea 1 1, ficut lines b h ad linea b t,fed linea bh eft maior linea
b t,ut patet ex pmifsis,ergo& linea hl eft minor cplineal t.linea ergog h,cft multo ma<=
ior cj? iincagt, patet ergo .ppofitu.&ex his patet fyi ueru quaru diftatia ab eo de uifu ma
lorcft.ucl augetur & diftatiaimaginOretro fpeculu uiforu maior eft uel augetur. Si e*
nim ^trahatur linea b h ultra pundu h ad pundQ f,& ^ducatur kathetus e f,quoufcp con
currat cu linea reflexionis z b,in pudo n,crit pundQ n locus imaginis forms pudi f, &
erit linea h n, maior linea b f,uc prius patuit, & erut lines b f & b n, maiores c£ lioes b
hflfbt. Xiv.

In concauis fpeculisfphscricis inter uifum & fpeculum imagine [occurre»
te,nomiUncp minor erit diftantia imaginis a uifu quam fit ipfius rei uifie i fu|v

fide

't I'B ER O CftWS* " a i §

'perfide ttero fpcculi quandoc^erit minOE,qfia'ftd6^i1lAiCir,qndo(^ aequalis,,
Efto in fpcculo fphaferico cocauo circulas magnus a b g, cuius centrunrfitd, Silitfe*
midiameter d bjfitcjj centru uiffls 'in pudo e, Si linea rei uifa: fit j 't m, 'qute rdledafur ad
uifum i pundo fpeculi b,(Tt'cjj linea 'incidentia: 3 b, Si linea reflextorttsb e , dico qiiodlie»
rurti eft. quod proponitUr,ducatufenim per centru d ad lineam reflexioise b, linea quai
fit td h,8iefto ut ipfa fit pcrpendicUlarisfuper femidiametru db, ducatur quoqjflifiiliter
i pundo rei ui (x quod eft $ ,Iinea 3 d.qutc produda ultra pundu d, ad ‘lincarri reflexio*
nis quaeefte b,fecet ipfam in pundo k,8i fimiliteri pundo uifo quod eft m, ducaiiir Ii*
nea m d,quze produda ad lineam reftexionis.quar eft c b,fecet ipfarii in pundol,eft ergo
per i7.quinti huius, pundusk locus imaginis forrnte pundi j,8ipundus h locus imagi
nis pundi t,& pundus 1 locus imaginis pundi m , 8i palam quia punda k Si h cadunt
inter punda a Si h, palam quia cum loca imaginum approximent uifiii,quieftirtpunddi
«, quia multo minorer/t diftantia ipfarum imaginu i uifu quim fit ipfius rei uifx.quonia'
ertim linea d b,femperdiuidit angulum reflexionis per aqualia, paret|quod ccntrum.ui*
flis Si pundum rei Uifa: femper collocantur ex diuerfis partibus' centri, ducanturfcy ili*
nea e 3,critcp in trigono kc 3, angulus e k 3,nonrtUncj3 maiof angulus k 3 e, ergo per 19.
prinii,crit tuclinea e jjqu^eftdiftat/a reiuifeitetro uifiis maior qu5
linea c k,qute eft diftatia imaginis k,a' cetro tiiiTIV.ttiiniis aut e diftant i
uifu loca imaginS qU^iimt ftSil jfjUia uer6 in trigonis b d t fii b dbjtjuo
anguli, qui funi b d t & b d h futit atquales, qa redi ex hjfpbthefi; ■& duo /
anguli H b d Sit b d ilnit arquales per io,quifitihuius,cu fiptarigUlim*
ddttitte Si reflB^fottis^quaies erunt per 3 iipriftjulli trigoni tlqftian* 0
gifliVergo per'4,rexti,cUm linea b d,fit aequalis fibi ipfi, erit I/neabt
qualis linea? b h, aequaliter ergo diftabunt imago Si res uifa & fuperficie^
fpeculi.fcd linea b k eft minor qu^m linea bh,8i linea b 3 eft matorquim linea b c, erit cr
gdlincab 3 maior quim linea b k,erit ergo tunc locus imaginis, 8i imago propinquior
nipcrficiei fpeculi quam res uifa cuius illa eft imago, Si qa linea b m eft minor quim linea
b I fcftaiite pandus 1 locus imaginis pundi m.patet quod res uifa propinquior eft fpecu
Io quamdu5i'rnago,patetitaq3 propolim, 8i ex his patct.quonia reru qua: magis elonga
tX fil nt i ipeCUliS.Si quaru formae refleduntur ad uifum, ita quod loca imaginu fint inter
Uiftirfi Si {pacali ftlperficiejfiut imagines ipfarffpropfnqu/ores fuperficiei fpeculi, Siclon
gat* plus a centro itifus, Rerum qUofp qUte furtt propinquiores fo^CUl/^, 8f quarlim for*
mre refleduntur ad uifum.Si loca imaginum fimtintfcrfpeculu&Uifuin. j ifhiagincSplus
'elongantur afuperffcie fpCcUlftSi fiunt propinqtffbres ad uifum; '• 1

; . X l V r» . . V > .

Centro uiTiis & reuila exiftentibus iptra {peculum fpharriciimconcaiiu
ip eadem linea reda tcqualiter a centro fpeculi fecundum Cui extrema difiari-*
te,iitiago rei uificUidefiitur ultra fpecuiiim maior reiiifa*. ’

Sit fpeculum fphaericR cohcauuhi.cuius centrum fit a, dico quod fi centrum uifus fue
irit intra fpecUht Si fimiliter linea uifa fit'cp illoru difpofitio modo qiio proponitur, uerjjtrt
etle qd ,pponitarifecCtUr enim fpeculir per fuperficie plaila tranfeunre per Centru ipeiuli '
erit CrgO pe^ ^•.^rimi HuiUs, comunis fed/6 illius fupbficiciplanx, Si lupcrficid fpccutf^
circiiltts qui fit B g;5i ducatiir (rt lioc iirculb l/nea i centro fpeculi, ad circuferenti? qpb^
cunq? modo coringar.Si fitlined a u.quat-diuidatur per arqualia inpudo fyfyrftflTw
ftcundu quantitate Iind»ad>diefcribatur circulus qui fite 3.8iinlincao^ufig|j^tpdhi*i!
dus t, Utcuncp-cStirigat, 8i-i ptJrtdo t ducatur lifteart n 8 i t tn,perpen^W^u>B K* .
nea a u per 1.1. primi, Si ducatur 3 pirdo t lineae t e Si t 3 jcodhgehtei‘dfcume^iper i 6y
terttj,0(fltirp8d4 cotadua'^ 3 jduciitur qtib<^ S'-C€trdfpect|li|o§w^^!ft««tOtt "
iaditS lincte aeSfa 3,quajprodud4:recetfjiecyiu^npadisbW^;'^ppu|eturqUqf:|Iir»^
t h 8i t g,8i 3 pSndo t,dubatiir linea b m;teqU^4fft^hs line2'iM>P^i »«

ajducatUrtequediftanseifdemiiheiSabSiSb iAiSfr-ducahtui.WcShtiq fpfeculiad plinda
m 8i n.line^ a nv8i a n,qUx producatur liltertusextracirctilug mqiiia itacp linea aeeft

ii * aequalis

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

scqlfs linea: o u,pala jj eande,qm Irnea a c eft atqlislinea:ebA linea a 3,*qlislmea 3 g,
o es era diametri circulic 3 >funt medietates diametroru circuli b g . ergo illa q inter/acet
circulos exiftesicetroa.eftaqualis fernidjametrocfrculie 3 A qa linea t e co tingit cir*
cuJumtnore qui eft e 3, erit j> 1 7. terti), linea t e perpedicularis fug lineam b a, & fimiliter
erit Irnea t 3 perpedicularis fug lineam g a,ergo per 4. primi , linea t c exiftente comuni
ambobus trigonis b e t & t e a, erit linea b t aeq ualrs linea: t a >& fim iltcr erit linea g t, f qua
lisline{ta,ergo per j-.primi,in trigono t b a,erit angulus t a b, squalis angulo tba’& in
trigono tg a,erft angulus t g a aequalis angulo t a g,& quia linea b m eft arquediftans li-
nea: a t,erit per ly.primi.angulus m b 3, aqualis angulo t a b, quoniam funi coaIterni,att
gulus ergo m b a.tequalis eft angulo ab t ,& fimiliter angulus ng a,aqualis eft angulo a
g r,cu ergo uifus fueritin pundo tA in linea m b.fiierit aliquod uifibile ut pundum, tuc
forma pundi m,i pundo fpeculi quod eft b.refledecur ad uifum exiftente in pudo t , di
forma puodi n.reftedctur 1 pundo fpeculi g,ad uilum exiftente inpundo t; uifus it acp
exiftens in pudo t,coprchendct formas pundoru n di m, reflexas ad fe k pundis fpeculi
g Srb.copfehendccergo eade ratione di totu lineam n m reflexam ad fe ex toto arcu g b
ut patet per 4 i. furitis, & quia linea m t eft perpedicularis fuper lineam a t,erit angulus m
t b acutus, quia enim angulus m t u eft redus.ergo per 151. primi, angulus b m t eft redus
ergo angulus m tb eft acutus per 3 i.primi,ergo per 1 ?.primi,erit linea cb, maior cjj li-
nea b m,fed ut praemitium di linea c b eft aqualis linea a t,ergo linea a t eft maior c£ li<
neab m,fed linea a t&bm funt aquediftantcs,ergoper 1 6. primi huius, linea t b cocur»
rct cu linea a m.cocuirant ergo in pundo £cft itacp per 37.quinti huius,pundus i locus
imaginis forma pundi m, eodem quoqj modo linea tg concurret cum linea a n in pun-
doqui fitqA eritpundus q, locus imaginis forma pundi n, quoniam kathetus inciden
da forma pundi m,eft linea a m,6; kathetus incidentia forma pundi n,eft linea a n, U
nea quo cp reflexionis funt linea t b & t g, continentur itacp punda f di q,p er lineam f q,
& erit linea t q, diameter imaginis forma totius li-
nea n mA quia linea te Sit 3 funt aquales per y8.
primi huius»erunt anguli t a e & t a 3 aquales, an=
guli enim 1 3 a Si t e a funt redi, per 1 7,tcr trjA line§
3 a & e a funt a?quales,quia femidiater eiufde circuli
lmea c^cp t a eft comunis ambobus trigonis 1 3 a & t
ca,ergopcr8.primi, anguli 3 ta& e t a funt aqua»
lesA fimiliter anguli t a e & t a 3 funt aquaIes,ergo
8^ angulus t a b, aqualis angulo t a g, ergo per 4-pri.
inferat linea t b di tg aquales, 8i quia angulus c t a
eft aqualis angulo 3 1 a , erit angulus u t b, aqualis
angulo u tg, relinqtur ergo angulus b t m , aqualis
.. ... . angulo gtn, quoniam anguliutm 8iiitn, funt aci

les.quia redi,fed& anguli b rat di g n t funt redi, ergo trigona g tn&btm funt per 3 1
Per ‘t.fexujcu linea tg fit aqualis linea tb, erunt linea bm&g
n scqiiiles,» linea t m squalis lmea; tn.ergo per .(.pnmi.cS anguli n t a & m t a funt ««,
erutlmesam&ansquales, « filpunSa m& nsqualiterdiftabfit ice.

trorpecuSq^ eft a,eritCBper s.fexti,&per is.quinti,prpporlio linesafad lineam f m,

«cor lines : a ad lineam b rn,8d erit (ipoitio lines a q ad lineam q n.ilcur linesa t ad li> .
ncd npcdp 7.nnn,eadr eft .pport/o lines a t ad linea b m,& ad g n,qm ilis dus funt s .
quales, Se eade ergo eft jiportio lines a fad linea f m,q eft lines I q ad linea q n,ergo o
nmibums-cmeuerlim eade g portio linesa f ad lineam a m,q eft linesa q ad lini
a n.ergo P id.cjnn.erilnmuiatim jjporno lines a q ad lineam a f.Bcut lines a m ad line
an, a n fed lmea a m eft sql, simes a n.ergo linea a feft sqlis lines a q, linea itaqj f q,*:
quediihttoesn m,p r.feii.ergo linea fqcft maior ij linei n mdiitacj cetru uiius Sf
ritinpCfflot,etinl,nCanm,ftier,talffld uifibile, tueuiius coprehedet imagine illius uilibi
1 T* $,!t,fe:und“ uemateAhoc eft propolilS.etfl arcuseuiufcfli» circulieoputai
«B,ailhascl^j*as n m &qf.Pa,etidetn de arcubus quod de lineis redis,

*' ’ •- Centra

OCTAVVSV
XLVIJ,

Centro uifiis &re uifa oppoffris fpeculo fpfiamco conemo taliter ut ui.
. fit aitior re mfa fecundum fui cxtranaccqualicer diftante i centro Cpeeuli,

imago line® ui& nidebitur ultrafpeculum maior re uila .

'f' uIik{pkuI< (pterici concaui licut in pramiffi qui eft b e.crnns <

centrum a,8i
Gtqj linea a u, diui*

.. cncu.i a,*u perjier

fa/med/imJn?? a^“m 8HU* diuidatur,utin prscedente fecundum punSumT.ukra
* ^«^^^««amgb^ducanturttnexgt & t b^c^at^TpinSo

’ Perpendicularis fuper fuperficiem circuli per i z.undccimi,qus fitlinea t k.&du

culi ftiper ttmrum^ f k’fU^?C,rS tr‘8?norum k b a>funt ?«antcs fphsram fpe
per Centrum a, & fune ereds fuper fuperlTciem circuli bg, per i3,undecimi,&fir<

alnscircuTn^fiC,CfC°nt,n8enteS %h?ram ‘n Pun<fHs b &g> ud quibufcunq* pundis
alqs circulorum qui funt communis fedio illarum fuperfiderum & fpeculi “ - *
nuius.quoniam enim rnmimm» u r.

per fecudam

u ->r— --i — ■*—* .«^,..cn.a;pca lo.uuuccuiiijiuutercdieiupcrluperficii

illorum ^''"Parethoc dealijs fuperflc/ebui fecundum

punda

orum circulorum contingentibus.In illis itarp fuperficiebusfit reflexio i pundis cir*
CIrcu,,orum communi eis & fpeculo.ducatur itaq, linea b m in fuperficie b
J rediftanrer lines a k.fitcp linea b m minor qua'm linea a k , fiatqj taliter ut linea b
fV N m lu^erhciem circuli b g,ad partem aliam quam linea t k, ira uc lines t k.

m,llnt mdiuerfis partibus fpeculi refedos per fphsram fpeculi bg , ducatur itaca
UJ3 m, a extrahantur lines b k & a m, donec concurrant in pundo f,concurrent au*
em per 1 6. primi huius, cum linea b m,fic minor quam fua squediftans linea a k , & in
uperhcicg n k, ducatur linea g a squediftans lines a k;(it'q* linea gn squalis lines b m,
ea"dem Partem fupcrffciei circuli produda,& ducatur linea a n,producantur'q» li=
nes anixlc g,donec per i (S.primihuius}concurrant in pundo q,ducacurcs linea fq& li
nea m n, quia ergo ut in prscedente proxima offendimus, linea b t eft squalis lines t a,
a jfneatfcett communis duobus trigonis b kt &a kt.&anguliad pundum t, funtre*
cn per diifinicionem lines fuper fuperficiem ercdam,palam per 4. prini i, quia linea b k,
f. , aEflua«s ],ne* k a>& per ea nde erit linea g k, squalis lines a k,ergo per j-.primi, angu
U k a b a k b a furit $qualcs,& fimiliter funt anguli kagdikg» squales. Item quia ftnea
g k elt squalis lines a k,igitur linea g k squalis eft lines b k , fed a linea a g eft squalis
** ifu 3 b,claia ^unc iemidiametri eiufaem circuli,& linea a k eft communis,trigona /tat»
a k b 3/ a kg funtsquiIatera,ergo per 3. primi , angulus kba eft squalis angulo kg a,
wl angulus k a b squalis angulo k ag,& quoniam per i$>. primi, ^
angulus a b m eft squalis angulo k a b , ergo Si angulo k b a,8d '
quia lines a k Si b msqucdiftant,&ifti anguli funt coalterni,

Si .fimiliter angulus a g n ,eft propter eadem squalis angulo
fc a g, quoniam lines a k & g n squediftant,ergo &C angulo k
g a ,Si quoniam anguli k a g di k a b funt squales, ut prsoften
fum eft, erit ergo angulus a bm squalis angulo agn, & linea,
b m ex hypothefi eft squalis lines g n, ergo per 4. primi , linea
a m eft squalis lines a n,ergo ut in prsmiiFa linea af, erit squa
lis lines a q, ergo per fecundam fexti, linea q f squediftat li* / •
nes m n , & linea f q eft maior quim linea m n,cumitacp uifus P
fuerit in pudokjiiel fuper pundum kjin linea ck,& fuerit linea .

m n, in aliquo uifibiliinferiore pundo uifu,tunc forma pundira, ulCtdatfpecuTo fectin*
darh lineam m b,& refledetur i pundo fpeculi b,ad unum fecundum lineam b k, in fu*
perfide circuli tranfeuntisper punda b a k,fii formapundf n »incKlei fpeculo fecunda
lineam n g , Si i pundo fpeculig , refledetur ad uifum fecundum lifteam g k,in fuperfi*
cie circuli tranfeuntis per puda g a k,&: erit per j 7,quind huius, imago ptmdi m , pun*

ii 3 dum

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

sdum f & imago pundi n pundum q,& erit linea qf, diameter imaginislincse nm,& li<
nea f q erit maior quim linea m n .imago ita cp rei uifat apparebit maior ipfare uifa, St ul
tra fpcculum, in hoc ergo litu aifus eft uifibilis,patet propofitum.Si itacg reuolnatur tota
figurain circuitu lineae a u,ipfa linea a u, permanente immobili,tunc pundumk deferk
bet motu fuo qucndamdrtuiumfuper quem ereda eft linea a u , tranfiens ad utramq}
partem fUperficieitllius drculi.&omnepundum illius circuli habebit fitum refpedu li«
nea- comparis linearm n.Si itaf£ uifusiuerit in aliquopundo circumferentia: huius cir*
culi.flt lfnea cbmpar lineae m n,t'ucHtin fuperficie alicuius rei uifa: refpicientis centrum
iiifusfecundumiilum fitUm,Utres'uira'irt qua eftlinea m n.refpidebat uifum exiftenterh
in pundok.tuncuifuscompfdiendct formamillius linea; maiorem fua propria quanti
tatel& fimilirer fi extrahatur’ linea ck^in continuum 8fdircdum,8<! fignetuHn ca .puni»
dum aliud ptauer pithdum k.ut pundum pj& ducanturlinete ad illud pundum p , fi<
cut ad pSdUmk.funt prius dudx,erit idem eueniens quod prius accidit in pundo k.plu
ties itatp Ut patet per pra:fcns theorema, &.per proxime prtemiiTum in fpeCulis fpharricis
concauisuidetur imago rei uife maior ipfa re uifa, quod eft notandum .

X L VI II.

In Ipeculis /phccricis concauis quandoq? comprehenditur imago «equar-
iis ipfi rei uifte, qua: occurrens inter uiftim Sc fpeculum conuerfum, retro ufc
fum uero conformem habet fi tum rei uific.

Sitfpeculumfphxricumcdncauum a b, cuius centrum fite/ecetcp fpliim fuperficieS
plana tranfiens centrum c, cuius communis fedio&fuperficieifpeculi erit circulus per
^5>.primihuius,quf fit a b,& ducatur d ccntrolinea ez , utcucp contingit,nonin ipfafu=*
pcrficie circuli a b,fed oblique fuper illamficut placet;quae producatur ultra circuli pcrl
Feriam ad pundumg.fii ipundo g, extrahatur linea perpendicularis fuper fuperfidem
circuli ab, per i r, undecimi iSt in illa perpedictilari fignetur pundum d, & ducaturlinea
d c,qiKe protrahaturultra centf um e,ad putidum o,& ducatur linfca e b, continens cum
linea d e.angulu obtufmm&ducarurline e acontinehs cumlinea e d.angulumobmfum
tequalem angulo deb,-£er apprimi, &'ducantur linea; d a,d b.erutcp per 4. primi, in tri=
gonad ea fkdeb arquiangula.Supcrftries itaqj duorum trigonorud c a,& d c b.fecant
fe fuper lineam d e,St duo angulid b e & d a c funt acuti St ixquales.per 4. primi, linea c*
»(111 c b eft arqualis linea c a, a linea d c eft comunis ambobus trigonis d c a & d c b , &
anguli d e b d' d c a funta*quales,i pundo quocp b in fuperficie trianguli d c b , ducatur
per »},primi,linea continens cum linea c b,a ngulum aqualem angulo dbc.quaefttli»
nea b o.hrec igitur linea concurret cum linea d e, per i4.primi huius, idcoquod anguluS
bc d eftobruius,&! angulus ebo.qui eftapud ptindum b,eft acutus, non ualens cum aii
gulo deb duos redos, cum angulus o be fit a-qualis angtilo dbc, qui cum angulo bed
& angulo bd e.ualet duos redos, per 5 i.primi, fit itaq} lineatu d e6(!bo, cocutfus in pu
dooAa pundo a, ducatur linea in fuperficie trianguli d e a continens cum linea a e.an*
giilum Jequale angulo d a c.concurtet ei go illa ut p rius cu linea c o in pundo o .quoniS
anguliaeo‘&: b c o,per 13. primi, St ex pramifsisfuhtsqualcs,& angiilie b o8ie a o.ex
pramifsisinter fc funt aquales , ergo per 3 *. primi, anguli reliqui qui funt c o b&eoa,
funt aquales, ergo per 4. fexti, latera 'ipforum funtprdp6ttionalia,fed linea ca eft aqiiJi
fisI/ncaeb,crgo linea eo eft aqoali£fibi)pfi,cadutlt.ergo linea bo&a o,in unum puri*
dum linea d e produdajqui eft obducatur etiam linea e c ad lineam b d,ita qudd cortnt
at cum linea cb angulum redumptIM ».primi\& protrahatur linea ceiiltrapundmrt^
St linea b o ultra pundum 6,c6current'cp‘Iinea ^e 8t 1 o,per 14. primi huius, quia cu an*
gulus b c c fir redus.anguluseb oeft acurUSifitcrgo Conciirfus pudush , ciitqj linea ce4
aqualis linea e h,& linea c b aqualislinca b hjper 4;fexri, trigona enim ce b St b e h,pef
1 j.prirrii,& ex prattiifs/s funt arqufangula,& qtiibus latus e b eft comune , St fim/lfter $
ducatur linea e k ad lineam a djita q» contineat cum linea e a, angulu redum per rl.jpri*
mij& prodiicamr ultra pundum producatur linea a o, ultra pund'2 o , coairrtmfy
hnejike,&ao, per f^.primi huius, quia cfi angulus k e a fit redus, angulus e a ■cf/ftSat
i_ ii tus

LIBER. ■OCTAVVf*- **a

«us,f!t conctirfus pundus I,8i erit linea k a aqualis linea e l,qufa cum angulus k e a fit re
dus,erit angulus e a 1 redus,ied Si angulus e a 1 eft aqualis angulo k a e, ut patet ex prae
miTsis.crgo per 3 t.primi,trigona k c a Si e a 1 funt aquianguIa,ergo g 4. fexti , cu linea
e a fit ambobus illis trigonis communis,erit linea k a aqualis linea a 1, 8i linea ke aqua»
lis linea e l,8i hoc etiam poteft concludi per 3. fexti. Si pereundem modu oftenfum>lunt
linea d e Si e h adinuiccm,8i linea c h Si b h adinuicem aquales, du
can tur ergo linea c h Si 1 h,quia xtacp duo latera d e & k c iunt aqua
(ia duobus lateribusehSiel.Siper ly. primi, angulus ce kcftxqua
lis angulo 1 e li,pate( per 4,primi,quoniam linea c h 8i 1 h , erunt a*
qualesinter fe.Sicrgo uifus fuerit m pundo d,Si linea 1 h,fueritin a*
liquo uifibtlf tunc uifus exiftens in pundo d, comprehendet formS
pundi h,in fpeculo a b, reflexam S pundo b,8i erit forma pun di h,i»
mago pundumc, per 3 7.quinti huius, quoniam kathems fua/nci*
dentia qui cft linea h c, concurrit cu linea refiexionis,qua eft db, in
pundo c,fimiliter quia forma pundi l,refledetur ad uifum in pun»
dum d,i pundo fpcculi quod eft a.8i quia kathetus fuas incidentia
qui cft 1 e,cocurrit cum linea reflexionis qua eft d a, in pfido k, erit
per 37.quinti huius,pundum k, imago pundi forma pffdil, Sierit
linea ck,diameter imaginis linea 1 h,Si erit eiaqua!is.Si ergo retiol
tiatur tota figura fpeculi.Si linearuprodudaru linea hl immobili
cxiftente,tunc pundus d .deferibet circulum, fn cuius circumferen»
tia pundo aliquo cerro uifus exiftente poterit comprehendere ali
quod uifibile comparem habens fitu ad uifum, ficut tunc habet linea
I h ad uifum d,& erit imago illius uifibilis aqualis ei , 8ifimiliterfi
uifus fuerit intra circulum fpcculi in pundo 0,8 i res uifa fuerit di«*
fpofita fecundum lineam c k.crit imago linea c k, linea 1 h aqualis
rei uifa,fcd tamen rc uifa exiftente in Tinca 1 h, 8>i uifu exiftetein pu
do d,cum imago rei uifa fuerit linea c k,erit forma imaginis, conucrfa relpcdlu fi tus rei
Si enim pundus h fuerit in dextra ,erit pundus e in finiftra.Si fipundus h fuerit fupra li
neam aliquam eleuatus.erit pundus c infra illam lineam depreflus 8iinclinatus.SC fimili
ter eft de pundo I,refpedu pundi k,fed cum res uifa fuerit in J/neack,6i uifus faericin
pundo o,8i imago linea c k fuerit linea I h,er it forma no conuerfk ftd direda,nam ima
goqua cft linea 1 h.crit retro uifum .ut oftcnfum eft in 1 1 .huius, & uiiuscomprehedetpfl
dum h,quod cft imago pundi c, retro fe in linea h o,8i pundum l,quod eft imago pQdi
k.in Hnca I o retro fc,8i pars forma uifibilis qua refleditur ad uifum, erit refpiries uifum
in ipfa iinagine.ficut Si in ipia fuperficic rei uifa.patet ergo propofitum ,

XLIX.

In fpcculisfphicrids concauis imago quandoq? comprehenditur minor
re uifa , quee occurrens inter uifum & fpeculum conuerfum habet (itum rei ui
fx , quandoepuero uidetur maior re uifa,qux occurrens retro uifum confori»
mrm habet ficum rei u ifx*

Sit difpofitio totius figura omnino eadem qux in pracedente theoremate,& prodit»
catur linea b h,in continuum Si diredu,8i in ipfa fignetur pundus r,8i ducatur linea re,
adeentru fpecuH,quoniamanguIustcbeftredits.patetper 13. primi, quod angulus h
ebeft redus.palam ergo quia angulus r e b erit obtufus, producatur'® linea re ultra p8
du e.ad lineS b d.incidatqj in pundu n,cadet'qj n inter pfitfia t Si b , cirem angulus b c r,
fu obtufus, patet per 1 3.primi,quodangulusb e neft acutus, linea ita en, diuiditangu
Ium tcbquieftredus, ergo per 15», primi huius, ipfa fecabic bafem tb, erit ergo linea n
b minor quim lineat b,fed linea tb, ut patet in pracedenti eft aqualis linea bh, Sili»
nea b r eft maior cjj linea b h,erit ergo linea r b maior cjj linea b rt , Si quia ut patet t> c prx
mifsis in proxima pracedcnte angulus nb e eft aqualis angulo ebr, palam quod linea

^PERSPECTIVAE VITELLIONIS

c b diuidif angulum n b t per aequalia ,er unt ergo per 3 fexti, proportio linea b r ad line*
am b n,ficur proportio linea r e ad lineam e n,fed linea r b eft maior quim linea b n , er=
go linea r e, eft maior quim e r,producaturig fimiliter linea a l,in continuum & diredu*
donec fit linea a maqualis linea br,& ducatur linea me, qua produda concurrat cum
lincada.inpundou,concurrctatitemutpriusdemonftratumeft per zp.primihuius»#
quia duo anguli e a m 8i eb r luntaquales.ut patet in comento pramifta propofit.on/s,
.& duo latera eaMam .trigoni e a m.funt aequalia duobus lateribus
trigoni b e r,qua iirnt bc&b r.erit per 4, primi, linea m e aqualis li
nex r c,Qi angulus m e a aqualis angulo r cb,fed -angulus r c b ma»
ior eft angulo redo & obtufus,erit ergo angulus mea obtufusjer*
go per 3. primi, angulus u e a eft acutus, quia ergo in trigono a e u,
angulus u a e eft aequalis angulo c a m.trigont m e a ,& angulus u e
a eft minor angulo m c a,cric angulus e u a maior angulo a m e. per
3 z, primi, ergo in trigono m a u, latus m a eftmaius latere u a,(ed li=
nca a c diuidit angulum u a m per aqualia, ergo per 3 .fexti ,linea m
c eft maior quim linea e u,& fimiliter eft linea r e maior quim linea
e inducantur itacp linea: n u&mr.&quia per z 6, primi, linea ne eft
aqualis linea e u, quoniam ex prttmifeis angulus u a e eft aqualis
angulo nbc,& angulus a cneft aqualis angulo ben,citm utcrcp
putidorum luper angulum aqualem obtufum fit complementum
duorum redoru per r 3 .primi, di latus a c eft aquale lateri b c , funt
igitur per r j-,primf,8t! per 7«quinti,& per 6. fexti, trigoni mct&a
c u aquianguIi,ergo per 4, fexti, erit proportio linea m c ad lineam
e u, ficut linea m r ad lineam n u,lcd ut patet ex pramilsis linea m e
eft maior quim linea e u . ergo linea m r eft maior quim linea n u.
Si ergo linea m r fuerit in aliquouiflbil/,& uifus fuerit in pundo d.
erit linea n u diattiete^f maginis linea m r minor quim linea r m, Qt
fi uifus-fuerit in pund.p o , & linea n d fuerit in aliquo uifibili , erit linea m r imago ii*
nca n u,8i eft maior quim linea n u. Sed cum in linea m r fuerit aliquod uifibile , & uifus
in pundo d,imago n u.erit inter uifum 8i fpcculum,& uidebitur imago reuerfa babens
(initn alium quim res uift .prout declarauimus in theoremate praccdctltc, cum uero re*
uila fucritin linea ri u,& uifus in pundo o, imago m r uidebitur retro uifum, QC erit cius
forma conformis (itui rei uifa,ut in pramifta patuit, nam imago fi fuerit ultra uifum ni*
debitur anterius ipfius,8i omne pundum imaginis uidebitur in linea fua rcftexionis,pa
te t ergo manifcftc totum quod proponebatur.

L.

In fpccults'iplia;rias concams imago quanelocp comprehenditur maior
rc uifa,SCconucrfa fecundum fitum forma; rei uiftc ipia imagine inter uifum
& ipeculum occurrente retro uifum non uidetur minor,fed habens fitum coti
formem rei uifec .

Remaneat difpofitio qua prius in 48.huius,& lignetur in linea o h,pundu q , d! du*
catur lineae q,di produda ultra ccntruc,tranfcat ad pundum p .linea d b , fit'q* ut 5 Ii*
nca o fabfeindatur linea o f, aqualis linea o q,per 3 ,primi,& ducatur linea fe,qua ,pdu*
catur ultra pundum e , ad lineam d a in pundum i, erit ita q; fecundu pradidum in pra*
mifsis probandi modum dua linea p c 6t i c, maiores duabus lineis e f Qi c q,quia enim li
nca lc eft maior quam linea f e , per z 1. primi. & linea c h eft maior quam linea c q,!inca
ucro p ccft maior quim linea c c ,dC linea i e maior quim linea c k.linea uero I c eft aqua
lis linea kc,& linea h c eft aqualis linea c r, patet quod duar linea e p dC c i, funt maiore*
duabus lineis fc&cq,&! quia ex pramifsis in praccdcntibus duobus theorema tibus an*
guli c h q & c 1 f,ftmt aquales, & linea e h di c I aquales , nunc autem linea h q &1 f, at*
ttpta funt aquales, ergo per 4.primi,lincafcSd ac funt aqualcsA angulus fco aqua

lc*

LIBER. OCTAVtf*.

lis angulo q e o,crgo per i j-.primi, angulus p e d eft aqualis angulo d e /.relinquitur fers
goanguluspcbaqualisanguloiea.ergoper $ imprimi, trigona p <*T W*
ebdiiea funr *quianguIa,ergo per 4. fexti, cu linea e b fit arqualis \ / \

linea: e a.crft linea pe arqualis linea: e i, ducantur ergo line* p i &p \ / \

q.eritper iy. primi, 6dper 7.qiiinti,8i;per 6.&:4ifcxti, linea pi,ma \ / \

ior qua‘rn linea f q,(i ergo iiifus fuerit in pundo o , 8i linea p i fit in \ \

aliquo uifibili,crirlinea fq imago linea p i, & eft linea fq maior cf; y * V

linea p i, di imago f q , liidebitur fuper duas lineas reflexionis qua: A V

funt a o & b o, erit ergo forma imaginis retro uifum minor quam l\ \

res uifa.,6^ erit direda habens (itum conformem fitui rei uila,Si ue* j I \

ro uifus fuerit in putido d,& linea fq in aliquo liifibili , tunc erit li* k/\\ A -

nea p i imago line* f q,& erit maioris quantitatis djj linea fq ,8Ce» A\ \ . / K

rit forma ance uifum conuerfum & ' contrarium habens litum rcfpe A\\\ f/\\

du (itus forma: tufa rei uifar.fit! hoc eft propolitum * / I x\ I/ \

Centro uifus exiftcnte in aliquo pundo inter quod & f / ' / \

fuperficiem fpcculi fphatrici cocaui fuerit centrum fpeculi 1 /
forma: uifie exiftcnris ultra centrum 'fpeculi imago conucr JwL// V\/^
Ia uidctur,& minor formareiuifac , inhac quoq? fitu uifus
comprehendet propria imagine minorem & conueriam.

Sit fpeculum fpharricum concaiium a b d, cuius centrum g, fecetfy ipfum CilpeiSdci
plana per centrum gjerit ergo per 69. primi lniius, communis ledio circulus qui fit a b d
£i ducatur Iitica g d.utcuncp contingit producatur linea g d ultra pundurh g, ad puti
dum e, in quo fit ccritrUrri uifusinfupcrficie circuli a b d.fitqj piindusc,in eadeni linea e
d ultra centrum fpcculi,qiiodeft puridum g ducatur linea ch.per i 1. primi, perpens
dicularitcr fuper lineam e d.& producatur linea h c ultra putidum c,adpundumz ,do*
nec fit line a zc aqualis line* c b.comprchendarcp uifus exiftens in pundo e, forma puti
di h .per reflexionem fadani a‘ pundo fpcculi quod fit a,erunc itaqj duo punda a & h,
a duobus lateribus pundi g , fitiqj ira Iit ii linea g h, producatur ad periferiamcirculi in
putidum p.fietqj arcus a p maior quarta Circiill.&erit angulus agpobrufus, per ult/mS
fexti, non eft autem pofsibile, ut punda a 3ih,confiftantineode latere pundi g,fn er dii
inetrosgddf g q.produda femidiametro gp.in putidum q, non enim poflet fieri reffe==
Scio ut patet per zo, huius, tiifi linea produda i pundo g.ccntrO fpcculi ad piindum a, di
inderet angulumhc pcrarqualia.ducantur itaqj linexea 8i a h,& produda 1/riea hgad
lineam ae,incidat ipfum inpundum k,anguIusitacjjhagefta?qualisahguIo ga e > per
20. quinti huius, & eft pudusk imaginis pundi h.per xj, quinti liiliiis» fit quoqj arcus b
d aqualis arcui da, quod fiat per zy.tcmj.Si arigulusdgbfiat arqualis angulo dg a, SC
ducantur linea: e b,z b,g b,SC producatur linea zg.ad lineam be, incidat'^ in pundum 1
fecetq? linea z ii femidiametrum d g,in puiido fiquia ut patet cx prami fsis duar linea: z
c di c h funt aquales ,SC punda z & li, aqualem habent dilpofitioncm rcfpcdu centri, 8£
refpedu periferia circuli,patet quod linea: h a,& z b interfecabunt femidiametrum d g*
in eodem pundo f,quia itaqj in trigonis c e f & h cf,duolatera hc&cz funt aqualia, &
latuscf eft commune ,Qi anguli ad c redi, palam per 4 primi * quoniam linea z feft a*
qualis linea Ii f,fed di in trigonisa g f & b g f, accidet per eandem 4. primi, angiiluin f a
g aqualem elle angulo fbg.&Minearri a f aqualem fieri linea f b,eftehim expramifsisS
angulus a g f aqualis angulo bg f, di linea a g Si b gfunt femidiametrijComrriunisiierO
ambobus trigonis a fg Si b fg, eft linea fg.ergoper 4.primi,angijii(Sfa g.inaqiialis eft
a ngulo f b g .limiliterqj per eandem 4 .primi, linea e a aqualis fit linea e bj& angulus g b
c aqualis angulo g a c,(ed anguli f a g di g a efiitit aqualeS , ergo & angiiti fh g & gbe
funt aquales, ergo angulus z b g aqualis eft angulo e bgjdgo per io.qliinti huius3for
Hia pundi z refiedetur i pundo fpeculi quod eft b,ad uifum exifkntcm in pundo e , Sd

kk tiil

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

«s it pundus Uocus imaginis forma: pundi z, ducatur quoq; linea k !,qux erit diameter
imaginis linea: z h>& quia linea z h cft pcrpedicularis fug linea d e,& linea zceft xqua
Iis lineae e h,cx hypothefi,& quia ut patet ex prxmifsis dux linex z f di h f funt xquales, et
dux line x a f di b ffunt xquales, tota ergo linea z b cft aqualis toti linex h a,fed di dux li
nex a e 8i e b funt xquales, ducatur quo q? linex. e h di e z,in trigonis itacp e a h & e zb»
duo latera unius qux funt e a di h a funt xqualia duobus alternis lateribus, qux funt e b
di b z,& angulus h a e eft xqualis angulo z b e, ergo per 4,primi,bafis zeeft xqualis ba
fi he^militerqjin trigonis zcg&hc g,duo anguli ad pundu c , iiinc redi , di latus z c»
xquale lateri h edatus quoqjcgeft commune, ergo per 4.primi,Iinea g h eft xqualis li
nex z gjinex uero a g & gb funt femidiametri circuli a b d& xqua le.s, ergo dux linex a
g 8ig h funt xquales duabus lineis bg&gz,&: bafis a h cft xqualis bafibg, ergo per 8.
'primi.erit angulus a h k xqualis angulo b z I,& angulus h a k xqualis: angulo z b 1 , erit
ergo per 3 z, primi, angulus h k a xqualis angulo z I h, trigona itaqjh ak&zbl font xa
quiangula,ergo per 4.fexti,erit proportio linex h k ad linea r l,(icut linex z b ad linea h
a,fcd lineazb^li xqualis linex h a, ut patet ex.prxmifsis,ergo linea h k cft xqualis lineg
z l.fed Si linea h g cft xqualis linex z g »ut fupra patuit, erit ergo reliquit xquale reliquo»
ergo linea g k cft xqualis linex g l,quia itaqj dux linex z g di h g, inter fe funt xquales»
■Si dux linex gk 8d kl.intcr fefunt xquales, patet per y.quinti , tjjnia eft proportio linex
z g ad linea g b.ficut linex h g ad linea g k.Sed angulus zgh&kgl funt xquales,per 1 y
primi, ergo per 6. fexti, erunt trigona z g h di k g h xquiangula.angulus ergo z h k cft
xqualis angulo 1 k h,ergo per z7.primi, linex zh di k 1 funt xquediftantes, qd etia pate*
repoteft per 14. primi huius. Item angulus h g a, ut patet ex prxmifsis, eft obtufus,crgo
per 1 3 ,primi,angulus a g k cft acutus, duo uero anguli h a g 8i g a k funt xquales, reling
fur ergo per 3 z.primi, angulus akg maior angulo a h g, ergo peri?. primi, in trigono a
h k,Iatus a h cft maius latere a k, & duo anguli apud a lunt xqles,ergo p 3 .fexti, linea li
g eft maior cjj linea g k,& fimiliter linea 2 g eft maior £{? linea g l,ergo linea 2 h eft maiot
cjj linea k l,g 4,fexti,fed linea k 1 eft diameter imaginu linex z h .linea ergo z h uidebitur
minor cjj fit fccCtdu ueritate.Si ergo raioluerimus circulu a b d, linea e d immobili exifte
te ex duobus pudfs a di b.defcribet circulus in fupficie fpeculi, di ficut fc habet uifus exi
ftes in pudo e, ad re uifam,in qua cft linea z h,fic fe habebit rclpcdu cuiuslibet coparis H
nex cadetis inter illa circulu, que fignant punda z di h reflexa- ex arcu copa ri arcui a b,
ex proportioc fpeculi, que diuidit circulus, que fignatduo piida a di b ,8i limilita poteft
declarari,!) linea zh ponatur maior ucl minor t[? nuc cft pofica, uniucrfaliter ciTi in hoc
fitu diametri imaginis uel faciei alpicicmis coprehenditur in fpcculo fphxrico cocauo
minor cjj flt.fcd etiam imago uidetur conuerfa , fi enim uifus fuea
rit in pundo c.tunc afpicicns comprehendet formam fua in tali
fpcculo minorem quini lit,& quia pundus k cft imago pundi h.
Si pundus 1 cft imago pundi z , erit imago couerfa, tiniam pars
dextra uidebitur fim'ftra,& finiftra dcxtra,ct fimiliter fuperior ui
debitur infcrior,et inferior fuperior, et fimiliter etiam uifus com
prehendet fua forma, quia illud quod eft in dextro coprchcdct in
finiftro,cteconiterfo,etquod deorfumeft comprehendet furfum*
di econuerfo, fimiliter quocp fi uifus fuerit in quolibet pundo in*
ter quod et fupcrficicm fpeculi fuerit centrum fpeculi , femper co
prehendetfuam formam conuerfam,& hoc cft propolitum, Ex
his itaqj prxmifsis quatuor theorematibus patet, quod in Ipccu*
Iis fphxricis concauis imago rei uifx coprehenditur i uifti quan*
do<$ maior, quandocjj minor ,quandoep xqualis rei uilx , ct nuc conforme habens litum
ipfi rei uifx,8d nunc c6uerfum,8d quonia ficut oftendinuis per a.o, huius , quandocp uni
us rei una uidetur imago, quadoqj aux,quandocp tres,& qua<iocg quatuor, illud ergo fjd
habet una imaginem maiorem fe.forfan habebit alias minores, & quod habet una , cuius
fitus eft diredus compar rei uifx,forfan uidebitur fub aJ.ijs imaginibus habentibus con*
^ ’ uerfum

LIBER OCTAVVS* Ali,

uerfiirii fitiim in contrarium rei uife, 8i haec omnia in diircrfitate fittis rei uffa , 8i ipfius
uiius refpcdu pundorum rcflexionispatere potcft, patet ergo propofitum»
l i r*

Lineis incidentia: fe interfecantibus in fpeculis fphseriris concauis,aItfcu*
clines & profunditates eredfccfuper fuperficiem fpeculi citrapuncfium fedhoi*
nis exiftentes rcueriic,qua: ucro iuntin eifdem lineis ultra fedionem quemad
modum funt fic apparent ♦

Efto fpeculum fpharicum concauum a g,cuius centrum q.flntfy dure altitudines d
e Si h n,ereda fuper fuperficiem fpeculi, fitfp communis fedio fuperficiei reflexionis 8C
ipeculi circulus a g,rcflcdatur'q? forma pundi e aduifum3cuius centrum fit b , S pundo
fpeculi quod fit a,& forma puncti d,a pundo g,tnterfcccnt'cg ie linea; incidentia d g , 8d
e a in pundo s.citra quem pundum fedionis fit altitudo h n , cuius pundum h,fit in li*
nea e a,& cius pundu n,fit in linea d g,cum ergo omnia punda Ii*
nece e a refledantur a uifum b,£ pundo fpcculi a , 8i omnia pun*
da linea d g, i pundo fpeculig,palam quod forma pundi h,refle=
detur S pundo fpeculi a,& forma pudin,5 pundo fpeculig, quia
uero lincce hn&d n/unt reda; fuper fuperficiem fpeculi.patet per
yz primi huius,quoniam qualibet ipfarum tranfit pundum q,cen
trum Ipeculi, producatur ergo d centro fpeculi quod eft q, per line
ani h n, linea q nh producatur cp abeode centro q, per lineam e d»
linea qua producatur extra fpeculff,8d quia linea q e a , eft perpen
dicularis fuper fuperficiem fpeculi , & linea b g obliqua, patet per
1 4. primi huius,quod linea: c d & b g cocurrent ultra fpeculum, 8<!
fit concurfus pundus i,palam etiam per eandem 14. primi huius,
quoniam linea q n h produda concurret cii linea b g i , fit concura
fus pundus p,8c linea b a concurret cum linea q h in pundo 1 > Si
cum linea q i in pundo c,manifcftu aute per 3 7. quinti huius, quo*
niam locus imaginis formee pundi h,crit in pficlo 1, & locus ima*
gi nis forma; pundi n erit in pundo p,erit ergo linea 1 p imago to=
tfus lincce h n, habet aSt imagolp. fitum reuerfum refpcdu fitus,
linea: h n, quoniam pundus h,cft altior pundo n ,dC pundum I,§d
eft imago pundi h, eft bafsius pudo b.quod eft imago pundin, pundus uero i , eft Io*
cus imaginis pundi d,& pundus c eft locus imaginis pundi e& quia pundus i eft alti*
or pundo c,ficut pundus d eft altior ipfo pundo e,palam quoniam imago lincce de eft:
.linea i t, conformem fituationem habet ipli Iincard e, cuius ipfa eft /mago,quo niam ima»
go fituata apparet ficut fe habet ipfa res uifa,& hoc eft propofitum de altitudinibus fphj
r.e,dc profunditatibus uero idem patet, ut fi linere h n & d e, quasdam profunditates po=
nantur cflc.tunc enim eadem eft dcmonftratio.apparet enim profunditas h n reuerfa, di
profunditas d s quemadmodum eft difpofita fic apparet, hoc itat# eft propofitum. Si ue=*
ro ambee Unca d e & h n eflent ex una quacuncp parte fedionis linearum incidentis, fie
rct fuarum imaginum conformis fituatio,ut patet per pramififa .

L 1 1 1.

Lineis incidetis: fe intcrfecatibus in fpeculis fphcericis cocauis obliqup Io
gitudines citra puedu fedionis exiftetes, queadmodu funt fic apparet, earum
uero qua; funt ultra fedionem in eifdem lineis uidentur imagines reuerfe.

Sit fpeculum fpharicum concauum a g.cuius centrum m ,8i fic centrum uifiis b,& fit
linea d c, obliqua fuper fuperficiem fpeculi, cuius pundi d. forma refledatur ad uifum b,
d pundo fpeculi quod eft a,formaqj pundi c,<i pundo g ,Qi linea incidentia: qtice funt d
a Si e gjintcrfccet fe in pundo 1, fxtcp citra pundu i, linea obliqua incidens fuperficiei fpe
culi qua fit k c, cuius pundus k, refledatur ii pundo fpeculi g ,& pundus c,4 pundo fpe*
culi a, ducatur itaqj linea dm,a pundo d ad centrum ipeculi , qua propter obliquitate?

k k % lineae

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
lines ba,fupcr fuperficie Ipeculi eam lmca dmfit perpendicula-
ris fuper eandem fpeculi fuperficiem per 7 *.primi huius, ideo quia
tranflteentru fpeculi quod eft m, concurret cum linea ba.obliquj
fuperficiei fpeculi incidentis,ut patere poteft per i4,primihuius
fit concurfus in pundo b. Similiter quocp linea e m concurret cu
linea b g,fit pundum concurfus n, palam ergo per 37. quinti hu«=
ius, quoniam in pundo l,eft imago forma: pundi d , & in pundo
n, imago forma: pundi e.ducaturcp linea n 1 , qus erit imago toti*
us lines d e, habet quocp imago n l,reuerfs fe ad fitum linea: d e,ij
niam pondus n eft altior pundo l.flcut pundus d eft altior pun-
do e,producatur'cg linea mi k, donec concurrat cum linea b g, pro
duda concurret autem propter%bliquitatem lines b g, fuper fup-
ficiem fpeculi, 8t propter pcrpendicularitatem lines m k , fit con-
curfuspudusf,& producatur linea mc, donec concurrat cu linea
ba produda,& fit pundus concurfus f, copuletur'^ linea ff, erit
ergo linea ff imago lines k c, fit (Ic pundum k,eft altius pudoc,
ficeritpundumf altius pundo f.eftitacp imago ff, conformem
habens fitum ipfi reiuifsqus eft kc, occurres fpcculo citra pun»
dum fedionis lineari! incidentis,quod eft i, patet ergo propofitu
Lini,

In Ipeculis fpliccricis concauis uifus in quibufdam fitibus comprehendit
linex redee uifac imaginem plene redam»

Sit fpeculu fphsricu cocauu a b, cuius ccntru e,fecctur'<$ p fuperficie plana p centrCr
erit ergog 69, primi huius, comunis fedio circulus magnus cj fit a b,8t eius ccntru c , du-
cantur'^ dus diametri huius circuli qus funt a e o,fit b e d, fit fpeculum no excedat arcu
b a d o,aflumaturqj in femidiametro b e,quicGqj pundus placuerit.fit fit z,in quo pona
tur centru uifus, fit fumatur in femidiametro a e, pundus k, taliter ut linea a kfit maior
cp linea k e, & ducat linea zh, et ^trahatur ad circuferentiaincidatcp in pundu f, fit duca
tur linea c f>8t fup f tame linea e fcoftituatur angulus squalis angulo z f e, g 2 3 . primi,
SJ fit angulus g f e,duda linea g f, cuius pudus g, cadet in femidiametru d e,qa enim linea
ffceft maior cj; lmca k a,g 7, tertij.Qi linea k a eft maior cjj linea k e , cx hypothcfi,eric li-
nea fk maior tjj lineakc, ergo p 18. primi, angulus fck maior eft angulo cfk, eft ergo
angulus f e k maior angulo c f g, linea ergo f g,p 1 4 primi huius, cocurret cu linea g e,c5
currat ergo in pudo g.duaru ergo linearum "g fit fg, puda refledutur ad fe inuice apu
do fpeculicjd eftf,^)ptcr anguloru sqlitatc g zo.quinti huius, eft ergo pudus k imago
pudi g,cetro uifus exiftetein pudo z.ducat itacjj linea 1 h fecas diametru o a, in pude 1,
fit periferia circuli in pudo h,utcuqj co tingit, ducantur^ lines e h,h g,z g,fit ,ptrahat It
nca fe,fuplineamzg,incidatfy pudi! m.crgo p 3.fcxti erit pro-
portio lines z m ad linea m g,ficut lines zr, ad linea f g, fed p 7*
tertij, linea z h eft maior c{j linea z f, fit linea g h eft minor cjj li-
nea g f,p cande 7«terttj,ergo p 9. primi huius, maior cft,pportio
linee z h ad lineam g h,c|j lines z f ad f g,cft ergo ^portio lines
z h ad linea g h, maior cfj Iinef z m ad lineam m g,crgo p j.fexti,
linea qdiuidit anguluzh g,p sqlia fecet lineam m g , fecat ergo
prius lineam e g, per 3 2, primi huius,qirilinca e g eft uicinior ad
pudfl h cp linea mg,6t maior erit angulus g h c angulo c b z, ar
gumeto 2 9. primi huius, fit exprsmifsis ponamus crgoangulu
c h r, squale angulo e h z,Iinca ergo h r fecat lineam g f, fit fecat
linea g e, p 19. primi huius.fecct ergog e in pudo r, 8t fecet linea
h r, femidiametru e a in pudo l.puda ergo duaru linea ru z h fit h r.refledunf ad inuice $
ter squalitate anguloru r h e,c h z,fletcp reflexio 5 pundo fpeculi ^d eft h, p 20, quinti,
uius, oi erit 1 pudus imago pudi r,pala uero qm forma cuiuslibet pudi lines g r, refle-

ditur

LIBER OCT AVVSt 2i3

dit ad uifum in pundu z,ex alifj pudo arcus fh,&;no ex al/o,^4z.hums.Sumatiiritacj)
aliqs pudus linea: g r g fit p, & hic refledatur ab alifj pudo arcus fh fit c, di ducatur
linea: p c di r c,qa ergo pudus t,eft inter duo puda f di h,arcus fh,pala quia linea 3 t,ca
det inter duas lineas 3 f& 3 h, linea ergo 3 t,g Z9. primi huius,fecat lineak 1 ,fecet ergo
in p udo /,eft ergo per 3 7. quinti huius, pundus i, imago forma: pundi p. Si pundus p,
no habet aliam imagine nifi pfidu i, quonia tame ab uno pudo arcus f h,fit reflexio fors
ma pundi p,ad uifum exiftentem in pundo 3 ,ut patet per 1 j.uel per 2 9, huius , imago
itat» cuiuslibet pundi linea: g r,erit in aliquo pudo linea: k I.eft ergo tota linea k 1 ima
go forma: totius linere g r e, di eft reda, quia eft pars femidiametri circuli a e, uifus ergo
exiftens in pundo 3 , comprehendit formam linea reda quas eft g r imaginem h k, redi
exiftentem in fpcculo fphxrico concauo ab,& hoc cftpropofitum .

L v.

In Ipecullslphcmcis concauis comprehendet uifus exquibufdam fitibus
imagi'nemIineseconuexam,&concaua:concatiam,erit^ lineae cuius conues
xitas rcfpicit ipeculum imago conuexa refpiciens uifum, &! linea: cuius conca
uitasreipicit ipeculum imago concaua refpiciens uifum.

Sit difpofitio qua in proxima pracede^coftituanturqj fuper lineam g r, i duobus
fuis lateribus duo arcus utcuncp cotingit,qua fint g n r 8i gq r,8i fit arcus g n f , non fe*
cans linea g h,S<: ponatur in linea reda g r,pudu m,quomodocucp fit illud, forma itaejj
pundi m,refleditur ad uifum 3 ,ex aliquo pundo arcusf h,per 4 r. huius, fit itacg ut refle
datur ex pundo r,di ducantur linea 3 tdim t,duo itaqj anguli 3 1 e & e t m fune arqua*
Ies per 20, quinti huius,linea ergo m t fecabit arca g n r , fit ut fecetipfum in pundo n,5£
^ducatur linea t m uerliis arcu g q r,Cece('q} illu in pundo q,8i ducatur linea n e, produc
catur'cp ultra pundu e, fecabit ergo lineam 3 t.fub linea kl, per 29, primi huius, quonia (e
cat angulu k e 3 ,cui fubtenditur pars linea 1 3 ,(ecct ergo linea illam in pudo i ,quia ergo
duo anguli 3 1 c di n t e funt aquales, patet per zo .quinti huius, quod forma pundi n, re*
fledftur ad uifum 3 ,3 pundo fpcculi c , eft ergo pala per 3 7. quinti huius, quoniam pun*
dus i, eft locus imaginis forma pundi n,6i duo punda k di l,funt imagines duoru pun*
dorum g di r,ut patuit per pramiflam, imago ergo arcus g n r eft linea tranfiens g pun
da k i 1 ,fed linea k i l.eft couexa,ex parte uiius 3 ,6i arcus g n r.cft couexus ex parte fpe
culi, uifus itacp exiftens in pundo 3 .comprehendet formam linea g q r, conuexa conue
xam lincam,ducatur quocp linea q e,& producatur ultra pundum e, fecabit quocp line*
am 3 1, ultra lineam 1 k.per z9,primi huius, quonia fecat angulum te k,fecet ergo in pun
do p.&i quia anguli p t c & q te funt aquales,patet per zo.quinti huius, quonia i pudo
Ipeculiquod eft t.reflcdetur forma pundi q, ad uifum },di locus imaginis forma pundi
cj.eft pundus p,8t erit ut fupra linea 1 p q,ex parte uifus concaua, fit! ipfa eft imago arcus
g q r,concaui ex parte fpcculi, comprchedet ergo uifus in pundo 3, exiftens formam ar*
cus g q r,concaui lineam concauam,6<! hoc eft propofitum.

LVI.

I11 ipcculis Iphccricis concauis comprehendetuifus cxquibufdam fitibus
linex re&x imagines quatuor curuasjineceqj curu£c,ciuus conuexitas eft ad
Ipeculum imaginem comprehendit curuam,omniumt[3 linearum imaginum
concauitasrcipicicns cfl: ad uifum.

Sit fpcculum fpharicum concauu in quo fit circulus maximus qui a b d, cuius centra
g ,8i extrahatur i centro g,femidiameter g b,utcucp contingit,qua diuidatur per aqua*
lia in pundo t, taliter ut linea gt, fit maior medietate linea b g,& i pundo t, ducatur Ii*
neat 3,perpendicularicer fuper lineam gb.pcr 1 1. primij&producatur linea 3 1, ultra
pundu t,ad pundue,fiant'qj linea 3 tdi c t,utracp aquales lineat g,pcr 73.primi,&dii
canturlineage&g 3, & trigono eg 3 ,drcSfcribatur circulus R y.quarti,erit'qj centrum
circuli illius circuli pundus tjper 9. tcrdj,& quia linea t g, maior eft cp linea t b , pala qfn
ille circulus fecabit circulu a b d,in duobus ergo pundis illum fecabit per 1 o.terttj , fint

kk 3 itaqj

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

ftaqj Hia duo punda a di d, ducantur quocp lines g a,g d,e a,e b,e d>3 a, 3 b, 3 <t,qufa&f*
go dus lines e t di 1 3 ,fimt aquales, 8i anguli ad pundum t funt redi.fid linea t g cornu*
nis, erunt per 4.primi,dus lines c g fid 3 g squales, di firniliter per eandem 4. primi, duae
lines c b di 3 b, funt squales, ergo per a7,terdj,duo arcusegSd g 3 fune squales , ergo jj
2 tf.tertij, angulus e a g eft squalis angulo g a 3 ,8i angulus e d g squalis cft g d 3, &i an-
gulus e b g squalis angulo g.b 3, quoniam omnes illi anguli cadunt in eofdcm arcus, for
rrta ergo pundi 3 ,refleditur ad putidum e, i pudis fpeculi a & d £c b»uel cconuerfo per

2 0. quinti huius, & quia linea g t,eft maior c| linea t b,dus uero lines cb di 3 e , ad inui*
cem}& dus lines e g & 3 g.adinuicem funt squales per 4.prtmi, palam per penultimam
primi,quonia linea g e eft maior cp linea b e,quadratum enim lines g e,ualet ambo qua
drata linearu g t & t e,& quadratum lines c b,ualet ambo quadrata lineam etfidt b,abla
to ergo quadrato lines t o comuni,relinqtur quadratulinesg e, maius quadrato lines e
b,§nia linea g t eft maior c$ linea t b,ergo linea g c eft maior c|{ linea e b , in trigono g e
b, ut patet g i9.primi,angulusgbeeftmaioranguloegb,fedangulus egb eft medie*
tas unius redi per $.di per 3 2. primi, duo ergo anguli quibgefidcb g,fimul fumpti,funt
maiores redo, ergo angulus b egeft minor redo per 3 2, primi. Sed angulus cg 3 eft re
dus per 1 o. terti), & ideo tinia anguli egt&fg 3 ,funt dus medietates unius redi, ergo
per 1 o.primi huius, dus lines e b & g 3 produds concurrent extra circulu,fit carum co
curfus puelus m, di quia linea ed, eft intra trianguli! m c g,pala £jniam ipfa produda co
currat cii linea g m,g 29. primi huius, cocurrant ergo in pundo 1,& quia linea g b trans
fitp pudu t,qd eft cetru circuli cg 3 ,& linea uero a g, ducitur extra illa S. cetro ad perife
riam,pala quia portio a e g cft minor (cmictrcuIo,crgo p 29, terti), angulus a c g cft obtu
fus, 6i angulus cg 3 eft r edus, ergo g 1 4.primi huius,ills dus lines aedi 3 g.cocurretin

parte lines e g,cocurrat ergo in pundo f.Si itacp uifus fuerit in
pudo e, Si pudus 3 in ali^ uifibili.tuc tria punda m 1 f,erut ima^
ginespudi 3,ficergo pudus 3,coprehenditur in tribus locis, qni
d tribus pundis fpeculi qus funt a b o , fit reflexio forms pundi
ipfius 3 ad uifume.Item protrahatur d pundo c,Iinea fuper arcis
* d 3, utcuncp contingat, qus (it linea e k, Seducatur linea g k,qus
fecet arcum d 3 in pundo k,8i ducatur linea 3 k,quia ergo arcus
egdig 3 funt squales, erunt duo anguli ekg &g k 3 , squales
, per : 6, tertij.producaturq; linea g k ad circumferentiam circuli
a bdjincidatcpin pundum r,&: producatur lines c r 8i 3 rt8i qih
angulusekg,cft squalis angulo g k 3, erit angulus c k r,squa*
lis angulo 3 k r.pcr 1 3 . primi, erit ergo angulus c r k, maior angulo k r 3 ,fi enim fit squa
Iis, tunc per 3 1. primi, &4,fextt,fequiturlineamck , squale cllc lines 3 k, Marcum 3 k,
squalem eile arcui e a k,£jd cft contra prsmifih,eftcnim arcus c a, squalis arcui d 3, qd
fi angulus c r k.lit minor angulo 3 r k.crtt ergo ex prsmi(sis,angulus r c k, maior angu*
lo k 3 r,rcfccetur ergo angulus r c k,ad squalitatem anguli r 3 k,pcr 27, primi huius, di
fequftur ide impolsibilc tjd prius, produda illa linea ad lineam r k, Reftat ergo ut angit
lus c r g,fit maior angulo g r 3 ,fiat ergo per 2 2,primi , fuper pundu r tenninu lines g r,
a ngulus g kn, squalis angulo e rg,cadat'cp pundusnin lineam 3 m,per 2 9. primi huius
dus ergo lines e r di r n,S pundo fpeculi quod eft t,rcflcdcntur ad fe inuice per 2 o , quin
ti huius, propter squalitatem anguloru ad pundu r, producatur quocp I/nea e r ad linea
gm,concurret autem cum illa per »4. primi huius , liYcp pundus concut firsq, erit ergo
pundtmj, imago fbrmspudin,reipeduuifusc, imaginem ergo fuperficie exiftentem i
linea m g fiqus Iit perpcndiculariter ereda fuper iiiperflciem circuli a b d, & extrahatur

3 pundo 3 , linea in hac fuperficie qus fit perpendicularis fuper lineam g 3 ,&i tranleat in
titramqj partem fupcrficiei circuli a b djitcg linea c 3 p , & pofito itaqj pundog , centro
circuli fiat arcus circuli fecundum quantitate 1 tnes g n,qui lit t n p , lecans lineam 1 3 p»
in duobus pundis t di pt6i producantur lines g t & g y, erunt ergo ifts lines in fuperfi*
cie perpendiculari fuper fuperficie ab d , per 2, undccimi,producatur irem linesg r&g
p, ultra pundu t di p, extra fpcculum,& fuper ccnrru g, fecundum longitudine lines g q

iu

LIBER O CTAVVS*

in luperficie tranfeunte lineam m g fifecante circulum in qua (imt I/ne* g t 8i g p,flat ar*
ens circuli.hic ergo iterum fecabit duas lineas g t di geprodudas,fecet ergo lineam g t>
in pundo f,& linea g p in pundo o,quia ergo luperficies circuli a b d , eft perpendicula*
ris ereda fuper (uperficiem duarum linearum g t & g p, palam per diffinit/onem,quoni*
ani duo anguli e g fi di e g o erunt redi.Iinea ergo e g,erit ereda fuper (uperficiem g r p,
ergo per 1 8. undecimi, erit utra qjfuperficierum quae funtegf& ego, perpendicularis
fupet (uperficiem fg o ,di utraqj iftarum fuperficieru facit in fpeculo circulu magnu co=
parem circulo a b d,pcr 69, primi huius, pundum ergo circuli quod facit fupcrficies e g
f, quod eft compar pundo circuli a b d, fcilicet .pundo k e, eundem habet (itum refpedu
centri /pflus /peculi quod cftg,&! refpedu uifus qui eft in pundo e, quem habet pundu
r,concummt ergo ex ipfo fecundum angulos aequales duae lineae inter duo punda e di c
quod fimiliter accidit inter duo punda e &: p,Sd lineae g t dig p funt tequales per diffiniti
onem circuli, di fimiliter line* g f,g a,g o funt «quales per diffinitionem circuli , di pun=
dusq eft imago pundi n,& pundus fi eft imago pundtc,&: pundus 0, eft imago pundi

p. imago ergo arcus tnp.conuexi ex parte fpeculi eft arcus fqo.concauus ex parte ui*
fus,& pundus I eft imago forma pundi 3 ,& duo punda f & o funt imagines formaru
duorum pundorumefir: p.imago ergo 1/ne* redae quae eft o & p.eft linea curua tranft
ens per tria punda f I o,h*c autem lineaf 1 o,eftconcaua ex parte uifus . Ducatur itaejj
linea tranfiens per punda fl o.fic extrahatur linea e g,ad circumferentiam circuli a b d,
in pundum h.Siergo fpeculum nonperuenitadduo punda b di h,fed alter duorft fuo*
rum terminorum fuerit inter duo punda b & d,& reliquus fuerit infra pundum h,& iitV
fus fuerit in pundo e,8i duce line* p 3 1 reda,&! p n t conuexa,ex parte (peculi fuerint in.
aliquo uifibili.tunc forma line* p 3 c redx apparebit concaua, fcilicet f 1 o , di forma If»
ne* p n c.conuex* refpedu fpeculi erit concaua uifui occurrens , fcilicet f q o , & forma
line* p 3 t,tmam tantu habebit imagine, & arcus p n c tantum unam , Item producatur
linea b g, ultra pundum g, ad aliam partem periferi* circuli ad pundu i , & producatur
line* eidi e i ,crit ergo cx prxmifsis,& per 4. primi, angulus b i e, «qualis angulo b i 3 ,
ergo per zo. quinti huius, refiedetur forma pundi 3, ad uifum in pundu e, 5 pundo fpc*
culi quod eft i, Sd linea e i, fecabit lineam f g,fccct ergo in pundo u,crit'qj pundus u ima
go form* pundi 3 , reflexx i pundo fpeculi quod eft i, punda ergo 4, qux funt m 1 u f,
funt loca imaginum form* pundi 3 .di fi fpeculum exccflerint duo puda a di d ,di uifus
luerit in pundo e, & durium afpicientis fuerit ex partearcusm,& uifus comprehendes
rictorum arcum i da, tunc pundum 3 uidebiturin quatuor locis , fcilicet in pundts mi
u fiSi uidebutur duo puda 1/nc* red*p 3 c.ucl arcus p cin duobus punclis f di o, 8i fic
linea reda p 3 c, habebit 4.imagines concauas,& una tranfit per punda fm o , di fecun*
da percranfic punda f 1 o.tert/a pertranfit punda fu o,& quarta pdtranfit punda f fo,
fcilicet linea f f o,in his tame omnibus imaginibus fempcocauiras imaginis refpicit u i*
fum, patet ergo propolltu. Patet qcp q> imaginis eiufde lineas reda, ut patet nucin linea
p 3 n, fiunt diuerfa curuitatis maioris dc mino ris, di fit principiu form* monftruof*.

L vi 1.

Inlpectilis Iphacricis concauis uifus in quibufdam fitibus comprehendet
linea: redtee imaginem conuexam conuexitate uifiun reipiciente .

Sit circulus magnus fpeculi (pharici concaui,quia a b g, cuius centrum d , Si ducatur '
remidiameter d g,ut contirigit.in quafituetur linea reda qua fit o u, di fit pundfi d , res
niotius i centro fpeculi d&u propinquius illi, et fuper hanc femidiametrff d g, ducatur
perpcndicularitcr linea quae fic d h,in cuius pundo h fic centrCt uifus, et fit linea h‘d fuper
luperficie circulia bg,fitq} lineali d, minor lemidiametro circuli fecundu d/fpofitionem
lineali d,qua aflumpta fuit in 43, huius, ad cuius modum et catera referuntur, refleda*
tur'q? forma pundi o,quod eft remotius 3 centro fpeculi ad uifum in pundu h, 4 pun*
do fpeculi b.fitc^ locus imaginis pudus q, et producatur femidiamerer d gin pundum

q, ut fit linea d q.refledatufcp forma pundi u,ad uifum exiftentem in pfido h, S pundo
fpeculi quod eft fi di locus imaginis eius fit pundum n ,di quia punda 0 di u funt in fcml

diametro

PERSPECTIVAE 'VITELLI ONIS
'diametro dg erunt loca imaginum qua: funt punda q di n,in eadem femidiametri pro^
'dudalqu» erit linea d u o. nq,fifcp quarititaslincarumd q, d u;d n, do, illis omnino x*
- qualis,qu» iuntaflumpta in 43 ;huius,&erit linea h d perpendi eu

laris (upeflineamd qiiit patet ex prarmiisisieft enim ipfa perpendi
cularis fuper fupeifide circuli,cftcp linea d h aqualis illi line» o h»
qu» in figura '4 3 ihuius, angulus ergohd qcftrcdus,erit($ cornu
nis fedio fupcrfiddplan»,m qua funt line» hd&d q,8<! fuperficici
fpeculi Circulus, 'cuiusarcus 1’nteriacens lineas d h di d q,per 2 o. hu
ius,eft a reus ex quo' fit reflexio formarum, quarum imagines funt
in pundis a & n,6C erit arcus ille »qualis arcui a g,aiIiimpto in 4}
huius,&exdubbus pundis‘ilhus arcus fimilibiis duobus pundis:
b di f,fn 4 3 . huius, fit ab hoc arcti illa reflexio formaru duorfi pun*
doru,qu» funt u di o.crit ergo q imago pundi o, di n imago pun*
•v di u, ducatur ergo d pundo u.in fuperficie circuli abg , reda per*
pendiciilaris fuper linea d u,qu» (itzue,&i centro d fecundum
longitudinem femidiametri d o,fiat circulus, hic ergo circulus feca
bit lineam z u e, in duobus pundis, per 3 .terttj , fecet ergo fnpun*
disz di c,fiatc$ arcus circuli fecundum quantitate h'ne»dq,accn
tro d,& ducantur i centro fpeculi d, line» d z,d e, di producatur ex
tra Ipcciilum ad arcum circuli defcri'pti,a cetro d,fecundum quan*
litate femidiametri d q,6d fint d e,d k,8C ducatur linea tk,fecetci5 11
neam d q in pun do fquia ergo linea h d cfl perpendicularis fuper fupcrficiem circuli, pa
lim per diffinitionem line» ered», quoniam uterqj angulus h d t, h d k,eft redus , di iu=
iracp fuperfictes h d t di h d k in iupei ficie circuli fpeculi continet arcum interiaccntcm II
ncash d'& d t,& h d di d kper ^.primi huius, quoriim arcuu quilibet eft squalis arcui,
qui cfl ititer duas lineas lvd&d q;& iitraq? linearum d z 'di d e eft Squalis line» d o, quo
niamomhesfuntTemidiafoetrieiufdemcirculfjilliieigocluoarcusfuntbuiufmodi.qiiod
ex illis pofsibile eft fieri fefleAiotiefofmarirduorQpundoru qu»funtz &c, ab aliqui*
bus pundis illoru arcuu, ut patet per io. huius, interiacent enim illi arcus fcmidfamctros
fpeculi, in quibus confidunt centrum uifusjquod cfl: in pundo Ii,8d punda quoru formae
rcfleduntur.qu» funt c8f z.Incidentfcp forni» eorum illis pundis illorum arcuum , di
reflcdcnrurad uifum in pundtim h, fecundum angulos »qualcs 3 duobus pundis fpceii
Ii, di duar linex dtdid k/unt »quales line» d q,crgo pundum t cfl locus imaginis pun*
di z ,di pundum k cfl; locus imaginis pundi c,di quia line» d t,d q,d k,funi »qualcs, &£
line» d z,d o,d c, aquales, erit per T.quinri.proportio line» d c ad d 3 ,ficut line» d q ad el
o ,di ficut line» k o ad lineam d c.fed per 43. huius, proportio line» d q ad lineam d e , cfl
maior proportioc line» d n ad lineam d u,ergo fimiliter proportio line» k d ad linea d e,
eft maior ppornoc line» n d ad lineam d u,& fimiliter proportio line» d t ad lineam' d
z eft maior proportione line» d n,ad lineam d u,& quia du» line» d e di z d,funt »qlia*
Ies,& du» line» dc&dk funt squales, erit per 7,quinti ,propof tio line» d t ad lincatri a
z, ficut line» d k ad lineam d e, ergo per 1 7,quinti,erit proportio line» t zad lineam sfd/.
ficut line» k e ad linea d e , ergo per a.fcxti, linea t k,eft »qucdiftans line» c z , erit ci gc >
per eandem n.fextf&per 1 S.qiiinti, proportio line» ldad lineamdu, fieutdkad linea
d e, 8i ficut line» d t ad lineam d z,proponio ergo line» I d ad lineam d u,eft maior pro
portione hnc»ndadlincamdu, ergo per io.quinti,IineaIdeft maior ifi linea n<d,er*
gopundus n cfl: inter punduml di u,led pundum n eft imago pundi u , 8i duo punda
t & k funt imagines dubrum pundoru z di e, ergo imago line» z u crcd»,cfl linea tvan
'fiens per tria punda tnk, linea ucro pertratifiens liet punda eft coiiucita, patet ergd
quod imago line» z c red» uidebitur in hoc fitu Connexa, di hoc <ft pi bpolkum ,

L v II 1*

In quibufdam fitibus reflexione fada a lpcculis {phmrias concauis uifus
Comprehendet imaginem concauam reflexam cx lincU coacaua uel conuexa.

Sit

LIBER O CTAVVS» azy

Sit difpofitioomnino quae inpracedete,quia itacg ut patet in prpnifla imagoforma:
}>imdi o,eftpundum q,&imago forma pundi 3,cft pundum t,St imagoforma pUn*
di e,cft pundu k,erit ergo linea concaua refpedu uifus»qus eft tqk, imago lineae cur?
tia* refpedu uifus conuexa cum refpedu fpeculi, qua cft linea 3 oe, fimiliterquoqjfi in
linei 3 u fignetur pundu m.qualitercunq; hac contingunt, 81 citra cetrummfecundu
longitudinem femidiametri m u,defcribatur arcus parui circuli, qui fit r u f.hic ergo ar^
cus iccabit circulum 3 o e,in duobus pudis per 1 o.terttj,fint illa duo punda f St r,fit du
cantur line* drfitd f,qua protrahantur ufeg ad arcum t qkcdudum,incidat'cplinea d f
in pundu i,6t linea d r in pundum p,fuperficies ergo duaru linearu hd fit t p,fecabit (pe
culum (ecundu circulu,i cuiuscircumfercntiae pUndo aliquo 'duri — ^T_r-~ —

poterunt fecundum angulos aquales,2t aqitaliter fe habentes li»
ncaadpundS h>in quo eft centrum uifus,& ad pundu r, qui eft V
pundus linea: uifa.fit fimiliter fuperficies duarfl linearu h d fit d i,
faciet in fpeculo circuli!,! cuius circumferetia reffederur ad uifum
forma pundi f, arcus ru f,eft ergo pundus p imagoforma: pun
di r,fit pundus i, imago forma: pundi f i, St pundus n,eft imago
forma pundi t u,imago itaqj arcus r u f, e fi: linea tranfiens per pu
da i p n.fed hac linea i p n,cft concaua refpedu ui(us,& arcus r u
f,,cft concauus exparte fuperficiei fpeculi,8t conuexus exparte ui
ilis :Cum ergo uifusfueritin putido li, fit linea ru f conuexa.cum
fuerit in aliquo uifibiliyComprchcndetur imago cius concaua, fidi
nca 3 o e cSucxa, comprehenditur finjiher imaginis concaua:. Si
ergo unaqueeep duaru linearu quarfunt 3 p c fit r n f, habuerit una
iniagmem,crii forma illarum, tmaginu fecundum motum declara^
tum, fit fi aliqua ipfaru plures habuerit imagines, forte accidet di* 1
uerfitas finis in illis imaginibus,Ut fupra dtximus.patet ergo prO*
politum. Palam ituqj ex his pramifsis y, theorematibus quod line£ '
reda imago in (pecults fpha ricis concauis.quandocj; comprchen
ditur reda, quadoq; conucxa ,£t quadoqj concaua, fit imago linere conuexa quandoc^
indetur conucxa, quandocp concaua, fit lincte concaua: imago quandocp uidetur conue*
xa.quandoq? concaua, forma ergo fuperficierum uifibilium comprehenduntur aliter cjj
(int in his fpcculis.nam lincte reda non funt nifi in fupcrficiebus planis, cum ergo lincte
reda: comprehenduntur conuexte ucl concaua, tunc fuperficies plana Comprehenditur
conucxa ucl concaua, cum iraqj uifuscomprchendit lineas redas connexas tlel CocaitaS
aliter cf? fint,comprchendit fuperficies , in quibus fiint illa linea: aliter tp fint,fit fimiliter
c(l de lineis conuexis fit concauis refpedu illarum fuperficierum,8t per hoc patet ratio
fit caufa illorum multorum errorum, qui ex modis talium uifibilium accidunt in uifu.

H3T.

In concauis fphxricis fpcculis a duobus ludentibus fecundum aliquem
(itum res una uifa,unum habebit idolum , fecundum alium uero plura »

Sit fpcculumfphafricum concatlu, cuius communis fedio cum fuperficie rcRexio*
nts fit circulus e u h, cuius diameter fit e Ii, centrum uero p,8i ducatur linea a b, perpendi*
culariter fuper fupcrfictcm fpeculi, palam ergo per 7 z. primi huius, quonia ipfa tranfit g
centrum fpeculi quod eft pundum p,6t producatur ultra fpcculu.fitcpa b l.fccansd/atne
irum c h.perpendiculanter in centro p.fit in diametro c h.fignentitr duo pun da atquali*
icr diftantia a centro p,qua fint g fit f , erit ergo linea g p, aqualis linea p f,fit i pundis
g fit f.ducantur duce linea ad circumferentiam aqualis, qua angulos acutos Cotltineant
cum diametro e h , r n centri p,8t linea a p bquod fiet auxilio 33 .tcrtij,fi ex titraq? pars
tc pundi b arcus aquales abfeindantur parui, quorum chorda fint minores cp linea g p
fit p f,qui funt arcus d b t h,8t ad punda t fit d, ducantur lineaqua ftmtgdfit f c ,8t quii
arcus b t fit b d (unt aquales, 8t arcus b h 8t b e aqualcs,remanet arcus t h & d e aquales
eruntq} anguli portionis qui funt g d e fit f t h , inter fe aquales per 43 primi huius, fit i

1 1 putida

PERSPECTIVAE VITELLfbNtS

§ putido dducatur linea conringcns circulum per 1 6. tertii, qua: flt d q,8i fimiliter i pus
do t, ducatur linea circulum contingens qua: (it t m, producantur'^ line* contingentes
ad diametrum a concurrent in pundo uno per S9- primi huius , fit concurfus pun*=

dus r,8i quonia per i y .ter ttj, anguli contingenti* qui funt q d e Si m t h funt aquales, SC
anguli portionis ,qui funt g d e Si f t h funt aquales, erit totus angulus q d g,*qual/s toti
angulo m t f,fuper pundum itacpd terminum line* r d, conftituatur angulus a-qualis
anguloqdgper z}.primi,quifitrdk,lineaquocpd kproduda concurret cum linea a
b.pcr 14, primi huius, fit concurfus pundus k,& fuper pundum t, terminum line* r t,
conftituatur angulus a-qualis angulo r d k,qui fit r t k, concurret
enim illae line* ambae in uno pundo diametri,quodeftk, quia
cum angulus r t k fit *qualis r d k per pr*mi(Ia , 8 i angulus k r c
(it aqualis angulo k r d per 5-9, primi huius, trigoni ergo dkr&
t k r,funt aquianguli per 3 3 . primi,ergo per 4.fexti,Iatera illoru
trigonorum funt proportionalia. Sed linea rt aqualis eft lineae
d r,per 5- 9. primi huius, erit ergo linea k r, aqualis (ibijpfi.concur
rent ergo line* c! k & t k in pundo uno diametri b p, quod eft k,
poficis itaqj duobus oculis diuerlorum uidentium in pundis g Si
t, Si pundo rei uif* in pundo k , tunc forma pundi k , uidcbtV
tur ab utroqj uifuum reflexa i duobus pundis fpeculi d & t , fed
di idolum cius uidebitur unum di in eodem loco, producantur c*
nim 1/nca gd&ft extra circulum, concurrent itaejj amb* cum
diametro a b,produda per 14. primi huius, ^nia anguli g p b di
f p b funt rcdi,& anguli p g d & p f t acuti, ut paret ex pramif*
(is concurrat ergo linea g d cum linea a b in pundo 1 , dico quod
linea f t concurret cum eadem linea a b in eodem pundo I , cum
enim angulus q dgfit aqualis angulo f t m,ut (iipra pacuit,&: an
gulusrdl(it*qualisangulpgdq,per 1 y. primi, di angulus r 1 1
arqiftlis angulo ftm,crit angulus r ol,*qualis angulo rtl.fed angulustrb,cft *qualis
angulo b r o.per y 9. primi huius.ergo per 1 3. primi, angulus t r l,eft a-qualisangulo d r I
per 32. primi, trigonit rl Si d r 1 funt aquianguli, ergo cum linea t r fit aqualis linea r d,
per yS, primi huius,crit per 4. fexti, linea r I, aqualis (ibijpfi,& linea r 1, aqualis linea- d 1 in
uno ergo pundo diamarri a b l.concurrent linea 1 1 di d l,Si hoc eft pundum I, pa tet cr
go cum per 37. quinti Imius, punduslfitlocusimaginfs forma pundi rei uifa.quicftk
quod ambobus uilibus uni exiftenti in pundo g, Si ali) in pundo f , unica rantu occur»
rit imago .uilibus nero permutatis ad hoc (itum plurcs occurrunt imagines, S! hoc eft
pofitum.Qiiandocunq; tamen aliquid inliisfpcculis percipitur duplici iiifu, (i linea refle
xionis aquediftans fuciit katlieto incidcnti*,erit locus imaginis ipfc pundus reflexio*
nisper 1 1 ,huius,Sicum diftantifcpunda reflexionis qu* funt refpcdu amborum ui*
fuum, apparebunt uilibus dua imagines ciufdeni pundi, & locus cuiufcu imaginis eft in
pundo fua rcflcxionis.Si ucro linea reflexionis non iit aquediftans katlieto incidentia,
di pundus rei utfa tantum diftet ab uno uilii quantum ab altero, uel fit modico diflcrcn
tia diftantia,(i locus imaginis fuerit in ipfa (uperficie uifus du* adhuc imagines uidebu*
tur, alias atitcm ut plurimum locus imaginis refpcdu utriufcp uifus erit idem, aut modi*
cum diftansjimde aut tantum una uidebitur imago, aut pene una .

LX.

In uno diametro fpeculi fphcerici concaui politis ambobus oculis xquali
ter a centro fpeculi diftantibusncuter uidebitur oculorum ♦

Sitfpcculumconcauum fplmicum a t,g d, cuius centrum z, Si diameter a d, flnfqj
duo oculi b Si e.conftituti in diametro a d,xqua!iter diftantcs a centro r, dico quod neu
ter oculorum uidebitur, ducatur enim femid/ameter zg, perpediculariter fuper diame*
«tum a d,& ducatur line* b g Sie g ,Si quia ergo in trigonis c z g SC b z g , latus e z , eft

«quale.

LIBER OCtAVVS, zi6

aquaIelaterizb,exhypothefi,&:htuszgcommune,anguIi quofpezg,&bzg;,funta
quales, quia funt ambo redi, erit per 4,primi, angulus bgz,a:qualis anguloegz, fora:
maergo pundib,refleditur ad pudum e, 3 pundo g,fpeculi,&: econuerfo per ac, quin*
ri huiuSjfed ncqj pofsibile eft ab alio pundo fpeculi iormam pundi b,ad pundum e re*
fledijflt enim ut fuerit hic datum effepofsibile ut forma pundi b , refledatur ad pundu
e,a pundo alio fpeculi, quim fitt,& ducantur lineae b t,t z.lineaergo t z, diuidit angu*
lum b t e,per duo atqualia per zo.quinti huius,erit ergo per j.fexti, proportio lineat h t»
ad lincamte,ficutIineabzadIineamez.SedIincabt eft maior qu5m lineab g,per‘%
tertij, linea uero b g, eft aqualis line* e g,ut patet fuperius,linea uero e g,eft maior quim
linea t e, per 7. tertij.erit ergo linea b t,maior quim linea c t.ergo linea b z, maior erit cf{
linea e z,quod cft contra hy pothefim 8c impofsibi!e,8C eodem modo de quolibet pundo
lemicirculi a g d poteft demonftrari,non ergo rcflcditur forma
pundi b ad pundum e,ab alio fpeculi pundo quim i pundo
g,non ergo uidebit oculus b, oculum e, ideo quia linea reflexio#
nis.qua eft bg,non concurritor katheto e z,dudoi pundo e,
per centrum fpeculiz in pundo b,6£ linea reflexionis, qua* eft e /
g, non concurrit cu katheto b z,nifiin pundo et locus itacg ima /
ginis e,eft pundus b,fed b cft flmile ipfi ein forma, 8d e ipfil b,no j
comprehenditur aliqua diftantia , qua: fit tam diuerfitatis inter -jp-
illos uifus,non ergo unius uifus percipiet formam alterius in le
ipfo exiftente,fed aftimabit formam propriam fe uidere, non ergo unus oculus taliter
diipofitusbifibus alium oculum uidcbiqfiC hoc cft propofitum,aIia tamen partes Corpo#
ris circumflantes centrum uifus potuerunt uideri,quorum karheti /ncidcntiaeum line*
is fuarum reflexionum concurrunt, fiue ille concurfusfit in fuperficfeuifus>uelinalij$
pimdis quibufcunqjjfiC circa hac multa diucrfitasuilibus occurrit»

1/Xli

Si linea a pundo medio femidiametri fuper diametrum fpeculi fphecrid
concauiperpendiculariter e re dee duda cequediftanter diametro , ambo pos»
nantur oculi aequaliter diftantes a centro ipeculi,imago una tantum oculi ap*
parebit in pundo reflexionis»

Sit fpcculum fpharicum concauum a g d, cuius centrum k,& diametros a d.ditca
turqj femidiameter k g,perpendicularitcr fuper diametrum a d,& 3 medio pundo femi
diametri k g.ducatur linea aquediftans diametro a d,& in hac politi fint uifus ambo a*
qualiter diftantes i centro k, dico quod amborum oculorum una tantum imago in uno
fcilicet pundo reflexionis uidebitur«Sit enim ut i pundo p,quod fit medius pundus lis
neakg,pcr 1 o, primi ducatur linea acquediftans diametro a a, per 31, primi, quatit 1 3 »
fi i fint in illa perpendiculari e 3,pofiti ambo oculi,qui fintb 8i t,aqualter diftantes icens
tro k,& i linea k g, erunt ergo linea: bq&pt aequales , ducantur'cg li»
neae bg»t g,b k,t k,ergo per 4. primi, linea p g exiftente communi am
bobus trigonis b p g 9C t p g»cum anguli b p g & t p g fint rcdi.crit an
gulus b g p aqualis angulo t g p,rcflcdetur ergo forma pundi b , ad
pundum t, i pundo fpeculig,&econuerfo,&quialineakpeft aqua* y' /
fis linea P g, quoniam pundus p , eft medius pundus linea kg , di U* y ■ r-Ar
liea bp&c p,funt aquales , angulus quocp k p t cft aqualis angulo k f '\/

pg.per 1 r-ptimi.ergo per 4.primi3angulust kp.eft aqualis angulob _

g p,erg° Per z%primi, linea t k aquediftat linea bg,fed linea t keft kathetus pundi t,8d
fincab g lfhea rcflcxionis,nunqudm ergo concurrent per 1 ».huius,nonuidebitur for
ma puneft* t,qui eft unus oculorum ab alio oculo , qui eft b, necp econuerfo per eandem
ationem nifi in pundo g,qui eft pundus reflexionis,linea enim bg, qua eft linea refle*
2 nis qad uifum b, non concurrat cum katheto incidenti» forma pudi

PERSPECTIVAE VITELLIONJS

4,qu$efi: linea t k, quilibet ergo oculorum uidebit alterum in uno tantum pundo reflem
3cionis,imago ergo amborum oculorumerit tantum una,& fic unus tantum oculus ap*
parebit, Si quoniam reliqua pars faciet uidentis offertur ambobus uifibus retro uifus,
quia ad illam partem lcateti incidentia: cum lineis reflexionum concurrunt , ut patet in*
tuenti. Si enim lineae b k Qi t g, cadent inter lineas concurrentes tunc & ipfae concurret,
quod eftimpofsibile, cum flnt^quediftantes, concurrent ergo retro ambos uifus illa li*
tiea, ergo per 3 7, quinti huius apparebit tunc facies uidentis monocula ad modum pi<
dura cyclopi.eritc» oculus ultra faciem prominens,quoniam non utdetur nifi in pudo
reflextonisper 1 1 .huius, patet ergo propofitum»

XXII*

Sfcipun&o propinquiori diametro fpcculi fphecrid concaui quam medi
uspundus femidiametri fuper illam diametrum orthogonaliter produdfoc li
nea atqucdiftans diametro producatur iri illa uifus in azquediftantia a centro
fpcculi politi retro fe apparebunt dextra pars dcxtra,& finiftra finiflra , ido*
lum maius facie , 8t imago plus diftabit a uifu quam facies uidentis a fuperfif
cie ipeculi*

Sit communis fedio fuperficiei reflexionis & fpcculi fphterici concaui circulus a g
d, cuius diameter fit a d,& ducatur fem/diameter kg , pcrpendicularitcr fuper diamerru
a d, cuius femidiameterkg, medius pundus fit p,fint'q) centra amborum uifuum punda
b Si t, fi ergo ab aliquo pundo linea: p k,qutK fit n, ducatur linea tcqucdiftanter diame*
tro ad ,qute fit 1 m,& uifus b & t, politi in linea 1 m,arqualiter diftent i pundo n.uel A ce
tro Ipeculi quod eft k.dico quod accidet, ut proponitur, ducantur enim lineat b g,t g,b k,
3 k,eruntty ex hypothefi per 4. primi, anguli b g n,&: t g ri a:qualcs,ergo a pundo g, re*
fledenturuifusadinuicem mutuo per 20. quinti huius, fcd linea ngcft maior quam Ii*
nea nk,rcfccetur ergo per 3. primi, linea ng ad squalitatem
linea: n k,in pundo q,& ducatur linea b q,erit ergo per 4. prt*
mr, angulus b q n,a:qual/s angulo t k n,fcd angulus b k n cft tna
ior angulo bgq.pcr 1 6,prim/,ergo angulus t k n cft maior an
gulo bgk, ergo per 14. primi huius, linea: t k & g b , concur*
rent retro uifum b , concurrant ergo in pundo f , cft autem 1 i*
nca t h kathetus pundi t,6i linea g b, linea reflexionisaiidcbiiur
ergo forma pundi g, retro uifum b,& fimilirer per eadem peni»
tus uidebitur forma pundi b retro uifum t,quia lincte b k & g t
concurrent ut pratoftenfum cft per 14. primi huius , fit ut con*
currant in pundo xtdi ducatur linea fx,&: quoniam linea fx,
eft maior quam linea b t,ideo quod in triangulo fg t,angulus f t
g,ut patet cxprtcmifsis,efta:qualis angulo xbg trigoni xgb,
di angulus fgx communis, erunt ergo per 3 z.primi, trianguli
illi ft g di xbg.trquianguli.eft ergo per 4,fcxti, proportio lineg
x g ad lineam g f, ficut lincte b g aci lineam g r, fcd linea b g , cft
atqualis lincte g t.ergo linea x g, eft aequalis lineae g f,& linea x b » aequalis linea: f t, ergo
per 7,quinti,erit proportio linea: x g ad lineam g t, ficut linea: f g ad lineam g b,crgo per
1 7 quinti,erit proportio lincte x t ad lineam t g, ficut lineae g d ad lineam bg.in trigono
g x,ergo per i.fcxti, linea h t tcqucdiftat lineae f x,eft igitur per 4. fexti, proportio lincte f
x ad lineam b c, ficut lineae xg ad lineamg c,fed linea x g maior cft quam linea g c, ergo
Ifiiea f x maior cft quam linea b c, imago erit ergo facie maior quim linea 1 x,qua: cft dia

meter

H JB E R BECIMVS*

meter fmaginis,& linea b c pars diametri faciei /dlicet Irnea continens d/ftantiam oculo
jmm.quia ita qj in trigono fu g, linea b n squcdiftat bafi fu , patet per fecundam fexti ,
quia eit proportio linea: u n ad lineam n g.ficut lineat f u ad linea b n.fed linea fu eft ma>
ior quam linea b n per 4. fexti, quoniam linea fgcft maior quam linea b g,erit ergo linea
u n maior qua'm linea n g,fed linea u n eft diftantia imaginis S uifu4& linea ng eft diftan
tia uifus iUpcculi fuperficie , patet ergo propofitum»

L XI II.

Sfa pundro remotioridiametro fpeculi fphzciici concaui quam medius
pund:u.s femidiametri orthogonaliter fuper illam femidiametrum produ*
cfcclmca tcqucdiftans diametro producatur mfibus aequediftanter a centro
fpcculi in linea illa politis dextra apparent fimftra,& liniftra dcxtra,&: imago
iiidcntismaiorfacie,maior^eric diftantia imaginis 3 Ipeculo quam faciei ui
dentis*

Efto fpcculum fphsftcum conCauum, cuius fupeificiek&fupeificie/ reflexionis co=
munis fedio Iit circulus a k fjeuius centrum z,& diameter a £,& a centro z , ducatur pet
pcndicularis fuper d/ajJjemla f/emidianictCr zh,qusdiuidafurpcrsqualia in pundo
e, di i pundo e ducatur squediftans diametro a f,l/nea c d , diuidatur quocp linea ek in
pundo h,8i Z pundo n, lines c k, ducatur linea squediftans lines a f,qus fit 1 ni y in hac
itaqj linea 1 m, ponantur uifussqualiterdiftantes i centro z, dico quod ucrum eft quod
proponitur, Sint enim uifus b &! g difpofiti in linea 1 m,ut proponitur, erit ergo ut in pfg
milia propofitioc anguli b k n & g k n squales, per q.primi.refle&entur ergo uifus b Qi
g,ad fe inuiccm mutuo i pundo k,fed linea n z maior eft qu3m linea n k,refecetur ergo
Sinea n z ad squalitate lines n k,per 3 , primijSC fit n i squalis n k, ducantur quoq} Ii?
tics 1 e di g e, Si erit per 4, primi, angulus b en squalis angulo b k n , fed angulus b e n,
per 1 <j.primi,cft maior angulo bz e, ergo angulus b kz maior eft angulo b z k,crgoma
ior eft angulo b z g,ergo per 14. primi huius, lines b kSi zg cocurrcnt,fit cocurfus pun
dusq,fcd di per eandem lines g k Si z b,cpncurrent,fitconcurfus pundus p,cum itacg
linea gk, fit linea reflexionis forms pundi b , i* pundofpeculi k,di linea z b,fit kathetus -
»ncidentis,erit ergo per 3 7,quinti huius,pundus pimago fornis pundi b,3i fimiliccr e*
jric |)imdus q imago forms pundi g, ducatur ergol/nea p q,& hoc erit imago lines b g
uidcbiutr ergo dextrum finiftrum,&: finiftrum dextrum, propter interfedionen lineatu
reflexiois b q Sfg p,ut patet per y 3, huius, ite g 4, primi, linea z b eft squalis lines zg, er
go p y. primqangulus zb n eft squalis angulo zg n, Si angulus p bg eft sqlis angulo
*qgb,fed angulus n bk $qlis eft angulo n g k.relincjtur
ergo angulus kb p sqlis angulo kg q,fed angulusb k p
eft squalis angulo g k q.pcr 1 y. primi , ergo per 3 1. pr u
ini, trigoni b k p Si g k q funt squianguli,funt ergo an»
gult b p k Si g q k squales, & quia anguli p b g & q g b,

«e patet ex prsmilsis funt squales, ergo per 3 1, primi, tri
goni p b g 8i qg b funt sqanguli ,crgo per 4,fcxti,crit
^pportio lines b p ad linea g q , ficut lines bg ad fcipfam
erit ergo linea b p squalis lines g q, erit ergo linea z p a
olis lincf z q,q eft ergo^portio line$ p z ad linea zb, ea

de eft lineg q z ad linea z g,ergo g 17. gnti.Si p z.fexti, linea bg sqdiftat lines p"q, ergo
£ 19. primi, trigoni pzqabzg funt sqanguli,erlt ergo p4,fexri,j>portip lines p z ad
lineam z b , ficut lines b q adlinea b g.fcd linea p z eft maior quimlinea b z, ergo linea
pq eft maior quam linea bg, eft ergo idolum matus re uifa, Item linea zk^diida feeee

11 V lineam

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

lineam p q per imprimi huius, fecat cnim-angulum p z q,fecet ergo ipfum in pundo o»
erit ergo per pramiffa,& per ip.primi, angulus p d k, trigoni k p o aequalis angulo g o k
trigoni k g n,fed di angulus p k o aqualis eft angulo g k n,per • y .primi , ergo per 3 2,
primi, trigoni pko&gnk funt aquiaoguli.ergo per 4.fexti,qua eft proportio linea p

0 ad lineam g n, eadem cftlineaok ad lineamkn,eft autem ut patet cx pramifsis,li»ea
b n aqualis linea g n,fed linea p o eft maior quam linea b n,ideo quod tota linea p q eft
maior qudm linea b g, & linea p o eft medietas linea p q,ficut linea b n medietas lineae
b g, cum enim lineab q&gp fintaquales, & linea bk di gk aquales, erit linea kq a*
qualis lineae kp,&anguli p k o& qko funt aquales, per 1 y.primi, di per pramifla , erit
ergo linea p o aqualis linea q o,fi ergo linea p o eft maior quim linea b n, patetquod U
nea o k eft maior quam linea k n,8i linea o k eft diftantia imaginis fub fpeculo, di linea
n k eft diftantia rei reflexa i fuperficie fpeculi,palam ergo propofitum*

LXItll.

Circa diametrum fpeculi fphariciconcaui extra Ipeculum produ&a am-
bobus pofitis oculis fecundum aqualem diftantia a diametro , & centro Ipc-
<uli,dcxtra apparent finiftra , & liniftra dextra, £>C imago minor facie apparet
interulius 8i fuperficiem ipeculi.

Sit communtsfcdiofuperficiei reflexionis.^ fuperficici fpeculi Fpliarici concaui cir*
culus d b k, cuius cetrum o,8<; diameter d k,SC orthogonalicer fuper diametrum d k , pro
ducatur diameter b o a.extra fpeailungiintcp duo oculi in pundis e 8i c, linea ce pci pe
dicularis fuper lineam b a ,di finr ambo oculi aqualiter diftantes ab ipfo diametro b a, 8£

1 pundo a, erit ergo linea e a aqualis linea a c,di ducantur Jinea eb di c b , erit ergo per
4.primi,angulusc b a aqualis angulo a b c.crgo per 2o.quintihuius,uifus ambo edic,
ad fe inuicem refleduntur d pundo b, producatur itaqj linea i pundo e ad centrum o,
hac ergo produda concurret cum linea c b,per 29 . primi huius, iit concurfus pundus i»
di fimiliter i pundo c, ducatur linea per centrum o,concurrens cum linea e k in pudo
g.apparetergo per 3 7. quinti huius, imago forma pandi e in pando f,& imago touna
pundic, in pundo g, apparent ergodextra finiftra, di finiftra dextra, fcd & per 5- pi imi
angulus b e c eft aqualis angulo b c e, quoniam linea b c, di b e funt aquales/cd cum tri

AI ir gonorum e a o & ca o,duo latera e a di c a fint aqualia, di latus a o co*

/ munc.angull' qua c a o ,di e a o fine aquales, qa redi erit per 4. primi,
/ angulus fca aqualis angulog c a.trianguli ergo e fc di c eg funtaq»
/ ! anguli, per 3 2.primi,ergo per q.fexti.cft proportio liueaeg ad linea c
y // f,&: linea e f ad lineam c g,ficutlineaec ad fcipfam, funt ergo linea eg

\ f di c faqules,& linea c f & cg aquales: Sed totalis linea b e eft aqualis

1 \ / / totali linea b c.ergo relinquitur linea hg aqualis linea b f, ergo per y.

\ \ j primi, angulus bgfaqualiseftangulo b fg, fedilli anguli cum angulo

\\/ I g b palent duos redos,per 3 2. primi,funt ergo illi duo anguli oqua=

\ , [ I le^uobus angulis b e c,b c e, illi ergo trigoni c b c & g b f funt aquiau*

\f\ Id guu, ergo per 4,fexti, qua eft proportio linea bg ad lineam b c, eadem

ProPort,° hitca g f ad lineam e c, fcd linea b g eft minor qudm linea
\ / / b e, ergo linea g f, eft minor quim linea e c, imago ergo faciei uidentis

\ L eft rtunor facie confpeda, apparet autem inter oculos &i fpeculi fupcrfi«i

ciem, quoniam linea gf, qua eft diameter imaginis .cadit inter lineam
C c,ifl qua funt ambo uifus,Si inter fuperficiem fpeculi, palam ergo propofitum.

LXV.

1 mag/nesrcrum retro ipecula ipharica concaua apparentes motis rebus
quarum funt,ad! eandem partem moueri indentur ♦

Sit in rpeculo fpharico concauo circulus a bg.cuius centrum fitd, 8i fit centrum ui-
Cus pundum e,fint'q; duo punda rei uifa cx utracp parte pundi e.qua fint 3 di h, ducam
M%duo katheft incidcmia, qua fint d 3 c & d h kpcfledacur'cB forma pundi 3, adui-

fum

LIBER. OCTAVVS. * it

fum e,S putido fpeculi a , & forma pudi h,i pundo fpeculi bt8i ducantur reflexionum
linea qua: (int a e di b c.concurratcp linea a e,cum katheto d 3 in pundo c,6i linea e b,ca
Icathetodh in pundo k, erunt ergo per 3 7. quinti huius, pundum c&k, loco imaginum
intra fpeculum.ita quod pundumc, fit locus imaginis formae
pundi 3, & pundum k, locus imaginis formae pundi h, &c*
runt loca imaginum in partibus illis in quibus fentiuntur , di
res quarum funt ille imagines, transferatur itaqj pundus rei ui
ia.qui cft h, ad pundum l,di refledatur ad uifum e, d pundo g
& ducatur kathetus d 1, concurrens cum linea reflexionis qua:
cft e g, in pundo m,erit'cp locus imaginis forma pundi n in
pundo m, translata ad iplum d pundo k,qui locus m,crit in il*

Ia parte ad quam translata eft ipfa res, cuius in pundo m , cft
imago, quod fi punda rei uifa iuerinth&l,& fintfuper uifum
erunt loca imaginum qua funt k di m,fuper uifum, 8C appares»
bunt fupra res, quarum funt form*,& fi punda h&l, fuerint! dextris ipfis uifus, di loca
imaginum fuarum qua funt k fit! m, erunt i dextris,fed non putabuntur elle d extra.ut pa
tet fupra per r 1 .huius, quoniam propter reuerberationem dextra apparent finiftra,Sc! fia
niftra dextra, patet itatj propofitum ,

L XVI.

Imagines rerum inter fpecula fphtcricaconcaua & uifus apparentes , mo
tis rebus indentur ad partem contrariam moucri .

Sit fpeculi (pharici concaui circulus a b g, cuius centrum fit pundus d , fit^ centrum
uifase, citra centrum fpeculi quod eft d,8t! exlateribusafpicientisfint duo punda rei ui*
fa,qua fint z Si h,qu» rcfledantur ad uifum, i duobus pundis a S i b,fint'cp line* reflexio
numc a pundiz.&c b pundi h,ducantur'c$ katheti inctden*
tix z d e fiC h d k, recantes lineas reflexionum in pundis cdikt
erunt ergo per 3 7. quinti huius, punda c Sf k ,loca imaginum
c pundi z,S ik pundi h.uidebuntur itaqi forma* illorum pun=*
dorum in diuei fis partibus alijs quim fint res ipfa , per 49. hu»
ius,quod fi pundus h,ref uifa transferatur ad pudum 1, & te*

Dedatur i pundo fpeculi g ad uifum e,ducatur'cp linea reflexio
ilis, qua fit e g,5i katherus I d m/ecans lineam reflexionis,qu*
cft c g in pundo m,eritcp per 37,quinti huius, pundus m > Io»

. cus imaginis forma.pundi 1 , imago itaqj pundi h, qua cft k,
erit translata ad partem diucrfam illi ad quam res uera trans*
lata eft,Sf fi pundus h di 1, fuerint furfum mota fupra uifum,
tunc imagines ipforum qua funtkfi^ m, uidebuntur mouerl

deorfum,&! fi punda h Qi 1, fuerint mota ad dextram partem uifus, forma /maginfl uide»»
buntur moneri ad finiftrairijfi^ ita femper moucntur imagines ad partem contrariam r«
buSjpatctcrgo propofitum.

LXVII.

Per fpecula fphterica concaua quot libuerit pofsibile eft formae ciufdem
pundi imaginem uideri .

Fiat difpofttio,qua in planis & conucxts fpharicis fpcculis,S<! fit centrum uifus a,'
di pundus rei u/fa fit b,& fecundu diftantiam centri uifus quod eft a, di i pundo rei ui*
fa quod eftb.dcfcribatur poligonium aquilaterum fi i aqufangulum,qubtcuncp angu*
Iorum placuerit, fitep exempli caula penragoniu,quod fit a b g d e.ffatcp circulus circum
fcribensiiludpo/igoniumpentagoniumpcr it. quarti, &fug illius pentagoni) angulos
orhogonaliter fuper lineas d centro circuli circunfcribentis poligoniuprodudas adeir*
cumferentiam fecundum ipforum punda media ftatuantur fpecula fpharica concaua,
qua fint parces ciukJcm lph.tr* Qi aquales proportiones, pacet ltacp, quonia fuperficies

plana

Perspectivae vitellionis

t>lana pentagoni ab gdcjfccabit quodlibet fpcculorum fecundum circulum per 69. prto
mi huius , unus itacp arcus unius i Horu circuloro fit z g c, duc
canturfcjj linea: cotingentes quclibct illoru arcua in pun Ais g
l> d e, conrirtga tep arcu zg c, in pundo g, linea 1 k, quia itacp per

4 3. primi huius, angulus portionis.quieftbgz.eftaqualis an
/Ss' gulo dgc, anguli quocp contingentia, qui luntbgz &lg C

/e f*mt aquales» palSm ergo perzo.quinti huius, quoniam fit re»

flexio forma pundib,d pundo fpeeulig,adpiindu fpeculi ai
\ terius quod eftd,& fimiliter per eandem dcmoftrationem fiet
' reflexio i pundo d, ad pundum fpeculi alterius quod cft e, S£
w i pundo e, ad centrum uifus quod eft a, pal3m ergo propoli*
__ ^ tum,& fic quotcuncp fuerint anguli' poligonij, tot affumantur
B fpccula,(emper accidetillud quod prarmiffum eft.

LXVIII.

A fpeculis fpfmicis coiicauis foli oppofitis ignem pofsibile eA accendi-.
Efto fpeculum foliaricum concauum foli oppofitum, in quo fignetur circulus k ab
gx, cuius centrum iit c,fitcp ut fitpcrficies plana fecans fpeculum , ied huc circulum fccct
etiam corpus folis transcentrum,crgo per 69 primi huius , communis fedio illius fuper
ficiei planae Si foIis,erit circulus magnus qui fit d e z,& ab aliquo pudo illius circuli fola=
l'is,utapui]do d, ducatur linea fecundu quam praecedens radius ad ccntru fpcculi quod
cft c, incidat in pundum fpcculi quod fit g,& 5 pudo circuli folis quod fit
c procedens radius ad centrum fpcculi quod eft c , incidat in pudurn fpe*
\ culi b,& i pundo folis quod fit z, incidens radius per centrum fpcculi c, ca.
dat in punclu fpcculi a, quia ergo omnes radi) tranfeutes per ccntru c. funt
perpediculares fuper lupcrHcte fpeculi a b g , p 7 t, primi huius, patet per
z 1 .quinti huius, qnia oes refledutur in feipfos,cocurrat ergo ta incidentes
./ c(j reflexiones in pudo c,quod eft ccntru fpeculi.omncs enim illi radi) funt
I diametri ipfius fpeculi , Si omnes anguli femicirculi funt aquales, per 43.
primi huius.Reflexio aut omnis fit fecudum angulos aquales, ut patet per
zo, quinti huius, quicunq; ira qj radiorum fblarium pcrtianlierunt perccn
trilm fpeculi quod cft c,Si peruener/nt ad quacuq! punda fupcrficici ipe*
culi,illi omnes refleduntur in feipfos. Si concurrent in centro ipliusradij,
non aqucdiftantcs illis radijs non concurrunr.Sit enim radius perpcndicu
laris fuper filperffcicm fpeculi,qui cft e b,hic ergo ut pramiflum cft tranfl
bit centrum fpcculi quod cft ctSi refleditur in feipfum,hinc ergo ducatur
per 3 1. primi, aliquis radius aquediftans qui fit 1 n,&! alius qui o f,fitcp ar*
cus n b inaqualis arcui b fifccctcp linea I n.circulum a b g , in pundo y , Si
in arcu yn fignetur pundum k,& ducatur linea cn,quiaitaq) angulus Jn
kicft maior angulo c n k,ut pars fuo toro, patet quod angulus 1 n k, eft mi
nor angulo c n b, quoniam anguli cnb&cn k, ftin-t aqua les, per 4 3 .primi
huius, patet ergo per zo.quinti huius,quod radiusl n,non refledetur in pu
dum c,fiat itaqj angulus b n f, aqualis 1 n k.eadetcp pundum f, citra pun*
dum c,in pundum aliquod femidiametri cb,& in corpore folari continue

)tur linea e 1, fi itaqj quadrangulum nfcl, fixo permanente fuo latere c£
imaginetur moueri quoufque linea 1 n, incidat ad locum , unde cxiuit,tuc
pundusn, motu fuo deferibetquendam circulum in fupcificic fpeculi»
Si in tota periferia illitis circuli a ngulns Inf remanet aqualis, ergo an*
gulus I n k,eft aqualis angulo b n f,fict ergo per zo.quinti huius, 5 tota pe
riferia illius circuli reflexio omnium radiorum incidentium ad pundum
f, fimiliter quoqj fi 3 pundo folis quod cfto , ducatur per 3 1. primi, radius
aquediftans radio perpendiculari qui cft e b,& fit ille radius aquediftans
0 f fccans circulum a bg,in pundo x,l5i in arcu x f, fignetut pundum q,in linea n f pro

duda

LIBER NON VS. 2»5>

duda urpcrpedicular/s e b fecct circula a b g in pundo p, & fit arcus b s minor a*

cu n b.ergo di arcus x p qui eft xqualis arcui b $,per 5- 3 . primi huius, minor eft arcui p y
arqualis b n,crgo arcus x q s, remanet maior arcu y k n,ergo per 4 3 , primi huius, angus
Ius x s q eft maior anguloy n k, radius ergo o s non reflectitur ad pundum f, fed ad ah'»»
quod pundu linea- f c,quod fit h, portio enim circuli y k n, qua eft aqualis portioni n b
q.cft minor portione x q s.qua eft aqualis portioni s b h, copulentur quoqj linea o e»fl
itacp fixo latere e h, quadrangulum 0 e h s,intclligatur moucri quoufqj linea o s, redeat
ad locum unde exiuit, tunc pudum s motu fuo deferibet in fuperficie fpeculi circulum
i cuius totali pcriferia,fict reflexio ad pundu diametri fpeculi qui eft h,&fimiliter de
quibufcuncf? alijs radrjs incidentibus fuperficiei fpeculi aquediftanter radio e b.femper
enim fiet reflexio omnium fibi fimilium radiorum i peri feria unius circuli totius fpeculi
ad unum pundu diametri ipfius fpeculi*^ linea radiales ,ppinquiores diametro refles»
duntur ad pundu propinquius centro c,& linea radiales remotiores diametro.&aque
diftantcs illi refleduntur ad pundum remotius centro quod eft c: in quocunqj aute il=
lorum pundorum ponatur aliquod corpus combuftibiIe,per radios reflexos incendet,
fed quia radij funt pauci di debiles, oportet ut combuftibile diutius in pundo colledio*
nis radiorum moram trahat, patet ergo propofitum, di hoc fpeculfi quantum ad adum
combuftionis efficatiuseft Ipeculo compofito ex planis fpeculis,de quo locuti fumus in
fine quinti libri huius fciitix, pollet quoqj per diligentia artificis aliquod fpeculu ex pln
ribus huiufmodi fpeculis coponi, qd? eflet maioris efficacia: ad comburenda, hoc autem
relinquimus induftria: pquirentis,qa fufficit nobis in ,ppofitu,hoc modo demonftratuk

LIBER NON VS

PERSPECTIVAE V.ITELLIONIS»

■ N praemiflb libro pafliones fpeculoru fpfmicorum cocauorum ,p noftrd
polfe pertradauimus,fupercftnuc ut fpeculoru columnariu & pyramida»»
lia concauorum proprietates aliquas demonftremus. In his enim fpeculis
quafi omnium prarmiflorum fpeculoru proprietates concurrunt, planoru
quidem, cum in illis a linea longitudinis ipeculi fit reflexio , columna*
ritirriquoqj di pyramidalium conuexorum plurima: pafliones in hac concaua ipecula
deicenduqqifi iftoru di illoru coformis eft generatio fecundu figuras, 3 qbus in utrifep
prouenit qua-dam conformitas paflionu,nifi quod hinc & inde fecundu natura couexi
di concaui pafliones quodamodo iecundufitu contrarie difponuntur, ex quo accidif,ut
quandoqj linea: reflexa: in conuexis fpeculis fiat locus imaginis in concauis,8<! econuet»
io, di ob h;ec eadem principia in his fpeculis di in illis funt ( pnemiffis figuris) eoformis
ter aflumenda. Sic itaqj omnium Ipeculorum regularium pro noftrarum uirium di ex=
perientia: poflibilitatem paffionibus aliqualiter pertradatts ad aliqua Ipecula figuraru
irregularium di compofitaru mentem conuertimus, uidentcsqj quod antiquorft:Geos
metrarum diligentia di folicitudo circa fpeculoru coburcntifi, aliquorum totali fuper*
ficie ad unum pundu naturalem ucl mathemati cum fit reflexio luminis di formaru in*
ridentium plurimu eft uerfata.ut circa rem feientia: Geometriae plurimam fubtilftate re
bus naturalibus applicantem, adionem quocp naturalia formarum accelerantem in £'■
dudione effeduu mirandoru,huic negotio curam confcquentcr in hocl/Brbctedimus,
ut rei ad quam ficut ad finem nobiliflimum omne quod de natura qtiorurtllibetfpecu*
lorum pramifimus aliqualiter ordinatur. Ex prtemiflis uero libris fatis patet, quod

figura talium fpeculoru comburentium in una fuperficicrum planaru, ut patet per, ulti-
ma j-fliuiusmo eftpolTibilis,ficut nec ab aliqua una fuperficierum conexarum quacuqj,
fiue illa conuexa fuperficies fuerit fpha*rica,utpatct per ultima 6, huius, fiue fuerit colu=
naris uel pyramidalis, ut patet p penultima 7* huius,poffibiIc eft radios aliquos aggre=

m m gari

P E R S P E C T I V AE V I T ELI. I O N I S
gari adpundumunumathematicu ud etia naturalem, i concauis quotj fpeculis fphar*
r icis non fit ad unum axis pundum mathematicum reflexio, nifi i periferia uniustantu
circuli', Si' i tota fuperficie unius hemifpharrij ad totam iemidiametru flue axem fpeculi,
ut ofteHfum eft perultimam 8. huius. Non fit-automniu radiorum tequediftanter axe
fpeclilifuperflciei talis fpeculi incidentium reflexio ad pundu unum. Sed necp ab ali*
qua fuperficicru fpeculorumcolumnariu uel pyramidalium concauoru eft hoc pofli*
bile fief i, prout infra in prsfenti libro demonltrabimus. Reftat ergo ut .fuperficies
alias hftit noftro propoftto competentes cum demonftrationis diligentia perquiramus,
quohiain illud quod Cx-plurium (peculorum regulariu compofitionead hunc -effedum
poffibile prius rore diximus,ttnius fuperficiei i qua totali ad unu pundum fiat reflexio
Certitudinem no attingit, necp ad illorum peruenit comodiratem.neqi in illis adeo relu
cet humani bonitas ingentj & utilitas figurarflun hfe itacp columnaribus Si pyramida«
libus, Si altjs irregularibus quibuicp (peculis, & in ipfls comburentibusfpeculis iiippo*
nirnus principia qua: in libris procedentibus funt prarmifla.ut patet in 7. & 8 .libro hu»
ius fcientio.quo ueroexprafttppofitis principijs-fiCosnclufionibusdemonftranda dc
hisfpcculis pronominatis uidimusftint ifta.

THEOREMA T.

Iri fpeCulis cblumriatibus concams communis fedio fuperfktci reflexio*
nis& fpeculi quadocp eft linea longi tudinis fpeaili5quadocp circulus, quan*
doc^ Oxigonia fedio.

Quod hic ,pponitur, patet ex prtemiflis in libro feptitno iftius dc fpeculis columna*
ribus conexis, & quia fpeculum columnare cocauum non minus participat forma-SC
prietatem columna: quim coucxum.patct quod propofita paiTio eodem penitusmodo
demoftranda eitdc fpeculis colurtaribus concauis ut dc columnaribus couexis.patet er
•go propofitu,nec ern neccflarium talibus amplius immorari, Si quandofuerit comunts
illa fedio linea longitudinis fpeculi, erunt modi refledionu Si loca imaginu fleut in fpe
culis planis , quando ucro illa fedio comunts fuerit circulus, erunt modi refledionis Si
lo‘Ca refledionu fiaitinfpecults fphoricis concauis. Erumcp loca imaginum quandotp
ultra fpeculu,quandoqt inipfa iupficic fpeculi, quadoqj inter iiifum &Mpcculfr, quadocp
in ipfa fuperficie uifus, 8i omnium iftorum idem eft dcmonftrandi modus qui in illis
iphoricis cocauisfpeculis patuit per undecimam odaui huius,
u.

In fpeculis pyramidalibus concauis communem fcdionem fuperficiei re*
flexionis & fpeculi, linea longitudinis fpeculi aut fedionem oxigoniarrrpof»
fibile eft efle, circulum uero impoflibile,

Paiitoncs ppofitxdc pra*(cntibus fpeculis code penitus modo demonftrabilesfunt,
quo & de fpeculis pyramidalibus conuexisfunc ouenfae per diuerfas propofitiones 7.
huius, patet ergo propofitum,8<: quando communis fedio fuperficiei reflexionis di fpe*
culi iiieritlinea longitudinis, erunt modi refledionum 6i loca imaginum, qua* 8i in fpe*
Ailis planis oftenfa funt per 4g. quinti huius»
tii.

In omni fuperficie reflexiois a fpeculis columnaribus uel pyramidalibus
concauis centrum uilus Si punctum rei uifac,pundum rcflexionis,&- pundu
axis in que cadit perpendicularis dudaapudo reflexionis fuper fuperficie
fpeculum in pundo reflexionis contingentem cofiftere eftneCeJTe.

Sit fpeculum columnare concauum cuius axis fit a b, fitqj centra uifus o, Si pudum
rei uife d,refledaturcp forma pundi rei uifx quod eft d ad uifum c,in pundo fpeculi c,
& fnpudo e cotingat fuperficie fpeculi fuperficies plana, fuper quam fupn fieie i pun*
do e, ducatur linea perpendicularis p 1 x.undccimi,q lecet linea a b axem ipeculi fn pun
dofifltGtltnea c f,di0o quod piida c d,c f,neceirario cruncfcmp in eadem fupficie refle*

xionis

xionis,aut em hac luperficies reflexionis arqliediftabit bafibus coluna aut non, fi fic,p*
tet per i o o .primi huius,quod communis fedio fuperficiei reflexionis 8i fuperficiei fpe*
culi erit circulus aquediftans bafibus columna, & linea duda i pundo reflexionisquocj
cft e,tranfiens per centrum illius circuli eft perpendicularis fuper fuperficicm colunae,
ut patet per per loo.primi huius, 8t fi centrum uifus quod eft c, QC pundumrei ui

fac quod eft d, fuerit in illa linea, fiet reflexio formaro pundotum uiftrrum tantu fecun?
dum illam lineam per z t. quinti huius, cruntqj illa quatuor punda q j | A

funted e f,omnta in fuperficie reflexionis , quod fir centrum uifus uel I *

pudum rei uife.dum fuerit in hac linea perpendiculari, femper tame
linea e f, perpendiculariter a pundo e , duda cadet in axem ab,g 96*
primi huius, & linea reflexionis continebit cum illa perpendiculari an
gulum acutum, quoniam cadet inter perpedicularem e f ,& inter linea
circulum qui eft communis fedio fuperficiei reflexionis 3d fpeculi in
pundo e contingentem^ quonia haec linea reflexionis cadft icmper
intra fpeculum.quia fecundum (ili partem qua incidit fpcculo necefla
rio cadet inter fuperficies planas per centrum uifils dudas, portione
apparentem fpeculi cotingentes,&! qm per zo.quinti huius, fcmg an«
gulus incidentia eft aqualis angulo reflexionis,patet quod fi unus iU
lorum pundoru eft in fuperficie reflexionis quod 8i reiiquus.quia em
angulus d e f erit aqualis angulo fe c, cadet hij anguli ex diuerfis par
tibus perpendicularis lineae qua eft e f ultra fpeculum,in eadem itac$
fuperficie cadent omnia puda c d e f, St eodem modo demonftrandS
cft 5 quocuncp pundo circuli, qui eft comunis fedio fuperficiei refle^
xionis St fpeculi,fiat reflexio, femper enim illa quatuor punda erunt
in fuperficie reflcxionis,quod fi comunis fedio fuperficiei reflexionis
St fuperficiei fpcculi fit linea longitudinis fpeculi, tue item a quocuqj pundo illius line»
fiat reflexio, (emg,ppofita quatuor puda eme in fugficie rcflexioniSjUt patet gzy. quinti
huius. Similiter quoqj patet idem li comunis fedio fugficiei reflexiois St horu fpeculop:
fuerit fedio oxigonia,qm illa fediofecabit fpeculu trans axenr p_ 1 opprimi huius, St li=
nea i pudo reflexionis gpendicularitcr duda fuper fugficie fpeculi in pudo reflexionis
cotingciite, femgeadet in axe, ut hac iti fpeculis coluftaribus et 'pyramidalibus couexis
fune amplius declai ata;eft ille modus demonftrandiuniuocusSt in lftis fpecuIis.Quodl
fi fpeculum ppofitum fuerit pyramidale concauS, tuc ut fupra oftenfum eft p pmiifam
impoflibile efteomune iedionc fugficiei reflexionis St fuperficiei fpeculi circula efle, cj
fedio fi fuerit linea longitudinis uel fedio oxigonia , tuc eadem erit declaratio qd? qua*
tuor pdida puda c d e r, confiftut in fuperficie reflexiois, qua prius in fpeculis coluna*
ribus cocauis,patet ergo illud qd' pponebat. I II i.

Centro uifus exiftente intra fpeculu columnare uel pyramidale cocaiiurrt
d quolibet pundo fpcculi fiet reflexio ad uifum .

Sit fpeculu colunarc cocauu, cuius axis fit ab,St fit cetru uifus c,fitc$ pudu c, intra fpe
culii, dico qcf ab orni pudo fpcculi fiet reflexio ad uifu. Siue erh comunis fedio fugficiei
reflexionis 8t huius fpeculi fuerit linea loilgitudinis coluna fpeculi, ut cu fugficies refle*
xionis fecat fuperficie fpeculi fecudu axislogicudine.ut patet g 9 3 .primi huius, fiue ftie
rit circulus aquediftas bafibus coluna ipfius fpeculi, fiue fuerit fedio oxigonia,femg pa
tet g pramiflam qd* pudus reflexionis 8 1 ccntru circuli fiue pudus axisin que cadit per
pendicularis duda a pudo reflexionis fup fugficiem fpeculi funt in eade fiigficie. Eft er*
go femg poflibile ut ab illo pudo fiat reflexio ad uifurtl,qm in cocauitate taliu fpeculops
non eft corpus aliqcP denfum refiftes multiplicationi formatu g mediu, d quolibet pun*
do ergo fuperficiei taliu fpeculop: fiet formam reflexio ad uifum. Ide quoqj patet in fpe
culis pyramidalibus cocauis,qm centru uifus fcmg cft intra talia fpeeula.no refert a quo
cuncjj pudo fuperficiei fpeculi fiat reflexio, qfn femg polfibilecrit forma ad uifum gue*
nire, nili forte denfitas occipitis in quibufda litibus impediat refledione, patet ergo ,p*

mm i poiitfl

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
politum, rcfumpta figuratione pramifla:,pofitocppundoc, intra fuperficiem fpeculi in
linea c e,quicuncg eius pundus in utroqj fpcculoru fuerit datus, fit ille pundus e, & ab
eo extrahatur perpendicularis fuper fuperficicm planam in illo pundo fpeculum cotins
gentem per i z. undecimi ,& quoniam illa cadet in axem fpcculi per 96. primi huius, fic
ut cadat in pandum f,&<uper pundu e, tantalinea e f, fiat g 2 3. primi,angulus aqua=
lis angulo c e f, qui f e d, palam ergo quod forma pundi d,refledetur ad uifum in pudo
c,exiftentem per zo, quinti huius, di hoc proponebatur.

v.

Centro uifus exiftente extra fpeculum columnare uel pyramidale conca*
uum non integrum i maiore parte fuperficiei fpeculi fiet reflexio ad uifum.

Efto fpeculum columnare uel pyramidale concauum, cuius axis fitab,& fit centra
uifus pundum c.fifqj extra fpeculum, dico quod a' maiore parte fuperficiei concaua ipe
culi fiet reflexio aduiiimi ; imaginentur enim fuperficies contingentes columnam uel
pyramidalem 3 uifu ,pdiida’ ad fpeculum, palam per prima ieptimi huius, quoniam
fblum pars fuperficiei fpeculi interiacens ili as fuperficies contingentes cft illa, d qua fpe
culo exiftente connexo fit reflexio ad uifum. Eftautcm illa pars minor pars fuperficiei
fpeculi, ut patet dc fpcculis columnaribus per 78.quarri huius, & de pyramidalibus per
84. quarti huius.ablata itaqj illa parte remanet maior pars fuperficiei fpeculi, fit autem
i tota illa fuperficie reflexio ad uifum,quoniam omnis linea duda iiib lineis contingcn
tibus fpeculum in aliqua illarum fupcrficierutn produda fecat fuperficicm fpeculi g 4.
Ieptimi huius, fecundum illam ergo poteft fiei i reflexio ad uifum, patet ergo propofitu.
v I.

Speculo pyramidali concauo integro exiftente oppofitofy ipfouifui ex
parte fuse bafis exiftenti nullius pundi forma uidebitur nili intra fpeculum
«xiftcntis.

Efto fpeculum pyramidale concauum, cuius axis fit a b, fit'q? eius conica fuperficies
A 1 tota integra , bafis ucro eius qua cft fuper ficies plana fit fubinos

ta abipfo fpeculo, fitep centrum uifus c, exparte bafis fubino*
tx, dico quod uifus non percipiet formam alicuius pundi
rei uifae nili illius qua; fuerit inter ipfum fpeculum. Si enim
centrum uifus c, in aliqua confiftat linea longitudinis fpeculi,
fiatfcp reflexio ab illa linea longitudinis ad uifum, tuc patet, quia
pundum rei uif;e oportebit confifterc intra fpeculum , quoniam
exhypothcfi ccntru uifus eft ex parte bafis fpeculi, oportebitq?
pundum rei uifie in eadem linea logitudinis exifterc , alias enim
non fieret reflexio propter inaequalitatem angulorum , quod li
centrum uifus c, fit fub aliqua linearum longitudinis fpeculi,
tunc adhuc patet propofitum, quoniam enim omnis perpendis»
cularis ducla a quocuq? pundo reflexionis quas fieri poflit ad u i*
fum c, in hoc fitti, tenet angulu acutu cum linea reflexiois, patet
per 3 3 . quinti huius, cum femper fiat reflexio ex parte anguli
1 maioris, qcf* fcmpfict reflexio ex parte acuminis pyramidis (pes
\ culi, oportet ergo de ncceffitate, ut pQda rei uifa: quoru forma:
J refleduntur ad uifum S qtubufcunq; pundis fuperficiei totius
1 fpeculi femper fint intra ipfum fpeculum, patet ergo propofitu.
/ Si ucro auferatur i fpeculo tali portio aliqua fecundum long U
tudinem fpeculi, tunc poterit comprehendi exteriora qua: funt
extra (peculii, qm patebut liberi introitus lineis incidentia for*
maruextrinfecaru qua*rcfledunt ad uifum. Similiter quoqj ac*
eidit fi fecct pyramis ipeculi ad modii annuli fccimdfl alique circulu aequedxftante bafi,
ttdetiafccundS oxigoma fcdione taliter, ut auferat uertex pyramidis lpcculi, tunc era

inciden*

LIBER 'NOHVA 8}f

fncidcntix liberum habebant ingrcflum, plures tamen forias reflectent ara d Uifum (I
centrum uifus fuerit cx parte fuperflciei concauitatis fpeculi quam fi fuerit ex parte fu*
bafts, quia tunc lineis incidentibus latior uia patet*

VII,

A cjuoamqj pundo fpeculi columnaris uel pyramfctalis concaui' non eft
poflibile nili formam unius puncti ad eundem uifum refledi.

Efto ut in prsmifla fpeculum columnare uel.pyramidale concann, cuius axis a b, ab
eius quocp puncto c, reflectatur ad uifum c, forma puniti d, dico quod ab eodem pun*
<to c, forma alterius puniti eft d, ad uifum exi ftentem in puncto c, impoflibile eft refles
di.ducatur enim 5 puncto reflexionis qua: eft e, linea perpendicularis fuper fuperficiem
fpcculu in puncto c contingentem, qua: fecabit axem (pcculi per 96. primi huius, fecec
ergo in puncto f, palam itaqj per j.huius.qm puncta ede f, funt in eadem fuperficiej di
qih unafola linea reda a centro uifus quod eft c,ducibilis eft ad pundit reflexionis qd*
eft e, patet quod angulus s cf.non poteft uariar/,ergo nec angulus d e fiqua: per ic.cjna
ti huius,eft a:qhs angulo t e f, linea ergo c d eft tm unica linea, Cirfus alteri? pudi forma
poteft refledi ad uifum c, fodex hypothefi forma pundi d reflediturad uifum, nullius
ergo alteriuspundi forma adipfum refledet, cirem aliqua linea incideticeperuenit ad
aliquod punctu corporis, non poteft forma alterius pundi per illam linea incidere (pe*
culo, qih pundus altior occultat pofteriore, nec prceftat tranfitu forma: illius, patet er*
go ,ppofitu,qrn in his fpeculis d ^cucp pundo fada reflexione forma unius pudi nopo*
tcft ab eodem pundo ipeculi forma alterius pundi refledi ad eundem uifum, icd a' duo
bus uifibus poliunt in eodem pundo Ipeculi duoij: pundotje forma; comprehendi, fient
3 pluribus uifibus plures forma: diucrfojfc pundorum,qih ut paret per 1 S. fcptitm huius,
infinita: polfunt fumi fupcrficics luper perpendiculare c f, (efecantes, in quarum quae*
libet ex utraqi parte pcrpedicularis e fiiimi poliunt duo anguli acuti squales, licet aut
illud quod hic proponitur fatis patuit per 19, quinti huius, hic tarne idem dedarauimus»
ideo quia oppofitum in his fpeculis plus uerifimile uidebatur,

VIII.

Linea longitudinis fpeculi columnaris uel pyramidalis concaui exiften*
te communi fedione fuperflciei reflexionis & fpeculi unus eft tantum puns*
cftus reflexionis Si unius pundi rei uifaz ad unius uifus centrum, Siuidetuf
unica imago.

Non oportet huic ,ppofitioni declaranda aliter infifti, nifi fient idem oftertfum eftiti
fpeculis planis, quod ab uno tantu pundo fit reflexio, di una tm occurrit uifui imago»
ut patet per 4 6. St 48. quinti huius,lincaem reda eft comunis fedio fupcrficiei reflexu'
onis &C fupcrficiei fpeculi hinc inde, unicus ergo tih eft pundus reflexionis.unica tm er*
go uidebit imago fub fupcrficie fpeculi femper apparcns,ut in planis fpcculis,erit'q; per
4?. quinti huius, diftantia imaginis fub fpeculo xqualis diftantixrei uifa: fuper (pecu*
lum, patet ergo propofitum.

IX.

Communi fedione fupcrficiei reflexionis Si fpeculi columnaris uel pyra*
midalis concaui oxigonia exiftente a pluribus pundis illius fedionis poteft
fieri reflexio formae eiufdem pundi rei uifac ad idem centrum uifus*

Sit fpeculum columnare uel pyramidale concauS, cuius axis ab, fitejj centrfr uifus c,
& pundu rei uife fit d, ut patet in figura 6, huius. Si itaqj comunis fedio fuperflciei re=
flexionis di fpeculi fuerit fedio oxigonia, dico quod forma pundi d, ad centrn uifus c,

pluribus pundis illius fedionis refledi poteft, lam em offendimus fupra per xx.fepti*
mi huius, quod S fpeculis columnaribus conucxis ab uno tih pundo fedionis oxigo-
formae eiufde pundi reflexio ad uifum eundem, di diximus quod (i diameter co=
lumn» fuerit aequalis diftantiae oculoi^.quod S duobuspundts fedionis oxigonia: poo

mm 3 icft

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

tefl: fieri reflexio ad uifum>alia's em latebunt uifum punda reflexionis fe refpicientta, f.
illa per qua tranfic circulus columna dudus per pundu reflexionis aqucdiftanter bafi
bus,unde uifo uno illort: pundoji alius pundus latebit propter minoris portionis colus
na: /piius apparentiam, Inhis ucro fpeculis columnaribus concauis apparet uifui maior
portio columna, ut patet per quintam huius, unde ab unico uifu poliunt percipi ambo
punda, qua funt extremitates diametri circuli aqucdiftantis bafibus columna, eodem
modo penitus de fpeculis pyramidalibus cocauis declarandum, cius em fuperficiei plus
medietate uni uifui occurrit, Qi duo punda per diametrum circuli aqucdiftatis bafi pys
ramidis oppofitauideri pofllint, patet ergo propolitum.

x.

Communi fedione fuperficiei reflexionis & fpeculi columnaris uel pyra*
midalis concaui oxigonia exifiente, erit locus imaginis quando cj ultra fpes
culum, quandocp citra uifiim,quandoc^ in centro uifus, quando cg in fuper*
ficie fpeculi ,quandocp inter uifum 8d fpcculum ♦

Efto fpeculu columnare concauu, cuius pars axis fit d k,& eius fupficici columnaris
&C ftipcrfictei reflexionis comunis fedio fit oxigonia, qua a b g, dico quod poflibile eft
'totu, quod hic ^ponitur, ducatur em in hac fcdionc perpendicularis
fuper fupcrficiem fpcculum contingentem in pundo reflexionis qua
fitdgjiocitaqtpcr i iz.&pcr io4.priini huius erit femidiamctcrcu
iufdam circuli fecundu illum pundu lecantis columna lpcculi aque*
diftanter bafibus, fecabitcp axem fpeculi q eft k d,fitq? ut lecct iplum
in pundo d,erit'cjilla perpendicularis tiii una,cum d nullo alio puns
do fedionisabg,poflitduci linea perpendicularis fuper fupcrficiem
contingente fpeculu in pundo reflexionis cfj ab uno pundo reflexis
onis, cu omnes alia linea i quibufcucj pundis fediohis a b g, duda
ad axem d h.funt obliqua fuper fuperfide illam fpeculu cotingentem
ut patet per pranominatas .ppofitiones primi huius. Sumatur irem
alius pundus fcdionis a b g, qui fit b, 8d ducatur ab illo pundo b, lis
nea perpendicularis fiip lineam redam contingente fcdionc abg,
in pundo b,8diacquide linea per i »4.primi huius,ncceflario cbcure
rctcii ppendiculari g d. Sit ergo exempli caufa, concurfus in pundo
d, qm fi concurrant iub pundo d, cade eft demonftratio, litqj pudus
b, taliter fumptu in fcdionc a b g,circa pundu g,ut angulus bd g,fit
acutus. Deinde d pundo g ducatur in fupcrficic fcdionis a bg, linea
aquediftans linea b d, per 3 1. primi, qua fit g h, 8i hac linea cadet
inter pyramidale fedionem,idco quia cum angulus g d b fit acutus ex
hypothcfi, erit fuus coaltcrnus qui eft angulus h g d, fimiliter acutus
per 29. ptimr, cum linea bg Sd g h, adinuiccm aquediftent . Item
inter punda d 8 i h, ducatur d pundo g, linea in fuperfide fcdionis q
per 2,primihuius,ncceflario cocurrct cu linea bd, qm ipfa concurrent
cum linea b g,aqucdiftante linea b d, fit ergo pundus cocurfus n,cas
det itacj; linea g n, inter lineas g h di b n. 1 n hac ita qj linea g n, fumat
pundus quicuqj, qui fit o, inter duo punda g & n, & ultra pundu n,
fumatur pundu t, in linea g n. Item d pundo g, ducatur extra ambas
lincasg h & b d, & alia linea inter fcdionc a b g>qua fit g 3 , hac itacj
linea g 3, quia cocurrit cu linea h g, in pundo g, neceflario concurs
rct cum linea d b,,pduda ultra pundu b,per 2. primi huius, fit concur
fus in pundo e, 6i fup g, tm linea g d, fiat angulus aqualis angulo 3
g d,p 2 3 . primi, qua fit angulus d g q,cadatcj pundu q in linea b d ,
Similiter quoqj fiat angulus lgd, aqualis angulo bgd, fiCfiat angu*
lusmgd, aqualis angulo ngd, fintq* omnia punda q, b & m»«n H*

LIBfiR. WO-NVS. »3*.

neat 3, palam 'ite($ per ay, quinti huius, qitod ficentrG Uifus fuerit in pundo^Teflefiet
ad ipfum forma pundi q,i pundo fpeculi g,& erit per 3% quinti huius, locus imaginis
pufidil e,Sc: fi fuerit centrff uifus in pundo h,refledec ad ipfum forma pundi b, & pun»'
do 'ipccoli g,8i qrh kathetus incidentia qua- eft I d,aquediftat linea reflexionis qua eft
g h, palam qcf linea 1 d & g h ntincjj concurrent. Erit ergo lotus imaginis in pundo fu«
pefndei fpeculi i quo fit reflexio quod eft pundS g, qui locus eft primus 8 i £>prius ipfi*
us imaginis propter concauitate totius forma reflexa, prout diximus in % x, odaui hu«
ius. Si ucro centru uifus fuerit in pundo Ojrefledctur ad ipfum forma pundi m, ^ pura
do fpeculi quod eft g, Si locus imaginis erit pundu n. Si nero centra uifus fuerit in pu*
do n, erit locus imaginis forma pundi m, in ipfo centro uifus §d eft in pundo n, quod
fi centru uifus fuerit in pundo t, erit iterum locus imaginis forma pundi m, in pundo
n, quod erit inter uifum 8i fupcrficicm ipcculi,paret ergo propofitu,qm in fpeculis pyra
midalibus concauis poterit fecundo pramifla cooperantep 1 1 3, primi huius, demon*
ftrat/o faciliter coaptari,hoc itacp proponebatur,

Xh

Centro uifus & pittwfto fei uifx exigentibus in eadem linea perpendim*
lari fuper fuperficiem fpeculi columnaris uel pyramidalis concaui quandocp
ab uno pundro fpeaili,quadoqj a duobus fit reflexio, & focus imaginis fem*
per erit centrum uifus.

Sit fpeculum columnare concauu, alius axis fit a b, fitfcp centrum uifus c,8ipundir
rei uifa d, fintep punda cdddin una linea perpediculari fuper fuperficie fpeculi qua fit
e fjucl in alia linea perpediculari fuper lineam c f, qua fit h p,ita qd* pundus e fit pudus
fuperficiei fpeculi, & pundus f fit pundus axis a b, & producatur linea e f,ad aliam par*
tein fpeculi in pundu g, dico quandoqj ab uno pundo fpecuK.ut i pundo e, quando qj
i duobus, ut i pundis c & g, poteft forma pundi d refledi ad uifum t, palam em p, » 1*
quinti huius,quod linea t e, in qua eft pudus
rei uifa qua eft d,refleditur in feipfam.tunc
erii infinita poffunt intclligi fugficies fecan*
tes (c fuper linea e f,qua^ qualibet eft ereda
fuper fuperficie contingentem fpeculu p 1 8,
undecimi, cu linea e f,qua eft comunis fedio
tllaru fuperficie ru fit ereda fuper fuperficiem
fpeculum in pundo e contingentem, quando
ergo qua rimda illait fitperffcierum Si fupcrfi*
ciei ipuus fpeculi comunis fedio eft linea re*
da, qua eft linea longitudinis fpeculi «que*
diftans axi a b,tunc ficut per x 1, quinti huius
in fpeculis quibufda oftendimus.non fiet reflexio nifi fuper eandem lineam perpendicit*
larem, qua eft e c,8i ut patet per 3 x.8i 36. quinti huius,locus imaginis eft centru uifus,
qui eft pundus t,nec uidebit aliqs pundus rei uifa nifi folus ille qui fuerit in fuperficie
iplius uifus, qfi nero aliqua illap-fiipcrficierum perpendiculariumfuper fuperficiem ipe*
culum in pundo e contingente, fecant fuperficiem concaua ipfius fpeculi, ita quod co*
munis fedio illarum fuperficiem eft circulus aquediftans bafibus columna, cuius cert»
trum eft f,pundu axis, 5t tunc fi pundum f ftieritin diametro p h, inter pundu c, quod
eft centrum uifus, 8i pundum d, quod eft pudum rei uifa, ita quod «qualiter diftet ab
utrocp.fitcp linea c f, aqualis linea fd, poterit forma pudi d,ad uifum c, refledi i duob?
pundis fpeculi,q funt e 8ig,8i funt puda terminatia diametru illius circuli, a' ebibet eff»
illop* pudojt* fit reflexio forma pudi d,ad uifum c,ideo cijd angulus d e f eft aqlis angulo
f c c,&: fimiliter angulus dg f,aqualif angulo fg c per 4, primi, duojecm trigonoi^dfe
& f e c, duo latera d f & f c funt aqualia ex hypothefi, & latus feeft comune, angulus'qj
d e f.eft aqlis angulo c f e, quia utercp eft redus,& fimiliter eft in trigonis d fg Si c f e, an

gulura

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
gulum itat# dcc, per aqualia diuidit perpendicularis e f ,di angulum d g e per aqualia
diuidit perpendicularis fg, duda 3 pundo reflexionis ad centro illius circuli, di qm ka=
thetus incidentia: qui eft d f, cum linea reflexionis e c ucl g c, non concurrit nili in ccn*
tro uifus, quod eft c, patet per 3 v.quiriti huius, qm centrum uifus eft locus imaginis for
ms pundi d,alia uero punda linea: perpendicularis qua eft c d h,nonrefledunt adui*
fum c, i pundo fpeculi h, nili folus ille pundus qui eft in fuperficie ipfius uifus, ut iupra
patuit, ideo qcP non reflectitur nili per eandem perpendicularem, cu uero alicuius illaijt
fugficierum gpendtculariu fug fuperficiem fpeculu propofitum in pundo ecotingen*
tem, di fupcrncieifpcculi fuerit oxigonia fedio, non poterunt punda linea reflexionis
refledi ad uifum ab aliquibus alijs pundis fedionis, tn ficut patet per 1 12, primi hu-
ius, ^ua linea gpendicularcsfug fugficiem in fupficie fedionis ie intrinfecare nonpof*
lint, ficut in fuperficie circuli aquediftantis bafibus fpeculi fe tales dua diametri fecant
fuper centro f,ut iam patuit, qua funt p h di e g,no em eft diameter fedionis qua eft p
(1, perpendicularis fuper fuperficiem contingente fpeculu in pundo h,fed oblique inci*
dit fuper illam, quando diameter cg, perpcndiculariseftfuper fuperficie fpeculi, di hoc
accidit fpptcr obliquationem fedionis oxigonia fuper axem columna fpeculi, non er*
go refledet forma pundi d,ad uifum c,pcr lineam c d h,fed (i punda d 3 c, aqualiter dt
itent i pfldo f,ita ut linea d f,fit aqualis linea f c , tunc 3 pundis fpeculu e & g, qua funt
termini linea gpendicularis fuper fupficie fpcculfqua eft linea ef q, poteft fieri reflexio
forma pundi d,ad uifum c,per 2o,quinti huius, & per 4, primi, ut iupra patuit, qm an;
gulidef,& fc c funt aquales, & ite anguli dg f,di fg cfunt aquales^pudo rei uife qd
eft d, di ccntru uifus q« eft c.funt co ambobus pundis reflexionis,qui iunt e di g ,di cu
pundo axis f, cui incidit linea e f g.qua eft gpendicularis fug fuperficie cotingentc fpe?
culum in pundis c 8i g,in eade fuperficie iplius fcdionis.patet ergo qtf fiet ab illis duo*
bus pundis reflexio forma pundi d, ad uifum c ,di erit locus imaginis in utrifep ccntru
uifus qcPcft c,lcd (i punda d &c, fuerint inppcndiculari cf tunc non fletreflexio ab alie
quo pundo fedionis oxigonia nifi folQi pundo e, qm forma incidens fuperficici fpe*
culi fecundu linea gpendiculare refledit fecundu eande perpendiculare, di in fcdionc
oxigonia eft unica linea gpendicularis fug fupficie fpeculu cotingentc, tjre ut prius dis
du eft per illa fola fit. reflexio foliuspudi linea gpedicularis.q eft i fuperficie uifus, £< fi«;
cut prius erit locus imaginis in cetro uifus. Eodc ijcp tno deducedu, patet ide .ppofitum
in fpeculis pyramidalibus edcauis,duda em d centro uifus ad fupficie cotingete fpccus
13 pyramidale linea reda gpediculari fup illii fupficie, (i i illagpediculari fumat pudus
corporeus iter uifum di fpeculu, patet qcP no refledet forma eius ad uifum fecundu illa
ppcdiculare,qm pudus ille occultabit tih ppcdicularis,8<: no refledet ab ipfo,fi aut nui
Ius pudus corporeus fuerit in illa perpediculari,rcflcdct ad uifum lecundu hanc perpe*
dfculare forma folius pundi fuperficici uifus, qd* pundfi cx illa fupficie uifus fecat ipfa
perpendicularis, fi' comunis fedio fuperficiei reflexionis di fpeculi fuerit linea longi tus
dinis fpeculi, ab uno tfn pudo fpeculi fit reflexio, ficut di in alio fpcculo colunari pofte
fum eft,qd' fi fedio fuerit oxigonia qncp ab uno pundo, qiiqj d cluobus poteft fieri refle
xio fecundu diuerfitate (itus rei uifa di cctri uifus, qm pundis c 8i d cxiftcntib? in linea
f p.fict reflexio $ pundo h,8£ fi pundo t,exiftcte in linea fg, pudus d,fit in linea f c,fict
reflexio forte 3 pundis h di p, di femg locus imaginis eft ccntru uifus, uniucrfali ter cm
tam in fpeculis pyramidalibcj cjj colunaribus concauisexiftetc axe fpeculi iter uifum 8i
fpeculu no fiet reflexio g linea ad uifum gpendiculare nifi ab uno trn pudo fpeculi que
fecat illa ppcndicularisAfolum illiuspundi fupficiei uifus, que fecat illa perpendicula*
iris dtida i centro uifus,hoc quo<$ qd' pmifimus, tunc demum ucrum eftji linea f h fue*
rit ppendicularis fuper lineam longitudinis fpeculi,quod eft poflibile fleri in fpeculis py*
ramidalibus,non aut in fpeculis columnaribus, quia tunc femp fedio eft obliqua fuper
fupflcicm (peculijfk fimiiiter eft de linea f p, patet ergo .ppofitum, qiri fcdionem pyra*
pudale poffibile eft fic difponi,ut linea p h,fit perpendicularis fuper fpeculi fuperficiem,
6L ut ordinetur reflexio lecundum illud.

Centro

LIS ER NONVS.

3H

Centro uifus exiftente in centro bafis fpeculi columnaris concaui , aut
circuli acquediftantis bafi fiet reflexio formjc ipfius oculi ab arcu circuli Ipecii
Ii flmili arcui circuli magni qui eft mfuperfide oculijerit^locus imaginis ce
trum uifus*

Sit fpeculu columnare concauu, cuius axis fit a b,fit'qj centra uifus in pundo b .quoel
per 9 i.primi huius.eft centru circuli, qua; eft bafis fpcculi,dico quod forma ipfius circuli
indentis reflftftctur ad ipfum uifum ab a rcu circuli bafis fpcculi , fimili arcui circuli ma«
gni,qui totiUs fphxrx oculi tranfiens per centru foraminis unex, & per centrum oculi,
hoc eft arcui,qui interiacet extremitas perpendicuIarcs,quxsicentro uifus fecahtesperi
feriam foraminis irnea: duci polFunt ad perifer/am circuli fpcculi, imaginentur enim il#
Ix line* i centro oculi per centiit foraminis uncx,& per totam periferiamcuiufdam ar-
cus circuli magni fphxrx ipfiiisdculi fecantis portionem fphxrx oculi, cui correfpondet
foramen une* per*qualia. III* ergo linexomncs erunt perpendicularesfuper fuperfici
em fplixr* oculi per 7 1, primi hu/as .quoniam ducantur i cetro.fcd exdemlinex ad perii
feriam circuli baiis fpeculi produdx iiint perpendiculares fuperfupefficiem fpeculi per
cande ratione.^niam exeunt i centro illius .circuli quod cftb.Jft* ergo linex funt per*
pendiculafesfuper iifrafcj; iftasfupcrficies.ergo per 1 i.quinti huius, ipfx refledutur iii
fe ipfas,form*ergo pudorfi fuperficici oculi in illis pcrpedicularibus cadentes refledu n
tur ad uifum per eafde,3<: quonia circulus fpihxr* oculi & circulus ba
lis ipcculi cu ide centrum habeant, funt circuli xqucdiftantes, patet g
diffinitione ■fimilium arcuu.quod arcus quafqj duas ipfaru femidiame*
tros 'interjacentes funt fimi les, a reus itaq; circuli fpcculi i quo fit refle*
xio.eft limilis arcui oculi qui rcHedicur,& forte illa arcus hinc inde eft
quantitas circuli,quia ficut ih 4. theoremate terti) huius , diximus , la=
lus redutn.fubtrcnfium arcui ci rciili magni, di fplixr* ipfius oculi trati*
fcunti per centrum unc* & trans totum foramcnunex.cft quali xqua
le lateri quadrati inferiptibilis ipli fphxrx ocul i, illi autem corrcfpon*
det in centro angiilus rcdusjQi; ihfupCrficie ipfiiis iph*r* 4.circuli per
fexti, jocus autem imaginis omhiiirrt pundotum fuperficiei oculi tali*
ter reflexorum eft in centro ipfius uiltis , iit pa tet per prxmiiram, &
quoniam de quocunq; circtilb fpeculi xqucdiftante bafi,eft eadem de#
monftratto, patet ergo propolitum.

Xiii.

In fpeculis columnaribus concauis fumptis duobus pun# /
tflris in axe fpeculi pofsibile eft; unum rcfledVi ad alterum a toto
uno circulo fpeculi , locusqj imaginis erit quidam circulus ex#
trafuper fidem fpeculi.

Efto fpeculum columnare concauu, cuius axis fit e 3 , fintqj t & b,
duo punda fignata in axe, dico quod eft pofsibilc unum illorum puiv
dorum refledt ad alterum.uc proponitur. Sint enim circuli a g & b fl
bafes fpeculi, 8t diuidatur Unca t h, per aqualia in pudo q, per i o.pri*
hii.Si iuper centrum q defcnbatur circulus in fuperficfe fpeculi xque*
diftans bafibus fpeculi per 1 o z-.primihuius, cuius diameter fit linea; lq
n.ducancur qtiocj* line* longitudinis (peculi per ioi primiUu/usqu*
line b 1 a j & d m g . fiat quoque circa centrum li circulus , cuius dia#
hieter fic linea khp,S<! ducantur line* tl,t miU^qUia axis fpeculi' j cjuiT
eft c 3, per 9 1. primi huius.ercdus cftftiperfuperfidem Circuli' I fn,pl
tet quia anguli t ql 8i t q m j&hqb&hqm furit rledijtedSdmca
it q,eft xqualis line* q h,ex hypothelii&: line* q m di q 1 funt xquales

hn pes

PERSPECTIVAE VlfELLIONI*

per diffinitione circuli.ergo per 4. primi, trigona 4. qua: funt t q m & b q tti,& t q 1,& h <|
1,/iint a;quiangula, angulus itaejj 1 1 q,eft aqualis angulo q 1 h,a angulus t m q , aqualis
angulo q m h, Siitacp centrum uifus fuerit in pundo e, di. alicuius rei uife pundus fue*
rit h,refledetur forma pundi h,ad uifum exiftentem in pundo fpeculi quod cft 1,& (imi
liter i pundo m,(i itatp triangulus 1 1 h,flxo manente latere th, quod cft pars axis fpeculi
imaginetur nroueri quoufqj redeat adiocu ubi fumpfit motus piincipiu, tunc ptfndusl,
inotu fuo deferibet circulu, &femper duo anguli t.l q & q 1 h.manebimtxqualcs, 6C fem*
per in hoc motu refledetur forma pundi h,ad uifum exiftente in pundo t,quia uero dia*
meter p h k,cft perpendicularis fuper fuperficiem fpeculi, palam quia ipfeWkathetus in
cidentfe formae pundi h, producatur itaq; idem kathetus p hk.ultra punduk, extra fug
ficiem fpeculi, donec concurrat cu linea reflexionis qure t l,produda , cocurret aute per
1 4 primi huius, quonia fiet cu angulus t h k,(it redus, angulus h 1 1 eft acutus, fit pudus co
curfus fjfimilicer quoqj produdo katheto h p,ultra pundu p,c5currct ipfe cum linea re-
flexionis qua: eft tm, (it pundus concurfus-r.cruntcjj per 37.quinti huius, punda ffiCelo
ca imaginu forma: pundi h,moto'qi triangulo 1 1 h, monebitur fimul cuiilo triangulust
fh.S^in hoc motu pundus f,dcfcribet circulu extra columnam fpeculi, toms'qj ille circu*
Ius erit locus imaginis,^ idem erit probandi modus fumptis quibufamcn duobus pfidis
in axe fpeculi, oportebit tame hoc modo uifum taliter fifti.ut cctru cius fit direde in axe
fpeculi, & pudus rei uife fit in aliquo cctro circuli fpeculi, aut circuli bafis,aut a:qucdift3
tis ci,alias enim l°cu$ imaginis non occurret uifui extra fpeculu, patet ergo propofitum*

snm»

Communi fcdionc fuperficiei reflexionis & fpeclili columnaris concaiii
exiftente circulo, quadoqj unu,quadocp duo,quadoq? tres,qijado£p quatuor
«runt punda refle^°Ws & n6plufa„& fecudu htcclocaimagmu numeratur»
Eftofpeculu coiumnare concauu,cuius axis a b,fit'cft comunis icdio fu perficiet refie*
xionis Qi fpeculi circulus, qui c d,e r, cuius ccntru fit b,fit'q? centi u ui<*
fus g,& pundu rei uife li.qua: fint inter illum circulu tcqualiter ucl
inasqualitcrdiftantia si centro b , fintq* ambo ab una parte centri b,
dico quod uerum quod proponuur.ducatur enim diametri g b di h
b,qtta; producantur ad periferia circuli(patet'cp per 40, odaui huius
qm pofsibilc eft quadoq; forma pitdi h,rcflcd i ad uifum exiftete in
pudo g,ab uno tm pudo circuli cd e f.qnqj i duobus, quandocg ue
ro a tribus, quandoqj uero a qua tuor, no a fu a pluribus, fic' qm in pro
potito cfr reflexio fiat d circulo fpeculi no eft aliquadiffcretia quo ad
illud.patet ergo primfl ,ppo(iciI, patet ergo etiam prout oftcnfum eft:
in 1 1 .odaui huius, fine karheti incidentia: concurrant cu lineis refle»
xionis(utea:quedifl:cnc,quod fmmdft numerfi lineatu reflexionis
imagines numeramur, & hoc cft cotum quod proponebatur.' •
x v.

In columnaribus concauis fpeculiscoinunife&ioncfu*
pcrfictcireflexiois&lpcculi exiftente oxigonia formartihA
putidorum rei uific,quarundam (it ab uno tantum pundo
fpcculireflexio ad uifum, quarundam a duobus, quarunda
a tribus,quarundam i quatuor, non autem a pluribus,& fe*
eundum haxloca imaginum numerantur»

F Efto fpcculQ colft na re cocauu, cuius axis fit linea x b, fitqj ptidtfs
rei uife obliq incides fpccu!o,ita no fit in aliqua linea ru perpqdi

culariu fup fupficic fpeculi , qua; (it pundus a,taliter ut cStmtnis fe*
f t i a dio fupcrficiei reflexionis ftocctlh' , fit fedio oxigoriia, dico" quod

polsibiic eft ut ab uno pundo uel i duobus,ucl i u ibus,ucl 4.pundis alicuius oxigonfe

fcdioni*

Liber nonvs. 4J4

fe&fois fiat reflexio ad uifum, & qnq; unica appareat imago, quadoqi i.qnd j , quado*
que 4.& no piares imagines,quonia totide funt punda reflexionis cantu pofsibilia,ima*
ginetur itacjj fuperficies plana tranfiensper pundu a .a-quediftans bafibus fpeculi ,ppofi*
ti,erit'cp comunis fedio huius fuperficiei,& fuperficiei fpeculi circulus per i oo.primihu*
ius, cuius circuli centru fit h,fumatur'cp in fupcrficie illius circuli aliud pundu qd fit b,iri
arqualiter diflans a cetro h,in pudo a, & ducatur a pudis a & b,ad centru drculih, lineae
a h di b h,& copleantur diametri illius circuli eifde lineis ad periferia circuli hinc inde ,p
dudis>pala ergo per ea qua: dida funt in theoremate praecedere, & in 4o.hutus,^d ab u*
no pudo arcus interiacetis duas femidiametros a h & b h.poteft forma pundi a.refledi
ad uifum exiftente in pudo b.uel forfitan S duobus uel i tribus, fed no i pluribus, ab arcti
«tero oppofiro iftt arcui utpote ab illo arcui g cadet inter eafde femidiametros fdudaS
ad aliam parte peri*
feriae circuli non po*
tcft fieri reflexio for*
mx pundi a , ad ui*
fumb,mfiabuno ta
tum pundo. Efto ita
que quod forma pu*
di a , refledatur ad
uifum h, a tribus purt i
di$ ipeculi propofiti
arcus, fcilicet unius
intcriacentis iemidia
Inctros a h&bh,qu£
fint pitndagde, &
ducamur linea: a g,
hg,ad,h d,bd,ae,h
e, b e , i pundo a,
rei uifie, ducantur in
eade fupcrficie tres
lineae a:quediftanteS
tribus femidiametris

qua: funt h g,h d,h e,qux linea: aequcdtftantes fint a k,a f,a n,ita quod linea afcfit aeqiiii/
diftans femidiametro h g,& linea a f, femidiametro h d,& linea a n,femidiametro h e, cu
«tacg linea a k,fit acquediitans femidiametro hg,& linea b g,cocurrat cu eade femidiame
tro in pudet g.pala per 2, primi huius, qiionia linea bg,cocurret cum linea a k,fit ergo pti
dus Cocurfus k. Similiter £jc|j per eande ratione linea b gd,Cocurret cu linea a f, fit coii
curfus puduS f.fimilicer t|qt linea be,cocurr.etcu linea a n,fit pSdus cocurfus n, deinde i
pudo b,er/gatur perpedicularisfuper fupcrficie circuli, cuius centruh,per 1 2. undecim i,
qua: fit b t,&; quoniii axis x h,eft perpendicularis fug fugficie illius circuli,ctit g 6. unde
cimi.Iinea b t,aequediftas axi x h, Sutaaturcp in linea b t, pundu qdcucjj,qd fit t,& ab il*
Io ducatur tres linea: ad tria puda k f n,q fint lineae t k,t f,t n,8i i tribus pudis g d e , eri*
gantur g 1 2. undecimi, tres pcrpedicularcs fug fugficie circuli,cuius centru 1 h,q fint g «n
d l,e q, erunt ergo g 6. undecimi, linea: b t&eq acqdiftantcs,&: qm,ut patet g i.primThtl
ius,oes linea: xqdiftantes funt in eade fuperficie.palam g 1 .undecimfqm lineae b t &cq
funt in fuperficie trianguli b t n, igitur linea c q,fecabit linea t rt,fit Ut fecet ipfairi ili pudo
q,& penitus per eunde modu fit ut linea d 1, fecet linea t f in pudo 1,& J/nea gmlecet line
am t k,in pudo m.Erurtp per 9 2 .primi huius, ha^.Iinea: fcilicet e q&d l,&gin, partes li
neam logitudinis fpeculi,cu fint in.fuperficic coluns fpeculi gpendiailariter ^dudxfui
per fugficie circuli, cuius cetru h,&! per cofeques fint eredae fug bafes fpeculi per 3 2, pri
mi huius, 6C i pundo q.ducatur per 3 1 .primi, linea arqdiftantis linea: na, qua: fit linea q
u,ha:c itacp per jo.primi.eritaequediftans lineae h e,qm ipfah.e, jequediftat linex a ri , iit
patctexpraemifsis.qattaqp axis x h,cocurritcu linea h e in pudo h, pala per 2, primi hu*

rin x (Usj

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

»us,§niant /pfe axis cocurret c(5 cius a-qdiftantc duda i pudo q,(it cocurfus /n pftdo u8d
fit illa scqdiitans linea q u,8i ducat linea t a,harc itacp fecabit linea q u,qm linea q u,dud
tilrfilatcrctriangulitbn, Si alterius linexeqseqdiftanrisfcafi t b, fit' oes illae linea- funt
in cade fuperfidc,linea'q3 t a^pduda eft inter linea t u,aeqdiftante axih u ,8i inter ipfuin
axe.patet ^d finca t a,fecabit lineam q u, funt em amba: in eade fupficie,fit itaqj lincarfit
a Si qu,pudus fediois i, -ducatur linea q a,qa itaqj linere h c Si a n/unt rcqdiftantes,ut
fupra patuit, pala per 2 9. primi, qa angulus b-e h extriniccus cftrcqualis angulo ena in<
trinfeco,8t anguli h e a & e a n funt xquales,qa coalterni,fcd angulus reflcxiois,q eft h e

b, eftaqualis angillomcidetize,qeftaeh,g ao.qntihuius.Eritergoanguluse a n , arqua
lis angulo a ne,eigog 6. primi in trigonoea n, duo latera ea & en, funt aqualia, fcdli*
nfat q cft ppendicularis fug fuperficie trigoni a e n,qafii lug fuperficie circuli, cuius ce*
tru cft h,e(t’ creda,ut fupra patiitr.cuitacp linea a c fit cois duobus trigonis q e a & q c n,
patet g4.primi,qm illa tiigonaiimta’quaiia,critcp linea qn aqualis linea q a, ergo g y.
primi, qa trigoni q a n,duo latera q a 8i q n funt aqualia, erit angulus q a n, aqualis an*
gulo q n a,qa itaq? linea q faqucdtltat linea a n,patet g ip.primf qrii angulus t q i ex*
trinfecus.aqualis eft a ngulo t n a intrinfeco,8i angulus i q a, aqualis eft angulo qan, qa
funt coalternfcrit ergo angulus i q t, aqualis angulo i q a,forma itacp pudi a, g 20,qn*
ti huius, refledetur ad tiifum exiftete in pudo t,fi puelo fpeculi qd eft q,6i eode modo de
moftrandu,qm forma pudi a,refleditur ad uifum exiftente in pudo t , ab alijs duobus
pundis fpeculi fimilibus pudo a,q funt pfida 1 8i m,fit ergo forma pudi a, ad uifum in
pudut.fict reflexio 3 tribus pudis fpeculi colunaris cocaui, qurc funt q 1 m,Si ex eade par
te colunre fpeculi nec eft pofsibile ut fiat eiufmodi reflexio i pluribus pudi fpeculi cx illa
partc.Si em detur ^deunqt pudu fupcrficiei fpeculi colunaris cocaui aliud ab ift/s tribus
fi dicatur polfe fieri reflexio forma pQdi a, ad uifum in pudu t, ducatur ab illo pundo
dato linea logitudinis fpeculi fugcirculu, cuius centrfi h.8i ofteditur modo pmifio, qd' i
pfido periferia illius circuli, cui incidit illa linea logmtdinis.potcft forma pundi a, 1 cfle
di ad uifum exiftente in pudo b,8i fic fi 4,pudis arcus interjacetis diametros circuli, in
qbus funt cetru uifus 66 pundu rei uifa.fiet reflexio ad uifum,fcilicet fi tribus pudis g d

c, 8i k 4, dato 6|d efteotra 40. odaui huius, Qi impofsibiIc,no ergo fiet reflexio forma pu
di a,ad uifum exiftente in pudo t.nifi fi tribus pudis fpccuJis colunaris cocaui , q funt q
I m ex una parte ipfius fpeculi. Si itacp alia pars colunaris fpcculiabfcifa fuerit, paret per
tantu fiet reflexio fi tribuspild/s ij)eculi,qd’(i totu fpcculu integi u fuerit, pofsibile cft fic*
ri reflexione fi pirdis 4. lam ciri patuitg 17. odaui huius,qd‘exarcu circuli, cuius cetru
li.oppofito arcuig t de c,potcft forma pudi a refledi ad uifum exiftente in pudo b,ab u
no tantu pudo.Sit ergo illud pundu j,8i ducatur femidiameter h 3, 3 pudo a p 3 1 .pri*
mi, ducatur linea aqdift5s,qua fit a f,Si ducatur linea reflexiois quae fit b 3 ,cocurres cCt
linea a fin pfldo Gcocurrctafit g 2. primi huius, cjm cocumccu linea h 3 rcquediftate ipfl
a f,6iapudo 3, erigatur fug fugfide circuli, cuius centrft h, linea 3 o.ppediculariterp 1 2.
undccimi.hrecergog «S.nudecimi arqucdiftabit linere b c. 'ducat itaq* linea t f,quccfiattpri
«s /n altjs dcclarauimus/ecabit Iine5 3 o,qfh iunt in eade fupetficie ,fit ergo pudus fedi*
onis o,patcbitcp fecudupmiirospr/iis modos qfh forma pudi firefiedit ad uifft exiftete
In pudo t,& fi pudo fpeculi qd* cft 0, nec erit pofsibil/s reflexio ab ali^ pudo fuperficief
fpeculi cx illa parte pccr Cfj fi pudo o.Sicrhdctur qd' ab afl^ alto pudo hoc fit pofsibile,
fequetur ut prius deduximus, qd* fimiliter ab alto pudoillius arcus circuli,cuius cetru h,
qj fi pudo 3 ,polsic forma pudi a, refledi ad uifum exiftente in pudo b,cjd’ eft impofsibi*
le,8<! cotra 29.odaui Intius. Siitaq) forma pudi a, ab uno pudo ctrculj,citius cetru h.re*
fleditur ad uifum exiftete in pundo b,rcfledetur eade forma pudi a, ad cade fpeculi co
linaris cocaui ad uifum exiftente in pudor,abuno tantu fpeculi pudo, Si fi fidttobus pu
dis fpeculi fiat reflexio fbrmrcpudi a ad b,8i fi duobus pudis fpeculi rcflcdetitraadt.
Si ucro una haijz rcflexionufitribusfiat pudis,fiet ctia reliqua fi tribus, Si ab illa gte circu
ii ttel fpeculi no cft pofsibile fieri plurcs reflcxioes,ficut aut ab uno tiii pfido arcus oppo
■fiti in circulo fit reflexio forme pudi a ad pudu b.fic ctia ex illa parte fpeculi a uno rantfl
pfido fit* cflexio forma: pudi a, ad uifum exiftete in pudo t.lte linea t b ^quediftac axi

x h. Sunt ergo in cade fuperficie per i .primi huins,qux eft fuperficies b h u,nec enim po
teft alia fumi plana fuperficies in qua iinc illx linex t b & h x, per i. undecimi. Item nec
poteft fumi aliqua plana fuperficies in qua fit pundus a, &: axis x h,prxter fuperficiem a
u h,pcr i S.undecimgcftercda perpendiculariteriuper fuperficiem circuli, cuius centra
eft pUndum h,cum per 91. primi huius, axis h u, fit perpendicularis fuper ipfam.pundus
ergo c,non eft in eadem fuperficie cum pundo a,ereda fuper fuperficiem dudi circuli,
fed nccp illa punda c Qi a,funt in eodem circulo, fed necp funt in axe fpeculi.quoniam W
nca b c eft xquediftans axi fpeculi qui eft x h,Superficies ergo in qua forma pundia , re
fledirur ad uifumcxiftence in pundo c,eft oxigonia fedio,ueru produda linea c a,ex u
ira'cj; parte ultra punda c & a, ut fiat linea p r,cu quatitor fint fuperficies reflexiois , quia
£ quatuor pundis fit reflexio quae funt q 1 m o, & in qualibet illarum quatuor fuperficiem
ncccflTceft e (Te duo punda, qua: funt a & c.patet quod linea pr eft comunis illis quatuor
fuperficicbus per 1 .undecimi, quoniam linex p r,funt centrum uifus.qux eft pundum c
St pundum rei uifx quod eft pundum a, qux necelTe eft efle in omni fuperficie reflexio
nisfadx ab his faeculis, uc patet per 3 .huius, quaelibet aut2 illarum fuperficterum fecat
ipcculum fuper iuperficicm cotingcntcm fpeculum in pundo fttx reflexionis, & cuilibet
iftarum fuperficierum reflexionis, & fuperficiei in illo pundo fpeculum contingentis cS
munis iedio eft linea reda, per 3 ,undecimi,& ficut punda reflexionis nonfunt eadem»
ficut linex comunes illarum fedionutn funt exdem, linea itac^ p r,eft perpendicularis fu
per unam tantum illarum quatuor comunium linearum non iuper duas , quonia fi eflet
perpendicula ris fuper duas illarum linearum, eflet perpedicularis fuper duas fuperficies
fpeculum fecundum punda illarum linearu contingentes,Iineaitac^pr,neceflano tran
firet axem, cum tamen oftenfum fit. prius quod linea c a, quia eft pars linex c p r.cadat d
ira axem fpeculi qux eft x h,neceflario ergo oportet duci quatuor diuerfas lineas perpe
dtcularcs ad illas quatuor lineas comunes a pundo rei uifx quod eft a, qux erunt quatu*
or kathctiincidentix perpendiculares fuper oxigohiasfediones comunes illis fuperficie
bus reflexionum fpeculi, Quxlibet ttacp iftarum perpendicularium aut erit xque=
diftans linex reflexionis, aut concurret cum illa, flue intra fpeculum fiue extra, fi fuerit x*
quxdiltans,erit locus imaginis ipfe pundus reflexionis, ut fupra patuit in 1 1 .huius, & cu
quatuor fint huius per pendicularcs.erunt quatuor loca imaginum,8c quatuor imagines,
ideo quod quatuor funt loca reflexionum, S(uefo omnes illx quatuor perpendiculares
concurrunt cum lineis fuarum reflexionum, erunt item quatuor imagines,qui» quatuor
funt concitrfus illarum linearum, fic ergo loca imaginum numerantur fecundum hume
rum pundorum reflexionis, di hoc eft propofttumv

XVI,; . ^

In fpcculis columnaribus ccmcauis dato centro uifus in pun&oreiiuia^
pundum reflexionis inueriire .

Sit fpcculu colum na re concauG, cuius axis fit d h.fitq) pUndG rei uifx,& a centra uifus
b,qux fiunt in locis datis.dico quod eft poisibilcpundu rcflexionisinucnir/.Si enim pff
dum rei uifx quod cfta,&! centrS uifus quod eft b, fuerint in una plana fuperficie fpecit*
Ium trans axem fccantc,tunc patet per 9 j. primi huius, quia comunis Iedio fuperficiei re
flexionis, & fpeculi eft linea logitudinis,poteft itacpinucniri pundum reflexionis ficut
in fpeculis plahis per 46, quinti huius, quod fi pqnda a & b,noh fuerint in tali fuperficie,-
imaginetur fuperficies rranfiens per pundum a,fecans fpeculum xquediftanter bafibus,
«iy tergo per 1 oo.primi, comunis Iedio fuperficie» illius,& fuperficiei fpeculi circulusjce»
irum itacp uifus quod eft pundum b,aut eft in fuperficie illius Circuli authd,fi fic , poteft
reflexionis pundum inueniri in periferia illius cif-culi,ficut fupra fn i7.odau< huius, do»
cuimusin fpeculis fphatricis concauis.Si uero cehtrum uifus b,nofuerff infiiperflcie illis
us circiili.tunccum pundum rei utfx,& centrum uifus femper iit (n fuperficie reflexio*
nis.per 3 huius,patet quod comunisfedio fuperficiei refleXionis,& fpeculi in hoc fitueft
fedio oxigonia, ducatur ergo i pundo b, centro uifus perpendicularis fuper fuperficiem
illius circuli per 1 1 .undecimi, & replicetur tota probatio proximx prxccdcntis,eft pala,
Sjainucnitiiv pudiis reflexiois,§deft jpofitfl, nn 3 Centro

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Centro uifus exiftente m pundo , qui eftcommunisfedio axisi&lineac
perpendicularis fuperfuperficiemcontingentem fpeculum pyramidale conca
uum fiet reflexio formgipfius oculi ab una totali periferia circuli fpeculi pque
diftantis bafi , & folum per lineas perpendicularesjocus^ imaginis erit in
centro uifus.

Efto fpeculu pyramidale eoncauum, cuius axis fit a Ii,& ducatur 3 pudoh, linea per
pendicularis fuper fupetficie contingente fpeculum in pundo b,eriritacppundus h,co*
munis fedio axis a h,& linca? perpendiculares quae eft h b,dico quod fi centrum uifus po*
(itum fuerit in pundo-h, fiet reflexio formae oculi uidecis i tota periferia unius circuli ipe
culi aquediftamisbafiicuiuspolus erit pundush. Sit enim pundus a, uertex fpeculi, &
ducaturlinea a b,ut ergo patet per primi huius.erit linea' a b, pars linere longitudinis

fpeculi,erit'cp trigonii h b a orrhogoniu, quoniam angulus a b h.erit redus propter perpe
dicularitatc linea h b,fuper Irneam a b.imagincntur ergo 3 pundo h,plurima duci per*
pendiailarcs fuper lineas longitudinis fpeculi, ficut eft: linea hb, perpendicularis fuper li
neam logitudinis qua cft ab.uel remanente fixo a h, latere trigoni a bh,& circumdudo
trigono quoufqt ad locu unde cxiuic redeat, dcfcribetqj pundu
A b,circiilu in periferia concauitatis fpeculi, a' cuius quolibet peri

//!'!. ferite pfido fiet reflexio ad uifum exiftente tn pundo h.fecudu

[ \ lineas perpendiculares fimiles linea* hb, hoc eft fecundii lineas,

\ quas motu fuo determinabit linea h b.Fiat autem reflexio folu

\ fuperficiei illius uifus per z r. quinti huius, fiC folupartis fupcrfi*

K ) \ cici uifus,quam fccatdua hncar perpendicuTares i centro ocu*

\ li cxiftcnteSjSi! maiorem angulumqui cft impofsibilis cotinefi
f \ \ tes.EritauteminomnibushisTeflexionibus lempcrloCusima*

\ \ ginisin'centrouifus;quoniam:non'fitreflexioTiiufecundB pe»

\ j^ pendiadareS^atetdta^ propofitum.ita tamen quod inter cen

1 .v*' , — - — — : trum utfusifi< fpeculi fuperficiem non fit aliquod corpus folidu

H qupdobfiftat.

XVI I T.

Exificnribus centro uifus puncftocp rei uific in axe fpeculi pyramidalis co
cauijpofsibilc eft refledionem fieri a toto uno circulo fuperficiei reflexionis

fpeculi, locusq? imaginis erit quidam circulus extra fpeculum.

Efto fpeculum pyramidale eoncauum, cuius axis fit linea a h , di uerrex a,fitcp ccn*
irum uifus in pundo h,& fit pudus rei tufa in pundo axis qui fit t, imaginetur^ fuper*
ficiesplanafecans pyram/dem fpeculi feciind naxis longitudinem, qua fica bh g,& quo
niam linea a h eft axis fpeculi, erum linea a b & a g, linea longitudinis fpeculi per s>o.pri
mi huius.ducatur itaqj i pundo rei uifa quod eft r, linea perpendicularis fuper lineam z
b, quatit tq,&!.producauir ultra pundumq, extra fpeculum ad pundum 1, donec linea
q 1 fit aqualis lineat q>& 3 pundo h, ducatur linea ad pundum I,qua fit h!> hac ita q; ne
cellario fccabit lineam a b,quonia cft cu illa in eadem fuperficie, fit ergo ut fccct ipfam in
pundo b,& 3 pundo bjducatur linea aqucdiftans linea tq, per ) /.primiVquaproduda
ad axem fpeculi fit lincab d fecans axem ah in pundo d,8c copuletur linea t b, palam i *
taqj cum linea t q fit aqualis linea q 1, erit per 4.primi,triangulus t b q aqualis rriangu*
Io q b I,8f angulus q 1 b aqualis angulo qb t,fed angulus q t b aqualis eft angulo t b d g
a S>. primi, quia funt coaIterni,& angulus d b h extrinfecus eft aqualis angulo q I b intrirt
fcco. Eft ergo angulus t b d aqualis angulo d b h, ergo per zo quinti huius , forma pfidi
t,refleditura'pudo fpeculi quod cft b,ad ccntru uifus exiftens in pundo h , quoniam
linea t qeft perpendicularis fuper fuperficiem fpeculi.patct per diffinitionem, quoniam
ipfa cft kathetus incidentia forma pundi t,c5currct autem kathetus tq.cu linea reflexi*
«miaq cft h b,inpundo I,cft ergo pfidus I, locus imaginis forma pundi t.pcr j 7, ou/nti

huius

LIBER N'oNVS.4 ^ 2)6

huius, fi itaq; fixo latere t h, imaginetur trigonus tIh,motieri quoufcp redcatad Iocu un*
dc incepi t.cunc pundus b,motu fuodefcribetcirculumin fuperficie concaua fpeculi, &
i quolibet pundo periferia: illius circuli refledetur forma pundi t,ad uifum exiftentem
in pundo h. Similiter quoq? l,motu fuo defcribet circulum extra fpeculum, in cuius tota
Ii periferia eritlocus imaginis forma: pundi t, quoniam intota illius circuli periferia ka
thcti incidentia* formae pundi t,& lineae reflexionum forma pundi t ad uifum b , con-
current, patet itaqjpropofitum,

XIX.

In pyf amidalibus concauts fpcculis communi feifHone fuperficiei reflexi*
onis &lpeculioxigomaexiftentc,& centro uifus pundoc^ rei uiftc exiftenti*
bus in eadem fuperficie bafis fpeculi aut ei arquediftantis,necp fitipforum ali
quod in axe fpeculi formarum pundorum rei uife, quarumdam fit ab uno tan
tum pundo fpeculi rcflexio,quarundam a duobus,quarimdam Utribus, qua
rundam a quatuor,non autem a pluribus, & fecundum ha:c loca imaginum
numerantur.

Efto fpeculum pyramidale concauum a g u, cuius axis fit a d,& uertex a. fitfcp purt
dus e centrum uifus, Si fit z ptmdus rei uife oblique incidens fpeculo.ita quod non lit ii»
aliqua Ifnearum perpendicula iyu fuper fupcrficiem uifus, neq$ fit in axe fpeculi quod eft
a d,ncqj fiat reflexio ab aliqua linearum longitudinis fpeculi, fiat tamen reflexio formee
pundi s ad uifum e, ab aliquo pundo Fuperficiei propofiti fpeculi . Erit ergo necefiario
communis fedio fuperficiei reflexionis Si fpeculi fedio oxigonia per fecundam huius,
fiut ptmda e Si z,in eadetn fuperficie circuli bafis fpeculi aut icquediftantis ei, dico c^d
eft pofsibiIc,utab uno tantum pudo fpeculi uel duobus,uel tribus, uel qua tuor, & no«
pluribus fiat reflexio ad uifum , &i quandoq; unica apparebit imago, quandoq? dute»
quandoqj tres, quandoq quatuor, nec eft pofeihile uideri plures imagines , quoniam ito
tidem tantum funt punda reflexionis pofsibiha,imaginctur itacp fupcrficies plana tran
flens per pundum z, aequcdiftansbafi fpeculi.hocitaqj fupcrficies per i oo. primi huius,
fecabit fpeculum fecundum cijrcuium , centrum, ira rg uifus qtrqd eft pundum e, ut pa-
tet cx hypothcfi erit in fuperficie illius circiUucuius centrufit c , &i ducatur linea e z , quae
produdafecet illum circula, palam ergo per ea qua: demoftrata funtin fpeculis fpbieri*
cis concauis per 40.oda.ui liqius, quoniam in tali difpofitionc forma pHdi z , refleditur
ad uifum ex i Itent? in pundo c,a periferia illius circuli ex una parte fcilieet ab arcu inter
i acente (emidiametros,in quibus punda z Si e,cpnfiftunt,aut ab uno pundo ipeculi,aut
S duobus, au t d tribus ,Si cx alia parte, ab a rcu fcilicer interjacente ill^s fcinidfametros reli
quas, in quibus puncfta z Si c.no cdnfiftunt,ab uno tantum pundo , Sjumatur itacp aligs
pundus circuli' d quo fiet hate reflexioquod fit H, Se ducantur linea: z h 8d e h,8d femidia*
metere h, pacet itaq? per 17. terti), quoniam linea cli, eft perpendicularis fuper lineam
qirculun) in pundo h contingentem, Qi per io,quintihuiu.s,palameft,quoniamlineac b
diuidit angulum z h e,
per tequalia , cego per
29. primi huius, linea
ch, iecabit lineam e z,
fit ergo pundus fedio-
nis q ducaturqj per 10 1
primi huius , linea lon-
gitudinis fpeculi , qua:
lit ah, Sii pundo q,du
catur linea cadens per*
pcndiculariter fuper li*
neam a h,pcr j z , primi , qua: fit q m fecans lineam a h in pundo m , & produda ultra
pundum q, fecct axem fpeculi , qui eft a d in ptindo d , Si ducantur linea: z m Si e m.

Sii

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

■&!l pundoz,qitod eft pudareiuifs ducatur in fuperficie illius circuli linCasquediftaS
linea: q h,qus iit z l.quia itaqj linea e h cocurrit cu linea q h in pudo h, patet per z. primi
huius, qm linea e h .pduda ultra pundu h.cocurrcr cu linea zj, (it cocurfus pudusl, di i
pudo h, ducatur linea ppendicularis fupcr linea 1 z,q fit h p.dcinde in iuper ficic e m z du»
catur d pudoz, linea squediftans linea: q m,q fit linea z o.quia ita linea e m cocurrit cu
linea m qjpatetp 2,primihuius,quod ipfa concurret cu linea zo ipfiussquediftante.Sic
ergo cocurfusin pudo o,& ducatur linea 1 o,&ipudop, ducatur linea squediftans line
s 1 o, qua: fit linea p n fecans lineazo.in pudo n,di ducatur linea m n, palam itacp ex prj
mifsis,8<! gxo.gnti huius,8d angulus e h q eft squalis angulo q h fi, fed qa: linea: c h&l z
squediftant, patet p 29, qa anguliqh z & hz lfunt squales, qui a coalterni, fed di angui*
lus q h e extrinfecus eft squalis angulo h 1 z intrinfeco.anguli ergo h 1 z & h z 1 funt $qua
les, ergo per primi, latera h 1 8i h zfunt sqtialia.fed linea h p eft perpendicularis fupcr
lineam Iz.bafemyfochelish 1 z, erunt ergo per 3 1 .primi huius.trigona lilp&hpz (imi
Iia,crgo per a. fex ti, cum linea hp,(it ambobus illis trigoniscommunis.erit linea 1 p a-qua
Iis lines p z,fed in trigono loz.lincapn eft squediftans lines lo, ergo per z.fcxtijcrit
^portio lines zn ad linea on.ficut lines zp ad lincap l.Eftergolineaznsqlislinesn
o,itecu ficut patet ex pmiisis linea o z fic sqdiftans qm„& linea h q fit sqdiftans 1 z, er-
go p 1 y.undectrni,ericfupficieszlosqdiftansfupficiei qm h , di- fupeificies eoi, fecat il
lasduas fupficics, fuperficie qdeqhm (ccudfi linea h m ,8i fugficic 1 o z fecundu linea 1 o,
ergo p 1 c>.undccimi,c5munes fcdiones fuperficici e o I,cfi illis duabus fupcr ficicbus sq*
diftantibusfuntsqucdiftantcs.linca ergo h m squcdiftabit lines 1 o,fcd linea p n sque
diftat lines 1 0, ergo per 30.primi,lines hmSipn sqdiftanr,qa iracjj linea h p cadit ins
ter lineas Ii c Qi 1 z sqdiftates, patet per 29. primi, quia anguli h p 1 & p h c funt squales,
quia coalterni, fed angulus h p 1 eft redus.ergo angulus p hc eft redusjergo per 1 ?. ter*
tq.lines p h coiingit circulu,igitur'fuperfieies ah p eft cotingens pyrattiidem ft>eculi,erj«
go per 9S-.primihuius)c5tingit lineam illa fecunda lineam longitudinis qus eft a 1i,8l in
hac fupficiecrutambs Itnespn&n m, linea qutde in h, qm eft pars lines longitudinis,
qus eft a h Uneauero p n,per * .primi huius.Omncs enim lines squcdiftamcs neccfia*
riofiint in eadem ftipeificie, delinea pn&hm squcdiftant. linea ucro n m}cft in cadctrt
fuperficie per 1 ,undccimi,quoniam piida n 3i m.funtin illa fuperficie, eft atite linea d in
^pedicularis fug fuperficie a h p, (peculii coiingetne , ergo linea d na eft
perpedicularisfuplinean m,p diffinitione lines pcrpcdicularis fuper
fuperficie, fed lines d m o z squcdiftaqut prius patuit, ergo p zp.prfe
mi, linea n m q eft pcrpcdicularis fup linea d m,crit pcrpcdicularis fupcr
cius sqdiftate q eft z o,(ed linea o n eft sqlis z n.crgo p 4. primi , erit Ii*
nea m o sqlis m z,crgo p 7 - qnti.erit proportio lines e m ad linea in 0,
ficut ciufde ad linea m z. iift ailt ,pportio lines e m ad linea m o, ficut li’
nes e q ad linea qzp ifficxti, culincs rilq&o zluht sqdiftantesfntiiV
gonooze;ucl fic eft aur,ppbrtio lines c m ad linea in o, ficut lincseh-
ad lineam hl, fed lines 1 h Si h zftmtscjles ppmifla , crgo p 7,qmi,cft
^portio lines e h ad linea hz, ficut ad linea h l,cft aut p 3 .fexti , cu linea
h q.diuidat angulQ eh z p sqlia , ^portio lines c h ad h z , ficut c q ad <$
z. Bft ergo p 1 1 .cjnti, jpportio lines e m ad lineam m z , ficut lines c q
ad lineam q z,ergo m q diuidit angiilu e m z per sqlia , per 3 .fexti , eft
ergo angulus c m q squalis angulo q m 2, ergo per 20, quinti huius,for
ma pundi z refleditur ad uifumextftentcrn in pudo c,d pundo fp.ecti*
li quod eft m, ficut ira qj forma pundi z refleditur ad uiTum exiftente/ft
\ pundo e, a folopundocirculi,quodefth,itafimiIiterreflcdctur cadem
i forma pfrdi z ad uifum e,d folo piido fpcculfquod eft m b,fi fiatinhoc
/ficu reflexio d duobus pudis circuli, erit etiam reflexio «f duobus pudis
' fpeculi,8<: per cande demonftrandu,& fid tribus pundis circuli fiatrefle
xio fit ctiam d tribus pundisfpeculi, ST fi fiat d quatuor pundis huius,
fiet etiam J quatuor pundis altcrius,8<: ab alia parte circulMta fiet etiam

reflexio

LIBER NONVS, *J7

reflexio ab uno pundo fpcculi ex eadem parte, patet ergo propofitum,

xx.

In Ipcculis pyramidalibus concauis,comuni fetfKone fugficid reflexionis
& fpeculi oxigonia exiftente , Sc centro uifus puntftofcp rei uiflr exiftentibuS
intra fpeculu,non in axe,nec in eade fupficie baiis fpeculi, aut ei tequediftan*
te,formaru puntftoru rei uifx quarunda reflexio fit ab uno tantu pudo fpe*
culf,quarunda a duobus, quarunda a tribus,quarundaa quatuor,nonauted
pluribus, & fecundum hxc loca imaginum numerantur.

Sit ut in propoli tionc praecedenti fpeculi pyramidalis concaufquod fit a g u,uerteX
aydt axis a d,fit'cp pundus rei uifae z,&! centrum uifus e,duda'cp per pundum z,fuperfi=
cie fccantc fpcculu aequcdiftanter bafi fpeculi, non fit pundum e, in illa fupcrficie,fed fub
illa,uel fuper illam.Sit autem nunc exempli caufa fuper illam, quia fi ponatur efte fub ih
Ia, eadem erit dcmonftratio, dico itaqj quod ueru eft id quod proponitur, quia enim ut
patet per i oo. primi huius, communis fedio illius fuperficiei & fpeculi eft circulus, duca
tur 5 ucrtice fpeculi quod eft a, linea per centrum uifusc,fecans fuperficiem prremiiTi cir
culi extra ipfius centrum in pundo h,qu* fit a e h,lloc eft impofftbile, ideo quia centru
uifus quod eft pundum e,utpatetexhypothefi,eft intrafpecUlum,noninaxc,fit ccn»
trum illius circuli pundum q, palam itacu per zo.odaui huius, quia forma pundi z,po=
tcft refledi ad uifum exiftentem in puncto h,ab aliquo pundo circuli.fit illud pundum
c ,8C ducantur linea; hc&! z c &! h Zj&fcmidiameter q c,qui cum fit perpendicularis fa*
per lineam contingentem circulumin pundo c,pcr ly.terttj,. ergo per zd.quinti huius,
palam quod linea q c,diuidit angulum h c z per xqualia,ergo per 251. primi huius, patet
quod linea q c fccabit lineam h z,fit pundus fedionis n,& ducatur linea z ej pudo rei
uif* ad centrum uifus in pundum c linea longitudinis fpeculi qu* fit a c, palam itaqj
cx prarmilfis cum pundus z,fit ex illa parte diametri q c,& ex illa parte ciufdem fit pura
dum e, quod eft centrum uifus,quoniam pundu h.quod eft in linea a c,eft in eadem par
tc femidiametri q c,in qua eft & pundu e.patet ergo quod linea c z, fccabit fupcrficierr»
a q c,fit ut fecet ipfam in pundo o,& ab illo pundo o,primo ducatur perpendicularis fu
per lineam a c,fcilicet lineam longitudinis fpeculi, qua: perpendicularis iit o p,ha?c iracg
,pduda ultra pundum o.neccffario cadet fuper axem Ipeculfqui eft a d,ut patet £96*
primi huius.fit ut cadat in pundum d,8d ducantur line* e p &zp, dico quod forma pun
di z.refleditur ad uifum exiftentem in pundo e, i pundo fpceuli quod eft p, ducatur e*
nim S. pundo z, linea ccquediftans femidiametro qc,g 3 1. primi, qua: fit z f,& quoniam
linea h c concurrit cu linea q c in pundo q,palam per fecundam primi huius, quoniam
ipfa cocurret cum eius *quediftante lcilicet cum linea z f,fit pundus concurfus f, Irem
d pundo z ducatur linea tequediftans line* o p,qu* fit z k,& quoniam linea c p concur
rit cum linea o p, patet quod ipfa produda ultra pundum p, cocurret cu illa z h, fit pura
dus cocurfus k,2C ducatur line* k f& kh,&: quia ut patet ex pr*miffis angulus o p c eft
redus, angulus uero p c qcft minor redo, per 89.primi huius.quoniam ipfecft angulus
quem continetlinca longitudinis cum femidiametro bafis, patet ergo per »4. prini i Ini*
ius, quoniam line* o p QC q e,cocurrimt in aliquo pundo produdo ultra punda d&q,
cu itacp linea zf fit *quediftans line* qc, & linea z k *quediftans line* o p,& linea’ z
f di z k concurrantin pundo z,Iine* quoqj dp8Cq c,fimiliter cocurrunt in aliquo pun
do ut pr*oftenfum eft, patet quod fuperficies f k z ,8i fuperficies o p q c,qu* eft fuperff «
cies a q c funt*qucdiftantes,pcr ry .undecimi quodautem fuperficies o p q c, fit pars fu=
pcrflcici a q c, patet cx his, quoniam enim linea p o,pduda cadat in pundum axis quod
eft d, patet per primam undecimi,quod linea p oeft in fuperficie aq c,fed & linea qc eft
in illa fugficie, tota ergo fuperficies o p,q c eft pars fuperficiei a q c,& quia fuperficies z
k f QC. a c q, fug duas lineas c p & k f, patet quod illae du* line* cpfiCkf funt cequedi ftan
tesper 1 6,undecimi,ducatur itacp d pudo c,Iinea perpendicularis fug linea z f, per 12.
primi,qu* fit linea c s,crit ergo angulus c s f redus, ergo per »9, primi, angulus s c q eft

00 redus,

PERSPECTIV AE VITELLIONIS

iredus, quoniam linea z(S£c q squediftant,crgo per i y.tcrtij, linea e s cotingit in pun*
do e circulum,cuius centrum cft pundum q,fuperficies itaqj acseft contingens pyra*
midem fpcculi.continget ergo illam per py. primi huius, fecundum lineam logitudinis
qua: cft a c,fed linea o p eft perpendicularis fuper linea a c,eft ergo linea o p,creda fu*
per fuperficiem aes cotingentcm pyramidem, quoniam linea o p cft in fuperfide aqc,
tranfeunte per axem a d,& per linea longitudinis a c, talis aute fuperficies ut patet per
p7jprimi huius, ereda eft fuper fuperfide contingentem fpeculum in linea longitudo
n is qua: eft a c, quia ergo fuperficies aes, fecat duas fuperficies o p q 6i z k f, quarfunt
xquediftantes, patet per 1 6.undedmi,quoniam dus lines qusfunt illarum fuperficies
rum comunes.fedioncs funt squediftantes,quarum linearum una eft linea p c ,& alte»
ra (it linea s l.fecans lineam z k in pundo 1, patet quo qj, quia pundus I, cadit inter pun
dakfiC z, lines itacp p c & s 1 squediftant, fed lines p c & f k squediftant ad inuicem,
quoniam funt in fuperficiebus squediftantibus,ergo per 3 o, primi, lines s 1 & f k funt
squcdiftantes,& quoniam lines q c fkz fsqucdiftant,patct per 19. primi, quod angu*
Ius n c z eft squalis angulo c z f,quia funt coaltcrni,& angulus h c n cxtrinfecus eft s*
qualis angulo c f z intrinfeco,fed anguli hcnSincz funt squales ,ergo anguli c f z di
cz ffiintsqualcs,eigo per <5. primi, lines c (8>C czfunt squales, & linea c s eft perpen-
dicularis fuper bafem yfocbelis c f z, trigona itacp partiala qus funt c s f & c s z,funt fi*
miliaper 3 1. primi huius, ergo per 4. fexti, cum linea cs, ambobus illis trigonis (it com*
munisjcritlincas fsqualis Iincssz,fcd cum linea szsqucdiftet lines fk, in trigono
f k z,crit per fecundam fexti, proportio lines fs ad lineam s z,ficut lines k 1 ad lineam
I z,cr it ergo linea k I squalis lines 1 z, ducatufcp linea p I,cum ergo fuperficies a c s I, in
qua duda cft linea p l.fit crcda fuper fuperficiem z k f,in qua cadit linea z k.erit per dif
finitionem fuperficici fuper fuperficiem creds linea p 1 crcda fuper linea z k,ergo per
4.primi,cum linea kl (it squalis lines 1 z,lineacp p 1 (it communis ,& anguli ad pundu
I fiat squales, quia redi, erit angulus p k z squalis angulo p z k, fed per 29. primi, an*
gulusep o cxtrinfecus squalis eft angulo p kztntrmleeo, quoniam lines o p fini z k s*
qucdiftant,& angulus o p z eft squalis angulo p z k, quia funt coaltcrni, anguli ergo e
p d & d p z funt squales,cum angulus pkz&pzk funt squales, ergo per 20, quinti lui
ius,forma pundi z,reflcditur ad uifum exiftentem in pundo c,i pundo fuperficici fpe
culi quod eft p,quod cft unum propofitorum, Si aurem fumatur aliud ptinduin in cir»
culo, cuius centrum cft pundum q, a quo forma pundi z,rcfledatur ad uiiiim exift en*
*cm in pundo h.prsmilTo modo poteft declarari quod ab alio pundo fpeculi reilcde*

cur forma pundi z,ad uifum exiftentem in pudo e, ab alio pundo quim d pundo p.Si*
militer quoqj (i forma pudi z,rcfleditur ad uifum exiftentem in pundo h,d tribus pun
dis circuli,refledetur forma pundi z ad uifum c,S tribus pundis fpeculi,& fi i quatuor
pundis reflexio fiat in circulo,^ i quatuor pundis reflexio erit in fpcculoA fecundum

luee io»

LIBER NONVS. ij»

hsc loca imaginum numerantur, patet ergo propofitum.Quod fi dicatur quod 3 pluris
biis pundisfpeciili qua'in 3 quatuor pofsit Heri reflexio forma: pudiz,ad uifum exiftente
in puiiiffo c,duda ab illo pundo linea longitudinis fuper periferiam circuli cuius cen*
mini cft pundu q,poterit per conuerfioncm prjemifisdemonftrationis oftendi , quod
forma pundi z.reflcdctur ad uifum exiftentemin pundoh.i pluribus pundis circuli £$
a quatuor, quod eft impofsibiIe,& cotra ^p.odaui huius, femper enim ut patuit ex prab
mifsis i quotcunqj pundis circuli refieditur forma pundi s ad pudumh,a totidem pun*
dis fpeculf refledetur eadem forma pundi z,ad pundum e,8i cconuerfo, 8i dicenti co
trarium accidit impofsibile modo pra:dido,patct itacp quod pundorum rei uifse in his
(peculis qutedam habent unicam imaginerfyqutedamduas^iucdamtres^uaidamquatii
or,& quod non cft pofsibile caulari plurcs imagines in fpeculis columnaribus uel pyra*
midalibus concauis,ficut nccjj in fplmicis concauis,quod eft notandum,

XXI.

Dato centro uifus &pun&o rei uifx in /peculis pyramidalibus concauis
pundum reflexionis inuenirc»

Sit fpeculu pyramidale concauu, cuius axis fit linea a d,fitqj pOdus rei u ife 3 , 8i ccrt
frit uifus fit pundu e, qua: fintin locis datis,dico quod cft pofsibile pundu reflexionis in
ucniri. Si enim pundu rei uifo quod cft 3,& cetrum uifus quod eft e,fuerint in una plana
iiipcrflciefpecuiu trans axem fecante,tunc patet per 90, primi huius,quia communis fe=»
dio fuperficiet reflexionis, di fpeculi eft linea logitudinis pyramidis fpeculi,poteft itaqj
pundu reflexionis inueniri ficuti in fpeculis planis per 46. quinti huius.quod fi punda 3
& b,non fuerint in illa totali fuperflcie,imaginctur itiperficies tranfiens per pundu z, le*
cans fpeculu arquediftanter fuarbafi.erit ergo per 1 00. primi huius, comunis fcdio illius
fuperHciei 8i fpeculi circulus, centru itacg uifus quod eft pundu e, aut erit inilla fuperficie
circuli aut non,quomodocunqj autc fit, quia ut patet per 1 i.feptimi huius, impofsibile
cft communem fedionem (iiperficici reflexionis , 8C huius fpeculi circulum effe ,fed erit
lemper tunc illa communis fcdio oxigonta,replicata ergo dcmoftratione 19, huius , uel
proxima* praunillle, patebit faciliter inuentio pundi reflexionis , forma enim pundi 3 ,
icflcdetur ad uifum exiftentem in pundoh.ab aliquo pundo circumferentia: circuli, cu
fus centrum cft q,uel forte S duobus, uel i tribus.ucl a quatuor, di quotcuncp fuerint/em
per modo prxmiffo inuenietur pundum reflexionis illi pundo circuli correfpondcns,
inuento pundo reflexionis illorum pundorum in periferia circuli per ea quee declaraui*
mus in diuerfis propofitionibus odaui huius,patet ergo propofi tum .

X X I r.

Ambobus uifibus a fpeculis columnaribus uel pyramidalibus concauis)
quafi unica occurritimagov

In his enim fpeculis puda reflexiois eiufde pudi forma* rei uifce ad diuerfos uifus ciuf
de ludentis no habet multa diuerfltatediftantia: ,pptcr uifuu approximatione ad fe inui
cc,ut fi pfidi unius form§ imago fit aliqualiter ambobus uifibus occurres duplicata, fune
tamcilh: imagines cotigux fiCadmixtx.unde uidebutur quafi unica imago, diuerlitase*
nim locoru illarum imaginu propter fui imperccptibilitatc no inducit aliqua diftantian»
in uifu,ncc alique efficit errore, uidetur ergo imago quafi una,8<! fimiliter per modu quo
tu t'9.odauiliuiusoftedimus,pofsibilccft,quodduierforu uidentiu uifibus diftanribus
di diuerfisjunica quandocp in his fpeculis, ficut di in altjs, occurrat imago, cui propter i*
demirate illius fitus hic non duximus immorandum, patet ergo propolitum .

xxi 11* __

Lincx rctftx xquediftatis axi fpeculi colunaris cocaui cetro uiltis exiftente
in eadem fugficie uel in aIia,rcflexio fit a linea longitudinis fpeculi ad uifum»
Efto axis Ipcculi columnaris concaui linea qurcz h,fitq! linea uifa axi, fpeculi teque*
diftanstph.firq} ccntrumuifus pundu c,dico quod forma Iinestqh, refieditur ad iti*
fumc,a linea longitudinis fpeculi a bg, qua: eft comunis fedio fupcrticici thzk, &fu*

00 x petficiei

PERSPECTIVAE VITEELIONIS

jpcrfictei fpcciili,&! hoc quide fi centru uifus qd eft e, no fuerit in fuoficie t fi z k.dcmoftva
ai poteft omnimode ficut in 3 o.fcptimi huius. Si uero centro uifus fuerit in cade fupficie,
demoftrabitur ide propofitu, ficut iny o.fcptimi huius .refledeturep forma pundi t, i pii
do ^eculi g,2>C forma pundi q, 4 pundo fpeculi b,&: forma pudi h,a' pudo fpeculi a , c-
rit itaqj angulus tg n aqualis angulo n gc,& angulus q bra aqualis angulo m b e, di an
gcilus h a r aqlis angulo r ac, patet etia per 3 o.feptimi huius.^d linea ek.h a,q b,tg,c5
curi ut inpudo o.patcc etiam ide quod linea a bg eft linea reda extefa in logitudine fpc
cilli,»: quod linea g z,b 1 ,& a d, funt perpcdicularcs fuper fuperficie contingente fpccii
ium,qua contingit vpfum fecundu lineam a b g,8<: quod linea a bg , eft perpendicularis
fuper iupcrficiem in qua eft triangulus e-b o,& quod linea t q eft aqualis linea q h,& li-
nea a b aqualis linea b g, palam itaqj cum in his di in illis fpeculis hinc inde eadem fit dc
nionftratio, quoniam forma linea t q h,rcfleditur ab his fpeculis i linea longitudinis ip
forum, patet ergo propofitum, quoniam fiue linea longitudinis qua eft a b g,fit in conue
Xo uel in concauo ipfius fpeculi, quantum ad hoc nulla eft diuei fitas inpropofito.
x x 1 1 1 r.

Imago linea? aquediflantis axi fpeculi columnaris cocaui centro uifus cx
iftente in eadem fuperfidcjuidcbitur reda aqualis &C conformis rei uifa.

Sit difpofitio q in pracedeti,rcflcdatur'cp forma linea? t q h,a fugficie fpeculi fecundu
linea logitudinis qua eft a g ,& Iit centru uiius e, in ipfa fupficic t h z k,dico qd imago li*
ncatqh.uidebitur reda aqualisipli linea tq h.qualibctcmpcrpedicularisdudaacali
quo pudo linea t q h,crit femper in cade fuperficie cfi cetro uiius di axe, di ,pbabtintur lo
ca imaginu pudot u linea t q hjituari fecundu linea reda ficut in fpeculis planis per 5-2.
tjnti huius, oftefum eft dc lineis redis uifis,ut fi aliqua linea reda rei uifa imaginetur in
his fpceulis collocari in loco imagin/s,S<! uifus limetur proporportionalitcr ad /Ilii, ficut
nuc limatus eft ad linea t h,cfit locus imaginis illius linea, linea t h, di apparebit reda di
atjlis rei uifa.Similitcr qqj illud c}d eft in linea rei uifa fuperius erit in imagine ltiperius
di t$d in re uifa eft infcrius.cric in imagine infcrius.Erit itaqj imago cofortrus rei ui‘a,la
titudo uero taliu uiforucrit maior $ latitudo fuaru imaginu.qm imagines fecundu lati*
tudine coftringfitur .ppter puda renexionu q anguftantur}&: pfida latitudinis diucrfan
tur,qm finiftru rei fit dextra imaginis, &! dextra rei fit imaginis finiftru, patet ergo (ppof
fitum. xxv.

Linea redaa-quedidantis axi /pcculieolunaris cocaui centro uifus non
exifteme in eadem fuperficie imago quadoqj uidcbirur reda maior rc uifa,
quancloqj concaua , c[uandoq; conuexa , quancloqj unica , quandoqj plurcs.

Remaneat difpofitio pr;eccdentis,nifi quod centrum uifus quod eft c , non fit in fu*

pcrhcic t h z k,
dico quod erit
ut proponitur.
Repetita enim
dcmonftratio =>
ne quinta fepti
mi huius . Pa<
tebit quod in
fpeculis colum
naribus conue
xis locus imagi
nis forma- pudi
b linea- tqhcft
in pudo f,& lo*

cus imaginis form 9 (j eft in pudo c,& locus imaginis form 5 pudi c eft in pudo i,fic ergo
in linea 1 c i,(unt imagines formaru olm pudorii lineali q c,ct patet ijd pudus c eft ,ppin

quin

LIBER. NONVS» 839

tjilfor cciltro mTus quod eft e,^ linea reda f i,8C quod linea fi, eft in fuperficie trigoni
u ht.fli quod dure linere u h&ut funt aquales,8i quod dux linea u fd i u i iiint requalcs,
relinquitur ergo ut dux linea t i di h f fint aquales, eft ergo proportio linere t i ad linea i
u,ficut linea h f ad lineam fu, ergo per 2,fextijinea fi, aqucdiftat linea t h , patetetiam
cx eadem yieptinii.quia dux linea 3 ,e i funt aquales,ducatur ergo linea eu, qua iecec
lineam f i in pundo fdiuidatergo ipfam per aqualia, na linea th,diuifa eft in duo aqua
lia in pundo erit linea t u,in fuperficie trigoni q u e, qua eft fuperficics circuli b f, a*

qucdiftansbahbus fpeculi, pandus itacp c,erit in fuperficie trigoni t u e, Si fimiliter pun=*
dum t,in fuperficie trigoni t e i, eft ergo pundu c,in linea qua eft comunis fedio illat a
duarCi fpecicru.fcilicct trigonoru qu c Qi t e i,fed hac comunis fedio eft linea e b,per f $>♦
primi huius,pundus ergo c, cadit in reditudine linea c b, linea ergo q l,fecat lineam e b
in reditudine ip(ius,£C dua linea h u & t u,fub duobus pfidis d&: 3 , nam dua linea h u
Si t u.iunt duo fcathcti mcidetia*,fcilicet dua linea perpcdicularcs exiftetes i duobus ter
minis linea t h.fup duas lineas cotingctcsduas portioesduaru fedionucolumnaru fpes
culi, in quaru circumfcretia funt duo punda a Sig, Ji quibusfit re flexio pundoru t&h, .
ad uifum in pildft c, fuperficics ergo trianguli u h t,eft fub axe fpeculi,qua eft 3 k, fcd nui
lum pundCi ipfius axis,et(i protrahatur in infinitu,erit uncjj in fupfic/e trianguli u h r, na
Is hoc eflet poisibilcjtfrc fi axis k 3 cotinuaretur cu aliquo pundo linea h t fecundu linea
redam, tunc illa fiiperfic/es in qua effer illa linea reda,& linea u h t, eflet iiiperficics trian
guh u h t, di illa fupcrficies eflet illa in qua funt dua linea aqucdiftantcs,qua funt h t, QC
axis 3 k& fic fuperficics in qua funt dualinca h t&k 3, eflet fupcrficies trianguli h u t,
&fic totus axis3 k,eritin fuperficietriangulihut,fedex hypothcfi axis eft aquediftans
linea h t,8i fecundu iftu modu accideret quod axis k 3 ,fecaret duas lineas h u di t u , fed
Si linea t h,iecundum eius pundum h,cft in fuperficie trianguli u eh,qua eft fupcrficies
rcflexionis,& fedio communis huic iiipcrficiei 8i fuperficici columnaris fpeculi Si fedio
oxigonia,fupcrficics ergo e u h,fecat axem columnarem fpeculi in uno pundo , fcilicet
in pundo d,ut totum praoftenfum eft in commento y.feptimi.Siergo axis k 3, fecat ii=
neam li n,pundus fcdionis cum linea h u,crit infupcvficie trianguli u ch , fed in hac fu=
perfiefe non eft pundum per quod axis tranfeat nili pundum d,fccabit ergo axis k 3, lis
neant h u in pundo d,fed per 1 11 .primi huius,uel per 44,feptimi huius, oftcnfumeft.^d
linea hu, fecat axem fubpundod.in duobus pundis,fccabitlincahuaxcni k 3, quod eft
impofsibilc,axis ergo k 3 , cocus eft extra fuperficicm h u t,di propinquior uifui exiftente
in pundo c,cfj fupcrficies Ii u t, fupcrficies ergo in qua funt linea b t,8i axis k 3 , prop/n®
quior eft centro uifus pundo c,qj fupcrffries u h t,& pundum f t eft in fuperficie in qua
fime linea q l,pcr 7. undecimi, & in eadem fuperficie cu lineis aquediftantibus quas copu
l.u/jua funt h t Si 3 kspundii ergo t.cft propinquius pundo e centro uifus cj? fit linea f 3*
Sed pundu cii Iit comunis fedio lincaru ebfiiq l,ut in y i.(eptimihuius,praoftendiinus
palant quod eft in reditudine linea e b. Si ergo linea c b ducatur ultra pundu b, ipfa per
ucnict ad pundu r,fupponatur itaqjperucniffc ad pundu c,hisitaqj fic pramifsis patet
quod li linea f i, qua eft oftenfa per y 1 .feptinti huius,in fpcculis columnaribus couexis
dfc imago lincath,&cfleaqucdiftanslineath,&: axi 3 k,&! (i inaliquo corpore uifibili
uiliis fuerit in pundo o,cx parte concauitatis fpeculi columnaris, tunc forma linea,fi res
fledetur ad uifum in pundo o,i linea longitudinis ipcculi,qua eft a b g,&: diuerfabutur
imagines eius fecfidum diucrlitatcm diftantia fua ab axe fpeculi, qua eft 3 k, quia enim
angulus el m eft acutus, ergo per ly. primi, angulus Ibc eft acutus , Sd/nea eb c, eft
in fuperficie circuli b f, Si linea lbcftfentidiamecer illius circuli per 27.feptimi huius,lii9
nea ergo e b c feca t circulum , & cius pars qua eft b t , eft intra circulum di intra coneas
uitatem fpeculi, fimiliter eft delinea ob, quoniam ipfa caditintra concauitate fpeculi,
ideo £}d angulus o b 1 eft acutusA duo anguli 0 b I,& c b I funt aquales, cjnia ipfi per zy»
primi,funt aquales duobus angulis qb m Si m b e aqualibus,^ iemidiameter 1 b eft per
pcndicularis iiipcr fuperficie contingentem columnam Ipcculi fecundu lineam longius
dinis fpeculi tranleuntem per pundum b, forma itaqj pundi t, incidit fpeculo per lineS

.00 3 cfe

PERSPECTIVAE VITELLI ONTS

C b,& i pundo Ipeculi b, reflectitur per lineam b o ,8i comprehenditur i uffu exiftente it»
pundoo, Item patet per y.fcptimi huius,& ibi declaratum eft,quod fuperficies contine
gens fpectilum columnare in putido g eft fub pundo e centro uifus , linea ergo e g , fe=»
eat illam fuperficiem contingente, fecat ergo in pundo g,qui eft pundus reflexionisjli?
neam in eodem pundo g, contingente periferiam fedionis columnaris,qua eft cornu»
nis fedio fuperficiei reflexionis forma pundi t, linea* t h,& fpeculi columnaris conucxi»
Si quia fecat illam lineam contingente in pundo ipfitis fpcculi,quod eft g.fecat ergo fes
dione oxigoniam,8i cadit intra ipfam, cadit ergo intra concauitate fpcculi , & eft linea
g l,diiae ergo linea: o g & g i, cadunt intra concauitate fpeculi,8i linea 3 g, eft perpendis
cularis fuper fuperficie contingente columna fpeculi per 96. primi huius,quonia ducitur
ab axeperpendiculariter fuper linea longitudinis fpeculi tranfeunte per pundum g, Si
duo anguli o g 3 di 3 g i funt ecquales per 1 y.primi,ut'prius,forma ergo pundi i , incidit
fuperficiei concaua ipfius fpeculi fecundum lineam i g,& d pundo fpeculi g , refleditur
ad uifum exiftentem in pundo o, fecundum lineam re flexionis, qua: e g o,di eodem mo
do patet, quod forma pundi o incidit fpeculo fecundum lineam f a , Qi refleditur a pun*
do ipeculi ad uifum exifleutem in pundo d,iecundum lineam reflexionis , qua: eft a o.
Si etiam patuit in commento s 1 .feptimi huius,quoniam dua linea: h u 8i t u funt pei pen
dicularcs fuper duas lirieas contingentes fcd/ones oxigonias tranfeuntes per duo pun®
dah Si g, imago ergo forma: pundif.eft in linea h u.pcr 2 quinti huius, fed linea a o eft
linea reflexionis forma* pundi f, quoniam S pundo reflexionis quod eft a,producitur
ad uiftimexiftctcm in pundo o, imago itaqj forma putidi f, eft in linea f o,pcr 3 7. quin»
li huius, pundum ergo li,quod eft communis fedio linearum h d 6i o a, eft locus imagi*
nis fornix pundi f,(imilitcr quoqj patet, quod pundum t eft locus imaginis forma* pun
di i. Ducatur quocp linea tl,a' pundo t, ad pundu centrum circuli b.eritc^ linea a.pros
duda ultra pundu c perpendicularis fuper lineam contingente circulum per i7.tci tij,
eft ergo lineati kathetus incidentia* forma* pundi c,pcr diffinitione illius katlieti,quia cr
:go forma pundi c, refleditur ad uifum in pund it o, i pundo fpeculi b,crit imago forma*,
pundi c, in linea qcl, qua eft kathetus fua inddentix/cd&m linea reflexionis, qua eft
•fo o,necefle eft efle eandem imaginem per 37,quinti huius, imago itaqj forma pundi c,
ncceflario eft in pundo quod eft comunis fedio lineat u 1 1 qfic o b,hoc afit potcil efle in
partibus diuerfis,patutt enim per » ; ,odaui hutus,quod imago forma pundi qua refles
ditur 5 cocauitatc circuli fpeculi, quadoqj occurrit uifiii inter uifum Si /peculii , quiidoqj
ultra fpeculiT,quadoqi in centro uifus, quadoqj ultra uiiuimquadocpin ipfa fupei ticie fpe
culi, Si ut patet p 4o.odaui huius, quadoqj apparet una imago, quadoqj dua , quandoqj
3 .quadoqj 4, imago ergo pudi c,cu forma ipfitis reflexio fiat d pii do periferia circuli a»
tjuediftatis bafibils fpcculi, erit forte in linea h q, ultra (peculii, & iorte erit ultra linea b q,
Si forte ultra linea b o, retro uifum, Si forteerit in linea b o, inter uifum & fpeculu, Si fors
te erit in pudo o,fcilicct in ipfo cetro uifus, & forte erit unica imago, forte 2, forte 3, forte
4,0 itaqj locus imaginis forma pudi c,ucl alicuius pfidi forma linea f i.utpotc illius ii:
cundS qua linea b c,,pduda ultra pudu c, fecat lineam i f.qu/a Si illud pundfi refleditur
d pudo fpcculi columnare cocaui,tjd eft b, ad uifum exiftente in pudo o,r 2o.qnti Irus
sus.Si ergo locus imaginis forma pudi c,ucl illius pudi linea f i, fuerit pundu q , tuc iis
ncali q t, erit diameter imaginis forma linea* i f,& li omnes imagines omniu pundoru li
nea f i fuerint in linea h q t,tuc imago eius erit linea reda, nam medifi cius pundu, quod
eft pundum q,eft in reditudinc duarum fuarum extremitatum, qua funt h di t,quod
fi locus imaginis forma* pundi c , fuerit ultra pundum q, tunc imago linea reda* , qua
eft f i, erit concaua , ciusqj concauitas refpiciat uifum, & fi imago forma* pundi c , fue-
rit in linea b o, uei in pundo 0, centro uifus , atlt inter fpcculum Si uifum , tunc uidcbf*
tur imago linea f i conucxa, cuius conuexiras refpicict uifum. Si fi fuerit /mago forma
pundi c,in linea b o, retro uifum, tunc iteru uidebitur imago concaua, in cuius concaui*
tate lituabitur centrum uifus.quocKipundum c plures habuerit imagincs,timc linea f i
pltires habebit imagines , quarum omnium extremitates coniungauur inpundishS^

LIBER NON VS, »40-

t,di media ipfojfc erunt diftin fla Si feparata,&! linea ht,erit comunfs diameter omnium
illarum imaginum quotcunqj fuerint imagtnes,& forte linea h t,qux eft diameter imas
giniSjCi it maior (f linea rei uifa,qua£ eftsi,in modica quantitate, patet ergo propofitu,
x x v r.

Superficie linea: refla: uel curua: uifa:,fuperfidem. in qua eft axis fpeculi
columnaris cocaui orthogonaliter fccante, centro^ uifus exiftente in utraejj
fuperficie, a circumferentia circuli, qui eft communis feflio difla: fuperficio
ei & fpeculi fiet reflexio , imago^ linea: uifie quandocp erit refla, uel a li*
quando conucxa.

Efto ficut in y * .feptimi huius ,pponitur,linea t h in fupficie plana orthogonaliter fe
cante fuperficie i n qua funt ccntru uifus c,Si: i puflis dati fpeculi colunaris qui fic d
ccntru uifus t|d fit c, in cade fugficic linea* t Ii,facfta quoqj figuratione 5-1. feptimi huius,
copleatur dcmonllratio ut in illa ,ppofitione>em'cfj imago linea: refla* qua: eft t h cur»
ua,fi itaq? fpcculu idem quod ibi conucxum accipit,afluma tur concauu,8i; in loco ima*
ginis collocata intclligatitr linea curua fecunda cuius terminos extremos ducatur etiS
linea refla qua fic in fupficic rei uifar,& cenrrG uifus difponatur joportionaliter circa it*
lam linea m in eadem fupficie,tunc locus imaginis linea: curua uel refla uifa: erit linea
t h refla, patet ergo propofitum,& forte linea imaginis erit aqualis refla uel forte cotv=
uexa, ficut oftcnfum eft in y7,oflaui huius, & hoc eodem modo eft deducendum,

X X V 1 1.

Superficie linea: refla: uifce Orthogonaliter axem fpeculi columnaris coiv
caui fecantc, centro uifus non exiftente i'11 eadem fuperficie, reflexione^ fa*
fla ad uifum a:qualiter diftantem ab extremis illius linea: eius imago uide*
bitur concauitatis magncc uifum refpicientis.

Fiat omnimoda difpofitio figura qua in y 3. feptimi huius, dico qcF uerum cft quod
jjponif, patet em per ca qin comcnto illius difla funt, qd1 punfla t &h,qa aequaliter di
liant i centro uifus,punflu.f.c,reflcfluni ad uifum i duobus punflis oxigoniarumfe*
Aionir, cadentibus cum quoda circulo aquediftante bafibus fpeculi, q circulus erit me-
dius inter linea h t,8i inter fuperficie rranfeunte ccntru uifus e, fccante fpcculu aqdifta*
ter bafibus ipfius fpfeculi,fit ergo ut forma punfli h refleflit in punflu c,i punflo /pecus
!i b,<j cft punflus periferia cuiufda feflionis oxigonia q eft cois fuperficiei reflexiois Qi
fupcrficiei fpeculi, cadens in circulo b g, linea ergo h b Si b e,c5tinec angulos aqles cu li
nea cocingente illu circulff in puflo b ,8i fimiliter forma pufli t, refleflit ad uifum e, i p2
flo fpeculi g,& linea tg^gc^otinet angulos aquales cu liea cotingetc circulS fpeculi
in puflo gjfica qq? hb&t g.cocurrut in puflo l,6i Ilea h b cotinet cu Ilea gpediculari q
eftb o, anguli! acutu, liea ergo h b,fecatfugfide cotingetefupficiecoluna in liea logitu
dinis,i q eft puflub,Hcaitaqjbl, cadit intra cocauitate: coluna,8<:fuper linea gl. Simi
liter qcu dua linea b f di g y .cadat intra cocauitate coluna,&: p t y. primi, duo anguli a
b d & d b r funtacquales.cu ipfoij: cotrapofiti,d funt e b 0 & o h b fine aquales g zo.qnti
huius. Similiter quocp duo anguli 1 g d & d g i funt aquales,!! itacp liea f i, qua in fpeculo
columnari conucxo,8<: imago lineat h, fuerint tunc in aliquo uilibili oppofita Ipcculo
columnari concauo,Si ccntru uifus fuerit in puflo l,tunc forma punfli r,inciderin ipe
culo fecundu lineam r b>8i refleflet ad uifum in punflu 1, i punflo fpeculi b, di linea h u
eft ppendicularis fiiper lineam contingente feflionem.in cuius periferia eft punflum 1,
5 quo fic reflexio, imago ergo forma punfli r,er it in katheto r h,per 3 fi.quinti huius,fed
Si eade imago neccifario eft in linea reflexionis q eft b 1. Erit ergo in coi illart: feflione
in puelo h. Eft ergo pufluh imago pufli r, uthacoia patent p 37.tjnci huius. Similiter
c|cj} declarabit ,q> forma punfli y, incidet fpeculo g linea y g ,3i refleflet g linea g \,i pg
flo fpeculi (r,8i cius imago uidebitur in punflo t,& ducatur linea q u,hac ergo fecabit
lineam r y,qua eft inter duo punfla q 8i u, punfla quocp h q t u,funt omnia in fuperfis
cic circuli b g,tit patet ex pmiifis,fecet ergo linea q u, lineam r y,in punflo m, punflum

itaqj

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
itacjj m,in fuperficie tranleuntc pex axem fpeculi, & per centru uifus pundium!, nam ut
in comento praiaffiimpta: propofitionis yj, feptimi huius patuit, pundla 1 di q.funt in
illa firpcrficie,nam ut ibi acceptu eft.patct quod in illa fuperficie in qua erat centru uifus
c, 8i axis fpcculijin eadem erat linea cld,led di illa fupficics lecabit linea h t, in puncto
q,6i linea c o, cadebat in pundtu u,ergo per i .undecimi.Iinea q u, eft in illa fupfia'e,er*
go di pundtu m}Qi quia duo pundla m di 1 funt in fuperficie tranfeunte per axe colum*
na:, ideo forma puncti m,poteft refledti ad uiftim in pundtu l,in illa fuperficie,^: linea a
3 ,cft comunis fedtio fuperficiei columnae fpeculi di fupcrficiei tranfeunti per fuum axe,
di per pundtu l,quod e 11 centru uifus, forma ergo pundti m refledtetur ad uifum in pun*
dium l,quodcft centru uifus ab aliquopundto fpeculi linea:. f.a 3, Si ducatur linea c m,
qua: erit in illa fuperficie, & linea e l,ctia erit in illa fuperficie, pundtu e,ut fupra patuit
eft elongatum i fuperficie contingente columna fpeculi in linea a 3, ut patet per y.fepti
mi huius. Si ergo linea a 3, ducatur in continuu di diredtu intra pundtu 3,cocurretcum
duabus lineis e m di e l,qu*funt in una fuperficie cum linea a 3, concurrat ergo cum 1 i*
nea c m in pundlo /, di cum linea c I,in pundto n, pundtu itaqj n cadet inter duo pundla
c 8i I.quia pundtuin I,eft intra concauitate columna’, & pundtu n eft extra ipfiuscona
uexitate in fuperficie columna, qiu eft in linea longitudinis columna, qua: eft a 3,pun*
dium ucro c,quod in fpeculis columnaribus conuexis fuppolitu fuit effe centru uiius.fid
elongatum i fuperficie columnari fpeculi, patuit quocjj in dcmonftratione 5-3. feptimi
huius, qd* circulusb 3 g.eft medius inter lineam h t,di inter fupcrffcieexeuntcmi pun*
dloe,£equcdiftante bafibus columna: fpeculi.fid linea ppendicularis exiens d pundto e, fu

E er lineam a 3 ,cft in fuperficie tranfeunte pundium e, Si fecantc fpcculu a\jucdiftanter
afibus columna:, ergo linea perpendicularis exiens a pundlo c,fupcr lineam a 3 n,ca*
dit extra angulue i n,8i uerfus parte pundti n,qm linea e n,I d u,cft comunis fedtio fug
ficicrum reflexionis fecundu quas refledlunt forma: pundloru h di t, qua: cu fint oxigo*
nite fedtiones, patet per 1 03. primi huius, qm ipfa: funtoblique.fecantesaxcmfpcculf,
ergo & ipfait- comunis fedtio oblique incidit illi axi fpeculi, ergo per 3 i.primi,angulus
e i n eft acutus, ergo per 1 j-.primi,angulus m i a eft acutus, & angulus m i n erit obtufus
per 1 3,primi, educatur ergo per 1 z.primi,dpundlo m linea perpendicularis fuper linea
qi.qute fit m k.fccans lineam a i in pundto k, pundtu ergo k,crit inter pundla i Si a.qiii
fi caderet interpundia i fidn.ficrct unius trigoni, unus angulus reditis di alter obtufus,
qui eft m i n.qtr impoffibiIc,cadct ergo pundium k, inter pundla i Si a.producatur itaqj
linea m k, ultra pundtu k,ad pundtu s, donec linea k s fiat tvqualis linea m k. Urit' ergo
pundtus s extra fupcrficicm fpcculi,6d ultra cocauitatc cius, Si pundlus I,in quo cftcen
trum uilus.eric intra ipfius fpeculi concauitate, ducatur itaq? linea s I, qua fecabit linea
n k,qm cum linea n k, fit pars linea: longitudinis fpectili,patct qd‘ ipfa cfl cadens inter
pundla s di l.Sccct ergo ipfam in pundto f,&: a pundto f, ducat per 3 1. primi, linea a:que
diftans linea: k m,qu;c ,pdudta ad axem fpeculi fccct ipfam in pundto x,lit'q? linea f x.
Eritergo per ip.ptimt, linea fx, perpendicularis fuper lincii longitudinis fpeculi, qua:
eft a n,qiri linea m k.xqtrcdiftans linea: f x,cftpcrpcndicularis fup ipfam a n,erhcj3 linea
f x,in fuperficie tranfeunte per axem fpeculi, di per pundtu 1. Eft ergo linea fx femidia*
meter circuli tranfeuntis per pundtu f, a-qucdiflantcr bafibus columna: per z 1. feptimi
huius, linea ergo f x,eft ppedicularis fup fuperficie contingente columna fpeculi iccun
dum lineam longitudinis,qux eft a 3, ducat itaqj linea m fquia ergo duop* trigonoi* m
k f,Si f k s.duo latera m k & k s funt a:qualia ex hypothcfi.fid latus k f.comunc ambobus
illis trigonis,anguli'qj ad pundtu k funt rcdti,crgo per 4.primi, latus m f,eft tequale Ia*
teri fs,crgo p y.primi, angulus f m s,a;qualis erit angulo fs m, linea ucro f x,a’qucdiftat
linea: s m,ergo per zp.primgangulus x f 1 cxtrinfccus,a:qualis s eft angulo f s m,intrin*
fcco,& anguli x f m di f m s funt a:qualcs,quia coaltcrni, angulus ergo x f m, eft aequa*
Iis angulo x f 1, forma ergo pundti m,incidcns fpcculo fecundu lineam m f,fecundum li*
neam rcflcxionis,qua: eft fl,rcflcdiit ad uifum exiftente in pundto 1,3» pudto fpeculi f,p
ao, quinti huius,& linea x f,cft perpendicularis fuper fuperficie contingente fpcculu in

pundto

LIBER NON VS, ±41

punAo qm linea m k,eft perpendicularis fuper fuperficie fpeculi, qu/a eft perpendi
cularis fnper lineam longitudinis5qiix eft a 3 .patet quod linea itt k, eft kathetus inciden*
tia: forma: punAi m,in ipfa ergo locus imaginis forma: punAi rn,per z6, quinti huius,
fed 8Cidc locus eft in linea reflexionis quae eft 1 f. In illajK ergo lineap: comuni feAiohe
quae eft punAum s,eft locus imaginis forma: punAi m,per 37. quinti huius, St quia dux
linea: f y & h t fune xquediftantes St perpediculares fuper fuperficie tranfeunte per axe
fpeculi St per centru uifus c^d eft nuc punAum l,qm linea h t, taliter fuit difpofita in 3-3.
feptimi huius, dux igitur lupcrficies uniformiter exeuntes a duabus lineis h t St t i, erunt
tequediftantcs St gpediculares fuper fuperficie tranfeunte per axe, per 1 S.undecimi, 6i
quia linea r i, eft ppcndicularis fuper fuperficie trafeunte per axem 8 i per punAu 1, ideo
per 1 8 . undecimijfuperflcies duap: lineae, quas funt r m y St m s,erit ppendicularis fuper
fuperficicm tranleunte per axem, St per punAum I,& erit per 19. primi huius, linea m S
communis fe=

Aio illajfcdua==
rum fuperficie
crum.&qali*
nca a k, cu fit
pars linea: lon»
gitudinis (pe*
culi, qua: eft a
3, eft in fuperfi
cie tranleunte
per axem , qa
omnis fuperfi*
ciesfccans co*
lumnam fccun

dum lineam longitudinis per aqualia, tranfeatpcr axem illius columna, ut patet {593*
primi huius, led 6i linea a k, eft ppedicularis fuper lineam m s,qua eft communis feAio
inter fuperficie tranfeunte per axem, &A'ntcr fuperficie duamlincaru, qua: funtrm8dm
s,ergo linea a k n eft ere Aa fuper fuperficie r m s, & linea a n, eft aqucdiftans axi fpectt
li,crgo per S. undecimi, erit axis fpeculi perpedicularisfupcrfuperficie in quafuntdiia:
linea: 1 m8im s. Illa ergo (iipflcies eft perpendicularisfuperaxem columna, punAum
itacj; s,cft in fupficieexeuntc cx linea r i, perpendicularis fuper axem columna fpeculi,
fed linea h f eft in fuperficie perpendiculari fuper axem (peculi aquediftanti fuperficiei
exeunti ex linea r y, punAu ergo s,efl extra lineam h t,eft ^pinquius pilAo I, centro ui*
fus,qj fint duo pii Aa h St t,&!duo punAa h St t funt imagines format^ duojt pun Aoru r
St y ,St punAu s eft imago forma punAi m, palam ergo, quia imago forma linea r m y,
eft linea tranfiens per punAa h s t,fed talis linea eft arcualis, qa punAu s eft extra re Ai*
tudinem linea h t.tranfiens itaq; per punAa h s t, linea arcualis qua fiths t,& quia linea
h t.fecundum hypothefim 33. feptimi huius, fuit elongata & conuexo columna, erit li*
nea h t, ultra fuperficicm fpeculi refpcAu punAi 1, q<J eft nite centruuifus,& iam fupra
oftcnfum eft, ultra cocauitate fpeculi refpcAu puAi 1,& puAu 1 eft intra cocauitate fpe
culi, punAu ergo I,qcP eft ccntru uifus,cft extra fupficiem in qua eft linea h s t.arcualitas
ergo linea h s t, apparebit uifui manifefte, St quia punAum f, eft in fuperficie columna
fpeculi extra fupficie circuli bg,8i linea t h eft ultra fpeculu in fupficie circuli b g,qm eft
in fupficie trigoni 1 h t.crit linea 1 f s,altior cjj fupficies trigoni 1 h t, linea ergo 1 s, erit al*
tior duabus lineis 1 h St 1 1, refpcAu uifus 1, punAu ergo seft altius $ duo punAa h Si t,
linea ergo h s t, apparebit uifui exiftenti in punAo l.cocaua cocauitate uifum refpiciece
qd* eft (ppofitum. X X V III.

Superficie incidentis linea: recfix uific oblique fecantis axem fpeculi co*
lumnaris concaui centro uifus exiftente in eadem fuperficie, imago uidetur
concaua rcfpetftu uifus & conuerfa fecundum fitum.

p p Efto

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
•"Edo fpcculum columnate concauu.cutus axis fic h q,8i fecetur per fuperfleiem ob*
liquani fuper axe, erit ergo comunis fedio illius fupcrficiei 8t fuperficici fpcculifcdio
oxigonia per i o 3.primi huius, (it aut fedio a b g,fed in 1 1 .huius oftenfum efl,qcP qncp
in ftipcrficie oxigonia: fcdionis 4 pundo reflexionis erit linea perpendicularis fuper (u
perficiem contingente fpeculu columnare,cx cuius duobus tcrminis.f.exduabus com»
munibus fcdionibus fui,8i fuperficiei ipfius fpeculi fit reflexio formai^ ad uifum.fit er*
go in fedione a b g, huius ppcndicularis,qus fit g a,8d fit linea b e k, ppendicularis fuj>
linea cotingente piferia fedionis in pficfto b,& fit pudu b,,ppe pudu g,itaqj liea duda
i pundo b,cu linea ppedicularidutfta fuper fugficic rpcculi a pundo reflexionis qua’ fit
g.contineat fug axem fpeculi angulu acutum, patet ergo per 44. feptimi-huius ,qm linea
b e k,fecabit linea ppendiculare,quacft g a,fub axe fpeculi, 8i cotincbit cu ipfa angu*
Ium acutum, fiat ergo illarjc lineai^ fedio inpundo e, angulus ergo b c g erit acutus per
3 z.primijUt patet, cadafq; pundu kin periferia fedionis,& i pundo g,ducatur per 3 1 .
primi, linea squediflans lincte b k.qus fit linea gd, erit ergo angulus d g e, per 29.pri*
mi, aequalis angulo bcg, ergo uterepeft acutus, linea ergo gd, erit intra cocauitate lpc*
culi.qm linea a pundo g, termino ppendicularis,qus elt a g,extra fedione duda cotin
get fedione, & continebit angulu redurn cum linea a g,aut non continget, di contine*
bit angulum obtufum,fiat iraqj per a 3. primi, fuper pundum
g terminu lines c g,angulus squalis angulo c g d.qui fit cg I
liea ergo gl concurret cu linea b c k,p 14, primi huij),ideo qd'
angulusgcl& 1 gc, ambo funt acutijlit concurfus in pundo
I, qui fit pundus lincte b k,5i in linea 1 c, ut contigerit, figne*
tur pundu m,&! clueat linea a m,erit ergo angulus m a g acu
tus pcr'3 *, primi, ideo ut prius oftcndimns,quia angulus m o
g,qui efl maior angulo m a g, cu fit c i extrinfccus di acutus,
ut patet cxprsmiflis, linea m a, cadit intra fcdione,fiatquocy
fuper pundu a, terminu lineae a g, angulus aqualis angulo g
a m, qui fit angulus g a d, linea cfn a d,concurret cum linea g
d,p i4.primi huius.idco ga anguli d g a di d a g funt acuti, fic
ergo coeurfiis in pundo d, linea itaqj a d, fccabit lineam b k,
cocurrcfts cum ipfipcr j.priimhimis,qmconcurritcuir>ciussqucdiftantcquscftdg,
fecet ergo ipfim b k in pundo t,cuni itaq; 1 k fuerit in aliquo corpore uifibili,& centru
uifus fuerit in pundo d,tunc forma pundi I,uidcbitur in pundo fpeculi g,quod cll pun
dum reflexionis, hoc accidit per 1 0. huius, ideo quia forma ptindi I.rcflcditur ad ui*
fum exiftente in pundo d,a pundo fpeculi g,& linea k 1 b, qutt cfl kathetus incidentia:
forms pundi I.squediflat lines g d,quce clilinea reflexionis, nunqj ergo concurrent.

Si fit locus imaginis forma* pundi ferit in pundo reflexionis quod cfl g. Similiter fjcjj
forma pundi tn,rcflcdit ad uifiim exiftente in pundo d, .i pundo fpeculi quod cft a, Si
kathetus incidentis qus cll linea b m k, fecat lineam reflexionis qus cft a d in pundo
t, ergo pundu t cll: locus imaginis forms pundi m,pcr 37,quinti huius, tranleat itaqf
per pundu d.quod cfl centrum uifus, fupficics plana acqucdiftas bafibus cohnnns,hsc
ergo fupcrficics fccabit columnam fpeculi fecundum circulum per 1 00, primi huius,qui
circulus fit p o r, di qm centrum uifus d,cfl in fupcrficic fedionis a b g, palam quod ille
circulus p o r, fccabit fcdionem oxigoniam a bg,in duobus pundis per 1 04. primi hu*
ius,fuperficics ergo illius circuli fccabit lineam b k,qm fccat lineam g dsqucdiflantcm ^
lines b k, ducitur cni per pundum d,fit ergo ut fccct lineam b k in pundo k.fitq; centru
circuli p 0 r pundu h, di ducatur.linca k h,qus duda per circulum fccct ipfius periferia
fn pundo p,& ducatur linea d h, qus ,pduda ad periferia circuli incidat ipfi in pundo
k, forma ergo puncti k,reflcdit ad uifiim exiftente in pundo d,ab aliquo pundo arctis
r p,ut patet g z7.odaui huius, ucru hoc oftenfum cft de reflexione fornis uilibili ad ut*
fum fecundil tale fltfr ab alicj pundo periferis circuli,fit ergo n f,fia t illa reflexio a' pun*
do fpeculiXarcus p r,qd' fit pudu otSi ducant lines k o,d o,h o, angulus k o h,eft aqua

fis

LIBER NON VS. 14»

Ets angulo h o d,per 2o.quinti huius, & qm linea reflexi'5/s q eft d 0, fecat diametrum fi
p,ideo quia linea d h r,traftfit per centrum circuli,citra que reipedu pundi o, ducitur li
mea d o,hsc ergo fecat diamctru h p,(it ut fecet ipfam in pundo n.Eft aute linea k h p,
kathetus incidentis forma: pundi k,ergo per 3 7.terttj huius, pundu n,eft locus /magia
nis fornis pundi k, ducar itacp linea k d,qus per 19. primi huius, erit comun/s fedio fil
perficici circul/ p o r,8i fedionis a b g,uel pars illius comunis fedionis,nam duo pun-
da k & d,funt in utracp illajfe fuEficic^,&! nihil dc fugflcie fedionis oxigonis,qus eft a
b g,eft in fugflcie circuli r p,nifi in linea k d,uel linea cuius pars eft linea k d, pundu er-
go g.eft intra drculn,&! fimiliter pundu b, Qi funt in fupficic fedionis,& pundu n,eft
in fupficie circuli r o ,Qi forma imaginis lines 1 m k.tranfic g punda g t n, linea uero per
tranflens haec punda eft arcualis, qa fugficies fedionis eft declinis fu g fuperficie colum*
ns per 1 03, primi huius, longior ergo diameter ipfius ledionis no tranfit per totuaxe
columnae, nec^ eft fugftcics fedionis sqdiftans bafl coluns, linea ergo t ng.qus eft ima
go lines reda: k m 1, cuius fupcrficies fecat axe fpeculi oblique, eft curua maximf curui
tatis, Qi cius cocauitas refpicit uifum exiftente in pundo d>& qa pundu t,eft imago for
mae pundi m,& pundu n, imago forma: pundi k ,Qi pundu g,eft imago forma: pundi
I, patet qd* imago lines 1 m k eft conuerfa,ita qcf fuperficiei pundus imaginis reipedu
uifus,qui eft g,corrndet infimo pundo lines uifs,qui eft 1,& infimus pundp imagini*
qui eft n, corradet fupremo pundo lines uifs,q eft k. Sic ergo fitus partium imaginis
no eft coformis fitui partiu rei uifs,fed c5uerfus Qi difformis,patet ergo .ppofitu, patet
icacp ex hac (ppofitione1& duabus pmiflis,qd’ lines reds sqdiftantes axi fpeculi colu*
naris cocaui.fk sqdiftates bafi eius,& ctia qus funt obliqus liig fuperficie eius,qncp ui*
debunt arcuales,qncp reds,qncp couerfs, forms ergo cojs: qus coprehendut in fpecu*
lis colunaribuscocauis,qnqj erit direda coformis i luo litu fitui partiu rei uife, Qi qncp
erit diffbrmis coucrfum habens fitum fuar 5 partiu refpedu uifus partiu rei uifs,& in re
fpedu ad uifum. XXIX.

Imago lincoc reda: exiftentis in fuperficie fpeculu columnare concauum
tranfaxem orthogonaliter fecante , centro^ uifus exiftente in cadem fuper*
ficie uidebitur reda, quandoqj maior , quandocp squalis, quandoqj minor
re uifa , fed femper conuerfum habens fitum , 8i quandoq? una , quandoqj
plures imagines uifui occurrent.

Sit fecundum difpofitionem 48.odaui huius,circulus a b 3, cuius centru in fugficie
fpeculi columnaris concaui squediftans bafibus fpeculi,&: fit centru uifus in pundo d,
erit ergo linea dg,ut in pdida 48.pmiflumeft ppendiculariter ereda fuper fupficie cir
culi, & fint dus lines e a & e b perpendiculares liig luperficies cotingentcs fuperffciem
colfrns foeculi,8derit fupficies trianguli d c g.gpendiculariter ereda lup fugficie circu*
li ab 3 ,p 1 8, undecimi, qa linea g d eft ppendicularis fupfupflcie circuli, hoc eft fuper e3
fuperficie,cuius fedio efficit circulu a b 3 ,fupficies ergo trigoni d e g,ut patet per 1 9,un
decimi, 8i p 9 i.primi huius, tranfit p tota axem fpeculi, Qi p centru uifus qd* eft pundu
d,& neutra fupficies caijr q funtd b o Qi d a o , q fecant fe in liea d o,ut patet p 1 9. primi
huius, tranfit p totu axem,8<: in neutra illatjj fupficieij: eft aliqd de axe nifi pundu e,qd*
eft centru circuli a b t.utracg ergo fupficies q funt dbo&da o, fecat fupficie columnare
fpeculi fecundu oxigonifi fedione, Qi fit reflexio formaiji ad uifum d. duob9 pudis illajn
fedionu,qus funt a Qi b,Qt patet p pmiffam 46. odaui huius forms ergo pudi r,refle=*
detur ad uifum exiftente in pundo d,i pundo fpeculi qd* eft b,8d forma pundi m refle
dif ad uifum in pundu d,^ pudo fpeculi qd1 eft a,Qi qm kathetus incidentis forms pS
di r,eft hnea r e mfecans lineab d,q eft linea reflexionis in pundo n ,Qi kathetus incide
tis forms pudi m.eft linea m e u,fecas linea reflexiois qus eft a d,in pudo u,patet qd1
puda n Qi u funt loca imaginu formai^ pundoi^ r Qi m ,Qi erit linea n u, diameter ima»
ginis, forms lines mr,&eft minor $ liea m r,ut patet in 49,odaui huius, Qi fimilit’ for
mx duoi^ pundoijt h Qi I, refledent ad uifum in pundu d ,i duob9 pudis fpeculi q funt

pp » a8Cb

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
a 8i b, Si trit p modu prius didu cu linea t k, diameter imaginis forma: linea 1 h,& fecu
dn pmiffa in 48,odaui huius, erit diameter imaginis t k, aqualis diametro rei uifac qua
eft linea I h. Similiter qqs linea p i, erit diameter imaginis forma: linea: f q, & cft maior
cp diameter rei uifa: qua: cft linea fq, Si oesifta: imagines erut conerfe,ut oftenfum eft
in j-o.odaui huius. Si uero centra uifus fuerit in pudo o,8i forma: lineat^ quae funt p i,t
k,Si n u,refledant ad uifum in pundo o,i pundis fpeculi qua: funt a Si b,tuc erit econ*
ue rfo.Erit em diameter imaginis linea: p i, quae eft linea fq, minor diametro t k rei uifae
Si erit linea I h, diameter imaginis linea: tk, a aqualis ei, & erit lineam r, diameter ima*
gfnis linea n u,& maior cp illa. Omnesfcp imagines lineaij: iftaife rc&ajjs erunt reda:, fed
couerfa: fccundu fitu & ordine ptiu que habent ipfae res, nam dextru rei fit flniftru ima*
ginis, Si (iniftru rei fit dextru imaginis, Si flmiliter eft de ptibus qua: funt furfum Si dc*
orfum, Itecuutracj} extremitatu haijt lineae unica habuerit imagine. Si aliquod aliud
pundum in medio plurcs habuerit imagines,tunc forma illius linea: tot habebit imagi*
nes, quot pundu mediu ipfius,& o es iftee imagines copulabunt ad punda extrema ih
Itus imaginis,& erit illa linea unica diameter oim illa^ imaginu, Si fi utra qj extremitas
illius linea: ucl alrior ipfaijt plurcs habuerit imagincs,pudu no mediu habuerit trn una.
Iterum illa linea tot habebit imagines quot eius punda extrema ambo, uel faltem al-
terni fuum pundfi cxtrcmu,8<! fi utraq; extremitas uel altera plurcs habuerit imagines.
Si fimiliter pundum mediu multas habuerit imagincs,tunc tota linea habebit imagines
fccundu numcrumaiore,&: hoc patebit, ficut patuit fupra de imaginibus fpeculorn fphae
ricop: concauojK. In (peculis em colunatibus cocaufs accidit fallacia in omnibus quae in
eis coprchcndunt, ficut accidit in fpccuMs fphnericis concauis.fi do formis fpccicrp tiifibi*
Iium,& de quantitatibus,# de numero fuajt imaginum ,Si dc
conformitatc ipfap ad rcs,qua^ipfa’ funt imagines, Si dc dife
formitate litus ipfajt fecundum coucrfioneformap: partialiu
cum omnibus fallactjs qua: appropriant couerfioni,# oes fal*
Jacia funt in his ut in (peculis. praedidis fphxricis concauts,
patet ergo illud quod ^ponebatur, XXX.

Line» redae uifac non arquediftantis axi fpeculi
columnaris coneam, cuius fuperficies incidenti» fccat
axem oblique, centro uifus non exiftente in eadem
fupcrfide.uidetur imago curua diuerftc curuitatis fe*
eundum diucrfitatem uii (itus 8i conuerfa ♦

Fiat in ifto ,ppofito theoremate dilpofitio talis qua* in 28;
huius, apparebitep totum qd* ibi ponitur in his fpcculis colum
naribus concauis,pofito itacp ut aliqua linea reda non seque*
diftet axe fpeculi columnaris concaui , cuius (iiperficics in*
cidcntia: oblique fecat illum axem , fi centrum uifus fuerit in
illa (uperficie, tunc patet per 28. huius, quod imago illitis Ii*
nca: uidetur curua rcfpcdu uifus, Si conuerfa fecundum (itum
ipfilis rei uifa*, quod fi centrum uifus fuerit extra illam iiiper*
fictcm i pundo d,in quo cft illic eentnnn uifus, tunc fi i pun*
dis a g o,i quibus fit ibi reflexio, erigamur linea* long/tudi*
nis fpeculi per r 00. primi huius, inucniantur punda reflexi*
onft formaijt pundoijj m b k, patefep fecundum modum plu*
j rium pramtflaijt, quod forma pundoE?.kmb,refledct adui*
fum fecudu difpofitione fuo (itui diucrfam,# fccundu hoc di*
(ponet curuitas imaginum Si couerfio figura:, qd fi ccntru ut*

\ fum no fuerit in Ilea ppendicularitcr ereda fup illa fuperficie

A» i pudodjtuc d centro uifusducat ppedicularis fup illam fup*
fide per 1 1 . undecimi, Si inuentis pundis reflexionis formae

pundorum b m k,patebit propofitum ut prius, Si hoc proponebatur»

Forma

Forma alicuius linea: curua: incidentis uertici fpeculi pyramidalis conea*
ui oblique fuperaxem refleditur ad centrum uifusinterillamlmeam &fu=
perfidem fpeculi conftitutam a linea longitudinis fpeculi, imagotp ipffus ui<*
detur rcda,& (i illa linea incides fuerit reda.eius imago uidebiturcuruamo
dica: curuitatis, cuius conuexitas uel concauitas eft ad uifum*

Fiat difpofitio omnimoda qua in j-y. feptimi huius, inuenietur'cjj in fpeculis pyra-
midalibus conuexis lineae reda: quae eft an, propoli to modo illud fpeculum refpicien<
tis imago curua inter cocauita tem fpeculi qua elt a p y, pundu quocp quod eft fub (u*
perficic fpeculum contingentem fecundum lineam longitudinis fpeculi qua eft au e, i
qua fit reflexio forma: lineae reda: uifa qua: eft a n,ad uifum exiftentem in pundo r,erit
illic pund u k,in quo pundo f,fi fuerit centrum uifus erunt omnia punda qua funtin il
Ia curua imagine, uel qua; funt in linea reda (cilicet in diametro imaginis reflexa ad
pundu i.dC imago linex eurus qua: a p y,erit linea reda, qua: eft a n,uel imagines dua*
rum extremitati! linere a p y,er unt in linea a n,& in extremitatibus illius.Si loca imagtV
nis pundi p,quod eft in medio linex a y,diuerfabuntur,Si hoc poteft eode modo decla*
rari ficut fibi limile declaratum eft in y 5-. ieptimihuius, quoniam erh ut ibi declara tu eft,
angulus z r f eftaqual/s angulo z f r, Eft autem angulus p z h aequalis angulo t z r , per
i y. primi, & angulus t zr eft aequalisangulo z fr,per ^.primiied per eandem zp, pr i»
mi, angulus h z f eft aequalis angulo z f r.Eft ergo angulus p z h aqli$ angulo hz f, pa*
lam ergo per lo.quinti huius, quonia fiet reflexio forma pundi p, ad uifum exiftentetf»
in pundo f,a pundo (peculi pyramidalis concaui quod eft z, & quoniam linea h p o eft
katlictus incidentia forma* pundi p,&: linea f z o eft linea fuse reflexionis ad uifum exi=»
ftentem in pundo f, patet per 3 7,quinti huius, quoniam pundumo,eft locus imaginis
forma: pundi p, limiliter quoqj angulus y e d eft aqualis angulo h e r,quar g 29. primi,
eft aequalis angulo e rf, & per eandem 29. primi, angulus d e feft aqualis angulo e fr,
fcd ut in comento y 5-. feptimi huius.oftcnfum eft angulus e f r eft aqualis angulo e r f,eft
igitur angulus y c d aqualis angulo d e f. ergo per 20. quinti huius,refledkur ad uifum
exiftentem in pundo f,S pundo fpeculi concaui quod elt e/X quoniam linea y n.eft ka*
chetus incidentia forma pundi y, 8t linea fe n eft linea fua reflexionis, patet per 37*
quinti huius,quod locus imaginis forma pundi y ,QC pundum n,8i pundum accurre#
flectitur i ucrticc fpeculi, fic locus imaginisfuaeftibfdem,pereaquadidafuntfn f /,
6c 1 z.odaui huius, dC in r 0. huius, erit ergo imago totius linea a p y,curua,lineaa 0 nre
da, quoniam de alijs pundis eft eodem modo demonftrandum, quod (i aliquod uifibile
ftatuatur in loco linea reda a y, qua eft diameter illius curua imaginis linea a p y, tuc
dua cxcrcniicates linea a y, qua funt a&y, liabebunt ut prius loca fuarum imaginu iri
pundis a £c n,Ioca uero imaginis pundi medij correfpondentis pundo p, qua cadit ia
produda linea z p,SC aliorum pundorum mediorum diuer(abuntur,& fecundum diuer
litatcm cocurfus kathetorum incidentia formarum illorum pundorum cum lineis fua*
rum reflexionum fecundum quas 5 pundis linea longitudinis qua eft a ue, fpeculi ,p*
politi concaui refleduntur ad uifum exiftentem in pundo f,uel ultra lineam a o n,ucl d
tra illam, loca imaginum illorum pundoru diuerfabuntur quando cp ad concauitatem,
quandocjj ad conuexitatem refpicientcm centrum uifus, erit tamen illa concumitasmo*
dica, quoniam pradidorum locoru imaginum refpedulinea a o n, modicus eft excef*
fus, palam itaqj cx pramiffis,quod fi linea reda qua eft diameter imaginis curua q eft:
a p y, fuerit in aliquo uiflbili,8i centrum uifus fuerit in pundo f,tunc imago linea reda
pramiflb modo difpofita forte uidebitur conuexa,& forte uidebitur concaua,quodeft
propofitum. X x x 1 r-

Linea: recta: uifa: fuperficie incidentia: axem fpeculi pyramidalis conea#
ui orthogonalitcr fecante, centroc^ uifus non exiftentem eadem fuperficie*
imago uidebitur concaua mirabilis concauitatis uifum refpicientis,

PP I

Situs

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
Sit Ut in 2%h uius Iibri,ccntrum uifus pnndum 1,8; linea uifa r m y.cuius extrema
punda qua: funt r dC y,*qualitcr diftent 5. centro uifus l,fit'qj centrum uifus extra fuper
fidem line* r y ,qu* produda fecat fpeculum pyramidale cocauum arqucdiftanter ba*
fi fecundum circulum qua: fit b g, cuius centrum ficd.rcflcdaturcp forma pundi r,ad ui
fu m 1,3 pundo fpeculi g,crunt'qj punda b 8i g,quamuis fint in circulo, ut cum iimtpun
da reflexionum.crunt in duabus oxigonqs fcdionibus fecantibus fc fecundum lineam
d l,ut patet hoc per 7.fcptimi huius, & per 19. primi huius.8; quoniam quanti! ad pro*
pofitum demonitrandum non eft aliqua diucrlitas inter fpccula columnaria Si cocaua,
cunc patet quod rciterata demonftrationc i7,huius,crit locus imaginis forma: pudi r,
in pundo h,8i locus imaginis forma: pundi i, erit in pundo t, locus uero imaginis fors
m* pundi m)eritpundum s,quod eft extra reditudinem line* t h, imago itaq? linea: r
mi,eft in quadam linea tranfeunte pundo hst,fed talis linea eft curua, Eft ergo linea:
redx qua: eft r m y imago curua, 8; quoniam pundi! s,cft ultra cocauitatcm fpeculi re:
(pedu pudi I,centruuilus,8; pundum 1, eft intra illam concauitatem,palam quod pun#
dum l,cft extra fupcrficie in qua eft linea h s t,curuitas ergo line* h s t, apparebit uifui
manifeftc,8; quia pundu f, cadit in ipfa fuperficic fpeculi pyramidalis concaui extra fu*
pcrficicm circuli b g,3i linea t h eft ultra ipcculum in fupcrficie circuli b g,crit linea 1 fs
altior qu^m fupcrficics trigoni 1 h t, linea ergo 1 s,crit altior duabus lineis 1 h & h t,pun=
dum ergo s rcfpedu uifus l.cft altius qu.ftn duo punda h 8; t, linea ergo h s t, apparebit
uifui exiftenti in pundo 1 , concaua maxima concauitatc uifum rcfpicicntc , di hoc eft
propofitum» xxxiii,

Lincccrcdcc uifx non zcqucdiftantis axi fpeculi pyramidalis concaui, eu
ius fugficics incidentia: fecat axem fpeculi oblique, imago uidetur curua di*
uerfx curuitatis fecundum diuerfitatem fui ficus.

Quonia enim ut in 3 1 .huius oftenfum eft, forma linea: redae incidentis uertici lm*
sus fpeculi propofiti oblique fuper axem, imaginem cumam uifui ad quem fit reflexio re
pr*fcntat,8;pcr pr*mi(lam proxima patct,quod linea reda cuius fuperfleies incidcn*
tia: fecat axem fpeculi orthogonalis, uidetur mirabilis concauitatis uifum refpicicntis.
Si ergo inter has difpofitiones fituetur linea reda, cuius fupcrficics incidentix,ut hic
ponitur, oblique fccct axem fpeculi,patet quod imago illius lineae diucrfificabitur fccun
dum modos diucrf* curuitatis, qui accidunt hinc Si inde lineis fecundum ambos pix*
snilfos modos fituatis,cuius cofbrmis eft demonftratio cum prxmiflis,patct ergo pro*
pofitum, nec em dignum uidimus talibus immorandu , quae eft praedemonftratis coclu*
lionibus fu* certitudinis fubfiftcntiam lucide accipiunt,undc talia relinquimus animae
perquirenti. X X X II II ,

Imago lincte redae exiftentis in fuperficic fpeculu pyramidale trans axem
fccantc, ccntroq? uifus exiftente in communi fedione ciufdem fupcrficici, &£
fupcrficicifpecuhim fecundum axem fccantis,uidcbitur re<fta,quand!ocu ma*
ior, quandoqj aequalis, quandoqj minor re uifa , fed femper conucrfum ha*
bens fitum,& quandocpuna,quandocjj plurcs imagines uifui occurrent.

Fiat item ut in ip.huius, eadem difpofitio figura:, qua: fada eft in ^8. odaui Imius,
Si ergo aliquod pundu comune ambabus fuperfleiebus d a 0 & d b o, fuerit in axe pyra
midisyit pundi! 0,8; fi duae linea: a e Qi b e, fuerint ppcndicularcs fuper fupcrficics con*
tingentes py ramidem fpeculi, hoc aute eft poftibile, quia lineae a e & b e funt arquales,
ponunt enim cum axe contingere duos angulos acutos arquales, eu ergo hae duae lineae
fuerint perpendiculares fuper illas fupcrficies>8; uifus fuerit in pundo d,tuc fupcrficics
trigoni deg, in qua funt line* g e Si dc,tranfibit per tota axem per centrum uifus, 8^
utraip ftipcrficies d a 0 Si d b o,crit dccliuis fuper axem fpeculi, Si comuncs ipfarum fc*
diones cum fuperficic conica fpeculi erut du* fediones oxigoni*,8; forma trium pun
doru quae funt r b q,rcflcdctiir ad uifum exiftentem in pundo d,i pundo fpeculi quod

LIBER NO.NVS,- 244

quod eft b.formxquocp tuum punctorum qus fimc,m 1 f, reflectetur ad mTum in piuv
num d,a' puncfto fpcculi a, cum ergo lines mlf&rh q, fuerint in aliquafupcificie cor«
pons utfibilis,& uifus fuerit in puncto d,tuc ut fupra in ip.huius patuit, linea n u erit i<
mago linea: m r,6i linea c k erit imago line» 1 h,&: linea p i erit imago linea: fq,erit ita-
que imago linea: m r,qus cft linea n u minor quam linea mr,3C imago linea: qua: eft p
i erit maior quim linea f q.&imago lines 1 h quae cft c k,erit aequalis ipfi linea: 1 h. Om
nes quocp ifts imagines conucrlim habebunt fltum refpedu rerum quarum ipfsfunt
imagines uilu exiftente in pficto d,quod fi uifus fuerit in puncto 0 }di lines n u,c k & p i
qua: funt tmagfnes linearum m r,l h di f q,uifu exiftente in puefto o, fuerint in fupciftcie
bus corporum uifibilium, tunc per eandem prsmiflam rationem in 2 9, huius, imagines
illarum linearum n u,c r di p i,erut lines qua: funt imagines literaru m r,l h & f q, erit'q»
imago lines p i, qus eft linea f q,minor quam linea p i, di imago linea : c k qus eft linea
1 h,erit squalis fus lines, & imago lines n u.qus eft linea m r,erit maior ipfa linea n u,
di ifts imagines omnes crut lines lcds, & appa rebunt ultra centrum uifus quod eft in
puncto o}6i fi imagincnturcontinuaricapitaillarumlinearum per lineas n c p&bki,
erunt loca imaginum illarum linearum, lines m 1 f di k h p, puncta iraqj tftarum imagi-
num qus funt in 1 f, comprehenduntur fuper eandem lineam reflexionis qus eft a o, dC
puncta r h q.comprehenduntur fuper eandem lineam reflexionis qus eft b o.et imago
pueti rcnio*
tioris a uifii
erit propin*
quioruifuijCt
imago puns
di .ppinqufc
oris uifui erit
remotior a ui
fujcoucrfum
itaque habe*
but ficum 0«

mnes ifts imagines, quod eft propofitum, patet itaty cx his quatuor propofitionibusfl
quod lines recftx quandocp in his fpeculispyramidalibus concauis uidentur conuexs,
quandocp cocaus,quandoq} rcds,8c: quandotp maiores,& quandoCp minores di quan
docp squales rebus uifis , di funt omnes reds imagines dtfformem ficum fiabcntes re=
fpedu litus rerum quarum funt imagincs,8<; acciditin his fpcculis ficut in alljs fpeculis
numerari imagines fccundu numerum pundora reflexionis, & forte imagines eiufdem
i ci diuerfarum erunt formarum fecundum diuerfum ficum fuaru partium qus omnia
cx pismilTis principtjs poflunc faciliter declarari, hsc itaqj de regolaribus.fpcculis fufft
ciantadprsfcns. Deinceps ucro in fequentibus huius libri ad tractatum quorundam
irregularium fpcculorum comburentium ingenium conuertemus,
xxxv.

Poftlbile eft fpeculum ex conuexo & concauo compofitum fieri in quo
dextra apparent dextra , &finiftra finiftra , & multa diuerfitas imaginum
occurrit.

Aflumatur inilla magnitudine qua quis conftruere uoluerit tale fpeculum, circulus
qui fit a b g, di inferibatur ei latus pentagoni infcripttbilis eidem circulo per undecima
quarri,quod fit a b, di fimiliter inferibatur eidem circulo latus exagoni g 1 r. quarti, qd*
(it b g.eritcp per cande 1 y.quarti, linea b g, squalis femidiametro circul*,6d abfeindatur
ab illo circulo portio a e b, cuius arcus a b.per 27, terttj, eft squalis quints parti perife*
rixcirculi,8<: fimiliter abfeindatur ab eodem circulo portio gzb, cuius arcusb g cft s*
qualis lexts parti circuli, fiant quocp forms regulares ad quantitatem illarum duarum
portionu .quarum una flat fecundum quantitatem portionis a e b, qus fit cocaua,ut cft
figura quam defcripfitnus zhcfkml, altera ucro facfta ad quantitatem portionis qux

eft gzb.

PERSPECTIVAE VITELLTONIS
eftgzb,ficut conucxa ut eft figura xo p,2<! aflumatur pctia ferri redangula, cuius Ion
gitudo fit maior quam aniba: corda: a b di b g, latitudo quocg fit maior quim corda b g,
di incuruetur ferrum taliter,ut cius longitudo fit conuexitatispor»
tionis a e b,ita ut fupcrficies cocaua qua: eft k f c,fibi cxtrinfecus ap
plicctur,& eius latitudo fit in parte longitudinis rcfiduae concauita
tis portionis g z b, ita ut couexitas fuperficici x o p, fibi intrinfecus
applicetur taliter, non fiat, ne forma conuexitatis impcdimentu ac*
cipiat ex forma cocauitatis.fed in eadem fuperficie fpectili ipfarum
quaelibet imprimatur, poliaturcp (peculum ex partibus ambabus, £
pter qd* oportet ut lamina fpeculanda fit conueniemer fpiflTa, ut ex
utraqj parte falua difpofitioc reliqua ualeat poliri, hoc itacp fpecu*
lumli fup fedcm uolubile ad hanc praeparatam coponatur, Si fuper
ipfam uoluatur, ita quod nunc conucxa nunc concaua fupcrficies uifui ie offerant.tunc
apparebat dextra dextra Si finiftra finiftra, & diftant quali duobus cubitis,apparct ima
go comenfurata di fimilts ucrce forma:, magis ucro diftiiri .ptenditur imago in anterius,
propius ucro accedenti ad cSucxam fuperficicm fpccult fit imago pe*
nitus informis, di magis acccdeti informitas plus augetur, Si contra*
riaci quod uidetur, fit imago magis quam accedenti prolixior ap*
parens, di fit facies uidenris confimilis forma: equi, Si femper magis
f inclinato Ipcculo, imago apparet plus inclinata, pmutatoquoqj fpc*
culo, imago quandoq? habet caput furfum Si pedes deorfumAquan*
docp pedes furfum Si caput deorfutn, Si plus experientia quim feri*
ptura docebit imaginum diucrfitates. Quia fi conncdantur duo fpe*
cula fplmica, quorum unum fit concauum, reliquum conexum, non
moto etiam fpcculo uariaturdifpofitio imaginum,proptcr rcuclatio*
nem enim forma: reflexa: ab uno fpcculo in altera, dextra apparebunt
dextra. Si finiftra finiftra, & in parte conucxa no mutabitur litusima*
ginis fecundum furfum &fdeor(um, Sed in parte concaua uidebitur
imago fuper capita uel ut antipodes, Caula uero omniu horum in fim
plicibus fpeculis dida eft per pnvmiffa, modo quacfl tali in pra-miffo
it fpcculo pcrmifccntur imagines, & fi in cadent concauitatc lit (peculii
planum ipfis (pcculis fpha-ricis connexis Si concauis intci pofitu, ua*
riabitur imaginu quantitas, qa in planis eft imago aqualis rei iufte p
5-1. quinti huius,in coucxisucro efl minor per jp.quinti huius, In con*
cauis uero quandoq;.equalis,quandoqi maior, & quandoqj minor, ut patet p 48, oda*
vi Imius, di tale (peculum poteif taliter componi. Sit fupcrficies aliqua plana, qua: a b,£C
fiant in (pfa (pccula conucxa qua- fint a tg Si t r k, Si limiliter fiant in ipfa fpccula con*
caua qua: fint g d e Si z i r ,& fiant fpccula plana quar fint c zdi k b.ponaturep res uifa in
pundo m,qu;e a (pcculis illis ad uifum refledatur, i planis itaqj fpeculis apparent arqua
lia idola di aequaliter diftantia, di i conucxis minora Si minus diftantia, & concauis tic*

ro diuerfa di di*
ucrlimodc uifui
^ occurretia,ficut
— in alijspdemon
flratucft.Inge*
niu ucro moder
norfi di futuro*

rum addat quod libuerit, quia fuflicientcr dedimus cogitantibus principia multoruta*
lium adinuentionu,& nos qua talia digna memoria inuenimus,poftcrius cofcribcmus,
XXXVI.

A fpeculis columnaribus uel pyramidalibus concauis ignem difficile eft
accendi.

Si enim

LIBER NO N V S* 245-

Si enim in fpcculis pyramidalibus concauis fuperficiei r e flexionis, & fpeculi com*
mimis feflio fit linea Iongitudinis,non eft neceflarium ignem ab ipfis accendi ficut nes
qiicS ipeculis planis, etiam fi fuperficies reflexionis omnes feinaxe columna; interfe*
ccnt, radi] enim xquediftanter fuperficiei ipeculi incidentes, aequediftanter uticp reflem
flentur, perpendiculares quidem in feipfosaddiuerfapunflafpeculi columnaris fe*
eundum qua; cum ipfi fpcculo incidebant axem fecabant ,di ita nunquam in puflo con*
current, icd in tota linea axis diftendentur, no ppendicularcs uero radij oblique, fcilicct
fuperficiei fpeculi incidcntes,quoniam fecundum angulos quos faciunt cum perpendi*
culari dufla ab axe ad lineam longitudinis quas eft communis feflio fuperficiei reflexio
nis, di fuperficiei contingentis columnam, aa partem alia in eadem fuperficie i difla p«
pendiculari reflcfluntur,patct ergo, quia fecundu quodxqucdiftantes ad inuicem inci*
dunt.ficquafi asqucdiftantes ad inuicem reflefluntur, & non in ptinflo,fed in linea con*
curret per 29. primi. Quod fi dicatur quod aliqua fuperficies reflexiois feinaxe coi ima:
no in tcrfecer, fed fintasqucdiflatcs, qd eft impofTibileutparetp 7.feprimi huius, palatii
eft quod in cis reflexi radij nuncj concurret,!? ucro feflio comunis feipficici reflexiois, di
fuperficiei columna: fit circulus, tunc per cius ccntru tranfeuntes radij, qni omnes fune
perpendiculares fuper fuperficies con cingentes in punflis fu» incidentiayir per 2 i.fe*
ptimi huiusjoftenfum eft, tunc patet quod omnes refleflunturin feipfos, di concurrent
in centro circuli illius flue fit baffs columna: ipeculi fiuc fit circulus bafi tcquediftantis,
hoc autem centrum erit femper in axe, & funt tot centra talium circulorum in axe, quot
funt circuli in columna, ad unu ergo punflum non reflefluntur radij totius fuperficiei
ipeculi columnaris, fed ad totam axis lineS, quod fi radij reflexi fecundum circulum no
tranfeunt centrum circuli,tunc fecundum angulorum incidenti^diucrfitace fiet durer*
ficas reflexionis ad femidianietrumcirculi,non fiet concurfus in centro circuli radioru
fed in tota fcmidiametro,&! fic ignis difficiliter accedi poterit, ficut etiam prius diflum
eft in fpcculo (phxrico concauo,ut patet per ultimam oflaui huius,quod fi communis
feflio diflaruin duarum fuperficierum fit feflio columnaris, tunc radij pauciflimi con*'
current, patet ergo quod non eft poffibile omnes radios fuperficiei fpeculi columnaris
concaui in unum locum ucl etiam in unam lineam aggregavi, & ob hoc pauci ant iquo*
rum tali fpcculo pro combuftionibus funt ufi. Ex fpcculis etiam pyramidalibus lumen
aggregari 8i ignem accendere non eft neccilariu, quamuis adhxc multari! acclinetur
imaginatio , cu*

Ius caufa eft, eja
in talibus fpccu*

Iis communis fe
flio fugficiei re*

flexionis & fuperficiei fpeculi non poteftefle circulus alius,necbafis, nec tcqucdiftans
bafi, propter hoc quod prius diflit eft, fit! patet per fecundam huius,in nullo ergo eucn*
tu poliunt radij a periferia circuli in centro concurrere, ficut aliqualiter accidit in fpccu
lo columnari, quod fi feflio comunis fuperficierum diflarum fit linea longitudinis fpe*
culi, quoniam fuperficies fpeculum contingens contingit in linea longitudinis.tunc ac*
cidet in his fpcculis ficut prius diflum eft in planis di columnaribus fpeculis,radij enim
incidentes ucl quofcunqj angulos fecerint cum linea longitudinis cofdcm facient cu ea*
dem reflexi, di fic radij incidentes acquediftant, di xquediftanter reflefluntur, non ergo
concurrent etiam fi fint in cadent fuperficie rcflexionis,& fi in diuerfis fint fiipeiffc/ebus
patet quod non concurrent nili in axe,quia fuperficies reflexionis fe fug axem pyram i*
dis interfecant,& tunc concurfus radiorum fiet in linea non in punflo. Si comunis fe*
flio fuperficierum diflaru fit feflio pyramidalis,necadhuc omnes uel plures radij ciul*
dem fuperficiei uel dtuerfarum aliqualiter cocurrent, nullo ergo modo radij incidentes
pyramidali fpcculo omnes, uel plures ipforum , uel etiam pauci in punflo tino poffiint
concurrere, ut aliquid ignitioni refiftcns ualeant ignire, nec etia pluralitas contundo*
rum fpcculorum aliud ualidu refpeflu laboris fuperadditi apportabit, patet ergo illud
quod proponebatur,

qq Ex plu*

PERSPECTIVAE VITELL10NIS
XXXVII.

Ex plurium fpcculorum fphjcricorum concauorum interfedHone ipecu*
Ium comburens conftitui cft pofTibile.

Verbi gratia. Sit circulus alicuius fpeculi fphcerid concaui, qui a b e d,& cius centru
e,intcrfecentcj$ fc in ipfo duo diametri a c & b d.orrhogonaliter, incidanfcg radi) folares
in circulo , palam itaq; per ea, qua: in ultima odaui huius dida funt,quonia radius in*>
cidcns circulo fecundum aliquam diametroru,uerbi gratia, fecundum diametro a c, re=
fleditur inftipfum trans centrum radiorum non a-quediftantium illi diametro a c,qui
contingit circulum, palam quia incidit in pundu b, per zp.primi, angulus enim quem li
nea contingens cotinet cu diametro eft redusp 1 7. tertij, di angulus b e a cft redus ex
hypothefi,& ille ergo radius contingens circulum no refleditur, quia nihil inuenit refi-
ftens,,pceclit ergo in cotinuum di dircdiJ, alius uero radius a-qucdiftas diametro a c, cu
linea in pundo ftite incidentia- fpeculu contingente)continct angulft redilincu acutilli
mum,& modicam abfeindit portione circuli,incidens di modicum fe re*
fledens ,fcd tequalit. Sic itaq? omnes radtj a-quediftantcs diametro a c,
- incidentes circulo fpeculi .aquales abfeindunt circuli portioncs,fcmpcr
enim angulus reflexionis cft aequalis angulo incidentia:, illi aut anguli
a-quales femp aequales abfeindunt portiones p 43 .primi huius,folus aut
A radius incidens circulo scquediftantcr diametro a c, abfeindens portio*
—S\ nem, cuius arcus cft iexta pars periferia: circuli,8t cuius corda cft a-qua«
j lis lateri exagoni inferiptibilis eidem circulo refledit ad pundu c, ter*
' minum diametri c a.Eft em diameter a c,aqucdiftans medio lateri exas
goni fuo circulo inferipti, quem exagonu diuidit illa diameter p a-qua*
lia, ut patet p <5 3, primi huius,fit'cj3 ut talis radius incidat circulo in pun-
do 1, omnes quoq; radij a-qucdiftatcs femidiametro a c, incidentes rcli*
quo arcui quartae circulijcuius corda eft aqualis refiduo alteri exagoni, di cft arcus f c,re

/ fleduntur ad illam partem circuli portio
) nes aquales ablcindentes di omnes illi ras
Gdtj tranfeunt per aliquod pundum forni*
diametri ce, & quodeunq? pundu refle*
xionis imaginetur moneri circa axem
a c, quoufqj redeat ad locii i quo exiuir,
illud pundu motu fuo deferibet circulus
cuius polus erit pundum c tdi i tota illius
circuli periferia, Het reflexio ad ide pun*
dum (emidiametri fpeculi ejua eft c c,
fictcp in illis pundis diametri combuftio
oppoflta aliqua materia combuftibilis,
fed debilis di cum mora temporis, qtf fle
fleri poffit, ut loca plura cobuftionis ucl
omnia in unu pundu congregentur flet
fortior cobuftio.Hoc auc uifum cft polfi
bile fleri per interiedione Ipha-rica plu*
rium fpcculorum fpharricoi^ concauo*
rum.non aut ina-qualium,quia in illis no
conuenicntcr uniformis poteft inucniri
^pportio. Relinquitur ergo qcf a-qualiu
fpcculoru fplucricoru fit illa interfedio,
ita ut illud quod uariat in locis cobufti*
onumdiuerfltas diftantia: radioruteque?
diftantiumaxi fpeculi, di ad ipfam axem
teflcxaijt coformct diucrfiffcat/o ccntroru.Ut fi centra fplu-rarfl fpcculoru fc intcrfecan?

tiun\

1 " ~-rf : 1

4 E

17 3

XI

V. _ -,-J

LIBER NON-VS. »41?

tfum fccundu omnia punda unius femidiametri fpharrx uaricntur, tue enim puda com.
buftionis aut ola aut plurima in unum pundu colliguntur, & fortificabitur cobuftio Cc>
cundit illud. Huius autc rei mcechanicii artificiu tradendu cogitauimus illis.g g manua
lem fabrica intendere uoluerint prarmiffis, cuius forma talis eft. Afliimat regula lignea
uel xnca quadrangula planar* fuperficieje quata placet,& fic eius latitudo tripla erit fux
(piftitudini uel circa illud, deinde in medio fuse latitudinis cauet fccundu linea reda, 8C
planct foramen, & ordinet taliter, ut intra ipfam decurrere p olfit nauicula admodu arti
ficij tornatoru, in qua nauicula uncus ferreus infigatur, & hac regula fic concauata SC
difpofita,taIiter lituetur ut cius cauata fugficies fitereda fug fugficiem horizontis,& h'*
near profunditatis fuarconcauitatis fint gpcndiculares fuper fuperficie horizontis, fitep
linea g motu fuo deferibet uncus motar nauiculx xqualis femidiametro ,ppofiti circuli,
quar eft e d, ita q> pundu e cadat in intrinfeca fuperficie ipfius unci ferret, qui motu na*
uicular cui infixus eft mouctur. Deinde affumatur alia regula lignea uel arnea limiliter
quadrangula ut prima,8C planarii fuperfleieru, &hxc limiliter in fui fugficic latiori ca*
uctur fubtiliter fccundu lineas redas, fini planent fuperficies cocauitatis ita ut fine fmpe*
dimento R illa concauitate poflit alia fubtilis regula uel funiculus moueri,Sit'q! concauk
ratisillius regula; dupla Iinearcd,hoc eft ut fitarqualis diametro circuli q eftac,& liare
regula cit priori regula taliter adaptetur, ut eius fuperficies no concauata arquedtftet ho
rizonti, 8i eius fuperficies cauata refpiciet cauatura regulae prioris, & ordinetur ortho*
gonaliter fug illa,ita ut angulus d e c fit redus, & fit medius pudus longitudinis fuar co*
cauitatis corrcfpondens pudo e,qui eft pundus unci ipfius nauicular, 8C fint omnia liare
in eadem fugfidearqucdiftante fuperficiei horizontis. Fiatcg tertia regula anca longa
quadrangula^ fuperficicp: planaru 8C redarii linearu,q fite f g. Sitfcjj eius pars e f aqua*
lis fcmidiamecro circuli q eft e c,fit'cg taliter difpofita.ut g aliqua armilla uel forame ap«
plicetur unco nauicula fccundu pundu e, & ut ipfa moucri polfit per cocauitate linex
a c,fit'ca in pundo f nodus, cuius diameter fit maior diametro concauitatis regula a c,
fiatquoq; reliqua pars linear e f g qua eft f g,logitudinis placit^ cuiufcuq?,& in pud o g,
adhibeatur clauus acutus in fine, qui fit illius quantitatis, ut mota linea c fg, attingere
poifit pauimentum uel illam aliam fuperficiem fubftratam.His itaq; omnibus fic difpo=
litis Imittatur regula e fg, fecundum foramen pundi e, in uncum nauicular, 8C traha*
tur nauicula plane per cocleam uel modoalio utuidebitur, plano tamen 8( xqualirra*
du,3C fcquitur regula e fg,tradum nauicatadecurrefcp pundus £ in fuperficie rcgulx
a c.fiC femper mutabitur centrum circuli, cuius diameter eft Jinea e t, curri ita cp pudus e,
peruenit in pundu d,tunc pundus f, eritin medio pundo lihex a c,quod eft centru cir*
culi pmilfijomniumcp pundoi^ reflexionis lineis uel quarucuncp formam i quarta cir*
culi qux eft c b.concurfus radioru ueldifFufx uirtutis erit in centro circuli qcr eft c.qjn
omnia puncta combuftionu concurrentia in axe e b,reduda funt ad pundue.quod eft
centru circuli,utpotc omniu radioru incidentiu circulo fpeculi arquediftanter diametro
ac. Similiter quocjj fi placet fiat in alia quarta circulidcfcedenteplaneipfa nauicula re
ducendo pundu f ad pundu a,tuc em pundu g.Iinear f g,motu fuo deferibet quandam
lineam per clauum libi affixum in pauimento figuralem, & hanc linea dicimus lineam
ccentralcm,qm eft interfedio infinitoru circuloru.quilibet em pundus illiuslinear.exce
ptis pundis extremis corrcfpondentibus pfldis a & c, ipfius diametri a c,SC quibuslibet
duobus pundisxqualiter diftantibusl pudo medio totius linea eccnti alisdiuerfo eor
refpondet centro, ucut 8C qualibet duo puda xqualiter diftantia i pudo fui medio refpi
ciunt idem centru, 8C funt p fida unius circuli alterum circulu fecatis, hac ergo linea ad
conftitutioncm propofiti fpeculi utemur fccundu ipfam aliquam fpecularem fuperficie
cocauantes, ficut g modii dcmonftrationis 8C artifici) inferius dicet,patetergo ,ppofitu.

XXXVIII.

Ex interfectione plurium Ipeculorum pyramidaliumcocauorum ignem,
cftpoffibile accendi.

Quod hic pi oponimus primum foit, quo duobus harum rerum fcientiam perqtiiren
ribus occurrit, dC in cuius rei inwcnt/onc primo animus nofter coquieuit, quia fic fi non

qq x ad

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
ad unutnpuntfum mathematicum, adimam tame pundu naturalem modicam Si quas
fi infenfib/lem latitudinem habentem radtj unius totalis fupcrficiei poliunt faciliterag*
IA gregari, quae nobis uero poftea occurrerat ualidiora funt.Nihil tn

J i irtoru duximus ptermittcndit,ut poftcrioijt animi altius excrefcar,

fj I pfenti itaqj demonftrationi opus ipium moechanicu duximus alis

/ 1 \\ qualiter immifcendB, nihil tame de dcmonftrationis fubftantia ob

/MI mittentes. Afliimatur ergo quacucp pyramis qua fit a bcd,cuius

j // j\ uertex fit pundum a , fintqj linea: longitudinis illius pyramidis a

1 II li b& a c}Si fit axis ipfius linea a d,qua (it exempli caufa partes iS.

1 II |\ fecundum quod diametri circuli fute bafis qua eft f b c c,eft partes

• II \ \ <S.crit'qj per 89. primi huius, pundum d centrum circuli.qui eft ba*

I7/ fisipfiuspyramidis.infcribaturi^circulobafislinea aqualis fcmin

\uj 1 \ diamctroipfiiispcrprimamquarti,quafit fc. Sitcp aliqua diame*

y/j / 1\ ter in circii fo aquediftans iuferipta linea:, quoniam diuiia linea f e

j| j I \ \ per aqualia cx decimo primi,producatur i pundo diuifionis, qua:

llxi' '£ 8’ PerPcn<dicularis fuper illam lineam cx undecima primi, hac

jl/Tj / *v\ quoqj tranfibit per centrum circuli per tertia primi, producatiucp
■ \\ linea illa ad utranq? partem circunfercntite& fit bc, extrahatur cr;

\ I -8° perpendicularis i centro circuli bafis quod eft d, fuper diame*
\ I / 2 ^ trum bc,qua fit dh, Si producatur ad parte aliam circuli, fictcjj dia*

\l/ \/ ■ meter qua: fit h k aquediftans linea: e f, per 1 8. primi , producan*

turcp i pudis h Si k,dua linea: longitudinis pyramidis ad ucrrice
qua fint h a Si k a, producatur quocg J pundo c, linea aquediftans
linea: ha, ex 3 1. primi, Si concurrant produda linea: in pirndo x, concurrent autem
ideo,quiaipfarum aquadiftantes qua: funt ka & h a.concurrundn pundo a, inter du*
1, as ergo lineas e x 8i f x.cotinuata plana fuperficics & termi-

nata ad lineam fe,qua fit trigonum fex, palam quoni5 in*
terrecabitpyramidem.Eritcu triangulus x f e.propter aque*
diftantiamlatcrum aquediftans triangulomagnoin pyra*
m/de, qua: eft a h k, Si ficut triangulus a h k, ditudit pyrami*
dem per aequalia, eo quod fit duabus lineis logitudinis Si di*
a metro baliscontentus. Sic etiam triangulus x fe, aliquam
pyramidis reiecat portionem, ablcindatur ergo hac portio
i tota pyramide, quoe (it 1 f b c g,cruntcp linea: 1 f Si 1 e, per 98.
primi huius, partes aequales unius fcdionis conica’ qua eft
c I f,diuifa per aqualia in fui fupremo pfido quae eft 1,-ducan
tur ergo linea’ reda* qua’ fint 1 c & 1 f,Si fint aqlcs, linea ue*
ro 1 b, qua eft pars lineae longitudinis pyramidis,erit mino*
ris quantitatis qualibet linearum 1 e 8i 1 f, Eritcp linea bg, Ii*
nea profunditatis huius portionis.linea ucro f e, linea latitu*
dinis, & linea lg,la tus portionis cred um aquediftans linea d a, qua eft axis pyramidis.
Expedit ergo ut operi mccchan/co confulentes noticiam harum linearum omnium per
quiramus, (opponentes ea qua: incordis Si arcubus funt probata, palam autem cx pra
miftis quonia linea f e, qua: inlcripta circulo, quia eft aqualis eius femidiametro,eft par
tes «So.fecimdirquod diameter circuli eft ixo.arcusergo f e.fimillter eft 60, fecundi! qd*
circulus eft 3 (So.ducatur quocp linea: b f Si b e, Si quoniam diameter b c,diuidit cordam
f e, per aequalia Si orthogonalitcr,patct quoniam linea: reda f b Si b e aquales funt, per
4.primi,crgo arcus fbSibe funtaquales,pcr *7,terttj, arcus itacp fe,d/uifus eft \> aqua
l/a in pundo b, ergo arcus fb eft partes 30. corda ergo fb,cft 3 1. partes, tria minuta.
Si 3 o. fecunda, fcd quoniam linea fg, eft medietas linea f e, qua fint 60. patet quod li*
nea fg.cft 3 o. quadrentur ergo cx 4y. primf, linea f b,8i fimiliter linea f g, Si quia qua*
dratum linea fb, in triangulo f b gjfubtcnditur angulo redo, palam cx 4<s.primi, quia

quadra*

LIBER NON VL *4T

quadratu lincx f b,ualct ambo quadrata linearum f b dC bg, ablato ergo ex quadrato f
b, quadrato fg,remanet quadratum bg, extrahat ergo radix quadrata Mus refidui, 6C
ipfa eft quatttas llcae bg,a fecudu q> eft linea fg & 3 o.gtes,& ipfa 8.gtes 2. minuta 29.
fecunda, fecundum uero quod diameter b c eft partes 6. di femidiameter f e, partes 3. 8C
linea fg partes S.&: 30. minuta, erit linea bg 24. minuta, & 6.fecunda, prout cx tribus
notis quartum ignotu perquirens auxilio 2o.,ppo(irionis 7.di» r.

I/gens inquifttor facile poterit inuenire,qm uero linea g 1, ere*
da icqucdiftanseft axi pyramidis quas eft d a, patet ex 29.pi' i*
mi, qm trianguli dab Stlgl b funt asquianguli.crgo per 4. fe*
xti, erit ^portio lineae d a ad lineam g l,ficut lineae d b ad linea
gb, ergo per KS.quinri.eric permutatim lineae daadlineamd
b,ficut linea: 1 g ad linea g b,fcd linea d a,fecupla eft ad lineam p"”
d b,cx liypocIic(i,crit ergo linea 1 g,fecupla linea: bg, patet er*
go,qm linea 1 g.erit dua: partes. 24.minuta. 3 6, fecunda, fecun
dum quod linea d a eft partes. 1 S.fecundu quod in triangulo 1
b g, angulus 1 b g eft redus, ga Iatusg I queadmodu linea d a,
orchogonaliter eredum eft fuper fuperficie circuli balis pyra*
midis p 89. primi hui9>& p 8. undecimi, patet ergo ga quadratu freas lb,ualet quadrata
ambarum lineae I g bg,ex 4<J.primi huius, coponantur ergo quadrata & aggregati
radix quadrata extrahat, & ipfa eft quantitas lineas 1 b.qusc fecundu ppofitum numera
quo femidiameter balis eft 3, partes, erit dux partes, i<5,minuta. 3 y.{ecunda,&: quiali*
nea Ig.credaeft fiiper fuperficie balis pyrarm'dis,palamex diffinitione lineasereda: fu*
per fupficie,qm iplam ci¥m lineis g f & g e, angulos redos facit, (icut etia cum omnibus
lineis indida fuperficie produdis, quadratum ergo lines e 1,
reda: quas in triangulo redi linea:, quas eft e g I, angulo redo
; e. Contundis

opponi tur,ualet quadratum lineas 1 g & lineas g e. »
ergo illis quadratis ipfius quadrari extrahat radixA patet <^d
linea reda quae eft 1 e, eft duas partes. yo.minuta. 1 9.fecuda,&y/
quia per cade quadratu lineas redlx qua: eft f 1 , ualet quadra*
tum lineas fg.quas eft aequalis linea: g e,di quadratu linea: 1 g,
patet quia linea Ifeftasqualis linea: e I. Erit ergo linea fi duae,
partes, j-o. minuta. 19. fecunda .habet itacp noticia omniumli* \
nearum portionis pyramidis ailiimpta: neccftarte operi pras*
fenti.Cu autc difficile lit alfumi pyramide ^polito copetente,
qm oportet ut ipfa tota elfet concatta folidi corporis denfi 8 C
polibilis pro fadura ipeculi.ut prius didum eft, & ab illis diffi
cilis fieret abfeifio , fumciat ipfam habere mathematicam in imaginatione. Cum ergo
ad opus fpcculi libeat .pcedere, fiat de corpore poltbili albo, utpote argenteo uel ferreo
bono portio pyramidis concaua.fit ut bafls illius fedionis fit portio circuli, qui eftba-
fts imaginata: pyramidis,cuius corda funt medietas diametri imaginati circuli, & eft lt*
nea f e,crit'cp partes tres,finus uero uerfus qui g b,fit fecundum illam quantitate. 24. mi*
nuta. 6. fecunda, qua: eft linea ,pfunditatis acceptas fedionis,& forte qn .ptrahitur afft*
milatur fagittas,fecund3 quod illas line* corda: & arcui fimilantur, Qi erut linea: e b 8C.S
1 reda; aequales, di ipfaip qua-libet eft duas partes yo.minuta 1 9. fecunda, erit linea ) b
dua: partes. 26.minuta, 3 y. fecunda, fecundu didam quantitate, quas omia fibene men*
furata fuerint, patet qd* habet portio pyramidis, cuius circuli balis diameter eft partes
6.QC axis pyramidis partes » S.eritqj talefpeculfi latius quam fit longu,& in breue fpa*
cium radios plurimos congregabit, qd* fi axem pyramidis imaginatus fueris 24.par*
tes, fecundum quod diameter eft partes d.tunc erit linea lg,4.partes di longius radij ,p
tenduntur, eruntep ex ha?s linea?- noticia, di ex notitia linea?- eg & g f quarum notitia
fupponitur,co quod funt medietas femidiametri, omnes alte linea nota: componenti
quadrato linea?: notaip,& radicem lateris oppofiti redo angulo extrahenti^ minoru

qq } taliu

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
talium cft inffnita.eo quod fecundu omnem numerum axem pyramidis accipi eft pofli*
bile, dia metro tn circuli bafis no mutata fecundu numerum, di fi mutetur fecundu quai»
titare parttum numeratas-, certitudo ergo numero^ operationi indagatoris folicitire*
linquat, finusein uerfus di medietas femidiametri circulo inferipto femidiametro, fccu=
dum que fit bafis portionis abfciflo.no poterunt uariari,ex quopi noticia ad aliaru linea
rum noticiam poterit ,pcedi. Quod fi radios ad longam diftantia aggregari placuerit*
ex quo tn uirtutem f pforum debilitari patulu eft,nifi quantitas aggregationis quantitas
tem uincat diftanttae, illud erit in exceflu pyramidis lateris eredi lpfius. f.axis pyramis
dis refpedu femidiametri bafis, &: femidiametri bafis refpcdu finus uerfi,poteft ergo fi
placet circulo bafis inferibi medietas femidiametri.hoc aut cu fit ptes 3 o.fccundu qd to=
ta diameter cft partes 1 10, fi ex notis notum extrahatur, inucniet arcus fibi corrndensin
circulo, 28. partium, y7- minutoru. 2 1 .fecudap:, qui ex 29.tertfj.fi per a:qualia diuidatur
erit medietas ipfius 14. partes, 28. minuta, 4o.fccunda 3 o .terti», fecundum qd1 circulus
eft 3 60. cuius arcus cordam operans inucniet 1 y.partcs, 7, minuta*, 1 3. fecunda, 2o,tcr<
tia,fccudii quod dia meter eil 1 lo.fcmidiamcter quoq? partes do, fed quod diameter cft
partes 3.erir4j\mmuta,2 1, fecunda 40. tcrtia,fit'q; latus f b,fed linea f e inicripta circu*
Ioa*qualis medietati femidiametri, perdiametru orthogona liter fuperftantemcfcx 3.
tertij, diuidit per tcqualia in pundo g, ergo linea fg cft medietas lineae f c, qua* eft pa rs
di 3 o.minuta, linea ergo fg.eft 4y.minuta,quadratuitaqjfg, auferarurex quadrato fb
di relidui extrahat radix quadrata, di erit linea bg, qua* cft finus uerfus ipfius arcus fe,
j-. minuta, 4 2. fecunda 4/3. tertia, cuius immutabili hac polita quantitate numerati axe
pyramidis quociicpin numero di quantitate uariata diametro bafis d.partiu,cuiufcucp
quantitatis exiftentis, omnes linea: ablcifa: fedionis, ur prius operanti poftimt faciliter
imicniri.Fabricata itaq? fedionc pyramidis fi placet ex ferro competentis fpifiicudinis,
meniiiracione’qi fada lineate pramiflarum in illa fecundum proportionem axis ftnagi»
nata pyramidis,^' fecundu diucrfitate linea bafi infcripta,quam fieri poffc diximus ie-
cundtl qtiantiratc fcmidiametriucl medietate ipfius,ut fecundu hac quatitas finus uerfi
di tota .pportio uarietur,planetur fpeculu intrinfecus ne partes partibus multum pra*
mineant quancu cft pofiibile.Quia uero di fi hoc fpeculum fecundu ultimu poffibilita*
tis poliretur, tn quia cft pars pyramidis, omnes radtj ipfius ucl plurcs ad unum pundu
aggregari elfct impoilibilc.utpatct per 2 C>. huius. Oportet ergoame politione comple
tam aliam libi adhibere medelam, f. ut in co fiant diuerfaru interfediones pyramidum
quod per tale artificium poterit coplcri,qm ciri in aflumpta pyramidis portione, trian-
gulus I b g,qui continetur i lineis intra fedionc affumptis, cft notorii laterum, a*qualis
citriangulus in aliquo plano deferibatur, qua* fit item 1 b g, qui fi duplatus fuerit, ,ptra*
do latere I g,quoufq? linea g m,fit aqualis linea: g 1,& compleatur triangulusl b m,pa»
lam quod (iue fit orthogonius fiueampligonius, liucoxigonius,quia ex dodrina .94*
quarti, circulus fibi poteft rircurnfcribi,circumfcribatur ergo, quod ut facilius fiat, afiii-
mattjrpriordifpolitio.f.utlineabg.fir 24 minutorum, 6, fecundorum, 8i linea lg, a.
partium, 24,minutorum, xiS.fccunaoriT,crit'cpl g,fccupla linea: bg, ^ducatur ergo linea
b g, in continuu di diredum ad pundu p, donec linea gp fit fecupla linea: lg, erit ergo
proportio linea: p g ad lineam g l,(icut lineatg 1 ad lineam g b,crgo per 1 «S.fcxti, illud qd
h>cx dudu lineae gp in linea gb, erit aquale quadrato lincte gl, fcd quadratum lineae
g I, arquale eftcf quod fit exdudu lineae g I, in lineam g m, quia linea 1 g,cft aqualis Ii»
ncargm. Illud ergoquodfitcx dudu linea pginlineamgb,cft aquale ei quod fit cx
dudu linex 1 g in lineam gm, ergo lineae pg di 1 m, in circulo aliquo fc interfecant ex
eonuerfa 14.tercij.fed lineap b.fecat lineam Im per aequalia, di orthogona lirer ei fupers
ftat ex prius datis,tranfit ergo linea b p, per centrum circuli cx prima tertij, qua: diuida
tur per dodrinam eiufdcm per aequalia, di erit in pundo diuifionis centrum circulicir*
cumfcriptibilis triangulus 1 gb, di erit diameter circuli qua: eft linea b p, 14. partes, y 1
minutum, 42, fecunda, cuius medietas cft 7. partes 2y. minuta, y 1 , fecundu, di eft pun=>
dius ille poft completam fabricam locus aggregationis radiorum fpeculi fecunduq»

didam

LIBER NON VS» 248

didam difpofitionis quantitatem, pncter quam modicu quod pd/tur m limando, quod
fi bafi ciufdcm pyramidis infcribatur medietas femidiametri axe pyramidis exiftente
18. erit linea bg.y. nunuta.42. fecunda.44. tertia,cuius fecuplum eft latus lg, quod e*
rit. 34. minuta. 1 6, fecunda. 24. tertia, cuius item fecuplum erit linea g p, 8i /pia erit. 3*
parces. 2 ^minuta. 3 8. fecunda, 24. tertia, a duda ergo linea b g, erit lineabp. 3» partes
3 1 minutu. 2 i.iecudir.8, tertia, cuius medietas eft parstma,45-.minuta.4o.fecirda.34.ter
ti a,& eft pumftus ille locus aggregationis radiorum fpcculi fecundum talem quantitas
rem diipoliti, prarter illud quod deperditur in limando. Similiter etiam, eft in reliquis
formis fpeculorum fecundum quantitate uarias acceptorum, & femper fecundum pro*
portionem axis pyramidis refpedu diametri bafis ,8c femidiametri refpedu finus uerfi,
fit diuerfitas elongationis pundi aggregationis radiorum i fpeculo, qui fecundum eum
dem modum eft in omnibus perquirendus. Aflumaturergo pars circuli circumfcri*
b entis triangulum 1 m refccetur fecundum lineam b p,qu* eft diameter, 8i deinde

ducatur 3 centro illius circuli qu*.fit q, linea q I, & refecemr circulus fecundum illam,
remaneatep q 1 b fodor, in quo poftea fiantinterfediones triangulorum diuerfarum py
ramidum huiufmodi,qm enim angulus lbg.eft angulus femicirculi.patet ex 1 5-, rerttj>
qm tpfc eft maximus omnium angulorum acutorum, ergo eft maior quolibet angulo
trianguli cuiuslibet pyramidis,refecetur ergo ab /pfo angulo alicuius triangulfcuius Ia ,
tus tertium a centro circuli pundo q,produdam rationem angulum contineat cum li*
nca b q.qu* eft lemidia meter circuli, producaturcp 3 pundo b, linea fecans arcum b 1,
prout uicinius poflit pundo b,& fit arcus refedus b t.Verum adhuc Ipundo b, ducali*
tur latera aliorum triangulorum interfecantia arcum b I,& fint loca interfedionum c d
c f I,cruntc|3 linea* produd*,qrn angulum acutum continent cum linea b q, omnes corl
currentes cum linea 3 pundo q,orthogonaliter imaginata erigi, qua fit qs,uc patet per
14. primi luiius, facicncq* triangulos, includentes femper altioresipfis triangulis incluf
fis ex 2 1, primi, fint'cjj omnium illorum trigonorum fuperiora punda fignata per no*
tam 3. quorum triangulorum quilibet fi moneatur latere eredo fixo manente, deferi*
bct.pyramidcm rotundam, & pars motus partem pyramidis efficiet axi copulatam, S£
pars trianguli rclcda caulabit partem pyramidis habentem proportionem ad totam
pyramidem, ficut pars trianguli ad totum triangulum, & ficut partialis motus ad totum
motum, qm uero patet per fecundam huius, quod in fpeculo pyramidali concauofecS
dum lineas longitudinis pyramidis fit reflexio, /ta quod angulus quem facit radius in«
cidcns cum linea longitudinis fpcculi,eft *qualis angulo renex/onis.f.e/ quem fac/t ra*
dius reflexus cum eadem Iinealongitudinisfpeculbutfitfiipcrlineam longitudinis py*
ramidis alicuius fpeculi qua: flt a b,veflcdatur radius e c,a*quediftanter femidiametro
bafi incidens quae fit b d, patet quia angulus e c a, aequalis eft angulo d c b,qih em ut pa=
cct per 20. quinti Iiuius,quofcunc[3 angulos facit radiusincidens cum perpcndicularie*
reda luper fuperficicm contingentem fpeculum in pundo incidenti*,eofdem facit ra*
dius reflexus cum eadem pcrpcndiculari.uniuerfalitcr enim angulus incidenti* cftx*
qualis angulo reflexionis, Rcfumatur ergo ql b,fedor,& eius trianguli, quia quod de*
monftratum eft in pyramidalibus,uerum etiam eft in triangulis caufantibus pyrami*
des. Incidit ergo ipii fcdori in pundo t,radius tequediftans line* q b,qu* fit h c. Erit
ergo angulus incidcntiac,qu* eft h cs, aequalis angulo rcflexionis,fedangulus h c s,ar*
qualis eft angulo q b c.qtiia per 2tj.primi,cft angulus h c s.tequalis angulo q b c, & an*
.gulus q b c,eft per 5-.primi,*qualis angulo qcb,ideo quod lateraqb & qefunt aqualia
per diffinitionem circu!i,crit ergo angulus reflexionis aequalis angulo q b c,e rgo linea
reflexionis arqualis erit lineae q b,pcr «S.primi fecundum lineam ergo q t, fit reflexio in*
cidcns,ergo radius in pundu b, reflexus 3 pundo c, concurrit in pundo q, quia 3 pun*
do c, aliam lineam aequalem lineae qb, continentem cum linea bc, anguium aqualem
angulo q b c duci eft impoffibile. Similiter etiam angulus incidenti* qui eft k d f,*qua*
lis eft angulo reflexionis,fed 8i idem eft *qualis angulo q b d, fecudu premiflum modii
deducendo ex 2?, primi,ergo angulus q b d, Qi angulus reflexionis radtj k d incidentis

funt

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

furit a*quales,ergo fecundi! lineam q d fi t reflexio, Similiter aute
cft 6i in alijs dcmoftrandum, patet ergo quod omnes radtj inci?
dentes in punda (cdionum fadaje per latera trianguloru pro»
dudorum i pundo b,ucrfus axem q s,rcfleduntur ad pundum
unum, quod eft ccntrfr accepit circuli, & quia fcdiones illa: fieri
poliunt quali infinita: ab una linea fic ordinata in fcdorc ad unu
pundum mathematiciXaggrcgationcs aute radiorum fiunt qua
li infinita:, haec ergo demonftratio patet , quod omnes radij inci-
dentes putidi b e d,ef !,reflcduntur ad unu pundum, qui efl q,
1? portiuncula: pramincntcs.utd o e auferantur, rcgulabut ter
mini cd &cf,interiacentes lincas,ita quod reflexio ab illis fada,
non multu diftabit i pundo reflexionis qua: efl: q,I3rit'cjj aggre«
gatio omniti radiorum totali linea: b 1 incidentia ad unum pun?
dum fenlibilcm naturalem in circuitu pundi q, liare ergo linea
b l,motu ftio fupcrficiem fcdionis pra:aifumptai pyramidis fupe
ritis liniando & cauando ,pducet,a qua tota fiet reflexio ad pun=
dum unum naturalcm,ut inferius docebitur, patet ergo propo?
litum, faciunt enim illi trianguli motu fuo pyramides fc inter
fccantes.

XXX

Si fedionem parabolani linea reda conti
raturreda perpcndiculariter fuper diametr
curfum cum cotiiigcntc , erit pars diametri
periferiam fcdionis aequalis parti nucriaccn

v 1

IX.

ngat,& a pundo contadus du*
um fcdionis procludam ad co-
intcriacens perpendicularem &
ti fedionem & contingentem.
Sit fedio parabola, cuius no?
men prius libro primo in comcn#
to propofitionis 9 8. expoliamus,
qua; fit 1 a g.cuius latus rcdum fic
\ I g, 8i diameter a d, contingatcjj
- F, hanefedione in pundo b, linea

Ibi

M

[

H

M

\/ reda,cjua: lit h b k,cocurratcp di
. b a nicter, qua’ fit d a,,pduda extra

H

Medione cum linea contingente,

I j qua* ell Ii b k in pudo li,8d ii pun?

_

j

I i do cotingentiae quod cft b,duca
17 tur per 1 i.primijinca perpendi?
fB cularis fup diametrum ad, ice iis

G ipfam in pundo ) , &C lit b 3 ,dico

quod linea r a pars diametri interiacens pundum fcdionispcrpcndicularis b j,&: pe*
rileriam fcdionis quse ell 1 a g,cft tequalis linea’ a h, parti edudte diametri,qua’ interia-
cct pundum h,quod efl: pundum concurfus diametro cum linea contingente, qua: cft:
Ii b k , & pundum a , quod efl: terminus diametri cadens inter ipfam periferiam fedi?
onis, hoc uniucrfalc ell, etiam fi linea reda fcdionis contingat in pundog,hoc aute
dcmonftratum cft ab Appollonio Pergeo in libro de Conicis clancntis,& lite utemus
ipib ut denionftraco»

X L.

Omne quadratum lincte perpendicularis duda’ ab aliquo pundo feftio*
nis parabola’ fuper diametrum fcdionis ell aquale rcdangulo contento fiib
parte diametri intcriaccnte illam perpendicularem & periferiam fcdionis,
& fu blatero redo ipfius fcdionis-.

Sicut in praanilfa fedio parabola qua: fit I a g, cuius latus reduin fic Ig, di cius dia*

meter

f L I B'E R NON Vf. •'

meter fitad.&i puelo aliquo fedliois quod fit b, ducatur fuper
diamecrum fedionis , qua eft ad perpendicularis b z,dico quod
quadratu linea ppendicularfsquabj.eftaquale ei redangu*

Io, qui fit ex dudu linea 37.qua eftpars diametri ad, interia*
cens ipfam perpendicularem bz,& periferiam fedionis iri lis
uea 1 g,qua eft latus redum ipfius fedionis.Eft ergo per 1 6. fe#
acti, proportio linealgadlineamzb,ficutipfiuszb ad lineam
z a, hoc au te fimilirerdemonftratucftab Appollonio Pergco
in libro de Conicis elementis,& nos ipfo utemur ut dcmonftra
lo.Hac uero duo theoremata cu alijs Appollontj theorematib»
in principio libri non conumerauimus, quia iolum illis indige*
mus ad theorema fubfequens explicandum, & nullo aliorum
theorematum totius cius libri ,

XLr.

Si in fedione parabola ab extremitate diametri ex
parte periferixfecftionis feieceturtequalequartx parti
laceris rediipiius fedionis , omnis linea aequediftanter
diametro incidens alicui pundo fedionis , & linea ab
eodem pundo fedionis ad pundum abfdfionis diametri produda ajmtU
nca contingente fedionem iitper illud pundum ,continec angulos aequales »
Situtfupcrhisfedio parabola qualabg, cuius dia meter (ita d. Suetus IatusredQ
fit I g,ab extremitate quocp diametria d,ex parte peri ferite fedionis, hoc eft i parte pun
di a.rcfecctur per 3 .primi,Iineaae,aqualis quarta parti lateris redi ipfius fedionis^d
eft 1 g,incidat’cy linea tb,pundo fedionis.quodeft b,aquediftanter diametro a d,& co

etnueeur linea a puncto b,ad pundum e, quod feparat a diamc=
tro a d , lineam a c aqualem quarta parci linea 1 g , & ducatur H

a' pundo b, linea contingens fedionem, qua fit h b k , dico qd‘ I

dua linea tb,&b e.cum linea fedionem contingente , qua eft /i

h b k.in pundo b, continent angulos aquales, ita qudd angulus /O

t bk,eft aqualis angulo e b h, angulus enim b e l^non poteftc*, /r . \

usderc unam trium conditionum.aut enim erit acutus, aucie# - \

dus, autobtufus, fit primo acutus, dii pundo b,ducatyrpcr ^ ^
iz primi, fuper diametrum ad, perpendicularis b 3, cadaiqj per / r

32. primi, pundum 3, inter duo punda a & e, & producatur dia /J \ '

meter a d,ultra pundu a, donec per 2 primi huius,concurrat cu ‘V I \

linea cotingente fedionem,qua eft k b h.fifqj cocurfus in pun/ /
do h,critc[} angulus a h b acutus, cadet ergo perpendicularis b |

3, inter punda h & c,& erit per 3 9. huius, linea a 3, aqualis line \

» a h , & itacg linea a e , eft diuifa in pundo 3 , 8i ei eft aqualis \
uni parti diuidentium adieda,qua eft a h.Erit ergo per 8. fecu \

di quadratum linea ch, aquale c i quod fit ex dudu lineae a, in G o

lineam Ii a,uel in lineam a 3 quater, di quadrato linea 3 e, fed li c

nca c a, eft quarta pars linea 1 g, ex hypothefi,ergo per t. fecun
di.uel per 1 ,(exti , illud quod fit ex dudu linea a 3 , in lineam a c , quSter, eft aquale ei
quod fit cx dudu linea a 3, in lincarfi 1 g.fcmcl. Illud ergo quod fit ex dudu linea a 3 , in
lineam 1 g cum quadrato linea 3 e, eft aquale quadrato linea e li, fed per pramiffam pa
tet.quod illudquod fit ex dudu linet; a 3,in linea lg, eft aquale quadrato lineab 3, quo
niam linea b 3 eft perpedicularis fuper diametrum a d.duouero quadrata b 3 di 3 e,funt
per penultimamprimi.aqualia quadrato lineab e, quadrata ergo linearum ch di eb,
iunt aqualia, ergo linea e b eft aqualis linea e h, ergo per j- primi, tn trigono e b h, angi*
Ius c h b,cft aqualis angulo e b h , fed linea t b & d a, lunt aquedift ames , ergo per 29.

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

primi, angulus t b k extrinfecus, eft aequalis d h b intrinfcco*
angulus ergo cbh,cft aqualis angulo tbk. Eodequoaj mo*
do demonftrandu eft, dc qualibet linea «quediftante diame*
tro a d& de, linea copulata ad pudu e, quonia illa linea fu
per pundSc cu diametro a d,angulu continet acutum, patet
ergo propofitu fecQdu hunc modB.Quod fi angulus b e h, fite
ritredus, adhuc patetpropofitu, ^niaarigulus cb k, eft «qua
lis anguloe b h,^nia em angulus b c h,cft redius, patet qudd f*
nea b e eft perpendicularis fuper diainctru a d,ergo line a c a
per 39.huius.cft aequalis linea: a h , fed linea c a ex hyporhcft
eft quarta pars lines 1 g, ergo linea h c , qua: eft dupla lines;
a c, eft medietas linea; 1 g,ergo per 4, fecundi , quadratum 1
nea: c h,cft quarta pars quadrati lincte I g. Id quocjj quod fiet
exdudulinctc ea, in linea mlg, eft aquale quarta: parti qua*
drati lineae I e, per 1 fexti, quoniam linea c a , eft ex hypotheft
4. pars IineteTg, Illud ergo quod fit cx dtidu linea: c a , in line-
am !g,cft aequale quadrato lincte ch, fed id quod fit ex dudtf
linea: e a, in lineam lg,efta‘quale quadrato lincte cb per prte
miffatn.quonia linea c b,eft perpendicularis fup diametrumt
a d, quadratum ergo lincte c h,cft «quale quadrato lincte c b*
ergo di linea c h,cft «qualis linea: b e, ergo ut prius per 5-. pr£
mi, anguli c b h & c h b,funt «quales, & tjni.1 linea t b.tvquedi*;
ftat lincte a d, patet per Z9.primi,^nia a ngulus t b k, eft «qua-
lis angulo e b h,& fi militer demonftrandum eft dc omni linea
incidente ipfi (edioni,cum angulus b e h eftredus, di alius ite*
tum, quod proponebatur.Si uero angulus b e h fit obtufus , di*
<0 qudd adhuc angulus tbk, eft aequalis angulo ebh, duca-
tur enim linea perpendicularis, quae fitb 3,d pundob ipfiusfe
<ftionis,cui incidit linea tequtediftans diametro ad , qua: cftt
b.illa quoqt perpendicularis fuper diainctru a d,lit b t .cadettp
harc perpendicularis b 3, inter punda diametri, qua* funt d Si
e, alias enim duo anguli unius trigoni h c 3 fieret maiores duo*
bus redis, ijnitl uno exiftete redo, qui b 3 c, angulus bc 3 cllet
obtufus.quod cfl impofsibilcjCadit ergo pundum 3, inter puir
da c 8c d, linea ergo a 3, eft maior fjj linea ac, di qnia linea Ii b
k cotingitfedioncm,& linea b 3, eft perpendicularis fuper di *
ametrum a d, erit per 3 9. huius, linea a 3, «qualis linea: a lqcrgo
linea ha eft maior ijfj linea ac,h'atp 3, primi, linea am.trquo h s
lineaeae, remanet ergo linea hm, ecqualis linea: 3 e, linea ergo
e m addita, utrobiqt erit linea 3 m, «qualis linea: h c, quadratur n
ergo lincte 3 m , eft «quale quadrato lincte c h , quia tcacp I i*
nea j a,cftdiuifainpundoc,&cicftadiedtt arqualis 'unidiui*
dentium, quae eft m a , «qualis ipfi a e, patet per S. fecundi, q> ii*
ludquodntcxdudu linea: 3 a, in lineam a m,ucl in eius «qua*
lem lineam a c quater, cum ejuadrato linea: 3 e, eft: avjuale qua*
dratolincte 3 m,ucl lincte e h,qu;e funt «quales, fed illud quod!
fit exdudulinca: 3 a,in lineam a e quater, ut patet cx pra*miisis
eft aquale ci quod fit exdudulinca* a 3, in linc3lg, pert. fecit*
di, ucl per prima fexti, quonia linea a e.cft «qualis quarta par*
ti lincte Ig, ex hypothefi, illud crgoquodfic exdud'u linea* a 3
ip lineam Ig, cum quadrato linea 3 c.eft a-quale quadrato li*
neaehjfcdilludquodficcxdudu linea 3 a, in lineam! g, eft:

aquale

LIBER tfONVk ij-6

«tqualc quadrato lineo b j.p procedente, qm linea b 3,eftgpettdicularis fup diametrft a
d, quadrat Et ucro lineo b e, per penultima primi, eft oqualc quadratis ambabus linearu b
3 &c 3, patet ergo quod quadratu lineo b e, eft oqualc quadrato lineo e Ii, ergo linea eb
cfl' oqualis lineo e h,crgo per j-. primi, anguli ebh&ahb funt oquales,fedut priiis t b di
d li funt oquodiftantes,angulus ergo t b k,per ip.primheft oqualis angulo d h b , ergo
di angulus c b Ii,& fimiliter demoftrandu in omni linea incidente fedioni oquediftatcr
diametro a d,cu angulus b e h eft obtufus, patet itaqjgeneralitcr propofitu,nani omnis li
nea incidens periferio fedionfs oqucdiftanter diametro, & alia linea quo ab illo eodem
pundo ducitur ad pundum abfeindens 5 diametro exparte periferio fedionis partem
oqualem quarto parti lateris redi iplius fedionis,cum linea fe dionem in alio pundd
contingentem continent angulos oquales, & hoc proponebatur.

x L i r.

In omne fupcrficieconcaua concauitatis fedionis parabolx.fi ab extremi
tate axis contingentis fedionem ablddaturpars aequalis quartae lateris redi
ipfius paraboke, omnis linea ccqucdiftanter axi incidens illi iuperficiei , lia
ncaii pundo incidentia: ad pundum lignatum in axe produda cyiji Jinea in
illo pundo fupcrficicm contingente continent angulos xqualesrl

Sit fuperficies cocaua cocaititate fedionis parabolo, cuius uertex fit pundu a, & hod
eft fuperficies illa, quam motu fuo circa axem fixu effiritipfa parabola per 1 1 7, primi hu
ius,& quonia m ut ide patuit, huius fifperficici bafis eft circulus, que circa puiicflu d,motu
fuo dclcribit linea gd.fit ille circulus gc 3, & fit huius fuperficiei concauo axis lin^a ad,
quo fuit prius diameter fedionis parabolo, & ab extremitate axis 5 pundo, fcilicet a, ab
fcindatur ab axe linea a h oqualis sparti lateris redi ipfius fedionis,q fit g z cuius quar
to parti oqualis fir linea a b ,8i ducatur d pudo fuperficiei b, linea b t, oqucdiftanter axi
a d, per 31.; >rimi,& ducatur linea b b,dico qd duo lineo t h 8i b h,cotincnt culinea con*
tingente fu;v> fide concauam propofita in pudo b,duos angulos oquales, quonia enim
linea a d Si b c lirnt cequcdiftantcs, patet qd ipfo funt in cadc fupcrficie per 1 .primi huius
fed linea b h, cadet inter illas, ergo per 7.undccimi, ipfa eft in eadem fuperficic cum illis»
lineo ergo t b, & b h,6C a d funt /n una iiiperficie.fit itaqj ut aliqua fuperficies plana con
tingat fupcrficicm propofitam fujper pundum b/uperficies itaqj b cd a,ftcabit^cfpejfici
cm concauam, 8i erit per ij> primi huius,,Commuriis b

g, cuius diameter erit linea a d,& erit communis fedio fuperficiei b c d a , & fuperficiei
plano contingentis iftam fupcrficicm concauam linea contingens ftdionehi a b g in pu
do b,quo fit linea 1 b k.quia itaqj linea I b k, contingit fcdioftem a b g,in pundo b, di 1 U
nca ah, eft quarta pars lateris red i,& linea t b,oquodiftat lineo a d , patet perpromifi
fani .quoniam duo lineo t b di h b, continent angulos oquales cum linea 1 b k,con£irigen
te fedionem in pundo b, quoniam imaginata moucr: fuperficic b c d a, circa axem fixu
qme eft a d, patet quod pundum b,motu fuo efficit circulum in fupcrficie cocaua, d cuius
totali periferia lineo cludo ad pundum h, continent angulos oquales , di idem acciditr
in quacunqj parte fedionis parabolo, quo eft a b g, cadat pundus b,fiue angulus b h a, fi
at acutus, redusjiicl obtufus, patet itacp quod omnis linea oquedi flans axi a d , eft inci*
dens fuperfiad concauo pi opofito,&: linea ab illo pundo ad pundum h , duda contif
net angulos oquales,&: hoc cit propofitum* . 't :]&£■ ’

xim.

Speculo cocauo concauitatis fedionis parabolo foli oppofiro.itaut axis
ipfius Iit in diredo corporis fblaris, omnes radrj incidentes ipeculo oquedi^
Itanter axi refleduntur ad pundum unum axis diftantetn d fupcrficie fpeculi
fecundum quartam lateris redi ipfius fedionis parabofe fpeculi fuperficierri
caufimtisjcx quo patet quod afuperfiqctalium Ipeculorum ignem eftpofsibi
Ic accendi ♦

rr

Sit

PERSPECTIVAE VITELLlbNIS

Sit fpccaliini coflcauum conca uitatc fedionis parabolae, cuius uertex (it pundutn
a » & bafis ipfius fit circulus qcz,8i cius axis ad,&! diftantia pundi axis quod fit h, a pun
dio u crticis fpeculi quod cft a ,fit aqualis quarta: parti linea: q z,fcilicet lateris redi fcdio
tiis parabola: a bg,caufantjsniotufuofupei- axem a d.fuperficiem ipfiusfpeculi concaui
quod foliopponatur fecundum eius axem a d , fit enim corporis folaris centrum k,fi*
tucturcp fpeculum taliter, ut eius axis a d.fic produda,proueniat ad centrum folis in pun
dum Jc,dico quod omnes radtj folares xquediftanter radio k a.fuperficiei fpeculi propo
fiti incidentes refleduntur ad pundum h, linea: a d,qux cft axis fpeculi,quonia enim om

nes radtj egredientes
i quocunqj pundo
corporis folaris fug
aliquod pundum fu
perficiei fpeculi.cgre
diuntur fecundum U
neas redas , ut patet
per primam fecundi
huius, tunc palam cft
quia linea k a, cft 1 i*
neareda. Sit itacp
fuperperi feriam ali*
cuius fedionispara
bol;c ipfius fpeculi',
qucefitga ;q, pun*
dum g, lignatum ut*
cumcp contingit , 8d
st pundo fpeculi e ,
j> 3 » , primi, ad aliqd
pundum , corpcris
folaris quod fit t , du*

iatitrltneagt.aequcdiftans radio ak, qui incidit fuperficici fpeculi fecundum axem a d»
Eft autem ncccflarium omnem lineam i quocunqj pundo fpeculi a’quediftanter radio
a k., produdam ad fupcrficinn corporis folis incidere, quoniam fupcrncici fpeculi ad fu*
perficiem folaris corporis autnuila » aut modica cft proportio, fit ergo pundum t, quod
cft terminus linea: g r,in ipfa fupcrficic corporis folaris. Omnes itaq; linea: qua* poliunt
duci a fupcrficic ipfius fpeculi aquaiiftantcr fua axi a d, incidunt corpori folari,a fccun
dum illas lineas fit incidentia fiipc, fidei fpeculi rcfpcdu radfj qui incidit fecundum ax*
rxem omnium «qucdift.intiuni a vi j adiorum,hoc autem eft omniu radioru cuicunqt pu
do fuperficief totiusfpccul: tncidcuriu,qm p 3 1 .primi,a' cjlibet pfido ,ppeucl remote da
<o,fcimus cuilibet data: linea* ut in propolito ex axis a d, ducere linea a?qdiftantc, dico i*
taq; ^d oes illi radi) refled; tni ur 3 rotali fupcrficic fpeculi ad unu pundu axis fpeculi q»
cft pundu h,oes cm illi radij cfl fine linea' reda:, patet g pra-milTam,quod cu lineis ab om
nibuspudisfuaruincidemiaiuadpunduh,dudis cotinet angulos aquales ,crgop 20»
quinti huius,oes illi radi) refledutur fecundii illas lineas tranfcimtcspundu h,8d ex I10C
patet, quod oes radi) incide tes peri ferfa' fedionis a-qucdifta nter radio incidenti fccundfi
linea, q cft diameter ipfius fediois refledCItur ad pundu diametrqqui abfeidit ex capite
diametri,; parte pertreria: fediois parte aquale quarta: parti latens redi ipfius fcdionis
abg,qiTi omnis reflexio i qlibet corporu politoru regula riu fit fccundu tequalitate angu
Iorum, continet linea incidens reflexa, cum linea in illo pundo iupcrficic fpeculi 3
qua fit reflexio c6iingcntc,8! quoniam oes ilkcdua:fecant fein pundo h, patet quod in
pundo h, eft cocurfus omniu illoru radioru. In illo ergo pudo aggregatur omnis uirtus
oim radioru totali lupficici fpeculi incidetifr,& qm quilibet radiolus defert fecum aliqd
«irtutisadtUiccorpoiisfoIans,patctquod inillo pundo tota uiituscft concurrens

omnium

LIBER NONVS. zj-|

omnium fcilicct radiorum Fuperficiei fpeculia?quediftanter /pfi axi a d incide litium . Ex
quo patet quod in illo pundo h, polito aliquo combuftibili ignem eft pofsibile accendi,
& ha? ccft melior & fortior figura omnium figurarum radios iolares ad unum pundum
aggregantium .quoniam 5 tota fuperficie &: a quolibet pundloipfiusradijfolares in unu
pundum aggregantur, patet ergo propoficum.

xLiiri,

Speculum fecundum formam (eftioms parabolae uel lineae ecentrales uel
interlectionis pyramidalis uel cuiufcunqj alterius regularis uel irregularis da
ta? lineae artificialiter conftituere »

Lineam qua dicimus periferiam fedionis inueniat induftria operantis, qua? & apud
non multis conatibus artificialiter cft inuenta, faciliter tamen eft imaginabilis .quorua
uc in 98. primi huius, diximus, ipfa cft linea qua? eft communis fecflto fuperficiei conica
cuiufcunqj pyramidis,maximc ucro redangula? & iiiperficiei py=
ramidem per diametrum bafis fecanti , tequediftanter alicui line;c
longitudinis illius pyramidis , utpote ei cuius & axis pyramidis
communis fuperfides cft creda fuper planam liiperficicm d/do x
modopyramidemfecantem. Talis itaque fedio parabolafic/
artificialiter inuenta , fit aeg, &afTumatur lamina ferri bortiuel
calybis , meiifur* 8>C quantitatis cuius placuerit , qua: fit a b g d, SC 1
protrahatur in ipfa fedio parabola, quee fit xqualis, &fin,iiisfe \
dioni aeg, & abfc/ndatur lamina fecundum illam fedionem a*
eg, uel fecundum aliquam partem ipfius ,fiue placeat i pars
te ucrticis quae cft a , fiuc ex parte unius fui capitis , quod eft
g , fiuc ex parte alterius fui capitis, quod eft in latere eius re*
do oppoiitum pundog, fit enim magna diuerfitas proiedio
nis radiorum fecundum illam partium fedionis diuerfitatem,re
feda itaque lamina a dbg, fecundum formam 8i figuram fe=
dionis a c g , acuatur extremitas lamina; , qua; cft fecundum
formam fedionis acuitione bona , fcilicet ,uc uidere ualeat tos / 1

tum illud fuper quod mouetur , £>C afliimatur item alia lamis f L
na decalybe fimi alicuiuscompetentis fpiisitudinis , qua? inc/da
tur iterum fecundum formam praeafTumpta: part/sillius fedio* j
nis , & illa fupcrficics fimilis parabola; fecetur contigua: multis
fcdiombus ad modum limce , ita ut per ipfa poisit limari fer*
rum. Deinde fiat corpus ferreum conueniens illi figura?,cu
ius luperficicm fecundum formam intentam proponimus
concauarc & polire ad formam fpeculi,fiue iljud fiatfecun*
dum formam partis fedionis adiaccntem ucrtice fedionis
parabola? , fiuc capitis . In his enim eft multa diuerfitas 8C
forma: uel figura: fpeculi , quoniam forma figura: fpeculi co
cauati fecundum partes adiacentes uertici fedionis aequalis-
ter hincinde diftantiutn i pundo uerticis eft figura: , quafi
annularis , dt forma fpeculi concauati fecundum partes ad
tacentes capitibus fedioniscftflgurre quafi oualis,hoc eft,
admodum longitudinis oui , Limetur itac^ fpeculum cutuf»
cunqj figura; fieri debuerit per limam fibi fimilem in figura,
taliter ut fuperfides limce , qua cft feda ad limandum occur»
rat toti fuperficiei ipfius fpeculi . Si ergo fpeculum limatum fu
erit fecundum figuram oualem, tunc ordinetur in loco fixo,
ita ut cius concauafupcrflcies, quantum ad lineam periferia:
fuce bafis fit in periferia illitis circuli bafis, uel fi fuerit figurae annularis ad pemeriam cir

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

culi cequeftantis bafi,& in loco axis figatur lamina linea: fupcrficiei incidetis uel incidcn*»
te plana ntiSj moucatufcp ad concauandum fpeculum, flC tornetur ficut tornantur alia
inftrumeta, donec periferia acuta lamina: occurrat toti fuperfleiei fpc
culi,&: euacuctur omnis afperitasipfius,planctur quocjj quantum effc
pofsibilc.eritqj tuncfiiperncics illius fpcculi fecundum totum habens
figuram fedionis paraboIa:,& fiet ab omnibus pundis Tua: fuperfleiei
reflexio in ptmdum unum,fimiliterc$ modo faciat ingeniofus artifex
in altjs lineis quibufcunc^ut in illis lincisquas per 37.8C 3 8. huius, do*
cuimusinucniri,quoniaminomnibushisidcm cft operandi modus,
ut fecundum fixam diametrum a c,in 37. huius , uel fecundum fixum
pundum q,in 3 8 .huius, fiat didarum linearum reuolutio fuper fubie»
das libi proportionales corporis fuperfleiei fupcrficics , prouenienfqj
figura fimiles illis lineis i quarum fupcrficicbus reflexi radij omnes ad unum pundum
naturalem uel mathematicum concurrent, patet itaqj propofitum.

LIBER DECIMVS

PERSPECTIVAE VITELLIONIS.

Vperius duos modos uifionis, fcilicet cum q fit direda per unum medium
diafonum,8<! eu qui fit per reflexione a politis corporibus traclauimus,fu=
per eft nunc, ut tertium uidcndimodum,qui fit per rcfraclioncm fadam i
pluribus diafonis corporibus medijs inter uifum Si rem uifam profequa*
mur.Quontam Si fecundum hunc modum diuerfimode uariatur adio na
turalium formarum Si modus adionis. Virtutes enim formarum naturalium aggrega*
tce per refradtonem fortius agunt, 8«; plus adionis forma: corporibus fulceptibihbus im
primuntjunde etiam accenditur ignis ex radrjs folis fub corpore fpliarrico diafoni dcnli -
oris acre ,uel aqua , ut .fub -glacie, uelcrfftallo, uniucrfaliter ucro aggregatio uirtutts
radiorum ftcllainfn uel aliarum formarum in eodem pundo naturali , uel circa illud fit
fortioris adionis, difpcrfio ucro uimitum naturalium formarum debilitat adiones na»
turalcs. Dilgregata enim uticus debilius Si minus agit.ln his autem omnibus ficut Si in
alijs m odis uiJendi,fupcmis diximus,ui(iua cognitio (ignum cft non caufa , Non enim
quia uifus (ic uider.idco fic accidit in formis rerum agenriutn , fcd quia fic agunt forma:
naturales, ideo ipfiis (ic agenies uidet uifus, nifi forte in quibufdam deceptionibus , qua:
uifui accidunt per fciplum. Omnis autem pafsio fecundum modos cuiulcuncp rcfi adio
nis natura acctdcnsucl uifui, fit fem per propter diucrfitatcm diafoncitatis mcdiorfi cor
porum inter agens Si pafsim,ucl inter uiitnn Si rem uifam. Corpora uero diafona no*
bis affueta , funt acr , qui eft rariorisdiafoncitatis omnibus alijs diafonis corporibus ,
excepto corpore coeli , quod eft rarius aere, ut poftmodum demonftrabimus in progref
fu, Hic autem in rota fequente tradatu nomine acris Si ignem accipimus , quia licet in<=
ter haec fit differentia fpccffica formalis Si diucrfa raritas in difpofitionibus materia', no
tameti cx hac diuerfitate aliqua accidit diucrfitas fenlibilis in formarum rc(radionc,quo
niam ignis qui apud nos cft hic inferius, cft in materia grofla terrea, uel aquca,ucl aerea
Si feci mdmn hoc fcquitur pafsiones corporum a lio ru, ignis ucro in fph.vra lita cft fccun*
dum fui formalem dfftindionem acri contiguus , & fecundum naturam diafoncitatis
continuus.non habens dtftindam fupcrficicm ab aere in qua fit pofsibilc refradionem
fcnflbflem fieri. Acr enim quanto propinquior cft ccelo, tanto fit rarioris diafoncitatis,(i
militer & ignis,ita quod infimum ignis & fupremGaeris eft diafonitas quali una, in qua
refradio fenlibilis fieri non poteft,& itaqj fupcrficies concaua ignis non cft diucrfa: dia
fbnitatis&lcnfibilitcrdetcrniinatxifupcrflcic connexa act is, ideo non fit refradio in*
ter illa, & fic ignem in hoc tradatu fub nomine acris implicamus , lift tamen aJtquaWs

refradio

LIBER. DECIMVS.

refradionu d/uerficas in aere denfiori rariori, quoniam illa dluerfhas cfenfttatlsfitfcn*
fibilis.ficiu plurimum accidit in aere codenfatp prope terram, & maxime in crepufculis
(erotinis lk matutinis temporibUs.Diafonu uero aliud diuerfum ab iftls eft aqua coiihcs
etiam in fe diuerfitatem refradionis fecundum rarius & dcnlius,quod eft in illo fuo gene
re, uno tame nomine nuncupatur. Sunt enim aqua calida-fulphurea, &aqua/alla, ut
tnarisjgrofsioris diafonitatis,quim alia aqua: fr&idat clara dulces. Alia uero corpora
diafona nobisaftucta funt quadam Iapides, ut cnua//us,berillus,& fimiles,ut funt uitrar-
Dicitur etiam de quibufdam corporibusanimatis,qua funt diafona, ut de iftis qua coi»
rantur coloribus corporum, quibus fupcrftant,quoru animatoru corporum pafsiones,
non profcquimur,quia funt figura irrcgularis.Supci ficics itacj) coeli, qua occurrit uifu/,
eft fpharica concaua,qua fi (cectur ab aliqua plana|fuperh'cie,erit communis firdio illa
rum fuperKcicrum linea circularis,cuius conuexum eft exparteuifus,ut patet per
primi huius-, ^fuperficics aeris,qua tangit ill5,eft fpharica conexa, qua li fecctur i pia
na iupcrficic.commiinis fedio erit linea circularis, cuius conuexum eft cx parte coeli.
Superficies uero aquar cx parte uifus fuperftantis aqua: eft fpharica couexa,qua fi fece*
fur a plana fupcrficie,crit communis fedio linea circularis.cu/us conuexum eft ex parte
illius uifus. Vitrorum uero & Iapidum diafonorum figura funt rotunda, aut plana, aut
irregulariv.undc fi iecentur i planis fuperficicbus,flent in illis communes fediones,auc
circuli, a ut linea reda, aut irrcgulares/ecundum quarum linearum & iu perficiet um di»
uerfitatem uariacur diuerficas pafsionum , qua ufibus occurrunt.

D?£INITlONSi.

Linea incidentia,didtur linea fecundum quam forma direde diffunditur pei*Wctt*
ii m unius diafoni.Si eadem dicitur linea extenfionis forma. Refradio, dlc/fufincur*
natio ciufdcm linea ad angulum continendum, ut cum linea, per quas una Forma ret uW
f e pemenir ad udum, non rede prodeunt, fcd franguntur in fupcrficic alterius corporis
duioni. 1’undus rch adionis,cft putidus fupcrficici corporis diafoni,in quo fit linc$
incidentia.uel linea exccnUonis lorma refradio ad uifum.. Linea refradionis, dici»
t ir linea .i pundo reflexionis ad centrum uifus extenta, Linea perpedicularis^hic nu<J
dicitur linca.quaipiidorefradioms erigitur fuper fuperficicm corporis, i qua fit refra*
dio, Kathctus incidentia,diciiur linea i pundo rei uila fuper fuperficicm corpori^-
i i 1 quo eft res uifa,& i qua fit refradio pei pcndiculariter produda . Supetficfes refra»
dionis.dicitur fuperficics in qua continentur linea incidentia^ refradionis. ..Angit*

1 1 is in idem ia, dicitur minor angulus, quem continet linea incidentia cum linea perpen*
diCiilui i duda i pundo refradionis fuper fuperfiriem corporis , i qua fit illa refradio.
Angulus refradus, dicitur angulus minor quem continet linea rcfradacum duda per»

I K-udiail.m- Angulus refradionis, dicitur angulus quem cotlnet linea refradionis C(?
linea incidentia trans corpus diafynu.fn cuius luperflclc fit refradioin continuum pro *
ti ud.1 . 1 )ircdc nidori dicitur ficucfiC fuperius diffinitum eft, quando forma rei uifa (i»

ne rc frudi’ me pemenit ad uifum. Oblique dicitur uidcri.cu lorma rei uifa ad uifum
iiericnit refrade. Imago refrada, dicitur forma rei uifa oblique pcrucnies ad uifum.
Locus imaginis refrada, dicitur locus in quo imago refrada uilibus occunit. Sup*
ponimus autem hic, Lumen Solisaliqualiterinmatutinis & ferotinis crepufculis uideri.
Item itidem fecundum figuram rotundam 8C colores uarios uideri ,

THEOREMA I.

Jn omni fuperfide refradionis ncccflario funt pundum , cuius fornii ¥?:*
frangitur, & ptmedum refradionis, & centrum iplius uifus , & perpendicl jla^
n's- clikda a pundo reflexionis fuper fuperfidem,in qua fit refradio, e’x quo
patcr,quod unius refradionis unica tantum efl fuperficics.

Sit (upcificicsfecundi diafoni dcnfiorlsuel rarioris primo dfafbftO,fn tj.ua fit linea
n b c, V lit pundum.cuius forma refrangitur pundumd.luqj centrum itii.us c,fiat'cg re»
frudio in pundo fupctfictci fecundi diatoni quod eft b A i pundo b , fuper fuperficicm

abc„

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

abc ducatirrperpendicularis b f,dico quod punda d e b,8C Iincab femper in ea-
dem fuperficie refradionis,quoniam enim ut patet per diffinitione pramiffam in prin-
cipiis libri huius,&' per propofitionem 4«S,fecundi libri huius,linea radialis incides qua:
cftd b.& refrada qua eft b e,funt in eadem fuperficie refradionis,pundum ergo d, cu-
ius forma incidit 8i refrangitur,& pundum refradionis fcilicet pundu in quo fit refra-
dio.quod eft b,& cen£rum uifusquod eft e,fuht in eadem fuperficie per primam undeci
f. G mi,fed &: per fecundam undecimi,linea b £ qua: eft perpendicula-

I / / t ris fuper fuper fidem, eft in eadem fuperficie cum linea b c,ergo di

\ / / cum lineis d b & b e, quoniam linea b f, eft perpendicularis fuper

\ / / lineam ab c,di cum illa in eadem fuperficie}(imiliter cum protra
W/ da linea d b ultra pundum b adjpundum g,eft in eadem fuperfi

iK cie, punda itacg d b e,8i lineab t,funt in eadem fuperficie per pri

7» A mam Qt fecundam undecimi.Omnis enim refradio aut fit ad ip

4 fam perpendicularem b fiaut ab ipfa, di femper in eadem fupcrfi

cie in qua fiebat /nciddia forma: refrangenda, quoniam enim omnis refradio fit ad ora
nem differentiam pofitionis.quia qua ratione fit ad unam partem , eadem ratione fit ad
quamlibet aliam.Determinatio ergo refradionisadtertiam differentiam politionis fit
tantum per uifum,quia in quacunrp fuperficie centrum uifus fuerit, in illa tantum perci-
piturfieri refradio, patet ergo propofitum,& ex hocpatet,cum ifta punda refradionis
omnia fcflicetd e b,& linea b f, fuperficiem refradionis coftituant.quod horum aliquo
deficiente non eft fuperficies refradionis , & quod unius refradionis unica tantum
eft fuperficies refradionis,quoniam haec omnia punda in unica tantum fuperficie fimili
concurrere eftpofcibile>& nonin pluribus, & hoc eft quod proponebatur.

Neccfle eft enim omnem fuperficiem refradionis fuper fuperficiem cor-
poris a qua fitrefradio,fiueilIa fuperficies fitplana,conuexa,uel concaua, ere
damefle, .

Hoc quodhic proponitur patet per prxmi(Tam,quoniamen{m in omni fuperficie re
fradionfs rieceffario iurit pundum, cuius forma refringitur, & pundum fuperficiei cor-
porfs,2quofitrefradio,&centmuifiisperpendicularisduda:5 pundo refradionis fag
fuperficiem corporis illis, in qua fit refradio.ergo per * 3.undecimi,patct quod omnis fu
perficiesrefrad/onis eft perpendicularis ftiper fuperficiem corporis in qua fit refradio
ii enim illa fuperficies fuerit plana,tunc euidenter patet propofitum per 1 8. undecimi, ut
prarmiffum eft. Si uero fuerit illa fuperficies connexa uel concaua fpharrica , tunc patet,
quoniam perpendicularis duda i pundo refradionis fuper ipfam fuperficiem corporis
in qua fit refradio, femper tranfit centrum illius corporis, di eft perpendicularis fuper il
lud corpus in pundo refradioniscontingente,ergoitemper 1 8, undecimi, fuperficies re
fradipniseftereda fuper illam fuperficiem contingentem, ergo di fuper ipfam corpo-
ris fuperficiem. Similiter quoqj dcmonftrandum,fiue figura corporis in qua fit refradio
fuerit columnaris, fiue pyramidalis,fiue alterius figura* cuiufcuncg.fempcr enim fuperfi-
cies refradionis erit reda fuper fuperficiem corporis, iri qua fit refradio, Sfliaccidat, ut
illa fuperficies corporis in qua fit refradio,fuerit ajquediftantis horizonti, tunc perpen-
dicularis duda S pundo refradionis fup'er fuperficiem corporis, in qua fit refradio , eft
etiam perpendicularis fuper fuperficiem horizontis, per zj. primi huius, ergo & per 18.
undecimi , fuperficies refradionis eftperpendicularis, di ereda fuper fuperficiem hori-
zontis,fed di hoc patet per declarationem qua: fit in inftrumento.quod in prima fccun-
dihuiusprsmi(imus,quoniamenimlinearadialisincidens& refradaab aliqua fuper-
ficie uniuscorporis diafoni ad aliud corpus diafonum , ut patet per 4 6. fecundi huius,
femper funt in una plana fuperficie, qua eftmedius circulus illorum trium circulorum
Ijgnacor um in interiori parte ora inftrumenti aquediftantis fuperficiei interioris lami-
rac inftrumenti , fcdilla fuperficies lamina aquedsftat fuperficiei dorii inftt umenri, cui
<*§& exttin

UBER DECIMVS. *n

extrinfecus fuoponitur iuperficies tegul* cubitalis tenent&inftnjmentum. Superficies
itaqi medii circuli seque diftat fuperRciet regni* long* quadratu!* _luppofii{dorfoh
mta*perr4. primi huius, fed illa fuperficies petpendiculameftfustarnfefemhrm
longitudinis regul* creflas (uper oras inftritmcti, iirpetBcres iram mcdtjararlt eft per
1 4. undecimi.perpendiculatis fupcr fuperllaem longitudinis regulat cretftas fuper oras
inftnimenti fed ilteduatfuperficiesregulai funcsquediftanteshonzonu tempore ex.
perimentatiorus p inftrumentS pofitO inuafe ut cofueutt.Superfiaes itacp medrrer rodi
eft opendicularis Sio firperBciem horizontis,» quia fupcrficiramedoarculi eftibperS.

r-

circiih fuper fuperficiem q , rcfraneitur ab aeread aquam, refrangirur in

^ZssSszSgtttt

neam ab illo punffto ^^^^kcnt^lirain^pate^quo^Cuiusiibet pumili, cuiuslibet
forma coloris femper diffun otiftent/s m aliquo corpore diafonO, forma lucis

jssssssassgSsss^iw^

dum rcdlitudine in corpore diatono £ perpendiculariter incidat utricfA (1 fo«c aliqua
corpus diatbnQ contingente, duram p^dP _o^^gcfei connuxciriuperltctc cor-
linearS radialium perpendiculariter CmerBciciftcund* corpus diatonuprel fl tae
poris diafcni corporis P[(oris rupScid diatoni tequediftans tuiK d

ons-it»tdr-“ — ~ . ...

is fecundu ppendiculaiwn

^“oSESgo tunc ffla f^q^XXnSfupciWcduaslincasgm^^

inctdcbar.dcIcbitur.quomaabimoM a,ra^tKtocorpus

S^SiSSSS^TOi— “SSSSSSS

PERSPECTIVAE VITELtIONIS

forma cot/mia magis aggregata & imita 'guenict ad aliud corpus, & occurrente iterum
•corpore diafono rariorc.tunc quilibet pondus corporis diafoni rariore per que extendi
tiir forma pundi, quod cftin primo corgore luminofo uel colorato, tranfmutet formam
•lucis fli coloris ad quodlibetpunduipiiusfecudiuel terttj corporis diafoni per omnem
lineam redam qua: poteft extendi ab illo pudo. Si itacp alfcjsfvierit imaginatus pyras
mides redilineas exeuntes i quolibet pudo aeris ad fuperfleie corporis diafonitatis ai*
ferius pertingentes, & fi in fuperficie eius corporis fecundi diafoni corporis lineae obliSj
incidentes refringi imaginentur perpendiculari Iinea,quaecft axis illius pyramidis ima
ginata,fine refradionetranfeuntc,tunc adhuc. fit unum corpus continuu inrefradioc,
licut & una eft forma corporis incidens fuperficieiillius fecundi corporis diafoni. Si cr*=
go in loco imaginata: pyramidis fiftatur fecundo ueritate in aere pyramis fenfibilis,cus
ius corpus fit coloratu uel luminofum denfuni,mifcebitur lux uel color illius pyramidis
cum luce uel colore corporis i quo fit refradio, & fiet ipforu multiplicatio per omnem
lineam reda qua: poterit extendi ab illo pudo cui /ncidit,& forma pundi incidens ali*
cui pundo denfi extedef per cjjlibct lineari! refradajt ad illud pund 5 corporis in quo
fit refradio fibi corrcfpondentc, & fi uifus fuerit ex parte altera illius diafoni, tunc illae
forma: perueniunt ad uifum,fcd perpedicularis quia no rcfringitur,pemenit gpcndicu*
laritcr ad ccntru uifus, Si forma: per lineas obliquas incidentes refrade dc oblique perue
ntunt ad uifum.cutn itaqj linea fccundu quas forma refrangitur ic in aere per omne cor
pus medium diffundant, quando coniunguntur apud unum pundi! aeris, ideo quod ip
larum multa fit interfedio ,pptcr aqualitatem difllifionis formarum illap- ad omnem
differentia pofitionis,tunc fi ccntru uifus.politu lit in illo piido, ciiprclicndct uiiiis illud
uifum fecundum refradionem excepto unico pudo ppcndiculariter incidente, quonia
ille non refrangitur, ut in 47. fecundi huius oftcnlumcft, patet ergo propofitum,

11 ir.

Omnis fonna: per refradionem uifa: fi fiat refradio i medio fecundi di a*
foni denfioris primo ad uifum, indetur fieri ad partem perpendicularis du*
d<c a pundo refiradionis fu per fuperficiem a qua fit refradio. S t ucro fiat i
diafono rariori uidetur fieri ad partem contrariam illius perpendicularis .

Quod hic proponitur poreft mftrumcntaIitcrdemonftrari,ita ut dcmonftratio aue
xilio mftrumeti Icnfibilitcr exprimetur. Accipiatur itaqj prardidfi iuftrumcntu quo in
prarcedenribus ufi (iimus, cuius diametri! quam ibi fignauinnis,pcr lineas fg,nunc dieft
mus b qg,ita ut pundi! q, fit centrum lamina: batis inltrumeti.hoc icacp inftrumcntum
politum in ualexqucdiftanrcr fuperficiei horizontis finiatur, & infundatur aqua ufqj
ad centrum lamina:, quod eft q, opilentur quoqj foramina inftrumenti cu cara uel alio
modo, ita quod modicum remaneat dc foraminibus circa medii! iplorum quod in am=
bobus foraminibus fit tequalejSi hoc poteft in arquali coluna illis foraminibus immiffa
imenlurari. Deinde moueamr inftrumentu donec diameter bq g, fit perpedicularis fu*
per fuperficiem aqua:. Immittatur quoqj ftilus albus fubtilis in ipfum uas,ita quod eius
extremitas cadar in pundi! z, quod eft extremitas diametri circuli medij qua: fit k fz,
ponaturqj unus uifuum fuper lupcrius foramen in pundum k, & claudatur reliquus,
tunc enim uidebitur extremitas ftili fccundu reditudinem perpedicularis exeuntis ab
extremitate ftili fuper fuperficiem aquat,nam centrum uifus & extremitas ftili ti!c fune
In linea k fz, perpendiculari fuper fuperficiem aquae fecudum quam fit uifio. Eft enim
linea k f z.pcrpcndicularis fuper fuperficiem aqua: per 8 . undccimi,ideo quod ipfa a:que
diftat linea: b qg, qua: exhypotheu, eft perpendicularis fuper cande fuperficiem aqua:.
Deinde declinetur inftrumentu donec linea b q.g, obliquetur fuper luperficiem aqua:,
ponaturqj uifus fuper liiperius forame, 8i no uidebitur extremitas ftili, moneatur itaqj
extremitas ftili in circunfcrcntia medij circuli paulatim ad partem oppofitam uifui,do*
nec uideat illa extrcmitas,& figatur in illo piido circuli medij in quo apparer. Si itacw
tunc ponatur aliquod corpufculudcnfum in fupcrficic aqua: in centro medij circuliqa'

LIliF.R DECr«VS. zjvf

eft fouc non uidehirur illa extremitas ftili, ablato nero illocorpufculo uidebitur /Ik ex?
tremitas ftili, quod fi confidcretiir in numero graduum medij circuli diftatia extremitas
Hili .i ptido z,inucnietur diftantia fenlibilis. Potcft aut pundus z,quod eft extremitas
diametri medij circuli tranfeuntis per ccntru duorum foraminum ficinueniri , icilicet
ut regula: fubtilis latior extremitas ponatur iuper cetrum lamina-, & media linea ipfius
protendatur fecundum diametrum lamina-, tunc enim acuum regula cadit fuper pun*
dium s, ut pramiHiim eft prius in propofitionibus fccudi huius, quod fi affiimpto uitro
quod (ic pars alicuius fphxrte ut in illis ^politionibus aliquibus afTumptucft, cuius uis
tri fupcrhcies aliqua (it plana di aliqua conucxa fpharrica , di illud uitrum applicetur
lamina:, ita ut eius plana fupcrhcies Iit ex parte foraminu,namcj} qua: eft fuarum fuper
Kcicrum planarum communis difterentia lit fuper lineam o d.fecantcm b q,fcmidiamc«
erum lamina- pcrpcndicuIaris.Sic ergo erit diameter kfz.pcrpedicularis fuper planam
fupcrficicm uitri & fuper conucxam. Deinde ponatur inftrumentu in aqua, ponaturqj
extremitas ftili fuper ptmdum r ,Si centrum uifusfuper ftipcrius foramen, uidcbiturqj
extremitas ftili qua- in alio pundo circuli medij non poterit uideri, ex quo paret, quos
niam extremitas ftili ejuado eft in linea perpedfculari fuper fuperficiem corporis .in qii.a
fit rei radio uitri, ut nue eft linea k f z.pcrpedicularis fuper fuperficiem uitri, forma ipfi
iis uidetur non per rcfradioncmfcdrcdc.cxquopatctqtiod forma perpendicularis
ter incidens non rcfrangitur,quod fi conucxum uitri ponatur ex parte fecunda fotam!*
nuin,8d difterentia comunis duarum fupcrficicrum planarum uitri ponatur fuper pris
mum locum fciliccr lineae o d, quonia di tunc linea k f z,cft perpendicularis fup utrafqp
i upcrficics uitri, uidebirur ergo tunc ut prius extremitas ftili in pundo z, quod fi i fu*
perfide lamina: inftrumeti cuulfo uitro 5 centro lamina: quod
eft q,in fuperheie lamina: ducatur femidiatnerer q r, contines
cii femidiametro b q, angulum obtufum. Deinde ducatur fe»
midiameter q u .continens cum linea q r, angulum redii, &f,p
trahatur ad aliam oram inftrumcnti,critcrgo angulus b q u
acutus, 6i erit femidiameter b q.obliqua fup linea q u. Dcin*
de linea qua: eft communisdificrentia fupcrficicrum plana*
rum uitri, ponatur iuper lineam q u, di fitplana uitri fupcrfi*
cics ex parte foraminum,S<: fitmedium difterentia: communis
palnarum fupcrficicrfl ipfius uitri fuper centrum q. Erititaqj
tunc centrum uitri fuper ccntru medij circuli ut pr^oftenfum
eft in alijs.fk linea kf,tranfit per ccntru uitri di cftobliqua fu
per fupcrficicm ipfiusplana, quoniam diameter b q a-quedi*
flans linea: e i„qua: eft: k ^oblique cadit fup linea q u,& quos
niam linea k f,tranfitper centrum uitri,palam quoniam ipfaeft perpendicularis fuper
connexam fupcrficicm uitri.Dcinde i pundo r fuper lineam q r, ducatur pcrpcndicus
laris in ora inftrumcnri ufcj> ad circuntcrcntian medij circuli que fit re, di fiat nigra u=
traejj illarum linearum q r di r e, ut melius per uifum ualeat notari,8i imaginetur duci
linea e fyiarc itaq? per 7 j .primi huius, erit perpendicularis fuper connexam fupcrficicm
uitri, quoniam tranfit per cius centrum, di eft perpcdicularis fuper planam uitri (upers
ficiem, quoniam eft a:qucdiftans linea: q r, perpendiculari fuper lineam q u.cuifuppofis
tu eft illa communis fcdio planarum fuperficierum ipfius uitri,pundus itacp e, eri pun*
dus medij circuli, in quem cadit perpendicularis exiens S centro uitri fuper planam fu*
pcrficiem ipfius, ponatur itaCfj inftrumcntum fic difpofitu, in uas,fi< ponatur extremis
1 as ftili albi ut prius in pundo z ,di pon atur uifus fuper foramen ipfius in pundo k,tuc
no uidebitur extremitas ftili, moueatur itaq; ftilus in circuferetia medij circuli ad pars
tem contrariam pundo e, nec tunc uidebitur extremitas ftili, moueatur autem ad pars
t em pundi e paulatim, 8i uidebitur extremitas ftili, Quod fi tunc pundum f, quod eft
centrum medij circuli,coopcriatur aliquo corpufculo, no uidebitur extremitas ftili, fed

ss z illo

i

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
illo corpufculo remoto iterum uidebitur illa extremitas ftili. Ex hoc ftaq^ patet, quod
■forma: illius extremitatis ftili comprchcnfio qua: (it a, eft fecundum refradione faefiam
fi centro uitri, & quod forma refrada cft in fuperficie circuli medq qua: eft perpcndicu*
laris fuj» fupcrficie planam uitri,Sd inuenietur locus forma: cxtremitatisftiliquteefta,
inter pundum e & z, 8d quoniam refradio fit S centro uitri, linea duda fi centro uitri
ad extremitatem uitri, qua: media eft inter lineas f z 8i fc,&(it a f, palam quia eft per*
pendicularis fupcrconuexam fuperfleiem uitri, & perucniteius forma ad uifum per Ii*
neam k f, per centra amborum foraminum tranfeuntem, qua: magis diftat fi linea per*
pcndiculari fuper fuperficiem planam uitri, qua: eft linea f c,xquediftans linea: q r,quo=
niam linea per quam incidit ipfi uitro forma pundi a, cum itaejj forma pundi a, incide
rit nitro per lineam a f,& tranfiuerit per totu corpus uitri perpendiculariter, quoniam
ipfa linea qf, cum tranfeat centrum uitri eft perpendicularis fuper fuperficiem uitri.
Cum«cp pertranfito corpore uitri peruenit ad axem, cuius corpus cft rarioris diafonita*
cis quim fit corpus uitri, & peruenit ad centrum uifus, patet quod eft refrada fi fuo pri*
nio progreftit linea: a f,& peruenit ad progrcfliim linea: z f k,& quonia linea z f,cft re*
motior fi perpendiculari duda fi pudo refradionis fuper planam fuperficiem uitri qua:
eft linea e f,qufimfit linea a f.quoniam punctum a,cadit in fupcrficie medij circuli inter
punda e & z , patet quod lxcc refradio erit ad partem contrariam perpendicularis c f,
duda fipundo refradionis fuper fuperficiem acris continentis planam fuperficiem ui
rri, nam linea f z,pertranficns centra amborum foraminum magisdiftat ab illa perpen
diculari c f.qufim linea exiens ab extremitate ftili ad centrum uitri qua: cft a f,produda
in continuum & dircdum.cadcrct inter perpendicularem c f,produdam,& interline*
am fk,quiaitaqj peruenit ad pundum k,quoniam in illo uidetur, palam quia fit refra*
dio ad partem contrariam ipfius perpendicularis qua: cft c f,&! quoniam harc forma re
fringitur ex uitro ad aerem, qui fubtiiior cft uitro, patet quodfimili modo fit refradio
ab aqua ad acrem, quoniam enim aer cft fubtiiior qufim aqua.Quod fi conucxum uitri
ponatur ex parte fecunda foraminum, di comunis differentia fuarum planarum fuper*
ficierum ponatur fuper lineam q u , fltqj medium pundum illius communis differentia:
iiiper centrum laminae quod eft q,palam quia linea k f, erit obliqua fuper planam uitri
fuperficiem, & perpendicularis fuper cius fuperficiem conuexam, erit'cp linea r q, per*
pendicularis fuper planam fuperficiem uitri, quoniam cft perpendicularis luper lineam
u q,&ferit linea c f, perpendicularis fuper connexam fuperficiem uitri,pcr 71. primi hu*
ius,&! fuper cius planam fuperficiem per 8. undecimi, quoniam linea: c f S>i r q atquedi*
ftant.ponaturfcpcxtremicas (l ili albi qua: (it a, fuper pundum z,ut prius, ftatuatu/cp ui*
fusfuper fuperius foramen inftruincnti in pundo k,&; tunc non uidebitur extremitas
ftili qua: eft a,moueattir itaty ftilus ad partem pundi c,pcr circunfercntiam medrj cir*
culi,& tunc non uidebitur extremitas ftili. Deinde moneatur ad partem cotrariam pii
ctie,&: tunc uidebitur extremitas ftili, cadctcp linea fz intra lineam a fjrcdam cxcun*
tem ab extremitate ftili ad centrum uitri, fecundum quam extenditur illi forma pundi
a, & inter perpendicularem f e, refringitur forma pundi a,cxtrcmitas ftili i centro ui*
tri ad uifum per lineam f k, tranfeuntem centra amborum foraminum,propterca quod
linea a (.oblique incidit fuperficiei uitri plana:, fi qua fit refradio. Erit quocjj illa refra*
dio ad partem perpendicularis linea: , fcilicct f c, exeuntis fi loco refradionis fuper
planam fuperficiem uitri,9i haec forma exit ab aere & refringitur in uitro quod cft grof
lius aere, forma: itacpqmcrefrangunt figroffiori corpore ad fubtilius,dcclinant ad par*
tem contrariam illi parti in qua cft perpendicularis exiens ‘a loco refradionis fuper fu*
perficiem corporis diafoni fi qua fit refradio, & forma: reflexa: fi corpore fubtilioread
groffitis , declinant ad partem, in qua cft perpendicularis produda , & hoc cft pro*
politum.

Quantita«

UBER DECIHVS,

V.

Quantitates angulorum refractionis ex aere ad aquam experimentalitcr
declarare*

Differentia angulo^ refradionis cft fccundu quantitates anguloru incidentia? con*
tentorum fub linea incidentia? uel extenfionis raatj in primo corpore, Si fub perpendi*
culari exeunte i pundo refradionis fuper fupcrficie corporis fecundi, anguli em refra»
dionum crcfcunt, Si dccrcfcunc fccundu dilpofitioncsilloru anguloijt incidenti* in cor
poribus Si ficibus diucrfis,&: quia,ut patuit per pmiffam, tunc d corpore fubtilioris dia*
phoni ad corpus groffius fit refradio ad ppcndicularc ^dudam d pundo refradionis
fuper fupcrficie fecundi corporis, 8 i i corpore groffioris diaphoni ad iubtilius fit refra*
dio ad partem contrariam perpendicularis fic dud*,ut patuit per pmiffam, tunc patet
quia differunt etiam illi anguli fccundu diuerfitate diaphonitatis fecundi corporis. Et
ut liare differentia anguloru expcrimentalitcr ,pbetur,diuidatifr i circulo medio qui cft
in periferia inftrumcnti ex parte centri foraminis, quod cft in circufercntia inffrumeti
circa pundu k, arcus i o. partium ex illis partibusquibus tota periferia medtj circuli di«
uifa cft in j do.partes,qui arcus fit k n, & i pundo n, ducatur in ora inftrumenti linea g*
pendicularis fuper fupcrficie lamina: qua: Iit n l,cadat'qj pundus 1, in fupcrficie lamina:
ducatur quoqt ab hoc pundo I,ad centrum lamin* inftrumcnti quod eli q, linea 1 q,&: i
centro medi) circuli quod cft f, ducatur linea ad pundu n.quod fit fn.fitcjj diameter me*
dij circuIiduda3pundok,pcrccntrumf, linea k f 3, tranficnspcrcentra amborum
foraminum, qu* funt k Si y,Si per centrum medij circuli. Deinde in circufercntia me*
dij circuli a pundo n,fcparctur arcus 90, partium (equens arcu k n,qui fit arcus ns. Si i
centro medij circuli quodefl: f,ad pundu a, ducat linea qu* fit f s,qu* erit perpcndicu*
laus luper lineam In, per ultima fexti, ideo quia ili* duce line* continent quarta parte
cirriili.rcmancbitcji arcus refiduusex medio cuculo qui cft a 3, partes 80. Deinde pe*
natur inilrumcntum in uafe,&: fituctur uas *qucdiftatcr horizonti.^ infundatur aqua
clara ufqj ad pundu q, centrum laminw, 8 i in ortu folis in mane moueat inftrumetum
donec linea 1 q,cotingat fupcrficie aqu*. I11 hoc ergo (itu diameter medij circuli, qui cft
crqucdiftans line* 1 q, fignatee in fupcrficie lamin* fimiliter continget fupcrficie aqu*,
locus em iftarum duarum lincarunon differunt in refpcdu fuperficiei aqu*, quo ad fen
fum,8v’ linea n f, continget cum linea f s, angulum redu, ut fupra patuit, eftergo Irnea f
s, perpendicularis fuper fupcrficicm aqu*,&: femidiameter f 3, concinet cir linea fs, an*
gulum.cuiusquantitas per ultimam fexti, cft 80. partium. qm illi angulo fubtenditur ar
cus partiu 80. qui cft arcus s 3, arcus ucro interiaccns punda k Si n,fubtcndit angulum
declinationis pundi k i pundo n ,8i i fupcrficie ipfius aqu*.

Deinde mucetur inftrumcntum inpmillo modo difpofitu cft
toto uafe.doncc eleuato (ole fug horizonta fecundum altitu*
dineni a reus k n,lux tranfeat g duo foramina, 8i fignef cen* 1
t rum lucis in ora inftrumcnti qu* cft intra aquam, fiatqj fu*
pra centrum lucis fignum aliquod per aliqua pundura,eric'cp
lignum illud quod fit h,in circufercntia medij circuli,auferat
itaejj mllrumentu, Si rcfpiciatur pundu h, cadatq; ipfutn in*
ter pundu 3, quod cft extremitas diametri medij circuli tran*

(euntis per centra duorj: foraminu,8<! inter pundum s, quod
eft extremitas pcrpcndiculariscxeuntisiccntro medij circii
Ii erede fuper fupcrficie aqu*, ut patet per pmiflam, patet er
go tunc quod angulus refradionis cft ille quefubtendit ar*
cus 3 li, interiaccns pundu h,8i pundu 3, Si ex numero partiu huius arcus patebit quan
litas anguli rcfradi&; anguli refradionis, 8^ .pportio anguli refradionis ad 80. partes,
qu* funt tunc quantitas incidenti* anguli. Deinde fignetur in circufercntia medij dr*
culi arcus k m, pertranfiens pundum n, qui fit partium io,Si ducatur linea m p, in ora
(nftrumcnti pcrpcndiculavitcr fuper fugficfe lamin* Educatur linea p q, in fupcrficie

ss 3 lamu

'PERSPECTIVAE VITELLIONIS
amin* ad cetttruq, di ab arcum 3 .refecetur arcus m c, partivr 90.& ducatur linea c f,£
pundot.ad centrum circuli medij quod cft f}relinqueturcrgo arcus 1 3,partiu 70.De.
inde ponat inftrumetu in uas,&: rcuoluat quoufqi linea p q, tagat fuperfide aqua, erit
ergo linea t q, perpendicularis lug fupcrficiem aqu*,& linea k f 3, tranfiens per centri
ambojt foramina continet cum linea cf, angulum 7o. partia.Dcindcconflderet altitu
do folis,&: moueatur inftrumentu quoufq? lux tranfeat per ambo foramina,8C fignetur
fup centrum lucis cadentis intra aquamlignum u.Deinde confideret arcus u 3,8 i quia
ipfe fubtenditur angulo refradionis, patet quantitas illius anguli per coputatione ptiu
arcus, eritep nota jpportio anguli 3 f u,ad angulu incidenti* qui eft 3 f t, que continet
diameter tranfiens per centra amboi^ foraminum, cu perpendiculari fc,qui angulus in
cidcnti* eft partes 70, Similitefqj ^pccdatur fignando arcum k x,qu* fit partium 3 0.8 i
eft cade exgimetatio. Deinde fumat arcus partio 40. deinde j-o. deinde 60. deinde 70
deinde 80.8^ femper p coputatione partio p arcus circuli medi) interiaccntis pundu 3 .
& centrum lucis, erunt anguli refradions noti , di ipfopi .pportio ad angulos incidens
tix contentos fub perpendicularibus 8i diametris tranfeuntibus centra foramina femp
erit nota, no folu aute per 1 o.fed etiam, per alios quofcunq; numeros integros ucl fras
dos pmifla arcuum diuifionc poteft ^cedere, quia femp eft idem modus dcclarandi,&
ut fummarie hotji anguloip quantitates 68 ,pportioncs pcrftringamus, qncunq? alicu-
*us radq ttarfcuntis per corpus acris fu* debit* difpofitionis exprobatu fuerit in fuper--
ficic aqu* fada refradio, fucrititt aqua fu* propri* difpofitionis mdiaphonitate cope
tenti form* aqu*, fi angulus incidenti* contentus in centro f, fub femiametro k f, di
linea radij incidentis fuerit 10. partium, erit angulus contentus in centro fjfub femidia-
metro f 3 ,8C fub linea radiali refrada quali duarum partium, & y. minutorum, di lic co
fcquentcr fecundum formam tabui* qua inferius fubtungemus, patet ergo ^politum,
v r.

Quantitates angulorum refradionis cx acrc ucl aqua ad nitrum planum
uel conuexum,& econuerfo experimentaliter declarare,

Diuidatur arcus medij circuli inftrumcnti modo iIlo,ut in pr*mifla,fit'q? arcus k n,
10. partium, & ducatur linea n l,ppcndiculan's fupfuperffcie lamin*, copulet quoq? li-
nea 1 q,8i fupponatur uitrum formatu cubice fupcrficici ipfius tabui*, ita ut communis
fodio dtrarfi fupcrficieij; planaip,t|U* eft linea rcda.ut patet per 3, undecimi, fupponaf
linc*lq,talitcrutfccundii fui pundu medium fupponatur line* fignat* in fuperficie
tabui* ppcndiculari fup lineam 1 q,qu* cfl *qucdiftans line* s f, dud* in fupficic me-
dij circulijfitq} medium pundu illius line* uirri fuper pundu q, centrum Iamin*,pona
rurq; fupcrficics uitri plana cx parte foramina, & applicetur bene uitrum lamin*, & in =
ftrumcnrfi politum in uafc moueatur, donec lux tranfeat p ambo foramina, lignctufqj
fup ccntru lucis lignum, &! confiderent quantitates anguloRi refradionis cx acre ad ui*
trum per quantitates arcuu.ut in pr*ccdentc.Quod fi aliqs perferutari noluerit angu-
los refradionis cx uitro ad acrem uel aqua, accipiat uitru qtf*
cft pars fph*r*, ut ipfi fuperiusulifumusinpropofitionibus
fecundi libri huius fcicnti*,& in 4. fecundi huius,& ponatur
conuexu uitri exparte ccntroi^ z*foraminu,ponaturcp medi-
um line* qu^ cft differentia comunis fupcrficici^ planaiji fup
centrum lamin*, ita quod illa comunis differentia (it fuper li-
neam I q.tunc ergo lux qu* tranfit centra z.foraminu,pci uc«
nit rede ad ccntru uitri,& refledit apud illud dc uitro ad ac-
rem,diuidanturc# poftmoduarcus fucccfltuc,ut in pr*mifta,
di mutetur uitri pofitio,ita ut illa cois planarum fujjficicrum
ipfius uitri fcdio fit fup lineam p q,fit'qj iterfi medius pundus
illius line* uitri fuppundum q,centru lamin*, 8C fic fadisu!
tcrioribus diuiltonibus circuli medi), dudiscp lineis ut prius,

Emutato

LIBER DECIMVS»

& mutato uitro fecundum illas, habebunt anguli refradionu pArticulares,& /pfo^pro*
portio ad angulum incidentia: que continet diameter pertranfiens centru foraminfi c3
ppcndiculari ,pduda i loco refradionis fug fuperficie planam ipfam fuperfieieirt tiitril
conucxam contingentem. Inhisem difpofitionibus tiitri rcfpedu lamina: inftrumertt/,
femp erit centrum uitrea fphara in pundo fjeritcp g 7 z.primi huius, linea s f,fimilis il»
li perpendicularis fup fuperficie conucxam uitri, & fup fuperficie planam ipfius,i cuius
pundoiji aliquo fit refradio, qfn qualibet illai^ linearum cft perpendicularis fug lineas
wquediftatcs lineis 1 q dd p q,Sd fimilib.illis quibufcucjj. Scictur'cg ut priUs reiterata ope
ratione cum extremitate ftipitis totius refradionis modus, 8d anguli refradionis i ai*
tro ad centru uifus exiftens in pundo k, centro foraminis fu perior is, SC in his dudbUs fi*
cibus cum refradio fit ab acre ad uitrum,ucl i uitro ad acrc.fcmp inueniencur quantita
res angui ore refradfonisde acre ad uitrii,SCde uitro ad acre aquales, qn angulus coten
tus i linea, per quem extenditur lux ad loeu refradionis,& 5 linea perpendiculari duda
i pundo refra «fonis, cum fit refradio ad aere ad uitru, aqualis fiierit angulo contento
i linea per qua extendit lux,£C i ppcndiculari dttda i loco refradionis cii refringitur de
uitro ad acre, ut patet inftrumcntalicer opcranti.Si ucro uolucrit aliqs experiri quanti#
taces anguloj* refradionis i conucxo uitri ad aerc,diuidat ut priusdecirciiferentia me«
dij circuli ex parte pundi k, centri foraminis quod cft in ora inftrumcnti arcti 1 o. par#
tium,qua fit k n,& ducant ut prius linea n I ,Bd linea ItySd a linea I q.qua eft femidiame
ter lamina: ex parte centri q, abfeindat linea ecqualis iemidiametro fphara ipfius uitri,
ciuac fit qo,&: i pundo o ducat perpendicularis fuper diametrulaminabqg,quapro*
rrada ultra dia metrum fit o d,fccans diamerru b q g in pundo d, Deinde (uppona tue
communis fedio planary fuperficicje uitri buic ppcndiculari 0 d,ita quod pundum mea
dium illius fcdionis fit fiigpundii o, erit Itacp centru uitri in fuperficie medij circuli Si
ciufdem circuli diameter quae cft k f 3, erit perpendicularis fup fuperficie uitri planam
per S .undccimi.qih cft aquediftans diametro lamina: b q g,qua eft perpendicularis fi*
per illam fuperficie, fup illam differentia comuncm illaie duars: planait fiipcificiei um
uicri,crit quocjj centru circuli medi) in fuperficie conuexa uitri, ideo quia linea f q, exi*
ens .i centro medij circuli quod cft fad centru lamina: quod cft q,eft aqualis linea pros
duda i centro uitri ad medium linea qua cft differentia comunis fugficicjy plana jt ui*
t ri,uc patet ex hisqua pramiffa funt in figuratione huius figura uitrea in 4f .fecudi ha*
ius.Sditraq; iftait linea^ cft ppcnd/cuIarisfupfuperficielainina,ergo per ij-.pr/mihut
ius.illa dua linea funt aquales Bd aquediftantes.ergo per 3 3 .primi, linea copulans ccn
trum uitri quod eft in aliquo pundo plana luperficieiipfius uitri cu centro medij circii
li eft aqualis linea q o,copulanti ccntrii lamina quod cft q, cu medio pundo differens»
lia comunis duajt planajc fupficicR; ipfius uitri quod eft pundum o,fed linea q o,pofi«
t a eft aqualis Iemidiametro uitri, ergo Bd linea aquediftans ei eft aqualis femidiame/
tro uitri, Centru ergo medij circuli cft in conucxo uitri, linea ergo k r,qua cft femidia*
nicter medij circuli cu no tranfeat centru fphara uitrea, patet quia eft oblique incides
fup cius conucxam fiipcrHcic,crgo per 47. fecundi huius, cu cade diameter oblique in*
cidat fupficiei acris cotinetts refrangif i pfa appendiculari duda a pundo refradionis
fuper ipfam fuperficie aeris .imaginetur itaq? femidiameter uitri ,pduci ex utraq; parte
ad circufcrcntiain circuli medij, qua fiat linea n f u , fecans diametru circuli medij qua
cft k f 3 in pundo f. Erit itaq; per 1 y, primi, angulus k fn, aqualis angulo 3 fu, Si erit
per ij-.tcrtij arcus u 3, aqualis arcui k n, ciut cft politus effe 1 0, partium. Eft ergo arcus
u 2 1 o.partium notus, ergo & angulus u r 3 cft notus.Intucatur itaq; aliqs centrum lu»
cis rcfrada,8C inucnietur remotius i pundo 3 .quod cft extremitas linea tranfeuntis g
centru duop; foraminu Cjj fit pundum u,quod eft extremitas linea tranfeuntis per ccn*
t rum uitri ab eodi? pundo 3 ,qua cft extremitas diametri circuli medij, hac ergo refles
xiofadacll ad parte contrariam diametri .pduda i loco refradionis qua tranfit Cem
trum uitri, Qd arcus medij circuli interiaccns pundum 3 ,8d centru lucis lignatu cft quan
titas anguli refradionis , angulus em refradionis eft apud centru circuli medij, qin ut

patuit

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

patuit per 44. fecundi huius , lux extendit iuper lineam tranfeunte per ccntru duott fora»
«linum rede, donec perucniat ad connexu ultri, & cum eft angulus incidentia: 1 o.par*»
Cium, fit angulus refradus quali 1 3 . partium ,di angulus refradionis quali partium, tri*
um>fadis'qj ut in praccdenribus diuiflonibus arcuum $ pundo k , inuenietur diuerlitas
angulojtt refradionis per iriftrumcntum, di li infundatur aqua uali.tunc erit aqua loco
aeris,&: pmiffo mo inuenietur diuerlitas anguloju refradionis 5 uitro ad aqua,& differ
rentia fecundo quod illi refradioni eft ,ppria,& quantitas angulojtt refradoje di angit»
lop refradionis, refpedu eopt quae funt in aere, ^d lii pundo 3 .ducere placuerit extre*
mitatem ftili, ut prius, tunc fecundum illud fada difpolitionc fitusuitri occurrit eadem
quantitas angulorum qua prius, patet ergo propofitum.

VII.

Quantitates angulorum refradionis cx aere uel aqua ad uitrum concauu
uel econuerfo experimentaliter inucnire.

Accipiatur clarum uitrum mundu aquediftantiu fuperficiejt: omnium, cuius longi*
tudo Iit maior in uno grano hordei, cjj diameter uitri fpharici connexi, quo fuperius illi
fijmus.Sitqj latitudo eius aqualis longitudine,flt'q? fpilfitudociusdupla diametro fora*
minis, quod eft in ora inftrumenti, & fiat una fiiorum latcru quadratop- concauitas ro*
tunda fcmicolumnarisjita quod iemidiatnetcr balis columna: concaua fit in quantitate
(emidiametri uitri fpliarici,&! finteomunes fcdioncs planarum fuperficicrum huius ui*
tri lines rcdiflima.Potcft autehac forma uitri (ic fieri per artificium, ita quod fiat talis
forma ex aere uel lapide, & uitru liquefadu fundat fup ipfum, di poliat ,diuidatur itacp
i centro foraminis ora: inftrumenti, qcf eft k, in circufcrcntia medij circuli arcus, cuius
quantitas fit illa fccundu qua quis uult experiri quatitatesan*
gulop:,q fit arcus k n,di 5 pundo n, ducat inora inftrumeti li*
nca n 1, perpendicularis fuper fupcrficie lamina:, di ducatur li*
nca 1 q,in fupcrficie laminae ad centrG eius quod eft q,& i femi
diametro 1 q, refecetur cx par te centri q, linea q o, aqualis fe*
midiametrobafis concauitatis columna, di ^ pundo o, extra»
hatur peri z.primi;perpediculans fuper diametrum laminae b
q, di protrahatur in utraqj parte, 8i fit o c, fccans dianictru b
cj g in pundoc,& fuperponatur uitrum lamince,ita quod dora
ium concauitatis, lioc cftfupcrficics plana concauitati fuppo
fica (ic cx parte duoje foraminu, 8i quod cx concauitatcrcfpi*
ciente foramina duae fiipcrfluitatcs redilinea qua: fuperfluut
fuper diamctrfl columna lintdircda 8 i fixa fuppofita ifti li*
nca perpendiculari o c,di praferuetur hoc,utdiftantia duaic- extremita tu diametri ba»
fis cocauitatis columnaris diftent aqualiter & pundo o,d quo exeunt direde perpendi*
cularcs.Erit ergo tuncccntru balis cocauitatis columnaris fuper pundu o,3 quo exiuit
linea 0 e perpendicularis fuper lineam q b ,di fuper pundum, cuius diftati a a centro la-
mina, quod eft q, eft aqualis femidiametro concauitatiscolumnaris,fccunduhanccr*
go difpofittone applicetur uitrum firmiter fupcrficici lamina, di erit fupcrficics medi)
circuli fecans concauitatc columnare di aqucdiftans bali eius, qm balis cius in hac di*
fpofitionccft in fuperficic lamina inftrumenti, Supcrficiesergo medtj circuli per 100.
primi huius, fecatfupficiem columnare concaua fccundu circulu, cuius femidiameter
aqucdtftat femidiametro bafis concauitatis ipfius columna, di linea continuans centra
iftojcduoje fcmicirculo^.f.ba(is,& alterius libi aqucdiftantis, erit perpendicularis fup
fuperficicm lamina incidensad pundum 0, qm ipfa per z .r . primi huius, eft aqualis li*
neappcndiculari f q, exeunti i centro medtjcirculi, quod eft f,fupcr ccntru lamina, qd*
eft q,ied di linea cq, eft aqualis femidiametro balis columna cx hypothcfi, ergo per 3 3,
primijllnea qua exit i centro medij circuli quod eft f, ad ccntru femtcirculi.qui fit in fu*
perficccolumnaconcauiaquediftansbafi, eft aqualis femidiametro bafis concaiuta*
fis concaua columna^ccntru itat^ medij circuli,quod eft f, eft in circufcrcntia fcmicir*

culi

LIBER DECIMVS. i$7

*-'u!i in columna tti trca fadi.Eft ergo centrum f,in concaua fiipcrffcic columnae , & quia
terminus planus uitri iuperponitur linea? perpendiculari produda? i pundo o , fuper b
q,dtamctm lamina?, palam quia diameter lamina: qua: eft qb, eft perpendicularis iiipcr
plana uitri lupci hcic.qa ctiii plana- fuperlidesfunt fup fc inuice pcrpendiculariter eres
da-, erit ergo linea k f 3 ,per tranfiens centra amboru foramina pcrpedicularis fup fupers
Aciem planam, qua- e 11 in parte cduexa uitri per 8. undecimi, quia illa linea k f 3 eft a*quc
diftans femidiametro lamina* b q g,qu:e eft perpendicularis iiipcr illa fupcrficicm ut pa=
tet ex prcmiisis,&.' liare iiiperficics plana uitri eft ex parte foraminu.In hoc ergo ficu lux
qua: extenditur per linea tranfeunte centra diiorii fbraminii.cxteditut in corpore uitri
rede, donec pueniat ad concauu uitri, & tue refleditur apud concaua fupcrficie uitri, eu
enim no tranlit p ccntru circuli,»] ell in cocaua fupcrficici uitri, patet per 71. primis hu*
ius,qm ipfi no eft pcrpedicularis fuper cocauam fiipcrficie uitri, refrangttur ergo incon
caua fiipcrficie uitri, Cv' eonumis fcdio illius linea* 8i concauitatis uitri, eft ccntru circuli
medi in hoc pudo hi relradio ex acrcad uitru, arcus itaqj cadens inter cetrfi lucis di
ptindir ?,qeft terminus diametri traicuntis per ccntru amboru foraminu fubteditur au
gulo reii adidis. Similiter quoqj patet in cuiuslibet a lior ft arcufirefradide a pudo k, 8i
poteft olivndi quantitas omnifi anguloru reiiadidis i? cocaua uitri fupficie . Quod li ui*
tru fic diiponatur ut cdmuni icdide fuajt planarii fuperhcieip polita fup linea o c.coues
xitas uitri refpictat cetra foratninu,tiic q a linea k f j.pcrtranlies uitru puenitad cocauu
uitri irrefrada.cii iit pcrpedicularis fup plana fupficie iplius, obliqua ucro fup cocauam
cius iiiptfciPjCrgo et fup cduexa iupKcie acris cotingctis uitru,rcfringctur ergo a conea
ua uitri iuph’cie,& luce relradio eft .1 edeauo uitri ad acre,8t! anguli q fiut ex acre ad uis
rnl in edeauo uitri funt ide iftis, ijiii femp anguli refradionis .i nitro ad acrcmok ab aere
ad uitru funt tde.cii angulus que edtinet linea per quii primo extenditur lux, eft perpedi*
cularis exiens i loco rcHexionisjfit ide angulus, & eodem modo poirutu fciri anguli refra
dionisde a»|ua ad uitru, deuitroud aquii in (uperHcic uitri cocaua, ucl infupcriicic alia
quactmqjquod Ii extremitas Hili ducatur a pundo }. in periferia medi) circuli, ut prius,
tunc fida difpolitione litus uitri fecundum exigentiam illius vefradionis*, occurret noti'
ita angulorum huius rcfratftionis ad uifum iicut prius, patet ergo propolitum.

VIII .

Anguli omnium rcfradionuin per tabulas declarantur *
Acccprisinftrumetaliccr prout potuimus propinquius angulis omntir refradionu i
quibiileucp diaibnis notis adinuice,ut ab acre ad aqua 3i uitru, & ab aqua ad uitru , di e*
comierlb ab aqua 8i uicro ad aerem, & i nitro ad aqua, inucnimus quod femper ide funt
anguli refradionu i quodiqj raro diafono ad dtafonfl denfius i!lo,& abeodem denfo ad
idem raiii.lcamdii hoc fecimus has tabulas, quaru hac ell; forma. Et pramittimus angu
Io s incidentia* in primis.detnde alios angulos fiib/ungimus fecundu modos fuoru circulo
rum quos prscinittimus in capitibus fliurix lineatu. Poteft itaq? fecundu has tabulas ex*
perimcnralirer inucmas per inftrumentu pramiiilum, diligens inquifitor fcire omnes an
gulos refradionu .i medijs dtuerfa; diafoniratis quibufcunqj.ik: patet excis, quonia angu
ii incidentia: ibrma: eiuide pundi propinquiorcsradioa pundo rei uifiu fupcriicici cors
poris diaibnijd qua hi refradio pcrpendiculariter incidenti funt minores, 8t! remotiores
ab illo funt maiores, ut patet hoc in fubfcrrpta figura per 3 1 .primi, ablato enim angulo
maiore .1 fuo redo qui relinc|uitur,fit minor alto angulo quando a redo aufertur angu*
lusmmor.crtYqj in code diafono dcnltorc primo angulus refradionisab angulo inctdcn
tix* maior i, maior angulo refradionis ab angulo incidctite minor/, cxccffas quoq? angu
li refradionis maioris fuper angulu refradionis minore erit minor cxccflu anguloru in
cidiiia* maioris fuper maiore.fk proportio anguli refradionis ab angulo incidentia: ma
/ori ad i Ilii angulu maiorcm.erit maior proportione anguli refradionisab angulo inci
dentia* mitiore ad illum minorem, & angulus refradusdcilicctillc quem addit angulus
incidemia* maior fuper angulis fine rcfradionis,cft maior angulo refrado que addit an,
gulas incidentia* minor iiipcr angulu fuce rcfradioliis,fcinpcr itaq*, in medio fecudi dia
funi dcnltorc primo,crit angulus refradus minor angulo incidcncia*,8/ .pportio iftorum

t ( ‘angu*

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

angulorum refradorum ad arqualcs angulos incidentia: diucrfiflcatur fecundum diile r
litatcm denfitaris /piorum mediorum, cum enim per acrem eundem & fecundum aequa-
liratem anguli incidentia' fit refrad/o inaqua & uitro, acutiores fiunt anguli refradi in
uitro quam in aqua,& fic fecundum diuerfitatem diafonitatis anguli uariantur. Si uero
medium fecundi diafoni fuerit rarius, tunc femper angulus refradus erit maior angulo
/ncidentia.Eritqj iftorum angulorum habitudo ad alios angulos reuerfe fe habens an*
gulis pramifsis,ac fi promiffa tabulae modo rcuerfo ordinentur, & iftorum angulorum
rcfradorum di refradionis fecundum maiorem di minorem raritatem diafonitatis fe«
eundi medtj ad eundem angulum incidentia: proportio uariatur, quando enim i uitro
ad aquam uel ad acremfit refradio, tunc anguli qui fiunt in acrcfunt maiores angulis
qui fiunt in aqua,& fecundum hoc angulorum refradiones ad angulos incidentia: pro*
portio uariatur.Harc itacp funtqua: accidunt lucibus di coloribus, uniuerfaliteromni
bus formis in diffufione fui in corporibus diafonis di in refradionc quae accidit in illis
omnibus tam fecundum fe quam in rcfpcdu ad uifus.Patct itaejj quod quaerebatur.

Tabula qnttVlAnguIi redi Anguli res
tatti angulojt' fradi ab aed fradionis
sncideti<eoib||rcad aqua. J|eiuidcin.
fcqntib. cois.j|

Anguli re.llAnguli ri
fradi ab ae.- 1 fiadionii
rcad uitruqjciufdcm.

II

Anguli rct'
fradi ab a f
aduitrum.

I Anguli
reffadi
onis e*
I iufdem

||pt|minut. ||pr|mimit. ||pi|minur. ||pc|miinit. ||pt|minut. I| pt |mi.

yo j

M

1 0 II

iy| ° 1

)Ol o

-i»

j o

Lo!

3° 1

islio |!

34B0

ii*f

?o

7. 1

N"> 1

M?° 1

1,81)0

II"!

jio

8o

1 ” 1

U49HO

(Anguli refra Anguli rc Anguli re- 1 Anguli re* II Anguli ie-
Idiabaqua fradionis fradi i ui- fradionis c- fradi i ut

|jad aerem |!eiufdcm. |ltro adacre.l|/uidem

Anguli

refrad

c/ufde.

llpar

mimi

llr'

minut.

|par

minut. |{pt

minut. jptfminut.

pt jmi.

'o 1

S

Ii

y

, ’

1 0 |i 3

1 0

30

o:,o

lo 1

14

3°

II 4

||0

I >«

30 II ^

30

•N®

3» |

37

jo

II 7|30

40

» II-

3°

'3

0

i 13

40 '

y<

0

i:>

0

*rl- III,

4y

°

t| 0

TO

o

ih

°

70

30 ibo

y7

7U0

6o

79

30

P 1 9

30

8y

0 ||iy

)»

70

lopo

7o

8o

£

3o

0

p’:

Ille

0 |

84

98

:

::l :

Centro uifus&pu&orci per refradionem uifx in tliucrfisdiafonis loca
propria permutantibus .exdem linee incidentix di refradionis nomina per
murant.

Satis iam patuit ex pr.Tmifsis huius i o.tradnt/bus.quod forma- uifae per rcfradion2
extenduntur diredeper lineam redam, donec pciucniant ad fupei fidem alrerius cor*
potis dufomin quo cft lufus.Dcmdc refringuntur ab illo alio corpore diafono p aliam

lineam

LIBER DECIMVS;

lineam rcdaimqua* continet cum linea incidentia: angulum, Sit ltaqj centmin uifus a Qi
pundum rei uifie b. Sitqj lupcrficies corporis in quo cft pundu b, ad uifum exiftente iii
pundo bjfupcrficics c d c,8d refringatur forma pundi b,ad uifum exiftente: in pundoa,
a fuperftcie corporis c d c, pundo d,fi t'q* linea incidentia: qua: b d , & linea refradionis,
qux d a,dico quod li ccntru uifus 8i pundu rei uifie permutet loca, ita ut ccntru uifus po
litfi flt in pundo b,& pundu rei uifie in pundo a.tunc adhuc fiet refradio ab eode pudo
corporis qua: cft d,& linea a d.crit linea incidenti;e,& linea d b,crit linea refradionis, 3i
fic tantfi linearu nomina permutantur rna nentibus eifde lineis 8i eode angulo , hoc alite
patet per cxpcrienti2,cfi enim aliquis exiftens in aere infpcxcrit aliud corpus contentum
lub alio corpore quod cftdiafonu, differens in fui diafonitate ab aeris diafonitatc.tuncui
fus coprchcndet omnia qua: funt ultra illud corpus, quxeuneu opponuntur uifui,& fi cos
operuerit altem uifuu.a: afpcxcrit cu reIiquo>uidebitiIlacaae quxprius,fiue illud medi
um (it acr,uel aqua,uel uitru.ucl criftallus.Quod fi uifus ponatur intra aqua , aut fub ut»
rro ucl criftallo.uidcbit omnia corpora uifibilia.quxfunt ultra illud aliud corpus diafo*
num in ipfo aere, flue ergo uiius fuerit in aere, ucl in uitro,fcmper coprchcndet omnia ei
deni qua* prius, patuit aute per 4.huius,quod uifus per mediu diafoni diuerfino cSprehe
dii res qux no funt in pcrpediculari duda i cetro uifus fuper fuperfide
diafoni corpor/s,nifi per refradioncm.omne ergo pundu coprehen*
fum i uifu,pra:cer illud pundum quod cft in prxdida perpendiculari,
coprchenditur per refradione,& quonia forma: omnifi pundor 0, qua:
fimt in omnibus uifibus exiftentibus ultra corpus diafonfi,rcfrangutur
in eode tempore ad ccntru unius uifus, patet quod fi alicuius rei uilx,pfi
dum cllet in pundo, in quo tunccft ccntru uifus, rcfrangftur forma illi
iis pundi aci omnia puda,qux funt in omnibus uifibus exiftentibus ul
ti a illud corpus diafoml oppofitu uifui in illo tcmpore.fieretqj illa refradio eode modo*
& lhnilitcr cft do quolibet pundo propinquo illi pundo in quo cft ccntru uifiis, quoniam
fi centro uifus in eode pundo remanente moneatur oculus ad omne differetiam politio*
nis, coprchcndctomnia illa utfibilia.Forma itacp cuiuslibet pundi cuiufcunqj rei uifie
cu fuerit ultra aliquod corpus dtafonfr , extenditur ad fupcrficte corporis diafoni ultra
quod eft, di refringitur ad uniuerfumeiusquodopponitur ei ex corporeaeris,, uel alte*
rius diafoni,8<! illa forma erit apud quodlibet pundfi illius fecundi corpofis diafoni , &£
ob hoc forma totius rei uifie coniungitur apud quodlibet pundfi aeris uel alterius corpo
rfs diafoni: forma enim cuiuslibet pundorfi rei uifie diffundit femper lineam redam, adf
unfiquodcp pundfi corporis diafoni , unde fi tot fuerint centra uifuum in aere, quot funt
punda aeris,quilibet illorfi uifufi uidebit totale formam rei uifibilis,qux eft fub altero di
afono,namk*mperformarciuifie,tunceritapitd purtdfiapud que erit& centrfi uifus,
unde etiam uifus motus de loco adlocfifupendcdiafonu, femper eande uidet formam
quamdiu forma illa fecundfi lineas redas poteft pertingere ad uifum,&: fimiliter plurcs
afpicientes coprehendfit unam rem in ccelo Qi in aqua uno 5i eode temporc,forma itaqj
cuiuslibetpundirciuifiecxteditirrad quodlibet pundfi corporis diafoniin quo eft res
uifa,8<! forma? omniu pundorfirci uifie congregantur apud quodlibct pundu cuiuslibet
corporis diafonginquo cxiftit,&: apud quodlibct pundfi corporis diatoni diuerfl abillo
corpore diafono , in quo exiftit res uifa , inter quodlibct enim pundu aeris, Si guitfblibet
rem uifibilc exiftente in aliquo corpore diafono diucrfo ab acre fit pyramis, «iuius uertex
cft in aliquo pundo aeris di bafisin fupci ficic ici Uifie, fiuntep totpyramides quot funt
punda acris, ucl alterius corporis diafoniin quo flt diffltfio formauiOb qtfiairaq; totum
medium cft plenum formis rerum, anguli ucro refradionisqux fiunt ab aere ad aquam
funt idem cum angulis rcfradionfi.qux fiunt ab aqua ad acrem, ut patet per prxmiflairt
intabulis.ldcmucroanguli femper per eafdcm lineas continentur, patet ergo^uialo*
cus cetri uifus Si pundu rei uifie de uno diafono ad ajtcrff permutatis , femper quide fic
form;e uniucrfalis diffufio,no tamen percipitur quxlibct forma, i quolibet uifu in quoli#
bet pimdo,fed folum in illo i quo fit d/redto rdradtc linea: ad illum uifum , patet itaqj
quia illx linex manent exdem fecundum fubftantiam nominibus tantum hinc inde per*

t r * mutatis

PERSPECTIVAE VITELUONIS

mutatis.ut qua: prius fuit linea incidentia: uel extenfionis ipfius forma: , poftea fiat linea
refra Aionis.a: econuerfo, patet ergo propofitum .

x.

Omnis rcfra&io formam luds & coloris quae funt in re uifa , debilius ui*
fui repraelentat.

Hoc patet per expcricntiS.cS enim aliud uifum eft: in medio fecundi diafoni , utpote
per aere in aqua,&: uifus fuerit ualde obliquus h perpendicularibus exeuntis i pundis
rei uifa: fuper (upcrficie aquas, & deinde uifus moueatur donec fiat politus in perpedicu*
lari aliqua exeute i re uifa fuper fuperfide aquar, tuc lux di color rei uilae fiut manifeftio»
ra cjj e flent cS afpidebatur oblique, tuc enim figura exies ad uifum feeundfi lineas obii»
quas eft rcfrada,& multu obliqua, in perpendiculari,ucro forma tota exitrede, Si que
dam partes eius oblique aut fert: redefccundfi quod plus uel minus diftant i perpendi»
culari, patet ergo ex hoc,quonia reflexio debilita t in formis reflexis luces ct colores, quas
forma: rem uiiarl! p quodeunqt corpus diafonu fecit deferunt ad uifum, nec enim cft a«
liqua alia differet/a illaru formaru in clfe fuo,crgo nec quo ad uifum,nifi iola obliquitas
nduccns refradione ,Qi perpendicula ritas adiuuans diredione uifionisA fccundu illa
uifus iudicat formaslucis di coloris debiles uel fortes. Accidit iracp in corporibus uifis p
mediufecimdidiafoni propter refradione fallacia, qua: non accideret in illis , fi ludcrcn1*
tur rede, quia etiam utpatet per 33. quarti huius. Omnis linea uel fuperficics rei uifa: di-
redeuifibusoppolita perfedius uidetur quSm obliquata, Si fecundum quantitatem otv
liquationis fit imperfedio uifionis,patct ergo propolitutn ,
x 1.

Imago refrada rei uiflbilis nunquam occurrit uifui in loco rei uilae, fed
femper extra fuum locum .

Quod autemhic proponitur, patet ratione & experientia, ratio autc eft ha:c,nam for*
ma comprehenfa iuifo in corpore diafono alio ab acre non cft ipfa res uifa, quoniam ul
fus non comprehendit rem tunc in fua forma uel in figura, fed in altjs difpolitionibus &i
alio modo, comprehendit enim imaginem refradam in fua oppofltionc , cum tamen res
non (itdirede uifui oppofita,& quia comprehendit rem refrade, ideo quia uifiiseft decli
uis i perpendicularibus exeuntibus i re uifa iitpcr fupcrhciem corporisdiafbni,comprc*
henditergo ipfum ut extra fuum locum non in luo loco. Per experientia quoqi idem pa»
rec.Afllimamr uas habes oras credas fuper bafem cius, 8i in medio fundi uaUs ponatur
denarius argenteus, dl elonget le experimetans quoufcp uideat illum denarium in fundo
uafis. Deinde elonget fe patilatim ultcrius.quoulqjnon uideatipfum,& in principio oc»
cubationis ftet in uio loco uifu immoto, pra-cipiat infundi aquam in uas,ita ut denarl
us non mutet locum,8i: tunc uidebit denarium in eius oppofltionc ipfo non exiftente in
eius oppofitione.ex quo patet quod forma quam experimentans uidetin aqua, non cft
in loco rei uifa*, nam Ii forma cftct in loco rei uifar,tunc etiam res uifa comprehendi pof=
fet fine infuflone aqua: in uas quod non accidit in tama diftantia. ut patuit, imago itaqj
rei uifa per refradionem non uidetur in loco ipfius rei, quod eft propofitum,
x 1 1.

Omnis forma pundi per refradionem uifi comprehenditur in reditudi*
ne lineae perquam apundo refradionis forma extenditur ad uifum .

Sit enim pundus per refradione uifus.qui cft a, cuius forma refrin»
gatur ad uifum ab aliquo ptindo fiiperficici corporis alterius diafoni,
(|uifitb,& fit centrO uifus d, dico quod forma pundia comprehenditur
—i uifu fecundum reditudinem linea d b,hoc aute inftrumentaliter de»
clarandum, accipiatur itaqjinftrumentrum primum, di ponatur inua
le impleto aqua ut prius.ut fignetur aliquod uidendum per refradio»
J£ncm in ora inftrumend in oppofitione uifus , Qi intueatur experimen*
tansper ambo foraminaita Ut uideat illud per refradionem. Deinde

claudetur

UBER DECIMVJ.

claudetur fecundum foramen fnftrumentf , & tunc non coprehendetur res uifa,& fi dau
datur primu foramen, fimiliternihtluidebfturjqmabfcifa eft linea reda imaginabijiter
exies uifus ad loeu rcfradiois, forma enim pudi uifl per refradione exteditur in corpo=
re diafono in quo eft res uifa,& refrangitur in corpore diafono cjd eft inter ipfum di cen
trUjUifus,peruenit'cj} ad tufum per linea redam exeunte 4 centro uifus ad pundnrcfra*
dionis, £x uifus no comprehendit aliquid nifi in reditudinc linearum radialium g quas
forma uifibiliu mouetur aduifum,&(i fiat operatio ginterpofitione alicuius uitri uifui
6i rei uifx.ut fupra eode modo penitus operandojpatebit ide,& hoc eft propofitu . Vi*
fus enim nihil coprehenditnifi in rcditudinelincarfi radialiu,noncnim patitur fn pro*
grefsione iftarC linearit 4 pundis rerum uifibilium ad uifum.quoniam non uidet , nifi res
fibi oppofitas,quarum formx fecundum lineas redas niultfplicant (e aduifum,ut patuit
per z , terti) huius,fli per multas (imilcs, patet ergo quod proponebatur *

XIII.

Omnis forma uifa per refradionem comprehenditur in linea perpendi#
Culari duda a pundo rei uifcc fuper fuperficicm corporis i qua fitrefirad/o.
Quod hic proponitur,patet ideo. quia lux extenditur in corpore diafono tranfitu uc
focifsimojintclligendo illam ueloCitatem modo prius expofito,&! iam patuft in his, qua:
dida fune in 47.?ecundi huius, quia tranfitus lucis in corpore diafono fuper lineam decli
uem fuper fuperfidem illius corporis, eft compofltus ex motu fuper lineam perpedicula*
rem exeuntem 4 pundo,4 quo exetenditur lux fuper fuperficie illius corporis diafoni , Qi
ex motu fuper lineam dtidam in fuperficie corporis diafoni aut linex xquediftantise/,
qua: eft perpendicularis fuper hanc lineam perpendicularem dtidam it pudo corporis
luminoli .forma ucro quo: extenditur 4 pundo rei per; refradionem uifx ad ipfum pun*
dum refradionis qux eft forma lucis cxiftentls in pundo rei uifa: mixta cum forma cos
loris, femper extenditur fuper lineam dediuem fuper fuperfleiem corporis diafoni , hxc
ergo forma extenditur ad locum fure refradionis motucompofitocx motu fuper perpS
dicularcm exeuntem Jt pundo ipfo uifo fuper fuperficicm corporis diafoni , 6 i exmoui
fuper lineam qua: eft perpendicularis fuper hanc perpendicularem . Eft ergo motus for*
mx qux mouetur ad uifum aut fuper perpendicularem dudam ab ipfo pundo cuiusip*
fa eft forma fuper fuperfidem corporisdiafoni,quamuispoftmodum translata fit ab hac
perpendiculari alio modo, aut motus eius eft fuper perpendicularem dudam fuper illam
priorem perpendicularem, 8i translata eft poftmotume/usfuper primam perpendicu*
larem dudam i pundo rei formx motx fuper fuperfleiem corporis diafoni.fitcp hxc tras
latio propter compofitionem ex prxdidis duobus motibus,formaergo exiens 4 loco re
fradionis pcrucnit ad ipfum uifum per motum formx.qux mouetur fuper lineam per*
pendicularcm dudam 4 pundo rei uifa: fuper fuperfidem corporis diafoni. Deinde mul
tiplicat ic ad uifum,palam eft quod proponitur per hoc, quia fi pundum fupcrficiei cors
poris diafoni cui incidit perpendicularis duda 4 pundo rei uifx contingat abfeondi 4ui
fu.utpote propter tnterpofirionem alicuius corporis opaci,non fiet uifio illius pundi rei
u/fx, forma ergo rei uifa: comprehenditur in perpendiculari duda i pundo rei uifx fu*
per fuperfleiem corporis i qua fit refradio, patet ergo propofitum,quod eft manifeftiu*
poftmodum fnftrumentaliter ftudebimus declarare,

XI II i.

Omnium formarum putidorum rei uifcc plus diftantium a linea perpetv»
cliculari,duda a centro uifusfupcrfuperficiem corporis diafoni a qua fit re#
fradio.maior eft refradio quam putidorum minus diftantium ab illa*

Efto centrum uifus a, 3 i linea uifa per refradionem fit b c d e,fit'cg communis fedfo
fopcrficiei refradionis di corporis, i cuius fuperficie fit refradio linex fg hi, fitfcg perpen
dicularis duda 4 centro uifus fuper fuperfiefem illius corporis linea a f.qux incidat in
pundum b.rct uifx,& fit a f b. Diftcfcg 4 pundo b , di st perpendiculari a f b , plus pun=
dum d qu4m pundum c,& plus pundum e quim pundum d,dico quod maior erit rclra

i i j dio

\

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

dio pundi c quim purtcfli d,& maior pundi d quim pundi c, forma enim pundi a, cum

(it in ipfa linea perpendiculari, patet
per 3. huius , quia non refrangitur >
forma: ucro aliorum pundoru qucc
funtcdc, patet quod re franguntur
per . Imius, di quoniam ut patet per
45>.hufus,nulla refradio tranfmutat
fitum partium forma: refrad$,fcd fo
lum auget ucl minuet figurS, patet
quod de ncccfsitatc diucrfitas forma
rum pudorum rei tiifc refrangitur
c ■> * jJdiucrfispundisrupcrficierumipfis

us rei uifse, ita quod forma pundi remotioris i uifu refrangitur 3 pundo fuperficici re»
motiori 3 centro uifus,alia's enim fieret tranfmutatio formarum uilarum per refradio»
nem. Sit ergo ut forma pundi c,rcfrangatur 3 pundo g,8e forma pundi d i pundo h,&
forma pundi e 3 pundo i,Sicducantur 3 pundo g, linea g I,8£ 3 pundo h, li»
ncah m,&3 pundo i, linea in,pcrpcndicuJarisfupcr fupcrficicm corporis d i*
afoni per 1 x. tmdccimi,&! producantur linea* incidentia: formarum ultra fu-
perfidem corporis linea cg in pundum o,&.' linea d h in pundum p , & linea
ci in pundum qA copulentur linea: rcfrada*3 pundisg hi , ad uilum qua:
luntg a,h a, i a ,quia itaq; in trigono a f z,duda* funt linea* a g Si a h , patet
. per i 1 .primi, quoniam angulus a g f cft maior angulo a h f.quia ergo angu»
lilgf&mh f, funt redi arqualcspclinquitur angulus agi minor angulo
a h m,fcd angulus og I Si p h m funt aquales, qua* libet enim linea inciden*
ti-rcum fua perpendiculari continet angulos arquales propter aqualem di»
ftantiampundorumbcd e abinuiccm &Jfupctficicdiafoni3qua fitrefra
j dio.Bfterco angulus p ha maior angulo o g a ,& angulus q i a maior angu
]*c lopha.Elrautem eadem difpofitio medij/n quo Ht refradio founaium p.un
dortim c&fd,3 pundisg & h pater ergo quod maior ht refradio 3 puncto h
remotiore ad uiftim a, quam 3 pundo g, propinquiore utfui illo pundo h . si
militer quoqj patet per eundem modum de pundo i .refpcdu pundi h , fit c=
nim fecundum preetnifla angulus a i 11 maior angulo a hm, cft ergomaior
refradio pundi i, quam pundi h, ergo cft maior quim pundi g, patet ergo
uniucrfaliter quod proponebatur. I11 omnibus cnun piidis Si liipcrficiebus
|A i quibus fit refradio cft eadem dcmonftratio,

X V.

Locus imaginis refradae cuiuslibet pundi rei perrefradio*
nem uificcftin communi fedione lineae refradionis per quam per
ucnitforma ad uifum,&.' Karheti incidendae exeuntis ab illo pudo
rei uila* fuper fupcrficicm corporis diafoni uiftim contingentis ,
1 ex quo patet quod locus iniaginisformaepuiidi rei uifiecxiftcn*
tis in medio fccundidiafoni denfiorisprimo approximat uifui , in rariore ucf
ro elongatur.

Virbi gratia ,fir pundus reiuifie per medium fecundi diafoni a A' fupcrficics fecundi
d/afonifit (n qua cft linea bc,S(: fit b ptindus refradionis, & centrum uifus Iit d.pcrueni
ateg forma pundi a ad uilum d fecundum lineam refradionis qua* Iit b d. Ducatur itaqj
pundo a, perpendicularis fuper fupet ficte bc.quar fit ac, dico quod in puncto quarclt
communis, fedio linea: pcrpendicularisa c , produda* d b, cft locus imaginis tcfradjc*
hqjcautcm patet, quoniam per 1 1 .huiijs, forma refrada occurrit uifui in linea d b.& per
1 -.t^ts, occurrit in linea pevpediculari qua* cft a c, occurrit ergo in communi /pfonwn
fedionequa; fit pundum x,hocantcm fortius infttumcntalitcr acmonftrandum . Act i*

piatur

LIBER. DECIM7S» ii5»

piatur columna rotunda lignea, cuius bafis diameter fit unius cubiti, 8i altitudo modica,
utpotc duorum ucl trium digitorum, plancntur ruperficicsbafium eius,& in unobafi
uni fiiarum inucnto per primam terti), centro, quod fit c , ducantur diametri quaecuncp
placuerint, di fint duo , quae g h & i k,oblique fe fecantes,quae profundentur ferro ut ap
parcant uiTui,& impicantur profunditates ipfarti cerufa diftemperata cu Iade uel eff a *
lio albo Iiijrc aut albo alio colore quoaincp,pudu uero centri quod eft e, fit nigru.Dein
dc accipiatur tiasmagnS profundum habens oras ercdas>& ponatur in loco luminofo.
Infundaturq; in uas aqua tanta,quod cum immifta fuerit columna in aquam eredatn
taliter, ut cius fuperfiries plana; perpcndicularisfint fuper fundum uafis, tunc ipfa aqua
excedit pundum e, centrum circuli bafis columna: ad aliquot digitos , expedeturep
donec aqua quiefeat in ipfouafc,moucatur itacj} columna donec g h, diameter bafis fit
perpendicularis fuper fuperficicm aqua:, declinetur quocg uifus extra ora uafis , quoufcp
appropinquet arquediftantia: fupcrficici aqua: in tanrum.ut pofsit uideri pundum c, ceu
trum circnli,Qd diameter g h,8f inucnietur centrum circuli c,in recflitudine illius diamc*
tti, deinde intueatur uifus diametrum i k, decimem fuper fuperficicm aqiKr,& inuenictur
Incuruari Si frangi apud fuperficicm aqua: . Eritcp pars eius intra aquam cum parte eius
extra aquam continens angulum obtufum rcfpcdu uifus, cum tamen diameter g
b extra aquam Si intra aquam remaneat, linea una reda fine refradione, ucl continen»
lia: angul/,cx quo patet quod forma pundi centralis quod eft c,quam uifus comprchen
dic, non eft apud centrum circuli bafis, quia tunc eflet etiam in reditudine diametri des
elinis qua: eft i k, quia fecundum ucritatcm ille eft eius fitus.Cum ergo uifus comprelien
di t illud pundum extra reditudinem diametri dccliuis qua- eft i k,fiC angulus quem con»
linent partes diametri dccliuis i k, fequentur perpendicularem g h, patet quod pundus
in quo uidetur forma centri e, eft cleuatus d centro bafis columna*, & quia uifus hoc pun
dum comprehendit in reditudine diametri g h, patet quod forma centri f, eft cleuata 1
ucro loco centri fecundum rcditudincm diametri perpcndicularttcr qua: e It gh , patet
etiam cx diametri dccliuis i k.incuruationc apud lupct ficicni aqua* Si ex reditudine
continuitatis partis fua* intra aquam, quod omne pundum partis diametri i k,cjuod eft
intra aqui eft clcuacum d fuoloco. Deinde reuoluatur circulus bafis columna* quoufqj
diameter i k, fiat perpendicularis fuper fuperficicm aqua*, erit ergo tunc g h,diamcter de
cliuis fuper fuperficicm aquat.Sd tunc uidebitur forma pundi f,in reditudine diametri i
k,3d extra rcditudincm dianiefri g h , quoniam illa uidebitur frangi & incuruari fuper
fuperficicm aqux.S i angulus incuruationis obtufus erit rcfpic/ens uifum Si diametrum
i k, perpendicularem fuper aqua: fuperficicm. Idem quocg accidet fi plurcsfint diametri
lignati in fupcrficie bafis columna*, femper enim forma centri f , uidebitur in reditudine
diametri perpendicularis,^ diameter dccliuis uidetur incuruari apud fupcrficiem aqua:
Si continet angulii obtufum cu parte fui qua: eft intra aqua.qua: pars intra aqua femper
uidebitur cotinua Si reda. Ex hoc itacp patet quod forma cuiuslibet pundi a,uifi in cor
porc di.ifonitatisgrofsioris,qudm fit aeris diafonitas.uidetur extra locum fuum cleuata
in reditudine perpendicularis exeuntis ab illo pudo fupcrficici corporis diafoni, cumli
nea d b, continuans d,centrum uifus cum pundo refradionis b, non fuerit perpendicula
iis fuper fupcrficiem corporis diafoni, Si quia ficut inftrumentalitcr di per rationem o*
llcnfum eft per 1 1 .huius, omne pundum comprehenditur a uifu in ipfius uifus oppofitk»
nc Si reditudine lineae perquam extenditur forma ad uifum,punda ergo qua: uifus co
prehendit per refradione,quia finit inoppofitionc uifus fccundu lineam redam in com
muni fedionc perpendicularis a e.SC linea d a,produda: ad perpendicularem , nccclfa^
fio uidemur.Eftcrgo putidus ille in quo illae linea: dux fecantlc locus imaginis refra*
da* , <^d fi fiat refradio forma* pundi uili d corpore diafono fubtiliori ad grofsius , adhuc
illud accidit quod in pra*mifsis,quonia adhuc locus imaginis refrada: erit in comuni fe#
dionc linece ref radionis per qua forma perucnit ad uifum.Si! linea: perpendicularis du«
d;e d pundo rei uila: fuper fupcrficie corporis d qua fit refradio. Affumatur enim uitru
fupcrficicnun planarum Si xquediftantiu, cuius longitudo fit odo digitorum , latitudo

Si fpifsitu

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

& fpifsituclo fit arqualis qua-Iibct quatuor digitorum , Deinde bafi columna lignea pi a
dida- prius inferibatur linea decem digitorum per i .quarti , quae fit I m. Liritq; medie-
ras linea 1 m,quinq5 digitorum.diuidaturcp in duo aqualia in pundo n A ii centro ba=
fis quod eft f, ducatur linea fn,A producatur illa linea ex utraq? parte ad periferiam ut
fiat diameter o n fp.Evit itaejj per 3 .tertij, linea fn, perpendicularis fuper ilincam 1 ni , A
ducatur linea f 1 A compleatur diameter lq,lia ita tj; dua- diametri op A 1 q.profunden'
tur cultro A impleatur diametri p o,concauitas colore albo A' diametri 1 q , concauitas
colore alio. Deinde ponatur uitrum fuper balem columna-, taliter ut altera extremitas
logittldinis fuperpona tur medietati linea: qua- eft n IA' quia uitrii eft in logitudinc odo
digitorumA linea 1 n quinq) digitoruni.patet quod longitudo uirri excedit quantitate
linea- ln3in tribus digitis,Adiftinguanturde uitio tres digiti,de ejuibus duo erunt ex par
te diametri lc|, declinis extra circuluA remanebit de longitudine uitri unus digitus nitra
diametrum p 0, perpendicula rem fuper lineam I m,(itq; corpus uitri ex parte centri fici-
licet inter lineam I m,A centrum 1,A (ie applicetur uitrii tabula- per glutinum , erit itaq;
perpendicularis po,crcda lliper extremitates uitri qua- funr luperheies dua- a-qucdifta*
tes A diameter 1 q erit obliqua fuper illas duas ftipcrficics . Ponatur itaq: peiilei ia circii
li cui liipn eminet extremitas uitri ex pane uilus expeiimimaniis A ponatur alter uifu*
lim in dida communi circumlercniia* balis A' extremitatis uitri, hoc dl in pildo I , quod
eft extremitas diametri declinis, qua- eft Iq,A' applicetur (aliter nitro, ita quod nihil ui-
dea tur cum illo oculo, nili (olus pundusl.rcliquusucrn uilus iit fn parte, in qua eft uitrii
A circulusA cooperiatur illud quod opponitur ei exfupeiKcie uitii cum panno linteo,
uel bombaca- , applicata taliter (uperfictci columna-, ut non uulcatur nili lola diameter
declinis 1 q,Sc' per unum uilitm contingentem uitrum, diameter uci o p o , perpendicula-
ris alba uideatur utrocjt uilii. Sic itaqi difpolito uilit A' inll 1 umento, eent rum circuli f ,in
ucnicturin redit udi ne diametri po>alba-,qua-dl eredi a fuper liipcihVicm uitri , A inuc'
nietur diameter declinis qiueeftl q.incuruata in liipcrficic uitri,qna- eft ex parte centri f,
cadctij} angulus incitruationis ex parte circumfercntia*,fcd uilus comprelu-ndif partem
diametriWpqua eft fubuitro in reditudinc, A quoniam uilus tangit liipnhVienuiitri, A
diametri perpendicularis qua- eft po, aliqua pars di liib nitro, A alia extra uitrum ex
( pai fei-xti cmifati.s diaint-f i i,ut di cius pars qua- o n, pars illa qua:

eft liib nitro compirlH-iulit 11 r .i uilu ex ii lente extra uitrum (ccim*
dum rdrndlionemA' pars o n,qu.e di ex parte extremitatis dia -
metri comprehenditur .i uilu extra uftnnn exiftente redte A line
rchadione , pars autem qua- eft ex parte centri comprehenditur
ab utroij’ uilu per rdfadioncin nam linea- exeuntes a centro ui-
jp fits cont ingeniis uitrum AYxtenla- in empore uitri pemenientes
ad liiperhciem uitri.qu.e dl ex p.u t e centri, omnes fiunt declines
lupcr (iipeihciem uin i, pars eigopcrpeiidiculai7s’diametripo>il
la qutccit ex parte centri comprehenditur :i uilu contingentem*
trnm per refraelionoinjine.r uero exeuntes i reliquo uilu adfupe
rimem uitri fiiperheiem erunt declines fuper fuperiorem uin i fu -
pcrficicm,cum ergo extenduntur ad liipci lu iem uilii,ieliquaim|u.c eft ex parte eentii i,
erunt et iam declines fuper illam , ut patet per •- ) . pi uni huius, illa- enim fupei heies uitri
funt a-quediilantcs ex hypothcfi , uilus itaq: ille comprehendet etiam pai rem diametri
po.qua-eft uerftis centrum f, duabus rcfradioniluis,puriem uero qua- di fub nitro una
lola refradlione, partem uero fuperiorem qua- dt po, comprehendet abftj? refradtione,
utercp tamen uiluum comprehendit Iiane diametrum po redam, A’ liexperiinentator
cooperto altero uilualpiciat fjlmnper nilum qui politus dt liiper tiinum , comprelicn*
det perpendicularem po redam, A fi clcuauerituifiim.i lupeihcie uitri, A intueatur dia •
metrum p o ultra uitrum, comprehendet tamen ipfam lineam redam, quaimiis compre-
hendat ipfamfccundii relradioncni,quoni.i quilibet pfidus diamer ri p o , A' (i non com*
prehendatur i uifu infuo Ioco.cbpicheditur ume in rectitudine perpendit ularis q exit 1

pundo

N,

| /
/

v

A |

\

LIBER DECrHVJ,

pundo illo fupcr fupcrficicm uitri, harc autem clt fola ipfa linea p o, per 20, primi huius*
quoniam ah imo pundo fupcr unamquanqj fuperficicm unam tantum perpendiculare
duci clt polsil)ik\Ha*cautcm linea qua: eft p o, i quolibet fui pundo procedit perpendi*
cularitcr fupcr fupcrficicm uitri.Omniscrgo refradio fuorum pundorum fit fuper ip*
fam eandem .forma itaqj centri f, quando uifus tangit uitrum, comprehenditur in redi*
tudinc diametri p o, exeuntis pcrpcndicularitcr a centro f, fuper fupcrficicm uitri, 8i dia
metri decliuis I q , pars extra uitrum exiftens uerfus centrum f, comprehenditur non iti
fuolocOjideo quia pundus centri f,non conprchcnditur 5 utfu,ni(i prccter fuum locum*
Si cum angulus incuruationis fuerit cx parte circumfcrcntix,tunc forma centri f, uides
tur fub centro ha fis columna:, quia ergo forma cuiuslibet pundi comprehehfi i uifu in
fecundo medio rarioris diafoni illo diafono in quo eft uifus, eft in redi tudinc perpendis
cularis produda* ab illo pundo fupcr fupcrficicm corporisdiafoni.quod eft contingens
uifimgcY cfl: remotior i fupcrficic eiufdem diafoni qua'm ipfum pundum,cuius uidetur
forma, & quoniam omne pundum comprehenfum i uifu per undecimani huius.eft in re
ditudiue lincte per quain forma peruenit ad uifum, patet quod forma cuiuslibet pundi
in cjiiibufcimqj diafbnis taliter fituatis comprehenditur in pundo, qui cfi: communis Ce-
dio linea: per quam forma pcrueiiir ad uifum>& linea: perpendicularis exeuntis d pun-
do rei uife fuper fuperiiciem corporis diafoni quod eft contingens uifum, & patet ex
.'einifus corrclarium, locus enim formee pundi rei uifte per refradionem quando fit il=
a refradio. iij medio fecundi diafonidcnfiorcprimo.tiinclocus imaginis approximant
iplTuiuiijiltpater in cxperfincntat/onc prima de centro f, cum ipfum uidetur fub aqua*
cum ucro fit ref radio d fupcrficic alterius diafoni rarioris primo diafono contingente ui
fum.tune locus im aginis elongatur a uifu,ut patet in experimenta rionc fecunda dc ccn*
tro f,uifo liih nitro approximato uifibus, cuius forma per medium rarius nitro quod cfl:
aerdtlKuuiitur ad ultri fnpcrHciem.&f per uitrum refringitur ad uifum , uc enim exeni*
plariter patet in prima figura protentis propofitionis,pundum Xjpropinquius eftuifui
exillemiiupimdo d.quarn pundum z, patet itaqj propofitum»

XVI,

Pormsc puncti rei uifrt* per refradione exiffentis in medio fecundi diafo*
ni, locus imaginis cjiiadoqj eftin ipfb fecudo corpore diafono, quadoqj in e*
jus fiipcrficicjiit in ipfb pundo refradionis,quandocp eft inter uifum & illud
corpus dialbnum,c|uandotp retro uifum, quandoqj in ipfa ftiperficie uifus*

Quia enim oftenlum eft per promittam , quod iocus imaginis refradte cuiuslibet
pundi rei per refradionem uife, eft in communi fcdione linea:, per quam forma perue
nic ad uifum, Si linea: perpendicularis exeuntis ab illo pundo rei uifie fupcr fiiperficicm
corporis diafoni uifum contingcntfc4cum ili® linea: nccclTario concurrant, aut squedie
ftant.Si concurrunt, patet quod ubicunqj illadincte fe intcrfecaucrint , flue hoc fit intra
corpus dialbiuini,in quo clt pundus rei uife, flue fuerit extra illud corpus , inter uifum
Si fupcrficicm illius corporis.fiuc hoc fuerit in centro uifus, fiuc retro uifum, ibi fcmpcr e»

1 it loefis imaginis forma* pundi rei uifar.Si uero illa linea per quam forma pcriicnit ad
nilum fuerit requcdiftans illi perpcndiculari,tunc non erit aliqua certitudo propria loci
illius imaginis nili folum ipfum pundum rcfradionis.in illo ergouidebitur hnagoillius
formae, fictu etiam accidit idem .quando linea refradioms Si duda perpendicularis in fp
fo pundo rcfradionisfcinterfecant, nec indigent ha*c alia dcmonftrationenifiilla
in 1 i.odaui huius, in fpcculis fplmicis concauis pofuimus,hcec enim refradid , ut patet
per 7.bufus,quandoqi fit i fupcrficic concaua corporis diafoni,quod corpus cfl: ex parte
uifus contingens connexum corporis diafoni quod eft cx parte rei uifa:,unde cfl; omni*
tnoda demnnllrationisfimilicudo facienda: hinc 8i inde, patet ergo propofitungdiucrfan
tur enim fll.c perpendiculares fecundum diucrfitatcm fupcrficicrum corporum, i quibus
fit refradio -

t! U tll

PERSPECTIVAE VITELLIONIS
X V I I.

In refradione formarum si fuperfidebus corporum alterius diafonitatis
ad! uifuitij fcmper fit deceptio in fitu »

Quoniam enim fecundum omnes lineas per quas forma extenditur ad uifum femper
fit refradio in fuperficie corporis alterius diafonitatis,ut linea per quam forma extendi*
tur in medio unius diafoni angulum contineat cum linea illa per quam in fecundo diafo
no forma perucnit ad uifum.iola uero perpendicularis duda i pundo uifo fuper fupcrfi
ciem corporis diafoni non refrangitur.SC omnis imaginis refra d a: locus cft in commu*
ni fedionc linea: fecud» per quam forma refrada extenditur ad uifum, Si line» perpen
dicularis exeuntis i pundo rei uif» fuper fupcrficiem corporis diafoni uifum continget»
cis per i4,luiius,hxcautemfediofcmpcreftcxtraIocurn uerum pundi uif?, quoniam
fola linea incidenti» concurrit cum illa perpendiculari in ipfo pundo rei uifa-,3 quo am
bxillx line* producuntur.palam ergo quia uifus nunquam uidet formam rei uif» per
refradionem uifl ab alio loco & litu cfj lit ipfa res uifa, erit itac£ politio formx comprc*
henlxi uifu alia i pundo rei uifx,& fi militer cft dc remotione.hxc autem funt quxdam
fitus, pundus enim communis fcdionis didarum linearum faciens locum imaginis in
refradione ex diafonodcnfiorc ad fubtillus feelcuat approximando uifui,8<: in refradio
nc ex diafono rariori ad denfius fe dcprimit.rcmouendo fc icetro uifus.ut patuit per cor
relarium I4.huius, patet itacjj quod locus imaginisfemper fe uariat,& fecundum hoc de
clpitur uifus fecundum (itum imaginis alium locum rei uifar,& fituationem aliam accipi
ens fecundum illud, patet ergo propolitum »

Xvii t*

Omnis forma rei ui/ac per refradionem comprehenditur ac firesilliui
formae fit in loco imaginis conftituta *

Sicut enim in 1 1, huius, didum cft, forma exiftens fn pundo refradionls perucnit
ad ipfum uifum per motum formx qu» mouetur fuper lineam perpcdicularcm fuper fu*
pcrndemcorporisdiafonidudamSpundorciuifx. Deinde transfertur ad hanc per*
pendicularem per motum in reditudine line» per quam forma perucnit ad uiTutn , for*
m i itacjj qua; cft fuper lineam perpendicularitcr incidentem iiipeificici corporis diaionf,
& deinde mouetur tn reditudine lincx.pcr quam forma extenditur ad uifum , cft forma
quee extenditur i pundo uifo in reditudine perpendicularis exeuntis cx ipfo iupcrlfupec
fidem corporis diafoni donec perueniat ad punduin fedionis,intcr hanc perpendicula*
rem Si lineam per quam forma extenditur ad uifum, forma itaqi quam uifus comprehcrt
dit refra da ultra corpus diafonum cft per motum forma:, qua: perucnit ad uifum i loco
imaginis, comprehendit autem uifus hanc formam in loco imaginis, licut alia qua: in
fuo loco comprehcdit line refradione per medium unius diafoni Si d/rede,uidetur itaqj
res diftans tantum i centro uifus, quantum pundus imaginis diftat ab eodem centro ul
fus, quoniam fitus loci imaginis in rcfpcdu uifus, & litus lormx qua: eft in loco imaginf»
unde propter refradionem forma rei uif» comprehenditur in loco imaginis , patet crt»
go propolitum,

XIX,

Communi fedioncfupcrfidci refradionis & fupcrficici corporis diafcw
ni in qua fit refradio exiftente linea reda,pundo£p rei uific exiftente in per*
pcndiculari duda a centro uifus fuper luperfidem corporis diafoni qualilcun
que a nullo pundo illius fupcrficici fiet refradio , & una tantum imago uifui
concurret.

Efto centrum uifus a ,& pundus rei uif» b,flt'q?g , aliquod pundum fuperficiei cor*
poris in quo lit refradio, quod iit grofsioris ucl rarioris diafonitatis quim corpus quod
cft contingens uifum,ducatur'qj i pundo a, centro uifus linea age, qux fit pei pcndicu*

laris

LIBER. DECIMVS#

ris fu per fuperficiem corporis fecundi diafoni per 1 1, undecim/, fltfcp pundus rei uifx,
qui eft lyn linea g e, palam ergo per 3 .Imius , quoniam uifus a comprehendet formam
pundi b,rcde line omni rcfradione,quia forma pundi b in rcditudinccxtcnditur per Ii
neam b g.ad fuperHeiem corporis diafoni quod eft cotingens uifum in pundo a, & quia
linea 1 g eft perpendicularis fuper fuperficiem corporis diafoni contingentis uifum, eoa
prehendet ergo uifus a pundumb in fuo loco fecundum reditudinem Iinea:agb,non
eft itaqt pofsibile ut pundum b, extra lineam b g a refrangatur ad uifum a. Si autem de
cur hoc dfc pofvibi!c,lit fuperficici illius diafoni in qua eft pundus refradionis b , alter
pundus refradionis qui Iit p,cxtra linqam a g b,&C refrangatur forma pundi b ad a cen
rrum uifus a pundo p, imaginemur itaq) fuperHeiem rcfradionisin qua fit linea perpera
dicularis qua: a gb.tranliicpcr pundum p,& fit communis iedio huius fuperficiei,&! fu
perficiei corporis diafoni in qua fit refradio linea reda .qua: eftgpd per 3. undecimi, &
& pundo p, extrahatur perpendicularis fuper lineam gd, per 1 i,primi,quxfitkpl,&fit
linea k p fproduda fec.is ipfum corpus diafonum.incuiusfuperficie fit refradio formre
pundi b ad uifum a.I3ft ergo linea k 1 p, perpendicularis fuper fuperficiem illius corporis
diafoui,ducarur itacp linea b p,&! producatur ultra corpus diafonum ufep ad pundum h
liric ergo angulus k p h, contentus a linea p h , per quam extenditur forma , & linea k p,
perpendiculari cxcunte i pudo refradionis quod eftp, fuper
fuperficiem corporis dicfoni,quia itaq? corpus diafonu, quod
eft ex pa i te uifus a, eft fubtilius illo quod cii ex parte ipfius b.
pundi rei mia:, tunc enim forma pundi b,peruenerit ad p,pfh
dum refradionis,palam per quartam huius, quia refringe*
tur ad partem contrariam illi parti in qua eft perpendicularis
k l,nonergo pcrucnit forma refrada ad lineam ab, ergo neq;
ad pundum a, quod eft centrum uifus, fcd datum eft ipfum re
frangi d pundo p ad pundum a, accidit igitur impofsibilc eo?
era hypothcfim,& quocump alio pundo dato idem accidit im
pofsibile,non ergo refrangitur forma pundi b ad uifum a , ex
ahquopundofupcrficiciilliuscorporisdiafoni dato extra li-
neam a g b,fcd fblum forma illa pundi b, fecundum reditudi*
nem pcrucnit ad uifum a,quod fi corpus diafonum continges
fuperficiem uifus fitdenlius diatono filo corpore quod eft con#
tineas pundum rei uifae , tunc idem linea p h refrangetur ad
partem perpendicularem p k, propter denfitatem diafonifes
eundi, nec tamen concurret unquam cum perpendiculari p k,
ergo neq? cum linea a b xquediftantc ipfi p k,pcr fextam unde
cimi, quoniam ambee linea: a b 8i k I , funt crcdx fuper fuperficiem corporis diafoni in
qua eft linea g p d,qualecunqj ergo fuerit diafonum fecundum, fcilicct rarius uel denfis
us piimodialono,fempcr pundo reiuffic fic difpofitod nullo pundo illius fuperficici dia
fotu fiet refradio ad uifum , fcd uidebitur res inipfa linea perpendiculari dud a 5 cetltro
uifus ad pundum rei uifa: iecantc fuperHeiem corporis fecundi diafoni inuno tantum
pundo g, forma ergo ilhUs pundi non comprehenditur, nifiex uno tantum pundo fiw
perficio illius corporis diafoni, habet ergo tantum unicam imaginemnon refradam,
quod eft propofitum ,

XXi

Communi fcdione fiiperfitiei refradioriis,& fuperficici corporis dia*
foni in qua fit refradio exiftente linea reda , pundocp uifo exiftente extra

uu x perpen

K

O

K

N

H

n

JB

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

perpendicularem dudam a centro uifus fuper fupcrficiem corporis diafoni
(lentioris dia fono uifuin contingente, ab uno tantum pundo fiet refradio,^
uidebitur unica imago «.

Remaneat difpofitio , qure efi: in proxima praccdcntc , Si fit ptmdus b, extra lineam
perpendicularem dudam i centro uifus a , fuper fupcrficicm fecundi dia foni , qua* cft a
g c, educatur quoqj fuperficies plana perlincamagc, & per pundum b,lia-c itacp erit
perpendicularis fuper fupcrficiem fecundi corporis diafoni per deamamodauam undes
cimi,8i fecabitfuperficicm corporis diafoni fecundum lineam redam per tertiam undes
cimfqute fit g d.non ergo refrangetur per fecundam huius, forma pundi b ad uiiiim a,
tiifi ab aliquo pundo fupcrficiei in qua cft: linea g d,non enim trafiit per duo pnnda a di
b, fuperficies perpendicularis fuper fupcrticicm fecundi corporis diafoni, nifiTolum fu*
perficies tranfiens perpendicularem a c
fed perpendicularem a c,6c per pundu
b,non tranfit aliqua fuperficies plana,
nili una fola, tantum forma ergo pun-
di b.refrangitur ad pundum a, centru
uifus ab aliquo pundo lincargd, quae
fit c.ducanturtp dux* linea* b c 8i e a, Si
extrahatur i pundo c, linea perpendi*
cularis fuper fupcrficiem g c d , per duo
decimam undecimi , qua* lit h e 2 , quae
per primam huius, erit in illa fupCtficie
refradionis > erit ergo linea h c 2 , per»
pendicularis fuper duas fuperficies illorum duorum corporum diatonorum , qitia duda
cft pcrpcndiculariter in fupcrficie ereda fuper illas ambas fuperficies , producatur itnq;
linea b e, in continuum & diredum,6<! Rt linea b cp,er/t ergo linea e p, cadens inter duas
lineaseh&!ca,pcr quartam huius , ham corpus diafonum quod cft ex parte a, centri ui
fus,cft fubtilius corpore d/afono quod cft ex parte b,crgo per cande quartam huius for-
ma pundi b,qua extenditur per lineam b c,cum pcrucnit ad c,pund um datum refiadi-
onisrcfrangituradpartcm contrariam pundi perpendicularis qua* cft = c li, crlt ergo
linea c p , inter duas lineas c b c a , ducatur itaq?;i pundo uifo b , linea perpendicula*
iis fuper lineam g d, per duodecimam primi, qua* lit bk, erit ergo linea b k, perpendi

cularis fuper fupcrficicm corpo*
ris diafoni , quodeilex parteb,
quia duda cft pcrpcndiculariter
in fuperficic a b g , crcda fuper
illam , educatur itaque linea ac»
in continuum, hac itaque rcfcca.
bit ab angulo b c k , angulum a**
qualem angulo p c a , per decima
quintam primi . Secabit ergo per
U/gcfimam nonam primi huiiis,cc
lineam b k.illi angulo fubtcnfam
Sccct ipfa ita qj lineam b k in pun
do m, palam itaejj per dcc/mUmquartam b.uius, quoniam pundus m , cft locus imaginis
forma; pundi b,& angulus p c a ,cft angulus refradionis. Dico ira qj quod pundus b,
non habebit aliam imaginem, pmcrqirim illam qua* cft: in pundo m, nec forma eius
refrangetur ad uifum in pundum a, ab alio pundo fupcificici corporis diafonijquam
i pundo c,ncccnimpotdt forma pundi b comprehendi i uifu,ni(i fecundum perpen*

dicularem

LIBER DE CJMVS* zg$

dtcularembkjpcr /i.fiufus.SittaCp pundus b,aliam habuerit imagine cj; in pundo trt,
erit ille pundosin linea b k,fid inter duo punda b Sik.pcr 14. huius, quia corpus qcfeft
cx parte b pfrdi uifi c(t grofsioris diafonitatis illo corpore tjd cft ex parte uifus a i Siti*
taqj fi pofsibilc cft illa alia imago forma: pundi b,in pundo linea: b kqcP fit n,crititaqj
pmidus n,aut inter duo punda ni k.aut inter duo punda hi b, ducatur quoqj linea ani
centro uifus ad pundum n,ha*c itaq? fecabit lineam g d,pcr i, undecimi, funt enim pun-
da a b k,in cade fopcrficic ctr linea gd, ut patet cx pnemifsis.Sccctcrgo linea a n, linea g
d.in pundo o ,dUca tu rejj lineabo, qua: produda ultra punduo,fignctur adpnndub, e*
rit itaq! pundi! o.pundii refradionis forma: pundi b,ad uifum in pundu a, quia b o 1 cft
linea per qua extenditur forma, & cft angulus 1 o a .angulus rcfradionis,ducatur itacy i
pundo o linea perpedicularisfupcr lineam gd, per 1 1. primi, qua: fit Hiicafo q,erititacj3
linea foq, perpendicularis fuper fuperfirie corporis diaphoni per z7,primiA per s. un«
decimijSC erit angulus 1 o fjxqualfs angulo o b n,coteto a perpediculari f q , & S linea b
o.pcrjqua exreditur forma ad locfl refradiois per z5>,primi;quonia ut patet per 6, unde*
cimijinca- b k&fo q funt arqucdiftates,(i itaqj pundus n, fuerit inter duo puda m & k,
tiic p fidus o erit inter duo punda c Si k,fccans linea e k,per 3 z. primi huius.erit itaqj ari
gulus c b k, maior angulo o b k.pcr 19. primi huius, q a omne totu cft maius fua parte, 8C
quia angulus p e h.cft a-qualis angulo c b k,pcr 15». primi, & angulus I e f, a-qualis angulo
o bk, per cande zp. primi, quonia linea- h 3 di Fq,8ib k, funt inter fea:qucdiftantcs,eritcr
go angulus p c h, maior angulo 1 0 f,& angulus p c a, cft angulus refradionis cx angulo
incidentia: qui cft p c h,8i angulus I o a,cft angulus refradiois cx angulo incidetia, qui
ell I o f, angulus ergo p e a, cft maior angulo 1 0 a, per 8.huius,oftefum cft enim in Coro!
lario qcf* pra-ccdit tabulasibi pofitas.ciltusucritas patet Cxpracedeti experimetatione,
quonia anguli refradionu itl inedio fecundi diaphoni grofsioris quibus differut anguli
incidetix ah angulis refradis cote-ntis fub linea perpediculari duda i pundo refradiof
nis fiipcr fuperheie diaphoni, i lineis refradis ad uifum in maioribus angulis incidens
«ia* funt maiores in minoribus funt minores, ergo angulus ac h cft minor angulo a 0 f
qd'cft impofsibiIc,quoniu enim p z 1. primi, angulusa egeft maior angulo a o g, Qi atis
guli hcg& fo gfuntxqualcsn z?. primi A quia funt rcdi,patct ergo angulus a o f.cft
maior angulo a c h,cum ergo fcquatur impoisibile cx datis.patct quod pundum n , hott
cadit inter punda m &k.Similitcr qUocp fequitur ex illisdatis.ut angulits e b, fit maior
angulo a o b quod cft impofsibilcA cotra z ».primi,produda linea a b.qua- ambobus ii
lis angulis fubtcndicurA a cuius pundis terminalibus illa: linea- produciitur. Si enim ati
gulus p c a, (it maior angulo 1 o a,crgo per 1 3. primi, angulus a c b cft maior angulo a 0
b.Gftcnimutcrqj illoru ftlpcr angui» fua- refradionis refidiif] duoru pundorfr,quod fi
pundus n.qui datus cft cfte locus fccilnda: imaginis forma pundi b, fuerit inter auo puti
da m Si b, linea b k,tunc pundusc,crit inter duo punda o fi i k,pcr 3 z.primi huius, quod
poteft oflendi ut prius A erit angulus c b k, minor angulo o b k,crit ergo ut prius, angii
Ius p c h minor angulo 1 0 f,fie' erit angulus p e a, qui cft angulus refradiois minor angu*
Io 1 o a, qui cft etiam angulus rcfradionis,anguIus ergo a c b cft maior angulo a o b, qd*
cft impoisibile ut prius per z 1 .primi, duda linea a b.lmpofsibilc cft ergo quod pundus
n,fit locus imaginis forma- pundi b , ergo neqj aliquod aliud pundum linea: b k, prxter
pundum m, pundus itaq?b,cxiftcns in propofito fitu nonhabebit alium locum /magi*
nis rcfpcdu uifus a, nifi folum p fidum m.nccrefr angitur ab alio pundo fuperficiei cot
poris diaphoni ad uifum a, nifi a folo pundo c, quod cft propofitum,
x x i.

Comimini fcdionc fuperficiei refradionis & fuperficiei corporis diafo*
ni,in quo fi tre (radio exi flente linea rcda,pundoq3 uifo.cxiftcntc extra peiv
pcr.dicularcm eluet am ;i centro uifus per fupcrficicm corporis diafonirario*
ris corpore diatono uifum contingente, ab uno tantum pundo fiet refradio
&unicauidcbiturima<io.

uit 1

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Remaneat omnis difpofitio ut in prae cedentibus, nifi quod corpus dia fanum in cufut
fupcrficic cft linea gd,8t perpendicularis g e, quod cft ex parte uilusa,firgrofsiori$ dia»
fonitatis illo corpore, quod cft ex parte b,pundi rei uifa*,& illud quod cft ex parte pun*
di b, fit rarius, & fit linea bk,dudailpuncfto rei, per 1 1 ,undccimi,perpcndicularisluper
fuperfidem corporis diaforu, fiat'q? refra
dio foriqae pundi b,ad uifum a, ex pun*
dio fupcrficiei illius corporisquodfitc,
& ducatur linea: b e & e a protrahaturcp
linea 1 c,ufqj ad pundum p, ultra fupcrfi
ciem corporis in qua cft linea gf, 8ii
puncflo refradionis quod eft e , ducatur
linea lic, pcrpcndicularitcr fuper lineam
g k , cadet ergo linea a e , media inter du
as lineas a p &! e b , nam prima linea per
quam extenditur forma ad locum refra
dionis cft linea b e p,fit autem refradio ad partem perpendicularis e li, per quartam hu*
ius, nam corpus quod cft ex parte uifus a,cft grofsioris dialonitatis corpore quod cft ad
partem rei uifieb.ut paret ex hypothcfi, protrahatur itacp linea a e, ultra pundumc.quo
uiq? concurrat cum linea k b, concurret autem cum illa per fecundam primi huius, fccat
enim ciusaquedifiaiite lineam h e 3 .Secet ergo linea k b in pundo m. lift iraqj per 1 q.
piiim liuius,pun<ftus m, locus imaginis form;cpundlib,8<! profuudabitur fub pundo b,
ultraMitum rei, cuius ipfum habet formam , nam corpus quod
cft exparte b,cft fubtilius illo corpore £}d cft ex parte uilus a,
dico itaqj quod forma pundi b non refrangitur ad uifum a, ni
I fi a folo pundo c,6i quod non habet imaginem, nifi in folo pu*

<flo m,fi enim hoc fit pofsibilc.ut plurcs habeat imagines c(i illa
qua: cft in pundo m,fit ut habeat imaginem in pundo alio c^d
ut n,crititaqj puntflus n, in linea perpendiculari bk,p 1 2. huius
Si infra puncflti b p H.huius, propter corpori! dtafonoi ii medi
orii propofitam diucrfitate,auc igitur erit putidus n, inter cluo
punda m Si h,aut fuh pundo m, (it primo inter duo punda 1»
Si m.ducatimp linea a n,quar fccahit lincame k, per 3 2. primi
huius, quia ipia produda i pudlo lateris m c,iccat lanis k m, tri
goni e k 111, remotius i puncflo a,qd’ cft latus k m,& etiam id .0

K p (|uia puntfla a Si b,fum in cade fupci ficie,Se' linea e d ell iaces

inter illa pinula. Secet ergo ipfum in putido 0,1 ll itacp o pun<
B dus rcfiadiunis.fc' ducatur lineabo, quxtranfcat ufcpadpun
du I,& ex pfido o extrahatur linea 1 0 q, pcrpcndicularitcr fu--
perlinciigodpi i.primi,Iincaitaq}boeft illa linea p ijj linea
pfidib, exceditur ad pfidii refradiois ijd eft 0, linea qqj o a, e»
M r it interdius lineas o 1 fic' o f,qm in tali dilpolitibc tncdioru dia

fonorii (emper fit refradio ad ppediculare p 4, huius . Si tt a cy
pfidus n, fuerit inter duo pfida m Si b , erit p 3 z . primi huius,
pudu o, inter duo pfida e Si k.crgo ut in pmiHa p zy, primi lui
ius, angulus obk, erit minor angulo e hk, qm pars ell minor
, II fuo toto, fcd per *p. primi, angulus lof, eft aqualis angulo o

!r v ' bk, Si angulus pch, cft cccjiialis angulo cb k,idco quod li*
near he&fo,&!kb funt tequcdiftantes , cft ergo angulus I o f , minor angulo pe h,an®
giilusitaque 1 0 a, qui cft locus refradionis per corollarium 8. huius, cft minor angulop
e a,qui cft etiam angulus refradionis.ergo angulus a o f,qui remanet de angulo 1 o f,fu*
er angulum refradionisqui cft Io a, cft maior angulo a eh,qui remanet de angulo pe
fup angulu refradionis qui cft p e a,p cande 3, huius, fcd angulus a o f , cft aqualis an

gulo

LIBER PECIMV-St zrf*

gulo 5i n k,per 19. primi, & angulus a e h,eft aqualis angulo a m k, per eandem tp, primi
angulus itacp a n k,cft minor angulo a m k,quod eft ImpofsiblleA contra imprimi . Si
aute pundus n, fuerit infra pundum m,tunc ut prius in proxima huius, dedudloe fada
pundus c, cadet intra pundum o&kA erit angulus obk, maior angulo ebk.pcr ip+
primi huiusA quia totB cft maius parte, angulus ergo 1 0 f,crit maior angulo peh , per
ap.prfmijcrgo angulus Ioa,eft maior angulo pe a, 8dangulusaof eft maior angulo a
e h.per 8. huius, ut prfus.ergo angulus a n k,per zji.pi imijeft maior angulo a m k , quod
eft impofsibile A contra 1 6 primi, non cft ergo imago forma pundi b,in pundo n , nec
en aliquo alio pundo linea m k b, prarter quSm in pundo m, quoniam idem impofsibile
iaccidit in omnibus daris pundi$,ab unico ergo pundo in hac difpofitioncfiet refradio,
BC unica uifui occurrit imago, patet ergo propofitum»
x xir.

Communi fe&ionc (uperfirfri refratfHoms & fuperficiei corporis diafo*
ni in quo fit refradio exiftente circulo,pundoc^ uifo exiftentein perpendicu
lari duda a centro uiiiis iiiperconucxam iuperficicm corporis diafoni , for*
mi rei uific 5 nullo pundo fiet refradio>& una tantum uidebitur imago.

Sit ccntru uifus pundil a,f?tcp b pundus rei uifae ultra i^rpus diafonu grofsiusillo
corpore diafono.quod eft circa uifum A fit fuperficics illius corporis diaphoni , O) cft ex
parte b.fupcrffcies conucxa illa quae eft ex parte uifus a.fitqj comunfs fedio lupernclei re
fradion/s Si iliperflciei illius corporis diafoniper 6p, primi huius, circuluscd e, cuius ce
trum fit pffdus 3 .di ducatur linea a c 3 d,qui neceflario erit perpcdicularis fuper fupcrfici
em corporis diafoni per 71. primi huius, quoniS tranfit p pundu 3, ccntru cius,(it'cp b pu*
dus rei uifae in ppediculari linea quae cft a d.tuc ita qj uifus a coprehedet forma pudib,ft
ne aliqua refradioe, na forma qux exteditur fecfidu linea d a, exteditur rede in corpore
diafono quod eft cx parte uifus a.p 3 .huius, ideo qdlinca d a cil perpen
dicularis fuper fuperheie corporis diafoni quod cil cx parte uifus com*
pi cliedct itacp uifus a, forma pundi b,in fuo loco & rede , fed & inhac
diipofitioc forma pundi b,nuncjj refringitur ad a uifum. Aut enim pus
dus rei uifar qui eft b,er it in centro corporis diafoni quod eft 3, aut ex#
tra illud, fi fuerit In centro 3,tuncnullalinea per cj extenditur forma pff
di b,ad circumferentiam circuli c d e,rcfrangitur ad uifum a, quoniam
omnes illa* funt femidiametri perpendiculares fuper fuperficlem conue
xam corporis diafoni A quia fola linea 3 a, exit i cctro circuli c d e ad
uifum, patet quod forma pundi b,non refrangitur ad uifum a,cir pun*
dus b, fuerit in centro 3 ,quod fi pundus b, fuerit in linea c d extra ccn*;
trum j.auc igitur erit in linea d 3, aut in linea 3 c,fi fit in linea 3C,adhuc«\
nulla ilii fiet refradio ad uifum a.Quod fi fuerit pofsibile.cfto quod rej^. I/
frangatur ex pundo cA ducatur linea b c,& protrahatur extra circu*
lum ad pundum hA protrahatur linea 3 c, extra circulum adpfidup
erititaq} linea 3 p, perpendicularis fuper fuperficicm corporis diafoni
quod cft ex parte uifus. Cum itacfl corpus diafonum quodeft circa ui*

Ium, fuerit rarius corpore diafono.quod eft circa rem uifam , &' circa
punduin b, patet per 4,huius,quod forma pundi b, quando exteditur
per lineam b e, refrangitur in pundo e, ad parte cotraria illi parti in qua eft perpendicu#
laris 3 p, non ergo refrangitur tunc forma pundi b,ad uifum a,qcP fi pundum b.fit in II
nea d 3 adhuc non refrangitur forma pundi b,ad uifum a. Si enim tioc cft pofsibile ficut
refrangaturex pundo e A producatur linea b e ad pudfikA ^trahatur linea 3 c, ad pS
dir p,fitcp ut forma pudi b refragatur ad uifum a, ex pudo c,per lineata e a, palam itaqj
quonia angulus r e a, cft angulus refradionisA angulus k e pcft contentus i linea b er»
per quam extenditur forma pundi bA perpendiculari exeuntt a b e, pudo refradioit
(upfupcrfide corporis diafoni i qua fit refradio^ergo per cottclarium 8, huius angulus

Incidenti»

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

incidentia’ quicftrca.cft minor angulo rcfrado qui cfl r c p,Sd linea b e 3, aut eft minor
t|f linea 3 c,aut aqualis ci,quia pundus b, aut cfl; inter duo punda d& 3,aut in pudo d,
Eft ira q; per 19. & per y.primfanguluseb 3, aut maior angulo bc 3, aut aequalis ei , fcd
angulus a c r,pcr 1 6. primi, maior eft angulo e b 3 ,crgo S>i angulus b c 3 ,8i angulus ne p
per 1 y.primi, eft aqualis angulo b e 3, Erit ergo angulus a cr,inaior angulorcp quod
cftcotra pricoftenfa iinpoisibiIc,forma ergo punctib , non refrangitur ad uifum a, ex
pundo c,fed nec ex alio pundo circuli c d c,ncc ex alia ei rcumfcrciuia al/CUius circulos
rum in fuperficie corporis diafoni,in quo eft pundfi b cxiftcntiu.ut parer p 1 .huius, pala
ergo qmcxiftenrcpudo b.in linea gd,no coprchcnditur forma eiusa uifu a, per icfradi
one ex aliquo pudo iiipcrficiei corporis dcn(ioris,& non coprchcnditur, nili folu unum
pundu»qnl linea perpendicularis fuper fupcrftcicm corporis diafoni dcnfionris no fecat
illius Corporis fuperficie nili in uno tanti? pundo.unica ergo rantu uidetur imago. Simi
liter quoqj dcmonftrandu fi corpus diatonum quod eft circa centri mi uifus pudum a, fu
eritdcilfius corporcdiafono,quOu eft circa pueli! rei uifa*, quod eft b, tue cih icinpcr fiat
refradio ad perpendiculare duda a dato piido relradionis,SC nuinf} fiet ad ccntru uifus
pundua,(iucpiiiidii rei uifa* fuerit in lineae 3,uel in linea 3 b ,di iequuntur maiora im»
pofsibilia ijj prius,&.' (i fuerit in centro 3, patet quod non lefi angitur, (ed uidetur divede
forma eius, Si unica eft eius imago, patet itaqt propolitu iccundu omnes cius modos.

V XX 1 1 I.

Communi fcdione fiipcrhcici ref raclionis fupcrficici corporis diafo*
ni in quo litrclradio exiftente circulo puntfloty uifoiaccntc. extra perpendi-
cularcitldudam a centro uifus fuper fupcrlicicni connexam corporis diafoni
grofsioriscorporc iliafono uiiiun contingente ab uno tantum pumflo fiet re*
fra(ftio,& unica uidebnurimagOjloco tamen imaginis diucrfificato iccundu
diucrfitatcm loci puncti uili ud centri uiiiis .

Efto difpofitio qux inproxima pmilla,nifi qund pundus rei iiidc qui cftb, fit extra
lineam a c d,tame intra 'circuli! c d c,& quia forma puncti b ,nf> retrangitur aduilum a,
nili in circOlerentiacirculicde.qiKveftin fupnllcicieli.idion/s,ut patet n r. huius, & ex
liypotliefi,fitqjiIla refradio .1 concauitatc corporisdiafbni.qd eft ex parte uiltis contin-
gcnsconucxu corporis di.ifimi ex parte rei uii.v*,lir ut reli angatur ad uifum a , ex piido
e.circulicde.dicoquod non poteft ex alio pundo fupcrficici corporis illius rchangt
ad uifum. Sit em,fi pofsibiIc,ut refrangatur ex pundo alio
circuli c de, Cfl ex pundo c , qui fit pundus m , &' ducamur
lineat b c,a c, b m, a m, 3 c, 3 m , fit quoq; ut lincte 3 e,£\' I>
m,cum fint in fuperficie circuli c d c,fccent fc in pundo.qd
(it g, Qi producatur linea b c , extra circulum ufq? ad puti»
dumh,8dincabmufcj{ad prtdumn,& linea 3 e , ufqj ad
pundum n,& linea 3 cufqjad pudu p,&: linea 3 m ufqi ad
pundu ferit iraqj angulus h cp,per 1 y.prftni,a*qua!is an*
gulo incidendae , qm uterqj illorum eft contentus (iib linea
eb.pcr qua extenditur format fub perpendiculari e p, ex
cunte d loco refradionis qua: cfl: c, fuper iupcrficicm coi po
ris , i quo fit refradio , critqj angulus h e a , angulus ref 1 .1
dionis , 8i erit angulus 1 m n , a-qualis angulo incideuti;e
contentus fiib linea nm , per quam extenditur forma , Qc.
fubpcrpendiaularil m,cxcimtca loco rdfadionisqiuv eft
3 m,&angulus nma, cftangulus refia dionis, erit itaque
angulus hep, aut ecqualis angulo nm I, autmaiorauc mi»
nor, (i fitarqualisjtunc per 9. huius, erit angulus h c a ,rch a*
dibis atqualis angulo n m a, qui eft fimilitcr angulus ref r&
dionis, di quonia utcrq} ipibru eu ftio cbpari uaiec duoS re

L r B E R. D t C I M V S '«

dos per r 3 ■primi, erit tunc angulus a mb, aqualis angulo a eb,qUOd ,pduda linea, ab»
patet effe impofsibi!c,8d contra a i.primi.Si aut angulus h e p,fit minor angulo 1 m n, c«
rit angulus lic a.minor angulo n m a, per 8,huius,ent ergo per 1 3.primi,angulus a m b
minor angulo a c b.quod iterum cft contra x i .primi,& impofsibile.Si uero angulus h c
p,fit maior angulo 1 m n, extrahatur linea e b,in partem pudi b,ad pundu circuferentia:
qui flt f,8< extrahatur linea m b , ultra pudu b,ad pundu circumferentia: qui fit o, angue
Ius itacp c b m,crit per r4. primi huins.xqualis angulo qui eft apud circuferentiam cades
in arcum aquale m duobus arcubus cmSi f eu angulus h e p,ex hypothefi,fit maior
angulo n m l.erft angulus 3 cb.per i j-.primqmaior angulo n m I,ergo 8 i angulilsb m j
per eundem i.r.cil ergo angulus 3 cb, fit maior angulo bm 3,eritexcc(fus anguli m 3 e,
fuper angulum c bm,arqualis excclTui anguli 3 c b.fupcr angulum bm 3, per z 1 . primi,
c5 enim in trigonis c b g Qi m g 3 , anguli interfediois ad pundu g,fint aquales, ut patet
per 1 y.primi,& qlibct reliquoru duoru cu fuo tertio ualcant duos redos, patet q> duo an
guli reliqui unius trigoni funt aquales duobus reliquis angulis alterius trigoni, in quato
ergo angulus 3 e b, cft maior angulo b m 3 ,in tanto angulus m 3 c , eft maior angulo e b
m, arcus Uero rcfpicicns angulum me 3, cum fuerit apud circumferet/am}erit duplus ad
arcum m c.per 1 s>,tertij,& per ultimam fexri . Si ergo angulus m 3 e, fuerit maior angti
Io m b c.tunc arcus m e duplicatus erit maior duobus arcubus me&fo,&! erit exccfliis
arcus a x, duplicari fuper duos arcus m e & f o, aqualis cxccffui arcus m e , fuper arcum
f o.fyiiam arcus m c,utricp cft comunis,$ ablato remanet ide excefTus, & fi uarieturpros
portio Gcomctrica,no tameuariatur ^portio Arithmetica,exccflusergoangulim 3 e,
fiipcr angulum e b m.eft ille qui rcfpicit apud circuferentiam excefTus arcus m e, fuper
arcum f o,fed cxcdTus arcus m c, fuper arcum fo,eft minor duobus arcubus m c di fo,
qtiontS cft pars arcus m e.crgo cxccftiis anguli a m c, fuper angulu m b c,eft minor angu
Io m hc, per ultimam fexti,8i ut patet cxpramifsis,cxcciTus itaqj anguli 3 eb,fupangus
lii 3 m b,cft minor angulo m b e, ergo ut fupra patet p 1 y.primijcxcefius anguli h e p,ftw
per anguli! n m l,cft minor angulo m b c,crgo cxccfliis anguli refradionisli c a , fup an*
gulu refradionis, quae cft n m a, cft multo minor angulo m bc, per 8. huius, fed excefTus
anguli h c a, fuper angulu n m a, cft excefTus anguli a m b.fujj angulu a c b,pcr 1 3, primi,
excefTus ftacp anguli a m b.fupcr angulfi a c b,eft minor angulo m b c, excefTus uero an*
guli a m b.fupcr angulu a cb,& duo anguli mae&mbc, quod patet per 3 3 , primi hu*
ins,,pduda linea a b,duo itaqj anguli mac&mb c,funt minores angulo m b e , totu fua
pai te,(]uod eft finpofsibfle, forma itaqj pundf b no refrangituraduifum a, ex alio pun*
('i. ) circuli c d c,qu3m ex pfido c, unica ergo habebit imagine,& hoc eft propofitum pri
inir.Sed di locus imaginis diucrfatur fccundu diucrfitate loci in quo eft pundil uifum ^d
cft b, producatur enim linea b 3, ultra pundabfk 3,adutramqj parte trans circuli ede»
q' ix au te concurret c» linea e a, aut erit aqitediftans ei.Si cocurrat , tunc concurfus aut
erit ad parte diametri ad quam cft b,, propinquior periferiaut in pundo k,aut cocurret
in pundo aliquo alioad partem uifus.ut in pundo r,fi itaq? concurfus fuerit in pundo k
tunc per 14, huius, erit imago ante uifum, di erit forma manifefte coprchenfa i uifu,quo
niam cft in perpendiculari 3 k.produda d cetro corporis diafoni fuper fuperficie corpo
ris diafoni, ^d fi concurfus fuerit in pundo r,erit imago pfidi r,6i tunc forma cdpreheri
ditur i uifu in cius oppofitionc,fed non manifefte, quia comprehenditur i uifu extra futi
locu.fcilicet extra fuperficiem corporis diafoni inter uifum di illam fupcrficiejSi Uero lia
nca b 3, fuerit aqucdiftans linea: c a, tue erit linea b 3,mcdiaintcrduaslineashb3 b j
v,pcr »4.primi huius, & tunc imago uidetur indctcrminata,8d forma comprehenditur iti
loco refradionis, ut patet per 1 5-, libri huius, & hoc eft propofitu.Exhis itaq; patet, quod
re cuius forma coprchenditur d uifu exiftente ultra corpus diafonugrofsius corpore dia
tono quod elt cx parte tufus.non fit refradio nifi ab uno tantum fuperficiet illius corpo=
ris pundo, & res illa non habet nifi imaginem unicam, neqj comprehenditur nifi ununt
i.mtum.Hxc enim refradio elt a concauitate totius diafoni,quod cft ex parte ufflts, c5
lingentis connexum corporis diafoni,quod eft ex parte reiuilx, patet etiam quodfccutt

xx dutft

PERSPECTIVAE VlTELLIONlS

dum duierfifafem fituationis puudi a, qui eft centrum uifus.fit diucrfftas locorum imas
ginum forma: pundi b.non tranfinutati fecundum (itum, quoniam eadem eft huius cum
pramiifto modo alio declaratio, nili quod tunc punda refradionum diucrfih'cantur.

XX 1 1 1 1.

Communi fedioneluperfideirefradionis& fuperfidei corporis diafoni
in quo fitrefradio exiftente drciilo,pund:ocj3 uiioiaccntc extra pcrpendicu*
larem cludam a centro uilus fuper fuperficiem corporis diafoni rarioris dia<*
fono uifum contingcnte,ab uno tantum pundo fiet refradio, & unica refra*
danidebitur imago, loco tantum imaginis diuerfificato fecundum diuerfica*
tem loci pundi uifi uel centri uilus.

Efto omnis difpoficio,ut in pra:ccdcnte,nifi quod pundum b,nunc ponimus effe ccn
trum uifus,&! pundum a,pundu rei uifx*,rcfrangatur itaq; forma pundi a , ad uifum b,
a pundoe,&: erit linea refradionisa cb, forma itaqj cxtcntcnfa per lineam a c, refrangi
turper lineam c b,(icut in praccdenti propofitione forma extenfa per linea c b, refrangi
fur per lineam c a .Si itaq? forma pundi a,rcfrangitur ad uifum b , ex alio pundo circii
li c d c, quini expando e, tunc utiqj forma pundi b.refrangitur ad uifimi a, ex code pim
do.ut oftcnfum eft in p.huius/ed iam in pra-ccdeti dcclaratficft hoceflc impoisibilc,(or
ma enim extefa per linea b e,&! refrada per lineam c a, per pra*ccdcnte proxima, non po*
teft refrangi ad uifum exiftentem in pundo a,ab alio pundo circuli ede, neq; ex alio
pirdofuperticie/corporisdiaib.ii,cjuonia infupcrficie rcfradionisfoluscadirille circu*
us,noncrgorcfi angctur forma pundi a.adtiifurn exiftente in pundo b,cx alio pundo
Circuli c d e,ni(i ex pundo e A' unica tantum uidebituriinago.dcdiucrfirate qiu.qj loco
Ium imaginum eft idem,licwt in pnemiffa declarandum, patet ergo propofitum .

XXV»

Curnfuperficies fphcericaconucxa corporis diafoni de n fio r is aere fiieric
oppofita uifui exiftenti extra circulorum communis fcdidis fuperfidei rei ..
Itionis & corporis Iphaerici diafoni dcnlioris,pofsibilc cflline;.«n avlan-, ia*
liter fifiijUt aliquis ipfius putidus direde 8.' diucrfa punda eitifdcm line.i m \t
deantur rcfrachv ora q? forma illius Iine.r relrangaun ii portione (iipcrlicici
corporis illius terminata circulo non ni;igiio,&Iocus imaginis fua’ lit in ccn
tro uifus,

Efto • oinunis fedio fuperftciei lvfradionis corporis fplia-rici connexi dcfioiisd/as
foni ijjcft aer, Circulus g cd, cuius ccntruin lit 3,ducatur'qi Icmidiametcr 3 e, (uper cuius
ccrininu c,Hatper 13. primi, lnguUis 3 c k,a-qitalis maximo angulo incidentia- quem co
tinet linea extenfionis forma- pundi rcicxiftcntis fub illo diafuiio ad uifum cxiftvimm
extra illud diafbnu in aere,ucl in alio diafbno rariori cum linea perpendicula 1 i dudu i
pundo c,fiiper fupcificie illius corporis, in qua fit refradio,Kat'q? angulus k c c,pcr ean -
dem 13 . primi, a-qualis medietati maximi anguli rclVadionis,qui poteft heri inter cor po
i a diafona qux-cuncjj da ta,uc inter aquam fiC aerem, ucl cconuerfo Jioc autem « ft poisi'
bile.quoniaomnesifti anguli per 8.1utius,funt noti,& i pundo 3 .centro corporis grofsi
oris ducatur linea a-qucdiftans lineo? e t,pcr 3 i.primi.qiKL- ,pduda exutracp ad aram. 3
ferendum firg 3 d,ic lineae 3,cxpartcpundic, protrahatur extra corpus illud ulq? ad
h punctum, cum itaq; utpatetcxpra-mtfsis, proportio anguli 3 e k, ad duplum anguli k
c c.fir maxima ,pporf io.qni angulus incidentia: que continet linea per qua extediiur for
ma pundi i ci uiia- ad fupci ficie corporis, i qua refrangitur,cu linea ppdliatlari a' pfido
refradionis fup fupei fide illius corporis eduda pofsit habere ad angulum i cti ad nmis,
que exigitillc angulus incidetia: quo ad lenium , anguli eiii rclradionis, qui fiunt inter
duo corpora diucrfa- diafbnitads d luce tranfeunte per illa corpora diuerfamur , quo*
jwm diucrfitas quo ad fcnUjtnjhabct fincjn , quem fi angulus cxccllcat, tunc fenfus non

comprehen

liber Deci hv s*

comprehendet quantitatem rcfradionis,comprehendet enim direde centrum lucis trat»
Icuntis per illa duo corpora in reditudine linea: per quam extenditur, & hoc plenius ex*
periri poteft per inftrumentum , quod fuperius ufi fumus , di quoniam, Ut patet ex prae*
mifsis, angulus c 3 d,cft maior angulo k et, ponatur ergo angit
lusd 3 t, aequalis angulo kct, per 17. primi huius, quia itaqjli*
nca c k, concurrit cum linea c t , patet per fecundam primi hu*
ius, quia concurrit cum linea a d,eius a:quediftante. Sic utcon
currat in pundo b, Similiter quocp linea 3 1, concurret cumli*
nca c t,fit ut concurrat in pundo t, Si quia linea* c b di 3 c , funt
inter duas lineas requediftantcs , di in eadem fupcrficic,patct
quod/pfic icintcrlecanc , fit pundus fcdionis k, criYqjpcr 3 z.
primi,angulus 3 k e, aequalis duobus angulis k 3 b&kb 3 ,fcd
angulus kb 3»cftpcr z?, primi, a*qualis angulo kct, angulus
ergo 3 kc,cft aequalis duplo anguli ker, ergo per fept/ma quin
ti, erit proportio anguli 3 e k, ad angulum 3 kc, maxima pro*
portio, qua: cft pofsibilis inueniri inter angulum incidentia: >
quem continet linea per quam extenditur forma di perpendi*
cularis inter angulum refradionis, quem exigit ille angulus in ^
ci dent ire. Item i pundo c, per 3 1. primi, ducatur linea arquedi*"’.^
flans lineae 1 3, qua: per fecundam primi huius , concurret cum
linea 3 g,uerfus pundum g, fit itacp pundus concurfus a, di ex
trahatur linea b c, extra circulum g c d,ufqj ad pundum b, erit P
ergo angulus 1 c a, aequalis angulo 3 ke,per zp. primi , di angulus 1 \
e h,a*qualis cft angulo 3 e k,p 1 y. primi. Erit ergo utpatet ex pra:'
mifsis, angulus 1 e a.angutus ille refradionis quem exigit angulus I
e h, quoniam per 1 y. primi , angulus 1 c h , eft aequalis angulo 3 c k,
qui acceptus eft talis, ut proponitur Siitaqj centrum uifus fucritin
pundo aliquo fcilicct pundo aeris, di corpus diafonum denfius ac*
rc, cuius conucxum cft cx parte uifusa, fuerit continuatum ufej;
ad pundum b,& non fuerit dift/ndu apud circulum g d c, ex par»
te b,ita utdiucrfiras alterius diafoni non/mpediat naturam rtfra*
dionis.tunc forma pundi b.cxtenditur per lineam be, di refrangi
tur per lincamca Si comprehenditur iuifu/npundoa.pcrlineam
c a quoniam angulus refradionis,qui eft a c h, poteft diuidi plu
1 ibus portionibus carum qua: poliunt e (Te inter angulos refradio*
nis di angulos incidentia: , quos continent dudae perpendiculares
cum lineis per quas incidunt formae corporibus diafonis i quarum
fuperficic refrangunrur.In linea itacj; db, erunt plura pundaquo
rum form.i* extenduntur ad arcum g c ,di refranguntur ab illo ad
nilum di forma totius linea: d b»in qua funt omnia illa punda, rc
franguntur ad uifum a.cx arcu g e.S itaejj figatur lineaagb.&rcs
uoluatur trigonum a c b,in circuitu line* a b fixa*,& pars ftipcrfici
ci corporis diafoni, qua: eft cx parte rei uifa? fuerit fpharriea, tunc
pundum e, quod eft pundum refradionisfignabitmotufuo in fu*
perficio corporis fplu*rica connexa circulum cx parte uifus a, st quo
tota refrangetur forma pundi b , ad uifum a,fed locus imaginis in
tora petiferiacirculi refradionis erit unus, quoniam Ut patet per
1 4.huius,Iocus imaginis cft centrum uifus , in quo concurrit linea v

extenfionis forma* qua* cftc a,&.' perpendicularis b 3 a , Similitercp
forma: omnium putidorum linea: d b, excepto pundo d, refranguntur ab aliquo pun-
do arcus cg, fecundum quod pnemiifum cft, di locus imaginis omnium illorum pun*
dorum femper erit iu centro uifus, 6i lic tota imago illius rei uifa: cft una , comprehen»

xx z ditut’

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

dftur ftacp forma huius rei uifa: ab ipfo uifu forma: circularis apud circulum refradio*
n is,Si unicus cius punctus fuperior.tunc pundum d,uidetur in reditudine perpendiem
laris tranfeuntis per centrum uifus & rcmuifam.Cum ergo centrum uiius fuerit in uno
corpore diatono, & res uifa fuerit in alio diafono denfiori, dt fuperficies corporis diafo*
ni dentioris, qua: cft ex parte uifus fuerit fpha: rica conucxa,fucrit'cj; uifus extra icirculu,
cuius conucxum cft ex parte uifus, fueritqj ille circulus remotior a uifu .quam pundum
(remotius formae, cuius fit refradio,ut eft in propofito pundurn b , diftans fuerit 3 duo*
bus pundis fedionis fadte inter perpendiculares & circumfcrentiam,8<! cum corpus di
afonumdentius,quod eft i parte rei uifa: fuerit totum continuum ufqj ad locum , in quo
cft res uifa, nec fuerit in aliquo pun do medium intcrcifum,tunc uifus comprehendet for
mam illius rei uifa: , Si uere 8 i refrada*,8i locus imaginis illius rei eritin centro uifus, ui
debitur autem in fuperficie uifus.qtiod cft propofitum. Si ucro (ic accidat, ut perpendis
cularis duda i re uifa fupcrfupcrficicm corporis, i qua fit refradio,a'quediftct alicui iis
larum linearum per quas forma perucnit ad uifum,8<! alicui non, potsibilc erit, ut forma
rei uideatur partim in fupcrficic corporis 5 quo fit rc(radio,& partim in fupcrficic uifus
Si hoc erit ut monfi i uofum.huiufmodi quoqj infinita accidunt fecundum diucrlitatcm
linea- perpendicula ris refpedu linea- extenfionis ipfius forma: , eodem quoqj modo de*
monftrandmn eft, (i pundus rei uifiv fuerit in diatono rariori.fli centrum uiius in diafo»
no denfiori, difpoiita figura fecundum difpolittoncm illot um angulorum, qua- tali per*
linent t etraci ionem.

Communi fecftionc Itiperficici refracH. tonis Si fuperficici coipo*
risdi; foni,in quo (ttrclradio exiftente circulo pundocprci uifa: exi
ftente in perpendiculari duda a centro uifus fuper concauam fuper*
fidem corporis diafoni oppofitam uifui formarci uifv rede occur*
ree uitui,& a nullo pundo fictrcfradio,uuaquocp tantum uidebi*
titrimago.

Sit a centrum uifus, & fit b pundus rei uifa- ultra corpus diatonum , ejuod
fit exempli cauta, groisius illo in quo eft conti um uiius a,(iti]i corpus grolsio*
ris fuperficies qua* eft expa ne uiius fph.Yi iea eoncaua, cuius iit centrum g,dis
eo quod pundusa Si b,exiftcntibus in una linea perpendiculari fuper lupctfi
cicm illius corporis concaui.tunc b pundus rei uiia- unam folam habebit ima
- gincm.Si unam tantum formam apud cent rum uifus a, ducatur enim linea a g
Si extrahatur rede ufep ad putidum 3 , liiit ergo per 7*. primi huius , linea a
3, perpendicularis fuper fupcrficicni concauam corporis diafoni . Sitcjj pun3
dus b in linea a 3, uifus itaqj a.comprehcndet formam pundi b,in rcditudinc
linea- a b , quoniam linea a b , cft perpendicularis fuper concauam fupet fici-
cm illius corporis , quod eft diatonum grotsius, neqjab aliquo pundo ip<
fam poterit comprehendere refradam» Cuius contrarium Ii detur cite pnfsibi
lc . Lfto ut forma pundi b,rcfrangatm ad a,uifum d pundo corporis e,S<! du
cantur linea: b e 8C g c,ct itcjj linea g e perpendicularis tiipcr tupei ficicm corpo
ris .1' qua fit rcfradio,8<: extrahatur linea b e,ufqj ad pundum t , angulus itacy
teg , eft angulus incidentia: contentus 5 linea per quam extenditur forma, di
i linea perpendiculari cxcuntc i loco refractionis fuper fupcrficicm corporis,
i qua fit refractio, 6i quia corpus ejuod cft ex parte uifus a, fubtiliux eft illo cjd
cft ex parte rei uifa: in qua cft pundum b.palum per quartam luiius,quoniam
erit rcfradio ad partem contrariam illi parti in qua eft perpendicularis cjuie
cg,&! linea e t,non concurritcum linea ba aliquo modo , forma ergo pundi
biUon refrangitur ad utfwm a,non ergo comprehendet uifus ipfatn refrade ted tolum re

de,

LIBER DECI2HVS* »6?

■demon ergo habebit apud uiTum a, pundum b,nifi unam folam formam, 8i imam ima
g/nem. Si ucro corpus in quo eft res uifa, fuerit rarius corpore in quo eft centra uifus»
ad huc eadem eft demonftratio,nec enim ad huc peruenit refradio ad cetrum uifus, pa
tetergo propofitum .

XXVII.

Communi feclionc (uperfidei refractionis Si fuperfidei corporis diafo*
ni,in quo (it refradio exiftente circulo pundocp uifo iaccntc extra perpendis
tularcin ductam ii centro uifus fuper fupcrficicm concauam oppofitam uifui
grofsioris corporis diafono contingente uifumab uno tantum puncto fiet re
fractio , Si unica refracta uidebitur imago, loco imaginis diuerfificato fecun
durndiucrfitatem loci pundi uilT*

Efto difpofitio qua; in pra?ccdcnti\& fit pundusb,extra lineam a z,&qiionia Ut patet
per fecundam huius , omnis fuperficics refradionis perpendicularis eft luperfuperfici*
em corporis , a quo fit refradio, fit per 69. primi huius.communfs fedio fupcrficiei refra
dionis , Si fupcrficiei concaux corporis diafoni a quo fit refradio circulus h d k , cuius
centrum lit g , Si fit pundus refradionis forma pundib, ad uifum a,pundum h,dico
quod non ficr refradio forma pundi b,ad uifum a, ex alio pundo circuli h d k, quam ex:
pundo h.Sienim hoc fit pofeibile, fitidemaliud pundum refradionis m, di ducantur
linea a h,b h,g h,a m,b m,g m,fccet'cp linea h a, lineam m g in pundo f,di protrahatur li
nca b h, intra corpus diafonum reliquit ad pudum c,8 i linea b m,ad pundum n, di linea
g h,ad pundum I,6C linea g m ad pundu p.fecet linea a g,protrada ultra pundu g , cir*
cumfcrentiam circuli in puncto k,autigitur ccntru uifus a, erit in linea kd, qua eft dia»
meter circuli, aut extra illam ultra pundum k. Si uifus a fuerit in linea k d, tunc aut erit
in centro g. aut in altera duaru linearum g k uel g d,(i ergo fuerit a centrum uifus in cen»
trog, tunc forma puncti b,n.m refrangetur ad uifum a, per pramillam proximam pro*
poficionem.linea enim continuantes corpus diafonu fphimeu cum centro g per 7 i.prl
mi huius, funt pcrpcndicularcsiupcr fuperficiem corporis quod cft cx parte uiius,nonfi*
ar autem aliqua reflexio formant incidentium fecundum lineas perpendiculares, ut ibi
oftcnfum cft,forma i taq? pundi b,non refrangittir ad uifum a,in cenrro corporis diafo*
ni cxiftcntc.CX.uod (i uifus a, fucr/t in linea gd,tQc lineah c.erit inter duas lineas ha&li
g ,di fimiliter linea n m,crir inter duas lincasm a di m g, quoniam pcr<f. huius, di ex hy*
pothcli refradio fit ad partem contrariam parti ambarum perpendicularium qua; fune
Ii g Si m gjCorpus enim diafonum quod cft cx parte uifus a, cft fublilius illo corpore dia*
fono quod cft ex parte rei uifie.Si autemlinea h c, fuerit inter duas lineas h a di hg , di a
centrum uifus fuerit in linea g d.tunc angulus b h a.crit ex parte pundi d,fcilicct rcfpiaf
ens- pundum d , Si limilitGr angulus b ma.eritex parte pundi d,fiCerit pundumb , ul*
tra lineam g h I,uerfus pudum k,quod patet per if.primi.Si enim linea h c , cadit inter
lineas h a di hg,timc oportet quod Ifnca h b,cadat inter lineas h 1 Si g k ,di erit angulus a
h g angulus incidentur contentus d linea perquam extenditur forma, di S perpendicula
r/g h,& fimiliter erit angulus n m g , angulus incidentia* , di critangulus c h a > angulus
refradionis , Si fimiliter angulus n m a, angulus ucro n m g,auc erit aqualis angulo c Ii
g, aut maior aut minor,fi aquales , ergo 8 i angulus n m a erit aqualis angulo c h a, per

huius, & angulus b m a,crit aqualis angulo b h a ,pcr 1 j.pi imi.hoc autem impofsibile,
fi contra 3 j, primi huius, di 11. primi, ut patet duda linea b a. Si autem angulus nmg»
fit maior angulo chg, erit quoqi per 8. huius, angulusnma maiorangulo cha,&uc
angulus b m a erit minor angulo b h a.quod cft itpru impofsibile,ut prius.quod fi angu*
lus n m g,fic minor angulo c h g,tunc angulus n m a, per odauam huius , erit minor an*
gulo c h a,S i lic totus angulus refradus , qui cft a m g,crit minor toto angulo refrado»
qui eft a b g,Si erit diminutio anguli refradionis , qui cft n m a, ab angulo refradionis
qui cft c b a , minor quam diminutio anguli a m g>ab angulo a h g.qui ambo funt angu*

xx 5 lite*

PERSPECTIVAE V1TELLIONIS

ii rcfra di, in maiori enim quantitate, & fi quadoq; in cade proportione excedit angului
refradus maior minorem, qj illorum angulorum refradionis maior minorem, ut patet
per 8. huius, & ex tahulis.Si diminutio anguli a m g,ab angulo a h g eft ecqualis diminu
tioni anguli h g m,ab angulo h a m,idco quia duo anguli compofiti , qui funt ad pundu
f,pundum icilicct fcdionis lineatu ka& mg funtarqualcs,pcr iy, primi A reliqui duo
anguli trigonorum g fhSd a f m, cuiuslibet cum Tuo tertio ualentduos rcdos,per 3 r ,pr»
mi. Diminutio itaqj anguli refradionis.qui n m a ab angulo refradionis a h e eft minor
qujim diminutio anguli h g m abangulo h a m.Educantur itaq? dux linctch a m a, ad
circumferentiam circuli,6C inettiae Unca a h pundo e A linea m a pundo o, erit ergo an
gulush a m.ille angulus quem refpiciunt in circumferentia circuli hdk, duo arcus hm
&L o e, per y 4.primt huius, 6i angulum h g mjefpicit in circumferentia arcus h m , dupli?
catus per 1 p.tcrtijA quoniam angulus h m g eft minor angulo h a m,idco quia ut patet
ex pncmifsis.angulus a h g eft maior angulo a m g, patet per ultimam fexti , quia arcus
duplicatus h m eft minor duobus arcubus h m & e o ,8i erit diminutio arcus duplicari h
jn,3 duobus arcubus h m & e o, diminutio arcus h m ab arcu e o, quoniam arcus h m , u*
trobiqj eft comuni.s*,crgo diminutio anguli n m a ab angulo ch a, erit minor angulo que
icipicit apud circumferentiam diminutio arcus h m ab arcu e o.icd angulus quem rcip i*
de apud circumferentiam diminutio arcus h m ab arcu e o , eft minor angulo h a m , ut
patccexpramiifsis.ergodimmutioanguli n m a ab angulo e h a, erit minor angulo ha m
ergo per 1 1. primi, exeditis anguli b m a fiuper angulum b h a , eft minor angulo h a m,
/ai cxvcfiiis unguli b 111 a iiipcr angulum b h a , per 3 3 .primi Intius, funt duo anguli h a
jn Ii bm.crgo illi duo anguli funt minores angulo h a m, totum hia partc.quodcft ima
pofsihile.Quod Ii centrum uifiisa, fuerit in linea g k, tunc liem prius oftcnliim cftjinca
h e, erit inter duas lineas h g i.V h a A linea m n , erit inter duas lineas m g Se' m a , erit en»
go angulus bh a, ex parte pundik A' limiliterangulus b m a , erit ex parte pundik, fii
n it pundum rei uif.’e quod di b, infra lineam g m p,cx parte d,Sc' item ut prius anguli e
hg Se n m g,iunt anguli incidentia* contenti i lineis per quas extenditur forma & 3 pera
pcndicularibus exeuntibus 3 pundis refradionis, & anguli e Ii
a, Si e ah, Sin a m, funt anguli refradionis. Si itaqt angulus e
hg fuerit a\jualix angulo n m g , tunc erit ut prius per odaua
Imius.angulilsc li a .equalis angulo 11 m a A' lic item per 1 3 pri
mi, angulus h Ii a, erit ;equalis* angulo b m a .quod dl impofsibi
Ic , Se coriira 1 1. primi, duda linea b a, ut fiipra. Si ueroangtli*
lus e h g,clt maior angulo n m g,tunc per odauam huius , ail=
gulus e Ii a, erit maior angulo 11 111 a, Si lic iterum , angulus b b
a, erit minor angulo b m a, quod eft iinpo(sibile,utfupra,quod
fi angulus e hg fuerit minoi angulo n mg , tunc angulus ch a,
eft maior angulo n m a, Si fic totus angulus g Ii a,crit minor to
tali angulo g m a,emcjj tunc modo pra-oftcnlo angulus hg m
minor angulo ha m, ergo diminutio angulili g m abangulo
h a m, erit minor quim angulus g m a A' diminutio anguli e
h a ab ungulo n m a , eft minor quim diminutio anguli g h a,
abangulo gm a, cftergo minor quam diminutio anguli hg
ngabangulo h a m , ergo diminutio anguli ch a, ab angulo n
m a . eft minor qj angulus g m a, fcd diminutio anguli e h a ab angulo n m a, eft cxccf«
fus anguli b h a iiipcr angulu b m a,cxedlus ucro anguli b li a fuper a ngulum b m a ,funt
duo anguli h a m e\' h h m,pcr 3 3 .primi huius, ergo ilfi duo anguli liniul fumpti funt mi
nores angulo h a ngtotu fiia parte <|uod eft pofsibilc . Si ucro centri! uifus a, fuerit extra
diametrum k d.lioc erit ad partem k , qua: refpicit partem concauam fupeiHciei fphrcia-
Uialonx, quoniam ad partem z,cftconuexitas fplmx corporis diafbni, 3 cuius fupeifu
defit refradio.Sit itaqj tunc corpus diafonu in quo eft centrum uiliis a, fuerit continuis
^diufum a, ducantur dua* linea* alAa m A' quoniam illa* lineat non lunt contingentes

circulum

LIBER DECIHVS* sdf»

drcrtlum d m k, palam per 5-7, primi huius, quoniam circulum fecabunt,fecet£g ipfuin lia
nea a hia puncto q, Ai linea a m in pundo r ,8i producantur alte lineat ut prius. Siitacy
angulus c Ij g fuerit a*qualis angulo n ing,tuncangulus b ha cft arqualis angulo b ma,
quod cft impofsibilc,ut prius, 2v' (1 angulus c 1» g fuerit maior angulo nm g,Si angulus c
h a ei it maior angulo nm a.eritcrgo per 1 3 , primi ,angulusb h a minor angulo b m, ifd
item cft impoftibiIc,ut fupra. Si uero angulus c hg fuerit minor angulo ngm.erit angu
Ius c h a minor angulo n m a,& totus angulus gh a minor roto
angulo d ni a, ergo ut prius.critaiigulus h g m minor angulo
lia m.fedangulushg m, cft ille quem apud circumferentiam
rcfpicit arcus h m duplicatus, angulus h a m,eft ille angulus
quem rcfpicit iti circumferentia cxccllus arcus h ni fuper arcu
r q,ui: patet per yy .primi huius, ergo arcus h m}duplicatus cft
minurcxcclfu ai cus hm fuper arcum r q,quod eftimpofsibile,
quoniam (ic (equitur totum cllc minus fiia parte, ubicunqt er*
go fecundum hypothcfim pratmilfam fit pundum rei uifibilis,
quod cft b, extra perpendicularem dudam i centro uifus a, fu*
per fuperficicm corporis diafoni fuppofitt uifui.patct quia ima
go forma* ptmdi b,non refrangitur ad uifum a.nifi ab uno tan
tum pundo, & erit una tantum imago refrada , diucrfificabi* 15
tur quofp locus imaginis femper fecundum d/uerfitatem concurfus perpendicularis dtt*
Ac d pundo b.rei uifie fuper fuperficicm corporis diafoni, d quo fit refiadio, cum linea
per quam extenditur forma ad centrum uifus a,crit'qj locus imaginis quando ch retro ui*
iinn .quandocp ante uifiim,quadocj} in centro uifus, & li illas lineas contingat neri seque*
diftantcsjut non concurrant, erit locus imaginis in pundo refradionis/cilicet in fupew
li iV corporis a (pia lit rcfradio,ut hcecom
ilia declarata linit per ly , luiius, patet crs ^
go propofitun.

x x v 1 1 r.

Comimini loflionc fupcrficici
rcfraAionis Si. fupcrficici corporis
ili.tloni in quo fic rcfracftio cxiftcnte
circulo pun/rocp rei uifx iacente ex
ira pcrpcmiicularcm ducftamacen*
tro uifus fuper concauam fu perfida
cin oppolirain infui corporis rario*
ris <. litti 0110 continente uifum ab uno
tantum pundo fictrefradio, 8duni*
ca refracta uidebitur imago»

Remaneat omnis difpolitio proxima*
praecedentis , nili quod putidum b, fit ccn
trum uifus, Si a fit pundum rciuite . re*
frangatur itacj; forma pundi a , 3 pundo
fupcrficici corporis diafoni quod cft h, Si i_
erit linea refrada qua* a hb, forma itacj} '
extenfa per lineam a h, refrangatur per li
licam h l>,ficut in prcccedenti figuratione
forma extenfa per lineam bh, re frangis
tur per lineam h a. Si ita qj forma pundf
a , refrangitur ad uifum b, cx alio pundo
drculi

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

circuli h d k(qu3m cx pundo h,tunc utiqj forma puncfh' b,rcfrangetur ad uifum cxiften^
tcm in pffdo a, cx eodem pundo, ut patet per 9. huius. Sed iam in prxcedenti declaratu
cft, hoc effe impofsibile, forma enim extcnfa per lineam b h, Qi refrada per lineam h a,
non potcft refraijgi ad uifum in pundum b,ab alio pundo circuli h d k , quam ex pun-
do h.nccp ex aliquo alio putido fuperficiei corporis diafoni,quoiiiam in fuperficie refra
dionis folus cadit ille circulus,non ergo refrarigitur forma pundi a,ad uifum exiftente
in pundo b,ex a lio'pundo circuli hdk,ntfi ex pundo h,S<! unica tantum uidebitur ima*
go ,Qi hoc cftpropofitum,

XXIX.

Concauafuperficic corporis diafoni denlioris aere uiCui oppofita poisi*
bile cft lineam redain taliter fifti,ut alicjuis cius pimdus direcfte,& diucrfa pu
da ciufdem linea; uideantur refrade , tctacjj forma illius linea: re£r angatur a
portioncfupcrficicilliuscoiporis&Iocusimaginisfuazfit in centro uifus.

Elio per modit 2 3 .huius.communis fcdio fuperficiei refradionis,& corporis fphxri
d con cani denlioris acre, ut uttri uel ciiflalli per 7z.primiliuius, cireulusged, cuius cen
trum (Ttpundum z.ducaturtjj femidiameter z c,fupcr cuius terminum pundum e , fiat
per z 3 .primi.angulus a e k.xqualts maximo angulo incidentia* quem continet linea ex-
tenfionis forma: pundi rei exiftentis fub illo diatono ad uifum exiftentem extra illud di
afonum in aerc.ucl in aliodiapliono rariori, cum linea pcrpcndicularidudadpnndo c»
fuper fuperficiem illius corporis in qua fit rcfradio,fia tqj angulus k e c, per eandem 1 3»
primi, xqualis medietati maximi anguli refradionis , qui poteft fieri inter illa corpora
dtafbnaquceciiq! data,nt exempli caufa inter uitrii concauu Si acrem, hoc aute cft pofsi
bilcjquoniamfft/ anguli per odauain huius, fimt noti,S£ i pundo z, centri corporis con
cauiuitri ucl criflallini, ducatur linea xquediftans lincar e c,per 3 1 . primi, qux produda
cx utracu parte ad circumiere tiam fit g z d,&! linea c z.cx parte pundi e, protrahaturex
tra corpus illud ufq; ad pundii h.Si lit cdplcta totali figuratione &dcmOnftratioc z3.hu
itis, patet quod concaua fupnficiccorporisdiafoni denlioris acre uifui oppofita pofstbi
Ic clt lineam redam taliter fiili,tu aliquisciuspundus uideatur dircdc,& diucrfa puda
ciiifdem linee uideantur rcfrade,tota'c[3 forma illius lincte rcfiangitur ab una portione
fuperficiei illiuscorpnris concaui uitri uel erillallini terminata ad circulfi non magnum
ili/usfplu*ra:,& quoniam pandus d, utdeatur fecundum perpendicularem a d line refra
dionc, omniu liero aliorft pundoru linea* d b, forma* reirangentur, perpendiculares £|qj
omnium illoruin pundoru fune in linea b a,ebcurrcntcs cum lineis per quas uentut fors
m.r ad uifum in ipfo centro uifus pundo a, patet itaqj propofitum per 14. huius, lix prae
miisis itacn odo theorematibus parent paisiones occurrentes uifui propter medium fc»
cundidiafoniinquorcs cft ui('a,cuiu.v figura cft fphxrica,fluc fit conucxa,fiuc concaua.
Si quandoqj corporo fecundi diafoni cxtftcntcfigura* columnaris ucl pyramidalis com«
nutnis fcdio fuperficiei refradionis cft linea reda, ttic omnino uniformis pafsio accidit
uifui per illa, &(icut accidit per corpora aliadiafona planarum fuperficicium,quamm
communis fcdio Si fuperficiei refradionis cft linea reda, cft eodem modo dcmonftran
dum , Quando ucro illa communis fcdio cft circulus, tunc accidunt ea in corporibus
diafonis columnaribus qua: accidunt in corporibus fpharricis cocauis ucl connexis, pi x*
ter hac quod a circumferentia unius circuli fuperficiei corporis fecundi dia foni non po#
tcft: in talibus corporibus fieri rcfradioaduifum,(icut oftendimus in z 3. huius , deorpo*-
iribus fphafricis connexis fieri , in corporibus uero pyramidalibus diafonis concatiis ucl
conucxisnonpoteftcommunis fedio fuperficiei refradionis Qi fuperficiei unius cor#
poris cflc circulus , fient oftcnfum cft in fupcrficicbus reflexionum , per 27 .Si per 9.I1U#
ius,&: quoniam etiam omnes fupcrficics refradionum crcda* funt fuper fupei ficies cor
porum, i quibus fit rcfradio,ur patet per fccudam huius , undeiftx pafsiones non pcrti=
net ad illa, quod fi comunis fcdio fuperficiei corporis diafoni, &! fuperficiei refradionis
in corporibus columnaribus ucl pyramidalibus diafonis fuerit fcdio oxigonia , ab uno

tantum

LIBER. D ECIUIVS* 769

tantam ptindo fiet refradio, ficut mine offendimus in circulis uel connexis uel. conea*
uis,& imago fornix rei uifie quandocj) uidebitur intra corpus diafonum , quandoq? in»
ter uifuni Qi corpus diafonfr, quandocj in fupcrficie corporis diafoni, quandocp in iuper
fide ipfius uifus, ficut accidit lineam perpendicularem dudam 3 pudo rei uifiefiiper fu*
pcrficiem corporis diafoni concurrere uel xqucdiftare lineae extenfionis ipfius forma: f*
quam forma peruenie ad uilum, unde non duximus talibus amplius immorandum,
xxx.

Supcrficicbus corporum diafonorum oppofitorum uifui d iuerfarum fi
gurarum ncl ipfis corporibus diucrfie diafonitatis exiftentibus, loca imagi*
num formarum trans illa corporauifarum diucrfantur,& occurrunt uifuifor
ma:monfl:ruofic& imagines numeratae,

lix pncmifsiscnim patet, quod in corporibusdiafbnisqua: funt unius figuret & fub
liantia:, una tantum occurrit uifui imago omnium corporum , quorum forma trans illa
corpora diafonafe multiplicant ad uifum. Sitiero corpus diafonum per quod fit uilio
luerit fupcrficiei compolita: cx d/uerfis figuris,ut forte ex plana & fphxrica,Si ex fphx*
rica Si columnari, tunc cum (uperficies oppofita uifui fuerit diucrfa ex diuerfis figuris co
polita, & natura perpendicularium & linearum extenfionis formarum fecundnm dtucr
iitatem figurarum ipfarum diuerfificctur, tunc patet per 1 5-, huius , quod loca imaginum
formarum uifarum diuerfantur,8<: fortaile diuerfa erunt punda refradionum formet es
iufdcm pundi rei uifa: ad eundem uifum , 8i diuerfa: lincte extenfionis formarum, Si di*
uerfa: perpendiculares, propter quod plures uidebuntur imagines eiufdcm rei uifa: re*
fradae 3 fupcrficicbus talium corporum,undeiiquisafpcxcritaliquod uifibile exiftensul
tra corpus diafonum, cuius iiipcrficics oppoficc uifui (it figura: compolita: ex fupcrficie
fpluera: magna: Si parua:,ur fiepe accidit in criftallisuclalijslapidtbus diafonis & uitijs,
patet quod centrum illarum fphterarum funcdiuerfa per 8 1 .primi huius, illa: enim fphae
rx* ii- inrerfeca nt. Urunt ergo perpendiculares illa: dudx ab uno pundo rei uifie fuper fu
pei fieiem illius Corporis magnam habentes dmerfitatem, Si (i figura fuperficici illorum
corporu fiicrit copolita cx (iipcrficic fphxrica Si columnari, patet ejd maior ell diuerfi*
tas pudoru refradionis Si ppendiculariii dudam, Difformabitur ergo difpofitio ima*
ginii trans hgc corpora diafona,^ forte illa forma uidebitur moft ruoia propter cofluxu
.diucrfimt imagini! ad conftirutioneunius forma:, cu punda refradionir fuerint ad inui*
cem propinqua, Si interlediones pcrpcndiculariu Si lincaru extenfionis formarfl fuerint
ad iiuiice propinqux.Si ucro puda refradionu uel prx-didaru fcdtonu fuerint ad inui*
cem fenlibiliter diftantia,tunc uidentur plures imagines eiuide rei uifie,quoniaiIlarure*
fradio no ell' una nccjj unitur,(cd remanet diuerfa.forma enim rei uifa: extenditur ab ip*
fa re ad iiipcrficics fphxricas uel columnares uel alterius figura: ipfius corporis diafoni.
Si reliangicur ab illis apud concauttatcm acris continentis illud corpus diafonum, & ita
fit comprehcnfio formarum eiuldem rei ex diuerfis rcfradionibus.unde imagines diuer*
fa: fuerint numerata: numero pundoruiefiadionis.Idem quoq; accidit fi corpus diafo
num uniforme in fupcrficie fuerit diucrfa: diafonitatis,fcilicet in una fui parte dcnfius,8£
in alia parte rarius,tunc fecundum unam fui partem fit refradio ad partem perpendicu-
laris^ in alia fui parte ad partem contrariam, & lic iterum aut forma: fiunt monftiuo*
fx‘,aut forte aliter diucrfie Si numero differcntcs.patct ergo propofitum,

XXXI.

Communi fcdionc fuperficici refradionis & fuperficici corporis aquo
fit refradio exiftente linea rcda,uifu quocp exiftente in perpendiculari exeo
untcd medio pundo lineae uifie fuper planam fuperficiem corporis diafoni
d qua forma illius linea: refrangitur ad uifiim , fi linea uifa scquediftans fuerit
fuperficici corporis diafoni cuiufcuncjj fiue denfioris fiuc rarioris primo,ima*
go rcfradarciuifie comprehenditur maior rcuifa.

n Efto

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Efto putidus a centrum uiTus,& fit linea itila in medio fecundi dia feni, qua- b e , eu*
ius medius pundus fit z,fit'q; communis fcdio ftipcrftcicirefradionis& planae fupcrfid
€i corporis diafoni linea d c,ducatur'q} a pundo z,quod cft medius pundus linea b c,li-
nea perpendicularis fuper lincad e,pcr i z. primi, qui fitz m,quar producatur ultra pun
dum m, S erit ita cp linea z m perpendicula riter crcda fuper fnpeificicm corporis
planam, In qua e fi: linea de, quoniam fupcrf cies refradionis in qua producitur linea z
m.fliin qua cft linea e d, crcda fuper illam fuperficicm corporis diafoni per fecunda hu=
iusjfitcp linea b e aqucdiftans linea: d e,cxiftente itaq? centro uifus a , in linea z m , dico
quod linea b e, uidccur maior quim fit fecundum ucritatem, nec enim tranfit per ccntrfi
uifiis quo 1 cft a,&: per aliquod pundu linea: b c,pratcr pundum z, fupcrficics qua* fit ci e
da fuper iuperficicm corporis diafoni.nifi fola fupcrficics rcfradiois in qua funt lincte
a z Si b e, no enim tranfit per a,fuperficics crcda fuper fuperficicm corporis dia Ioni , nsfl
illa qua: tranfit per lineam a z, qua: cft linea pcrpedicularis fuper fuperficicm corpoi is di
afonf.ncc exit i pundo a, perpendicularis fuper fupcrficicmcorporis diafoni, nili linea a
z,per z7.primi huius,non ergo tranfit per punctu a , aliqua fupcificics perdendicularis
fuper fuperficicm corporis diafoni,nifi Ibluin illa, qua: tranfit per lineam a z, 8>i non tran
fit aliqua fupcific/es per aliquod pundu linea: b e, aliud a' pundo z,&' per lineam a z, ni-
li filum fupcrficics in qua funt dua linea: a-iJibc, non tranfit ergo
pct uiiiim a ,Si per aliquod pundu lincte b e, piarer pundu z,liiper
ficics aliqua perpendicularis fuper fuperficicm corporis diafoni, nili
folum illa in qua funt linea- a z & b e , non ergo refringitur forma
alicuius pimdorum qua- funt in linea b e, nili ex aliquo pundorum
lincte dc.Ducaimiritaqipcr 1 1 .primi, cxpradtdis pundis b & e,
dua- perpendiculares fuper lineam dc,qua: ut pa tet ex pts mifsis ne
cellatio cadunt in illam>& fint linea- bd di e e, Si quoniam linea: b e
Si d c,funr .cquedifl antes ex Iiypothcfl & lincte b d di e e, funt aque*
diftantcsper zs.pt imi, patet quia qualibet illarulinearuqute funt b
d& cexqucdiftant linea: a z. per eandem zs. primi.fi^ patet quod
no refrangetur forma pun di bad uifuin a, ex pundo d, per 3 huius»
neq; forma pundtbi pundo e, quoniam lincte ce&i db fune pera
pmdiculares fuper fuperficicm corpoi is diafoni, nulla ante pupen»
diculari.vrefrangiturfnalKjuocorporeirtedioJit it uqi ut foima pun
di b, reliangatur ad uifum a, ex pundo p,&' Ibi ma ptindi e, ex pun
do h,& ducantur lincte bp,p a,ch ha ,&.‘proti altatur linea a pul*
tra punctum p,ad pctpcndiail.it em b d , tV quoniam linea p a con*
currit cum linea z a, pater per i .primi Imius, quoniam iplit concur#
reteum eius arquediftante fciluet linea bd , Iit ago concutfus in
pundo l.fiC cadetn ratione concuri at linea a b, cum lim a e e in pun
dok.cricq? per dccimamquartam huiusjior pundum 1 imago ibi nue pund i b , S' pun*
dum k imago forma pundi c.cjuia uero linea az, cft perpendicularis (uper lineant bc»
erit per quartam primi, linea ea aqua Iis linea b a .tecjualitcr crgodtftaiu pund a b&c,

5 pundo a, putida itaqj refradionis qua funt p6c' h.aqualiter dillabut a pundo a qm ni
am medium per quod fit illorum pundorufoimatumdiffufiocll iinifmma, Minea e d
arqucdiftat linea bc.linca iiacp a p cft tcqualislinctr a h,ergo per quintam piimi, angit*
Ius a p h cft aqua I s angulo a h p,ergo per decimfiquinta primi,ctit angulus d p 1 a qua*
lis angulo e h k.fedduo anguli pdl &li e k funt redi, ergo angulus p 1 d,pcr 3 z. primi,
eft sequatis angulo h kc,ergoper 4. fexti, latera iftontm trigonorii fimt proportionalia,
qua: aquos angulos rcfpiciunr ,fcd linea p d eft ecqualis lincte e Igquia linea p m cft a- qua
lis lineas h m, per 4. fexti, trigonorum enim a m p& am Ii, anguli a d m funt redi & an»
guli a hp &aph fune aquales, & latus a m, commune trqualc libijpfi. lift ergo linea p in
aqualis linea m h,liocetiain patet per 3 1. primi Intius, yfochcles enim eft trigonus h a p,

6 perpendicularis, cft linea a m, trigona ergo partialia , funt aquiangul* , lift ergo

litte»

LIBER DECII! V S*

lincte e li aequalis linea: p d,patec ergo quonia linea d I eft squalis lines e fc/ ducat ira'q?
linea 1 k, erit ergo p 3 3 .primi, linea k I squalis di squediftaslines 1 c.angulusitaqj ka 1,
eft maior angulo ba c,p H»prlmi huius,& linea kl eft diameter Imaginis ilirtese Jj-e j na
om ne pudu linea: b c,rcfragitur ad uifum a, ab aliquo pfrcfto lines p h , ficut enim forma
pueli b,-iefr«gitur i pudo p,8d ptmdii s.ppendiculariter fine refradicie tranfifs pundS
«n,pcruenit ad uifum a, fle pundum eft inter b di 2, refrangitur ab aliquo pudo linc$
p m,qcP eft inter puda p Si m ,di ficut forma pudi c refrangitur ad uifum a,d piido line 5
c m,qd' eft h.fic omne pOdu lines c z.refragitur ab aliquo pudo lines h m , di omne, pu
du lines b z, ab aliquo pudo lines p m,ut lifuper linea bsfit pundu n . Si itaqj dicatur
£jd forma pudi n,rcfrangatur ab aliquo piido lines m d , extra linea m p,cx parte d,ut i
pudo g, ducatur linea n g.pala icacjj quonia linea n g fccabit linea b p,& (i,pudus fedtO'
nis q.lorina icaqipudi q,perucniat ad uifum aex duobus pudis refradiois.fcilicct p Si g
quod eft cotra 1 3. huius, & impofsibile.forma icacp pudi n.no refrangitur ad uifum a, ex
aliquo piido lines p m ejd eft inter puda p & nf,ide quocpeft de omni pundo lines 2 c,
qd’ eft inter puda 2 3C c.nullir enim illoru refrangitur ad uifuma,nifl exajiquqpfido In-
nes h uvid* eft inter piida li di m,&qainlineal k,oes perpediculares dudsa pundis
Imec b 8C c,cu lineis refradiois protractis (einteriecaqpatct qa linea kl eftdiameterima
ginis lines b c, forma itacp lines b c,uidetur in linea kl, maior e^ fealdfi ucritate flt linea
b c, p icr, quarti huius,Stib maiori enim angulo 'uidemr^qa angulus k a 1 eft maior angu
loba c,p 3 4. prini/ huius, qcf* cftppofitu,&htiiufmodi deceptio accidit uifui^ppterdcbri
Iftatem formae refiexs, ut patet p 1 o. huius, propter qd afs/milat ipfam uifuS fornis re/,
q u/detur $ maiori remotioe, maior enim diftantia debii/ra t forma ,c6prehendit ita q? ui
(iis forma lines b c,refradiuecxcopofitioe anguli ka 1 maioris angulo b a c, addiftanti
nm maiore cjj lit diftantia lines b c,di ad politione squale pundi b.c,.ficitaqj quantitas'
fines b c,coprcheditur refrads maior propter magnitudine anguli qd* fkeitpi opinquri
tas ad uifum, Si propteriorms debilitate quscaufarur propter refradione,& lic uuiucr
(aliter caula quare linea b c, apparet maior.elt refradio fornis fus in medio fecundi dia
fon/ ad uiiiun,& eft lemp demoft ratio cade, flue Hat refradio in fupficic fecundi dhifont
delioris liuc rarioris primo ,in quo eft linea b c,ncc enim eft aliqua diflerctia q ad illud,
li tame fuerit pofsib/le inucniri corpora diafona taliter collocata, ut fuperhe/es plana pof
lit clTe in corpore rariore cociiigcnceipfum i|ifum,HccH aee<diccuni picujm^^uuiTi^oas’
lingit uifum, ita quod cencrum foraminis unes in iiim' plajufuperficie collocatur .

^ xxxri. . ' ' " " \ '

Communi fedione fiiperficteirefracrioms & corporis: a quo fit,refradio
exiftente linea rafta,uifu quocp exiftentein perpendiculari excunte a medio
pundo linea: ui-fc fuper planam fupcrficicm corporis diafoni a qua formae*
ius refrangitur ad uifum,lilinca ui(k non fuerit tcquedidans fupcrficiei corpo
ri.sdiafoni,imago eius comprehenditur maior ipfa,8i maior quam.fi eflet fu*
per Hei ei corporis diafoni atquediftans.

Sit difpofitio eadem qus in prsccdentc,nifi quod linea bciiion fltsquediftans lines
d c,fcd fit pundus c, remotior a pundo a cfj fir pundus b,8<I a' pundo c, ducatur linea s»
qucdiftans Sisqualis lines d e,pcr 3 1 .pr imi, qus lit linea c q, cuius mcdiuspurlcfiustit o,
Si i pundo o,pcr 1 1 .undccimi,protrahatur linea perpendicularis fuper fupcrficicm cor
poris diafoni fccans lineam d c,in pundo m ,Si lineam b c in pundo Z,& flt centrum ui*
fus quod eft a, in illa perpendiculari, qus eft om,erit'q3 pundus z,ih medio pundo line £
qus eft e b, quia enim linea bcj eft squediftans lines z o,ciit'c^per i.fexti, propouio It
nes qo ad o c, ficut bzadz c,(cd linea q o,ut patet ex prsmiisfs.eftsqualislincsoc.Es
rit ergo linea b z squalis lines z c,eft ergo pundum z in medio lfncs c b, pundus itacp
lines d e, d quo forma pundi q.refrangitur ad uifum a, fit p,& pundus a quo refrangitur
forma pundi c,(it h,ducamur'qj lines a hfli a p,8d protrahatur linea a p ad 1, pundum Ii*
nes d b,&: linea a h ad k, pundum lines e c,concurr ent autem ilis lines per 2, primi Ini

y y 1 ius,

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

Ius, Ut oftcnd/mus in prsmifla. Erit'q* pundum k, locus imaginis forms pundi c , 8 { pun
fftum I, fornix pundi q,ducaturfcp linea 1 k,qus erit diameter imaginis lines a q & a c,c=
rititaqj ut in procedenti angulus k a 1, maior angulo c a q,uifus ergo comprchedet ima*
gfne linear q c, maiorem cfj Iit linea q c,ut patet per procedente, di quia linea q p,fecat li*
neam bc, fit pundus fcdionis r,palam itacp cu pundus r fit in linea q p, quoniam ipfe re
frangetur aa uifum a,cx pundo p.forma itaqj pildi b, refr angetur
ad uifum a, ex aliquo pudo lines p d,quod fit inter punda p &d,n5
fi daretur refrangiex aliquo pudo inter p m,fcquerctur propter
interfedione lineae incidetis formo pudi b,&! lines r p, unius pun-
di formam refrangi ad uifum i duobus pudis lines d e.c^d c.ft cotra
1 8. huius, impolsibilc.rcfrangatur itaqj forma pfidf b ad uifum a
ex f, pundo lines p d,SC ducatur linea a f , qus protrada ad lineam
dc,fecabitillampcr »4. primi hufu$,fecet ergo in pundo i. Eritfcp p
»4.huiuspimdusl,Iocusimaginis forms pundi b, 8i ducatur linea
i k.uttx erit diameter imaginis lines bc.Eritfy ficus lines i k, rcfpe*
du litus a,(imilis ficui lines b c,quia linea i k, aut erit squcdiftans H*
nes b c,aut non, erit inter ipfaru diftantiam diuerfitas ienfibilis mu*
tansfiuim ipfarum rcfpcduuifus a, quia ucro eft inter diftantiam li
nes b c,i uiiiigrandis diucrfitas.decllnatio enim lines i k, i linea s*
qucdiftaiuc lines b c,qus exit i pundo k,crit ualde parua, angulus
itaqj i a k,cft maior angulo I a k,pcr x? primi huius, & fimiliter an-
gulus i a kcft maior angulo b a c, per 3 4. primi huius , uidetur itaqi
linea i k maior quim linea b c,Qi litus imaginis lines i k eft fimilis fi*
fui lines bc,8t linea i k, comprehenditur quali remotior propter de
btlitatem forms, quia it acp linea i k cft imago forms lines b c , paIS
quod in hoc ficu linea b c, uidetur maior quim fit fecundum ucritatSf
& uidetur liueacq, minor quim linea bc, quia ut prxoftcnfum cft, angulus i akcft ma-
ior angulo 1 a k, fecundum quem uidetur imago lines q c,8i hoc cft propofitum,nec eft
diuerfitas ficus diucrforum diafonorum attendenda .

XXXIII.

Centro uifus exiftente extra fuperheiem perpendicularium a pumffis rei
ui/xjfub medio fecundi diafoni planam habente fupcrfici*
cm fuper candcin fupcrficicmprodutflarurndineacp uifa fii
pcrficici ciufdem corporis xqucdifbmtc , imago linea: uiftc
comprehenditur maior ipfa .

Sit ut flrpra pundus a, centrum uifus, & linea b e resuifa , &' fu*
per fupcrficicm corporis i qua fit refradio educantur perpendicula*
rcsbd&ce,& continuetur linea d e, in fiipci ficic ipfius corporis di
afoni.per quod fit tiffio refrada ,fit'cp linea b c squcdiftans lines d
^j° e,& Iit a centrum uifus extra fuperficicm.in qua funt lines b c & de,
& diuidatur linea bcin duo squalia in pundo 2, 8t ducatur linea s
m,pcrpcndiculariter fuper illam b c,fccct'rp lineam d c in pundo m»
& a centro uifus a.ducatur perpendicularis fnpcr fupcrficicm bc d
e, per x 1 .undecimi.qusfira h ,ita ut pundush , imaginetur cadere
fn lineam m 2,producaturcp linea a 2, qus per 1 x.primi huius, & ex
pr smifsis erit perpendicularis fuper lineam b c . Sicua tio ita qi pun»
dibucrfusa,centrumuifus. cft fimilis fituationi pundi c, rcfpc*
du a,& diftantia pundi d ad uifum a, cft squalis diftantis pundi
b,ad a, refringatur itaq? forma pundi b ad uifum a,cx pundo p, 8C
e forma pundi c, ex pundo k.Sintqjpudap&k, extra lineam de x*
quedifrantia lines 1 c,in fupcrficie corporisdiafoni.fituatio itacp 8C
diftantia pundi p a>' uifum, cft ficut fituauo & diftantia pundi h ad a uifum, ducantur

LIBER DECIHVft zyi

«racp lineae b p, p a,c k,k a.Eft ergo fuperfic/es in qua funt duae line x ap&bd perpen-
dicularis fuper fuperficie corporis diatoni per z. huius, cu fit fuperficies refracfttonis , er*
go di linea b d,quae cft perpendicularis fug fugficiem corporis diafoni duda i pfido b»
erit in hac fuperficie, & (imiliter fugftcies in qua funt lineae a k di c k,eft perpendicularis
fug fuperficie corporis diafoni, ergo di in illa luperficie cft linea t e,quaeft perpendicula
ris fug eandem fuperficie corporis duda i pundo c„ptrahatur itaqj linea a p, ultra p pS
dum.eft pala per iam dida,8i! per z. primi huius,quoniam ipfa fecabit lineam b d, quia
ut patet per z 8. primi, linea: a 3 & b d,aquediftant,qa ergo linea a p,fecat lineam bd,fe
cet ipfam in pundo I,fecetqj per eandem linea k d , ,ptrada ultra punda k, lineam te in
pundo o.Eft ergo per 14. huius, pundu 1 locus imaginis forma: pundib, di pundu o Io
cus imaginis forma pundi c,erit quocg fituatio linea a 1 , ficut linea a o, di linea b Ifiaic
linea t o, ducatur etiam linea 1 o,hac itaqj erit diameter imaginis lineab c, di aqualis d
dem bc.per 3 i.primi,ducanturitacpline*ab &ac,utraqjergofuperfiricsalb&aoc
cft creda (Imiliter fuper fuperficie corporis diafoni per z. huius, tres itacg fugficies funt
crede fug fupfidcm corporis diafoni,q funt a l b,a o t,a m j,8i ha fiiperfides neceflario
fecat ie fuper Iine5 perpcndiculare.q eft a h,epeimte ii pudo a, fuper fuperficiem corpo*
ris diafoni per »$>. undecimi, {jnfam comunisfedioillaru neceflario eft perpendicularis
fuR fugcrficiem,cil/ fugftat,a ab uno pudo una tm gpcndic;ularis fugfugerficie planam
duci potcftp zo.primihuius.Erit itaqj angulus b pl,g i,f. primi, aqualis angulo refradl
otiis, di linea b 1 d.cft perpedicularis fug fuperficiem corporis 5 qua fit refractio, ergo 11=
nea a I,eft obliqua fug ipfam per 1 3 .undecimi,linea ergo a p , cotinet cu perpendiculari
fuper eandem fuperficiem excute i pudo p,q fit p g,angulu acutu, qui eft 1 p g,& erit per
pcndicularis p g,aquediftans linea d l,per d.undecimi.^niarn amba lineap g di d 1 funt
creda fuper unam fuperficiem, ergo per z?, primi, angulus p 1 d,eft acutus, ergo per 1 3^
primi, angulus a lb eft obtufus.ergo per 19 primi, linea ab, eft longior cjj linea a l,8i fimi
liter patere potcft,quod linea a o, minor cft quam linea a t,fed linea a 1 di a o.funt aqua»
les.fli linea a 1 8i a t funt aquales, & linea 1 o cft aqualis linea 1 1 , ergo per 34, primi hu»
ias, angulus 1 a o,eft maior angulo b a t,8C litus Unca lo,cftfimilis (Itui linea bc, quia li*
nea exiens d pundo a, ad medium linea 1 o,cft perpendicularis fuper lineam l o,per z z*
primi huius, cum per zs>.primi,Iinca 1 o fit arquediftans linea b c,& etiam quia linea bc,
eft perpedicularis fuper fuper fide, in qua /imt linea a 3 &m j3Cuper quam fimfftter per
8. undecimi, perpendicularis eft linea ol, ergo linea o Lcft perpendicularis fuper fuperfi-
ciem continuantem centrum uifus quod eft pundum a, cum medio pundo linea I e. Si*
tus ergo linea 1 o.refpcdu uifus a, eft ficut linea b c,rcfpedu eiufdem uifus a. Sed di linea
1 o, comprehenditur remotius propter debilitatem forma, linea ita cplo,uidetur maior
quam linea b c,fed linea Io, cft imago lineab c,pala'm itacjj, quia linea b c,uidetur maior
quam fit cius uera quantitas,& hoc cft propofitum,nec ad iftud aliquid coadiuuat indis
ucrlltatcm ipfa diuerfa fituatio mediorum plus ucl minus diafonorum.

X X X 1 1 1 1.

Centro uifus exiftente extra fuperficiem perpendicularium a pundis rei
iiifx fub medio fecundi diafoni planam habete fuperficiem fuper eandem fu»
•perfidem produdarum,li ncafcp uifa fuperficiei eiufdem corporis non acquedi
itante, imago rex comprehenditur maior re uifa,maior quoqjquam fi efletfii*
pcrhcici corpori aequediflans .

Remaneat Uiipofitio q in pra-ccdcnte.nifi £jd linea bc, no fitaquediftans linea d e,
qua eft in fuperficie corporis diafoni, & educatur i pudo e, lineae faquediftans linea d
e, di cotinuctur linea f l„ptra hendo line3 d b,pcrpcndicularitcr fuper lineam c f.fitfcp pro
ut in pramilfa oftcnfum cft p pundu refradionis forma pimdi f,ad uiiiim a.Si punda
refra dionis forma pundi b,ad uifum a, fit pundum q,&! ducatur linea a q, di protraha*
tur ad lineam db,concurretautcum illa, ut in proxima oftenfumeft. Sit ergo pundus
concurfus • • •••’•' cft altior Cfj pundus 1, nam pundus b»eft ultra lineam a f, linea itaqj a g,

y v ) necef

PERSPECTIVAE V1TELLI0NIS

flecefflmo erit ultra linea a I.pundus ergo g,cft alcior pundo I,& ducatur linea qo , E*
titergo iccudGprtemiffa linea g o, diameter imaginis lineat b c,cn't'qj linea g o maior ijj
linea 1 o,pcr 1 9 . p rim f ,q in a ng ul us g 1 o cfl: redus,& linea a g, minor
cjj linea a 1 .per cade 19. primi, qniS angulus a g 1 eftobtulus, ut fupra
partiir,Sd duat linea: ag&ao fune /n duabus fuperfidebusfecantibus
ie,fcilicet ag b 6C a o c,di differentia comunis iftaru duaru fiiperheie
rum rranfitpcra centruuifus per /, huius. quia ambjiibr fupcrficics
, funt fupcrficics refradionis,& centrum uifusfemper oporter quod
fitinfupcrffcie refradioisA quoniaur patet per z. huius , illa: amka:
fupcrficicsfunt eredaefuper fuperficie corpis diafoni.a' quo lii 1 cfira*
) dio, patet p 1 9. undecimi, quonia linea reda, ij cfl comunis ipfaiic
differentia^effcrceffa fupcrillam fupcrficie,crgo duat lincte exeuntes
3 pundoa,no pcrpedicularircrfiipillamcorpoiisd/afoni fuperficie
funt extra hanccbmunemdilK i etiamin his duabus (upafuiVbus»
q linea* funt a b & a r.funtcp alriorcs duabus lim is a g & a o , cadunt
enim ultra illas iincas,angu!us ita cp g a o, efl: maior angulo ba c , ji
34. primi huius.diucrlttascnim lituii Iimani,g o&lbe , a uilu a, non
cfl magna, quia lineag o, aut eil.rqucdiiians linea: a e, aut 110 , efl: in
hac differentia lenfibilis. lilt ergo litus linea* g o>rcf{ >cd 11 uiliis a, (i*
cut linea b c,rclpedu eiufflcm uifusa.uidcbimi itucp per 20. quarti
huius, linea g o, maior ij» linea b c,(cd lineag o,clf imago lim a- b. e,
palam ergo, quia linea bciUidvttir maior ijtipfa litlccundu iteritate
&’quia licut in pr;rmil,sispatuif,angulusoa g cfl: maior anguloal,
tlidcbftur imago og, maior imagine ul,qu;v eli imago linea* c IjU-qucdiftantis linea cd#
quxeftinfupaKcie corpous,.i quaHr rdradio,& hoc proponebatur.

'x x :< v.

In omnibus refractionibus factis a planis ffipcrfiricbus corporum cJ/afo.»
norumaduifuin imagine apparente maiore ipfa rc nila , pars imaginis tuV
debirur maior parte rei uiffv fibi proportionali.

bicdilpolltioomnimoda qua: prius in :;;,luuus.&' fit linea a m 3, (trans perpendi'

, cularitcr lineam fcl.inpundo, erit itaq; linea 1 o mi dictas line.e I

6e forma putidi s.uidibmirjn pundo o, quia uidctur in perpendi-
culari 3 o.rota quoqt linea b c.uidcbiturin linea 1 k,& linea b 3. efl
medietas linea* b c,<& linea 1 «.medietas Irnea: 1 k,c?i linea I k.uulctur
maiorifi linea bc.ergo & linea I OjUidcbif maior fjj lima 1. 1 ? erit
utriufqtilloiucaufa relradioA' quia centrum liisa, i ft in pcipati*
Ollaria jjcxcuiuc a' pundo 3, qui eif extremitas linea* b j.iuper fu-
perheiem corporis diafoni,aut fuper fupnficic tranfcm.ic per extre
mitate medietatis- perpendicularis fuper liipeiHcte corporis diafutii
a-quediftamcr fupcrHcici corporis dufoni per z 3 . pi itui huius , ub
fas itaqt cbprchcdit medietates uilibiliu maiores cjj lint,m pucius o
qui cU medium imaginis kl.ell in perpendiculari excunte i pundo
rei uffar.liue rcsiiila fittcqiiediftansfupcrficici corpot is dialoni, (i-
B uc non , fit item lincab n , pars aliqua linea* b 3 , Si a pundo n odu»
catur linea ng,perpcndicularitcr fuper lineam b 3.Secctq; lineam
Io.fn pundo g, erit ergo fecfidu prtrmifla linea Ig, imago linea- h 11.
Sit itacp pondus g, imago pundi n.aut ergo pundus g,erit in linea
1 g,aut prope, quocucp uero iftorfi cxillente erit linea Ig , arqualis Ii *

'I nca* b n.aut fcrc',8^ quia formari! plus diff antium a' perpendicularia
Jf 3, maior cfl: refradio Cp minus- diitanrium per 1 3. huius, erit refra*
dio forma: lineae bn ad uifum a, maior quim refradio linea* 3 n,

ad

LIBER DECIMVS* j?*.

ad mTum a , Si crgomtnor refradio facit tota 1 o, imagine Iincf b j, apparere uilui maiore
cjj? fit linea b 3 ,crgo maior refradio faciet lineam 1 g, imagine lineae b n, uideri maiore c£
fit ipfa linea b n,cfi maiore cfficatia liabcat refradio maior rcfpedu minoris, linea ergo
1 g,qu;c cft imago linea: b n,copreheditur maior cfj fit ipfa linea b n,& fi uifus no coprea
hendet linea I g, imagine lineae b n maiorc.ipfa linea b n,no coprchedet imagines partiff
linea: b n,quar funt jjpinquiorcs ad pundu 3, maiores iplis partibus, qa forma: illaiu par
tiu funt minores refradiois per 1 3 .huius, cp remotiores d pundo 3 ,fed refradio eft cati
fa magnitudinis imaginis,uifus ergo a, fi no coprchedet imagine lines lg , maiore cjj fie
linea b n.ncc coprchedet imagine lines 1 o, maiore ipfa linea b 3,ncc tota linea lk,maio
rem tota linea b Cjqd' cft impofsibilc,fl(; cotra zy. huius, uifus ergo coprehedct linea Ig,
qua: cft imago lines b n, maiore ipfa linea b n,&! ita coprehcdit lineam b n, maiorem
fit fccundii ucritarc.Eodequoq} modo poteft idem in alijs refradionibus declarari , ut
cum per modii 3 i.huius,fticritccntrum uifus extra fupcrficieperpcndiculariuillaru pro
dudarfr,quonia idc accidit in omnibus illis modis,gbus imago rei uidetur maior ipfa
re uifa,iempcr enim pars imaginis uidebitur maior parte rei uifx,(ibi correfpodcntc.qd
cfir ,ppofitu,fli.' quia comunis fcdio fuperficiei refradiois di fuperficiei corporis diafoni,
ut plurimu.cfl: r fc in linea reda,quado illud corpus diafonu fuerit grofsius aere, per ac=»
cidcns uero accidit quadocp conarium ,ppter uoluntariam fltuationem corporis dentio»
ris plani iuxta inTum,ut diximusin fine comenti zy, huius , patet cuidcntcr qd y.proxi»
mc prsmifla theoremata per fe intclligcnda funt, quando i fupei ficie corporis diafoni
grofsioris aere fit refradio ad uifuni in acre cxiftcntem,& per accidens econuerfo.
xxxv 1.

Communi fedionc fuperficiei refradionis Si corporis’ fphscrid diafoni
tlcnfioris aerea quo fit refradio exiftente circulo centro^ uifus m eadem Iit-*
pcrficic extra circulum in linea perpendiculari fuper illius corporis fupcrfici*
tm 3^ re uila inter centrum corporis & uifus exiftentibus , ita quod extrema
i ci uifa: aequaliter difient a centro corporis, imago uidebitur maior re uifa.

Sit fupcrficies fphsrica corporis diafoni grofsioris aere, cuius conuexum fit ex parte
uifus, cuius ccntrfi fit a,fitfc[3 res uifa b c.fircp centrfi corporis fphj
rici pundum d,qcf fit ultra lineam b c,reipcdu uifus a,fir'q} pun=
dus 3, medius pundus linea: bc.SC ducantur linea: db,d 3,d e, di
^'trahantur quoufijj cocurrac cu iupcrfi cie corpor/s diafoni fphat
rici linea d b,in pundo e, di linea a 3 ,in pundo m , 8i linea d c in
pimdo n.flC fit uifus a, in linea 3 m.quar eft perpendicularis fuper
fiiperficicm illius diafoni corporis per 7 z. primi huius . Erit itatp
a m 3 linea reda,& quonia m linea br,efta?qualis line» 3 c,8i qa
pundab&c.qua: funt extrema rei uifa; aequaliter didant deetro
d,cx hypothcli.Erit etiam linea d b,aqual is lincard c.Erunt ergo
trigona b d 3 &L cd 3 arquilatcra,qm linea 3 d,cft comunis ambo
liuv illis trigonis,crgo per 8. primi, erunt anguli ad pundum d te*
quales, qui funt anguli 3 d b SC 3 dc, di fimiliter erunt anguli ad
pundum 3 aquales, funt ergo rcdi.Eft ergo per diffinitionem \>-
pcndicularis linea a 3,pcrpcndicularisfupcrlineambc,ducantur
quocp linea’ a b di a c,crgo per 4. primi, erunt trigona a 3 b SC a 3
c aequalia, linea ergo a c.cfta-qualis linea: a b,punda ergo b c, x*
qualiter didant d centro uifus a, habebunt itaq;b&c,a:qualem re
foedum ad uifuni a, extrahatur cpiocjj fuperneies plana in qua
funt linea* d e &d n di d m.ha-c itacp fupcrficies fecabit fuper ficie
corporis (plixriciiecundu circulum magnum per 69. primi hu<
ius, cuius arcus oppolitus uifuifit n m c, crifqj in illa fuperficie
ccntrfi uifus a tdi liaca uifa qua* cft b c,erit ergo per 1 , huius, illa fuperficics fuperficiei rc=

fradio

PERSPECTIVAE VlTELUOm

tra£ion&,qtJaE cl"; perpendicularis fuper fuperficicm fphsrica,ncc fit refradio fornix V*
near b c,ad uifum a extra illam itipcrficie,fiC linea a 3 ,eft perpendicularis fuper fiiperfictc
fpharicam corporis,dico ita'cp quod imago lines b e, in hac difpofltione uidebiturtna-
ior ipfa linea b e, quia enim, ut patet ex prxmifsis, forma coiufcuncp pa reis lines b c,no
refrangitur ad nilum a,nifi ex aliquo pundo arcus e m n,fit ergo ut forma pundi b , re=
frangatur ad u/linn a, expuncto circuli h,& forma puncti c,cx pundo g,quia itao? puni
da b di e xqualiter dnftant i pundo a,centro uifus,patctquod ipforu erit uniformis r z»
fradio ad uifum.per 1 3 .huius, punda ergo h Si g, aequaliter diftabur d pundo m , arcus
aut cmSCm n.funt squales per xj-.terrij.ideo quia anguli enti e di m d n funt ^quales, §4
patet ex pr$mifsis,tame ergo diftabft pundus refradionis.qui cft h ,4 pund e , quanti
pundus g,i pundo n, Sierit pundoru iftoru fitus Qi refpedus squalis , ducatur itaq; I is
ne^ b h,a h,t h,a g,& ^ducatur linea a h.ad linea d c,(itiq? pund- is ledfonis k,Si fimilitrr
^ducatur linea a g,ad lineam dn,in pundu I,ducaturcp linea kl,quia itaq; in trigonis d
a k,8i d a 1, anguli a d k Sia d 1 funt squalcs,ur patet fupra, anguli £}q? I a d Qi k a d fune
aquales, ijd patet dudis lineis d h 8C d g,tunc enim cil arcus m g di m h funt squales ex
/t>r«mifsis,crut per r 6. tci tij. anguli g nb,a dg,P l a dh squales, ergo per 4. primi, anguli
1 a d & k a d funt squales ergo per 3 r. primi, trigona d a k Si d a 1 lunt squiangula,ergo
per 4.fcxti,cum linea a d.fit squalis fibrjpfi,cric iincadl,squr.I/s linea* dk, & linea e k sf
qualis lines a l,critcy linea 1 h.xquediflans lincf b c,uidcbitur'q; per 20. quarti huius.ma
iorCfj fit linea b c,quoma angulus ka I,lccudtTq “ u.dcturlk.c.’ I elf maior angulo . >
u c,& quia politio ei fitus linc rk l,cft cdfimilis politioi,^ litui bclmcx/]d patet e:; hr-j
quod cum linea d J,lit squalislincs d k,flC linea e d, squalis lines d b,erir linea 1 c.a-qui
lis lines k b, ergo per 7*quJmi,8^.lexti,liitt:ac b e Si I k funt squcdiliantcs,ipfaru eruo 'i
tus rcfpcdu uilus a , cft confimilis , limilitcr politio inter linea;: I I & h e, non cft diftj*
rentia indiftaniia quae fit fcnlibilis.palam ergo quia linea k I,uidebiturmaior fit, quia
imagoeiuscfi: maior ipfa,& bocaccidic etiam ideo, quia forma eiiu refradacftdebili-ir:
quim uera foinu.ut patet per 1 0, huius, paret ergo propofitum -
xxxv 1 1.

Communi fcdioncfupcrficici rcl. adronis- coi j m fs 'nf: vrfei diaf. -n:i

<1cnCorisacrcaquoficrtfiaertiocxi.K .te.ciivulouiliiCpfx lio. tv 'u tw.Ic u f?r.

pcrlicie c.xt.i circulum in linea perpe ufaran fuper '[■#
us corporis iiiperficicm , re uifi nter centrum coipo*
ris uifiisexiHctibus ita quod extrema rei w(x ina*q;it
liter dillcnt a centro, iinagouidcti n ia • re uila.

Remaneat diljuifitiopraccdetis^nili 'jd extremum lines Nr.
pundum e, fit propinquius pirdo d.ccrrc corpori, dia foni, 81 | .
dum b,rcmotiusabilIo,dico ijd adhuc imago lines h e, uidclv' =
tur maior ipfa linea bc,ducai enim i pundo r,l<>r-a cq, cuius t
Crema squali te r diltant i pundfod.ijd pote ft ficu' Ii a’ linea d v ,ab
fcindaturper 3. primi, linea squalislincsdc,qu:efit d pali i.-.
jf>eaqusindcmonftratione pccdentisollcnf:i ftint,qfii imago Iw
ncxcq.uidetur maior ipfa line.i tq.liritaqj linea illa imago Ft*
nca 1 p,Qt pala per 1 a.huius,qd' pHdti b, illius imaginis quod
imago pundiq.ncCeflar/o cadet in linea perpendiculari duda '
pundo ci,fuper fuperficiem corporis diafoni . fj cft linea J e, inter
putida d flC e, qufa pundO I,^d cft imago pidb. liti.i !mc. ■ r
pendieuhr i duda 4 pundo e,Cupcr iiijiei heiem corporis dnfonl
q cft d n,8i ga forma pundi e refrSgitur ad uifum a, ex pudo dr
cultg>fitutformapiidiq,rcfr;lgaturadcfide uifiimcx pudo b,
patet ghypothefimjfld p pcedcte/im pOda g 8 i h, ^qualiter di!*»
Lct i pundo m>8f quia pundu b,cft remotius i centro corpori-

U.itf

d,quJm pundum q.erit per ea qua: o (tendimus in i 3. huius, pundum fax refradionis tc
motius i pundo m, pundum h,fit itacp pundum illud f, di ducatur linea a,q u* cadet
extra linea a h, 5i harc produda ad perpendicularem d c,fecct ipfam in pudo k,cadct'cg
pundumk in linea pe, inter pundap&c.Sienimcaderctinpimdumejefletlmea a
k, contingens circulum in pundo c,6i fecansin pundo f.quod eft impolsibile, & fi cade*
rct in pundum p,ucl circa illum,tunclineaak tecaret lineam a p,8<: pundus p, ucl alter
pundusillius iedionis refrangetur ad uifum a,cx duobus pudish & f,quod cltimpofsi'
bile per » i. huius, cadet itaca pundum k inter duo pundap&c.Eritcjjper 14, huius, pii’*
dum k, imago formx pundi b.ducatur itaqj linea 1 k,qux erit diameter imaginis forme
line* b c, quia itaqj liaea 1 k.uidctur fub angulo 1 a k,8£ linea b c,fub angulo b ac. Eli ati
tem angulus 1 a k maior angulo b a c,ut manifeftum eft, quia totum cft maius fua parte,
patet ergo per zo. quarti huius, quia linea lk.uidetur maior cjj linea bc, quod enim fub
maiori angulo uidetur, maius uidctur,& etiam quia fitus&pofitio line* lk,vefpedu tu-
fis a, cft cofimilis (itui St politioni line* b c .refpedu eiufdem uifus a, patet quia line* b c
6 i k 1, aut funt arquediftantes fimplicitcr,aut inter illarum xquediftantiarii tion Cft diuer
fitas icnfibiIis,ergo per i?. primi, St! per 4.iexti,linea k I.cft maior linea bc,& quia iU
larum linearum 1 k Qi b c,ab ipfo uiiil non eft diftantia fenfibilis diuerfitatis in remoti-
one , uidetur ergo linea 1 k maior linea b c,quia eft maior,fed linea k 1, eft imago for=
m* line* b c, patet ergo propofitum, comprehenditur etiam linea 1 k, quali maior i uiftl
$ linea bc, propter debilitatem formx refradx, quoniam ut patet per 1 o, huius ,refra*
ctio debilitat omnes formas lucis di coloris,

XXXVUI*

Centro uifus cxiftcilte extra fuperfide lineartr perpendicularia a pudis
rei ui(x fub corpore (phxrico diafono denliore aere fuper eius couexa fuper*
ficic oppo litam uifui procludam ,Imcac$ uifa fecundu fui extrema cetro cor*
poris xquediftantCjimago lincte uiftc comprehenditur .maior ipfa linea uiia*.

Efto centrum uifus pundua,& linea uifa per refradionem fit b c,fit'qj pudus d, cert
trum corporis diafoniaenfiorisacrc.fifcpitautlineabc/itincra. illud corpus fecundum
fui extrema b Si c, «qualiter diftans i centro d , 3 medio dqj
pundo linea: b c.quoa fit j,i duobus extremis eius ptid/s du-
cantur in eadem fuperfide line* pcrpediculares fuper fuperi
ficicm corporis.qux produda: ad periferiam circuli fitlt b C,

3 m,&c a, lia: itaqj omnesper 71. primi huius, fecabtint fe in
centro d.Eritcrgo arcus nmc.tn iuperficie illius corporis di
afoni rcfpfciens centru d , no fit aute centrum uifus in aliqua
illarum Iinearu,fcd fit extra fuperfide in qua funt ili* line*»
dico quod imago line* b e,uidebitur maior cjjipfa linea b c,
ducatur enim linea a 3,8^ d centro uifus pundo a,ducatyr per
pcndictilaris linea fuper fuperfide circuli rt m c, per 1 1 ,undc
dm/,qu* fit a X, 8^ quia ut patet cx prxmilsis,& per z*. primi
huius.eft linea a j,pcrpcdicularis fup linea bc, (ituatio itaqj
pundi b,ucrfus uifum a,cft p 4. primi, &! ex pr«mifsis confi*
milis fituationi pundi c.ucrfus eunde uifum a , & illorii pun*
doru i uifit a,diftatia cft xqualis,fit itaqj ut forma pfidi b,re
fragatur ad uifum a,£ pundo corporis diafoni ^d fit h,& for
ma pundi t,$ piido g,funtqj puda g & h, extra fuperfide cir
culi n m c.critcjj illorii pudoru h di g,i uifu a, diftantia «qua
lis.ducatur itacg line* b h,a h, t g,a g. Eritcjj fupficics in qua
funt du* line* a h Si b h.crcda fup fupficie corporis diafoni
p z. huius , tjnia ipfa eft fuperficics refradionis, ergo Si linea
b e, qu* cft perpendicularis fuper fupcrfice corporis diafoni,
zz duda

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

duda4pimdob,eritiniIIafupcrficiep i. huius. Similiter quocp fupcrfides in qua funt
linea: cg & a g,cum fit fupcrficies rcfradionis,patct per z.huius , quonia ipfa eft ercda
fupcr flipcrHcfe corporis diafoni,crgo8i in illa fupcrncie cft linea c n,qua: cft perpedictl
laris fupcr cande corporis fupcrh’cicduda4pundo c , protrahatur itacjj linea ah, ultra
pundu Ii,& pala ^cr prxmilia di per 1 4.primi huius, ipfa fecahit linea b c , fit ergo ut
iecct in pudo k.Similitcr quocp linea a g.produda ultra pundu g,fccet linea d n in pu*
do Jjcricqdituatio lincte a k,re(pedu uifus a,ficut lincte al, unde linea a k Sin 1, erunt a;*
quales, Qdfimihter erit linea dk,a:qualis lincte dl.qute omnia o flendi fecudu moduquo
pra-ccfsimus in prtemifla j 4. huius, copuletur crgolineal k,htcc itacp erit drametcrfma*
ginis lineae b c,Q£ linea d k, ecqualis lineae d l,erit linea k b,tequalis.linetcl t.crgo p 7.quin
ti,&: p z.fcxtt,linctclk&bc,a:qucdiftant,ergoper J9.prfmi>&: per 4.fcxti, linea 1 k, eft
ifwior £$ linea b c,8i qa fub maiori angulo uidetur apparet maior, di hoc eft propofittr,
XXXIX.

Centro uifus exiftente extra fuperficiem perpendicularium a puncflorei
uilx fub corpore fphemeo diafono dcnliorc acrc fupcr cius conucxam fu*
perficicm oppolitam uifui productarum linctrq* uifc extremis centro corpo
risinxqualiterapproximatisjimagoliiicac uifv comprehenditur maior ipfa
linea uifa.

Remaneat omni& difpofitio proxima: prarmilTte.nifiquod extrema linere b e,ihtrqua
lirer di lient d centro corporis diafoni,quod cftd.fitcj} linea db , ma*
ioi' qt linea d c,fccctur ergo ex linea d b.pcr 3 , prinn, linea d q.tvqua
Iis linea- d c,6c copuletur linea c q, cuius extrema aequaliter diftabut
i centtod.liritq} per pracmtlfam imago linea* c q,quit (itlp , maior
qu-un linea c q.tk quia punda q & b iuncin eadem linea perpendi*
culari fupcr fupnficicm corporis diafoni,qua cft d c, patet quod ip*
fa ambo funt in cade fupcrficic rcfradfonlsqua* cft a d e , & refran*
gunturaduifum a,cx eodem arcu circuli , qui cftcomunis fcdio il*
luis lupcrHcici.ik fupcr fidei corporis dialoni. Sit itaqi ut forma pii
di q refrangutur i pudo illius arcus qui cft li.conformiter fe habens
te ad uifum a.cum puncto g. i quo irlrangitur forma pundic, patet
per 1 3. huius, quod pundum iqtiorefrungiwr forma pfidib.quod
fit ferit bafsius putido h,produda quoqi linea a fintra corpus dia*
fonum ad diameti nm d c,in pundum k.patct quocp ut in 3 6. huius,
quia pundum k, cadet inter punda p & e .copulata quoq? linea 1 k,
erit ipfa quali xqucdilluns linea: b c .di in eadem fuperficic cum illa
Iiritcrgomaioi per .j.fcxii.fiC etiam quia (ub maiori angulo uidc*
tur, maior ufdaur, pater ergo propoiitum.

X L»

Linea: rc frutex uifa* tranfcunrfs per centrum corpo*
m diafoui fphxrici dcnlioris acre non cxiflcmis in per*
pcntliculari cluda a centro uifus fupcrillius corporis fupcrlkicnvmago fem*
per uidetur maior ipfa linea.

Sit a centrum uifus extracorpus diafonum grofsius aere, cuius centrum fit d, fitcjj li--
nca uifa b c,pertra ntiens centrum d,ita tame qcr centrum uifus non fit in illa linea b c,ut
cuticpprotrada,dico quod eius imago femper uidetur maior ipfa linea .quoniam enim
perpendicularis fupcr fuperficiem corporis 4quibufcun'qt pundis lineae b c produdar,
omne* continent lineam bc.uifu cnioqj in acre cxiftcntt iit refradio femper ad contra*
riampaftem perpendicularis duox a pundo refradionis fupcr fuperficiem corporis
, ntpatet per 4.huius, ergo fecundum prarmiiTas demonftuutioncs pater quod lincarex*
tenfionis fornurum pundorum extremorum linea: b c,qu«e fune b di c, produdar intra

corpus

LIBER DE C IM V Si 4?4

corpus diatonum, i cuius iiipcrHcic fit refradio,interfecabunt perpendicula res pundof (3
b SCc, maior ergo lemper uidebitur imago Ifnc£ebc,qu5m ipfa linea, quae tuefit parsfu$
propria: imaginis fecundum ueritatem, patet ergo propofitum » Pollet quocp ampliari
modus ille dcmonftrandi ad alios fitus lineae uifce,qui poffent effe ultra centrum corpo?
r is diatoni dcnlioris acre uifu exiftente extra illud corpus in aere,& conuexitate corpoi
ris refpicience uifum,uidctur enim & tunc imago quandocp maior re uifa pramiffo mo
do,fcilicct in alijs (itibus ante centrum, ut cum linea uifa fuerit propinqua centro corpo
ris diafoni, fk li linea uifa b c fuerit perpendicularis fuper lineam ad 3, i centro uifus per
centrum corporis produdam,&! linea: extentionis formarum extremorum pundorum
I/nca: b cffcccnt corporis fphxrici diafoni fuperficiem, & fccent lineas perpendiculares
dudas 5. pundis b& c, fuper fuperficie corporis diafo
n i intra corpus, tunc imago uidebitur minor rc uifa, Si
oero lincte extenfionis formarum pundorum b St e, fu
erinteontingentes circulum corporis diafoni in termi
nis perpendicularium dudarum a pundis c & b , fuper
fuperficie corporis,ucl fccantcs circula in cifdem termi
nis, tunc femper imago erit tcqualis rei uife per 1 y.pri?
mi, di per ir.Ck iS,terti'j,& uidebitur imago linea: bc,
licut quatdam chorda arcus illius circuli, & fi lineas ex?
rendonis formarum accideret contingere circulum cor
poris diafoni in duobus pundis medijs illius arcus, ut fi uifusfit ualde propinquius. Cupit
ficiei corporis diafoni,tmic illa; linea* cocurrcnt cum perpendicularibus extra corporis
iuperh\-icm,uidebitur'cj3 imago linea: bc, maior ipfa linea, St extra fuperficiem corporis
fecundum fui extrema extenfa,quod fi linea uifa bc,fit extra corpus diafoniim , cont/n*
gens ipfum,ucl diftans ab ipfo,non exiftens tamen pars lineat a d.tunc imagoeius uidc=
bitur minor rc uifa.quado cocurrit inter ipfum corpus diafonu,uel ultra illud inter rem
uifam & fuperficie corporis. Sed in affueris uifibilibusno cft aliquidtale,nifi forte fuerit
aliquod corpus diatonum nitreum, aut lapideum,8d fuerit totum corpus folidum , & res
uifa fuerit inter ipfum, ucl fi.res uifa fuerit extra (pharram criftallinam aut uitream* Hoc
rum autem (ituum diuerfitatem ex praehabitis principijs demon?
ftrandum rclinquimusingenfo perquirentis,

XLi.

T11 omnibus rcfradtfonibus fatffis afuperficiebus fplig
ricis corporum diafonorumad uifum imagine apparen?
tc maiore rc uifa,pars imaginis uidebitur maior parti rei
ui/x (ibi proportionali,

I-int difpolitio qua: in 34. huius, & ficut linea d m,fecet lineam
k l.ijiia* elt diameter imaginis in pudo o.Erit ergo linea k 0 ima
go linea: b 3 .quoniam pundum 3 , uidetur fecundum perpendi?
cularem a 3, per 3 . huius, St erit angulus k a o, maior angulo b a 3
& (itus Iinctek o.rcfpcdu uifus a, elt (imilis pofitioni linea: b 3 , re?
fpedu ciufdem uifus, St amba* illa* linea: xcjualiter didant i cetro
uifus, ucl fi in hoc fit aliqua differentia, illa non erit fenfibilis rcfpc
du uifus.imago itaqj k o, uidetur maior qirim linea b 3, & carum
ptmda 3 St o, cadunt in linea 3 a, qua: cft duda i centro uifus , St
cuius pars eff linea 3 m, exiens ab extremitate linea: b 3 .perpendi
ctilaritcr fuper fuperficiem corporis diafoni , cadens in pundum
m.quodfi adornatur alia pars linea: b 3,qu$ fit b f,8^fit locus ima
ginis forma* pundi f,in pundo r, linea* k o,timc erit linea k r,ima
go linea: b t \St (icutfupra odcnfumcd, patet quod linea kr uidc?
bitur nuior quam linea b f, quoniam plus refradionis accidit li?

z z x nca?

I

PERSPECTIVAE VITELUONIS

ilea: bf,quSm linea: f 3 ,pcr 1 3 huius.maior ergo ci debetur cxccfliis imaginis qttim line$
i' 3 . Si ucro putidum a ,ccnn um uifus fit extra fuperficicm,in qua funt omnes perpendi*
culares exeuntes i pudtis linea: b c,fuper fuperficiem corporis diafoni.i qua fit refradio,
nam linea a 3 ,qua: exit d pundo a,pcrpendicularitcr fuper medium pundum linea b c,
quod eft 3, non propter hoc eft perpendicularis fuper fuperficiem corporis, in qua cft li-
nea b c5& quoniam linea b c 8C k 1 funt ereda fuper lineam a 3 d, & linea k o eft imago li
neab.3,81: linea 1 o,eft imago linea 3 e, Si angulus quem rcfpicit linea k o.apud centrum
uifus a, qui eft angulus k a j,eftmaior angulo b a 3,quim que refpicit linea b 3, apud ce*
trumuiius a, linea ergo ko, per rp.quarti huius .uidebitur maior qudm linea b 3, & fimi
liter linea k r>uidebitur maior qudm linea b f, omnia liare patetex illis qua* pra*mifla
funt in 3 3. huius, fiuc ergo fuperneies corporum diafonorumoppofitauilui fuerint pia*
«3e fiue fbha*ric;e conucxa, accidit imaginem rei uifae uideri maiorem ipfa re uifa, in hoc
tamen eu; differctia,quia in corporibus diafonis planaru fupcrficierum exceftiis magni*
tudinis imaginis fuper rem uifam cft folum in apparentia uifus propter excefluin angu
Iorum fecundum quos uidetur &! imago & res ipfa uifa,alix enim imagines fecundum
uer/tate funt arquales lpfis rebus uifis,fcd in refradione fada d corporibus connexis fpliac
ricis /mago cft fecundum ucritatcm maior ipfa re uifa,& etiam fecundum apparentiam
in uifu propter angulorum exccfTum indetur maior, quoniam in hoc (itu imago rcfpicit
maiorem angulum apud centrum uifus quam rcfpiciat ipfa res uifa,&! funt uiroq} modo
partes imaginum maiores partibus rerum uifarum libi propor tionalium,patet ergo pro
politum .

3CLI I.

Oirme corpus uifumin aqua cSprehenditur maius fp fitfccunclu ucritatcm»

Quod hic proponitur ,patct fatis cx prarmifsis,fcd 8i idcnvplacuit cxpcrimentaliter
declarare, 8f uniucrfalcm caufam particulariter exemplare, auumatur itacp corpus co»
iumnare longitudinis unius cubiti, 8<! aliquanta grofsiciti,8d (it album,ut manifeltius in
aqua pofsit diftingui.Sintfcn fuperficies cius bafis plante.ira quod per fe fuper illas pofvit
ftarc arqualiter fuper fuperficiem horizotis,ueltcn a',ucl ualis, Deinde infundatur aqua
clara in uas aliquod, cuius fuperficies bafis iit plana, ita quod aqua non immergat totam
corporis /o»girud/nciri,& erigatur corpus fuper mediam bafem uaiis in aqua. Remane*
bii ergo aliqua pars cius extra agnam, quia proliinditav aqua* eft minor corporis longi*
cud/ne,cum itaqj qu/cuci it aqua,uidebiiur pars corporis intra aquam grofsior quam illa
qu.e cft extra aquam, patet ergo propofitum per expciimcntum.Sed Si idem pater, quo
niam enim connexum liiperficiei aqua*, cft figunt fplnericar opponitur iiifui,6e ccnti u
fiipci ficiei a qua*, quod eft centrum uniucrfi,ut alias oftcndinuis,ieinpcr cft ultra omnia
illa uifibilia qua: coniprehcndiiniur in aqua,£V aqua cft grofsior aeie, fiuc extremitas rei
uifa: fuerit arqua liter diflaus a centro aquce/iue imrqua liter, & fiuc uifus fuerit in aliqua
linearum perpendicularium cxcuiu/um ab aliquo pundorum rei uifa: fuper fuperficiem
aqua*, fiuc omnes extra illas perpendiculi csfeniper cft neccifarium.ur patet cx pra*mif»
fis <5.propolitionibus proximis, formam rei u/f.c uideri maiorem ipfa re uifa exiftente cx
tra corpus aquar, Sed forte fi aqua fuerit clara ualde pauca, quales aquasin loco fubter
ranco in concauitatc montis, qui eft inter duitates Paduam & Vinccntiam,qui locus di
citur Cubalus nosuidimuslucidasquafl ut aerem, tunc forte non comprehendetur ima
go fonna* rei uifa* fub aqua tali efte maior quini fi in acre uidcrctur , quia tunc non cft
differentia in quantitate iftorumquoad fcnlum,quoniamdenficasaqua* modicum addit
fuper acris denlitafem,& ideo lenfiis tunc non diftinguet quantitatis additioni , femper
tamen fecundum ucritatcm imago fit maior ipfa rc uifa , licet illud quandoq? lateat fen-
fum, patet ergo propofitum,mngis enim cft hoccuidcns in aquisgrofsforibus,ucl fulphu
reis calidis.in quorum intuitu & mirabili uanfmutationc formarum primum nos amor
buius ftudii allexit,

Reuft

LIBER.

DECIMVSi *7.f

XLiri.

Rc uifa ultra corpus diafonum fpheericum grolsius aere exiftentc, ita
quod centrum uifus & res uifa & centrum corporis fphxrici fint in eadem fu
perfide linea reda, comprehenditur imago rei uifzc figura: armillaris multo
maior re uifa ,

Sit centrum uifus a,& corpus fpharicum diafonum fit b d z g, cuius centrum fite,8d
ducatur linea a e, qua protra da fecec fupcrficicm fpharadiafonain duobus pundis b
fXd.Si protrahatur quocp ultra pundum d uiqj ad pundum h,tranfeat'q} per lineam a b
d h,( uperfleies plana fccans fplw:rarn,& fit communis fedio illius fuperficfc plana, Si fu
pcrficici fphara diafonar per 69. primi huius.circulus b d zg. Iam autem oftcnfum eft in
i i .huius, quod in linea d h,funt plura punda, quorum forma: refranguntur aduifum a,
ex circumferentia circuli b d z g,8i quod forma totius huius lines refrangitur ad uifum
a,(i arcus b g z d, fuerit continuus unius fcilicer diafonitatis continentis lineam u hl, & fi
forma pundf h refrangatur ad uifum a, ex pundo corporis g,Si forma pundf 1 , refran*
gatur ad uifum a, ex pundo corporis p, manifeftum eft quod forma totius-lfneaerefran
getur ad uifum a, ex arcug p»& ducantur linea: g h,p l,g a,p a/ecctqj linea g h, circumis
rc/uiam circuli in pundo m , di linea p 1 in pundo z, forma itacp pundf h,exteditur per
linea hg,& refrangitur per lineam g a , 8i forma ptindi l,cxtenditur ad
lineam 1 p,& refrangitur per linea m p a,8t ducantur lines cm&cz.fii
extrahatur linea c m ad pundum c}8i linea e z ad pundum f, forma ergo
qua: extenditur per lineam a g, quoniam peruenit ad pundum g,rcfran
gitur per lineam gh ad pundum h ,8i forma qua: extenditur per line*
a m a p,perucnfens ad pundum p, per lineam p I , refrangitur Si perue*
nit ad pundum I, Si hoc fi corpus diafonum fuerit continuum Si unum
tilip ad pundum b.Si ucro corpus fphccricum fuerit fignatum Si termina
tum apudcircunfercnuamfpharicamcitralincamhl, tunc forma quae
extenditur per lineam a g, refrangitur per lineam g m.in partem perpen
dicularisch.flf cum forma perucncrft ad pudumm, refrangetur fccudo
in partem contrariam perpendicularis qua: eft e m c,&! concurret cu per
pcndiculari c 1, refrangatur ergo in pundu k, perpendicularis e 1,& fimi*
liter forma extedicur per lineam a p, refrangetur per lineam p z, Si cum
peruoncrit ad pundu z, refrangetur fecundo ad partem contrariam per
pcndicularcm c z f, in partem perpendicularis e hj & concurret cum illa
perpendiculari h e, Iit pundum cocurius o,fic ergo refradio formae qua:
citi pundo p, peruenit ad pundu z,ab illo pundo z, refrangitur ad dia*
metrum e I, per linea z o, forma itacp pundf k per nonam huius extendi*
tur per lineam k m,8t d pundo m , refrangitur per lineam m g in pun*
dum g. Deinde fecundo refrangitur i pundo g.per linea g a ad uifum a \

Si (imiliter forma pfidi c, extenditur per lineam oz,& i pundo z,rcfran
gitur per lineam z p ,Si tn pfidum p. Deinde refrangitur ab illo pudo p
per lineam p a ad uifum a, forma ergo totius linea: ko, refrangitur ad ui*
fum a, ex arcu g p,& fi linea a k o, fuerit fixa,&: imaginati fuerimus figu*
ram k a g p,circumuolui circa lineam a k o fixam, tunc arcus g p,defcri*
bet figuram circularcngutpotc armillam, i cuius totali fupcrficic refran*
getur forma linea k o,ad uifum a , Si crut centra uifus a locus imaginis,
forma ergo linea k o,uidebitur in tota fuperficie circulari , qua eft locus
refradionis , Si eft armillaris in fuperficie fphara,forma itacp linea ko
uidcbiturmultomaior fcipfa, Si erit figura forma diucrfa d figura k
o,hoc aut poteft fic experimento declarari. Accipiatur fphara criftallina
aut uitrea pcrfed$ rotunditatis , 8d accipiatur corpufculum paruum , ut
cara nigra fpharica.qua ponatur in capite acus , ponaturcp fphara ai* ?

ftallinainoppofitioealtcriusiufuUjSicIaudatur reliquus , Elcuctur acus B
zz i ultra

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Ultra fpharam,8c afpiciatur medium fpharae,& fit cara oppofita medio fpharain linea
rcda.uidcbiturqj ia fuperficic fphara nigredo rotunda in figura armilla:, quod fi non ui
deatur talis figura, moneatur cara ante & rctro,donec uideatur talis rotunditas. & tunc
auferatur ccera,& recedet nigrcdo,quod fi caram reduxerit quis ad locum Qi fitum prio-
rem, reuertetur ftatim nigredo rotunda armillaris. Sed Qi in his multa cfl diuerficas qua
relinquimus ftudio perquirentis,

X L I I I I.

Rcuifa trans corpus diafonum columnare denfius aere,itaqj centrum ui
fus,& centrum alicuius circuli corporis tcquediftantis bafibus columna: , 8c
res uifa fint in eadem linea recita, imago rei uidebitur duplicata.

Sic in corpore columnari grofsioris diafonitatis cjj fit aer circulus b g d z,&! fit ccntru
tlifus a,8t extera ut prius in pracedcnte,dico quod forma linea k o, uidebitur duplicata
quoniam ipfa uidebitur apud arcum gp,& apud arcum fibi aqualem, Si libi correfpon»
dentem cx arcu b d,in alia parte fcmichilindri,fcd hac forma non erit circularis , quia fi»
gura a li p g.cum fuerit circumuoluta circa a kjincam immotam fixam, no tranfibit per
illam lineam arcusg p,pcr totam fuperficicm columnarem, fed refrangetur forma cx ali
quibus portionibus columna, erit continua in una parte, di fimiliter in alia, nam fupcrfl*
cies in qua funt punda 1 k,tranficns per axem columna facit in fuperficic columna , qua
eft exparte uifus a, lineam redam tranlcuntcm per putidum b,& extenfam inlongitus
dine columna, & non refrangetur forma linea k o,cx illa linea reda, nam linea k h,crit
perpendicularis fuper illam lineam redam. Noncrgo erit forma rotunda corpore diafo
no cxiftctuc columnari, fed erunt dua forma quarum altera refrangetur fuper alteram
uidebitur ergo linea k o.habens imagines duas, quarum utracp eft maior qu5m linea k
o, & erunt illa dua forma eadem apud ptindum a, quod eft centrum uifus, quoniam in
illo pundo a, eft locus ambarum illarum imaginum, ut patet per 14. huius , patet ergo
propofitum.nonpoteft autem fieri huiufmodi refradio d fuperficic corporum pyramis
daltum,quoniamlincaka,noneftpcrpendicularitcrercd:a fuper fuperficicm conicam
talium corporum, uidelicet poteft cfle,ut flipcrficies refradionis iecet liuiufinodi coi pos
ra fecundum circulum, quemadmodum etiam de fuper ficicbus reflexionum, &i de fpecu=
iis pyramidalibus conuexis uel concauis.oftenfum eft in pramifsis libris.

XLV.

Centro uifus e xifiente in diametro corporis diafoni fplnvrici cocau i den
fioris acrc,&re uilh refpicictc connexum illius corporis,ima*
go uidebitur quandoqj minor re ui(a,quandoqj maior ut cum
\ iit figura: armillaris.

Sit centrum uifus a.lincaqj uifa (it b e, Si fit corpus fpharicu con-
j cauum dentioris diafonitatis quini (it aer, cuius centrum (iid, Si dia -
/ meter e d f, fitqj linea b e , extra connexum illius corporis,&; centrum
uifus a, fit in diametro illius intra corpus concauum, dico quod feni*
per imago rei ulla linea b e, erit minor ipfa ic uifa. Si enim centrum
uifusa , fuerit in centro corporis putidi d , palam per yi, primi huius,
quoniam omnes linea extentionis formarum putidorum linea1 b e ad
uifum a, erunt perpendiculares fuper fuperficicm corporis , quoniam
tranfeunt centrum cius , locus ergo imaginis per ty. huius, erit iplc
arcus rcfradionis,uidebitur'cj}irnago cui ua minor re uifa. Quod fi a
centrum uifusfucric in aliquo putidorum feinidiainetri ed , propina
quioris rei uifa, uel in aliquo pundorum feinidiainetri d f remotio
V ris, adhuc femper linea extentionis formarum ad uifum fecabunt per
A-ipcndiculures dudasipimdts rei uifa fuper fuper ficiem corporis dia*
B- toni i qua fic refradio, /nipfispundisrefradionum , hoceftin pun*
dis arcus a quo , fit refradio uel circa illa punda intra corpus diafonu uel extra illud

uidc bi*

LIBER DECIMVS. »7*

uidcbmir ergo imago quandoqj curua,quandocp rcda,quandoqj irregularis, fed femper
minor re uiia, quoniam ut pa tcc chorda ucl alia diameter imaginis eft mitior rC uifa, di
omnis linea cadens inter centrum uiius pundum a,8i inter lineam b c , eft minor quirfi
linea b c,cum ceciderit inter lineas a b & a c,ut htec patere poliunt per a?. primi, uel pe*
4.fexti.Eftitacj) in tali diipofitione femper imago minor ipfa re uifa , cfirtaj eius imago
quandocp maior, ut cum fir figura: armillaris. Si cnimHncabc,fituetur in diametro fde
tunc formarum pundorum b 8i c,fict refradio ab aliquibus duobus pundis unius ar=
cus circuli corporis 8 i pandorum mediorum lineae b c,fiet refradio a' pundis mcdtjs ii»
lius arcus, di li linea a b c, remanente fixa imaginetur illa figura circumuolui quoufqjjre
deat ad locum, unde motus accepit principium.defcribetur per arcum rdfradionis quae
dam fupcrficies armillaris in tota fphaerica fuperficic corporis,* qua totali fiet refradio
ad uifum. Iiritcp locus imaginis in centro uifus.qui applicans formam uifam ip(i fupeifis
cici refradionis.reiudicat figurae armilla ris.ut haec amplius omnia declarauimusin 41»
huius,patet ergo propolitum.Scd in uifibilibus nobis alfuetisnihil comprehenditur i ui
fu ultra corpus diafonumfphaericumdenfius aere.cuitis concauitas fit ex parte uifus, nifi
forte tale corpus Hac artificialiter exuitro uelcriftallo ucl glacie aut aliquo filis fimile»
refradio tamen qua: fit ad uifum i fuperfleie concaua cceli limiliscft ifti flifi quod fedin*
dum illam non fit refradio nifi formarum fphaericariim, quarum Daturam irtodumirt*
ferius duximus pericquendum.

XL vi.

Imago forma: cuiuslibet fei uifa: figuratur diuerfimode fecundum figura
fuperfirfei corporis a qua fit refradio ad uifum.

Quoniam enim locus imaginis refrada* eft femper fn comunf ftdfone kathctf incf*
dentite , qui eft perpendicularis i ptindo rei tiifce produdus fuper fuperficiem corporis
diatoni, in quo eft res uifa,8i linea: perquamforma peruenit ad uifum, ut patet per 14.
Imius.Si ergo imaginati fuerimus quod ab uno quoqj pundo rei uifa: exeat kathetus ini
cidentiae qui eft perpendicularis fuper fuperficiem corporis in quo eft res uifa, tunc habe
bimus quandam figuram columnarem ucl corporalem exeuntem i fupcrficie totius uifi
corporis ad fuperficiem corporis diafon/,& hxc figura fecat pyramidem radialem fecun
dum quam fit uifio rcfrada,cuius uertex eft in centro uifus per 8. quarti huius , & /ftarii
duarum figurarum corporalium, columnaris icilicct di pyraftiidal/scommunisfedfocft
locus imaginis forma: rei uifa , Si icacjj fupcrficies corporis* qua fit refradio forma: rei
uifa fuerit piam , tunc corpus imaginatum continens omnes perpendiculares ericfimfc
Uter piante fupcrficiei.quarc illa imago erit a:qualis,ucl modico maior c$ fit forma rei ui
fat iiidcbitur tamen femper multo maior re uifa.Quod fi corpus i quo fit refradio foerit
fplitericum.Si conucxuin cius fit ex parte uifus/ueritcfl res uifa in centro ipfius corporis
diafonijiicl inter illud centrum 8 i uifum, tunc imago rei uifa: erit figura: pyramidalis, q-
niam omnes perpendiculares qua: funt katheti incidentia: concurrunt in centro corpo-
ris Jialoni per 7 a. primi huius, & htec imago quanto magisextctjdituruerfus (iiperficion
connexam corporisdiafoni,tanto magis amplificatur, di ubicunq; locus imaginis fuc-
rit inter rem uifam Qi fuperficiem corporis fpharicam.fcmper imago erit amplior re ut-
fa. Si aurem locus imaginis fuerit ultra rem uifam .tunc imago erit lrridior re uifa. Si ue
ro res uifa fuerit ultra fuperficiem fphxricam corporis diafoni uel ultra centrum eius.tuc
cum omnes katheti incidcnti.vfcccntfcinccntro corporis, Citra corpus imaginatu , dua:
pyramides oppofita* , quarum uertices coniunguntur in centro Corporis diafoni, 8c loca
imaginum tunc polfunt ctTcdiucrfa, di forte accidet quandoqi fmaginem uideri maio-
rem re uifa,quandocp a-qualcm,8t quandocp minorem , quod fi corpus diafoni fphterid
concauitas fuerit i parte uifus, Qi conucxitas cx parte rei uife, tunc idem per rationem
qua prius corpus imaginatum erit pyramis,cuius uertex erit in centro corporis diafoni,
quanto ergo magis hoc corpus imaginatum extenditur uerfus centrum corporis diafo
«i, tanto magis confringitur,^ quanto magis extenditur ad partem illamjtanto magis

dilata

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

dilatatur ^amplificatur fuperficics.undc fecunduirt hoc locis imaginum diuerfificatis*
diucrfificatur Si quatitas imaginum formarum, quia fi locus imaginis fuerit propinquis
or centro corporis diafoni concaui cjj ipfa rcsuifa,erit imago maior ipfa re uifa,8i fi fue
rit locus imaginis propinquior centro corporis diafoni cocaui ipfa res uifa , erit imas
go minor ipia re uifa, Si fi fuerit locus imaginis remotior 5 centro corporis cjj res uiia,e*=
rit imago maior ipfa re uifa, Si hoc exemplificauimus in corporibus diafonis fphoricis
conucxis Si concauis.codem modo in corporibus columnaribus Si pyramidalibus con
uexis Si concauis poteft intelligi.uniuerfalitcr autem quando locus imaginis cft fupcrfu
cies corporis diafoni i qua fit refratflio,tuncfemper imago induit figuram fuperficiei, i
qua fitrefradio, unde in connexis fuperficiebusfitconucxa,in concauis concaua,inco>=
lumnaribus corporibus fit oblonga columnaris,8i in pyramidalibus corporibus pyrae
midalis, Diuerfiflcantur etiam figura: imaginum in eodem diafono fecundum diticrfum
fltum eiufdem rei uifa: rcfpedu uifus.undc forma eiufdem rei ,ut pedis ucl manus , quatic
doqj uidetur ftrida Si curta, quandoqj arta Si longa, fecundum quod perpendiculares i
punitis illius reiad fupcrficicm corporis diafoni produdo illi fuperficiei incidunt diucr
limodc ,iic enim uaric d lineis extenfionis formarum intcrfccantur,8i uariaturmultifor
micer imago, ut patet per 14. 8i 1 5-. huius, horum quoqj omnium caufa fufficicntcr patet
cx pr»mifsis,palam ergo cft id quod proponebatur*

XLvn,

Vna imago rcfracfta occurrit eiufdem uidentis uifibus ambobus.

Quoniam enim forma eiufdem rei uifa: refrada ab aliqua fuperficie corporis diafo*
ni, in quo cft illa rcs,fc ofiert ambobus uifibus eiufdem uidentis,tunc in ipfius uilionc no
fit quantum ad adum uidcnd/jdiffercntia i fimplici uifione.qtiam pcrtradaufmusin ter
tio Qi quarto libro huius fcientix,ubi diximus quod res fecundum pyranudem uidetur,
Cuius uertex cft in centro uifus,8i bafis in fuperficie rei uifa:, di oftendimus qudd tQc ab
ambobus uifibus uidetur una forma, unde idem hocfupponimus in formis refradis.utin
formis diredtquifis.Si enim homo comprehendit aliquid uifibile inccclo,aut in aqua, aut
fub u(tro,uel Criftallo ambobus uifibus, Sii claudat unum uifuttm,nihilominus comprehc
det illud uifibile, ambobus ergo uifibus,Si uno tantum uifu comprehenditur eadem for»
tm,Si hoc cft propofitif,no enim uidimus in talibus aliquid ulterioris mone dignum «

XLVIIt.

Criftallo fpfiATica foli oppofita ignem poftibilc cft: accendi in re combu
ftibili ejutepoft illam .

Sit centrum folis pundum a,fii'qt criftallus libi oppofita, cuius centrum b, fit qj ut fu»
perficies plana centra amboru qua: iunt a Si b.pertranfiens.fccct ipfun criftallum fphae
ricam fecundum circulum per <$9. primi lni/us,qu;r fit c d e fg,dtco quod (i aliquod com
buftibile ponatur poft hanccriftallum,ita quod criftallus (is media inter folcm Si rem co
buftibilem.ut ftupam,ud aliquid confimilc,pofsibikeft ut ignis in illo corpore acccnda
tur. Imaginetur enim i centro folis a,ufq; ad centrum crirtulli^cjiiod cft b, diffundi radi*
usqui lit a b,cum itacp radius ifte (it perpendicularis fuper corpus folis Si iuper corpus
crilra Ili, per 7 z.primihuiut, quoniam tranlit per amborum centra, palam per 47. fectm*
di huius, quia non rcfrangitur,fcd tranlit corpus criftalli refradionis. Omncsqj radij lo*
Ii fuperficiei (plumat criftalli atqucdtftantcr medio a b incidentes, palam quoniam inci*
dunt oblique, ergo per eandem 4 z. fecundi huius, patet quoniam omnes illi radij refran*
guntur ad perpendicularem a b, quoniam quilibet illorum radiorum reii angitur ad per
pendicularcmf pundo refradfonis fuper iupcrficicm criftalli,qu;e perpendiculares om
nes concurrunt cum diametro ab, in centro fphrrrarcriilalli.fit autem ad illas perpen
dicularcsrcfradiojideo quod corpus criftalli denfiuscft corpore acris per ejuod tranfe*
unt radij inter corpus folis Si corpus criftalli incidentes, & quoniam in diftaruia aequali
^ radio a b,alij radij i corpore folis procedentes corpot i criftalli incidunt fecundum an
gulos aquales per 4 primi huius,palam per odauam huius, quoniam fecudum aqua*»
les angvilos refrangucur, imaginetur uacp radius a b,produci ultra corpus cnftalh,& pa*

LIBER. DECJMVJ. tjf

let quoniam i quolibet circulo corporis criftalli totius fuperficici foUs oppo/Itx rcfran
gimtur radij ad unum pundum perpendicularis a b,ficut Si omnes perpendiculares con
currunt in centro b,in aliquo itaqj illorum pundorum perpendicularisa b,retro corpus
criftalli polito cbbullibili ignis accenditur in illo, (i moram duexerit, omnes enim angu
Ii rcl radio nis ex aere ad fuperficicm fuperiorem criftalli unius circuli, cuius polus pu
dus eft fecundum quem linea a b.fccat fuperficicm criftalli, funt xquales, & eorum radi
orum anguli refraaiois i fuperficie cr i (lalli ad aerem funt xquales ,8i quoniam quilibet
Illorum radiorum refrangitur i linea perpendiculari i pundo lux refradionisfuper fij-
perficiem criftalliprodudx,patet quod omnes illi radij aequaliter refradi concurrunt
In uno pundo linea: a b.produdx ultra fuperHcicm criftalli, Si quia illa puda naturalia
latitudinem llabcnt, patet quod ipfis radij plurimi concurrut , polfunt ergo rem combu*
ftilcm ibi politam inflammare, quod cft propo(itum,fore tamen portio fphxrx criftalli*
nx minor hcmiTphaerio fortius inflammaret in loco centri fui polita re inrtammabili.quo
niam omnes radij totali illi fupcrficiei fphxricx pcrpcndicularitcr incidentes concurrent
in centro per 7 1 primi huius» Sed in horum experimentatione eft in maxima latitudo
relinquimus ad talia curiolis»

XLIX.

Stellas coeli Si lunam fecundum refradionem a uifibus comprehendi in *
ftrumcntalitcr declaratur.

Inftruincntum armillarS ponatur inloco eminenti, unde appareat horizontis pari
orientalis,ita quod armilla qux eft in loco circuli meridiei llt polita in fuperficie circuli
meridiei,Si polus eius Iit exaltatus i fuperficie terrx fecundum cleuationem poli mundi
fuper illius habitabilis horizonta, 8i in node obfeructur aliqua ftellarum fixarum ma*
gnarum, qux tamen perucnit ad circulum meridiamini fic tranliens per centrum capitis
experimentatis aut prope, 8i conlideretur illa in ortu fuo dum eleuatur fuper fuperficiem
horizontis,8C tunc rcuoluatur armilla reilolubilis in circuitu poli mundi, qui eft plus x •
quinodialis.doncc Hat xquedirtas circulo magno cceli tranfeunte per polos xquinodio
nalis,8i per centrum corporis illius ftcllx.Si ccrtificctur locus ftcllx cx armilla, ita ut ha
beatur diftantia ftellx i polo mundi. Deinde obfeructur ftclla donec ucniat ad circula
meridiei,moucatur'cp armilla inobilisdoncc flat xqucdiftans circulo ftellx, ut prius , Si
llt in fuperficie circuli meridiani » Si tUnc iterum habebitur diftantia ftcllx i polo mundi
cum ftclla fuerit in zenith capitis aut prope, inucnicturfcp diftantia ftellx i polo mundi
in tempore ortus Si cleuationis ftcllx minor ipllus diftatiaab eodem polo tempore quo
cft in zenith capitis ucl prope, patet itaqj cx iftis quia uifus comprehendit formas ftel»
larum orientium reflexx di non rede, quoniam qitxlibct ftellarum fixarum fempermo*
netur per eundem circulum, ex circulisxqiicdiftantibus xquinodiali, nili forte lecundu
motum latitudinis uarictur parum in tempore longo, de quo alibi plenius dicemus. Si
itacjj u iliis comprehenderet ltcllas rede non refrade, tunc uifus comprehenderet quam
libet ftellarum in fuo loco, Si clfct omni hora nodis ciufdcm ftcllx i polo mundi eadert
diftantiain uifu, cuius contrarium accidit uilui per inftrUmentum . Similiter quoqj ac*
cidit in luna, Ii enim aliquis per tabulas xquaiierit locum Iunx in aliqua hora prope or*
tum cius , Si habeat latitudinem cius Si diftantiam $ polo mundi notam, Si item xquee
Ipfampro tempore medix nodis,& fciat latitudinem eius Si diftantiam a polo mundi.
Si itaijt inueniatur locus Iunx per armillas tempore ortus fuinon accidet diuerfitas inter
computationem per tabulas Si experimenta tionem per inftrumentum, inuento uero lo
co Iunx per armillas dum eft in meridiano circulo, erit diftantia linea zenith capitis in*
Uenta per inftrumentum, cum latitudo Iunx eft meridiana maior, Si cum eft feptentrio*
nalisminor ucra diftantia cius ad zenit capitis inuentaper computationem tabula=
rum , patet ergo quod lux Iunx non perucnit ad uifum rede , fcd refrangitur in aliquo
medio corpore fecundi diafoni,quia nili refrangeretur cade eiuseffet diftantia i zenith
capitis per inftrumentum Si per tabularum computationem, ut acciditcum cflctinho=
rizote nue aut dilfei t.palacll ergo propolitu,quia omnes ftcllx uidetur per relradiohe*

aaa Dilpoii*

PERSPECTIVAE

VITELLIOMIS

Diafonitas corporis coclefhs rarior cfl: acris <k ignis diafonitate.

Difpolito enim inflrumcnto armillaris ut fupra , inucnfcnda cfl diftantia alicuius
'ftcllarum a zenith capitis,8dn loco experimentationis fit circulus meridiei a bg , Qi (it
Tzenit capitis pundum b , dC polus mundi (it pundum d , centrum quoqj mundi Ut pun<
dus e,& ducatur femidiameter meridiani circuli qu^ (it e b.pcrtraniicns centru uifus ex
pcrimcntantis.qua: fit pundus 2,(itcp circulus h c.aqucdiftans circulo arquinodialt , dC
polo ipfius qui eftd.Erifcp polus illius circuli hc,pudusd,per <58. primi huius, propter
diftanriatn illorum circulorum. Sit'cp circuli h e diftantia d pundo d,po!o mundi,illa in
qua inucnitur ftella in hora ccrtificationis diftantia* prima, qua* cft in ipfo pudo fui or»
tus,8i (it locus ftella in illa hora pundus h,fit'qj circulus alter qui k b g,a*qucdiftans a*qui
nodiali circulo, & etiam circulo h c,cuiusdiftnntia d polo mundi, qua* eft d,(itilla,in qua
‘inuenitur ftella in fecunda hora co(?dcrationts,cjuaj (it ftella exiftente iuxta zenith capi?
tis in circulo meridiano qua* eftabg. Eritcj; circulus kbga*qucdiftans polo mundi,
qui eftd,8fualde propinquus ip(i zenith capitis,aut tranfiens per pundum b , quod eft
zenith capitis. Ille ergo circulus k b g.clt in quo ccftat obliquitasrel radionis.nam cum
ftella fueritin zenith capitis in pundo b,aut ualdc prope, tunc uifus comprehendet cius
formam rcdc,nam linea c z b d centro mundi e, per centrum u ii iis z.ad zenith Capitis b
pcrtingensjcftpcrpcndicularis fuper concauuin fpha*r;c ccelcflis A' liipcr connexu (plue
ra* acris per 72,primi huius, quoniam traniit per centrum utriuiq; illatum fplnerarum,
uifus itaqj propter pcrpendicularitatcm linea* z b, fuper fplnvras aeris Si avii , compt e =
licndet ftellam exifientem fuper hanc lineam rcde.fiue corpus coeli & aeris litu ciufdctn
dialbnitatis (iuediucrfa*, quoniam ut fupra ollcnfum cft per tettiam huius, pcrpcndicu»
laris linea radialis non refrangitur in medio fecundi dia(bni,fonna itaqj ftella* apparent
tis in pundo b, line oni ni refradione peruenit aduifum per medium corpus ccelcftc 8d
ignis Si aeris, quorum in hoc loco acceptio cft uniformis.quoniam ignis plus difonus cft
acre,&! ex lucibus ccelcftibus nihil ad nos peruenit , uel ad noftros uifus , nifi per medias
fpharas ignis 6 C acris, qua quantum ad illud funt fpliana, quali una, ftellam itaqj exifte
tcin in zenith capitis aut prope illud, comprehendit uifus in fuo ucie circulo a*qucdiflan
te circulo a*quinodiali fuper quem monebatur ab initio nodis quoufqj peruenit ad cir
culum meridianum. Cum in circulo itaqj k b g, luerit ftella in prima experimentatione,
(i autem circulus altitudinis iranfituspcr ftellam in prima hora experimentationis circii
lusbh k. Secetqjiftc circulus circulum kbg , 111 ambobus pundis.fcilicei in pundo k,
qui eft in parte orientis,&.' in pundo g , illi dii ede oppolita* , feceiqj circulum h c , fci -
licet in pundo h,in quo corpus llclkcuidcturcHl* in tempo t e* prima* conlideraiionis , Si
quia dillantia ftella* (cctmdum tiifuni i polo
mundi fuit in prima experimentatione minor
quamin fecunda , paret quod cirailuxhc,eft
proptnpuiorpolod.qudm circulus k bg , pun-
1 dus itaqj h, circuli altitudinis qui cft bli k,pri>
pinquior cft ipli zenith capitis b,qua'm p fidus
/ k.Ducantur itaqj dua* linea* h z Si k z,ad ccn
truin uifus z,quia ergo ftella comprehenditur
1 uilii in prima hora experimentationis in pun
do h, circuli b li k,& tunccrit in fuperheie cir»
cnlib ti k,S.’ cum ftella ct it in illa hora fecundum ucritatem in circumferentia ci t culi k b
g, oportet ncccllurio ur ftella in illa hora fuerit fecundum un itatem in pundo corn*
muni illis duobus circulis, qui (init k h gSf b li g, qui eft pundus k, iuper terram
comprehenditur autem a'ui(u in pundo h , per lineam z h , quia forma ftella* perue»
nit ad uifiun in reditudine linea* Ii z, Si linea qua* eft inter ftellam Si uiluui fecundum
ucritatem, cft linea k z, palam ergo quod uifus non comprehendet ftellam qua eft in pii
do krede, comprehendet ergo ipfiun rcfiadc,£c' quia in coiporccavlelli propiei lux

mogeneitae

LIBER DBCIMVS# Z7&

mogenc/tatcm Tua: diafonitatis non potcft fieri refrtt/o, fiet ergo illa in aliquo puncto
corporis illi propinqui.Sir iracp locus refractionis factat in medio fecundi diafoni,quod
cit aer ucl ignis puncto m,8c! ducatur linea k m,di protrahatur i pueto m,inea recta uffcp
punctum z, centrum uifus , quia ergo forma (fellat extenditur i flella per lineam k m,&
refrangiturad uifum,perImcamkmz,forma:uero non refranguntur , nili occurrerit
corpus diuerfx diafonitatis,ut offendimus in fecundo libro huius , di inprarmiisis huius
libri propoficionibus.ergo corpus ccxlcif e in quo eft ftella,ct differentis diafonitatis ab
ignis dia fonita te, 8d quia locus refractionis eft apudfuperficicm tranfeuntem inter duo
corpora dilfercntia in diafonitate,ut patet per q.huius.punctus itacp m,eft in concauita*
tc axli,di (i producatur linea e m,hoc fecundum ueritatem erit fcmtdiamcter fphxrcecoi
li. cuius concauum attingit conucxum ipfius ignis,eftergo perpcndicularisfuper fuperfi
ciem ccesi concauam contingecem aerem uel ignem,& fuper ftiperficicm acris, uel ignis
connexam, & quia forma ltelhc cxtcnfa in corpore ccelefti per lineam km , refrangitur
in aere ad uifum per lineam m z, linea uero k m, protracta ultra punctum m,fecaret line
ain z m, elongans fe 3 puncto e.cencro mundi, ideo quia oblique incidit concaiite iuperff
cici ip(?us|cce(i,palani quia illa refractio eft ad partem in qua eft petpedicukris e m,trati
iiens per punctum refractionis perpendicfllariter fuper conuexam fuperficiem aeris , di
quoniam neqj in ccelo.necp in terra, necp in acre eft aliquod corpus denfum politum , i
quo poisir fieri reflectio,utifpecuIo>patecquiailladiuerfitas accidit propter refractio*
jUem formx in medio fecundi dia foni, corpus itacp aeris eft grofsius corpore Ccelifutpas
et per 4. huius, & hoc eft propofitum ,

Li,

Diametri omnium ficellarum 8i linea determinantes diftantias quarumli
bet duarum Ifcllarum in zenith capitis 5 uel circa exiftcntium,minores com^
prehenduntur per rcfratflioncm quam fidire<flcuidercntur.

Sit circulus meridianus in aliquo horizonte b f k,8i comunis fcctio fuperficici huius
circuU,di fuperficici couexitatis fplvcrx ccxli infimi per 60. primi huius, fit circulus m e zt
erile ergo ifti duo circuli in cade fuperficiei di cqccncrici . Sic ergo centrum ipfomquod
clf centriT mundi punctu g,fitq; centru uifus punctu c,& ducatur a centro mund(g»adce
rrfi uifiis c, linea gc,& extrahatur linea g c in partes , donec occurret circulo meridiei iti
puncto b ,fecec'qj circulu qui eft in fuperficie cceli cocaua /n ptjcto e, erit itacp pactus b,zc
nitli eapitisquo ad uifum,fic icaqj k I, arcus cuius chorda k 1 , fit diameter alicuius ftellae
aut diltanria inter aliquas duas ftellas,&:iineacb,tranfeatpermedi5arc8kl punctu b,
& fccet chorda 1 k in pueto p, arcus itaqj k b eft aequalis arcui b h&dijdicurdua: linececk
dici I3r it ergo angulus k c l,quid<i angulus fecunda que uifus c,coprchedit arcu x 1, quS
do ipfum recte coprchcndit. Sit ltacp ut forma puncti k.refnngatur ad uifum c, a pueto
in,circuli m c z,qui eft fignatus in cocaua fuperficie ipfius cceli infimipitprcvaffumpturn
clt ,3i forma pficti I,refrangatur ad uifum c,cx pueto z,duca ntur linea: g m & g z , i cen=
tro mudi ad loca refractioni!, ducatur quocplinexk m,lz,zc,forma icacjj pueti k,exrer)i
di rur per linea k m refrangitur ad uifum c,per linea m c ,di quonia linea g m, exit 3 cetro
ad circuferenti'5, palam qer7*,prmu huius, quod ipfa eft perpen=
dicularis (iijj iiipcrficie fphccrce coeli incides pueto m.quod eft pus
<tu rcfra.tionis,3d quia per prpniffam corpus cccli c^deftz m,cft
rarioris diafonitatis cjj corpus acsis,in quo eft uiiiis c, palam per 4
huius, quia refractio qua* fit fccundu linea m c,crit ad parte per-
pcndicularis line e qua: eft m g. Kr/cicacp punitu m, inter duas Ii *
neas c b di c k,quia fi puttus m cllct ultra lineam c k,tunc perpen
dicularis exiens 3 pilcto g ad qunctu m , clfet etiam ultra punctil
k,3c! ita cu forma pueti k refrangitur ad parte perpendicularis m
g .di no peruentret ad perpendiculare g e, ergo no perucnfret ad uifum
ni.im punctus m,eft inter duas Iineasck di c b,6d eode modo declarari potcft, quia pun*
(tumzjdl inter cluas lineas c b Si c 1, extrahatur it^cp linea c m ad q, punctu circuli mn in

a a a . x diani

PERSPECTIVAE V1TE4XIONIS

«I/ani, & linea c z ad pundit r.ciulde circuli meridiani . Erit ita <55 arcus q k aequalis arari
k r,& angulus q c r erit minor angulo k c l,qmeft gs eius . Sed angulus q c r cft angulus
g que uifus c, coprchendit arcu c k 1 rcfradc,& angulus k c 1 per que uifus c,coprehendet
arcu k 1 rede,fi ipliim re dic polTct coprchcndere.ied remotio arcus k l,i uifu cft maxima
qua propter qu5titas eius uera ccrtificatur,uifus itacp.per exiftimatione no per certi tudi
ne aecipit remotione arcus k l,fcd exiftimatio uifus quSdo coprchendit refrade, no di 6*
fert ab exiftimationeeius quado coprchendit rede,nifi in hoc foIu,quod putat fc rede co
prehendere quado coprehendit refrade, uifus itarp c, coprchendit arcu k I, tetrade cx an
gulo minori,^ ille angulus quo ipfum coprchendit redeA fecundu coparatione ad il*
lam eande remotione, ad qua coparat fi ipfam rede coprchcndcret. Sed uifus c compre*
hendit magnitudinem ex quantitate anguli refpcdu remotionis pundi c , quod eft cen*
trum uifus a, i fuperficic rei uifar per zo.quarti huius,crgo comprehendit quantitate ar*
cus k l.refrade minore Cfi (iconiprchederct illam redcA fi figura in qua funt punda k
I r b imagineturcirciiuolui linea c b,cxiftente immobili, deferibetur circulus fecans meri
diarnl circuluin duobus pundis, cuius circuli polus erit pundu b.zcnith capitis , 8l eriit
omnes anguli qui funt apud uifum c, corneti duabus lineis fimilibus lineis c k fi»! c 1 inter
fc qualibet fua compari aqualis, uifus ergo c coprchendit formam arcus k 1, refradein
omni fitu in refpcdu circuli mei idici.cO fuerit in uerticc capitis minore, fjj comprchcdct
ipfam redeAlilineacUfccucrttarcuklinduoaqualia .tunc duo punda q 8cr, erunt
inter duo punda k &! 1. britqj angulus q c r minor angulo k c 1 A critomnis angulus x*
qualis angulo q c r, exiens d pudo c, fecans ftcllam A linea exiens a centro uifus c, in fu*
perficic illius circuli fccabit circulii minore iplius flclIa.*A comprchcditur quantitas cius
minor qj lit,& fic tota ftdla uidebitur maior if; lir, omnis ergo fici Ia uidemr minor cu cft
in zenith capitis (i uideretur dii ede A' (imihter cft de omni diftatia inter quaslibet du
as ftellas, cu zenith capitis fuerit inter duas extremitates illius dtftatia.coprchcdetur em
in omnibusfuis poficiontbusminor,i(i(idncdecomprch€dereturfinerehadione.Oni*
nis itat^ftcllafn uerticc capitisafpicictiscxiftensuidcturminor in alio locotrceli ,&
quantomagisremoucturiucrticc capitis, tanto femper apparer maior, itacp inhor/zote
apparet maior tjj in alio loco,& hocrll comunc omnibus ftellis,planctis fcilicet &' fixis,
quod in zenith capitisuel prope illud femper funt minoi csA hoc liinilitcr apparet in Ii*
neisdcccrminantibusftcllarumdiftantias.hoceft m miis ft ollarii diftamijs,ut fpaciorum
coeli qua: funt inter ftellas magis cjj in quantitatibus itcllarum.nam quantitas ltcllar quo
ad uilumcft res parua ,& exceilus fux quantitatis res parua,fcd magis comprehenditur
diucrfitasQicxcdIusdillantiarum,patctcrgopropoliiuin.

L I I.

Diametri ftcllaru ucllincx ftcllaru diftaniiam determinantes , exiftentes
inhorizotc autinter horizota& circulu mcridici,talitcr ut xcjucdiftcnt hori
zonti , uidebutur propter rcfracftionc minores tp Ii dirctfte uiderentur .

Sit item circulus meridianus qui p b, cuius centrG quod cft centru mGdi fit pundus
m,& fit cctrum uifus a A zenith capitis pundu b, & ducatur li •
ncaab,& fit diameter ftcll^aut diftanriu inter aliquas duas ftcl
fas linea de,a:quediftans horizori,& fit circulus altitudinis trif
fiespunS extremitate diametri ftdl.e, aut diftantiar inter duas
ftellas circulus bd A alius circulus altitudinis nanfiensper alte
ram extremitate diametri ftellar aut di 11 antiae fit circulus b d,
A alius circulus altitudinis tranfiensexcremitate diametri itcN
lac aut diftantix fit circulus b e.comuncs quocp fediones fupcrfl
cierum iftorum duorn circulorum A fuperficiei concautcccdi
infimi fintduo circuli g h Ag z, forma itacp pudi z,refrangitur
ad uifum a, in fuperficie circuli g h,cfto ur hoc fiat in pQdo hj&t
forma pundi e,refrangftur ad uiium a, in fuperficie circuli g z,
fle item in pundo 2, ducantur lineat a d.a c.a h.a z,m z, m h , A

prodtw

LIBER. D8CIMVS. 47$

producatur linea mi 3,adarcum be, in pundum n,&! linea mb, producatur adarcUmbdl
in pundu f,&' quoniam linea d e,a:qucdiftathorizonri,cu fitquardam pars circuli a:que
dillantis circulo horizontis,m alicuius illoru circulorS qui Arabice dicatur Almucanta
ra, palam per 6 a. primi huius, quoniam zenith capitis quod eft pudtis b,eftpoIus dreu*
li d e,quoniam ipfc eit polus horizontis.arcus itacp b d.eft atqualis arcui b e, per *7» ter*
tij, chorda: enim illoru arcufl funt arguales per 6j%primi,linea itacp m h, eft perpendicu»
laris fuper iiipcrhciem corporisdiafoni coelcftis per 7 1. primi huius,quoniam exit i ceti
cro mundi,linea itacp h a.refrangftur i pundo h, ad uifutn a ,& erit eiusrefradk) ad par*
te diametri h m p 4. huius, aer cni cftdefior corpore coelefti.ut patet per 48, huius, refrin
getur ergo ad parte cotraria illi,in qua eft pars rcliq gpedicularis quee h f.ergo h pudS
refradiois eft altius cp linea a d,& fimilirer declarabitur ^d 3 pundus refradiois eft al*
tior Cfi linea a e, duo ergo punda f di n,qux funt termini oiiarfi lineari! perpendicularia
mf&m n,funt inter duo pundad 8i e, a zenith capicS auod eft b,ita quod pundum f»
eft inter duo punda e QC b ,8i angulus refradionis qui eft apud pundG h,eft arqualisan^
gulo rcfradiontsquicftapud pundG 3, per 1 3.huius,quoniafitusduoru pundorudSC
e.rcfpcdu uiius a, eft cofimilis exhypothefi,tanru ergo diftat pundus f,4 pfldo d,quan=
tum pundus n,i pundo e, extrahatur itacp linea a h,ad pundu t,8 i lineam a 3 ad p(Jd3
k,diftabit itatp pundus t,4 pundo d dntil, quantum pundus ki pundo e.QC ducatur M*
neu t k, qui necetfa lio erit arqucdiftans line* d e, per 8 8 .primi huius,quoniam arcus e k%
eft arqualis arcui d t,ergo lineat k, minor cj? linea d e, per eande 88.primihuius,&: lineae
a t,a k,a d,ae,funt arquales.quia pundum a,centru uifus eft quali ccntrG mundi, &oms
niutn Arcuum lignatorum ut b d Si b e, duae lineae a t Si a k furit squales duabus lineis a dT
Si a e,8i balis t k , trigoni a t k eft minor c{j bafis d e , trigoni a d e, ergo p£r x y. primi. cr/t
angulus t a k, minor angulo d a c,fed angulus t a k, eft angulus fecundu quem linea de>
comprehenditur refrade,8i angulus d a e, eft angulus fecundu quem linea de, compre*
luditur rede, patet itacy illud quod proponebatur, liue linea d e, (it diameter alicuius llel
larum, (iue ipfa lic linea determinans diftantiam inter Hellas.

L 11 1.

Diametri ftellarum aut lineae determinantes diftantiam ftdlarum in aliV
quo circulo alcitudinis fuper horizonta ercftx, per refradionem uidenpur
minores quam fi directe inderentur*

Remaneat difpolitio qua: fiipra^Si litdiameter alicuius ftellaru uel diftantia aliquarS
diuril ftellaru linea de, qua: fit creda in ali£j circulo altitudinis tranfeuteper zenith capi
tis,i}d eft pundu b,cj circulus altitudinis (it b d e.fitcpcomunis fedio fupficiei circuli b di
e,&: fupcrftciei cocauitatis fphter* infima: coeleftis.circulus a h 3 ,per 6j)tprimihuius, SC
ducantur lineae a d & a e,8d refrangatur forma pundi d>ad uifum a,ex pudo l^&jforma
pundic,cx pundo 3, copuletur quocp linea d h,qiueproducacur ultra pimdu h,inpua
du n.fic' c 3,q producatur ultra pundu 3 ,in pundil o, patet ergo ut in prarccdete proxi*
itu . £Jd pundu h,cft altius Cj| linea a d,8i ^d pundu 3 ,cft altius c|j linea a e,ducatur itattt
line* a h,h d,a 3 , 3 c,m h,m 3 ,Qi protrahatur linea m h.ultra pundu h,ad circuiu alcitual
nis in pundu t, &1 linea m 3, ultra pundil 3,in pundo k,erit ergo angulus refradiois qui
fit cx refradione forrn* pundi c,ad uifum a,quicft angulus a 3 m.ualde paruus,qiidni5
linea a m .qui eft femidiameter terra: rcfpcdu tanta: diftantiar,non eft alicuius fenfibilfs
quantitatis.ut aliis declarauimus in feientia motuu cceleftium , 3 i angulus refradionis
eius erit paruus feques modii illius anguli a 3 m,quoriia edaer fit deiinor ccjrpore coele*
fti.ut patet p 48 .huius , pala p 4.huius, qin fit refradio ad ppendiculare qilac eft 3 rh.Erit
ergo p 8 .Imius, angulus e 3 m,8i fimiliter angulus b h t, acutus 3 cr£jo anguloru ahd8ia
c j,utercperit obtufusper 1 j.primi.Puduitaqj 3, aut erit in fuperheie horizontis, aut a!
rfus.fi erit in fuperficie horizontis,erit ergo in extremitate perpedicularis exeuntis i cert
tro uifus , quod eft a , luper lineam b a, perpendicula ritet fuperficiei horizontis infiften*
icm.qu.e perpendicularis imaginatur elududa in fuperficie horizontis, aut fl fuerit

aaa j altius

PERSPECTIVAE VITELLIONI S

altius horizonte, erit altius illa linea pcrpediculari punctu h,crit femper altius pfido

j,angplus ergo a h m.cft minor angulo a 3 m,qd patet fi fuper pundhl ni terminu lincte
a'm,hatper zj. primi, angulus aqualis angulo a m 3, qui fit a m p.ducfta linea m p, ad pe
rifrriam circuli g h 3 .facfto quot^ angulo q a g, aquali angulo h a g,ita ut per 7. terti) , Ii*
nca a q (it aqualis lincte a h, copuletur linea h p,in trigono crao h m p , duo a nguli m h p
Sdmphfunt aquales per 5\prirni,fcdintrigonohap,latusa p,cft maius latere ah.qcr
eft maius latere a q.pcr 7.tertq>eft ergo, per 1 9.primi,angulus a h p, maior angulo h p a
Relingtur ergo angulus a p m.maior angulo a h m.eft autc per 4 .primi, angulus a p m,
aqualis angulo a 3 m,cft ergo angulus a h m,aiinor angulo a 3 m,ergo per S. Intius, an=
gulus formte incidetitc putfti d,qui eft angulus b h r,eft minor angulo incidentia: formae
p5tflie,q eft angulus e 3 k.crgo angulus a hd.cft maior angulo a 3 e, per 1 3. primi, quia
per 8. huius, minores anguli incidcti^ minores habet angulgs rcfracflionu,& ita angulus
nh a,ek minorangulo o 3 a, relinquitur rrgo angulus a h d, maior angulo a 3 e, St dua li
nca mt&mk funt femid/ametri circuli h d e, Si dute lincte m h Si m 3 funt fcmidianictri
circuli gh 3 , linea icacp m t,cfttequalis lincte m k,
8i linea m h,cft aqualis lincte m 3 , per diffi nitio*
nem circuli, linea itaqjh t, eft tequalis Iinccft 3 k q*
ni.l funt rertianettte lineari! aqualiu ablatis aqua
libus.Si angulus d h t,cft minor angulo e 3 k, er-
^go linea li d.cft minor !{j linea o 3,tjnia linea cor»
tines eu linea t h,angulu aquale angulo k 3 e, qui
cll maior angulo d h t.crit maior ip linea d h per
7.tcrttj,linea ergo d h,cft minor ijj lineae 3,81 du
:r linea u d 5C a o funt aqualcs,fimilitcr dua line*
a a h a 3 i line aqualcs,quia puruftu a ccntru ui*
itis.crtccnmi circulorubdc&gh 3 .triangulus
ergo a hd.cft minor triangulo a 3 cqm illorudu
orti trigonoru duobus lateribus exirtentihusa.'
qualibus tcrtiftcft(naqualc,cr£o circulus cotinem trigonii ah d,eft maior circulo comi
netccrigoniia 3c,quia angulus a hd cll maior angulo a 3 e, & linea hd, eft minor ift lig-
nea 3 e .linea itaqjh ddiliiugiticdc circulo minorceotinete ttiangulua hd.arcii minore
arcui (imili illi arcui que relee.it linea 3 c.ex circulo minore cotinetc triangulo a e 3 , an-
gulus ergo ha d, eft minor angulo 3 a e, fit ergo angulus 3 ad.comunisillis ambobus an
gulusaritcrgoangulusba 3,minoranguloda e angulus uero fi a 3, eft angulus fecun*
di! que uifus a,coprchcndit lincJ d e, per rcfradlione,&.' angulus d a e, eft angulus fecun*
dum quem compreltcnderetur forma linea’ d «vecleii hoc pollet fieri, uiliisitacp a, eo*
prehendit lineam d e, reflexe minorem quJm redi e per zo.qarii huius, quoniam fub ma-
iori angulo comprehendit ipfum reflexe quim redte , patet ergo propolitum.

LUI I.

Omncsftellacuidctur rotunda maiores in horizorc Cp in medio rccli,nilt
quandoepeontrariu accidat propter interpofitos uapores uilibusSd ftcllis.

Omnes ftella coprehedutur rotundae, qin ticerqj diametron! fuaru, fciliocc logirudi»
n is St latitudinis cdpreheditur aqualiter minor t(j li coprchederetur r edic , quilibet ci go
fuamdiamctrorudecIiuiGcoprehcndituraqualitcr minor perrefraAone Cfj fi coprehe
deretur retftc, ftella ergo coprcheditur rotunda in omni fuo litu.omnes ijuocp ftclla eo*
prehedutur minores per refraAonCy^ fi direAeuideretur.qm ipfarudiametri eo preli e*
dittur minorcs.utpacet ex ,ppo(itionibus pramiGis,8i: hoc ticrfi eft, quanti! a parte refra*
Aonis, qua fit in medio fcciidi diafoni ijd eft aer,q eft dcnlitts cedo per 4 8 . huius.tn cur-
leftiitaqj concaua fuperficie fit refraAo ad perpendicularem exeuntem i ptmtfto re Ira-
Aonis fuper illam iuperficicm, hoc eft ad lineam, qua eft femidiametermundiperq.
huius, Diucrfitas uero refraAonis qua fitfecundu diftantw ftellaruipolo mundi in»

uenitur

LIBER DECI AI VS» 1S6

ufiiitiii' parua.qmilli anguli rcfradiois funtparui.undc (ecildii /pios non diuerfificatur
fenfibilircr quantas (icllaic.fcd magnitudo ftcllaru di quatitas diltatue /pia jc ab inuiVem.
niultu dilK*rut,cu funt in liorizotc1& cii funt iuxta zenith capitu,ucl in medio cceli p/o-
pter ienlibiie diuerfitate fua: refraiftiois,&! Iiiccfb error ppetuus, qa caufa eius cft ppciua
fciliccc uidoria raritatis corgfs creleftis fup acris raritate.accidit tamequandoqj uideri
ftellas maiores unauicccf? alia.ut fi uaporgrofllis Iit inter uifum di ftellas, tue enim prr »
pter rcfraiftione lincaw extelionis formaie ftcllaru in illo uapore ad perpendicula re, &',»
pter refraiftione i fupficic illius uaporis fada iteru ad acre, in quo cft uifus, q refradtio fit
ab illa ppcndiculari,difper(ior occurrit forma uifui,& fub angulis maioribus uidetur for
m;c ltcllaijf.licucctia accidit de denario fub aqua uifo,q uidetur maior t|i (i in acre uidc*
retur.lniius aute quantitas uiflois ftcllaru maxime accidit cu ftcllar funt in horizote,aii£
,ppc illii, fic' lic dux* rclradiocs fublequetes prima, q Iit in cocaua fupficic i piius cadi 8i fit
iemp in omni ftcllajc uilione,faciuc nouas immutaciocs circa ftcllaru uilionc, uapor em
ille grolfiis cii fuerit in horizbte.aut ,ppe,&! no fuerit corinuus ufqj ad mediu cadi, erit ,p
portio cuiufdam fpharra: coccntrice mudo,& erit fupficics eius qu jcft ex parte uiiuspla
na, .ppter qd forma* aut diftantia: ftcllaj«,qua: funt ultra illu uapore uidebutur maiores
i{l fi line illo uapore inderetur, in illo cm loco cocauitatis cceli cx quo refrangitur forma
ilelfe ad uifum, cft forma ftclla , 8i cx ipfo exteditur ad uifum fi no /ntcruenerft uapor
grollus.ijd fi uapor groftiis uifibusfk! fteJIisinterucnerit,tunccxteditur forma ftellaad
iiiperficie uaporis fuprema,8t! rchangiturinillaad perpedicuIarc.Dcindc extediturad
itighcic infima uaporis, 6<! refrangitur ab illa ad aere purum cotinente uifum, & fitilla re-
b adio ad parte cotr aviam Rpcndiculariscxeiintisd pundo rcfradionisfugplanani fug
ficie uaporisjliccrgo forma ftclla* di earii diftantia uidetur maior cf; li uidcrctur poft rc=»
fi adione fadain in concauo cceli i fupremo corporis dementaris, nulla facla refradio
nc in iiipficic uaporis ad acr2,q eft fiib uapore di fub denfiore corpore rarior exiftens, 8d
contines i pium uifum. Caufa nero propter quam omniuaporc medio cxclulbuidcntur
ftell.e & ftcllaip diftantia: maiores inhorizbcc cjj in medio cccii aut prope, coadiuuatur
pluriinfi per exiftimatione indetis*, quonia exiftimat ftellas plus diftarc a uifu inhorizo*
ic Cp in medio codi.exiftimans ipfuni parte cccii ,quie dt iuxta zenit capitis propinquior
rem (ibi ijj eam qua: eft inter horizote.ut oftendimus per i 4. huius, coprehendit ergo uir
itis quantitate ftelhe,&! quantitatem diftantia*, qua: cftintcr ftellas cum fuerit in horizo*
ce ante prope, cx cbpofitionc anguli fub quo fit uifio ad diftantia remotam, fit! cu fuerit in
medio acli aut prope illud coprehendit ipfaru quantitate ex eopofitionc anguli a*qua*
Iis primo auc (ere ad diftantiam propinquam, inter quam di diftantiam horizontis uidc*
ctn diueiiitas maxima, fit (ic iudicat ftcllaru quantitate fccundu modu cj dijudicat quan*
litate uifibiliu confuetoru,quat enim £ remotiori fub code angulo uidentur quo alia pro
piiujuiora,illa remotiora indica ntur a uidetibus c(Tc maiora, ut oftendimus hoc 4. libro
I Lee em caufa uifionis ftcllaru eft perpetua di immutabilis omnibus ludentibus cornu*
nis,di code modo accidit uidcntibtis in coprchcnlionc diftatiaru ipfaru ftcllaru, nam for
m.c harum diftatiarum no diucrfantur apud uifum in diuerfis temporibus, fed liint icm*
per eodem modo fe habcntes.St uifus afsimilat ipfas diftantijs rerum afflictarum , qua:
maxime diftant i uifu fupcrfuperficiem terne iplius, patet ergo propolitum»

LV.

Scintillatio accidit femper omnibus ftcllis fixis propter dniancaiionem
forma* in loco imaginis cx motu fubiefti corporis accedentem.

Quonia enim ut patci cx pmiisis 5*. theorematibus, locus imaginis forma: cuiuslibet
ftcllarii erit in connexo acris uel ignis fub concauo coeli infimi ignem continentis.Hoii*
aut elementoru quodlibet mobile eft fc per motu re*(fl:o,iupote furfum .ppter lenitatem,
qua* eft in illis, monetur aut p accidens motu circulari una cii motu diurno cceli, ,ppter
forma ftcllaru iplis incidente nccellc cft diuaricari di diftrahijlic ut ipfa forma uidetur
aliqualiter loeu mutaro , ppter motu corpis in i] uidetur, nec eft diuerlitas in illo fiuc Iu
«neu ftcllaru per fe i pfiun uilfoudacur,liue fiat hoc propter reflexionem luminis folaris i

ftcllis

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

ftcllis.Sfmp er enim tam lume per diffiifum i corpore Iuminofb,£Jj lumen ab alijs corpu
fibus diflufum.quado pci,rcfradione uidetur fit debilius per i o.huius,undc cum habes
locum imaginis in corpore mobili dtuerfis motibus, aut uno motu forti neccffe cft for-
mam illam debilitata diuaricata&diftinda uideri propter motu corporis fubicdi inf)|
uidctur.tmdc in his talis refradio luminisno «fi: caufa.St! huius iimile cft in aqua ucloci*
icr curretc,i cuius fupcrficie forma; ftellaru reflexa: uidetur plus fcintillarc cf; in ipfo lo*
co fua: imaginis refrada: g aere uideatur,^nia ,ppter motu aqua; diftrahitur forma refle
xa ,8i mutatur locus imaginisrcflexa:,proptcr qcfSC ftellaru forma* plus moucri uidetur
di ideo apparet amplius (cintillantes.Similitcr quocjj forma: ftellaru in loco fua: imagi#
nis tgc uetoru ,ppter maiore motu corgis medij plus fcintillant. In planetis ucro no fem
per accidit fcintiIlatio,quonia licet plus fcm'tfllant,& in eis fit ide locus imaginis,^ ipfoijt
formae propter refradione debilitetur, tame ,pptcr jppinquitate ad nos uidetes non acci
dit eis multa dcbilitas,qa minor fit in cis refractio g 1 3.huius,pcrucniut ergo forma: ip»
foru fortes ad uifum,undc di locfl imaginis fmv.quamuis corpus fubicdu moucatur , pe*
netret immote & fine omni diilaricationc,nifi forte aliquod corpus grofsius aere uiiibus
di planetarii formis interponatur, utpote uapor aquaticus groftus, tunc etenim propter
inccrritudinc motus illius uaporis pi a*fertim cu a uent/s agitatur, formae planetaru qua
fi fcintillantesperucniunt ad uifum,& ex hac caufa aliquando di ipfani fole uidemus fcin
tillantcm in mane cum fuerit in ortu fuo uifibilis fccudii fpirituu uilibiliu refoluuone,pro
prer quoru refolutione Si motu,fol femper aliqadiu afpcdus uidetur fcintillarc di moue
ri forma cius,quonia recipitur in fpiriribusmotis,qui ,ppter uidoria luminis cii fuerint
in fine fua; corruptionis ab adu uifionis mutati, rarificatUr fug iiue natura: cofiftentiam,
unde mouetur motu libi improportio nato di infolito.huntqj caufa motus fornis uifar,
di tiic uidetur forma rei utile fcin tiliare, (iciltctia accidit cu i corporibus politis fit fortia
reflexio luminis ad uifom,tuccnim .ppter improportione illius luminis ad fpiritus uifibl
Icsfit motus illorii fpirituu, & uidentur forma* illoru corporu fcintillantcs di mota: , quia
irecipifitur in corpore comoto.Sic itaejj fcintillatio iemg accidit omnibusftcllis fixis , qrh
caqfa illiuscftgpetua.fcilicetdiuaricatioformsfuae inloco imaginis accidenscx motu
fubiedi corporis, In planetis uero fcintillatio accidit ut raro, quia caufa cius cft eucnies
ut raro.In alijs uero corporu formis,quaru excellentia corrumpit ienfum, non cft pro*
prie fcintiIIatio,fiuc illa corruptio fiat per fimplice luminis iinmilsionc,uel per reflexio*
ne i corporibus politis.qa illa fcintillatio no accidit leniiti ut cft luaqppri.e difpofitidis,
fed ut cft infima* fua* corruptiois.cteni fi habetibus in oculis formam rei mota*, aut etiam
mouecibusjomnia moneri uideantur propter motu (pirituu,flne regimine anima* difcur
rentiu non propter hoc differunt forma* rerum omnium fcintillat e, patet ergo propolitfi
Iit quia fecundum pramiflbsrefradionum modos pafsiocs uilibilium infimorum & Ius
prcmorumtranfcurrimus.rcffatut iefradioncs,qusin medijs accidunt corporibus ali*
qualiter pertrademus, utpote illas qua: in uaporibus medijs occurrunt.

LVI,

Non aggregatis raclijs corporis luminofi in corpore non lummofbplus
quam in medio lumine fenfibilius fieri cft impofsibile .

Quod hic proponitur patet, quia lato lumine per aliquam parte mcdij.uniformis erit
extenfio radi) fecundum lineam redam per i .huius fccudi.unde (i no aggregentur radij
in corpore aliquo occurrente ipfis radijs iuminis,non erit plus fenlibilc lumen in illo cor
pote qj fuerit in alia parte medij, per quam ferebatur fecundu extentione ad motu linea*
rum redarum, lumine enim ina-qualiter lato per uilu corpus, & aliud, nili fiat aliqua di*
uerfitas ipfius luminis,no magis in uno fjj in alio corpore lentictur, alijs circumftamijs in
iiiflt di remotione exiftetibus requalibusjqcfli Katdiuerlitas luminis in radijs rcfpcdu di
uerforu corporu, ut pa tet g 4.hums,tuc in eo Corge in q magis radij difgregantur minus
luminisapparet.Si ergo i aliquo corpore plus luminis apparebit, ncceilc cft in illo corpo
re radios plus aggregari, patet ergo quod nd aggregatis radijs corporis luminoli in cor*

port

LIB1-R DECIMVS. j?ii

pore non Iuminofo plus quim /n medio famen fcnfibilius fieri in aliquo corpore qu.
iit in medio unius diafoni impofsibile cft.Ex quo patet, quod fi radii in aliquo coipo ...
plus aggregentur quim in medio, quod in illo corpore lumen fcnfibilius cfj in medio ap
parebit, & fecundum quantitatem aggregationisradionimlumcnuidcbiturimcndi.

L v II.

Radios corporis luminofi per reflexionem ucl refractionem aggregari
palam efl.

Iflud patet per hoc, quoniam eu radius reuerberaturucl refledttur ab aliquo eorpo
re, tunc quia per 10. quinti huius, angulus incidentia* efl aqualis angulo reflexionis , ei
radius incidens Si reflexus funt in eadem fuperficie.ut patet per z j*. quinti Imius , 1 n fu=
perfleie ergo eadem radij duo ad aequales angulos incidentes refleduntur & uniuntur iic
ut fiant unum, aggregantur ergo, quia duo obtinent unum locffjiind minus unum. Ver*
bigratia,litut in (uperHcicuna reflexionis qua fit a b e, incidant duo radij a diucrfis par
cibusdiametri corporis luminofi, fcilicct a S i e, ad unum pundum corporis in quo fit rc=
flexio, quod fit b.fiC fint a nguli incidentia: a*qua!es,produda ergo i pundo b, linea in di*
da fupcrficfc ad utramcp partem, fcilicct ea qua: cfi communis fedio iuperfleiei reflexio
nis.flC fupcrficidcorporfsiquofitrcflexio,qua:fitdbc,critanguIi.is incidentia: quieft
a b d, ecqualis angulo reflcxionis,qufcfl cb e, per zo.quinti huius,fcd Si fecundum angit
Ium incidcntixqui dic b c.fit reflexio radij e b,ergo radius b a reflexus, radius e b inci*
dens, efficiuntur unus radius, & radius b e reflexus, radius quoqj a b, incidens efficiuntur
unus. Sic autem efl de alijs omnibus qui incidunt fecundum py* a a A t e

ramidem, cuius conus cll in aliquo pundo corporis, i quo fit re* '
flexio , Si bafis in corpore Iuminofo , patet ergo quod ad minus
omnes illi radij in fe duplicatur, unde cum ipfi lint infiniti, quonii
folum funt entes in potentia in continuo, & tales pyramides funt
tot, quot funt putida in corpore,* quo fit reflexio, patet quod ip*
fi per reflexione aggregantur. Sed fi i per refradionem in medio
fccfrdi diafoni lumen aggregari per experientiam fenflbilitcr ad*
hibitam patere poteffc. Cum enim ollcnfum (it quod in medio fe B " B

eundi diafoni denfiori acre i parte oppolita fupcrficic incidentia: femperfit radiorum ag
gregatio.imo concurfus in pundum unum,8d ibi lumen Si calorem generant, imo quod
ignicionemefficiuntin corpore inflammabilicui immorantur, patet per a6. huius. Re*
f radio itaqj lumen generat, quoniam adunat radios.Scd Si in fuperfleiei quo fit refra»
dio in profundum corporis denfioris diafoni radius incidens Si refradus, qui in medio
unius diafoni produdi, effient linea una, angulum refradioilis ttonflttuunt . Stintcp per
4 tf. fecundi huius, in uqa fupcrficic qua: dicitur fupcrficies rcfradionis,efl femper ortlio
gonalis fuper fuperficiem corporis in quo fit refradio per z. Imius, unde tales radij om>
«es fic (ibijolis incidentibus quando funt refradi incinantur Si aggregantur fecundum
diafoni fecundi difpolitioncm angulo refradioilis ad angulum incidentia* fuaniariaro»
Ingrofsiorienim ucl denfiori diafono radiusnon perpendicularis magis debilitatur ,un
de ad perpendicularem uehementius rcfrangitur&in uiciniorem pundum axis cadit,
angulus ergo fit acutior angulo incidentia fua: rcfpedu cius, fi fccundii idem pundum
radius (ubtilioris diafoni incidilfeqfi^ ob hoc, quia angulus ex omnibus refradis radrjs
cum linea, qua* efl communis fedio fupcrficici refradionis,8£ fupei ficici corpol isin quo
fir refradio, cll minor in corporibus denfiorisdiafoni quam minus denfi , patet quod in
corporibus dcnlioribus Si radij plus aggregantur quim in minus denfis, per 8, huius , fit
itaqj illorum radiorum aggregatio quundoq; propter lucis reflexionem ad pundum u*
num Mathematicum ucl naturalem. ut in p libro huius (cientia: per fpccula cobii rem ia
oflcndimus fieri aggicgationcm radiorum,& in alijs libris.tibidetalibusfcrmo fuit, Fit
etiam ha*c aggregatio qi iandoqj per refradionem, quoniam radij fecundum arquales an
gulos incidentes per S. huius, fecundum xqualcs angulos refranguntur,fiC quandoqj eo*
currunt in putido uno, ut patet per 46, huius, (emper aut in talibus fit radij reflexi fic refra

l) b b di

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

dii quodammodo in eadem parte medij fc duplicant, unde faciunt maius lumen , aggre*
gatis autc per refradionem radijs,ut patet ex pra*mifsis,tunc uifu exiftente in loco ag-
gregationis lumen generatur, & quandoqj in corporibus diafonis fupei ficie leucin habe
libusdcnfioribusacrcproptcrlcuitatcmfupcrficici lumen incidens ab ipfis refleditur»
ut oftendimus per i, quinti huius, tunc propter reflexionem lumen aggregatur, & item
quia in illis corporibus propter diuerfitatem dcnlioris diafoni fit luminis refradio ad per
pendicularcm intra corpus, ut patet per 4.huius, tunc in periferia cuiuslibet fuperficici
refradionis propter acutum angulum refradionis ipfis ad inuiccm radijs uicinatis forti
ficatur feafibilitasluminiSjquando ergo fuperficics talium corporum fune leucs ut polia
tiv per naturam, tunc licet in ipfis fiat refradio, ab eorum tamen fupcrficie fit etiam refle
xio radiorum, licet debiliter, & propter hoc duabus his caulis concurrentibus in fuperfi=
cie corporum talium lumen aggregatur, & apparent corpora plurimum luminofa,quS
uis magisdenfa magis appareant luminofa.Nonfunt autem modi alij aggregationis ra=
diorum quSin reflexio & refradio, ad hos enim ut ad primos , fi qui alij modi apparuc-
rint,radial/tcr rcducuntur,patct ergo propofitum.

l v 1 1 r,

Sine oppofitione corporis dcnlioris quam (it medium proximum radijs
corporis luminoli ipforum radiorum reflexionem uel refradionem ucl ma*
iorcin fenfibilitatem impolsibilc cfl: fieri ,

Illud patet per hypothefim,qiii radij cuiuslibet corporis radioli funt in fe femper lii'
mtnofi di unifornics,ii ergo medium per quod feruntur fit uniforme, numjj refleduntur
uel rcfrangcntur,fcd femper ferentur in continuum S<! dircdum.ut patet per r . fecundi
Ituius, nec lumen propter eorum difpcrfioncm aggregabitur ut uincat lumen quod ex
aequali dilfufionc luminis receptum cfl in oculo uidcntis,ncc etiam ad uifum fiet reflexio
nec refradio in partem oppolitam ad axem pyramidis uifualis,ncc Iumem ucl fcnfibili^
eas luminis maior efficietur, patet ergo propofitum, quoniam fine oppofitionc corporis
dcnlioris fit primum medium per quod fertur radius corporis luminoli, ipforum radi -
orum reflexionem uel refradionem fieri non cfl: pofsibile, quoniam omnis reflexio uel
refradio femper fit ab aliquo talium corporum,ut cfl habitum ex pramifsis .

l i x.

Quantitatem arcus circuli magni terree fecundum que
\ illuminatura folc pofsibile dl declarari .
j~ ^ 8uppofito exitis qua* alibi declarata funt per antiquos nos
~ ]~ l_l quod corpus folis fit maius corpore terree, palam per 27 . fecundi hu*

ius.qih ibi afpicit terram fecundum fuper ficiem terra- maiorem mc<
J dictate fupeificiet' iplius teri a-.Sit itaq? circulus fecundum quem ter
j/ ra illuminatur i Sole , qui b ede, cuius centrum fit a , & lii circulus

maior (olaris corporis , qui g h, cuius centrum fit f, ducanuircplinc*

x contingentes utramq? horum circulorum quifintbhSCcg, proc
portio itaq? h e d e, terra* , cfl illuminata a folc , qui cfl maior hcinri
fpharrio, ducantur itaq? linea* a h & f h.qua* erunt arqucdiftantcs per
z8. primi, quoniam utraq? ipfarumcft perpendicularis fuper lim am

Jbh.utrofqj circulos contingentem per 17. terti), & quoniam linea
h f,cfl maior Cji linea b a, ut patet ex fuppolitis , reiecciur a linea f h,
a*qualis lineor a b,pcr 3 . primi, fit 'q? h k a-qualtx ipfi a b , & ducatur
• linea a k , critcjj per 3 3. primi, linea a k a-quediflans linea* li b , ergo
\ linea a k cfl perpendicularis fuper lineam 1 h, &' quia linea f h, clfc
' j*. partes , 8C medietas partis fere fecundum quod linea a b dl pars
. B/ una, ut dcmonftratutn cfl in Aftronomiris , remanet linea k i , 4.
J partes , & media. Per eandem quoque uiam AU ronomicam oflcn
^ y lum cfl, quod fecundum quantitatem qua femidiameter terra* dt

pars

LIBER. DE CIMVS*

i8 #.

par* una, linea a f,cft partes i * i o.cum fit diftantfa Colis i terra (nmcdijs longitudinibus
cius. Si ergo fecundum quantitatem quii .lincaa feft i zio. partes, linea fkcft 4. partes,
& medietas partis,cric fecundum quantitatem qualincaafeft no. panes, linea fk,xy,
minuta, 1 x . fccunda.Si fccirdum quantitatem qua lineaa f eft iSo,partes,linea f k cft 14»
minuta, & 3 6.feciida,circumfcripto ergo circulo in trigono orthogonift, qui eft fka.per
f. quarti, erit arcus quem fubcendit chorda fk,quafi 1 3 .minuta, di j-6,fccimda , ergo pef
ultimam fcxti,crit angulus b a f,i 3. minuta, & y6,fccunda,fecundum quod angulus re*
<ftus cft 90. partes, a reus ergo e d 1 3, minuta, & yiS.fccunda, fecundum quod arcus b e eft
partes 90. per ultimam fexti , quoniam angulus b a e eft redusper 34.primi,anguliise*
nim k Ii b, eft redus, totus ergo arcus b d, erit 90. partes, 1 3, minuta, & j-6. fecunda . Sed
arcus d e eft icqualis arcui d b.totus ergo arcus b e d e, eft 1 80, partes, »7, minuta, Si yi,
fecunda, quod quaerebamus,

L X*

Summorum uaponim confidentiam ad quantum pofsint clcuati pertine
gere , polsibilc cfl: inueniri»

Ad liocquod hic proponitur dcmonftrandungutcmur Confuetis in (cientia aftrortmi
ut in prrcccdenti.Sit itacp per 69, primi hiiius,circulus fecundum quem fuperficies plana
tranfiens centrum folfs di terra, fecar terrain circulus a b c,di (it locus uiCus a, & fit linei
d a e, contingens circulum , di quoniam angulus contingentia: cft indiuifibilis.quia cft
minimus acurorum per if. terti), tunc patet quod uifus non cadet fub Urica d a e,fed tan*
tum iIiperiIIam,&lquoniam,utpaterper 17. fecundi huius, umbra terra: eft pyramida*
lis. Sit illa pyramis umbra: terree, ante crcpufculum matutinum, quando primo utdetur
aer albcfccrc in mane, e fe g.cuius uertex fit fiaer itaqj cadens intra hanc pyramidem no
illuminatur 3 Solc.fcd radius folaris
cadit fuper omnem aerem, qui cft ex *>

tranati: pyramidem .quoniam illii
non impedit per obftaculum lerrte,
non tamen uidetur uifui illumina*
rumliocq iod eft extra hanc pyrami
dem, quoniam ut patet per 54 Si per
j- <4. huius non fit luminis reflexio ab
aere puro 3t fubrili . Tria funt ergo
qua- in hac difpolitione res faciunt
non uidcri,ut (i cadant fub linea con D
fingente, di per uifum tranfeunte,
irel ii cadent intra fuperficiem coni*

eam pyramidis umbra: terrre , ucl fi

tanta fit fubrilitas materia: corporum mediorum utabipfisnon fiat reflexio ad uifum.

l it quoqj ut linea ea d. contingens terram in puiviio a, centro uifus , fccct fuperficiem py*
ramidis illius umbra: in punfto extra pyramidem, quod (it pundlum e , ut propinquum
umbra*, aer ergo qui cft apud pumflum c,cft inuifibilis.non quod cadat fub linea terram
conringcntc, quoniam ille acr cft in fuperfleie horizontis, nec quod cadat intra fu perfici*
rm pyramidis umbra* terra:, quoniam eft extra illam, fed manet inuifibilis propter fubti
litatem materia* fu. x*. quia non habet mixtionem uaporisdcnfiorisacr 3 quo rcflecftatur
lumen iolis ad uifuin,ut patet per r 6. huius, imaginemur ergo moneri folcm ufqjad prini
ripimn crcpufculi matutini, & quoniam uertex pyramidis umbra terra ad lucum nadir
folisfemper procedit, ut patet per 2.7. fecundi huius , di cxcaufa cclypfium lunarium pa*
tet quod illa pyramis omne corpus medium habet neccfiario tranfirc. Sit ergo tunc pyra
inis umbra: terra* h i k, cuius uertex (it Igqua: intcrfccet lineam e d,quat cft diameter lio*
lizontis in puefto ro.In hac itacp punftom.ex fignificato iplius nominis crepufculi pri*
mo uidebitur reflexum lumen folis/at fiat fenfibile,hoc autem ncccfie cft accidere cx det*

bbb a filatig

PERSPECTIVA!: VITELLIONIS

fltatc acris fnfpiflati per naturam naporum , quia ab aere fimplicf nofl fit reflexio, Ut paf'
tetex prxmifsishuiusIibripropofitionihus,&pcr i. fecundi huius, pundum ergo m , cft
pundum alt/fsimum in quo confifl.it clcuatio naporum aerem infpiflantium. Dclcriba*
tur quoqj confcqucnter circulus altitudinis pertranfiens centrum folis in hora dici ere*
pufculi,quifitab ed.quipcrtSy.primi huius , fccabft (plueram terra: fecundum circum
Ium, qui lite fg h, cuius centrum lit k.Sifqj linea i centro terra: ad zenirh capitum duda
qui fit a e k,(itqj linea b k d, perpendicularis fuper lineam a k,fcmidiamctrum circuli al*
titudinis. Eritep linea b k d, diameter cuiufdam circuli , cuius fupcrficics per 1 8 , undecim
ni, erit ereda fuper fupcrficicm altitudinis fccans fphxram rem in duohcmifplmia ,
nec cft differentia fenlibilis fupcrficiei huius circuli & fuperfide circuli horizontis . Sit
it aqj corporis folis centrum in pundo c,eritcp per attentionem Aftronomicam,fcilicct
inftrunicntalcm armillarum, ucl Aftrolabij.ucl T abularum, totalis arcus b e, quo diftat
centrum folis ab ipfafuperficie hori-rontis iere ly.partes, fecundum quod circulus altitu
dinis cft 360. & quoniam diameter folis cft quintuplus diametro terra: di cius continens
medietatem , Hat circa centrum e, circulus 1 m, fecundum diametrum quintuplam di me
dietatern continentem linea- e k, qua ell femidiameter terra-. Erit quoqj ut patet er pree
mifsis circulis I m, maximus circulorum corporis folaris, producaturqt linea ck,a' cen-
tro folis ad centrum terne iccans fupcrficicm terree in pundo g ,di quoniam longior ra-
dius 3 corpore folis cxicns,&! ad terram pertingens quali linea contingens cit per 16. fc*
eundi huius, ducantur dua- linea: contingentes ambos circulos, folis icilicet terree , qui
funt 1 f n 8i m h n, fecundum quas lineas per 27. fecundi huius, continetur illuminatio fo
!is& umbra terne, producatur quoqj linea contingens circulum terra- in pundo e , qux
fit po.fecetcp lineam h n, lineam p 0,111 pundo q.Lmqj pundum q , locus Io.minofus ia
tempore crc[Hiiculi,3t quoniam pundus n,qui cft uertex pyramidis umbra- , ejuia fcm=
per cft injnadair folis, fecundum motum folis declinat , di partibus fua- bafis uicinus
uelocius monetur, patet quod primum in quod radius folis cadit extra py ramidem , cft
fummitas uaporcleuatorum i terra di aqua, producatur ergo linea k v q, .i centro terra:
ad fimimitatcmuaporum,fignctui'cjj pundus ljinfupci-ficie terra: , deducatur linea k f.

Eritejj arcus f g h,pars terra: illumina
ta.cuujs quantitas , ut patet per prte*
fnilTatn.cft 180. panium, 27.miiiuto*
rum,ck 5- > .fecundo ru , fecunda quod
totus circulus e fgh, cftj6o.ptcs,erit
medietas iplius qua- cft fg, partes 00.
di 1 1. minuta, di j-6 . fecunda, Incedi
ergo quantitas anguli f k g , fecfidum
quod q.redifimt j60.partes.fcd ana
gulusli k e , ex pramilsis, di per ultia
nvarn ii-xti,cft iy, partes, quoniam cft
angulus crepufcularis . Remanet er-
go angulus e kh, 18. partes, 46.minuCn, 4. fecunda, &i|tio:iiam linea qc,cfta:qualis lineae
cj l.pcr r 8. primi huius, quonia ali uno piido ducatur eunde circulu edtingentes, erit per
8. primi, angulus q k e, xqualis angulo q k h,cric ergo angulus q k e, 9. partes, z j minuta
& 2. foetida, & qiTi angulus k ucclc redus per i7.terttj,erit angulus k q e, per 3 2 . primi*
cf)plementuunuisrcdi,hoceu8o.partos,36.niinut3,&:j-8.fccuda,,}uit4.rediualct 360
partes, di fedidii ijd duo redi ua.let 3 60. partes . I ;rit ergo angulus k ij e, 1 6 1 .partes, 1 3 .
minuta, Si j- 6. feciida,circufcri'pto ergo circulo ipfi trigono q e k,crft arcus que fulnedit Ii
nca k e, 1 6 1 partes, 13 minuta di 56. icenda, chorda ergo cius qu.cdl linea kc, erit 1 1 8.
partes,2 3.mi'nuta.&: 2o.fcciida,i 8. tertia, fecundu quantitate qua diainctcrq k,crit 1 20.
partes, di fecundi! quantitate qua diameter q k cft 60. erit chorda k e, ry. partes, 1 i.miim
ta,4o.fecuda,9.tcrtia,crgofccudu quatitate qua linea k e, ell 6'o.i rit linea k q,«So. paries
di 48.infnuta,a: quinquaginta feciida, ablata itacj? i linea k q pa 1 ibus icxaginta,qua-eft
quantitas Iincit q r, femidiameter terra:, remanet linea k q.quu: efi fumnm uapoi um de -

LIBER DECIM7J» 183

natio 49. mfmua^o. fecunda, fecundum illam quantitatem qua diameter terree effc no,
partes, & quoniam fecundum Cofmographos maximus circulus terra* fecundum milia
ria cft notus, ergo fecundum illum quantitas diametri c(l nota, ergo di linea r q eft nota
di hoc cft propofltum. liit autem fecundum computationem Abbomadi ex miliaribus,
quibus terrae circumferentia eft 14000. miliaria , lincarq.fi. miliarium,47. minuta,

3 4. fecunda, & 3 1 .tertium funt fcr&Summa ergo ad quod eleuantur uapores fecundum
ipforum conliftcntiam minus c$ j-z, milia pafTuum,ut patere poteft perquirenti.

L x 1.

Ab aqua & aere dcnfb & uapore rorido reflexionem radiorum corporis
tummofi fieri manifefium eft,

Iftud in politis corporibus , di utinfpcculis di fimilibusfenfus compcrit, noscp in
pluribus prcemifsishuius (cienti# libris iftud fumus cum amplitudine ftudtj perfcqiiuti.
In aqua ucro ioliexpofita patet , quia radius in parte ioli oppolita uidetur,& maxime (1
locus oppolitus fit obfcurus, hoc autem fit per reflexionem. In aere etiam aliqualiter den
fiori idem cuentt.ut quando infpiffiituscft di confidens quafiin nubem, tunc enim ab ip-
fo fit luminis reflexio, ut apparet in crcpufculis ierotinis di matutinis , Huic etiam atte*
ftatur quod tcmporcpfuuiali radrjfolis fcepe in aere difperguntur,& ufx tenuiter ad ter*
ram pertingitpropter humiditatem Si grofsiciem aeris contrapofiti ipfi ioli,hoc etri
am patet, quoniam in aere modica; denfitatisinhyememaximeflante auftro circa Itu
cernas frequenter uidetur lumen refledio fec fidum formam circularem, di maxime uifri
bus Iuimidis ad quos de facili fit luminis reflexi di formarum, cum uirtus uifiua propter
debilitatem organi dcbilitatur,fic quod non poteft denfitatem modicam aeris penetrare,
fed ad uifum forma rei uife refrangitur ab aere modica: denfitatis.ficut ad uiiiis fortes re
frangitur folum ab aliquo (olido peruictatetn non habente.unde etiam in uifu aliquis de
bilitatus,& non acute uidens propter ophtaImiam,ucl propter aliud, uidet quandocp is
maginem fuam in acre groffo ante fe,ficut in fpeculo,ftantem contra fe,8<: ambulantem
cum ipfo quando ipfc ambulat, di rcfpicientem ad (pfum,& fic quidam notus meus poft
plurium nodium uigilias cum compulfus node fequenti equitaret, formam fuam , hoc
cft uirum alium fecum equitantem uidic.cum cranfirct qwandam aquam, circa qua grof-
fus fuit acr,& cu ftarct ftccit,& ille alius,Sd omnia opera ipfius faciebat, cu aute ad acre
ferenum ucntt ille notus meus, tunc focius cius difparuit.quia non fuerat nili forma fua.
Iit fic uiliii debili error accidir.ncc mirum, quia di qtiandoqj fanis uifibus hoc accidit ab
aere fpiflo di longe diftantc, ficut ctiatn auxilio ipeculorum.ut in ultima feptimi huius,
o (tendimus, poflet fieri, quod aliquis imaginem propriam uel aliam no in fpeculo,fed exs
trafpcculuuidcretfc acrc in loco imaginis, qui per induftriam pofletad locum certum
tiariari. In uapore etiam rorido fit reuerberatio luminis, quando incipit uaporaqueus
cliflblui inguttas.quia queclibctfuartim partium fit quali fpcculum>fi<: ob hoc lumen refle
di cur ab ipfo,& iftud apparet in aqua gutta timfparfa.quoniam ab illa lumen etiam ad
partem oppofitam rcfleditur,8i fic poft reflexionem coloretur, patet ergo propotkum.
lxh.

Afupcrficic aquae & aeris clcnfi,& uaporis roridi, &fimilibus refradio*
nem fieri ad perpendicularem patens eft.

Quod hic declarandum proponitur, patet pcr4-huius fedetiam experimentis copro*
hatur,fld hoc cft uniucrfalc.quan.do forma rei uel radius per mcdiu rarius ad denfius dia
fonum procedit, tunc enim lerper in medio fecundi diafoni fit refradio ad perpendicu*
larem, uerbi gratia, expolita aqua in uafc foli in fundo uafis uidebuntur radi) aggregati,
Iuccfccntc etiam folefiipcr acrem denfum uiliii di foli intcrpofiti,quandoqj lux aggrega
tur,& maior calor peruenit in nobis, quamuis multa pars luminis fuperius ad nubes uri
dnasrcflcditur,8<: hoc fit maxime in tempore prceccdentc tempus pluuiarum, unde
poft talem improportionatum tempori calorem di lumen infolttfi fepius pluuia dcfccn

b b b 3 dit

PERSPECTIVAE VlTEtLfONIS

■s Kc.lBx quo patet, qttia nube t n uapore m roridum refoluta refracto Et radiorum ftt fpR»
uapore rorido , Si ad nos pcruemuiit radi) folis aggregati per refradtonem , patet ogo
quod in aqu a Si in aere denfo 8i uapore rorido, quandoqj forma uel lumen cft in rariori
diafono &mdditiHisdiaf(jnisden(iortbits.diafonumquoq?inqt!oeft uifas non multa
differt i diafono in quo fit rcfradio.tunc fiet refradio fenfibilis ad perpendicu!avcmilq4
fi forma uc! lumen fit indenfiori diafono,uel ultra denfius diafonum uideatur, tunc fiet
irefradio & perpendiculari, Si ob iioc omnia talia uifui apparent maiora fua certa quanti
tari, ut patet per 4o.huius,& ob hoc accidit quod fummirates rerum in mari uifawra rc*
frade uidentur, eo quod forma ipfarum difpergitur i perpendiculari in fccudo diaform
fabriliori fodicet in aere, 8i uidetur fornix illorum in concurfu linex refradx cum pera
peftdicularidudalreuifaadfuperfictem aqux, ut patet per i4.huius,8i denarius iride*
ku r pofitus in uafe fnb aqua in ea diftantia.in qua uifus propter altitudinem persfertx ua
His fine aqua ipium denarium direde non uidcret,& tunc uidetur etiam maior, quoniam
fnb maiori angulo uidetur. In aere etiam , denfo, utpotc quando Euri flant, & aer humi*
«Jus fir»SC ingroifatur, omnium rerum uidemur magnitudines maiores, Sol quotg Qi ori
Eiia aftra orientia Si occidentia propter caliginem aut acrem uaporibus terrx ingroflae
tum illis uiTibustnterpofitum .uidentur maiora.quam in medio coeli cxtficntia,ut patet ^
5 i. huius, 6dixccftcaufa tcmporalis,aiiauero cft perpetua, quam diximus ibidem, cx
hocetiam peruentt quod fi in loco imaginis ,uel inter imaginem 8i uiilim ponatur uitru
dari? uel ci iflallus,ita ut imago reflexa afpeculo ad certum locum aeris uideatur per wi=
erum, tunc enim imago maior uidebituv,& iccundum quod media diafona multiplicata
i denfioriin rarius fuerint, forma fe uflibus ita uicinante.quod ultimo ipfapcr aerem ni-
deatur,tunc forma maxima uidebitur, cuius ratio patet cx praetmlsfs pluribus theorema--
tibus huius libri. In iftisenim corpo;ibus mcdfls omnibus ficdifpofius fit refradioi prr
pcndiculari duda a' centro rei uifarad fuperficicm corporis diafoni rem ipfam uel fora:*
refradam continentis.Htsergo modis fit in propofitis corporibus uel iimilibusfibi ad
uifum tefradio, inter hxc uero maxime fit inaqua ,magis autem fit in uapore rorido in-
cipiente aquam fieri quam fiat ab aere , nec mirum , quia uapor roridus qui fit tempmc
tranfmutationis nubium ex uapore continuo inguitatim fperfam aquam eftgroisior
aere, unde in ipfa fada refradio plus fcntitur,non poteft autem tunc figura rei utfircu*
ius forma refrangitur diffinde ad tiifom perucnire propter refradionum multitudine,
fed pcrucnit uifui tantum aliqua forma rei,ficur parer etiam quod infpcculis paruarura
partium uelfupeifieimim refradarum alterius fuper alteram cleuataium , &(l modicae
prxemincnrix fint,ita tamen quod fupcrficics ipforum fpcculorum non fint in eadem Ii»
mea reda uel curua,tunc non apparet rei propria quantitas uel figura, fcd apparet re de
color ipfius rei uifx.cuius forma refleditur ab ipfis,pcr quod manifcfte patet ejuod foro
ma corporis kiminoli.qua* ab aqua uel acre g r o flo in tegre ,fcil i ce t quo ad figuram & lu
cera Si colorem refleditur ad uifum a' uapore rorido,finc figura Si quantitate certa , fed
tantum cum fuo colore uel lumine, fini ita cum a uapore rorido fit reflexio ad uifum lumi*
nj.s folatis ud ftellarum,non uidentur fotmarum reflexarum figura: proprix* fed caiuu
fornix luminis reflexi jpatei ergo propofitum.

lx m.

Omnis corporis fphxrici luminofi irradiationem in corpore cuius ltaper
fictcsa^ucdiftat fupcrficiei contingenti corpus racliofum iphxricum in pun*
cfo ubi perpendicularis duda a centro corporis fphxrici fuper fuperficicm
corporis illuminandi fccat fuperficicm corporis fphxrici,pofsifoile cft fieri {c
eundum pyramidem rotundam, cuius bafis clt in corpore irradiato, uertex
uero iu centro corporis luminofi, ex quo patetomnemhuiufmooi irradiatio
nem fieri fecundum angulos incidcntixxqualcs.

Sit corpus radiofum fphxrxcum,in quo fit cuculus magnus qui b c d3& cius cenmrm

Ili

LIBE R DECJMVS. 284

fitpunctom a,contingatcp lpfutn fuperficies plana, qua: fit fp,/npundo c,8i fit fuperfici*
cs corporis illuminandi i corpore Iphxrico fuperficiesg.qux fit ex hypotliefi xqiiedi»
itans fupcrfic/ei a p,&: fit linea a c g, duella i centro corporis fphxrici perpendicularis fu
per ducfti corporis iuperficicm, dico quod irradiationem illius corporis pofsibile eft fle*
ri fecundum pyramidem rotundam, cuius bafis eft in fuperficie corporis g, uertex uerd
in puncto a,ccntrocorpoi is luminofi, Si enim perpendicularis a g,in centro uel in me*
dia fupcrficiei g,non ceciderit,ducaturad ipfius fuperficiem g, breuius extremum linea
a f.fuper cuius terminum in puncto a,conftituatur angulus 'ex J3. primi, aequalis angulo
g a f,quae fitg a h.producaturcp linea a h ad fuperficiem g ,& producantur in fuperficie,
g, linea: g fyQi quoniam duorum triangulorum a g f di a g h.anguli agf,&: a g h, q funt
ad bafem,funt xquales,ex diffinitione Iinex ereto: fuper fuperficiem , di anguli g af &
g a h funt aequales, & latus a g commune, patet ex 26. primi, quia latus a f erit aequale la*
teri a h di fh aequale g h , fimiliter etiam rado alio angulo aequali g a f di g a h , angulus
triangulorum qui fit g a k.produdiscp lineis ak&gk, erit ficut in prxcedentibus,linea
a k aequalis linea a f uel a ij,& erit linea g k aqualis lines g fitel g h.cum ergo expuncto
g, exeant tres linea: aequales di in eadem fuperficie,patet ex p.terrij, lineam fh k fecunda
quantitatem linea: g f 5 puncto g. produtom effe circularem , quia itacp irradiatio fit
fecundum has lineas, feilicet a f, a h, a k,& fecundu alias omnes ducibiles angulos aequa
les cum linea a g.praedidorum triangulorum angulis qui funt ad pundutn a , continen»
tes, ut eft linea a l,8i alix.patet ex diffinitione pyramidis rotunda, qm fit irradiario fecum
dum pyramidem rotundam, fit enim fecundum figuram quae deferibi pofsit per triangu
Ium d g f,orthogoniu,latere a g.fixo manente, & a f di g f, lateribus reirolutis ad loeu un*
de incceperant moueri,&! ex praemifsis patet, quoniam huius irradiatio.femperfit fecem*
dum angulos incidcntix aequales, patet ergo propofitum.Si dicatur quod etiam fit irra*
diatio extra hanc pyramidem, hoc eft uerum,fed quia natura lucis eft femper xqualitet
diffundi, ut patet per 20, fecundi huius, tunc fiet ad omnem partem fuperficiei g , fecun*
dum pyramidem uel fecundum partem pyramidis in ipfa receptam parte alia pyramidis
ad fuperficiem corporis non illuminabilis protenfam,unde fi
pars illuminata extra lignatam pyramidem modica fuerit»
non fiet in ea fenfibilis irradiatio propter radiorum paucitatem,
qui fi magna fuerit cum ipfa ad squales angulos, multi radq
conueniant , tunc irradiatio fenfibilis erit propter multorum ras
diorum concurfum & aequalitatem angulorum , di ficeft pofsi* p
bile propter lucis unigenitatem irradiationem fieri fecundum
lineam circularem qux fit terminus bafis pyramidis uel parti ba
fis. Eodem autem modo dcmonftrandum,li fuperficies g xquedi
flet fuperficiei g p , contingenti corpus luminofum in b d , pun*
dis, uel in alijs pundiis fignatis . Vniuerfalitcr autem corporum
qua: fplcndorem fenfibilem i corpore aliquo luminofo accipi*
wnt, oportet quod fit talis afpectos ad corpus luminofum , ut
theorema fupponit , feilicet xquediftantia ad fuperficiem pla=
nam contingentem corpus luminofum in puncto ubi perpendi*
cularis ducto 5 centro corporis radioli ad fuperficiem corpo*
tis illuminandi fecat fuperficiem corporis luminofi, & huius fi
gnum eft irradiatio luns , qux nunquam nifi in parte foli oppo
lita illuminatur , di femper medietas illius , ea feilicet qux folem
tefpicit eft illuminata necefTario propter naturam prxmilsi afpe
tos, aliam uero partem irradiatio folis nifi forte per refradione
nullatenus attingit, & quoniam pyramides uerticem habentes
in centro corporis luminofi, ad infinitas bafes in corpore irra*
diando unabafe alteri inferipta applicantur,ideo tata fuperficies irradiati corporis cor*
pus luminofum afpiciens multiformiter irradiatur) di augmeritatur irradiatio , quonia

L oportet

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

oportet ut tale corptrs fit denfius medio per quod lume ucnit ad ipfum,oportet enim
tale corpus habeat aliquid dcnfitaus,unde (i lunic nihil haberet reddentia; tranfiret nec
corpus pcrtran(iiuirradiaret,aut ctiain in ipfo no fieret reflexio uel refradio per y6.hu*
ius,& quoniam per reflexione radij aggregantur,^ fimiliter per refradionem ex yy.hu*
ius, tunc per y4, huius, radijs non aggregatis plus fenfibilis non fieret irradiatio ^ in me*
dio.nuncautem irradiatio in theoremate fupponitur, patet ergoquod opoi tet corpus ir
radiatu ede denfius cjj fit corpus propinquu corpori luminofo, 8i exempla riter uero hic
declarari poteft per hoc ^d in n«fecudi huius, oftendimus, quia fi per forame rotudd pe*
netret radius folis.ftatim in corpore oppofito ad bafem applicatur, & in forma pyrami*
dis lume figuratur, Signu ergo eft quod in quolibet radio corporis luminofi idc fiat , qui
cu fint natura: homogenea, eadem eft natura in toto Qi in parte, & ad minus fi illud no
fit neceffarium femper ficri.eft tame pofsibile fieri ut proponitur , patet ergo intentum.
Lxim.

Si ad idem centrum uifus ab aliqua fuperficie fiat luminis refradio uel
reflexio, neceftc cft extremum illius luminis fuperficiei uifus circulariter fccu*
dum rotundam pyramidem incidere,ex quo patet tunc centrum corporis ir*
radiantis, & centrum uifus centrumqj circuli bafis pyramidis irradiationis re*
frada: uel reflexx in eadem reda linea confidere oportere.

Suppofito quod aliquod corpus irradiatum fitinteruifum di inter corpus lumino*
fum irradians,& Iit illud medium corpus diafonum .ira quod radij refradi in centro ui*
fus ualcant aggrega ri.ali ter enim non uiderctur irradiatio . Sitquocp centrum corporis
irradiantis a,fuperficicscp corporis irradiati fit f h i k, perpendicularis duda i centro cor
poris luminofi fuper illam fupcrficiemfita g, di ducantur lincaa f,a h.a i, a k,& lineat g
f,g h.g i,g k,& Iit centrum uifus b , ducaturqj linea b f,b li,b z,b k,b g, quoniam ita cjj ut
patet ex hypothcfi lumen corporis irradiantis per refradionem uidetur in pundo b , 8C
per tertiam huius.pcrpendicularisnon refrangitur.fed tranfit ad angulos redos ut inci*
debant ad lineas t g, h g, i g, k g. St in uno pundo, ut in centro oculi cocurrunt plures
radtj refradi, qui oblique incidunt ilii fuperficiei ex hypothcfi, qua aute ratione aliquis ra
dius refradus perucnit ad centrum uifus, eadem ratione omnes radij incidentes fuper fi*
cici corporis fh i k, iccundumcirculum,cuiusccntrumcft pundum g , refrade pcmenl
uut ad ccntruimiifts.ut patet in 46.huius,funt enim illi anguli incidentia’ omnes aqua*
lcs.ut patet per prremiflam.ergo di anguli refradionis omnes erunt
aquales per 8. huius, in centro ergo unius uifus nulli radij extremi co
currunt, nifi qui rtfranguntur fecundum angulos aqualcs.fic ergo ut
fitilla refradio fecundum aliquos angulos extremos qui fint b f g St
b Ii g ,di b kg, Qi b i g erunt ergo illi anguli ecquales , fed Si anguli ad
pundii fub linea b g fiib lineis f g, hg,i g, kg,funt aqualcs.qa funt
redi, funt ergo trigona bg k.bg h,b g k, b g f aquiangula per ) J.pri
mi,ergo per 4.fcxti,ipfbrum latera funt proportionalia, fed latus bg
cft aquale fibijpfi.cum omnibus fit illis trigonis commune , latera er*
go b f, b h, b k, b i, funt aqualia inter fc,&: latera g f,g h,g k,g i funt
inter fc aqualia,crgo per nonam tertij linea h fi k,cftpcriferia circuli
cuius centrum cft pundum g,&fic deferibitur in oculi fuperficie , fit
ergo pyramis refrada. cuius uertex eft in pundo b,a centro uiflis , 8C
eius bafis eft m illuminata fuperficie , cftqj alia pyramis illuminatio*
nis , cuius uertex cft in pundo a , centro uifus , 8i eius bafis eft etiam
circulus fh i k, patet ergo quod iftarum duarum pyramidum linea g
f,g h,g i,g k,funr in eadem fuperficie ut prius , quoniam ab eifdcm li*
ncis in quas radiusinciditetiam refrangitur , una eft ergo fuperftcics
communis terminansjiftasduas pyramides qua cft circulus fh i k , 8C
eft bafis ambarum illarum pyramidum, patet etiam hoc cxy, undecimi, quia illa linea

fecundum

LIBER, -DE CIJIVS* - »85'

fecundum unft pundu qui cft g,cu linea b a, angulos redos faciunt, angulus em fgb eft
arquahs angulo fg a,quonia uterqj ipforu eft redtis.exeo quod fiippoficu eft angulum
a g ftefle redii, eritq} iuperficies in qua funt linea: Fg,hg,ig,ordiogonaliter fuper fupei?
ficies omnis rcfradionis,patet ergo unu propofitorum.Quod fi centru uifus fuerit inter
corpus irradtatu,&! corpus irradians conftitutu,tunceadediijjofitionemanente,nififo?
lc pundo b, inter a Si g,punda conftftuto, patet propofitu, ex eo quod tunc corpus iria?
diatu non uidetur,nifi per reflexione luminis recepti 5 corpore luminofo, Si femper an?
gulus incidetfe erit aqualis angulo reflexionis per 2o.quinti huius, quia angulus exfrin
ifecus angulo a g f,in triangulo a g ftpyramidis illuminationis , erit squalis angulo bfg»
qui fit ad bafem t rianguli b fg, pyramidis reflexionis,nec erit pofsibilis utfio irradiatio^
nis,nifi in pundo axis pyramidis ilIuminationis,ubi fecundu squales angulos reflexi rasi
dtj i tota fuperficie illuminati corporiscocurrunt.Eruntep omnes anguli trianguloru py
ramidis reflexionis,qili funt ad bafem squales inter fe per 20, quinti liuius,quoniam an
guli extrinieci pyramidis irradiationis.qui funt anguli incidentis , omnes funt squales
inter (e, omnes itaqi radij ad uifum reflexi qui funt in eade fuperficie per <>. primi, erunt
squales, &quonia lines fg,h g,i g,k g,funt squales, patet per 9. tertij, lineam fh i k, die
periferia circuli quod eft fecundu propofitu, & quoniam linea b g , qus eft
perpendicularisfuperillamfuperficie.ouinibus illis trigontseft comunis,

Si angulus cuiuslibet trianguloru qui funt ad bafem squalis cft.alter/us fibi
correfpondcnti per /06, primi huius, cu lines fg,hg,i g,kg, fimt adinuice
squales, ut declaratu eft prius, di ab ipfis fiet reflexio ad uifum, quia erit per
radios ad ipfis reflexos pyramis inferipta pyramidi ad cande bafcm,fcd di<
ucrfs altitudinis.quonia pundu b,qui cft centru uifus,pofitus cft efle inter
corpus irradians Si corpus irradiatu,&! erit illa bafis comunis duabus pyra*
midibusjfcilicet pyramidi irradiationis 5d pyramidi reflexionis orthogona
fis fuper omnes iuperficies rcflexionis,patet ergo quod cnrrelarie propone?
batitr per 1 07. primi huius, Vifitm cft etiam quibufda ad propofitam uiforu
circulatione coadunare circulatione fora minis unes, ac fi ad periferia fora?
minis folir radij incidant, &! fic in fuperficie uifus rotundentur , quod Si fi fit
aliquando pofsibile.no tamen eft (miuerfaliterneceflTariu, quia ctia cuicuqj
parti fuperficiei uifus radij incidant fecundu angulos squales , femper acci*
dit neceftkrio figuram uideri ci rculare per7 3 .quarti huius. Ex iftis ltafcjj ma
nifefte patet, quia Si fi tota fupcrficics alicuius corporis irregularis uel regu?
larisrcdilincauel circularis fit irradiata,nontamen uidebitur nili circula?
xis parsirradiata,quandopcr reflcxioneuel refradione uidetur,quia opor
tet ad hoc quod uifus ipfumiudicet irradiatu , radios plurcsin centro oculi
aggregari: non aute concurrut nifi illi qui incidentes ad fuperficie corporis
irradiati Si reflexi ad centru oculi omnes squales angulos conftituunt , ta*
les auteincidunt fecundum circulu, faciunt enim pyramide, ut patet ex prs?
mifla^ reftedutur iiel refranguntur neccflario fecundu circulu eundem,
itrgo fuperficies illius corporis femper uidebitur circulariter irradiata.necui
debit uifus illam irradiationem,ni(i fuerit in pundo eoncurfus linearu tali-
ter reflexarum conftitutus,&! propter hoc in eadem fuperficie irradiati cor
poris dfuerfis uifibus diuerfi apparebunt circuli,quia esdem lines in diuer?
fis pundis non concurnmt,fcd in uno tancu,8C remotioribus ntaiores appa
rebunt circuli,fcilicet illi quibus ad maiores angulos incidebant radij , Si ad
maiores refleduntur uel refranguntur, Si funt exteriores in periferia bafis.

Sic ergo pyramis intcrior,fciIicet reflexionis uel refradionis inferibitur py
ramidi alteri reflexionis uel refradionis minorem exterius ambienti , cens
trumcp uifus propinquius fupei fieici irradiats minorem uidebit circulfi cjj Uifus remoti?
tior, quoniam radij in minori circulo fecundu angulos minores incidunt,8i fecundu an
gulos minores refleduntur per ic, quinti huius , uel fecundu minores angulos rcfrnn?
guntur per 3, Inuus, patet autem pet 1 06, primi huius,quia fecundu quod angulus lcfra?

ccc diomt

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

Xionis ac! reflexionis pias minuitur,fecundum hoc angulus in uifu contentus augmert
'tatur,& quia angulus refractionis uel reflexionis femper eft acutus reXilineus diuifibi*
lis, propter hoc angulus ad axem femper flt redus per 89. primi huius. Ex pra?mifsis
patet corporum perpulchrum auxilium i i.huius, quoniam enim in pyramide orthogo-
nia centrum tirculi bafis,SC conus femper funtin eadem linea, ut in axem propofito erut
a '8ig,in axea g,fed eadem ratione erunt b di g in eadem Iinca.linea uero l g 8i ga, con
iunXat funt in linea una, eo quod f g,4 termino ipfarum exiens cum ambabus ‘facit ano
culos redosjquomodocanqi ergo fe habeat uifus ad corpus irradiatunr,dummodo ad ip
ftunfiar reflexio uel refraXio, patet propofitum,quoniam femper centrum corporis ir*
radiantis & centrum oculi, & centrum circuli baus utriufcp pyramidis irradiationis,fciM
cet & uifloinis funt ineadem linea, fcilicet axe pyramidis irradiationis,nec aliter cflrpol*
ifiblle uideri irradiationem. l x v.

Iride ex refkxioc & refratftioe radiorui corporis luminofi uideri necefle eft.

Locuturi de iride ,deilla principaliter intendamus ,qua: inter fecans horizontem ad
diuerfas.partcs mundi protenditur .quamuis etiam de alfjs qua’ illi iridi ftmil/a uidentur
Intentionem non principaliter faXuri fimus . Quoniam ueroirisfitexmultitudineluml
n is corporis luminofi in uifu rcccpt/, hoc patet fenfuitquod autem non aggregatis radijs
corporis luminofi lumen ienfibilius pofsit fieri /n corpore non luminofo quim in medio
per quod prius lumen Ferebatur, oftenfum eft. per 5-4 .huius impofsibile clle , unde patet
cxhoc quod lumen uigorattirex aggregatione radiorum corporis luminofi, ut fcnlibili-
xisfiatin aliquo corpore quim in medio , quia uerO aggregatio radiorum corporis lumi
nofi fiat per reflexionem uel per refraXioncm quat fit in corpore denfioris diaroni quim
medium , per quod antea ferebatur, declaratum eft per y y. huius, patet itacp generaliter
quod luminis maior fcnfibilitas per reflexionem uel per refraXioem in omnibus uifibilf»
bus caufatur.Quod ucro iris fpcci jliter ex reflexione fiat, patet per hoc, quia lumen cius
fenfibile peruenit ad uifum ut fuppofi tum eft in principio libri huius.oftenfum eft quocg
per lo.quinti huius, quod omne quod uidetur per reflexionem , fic uidetur,quod angu*
Ius fecundum quem forma fpcculo uel alteri corpori polito incidit.fltarqualis angulo fc*
eundum quem illa forma rcneXitur ad uifum.quod etiam patet per ziS.quinti huius, du*
Xa perpendiculari i punXo incidentia; fuper fuperficicm corporis politi ad quam re fle»
xionis anguli referuntur , continet enim radius incidens & radius reflexus cum eadem
perpendiculari anguIosarqualcs.fi itaq? forma iridis fiat in uifu, paret tridem per reflexio
nem radiorum corporis huninofi ad uiftim caufari. Quod ucro iris per refraXioncm cti
am radiorum corporis luminofi fiat, patet per hoc, quia non generatur iris , nifi in aliqua
diafona materia exiftente in medio, & prohibente tranfitum luminis.lam quocp diXum
eft in 4. huius,quod in corporibus diaronis denfioribus primo diafono,& fi ab ipforum
fuperfleie fiat reflexio femper tamen fit rcfraXio ad perpendicularem , 6i fic lumen taliu
corporum fupcrficiebus oblique incidens quafi fecundi! una linea ad duas partes oppofi»
tasdiuifumprotcnditur,fit itaqj per rcfraXionem in talibuscorporibus luminis aggre-
gatio quae uifui offertur ,ficut Siquodlibct aliud uilibile,& ficut nubes alba .flumen ab
illorum corporufuperficicad utfum reflexum coadiuuat,ut aXum minoris fenfibilitatis
faciat in uifum, ficui uidemus quod 5 corporibus albis qua: plus habent luminis fenfibili*
or flt reflexio c£ i corporibus medio colore coloratis.hoc ctia patet per luminis profun*
datione in iridisgeneratione,cft enim ea quat folu reflexionem luminis habent tantO in
fuperficie irradietur.Matcria iridis fenfibiliter inuenitur in pfundo irradiata, & ob Iioc
coperit Philippusfodalis Platonis,^ utquotcidic quoqj circa iridedcambul5tibus con*
tingitjSd nos ipfi experimento hoc didicimus,iris mutatur fecundi! mutatione uidentis,
(equitur enim fugiente ab ca,6<! illi! quiprogreditur ad eam fugiens antecedit , di fi quia
ad dextri! uel finiftru latus progreiTus fuerit, iris ad idem latus uidebitur moueri , fcd fe*
eundum reflexione folu uifa fugiunt fugiente di occurrunt accedenti, uidentur enim ta
lia femg in cocurfu linea: reflexionis ad uifum progrediet/s,cu perpendiculari duXa 4
puXorei uifie fug fuperficie corporis i qua fit reflexio forma: uifie, ut patet per j 7,auint|

mftus

LIBER JDECIMVS'. »86

huius, iris ergo non folu uidctur p reflexione, fed etia g refradione luminis intra corpus
i ^ refleditur.quauis accedenti' ad inde uel ab ipFo elongato ab altjs di altjsfugficiebus
corporu lumini obuiatifi fiat reflexio luminis ad uifurn,qm fuga iridis pgredietiad ea di
fequutio fugietis ab ea, acCcdit ,ppter diuerfas rcflexioes,qu j fiut ad uifum £ diuerfis pa r
tibus materia: iridis,fcilicet fecundu tjd uifus mutat puda, in qbus ab angulis bafis unius
pyramidisoes radij fn cetrO ipfius occuli c5currut,& ga tales bafes funt infinita:, di puti
da in qbus eoru radij reflexi in aXe colligutur funt infinita, patet etia quod g reflexione
multifaria uidctur irides infinita: fecundu infinitate pUndoru in axe pyramidis occurreti
tis accede ti uel rccedeti fecudu linea eiufde axi, uel etia d latere exeuti f cundu mutatione
axis i centro corporis luminofi per alii! piindu fu* fuger ficiei exeutis,^ per illu quo pri*
mus axis exicbat,fit enim uifus ad latera fic mutati noua pyramis 8i nona bafls , aliudqfc
cft pundu fuperfidei corporis luminofi.per quod ucnit raditis perpedicularis ad fuperti
ciem materi* iridis.qui in ipfum cadete centro oculi fit axis pyramidis utriufqj, uidctur
itaqjhoc modo irides infinita: ad quamcunrp differentia pofitiois quis uidcntiu motus fu
erit,dir modo cofra corpus luminofum n5 moucatur ,quod etiam fi ueru fit per reflexio*
nis na tura pofle fieri, refradio tamen radioru corporis luminofi femper augrtietat lume,
lu uideri ualeat fenfibilius i uifu.patct enim quod refradio radioru corporis k minofi ag
gregat lume.ut fiat magis Uiiibile.qm propter refradione radioru circa eande parte me*
dij radius duplica tur.Similiterfcg ipforuradioru reflexio lume aggregat 8i ad uifum fen*
libilircr reducit, iriSuero non fle nili exaggregato lumine, nec fit ex iIlo,nifi occurrat ul*
fili, ergo ad generationem iridis refradio radioru corporis luminofi di reflexo eorUnde
neceftario exiftunqSi hoc eft quod in prxfenti theoremate perquirere uolebamus.

LXvii

In uapore rorido iridem generari neceflarium cft.

Quod hic proponitur patet, ga cu iris noflat fine lumine, immo luminis multitudine»
lume aut no aggregatur nifl ex reflexioe aut refradioe radioru corporis luminofi, ut pa
let per r.gitti huius, haec aut no fianr.nifi rancQ fiat obicdicl corporis denfioris aere puro
g 6f .liUius.ergo in loco gene ratiois iridii no erit ipfiusgeheratlo fine corpore irradiali,
iaiiusfupffcic pofsi t fieri reflexio di refradio luminis incidetis, aliqduero folidoru pia*
tioruibi clleefl: impofsibilc,fcd nccjt a qua, qm liare curreret fubico ad inferiorelocoiufi*
bi pofsibile,ii ts ucro aliquo tgemanet,n c rame poilet in aqua cotinua figura iridis ge*
nei arf,qirl lurne integru reflcderctiir a' fugficie aqua: ppier cotinUitate/pfius aquae. Iris
qu e fit in aqua diffufa g renidS,fit .ppter aqua: drfperf?one,qa tuc reitio ne p manu utitlif
nauta aqua rorans,& ob hoc cu aqua fic fuerit fufa in ipfa colores iridis apparet , no etiS
poteft cfie q> fit aer groltiisin cj iris genera ttir.qirl impreisiolu
minisin aere no efficeret colores fridis.fed faceret quaridaalbe
diae, ut apparet in crepufculis matutinis in ipfaru principijs Si
etia terminis crepufculoruferotinoru di uniuerfaliterin limili*
bns qbtifcuq} Non eti.i poteft effe uapor cotinuus.fiue fit eieua
tus ad generatione nubis.fiue fit in nube codefatus. Efto eiii
fic poisibilei uapore cotintio nube generari, ponarur ergo cor
pus radiolum, cuius centru fit a, in circulo horizocis,lecetcg ip*

Ium iiigficies orthogonaliter ereda fup fugflde horizOtis g c?*

«ru ipfius corporis,S<: ducatur in illa fugficie fccantep centrunt
corporis luminofi linea h g.Huic itaqj lugficiei fecanu auc *qdi
ftat uapor cotinuus irradialis aut no * Si arqdilf .it, fit linea eius
fiipficiei b c d arqdiffans line* h g, Incidatcp libi radij a b,a c,a d
di Iit linea a b gpcndicularis fug fugficie uaporis qux in fe refle
detur per x i .quinti huius,& tefledetur etiam line* a c.a d,qi iion funt gpendicuiares
qm aut angulus a c b cft acutus g j i.primi.cu angulus a b c fit redus , patet g 1 3. primi»
qd angulus d ca cft obtufus,ppcdicularisergoextradaip5doc,n5c6currctcu axe a b
ergo nec radius reflexus, cu ergo centru uifus ex 62, huius, nCceffario fit fitu in linea a b»
quae cft in fuperficie horizous,^ ccnu u uifus fit centru horizotis.qu* fit pundus f,patet

ccc £ quod

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

quod lumen fit reflexu centra uifus nullatenus attinget, nifi forte radius ille reflexus fu
perficiei alterius corporis plani incidens reflederetur ad uifum, ergo uapore taliter di*
ipofito iris no uidebicur,qd fi uaporis Continui fuperficies fuperficiei fecantis corpus lu*
. minofum no £cquediftet,fed cu ipfa cocurrat,fi illae fuperficies fub hori
^ zontc cocurrant,ide accidit impofsibilc.SC eode modo deducendu, cja

8i fi hoc modo radios aliquos de fub horizote ad uifum refledi fit pof*
fibile,no tame uifus illorupafsione aliqua iudicabit, no em uidetur ca
quae fub horizote, cu horizon fit circulus, q eft terminator uifus , fid cu
fuperficieshorizotis fit obliqua fuper fuperficie uaporis, patet qd radi
us d cetro corporis luminofi perpediculariter incidens fuperficiei napo
ris cadit fub horiz5te,oesq$ radi) n5 perpediculariter fuperficiei uapo
ris ultra fuperficie horizotis incidentes refledutur ad parte con arium
-'■s. cetro uifus in centro horizotis coftituti.no ergo uidebitur iris cetro u i

\ fus & fuperficiei illius uaporis taliter adinufce difpofitis , qd fi non fub
. \horizote,(ed fuper horizonte cocurrant illae duae fuperficics,una uapo
iris.fiC alia fecans luminofum corpus , tuc iteru lumen ad uifum refledi
/ no eftpofsibile.ex caulis prius didis.Semper enim angulus a c d,cu fit
extrinfecus angulo a b cjn angulo orthogonio a b c,eri t minor redo g
1 6. primi. ergo reflexio nuncp fiet ad uifum qui eftin centro horizotis.
Sed etia dato qd in aliqua prxmiflaru difpofitione fiat reflexio ad u u
C ftim,J)d tame eft impolsibile, no propter hoc iris uidcbitur,qm ,pptcr

cotinuitate fiet luminis multa in fuperficie uaporis generatio, 8i erit lu
snen corinuuquo ad uifum reflexu ipfum debilitabit.nccin profundi! uaporis ipfurn per
mittet infpicere,8(! dicit uulgus qd* tale lumen eft Solaqueus, nec habet diflindione alia
qua coIoru,&! etiam fi didte fuperficies fup horizonte cocurret,tuc iris reflexa uideretur
adzenith capitis fenfibilis fecundugibbu circuli quo uidetur, qd* totu fenfui eft cotrariu,
nec apparet uifui.In tali ergo uapore non eft conuenicns iridem caufari. Sed inter ua*
porc aqueu continui!, & inter aqua depluente 5 nubibus eft quodda medii! cjd* dicitur ua
por roridus &i fit quado frigus codenlare incipit uapore aqueu in forma propria, fcilicct
aquae reducere, tuc enim codcnfantur rar;e partes uaporis.fiC fit partii! uaporis deflantia
qua: rotundari incipiut,no di! tame propter debilitate agentis reduefitur ad forma pro-
priam qua: fibt det moti! ad inferius, & tuc illa uaporis particula flint quali quaxla parua
ipecula in quibus folu apparet color corporis radioli line quantitate di figura ut diximus
in j p.huius.Si ergo ad talia corpufcula incipientia rotudari propter aquale ex omni par
te turturis codcnlantis adionequoufq) materia condenfet.incida t lume corporis lumino
fi,refrangitur ad pofterfus ipfius quilibet radioru fibi incidctium ad linea perpedicularc
i pudo incidetis fujj fuperficie illius corporis .pdudam per 4, huius, & qift per 72. pri*
tni huius, illa perpedicularis tranfit centri! illius corporis fpharrici, patet quod radius re*
fradus oblique cadet fug fuperficie illius corporis oppolita corpori luminofo, di aggre*
gabitur lume in fundo totius conii
,7 (letis iftoru corpufculoru propter re*
fradione fadam in quolibet ipforu
ficut uidemusin criftallo rotudo, qnt
ultra fuperficie illius pofterioru fit ag
gregatioradioruin aere ad pundu u
num,ut patet £46. huius, in quolibet
aute iftoru corpufculoru fiuc ipfa fint
maiora guttis ex iplis poftmodu uia
condcnfationis generatis, ut qiiudocj)
polsibile eft fieri fiuc per modii aggre
gationisex pluribus corpufculis nat
gutta. In hoc enim quo ad iridisgene
rationem no eft dulcificas, quonia i»
quolibet

LIBER DECIMVS. »«7

quolibet corpufculoru taliuiemper incidunt radij infiniti, quoniam etiam refleduntur i
fuperf icie ipforu corpufculoru fecundu angulos incidentiatfuar, quos faciunt cu lineis ma
fores circuiorS didorum corpufculoru in pundo fux incidentis contingentibus,qui an*
guli diuerfi funt, etiam ob hoc anguli reflexionis efficiuntur diuerli, ut patet per totu fo
xtum librir huius fcientiat,8<! radij intidentes facientes angulos cu lineis contingentibus
corpufcula prardida cu lineis lignatis infuperficie corpus luminofum fecanteconcilrren
tibus fuperius horizonte, & interfecantibus axem pyramidisilluminationis ultra pundtf
b, remotus & corpore lumtnofc.ut in pundo m,quia anguli tales inter pyramidem obru*
fi funt, ideo per 3 3, quinti huius,illi radij (ic incidentes ad uifum rcfleduntur,&in pudo
ubi talium radiorum plurimorum fit concurlus in axe inter corpus luminofum &uapo*
rem uifu polito uidetur lumen, & quoniam iftoru corpufculoru quasdam funt in quo fe=*
eundum aquales angulos, ut didum eft.radij incidunt^centro corporis luminofi, tales
autem radij ex omni parte nubis dilperli funt infiniti,cuenimtotaconliftentiauaporis
fit plena talibus corpufculis,infiniti lunt tales radij in fuperfleie nubis uel uaporis roridi
concurrente, uel etiam arquediftantefuperficiei lecanti corpus luminofum fecundum £jdl
rclpicit uaporis cofiftentiam,& in illoru irradiatione pyramis figuratur, cuius uertex cft
in centro corporis Iuminofi,ba(is uero in confidentia uaporis roridi, & linea iongitudfe
n is illius pyramidis terminantur ad diuerfas partes diuerforum corpufculoru, qui cu fe*
cundii fimiles angulos fuar incidentia refleduntur ad uifum aliam faciunt pyramide, eu
ius uertex cft in centro uifus,bafis uero eadem cu bafe pyramidis prioris , 8C eft circulus
ut oftenfum eftuniuerfaliter in 6 i. huius, uidetur ante illud lumen reflexu continuu pro
pter uicinitate partiit uaporis,& eoru diftantia infenfibilitate i uifu, qui prorenfus ab ii*
lis fallitur propter fui debilitatem, ob boc uifus aggregatum ab omnibus illis corpus
fculis reflexum lumen fine cognitione uel perceptione diftantia partium recipit, & iudf
cat tanquam unum, patet itacp ex pramifsis,quod licet tota confidentia uaporis fit radi
ofa,8d forte tota irradiata fuperficies fit multilatera, tamen femper uidetur circularis, cu=*
ius ratio eft, quia non uidetur nili quod de ipfo fecundu aquales agulos ad unum pundu
axis pyramidis radialiseft reflexum, quando uero anguli adbafem funt aquales , latera
aquos angulos continentia funt aqualia per 6. primi, ergo per 5-6. primi huius , centrum
uifus eft polus, &: fuperficies ad quam illa aquales linea terminantur eft circulus , & ita
uidetur iris circularis. Poteft etiam exempli caula idem aliter declarari, ut fi dud/s tri*
bus lineis uel pluribus i pundisreftcxionisorthogonaliterfuperlineam ipfi totali conii
flentia uaporis a centro luminofi corporis perpend/culariter incidentem , illa enim erut
tn eadem fuperficie ex r .undecimi, erunt'q? aquales ex jz.&ex zfi.primi.ergoinptido
concurfus carum in axe, eft centrum circuli ex 9 .tertij,& quia totius radij partes non ad
aquales angulos refleduntur, non uidetur totus circulus radiofus.quamuis in tota nubis
confidentia ubiqj lumen exiftat , radij enim qui ad maiores angulos refleduntur cjj fint
anguli radiorum ad uifum reflexorum ultra pundum uifus ad aliu locum axis refledun
tur, radij autem qui ad minores angulos eis qui ad uifum peruenumt refleduntur, ad lo*
cum alium axis intra centrum uifus concurrunt, & fic neutri uidentur,nifi forte ab alijs ui
(ibus in locis fuorum concurfuum cxiftentiu,8<! propter hoc accidit moto homine in an*
te uel retro, aliam Si alia iridem uideri,qmfemper uifus .pgredientis uel recedentis ind
dit in puda aggregationis diuerforu radioru,ficut ctia accidit in hominibus diuerfis ma
gis uel minus i centro folis fecundu diuerfam zenith capitis elongationem difpofitionis,
fub eode tame exiftetibus circulo meridiano,ucl alio circulo altitudinis. Iris itaqj £>pter
has caufas uidetur circularis concaua,quia nec exteriores nec interiores radij inciden=>
tesfuperficiei totius conii ftentiae roridae in eodem pundo concurrunt ad uifum, unde ui*
fus partes uaporis alias iudicatlumine priuacas,8<! lignum huius eft , qd* accidit infuper
ficie plana aquar, in qua in quolibet pundo cft forma Iblis uel lunat, uel ftcllarS no tame
uidetur nili in pundo uel loco uno , i quo eft pofsibilis reuerberatio ad uifum , & muta*
touidente ulterius alia iterum forma corporis luminofi uidetur a loco alio, a quo eft ad
uifum pofsibilis rcflcdi,8d idem uidetur de candela uel lumine aliquo diftindo in cultel
Io notio uel ferreo polito ,«cl alio, quia femper re immobili exiftete mutatiir forma uifa,

e c c 3 uifu

PERSPECTIVAS VlTELLIOtm

uifu mutato fecundu motu quo pofsibileeft ad oculu refledi>& inpundo alio no uide*
tur, aliud etia fignu huius eft, quia fcilicet fi aliquo exiftete radio (olis per aliu qui eftex=
tra radiff tranfuerfaliter fpergatur oreuel aliquo alio ar tificio aqua roratim in radiu,ut«
Ius eiusquieft in radio forte no uidebitnilicolorealbu.cutame fparges cui opponitur
uapor diiedus uideat lumen dC colores iridis dedcofufos.nifi difpofitiocorpufculoru ra
diorum ficdifponatur.ut pofsit fieri certa reflexio ad uifum in medio radi) exiftente.Pa
cet itacp ex praEmifsis,qm iris in ua pote rorido generatur.Signu aut illius eft, quia modio
cuftat iris, eo qd* uapor talis cu fit ex materia grauf,iam ad forma grauis accedente ftas
re no potcft fup fupcrficie horizotis,nifi moneatur ad centru graiiiu,quod eft ccntru mu
di fecundu quod ei eft pofsibile,& obhoc etiam poft apparitione iridis qltando operatio
ne agentis codenfatur materia,Si reducitur ad forma potente mouerc.ficut pluuia,& ex
corpufculotu quolibet in uapore prius feparatorufit percondenfatione materia? gutta
aquea defcendes. Signu etiam eius eft quod didi! eft prius, qrh a qua ua porofe fperfa ore
manu uel remo,ut apud nautas, in radio folari apparet iris,& iridis colores, & diucrfiafpi
cientes uident illud, quia radij incidentes guttu isdiuerfimode refledutur, patet ergo pro
pofitum, quod eft iridem in uapore rorido generari. Si aute dicatur, quia partescorpu*
fculorum in materia iridis non funt omnes omnino fpha;rke,non eft uim faciens inftan
l ia, quia idem accidit omnino in non (pltxricis,quod nunc didfi eft de fplmicis , nuntjj»
enim fiet iris nifi multi congregat i radij ad uifum uniformiter reftedantur*

Lxvii,

T ricolor eft omnis iris»

Dubitatu propter fui difficultate ab antiquis hoc i heorema proponitur, multis enim
Mathematicoru patuit figura &C quantitas iridis, ftihtbarc ab ipfis naturalis philofophi
x inquifitoribus iuppofita,color tame qile indimus nondu coucnicntcr ab aliquo eft per
tradatus nifiper diftindionc materia; iridis fecundu adufti,indigcfti & opaci naturam,
quod fi hoc motu & pofsibilitate rerum naturaliu feruct fie feruare ualcat intelledG coru
qui fcripfeamt talia duximus relinquendli.Colores aQr iridisfectmdu uerum,quod fc no
bis poft multos cogitatus 8t experientias obtulit, fic poffunt declarari, quia enim totus
uapor roridus, qui eft materia nidis tn fupcrficie & profundo eft irradiatus,^ ipfius eft
ruilta profunditas.patet quia ipfe in afpcchljfu/ ad folem feremus 8i immixtius habet lu
nienmixtu,ramecfi colorcuaporis qui niger eft,ut in aquofis uaporibus euides cft,funt
enim omnes nigri,natura aut lucis eft immifeere ie coloribus rerum ad quas refleditur*
Eft enim in principio fecudi huius fuppofitu.luce res coloraras tranfeunte illam coloi i=
Ibus colorari, hoc em p ater ienfui, unde ctiii lumen reflexu Iccii defert colore rei i qua res
fled/tur ad uifum, ficur patet in radio tranfeunte per uinucoloratu.cu ttaqj lume de na
tura fua fulgidufit,ut patet, St1 recipiatur in generatione indis in uapore n/gro aqtico,ne
ccfle eft ipfum per i j-.quarti huius,uifui colore prarlemare puniccu,& iride in parte illa
fecundu uifum colore habere puniccu propter fortitudine uifus 8d plurima ad ipfum in
loco uicino reflexione fortioru radioru propter uiciniratc cot poris luminofi i quo fit im
prcfsio lucis reflexa* fecudu linea brcuiore,& quoniam
tota nubes eft luminofa,&lume femper fecundu a*qua
les angulos reflexu a diucrfis fupei fidebus in profundo
nubis arquedifta nt ibus bafi pyra nudis primo illumina
tionis aci eunde refleditur uifum per luperficie prioris
pyramidis uiciniorisuifui , quonia ut patet per 6$.pri*
nii huius, circuli arquediftantcs in eade axe fuos liabct
polos ,& ide pundus eft polus diucrforucirculoru pa»
tet,quia etiam lumen quod eft in profundo nubis uide
tur, quonia uero illud lume , eft lume refradum debile
multo colori nubis qui niger eft admixtu, & qm uide=
tur qer pyramide utTuale inferiptam ab eode uertice ut
pote l centro oculi ipfi prima: pyramidi uifuali fccuduquauiciniorcs radij, qui punicd

apparent

uber. r>icr mvs*

apparent ad uifum reflcdnntur,qux ad minorem bafem infcribitur » patet per f o^,pr£^>
mi huius, quoniam anguli qui a dbafem infcriptaj. pyramidis fiunt, maiores erunt anguli
<]U i fiunt ad bafem prima pyramidis, lumen ergo abilk) loco in radtjs ifubmaiori angulo
ad uifum refleditur,unde radrf minus lumini uniti fimt,& debilius uiiui offeruntur , an*
guli etiam quos in centro uifus faciunt,iunt minores, ut pater per eandeni i opprimi hti
•ius, quoniam anguli qui fiunt per radios prima; pyramidis in centro uifus/ub minori er=»
;go angulo uidetur lumen in corpore nubis, quim in fuperficie , quod autem fub minori
angulo uidetur minus uidetur, ut patet per uigefimam quarti hutus,hoc aute pacet expe*
rimentanti in lumine ftellce uel candela, quod enim prius uifum eft aperto ocUlo fulgf**
dum, claudendo plane oculis amittit fulgurem, Qi incipit nigrefeere. Item quoniam ire
«lotiori uidetur tale lumen.ideo debilius uidetur, remotio enim fiue protenlio uifibilis i
nifu eft caufa debilitatis uifus,ut patet per ir. 8. quarti huius. Item quia napor remoti*
•or i corpore luminofo grofsioreft 8 i nigrior, &i magis aqueus, unde nigredo uaporislur
mini incorporatum plus denigrat, & magisipfum uifui obfufcatumpra:fentat,8<; hoc
-quidem in coloribus iridis aliquam caufalitatem habent, totalis uero caufa omnibus hu=
■»us coloribus uniuerfalis immixto umbraro ipfi fulgoriluminis, quonii erh ut patet per
pr^tni flam,uapor roridus eft materia iridis, 3 cuius corpuftulis fit reflexio luminis ad ui
iiim per undecimam fectldi huius, omnia corpora defa in parte luminofo corpori aduer
/ani umbram proi)ciunt,patetquod radrj reflexi i remotiorum corpufculorum fuperfl*
ciebtts, umbrarum anteriorum corpufculorum nigredini fe imrttifcent , & fic permixti
•colore nigro umbrarum perueniunt reflexi ad uifum , Qi fecundum quod plus uel minus
«mbrarum nigredine permifcentur,iecundumhocdiuerfificant acftum lute luminofita*»
«is, in uarios colores, & huius rei lignum eft in coloribus flmilibus iridi, qui obdudo ui<*
-fuipfamanu uel alio umbrofo,de fub manu in feneftrarum pcriferrjs uidentur, Siguum
quocp huius eft magnitudo maris, qua: propter umbrarum multiplicationem accidit in
maribus aquarum limpidarum , in quas lumen fe profundat.cum ex turbulentis aquis
marium, quos lux non penetrat ut umbras efficiat, ipfis maribus non nfgredo fed uiridi*
•tas accedit, & obdudis palpebris uifui refpedu luminis ex umbris pilorum ipfarum pal
pebrarum colores iridis uidetunSingula quocp particularia in quibus colores iridis ap
parent, ad hanc umbrarum caufam , ut ad quoddam imiuocum reducuntur,ut patet in
collis anatum Qi pauonum,qu* fecundum diuerfam difpofitionemdiuerfimodecoloran
tur , crifpitudo enim fuarum pennarum alfas hinc 8i inde proijcit umbras,qua; permi=
■xte lumini diucrfos hinc Qi inde procreant colores.ut patet intuenti, nec enim alias pra:*
mifTorum caufas noftro potuimus indagare ingemo, exiftentibus enim tantum 1 2. uift*
bilibus, nullum aliorum uifibtliumprxterumbram,& lumen horum colorum apparent
timn uifui uidetur ede caufa , unde Qi hunc colorum iridis sftimauimus proximam effe
■caufam, nullum tamen uidimus quem intelledus fuus in hoc modicum intelligibile dire
•xeriti Sed huius rei facjtl/s omnes altj difficiles uifi funt dare caufas. Nos tamen hac cau*
fa ut uniuoca Qi conucrtibili erimus contenti, alia qua; prxmifimus ponentes , ut quxd5
adminiculatia huic caufx. Iftis itacp preemifsis caulis uel omnibus, uel plurtbus/uel aliqd
fenfibiliterconcurrentibusinterfedionepyramidum reflexionis bafium acqucdtftantiu
•tunc deficit iudiciu uiius,&; lume magis mixtu uaporis nigredini minusfcgrefradn.fub
maiori quocp angulo reflexu Qi fub angulo maiori uifum, Qi in minori diftatiaafeipfo
pofitu,&: in materia grofsiori radiatu, Qi umbris pluribus gmtxtu uifus iudicat magis ab
albo recedere cp punicetr^iideturcp illud lumen reflexu (ibi iride feu prafsium,& fecunda
colorem prafsium plurima pyramidu fa&a reflexioe cndtdhefenfibilitcr i prius entibus
conditionibus uariantur, uidetur lumen plus nigro accedere, Qi fit uifui color Alurgus
fiue lafurus, qui uaporis magnitudine umbrisqj pluribus magis permixtus eft cp praf»
fius,8<: demum cum fecudum hunc colorem alurgum plurimum pyramidum uilis circu
ferentis bafiu fenfibiliterincipiunt prcedidla; conditiones uariari, Qi cQlume amplius ad
uifum fit difpofitu no reflecftitur,fu nigru, quod amplius permixtu lumen non uideturc

:.u Signum

PERSPECTIVAE VlTELLIONIS

Signum itero prccdidahi eft, quia cu aliquis poftcp folcm uel aliqcP corpus flilgidu afpc
Xerit, claudit oculos fubito & fortiter, primo quiden obdudo oculo pelle, quod prius ui*
dic fulgidu.iiidebic puniceu.dcinde prafsiu,dcinde purpurcu.poft in nigru colore forma
lucis decidens cxterminarur,8<: fic fado motu in uifu dc albo ipfo paulatim exterminato
femper in proquius nigro fit refolutio.Patct itacp ex pra.iinifsis,qm iris fit tricolor, quo-
rum coloni fuprcmuseft puniccus,& color uiridis fub pimiCco cotinctur,qm color circu
ferentiavu bilium uiridiu fub colore bafiu circumferentiam puniccau fertur ad uiium.Sc
fimfliter color alurgus fub uiridi continetur eade ratione,&: fic uidetur unus arCUs colo*
ira tus fub alio arcu cotinuo colorato.Golor uero xantus qui inter colore uiridem & colo
rem puniccffi uidetur, in iridenocftcolordiftindusabali)s,fcd ex comixtione uiridis
rubei uifibus occurrit.Punicetis Cnim color iuxta prafsinu uifus albus uidetur, eja Si pur
purcus color iuxta nigru albus uidetur, uindeem per mixtu eft: albo, Si ob hoc color xan
ticus,quia propinquior efl nigro ijj puniccus, inter puniceu Si uiride uidetur , unde ctia
fada iridcin nube nigerrima,color fuperior no cft puniccus, fcd xanticus uidetur, pro*
pter multa nigredinis uaporiscu lumine pmixtionej&rcfoluta nube qd prius uidcbanir
puniceu, demu albil uidctUr, prafsiu quoqj uidetur tendere ad xantil colore,&: alurgu ad
uiride,Si iam uiditquidauir cxperictiae iride totam albis, ijd accidit propter materiae ta*
rirate,& luminis claritate, & uifus optima difpofitionc in fe , Si in diftantia ,pportionata
ad re uifam,uel forte .ppter uaporis plurimi) grofsicie Si denlitate, in quo non potuit lu*
men penetrare in profundu fcd fiebat a fupficic uaporis reflexio, Si , ppter hoc lume non
rccepat colore i colore coi pis fibi comixto,nCc mifccbatur nigredini umbraiv,unde rcflc
xio facies iride in forma luminis reflectebatur fi ne admixtide nigredinis Si umbraifr.Si
gnu ucrcftJ iucrfie apparitionis coloru eft ijd uidet in texturis purpurarii, in qbtis colores
Iuxta alios poflti plurima facifit differentia Si mixtione in uliu,n6 em idc uidetur purpu
red iuXta politu albo Si higro,aut alicui alteri colori, & ex hoc ,pptcr claritate aliquakm
que color accipit i uicino libi colore aliqua fantafia coloru in uifibus oriutur . Sicut ctia
accidit operatibus ad lucerna :decip'i in coloribus ppter admixtionem impuri lumini.q,8C
afcdcfiteos peccare^ alnis colores prftatjs accipere, coloru alietate ex immixtioe ipliti*
luminisgenerata,& fic rlo inconucnietOr dici poftit,c)d medrj colores irfdis,a medijs py*
ramidibusfecundudidnseircuftatitias Si diucrfarfi umbrarOpermixtioncm cu lumine
generetur, Numerii aut coloru iridis fccQdit antias in ternario dccreuimtis.extcndu t ciri
in tantum colorum nomina, aut color medius illilis extrem colorisnon habear cum quo
niger participa t in natura, 5c fic iride tantO triColore effc neceflario coprobatur,nec pof
funt pidores tales colores plenarie fimulare, Dc coloribus cj apparet in iride generata
cx uapore Squeo fparfo ore ueHubtili artificio manu uel rcmo,tota caufa dida cft cu cra
lume ad talia corpufcula incidit, & abeisreflediturad uifum in radio pofitir, uel infene*
ftra per cjj incidit radius ucrfo occipite direde ad cetrQ folis,tuc lume ppinquius reflexu
tanti eft luminis,qd’ remotius reflexu lume ppter admixtione utnbrar ii fupcrioru corpu
fculoru ppinqnioru uifibus Si corpori luminofo magis&magis obtenebratur fccitdum
modos prius didos,uidebirurcjj fic coftituto uifu iris cx CaufiS prius didis rotudata.talt*
ter aut uifu difpofito ad radiu uidebutur ppterinordinata reflexione ad uifum colo res i*
tidis mordinati,qm fila reflexio cfi no fiat fecundu angulos ecquales ad figuram iridis ro
tundam no ptingit,& fecundu qd1 Ium? Cbi ptlfcula rorida cotingit,fic fecundu aliquam
reflexione perceptam Ium? colores uarids uifui inducitjfed quanto remotiores funt radq
i principio fub aggregatiots in fencftra , tanto colores magis cfticiut opacos ppter plu*
rimam umbram immixtioncrn ipfi' lumini reflexo. Inuenimus Si nos diebus aftiuis cir*
ca horam ucfpertin:-i,uel modicu ante circa, Vitcrbiu iil quodam pra-cipitio apud balne-
um,quod|dicitur Scopuli, aquam uehementer priccipitari.dcfccndcntcsq? Jad uidendum
quid in ipfo poffet accidere foli fibi dppofito,uidimus fridem perpetuam folc circa afpe*
dum illi debitum exiftente , Si multds ex proprietatibus iridis notauimus.undc quia ea
qua priUs feripta de iride fuerant, nobis non per omnia fufficerc uidebantur, excepto co
quod inuolute fcripferat Ariftotclis.i/lud nobis principium cogitationis fuit, ut pucfenrf
negocio ftudium applicarcmiispatccitacjj propofitum-

Corona

LIBER. bECrtoVJ»

LXVIIf. '!

Corona fit ex refractione luminis Solis uel Luna; uel nellaf um primfe
magnitudinis a uapore humido circulariter ad uifum.

lmprefsio,qux grxce dicitur haIo,& Arabici Alileti.Latine dicitur corona, fit au*
tem liare imprefsio in uifu ex incorporatione luminis in aliqua confiftetia uaporis . Cani
enim ut patet per svl-.huius.non aggregatis radijs corporis Iuminofi in corpore hon lumi
nofo plus cjj in medio luitien fenfibiltus fieri fit impoisibiIe,patet quod ad generationeiri
haloneceflariumefi: alique uaporem corpori Iuminofo Si uifibus interponi. Cum ergo
aliquis uapor humidus communis interponitur uifibus, & corpori Iuminofo non potem
te illum uaporem cito dillolucre uel diigrcgarc,timc fit ad uifum refradio luminis fecun
dum circulum per 6i,huius,lumcn enim fecundum xquales angulos illi uapori per igne
&i aerem incidens fecundum aquales angulos refrangicur ad uifum per 8. huius, uidetur
itaqj lumen circulare propter aqualem refradionem luminis aggregati ad uifum, quo®
niam propter refradionem luminis,uc patet per 14, huius, aggregantur radi] in profun*
do uaporis- Cum enim linea radiales frangantur ad angulos, tunc lumen uifui qiiafidu*
plica tur,&: pcrucnit uehementius ad uifum, & fi forte uapor ille fit roridus diftindus per
corpufcula.tunc plures fiunt refradiones & augetur Iumen.&i quoniam idem radius in*
cidens fuperficiei uaporis, in corpore uaporis refrangitur ad perpendicularem S pundd
fua incidentia fuperfuperficiem corporis.5 quo iefrangitur produdam,& fecundum ex
tenfionem linea incidentia timbra protenditur per 1 1 .fecundi huius,& quoniam radius
incidens Si refradus non funt linea una, fed angulum continent. Ideo patet quia radius
refradusrefrangitumbram proiedam a corpore cuiincidebat, qua tamen eft modica,
quia ut plurimum corona uidetur in uapore raro Ieuitercondenfato.uenintamen quia
retro uaporis illius confillentiam fit nouarefradio in aere medio inter uaporem & ui*
fum,qui fit i perpendiculari pcr4.liuius, patet quod lumen refradum perueniens ad ccn*
trum uifus non efl: umbrarum nigredine permixtum, fed liberum ab illis, di propter hoc
iemper uidetur album uel forte modico ,8i indiflindo colore aliqualiter rubeo fecunduni
fc totum coloratum, iris uero quia fit per reflexionem radiorum umbras protradas pe*
netrantium.ideo illi radij ftib adu coloris perueniunt ad uifum,fitcj? diftinciio colorum
fecundum modunl diuerfitatis luminis Si umbrarum. Vidctur.itaqj corona ex refradio
ne luminis quandoqj (olaris,fed raro accidit hoc propter fortitudinem Si uehementtam
«Ilius luminiSjUaporcm qua;, efl materia corona: fubito diiToluentis^Sape tamen accidit
hoc ex lumine Iunx qel ftellarum prfmx magnitudinis, quorum lumen illam confiften*
tiam uaponim difloluere non potefl.i minoribus uero ftelliVnon accidithalopropter
fui luminis debilitatem, quod tantum effedum imprimerenonpoteft.In circuitu quocp
luminis candelarum quandoqj accidit uideri coronam in aeregroflb,ut plurimum flan®
tc Euro, & tunc quandocj propter raritatem acris umbram proijcienris partium fuperi
orumfuper infimasaccidic uifibus colorem purpureum i tali refrado uel reflexo lumine
prxfentari, patec itaejj propofitum *

LXIX.

. Iridcm in parte mundi meridionali a leptentrionalibiis uifibus hon efl: pof
fibile uideri*

Quod per 107. primi huius, patet in pyramidibus pure Mathematicis fibiadinui*
ccm inferiptis .idem patet per 6 1. huius, de pyramidibus reflexis iridem caulantibus^qua”
ra-ruram Mathematicorum pyramidum coniequentur,femper enim oportet uc centri!
uifus fit inter centrum corporis Iuminofi Si centrum iridis,ad hoc ut illa imprefsio uidea
rur,quam proprie iridem nominamus , licet a lix imprefsiones colores iridis fimulantes
quandoq; per modos alios uideri ualcanr,ut inferius patebit, Qtiod autem iris meridia*
na & uifibus fcptcncrionalibus uideri non ualcat.fatis patecex aliis, qux diximus in ge*
ncrationc colorum iridis,qui propter reflexionem luminis Si umbrarum lumini admi*
•xtioiie per fc caufantur , poteft etiam occafionaliter id patere per hoc quod materia iri*

ddd diS

PERSPECTIVAE V1TELLI0NIS

dis in approximatione corporis luminofi dc facili rcfoluitur in aqtiatii,ue! fubtiliattir ifl
aerem lucidum, a cuius fuperfidei non poliunt fieri reflexiones, qua ctfi fierent tame ten
derent in partem in qua cft iol, nec ad uiliim perucnircnt,&: etiam quia colores iridis, qui
fiunt propter debilitatem reflexa lucis non polfunt in tali loco caufari , quia circa cor*
pus luminofum cum femper magis fit luminis.radijreflcxi non debilitantur , fed magis
uifibiles efficiuntur. In talibus tamen locis fada radiorum refradiione ad uifum per tia*
poremuel aerem denlitm aliquod lumen aggregatum uideripotcft in uapore uclaere
condenfatO,ut diximus de generatione in prarmifla coronae, qua fit ex refradtione lumi=
nis folis quandoq^ tamen raro, propter liiminis illius fortitudinem . Saepe uero cx lu=
mine luna di ftellarum prima 8i principalis magnitudinis generatur iris, ergo quando
debet generari, oportet quod radi) ad oculum refledahtur,&: quod retro uapofem rori*
dum, qui cft materiairidis.per^.huius, non fit lumen aliud irradians, unde etiam coro*
na grofla apparente ui(iii,fcilicet in grolfa ma teria Si fpifla liitc dcnfa i forti lumine cau
fata eft pmsibile,tn in ipfo aliqui colores iridis appareant uifu polito inter corpus Ulmi*
inofum di uaporcm.tunccnim omnes conditiones di caufa colorum iridis in loco tali co
curret, di materia fubeft, iris ergo fic poterit apparere, fortdaccidit quod materia in qua
plus meridionalis i uapore rorido iris uidetur reflexa, tunc hominibus plus feptentriona
libas ab eodem uapore, ita quod uapor idem eodem tempore utrifqj habitatoribus appa
reat.Si fecundum eundem circulum altitudinis uideatur, corona propter luminis ren a-
(ftionem .& idem erit in quolibet circulo altitudinis praditfo modo quibuslibet uidenti*
bus condituris, Ex quolibet his quadida funtpatCrcpoteft,quia quandocp cx fortibus
folis radijs reflexis a' nube aquofa integra ad locum in quo cft uapor roridus i latere fo=
lis aliquo pofTunt colores iridis generari in plenis circulis iiel circulorum portionibus
in completis,ut quando corporis (olis nubes (olida aquo(a diamctraliter componitur, 8d
in ipfam incidens radius reflectitur, & reflexo radio nubes rorida obfiftit,in qua fit radio
rum refra&io Si reflexio perueniens ad uiliim,tunc enim colores iridis apparent (iue rc*
ftfut cum uapor rctflC opponitur uifui,& tales colores funt in uapore raro aqueo permi
Xto.quandocfl uero apparent circularcsA fiunt quafi irides, oportet aOtem ad hoc ut ta
lis iris uideatur, quod nubes ad quam fit radiorum folis reflexio ad Oppofitum uaporcm,
& uapor roridus ad quem & d quo ad uifum fit luminis reflexio , di uifijs ad quem fit re*
flexio in eadem reda linea conlmanr,& quod fUpcrficics nubis i qua fit reflex/o 8i fuper
ficies uaporisi qua S i ad quam (it reflexio produdis fuper horizontem quafi infupcriorl
licmtfph:ciio concurrant, alifer enim uix fieret fcnfibil is reflexio ad uifum polleriorcm
nube, i qua fit reflexio , fieret autem modica propter naturam reflexionis a corpufculis
pa ruis, de quibus fermo fit in fS4.huius.N0s enim per huius concui fum fupcrficicrum in
lelligimus concurfum linearum contingentium corpuicula uaporis roridi in ipfo puefto
reflexionis.Scd etiam quod nubes aquea reuerberans lumen uicina fit circa folcm , ubi
radi) (olares fortes exiftunt.St’ talem iridem non unam ncc duas tantum, fed 4.fimul ui*
dimus Padua* folc iam ad ucfpcram declinantem, &: non erant irides in diftantia 1 o.gra
duum a foIc.& omnes circulorum completorum di in fupcrficiebus diucrfis,& erant quae
dam quafi fe cxtrinfccuscontingentcs.Eas autem iridcs,qua: fiunt cx radijs corporis lu*
ininofi non ab alta nube reflexis ad uaporcm , fed ab ipfa uapore ad uifum reflexum, no
eft polbbilcfieri.nifiinoppofitione corporis luminofi ad uaporcm uifu ;n medio exiften
te, unde in noftro habitabili nonpotcft uideri iris ad meridiem , quia no interponitur ibi
uifui uapor di corpori Iuminofo,curfus enim ftellarum erraticarum terminantur lecun
dum partemqua exiremitas zodiaci tcrminatur,qui in noftra habitabili feptcntrionalis
fieri non potcft,SC hoc eft quod proponebatur,

LXX,

Ex radijs folaribus Si lunaribus tantum irides generantur.

Quoniam enim tantum horum duorum corporum radij fecundum mundi diametri

eufl

Liber deci^ys*,

ienfibiliter extenduntur, folis utpote.quia eft corpus maximum quantitate omnium h
'minoforum corporum Si puriisimac fubftantia,luna uero,quia ipla terra eft uicinior,u
de eius radrj infui Fenfibilius offenlntur.ab aliorum utro Corporum luminis fetilibili;
cxcuiat uifum parilitas ipforum corporum reipecftu lbIiS,8i magna i nobis diftahri;;
'fpetftu luna. A fole autem iridem fieri Cgnitum eft fenfufex radtjs etiam luna irider
ri eft pofsibile, & IiOC eft fape uiium maxime apud plus feptentrionales, quibus /api
fertur materia, unde uiderunt luna iridem obfertlatores nodurni in Alemania bis in
no anrto,& Forte pluries uiderctur iecuhdum quod feofferunt agens Si materia.apud r» <
ridionales uero rarius uidetur,quia non offert fe totiens materia, & ff agens femper fit d/
fpofftum ad diffufionem Iumirtis,utirt omni plenilunio uel circa illud , unde Ariftoteles
non confiderauit fieri iridem luna in Iodo fua habitationis niff bis in j-okanrmJiunt aute
irideslunapluresfn Crepufeulis luna plena uel gibberofamagnaexiftentepofitacirci
orientem fuper horizonta fic , ne radij folis UideantUr , fiunt etiam in node , femper ta*
men in oppofito Iuna,habet'cp iris luna Formam & materiam quam & iris folis, fimiliter
di colorum diftindiones,qui tame funt albiores Coloribus iridis /olis, cUius Caufa eft, quo
hia m in nube nigra di in node fit iridis luna apparitio, unde duplicato nigrO.fcilicet no*
dis di nubis, album qUodfit ex radijs luna , magis uidetur album, di quia puniceurn eft
debiliter album, ideo puniceurn magis album tunc uidebitUr Comparatione plus nigri,
Si fimiliter de unOquoq} aliorum coloritm.quilibet enim illorum colorum albior uide*
tur.di fic tota iris luna albior UidetUr quim iris iolis, Umbra enim radtjs luna accident
tts noti funt tam nigra ut umbra folis, & huius caufa funt diuerfa,ut didum eft, lumen
enim lun j eft pallidius lumine folis, unde colores ex commixtione fui informati inficiun
tur,nec accedunt ad fummum forma fibi propria, ficut etiam accidit propter pallorem
luminis candela Uariari plurimos Colores Si aliosproalijsaCcipiperfenfum.S/cergo
patet i quorum corporum radijs irides generantur, quoniam ex radtjs folis 8i luna tanf
tum, non autem ex aliarum ftellarum radijs quarumcuncg, quod eft propofitum.

LXXt.

Non plures duabus iridibus fitu colorum differentibus pofsibile eft
uideri »

V erbt gratia , Cum noh fint plures nili tres eoiores iridis,ut patet per huius , nort

eft pofsibile diiterfificari colores iridis in (?tu,nifi fecundum extremorum colorum , fciJi*
cet punicei 8i alUrgi localem tranfpofitionem, quia femper mcdiUs manet in caufalitac
te media inter iftos , & ob hoC patet qUod plures qU5m dua irides ficu colorUm differett=
tes fieri non pOflltnt>quia COlor medius rtort poteft habere Caufam generationis altjs Colo
ribus manentibus in forma propria, quamuis fint tranfpofitiinficu. Quod autem qu$
docp plures irides Ciufdem fitUs in Coloribus
uidentur una fub alia, Ut primo rubeum, deirt
de uiride,8i deinde alurgUm , 8i idem ruben.

Si idem uiride , & demum alitrguni,h0c acci
dit propter dtuerfitatem mat eria,in diuCrfis
fuperficiebitS, quarum una eft ante aliam , Si
quos accidit fub uno angulo uideri , unde ui=
dentur quafi fint habita uel Contigua, quod fi
in angulo fit diuerfitas,Ut quia exiens duifu,
tranfiens per gibbum iridis unius fciliCet infe
rioris,n5 tranfit per gibbum fitperioris , tunC
uidebuntur concurrentes , Si inter alurgUm
fuperioris Si puniceurn inferioris erit ttotabi
1 is differentia , fcilicet alba, quonia ab illa par

te nubis propinquioris uel remotioris ipfi uifui quim uidetur reflexionis ad uifum illum
conucniat » non fit reflexio luminis ad uifum, quod non accideret quando fub eodem ara

ddd x gulo

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

gulo uidentur. Sunt tamen huiufmodi irides femper in diuerfis fuperficiebus , & ab una
pyramide inflexi luminis caufantur,8d ob hoc ipforum eft quafi centrum unum , quod
eft centrum pyramidis irradiationis,^ uidentur aquediftantcs in uifu ipforum perifcrl
x, & poisibile eft licet non fapeeueniat, quod plures tales irides una uidelicet intra alia
uifui offerantur, & iftud poterit probari duobus aquam in radio fpargenribus, uno fcili?
cet fub reliquo, tunc enim iris fub iride poterit uideri , fed idem erit ordo in litu colorum
iridis utriufqj, neuter tamen alterius iridem utdebit,(ed cuicunqjfua in eodem tempore
uifui occurrit. Impofsibile autem eft quod hic flat in eandem fupcrficie,fcilicet quod plus
res irides eiufddmfitus in coloribus appareant, quoniam ab illa fola parte fupcrficici fit
reflexio, ubi fecundum aquales angulos radfj incidunt,8<: non ab altjs partibus eiufdem
fuperficietfuperioribus uel inferioribus periferia pr$dida,cu patet per 6 1 ,huius,coloreS
autem iridis exterioris coloribus iridis interioris femper debiliores apparent , quoniam
fiunt Sradtjs magis diftantibus i perpendiculari & remotioribus i uifu, unde lumen per
cos reflexum debilius utdetur refpedu eius.quodcx interioribus radijs caufatur .

LXXII.

Liiride exteriori quando cp colores interioris iridis contrapofid & debi*
lio res uidentur.

Coloresiridiscontrapofitos dicimus, quando ficut iridis mterioiiscolor eft puniccus
qui eft in exteriori circumferentia ipfius, ficut exterioris iridis color eft puniccus , qui eft
in interiori periferia ipfius iridis.medtusqj utriufq? iridis color eft prafsinus . 1 ntci ioicjj
color interioris iridis eft alurgus.ficut exterior color iridis exterioris. Sic autem difpoii?
tisduabus iridibus, tunc omnes colores exterioris iridis funt debiliores quam interioris
iridis colores. Huius quoq? caufa aliqua cfle poifet
fi illi colores omnes inuna nubis fuperficie uiderc?
tur, quia tunc colores exterioris iridis permagna
diftantiam uifui apparerent, ficut & interiores pc*
riferice iridis interioris. Ad quod inteUtgendupo
namus exempli caufa folem fuper horizonta 20.
gradibus eleuatum, Qi quoniam patuit prius in
6 2. huius, quod centrum bafis pyramidis irradiati
onis & cent rum uifus,& centrum corporis radio?
fi , quod eft fol fuiit femper in eadem linea. Ccn-
trumqj bafis pyramidis irradiationis & pyrami?
dis uifionis eft unum pundum centro fol/s diame
traliter oppoiitum.undc ipfum eft nadir iolts , QC
monetur lcmpcr fecundum motum foIis,motu'q)
fuo fimilem circulum dcfcribiqcirculo motus fol/s
fcilicct ci paralcllo quem fol motu fuo diurno dc=
feribit fuper horizonta . talem enim didiim centrum iridis deferibit , quod eft centrum
bafis pyramidis illuminationis fub horizonte , & ficut cum fol fuerit in pundo horizon
tis orientali , centrum fuit in parte horizontis occidcntali , centrum illud fit in parte ori
entalhdi quoniam lines duds i centro folis ad circumferentiam bafis pyramidis illutni
nationis funtarquales per 89. primi huius, palam quod fupcrficics bafis prsdidac pyramf
dis fic horizonta interfecat ,quod ipfa cum fupcrficic fecantc folem orthogonalitcr infi*
ftente horizonti concurret fub horizonte, ergo facit angulum fuper horizontem obtu?
fiim rcfpcdu uifus,nec mirum quoniam horizon cum tranfeat per unum polorum circii
culi ut per centrum uifus , qui eft polus illius circuliper dj-.prtmihuius, patet quod
per polum alteru illius circuli non tranfit, qualibet ergo pars fuperficici uaporis in qua»
fit iris exterior illa pars qua eft fuper circulum iridis in parte altiori plus i uifu elonga?

LIBER DBCIMVi.

ttir , Qi fi alripfa refledi accidar radios ad uifum , riecefle; efb fuperiores nigrioresuifui
apparere, refpedu eorum radiorum , qui £ partibus eiufdem fuperffciei in fupenoribus
illis ad uifum reflectuntur, ut patet per penulttma & ultimam quarti huius, & fit fuperio
ais iridis inferiorisperiferia , qua: uicinioreft uifui colores pumceos, medis ueropraO
tinos, fuprema uero Alurgos necefle eft trfderi , di uincit quantitas diftantia: in magnis
ruditic excellus elongationis quantitatem angulorum reflexionis , di quantitatem an*
guloruin uilionis , di ob hoc colores iridisfuperioris contrapofiti quandoque u/dentur
coloribus iridis interioris , in qua fuperior periferia femper uidetur punicea , quoniam
•quando ad uifum ab illa parte fuperffciei fit reflexio improportionata reflexionibus d i*
flantia , tunc radqinferiores eiufdem fuperffciei in eadem diftantia ad uifuM-IefledH
non potiunt , eo quod in proximitate debitam diftantiam excedunt, funt enim tali uifui
.proportiunata reflexioni diftantia uicinioresquod ergo uifui de proximo uapore ir=
radiatumapparerepoteft,puniceumapparet propter unitatem di alias caufas in 6j-.hu
ius, prius didas, uifui uero profundato ulterius in uapore fecundum modum diftantia:
fulgor luminis umbrarum nigredine permifeentur , di uariantur colores fecundum pri
•us diefia. Sic ergo in uapore irradiato fit qucedam gibbofitas quoad uifum, Si ob hoc for
te didum eft a quibufdam , nubem foreconcauam , in qua iris generatur., quamuis eai
qua: uidciitur nubis concauitati non oporteat ad feribi, quia uapor quo ad conffftenti=
am fui totius eft integer plenus corpufculfs diftindfs , ficut uidentur athomi totum folis
radium implere, &: eft talis uapor ^ parte pofteriori a folcgrofsior quam i parte ante»
riori folem afpiciente . Quod fi Centrum folis in periferia horizontis politum fuerit , fic
ut ba fis pyramidis illuminationis fit orthogonaliter horizonti infiftens , adhuc radrj ex*
teriores ad uifum reflexum , funt longiores refpedu eorum , qui ab interioribus perife*
rijs refleduntur perdecimamnonam primi. In eodem enim triangulo ad uifum termi»
nato maiori angulo opponuntur. Sicergopatet,quod corpore folis ubicuneg polito
exterioris iridis colores refpedu colorum iridis interioris pofsibe eft contrapofitos appa
rere.Omnes autem colores fecunda: iridis funt debiliores neceflario coloribus prima: i*
ridis , quoniam fiunt a radtjs magnis diftantibus a perpendiculari , di fecundum maiores
angulos ad uifum reflexis, propter quod ifti radtj cum vadijs incidentibus minus aggre=
gantur , unde minus efficiunt luminis di coloris. Nos autem eo quod nunc priemifimuS
utimur pro principio ad propofitum declarandum difponente , 8i fi ipfum non fit circa
caufam,manifeftum eft enim quod illi radrj cu fine extra periferiam proportionatam re
flexioni ad illum uifum, fcilicet ultra puniccamiriteriorisiridis.quoniam nonreflcderi
tur ad uifum cum lumine, nifi propter reflexos radios ab interiori prima iride ad reflexi
onem difponatur,& nifi lumen eorum innatum uifibilitatis per aggregationem luminis
illorum radiorum cum ipfis ad uifum reflexorum producatur, huius fignum eft albe*
do , qua: circula riter apparet in nube inter periferiam fuperiorem iridis inferioris puni»
ccam , di inferiorem iridis fupei ioris puniccain , di quia hsc albedo fit per lumen nu*
bem irradians ad uifum non reflexum, cum enim radiorum ab eadem fuperficie reflexi»
bilium qui ad uifum in aliquo uno loco difpofitu refledi poffunt.Sint hij, qui ab ultimat
periferia inferioris iridis refleduntur , nullus fuperior radiorum reftedetur ad illum ai*
fum,fed nubes alba ex commixtione luminis non reflexi per modum uifionis limplicis il
Ii uifioni occurret, ex periferia uero punicea inferioris iridis,&: fi plurimi radij prater e»
os qui ad illum uifum refleduntur ad partes uicinasuaporis roridi fc diffundant , lumen
tamen ad illum uifum ex eorum incidentia a incino uapore refledi non poteft,quonia
cadunt ilii radij in fuperficiebus uaporis aqua, ficut 5 fuperficie improportionata adhuc
uifui non eft coueniens diftantia reflexioni,hoc enim in principio periferia punicea in»
cipitjiibi fecundum angulos in illa pyramide acutifsimos radij incidunt ipfi nubi,alij ue-
ro radij pofteriores his radijs in punicea periferia inferioris iridis ad maiores radios an
guli incidut quo ad uifum, c3 fini in profundiore fuperficie i uifu ad illam fuperficie ua»

ddd 3 poris

PERSPECTIVAS VITELLIONIS

"jpovis itl qua cft inferior iuperioris iridis periferia punicca reuertlMtUri&ibiaggttgatt
cum radijs illiparti uaporis incidentibus i fole illampaftemfuperfieieiexaggregationC
tnaioris luminis uifibilem faciunt .radijs ad uifum renexis,qUi prius propter luminis de#
bilitatem fctifibiliter nopoterant refledi jfiC quoniam radij abinferiori parte furfum ad
alias partes uaporis roridi rcflexiifiueuaporad quem fit reflexioin eadem Superficie cu
prima iridefiue in alia Superficie fit confiftcnscu radijs ab eadem periferia ad uifum refle
xis in generatione prima iridis, utdeclaratum eftin 64»limus,angulos eonftituunt>fiunt
trianguHsquomm anguli funt in centro uifus.bafesucro fuhtlinea /nteriacentes pUnice
am periforiam inferioris iridis,SC puniceam fuperioris,&! quod ab illis bafibus nullafit-u»
fui fenfibiIisreftexio,tota ipfarum fuperficies uidetur alba, nili reflexo ab ipfa aliquo lu=
mine ad uifum. Simili quotp modo fit reflexo ab alijs coloribus inferioris iridis ad iride
fupremam,& quoniam anguli inCidentite radiorum illas partes iridis caufantium funt
maiores,uf fuprapatuit per « 06, primi Intius, ideo per xo .quinti huius.fiC anguli refrad*
onum funt tnaiores.altiusergoinuaporcmfupcrioremilliradii pertingunt .procrcan-
tesfibifimileSColores, quoniam illi radi) propter admixtionem umbrarum aliorum cors
'pUfciilornm colorem participant,qui ad corpus Oppolitu mixtum cum lumine tranfmls
tatur per i.quinti liuius,& ficut oftenfum eft per yy;qiiinti huiusiquoniam propter refle
xionem dextra apparent fiiiiftra.a: finiftra dextra, fiectiam accidit in ipfa reflexione co
loris ittarum iridum contrapofi tos uiridi,colorcs quocp fecunda: iridis debiliores uiden--
tur qudm prima iridis, fcilicct inferioris,quoniam radi) remoti abaxe pyramidis irradia
tionis nubi incidetcs funt dcbiIcs,8Cuifui propter diftantiam magnam infenfibiles,ut pa=-
tet per penultimam quarti huius, & etiam radij reflexi 5 prima: iridis refradis radijs funt
debiles, ut patet per 3. quinti huius,& per 1 o.huius.Sic ergo neccirariofecunda: iridis co
lores funt debiles nigrijquiVnigredine umbrarum per mifcentlir, nccCflario ergo reipe-
■ diu prima iridis coloribus fecunda: iridis colores debiliores appa rent,ncc fit aliqua ulte
rior reflexio ab illis ad partes fuperiores roridi uaporis propterillomm radiorum debili
tatem,8i forte ob lioc dixit Ariftot jies, quod plurcs duabus iridibusnon poliunt uideii,
quoniam tantum dua funt qua: fitU colorum formaliter diftinguuntur,quamuisplurcs
■quandot^ uideantur.Uc inprxmiffa dedaratur,patet ergo propdfitum,

'ixxn r .

Omnem arcum fenfibilem iridis pcrdrculum fuac altitudinis in duo tcqua
lia diuidi eft ncceflea unde imnifeftum eft quemlibet uidenteni propriam iris
dem uiderc*

Cum enim cx procedentibus patet, quod quando fupcrficics horizontis interfecct fu
perficiem circuli iridis, tunc eorum communis fcdio ex 37,undccimi,cft linea reda, fed
•quia circulus altitudinis iridis iemper tranfitpcr zenith capitis, quoniam utpatccpcr^i
huius, & declaratum eft in prahabitis ccntrti Uifus cft polusiridfsjillius Ucro circuli altis
tudinis Centrum, cft centrum mundi 81 ! liorizontis,crgo iple tranfit pcr polos horizon*
tiSjZenith enim capitis eft polus ipfius horizontis.Iinea uero d polo ad centrum horizoih
tis dedudaeft creda fuper fupcrficiem horizontis ex principio primihuius.ergo per ia
undecimi, circulus ille altitudinis iridis cft credus fuper fupcrficiem horizontis, Sdpfe
tranfit cius cetrum, quoniam cumipfi ambo fint circuli inagna fphaerx mfidi ,'patcrquo
ninmipforum cft idem centrum quod eft centrum mundi. Ille ergo circulus altitudinis Ic
cat horizontem per aqualia BCorthogohalitcr. Similiter autem fiC idem circulus altitu*
dinis cum per centrum utfas trahfeai, fiCper Ccntntm circuli iridis ,Qi per centrum fo*
lis hxc enim funt in eadem linea per 6 2, huius, tranfit ergo per polos circuli iridis,8i: fe*
eundum prxmi fla fccat cutriper aqualia orthogonaliter . Sed fi horizonta SCcirculu
iridis altitudinis per aqualia fccat Sforthogonaliter > ergo illorum fcdionc per aqualia
fecabit di orthogonaliter per dccimamnonam undecimi. Sit ergo illa communis fcdio
linea a b,qux produdri circulum altitudinis diuidat per aqualia in pundo c, ducat urqj
furfum in fuperficic circuli altitudinis in piindo c, linea c d,quaflt communis fcdio fug
ficierum illius circuli di iridis,&: hac linea c d,crit pcrpcadicularisfnpcr lineam a b , pe t

decimanti

LIBER. DEC IM V St

Jkciinamnonam undecimi, co quod circulus altitudinisererftus eft fuper iuperficiem cu
iufcj* duorum illorum circulorum, quorum eft communis fedio linea a b . fitcp commu=
nis fedio periferia circuli altitudinis Si iridis pundusd, angulus ergo d c a eft redus , 8d
fimtlicer angulus d c b.fubtendatur ergo illis angulis linea: a d 6i b d, Si patet ex 4.primi,

6i cx prarm ifsis quod ipfa: funt acquales.ergo g 27, tertij, arcus iridis qui eft a d eft squa*
lis ipfins arcui b d,par.s ergo periferia: iridis qua: eft fuper horizontem , quoniam illa Coa
Ia eft fcnfibilis qute per circulum altitudinis per aqualia eft diuifa, quod eft propofitum.

Vnde manifeftum eft correlarium perpulchrum, fcilicet quemlibet uidetem iridem pro
priam uidere,cx eo enim quod aliquo moto uidente fecundum locum fuper zenith capi»
tis uariatur, patet enim quod diuerfbrum diuerfa funt zenit,8d diuerfi horizontes, nec eft
pofsibile aliquos duos eadem habere horizonta, quoniam femper oculos uidentis eft ce
trum horizontis, fi ergo aliquorum diuerfitas fit fecudum diftantiam latitudinis uniucc
fi tantum, tunc ab eorundem oculos diucrfimoderadij refiexi i corpore nubis fecundum,
diuerfa punda aggregationis concurrent, & remotior ipforum i uapore rorido maio*
rem iridem uidebit.propinquior minorem, (1 itl c:\dem fuperficie appareant irides, qua: fi
appareant in fuperficiebusdiuerfistequcdiftantibusjtunc fecundum a*quales circulusirl.
dis uideri poterit , 6i fequetur iris fugientem di fugiet fequentem, ut diximus in 6j.hu*
ius, eft tamen eis idem circulus altitudinis, fed non eodem modo fe habens , quod It di*
uerfitas aliquorum fit fecundum longitudinem uninerfi tantum, tunc e*
runt diuerfi circuli altitudinis,& quilibet illorum circulorum diuidit per
prarmifta arcum iridis qui eft fuper horizonta, in duo a:qualia,crgo ipfa / n.

diuifa ficut Si ipfa diuidetia funt diuerfa, quilibet ergo propriam iridem / \

uidebit.quod fi latitudo Si longitudo indentium differant, tunc per pra / \

milia patet, quod nullo modo eandem iridem uidebunt, patet ergo quod _____

intendebamus, fignum huius eft,quod fi aliquis ftans in radio (olis a* 1 'v. J

uerfa foli facie aquam ore fpargat uidebit cum ambobus oculis ante fio ^ -V

tem fuam colores iridis ,8d arcum aqua liter ab utroqj oculo diftantem, \ /B)

quod fi aquam fecundo fparferic , Si oculum dextrum dauferit uel ma=/
nu cooperiat, uidebit arcum aqualiter diftantem a centro finiftri oculi, I
arcum quocp iridis dextrum oculum fecantcm, Si econuerfo erit, fi ocu\ 1

lum finiftrumclauferit,cuc enim iterum uidebit arcum aquediftantem V / J

i centro dextri oculi.finiftrumcp oculum fecantem, ex quo manifeftepa n. / /

tere poteft, quod color iridis eft pafsiouifus.ft: quod mutatur iris fecun* ^

dum uidentium mutationcm,& quod materia fiia eft uapor roridus, Si quod diftind/o
colorum no eft ex qualitate materia:, fed cx reflexione luminis ad uifum cui color eflen
tialiter aducnitex commixtione nigredinis umbrarum ,

LXXIIII,

In aliquo puncto horizontis exiftente centro corporis luminofi , ncceftc
eft tantum fcmicirculum ab co caufatx iridis uideri,

Quoniameniin non eft pofsibile folis uel Iunx, quorum fblummodo corporum ut in
rfS.huius diximus, radii iridem faciunt.centrainhorizonte exiftere,nifi in oriente uel oc
cidente in noftra terra, fcilicet Polonia, habitabili, qua eft circa latitudinem yo. gradu-
um,8i quamuis in regionibus maxima: latitudinis,(ole exiftente in capite capriCorni, ut
in liis qua: funt 66.graduum& 9 .minutorum fol in meridia no exiftens circulo uideatiit
in periferia horizoncis,&! in alijs regiontbusdiuerfificata latitudineregionis Si declina*
tionc folts indiuerfis circulis altitudinis quandoqj fol uideatur in horizonte. Ponamus
itaqj folcm in oriente cuius centrum fit a, fiateg iris in parte fibi oppofita uifui inter
medio exiftente, & erit illa iris ad occidetcm per 67,huiu$,&! fit centrum iridis puncftu
b,ducatur'cp diameter circuli iridis trans fuperficiem horizotis per centrum b,quod cen*
trum tunc ncccflario erit in fuperficie horizontis, qm per 6 i.huius.oftenfum eft, quod
centrum folis & centrum uifus,&: centrum iridis neceflc eft in eademlinea effe.Eiufdem

Utro

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

aiero lineae partem in eadem fuperScie, partem in fublimi efle efl: impoffibile per primis
Undecimi . In fuperficie uero horizontis efl: ex hypothefi centrum folis Si centrum uifus
& centrum horizontis, ergo di linea copulans illa centra erit in iuperficie horizontis, Si
fit diameter illa iridis qua- c-d,& coniungantur linea: a b,a c,a d,fient'cg duo trianguli a c
b Si a d b,& quoniam in his triangulis latus a c efl: aequale lateri a d,per 8 9 .primi huius,
quoniam funt lineae longitudinis unius & eiufdem pyramidis, &: latlls c b aquale efl: la*
teri d b, quia funt (cmidiametri circuli iridis, latus uero a b, commune efl: ambobus illis
triangulis, patet ergo per odaua primi, & angulus c b a efl: aequalis angulo d b a, utercjj
itacp efl: redus, patet per derimamodauam undecimi ,erit'(uperficies horizontis erecla
fuper fuperfidem 'circuli iridis, traniit autem per centrum iridis, palam ergo quoniam
circulus horizontis diuidit circulum iridis per aequalia, communis enim iedio illorucir
culorum non poteft efle nili diameter circuli iridis qua: femper fuum circulum diuidit j>
aqualia,per diametri diffinitionem. Quod aiuede circulo iridis eft fuper horizonta hoc
didetur. Sic ergo polito centro folis uel luna: in pundo horizontis, (emicirculus iridis ui*
detur, nifl forte tanto minus quantum efl: differentia:, propter hoc, quod centrum uifus
noneft uerum centrum uniuerfi. In hoc autem non efl: fenfibilis diffcrentia,&: fi fit, non
efl: in generatione iridis,fcd in uifione ipfius,& hoc efl: quod hic proponitur demonftvan
dum'. Poteft Si idem aliter demonfl.rari.Sit ergo fecundum difpofitioncm priorem cen*
trum folis in aliquo pundo horizontis quod fit pundum h}&! Iit k centrum uifus, quoti
efl: centrum horizontis, & (it horizontis diameter linea h g, erigatur ergo (emicirculus
unius altitudinis fuper horizontem orthogonaliter ex centro k , qua: fit h m g,hunc quo
que (emicirCuIum altitudinis arcus iridis generata: in oppofita folis inter politione ccn*
tro uifus, fecet in pundo m. Si producatur linea k m,& quonia linea- h k,km,& k g,om
nes funt ex centro circuli altitudinis,omncs ergo funt aquales, & omnes nota-, quoniam
mudi femidiameter cft nota, ut li ipfa fupponatur efle 60. parttu, producatur itaq? linea
h m,& (i notus efl: angulus h k m, tunc linea h m erit nota.Sciri autem poteft angulus h k
m.pcr hoc ut fciatur arcus m g,qui efl: arcus altitudinis,qui fciri poteft per inftrumcntG
ut per armilla uel per aftrolabium.ucl quadrantem, quo Icito fcitur angulus m k m,qua
fi auferatur dc duobus redis, fcitur angulus hkm,8i fic Icitur linea h m,rcfpcdu icmidia
metri km,operarioneilla qua utimur in (cientia aftrorum, linea uero h m,cil fit linea lon

girudinis pyramidis iHuminationis,cx per 8 p.primi huius, omnes linea longitudinis uni
us pyramidis fint aquales, erunt tunc omnes linea: longitudinis illius pyramidis nota:,
circumducatur itaqj circulus iridis fuper fupcrficiem horizont/scamintcriecans , qua:
ut patet ex prxmifsis tranfeat pundum m , circuli altitudinis , fit quoq; ut ipfe circulus
iridis fecet horizonte in pundo n, duos ftaqj circulos contingent linea- k m Si h m in p«<*

___ do m, in circulo altitudinis datum cft , Si linea: h m &

k m funt nota: , erit proportio linea: h m ad lineam k
^ .jQ y/ j \ 111 nota , 8i quoniam qua: eft proportio alicuius lincte

y !/' 'V \ prima ad aliquam fecundam, eadem cft cuiuslibet ter
y jS/ /\ \ tia: ad aliquam quartam , tunc per tertiam primi hu*

/ j / \ \ \ ius,efto ut fit proportio linea: reda- abad redam bc,

// j/ i \ \ ficut linea hm, ad lineam km,& quoniam linea h ni.

i/ • \ lcft maior qtrim linea km, per decimamnonam pri*

v -.1— . 'mi.eo quod maiori angulo opponitur in triangulo li

X: 0 mk, patet ergo quod linea a b cft maior quim linea

b c, producatur ergo linea b c ad pundum d , in tanti!
ut fit proportio lincte b d ad lineam a b, ficut lineata b

•k. Pe: r-| ad lineam b c,8i quia qua cft proportio linea h m ad

’ lineam k m , eadem cft linea a b, a d,b c,crit ergo per

undecima quinti,proportio linea Ii m ad lineam m k,
ficut linea b d ad lineam a b, Si quia proportio linea h m,ad lineam k ni, uel ad lineam h
k, aquales per feptimS quinti , cx pramifsis cft nota, proportio ergo linea a b ad linea m

^ bc,cric

LIBER DECIMVS* a?}

b c,erit nota, ergo ipfarum utraq? eft nota fecundum aliquam quant/tatcm liippofitam
in altera ipfarum , fed di proportio linea: b d ad lineam a b eft nota,ergo di linea a b cft
nota,linea b d eft nota.fed linea b c fuit nota, ergo relinquitur ut linea cd fit nota, ied lis
nea h k eft nota, quia cum ipfa fit diameter horizontis,erittpfa partium <So,ergo propor
tio lineae c d ad h k erit nota, qux eft ergo proportio linex c d ad lineam h k, eadem erit li
nex b c,notx ad aliquam aliam per tertiam primi huius, quia nota eft proportio a b ad
b c,ficutbd ad ab,& ab eft maior quimb c,ut patet ex prxmifsis, erit ergo bd maior
qj a b.relinqueturcp c d maior $ b c,hoc autem patet in numeris taliter difpofitis quibuf
cunc^ .Linea ergo proportionalis linex h keffc linea c d, illa erit minor quim linea h k,
uel quam linea kg, abfeindatur ergo per tertiam primi , aqualis illi linex k g,& fidis
nea k p. Hritqj linea k p, fecundum prxmifla nota, copuletur itaqj i pundo p, ad pun*
dum m, linea in fuperficie circuli altitudinis qua: fit p m , eritep neceffario.ut qux eft pro
portio linex c d ad h k,uel linex b c ad k p.eadem fit proportio linex a b ad lineam p m,
quod fi dicatur hoc non eft pofsibile , qux eft ergo proportio linex c d ad h k,uel b c ad
k p, eadem eritlinex a b ad aliquam aliam lineam maiorem uel minorem linea p m, per
tertiam primi huius. Sit ergo nunc illa proportio linex a badquandam minorem line
am m p,qux fitp r,qux eft ergo proportio linex c d ad lineam h k,uel b c ad lineam k p
eadem eft linex a b ad lineam p r,qux aut eft proportio linex c d ad lineam h k , eadem
tft linex Kc ad lineam k p, ergo per decimamfextam quinti,quxeft proportio linex b c
ad a b.eade eft linex k pad pa,& fic linex c d,b c, a b, proportionales erut lineis h k,k p»
p r,fed qux eft proportio linex a b ad b c, eadem eft linex b d ad a b.ergo 8i in ipfaru pro
portionibus fic eritj^d ficuefe habet linea r p ad p k,fic coniundim fe habebit tota p h ad
lineam p r, ducatur ergo linex b r di k r,fientqj duo trianguli.qux h r p di k r p, qua ru co
munis eft angulus r p h,& latera diduangulucotinentiarcfpedudiuerforu trigonorum
funt proportionalia, qux enim eft proportio linex p r,laten's maioris trianguli ad linea
p k, latus minoris trianguli,eade proportio linex h p, lateris maioris trigoni ad linea p r,
latus trigoni p r k minoris,ergo p 6. Texti , illi triangulifunt xquianguli,ergo g4.fexti,
latera ipioruxquos angulos refpicietia funt .pportionalia.Eft ergo proportio linex h p
ad linea p r,8d linex p r ad linea p k,ficut linex h r ad linea k r,fecfidu q^portione habet
linea h p ad linea p r ,hac habet linea b d ad linea a b,Si q habet linea b d ad a b, hanc ha
bet linea a b ad b c,8i c$ a b ad b c,hanc habet linea h m ad k m ex hypothefi,per 1 1 .ergo
quinti patet, cp q proportione habet linea h r ad linea k r, hac habet linea h m ad linea k
in,hoc aut eft tmpofsibile & cotra y 6. primi huius, ^nia in femicirculo§cunqj duabus li*
neis dudis ad ^deunqj pundu peri ferix.f. una termino diametri, & alia i cetro,uc funt
in propofito linex lnn&k m>duas alias lineas ab eifde pundis ad aliu pundS c/rcumfe
rentix c^dcuncp duabus priori bus ^portionales ducere eft impofsibile.Eft ergo impofsi
bile linea a b ad alia minore lineam cjj linea p m.eande habere ,ppomone c{j linea b d ad
lineam h p.uel cp linea c d ad h k.uel cp linea b c ad k p.fed neqj poteft linea a b, habere il
lu m ,pportione ad aliqua linea maiore linea p m,^nia cade eft ratio,& eode modo dedit
cit ad impofsibile,ergo q eft^pportio c d ad lineam h k,uel linex b c ad k p,eade erit lineg
ia b ad p m ,8i feqtur repetita priori demoftrattoe,q ducebat ad impofsibile.f.qeft ,ppor
lio linex h p ad p m,8i linex m p ad p k,eade fit linex h m ad k m, dudis ira 9 pluribus
femicirculis al titudinis circa centrft k,fub horiz5te„pportionales linex pdidis lineis h m
&km, ducant fecundumodu tfy.primihuius.Siergo lineam p, fic gpendiculariterinfi*
ftens diametro hg,tucpofito cetro p,fecundu lemidiametru p m , deferibat circulus, fyJ
li linea p m,no fit ppendicularis fug diametru hg,polo itaqj exiftete pudo p,g . primi
huius j^niam ille pundus diftabit xqualirer ab omnibus in illis femicirculis lignatis pun
dis fimilibus pundo m , ducatur circulus fecudum diftantia linex p m,qui attinget om<
nia dida puda femicirculoru altitudinis in qux cadut prxdidx proportionales linex ili
uc anguli refiexionu irtdem caufantes. Si em dicatur qd no attingat, accidet lecundu p*
millam cotrariu 6$ .primi huius, quod eft impofsibile.poteft etia fic fieri, ut femicirculus
h m g, fit medie tashorizontis,&: fadadiuiflonein pudom,intelligatur circuduci idem
cmicirculus, nihil enim refert femicirculos diuerfos deferibere uel unum circumducere,

€€€ pudusqj

PERSPECTIVAE VITELLIONIS

pundusfcg ffl,ciVct!mdudus dcfcribet circulum iridis, qui eft n m .circa centru uel polus®
p, fecundum diftanriam lineae p ni.Eruntcg anguli i termino diametri .fcilicet pundo hs
& i cecro k, dudarum ad circulum n m, omnes aequales in qualibet fuperficie reflexio*
his, quia triangulush m k,ln tota circumdudione limiles libi triangulos caufatin quali*
bet fuperficie rcflexionis,8^ fimiliter triangulus h m p,motu fuo deicribet limiles tviangts
los,& triangulus li m p fimiliter limiles triangulos defcriber.Si itacp linea m p,n5 fit per
pendicularis luper diametrum h g, ducatur ergo perpendicularis £ pundo m,per duode
cimam primi Euclidis.fuper diametrum hg,cadet'cp illa perpendicularis per t?. primi
huius, inter punda k di p,uel inter punda p &i g, quoniam linea m p,cum diametro h g,
ex aliqua fui parteangulum acutum continet, ut patet ex pramifsis, & fimiliter linea
m k,quia iris non apparet ultra medium diametri horizontis ,ut prius patuit,cadit ergo
illa perpendicularisinpundumo. Similiter'^ ad idem pundum diametri nccelTario ca
dent ab omnibus aliorum icmicirculorum angulis linea: pcipendicularis, uel angulus k
o m,motu fuo in omnibus fiiperficicbus reflexionum atqualesangulos caufabit , pundiS
ergo o,cft centrum circuli reflexionis fadx ad uifum,cum ergo centrum iridis fit in ho*
rizontisdiametro,medietasciuserit fuper horizoteni, quae cit n m,& medietas fubho*
r izonte quam tunc communis ledio fupcrficicrum horizontis di iridis, eft diameter iri*
dis.Ideiricp accideret fi linea m p eflet perpendicularis fuper diametru , di hiccftmodus
quo Ariftoteles propofitum condufit.Sed tamen non clt nobis uifa fore nccclfaria noti»
cia linearum, quia fine illa idem di eodem modo declarari poteft,

LXXV.

In aliquo circulo altitudinis fuper horizotltcm cxiltcnte centro corporis
luminofi fecundum cius eleuationem , centrum circuli iridisfub horizonte
deprimitur, &portio iridis minor Icmicirculo uidetur,

Efto fecundum difpofitionem proxima, fcilicet ut fit horizon clrculits h m g, cuius
diameter fit linea m h,& centrum k,(it'q? circulus altitudinis tranfiens per zenith capitis
di per centrum corporis luminofi, quieft lmnh.fit fit centrum folis cleuatum fuper ho*
rizontem in circulo altitudinis in pundo n,8i quoniam per (Sz.huius, centrum corporis
luminofi , di cftruni oculi, & centrum bafis pyramidis irradiationis femper funt in eade
Sinea.cum centrum uifus fit centrum circuli altitudinis,!! ducatur linea d centro lumino*
fi corporis per centrum uifus,illa necelfarioerit diameter circuli altitudinis,critergoil*
ia linea £ pundo n,produda per centrum k, nccelTario cadens in aliquo pundum circii
ii altitudinis,qui fit 1,& erit femicirculus altitudinis cleuatusfuper circulum horizontis,
qui eft h nm aqualis lemicirculo n m 1 ,di quoniam funt medietates eiufdcm circuli,abla
to ergo communi arcu, qui eft nm, erit arcus, qui eft h n, aqualis arcui m J,fed piidum 1
eft locus centri circuli irradiationis, di pundum n,cft locuscentri folis, patet ergo quod
quantum centrum folis cleuatur fuper horizonta, tantum centrum circulibafis pyrami*
dis irradiationis deprimetur fuper horizonta, Si hoc eft prinium propofitum . Cum au*
tem erit centrorum utrtmcp in circulo horizotis, medietas circuli iridis uidetur, ut in prj
cedenti theoremate eft oftenfum, ergo cum centrum folis eleuatur>& centrum circuli de
primctur,minusfemicirculouidebicur,&hoc eft quod fecundo proponebatur, Quod au
tem nunc diximus exponentes propofitum, folc exiftente in oriente, idem eft, fi fit in hori
zontis parte occidcntaIi,uel in quacunq? parte fit horizontis,ut eft his quorum latitudo
eft 66.graduum,& p minutorum, his enim eft fol in meridie in pundo tropici hycmali»
in borizote,8dic fecundu regiones diucrfas uniuerfale femper clt propofitu theorema.

LXXVI.

Iridis nunquam uideri polle completum circulum manifeftum eft.
Quonia enim fi fol eft in horizote, femicirculus tatfi uidetur, ut patet ex 7 *• huius , dl
fi fit fuper horizonta in aliquo circulo altitudinis,patctg pr»miflani,qcf quantu centrum
folis uel lunae eleuatur fuper horizonta,tantu centrum iridis deprimitur fub horizonte,
unde tuc fuper horizonte femper pars iridis minor fcmicirculo indet, ficut patet in altjs

paralcl*

LIBER DECIMVS.

paralellis in fpfma,per quorum centru non tranfit horizon» Hi enim in portiones in*
aquales fub horizonte & fuper horizotem fecantur.patet ergo cum corpus luminofum
in tempore uifionis iridis fit, aut in horizote,aut fuper horizonta, quod nunquam com
pictus circulus iridis poterit uideri, nifi forte fiat ex reuerberatione luminis folis i nube
forti ad terram, uel ad aliam nubem.ubi fit uapor roridus in medio,8i uifus inter uapo*
rem Si nubem i qua fit reuerberatio,uel in eadem linea, fic quod ad ipfum pofstt fieri re
flexio, tunc enim impofsibile eft integras irides uideri, fed de talibus fermo propofitu*
non intendtqdiximus enim de talibus iridibus in.<S7»huius,patet ergo propofitum.

LXXVlI,

Data: iridis femidiametrum inuenire.

Ad quantum enim fummorum uaporum cofiftentia eleuari pofsit.iam oftetidimuS
in 5 8. huius, (ed non fecundum totam eleuationem illorum, poisibile eft iridem eleuari,
quoniam materia iridis eft uapor roridusper 6 4. huius , qui non adeo eleuatur ut uapor
ficcus. Si ergo datf iridis femidiametrum uolumus inuenire, data iris fit femicircularis,
faciliter habetur propofitum; Accipiatur enim altitudo fua per inftrumentum , drculfcg
altitudinis fua: portio, fiuc arcus interiaces horizonta & gibbum iridis duplicetur,^ cu
arcu duplicato intrentur tabula* chordarum & arcuum prima didione Almagefti pofita
rum,8C extrahatur chorda arte confueta,eritcp chorda inuenta diameter totius iridis, SC
ea diuifa per aqualia medietas ipfius erit femidiameter iridis, &ita fummus circuli altitti
dinis erit femidiameter iridis, quae fub hoc fitu in tali altitudine uidetur. Si dicatur quod
illa femidiameter non eft iridis fecundum cuiufdam alterius circuli arquediftantis iridi,
fed maioris iride, hoc non obftat, quod illi duo circuli in eundem angulum (olidum ca*
dunt apud centrum mundi, quod tunc eft centra uifus, unde quod de uno dicitur de rei»
quo poteft intclligi ,quo ad quafitate,&! quia per taliu diametrotu ^portiones habetur
completa proportio iridis ad iridem,ideotalemdiametrum , iridis diametrum appella*
mus. Si uero iris fit proportio minor femicirculo,accipiatur ipfius altitudo, di quia ut pa
tet per 73 ,huius,tunc fol eft fuper horizonta in eodem circulo , accipiatur altitudo filis,
quia ergo, ut in illa declaratum eft, diftantia cetri iridis fub horizohteeft aequalis eleua*
tioni folis luper horizontcmjconiungantur ifti duo arcus altitudinis, iridis)fdlicet>&! fo*
Iis, periienietfcp arcus interiacens pundum circuli altitudinis in quo incidit diameter du=
da i centro corporis folis per centrum uifus 8i per cehtrumiridis ad ipfum circulum a!
titudinis,SC hoc eft nadair foIis,& pundum fuperiorem circuli altitudinis iridis, duplice
tur ergo ille arcus, Qt extrahatur chorda ut prius, diuidaturfcg per aqualia, & habetur in>*
lentum, patet ergo propofitum »

Lxxvnf.

Iridis femicirculus uifus eft medietas circuli minoris, portio uero mino*
femidrculo uifa eftportio circulimaioris ♦

Huius propofitee rei caufa patet fecundum praemilfa huius libri, quoniam enim ut pa^
tet per 6 3 .huius, patet centrum folis & uifus QC iridis femper in eadem linea confiftunt,
qua: eft axis pyramidis illuminationis uaporisroridi,propter quod patet in omni refle*
xione cx qua apparet iris, femper centrum uifus eft polus circuli iridis, palSm ergo quod
nullam facit diuerfitatem iii uifu eredio uel obliquatio fuperficie iridis fuper fuperficie
horizotis,quonia femper linea pertranfiens centru folis fli uifus eft ereda fuper fuperff
cie iridis,8<: fic periferia iridis femg fe habet uniformiter ad uiliim quatum eft de fe,ut pa
tet per 6 j\ primi huius, Quod tamehic ptoponitur.caufam habet no ex reflexioe,fed ex
refradione, quia ut in 8. huius, declarauimus , diuerfitasanguloru refradionis caufatur
cx diuerfitate diametris Corporum diafonorum eiufdem fpeciei, maior enim fit vefradio '
ad pundum perpendicularem ifiaqua grofsiori.quam in aqua fubtiliori, quia itacp fole
exiftente in peritena horizohtis,acreftgrofsior feipfo.poftmodum per luminis folaris
praefentiam fubtiliato, palam quod in grofsiori illo aere minor fit refradio a perpendi* .
culari.radijitaq? tunc refradi magis approximant perpendiculari quim poftmodun*
aere fubtiliato, ad propinquiorem ergo locum fuperficiei iridis fit aggregatjo radiorum

eec % mdden

PERSPECTIVAE VTTELLIONIS

incidentium fuperficiebus uifuu ibi cxiftcntm,cjj fiat in acre rariori exiftente , fubt/Iiato
ucro aere fit ad eofde uifus i partibus remotioribus ipfius uaporis reflexio, non enim fit
$ partibus propinquioribus.quoniam ab iliis nccp prius ficbat.Sed necp fit illa reflexio
2 partibus uaporis, i quibus fiebat prius, qrh medio immutato cft ipfa refracftio immuta
ta,p 8. huius, fit ergo neccflario reflexio i partibus uaporis remotioribus cp prius, Radij
ergo reflexi funt longiores his qui prius refleiftebantur, pyramidis ergo illuminationis
cft maior, ergo &i balis eius, qua: , ut patet ex prtehabitis, cft periferia iridis, erit maior.
Exiftente uero fole in periferia horizontis,tunc tantum caufata: iridis femicirculusui*
detur , ut patet per 71. huius, eleuato ucro fole fuper horizonta , tunc portio iridis mi*
nor femicirculo uidetur.ut patet per 7 3 .huius.manifcftum cft ergo propofitum, Eft au
rem quorundam expcricntia,quod altitudo iridis, SC altitudo folis coniumftefcmpcr fa=
ciunt gradus ^.quodper pra-fens theorema impofsibileefle offenditur. Si enim femidi
a meter circuli iridis fit.quandoqj minor quandocp maior, fecundum mediorum dia fo*
norum 5i fuarum reflexionum diucrfiutem.ut praroftenfum eft, tunc non pottrit ratio#
nabiliter uideri alicui,quod omnes aliorum circulorum diucrfarum iridum iemidiame*
tri funt aquales .pollet tamcnclTc modica differentia ,qua forte per inftrumcntum mos
dicunt improportionale circulo altitudinis non poisit aliqualiter perpendi, & etiam eo*
rum experientia eft in proportionibus iridumminoribus femicirculo.quod patet per al
titudinem folis, quod tales ucrfo inftrumcnto,ud mutato uifu fixo inftrumento accipi-
unt.qua nulla cft fole exifteme in periferia horizontis, & forte t alium portionum ucl fu
arum diametrorum non cft fenfibilis differentia, quia etiam Ariftotcles de illa nihil feri#
p fit, cum tamedeprafenti theoremate magnam fecerit morionem, quantuis nec ipfencc
alius, cuius feripta uiderimus.fuper hoc attulit declarationem. Dc differentia ucro clima
tum nullus excufationem afferat.quia quod in uno climate accidit,in omnibus clima a*
bus eucnirc neceffe eft in iridis genet ationc,fempcr enim centrum folis,uifus , SC circi M
iridis in eadem linea confidunt, & arcus altitudinis fub horizonte centri circuli iridis fo#
lis altitudini in omnibus climatibus cft ?qualis,ncc in hoc altqs differentiam perpendet.

LXXIX,

In quibufdam regionibus fole exiftente in meridie iris fcnfibilis non ap*
paref.

Ad offendendum propofitum ponatur primo centrum (olis in aliqua regione in me
f/die in zenith capitis,& palim cx prartni(sis,quod tunc bafis pyra midis irradia ticnis c*
rii fub horizonte aqucdiftans horizonti, & quoniam tunc altitudo folis erit partium 90
fole dcfcendentCjfiue hoc fit propter tpfum 1Y10 tum folis , fiuepropier altitudinem regios
num diftantiiim plus ab ccquinodiali,quam regio in qua fol fuit perpendicularis in me*
rtdie,ut ab ea quar cft dirCtffe fub Clipitc cancri, nunquam fiet iris in meridie, quamdiu fi
nus circulialtitudinisfolis in meridie fuerit maiordiametro iridis, quam per 75-. huius,
diligens perquifitor poterit inucnirc , quantum aut finus circuli altitudinis folis in mei i”
dic minuetur i diametro iridis , tantum apparebit uifui in meridie de diametro iridis di.
dc iride,&! ob hoc in diebus arfliualibus ab ajquinocftio uernali aut autumnale in confue
t is nobis regionibus quae funt ultra clima quartum ufqj ad finem notorum feptem clima
lum, in meridie iris non apparet, 81! fi in alia parte anni appareat quadoqj, counn autem
boc diximus propter regiones qua funt extra climata.in quibus prarmifla regula docfti i
na generali poterit comitti.lnomnibus autemregionibusfole exiftente fuper horizon
tem in qualibet hora dici iris poterit apparere, pister qudm in mcridie.In illis tam e horis
in quibus finus circuli altitudinis folis maior cft iridis diametro, & hgc fufficiat pro iridis
intento, quia irim de ccelo mific Saturnia luno .

LXXX.

Nubium apparens color fit fecundum difpofitionem materio?, & lumi<*
nis incorporationem.

Quoniam enim nubium confiftetia cx duobus fit uaporibus,ficco fcilfcct di humido»

. ut

LIBER DEClMVS.

Ut declaratam elt in philofophia naturali, tunc quando fol agendo ex flcco penitus ex-
trahit humidum, aduritur ficcumterreftre, ita quod lumen in ipfum penetrare non po*
teft , ideo fit tunc nubes nigra multae nigredints,S<: funt tales nubes materia uentorum*
In uapore uero aqueo generatur nigredo ex condenfatione frigoris,propter quam inip
fum penetrare non poteft radius 'folaris, uel ftellarum, & non remanet nubes humida
multum nigra. Ex uapore uero quocuncg diigregato fubtili recipiente ingrefiiim tomi*
nis folaris fit nubes alba, unde etiamaliquando uidetur nebula alba. Quando autem nu-
bes habet in fe humidum fumofum ammixtum, aliquantulum terreftre adufto , tunc in
fpfo recepto lumine fit nubes rubea, & alia purpurea, ut cum radij terminantur in inferi
orem partem nubishumid* inmane uel in fero, & ha?cflgnificantpluuiam futuram, Si
I? quidem fit in oriente in mane, defertur pluuia fuper homines illius hahif^bilis . Si ue-
ro fit, in occafu,tunc defertur pluuia in mundi inferius hemifperiutn fubhoinines uiden
tes,2C erit ibi pluuia in node,& redibit illa pars coeli forte fpoliata nubibus in mane,8£
fic fignificat rubor nubium in fero ferenitatem in die fequenti, quoniam uero nubes de-
pretia habet fuperius reiperfam purpureitatem obfcuram ualde,tunc illa rubedo eft ere
partibus terreis aduftis.qu* iam incipient inflammari iriTfentre nubis, di funt nubes ta-
les periculofa» continentes materiam ronitrui,& fimiliunvQuod fi nubes fit rorans, &i in
fine fua? refolutionis,tunc illa nubes in fe recepto Iumine,quandoc[$ iridis acquirit colo-
rem,& fecundum fui uarias difpofitiones fit multa «arietas colorfi lumine nubibus prar-
(ente, flue lumen nubi incidens refrangatur ad uifum propter denfitatem fecundi diafo-
ni,(iue refledatur ad uifum 5 fuperficie ipfius nubis. Sed in Ifisxobribus medijs nubium
non modicum effedum habet admixtio umbrarum ,cum nubes fuperior per nubem fub
tilem umbrofam uifibus occurrit, tunc enim uario colore coloratur nubes uifalecundS
(Harum umbrarum admixtionem,patetergo propoGtum.

L X X XI.

V irgx fiunt ex refraefiione radiorum folarium ad uifum ab aliqua coiw
fiftentianubofa raritate &ipifsitudine inaequaliter diftiiiAa .

Virgas dicimus extentiones radiorum per nubes, qua: uulgo dicuntur funes tentorq,
interpo fitaenim nube aliqua aquofa inter folem di. uifus noftros fit refradio radiorum
folarium ad uifum, 8£ hoc accidit in medio fecundi diafoni,& ob hoc quandoq; ibi uiden
tur iridis colores fecundum quafdam lineas redas protenfar, eo quod habeant quandam
fabriliorem, & quandam grofsiorem confidentiam , in quibus permixtum Colis lumen
fantafiam colorisinipfis facit, potior tamen in his caufa eft admixtio umbrarum, qu^ di
uerfimode immixta: luminicolores diuerfos uifibusreprafcntat,& quia radius folis per
pendicularis fuper fyperficiem nubispenetrat nubem , ad uifus non refkditur , ideo
nubes in medio alba di incolorata uidetur , Si fol per illa uifus uidetur fine figura, fed in
colore punfceus aut colorem alium habens uifus.Sol enim per coliftentiam nubis grol-
florem di caliginofam alium, & alium prarfentat uifibus colorem. Non eftautem in hoc
differcntia,fiue fol uideatur per nubem, fic quod fiat fuorum radiorum ad uifus refradio,
flue radij folis refledantur ad uifum,aipicicnti uero ad folis latera uidetur quandoq; iri-
dis color uirgatus,iit pra:mifimus,quando nubes fecundum aliquid eft fpifia, di fectindu
aliquid rara,6C fecundum aliquam fui partem plus aquofa, & fecundum aliquam minus.
Si quandoq; uidetur aliqua pars punicea, alia uero uiridis aut flaua,uirgar ita^ fiunt pro
pter irregularitatem diuerfi fitus & quantitates fpccuIorum,non propter figura anoma
liam.Sunt enim quadam fpecula,qua propter fui anomaliam figuras anomalias permu
tatas uifibus oftendunt formaru uifarum per ipfa, de quibus in nono libro fcientia? huius
aliquis fermo fuit, unde di nubes figuram folisnon oftendit,quia fpecula nubis non funt
proprie oftendentia figuram propter fpeculorum parilitatem , fed oftendunt colorem,
quod conuentt diafonitati fpeculorum Si nubis totius, & diftinguuntur illi colot es fe-
cundum difpofittonem, cui lux incorporatur, di fecundum umbrarum immixcionem,pa
tet ergo propofitum,

3Parc «

eec %

PERSPECTIVAE VlTELLIONlS

lxxxh, r

Parelia: fiunt ex reflexione radiorum folarium ad uifum ab aequali coni
fiftentia nubofa

Parelia: dicimus-quafi paria foli,elios rnf m Grsce fol dicitur latine,8<! fignifleat fb*
Ics aqueos,quiin nube uidentur,nube enim interpolita foli di uifibus exiftente squali fe
eundum fui fpecula,necp denfiore.nccp rariore , neqj plus aquofa.necp minus fecundum
fiias partes, tunc radius folisillis incidens propter fimilitudinem & squalitatem fpeculo
rum , & ipforum regularitatem minus coloris fit fantafia,albi autem uidetur coloris pro
pter fpifsitudincm confidentis di rcgularitatem ipfius nubis.Radij enim ad ipfam nu*
bemfic difpofitam incidentcs.8<! ab ipfa refradi ad uifus maxime nube illa nonexiften
«e aquofa neqj nigra, uicina tamenaqua fine admixtione alicuius umbrs refleduntur ad
uifum,proptcrquodpropriumfoliscolorem,qui Iuminofus&: albus eft,in tota nubis
cofiftentia apparere faciunt uifibus, fiuntep parelis albs,ficut ctia ab omni corpore poli
to refleditur lumen folis ad uifum propter fpilsitudinem confiftentis , ut oftenfum cft
per primam quinti huius. Sunt autem parelis magis fignum pluuis quim uirgs, quia
squalis nubium confiftentia , qus cft materia parelijs , fignum eft quod aer idones ha*
bccfe ad permutationem SC ad generationem aqua*. Etquia Auftralisaer facilius in
aquam permutatur propter fui facilitatem in pacicndo, qu&m aer Borealis , qui ficcior
cft propter frigoris conftridioncm , ideo parelis Auftrales magis funt fignum pluuis
quSm Boreales . Fiunt autem parelis licut di uirgs magis fole exiftente in oriente uel
occidcntcquim in meridie, quoniam fol exiftensin medio cceli foluit tales nubium con
fiftcntias , di plurimum fegregat illas , & neque fiunt defuper folcm , neque defubtus ,
fed a lateribus folis obliquis qus funt fecundum polos mundi , di neque fiunt multum
prope fokm , quia a propinquo cito diffoluitur nubium confiftentia , neque fiunt mul=*
tum longe S fole, quia non eft inde pofsibile reflexione m fieri ad uifus. Reflexio enim fa=*
da i paruo fpeculo fubtilis cft , unde longa protenfa debilitatur , di euanefeit antequam
perueniat ad uifus , di ex cifdcm caufis non fiunt hs parelis fupet folcm,neque fub fole »
quia prope folem exiftentes confiftentis nubium foluuntur , remots uero diftantes n5
pcrucniunt fecundum ipforum reflexionem ad uifum , fecundum lateralem uero folis fi
tum eft irtuenire mediocrem diftantiam , in qua confiftentia non foluitur , 8 i tamen fit
reflexio ad uifum, & cum non eft minus prope ad terram dcfccndens illa nubis confiftcn
tia , quando enim nubes funt nimis propinque horizonti, tunc ab ipfis nubibus reflexi
radij non pertingunt ad uifus.proprcr diftantiam minorem improportionatam reflexi*
onem luminis .quoniam enim uifus funt apud terram, patet quod tunc luminis reflexio 1
nube non concurrit cum uifibus. Sub fole etiam non poteft fieri parelia , quia di tunc
nubes uicina terrs perpendicularem folis radium reipiciens diffoluitur cum radio folari
remota uero nubes iuifu nullam caufat reflexionem uel refradionem ad uifum propter
longitudinem diftantis.quia fi in altera folis eflet confiftentia nubis nimis alta, non acci
deree reflexionem luminis fieri ad uifum.nc tunc apparent parelis ipfis uifibus, patet cr*
go propofitum,

LXXXIII.

Ex criftaflo exagona foli oppofita colores iridis generantur.

Huiufmodi enim colores generantur ex debilitatione luminis.proptcr refradionc
ad perpendicularem dudam S centro corporis folis ad fupcrficiem unius paralellogra*
mi ex lateribus criftalli,8£ quoniam declarauimusin z7Jfccundihufusfcicntis.manifc*
ftum cft , quod a fole illuminatur magis medietate chilindri fibi oppofiti,fi rotundum fit;
chilindrum.hsc autem in chilindro angillato effe non poteft angulis uenientibus in dia*
metrum corporis bafem per aequalia diuidentis,tuc enim fola medietas illuminatur pror
pter radiorum incidentiam.ut diximus ibidem. Sed fi corpus illud columnare diafonumr
fuerit, tunc enim alia mcdietasilliuscorporis illuminatur propter radiorum refradio*
nem. Si ita<$ fuperficles corporis diafoni foli oppofita unica fuerit, ut in corporibus qua

drangulis

HBfeft. Dg CtlAVS* 15 >6

drangulis , tunc una fit luminis refradio fortis, & lumen fub forma luminis tranfibit ad
partem oppofitam corporis, aggregabitur extra corpus fub forma luminis, ficu t etiam
hoc fortius euenit in corpore (phxrfco diafono no concauo,eo quod i iuperficie maioris
partis totius illius corporis fpharici fit refradio ad radium, qui perpendiculariter inci*
dit fuper fuperficiem corpus fphxricum contingentem aquediftanrem fuperficiei iecan»
ti corpus folis per centrum fecundum afpedum,quo ab ipfo reip/citur corpus illumnan
dum , utoftendimus in 4 6. huius , ex tantorum ergo & tot radiorum aggregatione,fl£
fi non ad pundum unum , quoniam hoceft impofsibilc propter diuerfitatem fuperficiei
rum incidentix , ad locum tamen naturalem paruum fit luminis aggregatio ipfo fumis
ne abfcp coloratione fub forma luminis manente , & illud lumen aggregatum calefecit
corpus oppo (itum , Qi incendit ex mora corpus inflammabile fubito, ut ftupam itel alis
ud potentiam adiuam in ie habentem ad innammationem.Si uero corpus diafonum ib
Ii oppofftum fit plurimum fuperficierum qua'm unius plana, uel circularis . fecundum e»
am, fcilicet partem, qua foli opponitur , utpote fi corpus quadrangulum fecundum unii
fuorum angulorum foli opponitur , tunc fietrefradio radiorum incidentium uni iuper
ficiei ad ambas fuperficics oppofitas,& fimiliter radiorum incidentium alteri fuperficis
ci , 8i tamen ex parte oppofita lumini refrado aer, qui eft corpus rarioris diafoni,occur
rerit, refrangentur radfi ab utracp parte fuperficiei ab illa perpcndiculari,qu*ab angu
Io ad angulum duda in corpore balem ipfius per aqualia diuiderct , uel alia ei ccqucdi*
ftante,&: in alio corpore denfo illi corpori diafoni fubicdo , ut terra uel alio corpore
quocunq; , tunc quandocp apparebunt duo lumina clara , aliquando uero colorata , ut
fi corpus diafonum aqualium fuerit angolorum di fuperficierum , & hoc patet experi*
mentanti, eruntqj ibi duo colores confufi, non plures, color, fcilicet rubeus ,&! alius
imxtusquaft uiridis,qui fecundum criftalli uel alterius parui corporis difpofitionem
magisfuntintenfiuelremifsi. Quod fi fuperfictes corporis quo ad partem foli oppofis
tam fuerint tres, ut funt in criftallo exagona , tunc 3 qualibet fuperficierum oppofitas
rum foli , qua: funt 3, receptum lumen cuiuslibet fupcriorum trium fuperficierum led
ditur corpori oppofito, ut terra: uel alteri corpori cuicunque fuerit , qua: tria lumina,
quorum medium manet in ipfa perpendiculari columna criftallinxbalem fuam per aes
qualia diuidente uel ipfi diuidenti aquediftante>&: fit uifibilelumen , illud nifi lumen fos
Iis impediat, Alia uero z.rcfrangunturadida perpendiculari propter naturam fecum
didiafoni rarioris , fcilicet aeris, didum enim eft in 4, huius, quod in medio iecundi dia.0
foni rariore exiftente refradio fit i perpendiculari , & eft quafi quadam diiperfio radio
rum , apparent autem colores in iftis luminibus fi reflexis uel refradis propter mixtio*
nem nigredinis coloris criftallini cu lumine penetrante .& propter ammixtiones umbra
rum partium ipfius criftalli praminentium fecundum acumen fuorum angulorum , qui
per 1 1. iecundi huius, proficiuntur ad partem oppofitam incidentia radiorum in parte
aduerfem corpori luminofo, quarum umbrarum numerus facit diuerfitatem colorum»
quando lumini pcrmifccntur,quoniam ubi radio luminis perpendiculari magisquoad
fuperficiem incidentia circa quam in uiciniori mulroru radiorii fit aggregatio, Color cr*
ftalli dC umbra commixtus refleditur.quia ille radiusmagieeft luminofus.tunc fltcolor
rubeus. In alfis uero radijs (ecundu fui debilitatem coloris corporis luminofi & umbrarQ
plurimum commixtionem alfi colores medfigenerantur,fiutauterres colores, quoni§ ex
tribus fuperficiebus fuperioribus radfi colligutur ad quamlibet inferiom fuperffderu,8d
color rubeus femper ab illa parte uidebitur, ubi radius perpendicularis fuper fuperfici*
em criftalli in contrario fitu generata iridis oppofitam foli aggregatis omnibus radfi*
fua fuperficiei incidit poft refledionem fadam ex acris intrapofiti diafonitate, & tunc ^
nia tres irides generamur propter triplicem natur2refradionis in medio 2. diafoni rari
pri, ut prainiflumeft,& quia ter tria faciut quadratu, cj eft 9. erut tunc 9 . colorum indi*
uidua multiplicitatis trium fuperficierum fuperiorum,numero in numerum , trium in*
feriorum , tres uero erunt fpecificx differentia colorum, di fit iftarum colorum per an»

ece 4 gulos

PERSPECTIVA?! VITELLIONIS

pulos corporis fcn(ibilisdiftindi,quoniatn Si i linea angulorum qua? adueft indiuifibi*
lis.reflexi ucl refradi radij indiuii/biles, nihil fenfibileproducunt. Non autem fiunt ifti
colores iridis per criftallum penitus per naturam colorum uerar iridis , quorum diftin*
dio formaliter eft tantum in uifu,fed fiunt per naturam lucis reflexa: i figura didi cor*
poris, unde etiam caufa ipforum non cft aduifum fada reflexio, non enim uidenturper
modum reflcxionis.fed per modum (implicisui(ionis,ut alia uifibilia,qu£e uifui offerun*
tur,& i quolibet in eodem loco uidentur , fit itacj? colorum diftindio i figura corporis,
quoniam i qualibet alia criftallouelcorporeperuioaltcriusfigune colores uarfl appa*
rcnr>qiti fecundum fitum colorum iridis non funt diftindi,6<: iftius fignum eft, quod li ac
cipiaturcri(lalIiisexagona,&duo cius iuperficiescarra rubea, ucl alia tegantur, fle quod
inter illas x.tcrtiafuperflcics maneat non opaca, tunc & tribus alijsfolitranfcunti per
foramen non magnum oppofitis,fi locus operationis non fit alias ualde luminofus,& ali
quod nigrum fupponitur,tunc uidebitur etiam cx criftallo modica iris maxima di pul*
eberrima, 8i coloris clarifsimi,quod fit propter aggregationem totius luminis ab omni
bus fuperficiebus fuperioribus ad inferiores incidcntis,quae,ad locum uicinitm unicum
aggregantur. Si liero ilice ftipcrfi cies 3. qua: nunc foli fiunt oppofltee inferiores fiunt , di
econuerfo alia: 3 .fupcriorcs,tunc iris qua ndoqj una,&;qiiandoqj nulla apparebit , di qui
ludum iftum iocofum reuolucrit,inucniet qua: hic fcripfimus plura, quam per nos in tali
folatio funt inucnta,& fi unam ex 6, fuperficiebus didis experimentans opacaucrit^illc
fimilia perreuolutionem criftalli ad diuerfos fitus inucnict,&! fi criftallum oculo oppo*
fuerit, fic ut 3. non opacat* fupcrficies ad oculum ucrtantur,8C omnes 3 .oculo oppolitos
illam cetram rubeam uidcbit,& fi rcuolucrit criftallum coram oculo, plurcs occurrent di
ucrfitatcs.quas generationibus colorum applicare quis poterit, femper conliderans mn=
brarum immixtionem , quoniam eadem cft natura reflexionis formarum ad uifum , di
luminis ad ca quibus incidit.non enim defertur color ucl forma uilibilisad uifum, nifi per
naturam lucis qua eft in ipfo,potcrit'cj3 per experientiam his didis multa addere diliges
4nquifitor>patct itaejj propofitum,

t XXXI! 11.

Sub uafe uitreo rotundo pleno aqua foli expoftto , colores fimiles iri*
dis coloribus uidentur.

Sit ut exponatur foli uas uirreum rotundum ad modum urinalis plenum aqua pura,
dico quod uctum cft quod proponiuir,uidcntur enim in fuperficie corporis fuppofiti illi
corpori, ut in terra fuperficie, ucl in alia corpore, colores fimiles iridis coloribus , quorfi
generatio cft propter uarias luminis folis rcfradioncs.ut enim patej per 4.1iuius, fit una
refradio ab acrcad nitrum, & alia a nitro ad acrem fubicdum , quorum refradionum
anguli funt diucrfi,ut patet per 8. huius, fecundum hos itaqt refradionum modos cu ad-
mixtione coloris ipforum corporum diafonorum,8C umbrarum proiedarum a corpo*
• ribus, lumen penetrat , di circularitcrdifitifum,uel forte irrcgularitcr fecundum corpo*
rumdiafonorum conuexas, fupcrficies uarias uifui prcefentant colores diffindes fccun*
dum prxmifTascaufaSvQuodfi uas illud cxtrinfccus aqua perfufum fuerit, pulchriores
uifui pradentabit, quoniam tunc numerus refradionum aliqualiter augetur, di fimiliter
numerus umbrarum, non funt autem hi colores ucre colores iridis » quoniam numeran*
mr alio colorum numero quim colores iridis,8t non perueniutu ad uifum per reflexio*
nem quamcunqj colores iridis,fed uidentur dircdc,ficut di ipiiim lumen di alij colores,
patet itaqi propofitum.

LXXX V.

Speculo quocuncp fub aqua foli expolito figura Tolis uidebitur quali du
plicata.

In

In fpeculo enim refpedum lumen radiorum fuper fuperflefem aquae perpendicula
rium,fuperflciei uero fpeculiobltqueincidentium,refledi'tur i fuperficie ipecoli ad u(=
fum in loco reflexionis ex('ftente,&: fic offert uifui figuram Tolis, lumen uero radiorum
oblique fuperfleiei aqua: incidentium refrangicur in fuperficie aqua: ad perpendiculare
dudam £ pundo incidentiae ad fuperficiem aqua: per 4, huius, cum itacpilla forma re»
frada peruenit ad ipeculi fuperficiem.tunc ab illa fuperficie, cui oblique incidit, refledi*
tur iterum ad uifum,apparent'qj duxfigur* Tolis, una maior propter fimplicem reflexis
onem.alia quocp minor propter refradionem, qua: in medio denfiori minuit figuram
poftmodum reflexam, uideturep illa fecunda figura Tolis quafi fit corpus ftellsfequens
iis corpus folis.Eft autem di ipla forma Tolis quod patet, quoniam di extra radium Tolis
cum figura Tolis i fuperficie fpeculi per Te non reflcditur,& hanc refradam formam ac
cidit uideri,8c fi plane fpeculum fuper aquam deducatur in Tolis radium , tunc eadem nu
mero forma, qua* prius Tub minori lumine fuit uifa.uidebitur amplius qutfm prius lumis
nofa,&! fecundum motum aqua: uidebitur moueri, circa reflexam figuram folis, patet
ergo propofitum. Et quoniam nos diuina: gratia: fuffragante prsfidio tres propolis
tos uidendi modos fecudum omnem ipforum quatenus potuimus diucrfitatem tianfcur
rimus, nec condignum aliquid tantae munificentia: diuina: bonitati reddere poisibile no
bis eft,ad illas tamen quas poffumus gratiarum adionesconfurgimusei,quiuere tri*
nus di unus eft,foli nihil in rebus entibus conforme, nihil coanernuni,nihil jequcbonutn
seftimanccs.cuific honor & gloria per infinita fecula, Amen»

Vftellionis Mathcmaticidodifsimi o-nfiw feu Perlpe»
diuoe libri decimi, di fic totius operis continentis
propofittones 805-, finis.